algebra - mif.pg.gda.pl · algebra notatki do wykładu i cwicze´ n ... przykłady to zbiór...

Jakub Maksymiuk

ALGEBRAnotatki do wykładu i cwiczen

2016

Spis tresci

Wykład

Zamiast wstepu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Działania i ich własnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Łacznosc • Przemiennosc • Element neutralny • Element odwrotny • Rozdzielnosc • Potegi • Tabelka działania • Notacja multiplikatywna iaddytywna • Test łacznosci Light’a

Przykłady zbiorów z działaniami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Zbiory liczbowe • Zbiory reszt • Zbiory macierzy • Zbiór bijekcji • Zbiór odwzorowan • Mnozenie podzbiorów • Działania w P (X )

Menazeria struktur algebraicznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Działania n-argumentowe • Działania zewnetrzne • Struktury algebraiczne

Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1 Teoria grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1 Definicja i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Grupa addytywna • Grupa multiplikatywna • Rzad grupy • Grupa abelowa • Potega elementu • Rzad elementu • Przykłady grup

1.2 Homomorfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Monomorfizm • Epimorfizm • Izomorfizm • Grupy izomorficzne

1.3 Podgrupy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Charakteryzacja podgrup • Podgrupy i homomofizmy • Jadro • Obraz • Twierdzenie Cayley’a

1.4 Zbiór generatorów grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Grupa generowana • Zbiór generatorów • Prezentacja grupy • Grupa dicykliczna • Grupy cykliczne

1.5 Twierdzenie Lagrange’a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Warstwy • Indeks podgrupy • Twierdzenie Lagrange’a

1.6 Grupa ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Podgrupa normalna • Grupa ilorazowa • Homomorfizm naturalny • I twierdzenie o izomorfizmie grup

1.7 Struktura skonczonych grup abelowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Iloczyn prosty grup • Rozkład grupy abelowej • p-grupa • Funkcja Eulera

1.8 Klasyfikacja grup rzedów od 1 do 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.9 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2 Teoria pierscieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.1 Definicja i przykłady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Element odwracalny • Przykłady pierscieni

2.2 Dzielniki zera i elementy odwracalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

2.3 Podpierscienie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

ii

2.4 Homomorfizmy pierscieni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Pierscienie izomorficzne • Jadro • Obraz • homomorfizm pierscieni z jedynka

2.5 Ideały i pierscienie ilorazowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Ideał • Ideał główny • Ideał maksymalny. Ideał pierwszy • Pierscien ilorazowy

2.6 Dziedziny całkowitosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.7 Ciało ułamków . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.8 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

3 Pierscien wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.1 Definicja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2 Dzielenie z reszta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.3 Pierwiastki wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Uwaga o wzorach na pierwiastki wielomianów

3.4 Pierwiastki stopnia n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

3.5 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4 Teoria podzielnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1 Rodzaje elementów w pierscieniach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Dzielnik i element stowarzyszony • Elementy rozkładalne, nierozkładalne • Elementy pierwsze

4.2 Jednoznacznosc rozkładu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106d.j.r.

4.3 NWD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Pierscienie Euklidesowe • Algorytm Euklidesa

4.4 NWW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110NWD i NWW w d.i.g.

4.5 Podzielnosc w pierscieniach wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.6 zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5 Teoria ciał . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1 Podciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Ciała proste • Homomorfizmy ciał • Rozszerzenie ciała

5.2 Charakterystyka ciała . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117Pierwiastki z jedynki

5.3 Ciało rozkładu wielomianu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

5.4 Ciała algebraicznie domkniete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.5 Elementy algebraiczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.6 Zadania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Cwiczenia

Zestaw 1 – Zbiory z działaniami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Zestaw 2 – Definicja grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Zestaw 3 – Homomorfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Zestaw 4 – Podgrupy. Grupy cykliczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Zestaw 5 – Grupa ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

iii

Zestaw 6 – Pierscienie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Zestaw 7 – Pierscien wielomianów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Zestaw 8 – Teoria podzielnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Rozwiazania

Zestaw 1 – Zbiory z działaniami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Zestaw 2 – Definicja grupy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Zestaw 3 – Homomorfizmy grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Zestaw 4 – Podgrupy. Grupy cykliczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

Zestaw 5 – Grupa ilorazowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Wykład

Zamiast wstepu

Na tym wykładzie bedziemy zajmowac sie zbiorami, w których okreslone zostało jedno lub dwa działa-nia. Pojecie działania w Algebrze jest uogólnieniem dodawania i mnozenia liczb. Dlatego tez podstawowy-mi przykładami sa zbiory liczb (np.: całkowitych, rzeczywistych) z działaniami dodawania i mnozenia. Inneprzykłady to zbiór macierzy lub zbiór wielomianów. W tym rozdziale podamy definicje działania oraz zde-finiujemy własnosci jakie moze ono spełniac. Podamy takze podstawowe przykłady zbiorów z działaniami.Aby ułatwic Czytelnikowi zycie, niektóre z podanych faktów zostana powtórzone w kolejnych rozdziałach.

Działania i ich własnosci

Niech X bedzie niepustym zbiorem.

Definicja 1. Działaniem (dwuargumentowym) w zbiorze X nazywamy kazda funkcje

◦ : X ×X → X

Element przyporzadkowany parze elementów przez dane działanie nazywamy wynikiem działania natej parze. O samym działaniu czesto mówi sie po prostu mnozenie, a jego wynik nazywa iloczynem (nieoznacza to oczywiscie, ze działanie ma cokolwiek wspólnego z liczbami).

Powszechnym zwyczajem jest stosowanie oznaczenia x◦y zamiast ◦(x, y), co odpowiada tradycyjnie sto-sowanemu zapisowi działan arytmetycznych, np.: 2+2. Innym powszechnym zwyczajem jest opuszczaniesymbolu działania jezeli jasne jest o jakie działanie chodzi, zamiast a ◦b piszemy wtedy ab.

Jak powiedzielismy na wstepie, przedmiotem tego wykładu beda pary (X ,◦), składajace sie ze zbioru iokreslonego w nim działania ◦. Zbiór z działaniem nazywamy systemem algebraicznym i mówimy, ze dzia-łanie wprowadza w zbiorze strukture algebraiczna. O systemie algebraicznym mówi sie czesto po prostustruktura algebraiczna. Na koncu tego rozdziału podamy przykłady struktur algebraicznych spotykanych wmatematyce.

Zanim przejdziemy do podania przykładów, okreslimy własnosci, które moga przysługiwac działaniom,a które beda przedmiotem naszego zainteresowania. Dobrze jest jednak równoczesnie zagladac do umiesz-czonej listy przykładów, aby osadzic wprowadzone pojecia w konkretnych sytuacjach, a nawet przeczytacten rozdział dwukrotnie.

Niech ◦ bedzie działaniem w zbiorze X .

Definicja 2. Mówimy, ze działanie jest łaczne, gdy

∀a,b,c∈X

a ◦ (b ◦ c) = (a ◦b)◦ c

4 Zamiast wstepu

Definicja 3. Mówimy, ze działanie jest przemienne, gdy

∀a,b∈X

a ◦b = b ◦a

Definicja 4. Mówimy, ze e jest elementem neutralnym działania, gdy

∀a∈X

a ◦e = a ∧ e ◦a = a

Definicja 5. Załózmy, ze działanie posiada element neutralny. Mówimy, ze b jest elementem odwrotnymdo elementu a, gdy

a ◦b = e ∧ b ◦a = e

Definicja 6. Mówimy, ze działanie 4 jest rozdzielne wzgledem działania�, gdy

∀a,b,c∈X

a4(b�c) = (a4b)�(a4c) ∧ (a�b)4c = (a4c)�(b4c)

Pamietajmy, ze działanie jest funkcja odwóch argumentach. Zatem

a ◦b = ◦(a,b),a ◦ (b ◦ c) = ◦(a,◦(b,c)),

(a ◦b)◦ (c ◦d) = ◦(◦(a,b),◦(c,d))itd. . . Nastepujacy napis

a ◦ (b ◦ c)◦dnie ma sensu. Bez sensu. . .

Działanie dwuargumentowe pozwala wyznaczyc iloczyntylko dwóch elementów. Jezeli chcemy otrzymac iloczyn wiek-szej liczby elementów x1, x2, . . . , xn , to musimy wybrac kolej-nosc w jakiej bedziemy je mnozyc łaczac je w pary i w tensposób rekurencyjnie zdefiniowac (uporzadkowany) iloczyn nelementów.

Jezeli n = 1, to element x jest iloczynem elementówx1, x2, . . . , xn (w tej kolejnosci) wtedy i tylko wtedy, gdy x = x1.

Jezeli n ≥ 2, to element x jest iloczynem elementówx1, x2, . . . , xn (zapisanych w tej kolejnosci) wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego 1 ≤ k ≤ n, x jest iloczy-nem x = y z, gdzie y jest iloczynem x1, x2, . . . , xk (w tej kolejnosci) oraz z jest iloczynem xk+1, xk+2, . . . , xn (wtej kolejnosci)

Ilosc mozliwych iloczynów, które mozemy utworzyc opisuja liczby Catalana cn = 1n+1

(2nn

). Dla dwóch

elementów mamy jedna mozliwosc: x1x2, dla trzech dwie:

x1(x2x3), (x1x2)x3;

dla czterech piec:

(x1 (x2 x3)) x4, ((x1 x2) x3) x4, (x1 x2) (x3 x4), x1 ((x2 x3) x4), x1 (x2 (x3 x4)).

Sytuacja jest znacznie prostsza jezeli działanie jest łaczne.

Fakt 7. Jezeli działanie jest łaczne, to wszystkie iloczyny elementów x1, x2, . . . , xn (zapisanych w tej kolejno-sci) sa równe.

Kiedy symbol∑n

k=1 ak ma sens?

Inaczej mówiac, łacznosc pozwala opuscic nawiasy. W przypadkudziałania łacznego iloczyn elementów x1, x2, . . . , xn (zapisanych w tej ko-lejnosci) oznaczamy po prostu x1x2 . . . xn .

Kolejne uproszczenie uzyskujemy, gdy działanie jest nie tylko łaczne,ale takze przemienne: wynik nie zalezy od kolejnosci w jakiej ustawiono elementy.

Fakt 8. Jezeli działanie jest łaczne i przemienne, to wszystkie iloczyny elementów x1, x2, . . . , xn (zapisanychw dowolnej kolejnosci) sa równe.

5

Jezeli działanie jest przemienne to w definicji elementu neutralnego, elementu odwrotnego i rozdziel-nosci działan wystarczy sprawdzic tylko jeden z warunków.

Szczególnym przypadkiem iloczynów sa potegi.

Definicja 9. Niech ◦ bedzie działaniem łacznym i niech n bedzie dowolna liczba naturalna. n-ta potegaelementu x definiujemy jako iloczyn aa . . . a︸︷︷︸

n

i oznaczamy an . Jezeli działanie posiada element neutralny, to

definiujemy a0 = e.

Pytanie 1: Dlaczego działanie musi byc łaczne?

Jezeli nie jest przemienne, to (ab)2 =abab 6= aabb = a2b2

Powyzsze rozwazania natychmiast pokazuja, ze tak zdefi-niowana potega ma wszystkie „szkolne” własnosci.

Fakt 10. Niech ◦ bedzie działaniem łacznym i niech n i m beda dowolnymi liczbami naturalnymi.(lub ze-rami jezeli działanie posiada element neutralny). Wtedy

a) an+m = an am ,b) (an)m = anm ,c) jezeli działanie jest przemienne, to (ab)n = anbn .

Punkt c) mozna uogólnic rozpatrujac tylko dwa wybrane elementy: ab = ba =⇒ (ab)n = anbn

Element neutralny nie zmienia wyniku działania, czyli jego rola dla dowolnego działania jest taka samajak rola zera i jedynki odpowiednie w dodawaniu i w mnozeniu. Element odwrotny spełnia zas role odpo-wiadajaca liczbie odwrotnej w mnozeniu (lub przeciwnej w dodawaniu).

Fakt 11. Jezeli działanie posiada element neutralny, to jest on jedyny.

Jezeli działanie posiada element neutralny, to czasami, aby podkreslic, ze e jest elementem neutralnympisze sie (X ,◦,e).

Fakt 12. Jezeli działanie jest łaczne i posiada element neutralny, to dla kazdego elementu moze istniec conajwyzej jeden element odwrotny.

Pytanie 2: Po co ta łacznosc znowu?

Jezeli element a posiada element odwrotny to a nazywamy elementem odwracalnym.

Tabelka działania

Dla (prawie) dowolnego działania mozemy utworzyc tabelke (czasami nazywana tablica Cayley’a), któ-ra jest odpowiednikiem znanej ze szkoły tabelki mnozenia. Aby utworzyc tabelke porzadkujemy elementyzbioru i oznaczamy kolumny oraz wiersze za pomoca tych elementów. Nastepnie na kazdym przecieciuwiersza w i kolumny k umieszczamy wynik działania w ◦k.

Przykład 13: Ponizej mamy przykładowa tabelke działania ◦ okreslonego na zbiorze X = {e, a,b,c}:

◦ e a b c

eabc

◦ a b c

a a ◦b = c a ◦ c = e

c c ◦a = e

◦ e a b c

e e a b ca a c c eb b a e ec c e e b

6 Zamiast wstepu

Z powodów czysto praktycznych, tabelki tworzymy „recznie” tylko dla działan w zbiorach o nieduzejmocy, w przypadku wiekszych zbiorów czesto wystarczy podac tylko wycinek tabelki i przepis na otrzymaniedowolnego innego wyniku (patrz ??). Tablice Cayley’a nie maja wiekszego znaczenia teoretycznego, jednakbadanie działania w zbiorze skonczonym wymaga własnie stworzenia takiej tabelki.

Patrzac na tak utworzona tabelke mozemy odczytac wszystkie własnosci działania. Jezeli tabelka jestsymetryczna wzgledem głównej przekatnej, to działanie jest przemienne. Element neutralny, to kazdy ele-ment, którego odpowiadajacy wiersz i kolumna sie nie zmienił. Element odwrotny znajdujemy szukajacsymetrycznie połozonych elementów neutralnych. Mozliwe jest takze odczytanie czy działanie jest łaczne,zajmiemy sie tym za chwile.

W powyzszym przykładzie od razu zauwazamy, ze działanie nie jest przemienne (bo ba = a 6= c = ab),elementem neutralnym jest element e (i tylko on). Element a nie posiada elementu odwrotnego, e i b saswoimi elementami odwrotnymi, a elementami (sic!) odwrotnymi do c sa a i b.

Pytanie 3: Czy element neutralny zawsze jest odwrotny sam do siebie? Czy to działanie moze byc łaczne?

Notacja multiplikatywna i addytywna

Jezeli bedziemy chcieli podkreslic, ze działanie „ma przypominac mnozenie”, to bedziemy mówic o no-tacji multiplikatywnej. Działanie bedziemy nazywac mnozeniem, wynik działania bedziemy wtedy nazy-wac iloczynem, a samo działanie oznaczac symbolami ◦, · lub ¯. Czasami bedziemy mówic o elemencieneutralnym jedynka i uzywac oznaczenia 1. Element odwrotny do elementu a bedziemy oznaczac symbo-lem a−1, zas n-krotny iloczyn (potege) a ◦a ◦ . . .◦a bedziemy oznaczac przez an .

Jezeli bedziemy chcieli podkreslic, ze działanie „ma przypominac dodawanie”, to bedziemy mówic onotacji addytywnej. Działanie bedziemy nazywac dodawaniem, wynik działania bedziemy wtedy nazywacsuma, a samo działanie oznaczac symbolami + lub ⊕. Czasami bedziemy mówic o elemencie neutralnymzero i uzywac oznaczenia 0. Element odwrotny do elementu a bedziemy nazywac elementem przeciwnymi oznaczac przez −a, zas n-krotna sume (potege) a + a + . . . + a bedziemy oznaczac przez na i nazywacwielokrotnoscia.

Jezeli bedziemy uzywac notacji multiplikatywnej to symbol działania (zgodnie z powszechnym zwycza-jem dla mnozenia) bedziemy pomijac, tzn.: zamiast a ·b bedziemy pisac po prostu ab.

Test łacznosci Light’a

Sprawdzenie czy działanie jest łaczne jezeli znamy jego tabelke i nie posiadamy dodatkowych informacjiwymaga wypisania i porównania wszystkich iloczynów x(y z) i (x y)z. Jest to zadanie pracochłonne.

Pytanie 4: Ile iloczynów musi wypisac student który przerwał lekture w tym miejscu, aby sprawdzic, czy działanie wn-elementowym zbiorze jest łaczne?

Pierwszym ułatwieniem jest nastepujaca obserwacja.

Fakt 14. Jezeli kazdy element zbioru X jest iloczynem elementów z pewnego podzbioru Y ⊂ X i działanieobciete do zbioru Y jest łaczne, to działanie jest łaczne takze w zbiorze X .

Zbiór Y jest zwykle znacznie mniejszy od zbioru X kolejnym ułatwieniem jest opisany ponizej test łacz-nosci Light’a. Polega on na porównaniu tabelek dwóch działan:

4y : (x, z) 7→ x(y z) oraz �y : (x, z) 7→ (x y)z

7

Mathematica™ korzysta z tego algorytmuKazda niezgodnosc w tych tabelkach oznacza, ze x(y z) 6=

(x y)z. Jezeli tabelki sa identyczne to mówimy, ze element yzdał test Light’a.

Fakt 15. Jezeli kazdy element zdał test Light’a, to działanie jest łaczne.

W tym wypadku równiez nie ma potrzeby sprawdzania wszystkich elementów.

Fakt 16. Jezeli kazdy element zbioru X jest iloczynem elementów z pewnego podzbioru Y ⊂ X i kazdyelement zbioru Y zdaje test Light’a, to takze kazdy element X zdaje test Light’a.

Przykład 17: Rozwazmy działanie z poprzedniego przykładu. Zauwazmy, ze c = a ◦a, b = c ◦ c i e = c ◦a, czyli kazdyelement jest iloczynem (ale nie potega!) elementu a. Wystarczy zatem zbadac tylko ten element.

Podczas tworzenia tabelki 4a nie musimy obliczac zadnego z iloczynów. Wystarczy do kolumny oznaczonej przeze przepisac z tabelki ◦ kolumne odpowiadajaca elementowi a = a ◦e, do kolumny oznaczonej przez a kolumne odpo-wiadajaca c = a ◦a itd.

Podobnie, podczas tworzenia tabelki �a nie musimy obliczac zadnego z iloczynów. Wystarczy do wiersza ozna-czonego przez e przepisac z tabelki ◦ wiersz odpowiadajacy elementowi a = e ◦ a, do kolumny oznaczonej przez akolumne odpowiadajaca c = a ◦a itd.

a = ae c = aa c = ab e = ac4a e a b c

e a c c ea c e e a

b a e e b

c e b b c

�a e a b c

a = ea e a c c e

c = aa a c e e ba = ba b a c c ee = ca c e a b c

Z powyzszych tabelek widzimy od razu, ze b = c(aa) 6= a = (ca)a, b(ac) = b 6= e = (ba)c itd.

Okazuje sie, ze nie ma potrzeby tworzenia obu tabelek. Wystarczy utworzyc tabelke jednego z dzia-łan np.: 4y , nastepnie do oznaczenia wierszy uzyc kolumny odpowiadajacej elementowi y i porównac czywiersze odpowiadajace iloczynowi x y w utworzonej tabelce i tabelce działania ◦ sa identyczne. Jezeli tak, todziałanie jest przemienne. Analogicznie mozna postapic dla działania�y .

Przykład 18: W zbiorze X = a,b,c,d rozwazmy działanie dane tabelka. Zauwazmy, ze dd = c, dc = a i d a = b, czy-li aby sprawdzic łacznosc działania wystarczy wykonac test Lighta dla elementu d . Odpowiednie tabelki wygladajanastepujaco:

a b c d

a a b c bb b c a cc c a b ad b c a c

4d b c a c

b b c a cc c a b aa a b c bc c a b a

�d b c a c

b b c a cc c a b aa a b c bc c a b a

Co oznacza, ze element d zdał test Light’a, a tym samy działanie jest łaczne.

Pytanie 5: Czy działanie z powyzszego przykładu jest przemienne? Czy posiada element neutralny? Czy sa tam ele-menty odwrotne?

Przykłady zbiorów z działaniami

W tym podrozdziale podamy przykłady zbiorów z działaniami oraz podamy własnosci zdefiniowanychdziałan. Spora czesc z nich jest znana z wczesniejszych etapów nauki. Nie ma potrzeby pamietania wszyst-kich podanych przykładów (a przynajmniej nie od razu). Jednak zapoznanie sie z kazdym podanym przykła-dem i powracanie do nich w miare pojawiania sie nowych pojec pozwala wyrobic i utrwalic intuicje stojace

8 Zamiast wstepu

+ N N0 Z Q R C

łacznosc T T T T T Tprzemiennosc T T T T T T

element neutralny N T T T T Telement przeciwny N N T T T T

· N N0 Z Q R C

łacznosc T T T T T Tprzemiennosc T T T T T T

element neutralny T T T T T Telement odwrotny N N N T1 T1 T1

1 kazdy rózny od zera

Tabela 1: Własnosci dodawania i mnozenia liczb

za abstrakcyjnymi pojeciami Algebry. Niektóre z podanych przykładów sa przykładami struktur algebraicz-nych, które bedziemy badac na tym wykładzie. Inne, mniej typowe przykłady zostały podane w zadaniach.

Zbiory liczbowe

Najprostsze (i pojawiajacymi sie od pierwszych lat nauki) przykłady zbiorów z działaniami to zbioryliczbowe:

a) zbiór liczb naturalnych:N= {1,2,3, . . .},b) zbiór liczb naturalnych z zerem:N0 =N∪ {0},c) zbiór liczb całkowitych: Z,

d) zbiór liczb wymiernych:Q,e) zbiór liczb rzeczywistych: R,f ) zbiór liczb zespolonych: C,

wraz z działaniami dodawania: + i mnozenia · liczb. Elementem neutralnym dodawania liczb jest liczba 0,zas mnozenia liczba 1. Elementem przeciwnym wzgledem dodawania jest liczba przeciwna, a wzgledemmnozenie - liczba odwrotna. W tabeli 1 zostały podane własnosci tych działan. Zwykle działaniami na licz-bach nazywa sie takze odejmowanie i dzielenie.

Czytelnik sprawdzi dlaczego odejmowa-nie nie ma elementu neutralnego

W sensie wprowadzonej definicji odejmowanie nie jestdziałaniem w zbiorach N i N0. W pozostałych jest działaniem,ale nie jest łaczne i nie ma elementu neutralnego. Dzielenienie jest działaniem w zadnym z tych zbiorów.

Pytanie 6: Czy dodawanie liczb jest rozdzielne wzgledem mnozenia liczb?

Mnozenie liczb jest rozdzielne wzgledem dodawania liczb. Zbiory elementów odwracalnych wzgledemmnozenia w zbiorachQ, R, C, bedziemy oznaczac przez:

Q∗ =Q\ {0} R∗ =R\ {0} C∗ =C\ {0}

W kazdym z tych zbiorówQ∗, R∗, C∗ dzielenie jest działaniem.

Istnieja jeszcze inne „sensowne” zbiory liczbowe. Najprostsze przykłady to zbiór kwaternionówH oraz liczby Cayley’a(oktoniony)O. Definiuje sie je analogicznie do liczb zespolonych, jako czwórki i ósemki liczb rzeczywistych spełniaja-ce pewne relacje (w liczbach zespolonych jest to (0,1)(0,1) = (−1,0)). Tak zdefiniowane zbiory maja własnosci podob-ne do innych zbiorów liczbowych, jednak mnozenie w kwaternionach nie jest przemienne, zas w liczbach Cayley’amnozenie dodatkowo nie jest łaczne. Kwaterniony znajduja zastosowanie w grafice komputerowej, geometrii i fizyce.Na poczatek mozna zajrzec na strone: http://pl.wikipedia.org/wiki/Aksjomaty_i_konstrukcje_liczb

Zbiory reszt

Niech n ∈N. Oznaczmy przez (a)n reszte z dzielenia liczby a przez n. Zdefiniujmy zbiór reszt z dzieleniamodulo n:

Zn = {0,1, . . . ,n −1}

W tym zbiorze definiujemy działania +n i ·n wzorami:

a +n b = (a +b)n , a ·n b = (ab)n .

9

Zbiory Zn sa podstawa arytmetyki „kom-puterowej” i kryptografii cyfrowej

Elementem neutralnym dodawania modulo jest 0, a mno-zenia 1. Elementem przeciwnym do elementu a jest n−a, gdya 6= 0 oraz 0 gdy a = 0. Element odwrotny do a wzgledem mno-zenia modulo istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a,n) = 1.W tabeli 2 zostały podane własnosci tych działan.

łacznosc przemiennosc element neutralny element odwrotny

+n T T T T1

·n T T T T2

1 n −a, gdy a 6= 0 i 0 gdy a = 0; 2 gdy NWD(a,n) = 1

Tabela 2: Własnosci dodawania i mnozenia modulo

Mnozenie modulo n jest rozdzielne wzgledem dodawania modulo n. Zbiór elementów odwracalnych wzbiorze Zn z mnozeniem modulo n bedziemy oznaczac przez

Z∗n = {a ∈Zn : NWD(a,n) = 1}

Korzystajac z rozszerzonego algorytmu Euklidesa lub z małego twierdzenia Fermata mozna wyznaczyc ele-menty odwrotne w zbiorze Z∗

n .

Pytanie 7: W jakich codziennych sytuacjach korzystamy ze zbiorów Z24, Z7, Z12, Z30, Z365?

Zbiory macierzy

Niech K = R,C. Przez M(m ×n,K) oznaczmy zbiór macierzy o m-wierszach i n-kolumnach o współ-czynnikach z K. W przypadku, gdy m = n bedziemy pisac po prostu M(n,K). W zbiorze macierzy moznaokreslic działania dodawania i mnozenia macierzy (z zastrzezeniem dot. wymiaru macierzy).

Elementem neutralnym dodawania macierzy jest macierz zerowa, elementem przeciwnym do macie-rzy A jest macierz o współczynnikach przeciwnych do współczynników macierzy A. Elementem neutral-nym mnozenia macierzy w zbiorze M(n,K) jest macierz jednostkowa, elementem odwrotnym jest macierzodwrotna. Mnozenie macierzy jest rozdzielne wzgledem dodawania macierzy. Dodawanie macierzy jestłaczne i przemienne. Mnozenie macierzy jest łaczne i na ogół nie jest przemienne.

Zbiór elementów odwracalnych w zbiorze M(n,K) z mnozeniem macierzy bedziemy oznaczac przez

Gl (n,K) = {A ∈ M(n,K) : det(A) 6= 0}

Jezeli rozpatrujemy podzbiory zbioru M(n,K), to moze sie zdarzyc, ze w tych zbiorach elementami neu-tralnymi i odwrotnymi sa inne macierze niz wymienione wyzej.

Przykład 19: W zbiorze macierzy {A ∈ M(2,R) : A =

[a 00 0

]}Mnozenie macierzy jest działaniami. Elementem neutralnym jest macierz dla której a = 1, elementem odwrotnym do

macierzy

[a 00 0

]jest macierz

[1/a 0

0 0

]. Podobne przykłady pojawia sie jeszcze w dalszej czesci wykładu.

Zauwazmy, ze do okreslenia dodawania i mnozenia macierzy wystarczy, aby okreslone były działaniadodawania i mnozenia w zbiorze współczynników. Naturalnym kandydatem na zbiór współczynników sapierscienie, omawiane w rozdziale ??. W dalszym ciagu bedziemy rozpatrywac takze zbiory macierzy owspółczynnikach pochodzacych z innych zbiorów z działaniami.

10 Zamiast wstepu

Zbiór bijekcji

Niech X bedzie dowolnym niepustym zbiorem. Rozwazmy zbiór

S(X ) = { f : X → X : f jest bijekcja },

wszystkich bijekcji zbioru X . Dla dowolnych elementów f , g ∈ S(X ) okreslamy ich iloczyn f ∗g , jako funkcjebedaca złozeniem funkcji f i g , tzn.:

∀x∈X

( f ∗ g )(x) = ( f ◦ g )(x)

Działanie składania przekształcen w zbiorze S(X ) jest łaczne i na ogół nie jest przemienne. Elementem neu-tralnym jest odwzorowanie identycznosciowe i dX , kazdy element f posiada element odwrotny i jest nimfunkcja odwrotna f −1.

Najczesciej interesuja nas podzbiory zbioru S(X ) złozone z funkcji zachowujacych wybrane własnoscizbioru X . Zwłaszcza w sytuacji, gdy zbiór X jest wyposazony w dodatkowa strukture. Przykładami takichsytuacji sa np.:

a) zbiór izometrii płaszczyzny, tzn.: odwzorowan zachowujacych odległosci (geometria!),b) zbiór izomorfizmów ustalonej przestrzeni liniowej (który mozna utozsamiac ze zbiorem Gl (n,V )),c) zbiór homeomorfizmów przestrzeni metrycznej.Szczególne znacznie ma zbiór S({1,2, . . . ,n}), który nazywamy zbiorem permutacji. Dokładniej zbadamy

go w rozdziale 1.

Zbiór odwzorowan 1

Niech X bedzie dowolnym zbiorem. Oznaczmy przez Map(X ) zbiór wszystkich odwzorowan (nieko-niecznie bijekcji) zbioru X w X . Operacja składania przekształcen jest działaniem w tym zbiorze. Jest todziałanie łaczne, elementem neutralnym jest odwzorowanie identycznosciowe. W ogólnym przypadku skła-danie przekształcen nie jest przemienne oraz istnieja elementy które nie posiadaja elementów odwrotnych.

Zbiór odwzorowan 2

Niech X bedzie dowolnym niepustym zbiorem i niechK oznacza dowolny zbiór z działaniem ∗. W zbio-rze Map(X ,K) wszystkich odwzorowan z X w K wprowadzamy działanie ~ nastepujaco: dla dowolnychelementów f , g ∈ Map(X ,K), ich iloczyn jest funkcja f ~ g : X →K spełniajaca własnosc:

∀x∈X

( f ~ g )(x) = f (x)∗ g (x)

Podstawowe własnosci działania~ zaleza (oczywiscie) od własnosci działania ∗.

Fakt 20. Działanie~ma nastepujace własnosci:a) jezeli działanie ∗ jest łaczne, to działanie~ jest łaczne,b) jezeli działanie ∗ jest przemienne, to działanie~ jest przemienne,c) jezeli działanie ∗ posiada element neutralny eK to funkcja e ∈ Map(X ,K) dana wzorem e(x) = eK jest

elementem neutralnym działania~,d) załózmy, ze działanie ∗ posiada element neutralny. Element f ∈ Map(X ,K) posiada element odwrot-

ny, jezeli dla kazdego x ∈ X istnieje element odwrotny do f (x). Wtedy element odwrotny f −1 ∈ M ap(X ,K)jest dany wzorem f −1(x) = [ f (x)]−1.

Jezeli w zbiorze K okreslone sa dwa działanie z których jedno jest rozdzielne wzgledem drugiego, toodpowiadajace im działania w zbiorze Map(X ,K) takze sa rozdzielne.

Zwykle działania ∗ i ~ oznacza sie tym samym symbolem. Najbardziej znanym przykładem powyzszejkonstrukcji jest zbiór Map(R,R), znany z analizy matematycznej, gdy za działanie ∗ przyjmiemy dodawanielub mnozenie liczb.

11

Mnozenie podzbiorów

Niech X bedzie zbiorem z mnozeniem. W zbiorze potegowym P (X ) definiujemy działanie mnozeniapodzbiorów nastepujaco

(A,B) 7→ AB = {ab : a ∈ A, b ∈ B}

Fakt 21. Jezeli działanie w X jest łaczne (przemienne, posiada element neutralny), to działanie mnozeniapodzbiorów jest łaczne (przemienne, posiada element neutralny).

Działania w P (X )

Niech X bedzie dowolnym podzbiorem i P (X ) jego zbiorem potegowym. Operacje teoriomnogosciowe:∪, ∩, \, 4 (róznica symetryczna). Sa działaniami w zbiorze P (X ).

Suma mnogosciowa jest działaniem łacznym i przemiennym. Elementem neutralnym jest zbiór pusty.Iloczyn mnogosciowa jest działaniem łacznym i przemiennym. Elementem neutralnym jest zbiór X . Sumai iloczyn sa działaniami rozdzielnymi wzgledem siebie.

Działanie 4 jest łaczne, przemienne, elementem neutralnym jest zbiór pusty i kazdy element jest swoimelementem odwrotnym.

Ogólne struktury algebraiczne

Materiał przedstawiony w tym rozdziale nie jest kluczowy dla dalszej czesci wykładu. Zapoznanie sie znim (teraz lub pózniej) pozwoli jednak Czytelnikowi spojrzec na Algebre Abstrakcyjna z szerszej perspekty-wy.

W tym rozdziale pokazujemy ogólne spojrzenie na zbiory z działaniami. Rozszerzamy definicje działa-nia rozpatrujac zarówno działania o wiekszej liczbie argumentów, jak i okreslonych niekoniecznie na po-tedze kartezjanskiej zbioru X . Podajemy takze (niepełna) liste struktur algebraicznych, które spotyka sie wmatematyce.

Działania n-argumentowe

Wprowadzone na poczatku pojecie działania dwuargumentowego mozna uogólnic na przypadek do-wolnej skonczonej liczby elementów. Niech n ∈N∪ {0}.

Definicja 22. Działaniem n-argumentowym w zbiorze X nazywamy dowolna funkcje ◦ : X n → X .

Wiekszosc działan spotykanych w algebrze to działania dwuargumentowe. Sporadycznie mozna wyróz-nic działania innych typów.

Iloczyn X 0 definiujemy jako zbiór {;}. Działanie 0-argumentowe jest zatem odwzorowaniem ze zbiorujednoelementowego w X . Jest to odwzorowanie wybierajace jeden element z X . Czasami takie odwzorowa-nie i wyznaczony przez nie element nazywa sie elementem wyróznionym.

Przykład 23: Niech X bedzie niepustym zbiorem. Wybierzmy dowolny element tego zbioru i oznaczmy go ∗. Tejoperacji odpowiada działanie ◦0 : X 0 → X , ◦(;) = ∗. Patrzac ogólnie, mamy strukture (X ;∗;◦0). Pary (X ,∗) rozpatrujesie na przykład w topologii.

Przykład 24: Niech (X ,◦) bedzie zbiorem z działaniem i niech e bedzie elementem neutralnym tego działania. Wybórelementu neutralnego takze jest przykładem działania 0-argumentowego. Otrzymane w ten sposób struktury to naprzykład (Z;0;+), (Gl (nR);E ; ·) itd.

Działanie 1-argumentowe jest odwzorowaniem zbioru X w X . Nietrywialnych działan tego typu dostar-cza geometria.

12 Zamiast wstepu

Przykład 25: Niech (X ,◦) bedzie grupa. Kazdemu elementowi odpowiada dokładnie jeden element odwrotny. Mamyzatem odwzorowanie ◦1 : X → X , ◦1(a) = a−1 lub ◦1(a) =−a. Struktury tego typu to na przykład (Z;0;+,−), (Gl (nR);E ; ·,−1)itd.

Przykład 26: Przekształcenia geometryczne sa przykładami działan jednoargumentowych.a) translacja o wektor v czyli odwzorowanie x 7→ x + v jest działaniem jednoargumentowym.b) symetrie wzgledem punktu, osi, płaszczyzny itd.c) obroty wokół punktu, osi

Rzadko spotykanym typem działania jest działanie 3- i wiecej argumentowe. Przykładami działan tro-jargumentowych jest na przykład iloczyn mieszany w geometrii lub operator ␣?␣:␣ w jezyku C.

Działania zewnetrzne

Niech F i X beda niepustymi zbiorami.

Definicja 0.1. Działaniem zewnetrznym w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie : F ×X → X .

Najwazniejszymi przykładami działan zewnetrznych jest mnozenie wektora przez skalar i działanie gru-py np.: grupy przekształcen geometrycznych.

Przykład 27: Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad ciałemK. Odwzorowanie · : V →V , (λ, x] 7→λ·x jest działaniemzewnetrznym w V .

Przykład 28: Niech G bedzie grupa i niech X bedzie niepustym zbiorem. Mówimy, ze grupa G działa lewostronnie nazbiorze X jezeli odwzorowanie · : G ×X → X , (g , x) 7→ g · x spełnia warunki:

a) e · x = xb) g · (h · x) = (g h) · x

Przykładem działania grupy jest działanie grupy C na R2 (obrót wokół punktu (0,0), grupy {−1,1} na Rn (symetriasrodkowa), działanie grupy permutacji zbioru X na zbiorze X .

Rozpatruje sie takze działania prawostronne (g , x) 7→ x · g , które spełniaja warunki x ·e = x i (x · g ) ·h = x · (g h).

Struktury algebraiczne

Zbiór wraz ze skonczonym układem wyróznionych elementów, skonczonym układem działan n-argumentowychi skonczonym układem działan zewnetrznych nazywamy algebra abstrakcyjna.

Zbiór z działaniem czasami nazywa sie grupoidem (lub rzadziej magma). Jest to struktura zbyt ogólna,aby mozna było powiedziec o niej cos sensownego, dlatego wyróznia sie struktury bardziej specjalne.

Definicja 29. Zbiór z działaniem łacznym nazywamy półgrupa.

Definicja 30. Zbiór z działaniem łacznym i posiadajacym element neutralny nazywamy monoidem (lubpółgrupa z jedynka).

Poniewaz w tych strukturach działanie jest łaczne wiec iloczyny nie zaleza od ustawienia nawiasów. Wpółgrupach okreslone jest potegowanie dla wszystkich N > 0, a monoidach dla n ≥ 0. Jezeli działanie wzbiorze jest przemienne to odpowiednia strukture nazywamy przemienna np.: monoid przemienny.

Przykład 31: Przykładem półgrupy jest np.: (N,+). Przykładami monoidów sa (Z,+) (przemienny), (M(n,R),+) (nie-przemienny)

Przykład 32: Zbiór nZ jest półgrupa zawarta w półgrupie (Z, ·) i monoidem zawartym w monoidzie (Z,+).

Przykład 33: To wpisac przykład działania przemiennego ale nie łacznego.

13

Definicja 34. Dopisac definicje nastepujacych struktur: quasigrupa, loop, grupa, grupa przemienna, pier-scien, pierscien przemienny, pierscien z jedynka, pierscien z dzieleniem, ciało, R-moduł, przestrzen liniowa,algebra, algebra z dzieleniem.

Struktury algebraiczne jako dodatkowe struktury w zbiorach, np.: grupa topologiczna, przestrzen liniowo-topologiczna.

Definicja 35. Dopisac definicje: lewo-, prawostronnie neutralny i lewo, prawostronnie odwrotny, prawoskracania, prawo kwadratu łacinskiego.

Jezeli istnieja elementy lewostronne (prawo-), to sa one takze prawostronnie (lewo-) odwrotne i neu-tralne.

Zadania

Zadanie 1. Wypisac wszystkie mozliwe iloczyny elementów x1, x2, x3, x4, x5 (zapisanych w tej kolejnosci).

Zadanie 2. Udowodnic, ze liczby Catalana podaja liczbe mozliwych iloczynów n-elementów.

Zadanie 3. Wykazac, ze:a) Jezeli działanie jest łaczne, to wszystkie iloczyny elementów x1, x2, . . . , xn (zapisanych w tej kolejnosci)

sa równe.b) Jezeli działanie jest łaczne i przemienne, to wszystkie iloczyny elementów x1, x2, . . . , xn (zapisanych w

dowolnej kolejnosci) sa równe.

Zadanie 4. Wykazac, ze jezeli działanie jest łaczne, toa) istnieje co najwyzej jeden element neutralny,b) dla kazdego elementu istnieje co najwyzej jeden element odwrotny.

Czy twierdzenie pozostaje prawdziwe jezeli działanie nie jest łaczne?

Zadanie 5. Ile jest mozliwych działan w zbiorze n-elementowym? Ile jest mozliwych działan przemiennychw zbiorze n-elementowym? Ile jest działan w zbiorze n-elementowym, które posiadaja element neutralny?

Zadanie 6. Wykazac, zea) Jezeli kazdy element zbioru X jest iloczynem elementów z pewnego podzbioru Y ⊂ X i działanie ob-

ciete do zbioru Y jest łaczne, to działanie jest łaczne takze w zbiorze X .b) Jezeli kazdy element zdał test Light’a, to działanie jest łaczne.c) Jezeli kazdy element zbioru X jest iloczynem elementów z pewnego podzbioru Y ⊂ X i kazdy element

zbioru Y zdaje test Light’a, to takze kazdy element X zdaje test Light’a.

Zadanie 7. Wykazac, ze jezeli działanie jest łaczne, to dla dowolnych liczb naturalnych n i m (lub natural-nych z zerem, jezeli działanie posiada element neutralny):

a) xn xm = xm+n ,b) (xn)m = xnm ,

c) x y = y x =⇒ (x y)n = xn yn ,d) x j xi = xi x j , to (x1 . . . xk )n = xn

1 . . . xnk .

Zapisac powyzsze wzory w notacji addytywnej. Dlaczego działanie musi byc łaczne?

Zadanie 8. Niech (X ,◦) bedzie struktura algebraiczna w którym (a◦b)◦b = a i b◦(b◦a) = a, dla dowolnycha,b ∈ X . Udowodnic, ze działanie ◦ jest przemienne. Czy takie działanie moze posiadac element neutralny?Podac przykład takiej struktury.

Zadanie 9. Podac tabelke działania gry „Kamien, nozyce, papier”. Jakie sa własnosci tego działania?

14 Zamiast wstepu

Zadanie 10. Korzystajac z testu Light’a sprawdzic czy działania dane tabelkami sa łaczne.

a)

a b c

a b c cb a c cc c c c

b)

a b c

a b c ab b b cc a a b

c)

a b c

a a b cb b c ac c a b

d)

a b c d

a a b a bb a b a bc c d c dd c d c d

e)

a b c d

a a b a bb b a d cc a b c dd d c d c

f)

a b c d

a a b c db b a d cc c d c dd d c d c

Czy działania sa przemienne? Czy posiadaja elementy neutralne? Jezeli istnieja, podac elementy odwrotne.

Zadanie 11. Niech X bedzie zbiorem z działaniem. Element a nazywamy łacznym jezeli dla dowolnychb,c ∈ A zachodzi równosc a(bc) = (ab)c. Udowodnic, ze iloczyn elementów łacznych jest elementem łacz-nym.

Zadanie 12. Niech X bedzie zbiorem z działaniem. Element a nazywamy przemiennym, jezeli dla dowol-nego b ∈ A zachodzi równosc ab = ba. Udowodnic, ze iloczyn elementów przemiennych jest elementemprzemiennym.

Zadanie 13. Zbadac własnosci działania składania odwzorowan w zbiorze S(X ), zbiorze M ap(X ), zbiorzeMap({a,b}), zbiorze odwzorowan liniowych, zbiorze funkcji k-krotnie rózniczkowalnych i zbiorze home-omorfizmów,

Zadanie 14. Niech (K,∗) bedzie zbiorem z działaniem. Zbadac własnosci działania f~g w zbiorze M at (X ,K)w zaleznosci od własnosci działania ∗.

Zadanie 15. Zbadac jakie sa własnosci działan arytmetycznych (dodawania, mnozenia, odejmowania idzielenia) w zbiorach liczbowych:N,N0, Z,Q, IQ, R, C

Zadanie 16. Zbadac jakie sa własnosci dodawania liczb i mnozenia liczb w zbiorze

nZ= {nk : k ∈ n}, n ≥ 0.

Z tym zbiorem spotkamy sie jeszcze nie raz.

Zadanie 17. Czy iloczyn skalarny wektorów jest działaniem?

Zadanie 18. Sprawdzic, ze iloczyn wektorowy w R3 jest działaniem. Jakie sa własnosci tego działania?

Zadanie 19. W którym ze zbiorów {0}, {0,1}, {−1,0,1}, N, Z wzór a ◦b = a2 −b2 okresla działanie? Jakie sajego własnosci?

Zadanie 20. Czy ponizsze wzory okreslaja działania w zbiorach liczbowych? Jakie sa ich własnosci?a)

pa +b

b) sin(a +b)c) sin(a)sin(b)d) a2 +5be) (a +b)2

f) aba+b

g) ( 3p

a + 3p

b)3

h) 5log5 a·log5 b

i) log5(5a +5b)j) a

b + ba

k) a2 +b2

l) a +b −ab

m) a +b +abn) a −bo) −a −bp) a +b +1q) a + (−1)abr) a2 −b2

15

Zadanie 21. Okreslic własnosci działana) w zbiorze liczb naturalnych z zerem

a�b = NWD(a,b), a4b = NWW(a,b)

b) w zbiorze liczb naturalnych

x�y = x y , x4y = x y

c) w zbiorze liczb naturalnych z zerem

x�y = x + y +1, x4y = x y +x + y

d) w zbiorze liczb rzeczywistych i w zbiorze [4,5]

x ∧ y = min(x, y), x ∨ y = max(a,b)

Zadanie 22. W zbiorze liczb całkowitych okreslamy działania:a) x ⊕1 y = 2x − y ,b) x ⊕2 y = x + y +x2 y ,c) x ⊕3 y = x + y +x2 y2 +x y3,d) x ⊕4 y = x,e) x ⊕5 y = 2x y ,

f ) x ⊕6 y = x + y +x y ,g) x ⊕7 y = x + y ,h) x ⊕8 y = x y −1,i) x ⊕9 y = x + y +x2 y2,j) x ⊕10 y = x + y +x2 y +x y2,

Okreslic własnosci tych działan.

Zadanie 23. Okreslic własnosci działania a ∗b = a+b2 okreslonego w zbiorze liczb wymiernych.

Zadanie 24. Zbadac własnosci działania dodawania modulo i mnozenia modulo w zbiorach Zn i Z∗n .

Zadanie 25. Niech A bedzie zbiorem. Okreslic własnosci nastepujacych działan w zbiorze X =P (A)a) suma zbiorów ∪,b) iloczyn zbiorów ∩,c) róznica zbiorów \,

d) dopełnienie do zbioru X ,e) róznica symetryczna zbiorów

A÷B = (A \ B)∪ (B \ A).

Zadanie 26. Niech A bedzie zbiorem nieskonczonym i niech a0 ∈ A. Czy w zbiorze A mozna okreslic dzia-łanie w taki sposób, aby kazdy element zbioru A \ {a0} miał nieskonczenie wiele elementów odwrotnych?

Zadanie 27. Dla jakich k, l ,m działanie a◦b = ka+lb+m okreslone w zbiorze liczbowym jest przemienne,łaczne i posiada element neutralny. Jak wygladaja elementy odwrotne?

Zadanie 28. Zadac własnosci działania (a,b)◦ (c,d) = (ac, ad +b) okreslonego na zbiorze R∗×R∗.

Zadanie 29. Zbadac własnosci dodawania i mnozenia macierzy.w zbiorach M(m×n,K), M(n,K), Gl (n,K),Sl (n,K), gdzieK jest zbiorem liczbowym.

Zadanie 30. Zbadac własnosci dodawania i mnozenia macierzy w zbiorze:

{A = [ai j ] ∈ M(n,R) :n∑

j=1ai j = 0}

Zadanie 31. Zbadac własnosci dodawania i mnozenia macierzy w zbiorach:

A ={[

a b0 0

]: a,b ∈R

}, B =

{[a 0b 0

]: a,b ∈R

}, C =

{[a 00 0

]: a,b ∈R

}

Zadanie 32. Podac przykład macierzy A,B ∈ M(2,R) takich, ze AB 6= B A. Czy dla wszystkich takich macie-rzy zachodzi (AB)2 6= A2B 2?

16 Zamiast wstepu

Zadanie 33. Rozszerzyc definicje dodawania i mnozenia macierzy na zbiór M(m×n,Zk ). Utworzyc tabelkidziałan w zbiorach M(2,Z2) i Gl (2,Z2).

Zadanie 34. Wykazac, ze jezeli działanie w X jest łaczne (przemienne, posiada element neutralny), to dzia-łanie mnozenia podzbiorów jest łaczne (przemienne, posiada element neutralny). Jak wygladaja elementyodwrotne?

Zadanie 35. Wykazac, ze dla dowolnych zbiorów A,B , Ai ,B j(⋃i∈I

Ai

)B = ⋃

i∈I(Ai B) oraz A

( ⋃j∈J

B j

)= ⋃

j∈J(AB j )

Zadanie 36. Wykazac, ze zbiór X z działaniem danym wzorem x ◦ y = x jest półgrupa. Jakie sa inne własno-sci tego działania? Jakie sa własnosci działania x ◦ y = y?

Zadanie 37. Wykazac, ze kazda półgrupa moze byc rozszerzona do monoidu przez dołaczenie elementuneutralnego.

Zadanie 38. W monoidzie przemiennym M wybieramy dowolny element t i definiujemy nowe działaniea ◦b = atb. Wykazac, ze (M ,◦) jest półgrupa, która jest monoidem wtedy i tylko wtedy, gdy element t jestelementem odwracalnym.

Zadanie 39. Niech X bedzie zbiorem. W zbiorze X × X okreslamy działanie wzorem (a,b) ◦ (c,d) = (a,d).Zbadac własnosci tego działania.

Zadanie 40. Wykazac, ze odwzorowanie ϕ : (P (X ),∩) → (P (X ),∪) dane wzorem ϕ(A) = A′ jest bijekcja ispełnia własnosc ϕ(A∩B) =ϕ(A)∪ϕ(B).

11111 1 1 1 1 1 1 1 1

Teoria grup

W tym rozdziale zajmiemy sie teoria grup, czyli teoria badajaca zbiory z jednym działaniem, które jestłaczne, posiada element neutralny i w którym kazdy element posiada element odwrotny. Grupy opisuja sy-metrie w fizyce (poprzez wazne twierdzenie Noether), geometrie przestrzeni euklidesowych i nieeuklideso-wych. Badanie specjalnych grup pozwala stwierdzic czy istnieja wzory na pierwiastki wielomianów, a takzepozwala rozwiazac klasyczne problemy starozytnosci, np.: podwojenie szescianu. Waznym zastosowaniemteorii grup sa tzw. grupy krystalograficzne w chemii.

Na tym wykładzie skupimy sie na zagadnieniu klasyfikacji grup. To zagadnienie jest problemem trud-nym i wciaz nie rozwiazanym, dlatego ograniczymy sie do klasyfikacji grup skonczonych, o najwyzej 15elementach i niektórych grup wyzszych rzedów.

1.1. Definicja i przykłady

Załózmy, ze G jest niepustym zbiorem i ◦ : G ×G →G jest działaniem w zbiorze G .

Definicja 1.1. Grupa nazywamy pare (G ,◦), jezeli spełnione sa nastepujace aksjomaty:(G1) działanie ◦ jest łaczne,(G2) działanie ◦ posiada element neutralny,(G3) kazdy element posiada element odwrotny.

Jezeli bedziemy chcieli podkreslic, ze działanie w grupie „ma przypominac mnozenie”, to bedziemy sto-sowac notacje multiplikatywna i mówic o grupie multiplikatywnej. Jezeli bedziemy chcieli podkreslic, zedziałanie w grupie „ma przypominac dodawanie”, to bedziemy uzywac notacji addytywnej i mówic o grupieaddytywnej.

Zwrot niech G bedzie grupa, bedziemy rozumiec nastepujaco: G jest grupa multiplikatywna z działa-niem oznaczonym symbolem · (kropka), który to symbol tzn.: zamiast a ·b bedziemy pisac po prostu ab.Tam, gdzie nie bedzie to prowadziło do nieporozumien bedziemy takze utozsamiac grupe ze zbiorem jejelementów.

W przypadku elementu neutralnego, jezeli bedziemy chcieli podkreslic o jaka grupe nam chodzi, tobedziemy stosowac oznaczenia: eG , eH , 1G , 1H , 0G , 0H itp.

Uwaga: Na koncu tego podrozdziału podajemy liste grup, z którymi bedziemy sie spotykac na tym wykła-dzie. Zanim przejdziemy dalej, Czytelnik powinien zapoznac sie z umieszczonymi tam przykładami.

Jednym z zadan teorii grup jest badanie tego, jak zbudowane sa grupy i podanie własnosci, które pozwa-laja rozróznic dwie grupy. Najprostsze własnosci jakie mozna przypisac grupie to: liczba jej elementów i czydziałanie w tej grupie jest przemienne.

18 Rozdział 1. Teoria grup

Definicja 1.2. Liczbe elementów grupy G nazywamy rzedem grupy i oznaczamy przez |G|. Grupe nazy-wamy skonczona, jezeli ma skonczony rzad. Mówimy wtedy o grupie rzedu |G|. W przeciwnym wypadku,grupe nazywamy nieskonczona.

Definicja 1.3. Grupe (G ,◦) nazywamy grupa abelowa (lub przemienna), jezeli działanie ◦ jest przemienne.W przeciwnym przypadku grupe bedziemy nazywac nieabelowa (lub nieprzemienna).

Notacje addytywna stosuje sie czasami, aby podkreslic, ze grupa jest abelowa.

Przykład 1.4. Grupy liczbowe tworza grupy nieskonczonego rzedu, przykładem grup rzedu skonczonego sa grupyreszt modulo. Przykładami grup abelowych sa grupy liczbowe, zas nieabelowych - grupy macierzy i grupy bijekcji(grupa symetryczna).

Najprostsze własnosci działania w grupie podaje ponizsze twierdzenie.

Twierdzenie 1.5. Niech G bedzie grupa. Wtedy:a) istnieje dokładnie jeden element neutralny,b) kazdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny,c)

∀a,b∈G

(ab)−1 = b−1a−1,

d)

∀a∈G

(a−1)−1 = a,

e) zachodzi prawo skracania:

∀a,g ,h∈G

ag = ah ∨ g a = ha =⇒ g = h,

f ) dla dowolnych a,b ∈G istnieja jednoznacznie okreslone elementy x, y ∈G takie, ze

ax = b ∧ y a = b.

Pytanie 8: Jak wygladaja powyzsze własnosci w przypadku addytywnym?

Dowód.a) Załózmy, ze e i e ′ sa elementami neutralnymi. Wtedy e ′ = e ′e = e.b) Niech x, y beda elementami odwrotnymi do elementu a. Wtedy x = xe = x(ay) = (xa)y = e y = y .c) Zauwazmy, ze (ab)(b−1a−1) = a(bb−1)a−1 = aea−1 = aa−1 = e.d) Element odwrotny do a−1 to taki element, który w iloczynie z elementem a−1 daje element neutralny.

Ta własnosc ma element a.e) Twierdzenie otrzymujemy mnozac obustronnie równosci przez element a−1.f ) Zauwazmy, ze elementy x = a−1b i y = ba−1 maja zadana własnosc. Dla dowodu jednoznacznosci

wystarczy zauwazyc, ze x = a−1(ax) = a−1b oraz y = (y a)a−1 = ba−1.

Zauwazmy, ze prawo skracania jest dobrze znana procedura mnozenia obu stron równosci przez element odwrot-ny, czyli dzielenia równosci stronami przez a (lub odejmowania stronami w przypadku addytywnym). Jako wniosekz punktu f) otrzymujemy ciekawa obserwacje.

Fakt 1.6. Tablica Cayley’a grupy jest kwadratem łacinskim, to znaczy w kazdym wierszu i w kazdej kolumnie danyelement wystepuje dokładnie raz.

Ta własnosc przysługuje kazdemu działaniu dla którego prawdziwy jest punkt f), czyli tzw.quasigrupom.

1.1 Definicja i przykłady 19

Wniosek 1.7.(x1x2 . . . xn)−1 = x−1

n . . . x−12 x−1

1

Przypomnijmy, ze łacznosc działania implikuje, ze wszystkie iloczyny elementów x1, x2, . . . , xn (zapisa-nych w tej kolejnosci) sa równe. W szczególnosci, pozwala okreslic potege o wykładniku naturalnym. Wgrupach mozemy definicje potegi rozszerzyc na dowolne wykładniki całkowite.

Definicja 1.8. Niech G bedzie grupa i niech n ∈Z. n-ta potege elementu a ∈G definiujemy nastepujacoa) a0 = e,b) jezeli n > 0, an = a · . . . ·a,c) jezeli n < 0, an = a−1 · . . . ·a−1.

Własnosci potegowania w grupach sa taki same jak te znane z matematyki elementarnej.

Fakt 1.9. Dla dowolnych a,b ∈G , m,n ∈Z zachodzi:a) a0 = e, a1 = a,b) an am = am+n ,

c) (an)m = anm ,d) (an)−1 = a−n = (a−1)n .

e) ab = ba =⇒ (ab)n = anbn .

Wniosek 1.10. W kazdej grupie skonczonego rzedu, odwrotnosc elementu jest dodatnia potega tego ele-mentu.

Dowód. Poniewaz, |G| <∞, wiec potegi an nie moga byc wszystkie rózne. Zatem dla pewnego m < N , xn =xm . Stad xn−m = e, xxn−m−1 = e oraz x−1 = xn−m−1xn−m = x2(n−m)−1.

Pytanie 9: Jak brzmia powyzsze własnosci w przypadku addytywnym?

1.1.1. Rzad elementu

Jak wiemy, zadna naturalna potega liczby rzeczywistej róznej od ±1 nie jest równa 1. Jak łatwo sie prze-konac, istnieja macierze, których odpowiednio duza potega jest macierza jednostkowa. W zbiorze reszt od-powiednio duza potega (lub wielokrotnosc) kazdego elementu jest równa elementowi neutralnemu. Powyz-sze obserwacje motywuja nastepujaca definicje.

Definicja 1.11. Najmniejsza liczbe naturalna n taka, ze an = e nazywamy rzedem elementu a. Jezeli takaliczba nie istnieje, to mówimy, ze a ma rzad nieskonczony. Rzad elementu oznaczamy symbolem rz a.

Jezeli element ma skonczony rzad to nazywamy go elementem skonczonego rzedu lub elementem tor-syjnym. W przeciwnym przypadku mówimy, ze element ma rzad nieskonczony i piszemy rz a =∞. Zbiórelementów skonczonego rzedu oznaczamy TorG .

Przykład 1.12. Rzad liczby 1 jest równy 1 w grupach liczbowych multyplikatywnych i nieskonczonosc w grupachaddytywnych.

Przykład 1.13. W grupie Z8 mamy rz 0 = 1, rz 1 = rz 3 = rz 5 = rz 7 = 8 oraz rz 2 = rz 4 = rz 6 = 4.

Przykład 1.14. Bezposredni rachunek pokazuje, ze rzad macierzy

[1 1−1 0

]jest równy 6.

Przykład 1.15. Rzad cyklu σ = (i1 i2 . . . ik ) ∈ Sn długosci k wynosi k. Poniewaz dla dowolnego m, σ(im) = im+1, wiecσk (im) = im , czyli σk = e. Z drugiej strony, gdyby σ j = e, dla j < k, to σ nie byłaby cyklem długosci k.

Twierdzenie 1.16. Niech G bedzie grupa. Niech rz a = n <∞, wtedy:a) elementy e = a1, . . . , an−1, an = e sa parami rózne,

b) ak = e ⇐⇒ n|k, an = e 6; rz a = n


c) rz ak = m, gdzie m = nNWD(k,n) .

Dowód.a) Poniewaz, rz a = n, wiec an = e i ak 6= e, dla kazdego k < n. Gdyby am = ak dla pewnych m 6= k, to

wtedy e = am a−k = am−k . Stad rz a ≤ m −k < n. Sprzecznosc.b) Niech k = qn+r , 0 ≤ r < n (dzielenie z reszta). Wtedy e = ak = anq+r = (an)q ar = ar i stad rz a ≤ r < n.

Sprzecznosc.c) Niech d = NWD(k,n), n = dm i k = dr . Wtedy (ak )m = (adr )m = (adm)r = (an)r = e. Zatem rz ak |m.

Jezeli rz ak = s, to e = (ak )s = aks . Wiec n|ks, czyli dm|dr s i stad m|r s. Poniewaz d jest NWD, wiecm i r sa wzglednie pierwsze, czyli m|s. Ostatecznie m = s.

Pytanie 10: Czy punkt a) jest prawdziwy, gdy rz a =∞?

Wniosek 1.17.rz a ≤ |G|

Jak sie przekonamy wystepowanie (badz ich brak) elementów okreslonych rzedów pozwala rozrózniacgrupy tych samych rzedów. Wyprzedzajac wykład (por. 1.5) podajmy nastepujacy fakt, Czytelnik moze jed-nak juz teraz zastanowic sie nad odpowiednim argumentem.

Fakt 1.18. Jezeli |G| <∞, to a|G| = e. W szczególnosci: kazdy element grupy skonczonej jest torsyjny.

Podane wyzej przykłady pokazuja, ze grupa nieskonczona moze zawierac elementy torsyjne. Co wiecej,okazuje sie, ze w grupie nieskonczonej wszystkie elementy moga byc torsyjne.

Przykład 1.19. Rozpatrzmy zbiór wszystkich pierwiastków zespolonych z jedynki

µ∞ = ⋃n∈N

µn

wraz z działaniem mnozenia liczba zespolonych. Wezmy dwa dowolne elementy a,b ∈ µ∞. Istnieja m,n ∈N takie, zean = 1 i bm = 1, wtedy (ab)mn = 1. Mnozenie liczb zespolonych jest łaczne, 1 ∈ µ∞ oraz a−1 = 1/a ∈ µ∞. Zatem zbiórµ∞ jest grupa. Jak łatwo sprawdzic |µ∞| =∞ oraz Torµ∞ =µ∞.

Twierdzenie 1.20. Niech G bedzie grupa i niech a,b ∈G . Wtedy:a) rz a−1 = rz a, b) rz ab = rzba.

Dowód.a) Załózmy, ze rz a = n <∞. Wtedy (a−1)n = (an)−1 = e. Zatem rz a−1 ≤ rz a. Podobnie otrzymujemy, ze

rz a ≤ rz a−1. Stad rz a = rz a−1. Jezeli rz a = rz a−1 =∞, to twierdzenie jest prawdziwe.b) Załózmy, ze rz ab = n. Zauwazmy, ze

(ba)n = (ba)(ba)b . . . a(ba)bb−1 = b(ab)(ab) . . . (ab)(ab)b−1 = b(ab)nb−1 = e.

Dalej postepujemy tak jak w punkcie poprzednim.

1.1.2. Przykłady grup

Addytywne grupy liczbowe:(Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)

Własnosci dodawania w zbiorach liczbowych zostały omówione w poprzednim rozdziale.


Multiplikatywne grupy liczbowe:(Q∗, ·), (R∗, ·), (C∗, ·)

• Liczby zespolone o module 1:S1 =C1 = {z ∈C : |z| = 1}

• Pierwiastki zespolone z jedynki:

µn = {z ∈C : zn = 1} = {εn ,ε2n , . . . ,εn−1

n } εn = cos2π

n+ isin

2π

n

Własnosci mnozenia w zbiorach liczbowych zostały omówione w poprzednim rozdziale.

Addytywne grupy reszt z dzielenia:(Zn ,+n), n ∈N

Własnosci dodawania modulo n zostały omówione w poprzednim rozdziale.

Multiplikatywne grupy reszt z dzielenia:(Z∗

n , ·n), n ∈NWłasnosci mnozenia modulo n zostały omówione w poprzednim rozdziale.

Addytywne grupy macierzy:(M(n ×m,K),+), n,m ∈N

Własnosci dodawania macierzy zostały omówione w poprzednim rozdziale.

Multiplikatywne grupy macierzy:

(Gl (n,K), ·), (Sl (n,K), ·), n ∈NWłasnosci mnozenia macierzy zostały omówione w poprzednim rozdziale.

Grupa czwórkowa Kleina: Zbiór V4 = {e, a,b, ab} z działaniem danym tabelka:

e a b ab

e e a b aba a e ab bb b ab e a

ab ab b a e

Zauwazmy, ze a2 = e, b2 = e oraz (ab)2 = e. Grupa ta moze byc otrzymana jako grupa izometrii prostokata.

Grupa kwaternionów jednostkowych: Zbiór Q8 = {±e,±i ,± j ,±k} z działaniem danym tabelka:

e −e i −i j − j k −k

e e −e i −i j − j k −k−e −e e −i i − j j −k ki i −i −e e k −k − j j−i −i i e −e −k k j − jj j − j −k k −e e i −i− j − j j k −k e −e −i ik k −k j − j −i i −e e−k −k k − j j i −i e −e


Łatwo zauwazyc, ze w Q8 spełnione sa tozsamosci:

i 2 = j 2 = k2 =−e oraz i j = k, j k = i ,ki = j , j i =−k,k j =− j , i k =− j .

Nazwa grupy jest uzasadniona faktem, ze jest to podzbiór zbioru kwaternionów H. Grupa Q8 jest przykła-dem grupy dicyklicznej, która opiszemy omawiajac generatory grupy (patrz 1.4).

Grupa bijekcji zbioru X

(S(X ),◦)

Własnosci działania ◦ zostały omówione w poprzednim rozdziale.

Nastepne dwa przykłady, czyli grupa dihedralna Dn i symetryczna Sn , sa szczególnymi przypadkami grup bijekcji.

Grupa dihedralna Dn

Grupa dihedralna jest szczególnym przypadkiem grupy S(X ), gdy X jest n-katem foremnym. Rozpa-trywane odwzorowania sa izometriami n-kata X . Przyjmujemy, ze n ≥ 3, srodek wielokata pokrywa sie zesrodkiem układu współrzednych, zas jeden z wierzchołków lezy na dodatniej półosi Ox. Poniewaz kazdedwa n-katy foremne sa przystajace wiec zbiory izometrii róznych wielokatów mogabyc zawsze przetłuma-czone na opisany wyzej zbiór. W tym sensie Dn jest grupa izometrii dowolnego n-kata foremnego.

X posiada srodek symetrii i n osi symetrii. Zbiór Dn składa sie zatem z n symetrii wzgledem kazdej z tychosi symetrii i n obrotów wokół srodka symetrii, kazda o wielokrotnosc kata 2π

n . Grupa Dn nie jest abelowaoraz |Dn | = 2n.

Ponumerujmy wierzchołki X liczbami 0,1, . . . ,n −1 przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Osie syme-trii ponumerujmy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, tak aby os 0 przechodziła przez wierzchołek onumerze 0. Oznaczmy przez si symetrie wzgledem i -tej osi, a przez ri obrót o kat 2πi

n . Wtedy

Dn = {r0,r1, . . . ,rn−1, s0, s1, . . . , sn−1}.

Elementem neutralnym jest r0. Wygodnie jest zdefiniowac ri , si dla wszystkich liczb całkowitych przyjmu-jac, ze ri+n = ri oraz si+n = si . Łatwo sprawdzic, ze

r j si

ri ri+ j si+ j

s j si− j ri− j

Pełna tabelke działania w grupie Dn mozna otrzymac korzystajac z podanej wyzej tabelki.Inny (równowazny!) sposób opisania grupy wyglada nastepujaco.Jezeli oznaczymy przez x obrót o kat

2πn , a przez y symetrie wzgledem osi Ox, to kazdy element grupy Dn jest iloczynem elementów x i y . Łatwo

sprawdzic, zea) xn = e, x−1 = xn−1, y2 = e,b) y x = x−1 y ,c) Dn = {e, x, x2, . . . , xn−1, y, x y, . . . , xn−1 y}.Nie podajemy tabelki grupy Dn , gdyz jest ona niewygodna w stosowaniu, znacznie łatwiej jest obliczyc

iloczyn dowolnych elementów korzystajac z podanych własnosci.W oderwaniu od geometrii, definicje grupy Dn mozna rozszerzyc na n = 1,2 wykorzystujac podane wy-

zej własnosci. Pozostawiamy to jako cwiczenie.

Pytanie 11: Jak przetłumaczyc literki r i s na x i y? Jak wygladaja tabelki dla n = 1,2,3,4?


Grupa symetryczna Sn

Grupa opisana w tym przykładzie jest specjalnym przypadkiem grupy S(X ), gdy X jest zbiorem skon-czonym.

Definicja 1.21. Grupe wszystkich bijekcji zbioru X = {1,2,3, . . . ,n} z działaniem składania przekształcenoznaczamy przez Sn i nazywamy grupa symetryczna.

Grupe Sn mozna takze rozumiec jako grupe bijekcji dowolnego zbioru n-elementowego poniewaz na-tura jego elementów nie jest istotna. Elementy grupy Sn nazywamy permutacjami, zwykle oznaczamy je zapomoca symboli σ, τ, π, itd

Permutacjeσ : X → X bedziemy zapisywac w postaci dwuwierszowej bedaca odmiana „szkolnej” tabelkifunkcji:

σ=(

1 2 . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(n)

).

W szczególnosci permutacja identycznosciowa (stała) e(x) = x ma postac: e =(1 2 . . . n1 2 . . . n

).

Mnozenie dwóch elementów (którym jest składanie odwzorowan) w powyzszej notacji odbywa sie zgod-nie ze wzorem:

στ=(

1 2 . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(n)

)(1 2 . . . nτ(1) τ(2) . . . τ(n)

)=

(1 2 . . . n

στ(1) στ(2) . . . στ(n)

),

zas element odwrotny do σ zapisuje sie jako

σ−1 =(σ(1) σ(2) . . . σ(n)

1 2 . . . n

).

Prowadzac obliczenia górny wiersz w powyzszym zapisie mozna, ale nie trzeba uporzadkowac.

Przykład 1.22. Niech σ,τ ∈ S5,

σ=(1 2 3 4 51 4 2 5 3

), τ=

(1 2 3 4 52 3 5 1 4

).

Wtedy (po uporzadkowaniu):

στ=(1 2 3 4 54 2 3 1 5

), σ−1 =

(1 2 3 4 51 3 5 2 4

), τ−1 =

(1 2 3 4 54 1 2 5 3

).

Zapis w postaci dwuwierszowej jest kłopotliwy w stosowaniu, dlatego wprowadzimy zapis w postaciiloczynu cykli. Nowa notacja jest bardziej zwarta i jednoczesnie podkresla wewnetrzna strukture rozwazanejpermutacji.

Definicja 1.23. Element σ ∈ Sn nazywamy cyklem długosci k, jezeli istnieje A = {a1, . . . , ak } taki, ze σ(a1) =a2, . . . ,σ(ak−1) = ak , . . . ,σ(ak ) = a1 oraz σ(x) = x, gdy x ∉ A.

Cykl bedziemy zapisywac w postaci ciagu σ = (a1 a2 . . . ak ), przy czym cykle długosci 1 bedziemy po-mijac w zapisie. Identycznosc bedziemy traktowac jako cykl długosci 1. Cykl długosci 2 nazywamy transpo-zycja. Innymi słowy, transpozycja jest permutacja, która zamienia miejscami tylko dwa wybrane elemen-ty.Kazda permutacje mozna zapisac w postaci iloczynu cykli.


Przykład 1.24. Niech σ,τ ∈ S5,

σ=(1 2 3 4 53 4 1 5 1

), τ=

(1 2 3 4 52 3 5 1 4

)Zapiszemy powyzsze permutacje w postaci cyklu. Zaczynamy od liczby 1 i zapisujemy (1 . Nastepnie patrzymy, zeσ(1) = 3 i zapisujemy (1 3 . W nastepnym bierzemyσ(3) = 1 i poniewaz wrócilismy do poczatku, wiec zamykamy cykl(1 3). Bierzemy nastepna liczbe, której nie uzylismy np.: 2 i piszemy (1 3)(2 . Powtarzajac poprzednie kroki dostajemykolejno (1 3)(2 4 i (1 3)(2 4 5). Ostatecznie σ= (1 3)(2 4 5).

Postepujac podobnie otrzymujemy τ= (1 2 3 5 4).

Zauwazmy, ze zapis w postaci cyklu nie jest jednoznaczny, cykle (1 2 3 5 4), (4 1 2 3 5) i (5 4 1 2 3) itd.,reprezentuja te sama permutacje. Mnozenie permutacji przebiega podobnie jak mnozenie permutacji wpostaci tabelki. Permutacje odwrotna do cyklu σ= (a1 a2 . . . ak ) otrzymujemy przez odwrócenie kolejnosciwyrazów:

σ−1 = (ak ak−1 . . . a1) (oraz równowazne zapisy).

Zilustrujemy to na przykładzie:

Przykład 1.25. Niech σ= (1 4 3), τ= (1 2 3). Obliczymy iloczyny στ i τσ.

Aby otrzymac iloczyn cykli στ zaczynami od 1 i piszemy (1 , nastepnie patrzymy, ze 1τ−→ 2

σ−→ 2, wiec piszemy

(1 2 . Nastepnie, poniewaz 2τ−→ 3

σ−→ 1 piszemy (1 2). Bierzmy kolejna liczbe której nie zapisalismy, np.: 3 i piszemy

(1 2)(3 . Poniewaz 3τ−→ 1

σ−→ 4 i 4τ−→ 4

σ−→ 3 wiec piszemy (1 2)(3 4). Zatem στ = (1 2)(3 4). Postepujac analogicznieotrzymujemy τσ= (1 2 3)(1 4 3) = (1 4)(2 3).

Przykład 1.26. Niech σ=(1 2 3 4 51 4 2 5 3

)= (2 4 5 3), wtedy σ−1 = (3 5 4 2) =

(1 2 3 4 51 3 5 2 4

). Jak łatwo stwierdzic

σ−1 mozna zapisac takze, jako (2 3 5 4), (4 2 3 5) i (5 4 2 3).

Zauwazmy, ze (co oczywiste) mnozenie permutacji nie jest przemienne oraz, ze mnozac permutacje wpostaci cyklu mozemy otrzymac iloczyn cykli.

Definicja 1.27. Cykle (a1 a2 . . . ak ) i (b1 b2 . . .bl ) nazywamy cyklami rozłacznymi, jezeli {a1 a2 . . . ak }∩{b1 b2 . . .bl } =;.

Fakt 1.28. Kazda permutacje mozna przedstawic w postaci iloczynu cykli rozłacznych.

Przykład 1.29.

σ=(1 2 3 4 5 6 7 8 97 2 8 1 4 3 5 6 9

)= (1 7 5 4)(3 8 6)

Fakt 1.30. Mnozenie cykli rozłacznych jest przemienne.

Szczególna role odgrywaja cykle długosci dwa (transpozycje).

Fakt 1.31. Kazdy cykl mozna zapisac w postaci iloczynu transpozycji nastepujaco:

(a1, a2, . . . , ak ) = (a1, ak )(a1, ak−1) . . . (a1, a2)

Wniosek 1.32. Grupa Sn jest generowana przez wszystkie transpozycje.

Rozkład na iloczyn transpozycji nie jest jednoznaczny. Jednak parzystosc liczby transpozycji w takimrozkładzie nie zalezy od rozkładu, a wyłacznie od permutacji.

Fakt 1.33. Jezeli σ=σ1 . . .σr = τ1 . . .τs , gdzie σi , τi sa transpozycjami, to r = s.

Definicja 1.34. Permutacje σ ∈ Sn nazywamy permutacja parzysta (nieparzysta jezeli w rozkładzie na ilo-czyn cykli wystepuje parzysta (nieparzysta) liczba transpozycji.

1.2 Homomorfizmy grup 25

Fakt 1.35. Permutacje parzyste tworza podgrupe grupy Sn .

Grupe permutacji parzystych oznaczamy An i nazywamy grupa alternujaca. Zauwazmy, ze |Sn | = n! i|An | = 1

2 n!. Czytelnik sprawdzi, ze permutacje nieparzyste nie tworza grupy.

Fakt 1.36. Grupa An jest generowana przez cykle długosci 3.

1.2. Homomorfizmy grup

Wprowadzimy teraz naturalna klase odwzorowan pomiedzy grupami – homomorfizmy grup. Sa to od-wzorowania grup ϕ : G →G ′, które zachowuja działanie. Dokładniej mówiac iloczynowi elementów ab ∈Gprzypisuja iloczyn ich obrazów ϕ(a)ϕ(b) ∈G ′.

Definicja 1.37. Niech (G , ·) i (G ′,◦) beda grupami. Odwzorowanie ϕ : G →G ′ nazywamy homomorfizmemgrup, gdy

∀a,b∈G

ϕ(a ·b) =ϕ(a)◦ϕ(b).

Homomorfizm grup nazywamy:– monomorfizmem, jezeli jest funkcja róznowartosciowa,– epimorfizmem, jezeli jest funkcja „na”,– izomorfizmem, jezeli jest bijekcja,– endomorfizmem, jezeli G = H ,– automorfizmem, jezeli jest izomorfizmem i G = H .

Pytanie 12: Jak wyglada powyzsza definicja w notacji addytywnej?

Fakt 1.38.ϕ(a1 · . . . ·an) =ϕ(a1)◦ . . .◦ϕ(an)

Przykład 1.39. Ponizsze funkcje sa homomorfizmami grup:a) ϕ : G →G , ϕ(a) = a (izomorfizm),b) ϕ : Z→Zn , ϕ(x) = (x)n (epimorfizm),c) ϕ : S1 →C∗, ϕ(z) = z (monomorfizm).d) ϕ : Z→G , ϕ(a) = an

e) Na przestrzen liniowa mozemy patrzec jak na grupe wzgledem dodawania wektorów. Odwzorowanie liniowetraktowane jako odwzorowanie tych grup jest homomorfizmem grup.

Fakt 1.40.a) idG : G →G jest homomorfizmem grup.b) Jezeli ϕ : G →G ′ i ψ : G ′ →G ′′ sa homorfizmami grup, to ϕ◦ψ jest homorfizmem grup.

Korzystajac z własnosci bijekcji otrzymujemy natychmiast wazny wniosek.

Wniosek 1.41.a) idG : G →G jest izomorfizmem grup.b) Jezeli ϕ : G →G ′ i ψ : G ′ →G ′′ sa izomorfizmami grup, to ϕ◦ψ jest izomorfizmem grup.c) Jezeli ϕ jest izomorfizmem, to ϕ−1 jest izomorfizmem.

Homomorfizmy pozwalaja porównywac własnosci róznych grup poprzez porównywanie własnosci ele-mentu w dziedzinie z własnosciami ich obrazów. Jezeli jakas własnosc. np.: bycie elementem neutralnym,przysługuje zarówno argumentowi jak i jego obrazowi przy homomorfizmie (mono-, epi- izo-), to mówi-my, ze ta własnosc jest zachowywana przez homomorfizmy (mono-, epi- izo-). Homomorfizmy zachowujaelementy neutralne, odwrotnosci i potegi.


Twierdzenie 1.42. Niech ϕ : G → H bedzie homomorfizmem grup. Wtedy:a) ϕ(eG ) = eH ,b) ϕ(a−1) =ϕ(a)−1,c) ϕ(an) =ϕ(a)n .

Dowód.a) ϕ(eG ) =ϕ(eG aG ) =ϕ(eG )ϕ(eG ) =⇒ eH =ϕ(eG ).b) Zauwazmy, ze ϕ(g )ϕ(g−1) =ϕ(g g−1) =ϕ(eG ) = eH =⇒ ϕ(g−1)ϕ(g )−1.c) Dowód pozostawiamy Czytelnikowi.

Rzad elementu jest przykładem własnosci która nie jest zachowywana przez homomorfizmy.

Twierdzenie 1.43. Niech ϕ : G → H bedzie homomorfizmem grup, to rzϕ(a)|rz a

Dowód.

Niech rz a = n. Poniewaz eH =ϕ(eG ) =ϕ(an) =ϕ(a)n , wiec rzϕ(a)|n.

Przykład 1.44. Niech ϕ : Z9 →Z12, ϕ(k) = 4(k)3. Poniewaz k = k ·1 (potega!), wiec ϕ(k) = kϕ(1) = k ·4. Zauwazmy, ze2 ·4 = 8 i 3 ·4 = 0, wiec rzZ12 4 = 3. Podobnie rzZ12 8 = 3. Stad

ϕ(0) =ϕ(3) =ϕ(6) = 0, ϕ(1) =ϕ(4) =ϕ(7) = 8, ϕ(2) =ϕ(5) =ϕ(8) = 4

Z drugiej strony np.: rzZ9 2 = 9, rzZ9 3 = 3 itd...

Przykład 1.45. Niech ϕ : Z→Zn , ϕ(k) = (k)n . Wtedy rzZ a =∞, a 6= 0 oraz rzZn ϕ(a) ≤ n <∞.

Jak łatwo sie przekonac, tabelki niektórych grup sa do siebie podobne. Jedyna widoczna róznica jestsposób w jaki oznaczamy elementy. Taka sytuacja zachodzi na przykład dla grup D3 i S3 albo dla Z4 i µ4.

Brzytwa Ockhama w działaniu

Aby nie zwiekszac w nieskonczonosc róznych opisów podobnych do sie-bie grup, wprowadza sie relacje, która pozwala nie zwracac uwagi na róz-nice wynikajace z natury elementów grupy, a skupic sie tylko na własno-sciach działania w zbiorze.

Definicja 1.46. Mówimy, ze grupy G i H sa izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm grupy G na grupe H . Fakt,ze grupy sa izomorficzne oznaczamy przez G ' H .

Fakt 1.47. Relacja ' jest relacja równowaznosci w klasie wszystkich grup.

Grupy izomorficzne traktujemy jako identyczne i utozsamiamy ze soba. Algebra abstrakcyjna bada gru-py (i inne struktury algebraiczne) jako obiekty abstrakcyjne, nie zwracajac uwagi na ich nature. Przykłademtakiego podejscia jest grupa dihedralna, gdyz formalnie rzecz biorac, dla kazdego n-kata istnieje jego własnagrupa dihedralna (jak to? dlaczego?) jednak wszystkie one sa izomorficzne. Podobnie jest z innymi grupamipochdzacymi z geometri, grupa V4, grupa permutacji itp.

Jednym z problemów teorii grup jest zagadnienie klasyfikacji grup z dokładnoscia do izomorfizmu.Aby stwierdzic, ze dwie grupy sa izomorficzne nalezy podac wzór na izomorfizm lub przepis na jego okre-slenie (por. ??). Najczesciej jest to zadanie trudne i jako takie nie jest rozwiazane. Z drugiej strony, aby stwier-dzic, ze dwie grupy nie sa izomorficzne wystarczy znalezc własnosc (niezmiennik izomorfizmów grup), któ-ra przysługuje jednej z grup i nie przysługuje drugiej. To zadanie takze nie nalezy do łatwych.

Przykład 1.48. Odwzorowanie ϕ : D3 → S3 dane tabelka:

x e x x2 y x y x2 yϕ(x) e (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)

jest izomorfizmem grup D3 i S3.

1.3 Podgrupy 27

Przykład 1.49. Grupa Q8 jest izomorficzna z pewna grupa macierzy zawarta w zbiorze Gl (2,C). Izomorfizm Q8 →Gl (2,C) jest zdefiniowany nastepujaco

±e 7→ ±[

1 00 1

], ±i 7→ ±

[i 00 −i

], ± j 7→ ±

[0 1−1 0

], ±k 7→ ±

[0 ii 0

]Przykład 1.50. Niech n < k. Odwzorowanie ϕ : Sn → Sk(

1 2 . . . nσ(1) σ(2) . . . σ(n)

)7→

(1 2 . . . n n +1 . . . k

σ(1) σ(2) . . . σ(n) n +1 . . . k

)jest monomorfizmem (por. 1.3) czyli jest izomorfizmem na obraz.

Najprostsza klasyfikacja grup polega na podzieleniu ich na klasy ze wzgledu na rzad. Poniewaz izomor-fizm jest bijekcja, wiec grupy o róznych rzedach nie moga byc izomorficzne. Druga własnoscia, pozwalajacarozrózniac grupy jest przemiennosc działania. Zauwazmy, ze dla dwóch dowolnych elementów a′,b′ ∈G ′, zrównosci ϕ−1(a′)ϕ−1(b′) =ϕ−1(b′)ϕ−1(a′) wynika, ze a′b′ = b′a′. Mamy zatem:

Fakt 1.51. Jezeli G 'G ′, to wtedy:a) |G| = |G ′|,b) G jest abelowa ⇐⇒ G ′ jest abelowa.

Przykład 1.52. Grupy Zn , Zm , n 6= m nie sa izomorficzne, bo maja rózne rzedy.

Przykład 1.53. Grupy Z6 i S3 nie sa izomorficzne, bo Z6 jest abelowa, a S3 nie jest abelowa.

Kolejny niezmiennik opiera sie na fakcie, ze odpowiadajace sobie elementy izomorficznych grup majatakie same własnosci.

Fakt 1.54. Jezeli ϕ : G →G ′ jest izomorfizmem, to dla kazdego a ∈G zachodzi rz a = rzϕ(a).

Wniosek 1.55. Liczba elementów ustalonego rzedu w grupach izomorficznych jest taka sama.

Przykład 1.56. Grupy Z4 i V4 sa abelowe i maja rzad 4. Nie sa jednak izomorficzne. Zauwazmy, ze w grupie Z4 istniejeelement rzedu 4, zas w grupie V4 wszystkie elementy maja rzad 2.

1.3. Podgrupy

Analizujac poznane dotychczas przykłady grup mozna zauwazyc, ze niektóre z nich maja takie samodziałanie, a zbiory elementów zawieraja sie w sobie, np.: (Z,+) i (R,+). Naturalne zatem wydaje sie myslenieo takich grupach nie jako o zupełnie niezaleznych obiektach, lecz wprowadzenie miedzy nimi jakiejs relacji.

Definicja 1.57. Niech G bedzie grupa. Niepusty podzbiór H zbioru G nazywamy podgrupa grupy G , jezeli:a) działanie jest zamkniete w zbiorze H , tzn.:

∀a,b∈H

ab ∈ H ,

b) operacja brania elementu odwrotnego jest zamknieta w zbiorze H , tzn.:

∀a∈H

a−1 ∈ H .

Fakt, ze H jest podgrupa grupy G bedziemy oznaczac H <G .


Łatwo sprawdzic, ze dla dowolnej grupy G zbiory G i {e} sa podgrupami. Podgrupy te bedziemy nazywacpodgrupami niewłasciwymi. Podgrupe rózna od G i {e} bedziemy nazywac podgrupa własciwa. Podgrupe{e} bedziemy nazywac podgrupa trywialna. Czasami mówi sie, ze H dziedziczy strukture grupy z G . Za-uwazmy, ze relacja bycia podgrupa jest przechodnia.

Fakt 1.58. Jezeli F < H i H <G , to F <G .

Przykład 1.59.a) addytywne grupy liczbowe: nZ<Z<Q<R<C,b) multiplikatywne grupy liczbowe:Q∗ <R∗ <C∗,c) µn < S1 <C∗,d) Sl (n,K) <Gl (n,K).

Uwaga!N 6<ZPrzykład 1.60. Grupe Sn mozemy traktowac jako podgrupe grupy Sk dla kazdego k > n. Wystarczy przyjac, ze per-mutacja σ ∈ Sn , jest identycznoscia na zbiorze {n +1, . . .k}.

Z drugiej strony, w poprzednim podrozdziale widzielismy, ze grupa Sn jest izomorficzna z pewna podgrupa Sk ,czyli permutacji, które sa identycznoscia na zbiorze {n +1, . . .k}.

Przykład 1.61. Dla dowolnego elementu, zbiór jego poteg tworzy podgrupe (por. 1.4). Czytelnik poda przykłady.

Wprost z definicji otrzymujemy dwa proste fakty.

Fakt 1.62. H <G =⇒ eG ∈ H

Fakt 1.63. H <G ⇐⇒ H 6= ;∧∀a,b∈H ab−1 ∈ H

Dowód. Wynikanie =⇒ jest oczywiste. Załózmy, ze x, y ∈ H =⇒ x y−1 ∈ H . Wtedy eG = xx−1 ∈ H , x−1 =ex−1 ∈ H oraz x y = x(y−1)−1 ∈ H .

W danej grupie nie ma zatem podgrup rozłacznych, gdyz wszystkie podgrupy maja przynajmniej jedenwspólny element. Wykorzystamy ten fakt w nasteþnym podrozdziale.

Warunek ab ∈ H oznacza, ze działanie z grupy G jest działaniem w zbiorze H , jest ono oczywiscie łaczne,posiada element neutralny eH = eG i kazdy element H posiada element odwrotny - ten sam co w G . ZatemH jest grupa.

Fakt 1.64. Ponizsze warunki sa równowazne:a) H <G ,b) H z działaniem z grupy G obcietym do zbioru H jest grupa,

Spełnienie tylko warunku ab ∈ H nie wystarcza w ogólnosci, aby zbiór H był podgrupa. Musi byc onzamkniety takze ze wzgledu na operacje −1.

Przykład 1.65. W grupie (Z,+) dla dowlnych a,b ∈Nmamy ab ∈N, jednak jezeli a ∈N, to −a 6∈N.

Fakt 1.66. Jezeli H jest niepustym skonczonym podzbiorem grupy G , w którym działanie jest zamkniete, toH jest podgrupa grupy G .

Dowód. Niech x, y ∈ H . Poniewaz zbiór H jest skonczony, wiec y−1 = yn dla pewnego n > 0. Zatem x y−1 =x yn ∈ H , czyli H <G . Jezeli H <G , to oczywiscie działanie jest zamkniete w zbiorze H .

W szczególnosci, w grupach skonczonych an to aby zbiór był podgrupa potrzeba i wystarcza, aby dzia-łanie było zamkniete w tym zbiorze.

Fakt 1.67. Jezeli G jest abelowa, to TorG <G .

1.3 Podgrupy 29

Dowód. Niech a,b ∈ TorG . Poniewaz rz a = rz a−1, wiec a−1 ∈ TorG . Jezeli rz a = n i rzb = k, to (ab)nk =ank bnk = (an)k (bk )n = e. Zatem ab ∈ TorG .

Pytanie 13: Czy załozenie o przemiennosci grupy mozna opuscic?

1.3.1. Podgrupy i homomofizmy

Zbadamy teraz jak zachowuja sie podgrupy przy homomorfizmach.

Twierdzenie 1.68. Niech ϕ : G →G ′ bedzie homomorfizmem grup, wtedy:a) jezeli H <G , to ϕ(H) <G ′,b) jezeli H ′ <G ′, to ϕ−1(H ′) <G .

Dowód.a) Niech x, y ∈ϕ(H). Wtedy istnieja a,b ∈ H takie, ze x =ϕ(a) i y =ϕ(b). Zauwazmy, ze x y−1 =ϕ(a)ϕ(b)−1 =

ϕ(ab−1) ∈ϕ(H), bo ab−1 ∈ H .b) Dowód jest analogiczny do punktu a).

Wniosek 1.69. Ilosc podgrup ustalonego rzedu w grupach izomorficznych jest taka sama.

Jest to takie samo jadro i obrazjak w algebrze liniowej.

Z kazdym homomorfizmem grup ϕ : G → H zwiazane sa dwie waznepodgrupy - przeciwobraz elementu neutralnego i obraz całej grupy.

Definicja 1.70. Zbiór kerϕ = {a ∈ G : ϕ(a) = eH } nazywamy jadrem ho-momorfizmuϕ.

Definicja 1.71. Zbiór imϕ=ϕ(G) nazywamy obrazem homomorfizmuϕ.

Twierdzenie 1.72. Jezeli ϕ : G →G ′ jest homomorfizmem grup, toa) kerϕ<G ,b) imϕ<G ′,

Dowód.a) Niech a,b ∈ kerϕ. Poniewaz ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b) = ee = e, wiec ab ∈ kerϕ.b) Pozostawiamy jako cwiczenie.

Fakt 1.73. Homomorfizm grup ϕ : G → H jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy kerϕ= {e}.

Fakt 1.74. Jezeli kerϕ= {e}, to G 'ℑϕ.

Badanie wewnetrznej struktury grupy: ilosc, rzedy i abelowosc jej podgrup, jest kolejnym sposobem nastwierdzenie czy dane grupy sa izomorficzne.

Przykład 1.75. Niech ϕ : Z4 →Z8, ϕ(k) = 2k. łatwo sprawdzic, ze ϕ jest monomorfizmem. Zbiór imϕ= {0,2,4,6)} jestpodgrupa grupy Z8. Zauwazmy, ze H = {0,2} <Z4 oraz ϕ(H) = {0,4} <Z8.

Przykład 1.76. Jak wiemy grupyZ4 i V4 nie sa izomorficzne. Udowodnimy to badajac podgrupy tych grup. Wszystkimipodgrupami grupy Z4 sa:

{0}, {0,2},Z4,

zas grupy V4:{e}, {e, a}, {e,b}, {e, ab},V4.

Gdyby grupy były izomorficzne, to kazda podgrupa rzedu 2 grupy V4 posiadałaby odpowiadajaca jej podgrupe rzedu2 w grupie Z4. Przeczy to jednak róznowartosciowosci, zatem grupy nie sa izomorficzne.


1.3.2. Twierdzenie Cayley’a

Udowodnimy teraz twierdzenie mówiace, ze dla grup skonczonych istnieje grupa „uniwersalna”, zawie-rajaca wszystkie grupy skonczone jako izomorficzne podgrupy.

Lemat 1.77. Niech G bedzie grupa i niech g ∈ G . Odwzorowanie λg : G → G , dane wzorem λg (x) = g x jestbijekcja.

Dowód. Załózmy, ze dla x, y ∈G zachodzi g x =λg (x) =λg (y) = g y . Mnozac stronami przez g−1 otrzymuje-my x = y . Zatem λg jest iniekcja. Poniewaz dla dowolnego y ∈G mamy y = g−1g y = λg (g−1 y), wiec λg jestsurjekcja.

Twierdzenie 1.78 (Cayley). Jezeli G jest grupa rzedu n to G jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy Sn .

Dowód. Załózmy, ze G = {g1, g2, . . . , gn}. Poniewaz dla kazdego g ∈ G odwzorowanie λg jest bijekcja, wieckazdemu elementowi g mozemy przyporzadkowac permutacje jej elementów

λg =(

g1 g2 . . . gn

g1g g2g . . . gn g

).

Udowodnimy, ze odwzorowanie ϕ : G → S(G), ϕ(g ) = λg jest izomorfizmem grupy G na grupe ϕ(G). Za-uwazmy, ze ϕ(G) < S(G) oraz ze ϕ jest odwzorowaniem na ϕ(G).

Niech g ,h ∈G . Poniewaz dla dowolnego x ∈G mamy (λg ◦λh)(x) = λg (λh(x)) = λg (hx) = g hx = λg h(x),wiec odwzorowanie ϕ spełnia warunek ϕ(g h) =ϕ(g )ϕ(h). Zatem ϕ jest homomorfizmem grup.

Odwzorowanieϕ jest monomorfizmem. Zauwazmy, ze równosciϕ(g ) = i d wynika, ze dla kazdego x ∈Gmamy g x =λg (x) =ϕ(g )(x) = x, a stad g = e. Zatem kerϕ= {e}.

Powyzsze twierdzenie mozna uogólnic na grupy dowolnego rzedu. Z uwagi na egzystencjalny charaktertwierdzenia Cayley’a i bogata strukture grupy Sn , powyzszy wynik nie pozwala w łatwy sposób zamienicteorii grup na badanie tylko grupy permutacji. Ma jednak duze znaczenie teoretyczne.

Przykład 1.79. Grupa V4 jest izomorficzna z {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} < S4.

1.4. Zbiór generatorów grupy

Okreslanie grupy przez podanie zbioru jej elementów, a nastepnie tabelki działania jest uciazliwe. Znacz-nie łatwiej jest wyróznic generatory grupy, czyli elementy o tej własnosci, ze kazdy element jest iloczynemgeneratorów. Zrobilismy tak definiujac np.: grupe dihedralna.

Definicja 1.80. Niech X bedzie dowolnym podzbiorem grupy G . Podgrupa generowana przez zbiór X na-zywamy najmniejsza (w sensie inkluzji) podgrupe grupy G zawierajaca zbiór X . Oznaczamy ja przez ⟨X ⟩.

Niech G = ⟨X ⟩. Zbiór X nazywamy zbiorem generatorów grupy G . Jezeli zbiór X jest skonczony, togrupe G nazywamy skonczenie generowana. Dla uproszczenia, zamiast ⟨{a1, a2, . . . , an}⟩ bedziemy pisac⟨a1, a2, . . . , an⟩. Wykazemy teraz, ze grupa ⟨X istnieje.

Lemat 1.81. Przeciecie dowolnej niepustej rodziny podgrup grupy G jest podgrupa grupy G .

Dowód. Niech {Ht }t∈T bedzie niepusta rodzina podgrup grupy G . Zdefiniujmy H = ⋂t∈T Ht . Zbiór H jest

niepusty i zawiera element neutralny. Wezmy dowolne elementy a,b ∈ H . Dla kazdego t ∈ T , a,b ∈ Ht .Poniewaz Ht jest podgrupa, wiec ab−1 ∈ Ht . Stad ab−1 ∈ H . Zatem H jest podgrupa grupy G .

1.4 Zbiór generatorów grupy 31

Wniosek 1.82. Dla dowolnego zbioru X ⊂ G istnieje najmniejsza (w sensie inkluzji) podgrupa zawierajacazbiór X . Jest to iloczyn wszystkich podgrup zawierajacych zbiór X .

Aby wyznaczyc grupa generowana przez zbiór X , wystarczy obliczyc wszystkie iloczyny złozone z wszyst-kich elementów zbioru X i z odwrotnosci tych elementów.

Twierdzenie 1.83. Niech G bedzie grupa i niech X ⊂G . Wtedy:a) X =; =⇒ ⟨X ⟩ = {e},b) X = {x} =⇒ ⟨X ⟩ = {xn : n ∈Z},c) X 6= ; =⇒

⟨X ⟩ = {xε11 . . . xεk

k : x1, . . . , xk ∈ X ,ε1, . . . ,εk ∈ {−1,1},k ∈N}.

Dowód.a) Zbiór pusty jest zawarty w kazdej podgrupie, w szczególnosci w podgrupie trywialnej. Przeciecie do-

wolnej rodziny podgrup zawierajacej podgrupe trywialna, jest podgrupa trywialna.b) Zbiór H = {xn : n ∈ Z} jest podgrupa. Jest oczywiste, ze X ⊂ H . Poniewaz ⟨X ⟩ jest podgrupa, wiec

H ⊂ ⟨X ⟩.c) Zbiór H = {xε1

1 . . . xεk

k : x1, . . . , xk ∈ X ,ε1, . . . ,εk ∈ {−1,1},k ∈ N} jest podgrupa, gdyz xk x−1n ∈ H . Dalsze

rozumowanie jest analogiczne do poprzedniego punktu.

Poniewaz w grupie skonczonej odwrotnosci sa równe potegom o dodatnim wykładniku wiec z powyz-szego twierdzenia otrzymujemy natychmiast ponizszy wniosek.

Wniosek 1.84. Jezeli G jest grupa skonczona, to grupa generowana przez zbiór X składa sie ze wszystkichmozliwych iloczynów elementów zbioru X .

Wniosek 1.85. Rzad elementu jest równy rzedowi podgrupy generowanej przez ten element, tzn.: rz x =|⟨x⟩|.

Dowód. Jezeli rz x = n, to elementy zbioru ⟨x⟩ = {x, x2, . . . , xn = e} sa parami rózne. Zatem |⟨x⟩| = n.

Przykład 1.86. Generatorami grupy Dn sa obrót o kat 2πkn i dowolna symetria.

Przykład 1.87. Jezeli n jest liczba pierwsza to dowolny, niezerowy element grupy Zn generuje cała grupe.

Powyzsze twierdzenie podaje pewna metode znajdywania podgrup grupy skonczonej. Zaczynamy odpodania wszystkich podgrup o jednym generatorze. Podgrupy generowane przez dwa elementy sa gene-rowane przez sume (mnogosciowa) podgrup generowanych przez jeden element. Podgrupy generowaneprzez trzy elementy sa generowane przez sume podgrupy o jednym generatorze i podgrupy o dwóch gene-ratorach itd. Do grup generowanych przez jeden element wrócimy w podrozdziale ??.

Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowej, aby okreslic wartosc homomorfizmu na dowolnym ele-mencie grupy wystarczy podac jego wartosci na generatorach grupy. Wartosci na pozostałych elementachmozna wtedy obliczyc korzystajac z definicji homomorfizmu i przedstawienia elementu za pomoca gene-ratorów.

Nie jest jednak prawda, ze do okreslenia homomorfizmu wystarczy podac wartosci funkcji na generato-rach, nawet jezeli jako obraz generatora wezmiemy generator.

Przykład 1.88. Niech ϕ : Z3 →Z4 bedzie homomorfizmem grup takim, ze ϕ(1) = 1. Wtedy 0 =ϕ(0) =ϕ(1+1+1) = 3.Sprzecznosc.

Przykład 1.89. Ogólniej, jezeli NWD(n,m) = 1, to odwzorowanie ϕ : Zm →Zn jest homomorfizmem tylko, gdy 1 7→ 0.Wynika to z tego, ze obraz grupy Zm jest podgrupa której rzad dzieli m, ale grupa Zn nie zawiera takich podgrupy(patrz 1.5).


1.4.1. Prezentacja grupy

Materiał zawarty w tym podrozdziale nie jest kluczowy dla dalszej czesci wykładu i mozna go pomi-nac, ale mozna go takze przeczytac. Definicje podane nizej nie sa scisłe, dociekliwego Czytelnika odsyłamydo [3, 4]. Zdefiniowana na koncu tego rozdziału grupa dicykliczna, pozwoli nam w ostatnim podrozdzialeuzupełnic liste grup rzedu 12.

Jak wiemy, kazdy element mozna przedstawic w postaci iloczynu generatorów. Informacja o samychgeneratorach nie pozwala jednak w pełni okreslic grupy. Aby to zrobic nalezy jeszcze podac ewentualnerelacje pomiedzy generatorami. Okreslenie grupy za pomoca generatorów i relacji pozwala na abstrakcyjnezdefiniowanie grupy bez odwoływania sie do konkretnego zadania.

Niech G bedzie grupa generowana przez { f1, . . . , fn}. Korzystajac z własnosci potegowania: f si f t

i = f s+ti ,

f 0i = e, mozemy przedstawic dowolny element grupy w postaci:

x = f s1i1

. . . f sk

ik, i j = 1, . . .n, i j 6= i j+1, s j ∈Z

Grupe nazywamy grupa wolna o n-generatorach, jezeli x = e ⇐⇒ s j = 0.Powyzszy zapis nazywamy nieskracalnym, jezeli wszystkie s j 6= 0. Generatory grupy wolnej czesto na-

zywane sa alfabetem, a elementy – słowami. Element neutralny traktujemy jako słowo puste.Ciekawsze przykłady grup uzyskujemy „zabijajac wolnosc” poprzez okreslenie dodatkowych relacji w

grupie. Tłumaczy to nazwe grupy wolnej, jako grupy w której nie ma zadnych relacji pomiedzy generatora-mi.

Prezentacja grupy G nazywamy napis:

⟨ f1, . . . , fn |wi ( f1, . . . , fn) = e⟩,

gdzie f1, . . . , fn sa generatorami grupy G , a wi słowami.Prezentacja grupy zawiera pełna informacje o grupie. Jednak jej odtworzenie jest trudne. Na ogół nie

jest łatwo stwierdzic, czy grupa o danej prezentacji jest skonczona, abelowa, etc.

Przykład 1.90. Rozwazmy grupe G o jednym generatorze x, jedynymi słowami w alfabecie sa xn . Jezeli G jest wolna, tojest izomorficzna z grupaZ. Jezeli nie jest wolna, to jedyna mozliwa relacja jest xn = e (dlaczego?). Grupa o prezentacji⟨x|xn = e⟩ jest izomorficzna z grupa Zn .

Przykład 1.91. Grupa o prezentacji ⟨x, y |x3 = y2 = x y x y = e⟩ jest izomorficzna z grupa D3, jezeli za x przyjmiemyobrót, a za y symetrie. Jest tez oczywiscie izomorficzna z grupa S3. Wystarczy przyjac x = (1 2 3) i y = (1 2).

Inna prezentacja grupy D3 jest ⟨x y |x2 = y2 = (x y)2⟩. Wtedy x i y sa symetriami których osie nie sa prostopadłe.Ogólniej

Dn ' ⟨x, y |x2 = y2 = (x y)n = e⟩Przykład 1.92. Grupa dana prezentacja:

a) ⟨x, y |x2 = e, y2 = e⟩ jest nieskonczona i nieprzemienna,b) ⟨x, y |x y = y x⟩ jest izomorficzna z grupa Z×Z.

Przykład 1.93. Grupa Dicykliczna Di cn : Grupa zadana przez prezentacje

Di cn = ⟨a, x | a2n = 1, x2 = an , x−1ax = a−1⟩.

Innym okresleniem grupy dicyklicznej jest zdefiniowanie jej jako podgrupy kwaternionów jednostkowych (czyli rela-cje takie same jak przy mnozeniu kwaternionów) generowanej przez:

a = e iπ/n = cosπ

n+ i sin

π

nx = j

Grupa ma rzad 4n. Dla n = 2 jest to grupa Q8. Grupa Q12 = Di c3 bedzie wazna w ostatnim podrozdziale.

1.4 Zbiór generatorów grupy 33

Przykład 1.94. Grupe Q8 mozna okreslic przez prezentacje nastepujaco:

⟨a, x | a4 = 1, x2 = a2, x−1ax = a−1⟩,

izomorfizm zadaje przyporzadkowanie:

a 7→ e iπ/2 = cosπ

2+ i sin

π

2= i

x 7→ j

1.4.2. Grupy cykliczne

Zajmiemy sie grupami o najprostszym mozliwie opisie, czyli grupami generowanymi przez jeden ele-ment.

Definicja 1.95. Grupe generowana przez zbiór jednoelementowy nazywamy grupa cykliczna.

Kazdy element grupy cyklicznej jest dodatnia potega generatora. Dokładniej, kazdy element grupy cy-klicznej G = ⟨x⟩ jest postaci xn dla pewnego n ∈Z. Z własnosci potegowania otrzymujemy natychmiast:

Fakt 1.96. Grupa cykliczna jest abelowa.

Przykład 1.97. Grupa (Z,+) jest grupa cykliczna. Wystarczy zauwazyc, ze kazda liczba całkowita jest wielokrotnoscia(czyli potega w zapisie addytywnym) liczby 1. Podobnie, kazda grupa (Zn ,+n) jest cykliczna.

Przykład 1.98. Grupa czwórkowa Kleina jest najprostsza grupa, która nie jest grupa cykliczna. Poniewaz a 6= b i a2 = e,wiec element b nie jest potega elementu a. Zatem a nie generuje grupy. Podobnie pokazujemy, ze elementy b i ab niegeneruja grupy V4.

Wspominalismy, ze jednym z problemów teorii grup jest klasyfikacja grup z dokładnoscia do izomorfi-zmu. Okazuje sie, ze w przypadku grup cyklicznych sytuacja jest szczególnie prosta - rzad grupy klasyfikujegrupy cykliczne.

Twierdzenie 1.99.a) Wszystkie nieskonczone grupy cykliczne sa izomorficzne z grupa (Z,+).b) Wszystkie grupy cykliczne rzedu n sa izomorficzne z grupa (Zn ,+n).

Dowód.a) Niech G = ⟨x⟩ = {xn : n ∈ Z} bedzie nieskonczona grupa cykliczna. Zauwazmy, ze dla n 6= m mamy

xn 6= xm . Zdefiniujmy odwzorowanie ϕ : G →Z wzorem ϕ(xn) = n. Jest to homomorfizm grup ponie-waz, ϕ(xn xm) = ϕ(xn+m) = m +n = ϕ(xn)ϕ(xm). Jest oczywiste, ze ϕ jest epimorfizmem. Z równosciϕ(xm) = 0 wynika, ze m = 0, zatem kerϕ= {e = x0} i ϕ jest takze monomorfizmem.

b) Niech G = ⟨x⟩ = {x, x2, . . . , xn = e} bedzie grupa cykliczna rzedu n. Odwzorowanie ϕ : G →Zn , ϕ(xk ) =k. Dowód, ze jest to izomorfizm pozostawiamy jako cwiczenie.

Wniosek 1.100. Grupy cykliczne sa izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy maja ten sam rzad.

Przykład 1.101. Obroty tworza podgrupe cykliczna grupy Dn izomorficzna z grupa Zn .

Przykład 1.102. Grupa generowana przez cykl długosci n jest izomorficzna z grupa Zn .

Mówiac o grupach cyklicznych wystarczy podac jej rzad. Wszystkie własnosci grupy cyklicznej wynikajaz własnosci potegowania. Dzieki temu wewnetrzna struktura grupy cyklicznej jest bardzo prosta.

Twierdzenie 1.103.


a) Dowolna podgrupa grupy cyklicznej jest grupa cykliczna.b) Jezeli |G| = n < ∞, to dla dowolnego k|n istnieje dokładnie jedna podgrupa rzedu k. Jest to grupa

⟨g n/k .

Dowód.a) Niech G = ⟨g ⟩ i niech H < G . Kazdy element H jest postaci g k dla pewnego k ∈ Z. Jezeli H = {e}, to

H jest grupa cykliczna. Załózmy, ze H 6= {e} i niech n > 0 bedzie najmniejsza liczba taka, ze g n ∈ H .Jezeli h 6= e, to h = g m , dla pewnego m. Zapisujac m = qn + r , 0 ≤ r < n. Wtedy h = g m = g kn+r =(g n)k g r i g r = (g n)−k h ∈ H . Z okreslenia liczby n i nierównosci 0 ≤ r < n wynika, ze r = 0. Zatemm = kn oraz h = g m = (g n)k i ostatecznie H = ⟨g n⟩.

b) Niech G = ⟨x⟩ = {x, x2, . . . , xn = e} bedzie grupa cykliczna rzedu n. Jezeli n = km, to element g m marzad k. Zatem grupa ⟨g m⟩ jest podgrupa rzedu k.Niech H ,F < G beda róznymi podgrupami rzedu k. Sa to oczywiscie grupy cykliczne. Niech H = ⟨h⟩i F = ⟨ f ⟩. Poniewaz podgrupa ⟨h, f ⟩ zawiera grupy H i F wiec jej rzad jest wiekszy niz k. Kazdy ele-ment tej podgrupy mozna zapisac w postaci hi f j . Zauwazmy, ze z abelowosci G wynika, ze (hi f j )k =(hk )i ( f k ) j = e, czyli wszystkie elementy maja rzad k < |⟨h, f ⟩|. Poniewaz grupa ⟨h, f ⟩ nie jest cyklicz-na, wiec takze G nie moze byc cykliczna. Sprzecznosc.

Podkreslmy, ze w przypadku grupy cyklicznej jezeli znamy jej rzad, to wiemy równiez jakie posiada pod-grupy. Jest to sytuacja wyjatkowa. W ogólnym przypadku stwierdzenie czy w danej grupie istnieje podgrupaokreslonego rzedu jest trudne (por. twierdzenia Sylowa).

Przykład 1.104. Wszystkie podgrupy grupyZ sa cykliczne. H <Z jest generowana przez najmniejsza liczbe naturalnazawarta w H (por. dowód powyzszego twierdzenia).

Zauwazmy, ze kazda grupa zawiera jako podgrupy grupy cykliczne, podgrupy generowane przez swojeelementy. Dla grup skonczonych (nieduzego rzedu) mamy łatwy sposób znalezienia wszytkich podgrup.Wystarczy znalezc wszystkie grupy cykliczne. Podgrupy generowane prze dwa elementy sa generowaneprzez sumy podgrup cykliczych itd. Kolejnym ułatwieniem jest twierdzenie Lagrange’a które udowodnimyw nastepnym rozdziale.

W przypadku skonczonych grup abelowych struktura podgrup cyklicznych w pełni opisuje strukturegrupy. Temu zagadnieniu poswiecimy podrozdział ??. Na koniec podajmy jeszcze twierdzenie opisujace ge-neratory grupy cyklicznej.

Twierdzenie 1.105. Niech G = ⟨x⟩ bedzie grupa cykliczna. Wtedy:a) jezeli |G| =∞, to jedynymi generatorami grupy G sa x i x−1,b) jezeli |G| = n <∞, to G = ⟨x⟩ = ⟨xk⟩ ⇐⇒ NWD(n,k) = 1.

Dowód.a) Jezeli xm , |m| > 1 generuje grupe G , to x = (xm)k , dla pewnego k. Ale wtedy 1 = mk. Sprzecznosc.b) Zauwazmy, ze element xk generuje grupe G wtedy i tylko wtedy, gdy rz g k = n. Jak wiemy rz g k =

n ⇐⇒ NWD(n,k) = 1.

Wniosek 1.106. Skonczona grupa cykliczna G ma tyle generatorów (czyli elementów rzedu |G|) ile jest liczbwzglednie pierwszych z |G|.

Uzywajac funkcji Eulera, powyzsze twierdzenie mozna takze wyrazic nastepujaco: Grupa cykliczna GmaΦ(|G|) generatorów.

1.5 Twierdzenie Lagrange’a 35

Fakt 1.107. W grupie cyklicznej rzedu n podgrupa rzedu d , składa sie z tych elementów y , dla którychyd = e.

W podrozdziale 1.7 podamy kolejne informacje o grupach cyklicznych.

1.5. Twierdzenie Lagrange’a

Udowodnimy teraz twierdzenie wiazace rzad grupy z rzedem jej podgrupy – twierdzenie Lagrange’a.Otrzymane wnioski pozwola dokładniej opisac strukture podgrup grupy skonczonej.

1.5.1. Warstwy

Definicja 1.108. Niech H <G i a ∈ H . Warstwa lewostronna grupy G wzgledem podgrupy H wyznaczonaprzez element a nazywamy zbiór

aH = {ah : h ∈ H }

Analogicznie, warstwa prawostronna nazywamy

H a = {ha : h ∈ H }

Inne punkt widzenia: warstwa jest iloczy-nem podzbiorów: aH = {a}H , H a = H {a}.

W powyzszym zapisie stosuje sie umowe, ze w symboluwarstwy pomiedzy a i H stoi znak działania w grupie, który– zgodnie z poprzednio przyjeta umowa – w przypadku mul-tiplikatywnym pomijamy. Jednak w przypadku addytywnymstosujemy notacje a + H , pamietajac o tym, ze symbol + jestelementem składowym symbolu warstwy.

Fakt 1.109. Jezeli grupa jest abelowa, to warstwy aH i H a sa równe.

Przykład 1.110. Warstwami lewostronnymi grupy Z6 wzgledem podgrupy H = {0,3} sa:

0+H = 3+H = {0,3}

1+H = 4+H = {1,4}

2+H = 5+H = {2,5}

Zauwazmy, ze warstwy prawostronne sa identyczne z lewostronnymi.

Warstwa eH = H jest podgrupa. Zadna inna warstwa nie moze byc podgrupa gdyz nie zawiera elementuneutralnego. Jak sie okazuje, własnosci warstw lewostronnych i prawostronnych sa takie same i dowodzi sieje identycznie. Dlatego bedziemy formułowac twierdzenia tylko dla warstw lewostronnych pozostawiajacCzytelnikowi napisanie i sprawdzenie odpowiednich twierdzen dla warst prawostronnych.

Twierdzenie 1.111. Niech H bedzie podgrupa grupy G . Wtedy:a) a ∈ H =⇒ aH = H ,b) dla dowolnych x, y ∈G , warstwy xH i y H sa równoliczne,c) dla dowolnych x, y ∈G , warstwy xH i y H sa równe albo rozłaczne.

Dowód.a) Z definicji podgrupy may aH ⊂ H . Niech b ∈ H , poniewaz równanie ax = b ma zawsze rozwiazanie w

grupie H wiec H ⊂ aH .b) Zauwazmy, ze odwzorowanie λx : G → G dane wzorem λx (g ) = xg jest róznowartosciowe i xH =

λx (H). Zatem |H | = |λx (H)| = |xH |, czyli wszystkie warstwy sa równoliczne z eH = H .


c) Załózmy, ze xH ∩ y H 6= ; i niech z ∈ xH ∩ y H . Wtedy z = xa dla pewnego a ∈ H . Zatem

zH = (xa)H = {(xa)h : h ∈ H } = {x(ah) : h ∈ H } = x(aH) = xH .

Podobnie dowodzimy,ze zH = y H . Stad xH = y H .

Zauwazmy, ze w grupie Z:a ≡ b mod n ⇐⇒ x − y = nkJest to znana z teorii liczb kongruencja).

Warstwy wyznaczone przez podgrupe H mozemy trakto-wac jako klasy abstrakcji relacji

xRy ⇐⇒ x y−1 ∈ H

Jest to relacja równowaznosci w grupie G , co daje inne spojrzenie na powyzsze twierdzenie. Czasami mówi-my, ze R jest kongruencja w grupie.

Lemat 1.112. Liczba warstw lewostronnych jest równa liczbie warstw prawostronnych.

Dowód. Niech G bedzie grupa, H < G i a ∈ G . Jezeli y ∈ aH , to y = ax dla pewnego x ∈ H . Podobnie y−1 =x−1a−1 ∈ H a−1. Na odwrót, jezeliy−1 ∈ H a−1, to y−1t a−1,dlapewnego t ∈ H oraz y = at−1 ∈ aH . Zatemjezeli A = aH , to A′ = {y−1 : y ∈ A} = H a−1. Na odwrót, jezeli B = H a−1, to B ′ = {x−1 : x} = aH . Mamy wten sposób (wzajemnie odwrotne) bijekcje A 7→ A′ i B 7→ B ′ okreslone na zbiorach warstw lewostronnych iprawostronnych. Zatem te zbiory sa równoliczne.

Definicja 1.113. Indeksem podgrupy H w grupie G nazywamy moc zbioru wszystkich warstw lewostron-nych G wzgledem H . Bedziemy go oznaczac przez |G : H |.

Zauwazmy, ze |G :{e}| = |G| oraz |g H | = |H :e|.Przykład 1.114. Warstwami grupy S3 wzgledem jej podgrupy H = ⟨(1 2)⟩ sa:

eH = (1 2)H = {e, (1 2)}

(1 3)H = (1 2 3)H = {(1 3), (1 2 3)}

(2 3)H = (1 3 2)H = {(2 3), (1 3 2)}

He = H(1 2) = {e, (1 2)}

H(1 3) = H(1 3 2) = {(1 3), (1 3 2)}

H(2 3) = H(1 2 3) = {(2 3), (1 2 3)}

Zatem indeks S3 wzgledem H wynosi |S3 : H | = 3. Zauwazmy, ze (1 3)H 6= H(1 3). Warstwy grupy S3 wzgledem podgrupyF = ⟨(1 2 3) sa równe:

eF = (1 2 3)F = (1 3 2)F = {e, (1 2 3), (1 3 2)}

(12)F = (1 3)F = (2 3)F = {(1 2), (1 3), (2 3)}

W tym wypadku warstwy prawostronne sa równe lewostronnym oraz |S3 :F | = 2.

