algebra lineare spazi vettoriali e.f. orsega – università ca foscari di venezia ch

Algebra lineare

Spazi vettoriali

E.F. Orsega – Università Ca’ Foscari di Venezia

CH


Nota:Le diapositive contrassegnate in alto a destra

con un quadratino verde ( ) si possono anche “saltare” ai fini dell’esame, anche se costituiscono parti di

importante valenza culturale.

Quelle invece contrassegnate con un quadratino rosso( ) hanno rilevanza fondamentale ai fini dell’esame.

Tali connotazioni a volte variano a seconda del corso di laurea


Premessa

(Da: “Lezioni di Metodi Matematici della Fisica ”, di C. Villi, T.A. Minelli, A. Pascolini - Università di Padova. - Ed. CLEUP, Padova)

Lo spazio, nella sua accezione più grossolana, è' ciò che ci circonda, ciò in cui possiamo muoverci, avanti o indietro, a destra o a sinistra, in alto,o in basso: in altre parole, lo spazio è ciò in cui siamo abituati a misurare la lunghezza dei segmenti e la distanza fra due punti. Più in generale, lo spazio è l’ambiente in cui avvengono i fenomeni fisici: esso è detto anche spazio fisico. Lo spazio geometrico è uno spazio astratto. Le misure di lunghezze di segmenti e di distanze fra punti dello spazio fisico coincidono con analoghe quantità definite e calcolate nello spirito della geometria, euclidea : ciò genera la grande illusione che la geometria dello spazo fisico sia quella euclidea. Il vuoto possiede una sua costante dielettrica e una sua permeabilità magnetica: il vuoto non è spazio geometrico bensì spazio fisico.


Lo spazio fisico è lo spazio geometrico riempito dal campo gravitazionale e da campi elettromagnetici. Solo una parte limitata (su scala cosmica) dello spazio fisico è descrivibile dalla geometria euclidea: esso verrà detto spazio ordinario.Nello spazio ordinario si definiscono degli enti di natura vettoriale caratterizzati da un punto di applicazione, direzione e verso. Le forze, le velocità, ecc. sono vettori definiti in spazi astratti (spazio delle forze, spazio delle velocità, ecc.): tali spazi posseggono le stesse proprietà formali dello spazio, euclideo. Lo spazio euclideo è un modello per concepire lo spazio ordinario e gli spazi astratti in cui sono definiti vettori che rappresentano quantità fisiche (forze, velocità, ecc.) agenti nello spazio ordinario. In altre parole, lo spazio euclideo, simula correttamente ciò che circonda, cioè lo spazio ordinario in cui avvengono i fenomeni fisici, ma non è lo spazio ordinario : lo spazio ordinario mutua da quello euclideo il formalismo, matematico.


Questa simbiosi porta a generalizzare il concetto di spazio anche

a ciò che non ci circonda, che non ha alcuna corrispondenza con

lo spazio ordinario ed è una pura invenzione della mente, nel

senso che è descrivibile mediante enti matematici e in esso sono

adeguatamente definite delle quantità che hanno le stesse

proprietà delle lunghezze di segmenti e delle distanze fra punti

nello spazio ordinario, ovvero delle norme e delle distanze fra

punti in quello euclideo. Il concetto di spazio può altresì essere

generalizzato anche senza alcun riferimento a norme e distanze,

partendo da altre operazioni che si possono compiere nello

spazio ordinario, quale, ad esempio, la somma dei segmenti

secondo la regola del parallelogramma.

Calcolo vettoriale


Calcolo vettoriale


L’introduzione del concetto di vettore, e il conseguente calcolo vettoriale è, curiosamente, nato (nel sec. XIX, sostanzialmente nella rappresentazione algebrica, detta anche analitica – v. più avanti) come una componente di “strani” enti, piuttosto complicati e di difficile applicazione pratica: i quaternioni di Hamilton.

Sir William Rowan HAMILTON

(Dublino, 1805-1865)

Calcolo vettoriale


Lo svipuppo del calcolo vettoriale è dovuto principalmente ad alcuni eminenti fisici e matematici, tra i quali spiccano:

James Clerk MAXWELL(Edinburgo, 1831-1879)

Josiah Willard GIBBS

(U.S.A., 1839-1903)

Oliver

HEAVISIDE

(Londra,

1850-1925)

Hermann Günter

GRASSMAN

(Prussia,

1809-1877)

A

B

C

D

F

E

Segmenti orientati Segmenti orientati equipollenti:equipollenti:

hanno stessihanno stessi

modulo modulo (lunghezza), (lunghezza),

direzionedirezione, ,

verso verso

RappresentanoRappresentanogeometricamente geometricamente lo stesso lo stesso VETTOREVETTOREnello spazionello spazio

I vettorivettori rappresentati come segmenti orientati

(rappresentazione geometrica)

si intendono con l’origine coincidente con l’origine del sistema di riferimento (assi coordinati) eccetto nei casi in cui si parli di “vettori applicati” (fisica) per i quali si specifica la collocazione del punto origine (punto di applicazione)

Possono appartenere a uno spaziospazio:

monodimensionale (retta orientata, x),

bidimensionale (piano, xy)

o tridimensionale (spazio tridim., xyz),

0 1 2 3-1

-2-3

U

Vettori dello Vettori dello spazio monodimensionalespazio monodimensionale ((RR1 1

))Segmenti orientati applicati all’origine di una retta orientata sulla quale è stato stabilito un

sistema di ascisse:

scelta un’unità di misura (U), si stabilisce una corrispondenza biunivoca tra tutti i numeri reali e tutti i punti della retta.

Ad ogni segmento orientato è associato un numero reale. Es.: al segmento v è associato il numero +2, a w è associato il numero –3, al punto origine il numero 0.

vw

Vettori delloVettori dello spazio monodimensionale spazio monodimensionale ((RR11))

Tutti i vettori dello spazio monodimensionale euclideo possono quindi essere rappresentati da

tutti i segmenti orientati applicati all’origine della retta orientata (rappresentazione geometrica)

oppure da

tutti i numeri reali (rappresentazione algebrica o analitica)

In entrambi i casi si definiscono le operazioni di

addizione e sottrazione tra vettori

0 1 2 3-1

-2-3

U

Vettori delloVettori dello spazio monodimensionalespazio monodimensionale

Es.: Rappresent. algebrica (analitica)

v + w = s

vw OO

s

(+2) + (-3) = -1

s - v = w (-1) - (+2) = -3

Rappresent. geometrica

0 1 2 3-1

-2-3

U

Vettori delloVettori dello spazio monodimensionalespazio monodimensionale

I vettori, rappresentati come segmenti orientati su una retta, si possono quindi rappresentare come NUMERI REALI (rappresentazione algebrica o analitica).

