ALGEBRAHOMOLOGICA,COHOMOLOGIADEGRUPOSYK-TEORIAALGEBRAICACLASICAEmilioLluis-PueblaSociedadMatematicaMexicanac _2005por SociedadMatematicaMexicanac _1990por Addison-WesleyIberoamericana,S.A.Wilmington,DelawareE.U.A.c _1990por SistemasTecnicosdeEdicion,S.A.deC.V.SanMarcos,102. Tlalpan14000Mexico,D.F.ObracompuestayformadaenTEXporFlordeMaraAceSanchezHechoenMexico.ISBN0-201-62917-8Addison-WesleyIberoamericanaISBN968-6394-05-2SistemasTecnicosdeEdicionABCDEFGHIJ-M99876543210PREFACIOEl Algebra Homologica es una de las principales creaciones de la matemati-cadelpresentesiglo,utilizadapracticamenteentodassusramas,ascomootrasdisciplinasdelaciencia. Estelibroexponetemasqueanteshabansido reservados para los estudios de posgrado, y viene a llenar un hueco en laescasaliteraturasobreestostemas,puesmientrasunostextospresuponenciertamadurez del estudiante, otros sonmuyelementales. Tambienesel unicotextoqueintroduceennivel delicenciaturalaCohomologadeGruposquedioorigenalAlgebraHomologicaylaK-TeoraAlgebraicalaramamasrecientedelaMatematica,ascomosuestrecharelacion.Cadasecciondeloscincocaptulosqueconformanlaobracontieneunaseriedeejerciciosquesonunapartefundamentaldeltexto,lepermitenallectoradquirirdestrezaylebrindanlaoportunidaddecrearmatematicas.Enalgunos deellos sedenenconceptos queseutilizanposteriormente.Alolargodel textose incluyenejercicios conducentes aestablecer unainterpretaci on de los grupos de cohomologa de dimension n en terminos deciertotipodeextensionesdegrupos,lacualsedaenIV.5. Lasreferenciassin n umeros romanos se reeren a resultados del captulo en consideracion.En la introduccion se presenta el material que contiene el libro de maneraqueellectorpuedaobtenerbrevementeunaideaglobal.Este libroestadise nadoparauncursode una no(dos semestres es-tudiandolos captulos I, II yIII enel primeroylos captulos IVyVenel segundo) al nivel delicenciaturaodeunsemenstre(omitiendoquizael captuloV) paraestudios deposgrado. Sepresuponequeel lector yaposee los conocimientos del Algebra Moderna (Teora de Grupos,Anillos yCampos).Durante varios a nos he impartidocursos basados enel material aquincluidotantoaalumnos de licenciaturayde posgradocomoacolegasiv PREFACIOenseminarios ycursos deactualizacion. Atodos ellos les agradezcosuatenci onysusoportunoscomentarios.DeseoagradeceramisalumnosFlordeMaraAceyRa ul Mayoral elhabertranscritoenTEXel manuscrito. Enformamuyespecial mi masgrandereconocimientoaFlordeMaraAceporhaberpuestosutalentomatem aticoyartsticoeneste,tambien,sulibro.Tambiendeseoagradecerami padreEmilioLluisRiera; amisexalum-nosyahoracolegas, F. ZaldvaryA. Adem; el haberutilizadoversionespreliminares ensus cursos oleidoyhechointeresantes sugerencias. Sinembargocualquierfaltauomisionesexclusivamentema.Finalmente, mi reconociemientoal DepartamentodePublicaciones delaFacultadde Ciencias de laUNAMpor las facilidades prestadas paratrabajarlasversionespreliminaresutilizandoel equipoTEX. As mismoagradezcolasatencionesyfacilidadesproporcionadasporAddison-WesleyIberoamericanaS.A.Octubrede1989 EmilioLluisPueblaPREFACIO(SEGUNDAEDICION)Estelibro(primer textomatematicopublicadoenel sistemaTEXenMexico)cumpleyaquincea nosdeserutilizadoexitosamentecomotextosobre la materia en diversas universidades de Espa na y el Continente Ameri-cano, incluyendo algunas universidades de Estados Unidos de Norteamericay,desdeluego,enMexico.Hetenidoel gustodeofrecerconferenciasenmuchasuniversidadesdeCentroamericaySudamericadondemeheencontradoconcolegas,quelle-vanmi librocomotexto. Me hansolicitadounanuevaedicionpues laanterioresimposibledeconseguir. Estanuevaedicion,dondehecorregidoalgunoserrorestipogracosyatendidonuevasideasosugerenciasquealtraves de los a nos me he hecho y han hecho mis propios alumnos (a quienesmuchoagradezco), laheincluidodentrodelasPublicacionesElectronicasde la Sociedad Matematica Mexicana mostrando (como matematico y Edi-torEjecutivodelasmismas)laconanzaenestetipodepublicacion.Estetiene una excelente accesibilidad, as como un nulo costo, que de no ser as,resultaraelevadoparalosestudiantesycolegasdemuchoslugares. LasPublicaciones Electronicas de la Sociedad Matematica Mexicana tienen ac-cesolibreenlnea,puedencopiarseenelordenadoroimprimirseenpapelparausopersonal. Ademas,apartirdeestanuevaedicion,ellectorpodraadquirirlaspublicacionesenCDoimpresasenpapelempastado.Oto node2005 EmilioLluis-PueblaINDICEGENERALpag.PREFACIO vINTRODUCCION 1I TEORIADEMODULOS 15I.1 Modulos 16I.2 Teoremasdeisomorsmo 23I.3 Sucesionesexactas 28I.4 Sumayproductodirecto 34I.5 Hom(M, N) 41I.6 Moduloslibresyproyectivos 46I.7 Modulosinyectivos 55I.8 M N 58II CATEGORIASYFUNTORES 67II.1 Categorasyfuntores 68II.2 Transformacionesnaturales 73II.3 Productosbradosycategorasabelianas 77IIIALGEBRAHOMOLOGICA 83III.1 Homologa 84III.2 Resoluciones 92III.3 Torn( , ) 99III.4 Extn( , ) 107III.5 Funtoresderivados 112III.6 Torsionyextensiones 118IV COHOMOLOGIADEGRUPOS 129IV.1 G-modulos 130IV.2 La(co)homologadeungrupo 135IV.3 H1(G, N)yH1(G, N) 142IV.4 H2(G, N) 150IV.5 Hn(G, N)yextensionescruzadas 155IV.6 Aplicaciones 161V K-TEORIAALGEBRAICACLASICA 169V.1 K0 170V.2 K1 177V.3 K2 183BIBLIOGRAFIAYREFERENCIAS 189LISTADESIMBOLOS 191INDICEDEMATERIAS 195INTRODUCCIONTEORIADEMODULOSEl Algebra Homologica, totalmente inexistente hace 55 a nos, esta invadien-dolatotalidaddelaMatematicadelamismamaneraenquelaTeoradeGruposyelAlgebraLineallohicieronaprincipiosdelpresentesiglo.Siemprequesehabladealgunaramadelasmatematicasseestablecenlos objetos deestudio. As, los grupos sonlos objetos deestudiodelaTeorade Grupos, los anillos de laTeorade Anillos, etc. Los objetosqueestudiaremosseranlosmodulos. El conceptodemoduloproporcionaunageneralizacionadecuadade los conceptos de espaciovectorial ydegrupoabeliano. Estosobjetosnosontanespeciales, yaque(enlenguajecateg orico)todacategoraabelianapeque napuedeconsiderarsedentrodeunacategorademodulossobreunanilloadecuado[F].Seaunanilloconmutativocon1 ,=0. Noesnecesarioconsiderarelcasoparticularenqueseaconmutativo(sepuedeconsiderarel casonoconmutativo) pero, por razones de sencillez, as lo haremos por el momento.Entoncesdiremosqueunapareja(M, )esun-modulo omodulosobreel anillosi Mesungrupoabelianoaditivoyesunhomomorsmodeanillos: End(M, M),dadopor()(x) = x.Si =ZZ, entoncescualquiergrupoabelianopuedeconsiderarsecomoun ZZ-modulo,ysi esuncampoK,entoncesunK-m oduloesunespaciovectorialsobreK.Como relacionamos dos -modulos?As como a los conjuntos los pode-mos relacionar mediantefunciones, alos grupos mediantefunciones quepreservanestructuradegrupo, etc., alos-m odulos los relacionaremosmediante funciones que preservanla estructura de -modulo llamadashomomorsmos. Entonces,siMyNson -modulos,f: M Nesunho-momorsmode-modulos sifpreservalaestructuradegrupoabeliano,i.e. f(x + y) =f(x) + f(y)yademasf(x) =f(x); ; x, y M. Dado2 INTRODUCCIONunhomomorsmof: M Nde -modulos podemoshablardesun ucleoeimagen,denotadosporker feim f,respectivamente. Tambienpodemoshablardesubmodulosdeun -modulo.Sucedeloesperado: lacomposiciondehomomorsmos resultaser unhomomorsmo; laimagenbajounhomomorsmodeunsubmoduloesunsubm odulo;laimageninversadeunsubmodulobajounhomomorsmoesunsubmodulo; enparticular, el n ucleoylaimagendeunhomomorsmosonsubmodulos(dedondedebenserlo).Tambienexisteel conceptodemodulococientecuyoselementossonlasdistintasclaseslateralesdeunsubmoduloenunmodulo.Relacionaremosvarios -m odulos medianteunacolecciondehomomor-smosquecumplanlosiguiente: diremosqueunasucesionde -m odulos Mi1fi1MifiMi+1 es semiexactaenMisi imfi1 kerfi, es decir, si el n ucleodel homo-morsmosalientecontienealaimagendel homomorsmoentrante. Si essemiexacta en cada -m oduloMi, la llamaremos sucesi onsemiexacta. Estoequivaleadecir quelacomposicionfi fi1es el homomorsmotrivial,denotadopor0, i.e., fi fi1=0. TambiendiremosqueunasucesionesexactaenMisi essemiexactaeimfi1 kerfi. Estoes, lasucesionesexactaenMisi,ysolosi,im fi1 = ker fi. Siesexactaencada -moduloMi, lallamaremossucesi onexacta. Todasucesionexactaes semiexacta,peronoesciertoquetodasucesionsemiexactaseaexacta.Unasucesionexactadelaforma0 M

fMgM

0sellamasucesi onexactacorta. Esfacil comprobarque, enunasucesionexacta corta, fes un homomorsmo inyectivo llamado monomorsmo y quegesunhomomorsmosuprayectivollamadoepimorsmo. Utilizaremoslasiguientenotacionparaunasucesionexactacorta:M

fMg M

.Es inmediato comprobar que una sucesion exacta corta no es otra cosa queundisfrazdeunsubmoduloyel modulococientedeun-modulo delasucesi onexactacortaN

M

M/NINTRODUCCION 3ElconceptodesucesionexactacortafuenotadoporHurewiczen1941.Lanotaciondeechassurgiodelasinvestigacionestopologicasdelosa noscuarenta.Lacategorade-m odulos seestudiaexaminandoel comportamientode ciertos funtores. Los mas importantes sonHom, yotros funtoresrelacionadosyderivadosdeestos.Denotemos por Hom(M, N) al conjunto de homomorsmos del -m oduloMenel -m oduloN.Los siguientes teoremaspuedenconsiderarse comoel comienzodelAlge-braHomologica.TEOREMA. SiN

N

N

es unasucesion exactade -modulos,entonceslasucesioninducida0 Hom(M, N

)Hom(M, N)

Hom(M, N

)esexacta.TEOREMA. Si M

M

M

es una sucesion exacta de -modulos,entonceslasucesioninducidaHom(M

, N) Hom(M, N) Hom(M

, N) 0esexacta.Esdeesperarqueel casoenque

seasuprayectivaresulteinteresante.Los-modulos quecumplenel hechodequeseaepimorsmosiemprequelosea,sellaman -modulos proyectivos.Imitando el caso de los K-m odulos o espacios vectoriales sobre un campoK, decimosqueun-m oduloeslibresi poseeunabase. Resultaserquetodomodulolibrees proyectivoyquetodo-moduloes cocientedeunm odulolibre.De una manera dual se dene un -modulo inyectivo como aquel que, alsermonomorsmo, impliquequeseaepimorsmo. Resultaserciertoquetodomoduloesisomorfoaunsubmodulodeunmoduloinyectivo.El conceptodemodulosedebeaKronecker, quienutilizomodulosso-bre anillos de polinomios, perosolamente enlos ultimos 40a nos se hareconocidosuimportanciaenel Algebra. Losmodulosproyectivosfueronutilizados por vez primera y de una manera efectiva por Cartan y Eilenbergen1956. FueNoether,enlosa nosveinte,quienenfatizolaimportanciadeloshomomorsmos.4 INTRODUCCIONEl funtorHomseconocadesdehacemuchotiempo, peroaparecioporprimeravezbajoesenombreenlostrabajosdeEilenbergyMacLaneen1942.ALGEBRAHOMOLOGICAElAlgebraHomologicasurgiocomolohacenlosgrandesdesarrollosmate-m aticos: comounentrelazamientodediferentesareasydediferentesideasdemuchosmatematicos. Lapresentaci onqueharemosessimplementelapuricaci ondelainteraccionentrelaTopologayelAlgebra.Sea CnnZuna familia de -m odulos y n: Cn Cn1nZZ una familiadehomomorsmosde-m odulos talesquen n+1 = 0. UncomplejodecadenasocadenasobreesunaparejaC = Cn, nylaescribimoscomosigue:C: n+2Cn+1n+1CnnCn1n1 Estosignicaqueunacadenanoesotracosaqueunasucesionsemiexactadescendentede -m odulos.El concepto central delAlgebra Homologica es el siguiente: consideremosuna cadena C:Cn+1n+1CnnCn1 . El m odulo de homologade grado n de C, denotado con Hn(C) es el cociente Hn(C) = ker n/im n+1.Lo que Hn(C) hace es medir la inexactitud de la cadena C, pues por ejemplo,si Ces exacta, entonces imn+1=ker ny, por lotanto, Hn(C) =0.Loque hemos hechoes asociarle aunacadenaCunmodulograduadoH(C)= Hn(C)quellamaremoshomologadelacadenaC. Sucedequeunmorsmodecadenas: C Dinduceunmorsmo(biendenido, degrado0): H(C) H(D)demodulosgraduados. Luego, H( )esunfuntorcovariantedelacategoradecomplejosdecadenasalacategorade-modulosgraduados.Si consideramos familias semiexactas conndices en orden crecienteCnnZ, obtendremosconceptosduales; hablaremosdecocadenas, deco-homologadeunacocadenaetc.Consideremosunacadenapositiva(i.e. Pn=0paran 1. Porlotanto, j(BSt+) =j(BE+)paraj 3,ypodemosconcluirqueH3(St) =H3(BSt) =H3(BSt+)H=3(BSt+) =3(BE+)= 3(BGL+),dondeHeselisomorsmodeHurewicz.Quillenenlossetentasdenio,parai 1,eli-esimoK-grupoalgebraicodecomoKi =i(BGL+). Comoenloscasosi = 1, 2, Kiesunfuntorcovariantedelacategoradeanillosalacategoradegrupos.Unode los problemas mas importantes enlaK-TeoraAlgebraicaesel calculodelos grupos Kiparadiversos anillos, pero, apesar delosesfuerzosdemuchosmatematicos, unicamenteseconoceunn umeromuyreducidodeellos. Veamosalgunos:Bassdemostroen1968queK1ZZ= ZZ/2yqueK1(ZZ/p2) = ZZ/p ZZ/p 1,pprimodiferentede2.Milnor demostroen1971queK2ZZ =ZZ/2yque K2ZZ/p2=0paraunprimopdiferentede2.En1972QuillendemostroqueparauncamponitoIFp ,K2i( IFp ) = 0yK2i1( IFp )= ZZ/p