1.5.2. Twierdzenie Lagrange’a

Czytelnik sprawdzi!

Zauwazmy, ze w podanych wyzej przykładach iloczyn rzedu podgrupy H i in-deksu grupy G wzgledem podgrupy H jest równy rzedowi grupy G . Okazuje sie, zefakt ten jest prawdziwy dla dowolnej grupy skonczonej.

Twierdzenie 1.115 (Lagrange). Jezeli G jest grupa skonczona i H <G , to |G| = |G : H | · |H |.

1.5 Twierdzenie Lagrange’a 37

Dowód. Niech g1H , g2H , . . . , gk H beda wszystkimi parami róznymi warstwami grupy G . Wtedy G = g1H ∪g2H ∪ . . .∪ gk H . Poniewaz warstwy sa rozłaczne i równoliczne, wiec:

|G| = |g1H |+ |g2H |+ . . .+|gk H | = k|H | = |G : H | · |H |.

Wprost z twierdzenia Lagrange’a wynika szereg wniosków o podgrupach i rzedach elementów.

Wniosek 1.116. Rzad podgrupy jest dzielnikiem rzedu grupy.

Wniosek 1.117. Rzad elementu jest dzielnikiem rzedu grupy.

Wniosek 1.118. Jezeli |G| = n <∞, to dla dowolnego a ∈G , a|G| = e. W szczególnosci rz a ≤ |G|.

Wniosek 1.119. Kazdy element grupy skonczonej jest torsyjny (czyli TorG =G).

Zastosowanie twierdzenia Lagrange’a do grupy Z∗n pozwala udowodnic klasyczne twierdzenia z teorii

liczb.

Twierdzenie 1.120 (Euler). Jezeli m i n sa wzglednie pierwsze, to

mϕ(n) ≡ 1 mod n.

Dowód. Jak wiemy |Z∗n | =ϕ(n). Zatem, dla dowolnego a ∈Z∗

n , aϕ(n) = 1. Poniewaz, m jest wzglednie pierw-sze z n, wiec m = qn + r , dla pewnych q ∈Z i r ∈Z∗

n . Stad

mϕ(n) ≡ (qn + r )ϕ(n) ≡ (r )ϕ(n) ≡ 1 mod n.

Wniosek 1.121 (małe twierdzenie Fermata). Jezeli p jest liczba pierwsza i p - n, to

np−1 = 1 mod n.

Ponizszy przykład pokazuje, ze twierdzenia Lagrange’a nie mozna odwrócic.

Przykład 1.122. Grupa rzedu 12 moze posiadac nietrywialne podgrupy rzedów: 2,3,4,6. Grupa permutacji parzystychA4 jest grupa rzedu 12. Nie posiada ona jednak podgrupy rzedu 6. Jest to najmniejsza grupa o tej własnosci.

Niech H < A4 bedzie podgrupa rzedu 6. Zauwazmy, ze elementy rzedu 2:

(1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)

wraz elementem neutralnym tworza grupe rzedu 4 izomorficzna z grupa V4, sa zatem przemienne. Poniewaz 4 - 6,wiec w H moze istniec tylko jeden element rzedu 2. W przeciwnym przypadku H zawierałaby podgrupe rzedu 4.

Zauwazmy, ze jezeli x jest tym elementem, to jest on przemienny z kazdym elementem grupy H . Rzeczywiscie,poniewaz (a−1xa)(a−1xa) = e. Stad r za−1xa = 2, ale x jest jedynym elementem rzedu 2, wiec a−1xa = x. Stad xa = ax.

Poniewaz w H nie moze istniec element rzedu 4, wiec w H musi istniec element rzedu 3. Łatwo sprawdzic, ze wA4 zaden element rzedu 2, nie jest przemienny z zadnym elementem rzedu 3. Sprzecznosc.

Prawdziwy jest tez ogólniejszy fakt, który mówi, ze dla n ≥ 5 w grupie An nie istnieje podgrupa rzedu wiekszegoniz |An |/n.

Grupa nie moze zatem posiadac podgrup ani elementów dowolnego rzedu. W szczególnosci grupa, któ-rej rzad jest liczba pierwsza nie posiada zadnej podgrupy własciwej. Stad otrzymujemy pierwsze twierdzenieo klasyfikacji grup skonczonych.


Wniosek 1.123. Jezeli rzad grupy G jest liczba pierwsza, to G jest grupa cykliczna.

Dowód. Kazdy element x 6= e grupy G ma rzad p, zatem jest generatorem grupy G .

Zatem wszystkie grupy skonczone, których rzad jest liczba pierwsza, sa izomorficzne z grupaZp . Innymisłowy, z dokładnoscia do izomorfizmu istnieje tylko jedna grupa rzedu p, gdzie p jest liczba pierwsza. Wiecejtwierdzen tego typu podamy w ostatnim podrozdziale.

1.6. Grupa ilorazowa

Podział grupy na warstwy dzieli elementy grupy na klasy elementów „podobnych”. Aby badac grupe pozredukowaniu elementów podobnych i jednoczesnie pozostawac nadal w kategorii grup, wprowadzamy wzbiorze warstw strukture grupy.

1.6.1. Podgrupa normalna

Jak widzielismy warstwy lewostronne nie musza byc równe warstwom prawostronnym. Czasami jednakjest to prawda, np.: w grupach abelowych, gdyz aH 3 ah = ha ∈ H a. Okazuje sie ze podgrupy o tej własnoscigraja szczególna role.

Definicja 1.124. Niech H <G . Mówimy, ze H jest podgrupa normalna (dzielnikiem normalnym), jezeli

∀a∈G

aH = H a

Fakt, ze H jest podgrupa normalna bedziemy oznaczac HCG .

Twierdzenie 1.125. Ponizsze warunki sa równowazne:a) HCG ,b) ∀a∈G ∀h∈H aha−1 ∈ H .

Dowód. Załózmy, ze HCG . Jezeli a ∈G , to aH = H a. Dla dowolnego h ∈ H istnieje h′ ∈ H taki, ze ah = h′a,a stad aha−1 = h′ ∈ H .

Z drugiej strony, jezeli aha−1 ∈ H , to aha−1 = h′, dla pewnego h′ ∈ H . Zatem ah = h′a i stad aH =H a.

Fakt 1.126. Kazda podgrupa grupy abelowej jest normalna.

Fakt 1.127. Jezeli H <G i |G : H | = 2, to HCG .

Dowód. Jezeli |G : H |, to istnieja tylko dwie warstwy eH = H i aH =G \ H , dla a ∉ H . Jest oczywiste, ze w tejsytuacji eH = He i aH = H a.

Przykład 1.128. W grupie S3 mamy ⟨(1 2)6 S3 i A3 = ⟨(1 2 3)CS3 (dlaczego?). Ogólniej, dla kazdego n, AnCSn .

Na koniec podajmy jeszcze zwiazki podgrupy normalnej z homomorfizmami grup.

Twierdzenie 1.129. Niech ϕ : G →G ′ bedzie homomorfizmem grup.a) Obraz podgrupy normalnej jest podgrupa normalna w imϕ.b) Przeciwobraz podgrupy normalnej jest podgrupa normalna.

Dowód.

1.6 Grupa ilorazowa 39

a) Jezeli HCG , to ϕ(H) <G ′. Wezmy dowolne a ∈ϕ(G) i h ∈ϕ(H) i niech x ∈G oraz y ∈ H beda takie, zeϕ(x) = a oraz ϕ(y) = h. Poniewaz, x y x−1 ∈ H , wiec

aha−1 =ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x−1) =ϕ(x y x−1) ∈ϕ(H).

b) Dowód przebiega w podobny sposób.

Pytanie 14: Podac przykład homomorfizmu ϕ : G →G ′ i podgrupy NCG takich, ze ϕ(N )6G ′.

Twierdzenie 1.130. Niech ϕ bedzie homomorfizmem grup.a) kerϕ jest podgrupa normalna.b) ϕ(x) =ϕ(y) ⇐⇒ y ∈ x kerϕ

Dowód.a) Wynika, to z faktu, ze kerϕ=ϕ−1(eG ′) i {eG ′}CG ′.b) Oznaczmy K = kerϕ. Jezeli (x) = ϕ(y), to ϕ(y x−1) = ϕ(y)ϕ(x)−1 = e. Stad x y−1 ∈ K oraz y ∈ K x. Z

drugiej strony, jezeli y ∈ K x, to y = kx, kıK . Zatem ϕ(y) =ϕ(kx) =ϕ(x).

1.6.2. Grupa ilorazowa

Niech G bedzie grupa i niech H <G . Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw grupy G wzgledempodgrupy H . W zbiorze G/H wprowadzany działanie wzorem:

(xH)(y H) = (x y)H .

Inny punkt widzenia: działanie mnoze-nia podzbiorów obciete do zbioru warstwwzgledem podgrupy normalnej tworzygrupe.

W powyzszym zapisie stosujemy notacje multiplikatywna,co oznacza, ze działanie w zbiorze warstw jest oznaczone sym-bolem · (kropka), który zwyczajowo pomijamy.

Jezeli rozpatrujemy grupy addytywne uzywamy nastepu-jacej notacji (x +H)+ (y +H) = (x + y)+H pamietajac, ze znak+ ma trzy znaczenia: element symbolu warstwy, dodawanie wgrupie i dodawanie w zbiorze warstw.

Twierdzenie 1.131. Zbiór G/H wraz z okreslonym wyzej działaniem tworzy grupe.

Dowód. Łacznosc działania w G/H wynika wprost z łacznosci działania w grupie G . Elementem neutralnymjest warstwa eH , gdyz (eH)aH = (ea)H = aH = (ah)H = (aH)(eH). Elementem odwrotnym do aH warstwaa−1H , gdyz (aH)(a−1H)(aa−1H) = eH = (a−1H)(a(H).

Pytanie 15: W którym miejscu wykorzystujemy normalnosc podgrupy?

Definicja 1.132. Grupe G/H nazywamy grupa ilorazowa grupy G wzgledem podgrupy H .

Czasami grupe ilorazowa nazywa sie grupa G modulo H . Podgrupy niewłasciwe sa podgrupami normal-nymi ich podgrupy ilorazowe wygladaja nastepujaco: G/{e} 'G , G/G ' {e}.

Przykład 1.133. Rozpatrzmy podgrupe H = 3Z grupy Z. Jest to oczywiscie podgrupa normalna. Elementami grupyilorazowej sa warstwy: 0+H ,1+H ,2+H . Tabelka działania w grupie ilorazowej wyglada nastepujaco:

0+H 1+H 2+H0+H 0+H 1+H 2+H1+H 1+H 2+H 0+H2+H 2+H 0+H 1+H

Zauwazmy, ze grupa Z/3Z jest izomorficzna z grupa Z3, prawdziwy jest ogólniejszy fakt: Z/nZ'Zn .


Przykład 1.134. Jezeli H nie jest podgrupa normalna, to G/H nie tworzy grupy. Podgrupa H = {e, (1 2)} nie jest pod-grupa normalna grupy S3, gdyz (1 2 3)H 6= H(1 2 3). Zauwazmy, ze:

(1 2 3)H = {(1 2 3), (1 3)} = (1 3)H

(1 3 2)H = {(1 3 2), (2 3)} = (2 3)H .

Wykonujac mnozenie warstw na dwa sposoby, za kazdym razem uzywajac innego reprezentanta, otrzymujemy:

eH(1 3)H = (1 3)H 6= (1 3 2)H = (1 2)H(1 3)H

(1 2 3)H(1 3 2)H = eH 6= (1 3 2)H = (1 3)H(2 3)H .

Czyli mnozenie nie jest dobrze okreslone, bo zalezy od wyboru reprezentanta warstwy.

Przykład 1.135. Wyznaczymy podgrupe ilorazowa grupy D3 wzgledem podgrupy ⟨y⟩. Elementami grupy sa:

D3/⟨y⟩ = {eH , xH , x2H }

Jest to grupa cykliczna cykliczna rzedu 3, izomorficzna z podgrupa generowana przez obrót.Łatwo sprawdzic (na przykład korzystajac z odpowiedniego izomorfizmu), ze ⟨x⟩ nie jest podgrupa normalna

grupy D3. Zbiór warstw wzgledem tej podgrupy

D3/⟨x⟩ = {eH , y H }

nie tworzy grupy.

Fakt 1.136. |G/H | = |G : H |. Jezeli |G| <∞, to |G/H | = |G|/|H |.

Z grupa ilorazowa zwiazany jest w naturalny sposób homomorfizm rzutowania.

Definicja 1.137. Odwzorowanie κ : G →G/H , dane wzorem κ(a) = aH nazywamy homomorfizmem natu-ralnym.

Fakt 1.138. Homomorfizm naturalny jest epimorfizmem grup. Jadrem κ jest podgrupa H .

Wniosek 1.139. Dla kazdej podgrupy normalnej istnieje homomorfizm, którego jadrem jest ta grupa.

Grupa ilorazowa dziedziczy podgrupy grupy G .

Twierdzenie 1.140. Kazda podgrupa grupy G/H jest postaci K /H , gdzie H CK CG . Co wiecej, K jest wy-znaczona jednoznacznie.

Dowód. Niech B < G/H i niech A = κ−1(B). Wtedy kerκ = H < A < G . Łatwo sprawdzic, ze H C A i zeA/H ⊂ B . Z drugiej strony, jezeli xH ∈ B , to x ∈ A oraz xH ∈ A/H . Stad B ⊂ A/H i ostatecznie B = A/H .

Załózmy, ze B = K /H , H < K . Jezeli kK. to kH ∈ B i k ∈ A. Na odwrót, jezeli a ∈ A, to aH ∈ B , aH = kH ,dla pewnego k ∈ K , oraz a ∈ kH ⊂ K . Stad K = A.p

Przykład 1.141. Niech G =Z, Zn =Z/nZ i H <Zn . Z powyzszego twierdzenia H = K /nZ i nZCK CZ. Zatem K = mZ

i n|m.

1.6.3. I twierdzenie o izomorfizmie grup

Udowodnimy teraz twierdzenie pozwalajace stwierdzic z jaka grupa jest izomorficzna grupa ilorazowa.Niech G bedzie grupa i niech H bedzie jej podgrupa normalna.

Twierdzenie 1.142 (I twierdzenie o izomorfizmie grup). Niech ϕ : G → G ′ bedzie homomorfizmem grup iniech H = kerϕ. Wtedy istnieje monomorfizm grup ψ : G/H →G ′ taki, ze ψ◦κ=ϕ.

1.7 Struktura skonczonych grup abelowych 41

Dowód. Zdefiniujmyψ : G/H →G ′ wzoremψ(aH) =ϕ(a). Zauwazmy, ze jest to poprawnie okreslona funk-cja. Rzeczywiscie, jezeli aH = bH , to b−1aH = H . Stad eG ′ =ϕ(b−1a) =ϕ(b)−1 =ϕ(a), czyli ψ(aH) =ϕ(a) =ϕ(b) =ψ(bH). Spełnienie warunku ψ◦κ=ϕ jest oczywiste.

Jest to homomorfizm grup, gdyz ψ((aH)(bH)) = ψ((ab)H) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ψ(aH)ψ(bH). Od-wzorowanie ψ jest monomorfizmem, poniewaz ψ(aH) =ψ(bH) =⇒ ϕ(a) = ϕ(b). Stad ϕ(b−1a) = eG ′ orazb−1a = kerϕ= H . Ostatecznie aH = bH .

Wniosek 1.143. Grupa G/H jest izomorficzna z grupa imϕ. W szczególnosci, jezeli ϕ jest epimorfizmem,to G/H 'G ′.

Przykład 1.144. Grupa ilorazowa C∗/S1 jest izomorficzna z grupa R+. Okreslmy homomorfizm ϕ : C∗ → R+ wzoremϕ(z) = |z|. Łatwo sprawdzic, ze ϕ jest epimorfizmem, którego jadrem jest S1.

Przykład 1.145. Grupa ilorazowa Z/nZ jest izomorficzna z grupa Zn . Dla dowodu wystarczy sprawdzic, ze odwzoro-wanie ϕ : Z→Zn , ϕ(x) = (x)n jest epimorfizmem grup, którego jadrem jest nZ.

Przykład 1.146. Grupa ilorazowa Q/{±1} jest izomorficzna z grupa czwórkowa Kleina.

Podamy inne spojrzenie na I twierdzenie wykorzystujaca.... Jest to przykład własnosci uniwersalnej.

Twierdzenie 1.147. Niech HCG . Kazdy homomorfizmϕ : G →G ′ taki, ze H < kerϕ Rozkłada sie do postaciϕ=ψ◦κ, gdzie ψ : G/H →G ′, ψ(xH) =ϕ(x). Ponadto, rozkałd ten jest jednoznaczny.

Dowód. Sprawdzenie, zeψ jest dobrze okreslonym homomorfizmem przebiega tak samo jak w poprzednimtwierdzeniu. Aby wykazac, jednonacznosc załózmy, zeϕ=χκ. Wtedy χ(xH) =ϕ(x) =ψ(xH), czyli χ=φ.

Twierdzenie 1.148 (I twierdzenie na bis). Jezeli ϕ : G →G ′ jest homomorfizmem grup, to

G/kerϕ' imϕ.

Dokładniej, istnieje dokładnie jeden izomorfizm θ : G/kerϕ→ imϕ taki, ze ϕ = ι◦θ ◦κ, gdzie ι : imϕ→ G ′

jest homorfizmem włozenia/

Dowód. Zdefiniummy ψ : G imϕ wzorem ψ(x) =ϕ(x).. Wtedy H = kerψ= kerϕ. Homomorfizm ψ rozkładasie jednoznacznie do postaci ψ = θ ◦κ, gdzie θ : G/H → imϕ. Wtedy θ(xH) =ψ(x) = ϕ(x) oraz ϕ = ι◦θ ◦κ.Łatwo sprawdzic, ze θ jest szukanym izomorfizmem.

Jezeli jest innym izomorfizmem takim, ze ϕ= ι◦◦κ, to

(xH) = ι((κ(x))) =ϕ(x) = ι(θ(κ(x))) = θ(xH).

zatem = θ.

Wniosek 1.149. Jezeli ϕ jest monomorfizme, to G ' imϕ. Jezeli jest epimorfizmem, to G/kerϕ'G ′.

Przykład 1.150. Jako zastosowanie udowodnionego twierdzenia pokazemy teraz inny dowód twierdznia ??Niech a bedzie elementem grupy G . Odzorowanie p : n 7→ an jest homomorfizmem grupy Zw grupe G oraz ⟨a⟩ =

im p 'Z/ker p. Zauwazmy, ze ker p = mZ, dla pewnego m. Jezeli m = 0 (czyli rz a =∞), to ⟨a⟩ =Z/{0} 'Z. Jezeli m > 0(czyli rz a = m), to ⟨a⟩ 'Z/nZ'Zn . Czyli kazda grupa cyklizcna jest izomorficzna z Z lub Zn .

1.7. Struktura skonczonych grup abelowych

W tym podrozdziale podamy pełna klasyfikacje skonczonych grup abelowych. Kazda taka grupa jestiloczynem grup cyklicznych o rzedach bedacych dzielnikami jej rzedu.


1.7.1. Iloczyn prosty grup

Operacja iloczynu prostego pozwala tworzyc nowe grupy wykorzystujac jako składniki mniejsze grupy.Niech G1,G2, . . .Gn bedzie rodzina grup. W zbiorze G1 ×G2 × . . .×Gn definiujemy działanie mnozenia

wzorem(g1, g2, . . . , gn)(h1,h2, . . . ,hn) = (g1h1, g2h2, . . . , gnhn)

czyli mnozenie „po współrzednych”. Tak zdefiniowane działanie wprowadza w zbiorze G1 ×G2 × . . .×Gn

strukture grupy. Elementem odwrotnym tego działania jest

e = (e1,e2, . . . ,en), gdzie ei ∈Gi jest elementem neutralnym w Gi ,

zas elementem odwrotnym do (g1, g2, . . . , gn) jest (g−11 , g−1

2 , . . . , g−1n ).

Definicja 1.151. Grupe G1 ×G2 × . . .×Gn nazywamy (zewnetrznym) iloczynem prostym (lub iloczynemkartezjanskim) grup G1,G2, . . .Gn .

Powyzsza definicje mozna uogólnic na dowolna liczbe grup (zob. [3, 2]). Wtedy jednak pojecie iloczynuprostegi i kartezjanskiego nie sa tozsame. Zauwazmy, ze

|G1 × . . .×Gn | = |G1| · . . . · |Gn |W przypadku, gdy w grupach Gi stosujemy notacje addytywna, iloczyn prosty nazywamy suma prosta ioznaczamy G1 ⊕G2 ⊕ . . . ⊕Gn . Mozna sprawdzic, ze iloczyn prosty grup jest łaczny np.: (G1 ×G2) ×G3 'G1 ×G2 ×G3.

Z iloczynem prostym G1 × . . .×Gn stowarzyszona jest odwzorowan

πk : G1 × . . .×Gn →Gk , πk (g1, . . . , gn) = gk

nazywanych rzutami.

Fakt 1.152. Odwzorowanie πk jest homomorfizmem grup oraz kerπk = {(g1, . . . , gn) : gk = eGk }

Twierdzenie 1.153. Grupa G jest izomorficzna z iloczynem prostym G1×G2 wtedy i tylko wtedy, gdy istnie-jea podgrupy normalne A,BCG takie, ze A 'G1, B 'G2, A∩B = {e} i AB =G .

Dowód. Łatwo sprawdzic, ze odwzorowanie (g1,e) 7→ g1 jest izomorfizmem grup kerπ2 i G1 oraz (e, g2) 7→g2 jest izomorfizmem kerπ1 i G2. Zauwazmy, ze kerπ1 ∩ kerπ2 = {e}. Poniewaz (g1, g2) = (g1,e)(e, g2) wieckerπ1 ·kerπ2 =G1 ×G2.

Jezeli θ : G1 ×G2 →G jest izomorfizmem to A = θ(kerπ1) i B = θ(kerπ2) sa podgrupami normalnymi G ,A ' kerπ2 'G1, B ' kerπ1 'G2, A∩B = {e} i AB =G .

Z drugiej strony, załózmy, ze ze A ' G1, B ' G2, A ∩B = {e} i AB = G . Wtedy kazdy element g ∈ G jestiloczynem g = ab, a ∈ A, b ∈ B . Jezeli ab = a′b′, a′, b′i nB , to a′−1a = b′b−1 ∈ A ∩B . Stad a′−1a = b′b−1 = eoraz a`i b=b’.Od w zor ow ani eθ : A×B 3 (a,b) 7→ ab ∈G jest bijekcja. Pokazemy, ze jest izomorfizmem.

Dla dowolnych a ∈ A i b ∈ B , poniewaz A i B sa podgrupami normalnymi, mamy aba−1b−1]=a(ba−1b−1∈A

oraz aba−1b−1]=(aba−1)b−1∈B . Zatem aba−1b−1 = e i ostatecznie ab = ba. Stad

θ((a,b)(a′,b′)) = θ(aa′,bb′) = aa′bb′ = aba′b′ = θ(a,b)θ(a′b′)

Definicja 1.154. Niech H1, H2 beda podgrupami grupy G . Mówimy, ze grupa G rozkłada sie na iloczynprosty podgrup H1 i h2, co zapisujemy

G = H1 ×H2,

jezeli H1, H2CG oraz G = H1 ·H2, H1 ∩H2 = {eG }.


Jezeli grupa G rozkłada sie na iloczyn prosty, to mówimy, ze jest ona (wewnetrznym) iloczynem prostymswoich podgrup. Inaczej niz w przypadku iloczynu zewnetrznego, grupa G bedaca iloczynem wewnetrznymzawiera czynniki A i B , a nie izomorficzne kopie A × {e} i {e}×B tych składników. Zewnetrzny iloczyn grupA i B jest oczywiscie iloczynem wewnetrznym.

Twierdzenie 1.155. Niech G = A|t i mesB , A1CA i B1CB . Wówczas A1×B1l hdG oraz G/(A1×B1) ' (A/A1)×(B/B1). W szczególnosci G/A ' B .

Dowód. Niech π : A → A/A1 i τB : B/B1 beda homomorfizmami kanonicznymi. Odwzorowanie ϕ : G →(A/A1)× (B/B1), ϕ(a,b) = (π(a),τ(b)) jest epimorfizmem i kerϕ = A1 ×B1. Teza wynika z I twierdzenia oizomorfizmie.

Definicje iloczynu prostego mozemy uogólnic na dowolna skonczona liczbe podgrup.

Definicja 1.156. Niech H1, H2, . . . Hn beda podgrupami grupy G . Mówimy, ze grupa G rozkłada sie na ilo-czyn prosty podgrup Hi , co zapisujemy

G = H1 ×H2 × . . .×Hn ,

jezeli:a)

∀g∈G

∀1≤k≤n

∃hk∈Hk

g = h1h2 . . .hk

b)

∀1≤k≤n−1

Hk+1 ∩ (H1 ·H2 · . . . ·Hk ) = {eG }

c)

∀1≤k<l≤n

∀hk∈Hk

∀hl∈Hl

hk hl = hl hk

Dla dowolnej skonczonej liczby podgrup mamy równiez analog twierdzenia. Jego dowód jest bardziejzłozony dlatego go pomijamy (patrz [9, s. 48].

Twierdzenie 1.157. Grupa G jest izomorficzna z iloczynem prostym G1 × . . .Gn wtedy i tylko wtedy, gdyistniejea podgrupy normalne Ai CG takie, ze

a) Ai 'Gi

b) A1 . . . Ann =Gc)

∀1≤k≤n−1

Ak+1 ∩ (A1 · A2 · . . . · Ak ) = {eG }

Ponadto, kazdy element g ∈ G moze byc zapisany jednoznacznie w postaci g = a1 . . . an , ai ∈ Ai . Elementyai ∈ Ai i a j ∈ A j sa przemienne jezeli i 6= j . Odwzorownie (a1, . . . , an) 7→ a1. . . an jest iomorfizmem grupA1 × . . .× An i G .

Przykład 1.158. Grupa V4 rozkłada sie na iloczyn V4 = {1, a}× {1,b} i jest izomorficzna z iloczynem Z2 ×Z2. Czytelnikpoda inne rozkłady.

Przykład 1.159. NiechZ24, H1 = ⟨8⟩ = {0,8,16} i H2 = ⟨3⟩ = {0,3,6,9,12,18,21}. Sa to podgrupy normalne,Z24 = H1 ·H2

oraz H1 ∩H2 = {0}. Zatem Z24 = H1 ×H2.

Przykład 1.160. Niech G = µpn . Jedynymi własciwymi podgrupami grupy G sa µpk , gdzie 1 ≤ k < n. Poniewaz {e} <Cp1 <Cp2 < . . . <Cpn−1 <G , wiec grupa G nie rozkłada sie na iloczyn prosty swoich podgrup.


Przykład 1.161. Rozpatrzmy grupe G = Z3 ×Z8. Łatwo sprawdzic, ze |G| = 24 oraz rz(1Z3 ,1Z8 ) = 24. Zatem G ' Z24.Izomorfizmem jest funkcja ϕ : G →Z24 dana wzorem ϕ((x, y)) = (8x +3y)24.

Powyzsze rozumowanie mozna uogólnic. Niech n = pn11 pn2

2 . . . pnkk , gdzie p1 < p2 < . . . < pk sa liczbami pierwszy-

mi. Dla i = 1,2, . . . ,k zdefiniujmyqi = n/pni

i , Hi = ⟨(qi )n⟩ <Zn .

Element qi ma w grupieZn rzad pnii , wiec Hi 'Zp

nii

. Łatwo sprawdzic, ze odwzorowanieϕ : Zpn11×Zp

n22× . . .×Zp

nkk

→Zn , dane wzorem

ϕ(x1, x2, . . . xk ) = (q1x1)n + (q2x2)n + . . .+ (qk xk )n

jest izomorfizmem grup.

Jezeli w definicji iloczynu prostego opuscimy załozenie o normalnosci, to otrzymamy iloczyn półprosty.

1.7.2. Rozkład grupy abelowej

Przypomnijmy, ze jezeli liczba d jest dzielnikiem rzedu grupy, to niekoniecznie musi istniec podgruparzedu d . W przypadku skonczonych grup abelowych sytuacja jest znacznie lepsza.

Lemat 1.162. Niech G bedzie skonczona grupa abelowa i niech liczba pierwsza p dzieli rzad G . Wtedy ist-nieje w G element rzedu p.

Dowód. Dowód przez indukcje ze wzgledu na rzad grupy. Jezeli |G| = p, to G jest grupa cykliczna i kazdynietrywialny element ma rzad p.

Załózmy, ze twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich grup rzedu mniejszego niz |G|. Niech H bedziewłasciwa podgrupa grupy G . Jezeli p dzieli |H |, to w grupie H istnieje element rzedu p. Załózmy w takimrazie, ze p nie dzieli |H |. Poniewaz |G| = |G : H ||H |, wiec p dzieli |G : H | = |G/H | < |G|. Zatem w grupie G/Histnieje element rzedu p, oznaczmy go xH , x ∈G . Poniewaz eH = (xH)p = xp H , wiec xp ∈ H .

Niech rz x = m. Poniewaz element κ(x) = xH ma rzad p, wiec p|m oraz rz xk = p.

Wniosek 1.163. Dla kazdej liczby pierwszej p, która dzieli rzad skonczonej grupy abelowej istnieje podgru-pa rzedu p.

Ostatni wniosek mozna znacznie wzmocnic.

Lemat 1.164. Jezeli G jest grupa abelowa i |G| = pk m, gdzie p jest liczba pierwsza i p nie dzieli m, to w grupieG istnieja podgrupy rzedu pk i m. Co wiecej, G jest iloczynem prostym tych podgrup.

Dowód. Zdefiniujmy funkcje ϕ : G → G wzorem ϕ(x) = xpk. Łatwo sprawdzic, ze ϕ jest homomorfizmem.

Pokazemy, ze |kerϕ| = pk oraz | imϕ| = m.Jezeli q 6= p dzieli |kerϕ|, to istnieje element rzedu p w kerϕ. Oznaczmy go przez x. Wtedyϕ(x) = xpk 6= e

(dlaczego?), wiec x ∉ kerϕ. Sprzecznosc.Zatem |kerϕ| = p s . Jezeli s < k, to | imϕ| = |G/kerϕ| = |G|/|kerϕ| = pk−sm (I tw. o izomorfizmie). Zatem

p dzieli | imϕ|. Ponownie, w imϕ istnieje element rzedu p. Oznaczmy go y .Niech ϕ(x) = xpk = y . Poniewaz rz y = p, wiec rz x = pk+1. Ale pk+1 nie dzieli |G|. Sprzecznosc.Z powyzszego rozumowania wynika, ze s = k i grupy kerϕ oraz imϕ maja zadane własnosci.

Wniosek 1.165. Niech G bedzie grupa abelowa rzedu n = pn11 pn2

2 . . . pnk

k , gdzie pi sa róznymi liczbami pierw-szymi. Dla dowolnego i w grupie G istnieje podgrupa Hi rzedu pni

i . Co wiecej, G jest iloczynem prostym

G = H1 ×H2 ×Hk .

Dowód kolejnych twierdzen pomijamy.


Twierdzenie 1.166. Grupa abelowa rzedu pn rozkłada sie na iloczyn prosty grup cyklicznych.

Twierdzenie 1.167. Kazda skonczona grupa abelowa rozkłada sie na iloczyn prosty pewnych swoich cy-klicznych podgrup, których rzedy sa potegami liczb pierwszych, dzielacych rzad grupy.

Wniosek 1.168. Kazda skonczona grupa abelowa jest izomorficzna z iloczynem prostym grup Zpk . Rozkładten jest jednoznaczny z dokładnoscia do uporzadkowania.

Powyzsze twierdzenie pozwala znalezc wszystkie skonczone grupy abelowe (z dokładnoscia do izomor-fizmu). Jezeli G jest iloczynem grup cyklicznych rzedów pk1

1 , . . . , pkrr , dla pewnych niekoniecznie róznych

liczb pierwszych, to G ma rzad n = pk11 . . . pkr

r . Ostatnia równosc odpowiada jednoznacznosci rozkładu licz-by naturalnej na iloczyn liczb pierwszych.

Definicja 1.169. Grupe G nazywamy p-grupa, jezeli |G| = pk , dl apewnego k > 0.

Rozkałdem liczby naturalnej k nazywamy ciag k1 ≥ . . . ,≥ kr > 0, r ≥ 0 taki, ze k = k1 + . . .+ kr . Jezelin = pk , to kazde przedstawienie w postaci iloczyn n = pk1 . . . pkr definiuje pewien rozkład k. Zatem grupyrzedu pk odpowiadaja rozkładom liczby k. Kazdy rozkład k = k1 + . . .+kr odpowiada pewnemu iloczynowigrup cyklicznych Zpk

1× . . .×Zpkr .

Fakt 1.170. Liczba nieizomorficznych grup abelowych rzedu pn jest równa liczbie wszystkich rozkładówliczby n na sume liczb naturalnych n1 +n2 + . . .+nk , gdzie n1 ≥ n2 ≥ . . . ≥ nk .

Przykład 1.171. Niech n = 16 = 24. mamy piec rozkładów liczby 4: 4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1. Odpowiadaja imnastepujace grupy abelowe rzedu 16:

Z16, Z8 ×Z2, Z4 ×Z4, Z4 ×Z2 ×Z2, Z2 ×Z2 ×Z2 ×Z2.

Przykład 1.172. Niech G bedzie grupa abelowa rzedu pn , której kazdy element spełnia warunek g p = e. Wtedy

G 'Zp ×Zp × . . .×Zp .

Przykład 1.173. Jedyne nieizomorficzne grupy abelowe rzedu 4 = 22, to Z4 i Z2 ×Z2.

Przykład 1.174. Jedyne nieizomorficzne grupy abelowe rzedu 8 = 23, to Z8, Z4 ×Z2 i Z2 ×Z2 ×Z2.

Przykład 1.175. Jedyne nieizomorficzne grupy abelowe rzedu 9 = 32, to Z9 i Z3 ×Z3.

W przypadku ogólnym, jezeli n nie jest potega liczby pierwszej, to G jest iloczynem grup cyklicznychrzedów pkr

r . Porzaadkujac czynniki wzgledem róznych liczb pr dostajemy rzokałd grupy na iloczyn p-grup,jednej dla kazdej liczby pr .

Aby znalezc wszystkie grupy abelowe rzedu n mozemy postepowac w nastepujacy sposób: rozłozyc nna iloczyn róznych liczb pierwszych, otrzymujemy w ten sposób rozkład na rózne p-grupy, kazda z nichrozkładamy nastepnie na iloczyn grup cyklicznych.

Przykład 1.176. Niech n = 200 = 2352. Rozkłady 3: 3, 2+1, 1+1+1 daja nastepujace 2-grupy rzedu 8:

Z8, Z4 ×Z2, Z2 ×Z2 ×Z2

Rozkłady 2: 2, 1+1 daja 5-grupy:Z25, Z5 ×Z5

Zatem z dokładnoscia do izomorfizmu jest szesc (= 2 ·3) grup abelowych rzedu 200:

Z8 ×Z25, Z8 ×Z5 ×Z5, Z4 ×Z2 ×Z25, Z4 ×Z2 ×Z5 ×Z5, Z2 ×Z2 ×Z2 ×Z25, Z2 ×Z2 ×Z2 ×Z5 ×Z5

Mozliwe sa takze inne sposoby zapisania powyzszych rozkładów (por nastepne twierdzenie) np.:

Z200 'Z8 ×Z25, Z40 ×Z5 'Z8 ×Z5 ×Z5, Z100 ×Z2 'Z50 ×Z4 'Z4 ×Z2 ×Z25,


Wprowadzone pojecia pozwalaja dokładniej opisac strukture skonczoncyh grup cyklicznych.

Twierdzenie 1.177. Jezeli NWD(n,m) = 1, to Zmn 'Zn ×Zm

Dowód. Niech Zmn = ⟨g ⟩. Wtedy rz g n = m i rz g m = n. Rozpatrzmy podgrupy

A = ⟨g n⟩ 'Zm , B = ⟨g m⟩ 'Zn .

Element g k nalezy do A wtedy i tylko wtedy, gdy n|k. Rzeczywiscie, jezeli g k = g nt , to k−nt wielokrotnosciamn i k jest wielokrotnoscia n. Podobnie, ck ∈ B ⇐⇒ m|k. Jezeli ck ıA ∩B to m|k, n|k i mn|k. Zatem ck = eoraz A∩B = {e}.

Poniewaz m i n sa wzglednie pierwsze wiec mx +ny = 1 dla pewnych x, y ∈ Z. Dla kazdego k mamyzatem

ck = ckmx+kmy = cnkx cmk y , cnkx ∈ A, cmk y ∈ B.

Zatem AB =Zmn .

Grupa cykliczna rzedu n = pk11 . . . pkr

r jest zatem iloczynem swoich podgrup rzedów pk11 , pkr

r .

Przykład 1.178. Grupa Z3 ×Z4 jest izomorficzna z grupa Z12. Grupa Z3 ×Z5 jest izomorficzna z grupa Z15.

1.7.3. Funkcja Eulera

Przypomnijmy, ze funkcja Eulera φ(n) podaje ilosc liczb mniejszych od n i wzglednie pierwszych z n.Jest ona dobrze znana w teorii liczb. Pokazemy, ze grupy cykliczne pozwalaja udowodnic niektóre z własno-sci funkcji Eulera.

Przypomnijmy, ze φ(p) = p −1 i ogólniej φ(pm) = pm(1− 1

p).

Twierdzenie 1.179. Jezeli NWD(n,m) = 1, to φ(mn) =φ(n)φ(m)

Dowód. Jak wiemy Cnm ' Cn ×Cm . W grupie Cn ×Cm równosc (x, y)k = e zachodzi wtedy i tylko wte-dy, gdy xk = e i yk = e. Zatem rzad (x, y) jest równy NWW(rz x, rz y) = rz x · rz y , poniewaz rz x|m rz y |n iNWD(n,m) = 1. Element (x, y) ma rzad mn wtedy i tylko wtedy gdy rz x = m i rz y = n. Co oznacza, ze xmusibyc generatorem Cm , a y generatorem Cn . Takich elementów jest odpowiednio φ(m) i φ(n), zas gene-ratorów grupy Cmn jest φ(mn). Stað φ(mn) =φ(m)φ(n).

Poniewaz n jest iloczynem poteŋ liczb pierwszych i te potegi sa wzglednie pierwsze, wiec mam anste-þujacy wniosek.

Wniosek 1.180.

φ(n) = n∏p|n

(1− 1

p)

Wniosek 1.181.

n = ∑d |n

φ(d)

Dowód. Niech G = ⟨g ⟩ i |G| = n. Kazdy dzielnik d rzedu grup jest rzedem dokaldniej jednej podgrupy grupyG : A = {x ∈ G : xd = e}. Poniewaz A jest cykliczna rzedu d , wiece G ma φ(d) elementów rzedu d . Poniewazrzad kazdego elelementu jest dzielnikiem n wiec n =∑

d |nφ(d).

1.8 Klasyfikacja grup rzedów od 1 do 15 47

1.8. Klasyfikacja grup rzedów od 1 do 15

W tym paragrafie podamy liste grup (z dokładnoscia do izomorfizmu) do rzedu 15 włacznie. Dowodypodanych twierdzen mozna znalezc w [1, 3, 9]. nie podajemy ich tutaj gdyz wymagaja wprowadzenia szere-gu nowych pojec.

Lemat 1.182. Niech p bedzie liczba pierwsza. Wtedy:a) kazda grupa rzedu p jest cykliczna, (wniosek 1.123),b) kazda grupa rzedu p2 jest abelowa, ,c) kazda grupa rzedu 2p jest cykliczna lub dihedralna. .

Lemat 1.183. Jezeli p > q sa liczbami pierwszymi i q nie dzieli p−1, to kazda grupa rzedu pq jest cykliczna.

Lemat 1.184. Nieabelowa grupa rzedu 8 jest izomorficzna z Q8 albo D4.

Lemat 1.185. Nieabelowa grupa rzedu 12 jest izomorficzna z D6, Di c3 albo A4.

Twierdzenie 1.186. Jedynym grupami rzedów od 1 do 15 (z dokładnoscia do izomorfizmu) sa:

rzad grupa

1 {e}2 Z2

3 Z3

4 Z4, Z2 ⊕Z2 'V4

5 Z5

6 Z6, D3 ' S3

7 Z7

8 Z8, Z4 ⊕Z2, Z2 ⊕Z2 ⊕Z2, D4, Q8

9 Z9, Z3 ⊕Z3

10 Z10, D5

11 Z11

12 Z12, Z2 ⊕Z2 ⊕Z3, D6, Di c3, A4

13 Z13

14 Z14, D7

15 Z15

Dowód. Twierdzenie wynika z nastepujacych faktów:rzad 1:

Jest tylko jedna grupa rzedu 1: {e}.rzedy 2,3,5,7,11,13:

Zgodnie z twierdzeniem 1.182 a), dla dowolnej liczby pierwszej p, grupa rzedu p jest cykliczna, azatem izomorficzna z grupa Zp .

rzedy 4,9:Zgodnie z twierdzeniem 1.182 b), dla dowolnej liczby pierwszej p, grupa rzedu p2 jest abelowa, azatem izomorficzna z jedna z grup Zp2 lub Zp ×Zp .

rzedy 6,10,14:Zgodnie z twierdzeniem 1.182 c), dla dowolnej liczby pierwszej p, grupa rzedu 2p jest cykliczna lubdihedralna, a zatem izomorficzna z jedna z grup Z2p lub Dp ,

rzad 15:Zgodnie z twierdzeniem 1.183 kazda grupa rzedu 15 jest cykliczna, a zatem izomorficzna grupa Z15.


rzad 8:Fakt wynika z twierdzen: o skonczonych grupach abelowych i lematu 1.184.

rzad 12:Fakt wynika z twierdzen: o skonczonych grupach abelowych i lematu 1.185.

1.9. Zadania

Ogólne własnosci

Zadanie 1. Niech S bedzie półgrupa posiadajaca lewostronny element neutralny (tzn. el taki, ze el x = x dlakazdego x ∈ S) w której kazdy element posiada element lewostronnie odwrotny wzgledem tego elementu(tzn. dla kazdego x ∈ S istnieje y ∈ S taki, ze y x = el . Wykazac, ze S jest grupa.

Sformułowac i udowodnic analogiczne twierdzenie dla elementów prawostronnych. Czy twierdzeniepozostaje prawdziwe jezeli wezmiemy jeden element lewostronny i jeden prawostronny?

Zadanie 2. Niech S bedzie półgrupa w której równania ax = b i y a = b maja jednoznaczne rozwiazania dlawszystkich a,b ∈ S. Wykazac, ze S jest grupa.

Zadanie 3. Niech S bedzie skonczona półgrupa w której zachodzi prawo skracania. Wykazac, ze S jest gru-pa. Podac przykład nieskonczonej półgrupy w której prawdziwe jest prawo skracania, która nie jest grupa.

Zadanie 4. Wykazac, ze w grupie parzystego rzedu istnieje parzysta liczba elementów o własnosci x = x−1.Sformułowac analogiczne twierdzenie dla grup rzedu nieparzystego.

Zadanie 5. Wykazac, ze w grupie rzedu parzystego zawsze istnieje element rzedu 2.

Zadanie 6. Niech G bedzie grupa. Wykazac, ze:a) istnieje dokładnie jeden element neutralny,b) kazdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny,c) ∀a,b∈G (ab)−1 = b−1a−1,d) ∀a∈G (a−1)−1 = a,e) zachodzi prawo skracania:∀a,g ,h∈G ag = ah ∨ g a = ha =⇒ g = h,f ) dla dowolnych a,b ∈G istnieja jednoznacznie okreslone elementy x, y ∈G takie, ze ax = b ∧ y a = b.g) (a1a2 . . . an)−1 = a−1

n . . . a−12 a−1

1Zapisac powyzsze wzory w notacji addytywnej.

Zadanie 7. Niech G bedzie grupa. Wykazac, ze dla dowolnych a,b ∈G , m,n ∈Z zachodzi:a) a0 = e, a1 = a,b) an am = am+n ,

c) (an)m = anm ,d) (an)−1 = a−n = (a−1)n .


Zadanie 8. Wykazac, ze kazdej grupie skonczonego rzedu, odwrotnosc elementu jest dodatnia potega tegoelementu.

Zadanie 9. Niech G bedzie grupa i niech a ∈G . Wykazac, ze:a) a2 = a ⇐⇒ a = e,b) ∀a a2 = e =⇒ G jest abelowa.

1.9 Zadania 49

Grupy liczbowe

Zadanie 10. Sprawdzic, które z podanych zbiorów liczbowych tworza grupy wzgledem dodawania lubmnozenia liczb.

a) (A,+), gdzie A =N,N0,Z,Q,R,C,b) (A, ·), gdzie A =N,N0,Z,Q,R,C,c) (A∗, ·), gdzie A∗ =Z∗,Q∗,R∗,C∗,d) (nZ,+), n ∈N,e) ({−1,1}, ·),f ) {−1,1, i,−i}g) zbiór poteg danej liczby rzeczywistej a 6= 0 o wykładnikach całkowitych z mnozeniem,h) (µn , ·), n ∈N,i) (µ∞, ·),j) (S1, ·),

k) zbiór liczb zespolonych o ustalonym module r z mnozeniem,l) zbiór A = {z ∈C : 0 < |z| ≤ r , r > 0 z mnozeniem,

m) zbiór wszystkich niezerowych liczb zespolonych połozonych na półprostych wychodzacych z punktu0 i tworzacych z dodatnia półosia Ox katy ϕ1, ϕ2, . . .ϕn ,

n) Q(p

5) = {a +bp

5: a,b ∈Q},o) Z[i] = {a +bi : a,b ∈Z},p) (0,1],q) {2k : k ∈Z}

Zadanie 11. Sprawdzic, czy podane zbiory tworza grupy. Czy sa abelowe?a) Z, a ◦b = a + (−1)abb) Z, a ◦b = (−1)b a + (−1)abc) R\ {−1}, x ◦ y = x + y +x y

d) R, a ◦b = a +b +5e) R, a ◦b = ab −a −b +2

Grupy reszt modulo

Zadanie 12. Udowodnic, ze dla kazdego n ∈N zbiory (Zn ,+n) i (Z∗n , ·n) tworza grupy.

Zadanie 13. Wyznaczyc rzad grup Zn i Z∗n (dla małych n).

Zadanie 14. Dla n = 2,3, . . . ,10 zbudowac tabelke działania grup:a) (Zn ,+n), b) (Z∗

n , ·n).

Zadanie 15. Wyznaczyc elementy odwrotne do liczby k w grupie Z∗n , jezeli:

a) k = 3, n = 4,5,10,b) k = 10, n = 11,21,c) k = 61, n = 100,

d) k = 9, n = 100,e) k = 2, n – liczba pierwsza,f) k = n −1, n – liczba pierwsza.

Grupy macierzowe

Zadanie 16. Sprawdzic które z podanych zbiorów macierzy kwadratowych ustalonego stopnia o wyrazachrzeczywistych tworzy grupe. Czy sa to grupy abelowe?

a) zbiór macierzy symetrycznych z dodawaniem,b) zbiór macierzy symetrycznych z mnozeniem,c) zbiór macierzy nieosobliwych z dodawaniem,d) zbiór macierzy nieosobliwych z mnozeniem,


e) zbiór macierzy o wyznaczniku równym ±1 z mnozeniem,f) zbiór macierzy o wyznaczniku dodatnim z mnozeniem,g) zbiór macierzy o wyznaczniku ujemnym z mnozeniem,h) zbiór macierzy diagonalnych z dodawaniem,i) zbiór macierzy diagonalnych z mnozeniem,j) zbiór macierzy diagonalnych o wszystkich elementach na przekatnej róznych od zera z mnozeniem,

k) zbiór macierzy górnotrójkatnych z dodawaniem,l) zbiór macierzy górnotrójkatnych z mnozeniem,

m) zbiór macierzy górnotrójkatnych z zerami na głównej przekatnej z dodawaniem,n) zbiór macierzy górnotrójkatnych z zerami na głównej przekatnej z mnozeniem,o) zbiór macierzy górnotrójkatnych z jedynkami na głównej przekatnej z mnozeniem,p) zbiór macierzy ortogonalnych z mnozeniem,q) zbiór macierzy górnotrójkatnych z zerami na głównej przekatnej z działaniem A ◦B = A+B − AB ,

r) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci

[x y−y x

]z mnozeniem,

s) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci

[x yλy x

], λ ∈R, z mnozeniem,

t) zbiór macierzy {±

[1 0

1

],±

[i 0

−i

],±

[0 11 0

],±

[0 ii 0

]}z mnozeniem.

Zadanie 17. Sprawdzic które z podanych zbiorów macierzy kwadratowych ustalonego stopnia o wyrazachrzeczywistych tworzy grupe. Czy sa to grupy abelowe?

a) M at (n,Z),b) Gl (nZ),c) Sl (n,Z),d) zbiór macierzy o wyznaczniku ±1,e) zbiór macierzy o wyznaczniku 1,f)g) zbiór macierzy {[

(−1)a a0 (−1)a

]: a ∈Z

}

Zadanie 18. Podac własnosci grupy

G = {

1 a b0 1 c0 0 1

: a,b,c ∈Zp }

wzgledem mnozenia macierzy.

Grupy odwzorowan

Zadanie 19. Wykazac, ze zbiór S(X ) rzeczywiscie tworzy grupe.

Zadanie 20. Czy podane zbiory przekształcen tworza grupy wzgledem składania przekształcen? W przy-padku zbiorów skonczonych podac tabelke działania.

1.9 Zadania 51

a) fi : R∗ →R∗,

f1(x) = x, f2(x) =−x, f3(x) = 1

x, f4(x) =−1

x,

Podac interpretacje geometryczna tych odwzorowan.b) fi : D → D , D =R\ {−1,0}

f1(x) = x, f2(x) = −x −1

x, f3(x) = −1

x +1

f4(x) = 1

x, f5(x) = −x

x +1, f6(x) =−x −1

Podac interpretacje geometryczna tych odwzorowan.c) fi : D → D , D =R\ {−1,0}

f1(x) = x, f2(x) = 1

1−x, f3(x) = x −1

x

f4(x) = 1

x, f5(x) = 1−x, f6(x) = x

x −1Podac interpretacje geometryczna tych odwzorowan.

d) gi : R2 →R2,

g1(x, y) = (x, y), g2(x, y) = (−x,−y), g3(x, y) = (−x, y), g4(x, y) = (x,−y),

Podac interpretacje geometryczna tych odwzorowan.e) { f : R→R : f (0) = 0},f) { f : R→R : f − rosnaca}.

Zadanie 21. Sprawdzic czy podane zbiory bijekcji R w R spełniajacych podany warunek tworza grupywzgledem składania przekształcen

a) f (1) = 1,b) f (R+) ⊂R+,c) f jest rosnaca (malejaca),

d) f (x) = x dla prawie wszystkich x,e) f (Q) =Q,f ) f nieparzysta (parzysta).

Zadanie 22. Które z ponizszych zbiorów przekształcen płaszczyzny tworza grupe wzgledem składania prze-kształcen:

a) zbiór obrotów wokół ustalonego punktu,b) zbiór translacji,c) zbiór symetrii osiowych i srodkowych.

Zadanie 23. Wykazac, ze zbiór wszystkich odwzorowan f : R→R postaci

fa,b = ax +b

gdzie a ∈R∗, b ∈R, tworzy grupe wzgledem składania przekształcen.

Zadanie 24. Wykazac, ze zbiór homografii, tzn odwzorowan f : R→R postaci

fa,b,c,d (x) = ax +b

cx +d

a,b,c,d ∈R, ad −bc 6= 0 tworzy grupe wzgledem składania przekształcen.

Zadanie 25. Sprawdzic, czy zbiór

X = {ϕ ∈C ([0,1], [0,1]) : ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1, ϕ - rosnaca }

wzgledem składania przekształcen tworzy grupe.


Grupa kwaternionów Q8

Zadanie 26. Wykazac, ze Q8 rzeczywiscie tworza grupe.

Zadanie 27. Niech Q8 = {±e,±i ,± j ,±k} ⊂Gl (2,C), gdzie:

e =[

1 00 1

]; i =

[i 00 −i

]; j =

[0 1−1 0

];k =

[0 ii 0

].

Wykazac, ze Q8 wraz z działaniem mnozenia macierzy tworzy grupe. Utworzyc tabelke działania w grupieQ8. Wykazac, ze uzyte oznaczenie jest uzasadnione, tzn., ze otrzymana grupa jest izomorficzna z grupakwaternionów jednostkowych.

Zadanie 28. Wykazac, ze grupa Q8 nie jest abelowa.

Zadanie 29. Wyznaczyc, wszystkie podgrupy grupy Q8.

Zadanie 30. Wykazac, ze w grupie Q8 kazda podgrupa jest normalna.

Grupy izometrii

Zadanie 31. Wykazac, ze zbiór Dn rzeczywiscie tworzy grupe. Wyznaczyc rzad grupy Dn .

Zadanie 32. Podac tabelki działania w grupach Dn dla n = 1,2,3,4. Skonstruowac skrócona tabelke działa-nia dla dowolnego n.

Zadanie 33. Wykazac, ze grupa Dn nie jest abelowa dla n ≥ 3.

Zadanie 34. Podac tabelki grup izometrii:a) trójkata równoramiennego,b) trapezu równoramiennego,c) prostokata niebedacego kwadratem.

d) rombu niebedacego kwadrateme) deltoidu

Grupa izometrii prostokata jest izomorficzna z grupa czwórkowa Kleina

Zadanie 35. (∗) Opisac grupy izometrii okregu, czworoscianu i szescianu.

Zadanie 36. Opisac grupe izometrii sinusoidy i tangensoidy.

Grupa symetryczna

Zadanie 37. Wykazac, ze zbiór Sn rzeczywiscie tworzy grupe. Wyznaczyc rzad grupy Sn .

Zadanie 38. Wykazac, ze grupa Sn nie jest abelowa dla n > 2.

Zadanie 39. Podac tabelki działania w grupach Sn dla n = 1,2,3,4.

Zadanie 40. Podac tabelki działania w grupach An dla n = 1,2,3,4.

Zadanie 41. Wykazac, ze w grupie Sn

a) rzad permutacji nieparzystej jest liczba parzysta,b) rzad dowolnej permutacji nieparzystej jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotnosci długosci cykli

rozłacznych wystepujacych w jej rozkładzie.

1.9 Zadania 53

Zadanie 42. Niech σ,τ ∈ S6,

σ=(1 2 3 4 5 62 6 1 4 5 3

), τ=

(1 2 3 4 5 63 2 5 6 1 4

), ω=

(1 2 3 4 5 61 2 5 3 6 4

),

Zapisac podane permutacje w postaci iloczynu cykli, obliczyc ich iloczyny, wyznaczyc elementy odwrotne.


σ= (1 3 4)(3 2), τ= (2 3 5 1 6 4), ω= (1 2)(4 6)(3 5)

Zapisac podane permutacje w postaci dwuwierszowej, obliczyc ich iloczyny i wyznaczyc elementy odwrot-ne.

Zadanie 44. Wyznaczyc permutacje odwrotna do cyklu (a1 a2 . . . an).

Zadanie 45. Sprawdzic, które z permutacji podanych w poprzednich zdaniach sa parzyste.

Zadanie 46. Sprawdzic które z wymienionych rodzin odwzorowan zbioru X = {1,2, . . . ,n} w siebie tworzagrupe wzgledem składania przekształcen:

a) zbiór wszystkich odwzorowan,b) zbiór wszystkich iniekcji,c) zbiór wszystkich surjekcji,d) zbiór wszystkich bijekcji,e) zbiór wszystkich permutacji parzystych,f) zbiór wszystkich permutacji nieparzystych,g) zbiór wszystkich transpozycji,h) zbiór wszystkich permutacji stałych na pewnym podzbiorze Y ⊂ X .i) zbiór wszystkich permutacji odwzorowujacych pewien podzbiór Y ⊂ X w ten podzbiór,j) zbiór {e, (12), (34), (13), (24), (14), (23)}

k) zbiór {e, (13), (24)(12), (34), (13), (24), (14), (23), (12, 3, 4), (14, 3, 2)}l) {e, (1 2)},

m) {e, (a b)},n) {e, (1 2 3)},

o) {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)},p) {e, (1 2 4), (1 3 4), (4 2 3)},q) {e, (1 2 3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}.

Zadanie 47. Niech dany bedzie rozkład permutacjiσ na iloczyn cykli rozłacznych. Zapisac permutacjeσ−1

w postaci iloczynu cykli rozłacznych.

Inne grupy

Zadanie 48. Wykazac, ze (P (X ),÷) jest grupa.

Zadanie 49. Sprawdzic, ze zbiór V4 rzeczywiscie tworzy grupe.

Zadanie 50. Niech A bedzie zbiorem przedziałów domknietych [a,b]. Sprawdzic, czy A tworzy grupe wzgle-dem działania

[a,b]⊕ c,d ] = [a + c,b +d ]

Zadanie 51. Wykazac, ze odcinek [0, a) z działaniem x ⊕ y = (x + y) mod a jest grupa. Wykazac, ze kazdajej podgrupa jest cykliczna. Z która z grup z zadania 10 jest ona izomorficzna?


Zadanie 52. Niech (G , ·) bedzie grupa i niech f : G → A bedzie bijekcja. Wykazac, ze A tworzy grupe wzgle-dem działania okreslonego wzorem a ¯b = f ( f −1(a) · f −1(b)).

Zadanie 53. W zbiorachN i R− okreslic działania w taki sposób, aby te zbiory tworzyły grupy.

Rzad elementu

Zadanie 54. Jaki moze byc rzad (zespolonego) pierwiastka z jedynki stopnia n?

Zadanie 55. Wyznaczyc rzad elementu grupy:

a)

(1 2 3 4 52 3 1 5 4

)∈ S5

b)

(1 2 3 4 5 62 3 4 5 1 6

)∈ S6

c) 3p

32 + 1

2 i ∈C∗

d) 1p2− 1p

2i ∈C∗

e)

[0 i1 0

]∈ (2,C)

f)

[−1 a0 1

]∈ (2,C)

g)

[0 −11 −1

]∈ (2,C)

Zadanie 56. Sprawdzic, ze dla ponizszych macierzy A,B ∈ Sl (2,Z) mamy rz A <∞, rzB <∞, ale rz(AB) =rz(B A) =∞

A =[

1 2−1 −1

]B =

[1 1−1 0

]

Zadanie 57. Udowodnic, ze rzad cyklu długosci k jest równy k. Jaki jest rzad iloczynu dwóch transpozycji?

Zadanie 58. Wykazac, ze:a) rzad elementu 3

5 + 45 i w grupie C∗ jest nieskonczony,

b) liczba 1π arctan 4

3 jest niewymierna.

Zadanie 59. Ile elementów rzedu 6 zawiera grupaa) C∗, b) D3, c) S5, d) A5.

Zadanie 60. Wykazac, ze w kazdej grupiea) elementy x i x−1 maja ten sam rzad,b) elementy x i y x y−1 maja ten sam rzad,c) elementy x i y−1x y maja ten sam rzad,d) elementy x y i y x maja ten sam rzad,e) elementy x y z i z y x moga miec rózne rzedy.

Zadanie 61. Niech elementy xi y grupy G maja skonczony rzad i x y = y x.a) Wykazac, ze jesli NWD(rz x, rz y) = 1, to rz x y = rz x rz y .b) Wykazac, ze istnieja k, l takie, ze rz xk y l = NWW(rz x, rz y).c) Czy te twierdzenia sa prawdziwe dla elementów nieprzemiennych?

Zadanie 62. Wykazac, zea) jezeli rz x =∞, to xk = x l wtedy i tylko wtedy, gdy k = l .b) jezeli rz = n, to xk = x l wtedy i tylko wtedy, gdy n|(k − l ).c) jezeli rz = n, to xk = e wtedy i tylko wtedy, gdy n|k.

Zadanie 63. Wykazac, ze:a) rz a = n =⇒ (am = e ⇐⇒ n|m),

1.9 Zadania 55

b) rz a = n, k|n =⇒ rz ak = nk .

c) rz ak = m, gdzie m = nNWD(k,n) , rz a = n,

d) ab = ba ∧NWD(rz a, rzb) = 1 =⇒ rz ab = (rz a)(rzb)e) jezeli G jest abelowa, to równosc rz(ab) = NWW(rz a, rzb) nei jest na ogól prawdziwa

Zadanie 64. niech G bedzie grupa abelowa. Wiedzac, ze rz a = n i rzb = m wskazac, element c taki, zerzc = NWW(n,m).

Zadanie 65. Znalezc rzad elementu xk , jezeli rz x = n.

Zadanie 66. Załózmy, ze w grupie kazdy element rózny od elementu neutralnego ma rzad p. Wykazac, zep jest liczba pierwsza.

Zadanie 67. Czy istnieje grupa nieskonczona, której wszystkie elementy maja skonczony rzad.

Zadanie 68. Znajdz rzedy wszystkich elementów grup D4, S4

Zadanie 69. Obliczyc liczbe elementów rzedu d w grupie Z8 ×Z8 ×Z8.

Zadanie 70. Niech φ : G → G ′ bedzie homomorfizmem grup i niech φ(a) = b oraz rz a < ∞. Wykazac, zerzb|rz a. Wywnioskowac stad, ze jezeli φ jest izomorfizmem to rzb = rz a.

Zadanie 71.a) Wykazac, ze jezeli G jest abelowa, to TorG <G .b) Wykazac, na przykładzie, ze załozenia o przemiennosci grupy w poprzednim puncie nie mozna opu-

scic.c) Podac przykład grupy nieskonczonej której TorG =G .d) Czy w grupie cyklicznej TorG =G?

Zadanie 72. Czy iloczyn elementów rzedu skonczonego moze miec rzad nieskonczony? Czy iloczyn ele-mentów rzedu nieskonczonego moze miec rzad skonczony?

Zadanie 73. Wykazac, ze jezeli |G| <∞, to dla kazdego a ∈G zachodzi a|G| = e/

Zadanie 74. Niech ϕ : G → F bedzie homomorfizmem grup oraz ϕ(a) = b, rz a <∞ i rzb <∞. Wykazac, zerzb|rz a. Wykazac, ze jezeli jest izomorfizmem, to rz a = rzb.

Homomorfizmy grup

Zadanie 75. Niech ϕ : G → H bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, ze:a)

ϕ(a1 . . . an) =ϕ(a1) . . .ϕ(an)

b) ϕ(eG ) = eH ,c) ϕ(a−1) =φ(a)−1,d) ϕ(an) =ϕ(a)n ,e) ze φ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy kerφ= {e1},

Zadanie 76. Wykazac, ze jezeli ϕ : G → G ′ oraz ψ : G ′ → G ′′ sa homomorfizmami grup, to ψ ◦ϕ tez jesthomomorfizmem grup oraz kerϕ⊂ kerψ◦ϕ


złozenie homomorfizmów jest homomorfizmem.

Zadanie 77. Sprawdzic, ze odwzorowania φ,ψ : G → G , φ(a) = a2, ψ(a) = a−1 sa homomorfizmami grupwtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa. Kiedy ψ jest izomorfizmem?

Zadanie 78. Dla jakich grup G odwzorowanie ϕ : G →G okreslone wzorem

ϕ(x) = xn , n ∈Z. Jest homomorfizmem? Kiedy jest to izomorfizm?

Zadanie 79. Niech G ,G ′,F,F ′ beda grupami. Wykazac, ze:a) G ×F ' F ×G ,b) G × (F ×F ′) ' (G ×F )×F ′

c) G ×F ×F ′ ' F ×F ′×Gd) G ' F ∧G ′ ' F ′ =⇒ G ×F 'G ′×F ′,e) odwzorowanie ϕ : G ×G ′ →G , ϕ(a,b) = a jest homomorfizmem,f) odwzorowanie ϕ : G ×G ′ →G ′, ϕ(a,b) = b jest homomorfizmem,g) odwzorowanie ϕ : G ×G →G , ϕ(a,b) = ab jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest

abelowa.

Zadanie 80. Wykazac, zea) i dG jest izomorfizmem grupb) złozenie izomorfizmów grup jest izomorfizmem grupc) odwzorowanie odwrotne do izomorfizmu grup jest izomorfizmem grup.

Zadanie 81. Sprawdzic,czy ponizsze funkcje sa homomorfizmami grup. Czy sa mono-, epi-, izomorfizma-mi? Wyznaczyc ich jadra i obrazy.

a) φ : R+ →R, φ(a) = ln a,b) φ : Sn → {−1,1}, φ(σ) = sgnσ,c) φ : Z2 → {−1,1}, φ(0) = 1,Φ(1) =−1d) φ : GL(n,R) →R, φ(A) = det A,e) φ : GL(n,R) →R+, φ(A) = |det A|,f ) φ : Z→Z, φ(a) = na, n ∈Z,g) φ : Z→ nZ, φ(a) = na, n ∈Z,h) φ : Z→Zn , φ(a) = (a)n , n ∈Z,i) φ : Zn →Z, φ(a) = na, n ∈Z,j) φ : Z∗

n →Z∗m , φ(a) = (a)m , gdy m|n,

k) φ : Z∗12 → Z∗

8 , φ(1) = 1, φ(5) = 5, φ(7) = 3,φ(11) = 7

l) φ : Z2 → {−1,1}, φ(0) = 1, φ(1) =−1,m) φ : R→R, φ(a) = 5a,

n) φ : R∗ →R∗, φ(a) = 5a,o) φ : Gl (n,R) →R∗, φ(A) = det A,p) φ : M(2,R) →R, φ(A) = trA,q) φ : M(2,R) → M(2,R), φ(A) = AT ,r) φ : R∗ →R∗, φ(a) = a2,s) φ : C∗ →C∗, φ(z) = |z|,t) φ : C∗ →C∗, φ(z) = zn , n ∈ N ,

u) φ : µn →µn , φ(a) = ak , k ∈N,v) φ : C ([0,1]) →R, φ( f ) = ∫ 1

0 f (x)d x,w) φ : C ([0,2]) →C ([0,1]), φ( f ) = f|[0,1],x) φ : C ([0,1]) →C ([0,1]), (φ( f ))(x) = f (x2),y) φ : R∗ →R∗, φ(a) = n

pa,

z) φ : M(2,R) →R, φ(A) = det,aa) φ : C→R, φ(z) = |z|,

Zadanie 82. Niech (G , ·) bedzie grupa, a t ustalonym elementem G . Zdefiniujmy odwzorowanie

∗ : G →G , (g ,h) 7→ g ∗h = g th

Sprawdzic, ze (G ,∗) jest grupa izomorficzna z grupa (G , ·).

Zadanie 83. Wykazac, ze nie istnieje homomorfizm grupy (Q,+) w grupe (Z,+).

Zadanie 84. Wykazac, ze automorfizmy grupy G tworza grupe. Oznaczamy ja przez Aut(G). Czy (mono-,epi-, izo-, end-) homomorfizmy tworza grupe?

1.9 Zadania 57

Zadanie 85. Niech G bedzie grupa. Wykazac, ze odwzorowanie σG → G , σa(x) = axa−1, a ∈ G jest auto-morfizmem. Takie odwzorowania nazywamy automorfizmami wewnetrznymi. Wykazac, ze zbiór automor-fizmów wewnetrznych tworzy grupe wzgledem składania przekształcen.

Zadanie 86. Wyznaczyc Aut(G), jezelia) G =Z,b) G =Zp ,

c) G = S3,d) G =V4,

e) G = D4,f ) G =Q8.

Zadanie 87. Wyznaczyc wszystkie homomorfizmy grupy G w grupe H , jezeli:a) G =Z6, H =Z6

b) G =Z12, H =Z15

c) G =Z6, H =Z18

d) G =Z6, H =Z25

e) G =Z18, H =Z6

Zadanie 88. Sprawdzic które z odwzorowan f : C∗ → R∗ jest homomorfizmem (mono-, epi-, izo-). Jezelijest wyznaczyc jadro i obraz.

a) f (z) = |z|,b) f (z) = 1+|z|,c) f (z) = 2|z|,

d) f (z) = 2,e) f (z) = |z|2,f ) f (z) = 1

|z| ,

g) f (z) = 1

Zadanie 89. Zdefiniujmy odwzorowanie : Gl (2,C) → X

ϕ

([a bc d

])= fa,b,c,d

gdzie

X ={

fa,b,c,d : fa,b,c,d (x) = ax +b

cx +d

}jest grupa wzgledem składania przekształcen. Wykazac, ze jest to homomorfizm. Znalezc jadro i obraz.

Zadanie 90. Znalezc wszystkie homomorfizmy (endomorfizmy, automorfizmy)a) z D2 w D3

b) z D3 w D2

c) z V4 w siebie,

d) z D2 w siebiee) z D3 w siebie

Zadanie 91. Znalezc wszystkie izomorfizmy grupy (Z4,+4) na grupe (Z∗5 , ·).

Zadanie 92. Wykazac ze odwzorowanie x 7→ ax, a 6= 0 jest automorfizmem grupy Q. Znalezc wszystkieautomorfizmy tej grupy.

Zadanie 93. Podac przykłady płaskich figur geometrycznych, których grupy izometrii sa izomorficzne zgrupami

a) Z2, b) Z3, c) S3, d) V4.

Zadanie 94. Które z podanych grup sa izomorficzne?a) D4

b) Q8

c) grupa z zadania 46 j).d) grupa z zadania 32 k).

Zadanie 95. Wykazac, ze grupy Zn i µn sa izomorficzne.

Zadanie 96. Wykazac, ze grupy izometrii czworoscianu, szescianu i osmioscianu sa izomorficzne odpo-wiednio z grupami A4, S4 i S4. A grupy izometrii dwunastoscianu i dwudziestoscianu?

Zadanie 97. Znalezc w odpowiednich grupach Sn podgrupy izomorficzne z grupami


a) Z3, b) D4, c) Q8.

Zadanie 98. Znalezc w odpowiednich grupach Gl (n,C) podgrupy izomorficzne z grupamia) Z3, b) D4, c) Q8.

Zadanie 99. Znalezc w grupie macierzy rzeczywistych stopnia 4 podgrupe izomorficzna z grupa Q8.

Zadanie 100. Sprawdzic, ze zbiór z zadania 28 tworzy grupe i ze jest ona izomorficzna z grupa funkcjiafinicznych x 7→ ax +b wzgledem składania przekształcen

Zadanie 101. Wykazac, ze jezeli H jest obrazem homomorficznym grupy G i a 7→ a′ toa) rz a′|rz a b) rzad H dzieli rzad G

Zadanie 102. Wykazac, ze grupa rzedu 6 jest albo abelowa, albo izomorficzna z grupa S3.

Zadanie 103. Wykazac, bezposrednio, ze zadne dwie z grup Z8, Z4 ×Z2 i Z2 ×Z2 ×Z2 nie sa izomorficzne.

Zadanie 104. Wykazac, ze Hom(G ,G ′) = (G ,G ′) jest grupa abelowa wtedy i tylko wtedy , gdy G ′ jest grupa.abelowa.

Zadanie 105. Niech G i (G ′,⊕) beda grupami abelowymi. Czy zbiór Hom(G ,G ′) jest zawsze niepusty?

Zadanie 106. Wyznaczyc grupya) Hom(Z12,Z6),b) Hom(Z6,Z12),c) Hom(Z16,Z12),d) Hom(Z12,Z18),e) Hom(Z24,Z16),

f) Hom(Z9,Z3).g) Hom(Z18,Z15),h) Hom(A,B1 ⊕B2),i) Hom(A1 ⊕ A2,B),j) Hom(Zn ,Zk ),

k) Hom(Z,Zn),l) Hom(Zn ,Z),

m) Hom(Z2 ⊕Z2,Z8)n) Hom(Z2 ⊕Z3,Z30).

Zadanie 107. Znalezc jawne wzory na homomorfizmy ze zbioru Hom(Zm ,Zn). Wykazac, ze Hom(Zm ,Zn) 'Zd , gdzie d = NWD(m,n).

Zadanie 108. Udowodnic, ze Hom(Z, A) ' A.

Zadanie 109. Wykazac, ze dla grupy abelowej odwzorowanie x 7→ nx jest endomorfizmem. Dla jakich grupbedzie ono mono-, epimorfizmem?

Zadanie 110. Wyznaczyc grupe automorfizmów grupy:a) Z, b) Q, c) Z2n

Zadanie 111. Wykazac, ze ponizsze grupy sa izomorficzne:a) (Z,+) i grupa (Z,⊕), a ⊕b = a +b +Kb) Zn i grupa obrotów n-kata foremnego,c) Zn i µn ,d) Zn i grupa generowana złozona z wszystkich

poteg cyklu (12. . .n),e) Z6 i Z2 ×Z3,f ) V4 i Z2 ×Z2,g) V4 i {e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)},h) S3 i D3,

i) M(n,R) i Rn2,

j) R∗ i R+× {−1,1},k) C∗ i R+× [0,2π).l) M(2,R) i R4

m) Aut(Z) i Z2,n) Aut(Zn) i Z∗

n .o) Hom(Z24,Z16) 'Z8

p) Hom(Z9,Z12) 'Z3

Zadanie 112. Wykazac, ze grupa z zadania 23 jest izomorficzna z grupa macierzy{[a b0 1

]: a ∈R∗,b ∈R

}

1.9 Zadania 59

Zadanie 113. Wykazac, ze funkcja ϕ : Z→ Z, ϕ(a) = (−1)a a jest izomorfizmem grup (Z,+) i (Z,⊕), a ⊕b =(−1)ab + (−1)b a. Wykazac, ze kazda podgrupa grupy (Z,⊕) jest postaci nZ.

Zadanie 114. Wykazac, ze grupa {[(−1)a a

0 (−1)a

]: a ∈Z

}jest izomorficzna z grupami z poprzedniego zadania.

Zadanie 115. Wykazac, ze podane zbiory macierzy tworza grupy wzgledem mnozeniem macierzy i ze saizomorficzne z grupa Z.

a) {[1 x0 1

]: x ∈Z

}b) {[

1+x −xx 1−x

]: x ∈Z

}c) {[

1−2x 4x0 1+2x

]: x ∈Z

}

Zadanie 116. Udowodnic, ze grupa Dn

Zadanie 117. Wykazac, ze ponizsze grupy sa izomorficzne:a) C ([0,1]) i C ([0,3])b) C ([1,2]) i C ([4,5])c) C ([1,3]) i C ([5,9])

d) C ([1,2]) i C ([4,7])e) C ((−∞,∞)) i C ((−1,1))

f) G =C ([0,1]) i nastepujace podgrupy1)

H = f ∈G : f (x) = f (1/2), x ∈ [0,1/2]}

2)H = f ∈G : f (x) = f (1/2), x ∈ [1/2,1]}

3)H = f ∈G : f (x) = f (1/3), x ∈ [0,1/3], f (y) = f (2/3), y ∈ [2/3,1]}

4)H = f ∈G : f (x) = 2 f (1/2)x, x ∈ [1/2,1]}

g) Podgrupy grupy C ([0,1])1) { f (0) = 0} i { f (x) = 0, x ∈ [0,1/2]}2) { f (0) = 0} i { f (1) = 0}

h) C ([0,1])×C ([0,1]) i C ([0,1])×R.

Zadanie 118. Wykazac, ze jezeli zbiory A i B sa równoliczne, to S(A) ' S(B) oraz P (A) 'P (B).

Zadanie 119. Wykazac, ze ponizsze grupy nie sa izomorficzne:


a) Z iQ,b) R∗ i C∗,

c) R i R∗,d) R∗ i R+,

e) Q i R,f ) Q i Z,

g) Q iQ∗,h) C i C∗

Zadanie 120. Wykazac, ze ciagi arytmetyczne tworza grupe wzgledem działania dodawania ciagów. Wyka-zac, ze ta grupa jest izomorficzna z grupa R2.

Zadanie 121. Wykazac, ze wszystkie grupy rzedu 4, w których spełniony jest warunek

∀a

a2 = e

sa izomorficzne.

Zadanie 122. Niech (G , ·) bedzie grupa, (A,◦) bedzie zbiorem z działaniem i ϕ : G → A odwzorowaniemspełniajacym warunek ϕ(x · y)ϕ(x)◦ϕ(y). Wykazac, ze A jest grupa.

Zadanie 123. Niech (G , ·) bedzie grupa i niech f : G → A bedzie bijekcja. W zbiorze A okreslamy działaniea ¯b = f ( f −1(a)−1(b)). Wykazac, ze (A,¯) jest grupa izomorficzna z grupa G .

Podgrupy

Zadanie 124. Wykazac, ze wszystkie podgrupy grupy Z sa postaci nZ, n ∈N∪ {0}. Wykazac, ze nietrywialnepodgrupy grupy Z sa ze soba izomorficzne.

Zadanie 125. Wypisac wszystkie podgrupy podanych grupa) Z6

b) Z∗6

c) Z8

d) Z∗8

e) V4

f) D3

g) S3

h) D4

i) Z, R C,j) A4.

k) D4

l) Q8

Zadanie 126. Czy zbiór Zk jest podgrupa grupy Zn?

Zadanie 127. Znalezc wszystkie podgrupy grupy S3, a nastepnie, korzystajac z odpowiedniego izomorfi-zmu wyznaczyc wszystkie podgrupy grupy D3.

Zadanie 128. Sprawdzic czy ponizsze zdania sa prawdziwe:a) Z<Q<R<Cb) {0,1} <Z4

c) µn < S1 <Cd) Zn <Zm

e) Zn <Zf) {e, a, a2, . . .} <G , gdzie a ∈Gg) {e, (5,2)(6,4), (5,6)(2,4), (5,4)(2,3)} < S6

h) {e, (1,4,3), (1,3), (3,4)} < S4

Zadanie 129. Wskazac w grupie Sn+1 wszystkie podgrupy izomorficzne z grupa Sn .

Zadanie 130. Dla jakich n,m grupa Zn jest izomorficzna z podgrupa grupy Zm?

Zadanie 131. Dla jakich n,m grupa µn jest izomorficzna z podgrupa grupy µm?

Zadanie 132. W grupie S4 podac wszystkie podgrupy izomorficzne z grupami:a) V4 (dwie),b) S3 (cztery),c) Z2 (dziewiec),d) D4 (jedna).

1.9 Zadania 61

Zadanie 133. Czy grupa D6 zawiera podgrupy izomorficzne z grupami V4 lub S3?

Zadanie 134. Czy G × {eH } <G ×H?

Zadanie 135. Zdefiniujmy zbiórZ (G) = {a ∈G : ∀

b∈Gab = ba}

Wykazac, ze Z (G) <G .

Uwaga: zbiór Z (G), składajacy sie ze wszystkich elementów, które sa przemienne z kazdym elemen-tem grupy nazywamy centrum grupy.

Zadanie 136. Rozpatrzmy zbiór przekształcen prostej x 7→ ax+b, gdzie a,b ∈R, a 6= 0. Udowodnic, ze zbiórten jest grupa wzgledem składania przekształcen. Wykazac, ze zbiory przekształcen postaci:

a) x 7→ x +b,b) x 7→ ax,

sa podgrupami tej grupy.

Zadanie 137. Wykazac, ze jadro dowolnego homomorfizmuϕ : C∗ →R jest podgrupa nieskonczonego rze-du.

Zadanie 138. Z która z grup Z4 lub V4 sa izomorficzne ponizsze podgrupy grupy Gl (2,R)

H1 ={[

1 00 1

][0 1−1 0

][−1 00 −1

][0 −11 0

]}, H2 =

{[1 00 1

][1 00 −1

][−1 00 1

][−1 00 −1

]}

Zadanie 139. Niech G bedzie addytywna podgrupa grupy R taka, ze w kazdym ograniczonym przedzialezawiera sie tylko skonczona liczba jej elementów. Podac przykład takiej grupy. Wykazac, ze G 'Z.

Zadanie 140. Podac przykład dwóch podgrup, których suma nie jest podgrupa.

Zadanie 141. Wykazac, ze przeciecie dowolnej rodziny podgrup jest podgrupa. Wykazac, ze dla kazdegozbioru istnieje najmniejsza podgrupa, która go zawiera.

Zadanie 142. Wykazac, ze:a) jezeli G jest abelowa, to TorG <Gb) czy powyzsze stwierdzenie jest prawdziwe dal grupy nieabelowej?c) wyznaczyc TorC∗

d) jezeli w grupie przemiennej sa elementy nieskonczonego rzedu i wszystkie zawieraja sie w pewnejpodgrupie, to jest ona cała grupa.

Zadanie 143. Wykazac, ze w grupie przemiennej zbiór elementów, których rzad jest dzielnikiem ustalonejliczby tworzy podgrupe. Czy stwierdzenie jest prawdziwe dla grupy nieprzemiennej.

Zadanie 144. Wykazac, ze jezeli F < H i H <G , to F <G .

Zadanie 145. Niech F, H <G . Wykazac, ze F ∪H <G wtedy i tylko wtedy, gdy F ⊂ H lub H ⊂ F .

Zadanie 146. Wykazac, ze jezeli F, H ,K <G i K ⊂ H ∪H , to K ⊂ F lub K ⊂ H .

Zadanie 147. Wykaz, ze dla kazdego dzielnika |Dn | istnieje podgrupa tego rzedu w grupie |Dn |.


Zadanie 148. Niech G bedzie grupa abelowa i nich F, H <G Wykazac, ze F +H jest podgrupa G oraz, ze jestnajmniejsza podgrupa, zawierajaca podgrupy F i G

Zadanie 149. Niech S bedzie podzbiorem grupy G , Wykazac, ze relacja a ∼ b ⇐⇒ ab−1 ∈ S jest relacjarównowaznosci wtedy i tylko wtedy, gdy S <G .

Zadanie 150. Wykazac, zeQ nie ma maksymalnej podgrupy własciwej.

Zadanie 151. Udowodnic, ze jezeli F i H sa podgrupami własciwymi grupy G , to F ∪H 6=G . Podac przykładgrupy G i jej podgrup H1, H2, H3 takich, ze H1 ∪H2 ∪H3 =G .

Zadanie 152. Niech ψ : G →G ′ bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, zea) H <G =⇒ ψ(H) <G ′, b) H ′ <G ′ =⇒ ψ−1(H ′) <G .Wywnioskowac, ze jadro i obraz sa podgrupami.

Zadanie 153. Wykazac, ze jezeli ϕ : G →G ′ jest epimorfizmem grup, to kazda podgrupa grupy G ′ jest obra-zem pewnej podgrupy grupy G .

Generatory

Zadanie 154. Podac zbiór generatorów grupy (Q+, ·). Czy istnieje skonczony zbiór generatorów?

Zadanie 155. Podac zbiory generujace grupe Dn .

Zadanie 156. Sprawdzic, ze transpozycje generuja grupe Sn .

Zadanie 157. Sprawdzic, ze cykle (1 n) i (1 2 . . . n) generuja grupe Sn . Podac inne pary generatorów.

Zadanie 158.a) Wykazac, ze grupa An jest generowana przez cykle długosci 3, a nawet An = ⟨(1 2 3), (1 2 4), . . . , (1 2 n),⟩.b) Wykazac, ze cykle (2 5 4) i (1 2 3 4 5) generuja grupe A5

c) Wykazac, ze jezeli n ≥ 4 jest liczba parzysta, to An jest generowana przez cykle (1 2)(n−1 n) i (1 2. . .n−1)

d) Wykazac, ze jezeli n ≥ 5 jest liczba nieparzysta, to An jest generowana przez cykle (1 n)(2 n − 1) i(1 2. . .n −2)

Zadanie 159. Wyznaczyc wszystkie zbiory dwuelementowe, które generuja grupya) Z6 b) S3 c) Q8 d) D4 e) Z2 ⊕Z2.

Zadanie 160. Wykazac, ze jezeli d jest minimalna liczba generatorów grupy abelowej A, to minimalna licz-ba generatorów grupy A⊕ A jest równa 2d .

Zadanie 161. Wykazac, ze grupa S2 ×S3 jest generowana przez 2 elementy.

Zadanie 162. Niech G = ⟨X ⟩. Wykazac, ze jezeli dwa homomorfizmy zgadzaja sie na zbiorze X to zgadzajasie wszedzie.

Zadanie 163. Wykazac, ze:a) Sn = ⟨(1 2), (1 2 . . .n)⟩,b) Dn = ⟨r, s⟩, gdzie r – obrót o kat 2π

n , s – symetria osiowa,c) Z= ⟨3,5⟩,d) D4 = ⟨(1 2 3 4), (2 4)⟩,e) D5 = ⟨(1 2 3 4 5), (2 5)(3 4)⟩, uogólnic wynik.

Zadanie 164. Wskazac zbiory generatorów podanych grup.

1.9 Zadania 63

a) Z,b) V4,

c) S3,d) D3,

e) Z2 ×Z3,f ) Z2 ×Z4.

Zadanie 165. Wykazac, ze Zm ×Zn = ⟨(a,b)⟩ ⇐⇒ NWD(a,n) = NWD(b,m) = 1. Wykazac, ze grupa Zm ×Zn

posiada ϕ(m)ϕ(n) generatorów.

Zadanie 166. Wykazac, zeQ nie jest generowana przez zaden skonczony zbiór.

Zadanie 167. Podac tabelke grupy generowanej przez dwa elementy a,b, w której generatory spełniajarelacje a2 = e, b2 = e, (ab)n = e.

Grupy cykliczne

Zadanie 168. Wykazac, ze jezeli rz a = n, to elementy a0 = e, a, a2, . . . an−1 sa parami rózne. Jaki jest rzadgrupy ⟨a⟩?

Zadanie 169. Sprawdzic, ze ⟨a⟩ jest grupa abelowa.

Zadanie 170. Niech G bedzie grupa skonczona i a ∈G . Wykazac, ze G = ⟨a⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy rz a =|G|.

Zadanie 171. Niech G bedzie grupa cykliczna rzedu n. Wykazac, zea) G posiada ϕ(n) generatorów.b) dla kazdego k|n istnieje dokładnie jedna podgrupa rzedu k

Zadanie 172. Okreslic liczbe generatorów nieskonczonej grupy cyklicznej.

Zadanie 173. Wyznaczyc liczbe elementów rzedu pm w grupie cyklicznej rzedu pn , gdzie 0 < m ≤ n, p jestliczba pierwsza.

Zadanie 174. Niech G = ⟨a⟩ bedzie grupa cykliczna rzedu n. Wykazac, zea) rz ak = rz al ⇐⇒ NWD(k,n) = NWD(l ,n),b) G = ⟨ak⟩ ⇐⇒ NWD(k,n) = 1,c) kazda podgrupa jest generowana przez element postaci ad , gdzie d |n,d) dla kazdego dzielnika d liczby n istnieje dokładnie jedna podgrupa rzedu d .

Zadanie 175. W grupie cyklicznej rzedu n Znalezc wszystkie elementy g spełniajace warunek g k = e iwszystkie elementy rzedu k, jesli

a) n = 24, k = 6,b) n = 100, k = 20,

c) n = 360, k = 30,d) n = 360, k = 7,

e) n = 24, k = 4,f) n = 100, k = 5,

g) n = 360, k = 12,

Zadanie 176. Wyznaczyc wszystkie podgrupy w grupie cyklicznej rzedu;a) 24,b) 100,

c) 360,d) 125,

e) pn

Zadanie 177. Które z ponizszych grup cyklicznych ⟨g ⟩, g ∈G sa izomorficzne?a) G =C∗, g =− 1p

2+ 1p

2i

b) G =Gl 2,C), g =[

0 1i 0

]c) G = S6, g = (3 2 6 5 1)

d) G =C∗, g = 2− ie) G =R, g = 10f) G =C∗, g = cos 6π

5 + isin 6π5

g) G =Z, g = 3

Zadanie 178. Wykazac, ze jezeli elementy a,b grupy G sa przemienne (tzn. ab = ba), a ich rzedy sa wzgled-nie pierwsze, to ⟨a,b⟩ = ⟨ab⟩. Jaki jest rzad tej podgrupy?


Zadanie 179. Wykazac, ze grupa generowana przez macierz AB , gdzie A =[

0 1−1 0

]B =

[0 1−1 −1

]jest

nieskonczona. Jakie sa rzedy A i B?

Zadanie 180. Sprawdzic, ze macierz

[1 10 1

]generuje nieskonczonapodgrupe cykliczna w grupie Sl (n,Z).

Zadanie 181. Wykazac, ze grupa H jest obrazem homomorficznym grupy cyklicznej G wtedy i tylko wtedy,gdy H jest grupa cykliczna i jej rzad dzieli rzad G .

Zadanie 182. Pokazac, ze kazda grupa której rzad jest liczba pierwsza jest cykliczna.

Zadanie 183. Wykazac, ze kazda podgrupa własciwa grupy µ∞ jest skonczona grupa cykliczna.

Zadanie 184. Wykazac, ze grupa R∗/Q∗ nie jest cykliczna.

Zadanie 185. Dla kazdego a ∈G , wyznaczyc podgrupe cykliczna generowana przez a. Czy G jest cykliczna?a) G =Z6

b) G =Z∗5

c) G =Z∗8

d) G =Z∗9

e) G =Z∗12

f) G =Z∗14

g) G =Z∗15

h) G =Z∗16

i) G =Z∗30

j) G =Q8

k) grupy z zadania 20 a) i b)

Zadanie 186. Sprawdzic, ze 3 jest generatorem grupy Z∗53. Podac inne generatory.

Zadanie 187. Podac generator grupy Z∗n . Z która z grup Zn jest ona izomorficzna? Podac ten izomorfizm.

a) n = 17,18,19b) n = 22,23,27

c) n = 31d) n = 43,46,47

e) n = 50,59f) n = 83

Zadanie 188. Czy grupa (Z,⊕), a ⊕b = a +b +k jest cykliczna?

Zadanie 189. Niech G = ⟨x⟩ bedzie grupa cykliczna. Wykazac, ze:a) ⟨x⟩ = ⟨xm⟩ ⇐⇒ NWD(m, rzn) = 1,b) jezeli |G| =∞, to jedynymi generatorami grupy G sa x i x−1,c) jezeli |G| = n <∞, to G = ⟨x⟩ = ⟨xk⟩ ⇐⇒ NWD(n,k) = 1.d) Wykazac,ze skonczona grupa cykliczna ma ϕ(|G|) generatorów.

Zadanie 190. Okreslic rzad elementów i wyznaczyc podgrupy generowane przez te elementy w grupach:a) Z,b) Zn , 2 ≤ n ≤ 10,c) Z∗

n , 2 ≤ n ≤ 10,

d) S3,e) µn ,f ) Dn ,

g) Z2 ×Z3,h) Z2 ×Z4.

Które z powyzszych grup sa cykliczne?

Zadanie 191. Wykazac, ze grupa Z∗n jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza.

Zadanie 192. Wykazac, ze wszystkie grupy cykliczne rzedu n sa izomorficzne z grupa Zn .

Zadanie 193. Niech G bedzie skonczona grupa cykliczna rzedu n. Wykazac, ze dla kazdego k|n istniejepodgrupa rzedu k.

Zadanie 194. Podac przykład x, y ∈Z takich, ze ⟨x⟩ 6=Z 6= ⟨y⟩, ale ⟨x, y⟩ =Z. Podac analogiczny przykład dlatrzech elementów.

Zadanie 195. Wykazac, ze grupa Zn ×Zn nie jest cykliczna.

1.9 Zadania 65

Zadanie 196. Wykazac, ze grupa Zn ×Zm jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(n,m) = 1.

Zadanie 197. Wykazac, ze grupa Z×Z nie jest cykliczna.

Zadanie 198. Wykazac, ze grupy nie sa izomorficzne:a) Z4 i Z2 ×Z2,b) S3 i Z6.

Zadanie 199. Wykazac, ze obraz homeomorficzny grupy cyklicznej jest grupa cykliczna.

Zadanie 200. Wykazac, ze dla n ≥ 3 grupa Z∗2n nie jest cykliczna.

Wskazówka: zwrócic uwage na elementy 1,−1,2n−1 +1,2n−1 −1}.

Zadanie 201. Wykazac, ze grupa Z∗pn jest cykliczna, p – liczba pierwsza.

Zadanie 202. Wykazac, ze kazda skonczona podgrupa grupy C∗ jest cykliczna.

Zadanie 203. Wykazac, ze grupy Z×Z i Z×Zn nie sa cykliczne

Zadanie 204. Wykazac, ze jezeli |G| jest liczba pierwsza, to grupa G jest cykliczna.

Zadanie 205. Wykazac, ze jezeli G nie jest abelowa, to grupa G/Z (G) nie jest cykliczna.

Zadanie 206. Wykazac, ze jezeli |G| jest kwadratem liczby pierwszej, to G jest abelowa.Wskazówka:Jezeli G jest grupa rzedu p2, to Z (G) 6= {e}. Jaki rzad ma Z (G) jezeli G nie jest abelowa? Jaki rzad ma grupa

G/Z (G). Zauwazyc, ze element wyznaczajacy generator grupy G/Z (G) musi nalezec do Z (G).

Warstwy i podgrupy normalne

Zadanie 207. Wyznaczyc warstwya) (Z,+) wzgledem nZb) (C,+) wzgledem Z[i] = {a +bi : a,b ∈Z}c) (R,+) wzgledem Z

d) (R∗, ·) wzgledem R+e) (C,+) wzgledem R

f) (C∗, ·) wzgledem S1

g) (C∗, ·) wzgledem R∗

h) (C∗, ·) wzgledem R+i) Sn wzgledem podgrupy permutacji stałych na

elemencie nj) (M(3,2),+) wzgledem podgrupy macierzy dla

których a31 = a32 = a22 = 0k) grupy cyklicznej ⟨a⟩ rzedu 6 wzgledem pod-

grupy ⟨a4⟩.

Zadanie 208. Wyznaczyc warstwy grup Z9, Z12, Z∗13 i Z∗

36 wzgledem wszystkich podgrup.

Zadanie 209. Niech g ∈Gl (n,C) i H = Sl (n,C). Wykazac, ze

g H = {A ∈Gl (n,C) : det A = det g }

Zadanie 210. Wykazac, ze odwzorowanie xH 7→ H x−1 jest bijekcja pomiedzy zbiorem warstw lewostron-nych i prawostronnych grupy G wzgledem podgrupy H .

Zadanie 211. Niech g1, g2 ∈G i H1, H2 <G . Wykazac, ze g1H1 ⊂ g2H2 ⇐⇒ H1 ⊂ H2 i g−12 g12.

Zadanie 212. Niech g1, g2 ∈ G i H1, H2 < G . Wykazac, ze jezeli g1H1 ∩ g2H2 6= ;, to jest on warstwa lewo-stronna grupy G wzgledem podgrupy H1 ∩H2.


Zadanie 213. Niech K bedzie warstwa grupy G wzgledem podgrupy H . Wykazac, ze jezeli x, y, z ∈ K , tox y−1z ∈ K .

Zadanie 214. Niech K bedzie niepustym podzbiorem grupy G takim, ze jezeli x, y, z ∈ K , to x y−1z ∈ K .Wykazac, ze K jest warstwa prawostronna wzgledem pewnej podgrupy.

Zadanie 215. Niech H1, H2 <G i H1 ⊂ H2. Wykazac, ze |G : H1| = |G : H2||H2 : H1|.

Zadanie 216. Wykazac, ze w grupie dihedralnej symetrie osiowe stanowia warstwe wzgledem podgrupyobrotów.

Zadanie 217. Niech G = Dn i H = {e, x}. Wykazac, ze warstwy lewostronne wzgledem H róznia sie od pra-wostronnych, gdy n ≥ 3. Wykazac, ze podgrupa złozona z obrotów jest zawsze podgrupa normalna.

Zadanie 218. Niech H ,K < G . Wykaz, ze czesc wspólna warstw aH i bK jest albo zbiorem pustym albowarstwa wzgledem podgrupy H ∩K .

Zadanie 219. Wykaz, ze czesc wspólna dwóch grup o skonczonym indeksie jest podgrupa o skonczonymindeksie.

Zadanie 220. Podac przykład homomorfizmu ϕ : G →G ′ i podgrupy NCG takich, ze ϕ(N )6G ′.

Zadanie 221. Sprawdzic, ze rozkład grupy na warstwy wyznacza relacje równowaznosci w grupie.

Zadanie 222. Wyznaczyc warstwy grupy Sn wzgledem podgrupy Sn−1.

Zadanie 223. Wykazac, ze HCG , jezelia) G jest abelowa i H <Gb) G =GL(n,R) i Sl (n,R)c) G =GL(n,R) i {I ,−I }

d) G = Sn i H = An

e) G = S4 i H =V4

Zadanie 224. Niech

G ={[

a b0 1

]: a ∈R∗, b ∈R

}

H ={[

a 00 1

]: a ∈R∗

}

F ={[

1 b0 1

]: b ∈R

}Wykazac, ze H <G , ale H 6CG i F CG

Zadanie 225. Wyznaczyc wszystkie podgrupy normalne w grupacha) S3

b) A4

c) S4

d) Dn

Zadanie 226. Pokazac, ze podgrupa izomorficzna z grupa D4 nie jest podgrupa normalna S4.

Zadanie 227. Sprawdzic, ze V4 jest podgrupa normalna grupy S4.

Zadanie 228. Wykazac, ze Z (G)CG .

Zadanie 229. Wykazac, ze:a) kazda podgrupa grupy abelowej jest normalna,

1.9 Zadania 67

b) jezeli (G : H) = 2, to HCG ,c) jezeli |G| <∞, to |G/H | = |G|/|H |.

Zadanie 230. Wykaz, ze czesc wspólna dwóch podgrup normalnych jest podgrupa normalna. Wykazac, zeprzekrój dowolnej rodziny podgrup normalnych jest podgrupa normalna.

Zadanie 231. Niech A,BCG i A∩B = {e}. Wykazac, ze ab = ba dla dowolnych a ∈ A i b ∈ B .

Zadanie 232. Wskazac w grupie D4 podgrupy A i B takie, ze ACB , BCD4, ale A 6D4.

Zadanie 233. Wskazac w grupie A4 podgrupy A i B takie, ze ACB , BC A4, ale A 6 A4.

Zadanie 234. Niech G oznacza grupe z zadania 23. Wykazac, zea) zbiór odwzorowan postaci fa,0(x) = ax jest podgrupa grupy G ale nie jest podgrupa normalna,b) zbiór odwzorowan postaci f0,b(x) = x +b jest podgrupa normalna grupy G .

Zadanie 235. Niech G bedzie grupa i H ,F <G , Wykazac, zea) HCG =⇒ HF <Gb) F CG =⇒ HF <Gc) HCG i F CG =⇒ HF CG

Zadanie 236. Niech HCG . Wykazac, ze relacja x ≡H y ⇐⇒ x−1 y ∈ H jest relacja równowaznosci w G

Zadanie 237. Niech ϕG →G ′ bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, zea) jezeli jest epimorfizmem i HCG , to ϕ(H)CG ′

b) H ′CG ′ =⇒ −1(H ′)CG .

Grupy ilorazowe

Zadanie 238. Wykazac, na przykładach, ze jezeli H <G nie jest podgrupa normalna, to zbiór G/H nie musitworzyc grupy. (Wskazówka: wskazac a,b, a′,b′ takie, ze aH = a′H , bH = b′H , ale (ab)H 6= (a′b′)H .

Zadanie 239. Udowodnic, ze jezeli G jest grupa skonczona i HCG , to |G/H | = |G|/|H |.

Zadanie 240. Wykazac, ze grupa ilorazowa G/H jest abelowa wtedy i tylko wtedy, gdy

∀a,b∈G

a−1b−1ab ∈ H

Zadanie 241. Wyznaczyc warstwyZwzgledem nZ i grupe ilorazowaZ/nN. Szczegółowo opisac grupyZ/4Zi Z/5Z.

Zadanie 242. Wyznaczyc grupy ilorazowea) Z16/⟨4⟩,b) Z∗

21/{1,8,13,20}c) Z∗

7 /{1,2,4}

d) Z∗27/{1,8,10,17,19,26}

e) Z∗15/{1,11}

f) Z∗9 /{1,8}

g) Z∗15/{1,4}

h) Z∗20/{1,19}

i) µ12/µ3

j) 4Z/12Z

Zadanie 243. Niech Hn bedzie zbiorem liczb zespolonych o argumentach postaci 2πk/n. Wykazac, zea) R∗/R+b) R/Z' S1,c) Q/Z'µ∞.

d) S1/µn ' S1

e) Hn/R+ 'µn

f) C∗/R∗ ∼ S1

g) C∗/µn 'C∗

h) Hn/µn 'R+i) C∗/S1 'R+

j) C∗/Hn ' S1

k) R∗/{±1},l) C∗/R+,


Zadanie 244. Niech Rn bedzie addytywna grupa n wymiarowej przestrzeni liniowej i niech H bedzie jejpodgrupa złozona z wektorów podprzestrzeni k-wymiarowej. Wykazac, ze Rn/H 'Rn−k .

Zadanie 245. Niech

G =Gl (n,R), H =Gl (n,C), P = Sl (n,R),Q = Sl (n,C)

A = {X ∈G : |det X | = 1}, B = {X ∈ H : |det X | = 1}

N = {X ∈G : det X > 0}

Sprawdzic, zea) G/P 'R∗

b) H/N ' S1

c) H/Q 'C∗

d) G/A 'R+e) G/(N ∩G) 'Z2

f) H/B 'R+

g) Gl (n,R)/Sl (n,R) 'R∗.

Zadanie 246. Wykazac, ze S4/V4 ' S3

Zadanie 247. Sprawdzic, ze w grupie ilorazowej Q/Z kazdy element ma rzad skonczony i dla kazdej liczbynaturalnej n istnieje podgrupa rzedu n.

Zadanie 248. Niechϕ : G →G ′ bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, ze istnieje wzajemnie jednoznacz-na odpowiedniosc pomiedzy podgrupami G zawierajacymi kerϕ i podgrupami G ′ zawartymi imϕ.

Zadanie 249. Niechϕ : G →G ′ bedzie epimorfizmem grup. Wykazac, ze jezeli G/H jest abelowa, to G ′/ϕ(H)jest abelowa.

Zadanie 250. Korzystajac z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie grup wykazac, zea) C∗/R+ ' S1

b) R∗/{−1,1} 'R+c) R∗/R+ ' {−1,1}d) C/R'Re) C∗/S1 'R+f) C∗/R+ ' [0,2π)

g) Q/Zµ∞h) Gl (n,K)/Sl (n,K) 'K∗

i) C/iR'Rj) C∗/R∗ ' S1,

k) C∗/S1 'R+,l) R∗/R+ 'Z2

m) Z/nZ'Zn ,n) S3/A3 'Z2,o) Gl (2,R)/Sl (2,R) 'R∗,p) C/iR'R.

Zadanie 251. Wykazac, ze dla kazdej liczby n ∈N zachodzi Z/nZ'Zn .

Zadanie 252. Udowodnic, ze dla dowolnych m,n ∈N, mZ/mnZ' Zn .

Zadanie 253. Udowodnic, ze dla dowolnych m,n ∈N, µmn/µm 'µn .

Zadanie 254. Udowodnic, ze jezeli G jest grupa skonczona i ϕ : G → F jest homomorfizmem grup, to |G| =|kerϕ| · | imϕ|.

Zadanie 255. Niech G =Gl (n,R) i H = {−I , I }. Wykazac, ze HCG i wyznaczyc G/H .

Zadanie 256. Niech ϕ : G →G ′ bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, ze:a) kerϕCG ,b) jezeli ϕ jest epimorfizmem i HCG , to ϕ(H)CG ′,c) jezeli H ′CG ′, to ϕ−1(H ′)CG .

1.9 Zadania 69

Iloczyn kartezjanski grup

Zadanie 257. Niech (G ,◦) i (G ′,∗) beda grupami. W zbiorze par G ×G ′ definiujemy działanie

(a, a′)(b,b′) = (a ◦b, a′∗b′).

Wykazac, ze zbiór G ×G ′ tworzy grupe. Uogólnic konstrukcje na przypadek dowolnej, skonczonej liczbygrup.

Zadanie 258. Wyznaczyc rzedy i utworzyc tabelki działan w grupach:a) Z2 ×Z2,b) {−1,1}×Z3,

c) Z2 ×Z4,d) Z2 ×Z2 ×Z2.

Zadanie 259. Opisac grupy:a) Z×Z, b) {−1,1}×R.

Zadanie 260. Wykazac, ze iloczyn prosty jest łaczny i przemienny, czy ma element neutralny?

Zadanie 261. Wykaz, ze iloczyn prosty dwóch grup jest grupa.

Zadanie 262. Wykazac, ze jezeli D4 = A ×B , to A = {e} lub B = {e}. Wykazac, to samo dla grupy cyklicznejrzedu pk .

Zadanie 263. Udowodnic, ze grupy Z iQ nie mozna rozłozyc na sume prosta nietrywialnych podgrup.

Zadanie 264. Czy mozna rozłozyc na iloczyn prosty nietrywialnych podgrup grupy:a) S3, b) A4, c) S4, d) Q8.

Zadanie 265. Udowodnic, ze skonczona grupa cykliczna jest suma prosta prymarnych podgrup cyklicz-nych.

Zadanie 266. Udowodnic, ze suma prostaZm⊕Zn jest grupa cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m,n) =1.

Zadanie 267. Rozłozyc na sume prosta grupya) Z6 b) Z12, c) Z60

Zadanie 268. Wykazac, ze C=R+×S1.

Zadanie 269. Wykazac, ze Z∗2n = {−1,1}×⟨3⟩, n ≥ 3.

Zadanie 270. Ile wynosi rzada) iloczynu prostego grup skonczonych,b) elementu iloczynu prostego grup skonczonych?

Zadanie 271. Udowodnic, ze jezeli w grupie abelowej rzedy podgrup A1, A2,. . . Ak sa skonczone i paramiwzglednie pierwsze, to suma tych podgrup jest suma prosta.

Zadanie 272. Niech D < A×B i NWD(|A|, |B |) = 1. Wykazac, ze D ' (D ∩ A)× (D ∩B)


Grupy abelowe

Zadanie 273. Znalezc wszystkie grupy abelowe rzedów 35, 36, 360

Zadanie 274. Wykazac, ze jezeli k jest n.w.w. rzedów wszystkich elementów skonczonej grupy abelowej, tozawiera ona element rzedu k. Czy jest to prawda bez załozenia przemiennosci grupy?

Zadanie 275. Znalezc wszystkie rozkłady na iloczyn prosty grupy złozonej z liczb postaci ±2n , n ∈Z.

Zadanie 276. Niech G bedzie skonczona grupa abelowa. Znalezc wszystkie rozkłady grupy Z⊕G na sumeprosta grup, z których jedna jest nieskonczona grupa cykliczna.

Zadanie 277. Wykazac, ze podgrupa A grupy abelowej G jest składnikiem prostym wtedy i tylko wtedy, gdyistnieje epimorfizm : G → A taki, ze ϕ2 =ϕ.

Zadanie 278. Niech 1, ϕ2 beda homomorfizmami grup A1, A2 w grupe abelowa B . Wykazac, ze istniejejednoznacznie wyznaczony homomorfizm : A1 ⊕ A2 → B taki, ze |Ai =i .

Zadanie 279. Wykazac, ze zbiór homomorfizmów grupy abelowej A w grupe abelowa B tworzy grupe abe-lowa wzgledem działania

(ϕ+ψ)(x) =ϕ(x)+ψ(x), x ∈ A

Grupe te oznaczamy Hom(A,B).

Zadanie 280. Wykazac, zea) AutZ30 ' AutZ15 b) AutZ⊕Z2 'Z2 ⊕Z2

Zadanie 281. Czy ponizsze grupy sa izomorficzne:a) Z6 ⊕Z36 i Z12 ⊕Z18

b) Z6 ⊕Z36 i Z9 ⊕Z24

c) Z6 ⊕Z10 ⊕Z10 i Z60 ⊕Z10

Zadanie 282. Ile jest podgrupa) rzedu 2 i 6 w niecyklicznej grupie abelowej rzedu 12,b) rzedu 3 i 6 w niecyklicznej grupie abelowej rzedu 18,c) rzedu 5 i 15 w niecyklicznej grupie abelowej rzedu 75,

Zadanie 283. Ile jest elementówa) rzedu 2, 4 i 6 w grupie Z2 ⊕Z4 ⊕Z3

b) rzedu 2, 4 i 5 w grupie Z2 ⊕Z4 ⊕Z5

Zadanie 284. Udowodnic, ze jezeli NWD(rz a,n) = 1, to w grupie abelowej równanie nx = a ma rozwiaza-nie.

22222 2 2 2 2 2 2 2 2

Teoria pierscieni

AE5,Ex26Yw1EjY z Yº AE5,ExxwpT 1EjY

AE5,Ex37zE1EjY z Yº XEw6YktYAT ` Tz7qpT1EjY

W tym rozdziale zajmiemy sie teoria pierscieni, czyli teoria badajaca zbiory z dwoma działaniami. Oile omawiajac teorie grup skupilismy sie na pojeciu izomorfizmu i klasyfikacji grup, to w przypadku teo-rii pierscieni przyjrzymy sie dokładniej własnosciom działan. Problem klasyfikacji pierscieni potraktujemypobieznie.

Matematyczne zastosowania teorii pierscieni obejmuja takie działy jak teoria liczb, topologia i geome-tria algebraiczna. Pierscienie reszt modulo i pierscienie wielomianów wykorzystywane sa w kryptografiikomputerowej. W bezposrednim zwiazku z tymi zastosowaniami sa zagadnienia istnienia pierwiastkówwielomianów (rozdział 3) oraz podzielnosci w pierscieniach (rozdział 4). Osobnym polem teorii pierscie-ni jest teoria ciał (rozdział 5).

2.1. Definicja i przykłady

Załózmy, ze R jest niepustym zbiorem w którym okreslone sa dwa działania: + : R ×R → R oraz · : R ×R → R.

Definicja 2.1. Trójke (R,+, · ) nazywamy pierscieniem, jezeli:(R1) (R,+) jest grupa abelowa,(R2) działanie · jest łaczne,(R3) działanie · jest rozdzielne wzgledem działania +.

Pierscien do grupa abelowa wzgledem do-dawania i półgrupa wzgledem mnozenia,które sa połaczone prawem rozdzielnosci.

Działanie + bedziemy nazywali dodawaniem i stosowalinotacje addytywna, a działanie · bedziemy nazywali mnoze-niem i stosowali notacje multiplikatywna. W zwiazku z tymelement neutralny dodawania bedziemy oznaczali przez 0 inazywali zerem pierscienia. Podobnie jak w przypadku grup,bedziemy utozsamiac pierscien ze zbiorem jego elementów.

Zauwazmy, ze definicja pierscienia nie zakłada w przypadku mnozenia istnienia elementu neutralnegoi elementów odwrotnych.

Definicja 2.2. Element neutralny mnozenia (jezeli istnieje) nazywamy jedynka pierscienia.

Definicja 2.3. Element pierscienia z jedynka nazywamy elementem odwracalnym, jezeli posiada elementodwrotny. Zbiór elementów odwracalnych pierscienia R oznaczamy przez R∗ lub U (R).

W zaleznosci od własnosci mnozenia definiujemy nastepujace klasy pierscieni.

72 Rozdział 2. Teoria pierscieni

Definicja 2.4. Pierscien nazywamy pierscieniem z jedynka, jezeli mnozenie posiada jedynke.

Definicja 2.5. Pierscien nazywamy pierscieniem przemiennym, jezeli mnozenie jest przemienne.

Definicja 2.6. Ciałem nazywamy pierscien przemienny z jedynka, w którym 0 6= 1 i kazdy niezerowy ele-ment posiada element odwrotny.

Teorii ciał poswiecimy rozdział ??

Pytanie 1: Zbiór jednoelementowy {0} jest pierscieniem. Czym jest zero? Czym jest jedynka?

2.1.1. Przykłady pierscieni

Ciała liczbowe(Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·)

Sa to pierscienie przemienne z jedynka.

Ciała reszt(Zp ,+p , ·p ), p - liczba pierwsza

Sa to pierscienie przemienne z jedynka.

Rozszerzenia pierscieni Załózmy, ze d jest liczba całkowita, niepodzielna przez kwadrat zadnej liczbynaturalnej róznej od 1, jezeli d < 0 to piszemy i

p−d . Ponizsze zbiory sa pierscieniami ze wzgledu na doda-wanie i mnozenie liczb:

a) Z[p

d ] = {a +bp

d : a,b ∈Z}, szczególnym przypadkiem jest pierscien Z[i],b) Q(

pd) = {a +b

pd : a,b ∈Q}, ten pierscien jest ciałem.

Podobnie mozna okreslic pierscienie Z[ 3p

d ], Q( 3p

d) itd., sa to pierscienie przemienne z jedynka, pier-scienieQ(

pd) sa ciałami.

Pierscien macierzyM(n,K)

gdzieK jest dowolnym pierscieniem, sa to pierscienie nieprzemienne z jedynka.

Pierscien funkcjiC k ((a,b),R) = { f : (a,b) →R : f jest klasy C k }

z działaniem dodawania i mnozenia funkcji indukowanym z ciała R. Te pierscienie bada analiza matema-tyczna. Sa to pierscienie przemienne z jedynka.

Mozna takze rozpatrywac ogólniejsze zbiory odwzorowan o wartosciach w pierscieniach.

Pierscien wielomianów(R[x],+, ·)

ten pierscien zbadamy w rozdziale 3.

Algebra zbiorów(2X ,÷,∩)

gdzie X jest dowolnym zbiorem, sa to pierscienie przemienne z jedynka.

2.2 Dzielniki zera i elementy odwracalne 73

Endomorfizmy grupy abelowej Niech G bedzie grupa abelowa. Zbiór wszystkich endomorfizmów

End(A)

jest pierscieniem przemiennym z jedynka. Szczególnym przypadkiem jest zbiór endomorfizmów przestrze-ni liniowej V , czyli odwzorowan liniowych V →V , który jest badany w ramach Algebry Liniowej.

Zadanie 285. Czy przestrzen liniowa moze byc pierscieniem?

2.2. Dzielniki zera i elementy odwracalne

Własnosci działan w pierscieniach przypominaja własnosci dodawania i mnozenia, (a takze odejmo-wania, dzielenia i potegowania liczb. Poniewaz pierscien jest grupa abelowa wzgledem dodawania, wiecspełnione sa wszystkie własnosci przysługujace dodawaniu w grupach przemiennych opisane w poprzed-nim rozdziale na przykład reguła skracania, która staje sie reguła odejmowania stronami. Takze wszyst-kie własnosci mnozenia jako działania łacznego w szczególnosci pojecie potegi o wykładniku dodatnim.

Dlaczego nie mozna zdefinio-wac potegi xn , n ∈Z?

Róznice wynikaja z faktu, ze mnozenie nie musi byc przemienne i tego zezwykle nie mozna podzielic przez siebie dwóch elementów. Prawdziwejest takze wiele innych własnosci, których oczekiwalibysmy od „sensow-nego” zbioru, w którym mozna dodawac i mnozyc.

Fakt 2.7. Dla dowolnych elementów x1, . . . xn , y1 . . . , ym pierscienia(∑i

xi

)(∑j

y j

)=∑

i , jxi y j .

Fakt 2.8. Dla dowolnych elementów x, y pierscienia i dowolnych m, n ∈Z

(nx)(my) = (nm)(x y)

W szczególnosci (mx)y = x(my) = m(x y). Jezeli pierscien posiada jedynke, to nx = (n1)x i 1x = x. Wpierscieniu mozna zdefiniowac działanie − wzorem a −b = a + (−b), które nazywamy odejmowaniem.

Twierdzenie 2.9. Jezeli R jest pierscieniem, to dla kazdego a,b,c ∈ R zachodza nastepujace własnosci:a) a ·0 = 0 = 0 ·a,b) −ab = (−a)b = a(−b),c) (−a)(−b) = ab,d) jezeli A 6= {0} jest pierscieniem z jedynka, to 0 6= 1,e) a −a = 0f) a − (b − c) = (a −b)+ cg) a(b − c) = ab −ac, (a −b)c = ac −bc.

Jeszcze blizsze zbiorom liczbowym sa pierscienie przemienne.

Fakt 2.10 (wzór dwumianowy Newtona). W kazdym pierscieniu przemiennym zachodzi wzór:

(a +b)n = ∑0≤k≤n

(n

k

)ak bn−k

Aby powyzszy wzór był prawdziwy wystarcza, aby ab = ba.

Pytanie 2: Sprawdzic, ze w pierscieniu nieprzemiennym wzór Newtona nie musi byc prawdziwy. Rozwinac wyrazenia(a +b)2 i (a +b)3 w pierscieniu nieprzemiennym.


Niektóre pierscienie maja własnosci odbiegajace od własnosci zbiorów liczbowych. Moze na przykładsie zdarzyc, ze iloczyn dwóch niezerowych elementów jest równy zero.

Definicja 2.11. Rózny od zera element a nazywamy dzielnikiem zera jezeli:

∃b 6=0

ab = 0∨ba = 0.

Przykład 2.12. W pierscieniu Z6, mamy 2 ·6 3 = 0. Zatem dzielnikami zera sa liczby 2 i 3. Ogólniej, w pierscieniu Zn

dzielnikami zera sa liczby, które nie sa wzglednie pierwsze z n. W szczególnosci, pierscien Zn nie posiada dzielnikówzera wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza.

Dzielniki zera „psuja” dobre własnosci pierscienia, np.: mozliwosc dzielenia równosci stronami lub jed-noznacznosc rozwiazan.

Przykład 2.13. W pierscieniu Z8 prawdziwa jest równosc 2 ·8 0 = 2 ·8 4, jednak 0 6= 4.

Przykład 2.14. Łatwo sprawdzic, ze jedynymi rozwiazaniami układu:{x + y = 3x − y = 1

w pierscieniu Z10 sa: (2,1) i (7,6). Zauwazmy, ze w pierscieniu Z powyzszy układ ma tylko jedno rozwiazanie (2,1).

Zbiór elementów, które nie sa dzielnikami zera ma znacznie lepsze własnosci.

