Álgebra-1_expresiones alg.ppt

Colegio Hermanos Carrrera

Departamento de Matemática – Prof. Roberto Medina Unidad 2

Álgebra y funciones Objetivos:- Conceptos algebraicos básicos - Valoración de expresiones algebraicas - Reducción de términos semejantes - Notación algebraica - Ecuaciones literales, función lineal y afín - Composición de funciones

Unidad 2 Álgebra y funciones

• Álgebra: es la rama de las Matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las distintas operaciones aritméticas.

• El álgebra elemental, se encarga de operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división, elevar a una potencia y obtener una raíz), pero que a diferencia de la aritmética, utiliza también letras (a, x, y).

• Esto permite formular leyes generales y hacer referencia a números desconocidos (incógnitas), lo que posibilita el desarrollo de ecuaciones y el análisis correspondiente a su solución.


La palabra Álgebra proviene del nombre de un matemático árabe del siglo IX, llamado Muhanmad Ibn Musá Aljwarizmi, quien escribió el primer libro o tratado sobre el Álgebra. También la palabra algoritmo, que designa un procedimiento especificado paso a paso para resolver un problema, proviene de este matemático.


Muhanmad Ibn Musá Aljwarizmi (? – 850) Matemático árabe. Escribió

una obra titulada Libro de la reducción, cuya versión latina tuvo gran influencia en la matemática europea hasta mediados del siglo XV. En ella indicó las primeras reglas del cálculo algebraico como:

- la transposición de los términos de uno a otro miembro de una ecuación, previo cambio de signo

- la anulación de términos idénticos en ambos miembros.

- También estudió las ecuaciones de segundo grado y otros problemas matemáticas.


I.- Conceptos algebraicos básicos:

Término algebraico: es el producto de una o más variables y una constante literal o numérica.

Ejem:

3x, 5xy2, -2mnp3, x2y3z, πr2,


Un término algebraico consta de los siguientes elementos, ejemplo:

– 5axy2z3 Signo: + o - , y es parte del coeficiente numérico Coeficiente numérico: es un número entero,

fraccionario, o decimal, que multiplica o divide al factor literal, incluido el signo

Factor literal o variables: es la letra o conjunto de letras que es multiplicada por el coeficiente numérico

Grado: es la suma de los exponentes del factor literal


Para el ejemplo anterior, tenemos:

– 5axy2z3

Que - 5, es el coeficiente numérico; axy2z3 el factor literal, y el grado, es la suma de los exponentes de las letras, es decir, 7

Coeficiente numérico

– 5

Factor literal

axy2z3

Grado 1+1+2+3=7


Complete la tabla:

Término algebraico

Coeficiente numérico

Factor literal Grado

5x2yz3

-3xw2

-z

0,25x2y2z2

-1000xy


Expresiones algebraicas: es una combinación de letras y números ligadas o unidos por los signos de las operaciones: adición, o sustracción

Ejem:

x+y+z, 2x2y – 3xy2, 5x2 – 3y, 0,2x - 3


Variables y constantes: en las expresiones algebraicas, son constantes, los valores de los coeficientes numéricos, es decir, valores que no cambian; en cambio, los factores literales, son elementos variables, que pueden tomar distintos valores numéricos según el tipo de problema a resolver


Evaluación de expresiones algebraicas: evaluar o valorar una expresión algebraica, significa asignar un valor numérico (o literal) a cada variable de los términos y resolver las operaciones indicadas en la expresión para determinar su valor final.


Ejem.: Calcula el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas, considerando que: a = 2, b = 5, c = -3, y d = -1

a) 5a2 – 2bc – 3d = b) 7bc – 3ad =

c) -3b2 – 2c2 + (a+d)2 = d) a + b + c + d =

e) a2 – b2 + c3 – d3 = f) ab – cd =


Reducción de términos semejantes y uso de paréntesis: se denominan términos semejantes de una expresión algebraica a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes.

Ejem: en la expresión 5a2b + 3axb – 7a2b + 12axb – 25ax2b + 120


Son términos semejantes:

5a2b + 3axb – 7a2b + 12axb – 25ax2b + 120

5a2b y – 7a2b; y también lo son

3axb y 12axb pues tienen iguales factores literales, en cambio

– 25ax2b y 120 son términos independientes sin semejantes


Reducir términos semejantes consiste en sumar los coeficientes numéricos (considerando sus signos, + o - ), conservando el factor literal que le es común.

Ejem.: al reducir términos semejantes en la expresión 5x – 9y + 3x2 – 12x +20y + 25 =

Se llega a: -7x + 11y + 3x2 + 25 =


Encuentra los términos semejantes y reduce en:

a) 5b + 3axb – 7b + 12axb – 25ax2b =

b) bx2 + 3axb – 7bx2 + axb + 11 =

c) abcx2 + 120bc - 12abcx2 + ac2 =

d) 5x + 3y – 2z – 15x + 55y + 20z =

e) 5x2 – 2y2 + z3 + 10x2 +220y2 – z3 =


Definición de Monomio, Binomio, Trinomio, Multinomio y Polinomio:

Monomio. Un Monomio es una expresión algebraica de un sólo término algebraico que contiene; un signo (+, -), un número llamado coeficiente numérico y una o varias literales (letras) conocidas también como variables, incógnitas o factor literal, con sus respectivos exponentes.

Ejem.: x2, a2b3, 0.5z2, - 10mn3


Binomio. Un Binomio es una expresión algebraica formada por dos términos algebraicos o dos monomios, separados por el signo más + o menos -

Ejem.:

3x3 + x, 10x- y2, -5( x + y ), – 2t + x


Trinomio. Un Trinomio es una expresión algebraica formada por tres términos algebraicos o tres monomios, separados por el signo más + o menos –

Ejem.:

3x − x2 + 5x3, y2 + 2x2y2 − 5x2,

2a – 2b + 2c, x2 + y2 + z2


Multinomio. un Multinomio es una expresión algebraica formada por cuatro o más términos algebraicos o monomios, separados por el signo más + o menos - ;

Ejem.: 5mn – m – n – 12m3n3 − 5

Cuando está expresado en una sola variable se le llama Polinomio en la variable x.

Ejem.: -250 - 8x + 2x2 − 5x3 − 5x4


Polinomio de una variable: es una expresión algebraica en la variable x, de la forma general:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

Donde los coeficientes a0, a1, a2, …, an, son números reales, generalmente enteros.

Ejem.: P(X) = -5x4 + x3 + 12x2 – 25x + 2


Operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación): para sumar dos o más polinomios, se suman termino a termino los coeficientes de igual grado de los polinomios.

Ejem: P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + …+ a2x2 + a1x + a0

Q(x) = bnxn + bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + …+ b2x2 + b1x + b0


Entonces la suma de los polinomios P(x) y Q(x) es dada por:

P(x) + Q(x) = (an + bn ) xn + (an-1 + bn-1 ) xn-1 + (an-2 + bn-2 ) xn-2 + …+ (a2 + b2 ) x2 + (a1 + b1 ) x + (a0 + b0 )

P(x) = 3x3+5x2-10x-20

Q(x) = -12x4-2x3+5x2+25x+30

P(x) + Q(x) = -12x4+(3-2)x3 + (5+5)x2 + (-10+25)x + (-20+30)


Esto da como resultado final:

P(x) + Q(x) = -12x4+x3 + 10x2 + 15x + 10

De manera anàloga la resta serìa:

P(x) - Q(x) = -(-12x4)+(3-(-2))x3 + (5-5)x2 + (-10-25)x + (-20-30)

P(x) - Q(x) = 12x4+ 5x3 -35x -50

Aplicando lo visto calcule:


Ejercicios: calcular P(x) + Q(x) si se tienen los polinomios:

1) P(x) = 3x3+x2-10x-12

Q(x) = 2x4-2x3+x2+25x+100

2) P(x) = 30x3+x2-10x-12

Q(x) = -3x4-30x3+10x2+25x

3) P(x) = 30x3+x2-10x-12

Q(x) = 2x5-x4-x3+x2+x +1


Calcular P(x) – Q(x) si se tienen los polinomios:

4) P(x) = 3x3+x2-10x-12

Q(x) = 2x4-2x3+x2+25x+100

Calcular Q(x) – P(x) si se tiene

5) P(x) = 3x3+x2-10x-12

Q(x) = 2x4-2x3+x2+25x+100


Multiplicaciòn de polinomios: para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada tèrmino algebraico de un polinomio, por cada uno de los tèrminos del otro polinomio, y despuès se reducen tèrminos semejantes, es decir, se combinan los tèrminos de iguales factores literales

Ejem.: al multiplicar P(x)= x2-10x-12 por Q(x)= -2x3+x2+100 se obtiene:


P(x)*Q(x) = (x2-10x-12)(-2x3+x2+100 )

= (x2) (-2x3) + (x2) (x2) + (x2) (100) +

(-10x) (-2x3) + (-10x) (x2) + (-10x) (100) +

(-12) (-2x3) + (-12) (x2) +(-12) (100)

= -2x5 + x4 + 100x2 + 20x4 – 10x3 – 1000x + 24x3 -12x2 – 1200

Reordenando terminos:

P(x)*Q(x) = -2x5 + 21x4 + 14x3 + 88x2

– 1000x – 1200


Ejercicios: determina el resultado de las multiplicaciones de polinomios:

P(x) = x2-10x-12 R(x) = x3+100x2 – 12

Q(x) = -2x3+100 S(x) = 5x2 + 2

1) P(x)Q(x) =

2) P(x)R(x) =

3) P(x)S(x) =

4) Q(x)R(x) =

5) Q(x)S(x) =


Productos notables: se denominan notables a un conjunto de productos entre tèrminos algebraicos que se caracterizan por tener una forma fàcil de recordar y representar; ellos son:

- Cuadrado de binomio - Binomio con termino común - Cubo de binomio

- Suma por diferencia


Cuadrado de binomio: viene dado por la expresion:

(x+y)2 = x2 + 2xy + y2

(x-y)2 = x2 - 2xy + y2

El cuadrado del primer tèrmino, màs (o menos) el doble del primero por el segundo, màs el cuadrado del segundo tèrmino


Ejercicios:

1) (2x+5)2 =

2) (x+7)2 =

3) (3x-1)2 =

4) (x-3)2 =

5) (2x+5y)2 =


Binomio con termino común: viene dado por la expresion:

(x+a)(x+b) = x2 + (a+b)x + ab

El cuadrado del primer tèrmino, màs la suma de los tèrminos independientes por el primer tèrmino, màs el producto de los tèrminos independientes


Ejercicios:

1) (x+5)(x+7) =

2) (2x+3)(2x+1) =

3) (3ax+2b)(3ax+6) =

4) (3x-5)(3x+10) =

5) (5a+1)(5a+11) =


Cubo de binomio: viene dado por la expresion:

(x+y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

El cubo del primer tèrmino màs, el triple del primero al cuadrado por el segundo, màs el triple del primero por el segundo al cuadrado, màs el segundo tèrmino al cubo


Ejercicios:

1) (x+3)3 =

2) (x - 5)3 =

3) (2a+3b)3 =

4) (-2x+1)3 =

5) (3ax+5b2)3 =


Suma por diferencia: viene dado por la expresion:

(x+y)(x-y) = x2 – y2

El cuadrado del primer tèrmino, menos el cuadrado del segundo tèrmino


Ejercicios:

1)(x+3)(x-3) =

2)(x+5)(x-5) =

3)(2x+a)(2x-a) =

4)(ax+b)(ax-b) =

5)(2x-1)(2x+1) =

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