7

I. CONJUNTO DE NMEROS REALES

1. NMEROS RACIONALES (Q) Son aquellos que pueden expresarse como fracciones o decimales. Ejemplo: Racional Fraccin Decimal

2

1

2

1 0,5

4

3

4

3 0,75

3

1

3

1 0,333....

11

9

11

9 0,818181...

Los nmeros decimales pueden ser: Decimales Exactos:

0,2 ; 0,5 ; 0,8 ; 0,625 ; 0,728...

Decimales Peridicos Puros: 0,333... ; 0,818181... ; 0,161616...

Decimales Peridicos Mixtos : 0,6333... ; 0,17333... ; 0,2666...

2. NMEROS IRRACIONALES (I) Son los decimales infinitos no peridicos. Ejemplo:

2 = 1,4142135...

3 = 1,7320508..

5 = 2,2360679...

7 = 2,6457513...

Pi () = 3, 14159265...

Epsiln () = 2,71828128...

Luego: Nmero Reales son aquellos que pueden expresarse como decimales infinitos: peridicos y no peridicos.

En Resumen:

Grfico (1) Luego:

N Z Q R Observacin: Q U I = R

3. COMPARACIN DE NMEROS REALES: (> ; < =)

Se recomienda expresarlos como decimales para luego comparar. Ejemplo:

Compara: a.- 24

7y

Solucin:

4

7= 1,75

2 = 1,4142135 Luego: 1,75 > 1,41

24

7

b.- 6

53 y

Solucin:

3 = -1,7320508

6

5 = -0,83333...

Luego : -1,73 < -0,83

6

53

4. OPERACIONES CON NMEROS REALES

A) ADICIN: a, b, c R, se cumple:

a + b = c

a b sumandos c suma

PROPIEDADES: a, b, c R, se cumple:

a. CLAUSURA: La suma de dos nmeros

reales es otro nmero real.

Ejemplo:

1,2 + 6,24 = 7,44 b. CONMUTATIVA: El orden de los

sumandos, no altera la suma total. Ejemplo:

4,6 + 5,78 = 5,78 + 4,6 c. ASOCIATIVA: Agrupando los sumandos

de modos distintos, se obtiene la misma suma. Ejemplo:

(6,5 + 7,2) + 1,6 = 6,5 + (7,2 + 1,6)

d. ELEMENTO NEUTRO ADITIVO O IDENTIDAD: cero: el cero sumado con un nmero real, es el mismo nmero real.

Ejemplo:

6 2 + 0 = 0 + 6 2 = 6 2

e. INVERSO ADITIVO: (opuesto) la suma de

un nmero real con su opuesto es igual a cero. Ejemplo:

4,5 + (-4,5) = -4,5 + 4,5 = 0

B) SUSTRACCIN: M, S, D R se cumple:

M S = D

M Minuendo S Sustraendo D Diferencia

Adems:

Ejemplo: 8,65 4,54 = 4,11

C) MULTIPLICACIN: a, b, c R Se cumple: multiplicando multiplicador

a.b = c factores producto

PROPIEDADES: a, b, c R, se cumple: a. CLAUSURA: El producto de dos nmeros

reales es otro nmero real.

Ejemplo: 5 x 6,5 = 32,5

b. CONMUTATIVA: El orden de los factores

no altera el producto.

Ejemplo:

9,3 x 5,6 = 5,6 x 9,3 c. ASOCIATIVA: Agrupando factores de

modos distintos, se obtiene el mismo producto.

Ejemplo: (3,5 x 4,8) x 8,7 = 3,5 x (4,8 x 8,7)

e. E L E M E N T O N E U T R O MULTIPLICATIVO O IDENTIDAD: El

producto de un nmero real con el uno, es el mismo nmero. Ejemplo:

4,32 x 1 = 1 x 4,32 = 4,32

2

5

*1 *2

*3

*-1

*2 *4 *10

*3/4

*0,5

R

Q

Z

N

I

(a + b) = c, R

a + b = b + a

(a + b) +c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a

a + -a = -a + a = 0

S + D = M

(a.b) = c, R

a.b = b.a

(a.b).c = a.(b.c)

a.1 = 1.a = a

8

f. INVERSO MULTIPLICATIVO: El producto

de un nmero real con su inverso es uno.

Ejemplo:

8,2 x 28

1

,1 8,2 x (8,2)

-1 = 1

g. DEL CERO: El producto de un nmero

real con el cero es cero. Ejemplo:

5,9678 x 0 = 0

h. DISTRIBUTIVA: El producto de un nmero

real con la suma de otros es igual a la suma de los productos parciales.

Ejemplo: 5,32(4,2 + 8,4) = 5,32x4,2 + 5,32x8,4

D) DIVISIN : El cociente de dos nmeros reales es igual al producto del dividendo por el inverso del divisor. Ejemplo:

1234723

47 ),(,,

,

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Expresa como decimales las siguientes fracciones:

a) 8

7

Se divide:

70 8 60 0,875 40 0

8

7 = 0,875

b) 5

3

30 5 0 0,6

5

3 = 0,6

c) 4

25

25 4

10 6,25 20

4

25 = 6,25

2.- Suma 54

3 con aproximacin al

centsimo. Solucin:

4

3 = 0,75

5 = 2,23606

0,75 + 2,236 2,986

al centsimo, redondeamos: 2,99

3.- Suma: 12 + 11

9+ con aproximacin al

milsimo. Solucin:

12 + 11

9 +

12 + 0,8181 + 3,1415

12,0000 + 0,8181 3,1415 15,9596 al milsimo : 15,960

4.- Resta: 8

552 con aproximacin al

centsimo. Solucin:

8

552

2(2,236) 0,625 4,472 0,625 3,847 Redondeamos : 3,85

5.- Resta: 32

14 con aproximacin al

milsimo. Solucin:

32

14

2

14

= 2

9

4,5 + 1,7320 4,5 + 1,7320 6,2320 Rpta : 6,2320

6.- Multiplica: 7

572 con aproximacin al

centsimo. Solucin:

7

572

2(2,64575) x 0,714 5,290 x 0,714 21160 5290 37030 3,777060 Redondeamos : 3,78

PROBLEMAS PROPUESTOS

NIVEL I

I. Escribe V oF segn corresponda 1.- Segn el grfico (1) escribe V o F:

a) 2 N ( )

b) 5 I ( )

c) 43 Q ( )

d) -3 Z ( )

e) -2 R ( )

f) 41 Q ( )

g) 0,333 R ( )

h) 5 Q ( )

i) 7 R ( )

j) 32 Q ( )

2.- Respecto a los subconjuntos, escribe V

o F: a) N R ( )

b) Z Q ( )

c) Q I ( )

d) I R ( )

e) N I ( )

f) Z R ( )

g) Z I ( )

h) Q N ( ) 3.- Escribe V o F:

a) 5 Q ( )

b) 6 Z ( )

c) 5

2 N ( )

d) 6 I ( )

e) 0,25 R ( )

f) Q R ( )

g) I Z ( )

a.a

1 = 1 a.a-1 = 1

a.0 = 0

a(b+c) = a.b+a.c

b

a = a.b-1

9

NIVEL II II.- Escribe el signo >, = o < segn corresponda:

a) 5 ........ 0

b) 37 ........ - 5

c) 6,40 ........ 21

d) 43 ....... 0,8

e) - 3 ........ 35

f) 2 ....... -6

g) 8 ....... 15

h) 0 ....... 3

i) 4

3 ....... 0,75

j) 5

3 ........

40

24

k) 5 ......... 5

2

l) 6 ........ -9

NIVEL III III- Halla las expresiones decimales de:

1) 43 = ............................

2) 85 = ............................

3) 18

5= ............................

4) 100

128= ............................

5) 25

4= ............................

6) 8

3 = ............................

NIVEL IV IV- Resuelve las siguientes operaciones con aproximacin al centsimo:

1).- Suma: 26

54

a) 5,6 b) 6,24 c) 7,85 d) 1,45 e) N.A.

2).- Suma: 14,364,22

1

a) 1,85 b) 2,8 c) 6,28 d) 10 e) 11,25

3).- Suma: 81,02

7

5

4

a) 5,11 b) 3,2 c) 6,82 d) 5,06 e) 8,12

4).- Resta: 108,42 de 408,5

a) 200,26 b) 300,08 c) 300,48 d) 500,16 e) 60,28

5).- Resta: -100,25 de 170

a) 70,68 b) 70,25 c) 270,25 d) 200,25 e) N.A.

6).- 2

12

a) 1,41 b) 2,18 c) 1,18 d) 0,91 e) 0,82

7).- 15

8

3

12

a) 2,82 b) 1,41 c) 1,80 d) 1,06 e) 1,42

8).- Resta: -3 de (2 + 0,5)

a) 6,50 b) 5,50 c) 3,45 d) 6,85 e) N.A.

9).- 10 -

8

1

4

1

a) 8,62 b) 1,42 c) 12,48 d) 2,62 e) 9,875

10).-

5

1

10

3

5

4

a) 0,60 b) 0,70 c) 0,9 d) 1,85 e) 2,06

11).- 9

59

a) 2,78 b) 25 c) 3,42 d) 5 e) N.A.

12).- 123

a) 6 b) 16,24 c) 5,84 d) 4,86 e) 5,86

13).- 225,0

a) 2,14 b) 1,41 c) 3,51 d) 2,72 e) N.A.

14).- 42

132

a) 6,42 b) 1,63 c) 6,92 d) 6,04 e) N.A.

15).- 13

5

4

13

a) 2,56 b) 1,21 c) 8,16 d) 1,25 e) N.A.

16).- 6

520

a) 24 b) 16,5 c) 4,82 d) 2,82 e) N.A.

17).- 5

1234

a) 1,62 b) 2,88 c) 2,43 d) 3,81 e) N.A.

18).- 1015

3

5

1

a) 0,50 b) 1,20 c) 2,20 d) 0,04 e) 5,62

19).- 36

5

9

2

a) 1,26 b) 2,16 c) 1,48 d) 0,20 e) N.A.

20).- 2222

a) 1,41 b) 6,41 c) 1,82 d) 4,15 e) 2,41

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL IV

1) b 2) c 3) a

4) b 5) c 6) d

7) c 8) b 9) e

10) c 11) d 12) a

13) b 14) c 15) d

16) a 17) b 18) d

19) d 20) e