Twierdzenie 2.15. Niech R bedzie pierscieniem. Wtedy:a) zbiór elementów, które nie sa dzielnikami zera jest zamkniety ze wzgledu na mnozenie,b) jezeli a nie jest dzielnikiem zera oraz ab = ac lub ba = ca, to b = c.

Dowód.a) Załózmy, ze a,b ∈ R nie sa dzielnikami zera i (ab)c = 0. Poniewaz a nie jest dzielnikiem zera, wiec

bc = 0. Poniewaz b nie jest dzielnikiem zera, to c = 0. Przypadek c(ab) = 0 dowodzimy podobnie.Zatem ab nie jest dzielnikiem zera.

b) Poniewaz a nie jest dzielnikiem zera, wiec ab = ac =⇒ ab−ac = a(b−c) = 0 =⇒ b−c = 0. Przypadekba = ca = 0 dowodzimy podobnie.

Pytanie 3: Jak zachowuje sie zbiór dzielników zera wzgledem dodawania i mnozenia?

Pierscienie przemienne z jedynka bez dzielników zera nazywamy dziedzinami całkowitosci, zajmiemysie nimi nieco pózniej.

Przykład 2.16. Pierscienie liczbowe sa dziedzinami całkowitosci.

Przypomnijmy, ze element odwracalny pierscienia z jedynka, to element posiadajacy element odwrotny.Zbiór elementów odwracalnych pierscienia z jedynka jest niepusty, bo zawiera jedynke, jednak zwykle jestrózny od całego pierscienia.

Przykład 2.17. Jedynymi elementami odwracalnymi w pierscieniu Z sa liczby −1 i 1. Elementami odwracalnymi wpierscieniu macierzy kwadratowych sa macierze o niezerowym wyznaczniku.

Twierdzenie 2.18. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka rózna od zera. Wtedy:a) jedynka nie jest dzielnikiem zera,b) element odwracalny nie jest dzielnikiem zera,c) zbiór elementów odwracalnych tworzy grupe wzgledem mnozenia,d) zero nie jest elementem odwracalnym.

2.3 Podpierscienie 75

punkt d) to dobrze znane powiedzenie o dzieleniu przez zero

Dowód.a) Zauwazmy, ze dla kazdego elementu mamy 1 ·a = a i a ·1 = a. Jezeli a 6= 0, to 1 ·a i a ·1 sa niezerowe.b) Jezeli a ∈U (R), to istnieje b ∈ R taki, ze ab = 1 = ba. Załózmy, ze a jest dzielnikiem zera, wtedy ac = 0

lub ca = 0, dla pewnego c 6= 0. Zauwazmy, ze ac = 0∨ ca = 0 =⇒ bac = 0∨ cab = 0. Stad c = 0.c) Wystarczy wykazac, ze mnozenie jest zamkniete w zbiorze elementów odwracalnych i element od-

wrotny jest elementem odwracalnym. Pozostawiamy to jako cwiczenie.d) Fakt jest oczywisty.

Pytanie: Jak zachowuje sie zbiór elementów odwracalnych wzgledem dodawania?

Mnozenie pozwala wyróznic jeszcze inne typy elementów, bedziemy je badac w rozdziale 4. Jezeli pier-scien jest ciałem, to zbiór elementów odwracalnych i zbiór elementów nie bedacych dzielnikami zera saidentyczne. Jest to prawda takze w pierscieniach skonczonych.

Twierdzenie 2.19. Niech R bedzie skonczonym pierscieniem przemiennym z jedynka. Ponizsze warunki sarównowazne:

a) a jest elementem odwracalnym,b) a nie jest dzielnikiem zera,c) am = 1, gdzie m jest liczba elementów, które nie sa dzielnikami zera w R.

Dowód. Implikacja a) =⇒ b) jest oczywista.b) =⇒ c) Załózmy, ze a nie jest dzielnikiem zera. Niech a = a1, a2, . . . , am beda wszystkimi elementa-

mi, które nie sa dzielnikami zera w R. Zauwazmy, ze wszystkie elementy ciagu aa1, aa2, . . . , aam sa rózne izaden z nich nie jest dzielnikiem zera. Zauwazmy, ze ciagi a1, a2, . . . , am i aa1, aa2, . . . , aam zawieraja te sameelementy, byc moze w innym porzadku. Stad

a1a2 . . . am = aa1, aa2, . . . , aam = am(a1a2 . . . am)

Poniewaz iloczyn a1a2 . . . am nie jest dzielnikiem zera, wiec am = 1.c) =⇒ a) Jezeli am = 1, to aam−1 = 1. Zatem a ∈U (R).

2.3. Podpierscienie

Analogicznie jak w przypadku teorii grup wprowadzamy pojecie podpierscienia.

Definicja 2.20. Podzbiór S pierscienia R nazywamy podpierscieniem, jezeli:a) ∀x,y∈S x − y ∈ S,b) ∀x,y∈S x y ∈ S.

Fakt, ze S jest podpierscieniem R bedziemy oznaczac S < R.

Zatem podpierscien jest zbiorem zamknietym ze wzgledu na odejmowanie i mnozenie.

Fakt 2.21. Podzbiór S pierscienia R jest podpierscieniem wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierscieniem wzgle-dem działan obcietych do S.

Dodawanie w pierscieniu i podpierscieniu maja takie same własnosci poniewaz grupa addytywna pod-pierscienia jest podgrupa grupy addytywnej pierscienia. Własnosci mnozenia w podpierscieniu moga jed-nak róznic sie od własnosci mnozenia w pierscieniu.


Przykład 2.22. Pierscien z jedynka moze zawierac podpierscien, który nie posiada jedynki. Przykładem jest Z (pier-scien z jedynka) i 2Z (pierscien bez jedynki).

Przykład 2.23. Jedynka w pierscieniu nie musi byc jedynka w podpierscieniu. Jedynka w pierscieniu M at (n,R) jestmacierz jednostkowa, zas jedynka w podpierscieniu

S = {A ∈ M at (n,R) : A =[

a 00 0

], a ∈Z}

jest macierz

[1 00 0

].

Pytanie 4: Czy powyzszy przykład przeczy jednoznacznosci elementu neutralnego?

Przykład 2.24. Kazdy podpierscien pierscienia przemiennego jest pierscieniem przemiennym. Twierdzenie odwrot-ne nie jest jednak prawdziwe. Pierscien M at (n,R) nie jest przemienny, jednak jego podpierscien S, zdefiniowany wpoprzednim przykładzie, jest pierscieniem przemiennym.

Majac na uwadze powyzsze przykłady wprowadzamy nastepujaca definicje.

Definicja 2.25. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka. Podpierscieniem z jedynka pierscienia R nazywa-my podpierscien S, który spełnia warunek 1R ∈ S.

Kazdy pierscien R (z jedynka lub bez) ma dwa podpierscienie niewłasciwe: pierscien zerowy {0} i R. Pod-pierscien z jedynka jest zawsze swoim podpierscieniem z jedynka. Pierscien zerowy jest podpierscieniem zjedynka pierscienia R tylko, gdy R jest pierscieniem zerowym.

Przykład 2.26. W pierscieniu z jedynka wszystkie wielokrotnosci jedynki tworza podpierscien z jedynka.

Na koniec podamy konstrukcje analogiczna do podgrupy generowanej przez zbiór. Pojecie pierscieniagenerowanego przez zbiór pozwala w inny sposób spojrzec na pierscienie złozone z liczb. Ta konstrukcjama duze znaczenie w teorii ciał.

Twierdzenie 2.27. Przekrój dowolnej niepustej rodziny podpierscieni pierscienia R jest podpierscieniempierscienia R.

Dowód. Dowód tego twierdzenia przebiega podobnie jak w przypadku grup.

Powyzsze twierdzenie pozostaje prawdziwe jezeli bedziemy rozpatrywac podpierscienie z jedynka tzn.:przekrój niepustej rodziny podpierscieni z jedynka jest podpierscieniem z jedynka.

Wniosek 2.28. Dla dowolnego podzbioru A ⊂ R istnieje najmniejszy podpierscien (podpierscien z jedynka)zawierajacy zbiór A.

Definicja 2.29. Najmniejszy podpierscien (podpierscien z jedynka) pierscienia (z jedynka) R zawierajacyzbiór A nazywamy podpierscieniem generowanym przez zbiór A. Oznaczamy go przez [A].

Jezeli S < R i A = S ∪ {a, . . . , an}, zamiast [S ∪ {a, . . . , an}] piszemy S[a, . . . , an]. W przypadku gdy R i S saciałami uzywamy notacji S(a, . . . , an). W tym wypadku S(a, . . . , an) takze jest ciałem.

Przykład 2.30. Pierscien Z[i] jest najmniejszym podpierscieniem ciała C zawierajacym zbiór liczb całkowitych orazliczbe i.

Przykład 2.31. CiałoQ(p

2) jest najmniejszym podciałem ciała liczb rzeczywistych zawierajacym liczbep

2.

2.4 Homomorfizmy pierscieni 77

2.4. Homomorfizmy pierscieni

Zajmiemy sie teraz klasa odwzorowan pomiedzy pierscieniami, które zachowuja działania w pierscie-niu.

Definicja 2.32. Niech (R,+, ·) i (S,⊕,¯) beda pierscieniami. Odwzorowanieϕ : R → S nazywamy homomor-fizmem pierscieni, jezeli

∀a,b∈G

ϕ(a +b) =ϕ(a)⊕ϕ(b),

∀a,b∈G

ϕ(a ·b) =ϕ(a)¯ϕ(b).

W przypadku homomorfizmów pierscieni stosujemy identyczne nazewnictwo i konwencje oznaczaniadziałan, co w przypadku homomorfizmów grup. Zauwazmy, ze homomorfizm pierscieni jest takze homo-morfizmem grup addytywnych pierscieni.

Definicja 2.33. Pierscienie R i S sa izomorficzne, jezeli istnieje izomorfizm pierscienia R na pierscien S.Fakt, ze pierscienie izomorficzne oznaczamy R ' S.

Tak samo jak w przypadku grup pierscienie izomorficzna uwazamy za identyczne, rózniace sie tylkonatura elementów. Z kazdym homomorfizmem zwiazane sa jadro i obraz.

Definicja 2.34. Zbiór kerϕ= {a ∈ R : ϕ(a) = 0} nazywamy jadrem homomorfizmuϕ.

Definicja 2.35. Zbiór imϕ=ϕ(R) nazywamy obrazem homomorfizmuϕ.

Podamy teraz podstawowe własnosci homomorfizmów pierscieni. Nie róznia sie one znaczaco od po-dobnych własnosci homomorfizmów grup. Dowody podanych twierdzen sa podobne do dowodów analo-gicznych twierdzen dla homomorfizmów grup, dlatego pozostawiamy ich uzupełnienie jako cwiczenie.

Twierdzenie 2.36. Niech ϕ : R → S bedzie homomorfizmem pierscieni. Wtedy:a) ϕ(0) = 0b) ϕ(nx) = nϕ(x)c) ϕ(xn) =ϕ(x)n , n ∈Nd) ϕ(x) =ϕ(y) ⇐⇒ x − y ∈ kerϕe) jezeli A < R, to ϕ(A) < S,f ) jezeli B < S, to ϕ−1(B) < R.

Wniosek 2.37. Jadro i obraz homomorfizmu sa podpierscieniami.

Twierdzenie 2.38. Złozenie homomorfizmów pierscieni jest homomorfizmem pierscieni. Odwzorowanieodwrotne do izomorfizmu pierscieni jest izomorfizmem pierscieni.

Poniewaz pierscien jest grupa abelowa wzgledem dodawania, wiec wszystkie własnosci homomorfi-zmów pierscieni, w których wystepuje tylko dodawanie sa konsekwencjami własnosci homomorfizmówgrup addytywnych pierscienia. W przypadku mnozenia wymagana jest wieksza ostroznosc.

Na poczatek zbadajmy jak zachowuja sie dzielniki zera przy homomorfizmach.

Przykład 2.39. Niechϕ : Z10 →Z5,ϕ(a) = (a)5. Łatwo sprawdzic, zeϕ jest epimorfizmem pierscieni. Elementy 5,6,8 ∈Z10 sa dzielnikami zera w Z10, zas ϕ(5) = 0,ϕ(6) = 1,ϕ(8) = 3 ∈Z5 nie sa dzielnikami zera.

Przykład 2.40. Niech ϕ : Z→ Z6, ϕ(a) = (a)6. Łatwo sprawdzic, ze ϕ jest epimorfizmem pierscieni. Zaden elementpierscienia Z nie jest dzielnikiem zera, jednak obraz liczb postaci 6k +2, 6k +3 i 6k +4 sa dzielnikami zera.


Twierdzenie 2.41. Jezeli ϕ : R → S jest monomorfizmem pierscieni i a ∈ R jest dzielnikiem zera, to ϕ(a) ∈ Sjest dzielnikiem zera

Dowód. Niech a ∈ R bedzie dzielnikiem zera i niech ab = 0 lub ba = 0. Wtedy ϕ(a) 6= 0 oraz

ϕ(a)ϕ(b) =ϕ(ab) =ϕ(0) = 0, lub ϕ(b)ϕ(a) =ϕ(ba) =ϕ(0) = 0

Pytanie 5: Czy podobne twierdzenie zachodzi dla elementów które nie sa dzielnikami zera?

Trudnosci pojawiaja sie takze, gdy rozpatrujemy homomorfizmy pomiedzy pierscieniami z jedynka.

Przykład 2.42. Załózmy, ze ϕ : Z→ 2Z jest homomorfizmem pierscieni. Oznaczmy x = ϕ(1) i niech y ∈ imϕ. Wtedyistnieje a ∈ Z takie, ze ϕ(a) = y . Zauwazmy, ze y x = ϕ(a)ϕ(1) = ϕ(a) = y . Zatem ϕ(1) jest jedynka w imϕ. Z drugiejstrony, jezeli ϕ(1) = 2N , to ϕ(1)ϕ(1) = 4N 2 6=ϕ(1), zatem ϕ(1) nie jest jedynka.

Przykład 2.43. Niech ϕ : Z→ M at (2,R), ϕ(a) =[

a 00 0

]. Zauwazmy, ze

imϕ= {A ∈ M at (n,R) : A =[

a 00 0

], a ∈Z}

Obydwa pierscienie posiadaja jedynke, jednak ϕ(1Z) = 1imϕ 6= 1M at (n,R).

Twierdzenie 2.44. Załózmy, ze R jest pierscieniem z jedynka, S jest pierscieniem oraz ϕ : R → S jest homo-morfizmem pierscieni. Wtedy:

a) ϕ(1) = 1imϕ,b) jezeli a ∈U (R), to ϕ(a) ∈U (imϕ) oraz ϕ(a)−1 =ϕ(a−1).

Dowód.a) Wezmy dowolne y ∈ imϕ i niech x ∈ R bedzie taki, zeϕ(x) = y . Zauwazmy, zeϕ(1)y =ϕ(1x) =ϕ(x) = y

oraz yϕ(1) =ϕ(x1) =ϕ(x) = y . Czyli ϕ(1) jest jedynka w imϕ.b) Niech a ∈U (R), wtedy ϕ(a)ϕ(a−1) =ϕ(aa−1) = 1 =ϕ(a−1)ϕ(a) =ϕ(a−1a). Zatem ϕ(a)−1 =ϕ(a−1).

Wniosek 2.45. Nie istnieje izomorfizm pierscienia z jedynka na pierscien bez jedynki.

W nastepnych rozdziałach bedziemy zajmowac sie głównie pierscieniami z jedynka. Aby uniknac trud-nosci wprowadzamy pomocnicza definicje.

Definicja 2.46. Niech R i S beda pierscieniami z jedynka. Homomorfizmem pierscieni z jedynka nazywa-my homomorfizm spełniajacy warunek ϕ(1R ) = 1S ,

Od tego momentu, gdy bedziemy rozwazac homomorfizm pomiedzy pierscieniami z jedynka, bedziemywymagac, aby był on homomorfizmem pierscieni z jedynka.

Przykład 2.47. Dla dowolnego pierscienia z jedynka R odwzorowanie ϕ : Z→ R, ϕ(n) = n1R jest homomorfizmempierscieni z jedynka.

Na koniec podamy jeszcze interesujacy fakt pokazujacy, ze kazdy pierscien mozna zanurzyc w pierscienz jedynka. Nowy pierscien musi zawierac (co najmniej) jedynke 1, jej wielokrotnosci n1 i wyrazenia postacix +n1.

2.5 Ideały i pierscienie ilorazowe 79

Twierdzenie 2.48. Niech R bedzie pierscieniem. Zbiór R ×Zwraz z działaniami

(a,k)⊕ (b, l ) = (a +b,k + l ), (a,k)¯ (b, l ) = (ab +ka + l b,kl )

jest pierscieniem z jedynka. Odwzorowanie ι : R → R ×Z, ι(a) = (a,0) jest monomorfizmem pierscieni.

Mozna wykazac, ze pierscien R×Z posiada nastepujaca własnosc uniwersalna: dla kazdego homomorfizmuϕ : R → S istnieje homomorfizmψ : R×Z→ S taki, zeϕ=ψ◦ι. Kazdy homomorfizm indukuje homomorfizmpierscieni z jedynka R ×Z→ S ×Z.

2.5. Ideały i pierscienie ilorazowe

W tym podrozdziale zdefiniujemy podzbiory pierscienia, które odgrywaja podobna role jak podgrupynormalne w teorii grup. Podamy takze analogiczna konstrukcjepierscienia ilorazowego.

2.5.1. Ideał

Definicja 2.49. Podzbiór I pierscienia R nazywamy ideałem pierscienia R, jezeli:a) ∀x,y∈I , x − y ∈ I ,b) ∀r∈R ∀x∈I r x ∈ I .

W zaawansowanym kursie Algebry ide-ał zdefiniowany tak jak tutaj nazywa sieideałem lewostronnym w odróznieniu odprawostronnego dla którego zachodzi wa-runek xr ∈ I . Ideał, który jest lewo-i prawostronny nazywa sie wtedy obu-stronnym. W pierscieniach przemiennychwszystkie te pojecia sa tozsame.

Ideał jest zbiorem zamknietym ze wzgledu na odejmowa-nie, a zatem jest podgrupa grupy addytywnej pierscienia wktórej jest dobrze okreslone działanie (zewnetrzne) mnozeniaprzez elementy pierscienia. Własnosc ax ∈ I nazywa sie czasa-mi własnoscia pochłaniania.

Pytanie 6: Czy ideał jest podpierscieniem? Kiedy jest?

W kaz pierscieniu R zbiory R i {0} sa ideałami. Ideał {0} na-zywamy ideałem zerowym.

Przykład 2.50. Zbiór nZ jest ideałem pierscienia Z. Kazdy element zbioru nZ jest postaci nx, x ∈ Z. Zauwazmy, zenx −ny = n(x − y) ∈ nZ oraz anx = n(ax) ∈ nZ.

Fakt 2.51. Jezeli I jest ideałem pierscienia przemiennego z jedynka R i a ∈U (R), to a ∈ I =⇒ I = R.

Zbadamy teraz jak ideały zachowuja sie przy homomorfizmach.

Przykład 2.52. Homomorfizm ϕ : Z→ Q, ϕ(n) = n, przeprowadza ideał I = 2Z na zbiór ϕ(2Z) = 2Z, który nie jestideałem.

Twierdzenie 2.53. Jezeli ϕ : R → S jest epimorfizmem pierscieni i I ⊂ R jest ideałem, to ϕ(I ) jest ideałempierscienia S.

Dowód. Niech x, y ∈ ϕ(I ) i niech x = ϕ(a) oraz y = ϕ(b). Wtedy x − y = ϕ(a)−ϕ(b) = ϕ(a −b) ∈ ϕ(I ). Po-niewaz, ϕ jest epimorfizmem, to dla dowolnego r ∈ S istnieje c ∈ R taki, ze r = ϕ(c). Stad r x = ϕ(c)ϕ(a) =ϕ(ca) ∈ϕ(I ).

Podanie dowodu nastepnych dwóch twierdzen pozostawiamy jako cwiczenie.

Twierdzenie 2.54. Jezeli ϕ : R → S jest homomorfizmem pierscieni i J ⊂ S jest ideałem, to ϕ−1(J ) jest ide-ałem pierscienia R.


Fakt 2.55. Jadro homomorfizmu jest ideałem.

Uwazny Czytelnik zauwazył, ze po raz ko-lejny pojawiaja sie te same konstrukcje.Ta obserwacja prowadzi do teorii katego-rii i algebry homologicznej - dwóch teoriipozwalajacych spojrzec na matematyke zbardzo duzej ogólnosci.

Podobnie jak dla podpierscieni i grup mozemy zdefinio-wac ideał generowany przez zbiór jako przeciecie wszystkichideałów zawierajacych ten zbiór.

Twierdzenie 2.56. Przekrój dowolnej rodziny ideałów jest ide-ałem.

Definicja 2.57. Najmniejszy (w sensie inkluzji) ideał zawiera-jacy zbiór A nazywamy ideałem generowanym przez zbiór A i oznaczamy przez (A).

Mozna wykazac (cwiczenie), ze w pierscieniu przemiennym

(A) = {x1a1 + . . . , xm am : xi ∈ R, ai ∈ A}

W przypadku gdy A = {a1, . . . , an}, piszemy (A) = (a1, . . . , an).

Pytanie 7: Czy to nie przypomina definicji bazy w przestrzeni liniowej?

Na koniec podajmy jeszcze jedna definicje.

Definicja 2.58. Suma rodziny ideałów {Ik }k ∈ K pierscienia R nazywamy zbiór∑k∈K

Ik ={∑

xk : xk ∈ Ik , xk = 0 dla prawie wszystkich k}

Równowaznie, suma rodziny ideałów jest to najmniejszy ideał zawierajacy kazdy ideał z tej rodziny. Wprzypadku skonczonej rodziny I1, . . . , Ik } suma ideałów jest suma zbiorów I1 + . . .+ Ik . Czyli jest zbioremwszystkich sum x1 + . . .+xk , xi ∈ Ii .

2.5.2. Ideał główny

Ideałami o najprostszej strukturze sa ideały główne. Niech R bedzie pierscieniem przemiennym i niecha ∈ R. Zdefiniujmy zbiór:

(a) = aR = {ax : x ∈ R}

Pytanie 8: Z definicji wykazac, ze zbiór aR jest ideałem.

Definicja 2.59. Ideał (a) nazywamy ideałem głównym generowanym przez element a.

Ideał główny (a) jest zatem zbiorem złozonym z wszystkich wielokrotnosci elementu a. Inaczej mówiacx ∈ (a) wtedy i tylko wtedy, gdy a|x.

Przykład 2.60. Wyprzedzajac wykład podamy przykład ideału, który nie jest ideałem głównym. Jest to ideał genero-wany przez zbiór {2, x} w pierscieniu wielomianów Z[x] (patrz rozdział 3).

Definicja 2.61. Dziedzine całkowitosci R nazywamy dziedzina ideałów głównych (w skrócie d.i.g), jezelikazdy ideał R jest główny.

Przykład 2.62. Ideał nZ jest ideałem głównym pierscienia Z. Mozna wykazac (cwiczenie), ze kazdy ideał pierscieniaZ jest tej postaci, a zatem jest ideałem głównym. Widzimy zatem, ze Z jest dziedzina ideałów głównych.

Przykład 2.63. Pierscien wielomianów R[x] jest d.i.g., jezeli R jest ciałem.

Twierdzenie 2.64. Jezeli R jest dziedzina całkowitosci, to (a) = (b) wtedy i tylko wtedy, gdy a = bu, dla pew-nego u ∈ R∗.

2.5 Ideały i pierscienie ilorazowe 81

Dowód. Jezeli u ∈ R∗, to uR = R oraz aR = buR = bR. Z drugiej strony, jezeli aR = bR, to a = bu i b = av dlapewnego u, v ∈ R. Jezeli a = 0, to b = 0 i a = b1. W przeciwnym wypadku a = avu implikuje 1 = uv (prawoskracania). Czyli u ∈ R∗.

Powyzsze twierdzenie wyznacza relacje równowaznosci w dziedzinie całkowitosci R.

a ∼ b ⇐⇒ (a) = (b) ⇐⇒ u∗ a = bu

Relacja ta nazywa sie relacja stowarzyszenia, spotkamy sie z nia w rozdziale 4, gdy bedziemy badac własno-sci dzielenia w pierscieniach.

Wniosek 2.65. W dziedzinie całkowitosci kazdy ideał główny jest generowany przez jednoznacznie wyzna-czony element (z dokładnoscia do relacji stowarzyszenia).

Przykład 2.66. Kazdy ideał nZ pierscienia Z jest generowany przez n i −n.

2.5.3. Ideał maksymalny. Ideał pierwszy

Niech I bedzie ideałem pierscienia R.

Definicja 2.67. Ideał I nazywamy ideałem maksymalnym, jezeli I 6= R i nie istnieje ideał J taki, ze I $ J $R

Innymi słowy ideał maksymalny nie zawiera sie w zadnym ideale własciwym róznym od niego samego.Mozna wykazac, ze kazdy ideał zawiera sie pewnym ideale maksymalnym.

Definicja 2.68. Ideał I nazywamy ideałem pierwszym, jezeli I 6= R oraz

∀a,b∈R

ab ∈ I =⇒ a ∈ I ∨b ∈ I

Przykład 2.69. Ideał nZ pierscienia Z jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza.

Przykład 2.70. Ideał nZ pierscienia Z jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza lub n = 0.

Fakt 2.71. W pierscieniu przemiennym z jedynka kazdy ideał maksymalny jest pierwszy.

Podamy jeszcze (bez dowodu) twierdzenia opisujace zwiazek pomiedzy jadrem homomorfizmu i ide-ałami. Dowody ponizszych twierdzen mozna znalezc w [1].

Twierdzenie 2.72. Jadro homomorfizmu ϕ : R → S jest ideałem maksymalnym, wtedy i tylko wtedy, gdyϕ(R) jest ciałem.

Twierdzenie 2.73. Jadro homomorfizmu ϕ : R → S jest ideałem pierwszym, wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(R)jest dziedzina całkowitosci.

Fakt 2.74. Jezeli R jest ciałem, to kazdy ideał R jest niewłasciwy.

Fakt 2.75. Kazdy homomorfizm ciał jest monomorfizmem.


2.5.4. Pierscien ilorazowy

Zauwazmy, ze kazdy ideał jest podgrupa normalna grupy addytywnej pierscienia (dlaczego?). Oznaczmyprzez R/I zbiór warstw pierscienia R wzgledem ideału I . Mozna wykazac, ze działania

(a + I )+ (b + I ) = (a +b)+ I , (a + I )(b + I ) = (ab)+ I

definiuja w R/I strukture pierscienia. Zerem jest element 0+I . Jezeli pierscien R posiada jedynke, to jedynkaw R/I jest 1+ I . Jezeli R jest przemienny, to R/I takze jest przemienny.

Definicja 2.76. Zbiór R/I wraz z okreslonymi wyzej działaniami nazywamy pierscieniem ilorazowym pier-scienia R przez ideał I .

Podajmy jeszcze bez dowodu dwa interesujace fakty.

Twierdzenie 2.77. Niech R bedzie pierscieniem przemiennym i niech I bedzie ideałem.a) R/I jest dziedzina całkowitosci wtedy i tylko wtedy, gdy I jest ideałem maksymalnym.b) R/I jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy I jest ideałem pierwszym.

Podobnie jak w teorii grup mamy nastepujace twierdzenia.

Twierdzenie 2.78. Kazdy podpierscien pierscienia ilorazowego R/I jest postaci S/I , gdzie podpierscienS < R zawiera ideał S. Podobnie kazdy ideał R/I jest postaci J/I , gdzie I ⊂ J jest ideałem R. Co wiecej,podpierscien S i ideał J sa wyznaczone jednoznacznie.

Twierdzenie 2.79 (I twierdzenie o izomorfizmie pierscieni). Niech ϕ : R → S bedzie homomorfizmem pier-scieni. Wtedy istnieje dokładnie jeden izomorfizm pierscieni ψ : R/kerϕ→ S taki, ze ψ◦κ=ϕ.

Dowody powyzszych twierdzen sa analogiczne do dowodów analogicznych twierdzen dla grup dlategopozostawiamy je jako cwiczenie.

Przykład 2.80. Dla kazdego n > 0 mamy Z/nZ ' Zn . Jest to ten samy wynik co dla grup, jednak teraz w zbiorachmamy okreslone dwa działania, a powyzszy izomorfizm jest izomorfizmem pierscieni.

Jako zastosowanie twierdzenia o izomorfizmie mamy nastepujace twierdzenie.

Twierdzenie 2.81. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka. Istnieje dokładnie jeden homomorfizm pierscie-ni z jedynka ϕ : Z→ R. Jego obraz jest najmniejszym podpierscieniem z jedynka pierscienia R i składa sie zwszystkich wielokrotnosci 1R . Co wiecej, ℑϕ jest izomorficzny z pierscieniem Z lub Zn .

Dowód. Zauwazmy, ze ϕ : Z→ R, ϕ(n) = n1R jest homomorfizmem pierscieni z jedynka. Wtedy ϕ(1Z) =1R oraz ϕ(n) = ϕ(n1) = n1R . Co oznacza, ze ϕ jest wyznaczony jednoznacznie. Z definicji ϕ otrzymujemynatychmiast, ze ℑϕ zawiera wszystkie wielokrotnosci 1R i tylko je. Poniewaz kazdy podpierscien z jedynkamusi zawierac jedynke wraz z wszystkimi jej wielokrotnosciami, imϕ jest najmniejszym podpierscieniem zjedynka.

Z I twierdzenia o izomorfizmie mamy, ze Z/kerϕ' imϕ. Poniewaz kerϕ= nZ dla pewnego n ≥ 0 (dla-czego?), wiec imZ'Z, gdy n = 0 albo imϕ'Zn .

Zauwazmy, ze liczba n o której mowa w powyzszym twierdzeniu jest jednoczesnie najmniejsza liczbanaturalna taka, ze n1R = 0, a w konsekwencji równiez nx = 0, x ∈ R. Ta obserwacja motywuje ponizszadefinicje.

Definicja 2.82. Charakterystyka pierscienia z jedynka nazywamy najmniejsza liczbe naturalna taka, zen1R = 0. Jezeli taka liczba nie istnieje, to mówimy, ze R ma charakterystyke zero.

2.6 Dziedziny całkowitosci 83

Przykład 2.83. Pierscienie Zn , Zn[x] maja charakterystyke n. PierscienieQ, M at (n,R) maja charakterystyke zero.

Do pojecia charakterystyki powrócimy w rozdziale ??

Twierdzenie 2.84. Niech R bedzie pierscieniem przemiennym z jedynka i niech I ⊂ R bedzie ideałem.a) R/I jest dziedzina całkowitosci wtedy i tylko wtedy, gdy I jest ideałem pierwszym.b) R/I jest ciałem wtedy i tylko wtedy, gdy I jest ideałem maksymalnym.

2.6. Dziedziny całkowitosci

W tym podrozdziale zajmiemy sie jednym z głównych rodzajów pierscieni.

Definicja 2.85. Niezerowy pierscien przemienny z jedynka bez dzielników zera nazywamy dziedzina cał-kowitosci.

Innymi słowy, dziedzina całkowitosci to pierscien przemienny w którym R \ {0} jest monoidem prze-miennym jednak nei wymagamy aby R∗ = R \ {0}. Ta własnosc przysługuje specjalnej klasie dziedzin całko-witosci - ciałom, które omówimy w rozdziale ??. Rozpatruje sie takze pierscienie z jedynka (niekoniecznieprzemienne) w których R∗ = R \ {0}, sa to tak zwane pierscienie z dzieleniem.

Przykład 2.86. Pierscien przemienny z jedynka Zn jest dziedzina całkowitosci wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbapierwsza. Gdy n jest liczba pierwsza, to Zn jest ciałem.

Przykład 2.87. Pierscien liczb całkowitych jest dziedzina całkowitosci, ale nie jest ciałem.

Przykład 2.88. Jezeli R jest dziedzina całkowitosci, to pierscien wielomianów R[x] (patrz ?? jest dziedzina całkowito-sci.

Dziedziny całkowitosci maja dobre własnosci algebraiczne. Przypomnijmy, ze dla elementów które niesa dzielnikami zera zachodzi prawo skracania.

Fakt 2.89. Podpierscien (z jedynka) dziedziny całkowitosci jest dziedzina całkowitosci.

Fakt 2.90. Charakterystyka dziedziny całkowitosci jest równa 0 lub jest liczba pierwsza.

Dowód. Zauwazmy, ze najmniejszy podpierscien dziedziny całkowitosci takze jest dziedzina całkowitosci ijest izomorficzny z Z lub Zp .

W dziedzinach całkowitosci o charakterystyce róznej od zera jest prawdziwy zadziwiajacy wzór.

Fakt 2.91. W pierscieniu przemiennym z jedynka, którego charakterystyka jest liczba pierwsza p, zachodzawzory

(x + y)p = xp + y p , (x − y)p = xp − y p

2.7. Ciało ułamków

Mozna wykazac, ze jezeli istnieje monomorfizm pierscienia R w ciało K (czyli włozenie), to R jest dzie-dzina całkowitosci. Pytanie, które mozna postawic, to czy dla kazdej dziedziny całkowitosci istnieje włozeniew pewne ciało.Przykład 2.92. Jezeli R =Z, to odwzorowanie ϕ : Z→Q, ϕ(k) = k jest szukanym włozeniem.


Ciało F, które zawiera pierscien R musi zawierac takze odwrotnosci wszystkich niezerowych elementówR i wszystkie iloczyny postaci x y−1, x, y ∈ R, czyli elementów rzeczywiscie przypominajacych ułamki 1/x ix/y . Zauwazmy, ze dodawanie i mnozenie wyrazen postaci x y−1 przebiega w sposób podobny do dodawa-nia i mnozenia ułamków

x y−1 +ab−1 = (xb + y a)(yb)−1), (x y−1)(ab−1) = (xa)(yb)−1.

Co wiecej, zauwazmy, ze x y−1 = ab−1 wtedy i tylko wtedy, gdy xb = y a. Powyzszy rozwazania sugerujasposób rozwiazania problemu. Szukanym ciałem jest zbiór złozony z „ułamków” utworzonych z elementówR. Konstrukcja szukanego ciała rzeczywiscie jest analogiczna do konstrukcji liczb wymiernych.

W zbiorze {(a,b) : a,b ∈ R,b 6= 0} wprowadzamy relacje

(a1,b1) ∼ (a2,b2) ⇐⇒ a1b2 = a2b1.

Fakt 2.93. Relacja ∼ jest relacja równowaznosci.

Mozemy zatem rozpatrywac zbiór ilorazowy (czyli zbiór wszystkich klas abstrakcji) relacji ∼: (R × (R \{0})/ ∼.

Definicja 2.94. Klase abstrakcji pary (a,b) nazywamy ułamkiem o liczniku a i mianowniku b. Ułamek(a,b) oznaczmy a/b lub a

b . Zbiór wszystkich ułamków bedziemy oznaczac przez (R).

Majac za wzór „szkolne” definicje działan na ułamkach i przeprowadzone wyzej rozwazania, w zbiorzeR(R) definiujemy działania dodawania i mnozenia:

a

b+ c

d= ad +bc

bda

b· c

d= ac

bd.

Zauwazmy, ze działania sa dobrze okreslone, gdyz bd 6= 0.

Lemat 2.95. Definicje działan nie zaleza od wyboru reprezentanta.

Dowód ponizszego twierdzenia pozostawiamy jako cwiczenie.

Twierdzenie 2.96. Zbiór (R) wraz ze zdefiniowanym wyzej działaniami dodawania i mnozenia tworzy ciało.Zerem w tym pierscieniu jest ułamek 0/1, jedynka jest ułamek 1/1.

Definicja 2.97. Zbiór (R) nazywamy ciałem ułamków pierscienia R.

Łatwo sprawdzic, ze odwzorowanie ι : R → (R), ι(a) = a/1 jest monomorfizmem pierscieni. Czesto utoz-samia sie pierscien R z podpierscieniem złozonym z elementów x/1.

Przykład 2.98. Ciałem ułamków pierscienia Z jest ciało liczb wymiernychQ. Zauwazmy, ze formalnie Z nie jest pod-zbiorem Q jednak zwyczajowo (korzystajac z monomorfizmu x 7→ x/1) traktuje sie Z jako podzbiórQ.

Przykład 2.99. Ciało ułamków pierscienia wielomianówK[x] składa sie z funkcji wymiernych. Oznaczamy jeK(x).

Konstrukcja ciała ułamków prowadzi do ciekawego przykładu.

Przykład 2.100. Niech p bedzie liczba pierwsza. Zauwazmy, ze ciało Zp (x) jest ciałem nieskonczonym gdyz Z[x] ⊂Zp (x). Jednoczesnie charakterystyka tego ciała jest skonczona i równa p.

Pytanie 9: Czy konstrukcje ciała ułamków mozna uogólnic na dowolny pierscien Zn? Innymi słowy czy mozna utwo-rzyc ciało ułamków nad pierscieniem z dzielnikami zera?

2.8 Zadania 85

Ciała ułamków maja nastepujaca własnosc uniwersalna:

Twierdzenie 2.101. Niech R bedzie dziedzina całkowitosci i niech F bedzie ciałem. Kazdy monomorfizm: R → Fmozna zapisac jednoznacznie w postaciϕ=ψ◦ι, gdzieψ : (R) → F,ψ(x/y) =ϕ(x)ϕ(y)−1 oraz ι : R →(R), ι(a) = a/1.

Mozna wykazac, ze powyzsza własnosc uniwersalna wyznacza jednoznacznie (z dokładnoscia do izo-morfizmu) ciało ułamków. Jezeli traktujemy R jak podpierscien ciała (R), to kazdy monomorfizm z R wciało F rozszerza sie jednoznacznie do monomorfizmu (R) → F. Inaczej mówiac, z dokładnoscia do izomor-fizmu (R) jest najmniejszym ciałem zawierajacym R jako podpierscien. Z powyzszego twierdzenie wynikanastepujaca charakteryzacja ciała ułamków.

Wniosek 2.102. Niech R bedzie podpierscieniem ciała F. Identycznosc na R rozszerza sie do izomorfizmuF' (R) wtedy i tylko wtedy, gdy kazdy element ciała Fmoze byc zapisany w postaci ab−1, a,b ∈ R, b 6= 0.

2.8. Zadania

Zadanie 286. Wykazac, ze zbiór A z działaniami + i · takimi, zea) (A,+) jest grupab) (A, ·) jest monoidem.

jest pierscieniem z jedynka.

Zadanie 287. Wykazac, ze:a) a ·0 = 0 = 0 ·a,b) −ab = (−a)b = a(−b),c) (−a)(−b) = ab,d) jezeli A 6= {0} jest pierscieniem z jedynka, to

0 6= 1,

e) a −a = 0f) a − (b − c) = (a −b)+ cg) a(b − c) = ab −ac,h) (a −b)c = ac −bc.

Zadanie 288. Wykazac, ze ponizsze zbiory tworza pierscienie wzgledem dodawania i mnozenia liczba) Z,Q, R, C z dodawaniem i mnozeniem liczb,b) (Zn ,+n , ·n) z dodawaniem i mnozeniem modulo n,c) M(n,K) z dodawaniem i mnozeniem macierzy.d) Z[i] z dodawaniem i mnozeniem liczb,e) Z[

p2] z dodawaniem i mnozeniem liczb,

Czy sa to pierscienie przemienne? Wskazac, jezeli istnieje, jedynke. Wyznaczyc zbiór elementów odwracal-nych.

Zadanie 289. Zbadac czy ponizszy zbiór jest pierscieniem:a) Z×Z,b) nZ, m ≥ 2,c) M(n,Z),d) Z[

p2],

e) Q(p

2),f) Z[i],g) C[a,b],h) { f ∈C[a,b] : f (a) = f (b)},

i) { f ∈C[0,1] : f (0) = 0},j) { f ∈C[0,1] : f (0) = f (1)}.

k)

Z

[1

2(1+p

3)

]= {a +b

1

2(1+p

3) : a,b ∈ Z }

l)Z

[3p

2]= {a +b

3p

2+ c3p

4: a,b,c ∈ Z }

Czy sa to pierscienie przemienne? Wskazac, jezeli istnieje, jedynke. Wyznaczyc zbiór elementów odwra-calnych.


Zadanie 290. Podac przykład niezerowego pierscienia i elementu x 6= 0 takiego, ze xn = 0 dla pewnegon > 0.

Zadanie 291. Wykazac, ze zbiór endomorfizmów grupy abelowej jest pierscieniem przemiennym z jedyn-ka.

Zadanie 292. Wykazac, ze U (Zn) =Z∗n .

Zadanie 293. Niech R bedzie pierscieniem. Wykazac, ze zbiór R ×Zwraz z działaniami

(a,k)⊕ (b, l ) = (a +b,k + l ), (a,k)¯ (b, l ) = (ab +ka + l b,kl )

jest pierscieniem z jedynka. Wykazac, ze odwzorowanie ι : R → R ×Z, ι(a) = (a,0) jest monomorfizmempierscieni.

Zadanie 294. Wykazac, ze przekrój rodziny podpierscieni (z jedynka) jest podpierscieniem (z jedynka).

Zadanie 295. Wykazac, ze najmniejszy podpierscien zawierajacy zbiór X zawiera wszystkie sumy wszyst-kich iloczynów elementów z X i elementów do nich przeciwnych.

Zadanie 296. Wykazac, ze pierscien Zn jest dziedzina całkowitosci wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbapierwsza. Wykazac, ze w jezeli jest dziedzina całkowitosci, to ciałem.

Zadanie 297. Niech R bedzie monoidem przemiennym w którym zachodzi prawo skracania. Skonstruowacgrupe ułamków (S).

Zadanie 298. Wykaz, zeQ,Q(p

3), R, C i Zp , gdzie p - liczba pierwsza, sa ciałami.

Zadanie 299. Zbadac, czy jezeli A < R i a ∈ A jest dzielnikiem zera w A, to jest dzielnikiem zera w R i naodwrót.

Zadanie 300. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka takim, ze U (R) = R \ {0}. Czy podpierscien B musispełniac warunek U (B) = B \ {0}?

Zadanie 301. Wykazac, ze zbiór elementów odwracalnych tworzy grupe wzgledem mnozenia.

Zadanie 302. Wykazac, ze element odwracalny nie jest dzielnikiem zera.

Zadanie 303. Jezeli istnieja, wyznaczyc dzielniki zera w podanych pierscieniach:a) Z×Z, R×R,b) Zn , n = 2,3,4,5,6,c) Zn ×Zn , n = 2, . . . ,10,d) Z[

p2],

e) Z[i],f ) Q(

p2),

g) C([0,1],R),h) M ap([0,1],R).

Zadanie 304.a) Czy suma elementów odwracalnych jest elementem odwracalnym?b) Czy suma elementów nieodwracalnych jest elementem odwracalnym?c) Czy suma dzielników zera jest dzielnikiem zera?d) Czy suma dzielników zera jest elementem odwracalnym?e) Czy iloczyn elementów, które nie sa dzielnikami zera moze byc dzielnikiem zera?f) Czy 1 moze byc dzielnikiem zera?

2.8 Zadania 87

Zadanie 305. Wykazac, ze zbiór macierzy wymiaru m na n wraz z naturalnym działaniem dodawania iz zerowym mnozeniem tworzy pierscien.

Zadanie 306. Pokazac, ze nZ<Z oraz Z<Z[i] <C.

Zadanie 307.a) Podac przykłady pierscieni, które nie sa ciałami.b) Podac przykład pierscienia, którego podpierscien jest ciałem.c) Podac przykład ciała, którego podpierscien nie jest ciałem.

Zadanie 308. Wyznaczyc liczbe dzielników zera w pierscieniu Zp ×Zp , gdzie p – liczba pierwsza.

Zadanie 309. Zbadac czy zbiory { f ∈C[0,1] : f (0) = 0} i { f ∈C[0,1] : f (0) = f (1)} sa podpierscieniami pierscie-nia C[0,1].

Zadanie 310. Wykazac, ze a ∈U (Zn) wtedy i tylko wtedy, gdy NW D(a,n) = 1.

Zadanie 311. Wskazac macierze X ,Y ∈ M(2,R) takie, ze X Y = 0 i Y X 6= 0.

Zadanie 312. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka i bez dzielników zera. Wykazac, ze:a) jezeli ab, to a,b ∈U (R),b) jezeli ab, ba ∈U (R), to a,b ∈U (R) (załozenie o braku dzielników zera mozna opuscic).

Zadanie 313. Niech A bedzie podpierscieniem pierscienia R. Zbadac, czya) jezeli R ma jedynke, to A ma jedynke,b) jezeli a ∈U (R), to a ∈U (A),c) jezeli a ∈U (A), to a ∈U (R).

Zadanie 314. Wyznaczyc podpierscien pierscienia C generowany przeza) Z∪ {i},b) Z∪ {

p2},

c) Z∪ {p

2, i},d) {

p2, i},

e) Z∪ { 16 }.

Homomorfizmy pierscieni

Zadanie 315. Sprawdzic, czy ponizsze funkcje sa homomorfizmami pierscieni. Jezeli tak, to wyznaczycjadro i obraz.

a) f : R→R, f (x) = a +x, aR,b) f : R2 →R, f (x, y) = x + y ,c) φ : C[0,1] →R, φ( f ) = f (1),d) f : M(n,R) →R, f (A) = det(A),

e) f : M(n,R) →R, f (A) = T −1 AT , T ∈Gl (n,R),f ) f : Z→Zn , f (k) = (k)n ,

g) ϕ : R→ M at (2,R), ϕ(x) =[

0 x0 0

].

Czy sa to homomorfizmy pierscieni z jedynka?

Zadanie 316. Zbadac, czy ponizsze pierscienie sa izomorficzne:a) C i R,b) Q i Z,c) Z[

p2] i Z[

p5],

d) Z[i] i Z[p

5],e) Q[

p2] iQ[i],

f ) (*) C[0,1] i C[3,4].

Zadanie 317. Zbadac, czy istnieja homomorfizmy pierscieni:


a) Z iQ,b) Z[

p2] iQ[

p2],

c) Zn i Zm ,d) Z i Zn .

Zadanie 318. Sprawdzic, czy jezeli R i S sa pierscieniami oraz f : R → S jest homomorfizmem pierscieni,to:

a) f (0) = 0, f (−a) =− f (a),b) f (a−1) = f (a)−1, a ∈ R∗,c) jezeli A < R, to f (A) < S,d) jezeli B < S, to f −1(B) < R,e) jezeli a ∈ R jest dzielnikiem zera, to f (a) jest dzielnikiem zera,f) jadro i obraz sa podpierscieniami,g) f (1R ) = 1S .

Do kazdego nieprawdziwego zdania podac załozenia, które nalezy przyjac, aby było prawdziwe.

Zadanie 319. Wykazac, ze zbiory Q[i] i Q[p

2] sa izomorficzne jako przestrzenie liniowe nad Q, ale nie saizomorficzne jako pierscienie.

Ideały. Pierscienie ilorazowe

Zadanie 320. Wykazac, ze ideał pierwszy pierscienia przemiennego z jedynka jest maksymalny.

Zadanie 321. Wykazac, ze przekrój rodziny ideałów jest ideałem.

Zadanie 322. Niech I , J beda ideałami pierscienia R. Wykazac, ze I ∪ J jest ideałem R wtedy i tylko wtedy,gdy I ⊂ J lub J ⊂ I .

Zadanie 323. Niech R bedzie pierscieniem przemiennym z jedynka. Wykazac, ze zbiór

{x ∈ R : xn = 0 dla pewnego n > 0}

jest ideałem R.

Zadanie 324. Wykazac, ze ideał nZ pierscienia Z jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierw-sza. Wykazac, bezposrednio ze kazdy ideał pierwszy Z jest maksymalny.

Zadanie 325. Sprawdzic, ze zbiór aR = {ax : x ∈ R} jest ideałem.

Zadanie 326. Wykazac, ze jezeli ideał I zawiera element odwracalny, to I = R.

Zadanie 327. Wykazac, ze jezeli I jest ideałem to (I ,+) jest podgrupa (R,+). Czy I jest podpierscieniem?

Zadanie 328. Sprawdzic, czy ponizsze zbiory sa ideałami:a) I = { f ∈C[0,1] : f (0) = 0}, R =C[0,1],b) jadro dowolnego homomorfizmu,

c) I ={[

x 0y 0

]∈ R

}, R = M(2,R),

d) I ={[

x 00 y

]∈ R

}, R = M(2,R),

e) I = {det(A) = 0}, R = M(2,R),f ) I = aR +bR, R pierscien przemienny.

2.8 Zadania 89

Zadanie 329. Wykazac, ze kazdy ideał pierscienia Z jest postaci (k), k ∈Z.

Zadanie 330. Wskazac generator ideału pierscienia Z generowanego przez zbiory {6,18} oraz {12,35}.

Zadanie 331. Wykazac, ze kazdy ideał pierscienia Zn jest postaci kZn , gdzie k|n lub k = 0.

Zadanie 332. Wykazac, ze Z/nZ' Zn .

Zadanie 333. Wyznaczyc pierscienie ilorazowe Z15/(13), Z12/(4) oraz Z[i]/(2).

Zadanie 334. Wykazac, ze Z[i]/I 'Z25, gdzie I = (3+4i)Z[i].

Zadanie 335. Korzystajac z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie pierscieni wykazac, ze:a) Z[i]/(3+2i) 'Z13, (wsk. φ(m) = m + I ),b) Z/nZ' Zn ,c) C[0,1]/I 'R, I = { f (1) = 0},d) M(2,Z)/M(2,nZ) ' M(2,Zn).

Zadania rózne

Zadanie 336. Wykazac, ze ideał nZ jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza.

Zadanie 337. Wykazac, ze ideał nZ jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsza lub n = 0

Zadanie 338. Wskazac ideał pierwszy w nastepujacych pierscieniach: Z6, Z8, Z6[x].

Zadanie 339. Wskazac niezerowy ideał pierwszy w Z[x], który nie jest maksymalny. Podac przykłady ide-ałów maksymalnych w tym pierscieniu.

Zadanie 340. Udowodnic, ze kazdy ideał maksymalny jest pierwszy.

Zadanie 341. Pokazac, ze zbiór I = { f ∈ C [0,2] : f (1) = 0} jest ideałem maksymalnym pierscienia C [0,2].Pokazac, ze C [0,2]/I 'R.

Zadanie 342. Kiedy ideał zerowy jest pierwszy?

33333 3 3 3 3 3 3 3 3

Pierscien wielomianów

W tym rozdziale bedziemy zajmowac sie waznym przykładem pierscienia – pierscieniem wielomianów.Wielomiany okresla sie w analizie matematycznej jako pewne funkcje. Dla Algebry wygodniejsze jest utoz-samienie wielomianu z jego współczynnikami, gdyz dwa rózne układy współczynników moga okreslac tasama funkcje.

Na tym wykładzie zajmiemy sie zagadnieniem istnienia pierwiastków wielomianów, czyli takich ele-mentów pierscienia dla których funkcja wyznaczona przez wielomian przyjmuje wartosc zero. Opisaniezbioru pierwiastków wielomianu (lub ogólniej, układu równan wielomianowych wielu zmiennych) jest hi-storycznie jednym z podstawowych zadan algebry.

Od tej pory, o ile nie zostanie powiedziane inaczej:

pierscien = pierscien przemienny z jedynka

Teorie wielomianów mozna z powodzeniem rozwijac nad pierscieniami z jedynka (niekoniecznie prze-miennymi). Przemiennosc jest jednak wymaganiem na tyle naturalnym, ze przedstawiona teoria nie tracina ogólnosci. Dociekliwy Czytelnik bez trudu wskaze wszystkie fragmenty w których przemiennosc odgry-wa istotna role np.: twierdzenie Bezout’a.

Konstrukcje pierscienia wielomianów jednej zmiennej mozna uogólnic na przypadek wielu zmiennych.Pierscien wielomianów wielu zmiennych ma duze znaczenia dla teorii równan i geometrii. Mozliwe jesttakze podanie teorii szeregów potegowych nazywanych szeregami Laurent’a.

3.1. Definicja

Niech R bedzie pierscieniem.

Definicja 3.1. Wielomianem o współczynnikach z R nazywamy ciag

f = (a0, a1, a2, . . .)

elementów pierscienia, dla którego istnieje n ∈ N takie, ze am = 0, dla kazdego m > n.

Wielomian f = (0,0, . . .) nazywamy wielomianem zerowym i oznaczamy symbolem 0. Wielomian f =(1,0, . . .) oznaczamy symbolem 1. Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach z R oznaczamy sym-bolem R[x].

Definicja 3.2. Liczbe n nazywamy stopniem wielomianu f = (a0, a1, a2, . . .), jezeli an 6= 0 i am = 0, dlawszystkich m > n. Stopien wielomianu oznaczamy przez deg( f ). Przyjmujemy, ze deg(0) =−∞.

92 Rozdział 3. Pierscien wielomianów

Jest oczywiste, ze dla m > deg( f ), am = 0. Jezeli f jest wielomianem stopnia n to:a) pierscien R nazywamy pierscieniem współczynników,b) elementy ai nazywamy współczynnikami wielomianu,c) współczynnik a0 nazywamy wyrazem wolnym,d) współczynnik an nazywamy najwyzszym współczynnikiem,e) wielomiany stopnia n = 0 i wielomian zerowy nazywamy wielomianami stałymi,f ) wielomian, którego najwyzszy współczynnik jest równy 1 nazywamy wielomianem unormowanym.W zbiorze R[x] wprowadzimy strukture pierscienia. W tym celu definiujemy działania dodawania i mno-

zenia:

(a0, a1, a2, . . .)+ (b0,b1,b2, . . .) = (a0 +b0, a1 +b1, a2 +b2, . . .)

(a0, a1, a2, . . .)(b0,b1,b2, . . .) = (c0,c1,c2, . . .), ck = ∑i+ j=k

ai b j

Twierdzenie 3.3. Zbiór R[x] z okreslonymi wyzej działaniami dodawania i mnozenia tworzy pierscien (prze-mienny z jedynka).

Dowód. Niech f , g ,h beda wielomianami

f = (a0, a1, a2, . . .), g = (b0,b1,b2, . . .), h = (c0,c1,c2, . . .).

Z okreslenia działan wynika natychmiast, ze suma i iloczyn wielomianów jest wielomianem. Dodawaniejest przemienne poniewaz + w R jest przemienne oraz

f + g = (a0 +b0, a1 +b1, a2 +b2, . . .) = (b0 +a0,b1 +a1,b2 +a2, . . .) = g + f

Podobnie, korzystajac z łacznosci dodawania w R, wykazujemy łacznosc dodawania w R[x]. Elementemneutralnym dodawania jest wielomian zerowy, gdyz

f +0 = (a0 +0, a1 +0, a2,+0, . . .) = f .

Poniewaz(a0, a1, a2, . . .)+ (−a0,−a1,−a2, . . .) = (0,0,0, . . .),

wiec kazdy wielomian posiada wielomian przeciwny. Zatem (R[x],+) jest grupa abelowa.Wykazemy teraz, ze mnozenie wielomianów jest przemienne. Z przemiennosci pierscienia R oraz ze

definicji mnozenia w R[x] otrzymujemy

f g = (a0, a1, a2, . . .)(b0,b1,b2, . . .) = (c0,c1,c2, . . .), ck = ∑i+ j=k

ai b j

g f = (b0,b1,b2, . . .)(a0, a1, a2, . . .) = (c ′0,c ′1,c ′2, . . .), c ′k = ∑i+ j=k

bi a j

oraz ck = c ′k . Stad f g = g f . Udowodnimy teraz łacznosc mnozenia. Z okreslenia mnozenia mamy:

( f g )h = (q0, q1, q2, . . .)h = (r0,r1,r2, . . .), qi =∑

m+n=iambn , rk = ∑

i+ j=kqi c j ,

f (g h) = f (q ′0, q ′

1, q ′2, . . .) = (r ′

0,r ′1,r ′

2, . . .), q ′j =

∑m+n= j

bmcn , r ′k = ∑

i+ j=kai q ′

j

Stad

rk = ∑i+ j=k

qi c j =∑

i+ j=k

( ∑m+n=i

ambn

)c j =

∑m+n+ j=k

ambnc j =

= ∑m+n+i=k

ai bmcn = ∑i+ j=k

ai

( ∑m+n= j

bmcn

)= ∑

i+ j=kai q ′

j = r ′k

3.1 Definicja 93

i ostatecznie ( f g )h = f (g h). Jedynka w R[x] jest wielomian 1 = (1,0,0, . . .), gdyz

(a0, a1, a2, . . .)(1,0,0, . . .) = (a0, a1, a2, . . .).

Pozostało wykazac rozdzielnosc. Niech f (g +h) = (q0, q1, q2, . . .), gdzie

qn = ∑i+ j=k

ai (b j + c j ) = ∑i+ j=k

ai b j +∑

i+ j=kai c j .

Wyrazenia∑

i+ j=k ai b j i∑

i+ j=k ai c j sa współczynnikami wielomianów f g i f h. Ostatecznie f (g +h) = f g +f h, a wiec mnozenie jest rozdzielne wzgledem dodawania.

Definicja 3.4. Pierscien (R[x],+, ·) nazywamy pierscieniem wielomianów jednej zmiennej o współczynni-kach w R lub krótko pierscieniem wielomianów nad R.

Zapis wielomianu w postaci ciagu jest niewygodny i nie odpowiada naszym przyzwyczajeniom. Dlategowprowadzamy zapis uproszczony.

Fakt 3.5. Odwzorowanie ϕ : R → R[x], ϕ(a) = (a,0,0, . . .) jest monomorfizmem pierscieni.

Powyzszy fakt pozwala nam utozsamiac wielomiany stałe z elementami pierscienia współczynników, wten sposób zapis a = (a,0,0, . . .) nie prowadzi do nieporozumienia. Zauwazmy, ze w dla dowolnego wielo-mianu mamy:

a(a0, a1, a2, . . .) = (aa0, aa1, aa2, . . .).

Idac dalej, przyjmijmy oznaczenie x = (0,1,0, . . .). Łatwo sprawdzic, ze

x2 = (0,0,1,0, . . .), x3 = (0,0,0,1,0, . . .), itd.

Dowolny wielomian mozemy zapisac w postaci:

(a0, a1, a2, . . .) = (a0,0,0, . . .)+ (0, a1,0, . . .)+ (0,0, a2, . . .)+ . . . == (a0,0,0, . . .)(1,0,0, . . .)+ (a1,0,0, . . .)(0,1,0, . . .)+ (a2,0,0,0, . . .)(0,0,1, . . .)+ . . . =

= a0 ·1+a1x +a2x2 + . . .

Wprowadzony powyzej zapis wielomianu w postaci a0+a1x+a2x2+ . . . bedizemy stosowac notacje uprosz-czona

Zauwazmy, ze przyjete wczesniej oznaczenia wielomianów 0 i 1 współgraja z notacja uproszczona. Uspra-wiedliwia to takze oznaczenie pierscienia wielomianów przez R[x] (por. takze pierscien generowany). Wdalszym ciagu bedziemy stosowac wyłacznie zapis uproszczony. W tym przypadku działania dodawania imnozenia wykonuje sie sposobem „szkolnym”. Obliczone w ten sposób współczynniki sumy i iloczynu saoczywiscie identyczne z podanymi w definicji dodawania i mnozenia wielomianów.

