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Unidad 4. lgebra de Boole y Puertas Lgicas

4.1 El lgebra de Boole

El lgebra de Boole, se llama as gracias a George Boole (1815-

1864), un matemtico ingls, que la defini como parte de un

sistema lgico que explica cmo utilizar las tcnicas algebraicas

para tratar expresiones de la lgica proposicional.

Hoy en da y desde hace varias dcadas se aplica de forma

estndar en el mbito del diseo electrnico. Fue Claude

Shannon el primero en aplicar el lgebra booleana en el diseo

de circuitos de conmutacin elctrica biestables, en 1948. Esta

lgica se puede aplicar a los siguientes campos:

Al anlisis, ya que es una forma concreta de describir cmo funcionan los circuitos.

Al diseo, teniendo una funcin, se le aplica lgebra, para poder desarrollar la

implementacin de la funcin.

De acuerdo a lo anterior el lgebra de Boole permite expresar de una forma ms

eficiente las operaciones de los circuitos lgicos que son los componentes principales de

la computadora, el conjunto de elementos toma dos valores 0 y 1 o verdadero o falso.

Propiedades del algebra booleana

1) Las dos operaciones son conmutativas, si a y b son elementos del algebra se

verifican:

a+b =b+a

a.b =b.a

2) Los elementos neutros son el 0 y el 1 que cumplen la propiedad de identidad con

respecto a cada una de dichas operaciones.

0+a =a 1.a =a

3) Cada operacin es distributiva con respecto a la otra.

a. (b+c) = a. b + a. ca + (b. c) = (a + b). (a +c)

4) Para cada elemento a del algebra existe un elemento denominado a, tal que.

a + a =1 a. a =0

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Sobre los elementos y variables lgicas se pueden realizar las siguientes operaciones:

En la prctica el operador del producto lgico () se suele omitir, por lo que la expresin

AB se escribe AB.

4.2 Aritmtica binaria

Las operaciones siguientes se pueden hacer con los elementos y variables lgicas:

Las operaciones comunes del sistema binario tales como sumar, restar,

multiplicar y dividir se hacen de igual forma que en decimal, sin embargo,

en la electrnica interna de algunas mquinas digitales puede ser que

solo tenga la capacidad para sumar.

Las operaciones diferentes a la suma se consiguen mediante un

conjunto de sumas: por ejemplo la resta de dos valores se realiza

sumando a uno de los valores el complemento del otro.

El producto se hace sumando a s mismo uno de los factores, tantas

veces como indique el otro factor.

La eficacia radica en que tan veloz sea el procesador, es comn que un

coprocesador matemtico este dedicado solo para operaciones, lo que

reduce la carga del procesador central. La divisin es repartir a partes

Iguales, que se consigue por aproximaciones sucesivas.

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4.3 Tipos de datos

El tipo de dato dentro del algebra booleana es lgico o vulgarmente booleano y

representa dos valores: falso o verdadero, son utilizados ampliamente en computacin,

programacin, estadstica, electrnica, matemticas y otras ms.

La obtencin de un dato lgico a partir de otros tipos es necesario una operacin que

utilicen operadores relacionales:

Ejemplo

(A > B) = 1 Verdadero

(8 > 10) = 0 Falso

Ya tenemos uno o varios datos booleanos, se combinan en expresiones lgicas

mediante los operadores lgicos: AND, OR, NOT, etc.

Ejemplo:

Verdadero AND falso-->falso

Falso OR verdadero-->verdadero

NOT verdadero -->falso

4.4 Adicin, producto, sustraccin y Divisin

Adicin, sustraccin, producto, divisin y negacin

Adicin.

Adicin (+) asigna a cada par de valores a, b del conjunto de A un valor c de A.

Su equivalencia en lgica de interruptores es un circuito de dos interruptores en paralelo.

Si uno de los valores de a o b es 1, el resultado ser 1, es necesario que los dos

sumandos sean 0, para que el resultado sea 0

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Resta

Resta (-) asigna a cada par de valores a, b del conjunto de A un valor c de A

Si a>=b, existen tres posibilidades0-0=0,1-0=0 y 1-1=1.

El resultado es el bit de diferencia c

Si A

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Negacin.

Negacin, representa el opuesto del valor de a un interruptor inverso equivale a esta

operacin:

4.5 Teorema de Morgan

Los teoremas o leyes de Morgan es una parte de la lgica proposicional y analtica, su

creador fue Augustos de Morgan (1806-1871).

Los teoremas establecen que la suma de "n" variables negadas es igual al producto de

las "n" variables negadas individualmente.

=

Inversamente, si el producto de n variables negadas es igual a la suma de las n

variables negadas individualmente.

= +

Los teoremas anteriores permiten transformar funciones producto en funciones suma y al

contrario.

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La utilidad de los teoremas es en realizar circuitos utilizando un solo tipo de puerta:

Por tablas de verdad:

= = + = + =

El lgebra booleana utiliza los teoremas para simplificar las expresiones y funciones

booleanas y para obtener el complemento de una expresin o funcin.

4.6 Mtodo de Karnaugh

La tabla, el mtodo o mapa de Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado como mapa-

K o mapa-KV, es una representacin grfica para la simplificacin de funciones

algebraicas booleanas. Este mtodo fue desarrollado en 1950 por Maurice Karnaugh,

un fsico y matemtico de los laboratorios Bell.

Este mtodo considera la capacidad del cerebro humano para el reconocimiento de

patrones y otras formas de expresin analtica, permitiendo reducir los clculos extensos

para la simplificacin de las expresiones booleanas.

El mtodo consiste en una representacin bidimensional de la tabla de verdad de la

funcin a simplificar. Su correspondiente tabla de verdad de una funcin de N variables

posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer tambin 2N cuadrados.

Las variables de la expresin son ordenadas en funcin de su peso y siguiendo el cdigo

Gray, de manera que slo una de las variables vara entre celdas adyacentes. La

transferencia de los trminos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de

forma directa, albergando un 0 o un 1, dependiendo del valor que toma la funcin en cada

fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.

Ejemplo: Simplificar la funcin de dos variables F=A'B+AB'+AB

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Paso 1.- Representar en un mapa de dos variables, en una tabla de verdad.

El mapa como tal es:

Se divide el mapa en dos tringulos iguales o lo indica con la diagonal A\B. Las variables

con las que se est trabajando se colocan en cada una de esas divisiones. La columna es

la A y la fila la B:

El smbolo mn representa los trminos mnimos. Se colocan 0s y 1s tanto en la columna

como en la fila. Cuando A=O (tambin puede colocarse A' en vez del 0) y cuando A=1 se

coloca A.

Con los antecedentes probemos ahora como sera con un mapa de Karnaugh:

O representarlo de esta forma:

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El llenado de la tabla: se pone un 1 en todos los trminos mnimos que contenga la

funcin para la funcin F=A'B+AB'+AB son m1, m2 y m3, respectivamente o donde la

tabla de verdad indique, que son los grupos (A, B) = (0,1), (1,0) y (1,1).

Una vez listo el mapa, se marcan las regiones contiguas que contengan 1. En la imagen

se observan cmo se marcan dos regiones y son en s las simplificaciones. La regin

verde involucra solamente a la B, eso representa y la regin naranja, por su parte,

Involucra solamente a la A.

Grficamente identificadas las regiones se obtiene la funcin simplificada y para el

ejemplo desarrollado es F=A+B, porque el nico 0 que contiene la funcin es M0 y dicho

trmino mximo es A+B. Si revisamos la tabla de verdad nuevamente viendo la tabla, se

Concluye que la operacin es una OR.

El agrupamiento se hace forma de rectngulo.

Para una funcin con n variables:

Un rectngulo que ocupa una celda equivale a un trmino con n variable.

Un rectngulo que ocupa dos celdas equivale a un trmino con n-1 variables.

Un rectngulo que ocupa 2n celdas equivale al trmino de valor 1.

Todas las agrupaciones tendrn un nmero par de celdas -2n celdas- con la excepcin de

cuando es una celda nica. Por lo tanto, para encontrar expresin ms simplificada se

debe:

Minimizar el nmero de rectngulos que se hacen en el mapa de Karnaugh, para

minimizar el nmero de trminos resultantes.

Maximizar el tamao de cada rectngulo, para minimizar el nmero de variables

de cada trmino resultante.

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4.7 Puertas Lgicas

Las puertas o puertas lgicas son dispositivos electrnicos, compuestos a partir de otros

componentes electrnicos discretos, y son la expresin fsica de los operadores

booleanos.

Normalmente, cuando algn diseo electrnico requiere alguna puerta lgica, no se la

construye componente a componente, sino que se recurre a circuitos integrados

especializados que contienen puertas completas en su interior.

Las puertas lgicas no se distinguen de otro circuito integrado cualquiera. Son los

cdigos que llevan escritos permiten distinguir las distintas puertas lgicas entre s o

diferenciarlas de otro tipo de integrados

4.7.1 Puerta OR

Una puerta con dos entradas a y b, Y una salida s, al realizar la operacin OR sobre las

entradas a, b, el valor de la salida, s sera:

s = a + b s = a OR b

La funcin OR con dos entradas, esquema y tabla de verdad.

La tabla de verdad arroja que si cualquiera de las entradas de una puerta OR es

verdadera, la salida tambin ser verdadera; cualquier otra combinacin nos dar una

salida falsa.

La operacin OR es bsicamente una suma, donde la suma de 1 + 1 ser siempre igual a

1.

Supongamos que la puerta tiene ms dos entradas, el anlisis es el mismo, por ejemplo:

s = a + b + c + d se lee como s es igual a : a mas b ms c ms d.

s = 1+ 1 +1 + 1 = 1

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4.7.2 Puerta NOR

La puerta NOR es la unin de las puertas OR y NOT y da como resultado la puerta NOR.

Compuerta OR

Puertas OR y NOT

Puerta NOR, esquema y tabla de verdad.

El resultado de la puerta NOR es la negacin de la salida OR, en cualquier combinacin

de las entradas.

Operacin OR s=a+b se lee s es igual a : a mas b

Operacin NOR s=a+b se lee s es igual a: a mas b negada

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4.7.3 Puerta AND

La puerta con dos entradas a y b, y una salida s, al realizar la operacin AND sobre las

entradas A, B, el valor de la salida, s seria:

s = a * b o grficamente s = a AND b

La siguiente tabla representa la tabla de verdad para una puerta tipo AND, y su smbolo

grfico.

Puerta AND, esquema y tabla de verdad

La tabla de verdad arroja que si todas las entradas de una puerta AND son verdaderas, la

salida tambin ser verdadera, cualquier otra combinacin nos dar una salida falsa. Por

lo que podramos resumir la operacin AND como:

Si a y b son 1, s ser 1

s = a * b se lee como s es igual a : a por b

La operacin AND es una multiplicacin, por lo que 1 * 1 siempre ser igual a 1.

Supongamos que la puerta tuviera ms entradas, la operacin sera la misma, por

ejemplo:

s = a * b * c * d se leera como: s es igual a: a por b por c por d.

s = 1 *1 * 1* 1 = 1

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4.7.4 Puerta NAND

La puerta NAND es la unin de las puertas AND y NOT.

Puerta NAND, con dos entradas, esquema y tabla de verdad

El resultado de la puerta NAND es la negacin de la salida AND, en cualquier

combinacin de las entradas.

AND s=a*b se lee s es Igual a: a por b

NAND s= se lee s es igual a: a por b negada

4.7.5 Puerta OR exclusiva

Es un circuito combinado que se usa para la generacin, muestreo y verificacin de

paridad en los circuitos digitales que trabajan con datos.

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Puerta XOR, con dos entradas, esquema y tabla de verdad

La tabla de verdad nos arroja que si las dos entradas de una compuerta OR exclusiva son

de igual valor, la salida siempre ser falsa, y si son de diferente valor, la salida siempre

ser verdadera.

s= * b + a* se lee como s es igual a: a negada por b mas a por b negada

4.7.6 Puerta NOR exclusiva

La puerta NOR exclusiva es unin de las compuertas AND, OR y NOT para dar como

resultado la compuerta NOR Exclusiva

Puerta NOR exclusiva

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La tabla de verdad nos arroja que si las dos entradas de una compuerta OR exclusiva son

de igual valor, la salida siempre ser verdadera y si son de diferente valor, la salida

siempre ser falsa.

s= a* + + b se lee s es igual a: a por b ms a negada por b negada

4.7.7 Puerta NOT

La puerta NOT, este tipo de puertas slo tienen una entrada, nuestra salida siempre ser

el opuesto a la entrada, al realizar la operacin NOT en la entrada, el valor de s sera:

s= a Negada grficamente s =

Puerta NOT, esquema y tabla de verdad

La tabla de verdad nos arroja que la salida de una puerta NOT -negacin- siempre ser

contraria a la entrada.

4.8 Ms simbologa

Los smbolos vistos hasta ahora son considerados normales con tres compuertas bsicas

y dos uniones bsicas de compuertas lgicas con sus smbolos, sin embargo hay otros

smbolos alternativos que representan las mismas puertas: