algebra lineal b sica - wordpress.com · 4 1 calculemos ab = [ab1 ab2] obs: componente (i,j) del...

Matriz

DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

La i-esi ma fila y la j-esima columna de la matrix A

(ai1 ai2 · · · ain

)y

a1ja2j...

amj

Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica

Matriz

DEF: Una matriz es un arreglo rectangular de numeros reales, llamadoscomponentes o elementos de la matriz, de la forma

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

La i-esi ma fila y la j-esima columna de la matrix A

(ai1 ai2 · · · ain

)y

a1ja2j...

amj

Notacion: La matrix A la podemos denotar por[a1 a2 · · · an

]o tambien

por (ai j), donde aij es la componente (i , j) de la matriz A, y es unnumero real.


Propiedades Importantes

La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;




La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.





La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.






La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α.






La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],







A =

1 0 0 05 2 0 0−2 0 1 0

B =

1/3 −1 4 10 −1 4 00 0 0 10 0 0 40 0 0 0

C =

0 0 00 −3 00 0 1







D =

−3 0 00 −3 00 0 −3

E =

1 0 00 1 00 0 1







Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.



La diagonal de una matriz esta formada por las componentes aij ,con i = j ;La matriz triangular inferior esta formada por las componentesaij = 0 , con i < j ; Es decir, las componentes arriba de la diagonalson ceros.La matriz triangular superior esta formada por las componentesaij = 0 , con i > j ; Es decir, las componentes abajo de la diagonalson ceros.La matriz escalar esta formada por matricces An×n que cumplen losiguiente aij = 0 para i 6= j y aii = α. EJEMIn := In×n = [e1 e2 . . . en],

Dos matrices son iguales, cuando todas sus componentes respectivas soniguales, y por tanto sus tamanos deben ser iguales.

PREG: las siguientes matrices son iguales

C =(−1 3 5

)y

−135


Suma y Producto por escalar de Matrices

EJEM Calcule A+ B y −2A si

A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)




A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)

PROPIEDADESA+ B = B + A (A+ B) + C = A+ (B + C )

α(A+ B) = αA+ αB (α+ β)A = αA+ βA.




A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)



EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde

A =

0 −63 0−1 3

B =

−2 34 10 −1




A =

(1 2 −5−1 −3 0

)

B =

(−3 2 10 1 −2

)



EJER Determine la matriz X tal que 3X − 2A+ B = 4B , donde

A =

0 −63 0−1 3

B =

−2 34 10 −1

Aquı X =

−2 −16 1

−2/3 1


Producto de Matrices

Dadas las matrices Am×n, y Bn×k , se define la matriz producto

AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]

la cual tiene orden m × k .




AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]


EJEM Dadas las matrices A =

1 −23 0−1 5

y B =

(−2 34 1

)

calculemos

AB = [Ab1 Ab2]




AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]



1 −23 0−1 5

y B =

(−2 34 1

)

calculemos

AB = [Ab1 Ab2]

OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .




AB = A[b1 b2 · · · bk ] = [Ab1 Ab2 · · ·Abk ]



1 −23 0−1 5

y B =

(−2 34 1

)

calculemos

AB = [Ab1 Ab2]

OBS: componente (i , j) del producto AB es el producto escalar de lai-fila de la matriz A y la j-columna de la matriz B .

PROPIEDADES(AB)C = A(BC ). A(B + C ) = AB + AC

(A+ B)C = AC + BC α(AB) = (αA)B = A(αB)ArAs = Ar+s (Ar )s = Ars

(AB)r = ArB r ,Si (AB = BA).


COSAS MUY IMPORTANTES DE MATRICES

En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutan



En general AB 6= BA. Pero, si AB = BA, se dice que las matricesconmutanEJEM

AB =

(1 10 0

)(1 0−1 0

)

=

(0 00 0

)

BA =

(1 0−1 0

)(1 10 0

)

=

(1 1−1 −1

)




AB = O no implica que A o B sean la matriz O.EJEM

AB =

(1 10 0

)(1 0−1 0

)

=

(0 00 0

)




AB = O no implica que A o B sean la matriz O.

CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .EJEM

(1 10 0

)(1 0−1 0

)

=

(0 00 0

)

=

(1 10 0

)(0 −20 2

)




AB = O no implica que A o B sean la matriz O.

CA = CB (o AC = BC ) no implica que A = B .

A2 = I no implica que A = ±I .EJEM (

2 1−3 −2

)(2 1−3 −2

)

=

(1 00 1

)


Matrices invertibles

No para todas las matrices A existe otra matriz B (inverso multiplicativo)tal que AB = I .




EJEM si A =

(1 −10 0

)

no existe una matriz B =

(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)

DEF Se dice que la matriz A de tamano n × n es invertible, si y solo si,existe una matriz B tal que

AB = BA = I .

A esta matriz B , la llamamos inversa de A y la denotamos por B := A−1

PREG Es la matriz inversa unica?




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)


AB = BA = I .


PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible?




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)


AB = BA = I .


PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa?




EJEM si A =

(1 −10 0

)


(a b

c d

)

tal que

AB = I .(1 −10 0

)(a b

c d

)

=

(a− c b − d

0 0

)

6=

(1 00 1

)


AB = BA = I .


PREG Es la matriz inversa unica? Como determinar que una matriz esinvertible? es necesario encontrar explıcitamente una inversa? Comocalcular una inversa de una matriz?


Unicidad de la inversa

TEO Si A es una matriz invertible, su inversa es unica.




DEM Sean B y C matrices inversas de A. Ası que

AB = BA = I , AC = CA = I






Ahora, observe que

C (AB) = CI






Ahora, observe que

C (AB) = CI

(CA)B = C






Ahora, observe que

C (AB) = CI

(CA)B = C

IB = C






Ahora, observe que

C (AB) = CI

(CA)B = C

IB = C

B = C .




Como determinar si una matriz es invertible?.




Como determinar si una matriz es invertible?. Si existe una matrizB = [b1 b2 . . . bn], tal que

AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].





AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].

En otras palabras, tenemos que determinar si los sistemas de ecuacioneslineales

Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en

tienen solucion.





AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].


Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en

tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices

[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]

y encontrar n pivotes.





AB = I , ⇔ [Ab1 Ab2 · · · Abn] = [e1 e2 · · · en].


Ab1 = e1, Ab2 = e2, . . . , Abn = en

tienen solucion. Para esto, podemos escalonar las matrices

[A : e1], [A : e2], . . . , [A : en]

y encontrar n pivotes. De ser necesario calcular A−1, aplicamosAlgoritmo Eliminacion de Gauss + Sustitucion hacia atras a la matrizaumentada conjunta

[A : e1 e2 · · · en] = [A : I ]


Propiedades algebraicas de A−1

TEO Sean A y B matrices invertibles de tamano n × n, λ ∈ R y m ∈ N,entonces

1 A−1 tambien es invertible y (A−1)−1 = A.





DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I .





DEM Para demostrar que A−1 es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que A−1C = I . Si tomamos C = A, tenemos

A−1A = I .

Ası que A−1 es invertible y su inversa (que es unica) es A. En otraspalabras, (A−1)−1 := C = A.





2 λA tambien es invertible y (λA)−1 = 1λA−1.






DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que

(λA)C = I .






DEM Para demostrar que λA es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que

(λA)C = I . Si tomamos C = 1

λA−1 entonces

C (λA) =( 1

λA−1

)

(λA) =( 1

λλ)

(A−1A) = I

Ası que λA es invertible y (λA)−1 := C = 1λA−1






3 AB tambien es invertible y (AB)−1 = B−1A−1







DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I .







DEM Para demostrar que AB es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (AB)C = I . Si tomamos C = B−1A−1

entonces

(AB)(B−1A−1) = A(BB−1)A−1 = AIA−1 = AA−1 = I .

Ası que AB es invertible y (AB)−1 := C = B−1A−1







4 Am tambien es invertible y (Am)−1 = (A−1)m.








DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I .








DEM Para demostrar que Am es invertible, es suficiente con mostrar queexiste una matriz C tal que (Am)C = I . Si tomamos C = (A−1)m

entonces(Am)(A−1)m = (AA−1)m = Im = I .

Ası que Am es invertible y (Am)−1 := C = (A−1)m


Equivalencia de la invertibilidad

TEO Sea A una matriz de tamano n × n. Las siguientes proposicionesson equivalentes

1 La matriz A es invertible.

2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.

3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.

4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).

5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.




1 La matriz A es invertible.2 La unica solucion de Ax = b es x = A−1b.3 La unica solucion de Ax = 0 es x = 0.4 Las columnas de la matriz A son linealmente independientes (l .i .).5 Toda matriz escalonada equivalente a A tiene n pivotes.

DEM (1) ⇒ (2) Veamos primero que x = A−1b es solucion del sistemaAx = b y luego, que esta solucion es la unica.






A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.






A(A−1b) = (AA−1)b = Ib = b.

Ahora, supongamos que y es otra solucion de Ax = b. Ası, Ay = b y

A−1(Ay) = A−1b

(A−1A)y = A−1b

y = x .









DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx + h es tambien solucion de Ax = b,









DEM (2) ⇒ (3) Teniendo en cuenta que si h es solucion del sistemahomogeneo Ax = 0 y x = A−1b es solucion del sistema Ax = b, entoncesx + h es tambien solucion de Ax = b, como la solucion es unica,entonces x = x + h; por lo tanto, h = 0; es decir, el vector 0 es la unicasolucion de Ax = 0.









DEM (3) ⇒ (4) Si Ax = 0 tiene solucion unica, entonces las columnas dela matriz A son l .i . (Pues, recuerde queAx = x1a1 + x2a2 + · · ·+ xnan = 0 y aquı xi = 0 )









DEM (4) ⇒ (5) si las columnas de la matriz A son l .i . entonces todaforma escalonada de A tiene n pivotes.









DEM (5) ⇒ (1) Si una forma escalonada equivalente a A tiene n pivotes,todas sus filas tienen pivotes; por lo tanto,el sistema Ax = b tienesolucion para cualquier b;









CORO Si la matriz AB es invertible y las matrices A y B son cuadradas,entonces las matrices A y B son invertibles.










DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0,










DEM (contradiccion) Supongamos que la matriz B no es invertible, luegoexiste x 6= 0 tal que Bx = 0, por lo tanto, existe x 6= 0 tal que ABx = 0,es decir AB no es invertible lo cual no es posible.










DEM (contradiccion) si la matriz B es invertible y la matriz A no,entonces existe y 6= 0 tal que Ay = 0. Sea x = B−1y , como y 6= 0,entonces x 6= 0. Ademas, ABx = AB(B−1y) = Ay = 0 entonces AB noes invertible, lo cual no es posible.


Transposicion de Matrices



DEF La transpuesta de una matriz A, de tamano m× n, es la matriz AT ,de tamano n ×m, que se obtiene tomando la i-esima columna de AT

como la i-esima fila de A; es decir, si A = (aij), entonces AT = (aji ).





EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices

A =

(1 3 −1

−2 0 5

)

, B =

(1 −2 3

3 0 −1

−1 5 7

)

, C =

(2

3

−5

)

, D = (3 −1 0)





EJEM Encontremos las transpuestas de las siguientes matrices

A =

(1 3 −1

−2 0 5

)

, B =

(1 −2 3

3 0 −1

−1 5 7

)

, C =

(2

3

−5

)

, D = (3 −1 0)

OBS:

u · v =

u1u2...un

·

v1v2...vn

= u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

=(u1 u2 · · · un

)

v1v2...vn

= uTv


TEO Sean A y B matrices tales que las operaciones indicadas estan biendefinidas y λ un numero real (escalar). Entonces,

1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .

4 (AB)T = BTAT . (AB debe tener sentido)

5 Si A es invertible, AT tambien es invertible y (AT )−1 = (A−1)T .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4)



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p.



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,

de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (4) Si Am×n, Bn×p entonces (AB)m×p. Ası, (BT )p×n y (AT )n×m,

de tal forma que el producto (BTAT )p×m, al igual que (AB)T .

((AB)T )ij = (AB)ji

= Fijaj(A) · Columi (B) = Columj (AT ) · Filai (B

T )

= filai (BT ) · columj(A

T )

= (BTAT )ij .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .Ahora, por la Propiedad 4,

AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .



1 (AT )T = A.

2 (A+ B)T = AT + BT .

3 (λA)T = λAT .



DEM (5) Puesto que A es invertible, existe A−1, tal que AA−1 = I .Ahora, por la Propiedad 4,

AT (A−1)T = (A−1A)T = IT = I .

Ası, que AT es invertible y su inversa es (AT )−1 = (A−1)T .


DEF Una Matriz A de tamano n × n es simetrica, si y solo si, es igual asu transpuesta; es decir, si y solo si,

A = AT



A = AT

EJEM Determine cuales son matrices simetricas

(1 −3

−3 0

)

,

(1 0 0

0 1/2 0

0 0 −7

)

,

(0 1 4

−1 1 −2

−4 2 5

)

,

(0 −1 4 −7

−1 1 −2 0

−4 −2 5 0, 5

)



A = AT


(1 −3

−3 0

)

,

(1 0 0

0 1/2 0

0 0 −7

)

,

(0 1 4

−1 1 −2

−4 2 5

)

,

(0 −1 4 −7

−1 1 −2 0

−4 −2 5 0, 5

)

PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?.



A = AT


(1 −3

−3 0

)

,

(1 0 0

0 1/2 0

0 0 −7

)

,

(0 1 4

−1 1 −2

−4 2 5

)

,

(0 −1 4 −7

−1 1 −2 0

−4 −2 5 0, 5

)

PREG Si Am×n, entonces AAT es una matriz simetrica?. SI, pues

(AAT )T = (AT )TAT = AAT

.


Matrices Elementales

¿Cuales son las operaciones elementales usadas para obtener una matrizescalonada?.




Escalonamiento Eliminacion Permutacion

cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3

Veremos que aplicar una operacion elemental a una matriz A esequivalente a pre-multiplicar A por una matriz llamada elemental.





cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3


DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .





cF2 → F2 F2 + (c)F1 → F2 F1 ↔ F3


DEF Llamamos matriz elemental, a la matriz que se obtiene de aplicaruna operacion elemental entre filas a la matriz identidad I .

EJEM

E1 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E2 =

(1 0

−3 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1


Propiedades de las matrices

Observemos que pre-multiplicar por una matriz elemental es equivalentea aplicar la operacion elemental correspondiente.




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)

Pre-multipliquemos la matriz A por E1

E1 =

(0 1

1 0

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1

B =

(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

, F3 + 2F2 → F3 B1 =

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1

B =

(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

, F3 + 2F2 → F3 B1 =

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)

Pre-multipliquemos la matriz B por E1

E2 =

(1 0 0

0 1 0

0 2 1

)




EJEM Sea

A =

(0 0 2

3 −1 0

)

, F1 ↔ F2 A1 =

(3 −1 0

0 0 2

)


E1A =

(0 1

1 0

)(0 0 2

3 −1 0

)

=

(3 −1 0

0 0 2

)

= A1

B =

(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

, F3 + 2F2 → F3 B1 =

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)

Pre-multipliquemos la matriz B por E1

E2A =

(1 0 0

0 1 0

0 2 1

)(1 2 −1

0 −1 1

0 2 5

)

=

(1 2 −1

0 −1 1

0 0 7

)

= B1


Inversas de matrices elementales





E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1




E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

E−11 =

(1 0

3 1

)

, E−12 =

(1 0 0

0 1/5 0

0 0 1

)

, E−13 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

= E3




E1 =

(1 0

−3 1

)

, E2 =

(1 0 0

0 5 0

0 0 1

)

, E3 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

E−11 =

(1 0

3 1

)

, E−12 =

(1 0 0

0 1/5 0

0 0 1

)

, E−13 =

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0 1

= E3


E cFi → Fi Fi + cFj → Fi Fi ↔ Fj

E−1 1cFi → Fi Fi − cFj → Fi Fi ↔ Fi


Escalonar con matrices elementales

EJEM Calculemos una matriz U de forma escalonada equivalente a A, ylas matrices elementales E1, . . . ,Ek , tales que

Ek . . .E1 A = U.




Ek . . .E1 A = U.

A =

(1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

)

,F2 − F1 → F2

F3 −2

3F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)




Ek . . .E1 A = U.

A =

(1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

)

,F2 − F1 → F2

F3 −2

3F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)

Ası que

1 0 0

0 1 0

0 −23

1

︸︷︷︸

E2

1 0 0

−1 1 0

0 0 1

︸︷︷︸

E1

1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

︸︷︷︸

A

=

1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

︸︷︷︸

U




Ek . . .E1 A = U.

A =

(1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

)

,F2 − F1 → F2

F3 −2

3F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)

Ası que

1 0 0

0 1 0

0 −23

1

︸︷︷︸

E2

1 0 0

−1 1 0

0 0 1

︸︷︷︸

E1

1 −1 2 3

1 2 −1 −3

0 2 −2 1

︸︷︷︸

A

=

1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

︸︷︷︸

U

(E7E6E5E4)(E3E2E1)A =

1 0 1 00 1 −1 00 0 0 1

las columnas pivotales (primera, segunda y cuarta) son precisamente e1,e2 y e3


Caracterizacion de la inversa en termino de matrices

elementales

TEO Una matriz An×n es invertible, si y solo si, la matriz A es elproducto de matrices elementales.



elementales


DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss)+Jordan=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que

Ek · · ·E2E1A = I . ⇔ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k I



elementales


DEM ⇒ Si la matriz A es invertible, entonces aplicando (Eliminacion deGauss)+Jordan=matriz I , es decir, existen matrices elementalesE1,E2, . . . ,Ek , tales que

Ek · · ·E2E1A = I . ⇔ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k I

⇐ si A = E1E2 · · ·Er entonces A es invertible pues el producto dematrices invertibles


Factorizacion LU y su utilidad

Aplicando Eliminacion de Gauss a una matriz A logramos encontrar lasmatrices elementales Ei tal que

Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k

︸︷︷︸

L

U = LU,

donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1

k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.


Factorizacion LU y su utilidad

Aplicando Eliminacion de Gauss a una matriz A logramos encontrar lasmatrices elementales Ei tal que

Ek · · ·E1A = U ⇒ A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k

︸︷︷︸

L

U = LU,

donde U es una matriz triangular superior y L = E−11 · · ·E−1

k es unamatriz triangular inferior, cuadrada e invertible, con unos en la diagonal.

Si A = LU, el sistema Ax = b se convierte en

b = Ax = LUx = L(Ux) = Ly ,

donde Ux = y por lo tanto, para calcular x , primero resolvemos Ly = b ya continuacion resolvemos Ux = y .


Utilidad de LU

EJEM Sea

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la

factorizacion LU de A y luego calculemos las soluciones de Ax = b.


Utilidad de LU

EJEM Sea

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la


SOL Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales

F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)


Utilidad de LU

EJEM Sea

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la



F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)

Las matrices elementales utilizadas, en su orden, son

E1 =

(1 0 0

1 1 0

0 0 1

)

E2 =

(1 0 0

0 1 0

−2/3 0 1

)

E3 =

(1 0 0

0 1 0

0 3/4 1

)


Utilidad de LU

EJEM Sea

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la



F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)


E1 =

(1 0 0

1 1 0

0 0 1

)

E2 =

(1 0 0

0 1 0

−2/3 0 1

)

E3 =

(1 0 0

0 1 0

0 3/4 1

)

Por tanto L = E−11 E−1

2 E−13 , es decir,

L =

(1 0 0

−1 1 0

0 0 1

)(1 0 0

0 1 0

2/3 0 1

)(1 0 0

0 1 0

0 −3/4 1

)

=

(1 0 0

−1 1 0

2/3 −3/4 1

)


Utilidad de LU

EJEM Sea

6 −3 0 3−6 3 8 −34 −2 −6 3

y b =

−88−5

Encontremos la



F2 + F1 → F2

F3 −23F1 → F3

F3 +34F2 → F3

U =

(1 −1 2 3

0 3 −3 −6

0 0 0 5

)


E1 =

(1 0 0

1 1 0

0 0 1

)

E2 =

(1 0 0

0 1 0

−2/3 0 1

)

E3 =

(1 0 0

0 1 0

0 3/4 1

)

Por tanto L = E−11 E−1

2 E−13 , es decir,

L =

(1 0 0

−1 1 0

0 0 1

)(1 0 0

0 1 0

2/3 0 1

)(1 0 0

0 1 0

0 −3/4 1

)

=

(1 0 0

−1 1 0

2/3 −3/4 1

)

Ahora, resolvemos Ly = b mediante sustitucion hacia adelanteHector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica

Utilidad LU

Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T .


Utilidad LU

Luego, la solucion de Ly = b es y = (−8, 0, 1/3)T . Continuamosresolviendo el sistema Ux = y usando sustitucion hacia atras.

6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3

Sol =

− 32 + 1

2 tt

013


Utilidad LU


6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3

Sol =

− 32 + 1

2 tt

013

EJEM Encontremos dos vectores x y z de R4 tales que Ax = b y

zTA = cT , donde

A =

2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8

, b =

−5102113

, c =

2−415


Utilidad LU


6 −3 0 3 −80 0 8 0 00 0 0 1 1/3

Sol =

− 32 + 1

2 tt

013

EJEM Encontremos dos vectores x y z de R4 tales que Ax = b y

zTA = cT , donde

A =

2 −1 3 0−2 4 −3 50 9 −1 184 −5 1 8

, b =

−5102113

, c =

2−415

Observe que zTA = cT equivale a AT z = c, Luego tenemos que resolverdos sistemas, Ax = b y AT z = c


Utilidad LU


Utilidad LU

(Ax = b) Escalonamos la matriz A usando operaciones elementales

F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31

(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales

F2 +1

2F1 → F2

F3 −3

2F1 → F3

F4 −5

3F2 → F4

F4 + 3F3 → F4

[V |r ] =

2 −2 0 4 2

0 3 9 −3 −3

0 0 −1 −5 −2

0 0 0 −2 4


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31

(AT z = c) Escalonamos la matriz AT usando operaciones elementales

F2 +1

2F1 → F2

F3 −3

2F1 → F3

F4 −5

3F2 → F4

F4 + 3F3 → F4

[V |r ] =

2 −2 0 4 2

0 3 9 −3 −3

0 0 −1 −5 −2

0 0 0 −2 4

z =

−303912−2


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31

A partir de las matrices elementales asociadas encontramos que

L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =

1 0 0 0

−1 1 0 0

0 3 1 0

2 −1 5 1


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =

1 0 0 0

−1 1 0 0

0 3 1 0

2 −1 5 1

Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5, 5, 6,−2)T y, mediante Sus Atras, el sistema Ux = y ,para obtener que x = (2, 0,−3, 1)T .


Utilidad LU


F2 + F1 → F2

F4 − 2F1 → F4

F3 − 3F2 → F3

F4 + F2 → F4

F4 − 5F3 → F4

[U|y ] =

2 −1 3 0 −5

0 3 0 5 5

0 0 −1 3 6

0 0 0 −2 −2

x =

20−31


L = E−11 E−1

2 E−13 E−1

4 E−15 =

1 0 0 0

−1 1 0 0

0 3 1 0

2 −1 5 1

Como A = LU, entonces Ax = L(Ux) = Ly = b usando Sust Adeltenemos y = (−5, 5, 6,−2)T y, mediante Sus Atras, el sistema Ux = y ,para obtener que x = (2, 0,−3, 1)T .

Como AT = UTLT , entonces AT z = UT (LT z) = UTw = c usando SustAdel tenemos w = (1,−1, 2,−2)T y, mediante Sust Atras, el sistemaLT z = w , para obtener que z = (−30, 39, 12,−2)T .


Determinantes

DEF Dada una matriz An×n, definimos (Mij)n−1×n−1 sub-matriz queresulta al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A. Mij es llamadamenor (i , j) de A.

EJEM Encuentre los menores M23 y M32 de la matriz

A =

1 1 12 3 11 −1 −2

,


Determinantes



A =

1 1 12 3 11 −1 −2

, SOL M23 =

(1 11 −1

)

M32 =

(1 12 1

)


Determinantes



A =

1 1 12 3 11 −1 −2

, SOL M23 =

(1 11 −1

)

M32 =

(1 12 1

)

DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como

Aij = (−1)i+jdetMij .


Determinantes



A =

1 1 12 3 11 −1 −2

, SOL M23 =

(1 11 −1

)

M32 =

(1 12 1

)

DEF Dada una matriz An×n, definimos Aij , el cofactor (i , j) de A, como

Aij = (−1)i+jdetMij .

DEF Sea An×n = (aij). Definimos el determinante de una matriz A como

det (A) = a11detM11 − a12detM12 + · · ·+ (−1)1+na1n

= a11A11 + a12A12 + · · ·+ (−1)1+na1nA1n


Determinantes

Desarrollo o Expansion de Laplace

TEO Dada A = (aij) una matriz n × n,

detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin Usando Fija i

detA = a1jA1j + a2jA2j + · · ·+ anjAnj Usando Columna j


Determinantes





CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT


Determinantes





CORO Dada A, una matriz n × n, detA = detAT

EJEM Calculemos el determinante de

A =

1 1 12 3 11 −1 −2

y B =

1 0 0 02 3 0 01 −1 −2 07 1/2 4 −1


Propiedades importantes

TEO Si A(n) = (aij) es una matriz diagonal o triangular de tamano n× n,entonces detA(n) = a11a22 . . . ann.




DEM: Por induccion sobre el tamano de n.




DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2, se cumple

detA(2) =a 0c d

= ad − 0c = ad .





detA(2) =a 0c d

= ad − 0c = ad .

(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,

detAn−1 =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · 0

.

.

....

. . ....

an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1

= a11a22 · · · an−1 n−1.

Veamos es cierto para A(n).





detA(2) =a 0c d

= ad − 0c = ad .

(H. Ind) Supongamos que el resultado es valido para An−1. Es decir,

detAn−1 =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · 0

.

.

....

. . ....

an−1 1 an−1 2 · · · an−1 n−1

= a11a22 · · · an−1 n−1.

Veamos es cierto para A(n).

detA(n) =

a11 0 · · · 0

a21 a22 · · · 0

.

.

....

. . ....

an1 an2 · · · ann

= a11

a21 0 · · · 0

a31 a32 · · · 0

.

.

....

. . ....

an1 an2 · · · ann

= a11(a22 · · · ann)



TEO Dada A, una matriz n × n,

1 Si A tiene una fila (o columna) de ceros, entonces detA = 0.

DEM: Sea la Fi = (0, 0, . . . , 0), Calculemos el detA usando la Fi

detA = 0Ai1 + 0Ai2 + · · ·+ 0Ain = 0





2 Si la matriz B se obtiene al intercambiar dos filas (o columnas) deA, entonces detB = −detA.






DEM: Por induccion sobre el tamano de n.






DEM: Por induccion sobre el tamano de n. Para n = 2 se cumple

A(2) =

(a b

c d

)

= ad − bc B(2) =

(c d

a b

)

= −(ad − bc)







A(2) =

(a b

c d

)

= ad − bc B(2) =

(c d

a b

)

= −(ad − bc)

(H. Ind.) Supongamos que el resultado es valido para A(n−1).Veamos es cierto para tamano A(n).







A(2) =

(a b

c d

)

= ad − bc B(2) =

(c d

a b

)

= −(ad − bc)


Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)







A(2) =

(a b

c d

)

= ad − bc B(2) =

(c d

a b

)

= −(ad − bc)


Sea Filai (A) = Filaj(B) y Filaj(A) = Filai (B). Tomemos r 6= i , j ⇒Filar (A) = Filar (B)

detA = ar1Ar1 + ar2Ar2 + · · ·+ arnArn

= br1(−Br1) + br2(−Br2) + · · ·+ brn(−Brn)

= −[br1Br1 + br2Br2 + · · ·+ brnBrn]

= −detB ,Hector Fabian Ramırez Ospina Algebra lineal Basica





3 Si la matriz A tiene dos filas (o columnas) iguales, entoncesdetA = 0.







DEM: Supongamos que las filas i y j son iguales. sea B la matriz A

con las filas i y j intercambiadas Entonces,

detA = −detB = −detA, ⇒ 2detA = 0







4 Si la matriz B se obtiene de A al multiplicar una fila (o columna)por un escalar λ, entonces detB = λdetA.








DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ.








DEM: Sea B la matriz que se obtiene de multiplicar la Filai (A) porλ. Ahora, calculamos el detA usando la Filai

detB = bi1Bi1 + bi2Bi2 + · · ·+ binBin

= λai1Ai1 + λai2Ai2 + · · ·+ λainAin

= λ(ai1Ai1 + ai2Ai2 + · · ·+ ainAin)

= λdetA.








5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .








5 Si A, B y C son matrices iguales excepto en la i-esima fila de talforma que la i-esima fila (o columna) de C es la suma de lascorrespondientes i-esimas filas (o columnas) de A y B , entoncesdetC = detA+ detB .

6 Si la matriz B se obtiene de A al sumar un multiplo de una fila (ocolumna) a otra fila (o columna), entonces detB = detA.



CORO Sea E una matriz elemental n × n.

Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.



CORO Sea E una matriz elemental n × n.

Si E es de Tipo Permutacion, entonces detE = −1.Si E es de Tipo Escalamiento (mult. una fila de I por c), entoncesdetE = c .Si E es de Tipo Eliminacion, entonces detE = 1.

CORO Sea E y A matrices de igual tamano, donde E es una matrizelemental. Entonces

det (EA) = (detE )(detA).



TEO Dada An×n, y sea U = (uij) la matriz obtenida por Eliminacion deGauss. Entonces,

detA = (−1)pu11u22 . . . unn,

donde p es el numero de operaciones elementales Tipo Permutacionutilizadas para obtener la matriz U a partir de la matriz A.




detA = (−1)pu11u22 . . . unn,


DEM: Sean E1,E2, . . . ,Ek las matrices elementales aplicadas a A paraobtener U. Entonces,

U = Ek . . .E2E1A

,

⇒ detU = (detEk) . . . (detE2)(detE1)(detA) = (−1)p(detA)




detA = (−1)pu11u22 . . . unn,



U = Ek . . .E2E1A

,


detEi = −1 para las p matices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.




detA = (−1)pu11u22 . . . unn,



U = Ek . . .E2E1A

,


detEi = −1 para las p matices elementales Tipo Permutacion ydetEi = 1 para el resto de matrices elementales.como U es una matriztriangular superior

detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn.


Propiedades importantesEJEM

A =

0 6 −1 −5

−3 2 3 0

−6 −5 3 8

−6 4 0 2

F1 ↔ F4

F2 −12F1 → F2

F3 − F1 → F3

F2 ↔ F3

F4 +23F2 → F4

F4 −13F3 → F4

U =

−6 4 0 2

0 −9 3 6

0 0 3 −1

0 0 0 −2/3



A =

0 6 −1 −5

−3 2 3 0

−6 −5 3 8

−6 4 0 2

F1 ↔ F4

F2 −12F1 → F2

F3 − F1 → F3

F2 ↔ F3

F4 +23F2 → F4

F4 −13F3 → F4

U =

−6 4 0 2

0 −9 3 6

0 0 3 −1

0 0 0 −2/3

Por lo tanto, detA = (−1)2detU = (−6)(−9)3(−2/3) = −108

CORO Sea An×n. La matriz A es invertible, si y solo si, detA 6= 0.



A =

0 6 −1 −5

−3 2 3 0

−6 −5 3 8

−6 4 0 2

F1 ↔ F4

F2 −12F1 → F2

F3 − F1 → F3

F2 ↔ F3

F4 +23F2 → F4

F4 −13F3 → F4

U =

−6 4 0 2

0 −9 3 6

0 0 3 −1

0 0 0 −2/3



DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.



A =

0 6 −1 −5

−3 2 3 0

−6 −5 3 8

−6 4 0 2

F1 ↔ F4

F2 −12F1 → F2

F3 − F1 → F3

F2 ↔ F3

F4 +23F2 → F4

F4 −13F3 → F4

U =

−6 4 0 2

0 −9 3 6

0 0 3 −1

0 0 0 −2/3



DEM: Como detA = (−1)pdetU = (−1)pu11u22 . . . unn. EntoncesdetA 6= 0, si y solo si, uii 6= 0 para todo i , lo cual ocurre, si y solo si, Utiene n pivotes, esto es equivalente a que A es invertible.

TEO Si A y B son matrices n× n y α un numero real (escalar), entonces

det (αA) = αdetA.det (AB) = detA detB .det (Am) = (detA)m.


Adjunta de A

CORO: Si A es una matriz invertible, entonces det (A−1) = 1detA


Adjunta de A


EJEM: Dadas las matrices A =

−1 0 10 2 13 0 0

y B =

2 0 01 0 −20 3 1

calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).


Adjunta de A


EJEM: Dadas las matrices A =

−1 0 10 2 13 0 0

y B =

2 0 01 0 −20 3 1

calcule detA , detB , det (2A), det (AB), det (A+ B).

DEF: Dada A(n), definimos la matriz de cofactores de A como la matrizcuya componente (i , j) es el cofactor Aij y definimos adj(A), la matrizadjunta de A, como la transpuesta de la matriz de cofactores.

Cof (A) =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

.

.

....

. . ....

An1 An2 · · · Ann

adj(A) =

A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

.

.

....

. . ....

A1n A2n · · · Ann


Propiedades de la Adjunta

TEO Si A es una matriz cuadrada, entonces

A adj(A) = (detA)I = adj(A)A





CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces

A−1 =1

(detA)adj(A)






A−1 =1

(detA)adj(A)

DEM: Si A es una matriz invertible, detA 6= 0; por lo tanto, usando laspropiedades del producto de matrices y el teorema anterior, tenemos

A( 1

detAadj(A)

)

=1

detA(A adj(A)) =

1

detA(detA)I = I .






A−1 =1

(detA)adj(A)

EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz

A =

−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1






A−1 =1

(detA)adj(A)

EJER: Calculemos la componente (3, 2) de la inversa de la matriz

A =

−2 0 1 00 −1 0 −24 0 −7 −10 3 0 1

SOL: Sea A−1 = (αij), entonce α32 =A23

|A|=






A−1 =1

(detA)adj(A)






A−1 =1

(detA)adj(A)

CORO Si A es una matriz cuadrada, entonces det(adj(A)

)= (detA)n−1






A−1 =1

(detA)adj(A)


)= (detA)n−1

DEM: Observe que

A adj(A) = (detA)I , ⇒ det (A) det[adj(A)

]= (detA)n.






A−1 =1

(detA)adj(A)


)= (detA)n−1

EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =

−2 0 1 0

0 −1 0 −2

4 0 −7 −1

0 3 0 1






A−1 =1

(detA)adj(A)


)= (detA)n−1

EJER: Calcule det (adj(A)) donde A =

−2 0 1 0

0 −1 0 −2

4 0 −7 −1

0 3 0 1

Como

detA = 50 y A4×4 ⇒ det (adj(A)) = 503


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