Podamy teraz najprostsze własnosci wielomianów i pierscienia wielomianów. Na poczatek zbadajmyzachowanie sie stopnia wielomianu przy dodawani i mnozeniu.

Twierdzenie 3.6 (cw). Jezeli f , g ∈ R[x], to

deg( f + g ) ≤ max{deg( f ),deg(g )},

deg( f g ) ≤ deg( f )+deg(g ).

Obecnosc dzielników zera powoduje, ze stopien iloczynu wielomianów czasami jest inny niz w przypad-ku pierscienia wielomianów o współczynnikach liczbowych. W obu przypadkach powyzsze nierównosci niemoga byc na ogół zastapione równoscia.


Przykład 3.7. Niech f = x+2x2 i g = x−2x2 beda wielomianami w pierscieniu Z[x]. Wtedy f +g = 2x, a wiec deg( f +g ) = 1 < max{deg f ,deg g } = 2.

Przykład 3.8. Niech f = 2+ 2x i g = 2x beda wielomianami w pierscieniu Z4[x]. Sa to oczywiscie wielomiany nie-zerowe. Zauwazmy, ze f + g = 2 oraz f g = 0, stad 0 = deg( f + g ) < max{deg( f ),deg(g )} = 1 oraz −∞ = deg( f g ) <deg( f )+deg(g ) = 2.

Przykład 3.9. Niech f = 2+ 2x i g = 1+ 2x beda wielomianami w Z4[x]. Wtedy f + g = 3 oraz f g = 2. Zatem 0 =deg( f + g ) < max{deg( f ),deg(g )} = 1 i 0 = deg( f g ) < deg( f )+deg(g ) = 2.

Jezeli pierscien współczynników nie zawiera dzielników zera stopien iloczynu wielomianów zachowujesie tak samo jak w przypadku „szkolnym”.

Twierdzenie 3.10. Jezeli najwyzszy współczynnik wielomianu f (lub wielomianu g ) nie jest dzielnikiemzera, to deg( f g ) = deg( f )+deg(g ).

Dowód. Twierdzenie jest prawdziwe jezeli f = 0 lub g = 0. Załózmy, ze f 6= 0 i g 6= 0 i oznaczmy deg f = m,deg g = n. Wtedy f g = c0 + c1x + . . .+ cm+n xm+n (dlaczego ck = 0, dla k > m +n ?), gdzie

cm+n = (am+nb0 +am+n−1b1 + . . .)+ambn + (am−1bn+1 + . . .+a0bm+n).

Poniewaz współczynniki am+n , am+n−1, . . . , am+1 i bm+n , am+n−1, . . . , an+1 sa równe zero, wiec cm+n = ambn .Poniewaz am i bn sa niezerowe i nie sa dzielnikami zera, wiec cm+n 6= 0. Stad deg( f g ) ≥ m +n. Poniewazzachodzi takze nierównosc odwrotna, wiec otrzymujemy teze.

Wniosek 3.11. Jezeli R nie posiada dzielników zera (czyli jest dziedzina całkowitosci), to deg( f g ) = deg( f )+deg(g ).

Przejdzmy teraz to dzielników zera w R[x].

Fakt 3.12. Jezeli najwyzszy współczynnik wielomianu f nie jest dzielnikiem zera, to f nie jest dzielnikiemzera.

Fakt 3.13. Pierscien R posiada dzielniki zera wtedy i tylko wtedy, gdy pierscien R[x] posiada dzielniki zera.W szczególnosci, Jezeli R jest ciałem, to R[x] jest dziedzina całkowitosci.

Jako wniosek zauwazmy, ze w pierscieniu wielomianów zachodzi prawo skracania równosci przez wie-lomian, którego najwyzszy współczynnik nie jest dzielnikiem zera.

Wniosek 3.14. Jezeli najwyzszy współczynnik wielomianu f nie jest dzielnikiem zera, to f g = f h =⇒ g = h.

Na koniec sprawdzmy jeszcze jak wyglada zbiór elementów odwracalnych pierscienia wielomianów.

Fakt 3.15. Jezeli R jest dziedzina całkowitosci, to U (R[x]) =U (R).

Dowód. Zauwazmy, ze jezeli a ∈U (R) i ab = 1, to przechodzac do wielomianów mamy (a,0,0, . . .)(b,0,0, . . .) =(1,0,0, . . .). Zatem U (R) ⊂U (R[x]).

Jezeli f ∈U (R), to istnieje wielomian g ∈ R[x] taki, ze f g = 1. Poniewaz R nie ma dzielników zera, wiec0 = deg1 = deg( f g ) = deg f +deg g . Stad deg f = 0, czyli f jest wielomianem stałym (który utozsamiamyz elementem pierscienia). Oznacza to, ze U (R[x]) =U (R).

Przykład 3.16. Jezeli R nie jest dziedzina całkowitosci, to powyzsze twierdzenie nie musi byc prawdziwe. Dla wielo-mianu f = 2x +3 ∈Z4[x] mamy f · f = (2x +3)(2x +3) = 2∗2x2 +3∗2x +3∗2x +3∗3 = 1.

3.2 Dzielenie z reszta 95

Przykład 3.17. Zauwazmy, ze w dowolnym pierscieniu wielomianów (tzn. w pierscieniu wielomianów nad dowol-nym pierscieniem) wielomian f = x nie jest odwracalny, gdyz dla dowolnego wielomianu g iloczyn f g jest zawszewielomianem stopnia wiekszego niz 0. W szczególnosci nigdy nie jest wielomianem 1.

Wniosek 3.18. Pierscien wielomianów nigdy nie jest ciałem.

Dla pierscienia wielomianów nad ciałem mozna utworzyc ciało ułamków, oznaczane zwykle K (x) i na-zywane ciałem funkcji wymiernych. Własnosci tego ciała maja zwiazek ze znanym z Analizy Matematycznejrozkładem na ułamki proste.

Odnotujmy jeszcze nastepujacy fakt.

Twierdzenie 3.19. Kazdy homomorfizm pierscieni z jedynka ϕ : K→ F indukuje homomorfizm pierscieniK[x] → F[x], f = a0 +a1x . . .+an xn 7→ ϕf =ϕ(a0)+ϕ(a1)x . . .+ϕ(an)xn .

3.2. Dzielenie z reszta

Niech R bedzie pierscieniem i niech f , g ∈ R[x].

Definicja 3.20. Mówimy, ze w pierscieniu R[x] wykonalne jest dzielenie z reszta wielomianu f przez wie-lomian g , jezeli istnieja wielomiany q,r ∈ R[x] takie, ze

f = qg + r, deg(r ) < deg(g ).

Wielomian q nazywamy ilorazem, zas wielomian r – reszta z dzielenia.

Aby wykazac, ze wykonalne jest dzielenie z reszta wystarczy wskazac wielomiany q i r spełniajace po-wyzsze warunki.

Definicja 3.21. Jezeli wykonalne jest dzielenie z reszta wielomianu f przez g i reszta jest wielomianemzerowym, to mówimy, ze wielomian g dzieli f i piszemy g | f .

Zauwazmy, ze aby stwierdzic, ze g | f wystarczy wskazac wielomian q taki, ze f = qg .

Przykład 3.22. W pierscieniu Z[x] wykonalne jest dzielenie z reszta wielomianu f = x2 +2x +3 przez wielomian g =(x −1), gdyz f = (x +1)g +2 i deg(2) < deg(g ).

Przykład 3.23. W pierscieniu Z[x] nie jest wykonalne dzielenie z reszta wielomianu f = 2x przez wielomian g = 3x.Gdyby istniały wielomiany q,r ∈ Z[x] spełniajace f = qg + r i deg(r ) < deg(g ), to wtedy musiałoby byc q = 2

3 i r = 0.

Jednak 23 ∉Z[x].

Przykład 3.24. Iloraz i reszta z dzielenia wielomianów na ogół nie sa wyznaczone jednoznacznie. Zauwazmy, zew pierscieniu Z6[x] prawdziwe sa równosci

f = 2g oraz f = (3x +2)g ,

gdzie f = 2x i g = 4x. Podobnie, w pierscieniu Z4[x] dla f = g = 2x +1 mamy

f = 1 · g +0 = 3 · g +2.

Ponizsze twierdzenia podaja warunki na to, aby dzielenie było wykonalne oraz aby iloraz i reszta byływyznaczone jednoznacznie.

Twierdzenie 3.25. W pierscieniu R[x] wykonalne jest dzielenie z reszta przez dowolny wielomian, któregonajwyzszy współczynnik jest elementem odwracalnym pierscienia R.


Dowód. Wykazemy najpierw, ze jezeli g jest wielomianem unormowanym, to wykonalne jest dzielenie zreszta wielomianu f przez g . Niech f , g ∈ R[x]. Zauwazmy, ze jezeli deg f < deg g , to f = 0g + f . Załózmyzatem, ze deg( f ) ≥ deg (g ).

Niech deg g = n i niech f = (a0, a1, a2, . . . , am). Załózmy, ze m = deg f ≥ n i ze twierdzenie jest prawdziwedla wszystkich wielomianów stopnia < m.

Zauwazmy, ze stopien wielomianu am xm−n g jest równy m, a jego najwyzszy współczynnik jest równyam . Zatem współczynnik stojacy przy xm w wielomianie f −am xm−n g jest równy 0 i jego stopien jest mniej-szy niz m. Istnieja zatem wielomiany q i r takie, ze f − am xm−n g = qg + r , degr < n. Stad f = (am xm−n +q)g + r .

Niech teraz b bedzie odwrotnoscia najwyzszego współczynnika wielomianu g , wtedy wielomian bg jestwielomianem unormowanym. Istnieja zatem wielomiany q1 i r1 takie, ze f = q1(bg ) + r1, degr < deg g .Przyjmujac q = aq1 i r = r1 otrzymujemy teze.

Zauwazmy, ze dowód powyzszego twierdzenia podaje metode wyznaczania ilorazu i reszty. Jest ona z toznana metoda dzielenia pisemnego wielomianów. Sprawdzenie tego pozostawiamy Czytelnikowi (por. [1]).

Twierdzenie 3.26. Jezeli w pierscieniu R[x] wykonalne jest dzielenie z reszta wielomianu f przez wielomiang oraz najwyzszy współczynnik wielomianu g nie jest dzielnikiem zera w pierscieniu R, to iloraz i reszta sawyznaczone jednoznacznie.

Dowód. Załózmy, ze f = qg + r = q ′g + r ′, degr < deg g , degr ′ < deg g . Wtedy (q −q ′)g = r − r ′ oraz

deg(q −q ′)+deg g = deg(q −q ′)g = deg(r − r ′) < deg g

Zauwazmy, ze powyzsza nierównosc zachodzi tylko, gdy deg(q − q ′) = −∞. Zatem q − q ′ = 0 i stad r − r ′ =0.

Wniosek 3.27. Jezeli f , g ∈ R[x] i najwyzszy współczynnik g jest elementem odwracalnym, to iloraz i resztaz dzielenia f przez g istnieje i jest wyznaczona jednoznacznie.

Wniosek 3.28. Jezeli R jest ciałem, to iloraz i reszta z dzielenia przez dowolny niezerowy wielomian istniejei jest wyznaczona jednoznacznie.

3.3. Pierwiastki wielomianów

W tym podrozdziale zajmiemy sie pierwiastkami wielomianów. Aby scisle zdefiniowac czym jest pier-wiastek wielomianu (tzn. ciagu elementów pierscienia) potrzebujemy nastepujacych definicji.

Niech f ∈ R[x] bedzie dowolnym wielomianem.

Definicja 3.29. Wartoscia wielomianu f w punkcie b ∈ R nazywamy element a0+a1b+a2b+ . . .+anb ∈ R.Wartosc wielomianu f w punkcie b oznaczamy przez f (a).

Zauwazmy ze zawsze ( f + g )(a) = f (a)+ g (a) oraz ( f g )(a) = f (a)g (a). Dla wielomianu f ∈ R[x], moze-my zdefiniowac jego wartosc takze, dla kazdego pierscienia S zawierajacego R, np. dla S = R[x]. Typowymprzykładem jest obliczanie wartosci wielomianu z pierscienia Z[x] w punkcie x ∈R.

Twierdzenie 3.30. Dla kazdego a ∈ R odwzorowanie f 7→ f (a) jest homomorfizmem pierscieni z R[x] w R.Ogólniej, jezeli R < S i s ∈ S, to odwzorowanie f 7→ f (s) jest homomorfizmem R[x] w S.

Definicja 3.31. Funkcja wielomianowa wyznaczona przez wielomian f nazywamy funkcje, która kazdemuelementowi pierscienia współczynników przyporzadkowuje wartosc wielomianu f w tym punkcie.

3.3 Pierwiastki wielomianów 97

Jak pokazuje ponizszy przykład, nie mozemy na ogół utozsamiac wielomianu i funkcji wielomianowejwyznaczonej przez ten wielomian.

Przykład 3.32. Dwa rózne wielomiany moga wyznaczac ta sama funkcje wielomianowa. W pierscieniu Z2[x] wielo-miany f = x +1 i g = x2 +1 sa rózne, ale f (0) = g (0) = 1 i f (1) = g (1) = 0.

Zauwazmy, ze w powyzszym przykładzie pierscien współczynników jest ciałem. Jezeli pierscien współ-czynników jest nieskonczonym pierscieniem bez dzielników zera, to wielomiany wyznaczajace te samafunkcje wielomianowa musza byc równe. Jest to zgodne z naszym doswiadczeniem, np.: w pierscieniu R[x](analiza).

Definicja 3.33. Element a ∈ R nazywamy pierwiastkiem wielomianu (lub zerem wielomianu) f ∈ R[x],jezeli f (a) = 0.

Podobnie jak przy wartosci wielomianu, pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[x] mozemy nazywac kazdeelement x pierscienia S zawierajacego R taki, ze f (x) = 0.

Przykład 3.34. Niech f = (x2+1)(x−2) ∈Z[x]. Jedynym pierwiastkiem wielomianu f jest 2. Jezeli rozpatrzymy f jakoelement pierscienia C[x], to f posiada trzy pierwiastki 2, i,−i. Zawazmy, ze f = (x − i)(x + i)(x −2) ∈C[x].

Twierdzenie 3.35 (Bezout). Element a ∈ R jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[x] wtedy i tylko wtedy, gdy(x −a)| f .

Dowód. Załózmy, ze a jest pierwiastkiem wielomianu f . Zauwazmy, ze istnieja (dlaczego?) wielomiany q,rtakie, ze f = q(x − a) + r , degr < deg(x − a) = 1. Zatem r jest wielomianem stałym. Podstawiajac x = aotrzymujemy, 0 = f (a) = r . Zatem (x −a)| f .

Z drugiej strony, jezeli f = q(x −a), to f (a) = (a −a)q(a) = 0. Zatem a jest pierwiastkiem wielomianu f .

Definicja 3.36. Element a nazywamy k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f , jezeli (x−a)k | f i (x−a)k+1 -f .

Fakt 3.37 (cw). Jezeli a jest k-krotnym pierwiastkiem f i f − (x −a)k q , to q(a) 6= 0.

Przykład 3.38. Wielomian f = x(x2 + 2)(x − 2) ∈ Z4[x] jest podzielny przez wielomian x wiec 0 jest pierwiastkiem.Drugim pierwiastkiem jest 2, zatem wielomian jest podzielny przez x − 2. Zauwazmy, ze pierwiastkiem wielomianug = x(x2+2) takze jest 2, zatem jest podzielny przez x−2. Łatwo sprawdzic, ze wielomian f jest podzielny przez (x−2)2

i nie jest podzielny przez (X −2)3).

Zauwazmy, ze krotnosc dowolnego pierwiastka nie moze przekraczac krotnosci wielomianu.

Przykład 3.39. Jezeli a jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu f i k > deg( f ), to wtedy dla pewnego wielomianu qmamy f = (x −a)k q oraz deg( f ) = k +deg(q), czyli deg ( f ) ≥ k. Sprzecznosc.

Przykład 3.40. Wielomian f = x(x2 +2) ∈Z4[x] ma dwa pierwiastki 0,2, nie jest jednak podzielny przez x(x −2).

Sytuacja opisana w poprzednim przykładzie nie moze sie zdarzyc w pierscieniu bez dzielników zera.

Twierdzenie 3.41. Jezeli R jest dziedzina całkowitosci i a1, a2, . . . an sa róznymi pierwiastkami wielomianuf ∈ R[x] o krotnosciach odpowiednio k1,k2, . . .kn , to wielomian f jest podzielny przez wielomian

(x −a1)k1 (x −a2)k2 . . . (x −an)kn


Dowód. Jezeli n = 1, to twierdzenie jest oczywiste. Załózmy, ze dla m < n mamy

(x −a1)k1 (x −a2)k2 . . . (x −am)km | f

czyli f = (x −a1)k1 (x −a2)k2 . . . (x −am)km g , g ∈R[x].Poniewaz am+1 − a j 6= 0, j ≤ m oraz R nie posiada dzielników zera, wiec am+1 nie jest pierwiastkiem

wielomianu (x −a1)k1 (x −a2)k2 . . . (x −am)km .Poniewaz am+1 jest km+1-krotnym pierwiastkiem f , wiec f = (x −am+1)km+1 h, h(am+1) 6= 0. Dodatkowo

g (am+1) = 0 i g = (x −am+1)s v . Mamy zatem równosc

(x −am+1)km+1 h = (x −a1)k1 (x −a2)k2 . . . (x −am)km (x −am+1)s v

Gdyby s < km+1, to skracajac równosc stronami otrzymalibysmy

(x −am+1)km+1−sh = (x −a1)k1 (x −a2)k2 . . . (x −am)km v.

Nie jest to mozliwe gdyz am+1 nie jest pierwiastkiem wielomianu (x−a1)k1 (x−a2)k2 . . . (x−am)km v . Podobniez nierównosci s > km+1 takze wynika sprzecznosc. Zatem s = km+1.

Zbadamy teraz ile pierwiastków moze posiadac wielomian. Okazuje sie ze odpowiedz zalezy nie tylkood stopnia wielomianu, ale takze od pierscienia współczynników,

Przykład 3.42. Wielomian f = x2 + 1, nie posiada pierwiastków w pierscieniu R[x]. Wielomian kwadratowy zawszeposiada dwa pierwiastki w pierscieniu liczb C[x].

Przykład 3.43. Pierwiastkami wielomianu f = 3x(x +1) ∈Z6[x] sa wszystkie elementy pierscienia Z6.

Twierdzenie 3.44. Jezeli R jest dziedzina całkowitosci, to kazdy niezerowy wielomian f ∈ R[x] stopnia nposiada co najwyzej n róznych pierwiastków. Co wiecej, suma ich krotnosci nie przekracza stopnia wielo-mianu.

Dowód. Wielomian f mozemy zapisac w postaci f = (x−a1)k1 (x−a2)k2 . . . (x−am)km g , gdzie ai sa pierwiast-kami f o krotnosciach ki . Wtedy deg(x−a1)k1 (x−a2)k2 . . . (x−am)km g = k1+k2+. . .+km+deg g i ostateczniek1 +k2 + . . .+km ≤ deg f .

Wniosek 3.45. Jezeli R jest nieskonczona dziedzina całkowitosci, to dla kazdego niezerowego wielomianuistnieje element, który nie jest jego pierwiastkiem.

Wniosek 3.46. Jezeli R jest nieskonczona dziedzina całkowitosci, to kazde dwa wielomiany, których funkcjewielomianowe sa tozsame, sa równe.

Pytanie: Podac przykład pierscienia i niezerowego wielomianu, który posiada nieskonczenie wielepierwiastków.

Nastepny wynik, mówiacy, ze dla kazdego wielomianu o współczynnikach z ciała istnieje ciało (byc mo-ze wieksze), w którym ten wielomian ma pierwiastek. Ciało o tej własnosci nazywamy ciałem rozkładuwielomianu f .

Twierdzenie 3.47. Dla dowolnego ciała K i dowolnego wielomianu f ∈ K[x] istnieje ciało L zawierajaceK jako podciało takie, ze f posiada pierwiastek w L.

Ciało rozkładu wielomianu mozna skonstruowac uzywajac konstrukcji pierscienia ilorazowego. Dokład-niej, za Lmozna przyjac ciało izomorficzne zK[x]/( f ).

3.4 Pierwiastki stopnia n 99

Przykład 3.48. Wielomian x2 − 2 ∈ Q[x] nie posiada pierwiastków w ciele Q, jednak w ciele Q(p

2) juz tak. Moznawykazac, zeQ(

p2) 'Q[x]/(x2 −2).

Przykład 3.49. Ciałem rozkładu wielomianu x2 +1 ∈Q[x] jest ciało liczb zespolonych C, ale takze ciałoQ(i).

Przykład 3.50. Niech f = 2x ∈ Z[x]. Skonstruujemy pierscien w którym f posiada pierwiastek niezerowy. OznaczmyR =Z[x]/( f ) i rozpatrzmy wielomian F ∈ R[y], F = 2y . Wtedy F (0+( f )) = 2(0+( f )) = 0+( f ) oraz F (x+( f )) = 2(x+( f )) =2x+( f ) = 0+( f ). Oczywiscie x+( f ) 6= 0+( f ). Zauwazmy, zeZmozemy utozsamiac ze zbiorem warstw {k+( f ) : k ∈Z}.

Czy wielomian F posiada inne pierwiastki? Czy R jest ciałem?

Na koniec podajmy jeszcze klasyczny wynik, z powodów historycznych nazywany zasadniczym twier-dzeniem algebry.

Twierdzenie 3.51 (zasadnicze twierdzenie algebry). Kazdy niezerowy wielomian f ∈C[x] stopnia n posiadadokładnie n pierwiastków.

Istnieje wiele dowodów zasadniczego twierdzenia algebry, korzystajacych z wielu dziedzin matematyki.Dwa z nich mozna znalezc w [1, 4].

Ciało K o tej własnosci, ze kazdy wielomian f ∈K[x] posiada pierwiastek w cieleK nazywamy algebra-icznie domknietym.

3.3.1. Uwaga o wzorach na pierwiastki wielomianów

Ciekawym zagadnieniem jest mozliwosc rozwiazania równania przez pierwiastniki, tzn.: poprzez jawnewzory na rozwiazania. W przypadku ogólnym jest to mozliwe tylko dla wielomianów stopni 1,2,3,4. Odpo-wiedz na pytanie o istnienie ogólnych wzorów na pierwiastki wielomianów stopnia ≥ 5 jest negatywna (nieoznacza, to ze dla szczególnych przypadków takie wzory nie istnieja, np.: xn = 1).

Wzory na pierwiastki wielomianów stopni 1 i 2 sa powszechnie znane i czesto stosowane. Istnieja takzewzory na pierwiastki wielomianu stopnia 3 (wzory Cardano) i stopnia 4 (wzory Ferrari). Nie maja one jednakwiekszego znaczenia praktycznego. Informacje o wzorach Cardano i Ferrari mozna znalezc w [1, 5, 10].

Zagadnieniem rozwiazalnosci przez pierwiastniki zajmuje sie teoria Galois. Jest to obszerny dział al-gebry łaczacy miedzy innymi teorie grup i teorie pierscieni, korzystajacy takze z metod topologii i analizy.Uzasadnia ona kiedy i dlaczego mozliwe jest podanie wzorów na pierwiastki. Własnie tam mozna wykorzystac izomor-fizmy grup, grupy ilorazowe i cała menazerie...

W ramach pytania o rozwiazalnosc przez pierwiastniki mozna udzielic takze odpowiedzi na tzw. nieroz-wiazane problemy starozytnosci, jak podwojenie szescianu i kwadratura koła.

Na poczatek mozna zajrzec na strony:http://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:Konstrukcje_klasycznehttp://pl.wikipedia.org/wiki/Kategoria:R%C3%B3wnania_algebraicznehttp://pl.wikipedia.org/wiki/Teoria_Galois

3.4. Pierwiastki stopnia n

Zajmiemy sie teraz zbadaniem zbioru pierwiastków wielomianu xn−b. Jego elementy tradycyjnie nazy-wamy pierwiastkami stopnia n. W niektórych przypadkach informacja o pierwiastkach stopnia n pozwalaotrzymac wzory na pierwiastki wielomianów ogólniejszych (np. wzory na pierwiastki wielomianów stopniod 1 do 4). W tym podrozdzialeK oznacza dowolne ciało.

Definicja 3.52. Pierwiastkiem stopnia n z elementu a ∈K nazywamy dowolny pierwiastek wielomianu xn−a ∈K[x].

Juz „szkolne” przykłady pokazuja, ze liczba pierwiastków zalezy od ciała i stopnia pierwiastka.


Przykład 3.53. W ciele Q nie istnieje pierwiastek stopnia 2 z 2, gdyz wielomian x2 −2 nie ma pierwiastków wymier-nych. Oczywiscie w ciele R istnieja dwa pierwiastki.

Przykład 3.54. W ciele R istnieja dwa pierwiastki z jedynki stopnia 4: ±1. W ciele C sa cztery pierwiastki z jedynkistopnia 4: ±1,±i.

Jak sie okazuje, jezeli znamy dowolny pierwiastek z elementu a, to pozostałe mozemy obliczyc korzy-stajac z pierwiastków stopnia n z jednosci (porównaj wzory de Moivre).

Twierdzenie 3.55. Jezeli r jest dowolnym pierwiastkiem stopnia n z b i e1, . . . ,ek sa wszystkimi pierwiastka-mi z jedynki stopnia n wK, to r e1,r . . . ,r ek sa wszystkimi pierwiastkami z b stopnia n wK.

Wniosek 3.56. Liczba pierwiastków stopnia n z dowolnego elementu jest równa liczbie pierwiastków stop-nia n z jedynki.

Wiecej informacji o pierwiastkach stopnia n mozna znalezc w [1].

3.5. Zadania

Zadanie 343. W pierscieniachZ[x] iZ8[x] wyznaczyc f +g , f −g , f g , dla f = x3+5x+2, g = 2x4+2x3+3x+1.

Zadanie 344. Wyznaczyc elementy odwracalne w pierscieniach:a) Z[x],b) R[x],

c) Z2[x],d) (*)Z4[x].

Wskazac (jezeli istnieja) dzielniki zera.

Zadanie 345. Wykazac, ze R[x] ma dzielniki zera wtedy i tylko wtedy, gdy R ma dzielniki zera.

Zadanie 346. Wykazac, ze jezeli R ' S, to R[x] ' S[x].

Zadanie 347. Wyznaczyc pierscien ilorazowy.a) R[x]/(x2 +1), wykazac, ze jest on izomorficzny z C,b) R[x]/(x2 −1), wykazac, ze jest on izomorficzny z R2,c) Q[x]/(x2 −2), wykazac, ze jest on izomorficzny zQ[

p2],

d) Z2[x]/(x2 +1), (*) wykazac, ze otrzymany pierscien jest ciałem.e) Z2[x]/(x3 +x +1), (*) wykazac, ze otrzymany pierscien jest ciałem.

Zadanie 348. Wykonac dzielenie z reszta wielomianów:a) x3 +x1 przez x2 +x +1 w Z2[x],b) x4 +4x3 +2x2 +3x +4 przez x3 +x2 +2x +2 w Z5[x],c) x3 −7 przez x −2 w Z[x].

Zadanie 349. Korzystajac ze schematu Hornera wykonac dzielenie z reszta.a) x3 −7 przez x −2 w Z[x],b) x4 +3x +2 przez x +4 w Z6[x].

Zadanie 350. Iterujac schemat Hornera, znalezc rozwiniecie wielomianu wzgledem poteg dwumianu x+1:a) x3 −9x2 +28x −19 w Z[x],b) 2x4 +x3 +4x2 +5x +3 w Z6[x].

3.5 Zadania 101

Zadanie 351. Wykazac, ze dla wielomianów f = 2x i g = x w Z[x] nie jest wykonalne dzielenie z reszta.Podac przykłady takich wielomianów w pierscieniu Zn .

Zadanie 352. Na przykładzie dzielenia wielomianu 2x +1 ∈ Z4[x] przez samego siebie wykazac, ze iloraz ireszta nie musza byc wyznaczone jednoznacznie.

Zadanie 353. Znalezc wszystkie pierwiastki wielomianu x3 − x ∈ Z6[x]. Dla kazdego pierwiastka a ∈ Z6

przedstawic f w postaci (x −a)g , g ∈ Z6[x].

Zadanie 354. Wskazac wszystkie pierwiastki wielomianów f = x(x2 +2) i g = 2x w pierscieniu Z4. Podacwszystkie wielomiany dzielace f .

Zadanie 355. Wykazac, ze jezeli z ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[x], to z tez jest pierwiastkiemtego wielomianu. Wywnioskowac stad, ze kazdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynaj-mniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Zadanie 356. Okreslic krotnosc pierwiastka.a) f = x5 −8x4 +20x3 −7x2 −39x +45 ∈Z[x], a = 3,b) f = x4 +4x3 +3x2 +3x +4 ∈Z5[x], a = 1,c) nxn+1 − (n +1)xn +1 ∈Q[x], a = 1.

Zadania rózne

Zadanie 357. Pokazac, ze µn(K ) jest grupa abelowa.

Zadanie 358. Wykazac, ze:a) Jezeli a jest pierwiastkiem stopnia n z elementu b, a e1, . . . ,ek sa wszystkimi pierwiastkami z jedynki

stopnia n, to ae1, . . . , aek sa wszystkimi pierwiastkami stopnia n elementu b.b) W ciele istnieje co najwyzej n pierwiastków stopnia n z 1. Liczba pierwiastków stopnia n z dowolnego

elementu jest równa liczbie pierwiastków z 1.c) Jezeli e jest pierwiastkiem pierwotnym z jedynki stopnia n to jego potegi e0, . . . ,en−1 sa wszystkimi

pierwiastkami stopnia n z jedynki. Jezeli istnieje n róznych pierwiastków z 1, to istnieje pierwiastekpierwotny.

d) 1 jest jedynym pierwiastkiem pierwotnym z 1 stopnia 1. Jezeli χ(K ) 6= 2 to −1 jest pierwiastkiem pier-wotnym stopnia 2.

Zadanie 359. Znalezc pierwiastki:a) b = 1, n = 4 K =C,b) b = i, n = 4 K =C,c) b = 1, n = 2 K =Z5,d) b = 1, n = 3 K =Z5,

e) b = 2, n = 4 K =Z5,f ) b = 1, n = 2 K =Z7,g) b = 1, n = 3 K =Z7,h) b = 2, n = 4 K =Z7.

44444 4 4 4 4 4 4 4 4

Teoria podzielnosci

W tym rozdziale zajmiemy sie teoria podzielnosci i rozkładu elementu pierscienia na czynniki. Podziel-nosc w pierscieniuZ jest przedmiotem badan Teorii Liczb (np.: problem rozkładu liczby całkowitej na czyn-niki). Twierdzenia znane z arytmetyki, pozostaja prawdziwe w szerszej klasie pierscieni: dziedzinach z jed-noznacznoscia rozkładu.

Z drugiej strony, zapisanie wielomianu jako iloczynu wielomianów nizszego stopnia ułatwia czesto znaj-dowanie pierwiastków, badz bezposrednio swiadczy o ich istnieniu (tw. Bezout). Na koniec tego rozdziałupodamy inne twierdzenia o rozkładzie wielomianu na czynniki.

Od tej pory, o ile nie zostanie powiedziane inaczej:

R jest dziedzina całkowitosci

4.1. Rodzaje elementów w pierscieniach

4.1.1. Dzielnik i element stowarzyszony

Definicja 4.1. Element a ∈ R nazywamy dzielnikiem elementu b, co zapisujemy a|b, jezeli istnieje takielement c ∈ R, ze ac = b.

Jezeli a|b to mówimy takze, ze b jest podzielny przez a lub b dzieli sie przez a. Elementy odwracalnenazywane sa czasami dzielnikami jedynki. Jak pokazuje ponizszy przykład to czy a|b zalezy nie tylko odelementów a i b, ale takze od pierscienia w którym rozpatrujemy te elementy.

Przykład 4.2. WZ liczba 2|2k, ale 26 |(2k+1). W cieleQ liczba 2 jest dzielnikiem dowolnej liczby. Ogólniej, w dowolnymciele kazda niezerowy element jest dzielnikiem dowolnego elementu.

Podajmy podstawowe własnosci relacji podzielnosci.

Fakt 4.3. Dla dowolnych a,b,c ∈ R zachodza nastepujace własnosci:a) a|b ∧b|c =⇒ a|c,b) c|a ∧ c|b =⇒ c|a ±b,c) a|b =⇒ a|bc,

Dowód.a) ad = b i bd ′ = c, wiec a(dd ′) = c,b) a = dc i b = d ′c wiec a ±b = (d ±d ′)c,c) b = ad wiec bc = a(dc).

104 Rozdział 4. Teoria podzielnosci

Wniosek 4.4 (cw). Jezeli b1, . . . ,bm ∈ R dzieli sie przez a, to dla dowolnych c1, . . .cm ∈ R element b1c1 + . . .+bmcm tez dzieli sie przez a.

Definicja 4.5. Elementy a,b ∈ R nazywamy stowarzyszonymi, co zapisujemy a ∼ b, wtedy i tylko wtedy,gdy a|b oraz b|a.

Łatwo sprawdzic, ze relacja stowarzyszenia ∼ jest relacja równowaznosci w zbiorze elementów R.

Fakt 4.6. a ∼ b ⇐⇒ ∃u∈U (R) a = ub

Dowód. Jezeli a ∼ b, to dla pewnych d1 i d2 mamy a = d1b i b = d2a, a stad a = d1d2a. Jezeli a 6= 0, to1 = d1d2, tzn. d1,d2 ∈ U (R). Jezeli a = 0, to b = 0. Ostatecznie, jezeli a ∼ b, to elementy te róznia sie oelement odwracalny.

Z drugiej strony, jezeli a = ub, u ∈U (R), to b = u−1a i stad b|a oraz a|b.

Podobnie jak w przypadku relacji podzielnosci, stowarzyszenie zalezy nie tylko od wybranych elemen-tów ale takze od rozpatrywanego pierscienia.

Przykład 4.7. Dowolne dwa (niezerowe) elementy ciała sa stowarzyszone.

Przykład 4.8. Poniewaz U (Z) = {−1,1} wiec x ∼ y ⇐⇒ x =±y . W liczbach całkowitych relacja stowarzyszenia jest poprostu dokładnoscia do znaku.

Na koniec podajmy jeszcze interpretacje ideału głównego w terminach podzielnosci i stowarzyszenia.

Twierdzenie 4.9.a) a|b ⇐⇒ (b) ⊂ (a).b) a ∼ b ⇐⇒ (a) = (b).

4.1.2. Elementy rozkładalne, nierozkładalne

Definicja 4.10. Rózny od zera element a ∈ R nazywamy rozkładalnym, jezeli

∃a1,a2∈R\R∗

a = a1a2

Definicja 4.11. Rózny od zera element nieodwracalny, który nie jest rozkładalny, nazywamy nierozkładal-nym.

Jest oczywiste, ze element rozkładalny nie moze byc elementem odwracalnym. Zauwazmy takze, ze wciele nie ma zarówno elementów rozkładalnych jak i nierozkładalnych.

Fakt 4.12. Jezeli a ∼ b, to element a jest rozkładalny (nierozkładalny) wtedy i tylko wtedy, gdy element ajest rozkładalny (nierozkładalny).

Dowód. Niech a bedzie elementem rozkładalnym i niech a = a1a2, gdzie a1 i a2 sa elementami nieodwra-calnymi. Załózmy, ze a ∼ b. Wtedy a = ub dla pewnego elementu odwracalnego u.

Zauwazmy, ze element a2u−1 jest nieodwracalny. Rzeczywiscie, gdyby a2u−1 = v był odwracalny, to a2 =vu byłby odwracalny. Mamy zatem rozkład b = a1(a2u−1) na elementy nieodwracalne.

Wykazanie twierdzenia dla elementów nierozkładalnych pozostawiamy jako cwiczenie.

Wniosek 4.13. Relacja stowarzyszenia dzieli zbiór R na parami rozłaczne zbiory:a) {0}b) R∗

c) zbiór elementów rozkładalnych

4.1 Rodzaje elementów w pierscieniach 105

d) zbiór elementów nierozkładalnych

Aby wykazac, ze badany element jest rozkładalny wystarczy zapisac go w postaci iloczynu elementównieodwracalnych. Aby wykazac, ze nieodwracalny element jest nierozkładalny trzeba wykazac, ze w kazdymrozkładzie na iloczyn dwóch czynników przynajmniej jeden z nich jest odwracalny.

Przykład 4.14. Liczba 6 jest elementem rozkładalnym w pierscieniu Z poniewaz, 6 = 2 ·3 oraz 2, 3 ∉U (Z).

Przykład 4.15. Liczba 6 nie jest elementem rozkładalnym w pierscieniu R = Z[ 12 ]. Zauwazmy, ze 6 ∉U (R). Załózmy,

ze 6 = a2k · b

2l wtedy 2k+l ·6 = ab. Poniewaz 3|6 wiec 3|ab i w konsekwencji 3|a lub 3|b. Załózmy, ze zachodzi 3|a, tzn

a = 3a′, a′ ∈ R. Wtedy 2k+l+1 = a′b, stad wynika, ze element b jest odwracalny w R. Ostatecznie, b2l jest odwracalny w

R. Podobnie, jezeli 3|b, to a2k jest odwracalny.

Zatem kazde przedstawienie 6 w postaci iloczynu dwóch elementów zawiera element odwracalny z czego wynika,ze 6 jest elementem nierozkładalnym.

Przykład 4.16. Liczby pierwsze sa elementami nierozkładalnymi wZ (dlaczego?). Zauwazmy, ze w pierscieniuZ[ip

5]mamy 5 =−i

p5 · i

p5 oraz i

p5 ∉U (Z[i

p5]. Liczby 3 i 7 pozostaja nierozkładalne w Z[i

p5].

Przykład 4.17. Element 2 jest nierozkładalny wZ[ip

3]. Oczywiscie 2 jest nieodwracalny. Załózmy, ze 2 = (a+bip

3)(c+d i

p3). Wtedy obliczajac kwadrat modułu otrzymujemy, ze 4 = (a2+3b2)(c2+3d 2). Poniewaz a2+3b2|4, wiec a2+3b2 =

d , gdzie d =±1,±2i ±4. Zauwazmy, ze równanie a2 +3b2 = d ma nastepujace rozwiazania w Z:d < 0 i d = 2: brak rozwiazand = 1: a =±1, b = 0d = 4: a =±2 i b = 0; a = 1 i b ±1; a =−1 i b =±1.Zatem wszystkimi mozliwymi dzielnikami liczby 2 w Z[i

p3] sa ±1, ±2, 1+±i

p3 oraz −1± i

p3. Bezposredni rachunek

pokazuje, ze jedynymi dzielnikami sa ±1 i ±2. Mamy zatem nastepujace rozkłady: 2 = 2 ·1 = (−2) · (−1). Co oznacza, ze2 jest elementem nierozkładalnym.

Mamy nastepujaca charakteryzacje elementów rozkładalnych i nierozkładalnych w terminach ideałów.

Twierdzenie 4.18.a) a jest elementem rozkładalnym ⇐⇒ (a) 6= R i istnieje element b ∈ R taki, ze (a)( (b) 6= R.b) a jest elementem nierozkładalnym ⇐⇒ (a) 6= Ri dla kazdego b ∈ R, jezeli (a) ⊂ (b), to (a) = (b) lub

(b) = R.

Przykład 4.19. Element 6 jest rozkładalny w Z poniewaz (6) 6=Z i (6) ⊂ (2) 6=Z.

Przykład 4.20. Element 5 jest nierozkładalny w Z poniewaz (5) 6=Z i (5) ⊂ (b) implikuje b = 5 lub b =±1.

Ponizsze twierdzenia pokazuja jak wazne sa dziedziny ideałów głównych w teorii podzielnosci.

Twierdzenie 4.21. Jezeli R jest d.i.g, to kazdy niezerowy element a ∈ R moze byc przedstawiony jako ilo-czyn elementów nierozkładalnych. Ponadto, jezeli ap1 . . . pn = q1 . . . qm , to n = m oraz czynniki moga bycuporzadkowane w taki sposób aby pi ∼ qi (tzn. (pi ) = (qi )).

Twierdzenie 4.22. Kazdy element a dziedziny całkowitosci moze byc zapisany w jednoznacznie (z dokład-noscia do uporzadkowania) w postaci iloczynu a = upk1

1 . . . pnkn , gdzie u jest elementem odwracalnym, api sa nierozkładalne.

4.1.3. Elementy pierwsze

Szczególna klase elementów stanowia elementy pierwsze.

Definicja 4.23. Rózny od zera i nieodwracalny element p ∈ R nazywamy pierwszym, o ile

∀a,b∈R

p|ab ⇒ p|a ∨p|b.


Przykład 4.24. Liczby pierwsze sa przykładem elementów pierwszych w Z (czy sa inne elementy pierwsze?).

Twierdzenie 4.25. Element pierwszy jest elementem nierozkładalnym.

Dowód. Niech p bedzie elementem pierwszym i niech p = ab. Poniewaz, p jest nieodwracalny, wystarczywykazac, ze a lub b jest odwracalny.

Z równosci p = ab wynika, ze p|ab, a zatem p|a lub p|b. Załózmy, ze p|a, wtedy a ∼ p poniewaz a|p.Stad b jest elementem odwracalnym. Podobnie, jezeli p|b dowodzimy, ze a jest odwracalny. Zatem p jestnierozkładalny.

Przykład 4.26. Liczba 5 jest elementem rozkładalnym w pierscieniu Z[ip

5] Zatem nie jest elementem pierwszym.Czy liczby 3 i 7 pozostaja elementami pierwszymi w Z[i

p5]?

Twierdzenie odwrotne nie musi byc prawdziwe (porównaj nastepny podrozdział).

Przykład 4.27. Element 2 ∈Z[ip

3] jest nierozkładalny, ale nie jest pierwszy. Zauwazmy, ze 2|4 = (1+ ip

3)(1− ip

3), ale2 - (1± i

p3).

Przykład 4.28. W pierscieniu Z kazdy element jest nierozkładalny wtedy tylko wtedy, gdy jest pierwszy.

Na koniec podajmy jeszcze charakteryzacje elementów pierwszych w terminach ideałów.

Twierdzenie 4.29. Element p jest elementem pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (p) jest pierwszy.

Twierdzenie 4.30. Jezeli R jest dziedzina ideałów głównych to ponizsze warunki sa równowazne:a) a jest elementem pierwszym,b) a jest elementem nierozkładalnym,c) ideał (a) jest pierwszyd) ideał (a) jest niezerowym ideałem maksymalnym.

4.2. Jednoznacznosc rozkładu

Definicja 4.31. Element a ∈ R ma rozkład jednoznaczny jezeli,a) mozemy go przedstawic jako iloczyn elementów nierozkładalnychb) z równosci

p1 · . . . ·pk = a = q1 · . . . ·ql ,

gdzie elementy pi , q j sa nierozkładalne, wynika, ze k = l i po ewentualnym przenumerowaniu ele-mentów q1, . . . , ql , czynniki pi oraz qi sa stowarzyszone.

Istnieja pierscienie w których powyzszy rozkład nie jest mozliwy. Jezeli nawet taki rozkłady jest mozliwy,to nie musi byc on jednoznaczny w sensie podanej definicji.

Przykład 4.32. Kazda liczba całkowita, rózna od 0 i ±1, ma rozkład jednoznaczny na iloczyn liczb pierwszych, któresa jej dzielnikami.

Przykład 4.33. Element 16 nie ma jednoznacznego rozkładu w Z[ip

15], gdyz

16 = 2 ·2 ·2 ·2 = (1+ ip

15)(1− ip

15)

Mówiac o rozkładzie elementu na iloczyn, czasami wygodnie jest wybrac wsród klasy stowarzyszonychelementów rozkładalnych jeden element p i iloczyn elementów z tej klasy zapisac jako upn , gdzie u ∈U (R).Jezeli element a posiada rozkład na iloczyn elementów nierozkładalnych, to otrzymujemy w ten sposóbprzedstawienie

a = upn11 . . . pnk

k .

4.2 Jednoznacznosc rozkładu 107

W pierscieniu Z sa to zwykle dodatnie liczby pierwsze, w pierscieniach wielomianów zas wielomiany unor-mowane. Zauwazmy, ze element 0 i elementy odwracalne takze moga byc przedstawione w ten sposób.

Przykład 4.34. Liczba −300 ∈Z zapisuje sie (jednoznacznie) jako iloczyn (−1)22 ·3 ·52. Wielomian 4x3 −16x2 +12x ∈R[x] zapisuje sie jako 4x(x −1)(x −3).

4.2.1. d.j.r.

Definicja 4.35. Dziedzine całkowitosci, w której kazdy niezerowy element ma rozkład jednoznaczny nazy-wamy dziedzina z jednoznacznoscia rozkładu (d.j.r.).

Przykład 4.36. Pierscien Z jest d.j.r., pierscien Z[ip

15] nie jest d.j.r.

Twierdzenie 4.37. Jezeli R jest d.j.r, to kazdy element nierozkładalny jest pierwszy.

Dowód. Niech p bedzie elementem nierozkładalnym i niech p|ab, tzn. ab = d p dla pewnego d . Jezeli a lubb jest elementem odwracalnym, to b = a−1d p lub a = b−1d p i stad p|b lub p|a.

Załózmy, ze a i b nie sa odwracalne. Wtedy takze d jest elementem nieodwracalnym (dlaczego?) Mamyzatem nastepujace przedstawienia w postaci iloczynu elementów nierozkładalnych a = p1 . . . pk , b = q1 . . . ql

oraz d = r1 . . .rn . Stad

pr1 . . .rn = p1 . . . pk q1 . . . ql .

Z jednoznacznosci rozkładu p ∼ pi lub p ∼ q j . Co oznacza, ze p|a lub p|b.

Wniosek 4.38. W d.j.r. element jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy jest nierozkładalny.

Dowody nastepnych twierdzen pomijamy. Zainteresowanego czytelnika odsyłamy do [1, Rozdział IX].

Twierdzenie 4.39. Kazdy d.i.g. jest d.j.r.

Przykładami d.j.r które nie sa d.i.g. sa pierscienie wielomianów wielu zmiennych.

Twierdzenie 4.40. Dziedzina całkowitosci R jest d.j.r wtedy i tylko wtedy, gdya) kazdy element nieodwracalny i rózny od zera mozna przedstawic w postaci iloczynu elementów nie-

rozkładalnych,b) kazdy element nierozkładalny jest pierwszy.

Wniosek 4.41. Z iK[x], gdzieK -ciało, sa d.j.r.

W ostatnim podrozdziale udowodnimy, ze pierscien wielomianów nad d.j.r. jest takze d.j.r.

Uwaga o pierscieniach Z[p

d ]

Informacja o tym , czy pierscien Z[p

d ] jest d.j.r. moze pomóc w szukaniu rozwiazan równan w liczbachcałkowitych (por. [1, Rozdział IX] oraz [2, paragraf 3.5.7]). Jak sie okazuje dla d < 0 istnieje tylko dziewiecliczb dla których Z[

pd ] jest d.j.r., sa to:

d =−1,−2,−3−7−11,−19,−43−67,−163.

Jest to rezultat wzglednie nowy jak na matematyke, bo pochodzi z połowy XX wieku. Dla d > 0 wiadomo, zeliczba pierscieniZ[

pd ], które sa d.j.r. jest wieksza (np. dla liczb 0 < d < 100 wynosi 38). Nie wiadomo jednak

czy jest nieskonczona.


4.3. NWD

Uogólnimy teraz pojecie najwiekszego wspólnego dzielnika (n.w.d.) na dowolne dziedziny całkowitosci.Jego znaczenie ogranicza sie jednak tylko do dziedzin z jednoznacznoscia rozkładu.

Definicja 4.42. Niech a,b ∈ R. Mówimy, ze element d ∈ R jest najwiekszym wspólnym dzielnikiem ele-mentów a i b, jezeli

a) d |a i d |bb) ∀c∈R c|a ∧ c|b =⇒ c|d

W sytuacji, gdy d jest najwiekszym wspólnym dzielnikiem a i b piszemy d ∼ NWD(a,b). Nie stosujemyznaku równosci poniewaz n.w.d. jezeli istnieje, to nie jest wyznaczony jednoznacznie, a tylko z dokładnosciado relacji sprzezenia.

Fakt 4.43. d1 ∼ NWD(a,b)∧d2 ∼ NWD(a,b) =⇒ d1 ∼ d2.

Przykład 4.44. W pierscieniu Z n.w.d. liczb 21 i 49 sa liczby 7 i −7.

Definicje NWD mozna rozszerzyc na wieksza liczba elementów. Niech a1, . . . , an ∈ R. Mówimy, ze ele-ment d ∈R jest najwiekszym wspólnym dzielnikiem elementów a1, . . . , an , jezeli

a) d |ai , i = 1, . . . ,nb) ∀c∈R c|ai , i = 1, . . . ,n =⇒ c|d

Piszemy wtedy d ∼ NWD(a1, . . . , an). Podobnie jak dla dwóch elementów n.w.d. jest wyznaczony z dokład-noscia do stowarzyszenia.

Przykład 4.45. W pierscieniu Z[ip

3] nie istnieje n.w.d. elementów 4 i 2−2ip

3. Szczegółowe rachunki mozna znalezcw [2, Przykład 122].

Jezeli R jest d.j.r. (czyli np. Z lub R[x]), to NWD zawsze istnieje.

Twierdzenie 4.46. Jezeli R jest d.j.r., to dla dowolnych elementów istnieje NWD.

Definicja 4.47. Elementy a i b sa wzglednie pierwsze jezeli NW D(a,b) ∼ 1

Twierdzenie 4.48. Jezeli R jest d.j.r., toa) 1 ∼ NWD(a,b)∧1 ∼ NWD(a,c) =⇒ 1 ∼ NWD(a,bc)b) 1 ∼ NWD(a,b)∧a|bc =⇒ a|c

Dowód powyzszego twierdzenia pomijamy (patrz [1]). Czytelnika zainteresowanego dalszymi własno-sciami n.w.d odsyłamy do ksiazek [1, 4] i zbioru zadan [2].

4.3.1. Pierscienie Euklidesowe

Podana wyzej definicja nie pozwala odczytac sposobu obliczania n.w.d. Zdefiniujemy teraz klase pier-scieni w których mozna zrobic to efektywnie.

Definicja 4.49. Pierscien przemienny z 1 R nazywamy pierscieniem euklidesowym, jezeli istnieje funkcjaN : R →N∪ {0} taka, ze:

a) ∀a∈R N (a) = 0 ⇔ a = 0b) ∀ab∈R N (ab) = N (a)N (b)c) ∀a,b∈R,b 6=0 ∃q,r∈R a = bq + r, N (r ) < N (b)

Przykładami pierscieni euklidesowych sa

4.3 NWD 109

Przykład 4.50.a) Z, N (a) = |a|b) K[x], N ( f ) = 2deg f , gdyK-ciałoc) Z[i

pd ], N (x + iy

pd) = x2 + y2d 2, gdy d = 1,2,3,7,11. Sa to jedyne pierscienie euklidesowe z tej klasy.

d) Z[p

d ], N (x + iyp

d) = |x2 − y2d 2|, gdy d = 2,3,6,7,11,13.e) Mozna wykazac, ze pierscien Z[

p5] nie jest pierscieniem euklidesowym.

f) dowolne ciało, N (a) = 1 (dlaczego?)

Twierdzenie 4.51. Kazdy pierscien euklidesowy jest d.i.g. (a zatem takze d.j.r.)

Dowód. Zauwazmy, ze kazdy pierscien euklidesowy jest dziedzina całkowitosci. Rzeczywiscie, Jezeli a 6= 0 ib 6= 0, to N (a) > 0 i N (b) > 0, a wiec N (ab) = N (a)N (b) > 0. Stad ab 6= 0.

Niech teraz I bedzie dowolnym ideałem R. Oczywiscie I = {0} = (0). Załózmy zatem, ze I jest niezerowy.Wtedy N (I ) 6= {0}. Niech m bedzie najmniejsza liczba naturalna w N (I ) i niech b ∈ I , N (b) = m. Wówczasb 6= 0. Wykazemy, ze I = (b).

Poniewaz (b) ⊂ I , wiec wystarczy wykazac, ze kazdy element a ∈ I jest podzielny przez b. Istnieja ele-menty q,r ∈ R takie, ze a = qb + r , N (r ) < N (b). Poniewaz r = a −qb wiec r ∈ I . Otrzymujemy sprzecznoscz okresleniem liczby N (b).

Podane wyzej twierdzenie okresla zastosowanie pierscieni euklidesowych. Aby wykazac, ze dany pier-scien jest d.i.g., pokazuje sie najpierw, ze jest on pierscieniem euklidesowym.

Przykład 4.52. Pierscien Z[ip

19] jest d.j.r., ale nie jest pierscieniem euklidesowym.

4.3.2. Algorytm Euklidesa

Podamy teraz algorytm pozwalajacy w efektywny sposób wyznaczyc n.w.d.Niech a i b beda elementami pierscienia euklidesowego z norma N . Wygodnie jest przyjac r−1 = a i

r0 = b. Wykonujemy kolejne dzielenia z reszta według schematu:

a = r−1 = q1r0 + r1, N (r1) < N (r0)

b = r0 = q2r1 + r2, N (r2) < N (r1)

...

rk−2 = qk rk−1 + rk , N (rk ) < N (rk−1)

Zauwazmy, ze ciag N (r0) > N (r1) > N (r2) > . . . jest malejacy i ograniczony z dołu. Zatem dla pewnego k musibyc rk+1 = 0. Łatwo sprawdzic, ze

NWD(a,b) ∼ NWD(b,r1) ∼ NWD(r2,r1) ∼ . . . ∼ NWD(rk−1,rk ) ∼ rk .

Zatem ostatnia niezerowa reszta w powyzszym schemacie jest n.w.d. elementów a i b.Jezeli bedziemy sie „cofac” po kolejnych resztach to mozemy przedstawic NW D(a,b) w postaci ax+by ,

dla pewnych x, y . Zauwazmy, ze kazda reszta ri w algorytmie Euklidesa jest kombinacja liniowa reszt ri−1

oraz ri−2. Niech rk bedzie ostatnia niezerowa reszta. Mamy nastepujace równosci

rk = rk−2 −qk rk−1

rk−1 = rk−3 −qk−1rk−2

...

r2 = b −q2r1 + r2,

r1 = a −q1b


Szukane elementy x, y znajdujemy eliminujac kolejne reszty z powyzszych równosci.Przykłady obliczania n.w.d. za pomoca algorytmu Euklidesa mozna znalezc w ksiazkach [1, 5, 2].

Przykład 4.53. Poniewaz, ideał (2, x) nie jest główny, wiec Z[x] nie jest d.i.g., nie jest zatem pierscieniem euklideso-wym. Jezeli jednak n.w.d. dwóch wielomianów istnieje, to mozna je wyznaczyc za pomoca algorytmu Euklidesa.

Pytanie: Podac łatwe uzasadnienie.

4.4. NWW

Podobnie jak pojecie najwiekszego wspólnego dzielnika, tak samo pojecie najmniejszej wspólnej wielo-krotnosci mozna uogólnic na przypadek dziedzin całkowitosci.

Definicja 4.54. Niech a, b ∈ R. Mówimy, ze element m ∈ R jest najmniejsza wspólna wielokrotnoscia ele-mentów a i b jezeli

a) a|m i b|mb) a|d i b|d =⇒ m|d .

W sytuacji, gdy m jest najmniejsza wspólna wielokrotnoscia a i b piszemy m ∼ NWW(a,b). Tu takze niestosujemy znaku równosci poniewaz n.w.w. jezeli istnieje, to nie jest wyznaczony jednoznacznie, a tylko zdokładnoscia do relacji sprzezenia.

Pojecie n.w.w. mozna rozszerzyc na dowolna skonczona liczbe elementów w podobny sposób jak zrobi-lismy to dla n.w.d.

Twierdzenie 4.55. Jezeli R jest d.j.r., to dla dowolnych elementów istnieje NWW.

4.4.1. NWD i NWW w d.i.g.

Pojecia n.w.d i n.w.w. sa blisko zwiazane z ideałami w przypadku gdy R jest dziedzina ideałów głównych.Zbadanie tych zwiazków pozwala w inny sposób spojrzec na pojecie podzielnosci.

Fakt 4.56. Jezeli R jest d.i.g., to d ∼ NWD(a,b) ⇐⇒ (d) = (a,b).

Dowód. Jezeli (d) = (a,b), to dla pewnych x, y mamy d = ax +by . Poniewaz a,b ∈ (d) wiec d |a oraz d |b.Ponadto jezeli c|a i c|b, to c|d . Zatem d ∼ NWD(a,b).

Załózmy, ze d ∼ NWD(a,b). Poniewaz ideał (a,b) jest główny wiec (a,b) = (c). Wtedy, na mocy pierwszejczesci dowodu c ∼ NWD(a,b). Stad c ∼ d i (d) = (c) = (a,b).

Twierdzenie mozna uogólnic na dowolna skonczona liczbe elementów. Nastepujace wnioski sa uogól-nieniami znanych twierdzen arytmetyki na dziedziny ideałów głównych.

Wniosek 4.57. Niech R bedzie d.i.g. i niech d ∼ NWD(a,b). Wtedy istnieja x, y ∈ R takie, ze d = ax +by . Wszczególnosci, jezeli 1 ∼ NWD(a,b), to 1 = ax +by .

Wniosek 4.58. Jezeli R jest d.i.g., to równanie

a1x1 + . . .+an xn = a

ma rozwiazanie wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a1, . . . , an)|a.

Twierdzenie 4.59. Załózmy, ze R jest d.i.g. Wtedya) d ∼ NWD(a,b) ⇐⇒ dR = aR +bRb) m ∼ NWW(a,b) ⇐⇒ mR = aR ∩bR

4.5 Podzielnosc w pierscieniach wielomianów 111

Poniewaz kazdy d.i.g. jest d.j.r. wiec kazde dwa elementy a i b moga byc zapisane w postaci iloczynówa = upk1

1 . . . pkmm i b = vq l1

1 . . . q lnn elementu odwracalnego i elementów nierozkładalnych. Bez straty ogólno-

sci, mozemy przyjac, ze w obu powyzszych rozkładach wystepuja te same elementy nierozkładalne, bycmoze w zerowych potegach. Wtedy a = upa1

1 . . . pann i b = v pb1

1 . . . pbnn .

Ponizsze twierdzenie jest uogólnieniem znanych ze szkoły informacji o podzielnosci, n.w.d. i n.w.w. Czy-telnik powinien zapisac je w przypadku pierscienia Z i porównac z wiedza ze szkoły podstawowej.

Twierdzenie 4.60. Przy powyzszych oznaczeniach:a) a|b ⇐⇒ ai ≤ bi dla kazdego 1 ≤ i ≤ nb) c = pc1

1 . . . pcnn = NWW(a,b) ⇐⇒ ci = max{ai ,bi }

c) d = pd11 . . . pdn

n = NWD(a,b) ⇐⇒ ci = min{ai ,bi }d) NWD(a,b)NWW(a,b) = w ab, dla pewnego w ∈R∗.