i1dondepesprimo,i 1.LeeySzczarbaencontraronen1976queK3ZZ= ZZ/48.Dennis, en1977, encontr oque K2(ZZ/n) =0 si n ,0 (mod4) yqueK2(ZZ/n)= ZZ/2sin 0(mod4).INTRODUCCION 13En1971,VanderKallendemostroqueK2( IF

p[t]/(t2)) = 0.En[E-F] secalculanK3(ZZ/p2) = ZZ/p2 ZZ/(p2 1)yK4(ZZ/p2) = 0paraunprimop 5. TambiensetienequeK3( IFp[t]/(t2))=IFp IFpZZ/(p21)yK4( IFp[t]/(t2)) = 0paraunprimop 5.Finalmente,en[ALSS],[LL-S]y[ALS]secalculanK3(ZZ/2k)= ZZ/4 ZZ/22(k2)ZZ/3, k > 1.K3(ZZ/pk)= ZZ/p2(k1)ZZ/(p21),punprimodiferentede2yk > 1.K3( IF2 [t]/(t2))=IF2 IF2 K3( IF2 ), 1.K3( IFp [t]/(t2))=IFp IFp K3( IFp ),punprimo,p 5, 1.K3( IFp [t]/(t2))= (1 +t IFp /(t4))/1 +at2) K3( IFp ) yK3( IFp [t]/(t3))=(1 +t IFp [t]/(t6))/1 +at3) K3( IFp ) para un primop ,= 2, 1, a IFp .El lectorinteresadoenadentrarseentemasrecientesdelaK-TeorayCohomologadeGrupospodraleerlasMemoriasdelPrimerSeminariodeK-TeoraAlgebraicaenMexico[LL].Captulo ITEORIA DE MODULOSEnestecaptuloseofreceunestudiodetalladodelaTeoradeModulos,as comodelos funtores fundamentales del AlgebraHomologica, Homy. Porrazonespedagogicasyandeevitarcomplicacionesinnecesariasparanuestrospropositos, nosrestringiremosal casoenqueel anilloseaconmutativo. Sinembargo, tantoenlaexposicioncomoenlosejercicios,hacemos hincapie en los resultados que se obtienen al considerar el casonoconmutativo.Enlaseccion1presentamoselconceptode -m odulo,queesunagene-ralizaci on adecuada de los conceptos de grupo abeliano y espacio vectorial.An alogos a los teoremas de isomorsmo para la Teora de Grupos, tenemosloscorrespondientespara-modulosenlaseccion2. Lassucesionesexac-tas y diagramas conmutativos as como sus propiedades relevantes, se intro-ducen en la seccion 3. En la seccion 4 denimos la suma y el producto direc-tos de una familia de -modulos y establecemos las propiedades universalesque los caracterizan. En la seccion 5 estudiamos el funtor Hom y se analizasu covariancia y contravariancia en sus variables. En la seccion 6 introduci-mosel conceptode-moduloproyectivoyestablecemossuspropiedades.De una manera dual, presentamos los -m odulos inyectivos en la seccion 7.Finalmente, enlaseccion8introducimos el funtor yestablecemos sucovarianciaenambasvariables.16 CaptuloI TEORIADEMODULOSI.1 MODULOSSea unanilloconmutativocon 1 ,= 0.1.1DEFINICION.Un -moduloomodulosobre esunapareja (M, )dondeMesungrupoabelianoaditivoy: M Mesunafuncionescrita (, x) xtalquelossiguientesaxiomassecumplen:(i) (x +y) = x +y(ii) ( +)x = x +x(iii) ()x = (x)(iv) 1x = x (, ; x, y M)Entonces, un-moduloesunsistemaalgebraicoMconunaoperacionbi-naria+: MM MconunconjuntodeoperacionesunariasM M,unaparacada . sellamamultiplicacionescalardeMylos ele-mentosde sellamanescalares. SerequierequeMseaungrupoabelianobajolasumayquevalganambasleyesdistributivas(i)y(ii). Sinelaxio-ma(iv), cualquiergrupoabelianoMsepodraconvertirenun-modulotrivialmentedeniendox = 0paratoda .1.2EJEMPLO.Tomese = ZZelanilloden umerosenteros. Paracual-quiergrupoabelianoG, lafuncion: ZZG G, dadapor(n, x)=nxparatodan ZZyparatodax G, satisfacelosaxiomasde1.1. Luego,todogrupoabelianopuedeconsiderarsecomoun ZZ-modulo.1.3 EJEMPLO. Si es un campo K, entonces un K-modulo es un espaciovectorialsobreK.Nota. Conrespectoalejemplo1.2,recuerdesequetodogrupoabelianoGdalugar aungruponatural conoperadores: Seaunconjunto. UngrupoGjuntoconunaaccionde en (G, ) G G(, x) x = xqueseadistributivaconrespectoalaleydecomposicionde (G, )sellamagrupoconoperadoresen . Laleydistributivapuedeexpresarsecomo(xy)= xy,1 MODULOS 17i.e., (, xy) (xy) = ( x)( y). EnungrupoconoperadoresG,cadaoperadordeneunendomorsmodelgrupoG.Consideremos = ZZyparax G, ZZdenamos x = x = x.ComoGesabeliano,tenemosque(xy) = (xy)= xy= (x)(y). Luego,todogrupoabelianoGpuedeversecomoungrupoconoperadores ZZ.1.4EJEMPLO. Seaunsubanilloconmutativodeunanillo, 1 .Entonces: dadapor (, x) xparatoda yparatodax , satisface(i) (iv) de1.1. Por lotanto, todoanilloconmutativocon1 es un-m odulo, es decir, es unmodulo sobre cualquiera de sussubanillos. Enparticular, todoanilloconmutativoconelementounitariopuedeconsiderarsecomounmodulosobresmismo.1.5EJEMPLO. SeaSunconjuntoyM= S= g: S . Mesungrupoabelianoconrespectoalasumadenidapor(g +g

)(s) = g(s) +g

(s).Si denimos: M Mmediante (, g) gdonde (g)(s) = g(s), esclaro que las condiciones (i) a (iv) se satisfacen. Luego,Mes un -m odulo.1.6EJEMPLO. Si ZZ/nes el anillodelos enteros modulon, unZZ/n-m oduloesungrupoabelianoenelcualtodoelementotieneporordenundivisorden.Veamos comorelacionar dos modulos sobreunanillomedianteunafunci onquepreservelaestructurade -m odulo.1.7 DEFINICION. Sean My Ndos -modulos. Una funcion f: M Nsellamahomomorsmode-moduloso-lineal si f esunhomomorsmodegruposabelianostal quef(x) =(f(x))paratodo yparatodax M.Estoes,f(x +y) = f(x) +f(y)yfconmutaconlaacciondecada .Estasdoscondicionessonequivalentesaquef(x +y) = f(x) +f(y) , , x, y M.18 CaptuloI TEORIADEMODULOS1.8PROPOSICION. Lacomposiciondedoshomomorsmosde-mo-dulosesunhomomorsmode -modulos.Demostracion. Seanf: M

Myg: M M

doshomomorsmosde-modulos. Luego(g f)(x +y) = g(f(x +y))= g(f(x) +f(y))= g(f(x)) +g(f(y))= (g f)(x) + (g f)(y)Adem as, (g f)(x) =g(f(x)) =g(f(x)) =g(f(x)) =(g f)(x). Porlotanto (g f)esunhomomorsmode -modulos.Si esuncampoK,un -homomorsmosellama transformacionlinealentreespaciosvectoriales. Claramente, lafuncionidentidad1M: M Mes un homomorsmo de -m odulos. Si f: M Nes inyectiva, escribiremosf: M N, y si fes suprayectiva, escribiremos f: M N. Llamaremosa f isomorsmoyescribiremos f: M=Nsi existe unhomomorsmog: NMtal queg f =1Myf g=1N. Es facil comprobar que, sig existe, estadeterminadaenforma unica; ladenotaremos conf1ysellamar ainversodef. f: M Nesisomorsmosi,ysolosi,esinyectivaysuprayectiva. Diremosquedosmodulossobre ,MyN,sonisomorfossiexisteunisomorsmof: M=N,yescribiremosM = N.1.9DEFINICION. Unhomomorsmoentre-m odulos f: MNsellamar a monomorsmo si fg1=fg2implica que g1=g2para todo g1,g2: M

M. Unhomomorsmoentre-modulosf: M Nsellamaraepimorsmosig1f= g2fimplicaqueg1 = g2paratodog1, g2: N N

.M as adelante se demostrara que, para modulos, fes inyectiva si, y solo si,esmonomorsmo;yessuprayectivasi,ysolosi,esepimorsmo(problemaII.1.8.). Sinembargo,utilizaremosestehechoenelrestodelcaptulo.SeaMun-m odulo. DiremosqueunsubgrupoNdeMessubmodulodeMsi Nesun-moduloconrespectoalasoperacionesdeM. Dichodeotramanera:1.10DEFINICION. Unsubconjunto Nde un-modulo Mse llamasubm odulodel-moduloMsi NesunsubgrupodeMyparatoda ,N= x[x N N.1 MODULOS 19Esto es, Nes un submodulo de Msi Nes un subgrupo del grupo abelianoMyesestablebajolamultiplicaci onescalar, esdecir, si yx Nentoncesx N.Si consideramosal anillocomoun-m odulo, unsubmodulodeesunsubconjuntodecerradobajolasumaytal que paratoda . Dichosubconjuntosellamaidealdelanillo .Obviamentetodosubgrupodeungrupoabelianoesunsubmodulodelgrupoconsideradocomo ZZ-modulo. Sien1.5consideramosN= g: S [g(s) = 0 para casi todas S,esfacilcomprobarqueesunsubmodulodeM= S.A continuaci on describiremos otros subconjuntos de un -modulo MqueresultansersubmodulosdeM.1.11DEFINICION. Seaf: M Nunhomomorsmode-modulos.El n ucleodef, denotadoconkerf, esel conjuntodetodosloselementosx Mtales que f(x) = 0. La imagen de f, denotada con im f, es el conjuntodef(x)talesquex M.1.12 PROPOSICION.Seaf: M Nunhomomorsmode -modulos.Entonces,si M

esunsubmodulodeM, f(M

)esunsubmodulodeNysiN

esunsubmodulodeN,f1(N

)esunsubmodulodeM.Demostracion. Veamosquef(M

) = f(x)[x M

esunsubmodulodeN. Seanu, v f(M

), luego, existenx, y M

talesquef(x) =u, f(y) =v.ComoM

es submodulode M, x +yM

yx M

. Comof es unhomomorsmo,tenemosqueu +v = f(x) +f(y) = f(x +y) f(M

)u = f(x) = f(x) f(M

).Porlotanto,f(M

)esunsubmodulodeN.Veamosquef1(N

) = x M[f(x) N

esunsubmodulodeM. Seanx, y f1(N

),entoncesf(x)yf(y)estanenN

. ComoN

essubmodulodeNyfeshomomorsmo,20 CaptuloI TEORIADEMODULOSf(x +y) = f(x) +f(y) N

f(x) = f(x) N

, .Luego, (x +y), (x) f1(N

).1.13COROLARIO. Laimagendef: M N, imf, esunsubmodulodeN;yeln ucleodef,ker f,esunsubmodulodeM.Demostracion. Inmediatade1.12tomandoM

= MyN

= 0.Llamaremosendomorsmoaunhomomorsmof: M Mydiremosqueesautomorsmosidichafesbiyectiva.PROBLEMAS1.1 Pruebeque0x = 0yque(1)x = xparatodaxqueperteneceaun-moduloM.1.2 PruebequeunsubconjuntoM

deun-moduloMesunsubmodulodeMsi,ysolosi,x +y M

yx M

paratodax, y M

, .1.3 Considerelasiguientedenicion: seaMungrupoabeliano. SesabequelosendomorsmosdeM, End(M, M), formanunanillononecesaria-menteconmutativo. Seaunanillononecesariamenteconmutativocon1 ,=0. Un-moduloizquierdoesungrupoabelianoMjuntoconunho-momorsmodeanillos: End(M, M). Si escribimosxenlugarde(())(x),x M, ,(a) pruebequesecumplelosiguiente(i) (x +y) = x +y(ii) ( +)x = x +x(iii) ()x = (x)(iv) 1x = x (, ; x, y M)(b) supongaquesetieneunaoperacionde enM, M M,talquevalgael inciso(a). Entoncespruebequesetieneunhomomorsmo: End(M, M)dadopor (())(x) = (x).1 MODULOS 21(c) denaun-modulo derecho. Pruebequesi es conmutativo, losconceptosde -modulo derechoeizquierdocoinciden.Sea Oel anillo opuesto de (i.e., sus elementos O Oestan en corres-pondenciaunoaunoconloselementos ,sumultiplicaci onestadadaporO1 O2= (21)Oycomogruposabelianosbajolasumasonisomorfos).Observequesepuededenirun-modulo derechocomounO-m oduloizquierdo.1.4 Sea undominioentero. Sedicequeunelementoxdeun -m oduloMes un elementodetorsion deMsi, y solo si, existe un elemento diferentedecero tal quex=0. Pruebequeel conjuntodeelementos detorsi onesunsubmodulo T MdeMllamadosubmodulodetorsiondeM.1.5 Sea un dominio entero. Un -modulo Mse llama modulo de torsionsi T M=Mysellamalibredetorsionsi T M= 0. Pruebeque T Mesunm odulodetorsion.1.6 Pruebeque,en1.5,(a) esun -modulo libredetorsion.(b) todo submodulo de un -m odulo libre de torsion es un -modulo libredetorsion.(c) todo submodulo de un-modulo de torsiones un-m odulo detorsion.1.7 Sea undominioentero. Un -modulo Msellamamodulodivisiblesi paratodax Myparatodo , ,= 0existey Mtal quey =x.(i.e., todoelementox Mesdivisibleporundivisor diferentedecero). Compruebeque(a) losgruposabelianosaditivosdelos ZZ-modulos QI yIRsondivisibles.(b) el conjunto de elementos divisibles de un -modulo Mes un submoduloMdeM.1.8 Sea G un grupo y (M, +) un ZZ-m odulo. Diremos que Mes un G-moduloizquierdo si existek: GM Mdado pork(g, x) = gx tal que se satisfacenlossiguientesaxiomas:(i) 1x = x; x M(ii) (gg

