algebra lineal unad

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENERÍA ALGEBRA LINEAL

VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

INTEGRANTE:

VIVIANA CATHERIN CASTELLANOSCód. 1.116.614.061

MANUEL IGNACIO GARCÍACód. 11442329

TUTOR(A)

LIC. GLORIA ALEJANDRA RUBIO

GRUPO:

208046_18

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA-UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍAS E INGENERÍAS ECBTI

INGENERIA DE TELECOMUNICACIONES

17 MARZO 2015

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INTRODUCCIÓN

Entre los primeros temas importantes que se verá dentro del curso de algebra lineal que forma

parte dentro de las ramas de las matemáticas, vectores, matrices y determinantes. La mayoría de

los estudiantes piensan que no será importante en el desarrollo de nuestras profesiones todo lo

referente a las matemáticas sin embargo, en la Ingeniería las matrices y determinantes son parte

fundamental en el lenguaje de la programación.

En el desarrollo del primer trabajo nos referiremos a los temas ya nombrados, en la que se

explicara la solución de ejercicios, acerca de cómo hallar determinantes de una matriz de 2x2,

3x3 y 4x4, matriz inversa, por medio de los métodos que se utilizan que serán los métodos de

Gauss y Sarrus. Igualmente se utilizara una herramienta básica en la que se hará comparación de

los ejercicios desarrollados en papel con el resultado que nos proporcionará el programa.

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PROBLEMAS A RESOLVER

1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:

a. |u | = 2; ϑ = 315°

b. |v |= 5; ϑ = 60°

Hallaremos los vectores a partir a partir de los valores dados en grados:

U= (2xCos315º) + (2xSen315º) = (2x0.707) + (2x -0.707)

U= 1.41 + -1.141

V= (5xCos60º) + (5xSen60º) = (5x0.5) + (5x 0.86) =

V= 2.5 + 4.33

Realice analíticamente, las operaciones siguientes:

A. u – v

(1.414 + -1.414) – (2.5 + 4.33) = (-1.086 – 5.744) = -6.83

B. v + u

(1.414 + -1.414) + (2.5 + 4.33) = (3.914 + 2.916) = 6.83

C. 5v -3u

3 (1.414 + -1.414) – 5 (2.5 + 4.33) = (4.242 – 4.242) – (12.5 + 21.65) = (-8.258 – 17.408)

5v-3u = -25.666

2. Dados los vectores v = 2i-3j-2k y w= -i-3j-4k,

Encuentre:

a. El ángulo entre v y w

b. El producto escalar entre v y w

c. El producto vectorial entre v y w

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a. El ángulo entre v y w

v .w=|v|.|w|.cos∝

v .w=√17 .√26 .cos∝=15

∝=cos−1( 15

√17 .√26 )∝=44.48°

b. El producto escalar entre v y w

v = 2i-3j-2k

w= -i-3j-4k

v .w=|v|.|w|.cos∝

|v|=√22+(−3)2+(−2)2

|v|=√4+9+4

|v|=√17

|w|=√(−1)2+(−3)2+(−4)2

|v|=√1+9+16

|v|=√26

v=(2−3−2 )

w=(−1−3−4 )

v .w=(2−3−2 ) . (−1−3−4 )=(−2+9+8 )=(15)

v .w=15

c. El producto vectorial entre v y w

v×w=| i j k2 −3 −2

−1 −3 −1|i=|−3 −2

−3 −4|=(−3∗4 )−(−2∗−3 )= (12−6 )=6

i=6

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j=| 2 −2−1 −4|=−{ (2∗−4 )−(−2∗−1 )}=−(−8−2 )=10

j=10

k=| 2 −3−1 −3|= {(2∗−3 )−(−3∗−1 ) }= (−6−3 )=−9

k=−9

v×w=¿)

v×w=(6 ,10 ,9 )

3. Dadas las matrices

a. AB b. BC

a)

(−1×5 )+(5×−4 )+(0×−2 )+(5×−3 )(4×5 )+(2×−4 )+(3×−2 )+(6×−3 )

b)

(5×−9 ) , (5×−2 ) , (5×6 )

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(−4×−9 ) , (−4×−2 ) , (−4×6 )(−2×−9 ) , (−2×−2 ) , (−2×6 )(−3×−9 ) , (−3×−2 ) , (−3×6 )

4. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleado para ello primer Gauss Jordan y luego por determinantes aplicando la fórmula:

A−1= 1DetA

∗AdjA

A= 2 -1 0 -2 3 -6 4 -1 0 -1 3 -5

-1 2 1 1

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SOLUCIÓN

A=[ 2 −1 0 −230

−1

6 4 −1−1 3 −5

2 1 1]

At=[ 2 3 0 −1−10

−2

−6 −1 24 3 1

−1 −5 1]

AdjAt

=¿

+[−6 −1 24 3 1

−1 −5 1]−[−1 −1 20 3 1

−2 −5 1]+[−1 −6 20 4 1

−2 −1 1]−[−1 −6 −10 4 3

−2 −1 −5]+[ 3 0 −1

4 3 1−1 −5 1 ]−[ 2 0 −1

0 3 1−2 −5 1 ]+[ 2 3 −1

0 4 1−2 −1 1 ]−[ 2 3 0

0 4 3−2 −1 −5 ]

+[ 3 0 −1−6 −1 2−1 −5 1 ]−[ 2 0 −1

−1 −1 2−2 −5 1 ]+[ 2 3 −1

−1 −6 2−2 −1 1 ]−[ 2 3 0

−1 −6 −1−2 −1 −5]

+[ 3 0 −1−6 −1 24 3 1 ]−[ 2 0 −1

−1 −1 20 3 1 ]+[ 2 3 −1

−1 −6 20 4 1 ]−[ 2 3 0

−1 −6 −10 4 3 ]

AdjAt

=[ 77 6 −23 −45412

−7

−10 −4 5215 6 4911 −21 19

]

Página 7


|A|=[ 2 −1 0 −230

−1

6 4 −1−1 3 −52 1 1

]f 3−3 f 4=¿ 0 -1 3 -5

3 -6 -3 -3

3 -7 0 -8

A=[ 2 −1 0 −233

−1

6 4 −1−7 0 −8

2 1 1]

f 2−4 f 4=¿ 3 -6 4 -1

4 -8 -4 -4

7 -14 0 -5

A=[ 2 −1 0 −273

−1

−14 0 −5−7 0 −82 1 1

]|A|=|2 −1 −2

7 −14 −53 −7 −8|

Por método de sarrus:

|A|=¿ 2 -1 -2 2 -1

7 -14 -5 7 -14

3 -7 -8 3 -7

(224+15+98 )−(84+70+56 )

337−210

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|A|=127

A−1= 1|A|× Adj A t

A−1= 1127 [ 77 6 −23 −45

412

−7

−10 −4 5215 6 4911 −21 19

]

A−1=[77127

6127

−23127

−45127

411272

127−7127

−10127

−4127

52127

15127

6127

49127

11127

−21127

19127

]

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5. Determine empleando determinantes si la matriz es invertible. Debe mostrar todo el procedimiento no es suficiente con solo identificar la matriz invertible.

a. 2 1 14 −1 28 1 4

b. 11 6 2−2 3 57 0 −4

c. 1 -3 0 -2

5 -2 -2 6-2 10 2 0-1 6 1 1

SOLUCIÓN

a. 2 1 14 −1 28 1 4

2 14 −18 1

DetA= -8+16+4-8-4-16= -16

b. 11 6 2−2 3 57 0 −4

11 6−2 37 0

DetA= -132 + 210 + 0 – 48 – 0 – 42 = -12

C. 1 -3 0 -25 -2 -2 6 F2 – 5F1

-2 10 2 0 F3 – 2F1

-1 6 1 1

1 -3 0 -2 13 -2 160 13 -2 16 1 = 4 2 -40 4 2 -4 6 1 10 6 1 1

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1 (13*2*1+ 6*(-2)*(-4) + 16*4*1 – 6*2*16 – 13*(-4)*1 – (-2)*4*1 = (26+48+64) – (192+52+8) = 6

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CONCLUSIONES

Finalizando el desarrollo del trabajo del curso algebra lineal, se concluye el logro de entender los

temas de vectores, matrices y determinantes que a través de los ejercicios propuestos se explicó

paso por paso los dos métodos de solución: método de Gauss y método de Gauss y Sarrus, en las

determinantes de 2x2, 3x3 y 4x4.

Se da a entender alternativas de comprobación de resultados; por medio de un software

conocido, tal y como es la herramienta MAPLE, el cual nos ayuda a determinar cuál es el error

en que se está fallando en cuanto al procedimiento de las determinantes y matriz, en la solución

de los ejercicios propuestos.

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