Si sommano e si sottraggono con le stesse regole di addizione e sottrazione tra numeri relativi.

L’elemento neutro OO dell’addizione tra vettori (tale che per ogni

vv si ha che vv + OO = vv) è il vettore nullo. Algebricamente è rappresentato dal numero 0 (zero), geometricamente dal punto origine

vw OO

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali

Vettori delloVettori dello spazio bidimensionale spazio bidimensionale ((R R 22))

x

y

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3Dato un sistema di riferimento sul piano di due assi cartesiani ortogonali


x

y

Ad ogni segmento orientato si può associare una coppia ordinata di numeri reali (x;y), data dalle coordinate dell’estremo del segmento orientato

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può

quindi rappresentare come quindi rappresentare come

coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali

(rappresentazione algebrica o

analitica)


0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

uu

u =(-1;-3)u =(-1;-3)

Q (-1; -3)


Ogni vettorevettore nel piano si può nel piano si può

quindi rappresentare come quindi rappresentare come

coppia ordinata di numeri reali coppia ordinata di numeri reali

(rappresentazione algebrica o

analitica)

0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3 T (2; 3)

w

w = (2;3)w = (2;3)

ii

i = (1;0)i = (1;0)

rr

r =(1;-3)r =(1;-3)

S (1; -3)


0 1 2 3-1

-2-3-1-2

-3

1

2

3

P (3; 2)

vv

v = (3;2)v = (3;2)

ii

jj

i = (1;0)i = (1;0)

j = j = (0;1)(0;1)

uu

u =(1;-3)u =(1;-3)

Q (1; -3)

0 = (0;0)0 = (0;0)


I vettori

1 2 3-1

-2-3

Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))

-1-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

Ogni vettorevettore nello spazio nello spazio tridimensionale si può tridimensionale si può rappresentare come rappresentare come

terna ordinata terna ordinata di numeri reali di numeri reali

(rappresentazione algebrica/analitica)

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

i = i = (1;0;0)(1;0;0)j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)V

x

y

z

1 2 3-1-2-3-1

-2

-3

1

2

3

vv = (3;4;4) = (3;4;4)

jj

I vettori di modulo unitario(lunghezza = 1)

si dicono versoriversori

0 = (0;0;0)0 = (0;0;0)

3

kk

ii

V

i = (1;0;0)i = (1;0;0)

j = (0;1:0)j = (0;1:0)

k = (0;0:1)k = (0;0:1)

x

y

z

00

I versori lungo i tre assi coordinati i=(1;0;0), j= (0;1;0), k= (0;0;1)Sono i versori principali

Vettori delloVettori dello spazio tridimensionale (spazio tridimensionale (R R 33))

Somma e differenza di vettoriSomma e differenza di vettori

In rappresentazione geometrica la somma di due vettori degli spazi R2 e R3 è data dalla

“regola del parallelogramma”:

uu

vv

u + vu + v


In rappresentazione geometrica la differenza di due vettori si ottiene come indicato in figura:

(“La differenza di due vettori è uguale alla somma del primo con l’opposto del secondo” )

u - vu - v uu

vv

u - vu - v

(I due segmenti orientati gialli sono equipollenti e quindi rappresentano lo stesso vettoredifferenza u – vu – v))


In rappresentazione algebrica la somma (o la

differenza) di due vettori (di coordinate date) è un

terzo vettore che ha come coordinate la somma (o la

differenza) delle coordinate corrispondenti.

Es,:

dati: u = (1; -3; 2); v = (2; 0; 5)

u + v = (3; -3; 7) ; u - v = (-1; -3; -3)

Oltre le tre dimensioni non è possibile nessuna rappresentazione geometrica dei vettori, ma solo

la rappresentazione algebrica rappresentazione algebrica ( o( o analitica analitica)):

Un vettore è rappresentato da una

successione ordinata di n numeri (n-pla ordinata)

v = (x1; x2; x3; ….; xn)

Vettori delloVettori dello spazio n-dimensionale spazio n-dimensionale ((R R nn))

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

Esempi:Esempi:

u = (1; -3; 2.5; 2) è un vettore dello spazio R 4

v = (2; 0; 5; -2; 8) è un vettore dello spazio R 5

w = (1; -3; 2.5; 2; 0; 1; -5)) è un vettore dello spazio R 7

I vettori Vettori dello spazio n-dimensionale Vettori dello spazio n-dimensionale ((R R nn))

La sommaLa somma di due vettori nello spazio di due vettori nello spazio R R nn è un è un vettore che ha per coordinate la somma delle vettore che ha per coordinate la somma delle coordinate corrispondenti (analogamente per la coordinate corrispondenti (analogamente per la differenza).differenza).

Se: Se: u = (x1; x2; x3; …xn) e v = (y1; y2; y3; …yn)

Allora: u + v = (x1+y1; x2+y2; x3+y3; …; xn+yn)Es,:

u = (1; -3; 2.5; 2); v = (2; 0; 5; -2)

u + v = (3; -3; 7.5; 0)

Dato il vettore Dato il vettore vv, il suo , il suo modulomodulo vv èè la la lunghezzalunghezza, in valore , in valore

assoluto, del segmento orientato che rappresenta il assoluto, del segmento orientato che rappresenta il

vettore (fino a tre dimensioni - spazio vettore (fino a tre dimensioni - spazio R R 33))

Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:Se un vettore è dato mediante le sue coordinate:

vv = (x; y; z) = (x; y; z) vv= =

L’espressione sotto radice (xL’espressione sotto radice (x22 + y + y22 + z + z22) è anche detta) è anche detta norma norma del vettoredel vettore vv. . Come si vedrà più avanti, essa è Come si vedrà più avanti, essa è uguale al uguale al prodotto scalareprodotto scalare del vettore per se stesso, del vettore per se stesso, vv vv = = vv22

222 zyx

E, in generale, per un vettore dello spazio R n

(vettore a n coordinate), il suo modulo è dato da:

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

ModuloModulo di un vettore di un vettore

Dato il vettore Dato il vettore vv sul piano (spazio sul piano (spazio R R 2 2 ), ), definito definito

analiticamente daanaliticamente da due due coordinate, coordinate, vv = (x;y), = (x;y), il suo il suo

modulomodulo vv è dato daè dato da::

vv= =

22 yx


v

x

y

Esso deriva dall’applicazione del Teorema di Pitagora nella rappresentazione geometrica, come facilmente si desume dalla figura


V

x

y

zLa precedente relazione per il modulo di un vettore dello spazio R 3

(vettore a tre coordinate):

vv = (x; y; z) = (x; y; z)

vv==

deriva dal Teorema di Pitagora generalizzato nello spazio.

222 zyx

Si generalizza ulteriormente per gli spazi astratti R n a più di tre dimensioni, portando alla già citata relazione generale:

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= = n

ii x1

2

Dati due vettori: Dati due vettori:

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))

Il modulo della Il modulo della differenza differenza tra i due vettori tra i due vettori uu e e vv (in (in R R 2 2 o o

R R 33 u - u - vv è dato daè dato da::

u - u - vv= =

dove il terzo addendo (zdove il terzo addendo (z11-z-z22))2 2 è nullo nel caso che i vettori è nullo nel caso che i vettori siano siano

di di RR2 2 (vettori del piano x, y).(vettori del piano x, y).

Distanza tra due puntiDistanza tra due punti

221

221

221 )()()( zzyyxx

Dati due vettori: Dati due vettori:

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33); ); vv = (y = (y11; y; y22; y; y33))

se consideriamose consideriamo i loro estremi Pi loro estremi P11 e P e P2 2 (le cui coordinate (le cui coordinate sono quelle indicate), il sono quelle indicate), il modulo della differenza dei due modulo della differenza dei due vettorivettori (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) (vedi rappresentazione geometrica – dia n° 23 -) corrisponde alla corrisponde alla distanzadistanza (numero assoluto!) tra i punti (numero assoluto!) tra i punti estremi Pestremi P11 e P e P22..

Distanza tra due puntiDistanza tra due punti

uu

vv

u - vu - v

P1

P2

Nell’ esempio in figura abbiamo:

P1 = (x1; y1); P2= (x1; y1)

La loro distanza, d(P1P2) è:

d(P1P2) =

x1

x2

y1

y2

221

221 )()( yyxx

Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il Per qualsiasi insieme di vettori si definisce il prodotto di un numero (reale) c per un vettore prodotto di un numero (reale) c per un vettore v :v :

u = c vIl risultato di tale moltiplicazione è un vettore (u) che ha:

- stessa direzione di v (u parallelo a v)

- verso concorde o discorde a quello di v, a seconda che c sia rispettivamente positivo o negativo

-modulo di u uguale a modulo di c per modulo di v

u= cv

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto diProdotto di un numero per un vettoreun numero per un vettore

Es.:Es.:

u = 3 v

v

u

v

u = -2 v

u

PRODOTTIPRODOTTI


In rappresentazione analitica (vettori rappres. In rappresentazione analitica (vettori rappres. mediante le coordinate), il prodotto di c per un mediante le coordinate), il prodotto di c per un vettore vettore vv si ottiene moltiplicando ciascuna si ottiene moltiplicando ciascuna coordinata per c.coordinata per c.

Es.: Es.: sia dato: sia dato: v v = (2; -3; 1)= (2; -3; 1)

uu = 3 = 3 v v = 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)= 3 (2; -3; 1) = (6; -9; 3)

ww = -2 = -2 v v = -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)= -2 (2; -3; 1) = (-4; 6; -2)

PRODOTTIPRODOTTI


Quindi si può dare un Quindi si può dare un criterio di criterio di parallelismoparallelismo tra due tra due vettori:vettori:

PRODOTTIPRODOTTI


Due vettori u e v (non nulli) sono Due vettori u e v (non nulli) sono paralleliparalleli (o (o proporzionaliproporzionali) ) se se e solo see solo se uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo uno di essi si può ottenere dall’altro moltiplicandolo per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due per un opportuno numero c, cioè se le coordinate dei due vettori sono proporzionalivettori sono proporzionali

Ovvero: Ovvero: u || vu || v

se esiste un numero c tale che se esiste un numero c tale che v v = c= cuu

Es.:Es.: uu = (2; -1; 5) e = (2; -1; 5) e v v = (-8; -4; -20) = (-8; -4; -20)

sono paralleli, poiché sono paralleli, poiché v v = -4= -4uu

Le coordinate di u e v risultano Le coordinate di u e v risultano proporzionaliproporzionali (è costante il (è costante il rapporto tra le coordinate corrispondenti:rapporto tra le coordinate corrispondenti:

2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) 2/(-8) = -1/(-4) = 5/(-20) = -4= -4

Esso Esso nonnon è un vettore, ma un è un vettore, ma un numeronumero (o (o scalarescalare))

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto scalare scalare o o internointerno di due vettoridi due vettori

In rappresentazione geometrica:In rappresentazione geometrica:

u vu v = = uuvvcos cos

uu

vv

Prodotto dei moduli (lunghezze dei vettori) per il coseno dell’angolo tra i vettori

ovvero: modulo di un vettore per la proiezione dell’altro sulla direzione del primo

Esempio 1:Esempio 1:

vv= 2; = 2; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 2 = 2 2.2 2.2 3/2 3/2 3.81 3.81

uu

vv

30°30°

= 30° = 30° cos cos = = 3/23/2


vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 (-1/2) = -1.1(-1/2) = -1.1

uu

vv

120°120°

= 120° = 120° cos cos = - = -1/21/2


vv= 1; = 1; uu= 2.2; = 2.2;

PRODOTTIPRODOTTI


u vu v = = uuvvcos cos = 1 = 1 2.2 2.2 0 = 00 = 0

uu

vv90°90°

= 90° = 90° cos cos = 0 = 0

PRODOTTIPRODOTTI


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il Il prodotto scalare si può ottenere se sono date le si può ottenere se sono date le coordinate dei vettori :coordinate dei vettori :

uu = (x = (x11; y; y11; z; z11))

vv = (x = (x22; y; y22; z; z22))

Il loro prodotto scalare è:Il loro prodotto scalare è:

u vu v = x = x1 1 xx22 + y + y1 1 yy2 2 + z+ z1 1 zz22

Es.: u = (3; -1; 4) ; v = (2; 5; -3)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) = -11

PRODOTTIPRODOTTI


In In rappresentazione algebricarappresentazione algebrica::

Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-Il prodotto scalare di due vettori nello spazio n-dimensionale dimensionale R R nn (n coordinate): (n coordinate):

uu = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn))

vv = (y = (y11; y; y22; y; y33; … ; y; … ; ynn ) )

Il loro Il loro prodotto scalareprodotto scalare è: è: u vu v = =

Es.: u = (3; -1; 4; 0; 5) ; v = (2; 5; -3; 1; -2)

u v = 32 + (-1)5 + 4 (-3) + 0 1+5 (-2)= -21

ii

n

i yx1

PRODOTTIPRODOTTI


Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:Attraverso il prodotto scalare possiamo dare la:

Condizione di perpendicolarità tra due vettori :

Due vettori (siano u e v) non nulli sono perpendicolari (o ortogonali) se e solo se

Il loro prodotto scalare è nullo (uv=Il loro prodotto scalare è nullo (uv=00))

Es.: u = (3; -1; -1); v = (2; 5; 1)

u v = 32 + (-1)5 + (-1) (1) = 0 ;

i due vettori sono perpendicolari

PRODOTTIPRODOTTI


Il Il modulomodulo ( o ( o normanorma) di un vettore) di un vettore di uno spazio R n

(vettore a n coordinate):

vv = (x = (x11; x; x22; x; x33; ; … … ;; xxnn) ) vv= =

si può esprimere come la radice quadrata del si può esprimere come la radice quadrata del prodotto prodotto scalare del vettore per se stessoscalare del vettore per se stesso ( (v v x x v = vv = v22):):

vv= = ((v v x x v)v)1/21/2 = = ((vv22))1/2. 1/2.

Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la Uno spazio vettoriale per il quale sia stata definita la norma dei suoi vettori si dice “norma dei suoi vettori si dice “normatonormato”.”.

n

ii x1

2

Esso è un Esso è un vettorevettore e si indica con la scrittura:e si indica con la scrittura:

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale o o esternoesterno di due vettoridi due vettori

Come si calcolaCome si calcola::

ModuloModulo: : u u v v = = uuvvsen sen

(area del parallelogrammo di (area del parallelogrammo di

lati lati u u e e vv))

DirezioneDirezione: : perpendicolare al perpendicolare al

piano di piano di uu e e vv

VersoVerso: come in figura: come in figura

uu

u u vv

vv

u u vv

v v uu

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale o o esternoesterno di due vettoridi due vettori

uu

Ne segue che il prodotto vettoriale non è commutativo,

ma anticommutativo:

u u v = - v = - v v uuvv

u u vv

v v uu

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto vettoriale vettoriale tra itra i versori principaliversori principali ii j kj k

(vettori di modulo unitario lungo x, y, z)

i i j = kj = k j j i = -ki = -k

j j k = ik = i k k j = -ij = -i

k k i = ji = j ii k = -jk = -j

ii jj

kk

ii jj

kk

Procedendo nel verso delle frecce, “un vertice per il successivo” dà per prodotto “il terzo vertice”, mentre nel verso contrario alle frecce otteniamo “l’opposto del terzo vertice”

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto vettorialevettoriale

Attraverso il prodotto esterno possiamo dare Attraverso il prodotto esterno possiamo dare unauna

Condizione di Condizione di parallelismoparallelismo tra due vettori: tra due vettori:

Due vettori non nulli sono paralleli se e Due vettori non nulli sono paralleli se e solo sesolo se

Il loro prodotto vettoriale è nullo.Il loro prodotto vettoriale è nullo.

PRODOTTIPRODOTTI


Due vettori non nulli sono paralleli se e Due vettori non nulli sono paralleli se e solo sesolo se

Il loro prodotto vettoriale è nullo.Il loro prodotto vettoriale è nullo.

Infatti due vettori paralleli (Infatti due vettori paralleli (stessa direzionestessa direzione) formano ) formano un angolo un angolo didi 0° (verso concorde) 0° (verso concorde) o di 180° (verso o di 180° (verso discorde):discorde):

In entrambe i casi sen In entrambe i casi sen = 0; = 0; quindi il quindi il prodotto esterno prodotto esterno è nullo in conseguenza del suo modulo nulloè nullo in conseguenza del suo modulo nullo

((u u v v = = uuvvsen sen ))

= 0= 0 = 180°= 180°

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto vettoriale in rappresentzione analiticavettoriale in rappresentzione analitica

Il prodotto esternoIl prodotto esterno di due vettori di date coordinate:di due vettori di date coordinate:

V = (xV = (x11; y; y11; z; z11) ; U = (x) ; U = (x22; y; y22; z; z22))

si calcola esprimendoli come combinazione lineare dei si calcola esprimendoli come combinazione lineare dei versori principali versori principali i, j, ki, j, k e applicando la proprietà e applicando la proprietà distributivadistributiva

(rammentando i prodotti esterni tra i versori – vedi dia n° (rammentando i prodotti esterni tra i versori – vedi dia n° 40):40):VV U = U = (x(x11i i + y+ y11jj + z + z11kk) ) (x(x22i i + y+ y22jj + z + z22kk) =) =

(y(y11zz22 – y – y22zz11) ) ii + (z + (z11xx22 – z – z22xx11) ) j j + (x+ (x11yy22-x-x22yy11) ) kk

Es.: Es.: V = (1; -1; 4) ; U = (2; 0; -3)V = (1; -1; 4) ; U = (2; 0; -3)

VV U = [U = [(-1)*(-3) – 0*4] (-1)*(-3) – 0*4] ii + [4*2 – (-3)*1] + [4*2 – (-3)*1] j j + [1*0-2*(-1)] + [1*0-2*(-1)] k =k =

= = 3 3 i + i + 1111j + j + 22kk

PRODOTTIPRODOTTI


Un metodo equivalente è il calcolo del determinante:

222

111

zyx

zyx

kji

UV

(Vedi più avanti il capitolo Matrici e determinanti

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto mistomisto

Implica tre vettori (ad. es. u, v, w) e si indica con la scrittura: (u v)w v)w

ed è un numero (scalare) :

il prodotto vettoriale di u e v è a sua volta moltiplicato scalarmente per w.

Geometricamente ha il Geometricamente ha il significato del significato del Volume Volume del del parallelepipedo che ha i tre parallelepipedo che ha i tre vettori come spigolivettori come spigoli

PRODOTTIPRODOTTI

Prodotto Prodotto mistomisto

Il prodotto misto dà un criterio Il prodotto misto dà un criterio didi

Complanarità di tre vettori: di tre vettori:

Tre vettori non nulli sono Tre vettori non nulli sono complanari se e solo se il loro complanari se e solo se il loro prodotto misto è nullo.prodotto misto è nullo.

Combinazione lineare di vettoriCombinazione lineare di vettori

Dati due o più vettori Dati due o più vettori uu11, u, u22, … u, … un ,n ,

se se si moltiplica ciascuno di essi per un numero

arbitrario (diverso da zero) e poi si sommano i

vettori così ottenuti, si ottiene una

combinazione lineare dei vettori dati.

Combinazione lineare di vettoriCombinazione lineare di vettori

Quindi se:

w = c1u1 + c2u2 + … + cnun

(dove c1, c2,…, cn sono numeri non tutti nulli)

diciamo che il vettorediciamo che il vettore w w è unaè una combinazione combinazione

linearelineare

dei vettoridei vettori uu11, u, u22, … u, … unn..

Es.: Es.: uu = (2; 3; -5); = (2; 3; -5); vv = (1; 0; 4) = (1; 0; 4)

ww = 2 = 2uu + + vv = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5; = (4; 6; -10) + (1; 0; 4) = (5;

6; -6)6; -6)

ww è una combinazione lineare dei vettori è una combinazione lineare dei vettori uu e e vv..

Dipendenza lineare tra vettoriDipendenza lineare tra vettori

N vettori (due o più) (N vettori (due o più) (uu11; ; uu22; …; ; …; uunn) si dicono) si dicono

linearmente dipendentilinearmente dipendenti

se ciascuno di essi si può esprimere come se ciascuno di essi si può esprimere come

combinazione lineare degli altri n-1 vettori.combinazione lineare degli altri n-1 vettori.

Ciò equivale a dire che la combinazione lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore nullo) per valori dei coefficienti ci non tutti nulli.


Se ciascuno degli n vettori (Se ciascuno degli n vettori (uu11; ; uu22; …; ; …; uunn) ) nonnon si si

può esprimere come combinazione lineare può esprimere come combinazione lineare

degli altri, vale a dire che la combinazione degli altri, vale a dire che la combinazione

lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore lineare degli n vettori è nulla (uguale al vettore

nullo) nullo) solo solo per valori dei coefficienti cper valori dei coefficienti cii tutti tutti

nulli,nulli,

allora gli n vettori si diconoallora gli n vettori si dicono

linearmente indipendentilinearmente indipendenti


In pratica:In pratica:

1.- Due vettori 1.- Due vettori paralleliparalleli sono sono l. dipendentil. dipendenti

2.-2.- Due vettori Due vettori nonnon paralleli sono paralleli sono l. l.

indipendenti.indipendenti.

3.- Tre vettori compalnari sono 3.- Tre vettori compalnari sono l. dipendentil. dipendenti

4.- Tre vettori non complanari sono4.- Tre vettori non complanari sono l. l.

indipendentiindipendenti

Sistemi di baseSistemi di base

Un insieme di n vettori linearmente Un insieme di n vettori linearmente

indipendenti costituisce un indipendenti costituisce un sistema di basesistema di base per per

lo spazio lo spazio RRn,n,

Ciò significa che ogni vettore dello spazio può Ciò significa che ogni vettore dello spazio può

essere espresso come combinazione lineare essere espresso come combinazione lineare

degli n vettori l. indipendenti.degli n vettori l. indipendenti.


Un vettoreUn vettore qualsiasi qualsiasi uu (non nullo) è sistema di (non nullo) è sistema di

base per lo spazio base per lo spazio R R 11 (retta euclidea): ogni (retta euclidea): ogni

vettore vettore vv della retta si ottiene da della retta si ottiene da uu

moltiplicandolo per un numero opportuno: moltiplicandolo per un numero opportuno: vv

= c= cu.u.


Due vettoriDue vettori uu e e vv non paralleli ( e ovviamente non paralleli ( e ovviamente

complanari) costituiscono un sistema di base per lo complanari) costituiscono un sistema di base per lo

spazio spazio R R 22 (piano euclideo): ogni vettore (piano euclideo): ogni vettore ww del piano si del piano si

ottiene come combinazione lineare di ottiene come combinazione lineare di uu e e vv: :

ww = c = c11u u + c+ c22 v v

L’esempio più noto è quello della coppia di versoriL’esempio più noto è quello della coppia di versori

ii e e j. j.

Ogni vettore w del piano si può scrivere come:

w = xi + yj, cioè come combinazione lineare di ii e e j.j.


Tre vettoriTre vettori uu, , v, z v, z non complanarinon complanari costituiscono un costituiscono un

sistema di base per lo spazio sistema di base per lo spazio R R 33 (spazio tridimensionale (spazio tridimensionale

euclideo): ogni vettore euclideo): ogni vettore ww dello spazio si ottiene come dello spazio si ottiene come

combinazione lineare di combinazione lineare di u,u, v v e z z: :

ww = c = c11uu + c+ c22 vv + c+ c33zz

L’esempio più noto è quello della terna di versoriL’esempio più noto è quello della terna di versori

ii , , j j ee k. k.

Ogni vettore w dello spazio trid. si può scrivere come:

w = xi + yj,+ zk, cioè come combinazione lineare di ii , ,

jj e e k.k.


Ci sono quindi due modi per indicare un vettore in

rappresentazione analitica:

1) Specificando la terna delle sue coordinate:

v = (x:y;z)

2) Scrivendolo come combinazione lineare dei versori

principali: v = xi + yj,+ zk,

Es.: Es.: v = (-1; 5; 2)v = (-1; 5; 2)

v v = -i + 5j,+ 2k,

W = (0; 1; -6)

W = j - 6k

Il secondo modo è particolarmente utile

per calcolare i prodotti scalare e vettoriale in

rappresentazione analitica

I vettorivettori (in rappresentazione algebrica) costituiti da n-ple ordinate di numeri reali si dicono anche vettori euclidei vettori euclidei

((o più completamente:: vettori dello spazio vettoriale lineare – vettori dello spazio vettoriale lineare – SVL - euclideo)SVL - euclideo)

Euclide di Alessandria

( 325 – 265 a.C.)

- l’insieme di tutti i numeri reali costituisce tutti i numeri reali costituisce unouno spazio euclideo monodimensionale spazio euclideo monodimensionale (a (a una dimensione)una dimensione) o o retta euclidearetta euclidea ((R R 11 ))

-l’insieme di tutte le coppie ordinate di tutte le coppie ordinate di numeri reali costituisce uno numeri reali costituisce uno spazio euclideo bidimensionale spazio euclideo bidimensionale (a due (a due dimensioni)dimensioni) o o piano euclideopiano euclideo ( (R R 22 ) )

-l’insieme di tutte le terne ordinate di tutte le terne ordinate di numeri reali costituisce unonumeri reali costituisce uno spazio spazio euclideo tridimensionale euclideo tridimensionale (a tre (a tre dimensioni)dimensioni)

-Ecc. per n>3Ecc. per n>3

Spazi euclidei

I vettorivettori (in rappresentazione algebrica)costituiti da n-ple ordinate di numeri complessi z (del tipo z= a + ib, dove i = -1)si dicono anche vettori hermitianivettori hermitiani::

-‘‘l’insieme di tutti i tutti i numeri complessi numeri complessi costituisce unocostituisce uno spazio spazio hermitiano monodimensionale hermitiano monodimensionale o o retta hermitianaretta hermitiana ( (C C 11 ) )

-l’insieme di tutte le coppie ordinate di tutte le coppie ordinate di numeri complessi (znumeri complessi (z11; z; z22) costituisce uno) costituisce uno spazio spazio hermitiano bidimensionale hermitiano bidimensionale oo piano hermitianopiano hermitiano ( (C C 22 ) )

l’nsieme di tutte le tutte le terne ordinateterne ordinate di di numeri complessinumeri complessi (z(z11; z; z2;2;; z; z3 3 ) costituisce uno) costituisce uno spazio hermitiano tridimensionale (spazio hermitiano tridimensionale (C C 33 ) )

- Ecc. per qualsiasi dimensione n- Ecc. per qualsiasi dimensione nCharles Hermite

(1822-1901)

Spazi hermitiani

Vi sono poi spazi vettoriali costituiti da enti astratti che non Vi sono poi spazi vettoriali costituiti da enti astratti che non sono necessariamente n-ple di numeri, ma per i quali si sono necessariamente n-ple di numeri, ma per i quali si definiscono somma, differenza, prodotto scalare, modulo e definiscono somma, differenza, prodotto scalare, modulo e distanza:distanza: spazi pre-hilbertiani

Si generalizza poi il concetto di spazio Si generalizza poi il concetto di spazio vettoriale introducendo vettori a infinite vettoriale introducendo vettori a infinite dimensioni, con determinate proprietà dimensioni, con determinate proprietà che implicando i concetti di limiteche implicando i concetti di limite

di una successione, ecc.: di una successione, ecc.:

Spazi hilbertiani, spazi diSpazi hilbertiani, spazi di

BanachBanach, ecc., ecc.

David Hilbert

(1862 – 1943)

Stefan Banach(1892 – 1945)

VETTORI VARIABILIVETTORI VARIABILI

Nelle scienze sperimentali si tratta principalmente Nelle scienze sperimentali si tratta principalmente (fenomeni dinamici) con grandezze vettoriali (ad es. forze (fenomeni dinamici) con grandezze vettoriali (ad es. forze o velocità) variabili nel tempo o nello spazio: esse sono o velocità) variabili nel tempo o nello spazio: esse sono matematicamente rappresentate da matematicamente rappresentate da vettori variabilivettori variabili, cioè , cioè le cui coordinate non sono numeri (o parametri letterali le cui coordinate non sono numeri (o parametri letterali costanti), ma variabili in dipendenza da uno o più costanti), ma variabili in dipendenza da uno o più parametri.parametri.

Ad es., le coordinate di un vettore (e quindi, Ad es., le coordinate di un vettore (e quindi, geometricamente, direzione, modulo e verso) possono geometricamente, direzione, modulo e verso) possono variare con il tempo: esse sono quindi espresse da variare con il tempo: esse sono quindi espresse da funzionifunzioni della variabile indipendente tempo (t).della variabile indipendente tempo (t).

Il vettore stesso è quindi una Il vettore stesso è quindi una funzione di t funzione di t (si chiamerà, più (si chiamerà, più propriamente, propriamente, funzione-vettorefunzione-vettore (o funzione vettoriale), in (o funzione vettoriale), in contrapposizione alle funzioni, già viste in Analisi (come contrapposizione alle funzioni, già viste in Analisi (come f(x), o f(x;y;z)) che, per dati valori assegnati alle variabili f(x), o f(x;y;z)) che, per dati valori assegnati alle variabili indipendenti, assumono valori numerici, dette anche indipendenti, assumono valori numerici, dette anche perciò perciò funzioni scalari.funzioni scalari.

VETTORI VARIABILIVETTORI VARIABILI

Esprimeremo un vettore Esprimeremo un vettore u u dipendente, ad es., da una dipendente, ad es., da una variabile t con la scrittura:variabile t con la scrittura:

uu(t) = x(t)(t) = x(t)ii + y(t)+ y(t)jj + z(t) + z(t)kk

Es.:Es.: 1) 1) uu(t) = (t) = ttii –(2t+1) –(2t+1)jj + 2t + 2tkk

oppure: oppure: 2) 2) vv(t) = -(t) = -ii +ln(t) +ln(t)jj + 2+ 2kk

Nel primo caso tutte e tre le coordinate sono variabili in Nel primo caso tutte e tre le coordinate sono variabili in funzione di t; in termini più sintetici potremmo scrivere funzione di t; in termini più sintetici potremmo scrivere il vettore come: il vettore come: uu(t) = (t) = (t(t; ; –(2t+1)–(2t+1); ; 2t),. Ad es., per t 2t),. Ad es., per t =2 otterremo: =2 otterremo: uu((22)) = 22ii –5 –5jj + 4 + 4k k = = (2; -5; 4).(2; -5; 4).

Nel secondo caso, invece, solo la seconda coordinata è Nel secondo caso, invece, solo la seconda coordinata è funzione di t.funzione di t.

DERIVATA DERIVATA di un VETTOREdi un VETTORE

Se il vettore è funzione di una variabile (ad es. t), allora Se il vettore è funzione di una variabile (ad es. t), allora possiamo calcolare le possiamo calcolare le derivatederivate del vettore: del vettore:

u’u’(t) = = x’(t)(t) = = x’(t)ii + y’(t)+ y’(t)jj + z’(t) + z’(t)kk

dove con i simboli x’(t) ecc. si denotano le derivate delle dove con i simboli x’(t) ecc. si denotano le derivate delle coordinate rispetto alla variabile t.coordinate rispetto alla variabile t.(notiamo che i versori (notiamo che i versori ii, , jj, , kk vanno trattati come costanti vanno trattati come costanti moltiplicative).moltiplicative).

Es.:Es.: uu(t) = (t) = ttii –(2t+1) –(2t+1)jj + 2t + 2t33kk

derivataderivata: : u’u’(t) = (t) = ii –2 –2jj + 6t + 6t22kk

derivata seconda:derivata seconda: u’’ u’’(t) = (t) = 66kk (le derivate dei primi due termini sono nulle in quanto (le derivate dei primi due termini sono nulle in quanto derivate di costanti)derivate di costanti)

dt

du(t)


Un esempio in fisicaUn esempio in fisica: : moto circolare uniforme.moto circolare uniforme. y

x

r

v

PConsideriamo un punto materiale P che

ruoti uniformemente sulla circonferenza (angoli uguali in tempi uguali).

L’angolo percorso nell’unità di tempo si chiama velocità angolare ().

L’angolo percorso nel tempo t è dato da:

= t.

La posizione del punto P all’istante t è data dal raggio-vettore (funzione-vettore) r (x;y), di coordinate:

x= r cos()= r cos( t); y= r sen()= r sen( t);


Un esempio in fisicaUn esempio in fisica: : moto circolare uniforme.moto circolare uniforme. y

x

r

v

PIl raggio-vettore r (funzione del tempo,

perché ha modulo costante, ma direzione variabile – analogamente alla velocità v) è quindi espresso da:

r = r cos( t)i + r sen( t)j

Il vettore velocità v è la derivata del vettore r rispetto al tempo:

= v = -r sen( t)i + r cos( t)j dt

dr


y

x

r

v

P

Calcolando il prodotto scalare r v

(somma dei prodotti delle coordinate corrispondenti) si trova che esso è nullo per ogni valore di t e quindi che i vettori r e v sono in ogni istante perpendicolari tra loro:

il vettore velocità è quindi sempre tangente alla circonferenza nel punto P.

Analogamente, calcolando il vettore accelerazione , come derivata della velocitò, si trova che è perpendicolare a v e quindi parallela ad r, ma di verso opposto (accelerazione centripeta).

DERIVATA DERIVATA di una di una FUNZIONE-VETTOREFUNZIONE-VETTORE

Più in generale, le coordinate di una funzione-vettore Più in generale, le coordinate di una funzione-vettore possono dipendere da più variabili indipendenti (ad. es. le possono dipendere da più variabili indipendenti (ad. es. le tre coordinate spaziali x, y, z: pensiamo ad. es alle tre coordinate spaziali x, y, z: pensiamo ad. es alle coordinate dei vettori campo elettrico (coordinate dei vettori campo elettrico (EE) o magnetico () o magnetico (HH o o BB) variabili.) variabili.

In tal caso avremo a che fare con una funzione-vettore del In tal caso avremo a che fare con una funzione-vettore del tipo:tipo:

FF (x;y;z) = X(x;y;z) (x;y;z) = X(x;y;z)ii + Y(x;y;z) + Y(x;y;z)jj + Z(x;y;z) + Z(x;y;z)kk

dove X, Y, Z non sono coordinate spaziali (come x, y, z), ma dove X, Y, Z non sono coordinate spaziali (come x, y, z), ma coordinate del vettore coordinate del vettore FF, a loro volta funzioni di x,y, e z., a loro volta funzioni di x,y, e z.

Si potranno allora calcolare le derivate parziali di Si potranno allora calcolare le derivate parziali di FF rispetto rispetto a ciascuna delle coordinate indipendenti x,y,za ciascuna delle coordinate indipendenti x,y,z

DERIVATA DERIVATA di una di una FUNZIONE-VETTOREFUNZIONE-VETTORE

Esempio: Esempio: Sia data la funzione-vettore:Sia data la funzione-vettore:

FF (x;y;z) = (x (x;y;z) = (x22y+zy+z33))ii + 2z + 2zjj – (xyz) – (xyz) kk

= = (2xy)(2xy)ii– (yz) – (yz) k k

= = (x(x22))ii– (xz) – (xz) kk

= = (3z(3z22))ii + 2 + 2jj – (xy) – (xy) kk

dx

F

dy

F

dz

F

Matrici

(Tabelle di elementi disposti su m righe e n colonne)

Di particolare interesse le matrici quadrate (m=n):

Es. (m=n=3):

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

V

Matrici

Un vettore a n componenti (coordinate), cioè appartenente allo spazio Rn, si può rappresentare come una matrice a n righe e una colonna (detta anche vettore colonna)

Es.: il vettore u = (3; -2; 1) come:

1

2

3

u

Matrici come operatori

Come si applica una matrice a un vettore?

Ad es.: una matrice quadrata 3x3 (di terz’ordine) applicata a un vettore u di R3, lo trasforma in un vettore v ancora di R3.

u OperatoreOperatore

matricialematriciale

A

v

A u = v



A u = v

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Mediante il Mediante il prodotto matriciale righe x colonneprodotto matriciale righe x colonne::

Il Il primo elemento, xprimo elemento, x22, del vettore trasformato si ottiene , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore moltiplicando la prima riga della matrice per il vettore colonna (xcolonna (x11, y, y11, z, z11), come somma dei prodotti degli ), come somma dei prodotti degli elementi omologhi:elementi omologhi:

xx22 = a = a1111 x x1 1 + a+ a1212 y y11 + + aa1313 z z11



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Il Il secondo elemento, ysecondo elemento, y22, del vettore trasformato si , del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la seconda riga della matrice per il ottiene moltiplicando la seconda riga della matrice per il vettore colonna (xvettore colonna (x11, y, y11, z, z11):):

yy22 = a = a2121 x x1 1 + a+ a2222 y y11 + + aa2323 z z11



333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa..

1

1

1

z

y

x

==

2

2

2

z

y

x

Il Il terzo elemento, zterzo elemento, z22,, del vettore trasformato si del vettore trasformato si ottiene moltiplicando la terza riga della matrice ottiene moltiplicando la terza riga della matrice per il vettore colonna (xper il vettore colonna (x11, y, y11, z, z11):):

zz22 = a = a3131 x x1 1 + a+ a3232 y y11 + + aa3333 z z11



Es.1:

21

1

2

3.

35

21

1x3 + (-2)x2 = -1; 5x3 + 3x2 = 211x3 + (-2)x2 = -1; 5x3 + 3x2 = 21



Es.2:

17

1

10

4

1

2

.

331

150

201

1x2 + 0x1 + (-2)x(-4) = 10;1x2 + 0x1 + (-2)x(-4) = 10;

0x2 + 5x1 + 1x(-4) = 10x2 + 5x1 + 1x(-4) = 1

1x2 + 3x1 + (-3)x(-4) = 171x2 + 3x1 + (-3)x(-4) = 17

Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

3

2

1

x

x

x

==

3

2

1

c

c

c

Quest’Quest’equazione vettorialeequazione vettoriale ( (l’incognita è il vettore l’incognita è il vettore xx, cioè le

sue componenti x1, x2, x3) equivale a porre in forma

matematica il problema: “ Data la matrice A e il vettore c, qual è il vettore x tale che applicando A ad x si ottenga c? ”

Equazioni vettoriali e sistemi lineariA x = c

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

..

3

2

1

x

x

x

==

3

2

1

c

c

c

Applicando il prodotto righe per colonne si Applicando il prodotto righe per colonne si ottiene:ottiene:

aa1111xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11

aa2121xx11 + a + a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22

aa3131xx11 + a + a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33

Equazioni vettoriali e sistemi lineari

aa1111xx11 + a + a1212xx2 + 2 + aa1313xx3 3 = c= c11

aa2121xx11 + a + a2222xx2 + 2 + aa2323xx3 3 = c= c22

aa3131xx11 + a + a3232xx2 + 2 + aa3333xx3 3 = c= c33

L’equazione vettoriale Ax = c è quindi equivalente a L’equazione vettoriale Ax = c è quindi equivalente a

un un sistema di equazioni linearisistema di equazioni lineari (= di primo grado ), o (= di primo grado ), o

semplicemente semplicemente sistema linearesistema lineare nelle incognite x nelle incognite x11, x, x22, ,

xx33 (in questo caso il sistema è “quadrato” 3x3) (in questo caso il sistema è “quadrato” 3x3)


Un sistema lineare può avere:Un sistema lineare può avere:

a)a) Un’Un’unica soluzioneunica soluzione (terna ordinata di (terna ordinata di valori xvalori x11*, x*, x22*, x*, x33*, vale a dire un vettore *, vale a dire un vettore xx*= (x*= (x11*; x*; x22*; x*; x33*) *)

b) Infinite soluzioni

c) Nessuna soluzione


Matrici e determinanti

Per Per matrice del sistemamatrice del sistema (A) si intende la matrice (A) si intende la matrice

formata dai coefficienti delle incognite.formata dai coefficienti delle incognite.

Nel caso esemplificato, A è: Nel caso esemplificato, A è:

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa


Il Il determinante determinante di una matrice quadrata - det(A) - è un - det(A) - è un numeronumero (vedi regole per il calcolo di un determinante). (vedi regole per il calcolo di un determinante).

Lavori sui determinanti apparvero già nella seconda metà del sec Lavori sui determinanti apparvero già nella seconda metà del sec XVIII ad opera di: E. Bézout (1730-1783), A.T. Vandermonde XVIII ad opera di: E. Bézout (1730-1783), A.T. Vandermonde (1735-1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto (1735-1796), e proseguirono nel secolo successivo soprattutto ad opera di:ad opera di:

Pierre-Pierre-Simon Simon LaplaceLaplace(1749-1827)(1749-1827)

Joseph-Louis Joseph-Louis LagrangeLagrange(1749-1827)(1749-1827)

Determinante di una matrice quadrata

Il Il determinante determinante di una matrice quadrata A A

si scrive det(A) o anche Dsi scrive det(A) o anche DAA, oppure con due barre verticali ai , oppure con due barre verticali ai lati della tabella-matrice lati della tabella-matrice

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

Det(A)Det(A)==

Esso è un Esso è un numero realenumero reale (positivo, negativo o nullo) (positivo, negativo o nullo)

Regole per il calcolo di un determinanteRegole per il calcolo di un determinante

1) Il 1) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 1°1°ordine (un ordine (un solo elemento asolo elemento a1111) coincide con l’elemento stesso.) coincide con l’elemento stesso.

2) Il 2) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 2°2°ordineordine

2221

1211

aa

aaè uguale a: Det(A) = a11a22 – a12a21

[diagonale principale ( ) meno

diagonale secondaria ( ) ]

Es.:

12

53

A =

A = Det(A) = (-3)*2 – 5*2 = -16

Esiste un teorema dal quale discende un metodo generale per il calcolo dei determinanti di matrici

quadrate di qualsiasi ordine.

Ci limitiamo qui a dare regole pratiche per calcolare i determinanti fino al 3°ordine.


3) Il 3) Il determinante determinante di una matrice quadrata di di 3°3°ordineordine

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

si può calcolare con la regola di Sarrus.


Regola di SarrusRegola di Sarrus (solo per matrici di 3° ordine)

Si aggiungano a destra le prime due colonne:

32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Si possono così considerare

tre diagonali principali ( )

e tre diagonali secondarie ( )




32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Si calcolano i prodotti degli elementi di ogni diagonale principale e si sommano. Sia DP il risultato:

DP = (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)




32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Si calcolano ora i prodotti degli elementi di ogni diagonale secondaria e si sommano. Sia DS il risultato:

DS = (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33)




32

22

12

31

21

11

333231

232221

131211

a

a

a

a

a

a

aaa

aaa

aaa

Il determinanate della matrice data risulta:

Det(A) = DP - DS


Johann CarlJohann CarlFriedrich Friedrich GaussGauss(1777-1855)(1777-1855)

Augustin Augustin LouisLouisCauchyCauchy(1789-1857)(1789-1857)

Carl GustavCarl GustavJacobiJacobi

(1804-1851)(1804-1851)


Per i Per i sistemi quadrati sistemi quadrati vale il vale il

TEOREMA DI TEOREMA DI CRAMERCRAMER::

Ip.:Ip.: det (A) det (A) 0 0

Th.:Th.: Il sistema ammette una ed una Il sistema ammette una ed una sola sola soluzione (un vettore, cioè una soluzione (un vettore, cioè una

successione ordinata di successione ordinata di numeri)numeri)

Gabriel Cramer (1704 – 1752)


Il teorema di Cramer recita:Il teorema di Cramer recita:

““Condizione necessaria e sufficiente Condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema quadrato ammetta affinché un sistema quadrato ammetta un’unica soluzione è che il determinante un’unica soluzione è che il determinante del sistema sia diverso da zerodel sistema sia diverso da zero””

Se invece il Se invece il determinante è uguale a zerodeterminante è uguale a zero il il sistema ammette infinite soluzioni oppure sistema ammette infinite soluzioni oppure nessuna (sistema incompatibile)nessuna (sistema incompatibile)

In questo caso si ricorre al In questo caso si ricorre al Teorema di Teorema di Rouché-CappelliRouché-Cappelli (teorema generale, valido (teorema generale, valido per qualunque sistema lineare, qui non per qualunque sistema lineare, qui non trattato).trattato).


Se il sistema quadrato è Se il sistema quadrato è omogeneo (tutti i termini (tutti i termini noti cnoti c11, c, c22, c, c33 nulli): nulli):

[Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette [Si ricorda che ogni sistema omogeneo ammette sempre almeno la sempre almeno la soluzione banalesoluzione banale o o nulla nulla (0; (0; 0; 0)]0; 0)]

1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) 1.- Se il sistema omogeneo è di Cramer (det(A) 0) allora esso ammette 0) allora esso ammette solo solo la soluzione la soluzione banale.banale.

2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer 2.- Se il sistema omogeneo non è di Cramer (det(A)=0), allora il sistema ammette (det(A)=0), allora il sistema ammette infinite soluzioni (quella banale e altre infinite soluzioni (quella banale e altre infinite non banali)infinite non banali)

Buon lavoro!

algebra lineare spazi vettoriali e.f. orsega – università ca foscari di venezia ch

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