Przykład 4.61. Niech R =Z, a = 24 = 23 ·3 i b = 30 = 2 ·3 ·5. Wtedy a 6 |b, NWD(a,b) = 2 ·3 = 6 oraz NWW(a,b) = 120 =23 ·3 ·5.

Powyzsze twierdzenie pozostaje prawdziwe takze w przypadku gdy R jest d.j.r.

Fakt 4.62. Jezeli NWD(a,b) = NWD(a,c) = 1, to NWD(a,bc) = 1. Jezeli a|bc i NWD(a,b) = 1, to a|c.

4.5. Podzielnosc w pierscieniach wielomianów

W tym podrozdziale przyjrzymy sie dokładniej teorii podzielnosci w pierscieniach wielomianów. W lite-raturze polskojezycznej elementy nierozkładalne pierscienia wielomianów R[x] nazywa sie czasami wielo-mianami nieprzywiedlnymi w R[x] (lub nad R).

Jak pokazuja ponizsze przykłady rozkładalnosc wielomianu i jego rozkład na czynniki zaleza od pier-scienia współczynników.

Fakt 4.63. Kazdy wielomian pierwszego stopnia nad ciałem jest nierozkładalny.

Dowód. Niech f bedzie wielomianem stopnia 1. Jest oczywiste, ze f 6= 0 i ze jest to element nieodwracalny.Załózmy, ze f = ab. Wtedy 1 = deg ab = deg a +degb. Stad a albo b (dlaczego albo?) jest wielomianem

stałym niezerowym (dlaczego?), a zatem elementem odwracalnym.

Pytanie 10: Podac przykład wielomianu rozkładalnego stopnia jeden.

Przykład 4.64. Wielomian x2 +1 jest nierozkładalny nad R, ale jest rozkładalny nad C.

Przykład 4.65. Wielomian f = x4 +4 jest rozkładalny nad Z, gdyz f = (x2 −2x +2)(x2 +2x +2). Obydwa czynniki sanierozkładalne nadQ i R, ale rozkładalne nad C.

Przykład 4.66. Wielomian f = x2 + 2 jest nierozkładalny nad Q i Z5. Jest oczywiscie rozkładalny nad C i nad Z11:f = (x +3)(x +8).

Twierdzenie 4.67. JezeliK jest ciałem, to w pierscieniuK[x]a) kazdy niezerowy wielomian jest iloczynem elementu odwracalnego (stałej!) i wielomianu unormowa-

nego.b) kazdy wielomian stopnia 1 jest nierozkładalnyc) nierozkładalny wielomian stopnia ≥ 2 nei posiada pierwiastka wK

d) wielomian stopnia 2 lub 3, który nie ma pierwiastka wK jest nierozkładalny.

Przykład 4.68. Zauwazymy, ze (x2 +1)2 ∈R[x] nie ma pierwiastka w R, ale jest rozkładalny.


Wniosek 4.69 (Zasadnicze twierdzenie algebry, bis). Wielomian nadC jest nierozkładalny wtedy i tylko wte-dy, gdy ma stopien 1.

Wniosek 4.70. Wielomian nad R jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ma stopien 1 lub stopien 2 inie posiada pierwiastka w R.

Jest oczywiste, ze nad ciałem nieskonczonym istnieje nieskonczenie wiele wielomianów nierozkładal-nych. Sa to wielomiany stopnia pierwszego. W przypadku ciała skonczonego jest to takze prawda. Co cieka-we mozemy powtórzyc rozumowanie Euklidesa o nieskonczonej ilosci liczb pierwszych.

Fakt 4.71. Nad ciałem skonczonym istnieje nieskonczenie wiele unormowanych wielomianów nierozkła-dalnych.

Dowód. Jezeli p1, . . . , pn sa wszystkimi unormowanymi wielomianami nierozkładalnymi na d ciałem skon-czonymK., to wielomian f = p1 . . . pn +1 posiada przynajmniej jeden unormowany dzielnik nierozkładalnyq . Gdyby q = pi , to poniewaz q| f i q|pi mielibysmy q|1, co nie jest mozliwe.

Dowody ponizszych twierdzen mozna znalezc w [1].

Twierdzenie 4.72. Niech K= (R), f ∈ R[x], deg f > 0. Jezeli f jest nierozkładalny w pierscieniu R, to jest onnierozkładalny w pierscieniuK[x].

W szczególnosci, jezeli wielomian unormowany nie rozkłada sie nad Z na iloczyn wielomianów stopni> 0 nad Z, to nie istnieje taki rozkład takze, nadQ.

Twierdzenie 4.73. Jezeli R jest d.j.r., to R[x] jest d.j.r.

W przypadku ciała liczb zespolonych wiemy, ze kazdy wielomian stopnia > 1 rozkłada sie na iloczynczynników liniowych (nierozkładalnych) jest zatem elementem rozkładalnym. W przypadku ciała liczb rze-czywistych mamy nastepujacy dobrze znany fakt

Fakt 4.74. Jedynymi wielomianami nierozkładalnymi nad R sa wielomiany stopnia 1 i wielomiany stopnia2 o ujemnym wyrózniku.

Dowód. Niech f bedzie wielomianem nierozkładalnym stopnia > 1. Wtedy f nie posiada pierwiastkówrzeczywistych (dlaczego?). Niech c = a + bi bedzie pierwiastkiem zespolonym f , wtedy takze c jest pier-wiastkiem f . Poniewaz R jest ciałem wiec wielomian f0 = (x − c)(x − c) dzieli wielomian f . Zauwazmy, zef0 = x2 −2ax +a2 +b2 ∈ R[x]. Co oznacza, ze f0| f w R[x], a stad f0 ∼ f , czyli f = d f0, dla pewnego niezero-wego d ∈R. Zauwazmy, ze wielomian f musi miec stopien 2 i jego wyróznic jest ujemny.

W przypadku ciała liczb wymiernych nie jest znana charakteryzacja wielomianów nierozkładalnych.Ponizsze twierdzenie podaje pozwalajace czasami stwierdzic nierozkładalnosc wielomianu nadQ.

Twierdzenie 4.75 (kryterium Eisensteina). Niech R bedzie d.j.r, niech K bedzie ciałem ułamków R i niechf = a0 + . . . an xn ∈ R[x]. Jezeli istnieje taki element nierozkładalny p ∈ R, ze p - an oraz p|ai , i = 0, . . . ,n −1,to f jest nierozkładalny wK[x].

W przypadku R =Z i K=Q powyzsze twierdzenie daje proste kryterium nierozkładalnosci wielomianuo współczynnikach całkowitych.

Przykład 4.76. Rozwazmy wielomian f = xn −p ∈Z[x], gdzie p jest liczba pierwsza. Z kryterium Eisensteina wynika,ze jest on nierozkładalny nadQ. Zauwazmy, ze z nierozkładalnosci wielomianu f nadQwynika niewymiernosc liczbynp

p.

4.6 zadania 113

Twierdzenie 4.77. Niech R bedzie d.j.r. i niechKbedzie jej ciałem ułamków. Jezeli ułamek a/b, gdzie NWD(a,b)jest pierwiastkiem wielomianu f = a0+. . . an xn ∈ R[x], to b|an i a|a0. Jezeli f jest unormowany, to kazdy jegopierwiastek wK nalezy do R.

Wniosek 4.78. Pierwiastek wielomianu dzieli jego wyraz wyraz wolny.

Pytanie: Przypomniec sobie ze szkoły twierdzenia mówiace o pierwiastkach całkowitych wielomianu wzaleznosci od najwyzszego współczynnika i wyrazu wolnego.

4.6. zadania

Zadanie 360. Pokazac, ze a ∼ b ⇔∃u∈R∗a = ub.

Zadanie 361. Pokazac, ze jezeli a,b ∈ R i a ∼ b, to element a jest rozkładalny (nierozkładalny) wtedy i tylkowtedy, gdy element b jest rozkładalny (nierozkładalny).

Zadanie 362. Podac wszystkie dzielniki i elementy stowarzyszone z elementem a w pierscieniu R jezeli:a) a = 2, R =Z,b) a = 2, R =Q,

c) a = 2, R =Z[i],d) a = 5, RZ[ 1

2 ],e) a = 4x5 +2x3 R =Z5[x].

Zadanie 363. Znalezc elementy stowarzyszone z elementami 12− i, 5 i 4+4i w pierscieniu Z[i].

Zadanie 364. Pokazac, ze w pierscieniu Z[p

5] elementy 3,7,1+2p

5,12p

5 sa nierozkładalne. Podac przy-kład całkowitej liczby pierwszej, rozkładalnej w powyzszym pierscieniu.

Zadanie 365. Wykazac, ze w podpierscieniu Z [ 12 ] pierscienia Q, liczba 6 jest nierozkładalna, natomiast

ta sama liczba jest elementem odwracalnym pierscienia Z.

Zadanie 366. Podac przykład wielomianów stopnia wiekszego niz 1, które sa elementami nierozkładalnymiw pierscieniachQ[x] oraz Z3[x].

Zadanie 367. Wykazac, ze a ∼ b wtedy i tylko wtedy, gdy aR = bR.

Zadanie 368. Zbadac jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nierozkładalnym) jest ele-ment a pierscienia R:

a) a = 4, R =Z[i],b) a = 5+2i, R =Z[i],c) a = 4, R =Z[ 1

2 ],d) a = 3

4 , R =Z[i],

e) a = 6x, R = Z [x],f ) a = 10, R =Z[ 1

6 ],g) a = 352, R =Z[ 1

6 ],h) a = 7+ i

p5, R = Z [i

p5].

Zadanie 369. Podac przykłady ciał K ,L i takiego wielomianu nierozkładalnego f ∈ K [x], który jest rozkła-dalny w pierscieniu L[x].

Zadanie 370. Pokazac, ze element a ∈ R jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (a) jest pierwszy.

Zadanie 371. Zbadac, czy a jest elementem pierwszym pierscienia R:a) a = i

p7, R =Z[i

p7],

b) a = 3, R =Z[ip

5],c) a = 1+ i

p5, R =Z[i

p5],

d) a = ip

6, R =Z[ip

6].

Zadanie 372. Wykazac, ze kazdy element pierwszy jest nierozkładalny.

Zadanie 373. Pokazac, ze element a ∈ R jest pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ideał (a) jest pierwszy.

Zadanie 374. Pokazac, ze Z[p

d ] nie jest pierscieniem z jednoznacznoscia rozkładu, gdy d = 5,6,23.

Zadanie 375. Zbadac czy element a pierscienia R ma rozkład jednoznaczny na czynniki nierozkładalne:


a) a = 10, R =Z[ip

6],b) a = 16, R =Z[i

p15],

c) a = 1+4ip

5, R =Z[ip

5],d) a = 9+ i

p7, R =Z[i

p7].

Zadanie 376. Wiedzac, ze pierscien R jest d.j.r. obliczyc liczbe dzielników elementu a.a) a = 210−30i, R =Z[i],b) a = 64i, R =Z,

c) a = 64i, R =Z[ip

2],d) a = 120+60i

p2, R =Z[i

p2].

Zadanie 377. Wykazac, ze

NWD(ip

5,4ip

5) ∼ ip

5 oraz NWD(ip

5,4ip

5) ∼−ip

5

Zauwazyc, ze ip

5 ∼−ip

5.

Zadanie 378. Wyznaczyc (jezeli istnieje) NWD(a,b) w R:a) a = 48, b = 21, R =Z,b) a = 4, b = 2−2i

p3, R =Z[i

p3],

c) 2+16ip

6, b = 8+ ip

6, R =Z[ip

6],d) a = 14, b = 1+4i

p3, R =Z[i

p3].

Zadanie 379. Wykazac, ze pierscien Z[ip

5] nie jest pierscieniem euklidesowym. (wskazówka: czy liczba 21ma rozkład jednoznaczny?)

Zadanie 380. Wyznaczyc NW D(a,b). Przedstawic wynik w postaci ax +by .a) a = 827, b = 131, R =Z,b) a = 213, b = 94, R =Z,c) a = 4+18i, b = 23+ i, R =Z[i],d) a = 5+5i, b = 13+3i, R =Z[i],e) a = x3 + x2 + 6x + 4, b = x4 + 6x3 + 2x2 + 2,

R =Z7[x],

f ) a = x3+x2+x+4, b = x4+x3+2x2+2, R =Z5[x],g) a = 5+ i

p2, b = 9, R =Z[i

p2],

h) a = 7+5ip

2, b = 6+ ip

2, R =Z[ip

2],i) a = 1+6

p3, b = 4+p

3, R =Z[ip

3],j) a = 25+3

p3, b = 4+p

3, R =Z[ip

3].

55555 5 5 5 5 5 5 5 5

Teoria ciał

W tym rozdziale bedziemy zajmowac sie ciałami.Przypomnijmy, ze ciałem nazywamy pierscien prze-mienny z jedynka 1 6= 0, w którym kazdy niezerowy element jest odwracalny. Ciała sa strukturami algebra-icznymi, których własnosci sa najbardziej naturalne i przypominajace własnosci działan w zbiorze liczbwymiernych.

5.1. Podciała

Kazde ciało jest pierscieniem przemiennym z 1. Podpierscien ciała jest podgrupa grupy addytywnej izbiorem zamknietym ze wzgledu na mnozenie (i zawierajacym jedynke).

Definicja 5.1. Podciałem ciała F nazywamy podzbiór K ⊂ F taki, ze K jest podgrupa grupy addytywnej ForazK\ {0} jest podgrupa grupy multyplikatywnej F\ {0}.

Oczywiscie kazde ciało jest swoim podciałem. W przypadku ciała mozemy, tak jak w kazdym pierscie-niu, mówic o działaniu odejmowania. Poniewaz wszystkie niezerowe elementy sa odwracalne mozemy tak-ze mówic o „działaniu” dzielenia przez elementy niezerowe (rozumianym jako mnozenie przez elementodwrotny). Jezeli 1 ∈K⊂ F i działania odejmowania i dzielenia przez elementy rózne od zera sa wykonalnewK, toK jest podciałem ciała F.

Fakt 5.2. K⊂ F jest podciałem wtedy i tylko wtedy, gdy

a) 0,1 ∈K,b) x, y ∈K =⇒ x − y ∈K,c) x, y ∈K, y 6= 0 =⇒ x y−1 ∈K

Fakt 5.3. PodciałoK to podpierscien z jedynka ciała, który jest ciałem wzgledem działan obcietych doK.

Przykład 5.4. Podciałami ciała C sa np.: R, Q(p

2) i Q. Zauwazmy, ze Z jest podpierscieniem z jedynka C (a takze R iQ), ale nie jest podciałem.

Ponizsze twierdzenie, analogiczne do podanych w rozdziale 2, pozostawiamy bez dowodu.

Twierdzenie 5.5. Przekrój dowolnej niepustej rodziny podciał jest podciałem.

Twierdzenie 5.6. Dla dowolnego podzbioru A ciała K istnieje najmniejsze podciało L ciała K zawierajacezbiór A.

116 Rozdział 5. Teoria ciał

CiałoL którego istnienie gwarantuje powyzsze twierdzenie nazywamy ciałem generowanym przez zbiór A.Jezeli L jest podciałem i A dowolnym zbiorem, to ciało generowane przez L∪ A oznaczmy L(A). Jezeli A jestzbiorem skonczonym {a1, . . . , an} to stosujemy znana juz notacje L[a1, . . . , an].

Przykład 5.7. Podciałem ciała R generowanym przez zbiórQ∪ {p

2} jestQ(p

2).

Dowody ponizszych twierdzen mozna znalezc w [9].

Twierdzenie 5.8. NiechK bedzie podciałem ciała F i niech S ⊂K.a) Podpierscien (z jedynka) K[S] jest zbiorem wszystkich skonczonych kombinacji liniowych o współ-

czynnikach zK iloczynów poteg elementów zbioru §.b) PodciałoK(S) jest zbiorem wszystkich iloczynów postaci ab−1, a,b ∈K[S], b 6= 0. Jest to ciało izomor-

ficzne z ciałem ułamków pierscieniaK[S].

Twierdzenie 5.9. NiechK bedzie podciałem ciała F, S ⊂K i niech x, a1, . . . , An ∈ F.a) x ∈K[a1, . . . , an] ⇐⇒ x = f (a1, . . . , an), dla pewnego wielomianu (wielu zmiennych) f o współczynni-

kach zKb) x ∈K(a1, . . . , an) ⇐⇒ x = f (a1, . . . , an), dla pewnej funkcji wymiernej (wielu zmiennych) f o współ-

czynnikach zK (czyli elementu ciała ułamków pierscienia wielomianów).c) x ∈K[S] ⇐⇒ x ∈K[a1, . . . , an], dla pewnych a1, . . . , an ∈ Sd) x ∈K(S) ⇐⇒ x ∈K(a1, . . . , an), dla pewnych a1, . . . , an ∈ S

5.1.1. Ciała proste

Definicja 5.10. Ciało, którego jedynym podciałem jest ono samo nazywamy ciałem prostym.

W dalszej czesci wykazemy, ze ciała Q i Zp nie posiadaja własciwych podciał, czyli, ze sa to ciała proste.Wykazemy takze, ze z dokładnoscia do izomorfizmu sa to jedyne ciała proste.

Twierdzenie 5.11. Kazde ciało zawiera dokładnie jedno ciało proste.

Dowód. Niech L0 bedzie podciałem ciałaK generowanym przez zbiór pusty. Podciało L jest zawarte w kaz-dym podciele ciałaK. Jezeli L1 ⊂ L0, to poniewaz L1 ⊂Kwiec L0 = L1, co oznacza, ze L0 jest ciałem prostym.Dowód jednoznacznosci pozostawiamy jako cwiczenie.

Definicja 5.12. Rozszerzeniem ciała K nazywamy ciało L, jezeli K jest podciałem ciała K. W tej sytuacjipiszemyK⊂ L.

Przykład 5.13. Ciało R jest rozszerzeniem ciałaQ, ciało C jest rozszerzeniem ciała R.

Mozna wykazac (cwiczenie), ze liczba elementów podciała L⊂K jest dzielnikiem liczby elementów ciałaK. W jednym z kolejnych podrozdziałów wykazemy, ze liczba elementówKmusi byc potega liczby elemen-tów L.

5.1.2. Homomorfizmy ciał

NiechK i F beda ciałami.

Definicja 5.14. Odwzorowanieϕ : K→ F nazywamy homomorfizmem ciał, jezeliϕ(1) = 1,ϕ(x+y) =ϕ(x)+ϕ(y) oraz ϕ(x y) =ϕ(x)ϕ(y).

5.2 Charakterystyka ciała 117

Czyli homomorfizm ciał jest zatem po prostu homomorfizmem pierscieni z jedynka. Zatem wszystkiewłasnosci homomorfizmów pierscieni z jedynka przysługuja homomorfizmom ciał. Kazdy homomorfizmciał indukuje homomorfizmy grup addytywnych i multyplikatywnych ciał. Waznym przykładem homomor-fizmu ciał jest włozenie. Okazuje sie ze sa to jedyne mozliwe homomorfizmy.

Przykład 5.15. JezeliK jest podciałem ciała F to włozenie jest homomorfizmem ciał. Nazywamy go homomorfizmemwłozenia.

Fakt 5.16. Kazdy homomorfizm ciał jest monomorfizmem.

Jak sie okazuje, podstawowa relacja pomiedzy ciałami jest relacja inkluzji.

Twierdzenie 5.17. Jezeli ϕ : K→ F jest homomorfizmem ciał, to imϕ jest podciałem F orazK' imϕ.

Z uwagi na powyzsze twierdzenie wprowadzamy definicje rozszerzenia ciała.

Definicja 5.18. JezeliK jest podciałem ciała F, to F nazywamy rozszerzeniem ciałaK.

Jezeli F jest rozszerzeniem K, to piszemy K ⊂ F. Badanie rozmaitych typów rozszerzen jest jednym zgłównych problemów teorii ciał i prowadzi do wielu interesujacych wniosków. jednym z nich jest uzasad-nienie niewykonalnosci, klasycznych konstrukcji geometrycznych.

Definicja 5.19. Niech Fbedzie rozszerzeniem ciałaK. Stopniem rozszerzenia nazywamy wymiar przestrze-ni liniowej F nad K. Stopien rozszerzenia oznaczamy [F : K]. Jezeli [F : K] < ∞, to rozszerzenie nazywamyskonczonym, w przeciwnym przypadku mówimy o rozszerzeniu nieskonczonym.

Przykład 5.20. Z algebry liniowej wiemy, ze [C :R] = 2 oraz (byc moze wiemy, ze ) [R :Q] = |R| =∞.

Ponizsze twierdzenie jest w zasadzie twierdzeniem z algebry liniowej, pozostawiamy jej jako cwiczenie.

Twierdzenie 5.21. Jezeli L⊂K⊂ F, to [F : L] = [F :K][K : L].

Podobnie jak dla pierscieni, odnotujmy nastepujacy fakt.

Twierdzenie 5.22. Kazdy homomorfizm ciał ϕ : K→ F indukuje homomorfizm pierscieni K[x] → F[x], f =a0 +a1x . . .+an xn 7→ ϕf =ϕ(a0)+ϕ(a1)x . . .+ϕ(an)xn .

5.2. Charakterystyka ciała

Jak pamietamy, kazdy podpierscien z jedynka zawiera najmniejszy podpierscien (z jedynka) złozonyze wszystkich wielokrotnosci jedynki izomorficzny z Z lub Zp . W oczywisty sposób ta własnosc pozosta-je prawdziwa w ciałach z ta róznica, ze zamiast najmniejszego podpierscienia rozpatrujemy najmniejszepodciało (z koniecznosci jest to podciało proste).

Definicja 5.23. Charakterystyka ciała K nazywamy najmniejsza liczbe naturalna n taka, ze n ·1 = 0. Jeze-li taka liczba nie istnieje to mówimy, ze charakterystyka ciała wynosi 0. Charakterystyke ciała oznaczamycharK.

Przykład 5.24. CiałaQ,R,Cmaja charakterystyke zero. Ciała Zp , charakterystyke p.

Przykład 5.25. Ciało ułamków pierscienia Zp [x] jest nieskonczonym ciałem charakterystyki p.

Fakt 5.26. Charakterystyka podciała jest taka sama jak charakterystyka ciała.

Jak sie okazuje charakterystyka nie moze byc dowolna liczba.


Twierdzenie 5.27. Charakterystyka ciała jest liczba pierwsza lub zerem.

Dowód. NiechK bedzie ciałem charakterystyki n > 0 i niech n = m1m2, gdzie m1, m2 ∈N. Mamy 0 = n ·1 =(m1 · 1)(m2 · 1). Poniewaz w K nie ma dzielników zera i n =≥ m1,m2 > 0 wiec m1 · 1 = 0 lub m2 · 1 = 0. Zdefinicji charakterystyki otrzymujemy, ze m1 = n lub m2 = n. Stad w kazdym rozkładzie n = m1m2 jeden zczynników jest równy n. Zauwazmy, ze n 6= 1, gdyz 1 6= 0. Zatem n jest liczba pierwsza.

Od teraz mówiac, ze ciało ma charakterystyke p zawsze bedziemy zakładac, ze p jest liczba pierwsza.Nastepne twierdzenie pozostawiamy bez dowodu.

Twierdzenie 5.28. Załózmy, ze m ∈Z i a jest dowolnym niezerowym elementem ciałaK. Wtedy

m ·a = 0 ⇐⇒ charK|m.

Zauwazmy, ze w ciele charakterystyki p zachodzi wzór

(x + y)pm = xpm + y pm.

Wyznaczymy teraz wszystkie ciała proste.

Twierdzenie 5.29. Niech K bedzie dowolnym ciałem. Jesli charK = 0, to ciało proste zawarte w K jest izo-morficzne zQ. Jesli charK= p, to ciało proste zawarte wK jest izomorficzne z Zp .

Dowód. Załózmy, ze charK= p > 0. Wtedy zbiór A = {0 ·1,1 ·1,2 ·1, . . . , (p−1) ·1} składa sie z parami róznychelementów. Zauwazmy, ze

(k ·1)+ (m ·1) = (k +m) ·1 = (k +m)p ·1

(k ·1)(m ·1) = (km) ·1 = (km)p ·1

Funkcja ϕ : Zp → A dana wzorem ϕ(k) = k ·1, zachowuje działania, ϕ(0) = 0 ·1, ϕ(1) = 1 ·1 i jest bijekcja. Po-sługujac sie podanymi własnosciami łatwo sprawdzic (cwiczenie), ze A jest ciałem. Zatem A jest podciałemciałaK izomorficznym z Zp . Ciało A jest ciałem prostym poniewaz kazde podciałoK zawiera zbiór A.

Załózmy teraz, ze charK = 0. Rozwazmy, podzbiór A złozony z elementów postaci (k ·1)/(m ·1), gdziem,k ∈Z i m 6= 0. Łatwo sprawdzic, ze A jest zamkniety ze wzgledy na mnozenie i dodawanie z ciała K. Od-wzorowanie ϕ : Q→ A dane wzorem ϕ(k/m) = (k ·1)/(m ·1) jest bijekcja, zachowuje dodawanie i mnozenieoraz ϕ(0) = 0/1 i ϕ(1) = 1/1. Podobnie jak poprzednio mozna wykazac, ze A jest ciałem izomorficznym z Q.Ciało A jest ciałem prostym poniewaz kazde podciałoK zawiera zbiór A.

Wniosek 5.30. Jedynymi ciałami prostymi sa, z dokładnoscia do izomorfizmu, ciałaQ i Zp .

Twierdzenie 5.31. kazde ciało o p elementach, gdzie p jest liczba pierwsza, jest izomorficzne z ciałem Zp .Wszystkie ciała o p elementach sa izomorficzne.

5.2.1. Pierwiastki z jedynki

Pierwiastki stopnia n omówilismy przy okazji pierscienia wielomianów. Podamy tutaj dodatkowa wła-snosc ciał zwiazana z pierwiastkami z jedynki.

Definicja 5.32. Element r ciałaK nazywamy pierwiastkiem z jedynki stopnia n, jezeli r n = 1.

Zauwazmy, ze ta definicja zgadza sie z definicja podana wczesniej.

Twierdzenie 5.33. Kazda skonczona podgrupa multiplikatywna ciałaK jest cykliczna.

5.3 Ciało rozkładu wielomianu 119

Dowód. Niech G bedzie podgrupa grupy K \ {0}. Zapiszmy |G| jako iloczyn p1pk1 . . . pkrr , dodatnich poteg

róznych liczb pierwszych. Poniewaz G jest skonczona grupa abelowa, wiec G = H1 ×Hr , oraz |Hi | = pki

i .

Jezeli pi |G , to Hi = {x ∈ : xp j = 1, dla pewnego j ≥ 0}. W grupie Hi istnieje element y maksymalnegorzedu pk . Wtedy xpk = 1 dla wszystkich x ∈ Hi . W ciele wielomian xpk −1 posiada co najwyzej pk rozwiazan.Zatem |Hi | ≤ pk .

z drugiej strony ⟨y⟩ < Hi oraz |⟨y⟩| = pk . Co oznacza, ze Hi jest grupa cykliczna dla kazdego i . Poniewazrzedy grup Hi sa wzglednie pierwsze, wiec G jest grupa cykliczna.

Zbiór wszystkich pierwiastków z jedynki stopnia n jest skonczona podgrupa multiplikatywna. Tworzyzatem grupe cykliczna. Przypomnijmy, ze w przypadku ciała C oznaczalismy ja µn .

Definicja 5.34. Pierwiastkiem pierwotnym z jedynki stopnia n nazywamy generator cyklicznej podgrupywszystkich pierwiastków n-tego stopnia z jedynki.

5.3. Ciało rozkładu wielomianu

Twierdzenie 5.35. Dla dowolnego ciała K i wielomianu f ∈ K[x], deg f 6= 0, istnieje ciało L zawierajace Kjako podciało takie, ze f ma pierwiastek w ciele L.

Dowód. Niech I bedzie dowolnym ideałem maksymalnym zawierajacym f . Pierscien ilorazowy L=K[x]/Ijest ciałem zawierajacym ciałoK. Niech ϕ : K[x] → L=K[x]/I bedzie homomorfizmem kanonicznym, tzn.:ϕ(g ) = g + I . Dla dowolnego wielomianu g = an xn + . . .+a1x +a0 mamy

ϕ(g ) = (an + I )(x + I )n + . . .+ (a1 + I )(x + I )+ (a0 + I )(1+ I )

Zauwazmy, ze traktujac f jako element L[y] i utozsamiajac elementy a ∈K oraz ϕ(a) otrzymujemy:

f (x + I ) = f (ϕ(x)) =ϕ( f ) = 0.

Zatem x + I jest pierwiastkiem wielomianu f .

Twierdzenie 5.36. Dla kazdego ciałaK i wielomianu f ∈K[x], deg f > 0, istnieje rozszerzenie L ciałaK takie,ze wielomian f rozkłada sie L[y] na iloczyn czynników liniowych.

Dowód. Dowód przeprowadzimy przez indukcje ze wzgledu na stopnien f . Jezeli deg f = 1, to twierdzeniejest prawdziwe. Załózmy, ze twierdzenie jest prawdziwe dla wielomianów stopnia mniejszego niz deg f = n.Istnieje rozszerzenie L1 ciała K w którym wielomian f ma pierwiastek a =∈ L. Zatem f = (x − a)g , gdzie gjest wielomianem stopnia n −1. Zatem na mocy załozenia indukcyjnego istnieje rozszerzenie L ciała L1 wktórym g rozkłada sie na iloczyn czynników liniowych, co konczy dowód.

Definicja 5.37. Niech L bedzie rozszerzeniem ciała K. Jezeli wielomian f ∈K[x] rozkłada sie w pierscieniuL[x] na iloczyn f = c(x−a1) · . . . · (x−an), to ciało K (a1, . . . , an) nazywamy ciałem rozkładu wielomianu f ∈.

Przykład 5.38. Dla wielomianu f = x2 − 2 ∈ Q ciałem rozkładu jest Q/( f ) ' Q(p

2). Zas dla wielomianu f = x2 + 1,Q/(x2 + 1) ' C. Zauwazmy, ze w obu przypadkach f jest wielomianem nierozkładalnym, z czego wynika, ze ( f ) jestmaksymalny.

Przykład 5.39. Niech p bedzie liczba pierwsza i k liczba naturalna. Istnieje rozszerzenie L ciałaZp takie, ze wielomian

f = xpk −x rozkłada sie w L[x] na iloczyn czynników liniowych:

xpk −x = (x −e1)(x −e2) . . . (x −en), n = pk

Kazdy pierwiastek wielomianu f w ciele L jest jednym z elementów ei . Wszystkie pierwiastki wielomianu f sa rózne(cwiczenie). Zbiór A = {e1, . . . ,eq } podciałem ciała L (cwiczenie).


Poniewaz L jest rozszerzeniem ciała Zp i A jest podciałem ciała L wiec A jest ciałem o pk elementach o charakte-rystyce p.

Twierdzenie 5.40. Dla kazdej liczby pierwszej p i kazdej liczby naturalnej k istnieje ciało o pk elementach.

Przez GF (pn) bedziemy oznaczac ciała charakterystyki p składajace sie z pn elementów. Czasami ciałaGF (pn) nazywaja sie ciałami Galois. Mozna wykazac, ze kazde dwa ciała rozkładu tego samego wielomianusa izomorficzne.

Wniosek 5.41. Kazde dwa ciała o pk elementach sa izomorficzne

Dowód. Niech K bedzie ciałem o pk elementach. Kazdy element tego ciała jest albo równy zero albo jestpierwiastkiem wielomianu xpk−1 − 1 (cwiczenie). Zatem kazdy element K Jest pierwiastkiem wielomianuxpk − x. Stad K jest ciałem rozkładu wielomianu, którego podciało proste jest izomorficzne z Zp . Zatemkazde ciało o pk elementach jest ciałem rozkładu tego wielomianu wiec wszystkie takie ciała sa izomorficz-ne.

5.4. Ciała algebraicznie domkniete

Definicja 5.42. Ciało K nazywamy ciałem algebraicznie domknietym jezeli kazdy wielomian f ∈ K[x]stopnia wiekszego od 0 posiada wK pierwiastek.

Twierdzenie 5.43. K jest ciałem algebraicznie domknietym wtedy i tylko wtedy, gdy kady wielomian f ∈K[x], deg f > 0 mozna rozłozyc wK[x] na iloczyn czynników liniowych.

Dowód powyzszego twierdzenie otrzymujemy przez łatwa indukcje ze wzgledu na stopien wielomianu.

Wniosek 5.44. Nad ciałem algebraicznie domknietym kazdy wielomian ma dokładnie tyle pierwiastków ilewynosi jego stopien (uwzgledniajac krotnosci)

Fakt 5.45. Zadne ciało skonczone nie jest algebraicznie domkniete.

Dowód. Jezeli a1, . . . , an sa wszystkimi elementami ciała to wielomian (x − a1) . . . (x − an)+ 1 nie ma pier-wiastka w tym ciele.

Twierdzenie 5.46 (Steinitz). Kazde ciało mozna rozszerzyc do ciała algebraicznie domknietego.

Mozna wykazac, ze kazde dwa takie rozszerzenia sa izomorficzne.

5.5. Elementy algebraiczne

Definicja 5.47. Niech L bedzie rozszerzeniem ciała K. Element a ∈ L nazywamy algebraicznym nad K, je-zeli istnieje wielomian f ∈K[x] taki, ze f (a) = 0. Elementy które nie sa algebraiczne nazywamy elementamiprzestepnymi nadK.

Definicja 5.48. Rozszerzenie L ciała K nazywamy algebraicznym, jezeli kazdy element ciała L jest algebra-iczny nadK.

W szczególnosci, jezeli L=C iK=Q, to elementy algebraiczne nadQ nazywamy liczbami algebraiczny-mi, a elementy przestepne - liczbami przestepnymi.

Przykład 5.49. Kazdy element a ciałaK jest algebraiczny nadK, bo jest on pierwiastkiem wielomianu x −a.

5.6 Zadania 121

Przykład 5.50. Liczbap

2 ∈ R jest algebraiczna nad Q. Liczba√

2+p5 jest algebraiczna bo jest pierwiastkiem wielo-

mianu x4 −4x2 −1 ∈Q[x]. Podobnie 1+p3 oraz 3p2 sa algebraiczne andQ.

Definicja 5.51. Liczby π oraz e sa przestepne nadQ.

Fakt 5.52. Element a ∈K jest elementem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdyK(a) jest ciałem

Fakt 5.53. Element a ∈K jest elementem algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy [K(a) : K] <∞

5.6. Zadania

Wykaz, ze w ciele charakterystyki p, dla kazdego a zachodzi równosc: pa = 0.

Zadanie 381. Podac przykład ciała róznego od Zp o charakterystyce p. Zadanie 382. Wykaz, ze ciało jest

dziedzina całkowitosci i jedynymi ideałami sa {0} i całe ciało.

Ciało ułamków

Niech RK bedzie pierscieniem całkowitym. W zbiorze K = R ×R \ {0} wprowadzamy relacje:

∀(a,b),(a′,b′)∈K (a,b) ' (a′,b′) ⇔ ab′ = a′b.

Klase abstrakcji elementu (a,b) ∈ K nazywamy ułamkiem o liczniku a i mianowniku b i oznaczamy ab .

Definicja 5.54. Zbiór K / ' wraz z działaniami dodawania i mnozenia ułamków

a

b+ c

d= ad +bc

bd,

a

b

c

d= ac

bd

nazywamy ciałem ułamków pierscienia R i oznaczamy przez (R)

Zadanie 383. Wykaz ze:a) ' jest relacja równowaznosci w Kb) działania dodawania i mnozenia ułamków sa dobrze okreslone (tzn. nie zaleza od wyboru reprezen-

tanta)c) (R) jest ciałem

Zadanie 384. Wykaz, zea) (Z) 'Qb) (Z[

p2]) 'Q(

p2)

c) (Z[p

5]) ='Q(p

5)d) (Z[ 1

2 ]) 'QZauwazmy, ze Z 6'Z[ 1

2 ] ale (Z) 'Z[ 12 ].

Zadanie 385. Wypisac elementy ciał (Z2) i (Z5).

Zadanie 386. Wykazac, ze (Zp [x]) jest nieskonczonym ciałem charakterystyki p.

Zadanie 387. Wykaz, ze charakterystyka ciała jest równa zero, albo jest liczba pierwsza.

Zadanie 388. Wykaz, ze jezeli L ⊂ K jest podciałem to char(L) = char(K ).

Cwiczenia

Zestaw 1Zbiory z działaniami

Definicje i oznaczenia

działanie:dowolne odwzorowanie ◦ : X × X → X . Zamiast◦(a1, a2) piszemy a1 ◦a2

łacznosc:dla dowolnych a,b,c ∈ X zachodzi: (a ◦b) ◦ c = a ◦(b ◦ c)

przemiennosc:dla dowolnych a,b ∈ X zachodzi: a ◦b = b ◦a

element neutralny:dla kazdego a ∈ X zachodzi: a ◦e = e ◦a = a

element odwrotny do a:element b ∈ X spełniajacy a ◦b = b◦ = e, zwykle el.odwr. oznaczamy przez a−1

rozdzielnosc działania ◦ wzgledem działania ∗:dla kazdych a,b,c ∈ X zachodzi: a◦(b∗c) = (a◦b)∗(a ◦ c) ∧ (a ∗b)◦ c = (a ◦ c)∗ (b ◦ c)

potega (wielokrotnosc) elementu x:xn = x · . . . · x︸︷︷︸

n

, nx = x + . . .+x︸︷︷︸n

zbiory liczbowe:• N, N0, Z, Q, R, C – zbiory liczb naturalnychN = {1,2,3, . . .}, liczb naturalnych z zerem, cał-kowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespo-lonych

• Z∗,Q∗, R∗, C∗ – zbiory liczb róznych od zera• Q+, R+ – zbiory liczb dodatnich• nZ = {nk : k ∈ Z} – zbiór liczb całkowitych po-

dzielnych przez n• µn = {εn ,ε2

n , . . . ,εn−1n } – zbiór pierwiastków ze-

spolonych z jedynki stopnia n, εn = cos 2πn +

isin 2πn

• S1 = C1 = {z ∈ C : |z| = 1} – liczby zespolone omodule 1

zbiory reszt:• Zn = {0,1, . . . ,n − 1} – zbiór reszt z dzielenia

przez n• Z∗

n = {k ∈ Zn : NWD(k,n) = 1} – zbiór reszt zdzielenia przez n wzglednie pierwszych z n

zbiory macierzy• M(m ×n,K) – zbiór macierzy o m-wierszach i

n-kolumnach o współczynnikach zK• Gl (n,K) – zbiór macierzy odwracalnych n ×n• Sl (n,K) – zbiór macierzy odwracalnych n×n o

wyznaczniku równym 1zbiory odwzorowan:

• M ap(X ,K) – zbiór odwzorowan zbioru X wK

• M ap(X ) – zbiór odwzorowan zbioru X w X• S(X ) – zbiór bijekcji (permutacji) zbioru X

Zadania

Zadanie 1. Sprawdzic jakie sa własnosci działan arytmetycznych (dodawania, mnozenia, odejmowania idzielenia) w zbiorach liczbowych.

Zadanie 2. Podac tabelke działania gry „Papier, kamien, nozyce”. Jakie sa własnosci tego działania?

126

Zadanie 3. Zbadac własnosci działan danych tabelka

a)

a b c

a b c cb a c cc c c c

b)

a b c

a b c ab b b cc a a b

c)

a b c

a a b cb b c ac c a b

d)

a b c d

a a b a bb a b a bc c d c dd c d c d

e)

a b c d

a a b a bb b a d cc a b c dd d c d c

f)

a b c d

a a b c db b a d cc c d c dd d c d c

Zadanie 4. Zbadac własnosci działania dodawania modulo i mnozenia modulo w zbiorach Zn i Z∗n .

Zadanie 5. Zbadac własnosci dodawania i mnozenia macierzy.w zbiorach M(m ×n,K), M(n,K), Gl (n,K),Sl (n,K), gdzieK jest zbiorem liczbowym.

Zadanie 6. Zbadac własnosci działania składania odwzorowan w zbiorze S(X ), zbiorze Map({a,b}), zbiorzeodwzorowan liniowych, zbiorze funkcji k-krotnie rózniczkowalnych i zbiorze homeomorfizmów,

Zadanie 7. Niech (K,∗) bedzie zbiorem z działaniem. Zbadac własnosci działania ( f , g ) 7→ f~g , ( f~g )(x) =f (x)∗ g (x) w zbiorze M ap(X ,K) w zaleznosci od własnosci działania ∗.

Zadanie 8. Czy iloczyn skalarny wektorów jest działaniem?

Zadanie 9. Sprawdzic, ze iloczyn wektorowy w R3 jest działaniem. Jakie sa własnosci tego działania?

Zadanie 10. Okreslic własnosci działana) w zbiorze liczb naturalnych z zerem:

a�b = NWD(a,b), a4b = NWW(a,b)

b) w zbiorze liczb naturalnych:

x�y = x y , x4y = x y

c) w zbiorze liczb naturalnych:

x�y = x + y +1, x4y = x y +x + y

d) w zbiorze liczb rzeczywistych i w zbiorze [4,5]:

x ∧ y = min(x, y), x ∨ y = max(a,b)

Zadanie 11. Niech A bedzie zbiorem. Okreslic własnosci nastepujacych działan w zbiorze X =P (A)a) suma zbiorów ∪,b) iloczyn zbiorów ∩,c) róznica zbiorów \,

d) dopełnienie do zbioru X ,e) róznica symetryczna zbiorów

A÷B = (A \ B)∪ (B \ A).

Zadanie 12. Zadac własnosci działania (a,b)◦ (c,d) = (ac, ad +b) okreslonego w zbiorze R∗×R∗.

Zadanie 13. Zbadac własnosci dodawania i mnozenia macierzy w zbiorach:

A ={[

a b0 0

]: a,b ∈R

}, B =

{[a 0b 0

]: a,b ∈R

}, C =

{[a 00 0

]: a ∈R

}

Zadanie 14. W zbiorze X okreslamy działanie wzorem x ◦ y = x. Zbadac własnosci tego działania.

127

Zadanie 15. Załózmy, ze działanie w zbiorze X jest łaczne, przemienne i posiada element neutralny. Wy-bieramy dowolny element t i definiujemy nowe działanie a ◦b = atb. Zbadac własnosci tego działania.

Zadanie 16. Niech X bedzie zbiorem. W zbiorze X × X okreslamy działanie wzorem (a,b) ◦ (c,d) = (a,d).Zbadac własnosci tego działania.

Zadanie 17. Wykazac, ze jezeli działanie jest łaczne, toa) istnieje co najwyzej jeden element neutralny,b) dla kazdego elementu istnieje co najwyzej jeden element odwrotny.

Czy twierdzenie pozostaje prawdziwe jezeli działanie nie jest łaczne?

Zadanie 18. Wykazac, ze jezeli działanie jest łaczne, to dla dowolnych liczb naturalnych n i m (lub natural-nych z zerem, jezeli działanie posiada element neutralny):

a) xn xm = xm+n ,b) (xn)m = xnm ,

c) x y = y x =⇒ (x y)n = xn yn ,d) x j xi = xi x j , to (x1 . . . xk )n = xn

1 . . . xnk .

Zapisac powyzsze wzory w notacji addytywnej. Dlaczego działanie musi byc łaczne?

Zadanie 19. W zbiorze liczb całkowitych okreslamy działania:a) x ⊕1 y = 2x − y ,b) x ⊕2 y = x + y +x2 y ,c) x ⊕3 y = x + y +x2 y2 +x y3,d) x ⊕4 y = x,e) x ⊕5 y = 2x y ,

f ) x ⊕6 y = x + y +x y ,g) x ⊕7 y = x + y ,h) x ⊕8 y = x y −1,i) x ⊕9 y = x + y +x2 y2,j) x ⊕10 y = x + y +x2 y +x y2,

Okreslic własnosci tych działan.To zadanie dostarcza komplet przykładów i kontrprzykładów.

Zestaw 2Definicja grupy


grupazbiór z działaniem łacznym, posiadajacym ele-ment neutralny, w którym kazdy element posiadaelement odwrotny

grupa abelowa (przemienna)grupa, w której działanie jest przemienne

rzad grupy |G|liczba elementów grupy G

addytywne grupy liczbowe:

(Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+)

multiplikatywne grupy liczbowe:

(Q∗, ·), (R∗, ·), (C∗, ·)• Liczby zespolone o module 1:

S1 =C1 = {z ∈C : |z| = 1}

• Pierwiastki zespolone z jedynki:

µn = {z ∈C : zn = 1} = {εn ,ε2n , . . . ,εn−1

n }

εn = cos2π

n+ isin

2π

n

addytywne grupy reszt z dzielenia:

(Zn ,+n), n ∈Nmultiplikatywne grupy reszt z dzielenia:

(Z∗n , ·n), n ∈N

addytywne grupy macierzy:

(M(n ×m,K),+), n,m ∈Nmultiplikatywne grupy macierzy:

(Gl (n,K), ·), (Sl (n,K), ·), n ∈Ninne grupy

• V4 – grupa czwórkowa Kleina• Dn – grupa dihedralna• Sn – grupa symetryczna• An – grupa alternujaca

Zadania

Zadanie 20. Niech G bedzie grupa. Wykazac, ze:a) istnieje dokładnie jeden element neutralny,b) kazdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny,c) ∀a,b∈G (ab)−1 = b−1a−1,d) ∀a∈G (a−1)−1 = a,e) zachodzi prawo skracania:∀a,g ,h∈G ag = ah ∨ g a = ha =⇒ g = h,f ) dla dowolnych a,b ∈G istnieja jednoznacznie okreslone elementy x, y ∈G takie, ze ax = b ∧ y a = b.g)

(x1x2 . . . xn)−1 = x−1n . . . x−1

2 x−11

130

Zapisac powyzsze wzory w notacji addytywnej.

Zadanie 21. Niech G bedzie grupa. Wykazac, ze dla dowolnych a,b ∈G , m,n ∈Z zachodzi:a) a0 = e, a1 = a,b) an am = am+n ,

c) (an)m = anm ,d) (an)−1 = a−n = (a−1)n .


Zadanie 22. Wykazac, ze kazdej grupie skonczonego rzedu, odwrotnosc elementu jest dodatnia potegatego elementu.

Zadanie 23. Sprawdzic, ze grupa czwórkowa Kleina, czyli zbiór V4 = {e, a,b, ab} z działaniem danym tabel-ka:

e a b ab

e e a b aba a e ab bb b ab e a

ab ab b a e

rzeczywiscie jest grupa.

Grupy liczbowe

Zadanie 24. Które ze zbiorów liczbowych tworza grupy ze wzgledu na dodawanie lub mnozenie liczb?

Zadanie 25. Sprawdzic, które z podanych zbiorów liczbowych tworza grupy wzgledem dodawania lubmnozenia liczb.

a) nZ, n ∈N,b) {−1,1},c) µn , n ∈N,d) S1,e) zbiór liczb zespolonych o ustalonym module

r ,

f ) zbiór A = {z ∈C : 0 < |z| ≤ r , r > 0,g) Q(

p5) = {a +b

p5: a,b ∈Q},

h) Z[i] = {a +bi : a,b ∈Z},i) (0,1],j) {ak : k ∈N}, a ∈R∗.

k) {ak : k ∈Z}, a ∈R∗.

Grupy reszt

Czesto wygodnie jest zamiast liczby k uzywac w obliczeniach liczby k +mn, dla pewnego m ∈Z i dopiero ostatecznywynik redukowac modulo n, np.:

• zamiast wielokrotnie dodawac do siebie k = n − 1 lepiej uzyc −1 = k + (−1)n, gdyz wtedy dodawanie generujemniejsze liczby,

• zamiast k = n −1 lepiej uzyc −1 = k + (−1)n, gdyz wtedy mnozenie przez k jest poprostu zmiana znaku.Funkcja Eulera nazywamy funkcjeϕ : N→N, która dla ustalonego n zwraca liczbe liczb naturalnych takich, ze k ≤ n oNWD(n,k) = 1. Niektóre własnosci funkcji Eulera:

a) NWD(m,n) = 1 =⇒ ϕ(mn) =ϕ(m)ϕ(n),b) p - liczba pierwsza =⇒ ϕ(pk ) = pk −pk−1,c) n = pr1

1 . . . prkk =⇒ ϕ(n) =∏k

i=1(prii −pri−1

i ).

Zadanie 26. Udowodnic, ze dla kazdego n ∈N zbiory (Zn ,+n) i (Z∗n , ·n) tworza grupy.

Zadanie 27. Wyznaczyc rzad grup Zn i Z∗n (dla małych n).

Zadanie 28. Dla n = 2,3, . . . ,10 zbudowac tabelke działania grup:

131

a) (Zn ,+n), b) (Z∗n , ·n).

To zadanie moze byc troche nudne...

Zadanie 29. Wyznaczyc elementy odwrotne do liczby k w grupie Z∗n , jezeli:

a) k = 3, n = 4,5,10,b) k = 10, n = 11,21,c) k = 61, n = 100,

d) k = 9, n = 100,e) k = 2, n – liczba pierwsza,f) k = n −1, n – liczba pierwsza.

W niektórych przypadkach wygodnie jest skorzystac z rozszerzonego algorytmu Euklidesa lub z twierdzenia Fermata.

Grupy macierzowe

Zadanie 30. Które ze zbiorów macierzy tworza grupe ze wzgledu na dodawanie lub mnozenie macierzy?

Zadanie 31. Wykazac, ze grupa Gl (n,R) nie jest abelowa dla n > 1.

Zadanie 32. Sprawdzic które z podanych zbiorów macierzy kwadratowych ustalonego stopnia o wyrazachrzeczywistych tworzy grupe:

a) zbiór macierzy symetrycznych z dodawaniem,b) zbiór macierzy symetrycznych z mnozeniem,c) zbiór macierzy nieosobliwych z dodawaniem,d) zbiór macierzy o wyznaczniku równym ±1 z mnozeniem,e) zbiór macierzy o wyznaczniku dodatnim z mnozeniem,f) zbiór macierzy o wyznaczniku ujemnym z mnozeniem,g) zbiór macierzy diagonalnych z dodawaniem,h) zbiór macierzy diagonalnych z mnozeniem,

i) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci

[x y−y x

]z mnozeniem,

j) zbiór niezerowych macierzy rzeczywistych postaci

[x yλy x

], λ ∈R, z mnozeniem,

k) zbiór macierzy {±

[1 00 1

],±

[i 0

−i

],±

[0 11 0

],±

[0 ii 0

]}z mnozeniem.

Grupy izometrii

Zadanie 33. Podac tabelki grup izometrii:a) trójkata równoramiennego,b) trapezu równoramiennego,c) prostokata.

d) deltoidue) rombuf) równoległoboku

Grupe izometrii prostokata (takze) nazywamy grupa czwórkowa Kleina i oznaczamy V4.

Zadanie 34. Wyznaczyc rzad grupy Dn .

Zadanie 35. Wykazac, ze grupa Dn nie jest abelowa dla n ≥ 3.

Zadanie 36. Podac tabelki grup Dn , dlaa) n = 3 (trójkat równoboczny),b) n = 4 (kwadrat),c) (∗) dowolne n.

132

Grupa symetryczna Sn

Zadanie 37. Wyznaczyc rzad grupy Sn .

Zadanie 38. Wykazac, ze grupa Sn nie jest abelowa dla n > 2.


σ=(1 2 3 4 5 62 6 1 4 5 3

), τ=

(1 2 3 4 5 63 2 5 6 1 4

), ω=

(1 2 3 4 5 61 2 5 3 6 4

),

Zapisac podane permutacje w postaci iloczynu cykli, obliczyc ich iloczyny, wyznaczyc elementy odwrotne.


σ= (1 3 4)(3 2), τ= (2 3 5 1 6 4), ω= (1 2)(4 6)(3 5)

Zapisac podane permutacje w postaci dwuwierszowej, obliczyc ich iloczyny i wyznaczyc elementy odwrot-ne.

Zadanie 41. Wyznaczyc permutacje odwrotna do cyklu (a1 a2 . . . an).

Zadanie 42. Sprawdzic, które z permutacji podanych w poprzednich zadaniach sa parzyste.

Zadanie 43. Sprawdzic, czy podane zbiory permutacji tworza grupy:a) An ,b) {e, (1 2)},c) {e, (a b)},d) {e, (1 2 3)},

e) {e, (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)},f) {e, (1 2 4), (1 3 4), (4 2 3)},g) {e, (1 2 3 4), (1 3 2 4), (1 4 2 3)}.

Grupy przekształcen

Zadanie 44. Które zbiory przekształcen z poprzedniego zestawu tworza grupy wzgledem składania prze-kształcen?

Zadanie 45. Czy podane zbiory przekształcen tworza grupy wzgledem składania przekształcen? W kazdymz przypadków podac tabelke działania.

a) fi : R∗ →R∗,

f1(x) = x, f2(x) =−x, f3(x) = 1

x, f4(x) =−1

x,

Podac interpretacje geometryczna tych odwzorowan.b) gi : R2 →R2,

g1(x, y) = (x, y), g2(x, y) = (−x,−y), g3(x, y) = (−x, y), g4(x, y) = (x,−y),

Podac interpretacje geometryczna tych odwzorowan.c) { f : R→R : f (0) = 0},d) { f : R→R : f − rosnaca}.

Zadanie 46. Które z ponizszych zbiorów przekształcen płaszczyzny tworza grupe wzgledem składania prze-kształcen:

a) zbiór obrotów wokół ustalonego punktu,b) zbiór translacji,c) zbiór symetrii osiowych i srodkowych.

133

Zadania rózne

Zadanie 47. Utworzyc liste znanych grup dzielac je ze wzgledu na rzad. Dla kazdej grupy okreslic, czy jestabelowa.

Zadanie 48. Które z tabelek grup z tego zestawu „sa do siebie podobne”? Czy przez zmiane nazwy elementumozna podobne tabelki przeprowadzic jedna na druga?

Zadanie 49. Czy istnieje grupa o 3, 4, 5, 6 elementach z których kazdy ma spełnia warunek a2 = e. Jakawłasnosc ma ta grupa?

Zestaw 3Homomorfizmy grup


homomorfizm grupodwzorowanie grup, dla którego ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b)

jadro homomorfizmuzbiór elementów, które przechodza na elementneutralny

obraz homomorfizmuobraz dziedziny

monomorfizmhomomorfizm róznowartosciowy

epimorfizmhomomorfizm „na”

izomorfizmhomomorfizm, który jest bijekcja

automorfizmemizomorfizm grupy na nia sama

jadro, kerφzbiór elementów przechodzacych na el. neutralny

obraz, imφ

zbiór wartosci

Zadania

Zadanie 50. Niech ϕ : G → H bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, ze:a) ϕ(a1 . . . an) =ϕ(a1) . . .ϕ(an)b) ϕ(eG ) = eH ,c) ϕ(a−1) =φ(a)−1,d) ϕ(an) =ϕ(a)n ,e) ze φ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy kerφ= {e1},

Zadanie 51. Sprawdzic, ze odwzorowania φ,ψ : G → G , φ(a) = a2, ψ(a) = a−1 sa homomorfizmami grupwtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa. Kiedy ψ jest izomorfizmem?

Zadanie 52. Sprawdzic,czy ponizsze funkcje sa homomorfizmami grup. Czy sa mono-, epi-, izomorfizma-mi? Wyznaczyc ich jadra i obrazy.

a) φ : R+ →R, φ(a) = ln a,b) φ : GL(n,R) →R, φ(A) = det A,c) φ : Z→Z, φ(a) = na, n ∈Z,d) φ : Z→Zn , φ(a) = (a)n , n ∈N,e) φ : Z∗

12 → Z∗8 , φ(1) = 1, φ(5) = 5, φ(7) = 3,

φ(11) = 7f) φ : Z2 → {−1,1}, φ(0) = 1, φ(1) =−1,

g) φ : R→R, φ(a) = 5a,h) φ : R∗ →R∗, φ(a) = 5a,i) φ : M(2,R) →R, φ(A) = trA,j) φ : M(2,R) → M(2,R), φ(A) = AT ,

k) φ : µn →µn , φ(a) = ak , k ∈N,l) φ : C ([0,1]) →R, φ( f ) = ∫ 1

0 f (x)d x,m) φ : R∗ →R∗, φ(a) = n

pa,

136

Zadanie 53. Niech (G , ·) bedzie grupa, a t ustalonym elementem G . Zdefiniujmy odwzorowanie

∗ : G →G , (g ,h) 7→ g ∗h = g th

Sprawdzic, ze (G ,∗) jest grupa izomorficzna z grupa (G , ·).

Zadanie 54. Zdefiniujmy odwzorowanie ϕ : Gl (2,C) → X wzorem ϕ

([a bc d

])= fa,b,c,d , gdzie

X ={

fa,b,c,d ∈ M ap(C,C) : fa,b,c,d (x) = ax +b

cx +d

}jest grupa wzgledem składania przekształcen. Wykazac, ze jest to homomorfizm. Znalezc jadro i obraz.

Zadanie 55. Podac przykłady płaskich figur geometrycznych, których grupy izometrii sa izomorficzne z gru-pami

a) Z2, b) Z3, c) S3, d) V4.

Zadanie 56. Wykazac, ze ponizsze grupy sa izomorficzne:a) Zn i µn ,b) (Z,+) i grupa (Z,⊕), a ⊕b = a +b +Kc) Zn i grupa obrotów n-kata foremnego,d) Zn i grupa generowana złozona z wszystkich

poteg cyklu (12. . .n),

e) V4 i {e, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)},f) S3 i D3,g) M(2,R) i R4

h) M(n,R) i Rn2,

Zadanie 57. Wykazac, ze grupa{ f : R→R : f (x) = ax +b, a,b ∈R}

jest izomorficzna z grupa macierzy {[a b0 1

]: a ∈R∗,b ∈R

}

Zadanie 58. Wykazac, ze podane zbiory macierzy tworza grupy wzgledem mnozeniem macierzy i ze saizomorficzne z grupa Z.

a) {[1 x0 1

]: x ∈Z

} b) {[1+x −x

x 1−x

]: x ∈Z

}

Zadanie 59. Wykazac, ze ponizsze grupy nie sa izomorficzne:a) Q i Z,b) Q iQ∗,

c) R i R∗,d) C i C∗

e) R∗ i C∗,f ) R∗ i R+,

g) Q i R,

Zadanie 60. Wykazac, ze ciagi arytmetyczne tworza grupe wzgledem działania dodawania ciagów. Wyka-zac, ze ta grupa jest izomorficzna z grupa R2.

Zestaw 4Podgrupy. Grupy cykliczne


podgrupapodzbiór grupy zamkniety ze wzgledu na działaniei operacje brania elementu odwrotnego

H <GH jest podgrupa grupy G

podgrupa trywialnapodgrupa {e}

podgrupa własciwapodgrupa rózna od {e} i G

charakteryzacja podgrupynastepujace warunki sa równowazne:

a) H <G ,b) H z działaniem z grupy G obcietym do zbioru

H jest grupa,c)

∀a,b∈H

ab−1 ∈ H .

⟨X ⟩ podgrupa generowana przez zbiór X , przekrójwszystkich grup zawierajacych zbiór X

grupa cykliczna, ⟨x⟩grupa generowana przez jeden element, ⟨x⟩ ={xk : k ∈Z}

Zadania

Zadanie 61. Niech ψ : G →G ′ bedzie homomorfizmem grup. Wykazac, zea) H <G =⇒ ψ(H) <G ′, b) H ′ <G ′ =⇒ ψ−1(H ′) <G .Wywnioskowac, ze jadro i obraz sa podgrupami.

Zadanie 62. Wykazac, ze wszystkie podgrupy grupy Z sa postaci nZ, n ∈N∪ {0}. Wykazac, ze nietrywialnepodgrupy grupy Z sa ze soba izomorficzne.

Zadanie 63. Wskazac przykłady podgrup skonczonych w grupach liczbowych.

Zadanie 64. Znalezc wszystkie podgrupy grup:a) Zn dla 2 ≤ n ≤ 10, b) Z∗

n dla 2 ≤ n ≤ 10, c) V4,

Zadanie 65. Znalezc wszystkie podgrupy grupy S3, a nastepnie, korzystajac z odpowiedniego izomorfizmuwyznaczyc wszystkie podgrupy grupy D3.

Zadanie 66. Sprawdzic czy ponizsze zdania sa prawdziwe:

138

a) Z<Q<R<Cb) µn < S1 <Cc) {0,1} <Z4

d) Zn <Zm

e) Zn <Zf) {e, a, a2, . . .} <G , gdzie a ∈Gg) {e, (5 2)(6 4), (5 6)(2 4), (5 4)(2 6)} < S6

h) {e, (1 4 3), (1 3), (3 4)} < S4

Zadanie 67. Wskazac przykłady podgrup skonczonych w grupach macierzy.

Zadanie 68. Wskazac w grupie Sn+1 wszystkie podgrupy izomorficzne z grupa Sn .

Zadanie 69. W grupie S4 podac wszystkie podgrupy izomorficzne z grupami:a) Z2 (dziewiec),b) V4 (cztery),c) S3 (cztery),d) D4 (jedna).

Zadanie 70. Czy grupa D6 zawiera podgrupy izomorficzne z grupami V4 lub S3?

Zadanie 71. Z która z grup Z4 lub V4 sa izomorficzne ponizsze podgrupy grupy Gl (2,R)

H1 ={[

1 00 1

],

[0 1−1 0

],

[−1 00 −1

],

[0 −11 0

]}, H2 =

{[1 00 1

],

[1 00 −1

],

[−1 00 1

],

[−1 00 −1

]}

Zadanie 72. Wyznaczyc wszystkie podgrupy w grupie cyklicznej rzedu;a) 24,b) 100,

c) 360,d) 125,

Zadanie 73. Które z ponizszych grup cyklicznych ⟨g ⟩, g ∈G sa izomorficzne?a) G =C∗, g =− 1p

2+ 1p

2i

b) G =Gl 2,C), g =[

0 1i 0

]c) G = S6, g = (3 2 6 5 1)

d) G =C∗, g = 2− ie) G =R, g = 10f) G =C∗, g = cos 6π

5 + isin 6π5

g) G =Z, g = 3

Zadanie 74. Wykazac, ze grupa generowana przez macierz AB , gdzie A =[

0 1−1 0

]B =

[0 1−1 −1

]jest nie-

skonczona. Jakie sa rzedy A i B?

Zadanie 75. Sprawdzic, ze macierz

[1 10 1

]generuje nieskonczona podgrupe cykliczna w grupie Sl (n,Z).

Zadanie 76. Dla kazdego a ∈G , wyznaczyc podgrupe cykliczna generowana przez a. Czy G jest cykliczna?a) G =Z8

b) G =Z∗5

c) G =Z∗8

d) G =Z∗9

e) G =Z∗12

f) G =Z∗14

g) G =Z∗15

h) G =Z∗16

i) G =Z∗30

Zadanie 77. Podac generator grupy Z∗n . Z która z grup Zn jest ona izomorficzna? Podac ten izomorfizm.

a) n = 18b) n = 27

c) n = 31d) n = 47

e) n = 59f) n = 83

Zadanie 78. Czy grupa (Z,⊕), a ⊕b = a +b +k jest cykliczna?

Zadanie 79. Podac przykład x, y ∈Z takich, ze ⟨x⟩ 6=Z 6= ⟨y⟩, ale ⟨x, y⟩ =Z. Podac analogiczny przykład dlatrzech elementów.

Zestaw 5Grupa ilorazowa


warstwa, aH , H awarstwa lewostronna (prawostronna) grupy Gwzgledem podgrupy H wyznaczona przez elementa

indeks grupy wzgledem podgrupy, |G :H |liczba warstw lewostronnych wyznaczonych przezpodgrupe

podgrupa normalna, HCGpodgrupa taka, ze aH = H a

grupa ilorazowa, G/Hzbiór warstw wzgledem podgrupy normalnej z

działaniem mnozenia warstwtwierdzenie Lagrange’a

|G| = |H ||G :H |homomorfizm naturalny

κ : G →G/kerφ, κ(a) = a kerφI twierdzenie o izomorfizmie grup

jezeli φ : G →G ′ jest epimorfizmem grup, to istnie-je dokładnie jeden izomorfizm ψ : G/kerφ→ imφ

taki, ze φ=ψ◦κ.

Zadania

Zadanie 80. Wykazac, ze:a) kazda podgrupa grupy abelowej jest normalna,b) jezeli (G : H) = 2, to HCG ,c) jezeli |G| <∞, to |G/H | = |G|/|H |

Zadanie 81. Wyznaczyc wszystkie warstwy podanych grup wzgledem wszystkich nietrywialnych podgrup.a) Z9, b) Z∗

14 c) Z12, d) Z∗13

Zadanie 82. Wyznaczyc warstwy Zwzgledem nZ i grupe ilorazowa Z/nN. Szczegółowo opisac grupy Z/4Zi Z/5Z.

Zadanie 83. Wyznaczyc warstwya) (R,+) wzgledem Z

b) (R∗, ·) wzgledem R+c) (C,+) wzgledem R

d) (C∗, ·) wzgledem S1

e) (C∗, ·) wzgledem R∗

f) (C∗, ·) wzgledem R+g) grupy cyklicznej ⟨a⟩ rzedu 6 wzgledem pod-

grupy ⟨a4⟩.

Zadanie 84. Wykazac, ze w grupie dihedralnej symetrie osiowe stanowia warstwe wzgledem podgrupy ob-rotów.

140

Zadanie 85. Niech G = Dn i H = {e, x}. Wykazac, ze warstwy lewostronne wzgledem H róznia sie od prawo-stronnych, gdy n ≥ 3. Wykazac, ze podgrupa złozona z obrotów jest zawsze podgrupa normalna.

Zadanie 86. Wyznaczyc grupy ilorazowea) Z16/⟨4⟩,b) Z∗

21/{1,8,13,20}c) Z∗

7 /{1,2,4}

d) Z∗27/{1,8,10,17,19,26}

e) Z∗15/{1,11}

f) Z∗9 /{1,8}

g) Z∗15/{1,4}

h) Z∗20/{1,19}

i) µ12/µ3

j) 4Z/12Z

Zadanie 87. Niech Hn bedzie zbiorem liczb zespolonych o argumentach postaci 2πk/n. Wykazac, zea) R∗/R+b) R/Z' S1,c) Q/Z'µ∞.

d) S1/µn ' S1

e) Hn/R+ 'µn

f) C∗/R∗ ∼ S1

g) C∗/µn 'C∗

h) Hn/µn 'R+i) C∗/S1 'R+

j) C∗/Hn ' S1

k) R∗/{±1},l) C∗/R+,

Zadanie 88. Korzystajac z pierwszego twierdzenia o izomorfizmie grup wykazac, zea) C∗/R+ ' S1

b) R∗/{−1,1} 'R+c) R∗/R+ ' {−1,1}d) C/R'Re) C∗/S1 'R+f) C∗/R+ ' [0,2π)

g) Q/Zµ∞h) Gl (n,K)/Sl (n,K) 'K∗

i) C/iR'Rj) C∗/R∗ ' S1,

k) C∗/S1 'R+,l) R∗/R+ 'Z2

m) Z/nZ'Zn ,n) S3/A3 'Z2,o) Gl (2,R)/Sl (2,R) 'R∗,p) C/iR'R.

Zestaw 6Pierscienie


pierscienzbiór z dodawaniem i mnozeniem, grupa abelowaze wzgledu an dodawanie, mnozenie łaczne i roz-dzielne wzgledem dodawania

pierscien przemiennypierscien, w którym mnozenie jest przemienne

zero element neutralny dodawaniajedynka

element neutralny mnozeniapierscien z jedynka

pierscien, w którym mnozenie posiada elementneutralny

dzielnik zeraa 6= 0 taki, ze ab = 0 lub ba = 0 dla pewnego b

element odwracalnyelement, który posiada element odwrotny (wzgle-dem mnozenia)

zbiór elementów odwracalnych pierscieniaR∗ =U (R)

podpierscien, S < Rpodzbiór S pierscienia taki, ze a −b ∈ S i ab ∈ S

ciało pierscien przemienny z jedynka, w którym kazdyniezerowy element jest odwracalny.

podciałopodpierscien, który jest ciałem

Zadania

Zadanie 89. Wykazac, ze:a) a ·0 = 0 = 0 ·a,b) −ab = (−a)b = a(−b),c) (−a)(−b) = ab,d) jezeli A 6= {0} jest pierscieniem z jedynka, to

0 6= 1,

e) a −a = 0f) a − (b − c) = (a −b)+ cg) a(b − c) = ab −ac,h) (a −b)c = ac −bc.

Zadanie 90. Zbadac czy ponizszy zbiór jest pierscieniem:a) Z,Q, R, C z dodawaniem i mnozeniem liczb,b) (Zn ,+n , ·n) z dodawaniem i mnozeniem mo-

dulo n,c) M(n,K) z dodawaniem i mnozeniem macie-

rzy.d) Z×Z,e) C×C,f ) nZ, m ≥ 2,

g) M(n,Z),h) Z[

p2],

i) Q(p

2),j) Z[i],

k)

Z

[1

2(1+p

3)

]= {a +b

1

2(1+p

3) : a,b ∈ Z }

142

l)

Z[

3p

2]= {a +b

3p

2+ c3p

4: a,b,c ∈ Z }

m)

{[x 0y 0

]∈ R

}, R = M(2,R),

n)

{[x 00 y

]∈ R

}, R = M(2,R),

o) {det(A) = 0}, R = M(2,R),p) zbiór macierzy symetrycznychq) biór macierzy górnotrójkatnychr) zbiór macierzy o zerowym wyznacznikus) zbiór funkcji ciagłych na odcinkut) zbiór funkcji wymiernych

u) (2X ,÷,∩)

Zadanie 91. Czy pierscienie z poprzedniego zadania sa przemienne? Wskazac, jezeli istnieje, jedynke. Wy-znaczyc zbiór elementów odwracalnych i dzielniki zera.

Zadanie 92. Zbadac, czy jezeli A < R i a ∈ A jest dzielnikiem zera w A, to jest dzielnikiem zera w R i naodwrót.

Zadanie 93. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka takim, ze U (R) = R \ {0}. Czy podpierscien B musispełniac warunek U (B) = B \ {0}?

Zadanie 94. Wykazac, ze zbiór elementów odwracalnych tworzy grupe wzgledem mnozenia.

Zadanie 95. Które z pierscieni wymienione w tym zestawie posiadaja dzielniki zera?

Zadanie 96. Wykazac, ze element odwracalny nie jest dzielnikiem zera.

Zadanie 97. Niech R bedzie pierscieniem z jedynka i bez dzielników zera. Wykazac, ze:a) jezeli ab, to a,b ∈U (R),b) jezeli ab, ba ∈U (R), to a,b ∈U (R) (załozenie o braku dzielników zera mozna opuscic).

Zadanie 98. Niech A bedzie podpierscieniem pierscienia R. Zbadac, czya) jezeli R ma jedynke, to A ma jedynke,b) jezeli a ∈U (R), to a ∈U (A),c) jezeli a ∈U (A), to a ∈U (R).

Zadanie 99.a) Czy suma elementów odwracalnych jest elementem odwracalnym?b) Czy suma elementów nieodwracalnych jest elementem odwracalnym?c) Czy suma dzielników zera jest dzielnikiem zera?d) Czy suma dzielników zera jest elementem odwracalnym?e) Czy iloczyn elementów, które nie sa dzielnikami zera moze byc dzielnikiem zera?f) Czy 1 moze byc dzielnikiem zera?

Zadanie 100.a) Podac przykłady pierscieni, które nie sa ciałami.b) Podac przykład pierscienia, którego podpierscien jest ciałem.c) Podac przykład ciała, którego podpierscien nie jest ciałem.

Zestaw 7Pierscien wielomianów


Tak jak na wykładzie, przyjmujemy umowe: pierscien = pierscien przemienny z jedynkawielomian

Dokładna definicja pierscienia wielomianów i to-warzyszacych pojec została podana na wykładzie.

dzielenie z resztamówimy, ze w pierscieniu wielomianów wykonal-ne jest dzielenie z reszta wielomianu f przez wie-lomian g jezeli istnieja wielomiany q i r takie, ze:

f = g q + r, degr < deg f .

wykonalnosc dzielenia z resztaw dowolnym pierscieniu wykonalne jest dzieleniez reszta przez dowolny wielomian, którego najwyz-szy współczynnik jest elementem odwracalnym.

jednoznacznosc ilorazu i resztyjezeli dzielenie z reszta jest wykonane, to iloraz i

reszta z dzielenia przez wielomian, którego naj-wyzszy współczynnik nie jest dzielnikiem zera sawyznaczone jednoznacznie.

wartosc wielomianuf (a) = a0 +a1a +a2a2 + . . .+an an

pierwiastek wielomianuelement a ∈ R taki, ze f (a) = 0

pierwiastek k-krotnyelement a ∈R taki, ze (x −a)k | f i (x −a)k+1 - f

twierdzenie Bezoutf (a) = 0 ⇐⇒ (x −a)| f

pierwiastek stopnia n z b ∈Kdowolny pierwiastek wielomianu xn −b ∈ K [x]

pierwiastek pierwotny stopnia npierwiastek z jedynki stopnia n, który nie jest pier-wiastkiem z jedynki stopnia mniejszego niz n

Schemat Hornera: sposób na dzielenie wielomianu f przez wielomian x−c. Jezeli an xn+. . . a0 = (x−c)(bn−1xn−1+. . .+b0)+ r , to

an an−1 an−2 . . . a1 a0

c an cbn−1 +an−1 cbn−2 +an−2 . . . cb1 +a1 cb0 +a0

= bn−1 = bn−2 = bn−3 . . . = b0 = r

Zadania

Zadanie 101. Wyznaczyc elementy odwracalne w pierscieniach. Wskazac (jezeli istnieja) dzielniki zera.:a) Z[x],b) R[x],

c) Z2[x],d) (*)Z4[x].

Zadanie 102. Wykazac, ze R[x] ma dzielniki zera wtedy i tylko wtedy, gdy R ma dzielniki zera.

Zadanie 103. Wykonac (jezeli jest wykonalne) dzielenie z reszta:

144

a) x3 +x1 przez x2 +x +1 w Z2[x],b) x4 +4x3 +2x2 +3x +4 przez x3 + x2 +2x +2 w

Z5[x],c) x3 −7 przez x −2 w Z[x].d) 2x5+6x4+7x3+3x +5 przez 3x3+7x2+5x +1

w Z10[x]e) 3x4 +2x przez 7x2 +3x +1 w Z[x]

f) 3x4 +2x przez 7x2 +3x +1 w R[x]g) 3x4 +2x przez 7x2 +3x +1 w Z10[x]h) 3x4 +2x przez 7x2 +3x +1 w Z14[x]i) 2x4 +x3 +x2 +2 przez 2x3 +x +4 w Z[x]j) 2x4 +x3 +x2 +2 przez 2x3 +x +4 w R[x]

k) 2x4 +x3 +x2 +2 przez 2x3 +x +4 w Z5[x]l) 2x4 +x3 +x2 +2 przez 2x3 +x +4 w Z10[x]

Czy ilorazy i reszty sa wyznaczone jednoznacznie?

Zadanie 104. Korzystajac ze schematu Hornera wykonac dzielenie z reszta.a) x3 −7 przez x −2 w Z[x],b) x3 −7 przez x −2 w Z6[x],c) x4 +3x +2 przez x +4 w Z[x].

d) x4 +3x +2 przez x +4 w Z6[x].e) 4x3 +2x +4 przez x −1 w Z[x]f) 4x3 +2x +4 przez x −1 w Z5[x]

Czy ilorazy i reszty sa wyznaczone jednoznacznie?

Zadanie 105. Iterujac schemat Hornera, znalezc rozwiniecie wielomianu wzgledem poteg dwumianu x+1i x −4 w Z[x], Z4[x] i Z6:

a) x3 −9x2 +28x −19b) x4

c) 2x4 +x3 +4x2 +5x +3Czy ilorazy i reszty sa wyznaczone jednoznacznie?

Zadanie 106. Wykazac, ze dla wielomianów f = 2x i g = x w Z[x] nie jest wykonalne dzielenie z reszta.Podac przykłady takich wielomianów w pierscieniu Zn .

Zadanie 107. Na przykładzie wielomianów z Z4[x], Z6[x] oraz Z10[x] wykazac, ze iloraz i reszta z dzielenianie musza byc wyznaczone jednoznacznie.

Zadanie 108. Podac przykłady (jezeli istnieja) róznych wielomianów z pierscieniach Z2[x], Z3[x], Z4[x],Z[x], których funkcje wielomianowe sa równe oraz

a) stopnie tych wielomianów sa równeb) stopnie tych wielomianów sa rózne

Zadanie 109. Wykazac, ze funkcje wielomianowe wyznaczone przez wielomiany f , g ∈Zp [x] sa równe wte-dy i tylko wtedy, gdy xp −x| f − g .

Zadanie 110. Znalezc wszystkie pierwiastki wielomianu x3 − x ∈ Z6[x]. Dla kazdego pierwiastka a ∈ Z6

przedstawic f w postaci (x −a)g , g ∈ Z6[x]. Podac podobny przykład (jezeli istnieje) w Z8[x]

Zadanie 111. Wskazac wszystkie pierwiastki wielomianów f = x(x2+2) i g = 2x w pierscieniuZ4[x]. Podacwszystkie wielomiany dzielace f . Podac podobny przykład (jezeli istnieje) w Z8[x]

Zadanie 112. Wykazac, ze jezeli z ∈ C jest pierwiastkiem wielomianu f ∈ R[x], to z tez jest pierwiastkiemtego wielomianu. Wywnioskowac stad, ze kazdy wielomian rzeczywisty stopnia nieparzystego ma przynaj-mniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

Zadanie 113. Okreslic krotnosc wszystkich pierwiastków podanych wielomianów.a) f = x5 −8x4 +20x3 −7x2 −39x +45 ∈Z[x]b) f = x5 −8x4 +20x3 −7x2 −39x +45 ∈Z5[x]c) f = x4 +4x3 +3x2 +3x +4 ∈Z[x]d) f = x4 +4x3 +3x2 +3x +4 ∈Z5[x]e) x5 −1 ∈Z[x]

f) x5 −1 ∈Z5[x]g) x2n −nxn+1 +nxn−1 −1 ∈Z[x]h) 3x5 −6x4 +2x3 +36x2 −27x −54 ∈Z[x]i) 3x5 −6x4 +2x3 +36x2 −27x −54 ∈Z5[x]

Zestaw 8Teoria podzielnosci


a jest dzielnikiem b, a dzieli b, a|bistnieje taki element c ∈ R, ze ac = b

a jest stowarzyszony z b,a ∼ ba|b oraz b|a

element rozkładalnya ∈ R \ {0} taki, ze

∃a1,a2∈R\U (R)

a = a1a2

element nierozkładalnyrózny od zera element nieodwracalny, który nie jestrozkładalny

element pierwszyrózny od zera i nieodwracalny element p ∈ R taki,ze

∀a,b∈R

p|ab ⇒ p|a ∨p|b

rozkład jednoznacznyelement a ∈ R ma rozkład jednoznaczny, jezeli mo-zemy go przedstawic jako iloczyn elementów nie-rozkładalnych oraz z równosci

p1 · . . . ·pk = a = q1 · . . . ·ql

gdzie elementy pi , q j sa nierozkładalne wynika, zek = l i z dokładnoscia do kolejnosci, czynniki pi

oraz q j sa stowarzyszone.dziedzina z jednoznacznoscia rozkładu (d.j.r)

dziedzina całkowitosci, w której kazdy niezerowyelement ma rozkład jednoznaczny. Kazdy róznyod zera element nieodwracalny dziedziny z jedno-znacznoscia rozkładu mozemy przedstawic w po-staci

upα11 · . . . ·pαk

k .

gdzie u ∈ R∗, a p1, . . . , pk sa parami niesto-warzyszonymi elementami nierozkładalnymi orazα1, . . . ,αk ∈N.

NWD(a,b)element d spełniajacy warunki:

a) d |a i d |b,b) ∀c∈R c|a ∧ c|b =⇒ c|d ,

Jezeli d1 i d2 sa NWD elementów a i b, to d1 ∼ d2.Jezeli R jest d.j.r., to NWD zawsze istnieje.

elementy wzglednie pierwszea i b sa wzglednie pierwsze jezeli NW D(a,b) ∼ 1

pierscien euklidesowypierscien przemienny z jedynka R wraz z funkcjaN : R →N∩0 taka, ze:

a) ∀a∈R N (a) = 0 ⇔ a = 0,b) ∀ab∈R N (ab) = N (a)N (b),c) ∀a,b∈R,b 6=0 ∃q,r∈R a = bq + r, N (r ) < N (b),

Przykładami pierscieni euklidesowych sa np.:a) Z, N (a) = |a|,b) K[x], N ( f ) = deg f lub N ( f ) = 2deg f , gdy K-

ciało,c) Z[i

pd ], N (x+iy

pd) = x2+y2d 2, gdy d = 1,2,

d) Z[p

d ], N (x+iyp

d) = |x2−y2d 2|, gdy d = 2,3,Kazdy pierscien euklidesowy jest d.j.r.

algorytm Euklidesawejscie: R — pierscien euklidesowy, a,b ∈ R,N (a) ≤ N (b)

r1 := a,r0 := b

r1 = q1r0 + r1, N (r1) < N (r0)

r0 = q2r1 + r2, N (r2) < N (r1)

...

rk2 = qk rk1 +0.

wyjscie: rk1 ∼ NW D(a,b). Jezeli bedziemy sie „co-fac” po kolejnych resztach to mozemy przedstawicNW D(a,b) w postaci ax +by .

146

Zadania

Zadanie 114. Pokazac, ze a ∼ b ⇐⇒ ∃u∈R∗a = ub.

Zadanie 115. Pokazac, ze jezeli a,b ∈ R i a ∼ b, to element a jest rozkładalny (nierozkładalny) wtedy i tylkowtedy, gdy element b jest rozkładalny (nierozkładalny).

Zadanie 116. Podac wszystkie dzielniki i elementy stowarzyszone z elementem a w pierscieniu R jezeli:a) a = 2, R =Z,b) a = 2, R =Q,c) a = 2, R =Z[i],

d) a = 1+ i, R =Z[i],e) a = 12− i, R =Z[i],f ) a = 5, R =Z[i],

g) a = 4+4i, R =Z[i],h) a = 5, R =Z[ 1

2 ],i) a = 4x5 +2x3 R =Z5[x].

Zadanie 117. Pokazac, ze w pierscieniu Z[p

5] elementy 3,7,1+2p

5,12p

5 sa nierozkładalne. Podac przy-kład całkowitej liczby pierwszej, rozkładalnej w powyzszym pierscieniu.

Zadanie 118. Podac przykład wielomianów stopnia wiekszego niz 1, które sa elementami nierozkładalnymiw pierscieniachQ[x] oraz Z3[x].

Zadanie 119. Zbadac jakiego typu elementem (odwracalnym, rozkładalnym, nierozkładalnym) jest ele-ment a pierscienia R:

a) a = 4, R =Z[i],b) a = 5+2i, R =Z[i],c) a = 4, R =Z[ 1

2 ],d) a = 3

4 , R =Z[i],

e) a = 6x, R = Z [x],f ) a = 10, R =Z[ 1

6 ],g) a = 352, R =Z[ 1

6 ],h) a = 7+ i

p5, R = Z [i

p5].

Zadanie 120. Zbadac, czy a jest elementem pierwszym pierscienia R:a) a = i

p7, R =Z[i

p7],

b) a = 3, R =Z[ip

5],c) a = 1+ i

p5, R =Z[i

p5],

d) a = ip

6, R =Z[ip

6].

Zadanie 121. Wykazac, ze kazdy element pierwszy jest nierozkładalny.

Zadanie 122. Zbadac czy element a pierscienia R ma rozkład jednoznaczny na czynniki nierozkładalne:a) a = 10, R =Z[i

p6],

b) a = 16, R =Z[ip

15],c) a = 1+4i

p5, R =Z[i

p5],

d) a = 9+ ip

7, R =Z[ip

7].

Zadanie 123. Wyznaczyc (jezeli istnieje) NWD(a,b) w R. Przedstawic wynik w postaci am +bn:a) a = 48, b = 21, R =Z,b) a = 4, b = 2−2i

p3, R =Z[i

p3],

c) 2+16ip

6, b = 8+ ip

6, R =Z[ip

6],d) a = 14, b = 1+4i

p3, R =Z[i

p3].

e) a = 827, b = 131, R =Z,f ) a = 213, b = 94, R =Z,g) a = 4+18i, b = 23+ i, R =Z[i],h) a = 5+5i, b = 13+3i, R =Z[i],

i) a = x3 + x2 + 6x + 4, b = x4 + 6x3 + 2x2 + 2,R =Z7[x],

j) a = x3+x2+x+4, b = x4+x3+2x2+2, R =Z5[x],k) a = 5+ i

p2, b = 9, R =Z[i

p2],

l) a = 7+5ip

2, b = 6+ ip

2, R =Z[ip

2],m) a = 1+6

p3, b = 4+p

3, R =Z[ip

3],n) a = 25+3

p3, b = 4+p

3, R =Z[ip

3].o) a = i

p5, b = 4i

p5, R =Z[i

p5].

Zadanie 124. Wykazac, ze pierscien Z[ip

5] nie jest pierscieniem euklidesowym. (wskazówka: czy liczba 21ma rozkład jednoznaczny?)

Rozwiazania

Zestaw 1Zbiory z działaniami

1.

Uwaga! Wbrew pozorom to zadanie nie jest łatwe, gdyz udowodnienie własnosci dodawania i mnozenia (np. liczbnaturalnych) wymaga sporo pracy i powrotu do podstawom matematyki. Znacznie łatwiej jest w nie uwierzyc.

• Mnozenie liczb jest rozdzielne wzgledem dodawania.• Dodawanie liczb nie jest rozdzielne wzgledem mnozenia liczb, np.: 1+ (2 ·3) = 7 6= 8 = (1+2) · (1+3).• Dodawanie nie jest działaniem w zbiorach:

– Z∗,Q∗, R∗, C∗, np.: 1+−1 = 0 ∉ X ∗,– µn , S1, np.: (εn +εn)n = 2n 6= 1,

• Dodawanie liczb i mnozenie liczb jest zawsze łaczne,• Dodawanie liczb i mnozenie liczb jest zawsze przemienne,• Elementem neutralnym dodawania liczb jest zawsze liczba zero,• Elementem neutralnym mnozenia liczb jest zawsze liczba jeden,• Elementem przeciwnym dodawania liczb jest zawsze liczba przeciwna,• Elementem odwrotnym mnozenia liczb jest zawsze liczba odwrotna.

Pozostałe własnosci dodawania i mnozenia zebrane sa w ponizszych tabelkach.

+ N N0 Z Q R C Q+ R+ nZ

element neutralny N T T T T T N N Nelement przeciwny N T T T T T N N N

· N N0 Z Q R C Q+ R+ nZ Z∗ Q∗ R∗ C∗ µn S1

element neutralny T T T T T T T T N T T T T T Telement odwrotny1 N N N T T T T T N2 N T T T T T

1 kazdy rózny od zera 2 dla n 6= 1

2. Przyjmujemy oznaczenia: P – papier, K – kamien, N – nozyce. Działanie okreslamy podazajac za zasadami gry, np.:„kamien zabija nozyce” – K ◦N = K , „papier i papier - remis” – P ◦P = P , itd. Otrzymana tabelka wyglada nastepujaco:

K P N

K K P KP P P NN K N N

Działanie jest przemienne, nie posiada elementu neutralnego, i nie jest łaczne (K (P N ) 6= (K P )N )

150

3.a) nieprzemienne, brak elementu neutralnego, niełaczne (a(aa) = c 6= a = (aa)a)

b) nieprzemienne, brak elementu neutralnego, niełaczne (a(aa) = c 6= b = (aa)a)

c) przemienne, a jest elementem neutralnym, łaczne, a−1 = a, b−1 = c, c−1 = b

d) nieprzemienne, brak elementu neutralnego, łaczne

e) nieprzemienne, brak elementu neutralnego, niełaczne (a(bc) = b 6= d = (ab)c)

f ) przemienne, a jest elementem neutralnym, b−1 = b

4. Rozwiazac podobnie jak zadanie 1.



7.a) jezeli działanie ∗ jest łaczne, to działanie~ jest łaczne,b) jezeli działanie ∗ jest przemienne, to działanie~ jest przemienne,c) jezeli działanie∗posiada element neutralny eK to funkcja e ∈ Map(X ,K) dana wzorem e(x) = eK jest elementem

neutralnym działania~,d) załózmy, ze działanie ∗ posiada element neutralny. Element f ∈ Map(X ,K) posiada element odwrotny, jezeli

dla kazdego x ∈ X istnieje element odwrotny do f (x). Wtedy element odwrotny f −1 ∈ M ap(X ,K) jest danywzorem f −1(x) = [ f (x)]−1.

8. Nie. Poniewaz, przyporzadkowuje wektorom liczby.

9. niełaczne, nieprzemienne, rozdzielny wzgledem dodawania wektorów,

10.a)• NWD jest przemienne, łaczne, elementem neutralnym jest liczba zero• NWW jest przemienne, łaczne, elementem neutralnym jest liczba jeden• NWD jest rozdzielne wzgledem NWW, NWW jest rozdzielne wzgledem NWD

b)• Działanie� nie jest przemienne 2�3 = 23 6= 32 = 3�2, działanie 4 jest przemienne,• Działanie� nie jest łaczne: (2�1)�2 = 4 6= 2 = 2�(1�2). Działanie 4 jest łaczne.• Działanie� nie posiada elementu neutralnego, elementem neutralnym 4 jest liczba jeden• Działanie� nie jest rozdzielne lewostronnie wzgledem 4, ale jest rozdzielne prawostronnie. Działanie 4 nie jest

rozdzielne wzgledem�.

c)• Działania sa łaczne,• Działania sa przemienne,• Elementem neutralnym� jest −1, 4 jest liczba zero,• Działanie 4 jest rozdzielne wzgledem�,• Działanie� jest rozdzielne wzgledem 4.

d) Jako cwiczenie, podobnie jak w punkcie a).

11. Najlepiej zajrzec do podrecznika z teorii mnogosci.

12. Jest łaczne, nie jest przemienne ((0,0)(1,1) = (0,0) 6= (0,1) = (1,1)(0,0)), elementem neutralnym jest (1,0), elementodwrotny (a,b)−1 = (1/a,−b/a).

13. Dodawanie macierzy w obu zbiorach ma takie same własnosci jak w zbiorze M at (2,R). W zbiorze A mnozeniejest łaczne, nie jest przemienne, nie ma elementu neutralnego. W zbiorze B tak samo.

151

W zbiorze C mnozenie jest łaczne, przemienne, elementem neutralnym jest macierz z a = 1, elementem odwrot-nym jest macierz z niezerowym wyrazem równym 1/a.

14. Działanie jest łaczne, nie jest przemienne i nie posiada elementu neutralnego. A w przypadku zbioru jednoele-mentowego?

15. Działanie jest łaczne, przemienne. Jezeli t posiada element odwrotny, to elementem neutralnym ◦ jest t−1. Jezelix posiada element odwrotny, to wzgledem działania ◦ mamy x−1t−2.

16. Działanie nie jest przemienne, jest łaczne, nie ma elementu neutralnego.

17. Jezeli e i f sa elementami neutralnymi, to e = e f = f . Jezeli a i b sa elementami odwrotnymi do x, to a = ae =a(xb) = (ax)b = eb = b.

Brak łacznosci, nie zmienia faktu, ze element neutralny (jezeli istnieje) jest jedyny. Moga zato istniec elementyjednostronnie neutralne. Jezeli jednak istnieja element lewostronnie neutralny i element prawostronnie neutralny, tosa równe.

Jezeli działanie nie jest łaczne, to moze istniec wiecej niz jeden element odwrotny. Prosze spróbowac podac takiedziałanie w zbiorze 4 elementowym.

18. Dowody sa elementarne. Łacznosc działania jest niezbedna aby jednoznacznie okreslic wynik iloczynu x · . . . · x.

19.a) nieprzemienne, niełaczne, brak elementu neutralnego

b) nieprzemienne, niełaczne, element neutralny: 0, elementy przeciwne nie istnieja

c nieprzemienne, niełaczne, element neutralny: 0, element przeciwny: liczba przeciwna

d) nieprzemienne, łaczne, brak elementu neutralnego

e) przemienne, łaczne, brak elementu neutralnego

f ) przemienne, łaczne, element neutralny: 0, elementy przeciwne nie istnieja

g) przemienne, łaczne, element neutralny: 0, element przeciwny: liczba przeciwna

h) przemienne, niełaczne, brak elementu neutralnego

i) przemienne, niełaczne, element neutralny: 0, elementy przeciwne nie istnieja

j) przemienne, niełaczne, element neutralny: 0, element przeciwny: liczba przeciwna

Zestaw 2Definicja grupy

20.a)–f ) Patrz wykład.g) Wskazówka: (x1 . . . xn)(x−1

n . . . x−12 x−1

1 ) =?

W notacji addytywnej:c) −(a +b) = (−a)+ (−b)d) −(−a) = ae) a + g = a +h ∧ g +a = h +a =⇒ g = hg) −(x1 + . . .+xn) = (−x1)+ . . . (−xn)

21.a) Definicja...b) – d) Skorzystac z definicji i łacznosci działania.

e) Wskazówka: (ab)n = (ab)(ab) · (ab) = (aabb)(ab) . . . (ab).

22. Patrz wykład.

23. Wprost z tabelki odczytujemy:a) działanie jest przemienne,b) e jest elementem neutralnym,c) a−1 = a, b−1 = b, (ab)−1 = ab

Wskazówka: Wystarczy sprawdzic łacznosc, dla elementów wybranych iloczynów a i b.

??. Jest to w zasadzie powtórzenie zadania 1. Wybrane odpowiedzi podane sa na poczatku zestawu.

25. Poniewaz wszystkie podane zbiory sa podzbiorami zbioru liczb zespolonych, to aby rozwiazac zadanie wystar-czy sprawdzic (dlaczego?), czy działanie jest dobrze okreslone i ze element neutralny i elementy odwrotne naleza dozbioru.

a) Grupa ze wzgledu na dodawanie. Nie istnieja elementy odwrotne wzgledem mnozenia.

b) Dodawanie nie jest działaniem. Grupa ze wzgledu na mnozenie.

c) Dodawanie nie jest działaniem. Jezeli a,b ∈µn , to (ab)n = 1, 1n = 1 i (1/a)n = 1. Czyli jest to grupa ze wzgledu namnozenie.

d) Postepowac podobnie jak wyzej

e) Dodawanie i mnozenie nie jest działaniem w tym zbiorze.

f ) Dodawanie nie jest działaniem w tym zbiorze. Nie tworzy grupy ze wzgledu na mnozenie. Mnozenie nie jestdziałaniem, gdy r > 1, w przeciwnym wypadku jest gdyz a,b ∈ A =⇒ |ab| = |a| |b| ≤ r 2 ≤ r . Ponadto 1 ∈ A ⇐⇒ r ≥ 1oraz |a| ≤ r =⇒ 1

|a| ≥ r .

154

g), h) Tworzy grupe ze wzgledu na dodawanie. Nie tworzy grupy ze wzgledu na mnozenie, gdyz element 0 nie maelementu odwrotnego (i tylko on!).

i) Podobnie jak punkt f).

j) Dodawanie nie jest działaniem. Nie tworzy grupy wzgledem mnozenia, z wyjatkiem a = 1.

k) Dodawanie nie jest działaniem. Tworzy grupe wzgledem mnozenia.

27. Jest oczywiste, ze |Zn | = n−1. W przypadku grupZ∗n z teorii liczb wiemy, ze |Z∗

n | =ϕ(n), gdzieϕ jest funkcja Eulera.Wyznaczenie wartosci tej funkcji jest trudne gdyz wymaga faktoryzacji (rozkładu na czynniki pierwsze), a to zadaniejest bardzo pracochłonne. Dla kilku poczatkowych n mamy nastepujace wartosci: 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4,10, 4, 12, 6,8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36,18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42,20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30,36, 32, 48, 20, 66, 32, 44. Na tym opiera sie praktycznie cała współczesnakryptografia (czyli bezpieczenstwo naszych kont bankowych itp.)

29. Sa trzy sposoby rozwiazania tego zadania. Dla dobrze dobranych k i n posiadajac pewna biegłosc rachunkowamozna zgadywac. W trudniejszym przypadku mozna skorzystac z rozszerzonego algorytmu Euklidesa i wyznaczycx, y takie, ze kx + yn = 1. Jezeli znany jest rozkład n na czynniki pierwsze, to mozna skorzystac z twierdzenia Euleraaϕ(n) = 1 mod n.

a)

n = 4 Poniewaz 3 ·3 = 9 wiec 3−1 = 3,n = 5 Zauwazmy, ze 3 ·2+5 ·1 = 1, czyli 3−1 = 2n = 10 Poniewaz 10 = 2 ·5, wiec (10) = (2)ϕ(5) = 4, zatem 3 ·33 = 1 mod 10 oraz 3−1 = 33 = 7

Prosze rozwiazac kazdy z powyzszych podpunktów wszystkimi trzema metodami.

b) 10 ·10 = 1 mod 11, 10 ·19 = 1 mod 21

c) 61 ·41 = 1 mod 100

d) 9 ·89 = 1 mod 100

e) Zastosowac twierdzenie Eulera (Fermat’a).

e) Wskazówka: p −1 =−1.

31. Wskazówka:

A =

2 1 0 . . . 00 1 0 . . . 00 0 1 . . . 0...0 0 0 . . . 1

∈Gl (n,R)

32. Poniewaz wszystkie podane zbiory sa podzbiorami zbioru macierzy, to aby rozwiazac zadanie wystarczy spraw-dzic (dlaczego?), czy działanie jest dobrze okreslone i ze element neutralny i elementy odwrotne naleza do zbioru.

a), b) Tworzy grupe wzgledem dodawania. NEI tworzy grupy wzgledem mnozenia, bo det

[2 22 2

]= 0

c) Dodawanie nie jest działaniem, bo I + (−I ) = 0.

d) Jezeli det A =±1 i detB =±1, to det AB =±1. Ponadto det I = 1, det A−1 = 1/det A =±1. Zatem tworzy grupe.

e) Podobnie jak w poprzednim przykładzie.

f ) Mnozenie nie jest działaniem, bo det(−I )(−I ) > 0.

g), h) Tworzy grupe ze wzgledu na dodawanie. Nie tworzy ze wzgledu na mnozenie.

i), j), k) Tworzy grupe.

33.a), b), d), f ) Grupa składa sie z identycznosci i symetrii osiowej, tabelka jest podobna do tabelki grupy Z2.

155

c), e) Grupa składa sie z: identycznosci - e, symetrii osiowej - x, obrotu o π - y , symetrii srodkowej – z. Łatwosprawdzic, ze z = x y = y x. Tabelka jest podobna do tabelki grupy V4.

34. Oznaczmy przez x obrót o kat 2πn wokół srodka, a przez y dowolna symetrie osiowa. Zauwazmy, ze

i d = an , a, a2, . . . , an−1,b, ab, a2b, . . . , an−1b ∈ Dn .

Zadne z wymienionych wyzej elementów nie sa równe:a) a j = ai =⇒ i = j ,b) a j = ai b =⇒ a j−i = b, ale zadne obrót nie jest symetria osiowac) ai b = a j b =⇒ i = j

Zatem |Dn | ≥ 2n. Jak łatwo sprawdzic y x = xn−1 y . Stad wynika, ze kazdy iloczyn x i y (a wiec takze kazdy elementgrupy Dn) jest postaci xk y j . k = 0, . . . ,n −1, j = 0,1. Stad |Dn | = 2n.

35. Przyjmijmy oznaczenia z poprzedniego zadania. Wtedy (x y)x = x(y x) = x(xn−1 y) = y 6= x2 y = x(x y). Prosze wy-konac odpowiednie rysunki dla n = 3,4!

36. Patrz wykład.

39. Wykonamy tylko kilka wybranych rachunków:• σ= (1 2 6 3), τ= (1 3 5)(4 6)

• τ−1 = (1 5 3)(4 6), ω−1 =(1 2 3 4 5 61 2 4 6 3 5

) • τω= (1 3)(4 5), ωσ= (1 2 4 3)(5 6)

• (ωτ)−1 =(1 2 3 4 5 63 2 1 5 4 6

), (ωσ)−1 = (3 4 2 1)(5 6)

43.a) Tak. Wystarczy wykazac, ze iloczyn permutacji parzystych jest permutacja parzysta.

b), c) Tak. Tabelka jest podobna do tabelki grupy Z2.

d) Nie. Poniewaz, (1 2 3)−1 = (1 3 2) nie nalezy do zbioru.

e) Tak. Tabelka jest podobna do tabelki grupy V4.

f ) Nie.

g) tak. Tabelka jest podobna do tabelki grupy Z4.

45. W kazdym z przypadków łacznosc jest oczywista. Elementem neutralnym jest identycznosc.a), b) Tak. Kazdy element jest odwrotny sam do siebie. Tabelka jest podobna do tabelki grupy V4.

c), d) Zauwazmy, ze jezeli f (0) = 0 i g (0) = 0, to ( f g )(0) = f (g (0)) = f (0) = 0. Zatem jest to zbiór z działaniem.Identycznosc nalezy do tego zbioru. Jednak nie kazdy element posiada element odwrotny np.: funkcja f (x) = x, dlax <= 0 i f (x) = x +1, x > 0.

46. Wszystkie podane zbiory tworza grupy.

49. Zauwazmy najpierw, ze grupa w której wszystkie elementy spełniaja warunek a2 = e jest abelowa. Jezeli a i b saelementami tej grupy, to a−1 = a i b−1 = b. Mamy zatem e = (ab)2 = (ab)(ab) = (ab)(a−1b−1) = (ab)(ba)−1 i stadba = ab.

n = 3 Taka grupa nie istnieje. Załózmy, ze {e, a,b} jest szukana grupa. Element ab takze nalezy do tej grupy i w takimrazie jest równy e, a lub b. Gdyby ab = e, to wtedy a = a−1 = b. Gdyby ab = a (ab = b), to wtedy b = e (a = e). Wkazdym z przypadków otrzymujemy sprzecznosc.

n = 4 Szukana grupa jest grupa czwórkowa Kleina.

n = 5 Taka grupa nie istnieje. Załózmy, ze {e, a,b,c,d} jest szukana grupa. Rozumujac tak jak poprzednio widzimy,ze ab musi byc równy c albo d .

Załózmy, ze ab = c. Wtedy ac = ca = b i bc = cb = a. Zauwazmy, ze gdyby ad = e, ad = a albo ad = d , to wkazdym z tych przypadków otrzymujemy sprzecznosc. Czyli ad jest równy b albo ad jest równy c.

Załózmy, ze ad = b. Wtedy jednak równanie ax = b ma dwa rozwiazania: c i d . Stad d = ba = c Sprzecznosc(otrzymana sprzecznosc wynika z faktu, ze w grupie równanie αx =β ma dokładnie jedno rozwiazanie).

W pozostałych przypadkach rozumowanie przebiega w analogiczny sposób.

156

n = 6 Taka grupa nie istnieje. Rozumowanie jest podobne jak poprzednio, jednak znacznie dłuzsze.

Uwaga: Istnieje grupa rzedu nieskonczona o tej własnosci.

Zestaw 3Homomorfizmy grup

50. Patrz wykład.

51. Wskazówki: Jezeli grupa jest abelowa, to (ab)2 = a2b2 i a−1b−1 = (ab)−1. Z warunku (ab)2 = a2b2, korzystajacz prawa skracania otrzymujemy ba = ab. Z warunku (ab)−1 = a−1b−1, mnozac najpierw prawostronnie przez ab, apotem lewostronnie przez ba, otrzymujemy ba = ab.

Poniewaz, w grupie kazdy element posiada dokładnie jeden element odwrotny, to ψ jest izomorfizmem wtedy itylko wtedy, gdy grupa jest abelowa.

52.a) Wskazówka: ln ab = ln a + lnb, ln1 = 0b) Wskazówka: Sprawdzic dla macierzy postaci αI .

c) Tak. Dla n 6= 0 monomorfizm.

d) Tak. Epimorfizm.

e) Tak. Izomorfizm. Obie grupy sa izomorficzne z gru-pa V4.

f ) Tak. Izomorfizm.

g) Tak. Izomorfizm.

h) Nie.

i) Wskazówka: tr(A+B) = trA+ trB .

j) Wskazówka: (A+B)T = AT +B T .

k) Tak. Wyznaczajac jadro i obraz, rozpatrzyc osobnoprzypadek k|n. Pomocne moga byc twierdzenia o rze-dzie elementu.

l) Tak. Epimorfizm.

m) Wskazówka: Odpowiedz zalezy od parzystosci n.

53. (G ,∗ jest grupa.Jest oczywiste, ze ∗ jest działaniem w G .Łacznosc: (a ∗b)∗ c = (atb)∗ c = (atb)tc = at (btc) = a ∗ (btc) = a ∗ (b ∗ c)Elementem neutralny i odwrotne, wskazówka: rozwiazac równania g ∗x = g oraz g ∗ y = t−1

Wzór na izomorfizm, wskazówka: element neutralny musi przejsc na element neutralny

54. Wskazówka: zauwazmy, ze [a bc d

][s tu w

][as +bu at +bwcs +du ct +d w

]oraz

( fa,b,c,d ◦ fs,t ,u,w )(x) = a sx+tux+w +b

c sx+tux+w +d

= (as +bu)x +at +bw

(cs +du)x + ct +d w

Wyznaczanie jadra i obrazu: λI ∈ kerϕ, zauwazmy, ze

fa,b,c,d (x) = bc −ad

c2

1

x + dc

+ a

c, c 6= 0

Mozna wykazac, ze grupa X jest izomorficzna z grupa macierzy zespolonych 2x2 o wyznaczniku równym 1.

55.

158

a) Wskazówka: 1 7→ εn , 1+1 = 2 7→ ε2n , . . .

b) Wskazówka: Element neutralny, przechodzi na element neutralny.

c), d) Patrz punkt a)

e), f ) Wskazówka: Szukane izomorfizmy najłatwiej znalezc numerujac wierzchołki odp. prostokata i trójkata.

g), h) Wskazówka: Szukany izomorfizm „ustawia” wiersze macierzy w „rzadek”.

57. Porównaj zadanie 54.

58. Sprawdzenie, ze podane zbiory macierzy sa grupami pomijamy. Aby znalezc wzór na izomorfizm w punkcie a)zauwazmy, ze [

1 x0 1

][1 y0 1

]=

[1 x + y0 1

]

Stad widzimy, ze funkcja ϕ(x) =[

1 x0 1

]jest homomorfizmem. Sprawdzenie, ze jest to izomorfizm jest łatwe. Pytanie:

czy jest to jedyny mozliwy izomorfizm?W punkcie b) nalezy rozumowac analogicznie.

59.a) Wskazówka: Gdyby odwzorowanie ϕ : Q→Z było izomorfizmem, to istniałby element a ∈Q taki, ze ϕ(a) = 1, alewtedy takze prawdziwa byłaby równosc ϕ(a/2)+ϕ(a/2) = 1 w Z.

b), c), d) Wskazówka: W grupie Q∗ mamy 12 = (−1)2 = 1, ale równanie 2x = 0 ma jedno rozwiazanie w Q. Gdybyodwzorowanie ϕ : Q∗ →Q było izomorfizmem, to 2ϕ(1) = 0 oraz 2ϕ(−1) = 0.

Pozostałe zadania rozwiazuje sie w identyczny sposób.

e) Wskazówka: Sprawdzic ile rozwiazan ma równanie x2 =−1 w obu grupach.

f ) Wskazówka: Sprawdzic ile rozwiazan ma równanie x2 = 1 w obu grupach.

g) Zbiory nie sa równoliczne.

60. Oznaczmy przez xa,r ciag arytmetyczny o pierwszym wyrazie a i róznicy r . Sprawdzenie, ze ciagi arytmetycznetworza grupe jest łatwym cwiczeniem. Poniewaz, kazdy ciag arytmetyczny jest jednoznacznie wyznaczony przez a i rwiec odwzorowanie xa,r 7→ (a,r ) jest izomorfizmem.

Zestaw 4Podgrupy. Grupy cykliczne

61. Patrz wykład.

62. Łatwo sprawdzic, ze kazdy ze zbiorów nZ jest podgrupa grupy Z. Niech H < G . Jezeli H = {0}, to H = 0Z. NiechH 6= {0}. Wtedy istnieje liczba m 6= 0, m ∈ H . Poniewaz wtedy takze −m ∈ H , wiec H ∩N 6== ;. Oznaczmy przez nnajmniejsza liczbe naturalna nalezaca do H .

Dla kazdego k ∈ N , mamy kn ∈ H (potega!) oraz −kn ∈ H . Zatem nZH . Wezmy dowolny element a ∈ H . Dzielac zreszta a przez n otrzymujemy

a = kn + r, 0 ≤ r < n.

Zauwazmy, ze r = a −qn ∈ H . Poniewaz n jest najmniejsza liczba naturalna nalezaca do H wiec r = 0. To oznacza, zer = kn, a stad a ∈ nZ oraz H ⊂ nZ. Ostatecznie H = nZ.

Niech n1,n2 ∈ N . Szukany izomorfizm ϕ : n1Z→ n2Z jest dany wzorem ϕ(kn1) = kn2.

63. W grupach addytywnych tylko {0}. W grupach multiplikatywnych µn .

64.a) Wykonamy to zadanie tylko dla n = 5,6.

Niech n = 5. Niech H < Z5. Oczywiscie 0 ∈ H . Dla dowolnego 0 6= k ∈ H , to liczby k,2k,3k,4k sa wzgledniepierwsze z 5, zatem wszystkie z nich sa róznymi elementamiZ5. Stad, kazda podgrupaZ5 jest niewłasciwa. To rozu-mowanie mozna powtórzyc dla kazdej liczby pierwszej.

Niech n = 6. Niech H < Z6. Oczywiscie 0 ∈ H . Jezeli 1 ∈ H , to wtedy takze 2,3,4,5 ∈ H . Stad H = Z6. Podobnie,jezeli 5 ∈ H , to H =Z6. Zauwazmy, ze {0,3} <Z6.

Jezeli 2 ∈ H , to takze 4 = 2+ 2 ∈ H . Podobnie jezeli 4 ∈ H , to 2 = 4+ 4 ∈ H . Zauwazmy, ze −2 = 4 oraz −4 = 2.Zatem {0,2,4} <Z6

Jezeli 2,3 ∈ H , to 5 ∈ H . Podobnie, jezeli 3,4 ∈ H , to 1 ∈ H . Zatem podgrupa zawierajaca liczbe parzysta i niepa-rzysta jest równa Z6.

Podsumowujac, jedynymi podgrupami Z6 sa zbiory: {0}, {0,2,4}, {0,3}, Z6.

b) Postepowac podobnie jak w punkcie a)

c) Jedynymi podgrupami V4 sa zbiory {e}, {e, a}, {e,b}, {e, ab}, V4.

65. Podgrupami grupy S3 sa w oczywisty sposób podgrupy niewłasciwe oraz grupy cykliczne generowane przez cykledługosci 2 (trzy podgrupy) i cykle długosci 3 (jedna podgrupa). Jezeli H < S3 zawiera cykl długosci 2 i cykl długosci3 (zawiera wtedy oba cykle długosci 3), to jest równa S3. Mozna to sprawdzic bezposrednio. Mozna tez skorzystac ztwierdzenia Lagrange’a: poniewaz |H | = 4 nie jest dzielnikiem |S3|, wiec H nei moze byc podgrupa. Zatem wszystkimipodgrupami grupy S3 sa zbiory:

{e}, ⟨(1 2)⟩ = {e, (1 2)}, ⟨(1 3)⟩ = {e, (1 3)}, ⟨(2 3)⟩ = {e, (2 3)}, A3 = ⟨(1 2 3)⟩ = {e, (1 2 3), (1 3 2)}, S3

Niech ϕ : S3 → D3 bedzie izomorfizmem grup takim, ze ϕ((1 2 3)) = x, oraz ϕ((1 2)) = y (patrz wykład). Poniewazizomorfizm przeprowadza podgrupe na podgrupe oraz zachowuje ilosc i rzedy podgrup wiec wszystkimi podgrupami

160

D3 sa obrazy podgrup grupy S3:

{e}, ⟨y⟩ =ϕ(⟨(1 2)⟩), ⟨x y⟩ =ϕ(⟨(1 3)⟩), ⟨x2 y⟩ =ϕ(⟨(2 3)⟩), ⟨x⟩ =ϕ(A3), D3

66.a), b) Tak.

c) Nie, gdyz 1+Z4 1 ∉ {0,1}

d) Tak, gdy n = m. Nie, gdy n 6= m.

e) Nie, gdyz (n −1)+Z (n −1) 6 i nZn . Uwaga: z formalnego punktu widzenia Zn nie jest nawet podzbiorem Z!.

f ) Tak, jezeli |G| <∞. Nie, jezeli |G| =∞, np.: 2 ∈R∗, ale 12 ∉ {1,2,22,23, . . .}. Prosze zaproponowac podobny przykład

w grupie addytywnej.

g) Tak. Zauwazyc, ze jest to grupa czwórkowa Kleina.

h) Nie.

67. W grupie addytywnej tylko podgrupa trywialna. W grupach multiplikatywnych istnieje wiele przykładów. Niektórez nich pojawiały sie juz w zadaniach. Mozna wykazac, ze kazda grupa skonczona jest izomorficzna z pewna podgrupagrupy Gl (n,R) (por. twierdzenie Cayley’a)

68. Wskazówka: rozwazyc zbiory permutacji, które sa stałe na dokładnie jednym elemencie.

69.a) Nietrywialny element w grupie dwuelementowej musi miec rzad równy 2. W grupie S4 jest tylko 9 takich elemen-tów:

(1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4), (1 2)(3 4), (1 4)(2 3), (1 3)(2 4),

Szukane grupy sa grupami generowanymi przez te elementy.

b) Grupa izomorficzna z grupa V4 musi zawierac element neutralny i dokładnie 3 elementy rzedu 2. Ponadto jeden znich musi byc iloczynem dwóch pozostałych. Bezposrednie sprawdzenie pokazuje, ze jedynymi takimi podgrupamisa:

{e, (1 2)(3 4), (1 4)(2 3), (1 3)(2 4)}, {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)}, {e, (1 3), (2 4), (1 3)(2 4)}, {e, (1 4), (2 3), (1 4)(2 3)}

Prosze sprawdzic jakim permutacja wierzchołków prostokata odpowiadaja te podgrupy.

c) Patrz poprzednie zadanie.

d) Wskazówka: ponumerowac wierzchołki kwadratu i okreslic jakim permutacjom odpowiadaja izometrie.

70. Wskazówka V4: wpisac prostokat w szesciokat albo poszukac w D6 elementów rzedu dwa.Wskazówka S3: wpisac trójkat w szesciokat albo poszukac w D6 elementów rzedu 2 i 3.Odpowiedz: {e, x3, y, x3 y}, {e, x2, x4, y, x2 y, x4 y}.Prosze zapisac powyzsza odpowiedz jako iloczyny cykli odpowiadajace permutacja wierzchołków i porównac z

poprzednim zadaniem.

71. Wskazówka: sprawdzic jakie sa rzedy (w sensie teorii grup) podanych macierzy.

72. Wskazówka: wystarczy znalezc dzielniki rzedu grupy, patrz wykład.

73. Wskazówka: wystarczy wyznaczyc rzedy podanych elementów.

78. Wskazówka: wykorzystac izomorfizm z grupa (Z,+)

79. Wskazówka: Jezeli NWD(x, y) = 1, to ax +by = 1 dla pewnych a,b ∈Z.

Zestaw 5Grupa ilorazowa

80.a) Wskazówka: x ∈ aH =⇒ x = ah, y ∈ H a =⇒ y = h′a

b) Wskazówka: wypisac wszystkie warstwy

c) Wskazówka: skorzystac z tw. Lagrange’a

81.a) Poniewaz, jest to grupa cykliczna, wiec jej podgrupami sa: {0}, ⟨3⟩ = {0,3,6} iZ9 (dlaczego?). Warstwy lewostronnewzgledem nietrywialnej podgrupy H wygladaja nastepujaco:

0+H = {0,3,6} = 3+H = 6+H , 1+H = {1,4,7} = 4+H = 7+H , 2+H = {2,5,8} = 5+H = 8+H

Poniewaz grupa jest abelowa wiec a +H = H +a.

b) Zauwazmy, ze Z∗14 = {1,3,5,9,11,13}. Zauwazmy, ze 32 = 9 i 33 = 13. Zatem rz3 > 3 i poniewazZ∗

14 ma rzad 6, wiecrz3 = 6. Poniewaz jest to grupa cykliczna, wiec istnieje dokładnie jedna grupa rzedu 2 i dokładnie jedna grupa rzedu3. Łatwo sprawdzic, ze tymi grupami sa odpowiednio H = ⟨13⟩ i K = ⟨9⟩.

Warstwy wzgledem podgrup H i K wygladaja nastepujaco:

1H = 13H , 3H = 11H , 5H = 9H , oraz 1K = 9K = 11K , 3K = 5K = 13K

Poniewaz grupa jest abelowa wiec aH = H a.

c), d) Postepowac tak jak w poprzednio.

82.

Bibliografia

Podstawowa:

[1] Białynicki Birula A., Algebra, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2014

[2] Rutkowski J., Algebra Abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005

[3] Baginski C., Wstep do teorii grup, Script, Warszawa 2002

[4] Kostrykin A., Wstep do algebry, t. I-III, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009

„Further reading” po polsku i angielsku:

[5] Romanowski A., Turo J., Algebra wyzsza, zadania Wydawnictwo Politechniki Gdanskiej, Gdansk 2007.

[6] Lang S. Algebra, Springer Science+Business Media Inc., 2002

[7] Kostrykin A., Zbiór zadan z algebry, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005

[8] Browkin J., Teoria ciał Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1977

[9] Grillet P. A., Abstract Algebra Springer Science+Business Media Inc., 2010

[10] http://www.wikipedia.org

: Jaki jest rzad permutacji porzadkujacej bibliografie nazwiskami alfabetycznie?

algebra - mif.pg.gda.pl · algebra notatki do wykładu i cwicze´ n ... przykłady to zbiór...

Documents