)x = g(g

x); g, g

G, x M(iii) g(x1 +x2) = g(x1) +g(x2); g G, x1, x2 M.22 CaptuloI TEORIADEMODULOS(a) Proceda como enel problema 1.3 y compruebe que un G-moduloizquierdo consiste enungrupo Mjunto conunhomomorsmo degrupos: G Aut(M).(b) SeanMyM

dosG-modulosizquierdos. Comodeniraunhomo-morsmoentreellos?1.9 SeanG, MgruposyGM MunaaccionizquierdadeGenMdenotadacon (g, x) gx. Sea: M Gunhomomorsmodegrupostalque(i)(x)y=xyx1, x, y MdondeGact uaporlaizquierdasobresmismoporconjugacion,i.e.,(ii) (gx) = g((x))g1, x M, g G.Entonces diremos que el grupo M, junto con el homomorsmo y la accion,esunG-modulocruzadoosimplementemodulocruzadoquedenotaremoscon (M, G, ). Pruebeque:(a) todo subgrupo normal Nde G es un G-m odulo cruzado, donde G act uasobreNporconjugacionyeslainclusion.(b) todoG-moduloesunG-m odulocruzadotomando = 1G.(c) seaG = Aut(M)yGM Mdadaporgx = g(x), g G, x M. Si: M G=Aut(M)est adadopor(x)=x, dondex(y)=xyx1,compruebeque (M, Aut(M), )esunmodulocruzado.1.10 Sea (M, G, )unmodulocruzado. Pruebeque(a) MesunsubgruponormaldeG.(b) ker Z(M),dondeZ(M)denotaalcentrodeM.(c) la accion deG enMinduce una estructura deG/M-modulo enZ(M)yker esunsubmodulodeZ(M).(d) laacciondeGenMinduceunaestructuradeG/M-moduloenM/[M, M],donde [M, M]denotaelconmutadordeM.2 TEOREMASDEISOMORFISMO 23I.2 TEOREMASDEISOMORFISMOEnesta seccionestablecemos tres teoremas que nos proporcionaranunmedioparadeterminarsidosmodulossonisomorfos.Sea unanilloconmutativocon 1 ,= 0,comoenlaseccion1.2.1PROPOSICION. Sea(Ni)iIunafamiliadesubmodulosdeun-m odulo M. Entonces iI NiesunsubmodulodeM.Demostracion. Sea ; x, y iI Ni. Como iI NiNiparacualquieri I,tenemosquex, y Ni. ComoNiessubmodulodeM,tene-mosquex +y Niyx Niparatodoi I. Porlotanto,x +y

iI Niyx

iI Ni.SeaSunsubconjuntodeun-m odulo M. Sestacontenidoal menosenunsubmodulodeM. Por2.1, laintersecci ondetodoslossubmodulosdeMquecontienenaSesunsubmodulodeM. Dichaintersecci oneselsubm odulomaspeque nodeMquecontieneaS.2.2DEFINICION.Laintersecci on iI NidelossubmodulosNideun-modulo MquecontieneaunsubconjuntoSdeMsellamasubmodulogenerado por S, denotado por S). Si

iI Ni = M, S Ni, decimos entoncesqueMestageneradoporSyqueSesunconjuntodegeneradoresdeM.2.3DEFINICION. Decimosqueunelementoxdeun-modulo Mesuna combinaci on lineal de elementos de un subconjunto Sde Msi existe unn umero nito de elementos xini=1deStal que x = 1x1+ +nxn, i .Lasisellamancoecientes.2.4DEFINICION.SeaNunsubmodulodeun-modulo M,entoncesel modulococienteM/Nes el grupo cociente abelianoM/Nprovisto de unamultiplicaci onescalar: M/N M/Ndadapor(, x +N) = x +N; ,x +N M/N.ComoNesunsubgrupodel grupoabelianoM, el grupococienteM/Nesungrupoabelianobiendenidocuyoselementossonlasdistintasclases24 CaptuloI TEORIADEMODULOSlateralesdeNenM. Esclaroquelaclasex + Ndependesolamentedelelemento y de la clase x+N. Luego, podemos denir la multiplicaci onescalar(x +N) = x +Npara yx +N M/N.2.5 DEFINICION. Llamamos coimagen y con ucleo de un homomorsmode -m odulos f: M NalosmoduloscocientesdeMyN;coim f= M/ker fcoker f= N/im f,respectivamente.2.6PROPOSICION.Unhomomorsmode -modulos f: M Nes(i) monomorsmosi,ysolosi,ker f= 0.(ii) epimorsmosi,ysolosi,coker f= 0.Demostracion. (i)Supongamosquefesmonomorsmo. Luego, f(0) =0, porloque0 f1(0)=kerf. Comof esinyectiva, f1(0) s olopuedecontenerunelemento. Porlotanto,ker f= 0.Supongamosquekerf= 0. Seanx, y Mtal quef(x) =f(y). Comofeshomomorsmo, f(x y) =f(x) f(y) = 0. Luego, x y kerf. Comoker f= 0,x y = 0. Luego,x = yy,porlotanto,fesinyectiva.(ii)Supongamosquef: M Nesunepimorsmo. Entoncesf essu-prayectivaeimf =f(M)=N. Luego, coker f =N/imf =0. Supon-gamosahoraquecokerf =0. Entonces f(M)=imf =N. Luego, f essuprayectiva.2.7 PROPOSICION. Sean f: M

M, g: M M

dos homomorsmosde -m odulos yh = g flacomposicion. Entonces,(i) sihesmonomorsmo,fesmonomorsmo,y(ii) sihesepimorsmo,gesepimorsmo.Demostracion. (i)Supongamosquehesmonomorsmo. Si f(x) =f(y)luegoh(x)=g(f(x))=g(f(y))=h(y) y, comohesmonomorsmo, x=y.Porlotanto,fesmonomorsmo.(ii)Supongamosquehesepimorsmo. Entoncesh(M

)=M

. Luego,M

= h(M

) = g(f(M

)) g(M) M

. Porlotanto,g(M) = M

.2 TEOREMASDEISOMORFISMO 25Diremos que un homomorsmo f: M Nes trivial si f(x) = 0 para todox M. Esdecir,im f= 0. Equivalentemente,f= 0si,ysolosi,ker f= M.Consideremoslaproyecci onnaturalp: M M/Ndadaporx x +N,paratodox M. pesunepimorsmodel grupoMenel grupococienteM/N. Tambienpresultaser unepimorsmode modulos, pues p(x) =x + N=p(x), paratodo , x M. Recordemos queenM/N, Nresultaser igual al n ucleode p, pues p1(0 +N) =N, por loque todosubm odulodeun -modulo Meseln ucleodeciertohomomorsmo.El resultadoprincipal delos modulos cocientees el siguienteteoremaqueestablecelapropiedaduniversal delaproyecci onp: M M/N. Estoimplicar aunarespuestaalasiguientepregunta: existeunsubmoduloNdeMtalquesif: M M

esunhomomorsmo,f(M)= M/N?2.8 TEOREMA. (Primer teorema de isomorsmo.)Sea Nun submodulodel-m odulo Myf: M M

unhomomorsmode-m odulos tal queN ker f. Entoncesexisteunhomomorsmo unicoh: M/N M

talqueh p = fMp M/Nf_hM

Adem as,paradichohomomorsmoh,im h = im fyker h = (ker f)/N.Demostracion. Porhipotesis, f(N)=0, porloquef mandaalosele-mentos de cualquier clase lateralx+Nen un solo elementof(x+N) = f(x)deM

. Estoes,existeunafuncion unicahdeM/NenM

talqueh p = f.hesunhomomorsmodegrupos,puesh(x +N) +h(y +N) = f(x) +f(y) = f(x +y) = h((x +y) +N),ytambieneshomomorsmode -m odulos,puesh(x +N) = f(x) = f(x) = h(x +N).Comoh(p(x)) =f(x), ypessuprayectiva, setienequeimh =imf. Comoh(x +N) = 0si,ysolosi,f(x) = 0(i.e.,si,ysolosi,x ker f),tenemosquex +N (ker f)/N. Porlotanto,ker h = (ker f)/N.SienelteoremaprecedentetenemoselcasoenqueN= kerf,entonceshesunmonomorsmo. Asquef(M) = im f = M/ker f= coim f= M/N.26 CaptuloI TEORIADEMODULOS2.9NOTACION. El submodulogeneradoporlaunion iI Nidesub-m odulosNideun -m odulo Msedenotaracon iI Ni. Enparticular,elsubm odulogeneradoporN1 N2lodenotaremosconN1 +N2. AsqueN1 +N2 = x +y [ x N1, y N2.El homomorsmodeinclusiondeunsubmoduloNdeun-modulo sedenotar acon: N M.Hemos visto que la imagen de un homomorsmo f: M M

es esencial-mente un modulo cociente deM. Cual es el efecto defen los submodulosdeM?ComoserelacionaN/N N

conM/N?Debeserisomorfoaalg unsubm odulodeM/Nyelsiguienteteoremanosdiceprecisamenteacual.2.10TEOREMA. (Segundoteoremadeisomorsmo.) SeanN, N

sub-m odulosdeun -modulo M. Entonces(i) Para el homomorsmo de inclusion : NN+N

, se tiene que(N N

) N

y(ii) induceunisomorsmo

: N/(N N

)=(N +N

)/N

Demostracion.(i) es obvioque mandaN N

enN

, pues es el homomorsmodeinclusion.(ii) De(i),induceunhomomorsmo

: N/N N

N +N

/N

.Veamosque

esunmonomorsmo: sea[x] N/N N

tal que

([x]) = 0.Seax [x] N. Luegox =(x) N

(pordenicionde)y, porlotanto,x N N

. Entonces [x] = 0e

esmonomorsmo,por2.6.Veamosque

esunepimorsmo. Consideremos [z] (N +N

)/N

. Seax N,y N

tal que x+y [z] N+N

. Como y N

,x = (x+y)+(y) [z].Porlotanto,

mandaal elementox + (N N

) N/N N

en[z]. Luego,

esepimorsmo.Quepasacuandotomamoselmodulococientedeunmodulocociente?Veamosqueesteesisomorfoaunmodulococientesencillo.2.11 TEOREMA. (Tercer teorema de isomorsmo.) SeanM

M

M-modulos;entonces, (M/M

)/(M

/M

)= M/M

.Demostracion. Denamosf: M/M

M/M

mediantef(x +M

) = x +M

.2 TEOREMASDEISOMORFISMO 27fes un homomorsmo de -m odulos bien denido cuyo n ucleo es M

/M

.2.12 EJEMPLO.Seaf: ZZ ZZnunhomomorsmode ZZ-m odulosdadoporf(m) =rdonderesel residuodeladivisiondementren. Sabemosquefesepimorsmoconn ucleonZZ. Entonces ZZ/nZZ= ZZn.PROBLEMAS2.1 Pruebe que el submodulo de un -modulo Mgenerado por un subcon-juntoS ,= deMconsiste en todas las combinaciones lineales de elementosenS. SiS = ,entonces S) = 0.2.2 Pruebeque,enelteorema2.11,festabiendenida,esunhomomor-smode -m odulos ysun ucleoesM

/M

.2.3 Seap: M M/Nlaproyecci onnatural de-m odulos. Pruebequeexiste una correspondencia uno a uno entre los submodulos Kde M/Ny lossubm odulosintermediosdeMquecontienenaN,dadaporK p1(K).2.4 SeaMunIR-modulodedimensiontres. SeaNelsubmodulodeMdeelementosdeunarectaporelorigen. DescribaelcocienteM/N.2.5 Un -modulo Msellamasimplesisus unicossubmodulossonel 0yMmismo. PruebequetodomodulosobreuncampoKgeneradoporunsoloelementox ,= 0esunmodulosimple.2.6 Seaf: M Nunhomomorsmodel -m odulo simpleMenel -m odulo N. Pruebe que imf es unsubmodulosimple de Nyque, siim f ,= 0,entoncesfesmonomorsmo.2.7 Seaundominioentero. PruebequeM/T Mesun-modulo libredetorsion.2.8 Pruebequelos ZZ-m odulos QI /ZZyIR/ZZsondivisibles.28 CaptuloI TEORIADEMODULOSI.3 SUCESIONESEXACTASEnestaseccionestudiaremossucesionesnitaseinnitasdehomomors-mos M

fMgM

de-modulos. Comenzaremosporestudiarsucesionesenlascualeseln u-cleodelhomomorsmosalientecontienealaimagendelhomomorsmoentrante.3.1DEFINICION.Diremosqueunasucesionde -modulos Mi1fi1MifiMi+1fi+1es semiexacta enMisiim fi1 ker fi. Si es semiexacta en cada -modulo,lallamaremossucesi onsemiexacta.Estadenicionequivale, comoacontinuaci onveremos, aquelacom-posicionde los dos homomorsmos, el entrante yel saliente, es elhomomorsmotrivial.3.2PROPOSICION.Unasucesionde -modulos Mi1fi1MifiMi+1fi+1essemiexactaenMisi,ysolosi,lacomposicionfi fi1 = 0.Demostracion. SupongamosquelasucesionessemiexactaenMi. En-toncesimfi1 kerfi. Veamosquelacomposicionfi fi1(x)=0paratodax Mi1. Comofi1(x) im fi1 ker fi,tenemosquefi(fi1(x)) = 0.Luego,comoxesarbitraria,fi fi1 = 0.Supongamos quefifi1 = 0. Seay im fi1arbitraria. Entonces existex Mi1tal quefi1(x) =y. Entoncesfi(y) =fi(fi1(x)) = 0, porloquey f1i(0) = ker fi. Hemos visto que, siy im fi1, entoncesy ker fiparacualquiery. Luego,im fi1 ker fi.3.3DEFINICION.Diremosqueunasucesionde -modulos Mi1fi1MifiMi+1fi+13 SUCESIONESEXACTAS 29esexactaenMisi essemiexactaeimfi1 kerfi. Si esexactaencada-modulo,lallamaremossucesi onexacta.Equivalentemente,dichasucesionesexactaenMisi,ysolosi,im fi1 =kerfi. Todasucesionexactaessemiexacta, peronotodasucesionsemi-exactaesexacta. Aunasucesionexactadelaforma0 M

fMgM

0lallamaremossucesi onexactacorta.Nota. Amenudosuprimiremos delanotaciong f ysimplementeescibiremosgf.3.4 EJEMPLO. Sea Nun submodulo de un -modulo M. Consideremosel modulococienteM/N. Seai: N Mel monomorsmodeinclusionyp: M M/Nelepimorsmodeproyecci on. Entoncesimi = N= ker py,porlotanto,0 NiMpM/N 0esunasucesionexactacorta.Consideremosahoraunasucesionexactacorta0hM

fMgMgM

k0.Entonces im f= ker g, por lo que fes monomorsmo, pues 0 = im h = ker fy, ademas, gesepimorsmoporqueimg=kerk=M

. SeaN=imf=ker g que es unsubmodulode M, entonces f establece unisomorsmoN=M

y g establece otro isomorsmo M/N=M

. Por lo tanto,unasucesionexactacortaesunasucesionconunsubmoduloyel modulococientedeun -m odulo.Consideremosunasucesionexactade -m odulosN

fNgMhM

.Sea fun epimorsmo y h un monomorsmo. Entonces im f= Ny ker h = 0.Comolasucesionesexacta, N=imf=kergeimg =kerh = 0; luego, geselhomomorsmotrivial. Inversamente,sigeselhomomorsmotrivial,entoncesfesepimorsmoyhesmonomorsmo. Porlotanto,tenemoslasiguienteproposicion:3.5PROPOSICION.Si N

fNgMhM

esunasucesionexactade-m odulos, hesunmonomorsmosi, ysolosi, gestrivial; gestrivialsi,ysolosi,fesepimorsmo.30 CaptuloI TEORIADEMODULOS3.6EJEMPLO. Seaf: M Nunhomomorsmode-modulos. En-tonceslasucesion0 ker f MfN coker f 0esexacta.3.7 DEFINICION. SeanM,M

,N,N

-m odulos, conf,f

,g,g

homo-morsmosde -modulos. DecimosqueeldiagramaMf

N_g

_fM

g N

conmutasif f

= g g

: M N

.3.8PROPOSICION. SeanM

M

M

yN

N

N

dossucesionesexactascortas,ysupongamosque,enelsiguientediagramaconmutativoM

f

Mf M

_h

_h_h

N

g

Ng

N

,dos de los tres homomorsmo h

, h, h

son isomorsmos. Entonces el terceroestambienisomorsmo.Demostracion. Supongamosqueh

yh

sonisomorsmos. Veamosquehes monomorsmo: seax ker h; entonces gh(x)=0=h

f(x). Comoh

esisomorsmo, entoncesf(x) = 0. Porlotanto, existex

M

tal quef

(x

)=x, porserexactalasucesionsuperior. Entonceshf

(x

)=h(x)=0 = g

h

(x

). Comog

h

esinyectiva,entoncesx

= 0. Luego,f

(x

) = x = 0.Ahoraveamosquehesepimorsmo: Seay N. Comoh

esunisomor-smo,existex

M

talqueg(y) = h

(x

). Comofessuprayectiva,existez Mtalquef(z) = x

. Luego,g(y h(z)) = g(y) gh(z)= g(y) h

f(z)= g(y) h

(x

)= g(y) g(y) = 0.3 SUCESIONESEXACTAS 31Comolasucesioninferior es exacta, existey

N

cong

(y

)=y h(z).Comoh

esisomorsmo,existex

M

talqueh

(x

) = y

. Luegoh(f

(x

) +z) = hf

(x

) +h(z)= g

h

(x

) +h(z)= g

(y

) +y g

(y

)= ySidenimosx = f

(x

) +z,tendremosqueh(x) = y.Los otros dos casos posibles los dejamos como ejercicio, vease el problema3.5.Observemos que la Proposicion 3.8 establece los isomorsmos solo cuandoexiste la funcion h: M Ncompatible con los isomorsmos dados y el dia-gramaconmuta. Porejemplo,siconsideramoselsiguientediagrama0 ZZ2 ZZ4 ZZ2 0|/ |/0 ZZ2 ZZ2ZZ2 ZZ2 0esbienconocidoque ZZ2ZZ2noesisomorfoa ZZ4.3.9PROPOSICION. Consideremosel siguientediagramaconmutativoconrenglonesexactos:M

f

Mf M

0_h

_h_h

0 N

g

Ng N

Entoncesexisteunhomomorsmo: ker h

coker h

talquelasiguientesucesi onesexacta32 CaptuloI TEORIADEMODULOSker h

ker hkker h

coker h

k

coker h coker h

Demostracion. Denamos comosigue: sea c ker h

. Escojamosb Mtalquef(b) = c. Comogh(b) = h

f(b) = h

c = 0,existea

N

unicatalqueh(b) = g

(a

). Denamos(c) = [a

] coker h

.Veamosqueestabiendenida, esdecir, esindependientedelase-lecci ondeb: seab

Mtal quef(b

) =c. Entoncesexistea M

tal quef

(a)=b

b, i.e. b

=b + f

(a) yh(b + f

(a))=h(b

)=h(b) + g

h

(a). Porlotanto(c)=[a

+ h

(a)]=[a

]. esunhomomorsmo, ylassucesioneskerh

kerh kerh

ycokerh

cokerh cokerh

sonexactas(veaseelproblema3.8).Veamos laexactitudenker h

: si c ker h

es delaformac=f(b)paraalgunab kerh, queremosverquef(b)=(c)=[0], esdecir, queimk ker . Pero, comob ker h, h(b)=0=g

(a

). Luego, a

=0y[a

] = [0]. Porladenicionde,f(b) = (c) = [a

] = [0].Ahoraveamosqueimk ker: seac ker, esdecir, c kerh

y(c)=[a

] =0. Entonces c=f(b) yh(b)=g

(a

). Luego, como[a

] =0,a

im h

y, por lo tanto, existea M

tal queh

(a) = a

. Seab

= bf

(a) M. Entoncesf(b

)=f(b) ff

(a)=f(b)=c. Peroh(b

)=h(b) hf

(a)=h(b) g

(a

)=h(b) h(b)=0. Porlotanto, existeunab

kerhtal quec = f(b

),esdecir,c im k. Luego,lasucesionesexactaenker h

.Veamos laexactitudencokerh

: sea(c)=[a

] cokerh

. Queremosverque, si [a

] im, entonces[a

] kerk

. Seac =f(b), yh(b) =g

(a

).Entoncesk

[a

] = [g

(a

)] = [h(b)] = [0].Sea [a

] coker h

. Queremosverque,si [a

] ker k

,entonces [a

] im .Supongamosquek

[a

]=[0]. Entoncesg

(a

)=h(b)paraalgunab M, yc = f(b) ker h

. Luego, [a

] = (c).PROBLEMAS3.1 Pruebeque,enunasucesionexactade -modulosM

fMgM

hNkN

,fesunepimorsmoykunmonomorsmosi,ysolosi,M

= 0.3 SUCESIONESEXACTAS 333.2 Pruebeque, si 0 M 0esunasucesionexactade-modulos,entoncesM= 0.3.3 SeaM

fMgM

hN

kNqN

unasucesionexactade-homomorsmos. Pruebequeg, ksonhomomorsmostrivialessi, ysolosi, hesisomorsmo, yquehesisomorsmosi, ysolosi, fesepimorsmoyqmonomorsmo.3.4 Pruebeque, si 0 MhN0es unasucesionexactade-m odulos entonceshesunisomorsmo.3.5 Terminelademostraciondelaproposicion3.8.3.6 DemuestreelLemadelcinco: considereelsiguientediagramacon-mutativoconrenglonesexactos, M1 M2 M3 M4 M5_h1_h2_h3_h4_h5 N1 N2 N3 N4 N5dondeh1,h2,h4yh5isomorsmos. Entoncesh3esunisomorsmo.3.7 ProporcioneejemplosdesucesionesexactasdegruposabelianosM

M

M

yN

N

N

talesque(a) M

,= N

, M = N, M = N

(b) M = N

, M ,= N, M = N

(c) M = N

, M = N, M

,= N

3.8 Enlosterminosdelaproposicion3.9, pruebequeesunhomomor-smoyquelassucesionesker h

ker h ker h

y coker h

coker h coker h

sonexactas.34 CaptuloI TEORIADEMODULOSI.4 SUMAYPRODUCTODIRECTOSSea (Mi)iIuna familia de -modulos. Sea iI Misu producto cartesiano,esdecir, iI Mi = f: I iI Mi[f(i) Miparatodoi I. Queremosdeniren iI Miunaestructurade -modulo. Denamos+:

iIMi

iIMi

iIMimediantef +g: I _iIMi4.1i (f +g)(i) = f(i) +g(i).De inmediato se ve que + hace de Miun grupo abeliano. El elemento deidentidadbajolasumade Mieslafuncion0: I _Mii 0(i) = 0.Denamos:

iI Mi

iI Mimediante(, f) (, f) = f: I _Mi4.2i (f)(i) = (f(i)).Esfacil verqueestadenicion, juntoconlade+, hacende Miun-m odulo.4.3 DEFINICION.

iI Mi, junto con las deniciones 4.1 y 4.2, se llamaproductodirectodelafamilia (Mi)iIde -m odulosMi,i I.4.4DEFINICION. Sea iI Mi= f iI Mi[f(i) = 0paracasi todai I. iI Misellamalasumadirectadelafamilia (Mi)iI.Esclaroque,sielconjuntode ndicesIesnito,entonces

iIMi =

iIMi.4 SUMAYPRODUCTODIRECTOS 35Paracadaj Itenemosunepimorsmode -modulospj:

iIMi Mjj If pj(f) = f(j), f

iIMial quellamaremosproyecci onnatural del productodirecto iI MienMj.Larestricciondepja iI Misellamaraproyecci onnatural delasumadirecta iI MienMj.Tambienparacadaj I existeunmonomorsmoj: Mj iI Mi,dadoporx j(x)(i) =_x sii = j0 sii ,= jque se llama inclusi on natural del -modulo Mjen la suma directa

iI Mi.Por comodidaddenotaremos f(i) confi. Entonces, los elementos de

iI Mison familias (fi)iI. Con esta notacion, la suma y la multiplicaci onescalarson (fi)iI + (gi)iI= (fi +gi)iI,y(fi)iI= (fi)iI.Acontinuaci onestableceremos unapropiedadllamadauniversal delasumadirecta.4.5 TEOREMA. Si Mes un -modulo y j: Mj MjIes una familiadehomomorsmosde -modulos,entoncesexisteunhomomorsmo unico:

iI Mi Mtalque j = j,paratodaj I.Notese que dichoteoremacaracteriza, juntoconlas inclusiones, alasumadirecta, salvounisomorsmo unico. Enefecto, consideremos, porejemplo, el casoenque I = 1, 2. El teorema4.5nos dice que, dados1: M1 My2: M2 Mjuntoconlasinyecciones1: M1 M1 M2y2: M2 M1M2,existeunhomomorsmo unico: M1M2 Mquehaceconmutarelsiguientediagrama:M12M11 M1M22 M2Ahora, seaSun-m odulo; ysean

1: M1 S,

2: M2 Sinyeccionesquecumplan4.5. EscojamosM= M1M2yj= j, j = 1, 2. Como(S,

j)36 CaptuloI TEORIADEMODULOSsatisface4.5, existeunhomomorsmo unico: S M1 M2tal queelsiguientediagramaconmuta:M1M2i1i2M1i

1 Si

2 M2Ahoraescojamos M=Sen4.5con

j=

jtal queM1 M2cumplalascondiciones de ese mismo teorema. Entonces existe unhomomorsmo

: M1M2 Stalqueelsiguientediagramaesconmutativo:S

1

2M1i1 M1M2i2 M2El siguiente diagrama es conmutativo tanto para la identidad como para lacomposicion

.M1M2 1M1M2

M1 M1M2 M2Por launicidaddel teorema4.5setieneque1M1M2=

. Demanerasemejante, podemos concluir que

= 1S. Luego, y

son isomorsmos.Demostracionde4.5: Denamos((fj)jI) =

jI j(fj). Estoesposi-ble porque fj=0, excepto para unn umero nito dendices. Es facilcomprobar (problema 4.2) que :

jI Mj Mes el unico homomorsmotalqueelsiguientediagramaconmutaMjMjij Mjparatodaj I.Acontinuaci onestableceremoslapropiedadllamadauniversal del pro-ductodirecto. Comodenimosen4.3, iI Midenotaelproductodirecto4 SUMAYPRODUCTODIRECTOS 37de-m odulosMi. Unelementodelproductoesunafamilia(fj)jIdeele-mentos fj Mjsin ninguna restriccion, y las fjpueden ser diferentes de ceroparatodaj I. Lasumaestadadapor(fj)jI + (gj)jI= (fj + gj)jIylamultiplicaci on escalar por (fj)jI= (fj)jI. La proyecci on pj:

iI Mi Mjespj(fi)iI= fj.4.6TEOREMA. Si Mesun-m oduloy j: M MjjIesunafa-miliadehomomorsmos,entoncesexisteunhomomorsmo unico: M

jI Mjtalquepj = j,j I.Demostracion. Denamos((x))i=i(x). Esfacil verqueesunho-momorsmo tal quepj = j(problema 4.3). Veamos que es unico: supon-gamosqueexiste

tal quepj

=j. Entoncesj(x) =pj(x) =pj

(x).Luego,

= .Podemosdecir,debidoalaspropiedadesuniversalesdelasumadirectay del producto directo, que, para denir un homomorsmo desde una sumadirecta, essucientedenirhomomorsmosdesdecadasumando; yparadenirunhomomorsmohaciaelproductodirectoessucientedenirho-momorsmoshaciacadaunodesusfactores.Hemos visto que cuando consideramos productos directos, nos fijamos enlasproyecciones, yque, cuandoconsideramossumasdirectas, nosfijamosenlasinyecciones.4.7DEFINICION.DiremosqueunasucesionexactacortaM

fMg M

se escinde si existe unhomomorsmo g

: M

Mtal que gg

=1M .N otesequelasucesionM

fM

M

g M

esexactayseescinde.4.8PROPOSICION. Si M

fMg M

es unasucesionexactacortaqueseescinde,entoncesM = M

M

.Demostracion. Consideremoselsiguientediagrama:Mf g

M

M

M

M

M

M

38 CaptuloI TEORIADEMODULOSPorlapropiedaduniversaldelasumadirecta,existeh: M

M

M. Elsiguientediagramaesconmutativo:M

iM

M

M

pM

M

____h___M

f

Mg

M

g

es decir, f =h 1M (por lapropiedaduniversal de lasumadirecta) yg h = pM ,puesg h(x, y) = g(f(x) +g

(y)) = 0 +gg

(y) = yy,pM (x, y) = y(x M

, y M

). Luego,por3.8,hesunisomorsmo.Observese que cualquier sucesion exacta corta que se escinde es esencial-menteM

