alex farah pereira · mary l lian louren˘co - ime/usp ii. aos meus avos. aos meus pais, celio e...

Algebras de Aplicacoes Lorch Analıticas

Alex Farah Pereira

Tese de Doutorado apresentada ao Programade Pos-graduacao em Matematica, Institutode Matematica, da Universidade Federal doRio de Janeiro, como parte dos requisitos ne-cessarios a obtencao do tıtulo de Doutor emMatematica.

Orientadora: Luiza Amalia de Moraes

Rio de Janeiro

Dezembro de 2010


Alex Farah Pereira


Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pos-graduacao em Matematica, Insti-

tuto de Matematica, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos

necesarios a obtencao do tıtulo de Doutor em Matematica.

Aprovada por:

Presidente, Profa. Luiza Amalia de Moraes - IM/UFRJ

Prof. Antonio Roberto da Silva - IM/UFRJ

Prof. Jorge Tulio Mujica Ascui - IMMEC/UNICAMP

Prof. Geraldo Marcio de Azevedo Botelho - FAMAT/UFU

Profa. Mary Lılian Lourenco - IME/USP

ii

Aos meus avos.

Aos meus pais,

Celio e Angela.

A minha irma,

Monica.

A minha namorada,

Camila.

iii

Agradecimentos

A Deus, por mais uma conquista em minha vida.

A minha orientadora, Professora Luiza Amalia de Moraes, por todo seu apoio e dedicacao

nao so na realizacao deste trabalho mas em minha formacao matematica nesses 10 anos de

estudo com quem aprendi muito.

Aos meus pais e minha irma por serem as pessoas que sempre estarao ao meu lado em

todos os momentos da minha vida.

A minha namorada Camila por sempre acreditar que sou capaz de alcancar meus obje-

tivos.

Ao CNPq pelo apoio financeiro durante meu curso de doutorado.

iv

Ficha Catalografica

Pereira, Alex Farah.

Algebras de Aplicacoes Lorch Analıticas/ Alex Farah

Pereira. - Rio de Janeiro: UFRJ/ IM, 2010.

viii, 86f; 1cm.


Tese (doutorado) - UFRJ/ Instituto de Matematica/

Programa de Pos-graduacao em Matematica, 2010.

Referencias Bibliograficas: f.83-86.

1. Aplicacoes (L)-Holomorfas. 2. Algebras de Banach.

3. Espectros. 4. Homomorfismos. I. Moraes, Luiza

Amalia de. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,

Instituto de Matematica, Programa de Pos-graduacao em

Matematica. III. Tıtulo.

v


Alex Farah Pereira


Sejam E uma algebra de Banach complexa comutativa com unidade e BE a bola

unitaria aberta de E. Denotamos por HL(U ;E) o espaco das aplicacoes definidas em um

subconjunto aberto conexo U de E em E que sao analıticas no sentido de Lorch. Para U = E

e U = BE mostramos que HL(U ;E) e uma subalgebra fechada de Hb(U ;E), apresentamos

uma descricao de seu espectro e, como aplicacao, provamos que E e semi-simples se, e somente

se, HL(U ;E) e semi-simples. Estudamos tambem o espectro de outras algebras de aplicacoes

analıticas no sentido de Lorch. Em particular, descrevemos o espectro da algebra de Banach

AL(BE) das aplicacoes de BE em E analıticas no sentido de Lorch que sao uniformemente

contınuas em BE e da algebra de Banach H∞L (BE) das aplicacoes limitadas de BE em E

que sao analıticas no sentido de Lorch (ambas com a norma do sup). No ultimo capıtulo,

munimos o espacoHL(E;E) do produto de Hadamard e caracterizamos o espectro da algebra

assim obtida.

vi

Algebras of Lorch Analytic Mappings

Alex Farah Pereira

Supervisor: Luiza Amalia de Moraes

Let E be a commutative complex Banach algebra with unit and let BE be the open

unit ball of E. Let HL(U ;E) be the space of the mappings from a connected open subset U

of E into E that are analytic in the sense of Lorch. For U = E and U = BE we show that

HL(U ;E) is a closed subalgebra of Hb(U ;E), we give a description of its spectrum and, as an

application, we show that E is semi-simple if and only if HL(U ;E) is semi-simple. We also

study the spectra of other algebras of analytic mappings in the sense of Lorch. In particular

we give a description of the spectra of the Banach algebras AL(BE) of the mappings from

BE into E that are analytic in the sense of Lorch and uniformly continuous on BE and

H∞L (BE) of the bounded mappings from BE into E that are analytic in the sense of Lorch

(both endowed with the sup norm). In the last chapter we endow the space HL(E;E) with

the Hadamard product and give a description of the spectrum of this algebra.

vii

Sumario

1 Resultados Preliminares 6

1.1 Aplicacoes Holomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Algebras de Frechet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 As Aplicacoes Lorch Analıticas 29

2.1 Espacos de Aplicacoes (L)-Analıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 O Espaco Γ(E) de Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Dualidade de Espacos de Aplicacoes (L)-Analıticas . . . . . . . . . . . . . . 53

3 Algebras de Aplicacoes Lorch Analıticas 59

3.1 A Algebra HL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2 A Algebra AL(BE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.3 A Algebra H∞L (BE) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 O Produto de Hadamard 75

viii

Introducao

O principal objetivo desta tese e estudar o espectro de algebras de aplicacoes analıticas

no sentido de Lorch. Se A e uma algebra complexa topologica comutativa, denotamos por

M(A) o espectro de A, isto e, o conjunto dos homomorfismos contınuos nao-nulos definidos

em A.

Em 1957, durante uma conferencia no Institute for Advanced Study em Princeton, um

grupo de matematicos estudou o espectro M(H∞(∆)) da algebra H∞(∆) das funcoes com-

plexas analıticas e limitadas no disco aberto unitario ∆ = λ ∈ C ; |λ| < 1. Os resultados

obtidos foram publicados sob o pseudonimo de I. J. Schark (ver [36]).

Aron, Cole e Gamelin consideraram em [2] a algebra de Banach H∞(B) das funcoes com-

plexas holomorfas e limitadas na bola unitaria aberta B de um espaco de Banach complexo

E de dimensao infinita. Com o objetivo de obter informacoes sobreM(H∞(B)) eles estuda-

ram o espectro M(Hb(E)) onde Hb(E) denota a algebra de Frechet das funcoes complexas

inteiras em E que sao limitadas nos limitados de E. Eles mostraram em [3] que se E ′ tem a

propriedade da aproximacao, entaoM(Hb(E)) coincide com E ′′ como conjunto se, e somente

se, o espaco Pf (E) dos polinomios fracamente contınuos em E e denso em Hb(E).

Posteriormente, Garcia, Lourenco, Moraes e Paques em [18] e Burlandy e Moraes em [7]

estenderam este resultado a algebra de Frechet Hb(U ;F ) das aplicacoes holomorfas de um

subconjunto U de um espaco de Banach E em uma algebra de Banach F que sao limitadas

nos U -limitados de E (ver Definicao 1.9) quando U e o espaco E e quando U e um aberto

absolutamente convexo, respectivamente. Mais explicitamente, no caso em que E ′ tem a

propriedade da aproximacao e F e uma algebra de Banach isometricamente isomorfa a F

sob a transformada de Gelfand, a densidade do espaco Pf (E;F ) dos polinomios fracamente

contınuos de E em F em Hb(E;F ) e equivalente a existencia de uma determinada bijecao

entreM(Hb(E;F )) e E ′′×M(F ) (cf [18]) e a densidade de Pf (E;F ) em Hb(U ;F ) e equiva-

lente a existencia de uma determinada bijecao entre M(Hb(U ;F )) e intUw∗

×M(F ) onde

intUw∗

denota o interior do fecho de U na topologia fraca estrela (cf [7]). Caracterizacoes

semelhantes sao obtidas tambem em [18] para outras algebras de aplicacoes holomorfas no

contexto de espacos de Banach e em [1] para Hb(U ;F ) no caso em que E e um espaco (DF)

tonelado.

Em geral, as solucoes publicadas nos ultimos vinte anos para o problema de determinar o

espectro de uma subalgebra A de Hb(U ;F ) supoem que o dual de E tenha a propriedade da

aproximacao e que Pf (E;F ) seja denso em A. As algebras que consideramos neste trabalho

sao algebras de aplicacoes holomorfas de um aberto conexo U contido numa algebra de

Banach arbitraria com unidade E e com valores em E. Estas algebras contem a aplicacao

identidade de E e, como a densidade de Pf (E;E) em A implicaria em todo elemento de

A ser uma aplicacao compacta, e claro que as algebras A que vamos estudar nao podem

estar contidas no fecho de Pf (E;E) quando E tem dimensao infinita (que e o caso que nos

interessa).

Nos trabalhos acima citados, a densidade de Pf (E;F ) emA possibilitou o uso da extensao

de Aron-Berner para obter a descricao do espectro da algebraA e, especialmente, possibilitou

definir um elemento deM(A) a partir de um elemento de E ′′. Ja o fato de E ′ ter a propriedade

da aproximacao foi importante na prova de que a caracterizacao obtida para A implica na

densidade de Pf (E;F ) em A.

No nosso caso, a metodologia utilizada para caracterizar os espectros e completamente

diferente uma vez que nao contamos com a densidade de Pf (E;E) em nenhuma das algebras

por nos consideradas. Mais explicitamente, consideramos uma algebra de Banach E comuta-

tiva com unidade e tal que ‖e‖ = 1 e um aberto conexo nao vazio U de E e estudamos o espaco

HL(U ;E) das aplicacoes f : U −→ E que sao analıticas no sentido de Lorch (ver Definicao

2.2). A definicao de aplicacao Lorch analıtica apareceu pela primeira vez em [28] e estende

as algebras de Banach complexas de dimensao infinita o conceito de funcao analıtica em C

2

de um modo muito natural. Embora esta definicao seja mais restritiva do que a definicao de

aplicacao holomorfa em dimensao infinita como uma aplicacao Frechet diferenciavel, a teoria

criada por Lorch e em muitos sentidos mais rica do que a teoria conhecida como Holomorfia

pois inclui o estudo de expansoes de Laurent, aplicacoes racionais e singularidades feito por

Blum em [5]. Alem disso, uma generalizacao do Teorema de Mittag-Leffler foi obtida por

Glickfeld neste contexto em [19]. Observamos que toda aplicacao analıtica no sentido de

Lorch e holomorfa mas nem toda aplicacao holomorfa e analıtica no sentido de Lorch.

Consideramos aqui o espaco HL(E) das aplicacoes f : E −→ E que sao Lorch analıticas

em E, o espaco HL(BE) das aplicacoes f : BE −→ E que sao Lorch analıticas em BE (onde

BE denota a bola aberta unitaria de E), o espaco AL(BE) das aplicacoes f : BE −→ E

que sao Lorch analıticas em BE e uniformemente contınuas em BE e o espaco H∞L (BE) das

aplicacoes f : BE −→ E que sao Lorch analıticas e limitadas em BE. Mostramos que HL(E)

e um subespaco fechado de Hb(E;E) e que HL(BE) e um subespaco fechado de Hb(BE;E),

de modo que (HL(E) , τb) e (HL(BE) , τb) sao espacos de Frechet. Com o produto pontual,

(HL(E) , τb) e uma algebra de Frechet comutativa com unidade. Mostramos queM(HL(E))

e homeomorfo a M(E)×C. Com a norma do sup e o produto pontual, AL(BE) e H∞L (BE)

sao algebras de Banach com unidade e estudamos tambem seus espectros. No estudo do

espectro de AL(BE) obtemos que M(AL(BE)) e homeomorfo a M(E) × ∆. Ja no caso

da algebra H∞L (BE), o estudo do espectro apresenta problemas analogos aos apresentados

no caso da algebra H∞(∆) e, assim como no caso classico, conseguimos apenas resultados

parciais. Finalmente, considerando em HL(E) o produto de Hadamard mostramos que, com

este produto, HL(E) se torna uma algebra de Frechet comutativa sem unidade. Neste caso,

mostramos que o espectro M(HL(E)) e homeomorfo a M(E) × N0 (onde N0 = N ∪ 0).

Mostramos ainda que a algebra HL(E) com o produto de Hadamard e uma algebra de

Frechet comutativa sem unidade tal que todo ideal maximal fechado e o nucleo de um

homomorfismo contınuo em HL(E). Sabemos que, em geral, isto nao vale para algebras de

Frechet comutativas sem unidade.

3

Nosso estudo de algebras de Banach de aplicacoes analıticas no sentido de Lorch implicou

num estudo preliminar dos espacos considerados. Neste estagio de nossa pesquisa diversos

problemas que nao sao diretamente vinculados com o objetivo principal de nosso trabalho

foram estudados e os resultados obtidos foram incluıdos nesta tese. A existencia de um

isomorfismo isometrico entre E e o espaco dos polinomios n-homogeneos que sao Lorch

analıticos possibilitou mostrar que muitas propriedades topologicas sao compartilhadas por

E e HL(E). Alem disso, considerando E ′′ com o produto de Arens, mostramos que se E e

reflexivo, entao HL(E ′′) e HL(E)′′ sao isomorfos.

As aplicacoes analıticas no sentido de Lorch foram estudadas por Waldir Quandt em [35],

mas ele dirigiu seus estudos numa direcao completamente diferente da nossa.

Este trabalho esta dividido da seguinte maneira:

No Capıtulo 1, enunciamos sem demonstracao alguns teoremas de Aplicacoes Holomorfas

e Algebras de Frechet que serao uteis nos capıtulos posteriores.

No Capıtulo 2, comecamos estudando os polinomios n-homogeneos que sao analıticos no

sentido de Lorch e estudamos alguns espacos de aplicacoes Lorch analıticas. Em particular

mostramos que (HL(E) , τb) e (HL(BE) , τb) sao espacos de Frechet. Provamos que E e

separavel se, e somente se, (HL(E) , τb) e separavel, e que a mesma equivalencia ocorre subs-

tituindo separavel por reflexivo ou por ter a propriedade de Schur. Neste capıtulo

consideramos o espaco de sequencias Γ(E) = (an)n ⊂ E ; limn→∞‖an‖

1n = 0 e definimos uma

metrica d em Γ(E) tal que (Γ(E) , d ) e isomorfo a (HL(E) , τb). Este fato e utilizado muitas

vezes no decorrer desta tese.

No Capıtulo 3, munimos os espacos definidos no Capıtulo 2 de uma estrutura de algebra

definindo neles o produto pontual e estudamos os espectros das algebras assim obtidas.

Mostramos queM(HL(E)) e homeomorfo aM(E)×C e, como aplicacao, mostramos que E

e semi-simples se, e somente se, HL(E) e semi-simples. Mostramos tambem queM(AL(BE))

4

e homeomorfo aM(E)×∆ e que E e semi-simples se, e somente se, AL(BE) e semi-simples.

O estudo do espectro da algebra de Banach H∞L (BE) apresenta problemas analogos aos

do caso da algebra H∞(∆) e, como no caso classico, obtemos apenas resultados parciais

relacionados a caracterizacao do espectro. Os resultados que compoem o Capıtulo 3 deram

origem a [30].

No Capıtulo 4, consideramos o espaco HL(E) munido do produto de Hadamard e mostra-

mos que, com este produto, HL(E) e uma algebra de Frechet sem unidade. Mostramos que o

espectroM(HL(E)) e homeomorfo aM(E)×N0 e, como aplicacao, mostramos que HL(E) e

semi-simples sempre que E e semi-simples. Considerando o produto pontual em Γ(E), temos

que Γ(E) e uma algebra de Frechet sem unidade cujo espectro M(Γ(E)) e homeomorfo a

M(E) × N0 e, consequentemente, Γ(E) e semi-simples sempre que E e semi-simples. Mais

ainda, provamos que todo ideal maximal fechado de HL(E) com o produto de Hadamard e

o nucleo de um homomorfismo contınuo de HL(E).

5

Capıtulo 1

Resultados Preliminares

Neste capıtulo, reunimos resultados sobre aplicacoes holomorfas e algebras de Frechet

que serao utilizados nesta tese. Durante todo este texto, denotamos o conjunto dos numeros

naturais por N e N∪0 por N0. Todos os espacos vetoriais considerados sao espacos vetoriais

complexos. Se E e um espaco vetorial topologico, E ′ denota o dual de E com a topologia

forte. Para resultados sobre espacos vetoriais topologicos e espacos localmente convexos

damos como referencia [33].

1.1 Aplicacoes Holomorfas

Nesta secao, E e F sao espacos de Banach, n ∈ N0 e U e um subconjunto aberto nao vazio

de E. Fixados r > 0 e a ∈ E, denotamos por Br(a) a bola aberta x ∈ E ; ‖x − a‖ < r e

por Br(a) o fecho de Br(a). Em particular, escrevemos BE = B1(0). As demonstracoes dos

resultados desta secao bem como maiores detalhes sobre as teorias das aplicacoes holomorfas

podem ser encontradas em [4], [14], [15] ou [32]. Daremos referencias precisas apenas das

demonstracoes dos resultados que nao sao, em geral, apresentados num curso introdutorio

de aplicacoes holomorfas.

Para todo n ∈ N, o espaco das aplicacoes lineares simetricas contınuas A : En −→ F e

denotado por Ls(nE;F ). Se n = 0, Ls(0E;F ) e o espaco das aplicacoes constantes de E em

F e identificamos Ls(0E;F ) com o espaco de Banach F . E claro que L(E;F ) = Ls(1E;F ).

Definicao 1.1. Uma aplicacao P : E −→ F e dita um polinomio n-homogeneo contınuo se

existe A ∈ Ls(nE;F ) tal que P (x) = Axn = A(x, . . . , x) para todo x ∈ E.

Esta definicao possibilita estabelecer um isomorfismo entre Ls(nE;F ) e o conjunto dos

polinomios n-homogeneos contınuos de E em F . Escrevemos muitas vezes P = A para

explicitar que A e o (unico) elemento de Ls(nE;F ) tal que P (x) = A(x, . . . , x).

Denotamos por P(nE;F ) o espaco dos polinomios n-homogeneos contınuos de E em F

munido da norma ‖P‖ = sup‖x‖≤1

‖P (x)‖ para todo P ∈ P(nE;F ). Salvo indicacao contraria,

P(nE;F ) estara sempre munido desta norma.

Proposicao 1.1. P(nE;F ) e um espaco de Banach.

Observacao 1.1. Se E = C, entao todo polinomio n-homogeneo de C em F e da forma

p(λ) = bλn para todo λ ∈ C, onde b e um elemento de F .

Observacao 1.2. Sejam X um espaco vetorial e Xnn∈N0 uma sequencia de subespacos

de X. Denotamos por∑

n∈N0Xn o conjunto das somas finitas formados por elementos

escolhidos dos subespacos Xn, isto e, x ∈∑

n∈N0Xn se, e somente se, existem numeros

n0, . . . , nk em N0 e elementos xnj ∈ Xnj para todo j = 0, . . . , k tais que x = xn0 + . . .+ xnk .

Deste modo,∑

n∈N0Xn e um subespaco de X chamado de soma algebrica dos subespacos

Xn. Esta soma algebrica e dita uma soma algebrica direta se xn0 + . . . + xnk = 0 implica

xnj = 0 para todo j = 0, . . . , k. Neste caso, denotamos esta soma algebrica direta por ⊕n∈N0

Xn

e dizemos que a sequencia de subespacos Xnn∈N0de X e linearmente independente.

Denotamos por F(E;F ) o espaco de todas as aplicacoes de E em F com as operacoes de

adicao e multiplicacao por escalar definidas pontualmente.

7

Proposicao 1.2. A sequencia de subespacos P(nE;F )n∈N0 de F(E;F ) e linearmente in-

dependente.

Definicao 1.2. O espaco ⊕n∈N0

P(nE;F ) e o espaco dos polinomios contınuos de E em F ,

denotado por P(E;F ).

Observacao 1.3. A proposicao anterior nos diz que se P ∈ P(E;F ) e nao-nulo, entao

P pode ser escrito unicamente na forma P =∑n

j=0 Pj, onde Pj ∈ P(jE;F ) para todo

j = 0, . . . , n e Pn 6= 0. No caso particular em que E = C, entao P (λ) =∑n

j=0 bjλj para todo

λ ∈ C, onde bj ∈ F para todo j = 0, . . . , n com bn 6= 0.

Definicao 1.3. Uma serie de potencias de E em F em torno de a ∈ E e uma serie da forma∑∞n=0 Pn(x− a), onde Pn ∈ P(nE;F ).

Proposicao 1.3. Sejam a ∈ E, r > 0 e Pn ∈ P(nE;F ) tais que∑∞

n=0 Pn(x − a) = 0 para

todo x ∈ Br(a). Entao Pn = 0 para todo n ∈ N0.

Definicao 1.4. O raio de convergencia da serie de potencias∑∞

n=0 Pn(x − a) e o supremo

dos ρ ≥ 0 tais que a serie converge uniformemente em Br(a) para todo 0 ≤ r < ρ.

Proposicao 1.4. (Formula de Cauchy-Hadamard) Seja R o raio de convergencia da serie

de potencias∑∞

n=0 Pn(x− a). Entao

1

R= lim sup

n→∞‖Pn‖

1n .

Definicao 1.5. Uma aplicacao f : U −→ F e dita holomorfa em U se para cada a ∈ U ,

existem r > 0 tal que Br(a) ⊂ U e uma sequencia de polinomios Pn ∈ P(nE;F ) tais que

f(x) =∞∑n=0

Pn(x− a)

uniformemente em Br(a).

Denotamos por H(U ;F ) o espaco das aplicacoes holomorfas de U em F considerando as

operacoes de adicao e multiplicacao por escalar definidas pontualmente. No caso de F = C,

8

escrevemos H(U) no lugar de H(U ; C). Quando U = E, dizemos que H(E;F ) e o espaco

das aplicacoes inteiras.

Como consequencia da Proposicao 1.3, se f ∈ H(U ;F ), a sequencia Pnn∈N0 da Definicao

1.5 e unica. A serie de potencias∑∞

n=0 Pn(x− a) e chamada a serie de Taylor de f em torno

de a ∈ U .

Definicao 1.6. Sejam f ∈ H(U ;F ), a ∈ U e∑∞

n=0 Pn(x − a) a serie de Taylor de f em

torno de a. Entao dnf(a) := n!Pn ∈ P(nE;F ) e dita a diferencial de ordem n de f em a.

Quando n = 1, escrevemos df(a) ao inves de d1f(a). Usando esta notacao, podemos

escrever a serie de Taylor de f ∈ H(U ;F ) em torno de a ∈ U na forma

f(x) =∞∑n=0

1

n!dnf(a)(x− a).

Definicao 1.7. Seja f ∈ H(U ;F ). A diferencial de f de ordem n, denotada por dnf , e a

aplicacao dada por

dnf : a ∈ U 7−→ dnf(a) ∈ P(nE;F ).

O operador diferencial de ordem n, denotado por dn, e a aplicacao dada por

dn : f ∈ H(U ;F ) 7−→ dnf ∈ F(U ;P(nE;F )).

Observacao 1.4. Resultados como Formulas Integrais de Cauchy e o Teorema de Liouville

tem seus analogos validos para as aplicacoes holomorfas.

Proposicao 1.5. P(E;F ) e um subconjunto de H(E;F ).

Lembramos que se f ∈ H(U ;F ) e B e um subconjunto de U , entao ‖f‖B = supx∈B‖f(x)‖.

Proposicao 1.6. (Desigualdades de Cauchy) Sejam f ∈ H(U ;F ) e a ∈ U . Se B e um

subconjunto equilibrado de E tal que a+B ⊂ U , entao para todo n ∈ N0 temos∥∥∥∥ 1

n!dnf(a)

∥∥∥∥B

≤ ‖f‖a+B.

9

Em particular, se r > 0 e tal que Br(a) ⊂ U , entao para todo n ∈ N0 temos∥∥∥∥ 1

n!dnf(a)

∥∥∥∥Br(0)

≤ 1

rn‖f‖Br(a).

Denotamos por C(U ;F ) o espaco das aplicacoes contınuas de U em F munido da topologia

compacto-aberta, denotada por τ0, isto e, a topologia localmente convexa gerada pela famılia

de seminormas

pK(f) = supw∈K‖f(w)‖

para toda f ∈ C(U ;F ), onde K percorre a famılia dos subconjuntos compactos de U .

Sabemos que C(U ;F ) e τ0-completo.

Proposicao 1.7. H(U ;F ) e um subespaco fechado de C(U ;F ). Em particular, (H(U ;F ) , τ0)

e completo.

Seja X um espaco localmente convexo. Lembramos que Y e um subespaco complemen-

tado de X se existe uma aplicacao linear contınua T : X −→ X tal que T (X) = Y e T (y) = y

para todo y ∈ Y .

Proposicao 1.8. (P(nE;F ) , τ0 ) e um subespaco complementado de (H(U ;F ) , τ0).

Dizemos que uma seminorma p sobre H(U ;F ) e portada por um subconjunto compacto

K ⊂ U se para todo subconjunto aberto V , K ⊂ V ⊂ U , existe c > 0 (que depende de V )

tal que

p(f) ≤ c‖f‖V

para toda f ∈ H(U ;F ). Denotamos por τω a topologia localmente convexa gerada pela

famılia de seminormas sobre H(U ;F ) portadas por subconjuntos compactos de U .

Proposicao 1.9. Se U e equilibrado, entao (H(U ;F ), τω) e completo.

Proposicao 1.10. (P(nE;F ) , τω ) e um subespaco complementado de (H(U ;F ) , τω).

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Lembramos que uma aplicacao f : U −→ F e localmente limitada em U se f e limitada

numa vizinhanca de todo ponto de U , isto e, para todo a ∈ U , existe uma vizinhanca V ⊂ U

de a tal que f e limitada em V .

Definicao 1.8. Seja f : U −→ F localmente limitada em a ∈ U . O raio de limitacao de f

em a, denotado por rbf(a), e o supremo dos ρ > 0 tais que Br(a) ⊂ U e f e limitada em

Br(a) para todo 0 < r < ρ.

Lembramos que se A e B sao subconjuntos nao vazios de um espaco metrico (X, d) entao

a distancia entre A e B e definida por

dist(A,B) = infd(a, b) ; a ∈ A , b ∈ B.

Denotamos por ∂U a fronteira de U . Fixado a ∈ E, escrevemos dU(a) = dist(a, ∂U). Quando

U = E, escrevemos dU(a) = ∞. Se f ∈ H(U ;F ) e a ∈ U , denotamos por rcf(a) o raio de

convergencia da serie de Taylor de f em a.

Proposicao 1.11. Sejam f ∈ H(U ;F ) e a ∈ U . Entao

rbf(a) = minrcf(a) , dU(a).

Quando E tem dimensao finita, dados a ∈ U e r > 0 tais que 0 < r < dU(a), temos que

Br(a) e compacta, de modo que se f ∈ H(U ;F ), entao f e limitada em Br(a). Da definicao

de rbf(a), junto com a Proposicao 1.11, segue que rbf(a) = dU(a) ≤ rcf(a). Ja no caso de

E ter dimensao infinita, e possıvel termos rbf(a) = rcf(a) < dU(a) como nos mostram os

seguintes exemplos.

Exemplo 1.1. Seja c00 o espaco das sequencias complexas (xn)n que sao eventualmente zero,

isto e, existe n0 ∈ N tal que xn = 0 para todo n ≥ n0. Definimos neste espaco a norma

‖x‖∞ = supn∈N|xn|

11

para todo x = (xn)n ∈ c00. Definindo

f(x) =∞∑n=1

x1 . . . xn

para todo x = (xn)n ∈ c00, temos que f ∈ H(c00) e rbf(0) = rcf(0) = 1.

Exemplo 1.2. Seja c0 o espaco das sequencias complexas (xn)n que convergem a zero munido

da norma

‖x‖∞ = supn∈N|xn|

para todo x = (xn)n ∈ c0. Definindo

f(x) =∞∑n=1

(xn)n

para todo x = (xn)n ∈ c0, temos que f ∈ H(c0) e rbf(0) = rcf(0) = 1.

Exemplo 1.3. Para p > 1, seja `p o espaco das sequencias complexas (xn)n tais que∑∞n=0 |xn|p <∞ munido da norma

‖x‖p =

(∞∑n=0

|xn|p) 1

p

para todo x = (xn)n ∈ `p. Definindo

f(x) =∞∑n=0

(xn)n

para todo x = (xn)n ∈ `p, temos que f ∈ H(`p) e rbf(0) = rcf(0) = 1.

Todos os exemplos anteriores sao ainda exemplos de aplicacoes que nao sao limitadas nos

limitados do seu domınio. Na verdade temos o seguinte resultado que mostra que a situacao

no caso de dimensao infinita e completamente diferente da situacao no caso de dimensao

finita.

Teorema 1.1. Se E tem dimensao infinita, entao existe f ∈ H(E) que nao e limitada nos

limitados de E.

12

Este resultado justifica a introducao do espaco das aplicacoes holomorfas de tipo limitado,

que faremos a seguir.

Definicao 1.9. Um subconjunto nao vazio B de E e dito U-limitado se B ⊂ U , B e limitado

e dist(B, ∂U) > 0.

Definicao 1.10. Dizemos que f ∈ H(U ;F ) e de tipo limitado se f e limitada em todo

subconjunto U-limitado de U .

Denotamos por Hb(U ;F ) o espaco das aplicacoes holomorfas de U em F de tipo limitado.

Em particular, quando U = E, temos que Hb(E;F ) e o espaco das aplicacoes holomorfas de

E em F que sao limitadas nos limitados de E.

A topologia natural de Hb(U ;F ), denotada por τb, e a topologia localmente convexa

gerada pela famılia de seminormas

pX(f) = supx∈X‖f(x)‖

para toda f ∈ Hb(U ;F ), onde X percorre a famılia dos U -limitados de U . Salvo indicacao

contraria, estaremos sempre considerando Hb(U ;F ) munido da topologia τb.

Definicao 1.11. Um espaco de Frechet e um espaco localmente convexo metrizavel completo.

Proposicao 1.12. Hb(U ;F ) e um espaco de Frechet.

Proposicao 1.13. Seja f ∈ H(E;F ). Sao equivalentes:

(a) f e de tipo limitado.

(b) limn→∞

∥∥∥ 1n!dnf(x)

∥∥∥ 1n

= 0 para algum x ∈ E.

(c) rcf(x) =∞ para algum x ∈ E.

13

Seja U um subconjunto proprio de E. Denotamos por H∞(U ;F ) o espaco das aplicacoes

holomorfas de U em F que sao limitadas em U . A topologia natural e dada pela norma

‖f‖U = supx∈U‖f(x)‖

para toda f ∈ H∞(U ;F ). Estaremos sempre considerando H∞(U ;F ) munido desta norma.

Observe que se U = E, entao H∞(E;F ) e o espaco das aplicacoes constantes.

Proposicao 1.14. H∞(U ;F ) e um espaco de Banach.

Definicao 1.12. Seja X um espaco localmente convexo. Uma sequencia de subespacos

Xnn∈N0 de X e uma decomposicao de Schauder para X se

(a) para cada x ∈ X existe uma unica sequencia (xn)n tal que xn ∈ Xn para todo n ∈ N0

e x =∑∞

n=0 xn = limm→∞

∑mn=0 xn;

(b) as projecoes um(∑∞

n=0 xn) =∑m

n=0 xn para todo x ∈ X sao contınuas para todo m ∈ N0.

Definicao 1.13. Sejam X um espaco localmente convexo e (Xn, ‖ ·‖n)n∈N0 uma sequencia

de subespacos de X que sao espacos de Banach. Dizemos que (Xn, ‖ · ‖n)n∈N0 e uma R-

decomposicao de Schauder para X, 0 < R ≤ ∞, se (Xn, ‖ ·‖n)n∈N0 e uma decomposicao de

Schauder para X e para toda sequencia (xn)n, xn ∈ Xn para todo n ∈ N0, a serie∑∞

n=0 xn

converge em X se, e somente se, lim supn→∞‖xn‖

1nn ≤ 1

R.

E facil ver que P(nE;F )n∈N0 e uma ∞-decomposicao de Schauder para Hb(E;F ) e

uma R-decomposicao de Schauder para Hb(RBE;F ), R > 0.

Definicao 1.14. Seja S = (αn)n ⊂ C ; lim supn→∞|αn|

1n ≤ 1. Uma decomposicao de

Schauder Xnn∈N0 de um espaco localmente convexo X e uma decomposicao S-absoluta

para X se para toda (αn)n ∈ S e x =∑∞

n=0 xn ∈ X, xn ∈ Xn, temos que∑∞

n=0 αnxn ∈ X e,

para toda seminorma contınua p em X e para todo α = (αn)n ∈ S,

pα

(∞∑n=0

xn

)=∞∑n=0

|αn|p(xn)

14

define uma seminorma contınua em X.

As nocoes de polinomios n-homogeneos e aplicacoes holomorfas podem ser estendidas

para espacos localmente convexos. Para maiores detalhes, veja [4].

Teorema 1.2. Seja V um subconjunto aberto equilibrado de um espaco localmente convexo

X. Entao (P(nX;F ), τ0)n∈N0 e uma decomposicao S-absoluta para (H(V ;F ), τ0).

Demonstracao. Ver [14], pagina 121, Teorema 3.19.


X. Entao (P(nX;F ), τω)n∈N0 e uma decomposicao S-absoluta para (H(V ;F ), τω).

Demonstracao. Ver [14], pagina 122, Teorema 3.22.


X. Entao (P(nX;F ), τb)n∈N0 e uma decomposicao S-absoluta para (Hb(V ;F ), τb).

Demonstracao. Ver [15], pagina 200, letra (b).

Definicao 1.15. Dizemos que um espaco localmente convexo X tem a propriedade de Schur

se toda sequencia fracamente convergente a zero, converge a zero em X.

Proposicao 1.15. Se X e um espaco localmente convexo com uma decomposicao S-absoluta

Xnn∈N0, entao X tem a propriedade de Schur se, e somente se, Xn tem a propriedade de

Schur para todo n ∈ N0.

Demonstracao. Ver [6], Lema 4.2.

Seja X e um espaco localmente convexo. Denotamos por β(X ′, X) a topologia localmente

convexa em X ′ que tem como sub-base os conjuntos U para todo subconjunto limitado U

de X, onde U denota o polar de U em X ′.

15

Definicao 1.16. Seja X um espaco localmente convexo. Uma decomposicao de Schauder

Xnn∈N0 e dita contratil se X ′nn∈N0 e uma decomposicao de Schauder para (X ′, β(X ′, X)).

Como toda decomposicao S-absoluta e contratil (ver [14], pagina 119, Corolario 3.14)

segue que a decomposicao (P(nX;F ), τ)n∈N0 , onde τ ∈ τ0, τb, τω, dada pelos Teoremas

1.2, 1.3, 1.4, e contratil.

Definicao 1.17. Seja X um espaco localmente convexo. Uma decomposicao de

Schauder Xnn∈N0 e dita limitadamente completa se∑∞

n=0 xn ∈ X sempre que xn ∈ Xn

e (∑m

n=0 xn)∞m=0 e uma sequencia limitada em X.

Sob certas condicoes na decomposicao de Schauder Xnn∈N0 para X, podemos garantir

quando um espaco localmente convexo X e semi-reflexivo. O seguinte resultado pode ser

visto em [25] (Teorema 3.2).

Teorema 1.5. Sejam X um espaco localmente convexo e Xnn∈N0 uma decomposicao de

Schauder para X. Sao equivalentes:

(a) X e semi-reflexivo.

(b) Xnn∈N0 e limitadamente completa, contratil e cada Xn e semi-reflexivo.

Em particular, quando X e um espaco de Frechet temos o seguinte resultado (ver [14],

pagina 142, Corolario 3.61):

Teorema 1.6. Se V e um subconjunto aberto equilibrado de um espaco de Frechet X e

τ ∈ τ0, τω, entao (H(V ;F ), τ) e semi-reflexivo se, e somente se, (P(nX;F ), τ) e semi-

reflexivo para todo n ∈ N0.

No caso do espaco das aplicacoes de tipo limitado, o seguinte resultado e um caso parti-

cular do Corolario 13 (a) provado por Garcia, Maestre e Rueda em [17]:

16

Teorema 1.7. Se U e equilibrado, entao (Hb(U), τb) e reflexivo se, e somente se, P(nE) e

reflexivo para todo n ∈ N0.

Se E = F = C sabemos que f : U −→ C e analıtica (ou diferenciavel) em a ∈ U se, e

somente se, f e holomorfa em a. Veremos a seguir que o mesmo continua valendo no caso

das aplicacoes holomorfas entre espacos de dimensao infinita. Porem, devemos antes fazer

algumas observacoes.

Definicao 1.18. Uma aplicacao f : U −→ F e dita Frechet diferenciavel, ou

(F)-diferenciavel em U se para todo a ∈ U , existe uma aplicacao A ∈ L(E;F ) tal que

limx→a

‖f(x)− f(a)− A(x− a)‖‖x− a‖

= 0.

A aplicacao A ∈ L(E;F ) que aparece na Definicao 1.18 e determinada de modo unico

por f e a. Denotamos tal aplicacao por Df(a), chamada a diferencial de f em a. E claro

que toda aplicacao diferenciavel f : U −→ F e contınua em U .

Exemplo 1.4. Se f ∈ F(E;F ) e constante, entao f e diferenciavel e Df(a) = 0 para todo

a ∈ E.

Exemplo 1.5. Se A ∈ L(E;F ), entao A e diferenciavel e Df(a) = A para todo a ∈ E.

Exemplo 1.6. Se P ∈ P(nE;F ), entao P e diferenciavel e DP (a) = nAan−1 para todo

a ∈ E, onde P = A e Aan−1 : E −→ E e definida por Aan−1(x) = A(a, . . . , a, x).

Proposicao 1.16. Sejam f : U −→ F e g : U −→ F aplicacoes diferenciaveis. Entao

(a) αf + βg e diferenciavel para todo α, β ∈ C e

D(α f + β g)(a) = αDf(a) + βDg(a)

para todo a ∈ U .

17

(b) Se F = C, entao o produto fg e diferenciavel e

D(fg)(a) = g(a)Df(a) + f(a)Dg(a)

para todo a ∈ U .

Proposicao 1.17. A aplicacao f : U −→ F e Frechet diferenciavel em U se, e somente se,

f e holomorfa em U . Neste caso, Df(a) = df(a) para todo a ∈ U .

1.2 Algebras de Frechet

Durante esta secao, E denotara uma algebra complexa. As demonstracoes dos resultados

desta secao podem ser vistas em [20]. Para outras definicoes e resultados na teoria das

algebras de Banach, damos como referencia [26] e [37] e para resultados sobre algebras de

Banach de funcoes analıticas em dimensao finita referimos a [22].

Definicao 1.19. Uma algebra topologica e uma algebra que e um espaco vetorial topologico

tal que a operacao de multiplicacao e contınua.

Definicao 1.20. Uma algebra de Frechet e um espaco de Frechet que e uma algebra to-

pologica e, alem disso, sua topologia e definida por uma famılia de seminormas p tais que

p(xy) ≤ p(x)p(y)

para todos x, y ∈ E.

Definicao 1.21. Dizemos que E e uma algebra de Banach se E e uma algebra que e um

espaco de Banach e a norma satisfaz a condicao

‖xy‖ ≤ ‖x‖ ‖y‖

para todos x, y ∈ E.

18

Observacao 1.5. E claro que toda algebra de Banach e uma algebra de Frechet. Porem a

recıproca nao e verdadeira como veremos mais tarde.

Definicao 1.22. Dizemos que uma algebra E tem unidade se existe um elemento e ∈ E tal

que xe = ex = e para todo x ∈ E. Dizemos que E e comutativa se xy = yx para todos

x, y ∈ E.

Observacao 1.6. Definindo E = C ⊕ E = (λ, x) ; λ ∈ C , x ∈ E com as operacoes de

adicao, multiplicacao por escalar e multiplicacao em E da forma

(λ, x) + (µ, y) = (λ+ µ, x+ y)

µ(λ, x) = (µλ, µx)

(λ, x)(µ, y) = (λµ, µx+ λy + xy)

para todos x, y ∈ E e para todos λ, µ ∈ C, tem-se que E e uma algebra complexa com unidade

e = (1, 0) ∈ E. Mais ainda, se E e uma algebra de Banach com unidade e ∈ E, definindo a

norma

|‖x‖| = sup‖y‖≤1

‖xy‖

para todo x ∈ E temos que |‖ · ‖| e uma norma equivalente a norma original ‖ · ‖, (E, |‖ · ‖|)

e uma algebra de Banach e |‖e‖| = 1.

Quando E for uma algebra de Banach com unidade e, sem perda de generalidade vamos

supor ‖e‖ = 1. Nos proximos exemplos, E e um espaco de Banach, U e um subconjunto

aberto de E e F e uma algebra de Banach. Para n ∈ N, sejam nBE = x ∈ E ; ‖x‖ < n e

∆n = λ ∈ C ; |λ| < n. Se n = 1, escrevemos ∆ ao inves de ∆1, e e claro que 1BE = BE.

Exemplo 1.7. C com as operacoes usuais e uma algebra de Banach comutativa com unidade.

Exemplo 1.8. Seja K um espaco compacto de Hausdorff. Denotamos por C(K;F ) a algebra

das aplicacoes contınuas f : K −→ F , com as operacoes definidas pontualmente. Definindo

19

a norma

‖f‖K = supx∈K‖f(x)‖

para toda f ∈ C(K;F ), tem-se que C(K;F ) e uma algebra de Banach.

Exemplo 1.9. Seja Ω um espaco topologico de Hausdorff. Denotamos por Cb(Ω;F ) a algebra

das aplicacoes contınuas f : Ω −→ F que sao limitadas, com as operacoes definidas pontu-

almente. Definindo a norma

‖f‖Ω = supx∈Ω‖f(x)‖

para toda f ∈ Cb(Ω;F ), tem-se que Cb(Ω;F ) e uma algebra de Banach.

Exemplo 1.10. H∞(U ;F ) e uma algebra de Banach, com as operacoes definidas pontual-

mente.

Exemplo 1.11. Denotamos por A(BE;F ) a algebra das aplicacoes f : BE −→ F analıticas

em BE e uniformemente contınuas em BE, com as operacoes definidas pontualmente. Defi-

nindo a norma

‖f‖ = sup‖x‖≤1

‖f(x)‖

para toda f ∈ A(BE;F ), tem-se que A(BE;F ) e uma algebra de Banach. Quando E = F =

C, A(BE;F ) = A(∆) e chamada a algebra de disco.

Exemplo 1.12. Seja `1 = (xn)+∞n=−∞ ⊂ C ;

∑+∞n=−∞ |xn| <∞. Definimos as operacoes de

espaco vetorial de maneira pontual, a norma

‖x‖ =+∞∑

n=−∞

|xn|

para todo x = (xn)+∞n=−∞ ∈ `1, e o produto de convolucao x ∗ y = (zn)+∞

n=−∞, onde

zn =+∞∑

k=−∞

xn−kyk

para todos x = (xn)+∞n=−∞, y = (yn)+∞

n=−∞ ∈ `1. Com estas operacoes e esta norma, `1 e uma

algebra de Banach comutativa com unidade e = (αn)+∞n=−∞, onde α0 = 1 e αn = 0 para todo

n 6= 0.

20

Exemplo 1.13. Denotamos por C∞([0, 1]) a algebra das funcoes complexas infinitamente

diferenciaveis no intervalo [0, 1], com as operacoes definidas pontualmente. Munimos este

espaco da topologia localmente convexa gerada pela famılia de seminormas

pn(f) = 2n−1 sup|f (k)(x)| ; x ∈ [0, 1] , k = 0, 1, . . . , n− 1

para toda f ∈ C∞([0, 1]) e para todo n ∈ N, onde f (k) denota a k-esima derivada de f . A

algebra C∞([0, 1]) e uma algebra de Frechet comutativa com unidade que nao e uma algebra

de Banach.

Exemplo 1.14. Hb(U ;F ) e uma algebra de Frechet, com as operacoes definidas pontual-

mente.

Exemplo 1.15. Seja X um espaco de Hausdorff. Denotamos por C(X) o espaco das funcoes

complexas contınuas em X munido da topologia τ0 com as operacoes definidas pontualmente.

Se X e um k-espaco hemicompacto, entao C(X) e uma algebra de Frechet comutativa com

unidade. Em particular, C(R) e uma algebra de Frechet comutativa com unidade.

Observacao 1.7. Com base nos exemplos anteriores, fazemos as seguintes observacoes:

(a) Nos exemplos 1.8, 1.9, 1.10, 1.11 e 1.14, se F e comutativa, entao estes sao exemplos

de algebras comutativas e se F e uma algebra com unidade, entao estes sao exemplos

de algebras com unidade.

(b) Se, no Exemplo 1.12, consideramos o produto

xy = (xnyn)+∞n=−∞

para quaisquer x = (xn)+∞n=−∞, y = (yn)+∞

n=−∞ ∈ `1, temos que `1 e uma algebra de

Banach comutativa sem unidade.

(c) No Exemplo 1.15, e possıvel provar que quando X e completamente regular e C(X) e

uma algebra de Frechet, entao X e um k-espaco hemicompacto.

21

Observacao 1.8. Dado um espaco normado (E, ‖ · ‖) e sempre possıvel definir um produto

∗ em E de modo que E com este produto se torna uma algebra comutativa com unidade.

Alem disso, e possıvel definir uma norma |‖ · ‖| equivalente a norma ‖ · ‖ de modo que E se

torna uma algebra de Banach. Para maiores detalhes, veja [18].

Lembramos que se X e Y sao espacos vetoriais topologicos, entao dizemos que X e Y sao

isomorfos se existe uma aplicacao linear T : X −→ Y bijetiva contınua com inversa contınua.

Se (X, ‖ · ‖X) e (Y, ‖ · ‖Y ) sao espacos normados, dizemos que X e Y sao isometricamente

isomorfos se existe uma aplicacao linear T : X −→ Y sobrejetiva tal que

‖T (x)‖Y = ‖x‖X

para todo x ∈ X.

Definicao 1.23. Dizemos que E e uma algebra de Frechet uniforme se existe uma sequencia

de seminormas (pn)n que define a topologia de E e satisfazem pn(x2) = pn(x)2 para todo x ∈

E e para todo n ∈ N. Em particular, E e uma algebra de Banach uniforme se ‖x2‖ = ‖x‖2

para todo x ∈ E.

E claro que toda algebra de Banach uniforme e uma algebra de Frechet uniforme. Se X e

hemicompacto, entao C(X) e uma algebra de Frechet uniforme. A algebra C∞([0, 1]) e uma

algebra de Frechet que nao e uniforme.

Definicao 1.24. Se E e uma algebra de Frechet, um homomorfismo de E em C e uma

aplicacao linear ϕ : E −→ C tal que ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) para todos x, y ∈ E. O espectro de

E, denotado por M(E), e o conjunto dos homomorfismos contınuos nao nulos de E em C.

E claro que se E tem unidade e e ϕ e um homomorfismo nao-nulo de E em C entao

ϕ(e) = 1. Observe que se A e uma algebra topologica, o espectro de A e usualmente

definido como sendo o conjunto Ω(A) dos ideais maximais fechados de A. A seguir, veremos

22

um resultado que justifica chamar M(E) de espectro de E quando E e uma algebra de

Frechet.

Proposicao 1.18. Se E e uma algebra de Frechet comutativa com unidade, a aplicacao

T :M(E) −→ Ω(E) dada por T (ϕ) = ϕ−1(0) para toda ϕ ∈M(E) e bijetiva.

Demonstracao. Ver [20], pagina 82, Teorema 3.2.11.

A demonstracao desta proposicao usa o Teorema de Gelfand-Mazur, que enunciamos a

seguir.

Teorema 1.8. (Teorema de Gelfand-Mazur) Se E e uma algebra de Frechet comutativa

com unidade que e um corpo, entao existe um isomorfismo entre E e C. Em particular, se

E e uma algebra de Banach, entao E e C sao isometricamente isomorfos.


No caso em que E e uma algebra de Banach comutativa com unidade, podemos omitir a

continuidade do homomorfismo na definicao de M(E). Mais precisamente temos:

Proposicao 1.19. Se E e uma algebra de Banach comutativa com unidade, entao:

(a) Todo homomorfismo de E em C e contınuo.

(b) Todo ideal maximal de E em C e fechado.

(c) ‖ϕ‖ = 1 para toda ϕ ∈M(E).

Demonstracao. Ver [20], pagina 9, Teorema 1.2.9 e pagina 12, Teorema 1.2.5.

No caso das algebras de Frechet, os ideais maximais nao sao, em geral, fechados. O

problema de decidir se todo homomorfismo de uma algebra de Frechet em C e contınuo, e

um problema em aberto e e conhecido como Problema de Michael.

23

Exemplo 1.16. Seja S1 = λ ∈ C ; |λ| = 1 e definamos Tλ(a) =∑+∞

n=−∞ anλn para todo

a = (an)+∞n=−∞ ∈ `1. E claro que Tλ ∈M(`1) para todo λ ∈ S1. Definindo T : S1 −→M(`1),

onde T (λ) = Tλ para todo λ ∈ S1, mostra-se que T e bijetiva. Portanto M(`1) = S1 (como

conjuntos).

Exemplo 1.17. Seja ϕ ∈ M(C). Logo ϕ ∈ C′ de modo que existe λ ∈ C tal que ϕ(z) = λz

para todo z ∈ C. Como ϕ(1) = 1, temos que λ = 1. Assim, ϕ = Id, onde Id e a funcao

identidade de C. Portanto, M(C) = Id (como conjuntos).

Exemplo 1.18. Para cada x ∈ R, seja Tx : C(R) −→ C tal que Tx(f) = f(x) para toda

f ∈ C(R). E claro que Tx ∈M(C(R)) para todo x ∈ R. Definindo T : R −→M(C(R)), onde

T (x) = Tx para todo x ∈ R, mostra-se que T e bijetiva. Portanto, M(C(R)) = R (como

conjuntos). Mais ainda, e possıvel provar que M(C(X)) = X quando X e um k-espaco

hemicompacto.

Definicao 1.25. O radical de uma algebra E, denotado por R(E), e a intersecao de todos

os ideais maximais em E. Dizemos que E e semi-simples se R(E) = 0.

Proposicao 1.20. Se E e uma algebra de Frechet comutativa com unidade, entao

R(E) =⋂

ϕ∈M(E)

ϕ−1(0).

Definicao 1.26. Seja E uma algebra de Banach. Dizemos que x ∈ E e quasi-nilpotente se

limn→∞‖xn‖

1n = 0.

Proposicao 1.21. Sejam E uma algebra de Banach comutativa com unidade e x ∈ E.

Entao x ∈ R(E) se, e somente se, x e quasi-nilpotente. Em particular, E e semi-simples se,

e somente se, x ∈ E quasi-nilpotente implica x = 0.

Segue da proposicao anterior que toda algebra de Banach uniforme comutativa com

unidade e semi-simples. Mais ainda, e possıvel provar que toda algebra de Frechet uniforme

comutativa com unidade e semi-simples.

24

Observe que para cada x ∈ E podemos definir a funcao x : M(E) −→ C dada por

x(ϕ) = ϕ(x) para toda ϕ ∈ M(E). A funcao x e dita a transformada de Gelfand de x.

Por definicao

E = x ; x ∈ E.

Como M(E) ⊂ E ′, a topologia fraca σ(E ′, E) induz em M(E) uma topologia que e dita a

topologia de Gelfand, denotada por τG. Salvo quando for dito explicitamente o contrario,

M(E) estara sempre munido da topologia de Gelfand. Assim, uma sequencia generalizada

(ϕα)α ⊂M(E) converge para ϕ ∈M(E) se, e somente se, ϕα(x) −→ ϕ(x) para todo x ∈ E.

Proposicao 1.22. Se E e uma algebra de Banach comutativa com unidade, entao M(E) e

um espaco compacto de Hausdorff nao-vazio.

Observe que se E e uma algebra de Banach, E e uma subalgebra da algebra uniforme

C(M(E)).

Exemplo 1.19. Considerando a algebra do Exemplo 1.8, fixado x ∈ K, seja δx : C(K) −→ C

onde δx(f) = f(x) para toda f ∈ C(K). E claro que δx ∈ M(C(K)) para todo x ∈ K.

Definimos δ : K −→M(C(K)) dada por δ(x) = δx para todo x ∈ K. Mostra-se que δ e um

homeomorfismo. Portanto, M(C(K)) e homeomorfo a K.

Exemplo 1.20. Para cada z ∈ ∆, seja δz : A(∆) −→ C onde δz(f) = f(z) para toda

f ∈ A(∆). E claro que δz ∈ M(A(∆)) para todo z ∈ ∆. Definimos δ : ∆ −→ M(A(∆))

dada por δ(z) = δz para todo z ∈ ∆. Mostra-se que δ e um homeomorfismo. Portanto,

M(A(∆)) e homeomorfo a ∆.

Em 1957, durante uma conferencia no Institute for Advanced Study em Princeton, um

grupo de matematicos se reuniu para estudar M(H∞(∆)). Os resultados foram publica-

dos sob o pseudonimo de I. J. Schark em [36]. Naquela epoca pouco se conhecia sobre

M(H∞(∆)). As duas proposicoes a seguir foram obtidas por este grupo de matematicos e

remetemos a [22] para as demonstracoes.

25

Proposicao 1.23. A aplicacao δ : ∆ −→ M(H∞(∆)) definida por δλ(f) = f(λ) para toda

f ∈ H∞(∆) e para todo λ ∈ ∆ e injetiva mas nao e sobrejetiva.

Temos entao que δ(∆) & M(H∞(∆)). Por outro lado, observe que para toda ϕ ∈

M(H∞(∆)) temos

|ϕ(Id)| ≤ ‖ϕ‖‖Id‖ = 1

de modo que ϕ(Id) ∈ ∆. Assim, podemos definir a aplicacao Π : M(H∞(∆)) −→ ∆ por

Π(ϕ) = ϕ(Id) para toda ϕ ∈M(H∞(∆)). Observamos que, se (ϕα)α e uma sequencia gene-

ralizada em M(H∞(∆)) tal que ϕατG−→ ϕ ∈ M(H∞(∆)), em particular, ϕα(Id) −→ ϕ(Id),

isto e, Π(ϕα) −→ Π(ϕ), donde segue que Π e contınua.

Proposicao 1.24. Se Π e a aplicacao de M(H∞(∆)) em ∆ definida acima, valem as se-

guintes afirmacoes:

(a) Π e sobrejetiva.

(b) Π|δ(∆) e injetiva.

(c) Π−1 leva ∆ homeomorficamente sobre o subconjunto aberto δ(∆) de M(H∞(∆)).

Assim, dado λ ∈ ∆ \∆, como Π e sobrejetiva existe ϕ ∈ M(H∞(∆)) tal que λ = Π(ϕ).

Como Π(δ(∆)) = ∆ e Π(ϕ) /∈ ∆, temos que ϕ ∈M(H∞(∆))\δ(∆). Por outro lado, sabemos

que M(H∞(∆)) e fechado, donde δ(∆) ⊂M(H∞(∆)). Portanto, e natural perguntar se

δ(∆) =M(H∞(∆)). (1.1)

Este problema, proposto no caso mais geral para H∞(D) onde D e um subconjunto

aberto de C, e conhecido como Problema da Corona e, no caso geral, permanece em aberto.

Carleson provou em [8] o seguinte resultado:

26

Teorema 1.9. Se f1, . . . , fn ∈ A(∆) satisfazem |f1(z)|+ . . .+ |fn(z)| > 0 para todo z ∈ ∆,

entao existem g1, . . . , gn ∈ A(∆) tais que f1g1 + . . .+ fngn = 1.

Mais tarde Cohen apresentou em [11] uma prova mais construtiva para este fato. Vale

ressaltar que as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) δ(∆) =M(H∞(∆));

(b) Para qualquer famılia f1, . . . , fn ∈ H∞(∆) satisfazendo

|f1(z)|+ . . .+ |fn(z)| ≥ δ (1.2)

para algum δ > 0 para todo z ∈ ∆, existem g1, . . . , gn ∈ H∞(∆) tais que

f1g1 + . . .+ fngn = 1. (1.3)

Carleson mostrou em [9] que vale (b) resolvendo, assim, positivamente, o Problema da

Corona no caso particular quando D = ∆.

Varios autores estudaram o espectro de algebras de aplicacoes holomorfas no caso de um

espaco de Banach E de dimensao infinita. Neste caso, tem-se a necessidade de supor que o

dual de E tenha a propriedade da aproximacao. Sabemos que todo espaco de Banach que

possui uma base de Schauder tem a propriedade da aproximacao e que E tem a propriedade

da aproximacao sempre que E ′ tem a propriedade da aproximacao. Em particular, se E e

reflexivo, entao E tem a propriedade da aproximacao se, e somente se, E ′ tem a propriedade

da aproximacao. Mas, em geral, pode acontecer que E tenha a propriedade da aproximacao

sem que E ′ tenha esta propriedade. Por exemplo, por um resultado de A. Szankowski em [38],

L(`2; `2) nao tem a propriedade da aproximacao (ver tambem [34]) enquanto que L(`2; `2)

pode ser visto como um dual de um espaco com a propriedade da aproximacao (ver [23],

pagina 416).

Aron, Cole e Gamelin obtiveram em [3] o seguinte resultado.

27

Teorema 1.10. Seja E um espaco de Banach tal que E ′ tem a propriedade da aproximacao.

O espectro de Hb(E) coincide com E ′′ (como conjunto) se, e somente se, o conjunto dos

polinomios complexos fracamente contınuos e denso em Hb(E).

No caso vetorial, Garcia, Lourenco, Moraes e Paques em [18] e Burlandy e Moraes em [7]

obtiveram os seguintes resultados, respectivamente.

Teorema 1.11. Seja E um espaco de Banach tal que E ′ tem a propriedade da aproximacao e

seja F uma algebra de Banach isometricamente isomorfa a F pela transformada de Gelfand.

O espectro de Hb(E,F ) coincide com E ′′×M(F ) se, e somente se, o conjunto dos polinomios

fracamente contınuos de E em F e denso em Hb(E,F ).

Teorema 1.12. Seja U um subconjunto convexo aberto de um espaco de Banach E e seja

F uma algebra de Banach isometricamente isomorfa a F pela transformada de Gelfand.

Suponhamos que E ′ tem a propriedade da aproximacao. O espectro de Hb(U, F ) coincide

com int U ×M(F ) se, e somente se, o conjunto dos polinomios fracamente contınuos de

E em F e denso em Hb(U, F ).

28

Capıtulo 2

As Aplicacoes Lorch Analıticas

Neste capıtulo definiremos diversos espacos de aplicacoes Lorch analıticas e faremos um

estudo preliminar das propriedades topologicas destes espacos. Comecaremos apresentando

a definicao de aplicacao analıtica dada por Lorch em [28]. O espaco HL(U ;E) das aplicacoes

Lorch analıticas de um aberto conexo U de E em E sera denotado por HL(E) quando U = E

e por HL(BE) quando U = BE. Mostraremos que HL(E) e HL(BE) sao subespacos fechados

de Hb(E;E) e de Hb(BE;E), respectivamente, e portanto sao espacos de Frechet. Usando

o fato de E ser isometricamente isomorfo ao espaco dos polinomios n-homogeneos que sao

Lorch analıticos, mostraremos que muitas propriedades topologicas de E sao compartilhadas

com os espacos HL(E) e HL(BE). Estudaremos tambem os espacos AL(BE) das aplicacoes

Lorch analıticas em BE que sao uniformemente contınuas em BE e H∞L (BE) das aplicacoes

Lorch analıticas em BE que sao limitadas e mostraremos que, munidos da norma do sup,

ambos sao espacos de Banach.

Em todo este capıtulo, E denotara uma algebra de Banach comutativa com unidade e

tal que ‖e‖ = 1 e U sera um subconjunto aberto conexo de E.

2.1 Espacos de Aplicacoes (L)-Analıticas

Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → E e derivavel no sentido de Lorch (ou

(L)-diferenciavel) em w0 ∈ U com derivada a ∈ E se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

‖f(w0 + h)− f(w0)− h a‖ < ε‖h‖

para todo h ∈ E satisfazendo ‖h‖ < δ.

E facil ver atraves da definicao que tal a ∈ E e unico e que se f e (L)-diferenciavel em

w0, entao f e contınua em w0. Denotamos a (L)-derivada de f em w0 por f ′(w0).

Definicao 2.2. Dizemos que f e (L)-analıtica em U se f tem (L)-derivada em todo ponto

de U.

Como a aplicacao A(h) = f ′(w0)h para todo h ∈ E e tal que A ∈ L(E;E), vemos que

se f : U → E e (L)-analıtica em U , entao f e (F)-diferenciavel em U e, consequentemente,

toda aplicacao (L)-analıtica de U em E e holomorfa. Porem a recıproca nao e verdadeira.

Com efeito, consideremos em C2 as operacoes

(γ1, γ2) + (ξ1, ξ2) = (γ1 + ξ1, γ2 + ξ2)

α(γ1, γ2) = (αγ1, αγ2) e (γ1, γ2)(ξ1, ξ2) = (γ1ξ1, γ2ξ2)

e a norma

‖(γ1, γ2)‖ = max|γ1|, |γ2|.

A aplicacao f : C2 −→ C2 definida por

f(γ1, γ2) = (γ2, γ1) para todo (γ1, γ2) ∈ C2

e (F)-diferenciavel mas nao e (L)-diferenciavel.

30

Teorema 2.1. Se ρ > 0 e o raio de convergencia da serie∑∞

n=0 an(w−w0)n onde (an)n ⊂ E,

entao a aplicacao

f(w) =∞∑n=0

an(w − w0)n

para todo w ∈ E tal que ‖w − w0‖ < ρ e (L)-analıtica em Bρ(w0).


Por outro lado, temos

Teorema 2.2. Se w0 ∈ U e ρ > 0 sao tais que Bρ(w0) ⊂ U , entao dada qualquer aplicacao

f : U −→ E (L)-analıtica em U temos que existe uma unica sequencia (an)n ⊂ E tal que

f(w) =∞∑n=0

an(w − w0)n

para todo w ∈ Bρ(w0).


O Teorema 2.2 mostra que a serie de Taylor das aplicacoes (L)-analıticas tomam uma

forma muito simples. Na notacao usada na teoria das aplicacoes holomorfas temos que se

f(w) =∑∞

n=0 an(w − w0)n, entao 1n!dnf(w0)(w − w0) = an(w − w0)n para todo n ∈ N0.

Como consequencia dos Teoremas 2.1 e 2.2 temos os seguintes corolarios.

Corolario 2.1. Uma aplicacao f : E −→ E e (L)-analıtica em E se, e somente se,

existe uma unica sequencia (an)n ⊂ E tal que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E, onde

limn→∞‖an‖

1n = 0.

Seja HL(U ;E) o espaco das aplicacoes (L)-analıticas de U em E. Quando U = E,

escrevemos HL(E) em lugar de HL(E;E). Entao f ∈ HL(E) se, e somente se, existe uma

unica sequencia (an)n ⊂ E tal que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E e lim

n→∞‖an‖

1n = 0.

31

Pelo Corolario 2.1 temos que se f : E −→ E e dada por

f(w) =∞∑n=0

wn

n!

para todo w ∈ E, entao f ∈ HL(E). Observe que se E = C, entao f(w) = exp(w) para todo

w ∈ C.

Definindo P (w) = awn para todo w ∈ E, onde a ∈ E, temos que P ∈ P(nE;E) e

‖P‖ = ‖a‖, de modo que o supremo dos numeros ρ que satisfazem ao Teorema 2.2 e o raio

de convergencia da serie de Taylor de f em w0, e daı

rcf(w0) =1

lim supn→∞‖an‖

1n

.

Para todo n ∈ N denotamos por PL(nE) o subespaco dos elementos de P(nE;E) que sao

aplicacoes (L)-analıticas, isto e, PL(nE) = P(nE;E)∩HL(E). Quando n = 0, por definicao

PL(0E) = P(0E;E). Temos a seguinte caracterizacao dos elementos de PL(nE).

Proposicao 2.1. Para todo n ∈ N0, P ∈ PL(nE) se, e somente se, existe a ∈ E tal que

P (w) = awn para todo w ∈ E.

Demonstracao. Se n = 0, vale por definicao. Fixemos n ∈ N. Se P ∈ PL(nE), a serie de

Taylor de P em torno da origem e dada por P (w) =∑∞

k=0 akwk para todo w ∈ E, onde

(ak)k ⊂ E, e e conhecido que se P ∈ P(nE;E) entao 1n!dnP (0) = P e 1

k!dkP (0) = 0 para

todo k 6= n. Assim, P (w) = anwn para todo w ∈ E com an ∈ E. Por outro lado, e facil

verificar a partir da definicao que se P (w) = awn para todo w ∈ E com a ∈ E, entao P e

(L)-diferenciavel em E, ou seja, P ∈ PL(nE).

No caso dos polinomios de E em E (nao necessariamente homogeneos), definimos o espaco

dos polinomios (L)-analıticos de E em E por

PL(E) = P(E;E) ∩HL(E).

32

Pela proposicao anterior, temos que P ∈ PL(E) se, e somente se, P e da forma

P (w) = a0 + a1w + a2w2 + . . .+ anw

n

para todo w ∈ E e para algum n ∈ N0.

Consideramos PL(nE) como um subespaco de P(nE;E) de modo que munimos PL(nE)

com a norma

‖P‖ = sup‖w‖≤1

‖P (w)‖

para todo P ∈ PL(nE). Quando nao mencionado em contrario, PL(nE) estara sempre

munida desta norma. A proposicao a seguir nos mostra que do ponto de vista algebrico

e topologico, o espaco dos polinomios n-homogeneos que sao (L)-analıticos e a algebra de

Banach E, sao os mesmos.

Proposicao 2.2. PL(nE) e isometricamente isomorfo a E.

Demonstracao. Se n = 0, e claro. Fixemos n ∈ N. Para cada a ∈ E, seja Pa(w) = awn para

todo w ∈ E. Assim, a aplicacao T : E −→ PL(nE) tal que T (a) = Pa para todo a ∈ E esta

bem definida. Alem disso, e facil ver que T e linear e sobrejetiva. Como ‖Pa‖ = ‖a‖ para

todo a ∈ E, segue a isometria.

Corolario 2.2. PL(nE) e um espaco de Banach.

Como HL(U ;E) ⊂ H(U ;E), podemos considerar em HL(U ;E) e em seus subespacos as

topologias induzidas por τ0 e τw.

Proposicao 2.3. (PL(nE), τ0) e completo .

Demonstracao. Basta mostrar que para todo n ∈ N0, PL(nE) munido da topologia τ0 e

isomorfo a E. Para n = 0 vale por definicao. Fixemos n ∈ N. Seja T a bijecao linear definida

na demonstracao da Proposicao 2.2. Vamos mostrar que T e contınua com inversa contınua

33

quando PL(nE) esta munido com a topologia τ0. Seja um conjunto compacto K ⊂ E. Logo

existe λ > 0 tal que ‖w‖ ≤ λ para todo w ∈ K. Dado a ∈ E temos que ‖Pa(w)‖ ≤ ‖a‖λn

para todo w ∈ K, isto e, pK(T (a)) ≤ c‖a‖ para algum c > 0, mostrando que T e contınua.

Por outro lado, como o conjunto unitario e e um compacto de E, entao e claro que T−1 e

contınua. Portanto, T e um homeomorfismo linear, ou seja, um isomorfismo.

Proposicao 2.4. (PL(nE), τ0) e um subespaco complementado de (HL(U ;E), τ0) para todo

n ∈ N.

Demonstracao. Sem perda de generalidade podemos supor que 0 ∈ U uma vez que e facil

verificar que (HL(U ;E) , τ0) e isomorfo a (HL(U −w0;E) , τ0) para qualquer w0 ∈ U . Como

1n!dnf(0) ∈ PL(nE) ⊂ HL(U ;E) para toda f ∈ HL(U ;E), o mesmo argumento usado

na demonstracao da Proposicao 3.22(a) de [15] mostra que (PL(nE), τ0) e um subespaco

complementado de (HL(U ;E), τ0).

Proposicao 2.5. (HL(U ;E), τ0) e completo.

Demonstracao. Seja (fα)α uma sequencia generalizada τ0-Cauchy em HL(U ;E). Logo (fα)α

e uma sequencia generalizada τ0-Cauchy em H(U ;E) e, como H(U ;E) e τ0-completo, existe

f ∈ H(U ;E) tal que fατ0−→ f . Para cada w0 ∈ U , existem r > 0 tal que Br(w0) ⊂ U

e uma sequencia de polinomios Pn ∈ P(nE;E), denotados por Pn = 1n!dnf(w0), tais que

f(w) =∑∞

n=01n!dnf(w0)(w − w0) uniformemente em Br(w0). Observamos que a topologia

τ0 de PL(nE) coincide com a topologia da convergencia uniforme sobre os subconjuntos

compactos de Br(0) e que, pela desigualdade de Cauchy, se K e um subconjunto compacto

equilibrado de Br(0), temos ∥∥∥∥ 1

n!dnf(w0)

∥∥∥∥K

≤ ‖f‖w0+K

para todo n ∈ N. Daı e de fατ0−→ f segue que 1

n!dnfα(w0)

τ0−→ 1n!dnf(w0). Como PL(nE) e

τ0-completo, temos daı que 1n!dnf(w0) ∈ PL(nE) para todo n ∈ N. Entao, para cada n ∈ N

existe an ∈ E tal que 1n!dnf(w0)(w − w0) = an(w − w0)n. Segue daı que f ∈ HL(U ;E).

34

Corolario 2.3. Se U e equilibrado, entao (HL(U ;E), τω) e completo.

Demonstracao. Seja (fα)α uma sequencia generalizada τω-Cauchy em HL(U ;E). Logo (fα)α

e uma sequencia generalizada τω-Cauchy em H(U,E) e como H(U,E) e τω-completo, existe

f ∈ H(U,E) tal que fατω−→ f . Como τ0 ⊂ τω, em particular fα

τ0−→ f . Assim, pela

Proposicao 2.5 temos que f ∈ HL(U ;E). Portanto, HL(U ;E) e τω-completo.

Como na Proposicao 2.4, usando argumento analogo ao usado na Proposicao 3.22(b)

de [15] para mostrar que (P(nE;F ), τω) e um subespaco complementado de (H(U ;F ), τω),

mostra-se que (PL(nE), τω) e um subespaco complementado de (HL(U ;E), τω).

Dada f ∈ HL(E), vimos que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E onde lim

n→∞‖an‖

1n =

0. Alem disso, definindo Pn(w) = anwn para todo w ∈ E, segue que Pn ∈ PL(nE) e

‖Pn‖ = ‖an‖ para todo n ∈ N0. Assim, f(w) =∑∞

n=0 Pn(w) para todo w ∈ E, onde

Pn ∈ P(nE,E) para todo n ∈ N e limn→∞‖Pn‖

1n = 0, ou seja, lim

n→∞

∣∣∣∣∣∣ 1n!dnf(0)

∣∣∣∣∣∣ 1n

= 0. Portanto,

pela Proposicao 1.13, f e de tipo limitado, ou seja, f ∈ Hb(E;E). Acabamos de mostrar que

HL(E) ⊂ Hb(E;E). Mais ainda, o exemplo mencionado no inıcio deste capıtulo nos mostra

que HL(E) & Hb(E;E). Podemos entao munir o espaco HL(E) com a topologia localmente

convexa τb da convergencia uniforme sobre os limitados de E. A seguinte proposicao sera

util no capıtulo 3.

Proposicao 2.6. Todo elemento de HL(E) e uniformemente contınuo em todo subconjunto

limitado de E.

Demonstracao. Dado f ∈ HL(E), podemos escrever f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E,

onde (an)n ⊂ E satisfaz limn→∞‖an‖

1n = 0. Seja B um subconjunto limitado de E. Dado ε > 0,

existe N ∈ N tal que ‖f(w) − PN(w)‖ < ε3

para todo w ∈ B onde PN(w) =∑N

n=0 anwn.

Como PN e uniformemente contınuo em B, existe δ > 0 tal que se z, w ∈ B e ‖z − w‖ < δ

35

entao ‖PN(z)− PN(w)‖ < ε3. Assim, se z, w ∈ B e ‖z − w‖ < δ entao

‖f(z)− f(w)‖ ≤ ‖f(z)− PN(z)‖+ ‖PN(z)− PN(w)‖+ ‖PN(w)− f(w)‖ < ε.

Ou seja, f |B e uniformemente contınua.

Proposicao 2.7. (HL(E), τb) e um espaco de Frechet.

Demonstracao. Como Hb(E;E) e um espaco de Frechet, basta mostrar que HL(E) e

τb-fechado em Hb(E;E). Seja f ∈ HL(E) e seja (fk)k uma sequencia em HL(E) tal que

fkτb−→ f . Vamos mostrar que f ∈ HL(E). De fato, para cada k ∈ N, como fk ∈ HL(E),

existe uma unica sequencia (an,k)n ⊂ E tal que

fk(w) =∞∑n=0

an,kwn

para todo w ∈ E onde limn→∞‖an,k‖

1n = 0. Alem disso, como f ∈ Hb(E;E) podemos escrever

f(w) =∞∑n=0

1

n!dnf(0)(w)

para todo w ∈ E onde limn→∞‖ 1n!dnf(0)‖ 1

n = 0. Para todo n ∈ N0, denotando Qn,k(w) = an,kwn

para todo w ∈ E temos que Qn,k ∈ P(nE;E) e limn→∞‖Qn,k‖

1n = 0. Agora, temos por hipotese

que (fk)k e τb-Cauchy, de modo que dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que

‖fk(w)− fl(w)‖ < ε (2.1)

para todo w ∈ BE e para todos k, l > k0. Para todo n ∈ N0, usando a desigualdade de

Cauchy (Proposicao 1.6) temos que

‖Qn,k −Qn,l‖ ≤ sup‖w‖=1

‖fk(w)− fl(w)‖

e em conjunto com a desigualdade (2.1) nos da que

‖Qn,k −Qn,l‖ < ε

36

para todos k, l > k0. Assim, fixado n ∈ N0, temos que (Qn,k)k ⊂ PL(nE) e uma sequencia de

Cauchy e, portanto, existe Pn ∈ PL(nE) tal que ‖Qn,k − Pn‖ −→ 0 quando k →∞. Vamos

mostrar que 1n!dnf(0) = Pn. Com efeito, dado ε > 0, como fk

τb−→ f , usando novamente as

desigualdades de Cauchy e ainda o fato de que ‖Qn,k − Pn‖ −→ 0 quando k → ∞, temos

que existe k0 ∈ N tal que ∥∥∥∥ 1

n!dnfk0(0)− 1

n!dnf(0)

∥∥∥∥ < ε

2(2.2)

e

‖Qn,k0 − Pn‖ <ε

2. (2.3)

Mas como 1n!dnfk0(0) = Qn,k0 , pela desigualdade triangular e as desigualdades (2.2) e (2.3)

segue que ∥∥∥∥ 1

n!dnf(0)− Pn

∥∥∥∥ < ε.

Como isto vale para todo ε > 0, 1n!dnf(0) = Pn. Portanto, existe an ∈ E tal que

1

n!dnf(0)(w) = Pn(w) = anw

n (2.4)

para todo w ∈ E. Alem disso, pela isometria entre E e PL(nE), como f ∈ Hb(E;E) temos

limn→∞‖an‖

1n = lim

n→∞‖Pn‖

1n = lim

n→∞

∥∥∥∥ 1

n!dnf(0)

∥∥∥∥ 1n

= 0. (2.5)

Ou seja, pelas equacoes (2.4) e (2.5) temos que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E, onde

limn→∞‖an‖

1n = 0, isto e, f ∈ HL(E).

Proposicao 2.8. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(a) PL(nE)n∈N0 e uma ∞-decomposicao de Schauder para (HL(E), τb).

(b) PL(nE)n∈N0 e uma decomposicao S-absoluta para (HL(E), τb).

(c) PL(nE)n∈N0 e contratil.

(d) PL(nE)n∈N0 e limitadamente completa.

37

Demonstracao. Para provar (a), sabemos que P(nE;E)n∈N0 e uma ∞-decomposicao para

(Hb(E;E), τb). Como HL(E) ⊂ Hb(E;E) e dada f ∈ HL(E) existem unicos

Pn ∈ PL(nE) ⊂ P(nE;E) para todo n ∈ N0 tais que f =∑∞

n=0 Pn em (HL(E), τb), con-

cluımos daı que PL(nE)n∈N0 e uma∞-decomposicao para o espaco de Frechet (HL(E), τb).

E sabido que, num espaco de Frechet, toda R-decomposicao de Schauder (0 < R ≤ ∞) e

uma decomposicao S-absoluta (ver [16], Lema 6), de modo que PL(nE) e uma decomposicao

S-absoluta para HL(E), provando (b). Para provar (c), basta lembrar que toda decom-

posicao S-absoluta e contratil, de modo que PL(nE)∞n=0 e contratil. Resta provar (d). Seja

(∑m

k=0 Pk)∞m=0 uma sequencia limitada em (HL(E), τb) onde Pk ∈ PL(kE) para todo k ∈ N0.

Fixado r > 0, seja M > 0 tal que

sup‖w‖≤r

∥∥∥∥∥m∑k=0

Pk(w)

∥∥∥∥∥ < M

para todo m ∈ N0. Assim

sup‖w‖≤r

‖Pn(w)‖ ≤ sup‖w‖≤r

∥∥∥∥∥n∑k=0

Pk(w)

∥∥∥∥∥+ sup‖w‖≤r

∥∥∥∥∥n−1∑k=0

Pk(w)

∥∥∥∥∥ < 2M,

isto e, (sup‖w‖≤r

‖Pn(w)‖

) 1n

< (2M)1n .

Tomando w = re segue que

r‖Pn‖1n < (2M)

1n .

Assim, para todo n ∈ N0 temos que lim supn→∞‖Pn‖

1n ≤ 1

r. Como isto vale para todo r > 0,

segue que lim supn→∞‖Pn‖

1n = 0 e consequentemente lim

n→∞‖Pn‖

1n = 0. Assim,

∑∞n=0 Pn converge

em (HL(E), τb).

No caso classico temos, como caso particular da Proposicao 4.3 de [6], que P(nE;E) tem

a propriedade de Schur para todo n ∈ N se, e somente se, E e E ′ tem a propriedade de

Schur. No nosso caso, como E e isometricamente isomorfo a PL(nE), temos trivialmente que

38

PL(nE) tem a propriedade de Schur para todo n ∈ N se, e somente se, E tem a propriedade

de Schur. Daı temos tambem que E ter a propriedade de Schur e equivalente a HL(E) ter

a propriedade de Schur (ver Proposicao 2.9, a seguir) e e equivalente a (HL(BE), τb) ter a

propriedade de Schur (ver a Proposicao 2.14, mais adiante).

Proposicao 2.9. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) E tem a propriedade de Schur.

(b) PL(nE) tem a propriedade de Schur para todo n ∈ N0.

(c) (HL(E), τb) tem a propriedade de Schur.

Demonstracao. Como E e PL(nE) sao isometricamente isomorfos para todo n ∈ N0, e claro

que (a) ⇔ (b). Agora, para provar que (b) ⇔ (c), basta lembrar que PL(nE)n∈N0 e uma

decomposicao S-absoluta para (HL(E), τb) e usarmos a Proposicao 1.15.

Lembramos que um espaco topologico X satisfaz o primeiro axioma de enumerabilidade

se todo ponto de X possui uma base de vizinhancas enumeravel. Se X possui uma base

enumeravel para sua topologia, dizemos queX satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade.

Pode-se provar que (ver [31], Teoremas 30.2 e 30.3 (b) da pagina 191, e exercıcio 5 (a) da

pagina 194 ou ver [27], Teorema 9.6 das paginas 133 e 137):

(a) Todo subespaco de um espaco topologico que satisfaz o primeiro (segundo) axioma de

enumerabilidade, tambem satistaz o primeiro (segundo) axioma de enumerabilidade.

(b) Se um espaco topologico X satisfaz o segundo axioma de enumerabilidade, entao X e

separavel.

(c) Se um espaco topologico X e metrizavel e separavel, entao X satisfaz o segundo axioma

de enumerabilidade.

39

Se E e um espaco de Banach separavel, pode ser que L(E;E) nao seja separavel. Por

exemplo, se E = `2 e facil verificar que `∞ e um subespaco de L(`2; `2) e isto implica

em L(`2; `2) nao ser separavel. Consequentemente, Hb(`2; `2) nao e separavel embora `2

seja separavel. No nosso caso, a isometria entre E e PL(nE) nos possibilita mostrar as

Proposicoes 2.10 e 2.15.

Proposicao 2.10. As seguintes afirmacoes sao equivalentes.

(a) E e separavel.

(b) PL(nE) e separavel para todo n ∈ N0.

(c) (HL(E), τb) e separavel.

Demonstracao. Como PL(nE) e isometricamente isomorfo a E para todo n ∈ N0, segue direto

que (a) ⇔ (b). Vamos denotar (HL(E), τb) simplesmente por HL(E). Agora, suponhamos

que HL(E) seja separavel. Como HL(E) e metrizavel, entao HL(E) satisfaz o segundo

axioma de enumerabilidade. Mas PL(nE) ⊂ HL(E), de modo que PL(nE) satisfaz o segundo

axioma de enumerabilidade e, portanto, PL(nE) e separavel e assim (c) ⇒ (b). Por fim,

suponhamos que E e separavel. Lembramos que a topologia usual de P(E;E) coincide

com a topologia induzida em P(E;E) pela topologia τb de Hb(E;E). Assim, PL(E) e um

subespaco topologico de (Hb(E;E), τb). Como E e separavel e e isometricamente isomorfo

a PL(nE) para todo n ∈ N0, temos que PL(E) e separavel. Assim, existe um subconjunto

enumeravel D de PL(E) que e denso em PL(E). Dado f ∈ HL(E), existe ak ∈ E para todo

k ∈ N0 tal que a sequencia (∑n

k=0 Pak,k)∞n=0 converge a f na topologia τb. Assim, dados ε > 0

e B um subconjunto limitado de E, existe n0 ∈ N0 tal que∥∥∥∥∥f −n0∑k=0

Pak,k

∥∥∥∥∥B

<ε

2.

40

Como∑n0

k=0 Pak,k ∈ PL(E), existe Q ∈ D tal que∥∥∥∥∥n0∑k=0

Pak,k −Q

∥∥∥∥∥B

<ε

2.

Portanto,

‖f −Q‖B ≤

∥∥∥∥∥f −n0∑k=0

Pak,k

∥∥∥∥∥B

+

∥∥∥∥∥n0∑k=0

Pak,k −Q

∥∥∥∥∥B

< ε.

Isto nos mostra que D = HL(E) e como D e enumeravel, temos que HL(E) e separavel.

Provamos que (a)⇒ (c) e, assim, a proposicao esta provada.

Observacao 2.1. Se a ∈ U , entao BdU (a)(a) ⊂ U . Com efeito, suponhamos que exista

x ∈ BdU (a)(a) ∩ (E \ U). Por um resultado conhecido sobre conjuntos conexos (ver, por

exemplo (3.19.9) de [13]) existe z ∈ ∂U ∩ BdU (a)(a) e neste caso temos um absurdo ja que,

pela definicao de dU(a), temos que dU(a) ≤ ‖z − a‖. Portanto, BdU (a)(a) ⊂ U .

Proposicao 2.11. Se f ∈ HL(U ;E) e w0 ∈ U , entao rbf(w0) = dU(w0).

Demonstracao. Seja f ∈ HL(U ;E) e w0 ∈ U . Como BdU (w0)(w0) ⊂ U , pelo Teorema 2.2,

existem unicos an ∈ E para todo n ∈ N tais que

f(w) =∞∑n=0

an(w − w0)n

para todo w ∈ BdU (w0)(w0). Fixemos 0 < s < r < dU(w0) e considere w = w0 + re. Entao

w ∈ BdU (w0)(w0) ⊂ U e assim∑∞

n=0 an(re)n converge. Daı segue que (anrn)n e limitada

donde existe c > 0 tal que

‖an‖ ≤c

rn

para todo n ∈ N. Agora, se w ∈ Bs(w0), pela desigualdade acima temos que

‖an(w − w0)n‖ ≤ ‖an‖sn ≤ c(sr

)npara todo n ∈ N. Como 0 < s < r, isto nos mostra que a serie

∑∞n=0 an(w − w0)n converge

uniformemente em Bs(w0) para todo 0 < s < dU(w0). Pela definicao do raio de convergencia

41

temos que dU(w0) ≤ rcf(w0). Por outro lado, f ∈ H(U ;E) e como E e um espaco de Banach

temos que rbf(w0) = mindU(w0) , rcf(w0). Portanto, rbf(w0) = dU(w0).

Veremos a seguir que quando U = Br(w0), onde w0 ∈ E e r > 0, HL(U ;E) e um

subespaco fechado de Hb(U ;E). Faremos a demonstracao apenas para o caso r = 1. Deno-

tamos por HL(BE) o espaco HL(BE;E). Em geral, podemos ter HL(U ;E) & Hb(U ;E) pois,

o exemplo mencionado logo apos a Definicao 2.2 mostra que HL(BE) & Hb(BE;E).

Proposicao 2.12. (HL(BE), τb) e um espaco de Frechet.

Demonstracao. Seja f ∈ HL(BE). Pela Proposicao 2.11 temos que rbf(0) = 1. Assim, f e

limitada em Bs(0) para todo 0 < s < 1. Agora, dado um BE-limitado B, pelo Lema 1.3 de [7],

existe λ > 1 tal que λB e BE-limitado, isto e, existe 0 < ρ < 1 tal que B ⊂ ρBE ⊂ Bρ(0).

Assim, f e limitada em B e daı f ∈ Hb(BE;E). Portanto, HL(BE) e um subespaco de

Hb(BE;E).

Agora mostraremos que (HL(BE), τb) e um espaco de Frechet. Como Hb(BE;E) e um

espaco de Frechet, basta mostrar que HL(BE) e τb-fechado em Hb(BE;E). Seja f ∈ HL(BE)

e seja (fk)k uma sequencia em HL(BE) tal que fkτb−→ f . Vamos mostrar que f ∈ HL(BE).

Para cada k ∈ N, como fk ∈ HL(BE) existe uma unica sequencia (an,k)n ⊂ E tal que

fk(w) =∞∑n=0

an,kwn

para todo w ∈ BE. Mais ainda, para todo n ∈ N0, denotando Qn,k(w) = an,kwn para todo

w ∈ E temos que Qn,k ∈ P(nE;E). Alem disso, como f ∈ Hb(BE;E) temos que para todo

w ∈ BE

f(w) =∞∑n=0

1

n!dnf(0)(w)

onde lim supn→∞‖ 1n!dnf(0)‖ 1

n ≤ 1. Fixemos n ∈ N0 e 0 < r < 1. Por hipotese temos que (fk)k

e τb-Cauchy, de modo que dado ε > 0 existe k0 ∈ N tal que

‖fk(w)− fl(w)‖ < rnε (2.6)

42

para todo w ∈ Br(0) e para todos k, l > k0. Logo, usando a desigualdade de Cauchy

(Proposicao 1.6) temos que

‖Qn,k −Qn,l‖Br(0) ≤1

rnsup‖w‖≤r

‖fk(w)− fl(w)‖

e daı a desigualdade (2.6) nos da que

‖Qn,k −Qn,l‖Br(0) < ε

para todos k, l > k0. Daı, como (Qn,k)k e uma sequencia de polinomios n-homogeneos,

concluımos que (Qn,k)k e uma sequencia de Cauchy em PL(nE) donde existe Pn ∈ PL(nE)

tal que ‖Qn,k − Pn‖ −→ 0 quando k →∞. Vamos mostrar que 1n!dnf(0) = Pn. Com efeito,

dado ε > 0, de fkτb−→ f em conjunto com a desigualdade de Cauchy e ainda o fato de que

‖Qn,k − Pn‖ −→ 0 quando k →∞ temos que existe k1 ∈ N tal que∥∥∥∥Qn,k1 −1

n!dnf(0)

∥∥∥∥Br(0)

< ε (2.7)

e

‖Qn,k1 − Pn‖Br(0) < ε. (2.8)

Agora pela desigualdade triangular e pelas desigualdades (2.7) e (2.8) segue que∥∥∥∥ 1

n!dnf(0)− Pn

∥∥∥∥Br(0)

< 2ε

e isto vale para todo ε > 0 de modo que 1n!dnf(0)(w) = Pn(w) para todo w ∈ Br(0).

Como 1n!dnf(0) e Pn sao ambos polinomios n-homogeneos, isto implica em 1

n!dnf(0) = Pn.

Portanto, existe an ∈ E tal que

1

n!dnf(0)(w) = Pn(w) = anw

n (2.9)

para todo w ∈ E e isto vale para todo n ∈ N0. Ou seja, pela equacao (2.9) temos que

f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ BE e como lim sup

n→∞‖an‖

1n = lim sup

n→∞‖ 1n!dnf(0)‖ 1

n ≤ 1 do

Teorema 2.1 segue que f ∈ HL(BE).

43

Usando os fatos de que P(nE;E)n∈N0 e uma 1-decomposicao de Schauder paraHb(BE;E)

e para toda f ∈ HL(BE) existe uma unica sequencia (an)n ⊂ E tal que f(w) =∑∞

n=0 anwn

para todo w ∈ BE, com a mesma demonstracao das Proposicoes 2.8, 2.9 e 2.10, obtemos os

seguintes resultados:

Proposicao 2.13. As seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(a) PL(nE)n∈N0 e uma 1-decomposicao de Schauder para (HL(BE), τb).

(b) PL(nE)n∈N0 e uma decomposicao S-absoluta para (HL(BE), τb).

(c) PL(nE)n∈N0 e contratil.

(d) PL(nE)n∈N0 e limitadamente completa.

Proposicao 2.14. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:

(a) E tem a propriedade de Schur.

(b) PL(nE) tem a propriedade de Schur para todo n ∈ N0.

(c) (HL(BE), τb) tem a propriedade de Schur.


(a) E e separavel.

(b) PL(nE) e separavel para todo n ∈ N0.

(c) (HL(BE), τb) e separavel.

Seja H∞L (U ;E) o espaco das f ∈ HL(U ;E) que sao limitadas em U . Observe que se

U = E, como HL(E) ⊂ H(E;E), entao pelo Teorema de Liouville H∞L (E) denota o espaco

das aplicacoes constantes de E em E. O seguinte exemplo nos mostra que podemos ter

H∞L (U ;E) & HL(U ;E).

44

Exemplo 2.1. Para todo w ∈ BE temos que w− e e invertıvel de modo que podemos definir

f : BE −→ E por f(w) = (e− w)−1 para todo w ∈ BE. Logo f ∈ HL(BE). Agora, tomando

wn = (1 − 1n)e ∈ BE para todo n ∈ N temos que ‖f(w)‖ = n para todo n ∈ N donde

f /∈ H∞L (BE).

Temos entao que H∞L (U ;E) e um subespaco de H∞(U ;E) de modo que munimos este

espaco com a norma usual

‖f‖U = supw∈U‖f(w)‖

para toda f ∈ H∞L (U ;E). Em geral podemos ter H∞L (U ;E) & H∞(U ;E) pois, o exemplo

mencionado logo apos a Definicao 2.2 mostra que H∞L (BE) & H∞(BE;E).

Proposicao 2.16. H∞L (U ;E) e um espaco de Banach.

Demonstracao. Como H∞L (U ;E) e um subespaco do espaco de Banach H∞(U ;E), basta

provar queH∞L (U ;E) e fechado. Seja f ∈ H∞L (U ;E) e seja (fk)k uma sequencia emH∞L (U ;E)

tal que fk −→ f quando k →∞. Vamos mostrar que f ∈ H∞L (U ;E). Fixado w0 ∈ U , escolha

0 < r < 1 tal que Br(w0) ⊂ U . Agora, usando um argumento analogo ao da demonstracao

da Proposicao 2.12, temos que f ∈ HL(U ;E). Como f ∈ H∞(U ;E), entao f ∈ H∞L (U ;E),

donde segue que H∞L (U ;E) e um espaco de Banach.

Vamos denotar o espaco das aplicacoes (L)-analıticas em BE e uniformemente contınuas

em BE por AL(BE). Deste modo AL(BE) e um subespaco de A(BE;E). Munimos entao

este espaco com a norma usual

‖f‖ = sup‖w‖≤1

‖f(w)‖

para toda f ∈ AL(BE).

Proposicao 2.17. AL(BE) e um espaco de Banach.

45

Demonstracao. Como AL(BE) e um subespaco do espaco de Banach A(BE;E), basta provar

que AL(BE) e fechado. Seja f ∈ AL(BE) e seja (fk)k uma sequencia em AL(BE) tal que

fk −→ f quando k →∞. Vamos mostrar que f ∈ AL(BE). Em particular, f ∈ A(BE;E) e,

portanto, f e uniformemente contınua em BE. Assim, temos que provar que f ∈ HL(BE).

Para isto, observe que AL(BE) e tambem um subespaco do espaco de Banach H∞L (BE) e

como fk −→ f quando k →∞ segue que f ∈ H∞L (BE).

2.2 O Espaco Γ(E) de Sequencias

Consideremos o seguinte conjunto de sequencias

Γ(E) =

(an)n ⊂ E ; limn→∞‖an‖

1n = 0

.

Observe que dados (an)n, (bn)n ∈ Γ(E) e λ ∈ C, como

‖an + bn‖1n ≤ ‖an‖

1n + ‖bn‖

1n

e

‖λan‖1n = |λ|

1n‖an‖

1n

para todo n ∈ N, temos que limn→∞‖an+bn‖

1n = 0 e lim

n→∞‖λan‖

1n = 0. Isto e, (an+bn)n ∈ Γ(E) e

(λan)n ∈ Γ(E). Definindo em Γ(E) a adicao e multiplicacao por escalar da seguinte maneira

(an)n + (bn)n = (an + bn)n

λ(an)n = (λan)n

para todos (an)n, (bn)n ∈ Γ(E) e para todo λ ∈ C, temos que Γ(E) e um espaco vetorial.

Proposicao 2.18. A funcao d : Γ(E)× Γ(E) −→ R definida por

d(a, b) = sup‖a0 − b0‖; ‖an − bn‖1n , n ∈ N

para todos a = (an)n ∈ Γ(E) e b = (bn)n ∈ Γ(E), e uma metrica em Γ(E) que e invariante

por translacoes.

46

Demonstracao. Dados a = (an)n ∈ Γ(E) e b = (bn)n ∈ Γ(E) temos que a− b ∈ Γ(E) e, como

limn→∞‖an − bn‖

1n = 0, segue que d(a, b) < ∞. Assim d(a, b) ∈ R para todos a, b ∈ Γ(E). E

trivial verificar que d(a, b) ≥ 0 para todos a, b ∈ Γ(E), que d(a, b) = 0 se, e somente se, a = b,

e que d(a, b) = d(b, a) para todos a, b ∈ Γ(E). Para a desigualdade triangular, se a = (an)n,

b = (bn)n, c = (cn)n ∈ Γ(E), de

‖an − cn‖1n ≤ ‖an − bn‖

1n + ‖bn − cn‖

1n

para todo n ∈ N segue que d(a, c) ≤ d(a, b) + d(b, c). Mostramos assim que d e uma metrica

em Γ(E). Finalmente, a partir da definicao de d e facil verificar que d(a+ c, b+ c) = d(a, b)

para todos a, b, c ∈ Γ(E).

Observacao 2.2. A metrica d definida na Proposicao 2.18 satisfaz as seguintes propriedades:

(a) Para todos λ ∈ C e a, b ∈ Γ(E) vale d(λa, λb) ≤ A(λ)d(a, b) onde A(λ) = max1, |λ|.

Com efeito, se λ ∈ C e a = (an)n, b = (bn)n ∈ Γ(E) entao ‖λa0 − λb0‖ ≤ |λ|‖a0 − b0‖

e ‖λan − λbn‖1n ≤ |λ| 1n‖an − bn‖

1n para todo n ∈ N. Agora, lembramos que se |λ| ≤ 1,

entao |λ| 1n ≤ 1 e que se |λ| > 1, entao |λ| 1n ≤ |λ|.

(b) Usando o fato de d ser metrica invariante por translacoes temos que

d(a+ b, 0) ≤ d(a, 0) + d(b, 0)

para todos a, b ∈ Γ(E).

Proposicao 2.19. (Γ(E), d) e um espaco vetorial topologico.

Demonstracao. Pela Observacao 2.2 (b) temos que

d(a+ b, 0) ≤ d(a, 0) + d(b, 0)

para todos a, b ∈ Γ(E), o que mostra a continuidade da adicao na origem e, como d e inva-

riante por translacoes, segue daı a continuidade da adicao. Para provarmos a continuidade

47

do produto escalar, como d e invariante por translacoes, basta mostrar que se ap, a ∈ Γ(E)

e λp ∈ C para todo p ∈ N sao tais que d(ap, a) −→ 0 e λp −→ 0, entao d(λpap, 0) −→ 0.

Podemos supor sem perda de generalidade que |λp| ≤ 1 para todo p ∈ N. Vamos denotar

ap = (ap,n)n para todo p ∈ N e a = (an)n. Fixemos ε > 0. Como a = (an)n ∈ Γ(E), existe

n0 ∈ N tal que

‖an‖1n <

ε

2(2.10)

para todo n ≥ n0. Alem disso, tomando p0 ∈ N suficientemente grande, temos que para

todo p ≥ p0

‖λpa0‖ <ε

2e ‖λpan‖

1n <

ε

2para n = 1, 2, . . . , n0 − 1 (2.11)

e d(ap, a) < ε2

o que implica em

‖ap,0 − a0‖ <ε

2e ‖ap,n − an‖

1n <

ε

2para todo n ∈ N. (2.12)

Agora, para todo p ≥ p0, usando as desigualdades (2.11) e (2.12) e lembrando que |λp| ≤ 1

para todo p ∈ N obtemos

‖λpap,0‖ ≤ |λp|‖ap,0 − a0‖+ ‖λpa0‖ < ε (2.13)

e

‖λpap,n‖1n ≤ |λp|

1n‖ap,n − an‖

1n + ‖λpan‖

1n < ε (2.14)

para n = 1, 2, . . . , n0 − 1. Por outro lado, para todo p ≥ p0 e para todo n ≥ n0, usando a

desigualdade (2.10) e lembrando novamente que |λp| ≤ 1 obtemos

‖λpap,n‖1n ≤ |λp|

1n‖ap,n − an‖

1n + |λp|

1n‖an‖

1n < ε. (2.15)

Assim, das desigualdades (2.13), (2.14) e (2.15) segue que d(λpap, 0) ≤ ε para todo p ≥ p0,

ou seja, d(λpap, 0) −→ 0, o que prova a continuidade do produto por escalar.

Proposicao 2.20. (Γ(E), d) e um espaco metrico completo.

48

Demonstracao. Ja vimos que Γ(E) e um espaco metrico. Vejamos que e completo. Seja

(ap)p uma sequencia de Cauchy em Γ(E). Vamos denotar ap = (ap,n)n para todo p ∈ N.

Dado 0 < ε < 1, existe r ∈ N tal que d(ap, aq) < ε para todos p, q ≥ r, isto e,

‖ap,0 − aq,0‖ < ε (2.16)

e

‖ap,n − aq,n‖1n < ε (2.17)

para todo n ∈ N e para todos p, q ≥ r. Daı segue que para todo n ∈ N0 a sequencia (ap,n)p e

de Cauchy em E donde existe an ∈ E tal que ap,n −→ an quando p→∞, para todo n ∈ N0.

Fixando n ∈ N0 e p ≥ r, fazendo q →∞ nas desigualdades (2.16) e (2.17), temos que

‖ap,0 − a0‖ ≤ ε (2.18)

e

‖ap,n − an‖1n ≤ ε para todo n ≥ 1, (2.19)

para todo p ≥ r. Fixado p ∈ N, como (ap,n)n ∈ Γ(E) temos limn→∞‖ap,n‖

1n = 0. Assim,

tomando p = r existe n0 ∈ N tal que ‖ar,n‖1n < ε para todo n ≥ n0 e pela desigualdade

(2.19) obtemos que

‖an‖1n ≤ ‖an − ar,n‖

1n + ‖ar,n‖

1n ≤ 2ε

para todo n ≥ n0. Segue daı que limn→∞‖an‖

1n = 0 donde definindo a = (an)n temos que

a ∈ Γ(E). Alem disso, de (2.18) e (2.19) segue que d(ap, a) ≤ ε para todo p ≥ r. Portanto,

Γ(E) e completo com a metrica d.

Observacao 2.3. Alguns autores (por exemplo, Conway em [12]) definem espaco de Frechet

como sendo um espaco vetorial topologico X cuja topologia vem de uma metrica d tal que

(X, d) e um espaco metrico completo. Entao, a Proposicao 2.19 e a Proposicao 2.20 nos

dizem que Γ(E) e um espaco de Frechet neste sentido. Entretanto, a maioria dos textos

exige que o espaco de Frechet seja um espaco localmente convexo. O proximo resultado ira

49

garantir que Γ(E) possui uma base de vizinhancas convexas do zero e portanto Γ(E) e um

espaco localmente convexo.

Teorema 2.3. (Γ(E), d) e (HL(E), τb) sao isomorfos.

Demonstracao. Seja T : (Γ(E), d) −→ (HL(E), τb) definida por T (a) =∑∞

n=0 Pan,n para

todo a = (an)n ∈ Γ(E) onde Pan,n(w) = anwn para todo w ∈ E e para todo n ∈ N0.

Lembrando que f ∈ HL(E) se, e somente se existe uma unica sequencia (an)n ∈ Γ(E) tal

que f =∑∞

n=0 Pan,n, e facil ver que T esta bem definida e e uma bijecao linear. Resta

mostrar que T e um homeomorfismo. Para isto, basta mostrar que se a = (an)n ∈ Γ(E) e

(ap)p ⊂ Γ(E), entao d(ap, a) −→ 0 quando p→∞ se, e somente se, T (ap)τb−→ T (a) quando

p→∞. Para cada p ∈ N, seja ap = (ap,n)n. Da definicao de T temos que T (a) = f ∈ HL(E)

e, para cada p ∈ N, T (ap) = fp ∈ HL(E), onde f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E e

fp(w) =∑∞

n=0 ap,nwn para todo w ∈ E e para todo p ∈ N. Seja B um limitado de E. Logo,

existe R > 1 tal que ‖w‖ ≤ R para todo w ∈ B. Dado ε > 0, escolhemos η > 0 tal que

ηR < 1 e η(1 + R1−ηR) ≤ ε. Suponhamos que d(ap, a) −→ 0. Assim, existe p0 ∈ N tal que

para todo p ≥ p0 temos

‖ap,0 − a0‖ ≤ η

e

‖ap,n − an‖ ≤ ηn

para todo n ≥ 1. Daı, para todo w ∈ B e para todo p ≥ p0

‖fp(w)− f(w)‖ ≤∞∑n=0

‖ap,n − an‖‖w‖n ≤ η +∞∑n=1

(ηR)n = η

(1 +

R

1− ηR

)≤ ε,

isto e, fp(w) −→ f(w) uniformemente em B. Como B foi tomado um limitado arbitrario em

E temos que fpτb−→ f . Reciprocamente, suponhamos que fp

τb−→ f . Em particular, tomando

B = 0 obtemos ‖ap,0 − a0‖ → 0. Dado ε > 0, seja R ≥ 1/ε. Por hipotese, existe p0 ∈ N

tal que para todo p ≥ p0 temos que

‖ap,0 − a0‖ ≤ ε

50

e

‖fp(w)− f(w)‖ ≤ 1

para todo ‖w‖ ≤ R. Pela desigualdade de Cauchy, para todos n ∈ N e p ≥ p0 temos

‖ap,n−an‖ = sup‖w‖≤1

‖ap,nwn−anwn‖ ≤ sup‖w‖≤R

‖ap,nwn−anwn‖ ≤1

Rnsup‖w‖≤R

‖fp(w)−f(w)‖ ≤ 1

Rn

donde ‖ap,n − an‖1n ≤ 1

R≤ ε. Assim, segue que d(ap, a) ≤ ε para todo p ≥ p0. Isto e,

d(ap, a) −→ 0.

Como (HL(E), τb) e um espaco localmente convexo, pelo Teorema 2.3 e pela Proposicao

2.20, segue que (Γ(E), d) e um espaco de Frechet no sentido usual. Lembramos que um

subconjunto B de um espaco vetorial topologico X e limitado se para cada vizinhanca U do

zero, existe λ > 0 tal que B ⊂ λU . Dizemos que X e normavel quando sua topologia provem

de uma norma.

Proposicao 2.21. (Γ(E), d) e um espaco de Frechet que nao e normavel.

Demonstracao. Como (Γ(E), d) e um espaco localmente convexo, pelo Teorema de

Kolmogorov (ver [12], pagina 107, Proposicao 2.6), basta mostrar que Γ(E) nao contem

uma vizinhanca limitada do zero. Como os conjuntos Uε(0) = a ∈ Γ(E) ; d(a, 0) < ε para

todo ε > 0 formam uma base de vizinhancas do zero, basta mostrar que estes conjuntos

nao sao limitados. Fixemos ε > 0 e seja η = ε/4. Para λ > 0 arbitrario, tomemos m ∈ N

suficientemente grande tal que λ1m < 2. Tomando a = (an)n ∈ Γ(E) definida por an = 0

para todo n 6= m e am = ( ε2)me, e claro que a ∈ Uε(0) e, como ‖am

λ‖ 1m > ε/4 = η, a /∈ λUη(0).

Mostramos que dado um aberto Uε(0) existe um aberto Uη(0) tal que nao existe λ > 0 que

satisfaz Uε(0) ⊂ λUη(0), ou seja, Uε(0) nao e limitado.

Observacao 2.4. Como vimos no Teorema 2.3, podemos representar o espaco HL(E) pelo

espaco de sequencias Γ(E). Assim, temos as seguintes observacoes:

51

(a) Como f ∈ HL(E) se, e somente se existe uma unica sequencia (an)n ∈ Γ(E) tal que

f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E, podemos equivalentemente definir em HL(E) a

seguinte metrica

ρ(f, g) = sup‖a0 − b0‖; ‖an − bn‖1n , n ∈ N

para todas f, g ∈ HL(E) tais que f(w) =∑∞

n=0 anwn e g(w) =

∑∞n=0 bnw

n para todo

w ∈ E.

(b) Todos os resultados deste paragrafo, com excecao do Teorema 2.3, valem sempre que E

e um espaco de Banach, sem necessidade de supor que E seja uma algebra de Banach.

O Teorema 2.3 serviu para mostrar que (Γ(E), d) e um espaco de Frechet no sentido

usual. Este fato vale para qualquer espaco de Banach. Com efeito, ja observamos que

se (E, ‖ · ‖) e um espaco de Banach arbitrario, podemos definir em E um produto e

uma norma |‖ · ‖| equivalente a norma original de E de modo que se E0 e o espaco

vetorial E munido da norma |‖ ·‖| e deste produto, entao E0 e uma algebra de Banach.

Se para todos a, b ∈ Γ(E0) definimos

d0(a, b) = sup|‖a0 − b0‖|; |‖an − bn‖|1n , n ∈ N,

e claro que (Γ(E), d) e (Γ(E0), d0) sao isomorfos e, pelo Teorema 2.3, (Γ(E0), d0) e

(HL(E0), τb) sao isomorfos, o que implica em (Γ(E), d) ser um espaco de Frechet no

sentido usual. Observe ainda que por um procedimento analogo podemos obter, via

Proposicao 2.9 e Proposicao 2.10, que vale o seguinte resultado:

Proposicao 2.22. Seja E um espaco de Banach. Entao,

(a) E tem a propriedade de Schur se e somente se Γ(E) tem a propriedade de Schur.

(b) E e separavel se e somente se Γ(E) e separavel.

52

2.3 Dualidade de Espacos de Aplicacoes (L)-Analıticas

Fixado a ∈ E arbitrario, para todo n ∈ N0 definimos

Pa,0(w) = a e Pa,n(w) = awn

para todo w ∈ E. Assim, Pa,n ∈ PL(nE) para todo n ∈ N0. Dada f ∈ HL(E), seja

(an)n ⊂ Γ(E) tal que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E. Definindo para todo k ∈ N0,

Pk(w) =∑k

n=0 Pan,n(w) para todo w ∈ E, como Pkτb−→ f , temos que f pode ser representada

na forma

f =∞∑n=0

Pan,n.

Para todo n ∈ N0, definimos Tn : E → HL(E) por Tn(a) = Pa,n para todo a ∈ E.

Como a topologia τb de HL(E) induz em PL(nE) a topologia usual da norma, e claro que a

Proposicao 2.2 garante a continuidade de Tn para todo n ∈ N0.

Proposicao 2.23. Seja φ ∈ HL(E)′. Entao, existe uma sequencia (φn)∞n=0 ⊂ E ′ tal que

(a) (‖φn‖1n )∞n=1 e limitada;

(b) φ(f) =∑∞

n=0 φn(an) onde (an)n ∈ Γ(E) e tal que f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E).

Demonstracao. Como φ ∈ HL(E)′, para cada n ∈ N0 podemos definir φn : E −→ C por

φn(a) = φ(Pa,n) para todo a ∈ E. E claro que φn = φTn para todo n ∈ N0 e, da linearidade

e continuidade de Tn e de φ concluımos que (φn)∞n=0 ⊂ E ′. Para provar a afirmacao (a),

observe que para todo n ∈ N temos

‖φn‖ = sup‖a‖≤1

|φn(a)| = sup‖a‖≤1

|φ(Pa,n)| ≤ ‖φ‖ sup‖a‖≤1

‖Pa,n‖ ≤ ‖φ‖

ja que ‖Pa,n‖ = ‖a‖ para todo a ∈ E e para todo n ∈ N. Por outro lado, dada f ∈ HL(E)

temos que existe (an)n ∈ Γ(E) tal que f =∑∞

n=0 Pan,n em (HL(E), τb) e da linearidade e

continuidade de φ segue (b).

53

A recıproca da Proposicao 2.23 tambem vale, como veremos a seguir.

Proposicao 2.24. Seja uma sequencia (φn)∞n=0 ⊂ E ′ tal que (‖φn‖1n )∞n=1 e limitada. Defi-

nindo

φ(f) =∞∑n=0

φn(an) (2.20)

para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E), temos que φ ∈ HL(E)′.

Demonstracao. Seja (φn)n ⊂ E ′ como no enunciado. Para cada f ∈ HL(E), seja (an)n o

unico elemento de Γ(E) tal que f =∑∞

n=0 Pan,n. Como limn→∞‖an‖

1n = 0 e, por hipotese,

(‖φn‖1n )∞n=1 e limitada, da desigualdade |φn(an)| ≤ ‖φn‖‖an‖ para todo n ∈ N concluımos,

pelo Teste da Raiz, que∑∞

n=0 |φn(an)| converge e, consequentemente,∑∞

n=0 φn(an) ∈ C.

Assim, a aplicacao φ dada pela equacao (2.20) esta bem definida. Claramente, temos que φ

e linear. Resta verificar que φ e contınua com respeito a topologia τb. Para isso, lembramos

que pela observacao apos o Teorema 2.3 a topologia τb e equivalente a topologia da metrica

ρ. Seja (fp)p uma sequencia em HL(E) tal que ρ(fp, 0) −→ 0 quando p → ∞. Assim,

fp(w) =∑∞

n=0 ap,nwn para todo w ∈ E, onde (ap,n)n ⊂ Γ(E) para todo p ∈ N. Por hipotese,

exite M > 0 tal que

‖φ0‖ ≤M e ‖φn‖1n ≤M (2.21)

para todo n ∈ N. Dado ε > 0, fixemos η > 0 tal que Mη < 1 e Mη(1 + 11−Mη

) < ε. Como

ρ(fp, 0) −→ 0 quando p→∞, existe p0 ∈ N tal que ρ(fp, 0) < η para todo p ≥ p0, isto e

‖ap,0‖ < η e ‖ap,n‖1n < η (2.22)

para todo n ∈ N e para todo p ≥ p0. Assim, pelas desigualdades (2.21) e (2.22), para todo

p ≥ p0 temos que

|φ(fp)| ≤∞∑n=0

‖φn‖‖ap,n‖ ≤Mη +∞∑n=0

(Mη)n = Mη

(1 +

1

1−Mη

)< ε,

o que mostra a continuidade de φ. Portanto, φ ∈ HL(E)′.

54

Como consequencia das Proposicoes 2.23 e 2.24, caracterizamos (como conjunto) o dual

de HL(E). Assim, temos que

HL(E)′ = (φn)∞n=0 ⊂ E ′ ; (‖φn‖1n )∞n=1 e limitada.

Vamos estudar o bidual dos espacos das aplicacoes Lorch analıticas. No caso classico, se

E e F sao espacos de Banach reflexivos e E tem a propriedade da aproximacao temos que,

para cada n ∈ N, P(nE;F ) e reflexivo se, e somente se, Pf (nE;F ) e denso em P(nE;F ) (ver

Teorema 1.3 em [24]). Alem disso, Hb(E;F ) e reflexivo se, e somente se, P(nE;F ) e reflexivo

para todo n ∈ N (ver Teorema 1.5 em [24]). No nosso caso, ja vimos que se a dimensao de E

e infinita Pf (nE) nao pode ser denso em PL(nE). Entretanto, a isometria entre E e PL(nE)

no possibilitou mostrar o proximo resultado.


(a) E e reflexivo.

(b) PL(nE) e reflexivo para todo n ∈ N0.

(c) HL(E) e reflexivo.

Demonstracao. Primeiramente, fixado n ∈ N0, lembramos que E e PL(nE) sao isometrica-

mente isomorfos de modo que E e reflexivo se, e somente se PL(nE) e reflexivo. O que prova

(a)⇔ (b). Vejamos que (c)⇒ (b). De fato, sabemos que PL(nE)∞n=0 e uma decomposicao

de Schauder para HL(E). Se HL(E) e reflexivo, entao HL(E) e semi-reflexivo. Pelo Te-

orema 1.5 segue que PL(nE) e semi-reflexivo, mas como PL(nE) e um espaco de Banach,

entao PL(nE) e reflexivo para todo n ∈ N0. Para provar que (b) ⇒ (c), como vimos a

decomposicao PL(nE)∞n=0 e limitadamente completa e contratil. Assim, pelo Teorema 1.5,

como por hipotese PL(nE) e semi-reflexivo, segue que HL(E) e semi-reflexivo. Mas como

HL(E) e um espaco de Frechet, em particular e tonelado. Assim, HL(E) e reflexivo.

55

Se U e um subconjunto aberto nao vazio de um espaco de Banach E, basta tomar

y ∈ E tal que ‖y‖ = 1 para que a aplicacao que leva f ∈ Hb(U) na aplicacao definida por

f ⊗ y(w) = f(w)y para todo w ∈ U estabeleca um isomorfismo isometrico entre Hb(U) e

um subspaco fechado de Hb(U ;E). Entao, pelo Teorema 1.7, se U e equilibrado temos que

Hb(U ;E) ser reflexivo implica em P(nE) ser reflexivo para todo n ∈ N e, consequentemente,

implica em Pf (nE) ser denso em P(nE) para todo n ∈ N (o que nem sempre acontece, nem

mesmo quando E e reflexivo). No nosso caso, a isometria entre E e PL(nE) nos possibilitou

mostrar a proposicao que enunciamos a seguir. A demonstracao deste resultado se faz de

modo analogo a demonstracao da Proposicao 2.25, usando a Proposicao 2.13 em lugar da

Proposicao 2.8.

Proposicao 2.26. As seguinte afirmacoes sao equivalentes.

(a) E e reflexivo.

(b) PL(nE) e reflexivo para todo n ∈ N0.

(c) HL(BE) e reflexivo.

Observamos que e natural fazermos a seguinte pergunta no estudo da reflexividade: se E

e reflexivo, entao HL(E)′′ = HL(E ′′)? Mas esta pergunta pode nao fazer sentido pois para

que HL(E ′′) esteja bem definido, devemos munir E ′′ com um produto de modo que E ′′ seja

uma algebra de Banach comutativa com unidade. Para isso, vamos munir E ′′ com o produto

de Arens, que definimos a seguir.

Para todos a ∈ E e ϕ ∈ E ′, definimos (ϕ?a)(b) = ϕ(ab) para todo b ∈ E. E facil verificar

que (ϕ ? a) ∈ E ′ e ‖ϕ ? a‖ ≤ ‖ϕ‖‖a‖ para todos a ∈ X e ϕ ∈ E ′.

Para todos ϕ ∈ E ′ e T ∈ E ′′, definimos (T ? ϕ)(a) = T (ϕ ? a) para todo a ∈ E. E facil

verificar que (T ? ϕ) ∈ E ′ e ‖T ? ϕ‖ ≤ ‖T‖‖ϕ‖ para todos ϕ ∈ E ′ e T ∈ E ′′.

56

Definicao 2.3. Para todos S, T ∈ E ′′, definimos em E ′′ o produto S ? T por (S ? T )(ϕ) =

S(T ? ϕ) para todo ϕ ∈ E ′. O produto ? e chamado o Produto de Arens.

E facil ver que ‖S ? T‖ ≤ ‖S‖‖T‖ para todos S, T ∈ E ′′, o que significa que E ′′ munido

do produto de Arens e uma algebra de Banach. Observe que, dados S, T ∈ E ′′ e ϕ ∈ E ′

temos (S ? T )(ϕ) = S(a 7→ T (ϕ ? a)) e (T ? S)(ϕ) = T (a 7→ S(ϕ ? a)) e, em geral, o produto

de Arens nao e comutativo. Dizemos que E e Arens regular quando o produto de Arens em

E ′′ e comutativo. Se denotamos por α a imersao canonica de E em E ′′, e facil verificar que

α(e) ? T = T ? α(e) para todo T ∈ E ′′. A partir daqui iremos supor sempre que E e Arens

regular e que E ′′ esta munido do produto de Arens. Neste caso, como E e uma algebra de

Banach comutativa com unidade e, temos que E ′′ e uma algebra de Banach comutativa com

unidade α(e) e e facil mostrar que α e um homomorfismo de E em E ′′. Observamos que

quando E e Arens regular HL(E ′′) esta bem definido.

Definicao 2.4. Se E e Arens regular, dada f ∈ HL(E) dizemos que g ∈ HL(E ′′) e uma

extensao de f se g(α(w)) = α(f(w)) para todo w ∈ E.

Observe que se T ∈ L(E) ∩ HL(E), esta definicao coincide com a definicao usual de

extensao de uma aplicacao linear. Como no caso linear, se E ′′ = α(E) (isto e, E e reflexivo)

escrevemos f = g no sentido que g(α(w)) = α(f(w)) para todo w ∈ E.

Se f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E), temos que limn→∞‖an‖

1n = 0. Como α e uma isometria, segue

que limn→∞‖α(an)‖ 1

n = 0. Assim, se E e Arens regular, f =∑∞

n=0 Pα(an),n ∈ HL(E ′′). Alem

disso, como α e um homomorfismo e e contınua, temos que f(α(w)) = α(f(w)) para todo

w ∈ E, isto e, f e uma extensao de f .

Proposicao 2.27. Suponhamos que E seja Arens regular e seja α : HL(E) −→ HL(E ′′)

definida por α(f) = f para toda f ∈ HL(E). Entao α(HL(E)) = g ∈ HL(E ′′) ; g(α(E)) ⊂

α(E).

57

Demonstracao. Como vimos no paragrafo anterior, a aplicacao α esta bem definida. Alem

disso, e facil verificar que α e linear e injetiva. Seja f ∈ HL(E). Como vimos, f e uma

extensao de f , ou seja, f(α(w)) = α(f(w)) ∈ α(E) para todo w ∈ E pois f(E) ⊂ E.

Assim, f(α(E)) ⊂ α(E). Portanto α(HL(E)) ⊂ g ∈ HL(E ′′) ; g(α(E)) ⊂ α(E). Por outro

lado, seja g =∑∞

n=0 Pbn,n ∈ HL(E ′′) tal que g(α(E)) ⊂ α(E). Logo, g|α(E) : α(E) −→

α(E). Como α(E) e um espaco de Banach, temos que Pbn,n : α(E) −→ α(E), isto e,

Pbn,n(α(w)) ∈ α(E) para todo w ∈ E e para todo n ∈ N0. Mas α(e) e a unidade de E ′′,

donde bn = Pbn,n(α(e)) ∈ α(E), ou seja, existe an ∈ E tal que α(an) = bn para todo n ∈ N0.

Alem disso, como (bn)n ∈ Γ(E ′′) e α e uma isometria, temos que (an)n ∈ Γ(E). Assim, existe

f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E) tal que α(f) = g. Mostramos entao que g ∈ HL(E ′′) ; g(α(E)) ⊂

α(E) ⊂ α(HL(E)) e daı concluımos que α(HL(E)) = g ∈ HL(E ′′) ; g(α(E)) ⊂ α(E).

Observacao 2.5. Se E e reflexivo, entao E ′′ = α(E), de modo que E e Arens regular

e α(HL(E)) = HL(E ′′). Alem disso, como α e uma isometria, usando a Observacao 2.4

(a) obtemos que α e uma isometria. Assim, se E e reflexivo, α estabelece um isomorfismo

isometrico entre HL(E) e HL(E ′′).

Proposicao 2.28. Se E e reflexivo, entao HL(E)′′ e HL(E ′′) sao isomorfos.

Demonstracao. Vamos denotar por J a imersao canonica de HL(E) em HL(E)′′. Como E

e reflexivo, pela Proposicao 2.25 temos que J e um isomorfismo e, pela Observacao 2.5, α

estabelece um isomorfismo entre HL(E) e HL(E ′′). Assim, a composta α J−1 estabelece

um isomorfismo entre HL(E)′′ e HL(E ′′). Portanto, HL(E)′′ e HL(E ′′) sao isomorfos.

58

Capıtulo 3

Algebras de Aplicacoes Lorch

Analıticas

Neste capıtulo seguiremos adotando as mesmas notacoes estabelecidas nos Capıtulos 1 e 2.

Vamos munir cada um dos espacos de aplicacoes Lorch analıticas definidos no Capıtulo 2 de

uma estrutura de algebra atraves do produto pontual. Veremos que estas algebras munidas

da topologia τb se tornam algebras topologicas comutativas com unidade. Estudaremos entao

o espectro destas algebras topologicas. Veremos que a algebra H∞L (BE) apresenta problemas

analogos a algebra H∞(∆).

Em todo este capıtulo, Id : U → E sera a aplicacao identidade Id(w) = w para todo

w ∈ E e, para cada a ∈ E, fa denotara a aplicacao constante fa(w) = a para todo w ∈ U .

3.1 A Algebra HL(E)

Vimos na Secao 2.1 que (HL(E), τb) e um espaco de Frechet. E facil verificar que

(HL(E), τb) se torna uma algebra de Frechet comutativa com unidade fe (lembramos que

e e a unidade de E) quando consideramos em HL(E) o produto definido pontualmente.

Para nao sobrecarregar a notacao, escrevemos HL(E) para denotar esta algebra (HL(E), τb).

Teorema 3.1. A aplicacao

δ :M(E) × C −→ M(HL(E))

definida por δ(ϕ, λ)(f) = ϕ(f(λe)) para toda f ∈ HL(E) e injetiva e sobrejetiva. Alem disso,

δ e um homeomorfismo.

Demonstracao. Vejamos que δ esta bem definida, isto e, δ(ϕ, λ) ∈ M(HL(E)) para toda

ϕ ∈ M(E) e para todo λ ∈ C. De fato, fixados ϕ ∈ M(E) e λ ∈ C e facil ver que δ(ϕ, λ)

e linear e multiplicativa. Como ϕ ∈ M(E), existe w0 ∈ E tal que ϕ(w0) 6= 0; logo existe

fw0 ∈ HL(E) tal que δ(ϕ, λ)(fw0) = ϕ(w0) 6= 0, ou seja, δ(ϕ, λ) 6= 0. Alem disso, dado ε > 0,

tomando 0 < δ < ε e B = λe segue que U = g ∈ HL(E); ‖g(λe)‖ < δ e um aberto

em HL(E) tal que |δ(ϕ, λ)(f)| < ε para toda f ∈ U , isto e, δ(ϕ, λ) e contınua. Portanto,

δ(ϕ, λ) ∈ M(HL(E)) e daı δ esta bem definida. Sejam ϕ, ψ ∈ M(E) e λ, γ ∈ C tais que

δ(ϕ, λ) ≡ δ(ψ, γ), isto e,

ϕ(f(λe)) = ψ(f(γe))

para toda f ∈ HL(E). Em particular, ϕ(Id(λe)) = ψ(Id(γe)), ou seja, ϕ(λe) = ψ(γe) e

como ϕ, ψ ∈ M(E), temos daı que λ = γ. Por outro lado, dado w ∈ E, temos tambem

que ϕ(fw(λe)) = ψ(fw(γe)), isto e, ϕ(w) = ψ(w) e como isto vale para todo w ∈ E segue

que ϕ ≡ ψ. Portanto, δ e injetiva. Para a sobrejetividade, seja φ ∈ M(HL(E)). Se

φn(a) = φ(Pa,n) para todo a ∈ E e para todo n ∈ N0, ja sabemos que (φn)∞n=0 ⊂ E ′ e

φ(f) =∞∑n=0

φn(an) (3.1)

para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E). Fixado n ∈ N0, como Pa,n = Pa,0(Pe,1)n para todo

a ∈ E e φ e multiplicativa, segue que

φn(a) = φ0(a)(φ1(e))n (3.2)

60

para todo a ∈ E. Observe que se φ0 = 0 pela equacoes (3.1) e (3.2) terıamos que φ = 0, o

que e um absurdo, pois φ ∈ M(HL(E)). Assim, φ0 6= 0. Alem disso, como Pab,0 = Pa,0Pb,0

para todos a, b ∈ E e φ e multiplicativa, temos que φ0(ab) = φ0(a)φ0(b) para todos a, b ∈ E.

Portanto, φ0 ∈M(E). Agora, mostraremos que para λ = φ1(e) ∈ C, φ(f) = φ0(f(λe)) para

toda f ∈ HL(E). Com efeito, se f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E), entao f(λe) =∑∞

n=0 an(λe)n e,

consequentemente,

φ(f) =∞∑n=0

φn(an) =∞∑n=0

φ0(an)(φ1(e))n = φ0

(∞∑n=0

an(λe)n

)= φ0(f(λe))

onde φ0 ∈ M(E). Isto mostra que existem φ0 ∈ M(E) e λ ∈ C tais que φ(f) = δ(φ0, λ)(f)

para toda f ∈ HL(E), isto e, δ e sobrejetiva. Mostraremos agora que δ e contınua. Sejam

((ϕα, λα))α∈I uma sequencia generalizada em M(E) × C e (ϕ, λ) ∈ M(E) × C tais que

(ϕα, λα) −→ (ϕ, λ) na topologia produto, isto e, ϕατG−→ ϕ em M(E) e λα −→ λ em

C. Vamos mostrar que δ(ϕα, λα)(f) −→ δ(ϕ, λ)(f) para toda f ∈ M(HL(E)). Fixamos

f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E) e ε > 0. Seja tn = ‖an‖((1 + |λ|)n + |λ|n) para todo n ∈ N. Como

t1nn ≤ ‖an‖

1n (1 + 2|λ|) para todo n ∈ N e (an)n ∈ Γ(E), pelo Teste da Raiz a serie

∑∞n=1 tn

converge e, portanto, existe r > 0 tal que

∞∑n=r+1

tn <ε

2. (3.3)

Agora, como por hipotse λα −→ λ e ϕα(w) −→ ϕ(w) para todo w ∈ E, existe α0 ∈ I tal que

|λα − λ| ≤ 1 (3.4)

er∑

n=0

|λnαϕα(an)− λnϕ(an)| < ε

2(3.5)

para todo α ≥ α0. Assim, usando as desigualdades (3.3), (3.4) e (3.5), temos que se α ≥ α0

|δ(ϕα, λα)(f)− δ(ϕ, λ)(f)| = |ϕα(f(λαe))− ϕ(f(λe))| ≤∞∑n=0

|λnαϕα(an)− λnϕ(an)| =

61

=r∑

n=0

|λnαϕα(an)− λnϕ(an)|+∞∑

n=r+1

|λnαϕα(an)− λnϕ(an)| < ε

2+

∞∑n=r+1

tn < ε.

Como f ∈ HL(E) foi tomada arbitrariamente, temos que δ(ϕα, λα)(f) −→ δ(ϕ, λ)(f) para

toda f ∈M(HL(E)) e, portanto, δ(ϕα, λα)τG−→ δ(ϕ, λ) em M(HL(E)). Logo, δ e contınua.

Como δ e bijetiva, e inversıvel. Vamos denotar sua inversa por Π, isto e, Π = δ−1. Logo

Π :M(HL(E))→M(E)× C

e tal que Π(φ) = (ϕ, λ) para toda φ ∈ M(HL(E)) onde (ϕ, λ) e o unico elemento de

M(E)×C tal que φ = δ(ϕ, λ). Vejamos que Π e contınua. Com efeito, sejam uma sequencia

generalizada (φα)α emM(HL(E)) e φ ∈M(HL(E)) tais que φατG−→ φ. Vamos mostrar que

Π(φα) −→ Π(φ) na topologia produto. Pela sobrejetividade de δ, existem ϕα, ϕ ∈ M(E) e

λα, λ ∈ C para todo α tais que

φα(f) = ϕα(f(λαe)) e φ(f) = ϕ(f(λe))

para todo α e para toda f ∈ HL(E). Por hipotese, φατG−→ φ, ou seja, φα(f) −→ φ(f) para

toda f ∈ HL(E). Em particular, para f = Id segue que

λα = ϕα(Id(λαe)) = φα(Id) −→ φ(Id) = ϕ(Id(λe)) = λ,

ou seja, λα −→ λ. Agora, fixado w ∈ E, temos tambem que

ϕα(w) = ϕα(fw(λαe)) = φα(fw) −→ φ(fw) = ϕ(fw(λe)) = ϕ(w),

ou seja, ϕατG−→ ϕ. Portanto, (ϕα, λα) −→ (ϕ, λ), isto e, Π(φα) −→ Π(φ) e, portanto, Π e

contınua.

Observacao 3.1. Da versao desta tese submetida a banca, constava apenas a demonstracao

da continuidade de Π e o professor Nilson Bernardes melhorou nosso resultado mostrando

que na verdade temos um homeomorfismo. Agradeco ao professor Nilson por ter autorizado

a inclusao, nesta versao final da tese, da demonstracao da continuidade da aplicacao δ

apresentada acima.

62

Como HL(E) e uma algebra de Frechet, segue como aplicacao do Teorema 3.1 o seguinte

resultado.

Proposicao 3.1. E e semi-simples se, e somente se, HL(E) e semi-simples.

Demonstracao. Suponhamos queE seja semi-simples, isto e,R(E) = 0. Se f ∈ R(HL(E)),

temos ψ(f) = 0 para toda ψ ∈M(HL(E)) e, pelo Teorema 3.1, obtemos

ϕ(f(λe)) = 0 para toda ϕ ∈M(E) e para todo λ ∈ C. (3.6)

Como f ∈ HL(E), existe (an)n ⊂ Γ(E) tal que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ E. Usando

(3.6) temos que∞∑n=0

ϕ(an)λn = ϕ

(∞∑n=0

an(λe)n

)= ϕ(f(λe)) = 0

para toda ϕ ∈M(E) e para todo λ ∈ C. Assim, fixado ϕ ∈M(E),

∞∑n=0

ϕ(an)λn = 0

para todo λ ∈ C. Pela unicidade da serie de Taylor segue que ϕ(an) = 0 para todo n ∈ N0.

Como isto vale para toda ϕ ∈ M(E), temos que an ∈ R(E) para todo n ∈ N0. Daı

an = 0 para todo n ∈ N0 pois, por hipotese, R(E) = 0. Isto nos mostra que f ≡ 0 para toda

f ∈ R(HL(E)) e, portanto, R(HL(E)) = 0. Reciprocamente, suponhamos queHL(E) seja

semi-simples. Dada a ∈ R(E), ja sabemos que fa ∈ HL(E). Dado ψ ∈ M(HL(E)), pelo

Teorema 3.1 existem ϕ ∈M(E) e λ ∈ C tais que ψ(f) = ϕ(f(λe)) para toda f ∈ HL(E). Em

particular, ψ(fa) = ϕ(fa(λe)) = ϕ(a). Mas ϕ(a) = 0 pois a ∈ R(E) e, consequentemente,

ψ(fa) = 0. Como isto vale para todo ψ ∈ M(HL(E)), segue que fa ∈ R(HL(E)). Pela

hipotese de HL(E) ser semi-simples temos que fa = 0 e, portanto, a = 0. Como isto vale

para todo a ∈ R(E), temos R(E) = 0.

63

3.2 A Algebra AL(BE)

No capıtulo 2 mostramos que o espaco AL(BE) das aplicacoes (L)-analıticas em BE que

sao uniformemente contınuas em BE munido da norma

‖f‖ = sup‖w‖≤1

‖f(w)‖

para toda f ∈ AL(BE) e um espaco de Banach. Munindo AL(BE) do produto pontual, e

facil verificar que (AL(BE), ‖·‖) e uma algebra de Banach comutativa com unidade fe. Neste

capıtulo, AL(BE) denotara sempre esta algebra de Banach. Vamos estudar o espectro de

AL(BE). As ideias das demonstracoes das proposicoes contidas nesta secao sao semelhantes

as do artigo de Garcia, Lourenco, Moraes e Paques (ver [18], Proposicao 6.1, Lema 6.2 e

Proposicao 6.3). Porem, observamos que a algebra AL(BE) contem a aplicacao identidade e

as aplicacoes constantes, o que facilita a obtencao da caracterizacao do espectro de AL(BE).

Pela Proposicao 2.6, todo elemento de HL(E) e uniformemente contınuo em BE, de modo

que podemos definir π1 : HL(E) −→ AL(BE) dada por π1(f) = f |BE para toda f ∈ HL(E).

Proposicao 3.2. O espaco das aplicacoes f ∈ AL(BE) tais que f = g|BE para alguma

g ∈ HL(E) e denso em AL(BE). Em outras palavras, π1(HL(E)) = AL(BE).

Demonstracao. Seja f ∈ AL(BE). Dado ε > 0, existe 0 < δ < 1 tal que se z, w ∈ BE e

‖z − w‖ < δ entao ‖f(z) − f(w)‖ < ε/2. Seja s ∈ IR tal que 1 < s < 11−δ . Definimos

fs(w) = f(1sw) para todo w ∈ sBE. Deste modo, fs ∈ AL(sBE) e ‖f(w) − fs(w)‖ < ε/2

para todo w ∈ BE. Como f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ BE, para alguma sequencia

(an)n ⊂ E, segue que fs(w) =∑∞

n=01snanw

n para todo w ∈ sBE. Logo, existe N ∈ N tal

que ∥∥∥∥∥fs(w)−N∑n=0

ansnwn

∥∥∥∥∥ < ε

2

64

para todo w ∈ BE e daı∥∥∥∥∥f(w)−N∑n=0

ansnwn

∥∥∥∥∥ ≤ ‖f(w)− fs(w)‖+

∥∥∥∥∥fs(w)−N∑n=0

ansnwn

∥∥∥∥∥ < ε

para todo w ∈ BE. Portanto, definindo PN(w) =∑N

n=01snanw

n para todo w ∈ E temos

entao que PN ∈ HL(E) e ‖f − Π1(PN)‖ < ε. Isto nos mostra que f ∈ π1(HL(E)). Assim,

π1(HL(E)) = AL(BE).

Seja j1 : AL(BE)′ −→ HL(E)′ a aplicacao definida por

j1(ϕ) = ϕ π1

para toda ϕ ∈ AL(BE)′. Deste modo, fixado ϕ ∈ AL(BE)′, temos que j1(ϕ) : HL(E) −→ C

e dada por

j1(ϕ)(f) = ϕ(f |BE)

para toda f ∈ HL(E).

Teorema 3.2. O espectro M(AL(BE)) de AL(BE) e homeomorfo a M(E)×∆.

Demonstracao. Definimos δ : M(E) ×∆ −→ M(AL(BE)) por δ(ϕ, λ)(f) = ϕ(f(λe)) para

toda f ∈ AL(BE). De modo analogo a demonstracao do Teorema 3.1, mostra-se que δ esta

bem definida. Vejamos que δ e bijetiva. De fato, se ϕ, ψ ∈ M(E) e λ, γ ∈ ∆ sao tais que

δ(ϕ, λ) = δ(ψ, γ), temos

λ = ϕ(λe) = δ(ϕ, λ)(Id) = δ(ψ, γ)(Id) = ψ(γe) = γ

e

ϕ(w) = ϕ(fw(λe)) = ψ(fw(γe)) = ψ(w) para todo w ∈ E,

e, portanto, δ e injetiva. Alem disso, dado φ ∈M(AL(BE)) temos j1(φ) ∈M(HL(E)) e pelo

Teorema 3.1 existem ϕ ∈M(E) e λ ∈ C tais que j1(φ)(f) = ϕ(f(λe)) para toda f ∈ HL(E).

Vejamos que λ ∈ ∆. De fato,

|λ| = |ϕ(Id(λe))| = |j1(φ)(Id)| = |φ(Id|BE)| ≤ ‖Id‖ = 1.

65

Agora, para toda f ∈ π1(HL(E)), existe g ∈ HL(E) tal que f = π1(g), isto e, f = g|BE .

Assim, como λ ∈ ∆,

φ(f) = φ(π1(g)) = j1(φ)(g) = ϕ(f(λe)) = δ(ϕ, λ)(f).

Mas como δ(ϕ, λ) e φ sao contınuas, pela Proposicao 3.2 temos que φ(f) = δ(ϕ, λ)(f) para

toda f ∈ AL(BE). Ou seja, δ e sobrejetiva. Por fim, mostraremos que δ e um homeo-

morfismo. A continuidade da inversa Π = δ−1 segue usando os mesmos argumentos usados

na demonstracao do Teorema 3.1 para mostrar que Π e contınua. Finalmente, como δ e

uma aplicacao injetiva de M(E) ×∆ sobre o espaco compacto M(AL(BE)) cuja inversa e

contınua, usando um argumento de compacidade temos que δ e um homeomorfismo.

Como AL(BE) e uma algebra de Banach, segue como aplicacao do Teorema 3.2 o seguinte

resultado.

Proposicao 3.3. E e semi-simples se, e somente se, AL(BE) e semi-simples.

Demonstracao. Suponhamos queE seja semi-simples, isto e,R(E) = 0. Se f ∈ R(AL(BE)),

temos ψ(f) = 0 para toda ψ ∈M(AL(BE)) e, pelo Teorema 3.2, obtemos

ϕ(f(λe)) = 0 para toda ϕ ∈M(E) e para todo λ ∈ ∆. (3.7)

Como f ∈ HL(BE), existe (an)n ⊂ E tal que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ BE onde

lim supn→∞‖an‖

1n ≤ 1. Usando (3.7) temos que

∞∑n=0

ϕ(an)λn = ϕ

(∞∑n=0

an(λe)n

)= ϕ(f(λe)) = 0

para toda ϕ ∈M(E) e para todo λ ∈ ∆. Assim, fixado ϕ ∈M(E), temos que

∞∑n=0

ϕ(an)λn = 0

66

para todo λ ∈ ∆. Pela unicidade da serie de Taylor segue que ϕ(an) = 0 para todo n ∈ N0.

Como isto vale para toda ϕ ∈ M(E), temos que an ∈ R(E) para todo n ∈ N0. Daı an = 0

para todo n ∈ N0 pois, por hipotese, R(E) = 0. Consequentemente, f(w) = 0 para todo

w ∈ BE e, da continuidade de f em BE obtemos que f ≡ 0. Isto nos mostra que f ≡ 0

para toda f ∈ R(AL(BE)) e, portanto, R(AL(BE)) = 0. Reciprocamente, suponhamos

que AL(BE) seja semi-simples. Dada a ∈ R(E) ja sabemos que fa ∈ AL(BE). Dado

ψ ∈ M(AL(BE)), pelo Teorema 3.2, existem ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ tais que ψ(f) = ϕ(f(λe))

para toda f ∈ AL(BE). Em particular, ψ(fa) = ϕ(fa(λe)) = ϕ(a). Mas ϕ(a) = 0 pois

a ∈ R(E) e, consequentemente, ψ(fa) = 0. Como isto vale para todo ψ ∈ M(AL(BE)),

segue que fa ∈ R(AL(BE)). Pela hipotese de AL(BE) ser semi-simples temos que fa = 0 e,

portanto, a = 0. Como isto vale para todo a ∈ R(E), temos R(E) = 0.

Observacao 3.2. A cada n ∈ N podemos associar a algebra AL(nBE) das aplicacoes f :

nBE −→ F (L)-analıticas em nBE e uniformemente contınuas em nBE, onde a norma

considerada e a norma usual

‖f‖n = sup‖w‖≤n

‖f(w)‖

para toda f ∈ AL(nBE). Todas as AL(nBE) sao isomorfas a AL(BE) e podem ser vistas

como a mesma algebra. Para cada n ∈ N podemos definir πn : HL(E) −→ AL(nBE) dada

por πn(f) = f |nBE para toda f ∈ HL(E) e jn : AL(nBE)′ −→ HL(E)′ por jn(ϕ) = ϕ πnpara toda ϕ ∈ AL(nBE)′. Os mesmos argumentos usados para mostrar a Proposicao 3.2 e o

Teorema 3.2 mostram, respectivamente, que πn(HL(E)) = AL(nBE) e que M(AL(nBE)) e

homeomorfo a M(E)×∆n. No que segue veremos que M(HL(E)) =⋃n∈N

jn(M(AL(nBE))).

Proposicao 3.4. Para todo n ∈ N, a aplicacao jn e linear e injetiva.

Demonstracao. Fixemos n ∈ N. E facil ver que jn e uma aplicacao linear. Vejamos que e

injetiva. Seja ϕ ∈ AL(nBE)′ tal que jn(ϕ) = 0, isto e, ϕ(πn(f)) = 0 para toda f ∈ HL(E).

Daı segue que ϕ(πn(HL(E))) = 0. Pela continuidade de ϕ e pela Proposicao 3.2 segue que

ϕ(AL(nBE)) = 0, isto e, ϕ = 0. Portanto, jn e injetiva.

67

Proposicao 3.5.

HL(E)′ =⋃n∈N

jn(AL(nBE)′).

Demonstracao. Pela definicao de jn temos que jn(AL(nBE)′) ⊂ HL(E)′ para todo n ∈ N,

donde segue que ⋃n∈N

jn(AL(nBE)′) ⊂ HL(E)′. (3.8)

Por outro lado, seja u ∈ HL(E)′. Como u e linear e τb-contınua, existem n ∈ N e c > 0

tais que |u(f)| ≤ c‖f‖n para toda f ∈ HL(E). Observe que fixada f ∈ πn(HL(E)), existe

gf ∈ HL(E) tal que πn(gf ) = f . Assim, a aplicacao linear un : πn(HL(E)) −→ C dada por

un(f) = u(gf ) para toda f ∈ πn(HL(E)) esta bem definida. Vejamos que e contnua. De

fato, se f ∈ πn(HL(E)) temos que |un(f)| = |u(gf )| ≤ c‖gf‖n = c‖f‖n e daı segue que un

e contınua. Portanto, un ∈ πn(HL(E))′. Estendendo un a πn(HL(E)), pela Proposicao 3.2

existe un ∈ AL(nBE)′ tal que un|πn(HL(E)) = un. Agora, se g ∈ HL(E),

jn(un)(g) = un(πn(g)) = un(πn(g)) = u(g),

e assim, jn(un) = u. Ou seja, u ∈ jn(AL(nBE)′) donde

HL(E)′ ⊂⋃n∈N

jn(AL(nBE)′). (3.9)

De (3.8) e (3.9) segue a igualdade dos conjuntos.

Proposicao 3.6.

M(HL(E)) =⋃n∈N

jn(M(AL(nBE))).

Demonstracao. Fixemos n ∈ N. Seja u ∈ jn(M(AL(nBE))). Logo, existe ϕ ∈M(AL(nBE))

tal que jn(ϕ) = u. Ja vimos que u ∈ HL(E)′. Como ϕ 6= 0 e jn e linear e injetiva, temos

que u 6= 0. Alem disso, se f, g ∈ HL(E) entao como ϕ e multiplicativa segue que

u(fg) = jn(ϕ)(fg) = ϕ(fg|nBE) = ϕ(f |nBE)ϕ(g|nBE) = jn(ϕ)(f)jn(ϕ)(g) = u(f)u(g).

68

Logo, u ∈M(HL(E)) e como isto vale para todo n ∈ N temos que⋃n∈N

jn(M(AL(nBE))) ⊂M(HL(E)). (3.10)

Reciprocamente, se u ∈ M(HL(E)), definimos un ∈ AL(nBE)′ tal que jn(un) = u para

algum n ∈ N como feito na demonstracao da proposicao anterior. Como u 6= 0 e jn e linear

e injetiva, temos que un 6= 0. Alem disso, pela continuidade de un, pela Proposicao 3.2, pela

construcao de un e un, e como u ∈M(HL(E)) temos que un ∈M(AL(nBE)), e assim

M(HL(E)) ⊂⋃n∈N

jn(M(AL(nBE))). (3.11)

De (3.10) e (3.11) segue a igualdade dos conjuntos.

3.3 A Algebra H∞L (BE)

Lembramos que no Capıtulo 2 mostramos que o espacoH∞L (BE) dos elementos deHL(BE)

que sao aplicacoes limitadas em BE, munido da norma

‖f‖ = supw∈BE

‖f(w)‖

para toda f ∈ HL(BE) e um espaco de Banach. Definindo em H∞L (BE) o produto pontual,

temos que H∞L (BE) e uma algebra de Banach comutativa com unidade fe. Nosso objetivo

e estudar o espectro de H∞L (BE). Ja sabemos que M(H∞L (BE)) e τG-compacto. Como

no caso da algebra H∞(∆), o estudo do espectro de H∞L (BE) apresenta problemas e nao

foi possıvel determina-lo como fizemos, nos paragrafos anteriores, com outras algebras de

aplicacoes (L)-analıticas. Mas obtivemos importantes informacoes sobre este espectro.

Observamos que as demonstracoes obtidas nesta secao para o estudo do espectro da

algebraH∞L (BE), seguem ideias semelhantes ao caso do estudo do espectro da algebraH∞(∆)

que podem ser vistas em [22].

69

A cada ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ podemos associar a aplicacao δ(ϕ, λ) : H∞L (BE) −→ C

definida por δ(ϕ, λ)(f) = ϕ(f(λe)) para toda f ∈ H∞L (BE). Com argumento analogo ao

usado na prova do Teorema 3.1, mostra-se que δ(ϕ, λ) ∈ M(H∞L (BE)). Observamos que

|δ(ϕ, λ)(f)| ≤ ‖f‖ para toda f ∈ H∞L (BE).

Proposicao 3.7. A aplicacao

δ :M(E)×∆ −→M(H∞L (BE))

que associa a cada (ϕ, λ) ∈ M(E) × ∆ a funcao δ(ϕ, λ) definida anteriormente e injetiva

mas δ(M(E)×∆) &M(H∞L (BE)).

Demonstracao. Como δ e a restricao a M(E) × ∆ da aplicacao definida no Teorema 3.1,

δ e injetiva. Agora, seja I = f ∈ H∞L (BE) : f(λe) → 0 se λ → 1, λ ∈ R+. E facil ver

que I e um ideal proprio de H∞L (BE). Como H∞L (BE) e uma algebra de Banach comutativa

com unidade, existe um ideal maximal (fechado) J de H∞L (BE) tal que I ⊂ J . Mais ainda,

pela Proposicao 1.18, existe φ ∈M(H∞L (BE)) tal que J = φ−1(0). Fixemos arbitrariamente

ϕ ∈M(E) e λ ∈ ∆. Tomamos w0 ∈ E tal que ϕ(w0) 6= 0, e definimos g0(w) = ϕ(w0)(w− e)

para todo w ∈ E. Assim, g0 ∈ I e, portanto, φ(g0) = 0. Por outro lado δ(ϕ, λ)(g0) =

ϕ(g0(λe)) = ϕ(w0)(λ − 1) 6= 0, isto e, δ(ϕ, λ) 6= φ. Como ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆ sao

arbitrarios, segue que δ(ϕ, λ) 6= φ para todo ϕ ∈ M(E) e λ ∈ ∆, o que nos mostra que

δ(M(E)×∆) &M(H∞L (BE)). Ou seja, δ nao e sobrejetiva.

Definimos Π :M(H∞L (BE))→M(E)×∆ por

Π(φ) = (A(φ), B(φ))

para toda φ ∈M(H∞L (BE)) onde

A(φ)(a) = φ(fa) para todo a ∈ E

70

e

B(φ) = φ(Id).

E facil verificar que Π esta bem definida.

Teorema 3.3. Seja Π : M(H∞L (BE)) → M(E) × ∆ definida como anteriormente. As

seguintes afirmacoes sao verdadeiras:

(a) Π e contınua.

(b) Π e sobrejetiva.

(c) Π|δ(M(E)×∆) e injetiva.

(d) Π−1(M(E)×∆) = δ(M(E)×∆).

Demonstracao. (a) Seja uma sequencia generalizada (φα)α ⊂ M(H∞L (BE)) tal que

φατG−→ φ ∈ M(H∞L (BE)). Logo, φα(f) −→ φ(f) para toda f ∈ H∞L (BE). Em particular,

tomando f = Id ∈ H∞L (BE) obtemos que B(φα) −→ B(φ). Alem disso, para a ∈ E ar-

bitrario, temos φα(fa) −→ φ(fa), e pela definicao de A, obtemos que A(φα)(a) −→ A(φ)(a).

Portanto, A(φα)τG−→ A(φ). Daı, Π(φα) −→ Π(φ) na topologia produto de M(E)×∆.

(b) Como Π e contınua e M(H∞L (BE)) e τG-compacto temos que Π(M(H∞L (BE))) e

fechado. Agora, dados ϕ ∈M(E) e λ ∈ ∆

A(δ(ϕ, λ))(a) = δ(ϕ, λ)(fa) = ϕ(fa(λe)) = ϕ(a)

para todo a ∈ E e consequentemente A(δ(ϕ, λ)) ≡ ϕ. Alem disso,

B(δ(ϕ, λ)) = δ(ϕ, λ)(Id) = ϕ(Id(λe)) = ϕ(λe) = λ,

donde segue que Π(δ(ϕ, λ)) = (ϕ, λ) para todos ϕ ∈M(E) e λ ∈ ∆. Segue daı que

M(E)×∆ ⊂ Π(M(H∞L (BE))) ⊂M(E)×∆.

71

Como M(E)×∆ =M(E)×∆ e Π(M(H∞L (BE))) e fechado, temos que

Π(M(H∞L (BE))) =M(E)×∆,

o que mostra que Π e sobrejetiva.

(c) A injetividade segue diretamente do fato de que Π(δ(ϕ, λ)) = (ϕ, λ) para todos

ϕ ∈M(E) e λ ∈ ∆.

(d) Temos a seguinte situacao

M(E)×∆ →δM(H∞L (BE)) −→

ΠM(E)×∆

e queremos mostrar que Π−1(M(E) × ∆) = δ(M(E) × ∆). Dado φ ∈ δ(M(E) × ∆),

existe (ϕ, λ) ∈ M(E) × ∆ tal que φ ≡ δ(ϕ, λ) e daı δ(M(E) × ∆) ⊂ Π−1(M(E) × ∆).

Reciprocamente, se φ ∈ Π−1(M(E)×∆) existem ϕ ∈M(E) e λ ∈ ∆ tais que Π(φ) = (ϕ, λ),

ou seja, φ(fa) = ϕ(a) para todo a ∈ E e φ(Id) = λ. Mostraremos que φ ≡ δ(ϕ, λ), isto e,

φ(f) = ϕ(f(λe)) para toda f ∈ H∞L (BE). De fato, dado f ∈ H∞L (BE) existe (an)n ⊂ Γ(E) tal

que f(w) =∑∞

n=0 anwn para todo w ∈ BE. Equivalentemente, f(w) = (

∑∞n=0 fan .Id

n)(w)

para todo w ∈ BE. Mas, φ(fan) = ϕ(an) para todo n ∈ N0 e φ(Id) = λ, e daı

ϕ(f(λe)) = ϕ

(∞∑n=0

anλn

)=∞∑n=0

ϕ(an)λn =∞∑n=0

φ(fan).[φ(Id)]n

= φ

(∞∑n=0

fan .Idn

)= φ(f),

o que completa a prova de (d).

Proposicao 3.8. Sao equivalentes:

(a) δ(M(E)×∆) =M(H∞L (BE)).

72

(b) Para toda famılia f1, . . . , fn ∈ H∞L (BE) para a qual existe δ > 0 tal que para todo

λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈M(E), vale

n∑i=1

|ϕ(fi(λe))| ≥ δ, (3.12)

existem g1, . . . , gn ∈ H∞L (BE) tais que

n∑i=1

fi(w)gi(w) = e para todow ∈ BE . (3.13)

Demonstracao. Suponhamos que alguma famılia f1, . . . , fn ∈ H∞L (BE) satisfaz (3.12) para

algum δ > 0, para todo λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈ M(E), mas nao satisfaz (3.13) para

toda g1, . . . , gn ∈ H∞L (BE). Seja I = [f1, . . . , fn] o ideal de H∞L (BE) gerado por f1, . . . , fn.

Vejamos que I e um ideal proprio de H∞L (BE). De fato, se fe ∈ I, existem λ1, . . . .λn ∈ C

tais que∑n

i=1 λifi(w) = e para todo w ∈ BE. Assim, definindo gi(w) = fλie para todo

i = 1, . . . , n, temos g1, . . . , gn ∈ H∞L (BE) satisfazendo (3.13), o que contradiz a escolha da

famılia f1, . . . , fn. Portanto, I e um ideal proprio de H∞L (BE) e, como H∞L (BE) e uma

algebra de Banach comutativa com unidade fe, existe um ideal maximal fechado J tal que

I ⊂ J . Consequentemente, existe φ0 ∈ M(H∞L (BE)) tal que J = φ−10 (0), e daı φ0(fi) = 0

para todo i = 1, . . . , n. E claro que o conjunto

U =

φ ∈M(H∞L (BE)) : |φ(fi)| <

δ

n+ 1para todo i = 1, . . . , n

e uma vizinhanca de φ0 emM(H∞L (BE)). Se existe (ϕ, λ) ∈M(E)×∆ tal que δ(ϕ, λ) ∈ U,

temos que

|ϕ(fi(λe))| <δ

n+ 1

para todo i = 1, . . . , n, donde segue que

n∑i=1

|ϕ(fi(λe))| < δ,

o que contradiz a escolha da famılia f1, . . . , fn. Portanto, δ(M(E)×∆) $ M(H∞L (BE)).

Mostramos assim que se δ(M(E)×∆) = M(H∞L (BE)), entao para toda famılia f1, . . . , fn

73

em H∞L (BE) que satisfaz (3.12) para algum δ > 0, para todo λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈M(E),

existem g1, . . . , gn ∈ H∞L (BE) satisfazendo (3.13).

Reciprocamente, suponhamos que existe φ0 ∈ M(H∞L (BE)) tal que φ0 /∈ δ(M(E)×∆).

Logo, existem δ > 0 e h1, . . . , hn ∈ H∞L (BE) tais que o conjunto

W = φ ∈M(H∞L (BE)) : |φ(hi)− φ0(hi)| < δ para todo i = 1, . . . , n

e tal que W ∩ δ(M(E) × ∆) = ∅. Equivalentemente, para todo i = 1, . . . , n, tomando

fi = hi − φo(hi)fe, o conjunto

V = φ ∈M(H∞L (BE)) : |φ(fi)| < δ para todo i = 1, . . . , n

e tal que V = W , e daı, V ∩ δ(M(E) ×∆) = ∅. Alem disso, para toda ϕ ∈ M(E) e para

todo λ ∈ ∆ existe i0 ∈ 1, . . . , n tal que

|ϕ(fi0(λe))| ≥ δ,

e consequentemente a famılia f1, . . . , fn ∈ H∞L (BE) satisfaz (3.12) para este δ > 0, para toda

ϕ ∈M(E) e para todo λ ∈ ∆. Se existem g1, . . . , gn ∈ H∞L (BE) satisfazendo (3.13), entao

n∑i=1

figi ≡ fe.

Mas φ0 ∈M(H∞L (BE)) e tal que φ0(fi) = 0 para todo i = 1, . . . , n, de modo que

φ0(fe) =n∑i=1

φ0(fi)φ0(gi) = 0.

Logo φ0 ≡ 0, o que e um absurdo pois φ0 ∈ M(H∞L (BE)). Isto mostra que se exis-

tem g1, . . . , gn ∈ H∞L (BE) satisfazendo (3.13) sempre que f1, . . . , fn ∈ H∞L (BE) satisfaz

(3.12) para algum δ > 0, para todo λ ∈ ∆ e para toda ϕ ∈ M(E), entao obtemos que

δ(M(E)×∆) =M(H∞L (BE)).

74

Capıtulo 4

O Produto de Hadamard

Continuamos denotando por E uma algebra de Banach comutativa com unidade e tal que

‖e‖ = 1. Na Secao 3.1, estudamos a algebra HL(E) munida do produto pontual. Vimos que

HL(E) e uma algebra de Frechet comutativa com unidade e que M(HL(E)) =M(E)× C.

Neste capıtulo, vamos definir o produto de Hadamard no espaco HL(E). Veremos que a

algebra assim obtida e uma algebra de Frechet comutativa sem unidade e caracterizaremos

seu espectro.

Sejam f(w) =∑∞

n=0 anwn e g(w) =

∑∞n=0 bnw

n para todo w ∈ E tais que (an)n,

(bn)n ∈ Γ(E). E claro que (anbn)n ∈ Γ(E) e definindo o produto (f · g)(w) =∑∞

n=0 anbnwn

para todo w ∈ E temos f · g ∈ HL(E). Este produto e chamado o Produto de Hadamard.

Assim o espaco HL(E) munido deste produto se torna uma algebra comutativa.

Se X e Y sao espacos de Banach, sabemos que a famılia de semi-normas definidas por

pr(f) =∞∑n=0

∥∥∥∥∥ dnf(0)

n!

∥∥∥∥∥ rnpara toda f ∈ Hb(X;Y ) e para todo r ∈ N gera a topologia τb. Como HL(E) ⊂ Hb(E;E) e

claro que pr(f · g) ≤ pr(f)pr(g) para todos f, g ∈ HL(E) e para todo r ∈ N. Assim, HL(E) e

uma algebra de Frechet comutativa. Por outro lado, e facil ver que nao existe (bn)n ∈ Γ(E)

tal que (anbn) = (an)n para todo (an)n ∈ Γ(E). Consequentemente, HL(E) e uma algebra

de Frechet comutativa sem unidade.

Teorema 4.1. A aplicacao

T :M(E) × N0 −→ M(HL(E))

definida por T(ϕ,m)(f) = ϕ(am) para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E) e injetiva e sobrejetiva.

Demonstracao. Vejamos que T esta bem definida, isto e, T(ϕ,m) ∈ M(HL(E)) para toda

ϕ ∈ M(E) e para todo m ∈ N0. De fato, fixados ϕ ∈ M(E) e m ∈ N0 e facil ver que

T(ϕ,m) e linear e multiplicativa. Como ϕ ∈ M(E), existe w0 ∈ E tal que ϕ(w0) 6= 0

logo f0(w) = w0wm para todo w ∈ E e tal que f0 ∈ HL(E) e T(ϕ,m)(f0) = ϕ(w0) 6= 0,

ou seja, T(ϕ,m) 6= 0. Alem disso, dado um limitado B ⊂ HL(E), existe λ > 0 tal que

supf∈B

sup‖w‖≤1

‖f(w)‖ < λ. Se f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ B, pela desigualdade de Cauchy temos que

‖am‖ = ‖Pam,m‖ ≤ sup‖w‖≤1

‖f(w)‖ < λ,

e daı |T(ϕ,m)(f)| = |ϕ(am)| ≤ ‖am‖ < λ. Mostramos que T(ϕ,m) e limitada em todo li-

mitado de HL(E). Como (HL(E), τb) e um espaco metrizavel, e bornologico e, portanto,

T(ϕ,m) e contınua. Logo, T(ϕ,m) ∈ M(HL(E)) e daı T esta bem definida. Sejam

ϕ, ψ ∈ M(E) e m,n ∈ N0 tais que T(ϕ,m) = T(ψ, n), isto e, T(ϕ,m)(f) = T(ψ, n)(f)

para toda f ∈ HL(E). Fixado a ∈ E, tomando fa(w) = awm + awn para todo w ∈ E

temos que fa ∈ HL(E) e daı T(ϕ,m)(fa) = T(ψ, n)(fa). Mas T(ϕ,m)(fa) = ϕ(a) e

T(ψ, n)(fa) = ψ(a) donde ϕ(a) = ψ(a). Como isto vale para todo a ∈ E segue que ϕ = ψ.

Como ϕ ∈ M(HL(E)), existe b ∈ E tal que ϕ(b) 6= 0. Se m 6= n, tomando g0(w) = bwn

para todo w ∈ E temos que g0 ∈ HL(E), T(ϕ,m)(g0) = ϕ(0) = 0 e T(ϕ, n)(g0) = ϕ(b) 6= 0

de modo que T(ϕ,m)(g0) 6= T(ϕ, n)(g0), o que e um absurdo. Portanto, m = n. Concluımos

entao que T e injetiva. Para a sobrejetividade, seja φ ∈ M(HL(E)). Se φn(a) = φ(Pa,n)

76

para todo a ∈ E e para todo n ∈ N0, ja sabemos que (φn)∞n=0 ⊂ E ′ e φ(f) =∑∞

n=0 φn(an)

para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E). Fixado n ∈ N0, como Pab,n = Pa,nPb,n para todos

a, b ∈ E e φ e multiplicativa, segue que φn(ab) = φn(a)φn(b) para todos a, b ∈ E, isto e, φn e

multiplicativa para todo n ∈ N0. Como φ 6= 0 e claro que existe m ∈ N0 tal que φm 6= 0, de

modo que φm ∈M(E). Vejamos que tal m e unico. Sejam m1,m2 ∈ N0 tais que m1 6= m2 e

φm1 , φm2 ∈M(E). Como (Pe,m1 + Pe,m2)2 = Pe,m1 + Pe,m2 e φm1(e) = φm2(e) = 1 segue que

4 = (φm1(e) + φm2(e))2 = (φ(Pe,m1) + φ(Pe,m2))

2 = (φ(Pe,m1 + Pe,m2))2

= φ((Pe,m1 + Pe,m2)2) = φ(Pe,m1 + Pe,m2) = φ(Pe,m1) + φ(Pe,m2)

= φm1(e) + φm2(e) = 2,

o que e um absurdo. Portanto, existe um unico m ∈ N0 tal que φm 6= 0 e φn = 0 para todo

n 6= m e daı φ(f) =∑∞

n=0 φn(an) = φm(am) para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E). Assim,

existem ϕ ∈ M(E) e m ∈ N0 tais que φ(f) = T(ϕ,m)(f) para toda f ∈ HL(E), ou seja, T

e sobrejetiva.

Para estudarmos a continuidade da aplicacao T definida no Teorema 4.1, vamos considerar

em N0 a topologia discreta, isto e, uma sequencia generalizada (nα)α em N0 converge para

um elemento m ∈ N0 se, e somente se existe α0 tal que nα = m para todo α ≥ α0.

Teorema 4.2. O espectro M(HL(E)) de HL(E) e homeomorfo a M(E)× N0.

Demonstracao. Pelo Teorema 4.1, ja vimos que M(HL(E)) =M(E)× N0 como conjuntos.

Vejamos que estes espacos sao homeomorfos. Para isto, mostraremos que a T definida

no Teorema 4.1 e um homeomorfismo. Primeiramente, vejamos que T e contınua. Seja

((ϕα, nα))α∈I uma sequencia generalizada emM(HL(E))×N0 tal que (ϕα, nα) −→ (ϕ,m) ∈

M(HL(E))× N0 na topologia produto. Ou seja,

ϕατG−→ ϕ em M(HL(E)) (4.1)

77

e

nα −→ m em N0. (4.2)

Por (4.2) existe α1 ∈ I tal que nα = m para todo α ≥ α1. Fixada f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E)

temos T(ϕα, nα)(f) = ϕα(am) para todo α ≥ α1. Como am ∈ E, por (4.1) temos que

ϕα(am) −→ ϕ(am). Logo, dado ε > 0 existe α2 ∈ I tal que |ϕα(am)− ϕ(am)| < ε para todo

α ≥ α2. Seja α0 ∈ I tal que α0 ≥ α1 e α0 ≥ α2. Entao, para todo α ≥ α0

|T(ϕα, nα)(f)− T(ϕ,m)(f)| = |ϕα(am)− ϕ(am)| < ε.

Assim, T(ϕα, nα)(f) −→ T(ϕ,m)(f). Como isto vale para toda f ∈ HL(E), temos que

T(ϕα, nα)τG−→ T(ϕ,m) emM(HL(E)). Isto nos mostra que T e contınua. Mostraremos agora

que a inversa de T e contınua. Ou seja, se (ϕα)α∈I e (nα)α∈I sao sequencias generalizadas

em M(E) e N0, respectivamente e ϕ ∈M(E) e m ∈ N0 sao tais que

T(ϕα, nα)τG−→ T(ϕ,m) em M(HL(E)), (4.3)

entao (ϕα, nα) −→ (ϕ,m) emM(E)×N0 na topologia produto, ou seja, ϕατG−→ ϕ emM(E)

e nα −→ m em N0. Provemos, inicialmente, que nα −→ m em N0. Suponhamos que isto nao

ocorra. Dizer que nα nao converge para m em N0 e equivalente a dizer que para todo α ∈ I

existe βα ≥ α tal que nβα 6= m. Fixado a ∈ E arbitrario, como Pa,m ∈ HL(E) e como nα nao

converge para m em N0, temos que para todo α ∈ I existe βα ≥ α tal que T(ϕβα , nβα)(Pa,m) =

ϕβα(0) = 0. Por (4.3) existe α0 ∈ I tal que |T(ϕα, nα)(Pa,m)−T(ϕ,m)(Pa,m)| < ε para todo

α ≥ α0. Em particular, tomando β0 ≥ α0 tal que nβ0 6= m temos T(ϕβ0 , nβ0)(Pa,m) = 0

e |T(ϕβ0 , nβ0)(Pa,m) − ϕ(a)| < ε. Isto e, |ϕ(a)| < ε para todo ε > 0 donde segue que

ϕ(a) = 0. Como a ∈ E foi tomado arbitrariamente, segue que ϕ = 0, o que contraria o

fato de ϕ ∈ M(E). Portanto, nα −→ m em N0. Vejamos, finalmente, que ϕατG−→ ϕ em

M(E). Com efeito, como nα −→ m em N0 existe α1 ∈ I tal que nα = m para todo α ≥ α1.

Fixado a ∈ E, temos que Pa,m ∈ HL(E) e daı T(ϕα, nα)(Pa,m) = ϕα(a) para todo α ≥ α1.

Por (4.3), temos que T(ϕα, nα)(Pa,m) −→ T(ϕ,m)(Pa,m). Logo, dado ε > 0 existe α2 ∈ I tal

78

que |T(ϕα, nα)(Pa,m)− T(ϕ,m)(Pa,m)| < ε para todo α ≥ α2. Seja α0 ∈ I tal que α0 ≥ α1 e

α0 ≥ α2. Entao, para todo α ≥ α0,

|ϕα(a)− ϕ(a)| = |T(ϕα, nα)(Pa,m)− T(ϕ,m)(Pa.m)| < ε.

Assim, ϕα(a) −→ ϕ(a). Como isto vale para todo a ∈ E, ϕατG−→ ϕ emM(E), o que conclui

a demonstracao.

Na Secao 2.2, definimos o espaco das sequencias

Γ(E) = (an)n ∈ E ; limn→∞‖an‖

1n = 0,

e consideramos a metrica

d(a, b) = sup‖a0 − b0‖ ; ‖an − bn‖1n , n ∈ N

para todos a = (an)n , b = (bn)n ∈ Γ(E). Na demonstracao do Teorema 2.3 definimos

T : (Γ(E), d) −→ (HL(E), τb) dada por T (a) =∑∞

n=0 Pan,n para todo a = (an)n ∈ Γ(E) onde

Pan,n(w) = anwn para todo w ∈ E e para todo n ∈ N0 e mostramos que T e um isomorfismo.

Como E e uma algebra de Banach, o produto natural definido em Γ(E) e o produto pontual

dado por (an)n.(bn)n = (anbn)n ∈ Γ(E) para todos (an)n, (bn)n ∈ Γ(E). E claro que Γ(E)

munido deste produto e uma algebra de Frechet sem unidade.

Proposicao 4.1. O espectro M(Γ(E)) de Γ(E) e homeomorfo a M(E)× N0.

Demonstracao. Seja S : M(Γ(E)) −→ M(HL(E)) definida por S(φ) = φ T−1 para toda

φ ∈M(Γ(E)), onde T−1 e a inversa de aplicacao T definida no Teorema 2.3. Como estamos

considerando HL(E) munido do produto de Hadamard, e claro que T−1 e multiplicativa

e, consequentemente, φ T−1 e um homomorfismo de HL(E) em C. Alem disso, como

φ ∈ M(Γ(E)) e T−1 e sobrejetiva, existe f ∈ HL(E) tal que φ T−1(f) 6= 0 e temos que

S esta bem definida. A injetividade de S decorre tambem da sobrejetividade de T−1 e a

79

sobrejetividade de S e clara. Assim, S estabelece uma bijecao entreM(Γ(E)) eM(HL(E)).

Por outro lado, da continuidade de T e de T−1 obtemos a continuidade de S e de S−1, de

modo que S e um isomorfismo entre M(Γ(E)) e M(HL(E)). Daqui segue o resultado via

Teoremas 4.1 e 4.2.

W. Zelazko ([39]) e R. Choukri e El Kinani ([10]) provaram, independentemente, que

uma algebra de Frechet comutativa A e noetheriana se, e somente se, todo ideal em A e

fechado. E bem conhecido que se A e uma algebra de Frechet comutativa com unidade,

entao a aplicacao que leva cada elemento de M(A) no seu nucleo estabelece uma bijecao

entre M(A) e o conjunto dos ideais maximais fechados de A (ver, por exemplo, o teorema

na pag. 82 de [20]). Mas se a algebra nao tem unidade nao podemos garantir, em geral, que

todo ideal maximal fechado e o nucleo de um homomorfismo contınuo. No caso particular

da algebra HL(E) munido do produto de Hadamard vale o seguinte resultado.

Proposicao 4.2. Seja um ideal maximal fechado I de HL(E). Entao existe φ ∈M(HL(E))

tal que I = φ−1(0).

Demonstracao. Seja I um ideal maximal fechado de HL(E). Para todo k ∈ N0 definimos

πk : HL(E) −→ E por πk(f) = ak para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E) e Ik = πk(I). E

facil ver que πk e um homomorfismo sobrejetivo e que Ik e um ideal de E. Afirmamos que

existe m ∈ N0 tal que Im & E. Com efeito, suponhamos por contradicao que Ik = E para

todo k ∈ N0. Seja f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E) e fixemos k ∈ N0 arbitrariamente. Como

E = πk(I) existe g ∈ I tal que πk(g) = πk(f). Considerando h(w) = ewk para todo w ∈ E

(onde e e a identidade de E) temos que h ∈ HL(E) e, como I e um ideal de HL(E), segue

que g · h ∈ I. Mas πn e um homomorfismo para todo n ∈ N0 e daı πn(g.h) = 0 se n 6= k

e πk(g.h) = πk(g)πk(h) = πk(f)e = πk(f), isto e, Pak,k = g.h ∈ I. Como k foi tomado

arbitrariamente em N0, temos que Pak,k ∈ I para todo k ∈ N0. Como I e um ideal de

HL(E) temos daı que∑j

n=0 Pan,n ∈ I para todo j ∈ N0. Mas∑j

n=0 Pan,nτb−→ f e como I e

80

fechado temos f ∈ I. Assim Ik = E para todo k ∈ N0 implica em I = HL(E), o que e um

absurdo pois I e um ideal maximal de HL(E). Portanto existe m ∈ N0 tal que Im & E.

Agora mostraremos que Im e um ideal maximal de E. Com efeito, seja Km um ideal

de E tal que Im & Km e vamos mostrar que Km = E. Temos que K = π−1m (Km) e um

ideal de HL(E) pois πm e um homomorfismo e Km e um ideal de E. Alem disso, como

Im & Km existe w ∈ Km tal que w /∈ Im e pela sobrejetividade de πm existe g ∈ HL(E) tal

que πm(g) = w ∈ Km, isto e, g ∈ K. Por outro lado, w /∈ Im implica g /∈ I e daı K e um

ideal de HL(E) tal que I & K. Pela hipotese de I ser um ideal maximal de HL(E) temos

K = HL(E) e daı πm(K) = πm(HL(E)). Como πm e sobrejetiva segue que Km = E e assim

Im e um ideal maximal de E.

Mostraremos agora que I = π−1m (Im). Com efeito, como πm e um homomorfismo e Im

e um ideal de E entao π−1m (Im) e um ideal de HL(E) e alem disso contem I. Mas Im

e um ideal maximal de E donde existe w ∈ E tal que w /∈ Im e como πm e sobrejetiva

existe g ∈ HL(E) tal que πm(g) = w. Daı g /∈ π−1m (Im), isto e, existe g ∈ HL(E) tal que

g /∈ π−1m (Im). Assim, I ⊂ π−1

m (Im) & HL(E) e como I e um ideal maximal de HL(E) segue

que I = π−1m (Im) = f ∈ HL(E) ; πm(f) ∈ Im.

Por fim, como Im e um ideal maximal da algebra de Banach comutativa com unidade E

existe ϕ ∈M(E) tal que Im = ϕ−1(0). Daı

I = f =∞∑n=0

Pan,n ∈ HL(E) ; am ∈ ϕ−1(0) = f =∞∑n=0

Pan,n ∈ HL(E) ; ϕ(am) = 0.

Mas definindo φ(f) = ϕ(am) para toda f =∑∞

n=0 Pan,n ∈ HL(E), pelo Teorema 4.1 temos

que φ = T(ϕ,m) ∈M(HL(E)). Assim, existe φ ∈M(HL(E)) tal que

I = f ∈ HL(E) ; φ(f) = 0 = φ−1(0),

ou seja, I e o nucleo de um homomorfismo contınuo de HL(E).

81

Como o radical de uma algebra comutativa A e a intersecao dos ideais maximais de A

e o nucleo de qualquer homomorfismo contınuo nao nulo em A e um ideal maximal fechado

(ver, por exemplo, o Lema 7.1 na pagina 68 de [29]), temos que

R(HL(E)) ⊂⋂

φ∈M(HL(E))

φ−1(0)

quando HL(E) esta munido do produto de Hadamard. O problema de decidir se vale a

igualdade continua aberto. Como aplicacao do Teorema 4.1 temos o seguinte resultado.

Proposicao 4.3. A algebra HL(E) e semi-simples sempre que E e semi-simples.

Demonstracao. Afirmamos inicialmente que para cada ϕ ∈M(E) e m ∈ N0 o conjunto

Xϕ,m = f =∞∑n=0

Pan,n ∈ HL(E) ; am ∈ ϕ−1(0)

e um ideal maximal fechado de HL(E). Com efeito, fixados ϕ ∈ HL(E) e m ∈ N0, seja

φ = T (ϕ,m). Dada f =∑∞

n=0 Pan,n um elemento de HL(E) temos que φ(f) = T (ϕ,m)(f) =

ϕ(am) e daı φ(f) = 0 se e somente se ϕ(am) = 0. Mostramos entao que f ∈ φ−1(0)

se e somente se am ∈ ϕ−1(0). Ou seja, existe φ ∈ M(HL(E)) tal que Xϕ,m = φ−1(0).

Entao pelo Lema 7.1, pagina 68 de [29] e pelo fato de φ ser contınua segue que Xϕ,m e

um ideal maximal fechado de HL(E). Seja f ∈ R(HL(E)) e suponhamos que E e semi-

simples. Em particular, f ∈ Xϕ,m para toda ϕ ∈ M(E) e para todo m ∈ N0. Daı, se

f =∑∞

n=0 Pan,n temos que an ∈⋂

ϕ∈M(E)

ϕ−1(0), para todo n ∈ N0. Como E e uma algebra de

Banach, R(E) =⋂

ϕ∈M(E)

ϕ−1(0) e, por hipotese, R(E) = 0 pois E e semi-simples. Assim

an = 0 para todo n ∈ N0 e daı f = 0. Portanto R(HL(E)) = 0 e segue que HL(E) e

semi-simples.

82

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alex farah pereira · mary l lian louren˘co - ime/usp ii. aos meus avos. aos meus pais, celio e...

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