M

M

M

.4.9 TEOREMA.Siun -moduloMposeesubmodulosNyN

talesqueNN

= 0 y N+N

= M, entonces : NN

M, dado por ((y, y

)) = y+y

,esisomorsmo.Demostracion. Sean: N M,

: N

Mlasinclusiones. Entoncesexiste un ( unico) homomorsmo: N N

Mtal que = ,

=

(,

son las inclusiones en la suma directa). Si y +y

= 0, entonces y = y

N N

= 0,yesinyectiva. ComoN +N

= M, essuprayectiva.4.10COROLARIO. Seanf: M

Myg: M M

talesqueg f esunisomorsmo. EntoncesM = im f ker g.Demostracion. Veamosqueim f + kerg = M: seanx Myg(x) M

.Comogf: M

M

esunisomorsmo,existey M

talquegf(y) = g(x).Seanz =f(y) imfyz

=x z. Entoncesg(z

) =g(x z) =g(x) g(z) =gf(y) g(f(y)) = 0. Luego, z

kergy, porlotanto, z + z

imf + kerg,puesxeraarbitraria.Veamos queimf ker g=0. Seax imf ker g. Entonces, comox imf, existey M

tal quef(y) =x. Comox kerg, g(x) = 0. Luego,gf(y)=g(x)=0. Comogf es unisomorsmo, f(y)=0y, por lotanto,x = 0. Por4.9,M = im f ker g.4 SUMAYPRODUCTODIRECTOS 39PROBLEMAS4.1 Pruebeque iI Miy iI Mi,juntoconlasumaylamultiplicacionescalardenidasen4.1,4.2y4.4,poseenunaestructurade -modulo.4.2 SeaM= Mi, pj: M Mj, j: Mj Mloshomomorsmospro-yecci one inclusionrespectivamente. Demuestre que todoelementox Mse puede escribir enlaformax= jI j(pj(x)). Ademas, si los Mjsonsubmodulos deM, entonces x= jI xj(xjMj, casi todos cero).Demuestrequeestaexpresiones unica.4.3 Escribacondetallelasdemostracionesdelasproposiciones4.5y4.6.4.4 Pruebeque,paraunafamilia Njnj=1desubmodulosdeun -m oduloM,N1 + +Nn = MyNi(Ni + +Ni1 +Ni+1 + +Nn) = 0 (1 i n)si,ysolosi,elhomomorsmo:

nj=1Nj Mdadopor(y1, y2, . . . , yn) =y1 +y2 + +ynesunisomorsmo.4.5 Demuestre que (M

M) M = M

(MM

), y queMN = N M(Sugerencia: utilicelapropiedaduniversaldelasumadirecta).4.6 Un-moduloMsellamasemisimplesi Mes sumadirectadesub-m odulossimplesdeM. Demuestreque, paraun-moduloarbitrario, lassiguientesarmacionessonequivalentes:(i) Messemisimple.(ii) TodosubmodulodeMessumandodirectodeM.4.7 Pruebeque:(a) Si Nesunsubmodulodeun-modulosemisimpleM, entoncesNessemisimple.(b) Todomodulococientedeun -modulosemisimpleessemisimple.(c) Lasumadirectade -modulossemisimplesessemisimple.4.8 Demuestreque,si esuncampoK,entoncestodoK-moduloesunasumadirectadecopiasdeK.4.9 Pruebeque ZZ/mZZ/n= ZZ/mnsi,ysolosi, (m, n) = 1.40 CaptuloI TEORIADEMODULOS4.10 Demuestreque,dadaunasucesionexactade -modulos0 M

fMgM

0,lassiguientesproposicionessonequivalentes:(i) existeg

: M

Mtalqueg g

= 1M

(ii) existef

: M M

talquef

f= 1M

4.11 SeaM=

iI MilasumadirectadelafamiliadesubmodulosMideM, i I. Pruebeque, si T Mesel submodulodetorsiondeM, entoncesT M=

iIT Mi4.12 Demuestrequeunsumandodirectodeunmodulodivisibleesdivisi-ble.4.13 Pruebequeel productoylasumadirectademodulosdivisiblesesdivisible.5 HOM(M,N) 41I.5 HOM(M,N)Sea unanilloconmutativocon 1 ,= 0.Denotemos con Hom(M, N) el conjunto de homomorsmos del -m oduloMenel -m oduloN. Seanf, g: M N-homomorsmosydenamosf +g: M Nmediante (f +g)(x) = f(x)+g(x). De inmediato se compruebaqueestadenicionhacedeHom(M, N)ungrupoabeliano. Ahora, de-namosunamultiplicacionescalarf: M N, , mediante(f)(x) =(f(x)). Utilizando la conmutatividad de , es facil comprobar queHom(M, N) poseeunaestructurade-modulo. Noteseque, si noesconmutativo,entoncesHom(M, N)siempreesungrupoabeliano,peronoesnecesariamenteun -m odulo(veaseelproblema5.1).Sea: N

Nunhomomorsmode-modulosy(MfN

) unele-mentodeHom(M, N

). Asociemos af unhomomorsmo(MgN) Hom(M, N)medianteunafuncion = Hom(M, ): Hom(M, N

) Hom(M, N)dadapor(f) = f. Estaclaroqueesunhomomorsmo(degruposabelianossi esnoconmutativo)de-m odulos, llamadohomomorsmoinducidopor.5.1PROPOSICION. Sean: N

Ny

: N N

homomorsmosde -modulosyMun -modulo.(i) si 1N: N Neslaidentidad,entonces1N: Hom(M, N) Hom(M, N)eslaidentidad,y(ii) (

) =

.Podemosescribirlasarmacionesde5.1enelsiguientediagrama:42 CaptuloI TEORIADEMODULOS(Mf N

) Hom(M, N

)___ 1N_

_ 1N(Mg N) Hom(M, N) (

)____

_

(Mh N

) Hom(M, N

)Sea : M

M un homomorsmo de -modulos y (Mg N) Hom(M, N). Asociemosagunhomomorsmo (M

fN) Hom(M

, N)medianteunafuncion = Hom(, N): Hom(M, N) Hom(M

, N),dadapor(g)=g . Esclaroqueesunhomomorsmo(degruposabelianossi noesconmutativo)de-m odulos, llamadohomomorsmoinducidopor.5.2PROPOSICION.Sean: M

My

: M M

homomorsmosde -m odulosyNun -modulo.(i) si 1M: M Meslaidentidad,entonces1M: Hom(M, N) Hom(M, N)eslaidentidad.(ii) (

) = .Podemosescribirlasarmacionesde5.2enelsiguientediagrama(M

f N) Hom(M

, N)_1M___1M

(M N) Hom(M, N) (

)_

___(M

N) Hom(M

, N)5 HOM(M,N) 43Las demostraciones de 5.1 y5.2 sonconsecuencia de las deniciones(vease el problema 5.2). Observese que, en el casoHom( , N), las echasseinviertenal considerar los homomorsmos inducidos, mientras queenHom(M, ) lasechasdeloshomomorsmosinducidosnoseinvierten.EnelcaptuloIIestudiaremosestetipodesituaciones.5.3PROPOSICION.Sean MiiIy NiiIfamiliasde-m odulos, MyN-m odulos. Entonces(i) Hom(

iI Mi, N)=

iI Hom(Mi, N).(ii) Hom(M,

iI Ni)=

iI Hom(M, Ni).Demostracion. (i)Denamosmediante()=(i)iI. Esclaroqueesunhomomorsmo. Veamosqueesmonomorsmo: supongamosque() =0; entonces (i) =0 paracadai I. Es decir, enel siguientediagramaN0Mii Miel homomorsmo 0: Mi Nes tal que 0 = i. Luego, = 0. Por lo tanto,ker = 0.Veamosqueesunepimorsmo: sea(i)iI iI Hom(Mi, N). En-toncestenemosi: Mi Nparacadai I. Porelteorema4.5,existeunhomomorsmo:

iI Mi Ntal quei=iparacadai I. Luego,() = (i)iI.Lademostracionde(ii)essimilar(problema5.3).Noteseque,en5.3(i),Hom( , N)conviertelassumasdirectasenpro-ductos directos, y que, en 5.3 (ii), Hom(M, ) preserva productos y sumasdirectas.5.4PROPOSICION. SeaN

N

N

unasucesionexactade-modulos. Entonces,paracualquier -moduloM,lasucesioninducida0 Hom(M, N

)Hom(M, N)

Hom(M, N

)esexacta.44 CaptuloI TEORIADEMODULOSDemostracion. Veamosqueesinyectiva: supongamosque(f) = 0,esdecir,supongamosque ( f)(y) = 0paratoday M, f Hom(M, N

).Comoes unmonomorsmo,f(y) = 0 para today M. Luego,f= 0. Porlotanto,esinyectiva.Veamosahoraqueim ker

: supongamosqueg im. Luego,g = fparaalgunaf Hom(M, N

). Entonces

(g) =

g =

f= 0,pues

= 0. Luego,im ker

.Ahora, veamosqueim ker

: seag: M Ntal que

(g) = 0, esdecir,que

g = 0. Demostremosquegesdelaforma(f) = fparaalgunaf: M N

. Si x My

g(x) = 0, entoncesg(x) ker

=im.Luego, existe una unica y N

tal que (y) = g(x), pues es monomorsmo.Denamosf: M N

mediantef(x) = y = 1g(x). Luego,(f) = g.Observese que, auncuando

sea suprayectiva, engeneral

no essuprayectiva. Porejemplo, considereseel casoenque=ZZ, M=ZZ/n,N

= N= ZZyN

= ZZ/n(veaseelproblema5.4).Demanerasemejante,obtenemoslasiguiente5.5PROPOSICION. SeaM

M

M

unasucesionexactade-modulos. Entonces,paracualquier -moduloN,lasucesioninducidaHom(M

, N) Hom(M, N) Hom(M

, N) 0esexacta.PROBLEMAS5.1 Porque, siesunanillonoconmutativo, Hom(M, N)noesnece-sariamente -modulo?5.2 Pruebecondetallelasproposiciones5.1y5.2.5.3 DemuestrequeHom(M,

iI Ni) = iI Hom(M, Ni) paraM, NyNicomoenlaproposicion5.3.5 HOM(M,N) 455.4 CalculeHomZZ(ZZ/m, ZZ/n),HomZZ(ZZ/m, ZZ),HomZZ(ZZ, ZZ/n),HomZZ(QI , ZZ)yHomZZ(QI , QI ).5.5 Proporcioneejemplosenque(i) Hom(

iI Mi, N) ,=

iI Hom(Mi, N)(ii) Hom(

iI Mi, N) ,=

iI Hom(Mi, N)(iii) Hom(M,

iI Mi) ,=

iI Hom(M, Mi)(iv) Hom(M,

iI Mi) ,=

iI Hom(M, Mi)5.6 Demuestrelaproposicion5.5.5.7 Pruebeelinversodelaproposicion5.4: si0 Hom(M, N

) Hom(M, N) Hom(M, N

)esexacta,entonces0 N

N N

esexacta.5.8 Pruebeelinversodelaproposicion5.5: siHom(M

, N) Hom(M, N) Hom(M

, N) 0esexacta,entoncesM

M M

0esexacta.5.9 Pruebeque,si0 M

M M

0esunasucesionexactacortaqueseescinde,entonces0 Hom(M

, N) Hom(M, N) Hom(M

, N) 0esunasucesionexactacortaqueseescinde.46 CaptuloI TEORIADEMODULOSI.6 MODULOSLIBRESYPROYECTIVOSEnestasecciongeneralizaremosel conceptodegrupoabelianolibreparam oduloseintroduciremosel demoduloproyectivo, quehasidocrucial enel estudio de la Teora de Anillos y ha tenido importantes aplicaciones en laTeoradeRepresentaci ondeGruposyAlgebras,enGeometraAlgebraicayenTopologa.Consideremoslasumadirecta jJ jdelafamiliadeanillos j,j J,dondecadajes isomorfoaunanillojo, i.e., j=,j J. Seaj: j

jJ jlainclusionnatural. Escribamosj(1) = ej,dondeej = j,j=_1 sij = j

0 sij ,= j

, j

JLuego, cada x jJ jpuede escribirse en forma unica comox =

jJ xjej. A la funcion g: J

jJ j, dada por g(j) = ej, la llamare-mosfuncioncan onica. Acontinuacion, veamosquelapareja(

jI j, g)esunasoluciondeunproblemauniversal.6.1 PROPOSICION. Para todo -m odulo My para toda funcionf: J M, existe un homomorsmo unico :

jJ j Mtal que f= g.Demostracion. Lacondicionf= gquieredecirquef(j) = g(j) =(ej), j J, locual asuvezesequivalenteaque(ej) =f(j), ,j J; esto equivale a decir que j: j M, dada por f(j) j J,eshomomorsmo.Mj fjj jJ jg JElrestoesconsecuenciadelteorema4.5.6.2DEFINICION. Diremosquelafamilia(xj)jJdeelementosdeun-modulo Mes:(i) linealmenteindependientesiesinyectiva,(ii) unafamiliadegeneradoressiessuprayectiva,6 MODULOSLIBRESYPROYECTIVOS 47(iii) unabasesiesbiyectiva.En otras palabras, la familia (xj)jJes linealmente independiente si(

jJ jej) = jJ jxj= 0implicaquej= 0paratodaj J, j .Decirqueessuprayectivaequivaleadecir quetodoelementodeMsepuedeescribircomo jJ jxj,esdecir,comounacombinaci onlineal. De-cirqueesbiyectivaequivaleadecirquetodoelementox Msepuedeescribirdeuna, ysolamenteuna, maneraenlaformax =

jJ jxj, paratodaj J. Diremosqueunafamilia(xj)jJeslinealmentedependientesidichafamilianoeslinealmenteindependiente.Por denicion, jJ jes libre, y la familia (ej)jJes una base (llamadacan onica). Frecuentemente se identica aJcon el conjunto deejmedianteunabiyecci ondadaporj ej. DiremosqueunsubconjuntoXdeMeslinealmenteindependientesilafamiliadenidaporlafuncionidentidaddeXenXeslinealmenteindependiente,yXseraunabasedeMsilafamiliadenidaporlaidentidaddeXenXesunabasedeM. Porlotanto,todafamiliadenidaporunafuncionbiyectivadeunconjuntode ndicesJenun conjuntoXdeMes linealmente independiente o base, respectivamente.Tambien diremos que el subconjuntoXes linealmente dependiente siXnoeslinealmenteindependiente.Diremosqueun-modulo LeslibreconbaseenelconjuntoXsi Xesuna base paraL. Si un -modulo posee un conjunto nito de generadores,diremosqueesnitamentegenerado.6.3EJEMPLOS.(a) Todoespaciovectorialesun -modulo libresi esuncampo.(b) Notodo ZZ-modulo(i.e.,grupoabeliano)eslibre.(c) Todosubgrupode ZZesun ZZ-m odulolibre.(d) ZZ/ny QI noson ZZ-moduloslibres.6.4PROPOSICION.(i) jesun -m odulo libreconbase ejjJ.(ii) Si L es un -m odulolibre con base X, entonces es isomorfo a

jJ j.Demostracion. (i)Inmediatodeladeniciondesumadirecta.(ii)VeamosqueexisteunisomorsmoL =

jJ j. Seax =

jJ jxj.Denamos : L

jJ jmediante (x) = (j)jJ, y j: j L mediantej(j) = jxj. Lafamiliadehomomorsmosjdalugara:

jJ j L48 CaptuloI TEORIADEMODULOSutilizandolapropiedaduniversaldelasumadirecta. Luego, (x) = (

jJjxj)= (j)jJ=

jJj(j)=

jJjxj= xPorlotanto, = 1L. Analogamente, = 1

jJj.Hemosvistoqueun-modulolibreLesisomorfoa jJ j, yqueLsatisfacelapropiedaduniversal descritaen6.1. Estoes, si existendos-m odulos librescuyabaseesunmismoconjuntoX,estossonisomorfos,ydado un subconjuntoXde un -m odulo, siempre existe un -modulo libreconbaseX.6.5COROLARIO. Sea LiiIunafamiliade-modulos libres. En-tonces iI Liesun -modulo libre.6.6PROPOSICION. Todo-modulo Mes cociente de un-modulolibre.Demostracion. SeaXunsubconjuntodeMtal que X) =M. Enpar-ticular,podemos tomarX = M. Consideremos el -m odulo libre generadoporXy denotemoslo conL. Entonces la inclusionf: X Mse extiende aun homomorsmo: L M. ComoX = f(X) (L) M,y comoX = Mgenera aM,tenemos que(L) = M. Luego, es un epimorsmo y,por 2.8,tenemosqueM = L/ker .Nota: El hechodequeseescogieraX=Mnos dicequetenemos unconjuntomuygrandedegeneradores; puedehabermoduloslibresLmaspeque nosquebajovayanaM. Laproposicion6.6nosdicequeMpuededescribirsemediantegeneradoresyrelacionesprovistasporeln ucleode.En5.4vimosque,dadaunasucesionexacta0 N

N

N

6 MODULOSLIBRESYPROYECTIVOS 49lasucesioninducida,paraun -modulo M0 Hom(M, N

)Hom(M, N)

Hom(M, N

)es exacta. Es de esperar que sea interesante el caso en que

sea suprayec-tiva. A continuaci on estudiaremos una clase especial de -m odulos en que,siademas

esepimorsmo,entonces

esunepimorsmo.6.7DEFINICION.Un -modulo Psellamaraproyectivosi,paratodohomomorsmof: PN

yparatodoepimorsmo

: NN

de-m odulos,existeunhomomorsmoh: P Ntalque

h = f.Ph_fN

N

06.8PROPOSICION.SiPesun -modulo proyectivoyN

N

N

esunasucesionexacta,entonceslasucesioninducida0 Hom(P, N

)Hom(P, N)

Hom(P, N

) 0esexacta.Demostracion. Por5.4, lo unicoquenosrestaesprobarque

esunepimorsmo.

esunepimorsmosi, ysolosi, paratodohomomorsmof: P N

existeunhomomorsmoh: P Ntal que

(h) =f. ComoPesproyectivo, existeunah: P Ntal quef=

h. Luego,

(h) =

h = fy,porlotanto,

esunepimorsmo.6.9PROPOSICION. Si Lesun-modulo libre, entonces, paratodohomomorsmof: L N

y para todo epimorsmo

: N N

, existe unhomomorsmoh: L Ntal quef=

h. Es decir, siL es libre, entoncesLesproyectivo.Demostracion. SeaLlibreconbaseenel conjuntoX L. Como

esunepimorsmo, paratodaxi Xexisteg(xi) N, g: X N, tal que50 CaptuloI TEORIADEMODULOS

(g(xi)) =f(xi). ComoLeslibre, g: X Nseextiendeaunhomomor-smo unicoh: L N. Luego, como X) =L, si x = ni=1ixi L, i ,xi X,tenemosque

(h(x)) =

(h(n

i=1ixi))=n

i=1i

(g(xi))=n

i=1if(xi)= f(n

i=1ixi)= f(x)Luego,

h = f,puesxesarbitraria.6.10 PROPOSICION.P=

iI Pies un -modulo proyectivo si, y solosi,Piesproyectivo.Demostracion. Haremoslademostracionparai = 1, 2. El casogenerales analogo. Supongamos que P =P1 P2es un-m odulo proyectivo.VeamosqueP2esproyectivo: seanf: P2 N

,

: N N

,2: P2 Pyp2: P P2homomorsmosenelsiguientediagrama:P22 Pp2 P2k_hk_fN

N

0ComoPesproyectivo,existeunhomomorsmoh: P Ntalque

h =f p2. Seak = h 2: P2 N. Luego,

k =

h 2 = f p2 2 = f,puesp2 2 = 1P2. Porlotanto,P2esproyectivo. UnrazonamientoanalogomuestraquetambienP1esproyectivo.Supongamos ahoraqueP1yP2sonproyectivos. Sean

: N N

,h: P1P2 N

, h1 = h 1: P1 N

yh2 = h 2: P2 N

. ComoP1yP2sonproyectivos,existenk1yk2talesque

k1 = h1y

k2 = h2.6 MODULOSLIBRESYPROYECTIVOS 510N

hh1N h2k1k k2P11 P1P22 P2Porlapropiedaduniversal delasumadirecta, existek: P1 P2 Ntalquek 1 = k1yk 2 = k2. Entonces

k 1 =

k1 = h1 = h 1y

k 2 =

k2 = h2 = h 2Por la unicidad de 4.5, tenemos que

k = h. Luego, P1P2es proyectivo.6.11TEOREMA.SeaPun -m odulo. Entonceslossiguientespostula-dossonequivalentes:(i) Pesproyectivo.(ii) Todasucesionexactacorta 0 N

fNgP 0seescinde.(iii) Pesunsumandodirectodeun -m odulo libre.(iv) Paracualquiersucesionexactacorta0 N

N N

0, lasucesioninducidasiguienteesexacta:0 Hom(P, N

) Hom(P, N) Hom(P, N

) 0Demostracion. (i) (ii): SupongamosquePesproyectivo. Entonces,paratodag: N P e1P: PP, existe unah: PNtal que elsiguientediagramaconmuta:Ph_1P0 N

Ng P 0Estoes, 1P= g h. Porlotanto,lasucesionseescinde.52 CaptuloI TEORIADEMODULOS(ii) (iii): Por6.6Pesisomorfoalcocientedeun -modulo libreLyexiste un epimorsmo g: L P. Entonces consideramos la sucesion exactacorta0 ker g LgP 0Por hipotesis, existe h: P L tal que 1P= gh. Por 2.7, h es un monomor-smo; y por 4.10, L = im hker g. Luego, Pes isomorfo al sumando directoim hdeL.(iii) (i): Comotodo-modulo librees proyectivoytodosumandodirectodeunproyectivoesproyectivo,esinmediatalaequivalencia.(i) (iv)esinmediatade6.8y6.7.PROBLEMAS6.1 SeanX, T, Uconjuntosyf: X T, g: T Ufunciones. Seanf(X),f(T) y f(U) los -m odulos libres conbase X, T y U, respectivamente.Demuestreque:(i) Todafuncionf: X Tsepuedeextenderaunhomomorsmo unicoF(f): F(X) F(T)de -modulos libres.(ii) F(f g) = F(f) F(g).(iii) si 1XeslaidentidadenX,entoncesF(1X)eslaidentidadenF(X).(iv) fesinyectivasi,ysolosi,F(f)esmonomorsmo.(v) fessuprayectivasi,ysolosi,F(f)esepimorsmo.6.2 Sea = Kuncampo. PruebequetodoK-moduloeslibre.6.3 SeaKuncampo. PruebequetodaslasbasesdeunK-m odulotienenlamismacardinalidad.6.4 Pruebeque ZZ/nnoesun ZZ-moduloproyectivo,n 2.6.5 Pruebequeungrupoabelianonitamentegeneradoesproyectivosi,ysolosi,eslibre.6.6 Proporcione varios ejemplos de modulos proyectivos que no sean libres.(Sugerencia: considere = ZZ/6= ZZ/2 ZZ/3como ZZ/6-m odulo).6 MODULOSLIBRESYPROYECTIVOS 536.7 PruebequeZZ/mesunZZ/mn-m oduloproyectivocuandomynsonenterosprimosrelativosentres.6.8 Sea: H Gunhomomorsmodegrupos. SeaDelgrupogeneradoporloselementosdelconjuntoH Gsujetoalasrelacionesr1:(h, g)(h

, g) = (hh

, g) yr2:(h, g)(h

, g

)(h, g)1= (h

, g((h))g1g

)Sea: D Gel homomorsmodegruposdadopor(h, g)=g((h))g1y : GAut(D) la accion de Gen Ddada porg(h, g

) = (h, gg

),(h, h

H; g, g

G). Compruebeque(D, G, ) as denidoesunmodulocruzado,llamadomodulocruzadoinducidopor.6.9 Sea (L, G, ) un modulo cruzado. Diremos que L es un modulocruzadolibre con basexiiI(xi L) si, dado cualquier otro modulo cruzado(M, G

,

) yunhomomorsmo: G G

tal que ((xi)) =

(x

i), conx

I M,existeunhomomorsmo unico: L Mtalque(xi) = x

i,laes-tructura de modulo cruzado se preserva y

= ; es decir, (gx) =(g)(x)yelsiguientediagramaconmutaxiL G___x

iM G

Sea: HGunhomomorsmodegrupos dondeHes ungrupolibrecuyabaseesel conjuntoS. Compruebequeel modulocruzadoinducidopor , (D, G.), es precisamente el modulocruzadolibre cuyabase es elconjunto(S),donde: H Deslainclusiondadapor(h) = (h, 1)paratodah H.6.10 Al modulo cruzado (D, G, ) del problema anterior se le llama modulocruzado libre sobre . Sea L un G-modulo cruzado libre con baseS= siiI, yseaQ=G/L. PruebequeLabesunQ-modulolibrecuyabasesonloselementosdelaformasi[L, L]. (Lab=L/[L, L], donde[L, L] eselconmutadordeL.)6.11 Sea(X: R) unapresentaci ondel grupoQ, F ungrupolibre sobreX, MunF-modulocruzadolibreconbaseR, M0el grupolibresobreel54 CaptuloI TEORIADEMODULOSconjuntoR

cuyoselementosr

est anencorrespondenciaunoaunoconloselementosr R,: M0 FelhomomorsmoinducidoporlosrelatoresyNlacerraduranormaldeRenF. Pruebeque(a) (X: R)determinaunmodulocruzado unico (M, F, ),(b) siFposeedosgeneradoreslibres,entoncesZ(M) = ker ,(c) loselementosr

[M, M]formanunaQ-basedeMab,(d) elhomomorsmoinducidoker Mabesinyectivoylasucesion0 ker MabNab0esunapresentaci onQ-libredeNab.6.12 Sean(M, G, )y(M

, G

,

)dosmoduloscruzados. Unmorsmodem odulos cruzados consiste en una pareja (, ) de homomorsmos de grupostalesqueelsiguientediagramaconmutaM G__M

G

y(gx) =(g)(x).DiremosqueunG-m odulocruzadoPesproyectivosi,dadosymor-smos de G-m odulos cruzados con epimorsmo, existe un morsmo quehaceconmutarelsiguientediagrama:(P G)_(N G)

(N

G)Pruebeque,si (L, G, )esunmodulocruzadolibre,entoncesesunmodulocruzadoproyectivo.7 MODULOSINYECTIVOS 55I.7 MODULOSINYECTIVOSEstudiaremosunprocesodualaldeI.6.7.1DEFINICION. Un-modulo I sellamarainyectivosi, paratodohomomorsmof: M

I yparatodomonomorsmo: M

Mde-m odulos,existeunhomomorsmoh: M Italqueh = f.0 M

Mf _hI7.2PROPOSICION.SiIesun -modulo inyectivoy0 M

M

M

0esunasucesionexacta,entonceslasucesioninducida0 Hom(M

, I) Hom(M, I) Hom(M

, I) 0esexacta.Demostracion. Por5.5, lo unicoquenosrestaesprobarqueesunepimorsmo.Peroesunepimorsmosi, ysolosi, paratodohomomor-smof: M

I existeunhomomorsmoh: MI tal que(h)=f.Pero, comoI esinyectivo, existeunah: M I tal queh =f. Luego,(h) = h = fy,porlotanto,esunepimorsmo.7.3 PROPOSICION. SiI =

jJ Ijes un -modulo inyectivo, entoncesIjesinyectivo.Demostracion. Haremos la demostracion para j = 1, 2; el caso general esan alogo. SupongamosqueI=I1 I2esun-modulo inyectivo. VeamosqueI1esinyectivo. Seaf: M

I1unhomomorsmoy: M

Munmonomorsmo. Sea 1: I1 Ila inclusion y p: I I1 la proyecci on. ComoIesinyectivo,existeunhomomorsmok: M Italquek = 1 f.0 M

M_f_k hI11 Ip I156 CaptuloI TEORIADEMODULOSSeah = p k: M I1. Comop 1 = 1I,h = p k = p 1 f= f.Nota: Lasumadirectade-m odulos inyectivosnonecesariamenteesinyectiva.7.4PROPOSICION.Sea IjjJunafamiliade-modulos inyectivos,entonceselproductodirecto jJ Ijesinyectivo.Demostracion. Seanjypjlasinclusionesyproyeccionesdelproducto

jJ Ij. Consideremoselsiguientediagrama:0 M

M_f_hj h

Ijpj Ijj IjPorlapropiedaduniversal del productodirecto(4.6)existeh: M Ijtalqueh = f.7.5 TEOREMA. SeaIun -m odulo. Entonces los siguientes postuladossonequivalentes:(i) Iesinyectivo.(ii) Todasucesionexactacorta 0 I M M

0seescinde.(iii) Iesisomorfoaunsumandodirectodeun -moduloinyectivo.(iv) Paracualquiersucesionexactacorta 0 M

M M

0,lasucesioninducidasiguienteesexacta:0 Hom(M

, I) Hom(M, I) Hom(M

, I) 0Demostracion. (i) (ii): Supongamos queI es inyectivo. Entonces,paratodaf: I My 1I: I I,existeunah: M Italqueelsiguientediagramaconmuta0 If M1I_hIEstoes, 1I= h f. Porlotanto,lasucesionseescinde.(ii)(iii): Admitamos quetodo-modulo es isomorfoaunsubmo-dulodeun-modulo inyectivo. (Vease[M] pag. 93.) Entonces, existe7 MODULOSINYECTIVOS 57un-m odulo inyectivoMyunmonomorsmof: I M. SeaK=f(I)yconsideremosel cocienteM/K. Entoncestenemosunasucesionexacta0 IfMgM/K 0,que seescinde. Luego,Kes sumandodirectodeM. ComoMesinyectivoeI = K,tenemos(iii).(iii)(i): Inmediatode7.3.(i)(iv): Inmediatode7.2y7.1.PROBLEMAS7.1 Demuestrequetodo -modulo inyectivoesdivisible(veaseelproble-ma1.7).7.2 Pruebequecualquiercocientedeunmodulodivisibleesdivisible.7.3 Sea undominioentero. Demuestrequeunmodulosobre libredetorsi onesinyectivosi,ysolosi,esdivisible.7.4 Pruebeque,vistoscomo ZZ-modulos, QI /ZZyIR/ZZsondivisibles.7.5 Pruebeque, si NesunZZ-modulodivisible, entoncesHomZZ(, N)esun -modulo inyectivo.58 CaptuloI TEORIADEMODULOSI.8 M NSea unanilloconmutativocon 1 ,= 0. SeanM, NyT-modulos.8.1DEFINICION.Unafuncionf: M N Tesbilinealsicumplelassiguientespropiedades:f(x1 +x2, y) = f(x1, y) +f(x2, y)f(x, y1 +y2) = f(x, y1) +f(x, y2)f(x, y) = f(x, y) = f(x, y); x, x1, x2 M; y, y1, y2 N; .Dadosdos -m odulos MyN,construiremosunnuevo -m odulo TconlapropiedaddequelasfuncionesbilinealesMN Uestenencorres-pondenciaunoaunoconloshomomorsmos(funcioneslineales)T Uparatodo -m odulo U.8.2DEFINICION. El productotensorial deMyNeslapareja(T, f),dondef: MN T esbilineal, tal quesi Uesun-modulo yg: M N Uesbilineal,entoncesexisteunhomomorsmo unicode -modulosh: T UtalqueeldiagramasiguienteesconmutativoM Nf Tg _hUEsfacilcomprobarquef(M N)generaaT. (Veaseelproblema8.3).Veamos a continuaci on que, si existe, el producto tensorial de dos -m odulos es unico. Es decir, dados(T, f) y(T

, f

) dos productos tenso-rialesdeMyN, existeunisomorsmoentreT yT

. Estoesinmediato,pues, porserTunproductotensorial, existeh: T T

talquef

= h f.An alogamente,comoT

es un producto tensorial,existeh

: T

Ttal quef= h

f

.Consideremoslossiguientesdiagramas8 M N 59Tf_hM Nf

T

1Tf_h

TT

f

_h

M Nf T 1T

f

_hT

PorserTunproductotensorial,ycomo 1T: T Testalque 1T f= fytambienh

h f= f,porlaunicidadtenemosqueh

h = 1T. Demanerasemejante, porser T

unproductotensorial, ycomo1T : T

T

estalque1T f

=f

ytambienh h

f

=f

, setiene, porlaunicidad, queh h

= 1T . Porlotanto, hesunisomorsmo. EntoncespodemoshablardelproductotensorialdeMyNylodenotaremosconM N.Observemosqueel productotensorial dedos-modulos MyNposeelasiguientepropiedaduniversal: dadaunafuncionbilinealg: MN U,existeunhomomorsmo unicohquehaceconmutativoel siguientedia-gramaM Nf M Ng_hUAhoraveamos que, dados dos -m odulos MyN, siempre existe suproductotensorial: seaLel-modulo libreconbaseMN, esdecir, loselementosdeLsoncombinacioneslinealesconcoecientesen deparejasordenadas (x, y);x M,y N. SeaKelsubmodulodeLgeneradoporloselementosdelaforma(i) (x +x

, y) (x, y) (x

, y)(ii) (x, y +y

) (x, y) (x, y

)(iii) (x, y) (x, y), .60 CaptuloI TEORIADEMODULOSDenamos MN= L/K. Denotemos con xyla clase lateral (x, y)+K.Es inmediato comprobar quef: MN MN, dado porf(x, y) = xy,esbilineal. DebemosprobarqueM Nes, efectivamente, unproductotensorial. Paraello, sea U un-m odulo cualquiera. Consideremos eltri anguloM Nf Lg _h

Udondeg es bilineal. ComoLes libreconbaseMN, existeunhomo-morsmoh

: L Utal queg =h

f. Esfacil verqueh

seanulaenloselementos delaforma(i), (ii), (iii), por loqueK ker h

, einduceunhomomorsmoh: L/K Utalqueelsiguientetrianguloconmuta:M Nf L/Kg_hU= M NEsfacilcomprobarquehes unica(veaseelproblema8.2).N otese que, como f(MN) genera aMN, todo elemento t de MNpuedeescribirsecomot =

i(xiyi), i . Estaexpresionnoes unicapuessepuedenescogerdiferentesrepresentantesdeunaclaselateral.Debidoaloanterior,podemosalternativamentedenirM Ncomoel-modulo generadoportodoslossmbolosx y, x M, y N, sujetoalasrelaciones(i) (x1 +x2) y = x1y +x2y(ii) x (y1 +y2) = x y1 +x y2(iii) x y = x y; x1, x2, x M;y1, y2, y N; .Sean : M

My : N

N homomorsmos de -m odulos y : M

N

M Ndado por ( )(x, y) =((x), (y)). Seanf: M

N

M

N

yg: MNM Nlas funciones bilinealesrespectivas. Consideremos la funcion bilineal g(): M

N

MN.ComoM

N

eselproductotensorial,existeunhomomorsmo unicoh: M

N

M N8 M N 61quedenotaremoscon talqueelsiguientediagramaconmuta:M

N

f M

N

__M Ng M Ni.e., ()f(x, y) = g()(x, y), (x, y) M

N

. Luego ()(xy) =(x) (y),x M

,y N

.Como consecuencia de la unicidad de tenemos que M

M

M

yN

N

N

sonhomomorsmosde-modulos entonces(

) (

) = (

) ( ). Enparticular,lassiguientesProposicionessoninmediatas.8.3PROPOSICION. Sean: N

Ny

: N N

homomorsmosde -modulos yMun -m odulo. Entonces(i) si 1M: M My1N: N Nsonloshomomorsmosdeidentidadentonces 1M 1NeslaidentidaddeM N,y(ii) (1M

) (1M ) = (1M (

)).Podemosescribirlasarmacionesde8.3enelsiguientediagrama:N

_1NN

_

N

M N

_1M1M1NM N 1M(

)_1M

M N

Analogamentetenemoslasiguiente8.4PROPOSICION.Sean: M

My

: M M

homomorsmosde -modulos yNun -m odulo. Entonces62 CaptuloI TEORIADEMODULOS(i) si 1M: M My1N: N Nsonloshomomorsmosdeidentidad,entonces 1M 1NeslaidentidaddeM N,y(ii) (

1N) (1N) = ((

) 1N). Podemosescribirlasarmacionesde8.4enelsiguientediagrama:M

_1MM

_

M

M

N_1N1M1NM N (

)1N_

1NM

NSe tiene el siguiente resultado acerca del producto tensorial de una sumadirectade -m odulos8.5PROPOSICION. (i) SeanMyN-modulos conN= iI Ni.EntoncesM (

iINi)=

iI(M Ni)(ii)SeanMyN-modulos yM=

iI Mi. Entonces(

iIMi) N =

iI(Mi N)Demostracion. Sea g: M(

iI Ni) iI(MNi) dada porg(x, (yi)) = (x yi). Esfacilcomprobarquegesbilineal. Luego,existeh: M (

iINi)

iI(M Ni)talqueelsiguientediagramaconmuta:M (

iI Ni)f M (

iI Ni)g_h

iI(M Ni)8 M N 63Seai: M Ni M (

iI Ni) dadapori(x yi)=x Ni(yi) dondeNi: Ni

iI Nieslainclusion. Luego,por4.5,existeunhomomorsmo unico:

iI(M Ni) M (

iINi)tal quesi MNi: M Ni iI(M Ni) es lainclusionentonces i= MNi,esdecir,elsiguientediagramaconmutaparatodai IM (

iI Ni)iM NiMNi

iI(M Ni)Esfacilcomprobarque h = 1M(

iINi)yqueh = 1

iI(MNi). Lademostraci onde(ii)esanaloga.8.6PROPOSICION.(i)Si N

N

N

esunasucesionexactade-modulos yMun -modulo,entoncesM N

1M M N1M

M N

0esunasucesionexacta.(ii)Si M

M

M

esunasucesionexactade-m odulos yMun-modulo,entoncesM

N1N M N

1N M

N 0esunasucesionexacta.Demostracion. (i) Veamos que 1M

es unepimorsmo: sea t

=

(xi y

i ) M N

, xi M, y

iN

. Como

es unepimorsmo,existeyi Ntalque

(yi) = y

iparatodai. Luego, (1M

)(

(xiyi)) =

(xiy

i ).Veamos queim(1M) ker (1M

): (1M

)(1M) = (1M

) =1M 0 = 0. Luego,por3.2,setienelorequerido.Resta unicamentecomprobarqueim(1M ) ker(1M

), locualdejamosallector,ascomolaparte(ii).64 CaptuloI TEORIADEMODULOSEl resultadoanterioreslomejorquepodemosobtener. Porejemplo, siconsideramoslasucesionexactaZZ2.

ZZ

ZZ/2,donde2. denotalamultiplicaci onpordos, al hacerel productotensorialsobre = ZZconN= ZZ/2obtenemosZZ ZZ ZZ/22 ZZ ZZ ZZ/2 ZZ/2 ZZ ZZ/2|/ |/ |/ZZ/2 ZZ/2 ZZ/2pero 2noesinyectivo.Consideremoselcasoenque nonecesariamenteseaconmutativo. En-tonces,engeneral, nopodemosproporcionaraM Nunaestructuradem odulo:8.7DEFINICION.Seaunanillocon1(nonecesariamenteconmuta-tivo), Mun-m odulo derechoyNun-m odulo izquierdo. El productotensorial deMyNsobre, M N, esel grupoabelianoobtenidocomoelcocientedelgrupoabelianolibregeneradoporx y,x M,y Nentreelsubgrupogeneradopor(x +x

) y(x y +x

y)x (y +y

)(x y +x y

)x yx y x, x

M; y, y

N; .Observese que MNpuede obtenerse como el cociente de MZZNbajolasrelacionesx y = x y.PROBLEMAS8.1 (i)Compruebequef: M N M N,dadaporf(x, y) = x y,esbilineal. (ii) Sea un anillo no conmutativo. Sera el producto tensorial dedos -modulos izquierdos un -m odulo izquierdo?Explique su respuesta.8.2 Compruebeque,siLeslibreconbaseM NyKelsubmodulodeLquesatisfacelascondiciones(i),(ii)y(iii)delargumentopresentadosobre8 M N 65la existencia del producto tensorial, h

se anula en los elementos de la forma(i),(ii)y(iii)yqueelhomomorsmoh: L/K Ues unico.8.3 Demuestrequeunafuncionbilinealde -modulos f: M N Unoesinyectiva,amenosqueM= N= 0yquef(M N)generaaT.8.4 Enlaproposicion8.6,compruebequeim (1M ) ker (1M

).8.5 Demuestrelaparte(ii)delaproposicion8.6.8.6 SiM

, MyM

son -modulos,pruebeque(i) M M = M

M(ii) M

(M M

)= (M

M) M

.8.7 Demuestreque,siPesun -m odulo proyectivoy0 M

M M

0esunasucesionexactacorta,entonceslasucesion0 M

P M P M

P 0estambienexacta.8.8 Seanf: M M

yg: N N

monomorsmos de -m odulos. Pruebequef g: M N M

N

estambienunmonomorsmo.8.9 Pruebeque,paracualquier -modulo M(conmutativo,con 1 ,= 0),setieneque M = M = M .8.10 Proporcione ejemplos de laproposicion8.6(i), enlos cuales auncuando sea inyectivo, 1Mno lo sea. (Sugerencia: considere la sucesionexactacortaZZpZZ ZZ/p, donde p es lamultiplicaci onpor unn umeroprimop, = ZZyM= ZZ/p. Useel problema8.9paraprobarqueZZ/p ZZ ZZ= ZZ/p).8.11 Un -m odulo Nsellamaplanosi,dadaunasucesionexactacorta0 M

M M

0,lasucesioninducida0 M

N M N M

N 066 CaptuloI TEORIADEMODULOSesexactacorta.Demuestrequetodomoduloproyectivoesplano.8.12 Proporcioneejemplosqueestablezcanel hechodequelosmodulosplanosengeneralnosonproyectivos.8.13 SeanM, NyU-m odulos. PruebequeHomZZ(M N, U)= Hom(M, HomZZ(N, U)).Este importante isomorsmo relaciona a conHomZZy, como veremos enII.2.1,esunisomorsmonatural. VeasetambienelproblemaII.2.5.8.14 Utilizandoel problemaanteriorjuntoconel problema5.8, propor-cioneunademostraciondelaproposicion8.6(ii).8.15 SeaNun-m odulo detorsion. PruebequeM Nesdetorsionparacualquier -m odulo M.8.16 Sean y

dos anillos no necesariamente conmutativos. Pruebe que,(a) si Mesun-modulo izquierdo, Nun

-modulo, izquierdoyun-modulo derecho,Uun

-m oduloizquierdo,entoncesHom (N M, U)= Hom(M, Hom (N, U)).(b) si Mesun-m odulo derecho, Nun-modulo izquierdoyun

-moduloderecho,Uun

-moduloderecho,entoncesHom (M N, U)= Hom(M, Hom (N, U)).Losisomorsmossonnaturalesenel sentidodeladenicionII.2.1, comom asadelanteveremos.8.17 Pruebeque,si0 M

M M

0esunasucesionexactacortade -modulos queseescinde,entonces0 M

N M N M

N 0esunasucesionexactacortaqueseescinde.Captulo IICATEGORIAS Y FUNTORESLas categoras y los funtores surgen de la necesidad de unicar y simplicarsistemasmatematicos. Estosconceptosfueronintroducidos(1943a1945)porEilenbergyMacLane.Dichodeunamanerainformal, unacategoraconsisteenunaclasedeobjetosyunaclasedemorsmoscombinados adecuadamente, yunfuntoresunamaneraderelacionarlos.El desarrollodelaCohomologadeGruposfueunantecedenteesencialparaintroducirlosconceptosdecategorayfuntor,enparticular,elgrupode homologaH2(G, ZZ), descubierto por Hopf en 1942 (que resulto ser igualal multiplicadordeSchurde1902, i.e., R [F, F]/[F, F], G =F/R), yelgrupodetodaslasextensionesabelianasExt(G, N)delgrupoabelianoN.Losconceptosdecategora, funtorytransformacionnaturalem-pleados para interpretar los fenomenos ocurridos en la Topologa Algebraicafueron considerados por Eilenberg y Mac Lane, durante los 15 a nos siguien-tes a su invenci on, meramente como un lenguaje. Sin embargo, el conceptode construccion universal que introdujo P. Samuel en 1948 requera de unmarcocategorico,elcualfueprovistoporD.Kanen1958cuandoformul olaideadefuntoradjunto. Apartirdeentonces,lainvestigaci onenesta areasedesarrolloampliamente.Nuestropropositoesexponerel lenguajecategoriconecesarioparain-terpretarlosconceptosdel AlgebraHomologica, CohomologadeGrupos68 CaptuloII CATEGORIASYFUNTORESyK-TeoraAlgebraicadelossiguientescaptulos. Enlaseccion1presen-tamoslasdenicionesdecategora, defuntorydamosmuchosejemplos.Enlaseccion2introducimosel conceptodetransformacionnatural, yenlaseccion3establecemoslaterminologaqueutilizaremosenlossiguientescaptulos.II.1 CATEGORIASYFUNTORES1.1DEFINICION.UnacategoraCconstade(i) unaclasedeobjetosA, B, C.(ii) para cada par de objetos A, B C, un conjunto C(A, B) cuyos elemen-tossellamanmorsmosf deAenB,denotadosconf: A B.(iii) paracadaternade objetos A, B, CC, unaleyde composicionC(A, B) C(B, C) C(A, C)quesatisfacelossiguientesaxiomas:(a) C(A, B) = C(D, E)si,ysolosi,A = D,B = E.(b) Sif: A B,g: B Cyh: C D,entoncesh(gf) = (hg)f.(c) ParatodoobjetoA Cexisteunmorsmo1A: A Atal queparacualesquieraf: A Byg: C A,setienequef1A = fy1Ag = g.Al morsmo1Alollamaremosmorsmodeidentidad. Notesequenosepuededecir queCconstadetodos los objetos A, B, C,etc., pues esteconjuntoseraunatotal ilegitimidadenlateorausual delosconjuntos.Sinembargo, si adoptamoslosaxiomasdeGodel-Bernays-vonNewmannparalateorade conjuntos, tendremos totalidades mas grandes que losconjuntos, llamados clases, yentonces s podemos hablar delaclasedetodoslosobjetosA, B, C,etc.EnC(A, B) diremos que Aes el dominioyBel codominiode f. Lacomposiciondedosmorsmosfyg,escritag f,estaradenidasi,ysolosi, el codominiodef esigual al dominiodeg. Diremosqueunmorsmof: A Bes invertible oisomorsmosi existe unmorsmog: BAtal quegf=1Ayfg=1B. DiremosentoncesquelosobjetosAyBsonisomorfos,yescribiremosA= B.Acontinuaci onveamosalgunosejemplosdecategoras, as comolano-taci onqueenadelanteutilizaremos.1 CATEGORIASYFUNTORES 691.2 EJEMPLO. Conj denotar a la categora de los conjuntos. Sus objetosson los conjuntos y los morsmos son las funciones de un conjunto en otro.1.3EJEMPLO. Topdenotaralacategoradelosespaciostopologicos.Susobjetossonlosespaciostopologicosylosmorsmossonlasfuncionescontinuas.1.4 EJEMPLO. Gr consistir a en objetos llamados grupos y en morsmosllamadoshomomorsmos.1.5EJEMPLO.Similarmente,denotaremosporAb,An,An1,Mod,ModyEVklascategorasdegruposabelianos, anillos, anillosconele-mentos de identidad y homomorsmos que preservan la unidad, -m odulosizquierdos, -m odulosderechosydeespaciosvectorialessobreuncampokconmorsmosloshomomorsmoscorrespondientes,respectivamente.Acontinuaci on,veamoscomoserelacionaunacategoraconotra.1.6DEFINICION. SeanCyC

doscategoras. UnfuntorcovarianteF: C C

esunareglaqueasocia(i) acadaobjetoA C,unobjetoA

C

(ii) acadamorsmo (f: A B) C(A, B),unmorsmo(F(f): F(A) F(B)) C

(F(A), F(B))quesatisfacelassiguientescondiciones:(iii) F(f g) = F(f) F(g),y(iv) F(1A) = 1F(A).1.7 DEFINICION. Sean Cy C

dos categoras. Diremos que F: C C

es unfuntorcontravariante si satisface(i)y(iv)deladenicionanterior y,adem as,lassiguientesdoscondiciones:(ii) Acadamorsmo (f: A B) C(A, B)leasociaunmorsmo(F(f): F(B) F(A)) C

(F(B), F(A))(iii) F(f g) = F(g) F(f).70 CaptuloII CATEGORIASYFUNTORES1.8 EJEMPLO.DenamosunfuntorF: Conj ModtalqueacadaconjuntoXleasocieel -modulolibreF(X) conbaseX. Si f: X Yesunafuncionentreconjuntosentonces,comoF(X)esun -m odulolibre,f se extiende aunhomomorsmo unicoF(X) F(Y ). Es inmediatocomprobarqueFesunfuntorcovariante.1.9EJEMPLO. Seaunanilloconmutativocon1 ,=0. DeniremosHom(M, ):Mod ModmediantelareglaN Hom(M, N). PorI.5.1Hom(M, )resultaserunfuntorcovariante.1.10 EJEMPLO. Sea un anillo conmutativo. DenamosHom( , N):Mod ModmediantelareglaM Hom(M, N). PorI.5.2,Hom( , N)resultaserunfuntorcontravariante.1.11EJEMPLO. Seaunanilloconmutativo. Entonces por I.8.3yI.8.4, M:ModMody :ModModdados porN M NyM M N,respectivamente,sonfuntorescovariantes.1.12 EJEMPLO. Sea Top(X) la categora cuyos objetos son los abiertosdeunespaciotopologicoXycuyosmorsmossolamentesonlasfuncionescontinuasdeinclusion. EntoncesunapregavilladegruposabelianosesunfuntorcontravariantedeTop(X)enAb.PROBLEMAS1.1 Pruebeque,enlosejemplos1.2,1.3,1.4y1.5,Conj, Top, Gr, An,ModyEVksoncategoras.1.2 SeaF:Mod Conjdenidadelasiguientemanera: dadoun-m oduloM,F(M) denotar a el conjunto subyacente, es decir,Fle quita aMlaestructurade -m odulo. CompruebequeFesunfuntorcovariante.1 CATEGORIASYFUNTORES 711.3 Compruebeque( )ab: Gr Ab, dadoporG (G)ab=G/[G, G],esunfuntorcovariante. Aqu[G, G] denotaelconmutadordeG. ( )absellamafuntorabelianizador.1.4 PruebequeP: Conj Conj, queasociaacadaconjuntoSel con-junto de todos sus subconjuntos y a cada funcion de conjuntos f: S S

lafunci onP(f)queenvaalossubconjuntosdeSensuimagen,esunfuntorcovariante.1.5 SeaUunconjuntojo. Pruebeque( )U: Conj ConjS SUesunfuntorcovariante,dondeSUdenotaelconjuntodefuncionesdeUenS.1.6 Demuestre que ModZZ, cuyos objetos son familias de -m odulosM= MiiZZ, conmorsmos : MNdegradoj entreobjetos MyNdadoscomofamiliadehomomorsmosi: Mi Ni+jiZZ,formanunacategorallamadacategorade-modulosgraduados.1.7 CompruebequeGL( ): An1 Gry ( ): An1 Gr,queacadaanillo le asocia el grupo de matrices invertibles de nn con coecientes en y que a cada anillo le asocia su grupo de unidades , respectivamente,sonfuntorescovariantes.1.8 SeaCunacategora. Unmorsmof enCesmonomorsmosi paratodopardemorsmosg1yg2talesquefg1 = fg2,setienequeg1 = g2. Unmorsmofen C es epimorsmo si para todo par de morsmos g1yg2talesqueg1f= g2f,setienequeg1 = g2.Pruebequeunhomomorsmof enlacategorade-modulos es mo-nomorsmosi, ysolosi, es inyectivo; yes epimorsmosi, ysolosi, essuprayectivo.1.9 (a)Pruebeque,laclasedemoduloscruzadosjuntoconlosmorsmosdemoduloscruzadosconregladecomposicion72 CaptuloII CATEGORIASYFUNTORES(, )(

,

) = (

,

)formanunacategoraquedenotaremosconXMod.(b) Sea: H Gunhomomorsmodegruposysea(D, G, )elmodulocruzadoinducidopor (vease el problema I.6.8). Compruebe que(, ): (H, H, 1H) (D, G, ) (donde (h) = (h, 1), h Hes la inclusion)esunmorsmodemoduloscruzados.2 TRANSFORMACIONESNATURALES 73II.2 TRANSFORMACIONESNATURALES2.1DEFINICION. SeanCyDdos categoras y F, G: CDdosfuntores. Una transformaci on natural t de Fa G, t: F G, es una coleccionde morsmostA: F(A) G(A) en D, uno para cada objetoA C, tal que,paracualquiermorsmof: A BenC, (G(f)) tA = tB (F(f)),esdecir,elsiguientediagramaconmutaF(A)tA G(A)_F(f)_G(f)F(B)tB G(B)Siestosucede,diremosquetA: F(A) G(A)esnaturalenA.2.2 EJEMPLO. Sea V unespacio vectorial sobre uncampo k. SeaV#el espaciovectorial dual deV . Denamos unatransformacionlinealt: V V##dadaport(v) = v,donde v(f) = f(v), v V , f V#, v V##.Entonces t: 1 ( )##es una transformacion natural del funtor identidad1: EVk EVkalfuntordobledual ( )##.2.3DEFINICION. SeanCyDcategoras, F, G: C Dfuntores yt: F Gunatransformacionnatural. Diremosquetesunaequivalencianatural oisomorsmonatural si tA: F(A) G(A)esunisomorsmoparatoda A C. Si esto sucede, diremos que los funtores Fy G son equivalentesenformanatural.2.4DEFINICION. SeanCyDcategoras. SeaF: C Dunfuntor.DiremosqueFesunaequivalenciasi existeunfuntorG: D Ctal queGF, 1: C C son equivalentes en forma natural, y FG, 1: DD tambiensonequivalentesenformanatural. Si Fesunaequivalencia, diremosquelascategorasCyDsonequivalentes.Diremos que una categora es una categora peque na si su clase de objetoses unconjunto. Enel caso enque Csea una categora peque na yD74 CaptuloII CATEGORIASYFUNTOREScualquiercategora, podemoshablardelacategoradetodoslosfuntoresF: C DyladenotamosconDC.2.5DEFINICION.SeanCyC

doscategoras. El productocartesianoCC

consisteenlasparejas (A, A

),A C,A

C

ylosmorsmosCC

((A, A

), (B, B

)) = C(A, B) C

(A

, B

).2.6DEFINICION.CsellamarasubcategoradeDsi(i) C D(ii) C(A, B) D(A, B)paratodapareja (A, B) CC(iii) LacomposiciondecualesquieradosmorsmosenCeslamismaquesucomposicionenD,y(iv) 1AeslamismaenCqueenD.Diremos tambien que una subcategora C Des plena si C(A, B) = D(A, B)para toda pareja (A, B) CC. Por ejemplo, Ab es una subcategora plenadeGr. PeroAn1noesunasubcategoraplenadeAn.Estableceremosacontinuaci onunpocomasdeterminologa. Diremosque un funtor F: C D es pleno si Fenva a C(A, B) sobre D(F(A), F(B))paratodaA, B C. TambiendiremosqueFesel si FenvaaC(A, B)inyectivamenteenD(F(A), F(B)). FsellamaraencajeplenosiFespleno,eleinyectivoenobjetos.ObservesequeF(C)engeneralnoesnisiquieraunasubcategoradeDpero,siFesunencajepleno,entoncesF(C)esunasubcategoraplenadeD.Finalmente, tenemosunbrevecomentarioacercadel procesodeduali-zaci on: seaCunacategora. Podemos formar unanuevacategoraCOllamada categoraopuesta de C cuyos objetos son los mismos que los de C,peroCO(A, B) = C(B, A). Porejemplo, podemosdecirqueunfuntorcon-travarianteF: C DesunfuntorcovariantedeCOenD. DecimosqueCOseobtienedeCinvirtiendoechas. Esteproceso,llamadodualizacion,sepuedeaplicaradenicionesoteoremas,einclusoademostraciones. Sinembargo,amenudoseencuentranlimitacionesparaaplicarlo.2 TRANSFORMACIONESNATURALES 75PROBLEMAS2.1 Proporcionelosdetallesdelejemplo2.22.2 Unobjeto Bse llama inicial enCsi, para cada objeto A, existesolamenteunmorsmodeBenA; yunobjetoCsellamaterminal enCsi,paracadaobjetoAenC,existesolamenteunmorsmodeAenC.Pruebeque,siCesinicial(terminal),el unicomorsmodeCenCeslaidentidad,ycualesquieradosobjetosiniciales(terminales)sonisomorfos.2.3 Unobjetocero,denotadocon 0enunacategora,esunobjetoqueesinicialyterminalalavezenC.Demuestreque,siCposeeobjetocero, estees unico,salvoisomorsmo,yque,paracualesquieradosobjetosA, B C,existeun unicomorsmoA 0 BllamadomorsmocerodeAaB.2.4 Pruebe que la categora Conj no posee objeto cero y que las categorasAbyModsposeenobjetocero.2.5 CompruebequelosisomorsmosdelosproblemasI.8.13yI.8.16sonnaturales.2.6 Compruebequedet: GLn( ) ( )esunatransformacionnaturaldeGLn( )a ( ).2.7 Sea Cuna categora conobjeto cero. El n ucleo de unmorsmof: A Besunmorsmok: U Atalque(i) fk = 0 y(ii) sifq = 0paraq: U

A,entoncesq = khconh unico.U

[ q[h Af B_kUDenaelconceptodecon ucleodeunmorsmoenCdualizandoade-cuadamenteelden ucleo.76 CaptuloII CATEGORIASYFUNTORES2.8 Sean C, C

y Dcategoras. Proporcione una denicion adecuada de unfuntorF: CC

D,quellamaremosfuntordedosvariablesobifuntor,de (C, C

)enD.2.9 Sea G0ungrupo jo. Pruebe que la categora cuyos objetos sonm oduloscruzados (M, G0, )esunasubcategoraplenadeXMod.3 PRODUCTOSFIBRADOSYCATEGORIASABELIANAS 77II.3 PRODUCTOSFIBRADOSYCATEGORIASABELIANASLas siguientes deniciones se conocen como propiedadesuniversales para elproductoycoproducto.3.1DEFINICION. SeaCunacategorayseanA, BdosobjetosdeC.El productodeAyBenCconstadeunobjetoPenCydosmorsmos,p: P Ayq: P B,talesque,paracualesquieradosmorsmosf: X A y g: X B en C, existe un morsmo unico h: X Ptal que el siguientediagramaconmuta:Xf_h gAp Pq Besdecir,f= phyg = qh.Dualizandoladenicionanterior,tenemoslasiguiente3.2 DEFINICION.SeaCunacategorayseanAyBdosobjetosdeC.ElcoproductodeAyBenCconstadeunobjetoQenCydosmorsmosi: A Q y j: B Q, tales que, para cualesquiera dos morsmos f: