alekséi klimiéntievich boiarchuk, g. p. golovach, ivan ivanovich liashko, iakov gavrilovich gai...

MATEMÁTICA SUPERIOR PROBLEMAS RESUELTOS

A. K. Boiarthuk

6 . P. Colovath

Ecuaciones d i f e r e n c i a l e s Estabilidad y temas especiales

ATEMATI/1KA URSS

Métodos de aproximación de las soluciones de las

ecuaciones diferenciales

§1. Dependencia de la solución de las condiciones iniciales y de los parámetros

'1.1. Estimación del error de la solución aproximada

Supongamos que la función vectorial y — y(t) es una solución aproximada del problema de Cauchy para el sistema de ecuaciones diferenciales

dx ~ = f(t,x), s|(=0 = ®(0), (1) at

donde x = (xlrx2,..., xn), f = U\, h, • • •, /«)• De ahora en adelante consideraremos que la función vectorial / es continua respecto a las variables t, x y satisface la condición de Lipschitz respecto a la variable x:

\\f(t,y)-f(t,x)\\^K\\y-~x\\, K = const, (2)

donde |j • || representa alguna de las normas

Dependencia de la solución d« Iíis•cOiiü'lclonPH' Irikiiile» y de los ymaiiuaitu»,.

~ T ~ , ; , i ^

Supongamos, además, que para la solución aproximada y(l) del problema (1) se cumplen las desigualdades

dv -1 e, MO) - ®(0)|f ^ (3) dt

}{t,y)

Entonces se verifica la siguiente estimación del error:

(4)

1.2. Búsqueda de las derivadas de las soluciones respecto a un parámetro.

Supongamos que en el problema dxi ~dt

= fi(t, xx, x2,..., xn, n), (5)

aj¡(0) = diifi), i = 1, n, (6) {(i es un parámetro) las funciones a¡ son continuas y poseen derivadas continuas. Entonces, la solución (x\, Xj, •.., xn) tiene derivada continua respecto al parámetro /¿, y sus derivadas

dxi , parciales = i = 1 , n , son soluciones del problema

dfi

dfi dui _ ^ ^

j=i

«¿(0) — a'iifi), i = 1,n.

dfí "jj dx]Uj+ dfí'

(7)

(8) dfi df¡ Señalemos que las derivadas parciales , se calculan oxj dfi

para x¿ = x¡<f), i — 1, re, donde Xi{t) es una solución del prob-lema (5), (6).

En particular, si = fx, a¿(/í) = const, para i k, y las funciones /;, i = 1, n no dependen de //, entonces de (7) y (8) se deduce que

= M0) = 0, «fc(0) = l , (9) J=1 3

dxi donde u,- = - — .

da,k

jMélOditó de aproximación de las soluciones de Uis ecuaciones diferenciales

iCapítulo 1 ,

U En los problemas siguientes (1-4) estimar el error de la solu-ción aproximada en el segmento indicado (distinguiremos la solución aproximada colocándole una tilde encima).

1 .

-4 Solución. Sigamos las indicaciones del p. 1.1. El segundo miembro de esta ecuación es una función continua respecto a las variables

1 x>y ^ f I ^ 2 ' < y ^ ) ' igual 1 u e s u derivada

respecto a y Of 2 y dy (1 + j/2)2'

Además, tiene lugar la relación

df dy

2\y\ 1 2|jr| sí < 1. i + \y\2 1 + M2 1 + I2/I2

Por consiguiente, en calidad de constante K de Lipschitz podemos tomar la unidad. Conforme a las fórmulas (3), p. 1.1,

1 y 4 1 + f

1 x 4 2 + 4 ~ f-4x + xz

x - 2

x2(x - 2) <

^ — max 1 6 M i l 8 - 4x + x2

1 64

4(8 — 4a; + x2)

y( 0)¡=0.

Por tanto e = 6 = 0. De esta forma, según (4), p. 1.1, la 64

estimación del error es i

llSf(af) - 0(®)|| = Iy(x) - y(x)\ < ¿ ( e W - 1 K < 0,011. • 64 64

2. =

= x, - x2l x2 - txlf art((1) - ¿'¿(O) - 0;

l + t + -t2, = í <0 , 1 .

I H-pendcncia de la' solución de la^ coiidict<>hów Jniel.ilen y ue los parámetros

< Solución. Sea ||x|¡ = ]xi| •-)• \x2\. conforme a la fórmula (3), p. 1.1,

dx f(t,x)

dx| dt - f t(t, xlrx2) + dx 2

~dt dt

donde fi{t, xi, x2) - Xi - X2, fl(t, Xu X2) - tx 1.

Por consiguiente,

f2(t, ái, x2)

dx ~dt

f(t,x) |l + í - ( l + f)| +

1

t - t [ 1 + t + ^t2

t(t + -r 7 t < í + \t\- <0,0105;

Como e = 0,0105, ¿ = 0.

M = i M = _ i M = í M = o dxi ' dx2 ' dx\ ' dx2

entonces la constante de Lipschitz es K ~ 2, y por la fórmula (4), p, 1.1, tenemos

||«(í) - 4(í)í| ^ 0,0053(e2|i| - 1)| ^ 0,0053(e°'2 - 1) < 0,0012. •

Nota. Si en el dominio de la función f(t,x), la cual es convexa respecto a la

variable x, se cumplen las desigualdades - — < C, entonces en calidad de dxj ¡

constante de Lipschitz se puede tomar el número K = nC.

dfi

3. y" - x2y = 0, y{0) = l, y'(0) = 0; y - e a, |jr¡ < 0,5.'1

M Solución. Pasando de la ecuación de segundo orden a un sistema de ecuaciones de primer orden, obtenemos

x = t, y-xi, y = x2, x\ ~ x2> x2 = t2xlf

®i(0) - 1, x2(0) = 0; í1 i t*

a»! = eiz, x'2 = f = - t 3 e 12, |¿| ^ 0,5. o

¡^¿fpdoVde aprpxfmadón tío Ja* soluciones do las ecuaciones diferencia lew

P I S ^ í ; ^ " 7

Sea ||x|! = |xi| + \x2\. Entonces, según (3), p. 1..1, podemos escribir

I dx \~dt ~

Dado que

/ M

, ¿3 t x\ = —en,

1 3

l^í - fl(t,Xi,X2)\ + \x'z - h{t,X\,X2)|. (1)

1 , t fi(t,xi,x2) - X2 - -t e!2,

x'2 = eu (t2 + ^f6), f2(t,xi, x2) = t2x1 = t2eu,

a partir de (1) se obtiene que

dx 1 í6 i4

ai r — en 9

t6 ¿4 (0,5)6 (03)4

< max-eT5 = 1-i-í-e iz = 0 , 0 0 1 7 . . . . 9 9

Por tanto £ = 0,0017, 5 = 0. Como

f)X] ' dx2 ' dxi ' dx2 '

hallamos que la constante de Lipschitz es K = 2 max(l; t2) = 2 |ÍK0,5

(v. nota del ej. 2). En virtud de la estimación (4), p. 1.1, y de los valores de e, 6,K, obtenemos la desigualdad

0,0017 -i,,

||®(í) - «(í)|| < (e2|i| - 1) < 0,009(e - 1) < 0,002.

Esto implica que \x\ — < 0,002. •

4 . y — Ixtf r 1, Jf(0) = 1; 1*1 <7-

< Solución. Primeros hallamos los valores de e y 6. Según la fórmula (3), p. 1.1,

x2 1 \y'-2xy2-\\ = — — ^ |!/(0) - S(0)| = 0.

-8

H'pendencia do la solución de las condiciones Iniciales y dtí IpSijJaráw

™ V-

1 Por consiguiente, e = - , 6 ~ 0.

Supongamos que la solución y{x) existe en el rectángulo

R = | (x,y): \x\ < ^ \y - (y(x) G R).

Entonces para la constante de Lipschitz K tenemos la estimación 9f K < max

R dy , 4

= max \&xy\ = r 3

Empleando las estimaciones obtenidas, a partir de la fórmula (4), p. 1.1, obtenemos

\y(x) - y(x)| ^ l ( e ¥ - i ) < l ( e 3 - 1) = 0,034 . . . .

Queda por comprobar si la solución exacta y{x) está conteni-da realmente en el rectángulo señalado. Dado que las funcio-nes f(x, y) = 2xy2 + 1 y f'y — 4xy son continuas en todo rectángulo R\ = {(x, y): H ^ a, \y - 1| < &}, conforme ni te-orema de existencia, existe una única solución del problema ( b \ analizado en el segmento \x\ ^ h, donde h = min I a, — I ,

M — max(2xy2+l). Hallemos el valor de h. Con este objetivo, esti-Ri / b \

mamos M ^ 2a(&4-l)2 + l y buscamos maxminf a, — ]. J \ 2fl(&+l)2 + l /

De las ecuaciones

b ' a 2a(b +1)2 + 1' \2a(i> + l)2 -I- 1 / ¡, °

obtenemos

1 V5 - 1 b=\l 1 + — , a~ = 0 ,308 . . . , 6 = 1 , 6 1 7 . . . .

\ 2a 4

De esta manera, en R\ = {(x, y): \x] < 0,308, \y — 1| ^ 1,617} existe una única solución y{x), y como R < Rír dicha solución también existe en R. •

mm

MítodásUc tiurcKinuMon tic la:-, solucione^ Jo lo*, ecuaciones diferenciales

m Hallar las derivadas de las soluciones de los problemas si-guientes respecto al parámetro o a las condiciones iniciales:

3 . y = y ¡t(x f : f ) , y{ü) ~ 1; hallar H*Ü

Solución. Diferenciando respecto al parámetro fi la identidad yx{x, ¡i) ~ y(x, fi) + ¡i{x + y2(x, ¡i)), y(0, (i) = 1,

obtenemos du dx

u + x + y (x,fi) + 2 f iy (x , fi)u, ÍÍ(G, fi) = 0,

<)y(x, fi) donde u = — . Haciendo ¡i — 0, obtenemos él siguiente

dfi

problema para la función 8y dfi

u(x, 0): o

dufx, 0) , — ^ = u(x,0) + x + y2(x,0), tt(0,0) = 0. (1)

dx La función x i-+ y(x, 0) es la solución del problema

y'[x,Q) = y{x,0)f = el cual se obtiene directamente del problema inicial para /¿ — 0. Dado que y(x, 0) — ex, resolviendo el problema (1), hallamos

dy elx - x ~ 1. •

o

6 . y' = y + ¿T t- y(2) = ;/o; hallar p-1 . ¿m L -n

< Solución. Sea y = y(x, yo) la solución del problema dado. Enton-ces, diferenciando la identidad

y'x(x, ya) = y(x, yo) + y2(x, jfo) + xy3(x, y0), y{2, yo) = y0

respecto al parámetro yQ, tenemos du(x, yo) i

= u(x, yo) + 2y(x, y0)u{x, y0) + 3xy (x, y0)u(x, y0), dx

íí(2,0) = 1, u(x, y0) -9y{x, yü)

Oyó

10

pendencia de. la solución de las condicionen iiilcinlub y de loívjtaráiwit'os,

1 h .•irtífíUiltumtullfJiíl'

obtenemos c! Vo=0

dy lomando ya — 0, para )a función x ——

¿yo siguiente problema:

duix, 0) 7 — = u{x, 0) + 2y(x, 0)u(x, 0) + 3xy2(x, 0)u(s, 0),

dx (l) u(2,0) = 1,

donde y(x, 0) es la solución del problema

y'x{x, 0) = y{x, 0) + y2{x, 0) + a:y3(x, 0), y(2,0) = 0.

Evidentemente, y{x, 0) = 0, y el problema (1) adopta la forma du(x, 0)

— = u(2,0) = 1.

De aquí hallamos u(x, 0) = Por tanto,

dVo y0=0 = u(x, 0) = e* 2. •

_ dx i i dx 7. — = T' t fttx , x(0) = 1 ti, hallar

8fi „' '

•4 Solución. Diferenciando respecto a /t, a partir del problema , x dx(t,n)

inicial obtenemos el problema para la función u{í, n) —

du(t,fi) 3 2

dfi

t{xó + 3x z f iu( t , /*)) 4- 2xu(t, fi), m(0, /t) = 1. dt

Tomando fi = 0, resulta

= íx3(t, 0) + 2x(t, 0)«{t, 0), «{0,0) = 1, (1) dt

donde la función t x(t, 0) es la solución del problema

= X(0,0) = 1, (2) dt

el cual se obtiene del problema inicial para p. = 0. Partiendo de (2) 1

hallamos x(t, 0) = . Sustituyendo esta expresión de x(t, 0) 1 "" í

tJSÍfdtód¿9 do aproximación dp las soluciones» de las ecuaciones diferenciales

en (1), obtenemos el problema para la función buscada

du(t, 0) t 2u(t, 0) dt

de donde resulta

( 1 - í ) 3 1 - í

1 - t - In (1 - í)

, '«(0,0) = 1,

tt(í,0) = ( 1 - í ) 2

Así pues,

dx dfi

/ í = 0

l - í - l n ( l - f ) i

8 . L 3 ^ ^ ^ ' l í r ^ ' h a l l a r ^ -

I Solución. Diferenciando respecto al parámetro yo cada una de las igualdades del problema dado, resulta

du(t,x 0,1/0) = x(t, x0, y0)v(t, x0, yo) + u(t, x0, y0)y(t, x0l y0),

dt u(l,xa,y0) = 0,

2 = -2y(t,x0,yo)v(t,xo,yo), dt

t v(l,x0,yQ) = l,

( 1 )

donde

dx{t,x0,y0) dy(t,xo,yo) u{t, x0, yo) = - , v(t, xq, yo) = -

dya

Las funciones x e y son las soluciones del problema inicial. Tomando en éste Xq = 3, y^ — 2, e integrando las ecuaciones correspondientes, hallamos

x(t, 3,2) = í3 + 2t2, y{t, 3,2)

12

i<leticia de la solución de las condicionen iniciales y dt» los parámétrofig i «i i e a* u ni'«e!f * l ' hi 1

Sustituyendo en (1) las funciones halladas, y también ~ 3, 2/o = 2, obtenemos

f du(t, 3,2) M

tt(l,3/2) = 0,

dv(t, 3,2) 2 , = — ~t;(í, 3,2),

l v(l, 3,2) = 1.

(í -j- 2t )v(t, 3,2) + -u(t, 3,2), t

(2)

1 De la segunda ecuación del sistema (2) hallamos que v(t, 3,2) = •

Sustituyendo v(t, 3,2) en la primera ecuación de (2) e integrando, obtenemos u(t, 3,2) = t2 ln t - 2t + 211, Por consiguiente,

dx dy0 *o=3

Sf0=2 = t2lnt~2t + 2t2. . •

j f x - j• \ y, \ fi = 2 :r ] /iy2,

J-d») = , „ Off ,r>\ t hallar „

= - 2 ; ¡)fi

•4 Solución. Diferenciando cada una de las igualdades de este problema respecto al parámetro ¡jl y haciendo luego fi — 0, obtenemos

du(t, 0) = u{t, 0) + v{t, 0), u(0,0) = 1,

(1) dt

dv(t, 0) dt

2u(t, 0) + y (t, 0), «(0,0) = 0,

dx(t, ¡j.) dy(t, ¡i) donde u(t, ti) — ———, v(t, fi) = — . La función y(t, 0) se

d¡i dfi halla a partir del problema

±(í,0) = ®(í,0) + »{í,0), ®(0,0) = 1, y(t,0) = 2x(t,0), y(0,0)--2,

el cual se obtiene del problema inicial para ¡i — 0. Sustituyendo 1

x(t, 0) = ~y(t, 0) en la primera ecuación, obtenemos el problema

y(t, 0) - y(t, 0) - 2y(t, 0) = 0, y(0,0) = - 2 , 0(0,0) = 2,

^^todüi» de aproximación de las soluciones de las ecuaciones diferenciales

Intapílulo 1

del cual hallamos y(t, 0) = —le"*. Utilizando este resultado y el sistema (1), mediante el método de eliminación obtenemos el problema

v{t, 0) - í>(í, 0) - 2v(t, 0) = —12e~Zf/ «(0,0) = 0, w(0,0) = 6,

cuya solución es

v(t, 0) = 2e~t + e2t -3e~2t.

Esta es la solución buscada. •

1 0 . .r - j- (j- 1- - f i S ; B(ll) = i , J'fll) rr - 1,

IfrMItfflBl ImllM MW1M

Solución. Diferenciando las igualdades del problema dado y haciendo en cada una de ellas ¡i = 1, obtenemos

éu{t,\) du(t,i) 2 ñ - - 2 u = -x(tA),

du(t, 1) UJ

«(0,1) = 0, di

= 0, {=0

dx(t, n) donde u(t, p) — . La función t h-» x(t, 1) es la solución del

a¡x problema

d2x{t, 1) dx(t, 1) 1 = !) + X(0,l)=:~, ¿(0,1) = - ] ,

el cual se puede obtener del problema dado haciendo /i — 1. Resolviendo este último problema, hallamos

x(i/ l ) = e " t - i

Teniendo en cuenta esta solución, escribimos el problema (1) en la forma

ü(t, 1) - ú(t, 1) - 2u(f, 1) = - ( V ' - ^ , u(0,1) = w(0, 1) = 0.

imitiiBii

w i *> ¥• , i « I >e| tendencia de la solución de las condidonivi ¡uiualeb y do los parámetro^;

' , • ' i -

Integrando la última ecuación y utilizando las condiciones iniciales, obtenemos

dx\ 1 , / 5 t\ 1 _2( 1 2, u(t, 1 ) = — = - + e ~ f ( ~ - e 2 í e2'. •

d^\ll=1 8 \ 36 3 / 4 72

l l i i l i i ^ 1 1 . H t i n w cuanto puede variar la solución de la écua- , j ción y' = x f sen <¡ (0 J' < 1) bajo la condición.'inicial ?/(0) = tju r- o. M la variación del número ¡,'ij es menor qü.é"ü/01l';5

M Solución. Utilicemos la desigualdad (4), p. 1.1. En este ejemplo e — 0, pues se comparan dos soluciones y(x) y z(x) de una misma ecuación, es decir, y1 = x + sen y, z' — x + sen z, donde la solución y(x) satisface la condición inicial y0 — 0, mientras que la solución z(x) satisface la condición 2(0) = para la cual, según las condiciones de partida, se verifica la estimación \yü ~zo\ < 0,01, o bien \zQ\ < 0,01. Por consiguiente, conforme a la fórmula (3), p. 1.1, tenemos que 6 = 0,01.

Dado que |seni/ - senz[ ^ \y — z\, la constante de Lipschitz es K = 1; por tanto, conforme a la estimación (4), p. 1.1, encontramos finalmente

\y{x) - z{x)| 0,01ekl < 0,01e ss 0,0271. »>

1 2 . Para hallar la solución aproximada de la ecuación-;^ S - senr - 'O , (Va fue sustituida por la ecuación Jr-,r—O.^j. Iislimar el error de la solución para 0 Ss f 2 si las con-/'

;r(0) ¿ 0 , ,y se sabe que'itj

< Solución. Sea y(t) la solución del problema £ + seni/ = 0, 2/(0) = 0,25, y(0) = 0, (1)

y x{t) la solución del problema x + x = 0, x(0) = 0,25, ¿(0) = 0. (2)

Entonces, restando miembro a miembro las igualdades (1) y (2), para el error u(t) = x(t) — y{t) obtenemos el problema

ü{t) + u(t) - sen y- y, u(0) = 0, «(0) = 0,

• "lyttMIHM

^¿todps^e'aproximación de las soluciones do las ecuaciones diferenciales

cuya solución tiene Ja forma b

= J (sen y{r) - y(r)) sen(£ - r ) dr. n{t) = j (sen y(r) - y(r)) sen(¿ - t) dr. (3)

o Multiplicando miembro a miembro la ecuación (1) por y

e integrando, a partir de las condiciones iniciales obtendremos

y = 2(cos y - eos 0,25). De aquí se deduce que |t/| ^ 0,25. Por tanto, ¡ sen y — y\ ^ 0,003, y a partir de (3) hallamos la estimación buscada:

t

l«(í)l < j I sen y(r) - y{r)\\ sen(í - r)| dr < o

i 2 < 0,003 j | sen(í - r)| dr < 0,003 J dr = 0,006. •

o

§2. Métodos analíticos de aproximación

2.1. Método de las series de potencias Si los coeficientes po(x), p\{x), p2(x) de la ecuación diferencial

Po(x)y" + pi{x)y + p2{x)y = 0 (1) son funciones analíticas en un entorno del punto x — xq, es decir, se pueden desarrollar en series de potencias de x - Xq, y, además, p0(x0) # 0, entonces las soluciones de la ecuación (1) en cierto entorno del punto indicado también son analíticas. Si el punto x = Xo es un cero de multiplicidad s de la función un cero de multiplicidad s - 1 (o mayor) de la función pi (si s > 1), y un cero de multiplicidad s — 2 (o mayor) de la función p¿ (si- s > 2), entonces existe al menos una solución no trivial de la ecuación (1) en forma de una serie de potencias generalizada

00

y(x) = (x - x0)r a»(x - xo)"'

donde r es cierto número. i r

M<5UkIoh nruilf tipos 4,9^1

r I "VilJl, 1 qU>JU?V*

Si la función / es analítica en un entorno del punto (xq, yo), entonces la solución del problema

y' = f{x,y), 2/(»o) = Jto también es analítica en un entorno del punto x — x$. Análogamen-te, si la función / = f(x, y, y',..., es analítica en un entorno del punto ( , yo, y'0,..., 7/(-l"'~1)), entonces existe una solución del problema

y(n) = f , y(xu)-y0l y'(xo) = yo, . . . , !í ,b-1,(®o) = Po,"1>

en forma de una serie de potencias de (x — :cu). A menudo, para hallar los coeficientes de la serie se utiliza la fórmula de Taylor,

2.2. Método del parámetro pequeño Si en el problema

dx' "TT - fi(t, xlt x2, • • •, Xn, n\ »i(í0) = fl¿0¿), i~\,n (2) dt

las funciones /,, a¿ son analíticas respecto a las variables X],X2, ... ,xn,(i, entonces, para valores pequeños de p, (pequeños en comparación con la unidad, es decir, |/x| <C 1) el vector solución x{t, fi) se puede desarrollar en una serie convergente de potencias de fi:

x(t, ¡t) = yQ(t) + pyx(t) + /i2y2{t) + ... . (3) Para hallar las funciones yo, y\,..., se deben desarrollar los segun-dos miembros del problema (2) en potencias de fi y, después de sustituir en el problema el desarrollo (3), igualar los coeficientes de las potencias iguales de fi. Como resultado obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales (con las condiciones iniciales correspondientes) cuya integración proporciona sucesivamente las funciones yo, y\,... . Las constantes arbitrarias se hallan a partir de las condiciones iniciales

yi(t o) = («i¿, a2i,..., ct„¿)' donde aki = const. Empleando el método del parámetro pequeño se pueden

hallar de un modo aproximado las soluciones periódicas de las ecuaciones del tipo

'y x + a x = nF(t, x, x, fi), (4)

' i3''feolucioinps de las ecuaciones diferenciales

donde F es una función periódica de t conocida. En este caso, las constantes de integración que surgen al resolver las ecuaciones diferenciales respecto a las funciones yo, y i , . . . se hallan a partir de las condiciones de periodicidad de las funciones, las cuales consisten en la ausencia de términos resonantes en los segundos miembros de las ecuaciones diferenciales mencionadas.

Si el segundo miembro de la ecuación (4) no depende explícitamente de f, entonces el período de la solución x(t,fi) no se conoce de antemano. En tal caso, en la ecuación (4) se debe efectuar el cambio de variable

r = f ( l + b1fi + b2¡i2+ ...) (5)

(r es la nueva variable independiente) y buscar la solución 2tr

x(t,[í) de período — . Siendo así, los coeficientes bj, b2, . . . se (t

determinan a partir de las condiciones de periodicidad de las soluciones y0(r), yi(r),

@ En cada uno de los problemas 13-18, hallar en forma de una serie de potencias la solución que satisfaga las condiciones iniciales dadas. Calcular algunos de los primeros coeficientes de la serie.

Solución. La función f(x, y) — y2 — x es analítica respecto a las variables x, y en un entorno del punto (0,1); por tanto, existe una solución analítica 00

y(x) = ünXn

n=0 de este problema. Sustituyendo esta solución en la ecuación dada, obtenemos la igualdad respecto a x

2 2 3 2 a-[ + 2a2x 4- 303» + . . . = (üo + ai® + a2x + a$x + ...) - x.

Igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos un sistema de ecuaciones respecto a los números a¿ (i — 0 ,1 ,2 , . . . ) :

2

ü! = a0 , 2a2 = 2a0ai - 1,

3a3 = a2 + 2aoa2, 4a4 = 2a\a2 + 2a0a3, . . . .

,|"V ' - - O" fíV'Wíffl v i i- íi.-'iíi'ii, > ««„ '^IUau

Dado que j/(0) = 1, tenemos o» = 1. Entonces, a partir de las ecuaciones del sistema obtenemos sucesivamente

0.3 a 4 = 2 3 ' 12'

De este modo, la solución aproximada tiene la forma

a, = 1 , a2 = - ,

1 , 2 , 7 4 y(x) «l + at + V + V f —x\

1 4 . y'= y + x¿>-, y(0) = 0.

M Solución. Desarrollamos la función f(x, y) — y + xey en una serie de potencias de x, y en un entorno del punto (0,0):

f{x,y) = y + íc + y + ^y2 + g^3 + + • • ) •

Teniendo en cuenta la condición inicial, buscamos la solución en forma de una serie

y(x) = a\x + a2x2 4- 0,3 x^ + o,$x4 -f ... .

Sustituyendo esta serie en la ecuación

00 t,k 1 , v ^ y

k=0 '

e igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtene-mos el sistema de ecuaciones

ai = 0, 2a2 = 1, 3ci3 = a,2, idi — 0,3 + 0,2, ...,

de donde hallamos _ 1 1

Por consiguiente,

0-2 — = a i = 5 '

I 2 I 4 y{x) = ~x + -x + -x + ... .

2 6 6

•4 Solución. Al igual que en los problemas anteriores, la solución aproximada y(x) se hubiera podido obtener como una suma parcial de una serie de potencias, hallando sus coeficientes a partir de cierto sistema de ecuaciones recurrentes. Sin embargo, aquí seguiremos otro camino. A saber, dado que la serie de potencias desconocida es una serie de Taylor, mediante una diferenciación sucesiva respecto a a; del segundo miembro de la ecuación inicial calculamos las derivadas del orden necesario en el punto x — 0. Así pues, considerando las condiciones iniciales, tenemos

y"(0) = -y2(0)=~l;

y"'(x) = £(xy'-y2)^y'+xy'-2yy', ¡ f ( 0 ) = - 2 /

yw(x) = 2y" + xy"' - 2y'2 - 2yy", t/V(0) = -8 Por consiguiente, a partir de la fórmula de Taylor hallamos

16. — = ¿ = + x2 + y; m i s í I I Í B B IIIIIH

-4 Solución. Como los segundos miembros de las ecuaciones son funciones analíticas respecto a todas las variables x, y, t, buscamos la solución en la forma

2 3 x(t) = ao + a-¡ t + a2t +ÍI3Í'+...,

y(t) = b0 + bit + b2t2 + M3 + • • • • Sustituyendo estos desarrollos en las ecuaciones dadas e igualando los coeficientes de las potencias iguales de í, obtenemos un sistema de ecuaciones respecto a los números a,-, h¡, i — 1 , 2 , . . . :

ai = a0- 61 - -1 + b0 + al, 2a2 — 1 + a\ - 2i>o&1, 2b2 = h + 2a0aír

2 3«3 — a2 — b\ — 2bQb2, 3bj = 1 + b2 + a,\ 4- 2aQai,

Métodos analíticos *d

De aquí, utilizando las condiciones iniciales obtenemos que tío = h bo — - 1 . Ahora podemos hallar sucesivamente

«1 — o, 1

h = - 1 , 1

02

5

fe2 = 02

5 2 1 _ „

~ 6 '

Por consiguiente,

x(í) = \ - - t ¿ - - / + ..., 2 6

i1 t3

y{t) = - 1 - í - - - - + ... .

dx 1 1 7 .

dt t + x2 tj2' J-ilJ = 0, j/fl) - 1.

dy ^ xy]n (t + x2 ± yr} [ •

n H B n ^ H m H H H I H f l H t É l i

I Solución. Primero empleamos la fórmula de Taylor para desa-rrollar los segundos miembros de las ecuaciones en potencias de (t - 1), x, y- 1:

1 , d f i + x dfx

M U "S

»2/i

dx

+ 2(t - l)x

+ M

d2h

M

+ 2 ( f - 1 ) ( 2 / - 1 ) d2n

dt dy

dt dx

+ 2x{y - 1)

+ M

d f i

+ x' d2h

dx2 + (y-1)

M

2^/1

M dy1

dx dy M

1 t-1 3 ( ^ - 1 ) ( ¿ - 1 ) 2 3(* - 1 ) ( y - i ) 2 4 4 8 8

X 3 , "y + - ( » - i ) + . . •; 4 8Vtf ;

' t H 'iri 'dó lfis,poluciones de los ecuaciones diferenciales

f í » ¡ *

dh Oh f2(t,x,y) = (t-í)-^ + x M dx

dfi

m M

2! V dt2

Olf2 + 2x(t - 1) dzf2

M dtdx +

M

+ 2(í — l)(y — 1) d2h dtdy

+ M

4 - 2x(y - 1 ) d2h

dx dy

+ (y-1) d2h dy2 M

M

i02h dx2

+ M

donde

fi(trx,y) =

ax + x{t - 1)& + cx(y - 1) + ..,,

1. f + x2 + . y2 > hit* y)

l + (l + t g l ) 2 ' 1

2(1 + tg 1)-

xy ln (t + x2 + y2) l + (t + tgy)2 '

ln2 2 ( l + (l + tg l ) 2 ) " " ' ( l + í l - M g l ) 2 ) '

„ ln2 + l ln 2

l + (l + tg l ) 2 ~ ( i + (l + t g l ) 2 ) 2 '

De esta manera, tenemos el problema dx

_ 1 izl _ ~ -i)2

~ d t ~ 2 ~ 4 + 8 +

, 3 ( ¿ - l ) ( y - l ) a ; 2 3 2

+ r T + g(»-l ) (1)

dy dt

ax 4 - bx(t - 1 ) 4 - c x ( í / - 1 ) 4 - . . . ,

¡r(l) = 0, y( 1) = 1.

Busquemos la solución del problema (1) en la forma

x(t) = ai(í - 1) + a2{t - l)2 + a3(t - l)3 + ...,

¡ , ( t ) = 1 + 6j(í - 1 ) + h(t - l ) 2 4 - h(t - l ) 3 + • •

' J 1 j l l Í K w l r ' « V ' , t . . » ¡ . ¡ i • ^ T '

Sustituyendo estas últimas series en las ecuaciones (1) e igualando los coeficientes de las potencias iguales de t — 1, obtenemos un sistema de ecuaciones a partir del cual hallamos

1 di =

2 ' 1

= 0,

a a2 - *>2 = 4 '

a3 = 1 - 3 a

h 46

a3 = 48 ' h 24

Por consiguiente,

, i - 1 ( t - 1 ) 2 1 ~ 3a 3 x(t) = - — - i — - + ——(i - l)3 + . . . ,

8 48 4 6 - a

^ ) = i + - ( í - i r + 2 4

1 8 . - = í 4 e / , v , = ¡r(0) = MO) - 1

< Solución. Dado que

, x (0) 2 x"(Q) , x(t) = x(0) + »'(0)¿ + -^-t2 + + . . . ,

2 o

y{t) = y{ o) + 2/'(0)í + ^ t 2 + ^ í 3 + . . . ,

sólo nos resta hallar los valores de las derivadas en el punto t De las ecuaciones del sistema tenemos

a:'{0) - e2,

x"(t) = 1 + ex+y{x + y') = 1 + ex+9(x' + 1 + sen xy),

x"(0) = 1 + e2(e2 + 1 + sen 1);

y'(0) = 1 + sen 1,

- eos xy • {xy + xy'),

/(O) - eos 1 • (e2 + 1 + sen 1).

:0 .

iabu>«)iiiiwwjn»ui.M

de las soluciones de las ecuaciones diferenciales

Continuemos: x'"(t) = ex+y{x'+y')2 +ex+,J(x"+y"),

x"'(0) = e2 ((e2 + 1 + sen l)2 + 1 + e4 + e2 + 2 2 \ + e sen 1 + e eos 1 + eos 1 + eos 1 • sen 1);

m,,, / ' , >\2 , / ii , i ' ' , ii\ y (t)~ ™ sen xy • (x y + xy ) -(- eos xy • (x y + Zx y + xy ),

y ' " {0) = - sen 1 • (e2 + 1 + sen \)2 4- eos 1 x

x ( l + e4 + e2 + e2 sen 1 + 2e2(l + sen 1) +

+ eos 1 • (e2 + 1 + sen 1)). •

1 9 . rMwi'.iii liit'eriurn'.enli- •*! i.ulin de M'iuvrf.i.-neia de l.i serie de potencias que representa la solución de ia ecuación ¡/ — /y" - x , con la condición inicia] !/(0) — 1.

•4 Solución. A partir de la ecuación y de la condición inicial, hallamos sucesivamente

y'(0) = 1, y"(x) = 2yy' - 1, jf"(0) = 2j/(0)j/'{0) - 1 = 1/

= 2 (yy'fn-2) = 2 E c l 2 y < % > f - 2 - k ) = fc=0

fc=o n - 2

y(n)

(0) = 2 J 2 cl2y{k)( O-tíf-^HO), n¿3. k=0

Demostremos que ^ n!, n £ N. Utilicemos el méto-do de inducción matemática. Tenemos que |j/"(0)|<1. Suponiendo que lt/fc'(0)J ^ fe!/ P a r a fe — 3 , 4 , . . . , (n ~ 1), estimamos

n-2

k=0

n-2 n-2

4 2 E C^2k\(n - k - 1)! = 2(n - 2)! - fc ~ 1) = «!-¡t=o t=o

Por consiguiente, de acuerdo con el método mencionado, |/°(0)| ^ ni Vn € N.

Teniendo en cuenta la desigualdad demostrada, para los 00

coeficientes de la serie de potencias ^ ^ anxn, la cual presenta la n=0 solución en un entorno del punto x = O, se cumple la estimación

Ki = ¿|y<B)(0)|^i. 0) Finalmente, empleando la fórmula de Cauchy-Hadamard

— -- lim V l ^ J ' y también la desigualdad (1), obtenemos la n—>oo

estimación requerida para el radio de convergencia R de la serie de potencias:

R> 1. •

Dadas las siguientes ecuaciones (20-25) hallar Jas soluciones linealmente independientes en forma de series de potencias:

Solución. Ya que las funciones p0 = po(x) = 1, pi = pi{x) ~ 0, Pi ~ p2Íx) = -x1 son analíticas V a 6 ( -oo, - feo) y poW ^ 0, según el p. 2.1, existe una solución analítica y = y(x), x 6 ( -oo , -foo). Busquemos esta solución en forma de una serie

00

y(x) = Y^a"x"- 0 ) n=0

Sustituyendo y(x) en ta ecuación inicial, obtenemos la siguiente igualdad respecto a x:

OO 00 n(n — l)anxn~2 - ^T^ anxn+2 = 0,

n=2 n=0 Cambiando en la segunda suma el índice según la fórmula n = n' - 4 (ra' = 4 ,5 , . . . ) , obtenemos

00 oo 2 n(n - l)anxn~2 ~ = 0,

I m p r i m a c i ó n dtí Idt. soluciones de tas ecuaciones diferenciales

o bien oo

2a2 + 6a3af 4- - l)an _ « n - * ) » " - 2 = 0. n=4

De aquí se deduce que a2 — 0,3 = 0, n(n - l)an - af í_4 = 0. De la

fórmula de recurrencia an = ——--— hallamos sucesivamente n{n -1)

«o aj a4 = — - , a5 = — 7 , a6 = 0, a7 — 0, 4-3 5-4 __ a4 _ ao _ ®5 __ (2)

a® _ 8^7 ~ 8 • 7 • 4 • 3 ' % _ ~ 9 - 8 - 5 - 4 ' ®io — a n = 0 etc.

Como ao, ai son constantes arbitrarias, podemos admitir que ao = 1, ai = 0 , o bien a = 0, 01 = 1. Entonces, de las fórmulas (1) y (2) obtenemos dos soluciones particulares

s 12 t/i(a:} = 1 + H + -f . . . , y u 4 - 3 8 - 7 - 4 - 3 12•11•8•7•4•3

x5 x9 x13 w2{:c) — a; -i ! • j ( - . . . . y w 5 - 4 9 - 8 - 5 - 4 1 3 - 1 2 - 9 - 8 - 5 - 4

Las series de potencias obtenidas convergen para todo x 6 (—00, +00). Las soluciones y\(x) e y2(x) son linealmente independientes, dado que la identidad y\{x) = ky2(x), k — const, no es posible (por ejemplo, i/i(0) = 0, lo cual contradice la definición de y{{x)). De esta manera, las soluciones y\(x), y2{x) forman un sistema fundamental, y la solución general de la ecuación dada tiene la forma

y{x) = Cxyx{x) + C2y2(x), x € ( - 00 , +00). •

21. a - » V - - W - = »

•4 Solución. Puesto que la función

4 xy' + 2 y l - x 2

es analítica respecto a todas las variables x, y, y1 (x / ±1), entonces existen soluciones analíticas de la ecuación dada para x ^ ±1 .

, 1. wy i- ¿y , , n

MÍUHIO» anaUtlcoíS d e ^ a t ó l l

, , > ¡i <-»•» ii «i >j

Hallemos estas soluciones inicialmente en un entorno del cero (x = 0), es decir, vamos a buscarías en la forma

y(x) — ao -f ü\x + a2x2 -f . .. . Sustituyendo esta serie en la ecuación dada obtenemos la siguiente identidad respecto a x:

n(n - 1 )anxn 1

n = 2

- n(n _ l)°n®n 4 ^^ nanx" — 2 ^T^ = n = 2 n = l n = 0

Cambiando el índice n de la primera suma por n + 2, escribimos nuevamente la identidad en la forma

00

£ ( n + 2)(n + l)aB+2arB -n = 0

oo oo oo - ~i)anx" - 4 ] ¡ P ~ 2 E a " x " s

» = 2 n = l ) í = 0

o bien 2a2 + 6a¡x - 2a0 - 6at x +

00 + E (ín + + !)an-l-2 ~ n(n ~ _ 4nan - 2an)x" s 0.

ri=2 De aquí, igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos

a2 = ¿o, «3 = «1/ «n+2 = o,„, n — 2 , 3 , . . . . Sean ao = 1, ai — 0. Entonces 02* = 1, a2k+1 = 0, fc = 0,00; por consiguiente,

y 1(a:)-l + 3:2 + 3:4 + ...= 1 |¡e| < 1. 1 - x¿

Análogamente, si a,-j = 0, « j = 1, obtenemos «2fc = 0, 026+1 = 1. Por tanto,

y2{x)~x + x3+ x5+ . . . - — \ x \ < l . 1 — x¿

No es difícil ver que para !:r| > 1 las funciones yi, y2 también son soluciones de la ecuación inicial. •

, ÍíimMt 7m

H O W "|i*í¿|S $'óíuciíone9 de las ecuaciones diferencíales l¡!lítl',(l« iii 'l Mi

•4 Solución. Como en el ejemplo anterior, primero buscamos las soluciones en un entorno del punto x — Ü, esto es, en la forma

oo anx". Sustituyendo esta serie en la ecuación dada, obtenemos

n=0 la identidad respecto a x

co oo ao

n(n - 1 )anxn^2 - ^ n(n + l)anxn~l - 2aa + ^ a„x" = 0. n—2 n=2

Cambiando el índice n en la primera suma por n + 2, y en la segunda por n 4-1, tenemos

oo + 2)(n + l)an+2xn -

n~ 0 00 00

- ^ ( n + 1 ) ( " + 2)an+iXn - 2oi + 2 a„xn = 0, fí=1 n=0

de donde, igualando los coeficientes de las potencias iguales, hallamos 2 a 2 - 2 a 1 + a 0 = 0 , ( n + 2 ) ( n + l ) ( a „ + 2 - a n + i ) + a „ = 0 , (1)

Sean a\ = 0, «o — 1. Entonces, de las ecuaciones (1) resulta 1 1 11

a 2 - ~ - , a3 = - - ,

por consiguiente,

x2 x3 11 4

Haciendo oq = 0, a\ = 1, análogamente obtenemos 5 3

«2 — 1/ a3 ~ 7/ fl4 — 7/ • • • í 6 4 por tanto,

y2(x) = x + x2 + -x5 + -x4 + .,. . 6 4

2y' - y Puesto que la función x »-• es analítica para x 5¿ 1,

1 - x las series obtenidas convergen solamente para [x| < 1. Hallemos

Las soluciones particulares para valores arbitrarios de x 1. Realizando el cambio de variable x = ¿ + Xo, donde x0 ^ 1, buscamos las soluciones particulares en la forma

oo Hit) = t = X~X 0.

n-0 Después de una serie de cálculos semejantes a los anteriores, llegamos a las soluciones particulares siguientes:

( x - x 0 f ( x - x 0 f 11 + Xo 4 yx(x) = 1 - — - — - - — rgíar - x0) 2(1 - «o) 2(1 - s0)2 24(1 - «0)

2 5 + Xq 3 y2(x) = (1 - x0)(x - s 0 ) + (x- So) + — -(a - XO) +

6(1 - a?0) 3 + Xo , ,4 ,

4(1 - xo)2

Dado que el radio de convergencia R de las series obtenidas se determina mediante la distancia desde el punto t = 0 hasta

Zy't - y(t) el punto singular de la función t i—• , tenemos que 1 —* £Cq " ¡t

R = |1 - s0|. Por consiguiente, las funciones y¡, y2 están definidas para todas las x que satisfacen la desigualdad |ac — acó I < |1 ~ ®ol-De esta desigualdad se deduce que las funciones y\ e y2 describen todas las soluciones particulares de la ecuación inicial para todo x £ 1. •

Nota. En el ejemplo anterior logramos sumar las series de potencias y hallar las funciones analíticas que también son soluciones de la ecuación diferencial para litros valores posibles de a;.

2 3 . y" - xy' +

M Solución. Por cuanto po(x) ~ 1 0 y las funciones — Pi(x) = ~x, p2 -- p2(x) = x son analíticas, concluimos que la ecuación inicial tiene soluciones particulares que forman un sistema fundamental y son funciones analíticas para todos los

valores de x £ ( -oo , +00). La serie de potencias 00

n=0 en cuya forma buscaremos las soluciones particulares, converge para todo x. Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial e igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos un sistema respecto a los números an:

nan — a2 = 0, fln+2 = — - rr ,——77, n = 1,00.

(n + 2 )(n 4-1) De aquí, tomando ao = 1, ai = 0, hallamos

1 1

<i\ — — , a¿ = 0. — , . . . . 3 6 40

Análogamente, suponiendo que «0 = 0, ar — 1, obtenemos 1 1 1

a3 = g, « 4 - - - , a s ~ 40

Por consiguiente, las soluciones particulares son 3 5 3 4 X X° X5 X

2 4 . xtf' 4- y ln (1 - $ ) = 0

Solución. Utilicemos el desarrollo / x 2 x3 \

l n ( l - x ) = - í x + y + y + . . . j , - 1 < X < 1

y busquemos las soluciones particulares en la forma 2 3 y(x) = ao 4- a ix 4- a2x 4- a 3 x + . . . .

Procediendo como de costumbre, obtenemos el sistema de ecua-ciones respecto a los coeficientes:

1 1 1 2 a 2 - a 0 = 0 , 6 o 3 - f l i - - a 0 = 0 , 1 2 a 4 - - a 2 - - a 0 = 0 , . . . ,

a partir del cual, haciendo ao = 1, ai = 0, obtenemos 1 1 5

a2 = 2 ' 0,3 12' 0,4 - 72' '

Por consiguiente, la primera solución particular es

X X 5 4 tíi(ac) = H 1 b — « + . . . • y ' 2 12 72

Para obtener la segunda solución particular tomamos a0 = 0, ai = 1. Entonces, partiendo del mismo sistema, hallamos

1 1

a2 = 0 , a3 = a4 = — , . . . ; 6 24

consecuentemente,

x 3 x 4

y2(x) = x + — + — + . . .

El radio de convergencia de las series de potencias de las soluciones yi(x) e y2(x) es igual a la unidad. Para obtener las soluciones particulares V® € ( - o o , 1), realizamos el cambio de variable x = í - x 0 (^o > 0)/ con lo que la ecuación inicial adopta la forma

(t - x0)y" + j l n ( l + x 0 - í) = 0,

o bien

(t ~ %o)y" + Jí ln (1 -f Xo) + í/ ln [ 1 - - J — ) = 0 . V Í + Xo/

Sustituyendo en la última ecuación los desarrollos

V 1 + X O J F ^ N ( \ + X 0 R '

V(t) = 60 + M + b2tz + ht3 + ...

e igualando los coeficientes de las potencias iguales de t, obtene-mos

2&2X0 - 60 ln (1 + Xo) = 0,

í>o 2 h - 663X0 + 61 ln (1 + ®o) - 7 - — = 0 ,

1 + (1)

- 1264X0 + 663 + 62ln( l + x 0 ) - = 0, 1 + x 0 2(1 + x 0 )

'dp lá'Siíecuacionea diferenciales

HHKm.^ Sean i>o = 1, &i = 0. Entonces, partiendo del sistema anterior hallamos sucesivamente

í»2 = — » 2x0

1 f]n(l + x0) 1 \ í»3 = 7 — — — , x 0 ¿ 0 ,

b4 = 12«0\

/ln( l + x0) l n 2 ( l + x 0 )

x 0 ( l + ®o) 2a; o 2 ( l + x 0 ) V '

Sean ahora b0 = 0, b¡ — 1. En este caso, del sistema (1) obtenemos

ln (1 4- x 0 ) h = 0, 63 6x0

J _ / l n ( l + x 0 ) 1

12x0

x 0 0,

x 0 1 + ®0 x0 0.

Nótese que mediante el paso al límite cuando x0 —• +0, a partir de las expresiones de blr i — 1 ,2 ,3 ,4 , se pueden obtener los valores correspondientes de a¡, i — 1 ,2 ,3 ,4 , calculados para x0 = 0.

Finalmente, para xo > 0 podemos escribir las soluciones particulares en la forma

, x „ (x+xo)2 l n ( l + x 0 ) ( x + x 0 ) 3 / l n ( l + x 0 ) 1 \ Í/I(X) = 1H —H 1 ) +

2 x 0 6x0 V ®o 1 + x 0 J

| (x+xp)4 / l n ( l + x 0 ) 1 _ ln 2 ( l+x 0 )

12x0 V x\ x 0 ( l + x 0 )

~ 2 ( l + x 0 ) 2 ) + " "

, , , , ( z + a 0 ) 3 ln(l+Xo) , y2{x)=x+x0 + +

2x0

Xo

+ (x+x 0 ) 4 / l n ( l + x 0 ) 1 \

12x0 \ x 0 1+Xo/

4 Solución. Dado que p0(x)~1^0 y las funciones pi=pi(x)—~x, Pi — Pi(x) — x — 2, p3 — p${x) = 1 son analíticas V x G ( - 0 0 , +00), el sistema fundamental está formado por funciones analíticas en todo el eje numérico. Por consiguiente, las series de potencias correspondientes convergen para todo x. Sustituyendo en la ecua-

00 ción inicial la serie ^ ^ a„xn, e igualando los coeficientes de

n=0 1C f f . . . . . obtenemos

603 - 2a-¡ + ao = 0, {n + 3)(n + 2)a, i+3 - (n + 2)an+a + a„ = 0, n = 1,2,... .

Sean üq = 1, a\ = a2 = 0. Entonces, de las últimas ecuaciones hallamos

fl3 = 4 ' a4 = 0' a5 = ~b fl6 = ¿o Por consiguiente,

x3 x5 x6 Í / I ( x ) = l - — - — + — + .

Sean, ahora, a0 = a2 = 0, a\ — 1. Partiendo de las mismas ecuaciones obtenemos

1 1 1 tt3~3' _ 1 2 ' " " " Í S

Por tanto, la segunda solución particular es 3 4 5 X X X

y2(x) = x H 1 1-. • • • y ; 3 1 2 1 5

Finalmente, haciendo a0 = ü\ = 0, a2 — 1, hallamos 1 1

a3 = 0, a 4 = ° 5 = ~ 2 o '

Así pues,

</3<x) = X + — - — . •

• •»; 11-I". MWMMM#MMMMZI


r 1

Para cada una de las ecuaciones siguientes, hallar aquellas so-luciones que se pueden expresar medíante series de potencias (o series de potencias generalizadas):

26. xy 2 o' ty =

Solución. En el punto x = 0 la función po = Po(x) = x tiene un cero de primer orden, la función p\ = p\{x) — 2 no tiene ceros, y la función p2 = Vi(x) = x tiene un cero de primer orden. Por tanto, según el p. 2.1, para la ecuación dada existe al menos una solución no trivial y{x) en forma de la suma de una serie de potencias generalizada:

OO y(x) = xr^anxn.

n=a Sustituyendo la serie en la ecuación inicial e igualando los coefi-cientes de X F XF I . > F obtenemos

a0r(r + 1) = O, a^r + l)(r + 2) = O, "n-2 (1) an — -.

(•n + r){n + r + 1) Es evidente que la solución no trivial existe sólo si se cumple la condición a§ + aj ^ 0. Sean ao = 1, ai = 0. Entonces, de la primera ecuación de (1) obtenemos que r(r + 1) = 0. Tomando r = 0, de la tercera ecuación de (1) hallamos sucesivamente

o-i a3 = 0, 2 - 3 '

« 5 = 0 , a6 = - —

por consiguiente, i2 i4

= . . . x

Haciendo ahora r = -1 (ao = 1, ai 1

a4 = 2 • 3 • 4 • 5 '

1 6!'

sen x x # 0; í/i(0) = 1.

a2 = a3 = 0,

0), a partir de (1) obtenemos 1

a 4 = - , . . . .

De esta manera, la segunda solución particular es 1 / x2 x4 \ cosx

yi(x) = - | i - — + — x 2! 4! x

x 0.

Sean ao = O, ai = 1. Entonces, de la segunda ecuación de (1) tenemos que (r + 1 )(r + 2) = 0. Tomando, por ejemplo, r = - 1 , a partir de la tercera ecuación de (1) hallamos

1 1 a2 = 0, = «4 = 0, a5 = —, . . . .

Consecuentemente, 1 / x3 x5 \ sena;

Suponiendo que r — - 2 , de una manera análoga obtenemos 1 / x3 x3 \ eos

x = — ( ® - — + — - = , í 5 ¿ 0 . x2 \ 2! 4! J x

Por tanto, para x 0 las dos soluciones particulares linealmente independientes tienen la forma

sen x eos x t/i(x) = , yz{x) = . •

X X

Nitiá. Pudiéramos haber analizado solamente el caso afl = 0,ax = 1.

2 7 . 9j¿y" - {j»2 « 2)y =x 0. „

•4 Solución. Sustituyendo en la ecuación inicial la serie oo

y{x) = E +2

n = 0 e igualando los coeficientes que multiplican las potencias iguales de x, obtenemos

a«(9(n + r)(íi + r - l ) + 2 ) - a „ _ 2 = 0, n = 2 , 3 , . . . , (1) a0(9r2 - 9r + 2) = 0, ai(9r2 + 9r + 2) = 0. (2)

Sean do = 1/ ®i = 0. Entonces, de la ecuación (1) se deduce que 1 2 1

í"i = r2 — - . Sustituyendo en (2) primero r = y después 3 3 3 • 2

r — - , para cada uno de estos casos hallamos

1 rn _ m 1 a(2} = ~ , = 0, « ? = 5 - 6 J 4 5- 6 - 1 1 -12 '

1 í2\ „ m 1 a(2) - — a{2) - 0 o(2) a2 — , a3 — u, a4

6 - 7 ' 3 ' 4 6- 7 - 1 2 -13 '

Por consiguiente,

( * X

y2{x) = x

5 - 6 5 - 6 - 1 1 12 a;

+ ..

7 + 6 • 7 • 12 • 13

Nota. Analizando el caso ao = a\ — llegamos al mismo resultado.

28. a?2/ + 2x¿/' - ( ¡ r + 2x -r 2)y « 0.

(1)

Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, tenemos

(r2 + r - 2)a0 = 0, r(r + 3)aj - 2a0 = 0,

((n + r)(n + r + 1 ) - 2) a„ - on_2 - 2a„_i = 0,

n = 2 , 3 , . . . .

Por cuanto estamos buscando las soluciones no triviales, entonces al + a2 0; por consiguiente, el determinante de las dos primeras ecuaciones homogéneas de (1) debe ser igual a cero:

(r - l )r (r + 2)(r + 3) = 0.

De aquí hallamos las variantes posibles:

í*i = 1, T2 - 0, r3 = - 2 , r4 = - 3 . Sean r = 1, a0 = 1. Entonces de la segunda ecuación de (1)

1 obtenemos a* = - , y de la tercera hallamos sucesivamente

1 a2 a4 = 1 _ _

5 ' a 3 ~ 20' 280' Escribamos ahora la primera solución particular:

X2 x3 x4 3x5

w<*> = * + T + 7 + 2O + 25O + - -

Haciendo r = - 2 , a0 — 1, análogamente obtenemos a¡ = - 1 , 1

a2 — -. Dado que al intentar hallar a3 llegamos a la indetermi-

nación actuaremos de la manera siguiente. Considerando que

r - 2 , de las ecuaciones (1) hallamos 2

ai = + 3 r '

a2 r2 + 3r + 4

a3 =

(r2 + 3r)(r2 + 5r + 4) '

4(r + 2) (r2 + 3r)(r2 + 5r + 4)(r + 5)'

De aquí, haciendo r —* - 2 , obtenemos 1

ai = -1, a 2 = 2' «3 = 0.

Los coeficientes a4, o 5 , . . . se hallan recurriendo al método conoci-do. Así pues, la segunda solución particular es

1 l l ® 2 ® 3 7®4

El análisis de los casos r = 0, r = - 3 conduce a los mismos resultados. •

2 9 . xy +y — xy

OO Solución. Luego de sustituir la serie ^T^ anxn+T en la ecuación

n=0 inicial e igualar los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos

a0i"2 = 0, a i ( l + r ) 2 = 0, o„ = a "~ 2 , 2 , n = 2 , 3 , . . . . (ra + r)¿

Sea r = 0. Entonces ai = 0, y el coeficiente OQ se puede igualar a la unidad. De la tercera expresión hallamos sucesivamente

1 1 a2 — - a3 = 0, a4 = 4 ' 4 — 22 • 4 2 '

Por consiguiente,

X2 x4 x6

,a7ij|ucí^és délas ecuaciones diferenciales

Hallar las soluciones generales de las ecuaciones:

Solución. Busquemos la solución particular en la forma 00

anxlí] r. Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial ob-

tenemos una identidad respecto a a;, a partir de la cual hallamos

ao(r +1) = O, a„ = a„-1

n e N . 1 + (n + r)2'

Por cuanto ao ^ O (si ao = O se obtiene una solución trivial), de la primera ecuación se deduce que r = ±i. Sean r — i, ao — 1; entonces de la segunda ecuación obtenemos sucesivamente

1 ai =

1 + 2»'

«2 (l + 2»)(l + ¿)' 1

a3 = 12( l+2»)( l + *)(3 + 2>")

De este modo, las soluciones particulares son

V 1 + 2» + x

+ 2» 4(1 + 2*)(1 + i) ,3 X

12(1 + 2»)(1 + »)(3 + 2») ,2

0*4 X X

- + 1 - 2 i 4(1 - 2i)(l - i)

+

+ x + 4 12(1 - 2»)(1 - »)(3 - 2i)

y la solución general

y — C\yiix) + C2y2(x) — C\{u + iv) + C2{u - iv) — au + bv,

donde a = C\ + C2, b ~ i(Ci - C2). Utilizando las fórmulas de Euler, las funciones u,v se obtienen a partir de la expresión

de y\ (x). Tenemos: t/i(») = u(x) + iv(x) —

£C ¿i? 3*C = (eos (ln X) + i sen(in x)) I 1 + - _ - - — + . . .

( 2x 3x2 x3 \\

- + v t - « + s + - ; J =

/ x x2 3x3 \ , v

= ( 1 + ? - « - i 0 4 5 + " J c o s ( l n x ) +

2x 3x2

T + 40" " x^ 2x 3x2

T + 40" " 520

¡H" x2 ¡H" 40

2x 3x2

y + ~40 " X 3

520

+ T - + — - — + - . . sen(ln x) +

+ i ( ( ! + " — - + • • sén(ln x) -1040

+ . . . ^ eos (ln x) ] ;

por consiguiente, u(x) — a(x) eos (ln x) + ¡3(x) sen(ln x), v{x) = a(x) sen(ln x) - fl{x) eos (ln x),

íE 3! 33? a(x) = í + (-..., • 5 40 1040

. 2 3a;2 a;3 8{x) = - x -j- f - . . . . • t X 5 40 520

31. x-y [ V Ity

Solución. Busquemos la solución particular en la forma 00

y (ar) = E a«{x - xo)".

Empleando el mismo método del ej. 15, para los coeficientes an

obtendremos tt - (1 ~ 3XQ)Q,I - ap

2*2>Q

a3 = g^í ( « i ( l - 8x0 + ll®o) - aod ~ 5x 0)) , . . . .

Los coeficientes ao, a j son arbitrarios (xq ^ 0). Si xy ~ 0, en-tonces buscamos la solución en forma de una serie de potencias generalizada

y{x) = (oo 4- ffljx + a2x2 -I-.. .)x". Luego de sustituir la serie en la ecuación inicial e igualar los coeficientes de las potencias iguales de x, hallamos

aao = 0,

(n+a)(n + a + 2) + l 0) a„+1 = — an (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

a + n + 1 Estamos buscando una solución no trivial; por tanto, debemos tomar a = 0- Sea Oo = 1. Entonces, a partir de (1) determinamos sucesivamente

ai = 1, a2 = 21, a3 — 3!, . . . , a„ = n!, . . . . De este modo,

y(x) = 1 + 1!® + 2!x2 + . . . + nlx" + ... . Se puede comprobar que esta serie converge sólo en el punto x = 0. •

Hallar las soluciones periódicas de las ecuaciones de los problemas siguientes en forma de series trigonométricas:

3 2 . í / - 3 y ^ f ( x ) , /(3!)=tsrl para /( je+2«)s/( j-) .

-4 Solución. Por cuanto la función / es continua para |x| ^ tt y diferenciable para 0 < |x| < ir, /(tt) — /(-tt) , ella se puede desarrollar en una serie trigonométrica de Fourier que converge uniformemente a dicha función en todo punto x 6 [ - t t , tt]:

ít 4 ^ v eos (2n - l)x 2 ~ tt (2n - l)2

En virtud de la igualdad f{x + 2z) = f{x) V x € ( - o o , +00), A 00 <V 7T 4 cosA„x

Teniendo en cuenta que el período de la función es igual a 2tt, buscamos la solución en forma de una función y de período 2ir:

00 a, o r — v

y(x) = — 4- > ak eos kx 4- bk sen kx. Z *=1

Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial e igualando los coeficientes que multiplican las funciones x sen kx, x 1-+ eos kx, obtenemos

* _ 1 « o - " - , « 2 W - í ( 2 i _ 1 ) 2 ( i 2

= h = o, ke N; por consiguiente,

ít 1 ^ ^ eos (2fe - l)x

5 i'i , 2 sen J óó. y - y - y --

5 - 4 eos a:

Solución. El período de la función , 2 s e n »

x f(x) 5 - 4 eos x

es igual a 2?r; por tanto, buscaremos la solución periódica particular de la ecuación en la forma

00 V ' >

y(x) = — 4- > Cfc eos fea; + sen fe®.

Sustituyendo esta serie en la ecuación inicial y teniendo en cuenta que la función / es impar, obtenemos

ao = 0, ak 4- h(k3 + fe) = 0, 00 _

E l sen x

ck sen kx = -— , (1) 5 - 4 eos x K=1

ck - (fe3 4- k)ak - bkl fce N.

f|j$lQ^es dé las ecuaciones diferenciales

Multipliquemos la tercera expresión de (1) por (5 - 4 eos x), y escribámosla en la forma

oo oo oo

5 Ck sen kx - 2 ^ ^ ck-1 sen kx — 2 ^ ^ j sen kx = 2 sen x. fc=l k-2 A—0

Igualando los coeficientes de las funciones iguales, hallamos

5cj - 2c2 = 2, 5c¡t - 2cfc_! - lcM = 0 , k = 2,3,... . (2)

De la segunda ecuación de (2) se deduce que

ck = a2 + (3)

donde a,/3 son constantes arbitrarias. De la primera ecuación de (2) obtenemos que a + (3 — 1. Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (3), hallamos

« 3 L M « 2 * + { l - a ) 2 ttfc = (fc + fe)

-k h =

a2k + {1 - a)2 1 + {fc3 + kf '

Dado que ak -+ 0, bk —* 0, cuando k —• +oo, en las últimas expresiones debemos tomar a = 0. De esta manera,

O-k = k3 + k

2*(1 + (fe3 + A;)2)' h = -

__ (fe3 + fe) eos kx - sen kx 2k ( l + (A;3 -f k)2)

2fe(l + (P + k)2)' •

„ , si'n 2kx

I » , n cos

• • • ¡ • • • • • i Solución. Los segundos miembros de las ecuaciones son funciones periódicas de período tt; por tanto, buscaremos las soluciones

periódicas y{x), z(x) de igual período en la forma 00

®0 \—\ y(x) = — 4- ak eos 2kx + bk sen 2kx,

k=i 00 Cq v— z(x) = — + ck eos 2kx + dk sen 2kx.

2 ¡fc=l Sustituyendo estas series ert las ecuaciones dadas e igualando los coeficientes de los términos semejantes, obtenemos

(4k3 + 3)ak + 5ck = O, - ( 4 * 2 + 3)bk - 5dk = k¿

(8 - 4k2)ck + 6ak = (8 - 4k2)dk + 6bk = 0, a0 = Co = O,

de donde hallamos

5 _ 4 - 2 k2

a k ~ 2fc2(8fc4 - 10ft2 + 3) ' k ~ k2(Sk4 - 10fc2 + 3) ' 3 + 4fc2 _ 3

Ck ~ ~ 2k2{8ki - 10fe2 4- 3)'' d k ~ ~ fe2(8fc4 - lOfc2 + 3) ' entonces,

A 5 eos 2 + 4(2 - k2) sen 2kx

h í ' 2Jfc2(8¿4 - lOfc2 + 3)

- A (3 4- 4k 2 ) eos 2kx + 6 sen 2kx z(x> - ~ 2k2(8kA - 10k2 + 3) ' *

En los problemas 35-38 hallar dos o tres términos del desa-rrollo de la solución en potencias del parámetro pequeño fi.

3 5 . y' ~ 4fiX - jí2, #(1) =51

Solución. Como el segundo miembro de la ecuación es una función analítica respecto a y y ¡i, entonces, conforme al p. 2.2, buscamos la solución en la forma

y(x, fi) = y0(x) + ftyi(x) 4- fJ>2yi(x) + ... .

('Soí-dciortes1 de las ecuaciones diferenciales i" i

Sustituyendo la serie en la ecuación inicial e igualando los coefi-cientes que multiplican las potencias iguales de fj,, obtenemos

y'o - -vi, y[=kx-2yüy\> y'i = -y\ -lym, • • • • (i) Utilizando la condición inicial, hallamos

3,o(l) = l, Jfi(l) = 0, y2( 1) = 0, . . . . (2) Ahora, teniendo presente las condiciones iniciales (2), resolvemos sucesivamente el sistema recurrente (1):

1 2 1 yofr) = -/ yi{%) = ¡b - - r ,

X x£

X5 2x 1 32

Por tanto, la solución del problema es

, 1 / 2 1 \ 2Í X5 2x 32 1 \

|'36. xii' - /íj" - \n¡i Í/Í 1 1 — 1. 4 Solución. Considerando la analiticidad del segundo miembro,

visto como una función de variables y, fi {y > 0), y empleando el método del parámetro pequeño, buscamos la solución del problema en la forma

y(x, ¡i) = y0(x) + pyx{x) + fi2yz{x) + ... . (1) Teniendo en cuenta las expresiones

dy{x, ti) y(x, 0) = yo(x)> —~— =yi(x)f.

d2y{x, ¡i) 8nz

dfi

= 2 y2{x),

0=0

n=o

y'xix, o) = y[{x), -Q^y'Ax, /O = y[{x), jt=0

9 2 , 2 y'2(x), n=0

y diferenciando la ecuación inicial respecto al parámetro ¡t, hallamos

I , > 2 , Vi I VI Vi xy0 = ln yQl xyl = x H , xy2 = . . . . (2) í/o Vo 2 y*

Recurriendo a la condición inicial y(l) = 1, a partir de la ex-presión (1) obtenemos las condiciones iniciales para las funciones yir i = ÜToo:

jfe( 1) = 1, jfi(l) = ife(l) = . . . = 0. (3)

Integrando sucesivamente las ecuaciones (2) y utilizando las con-diciones (3), obtenemos

x yo = 1/ 2/1 = X - x, 2/2 = 7 ( 1 - X) , 6

(4)

Finalmente, sustituyendo (4) en (1), llegamos a la solución del problema planteado:

y(x,n)~l + ti(x2-x) + fi2~(l-xf + ... . • ó

3 7 . ¡iy jHil - f1

I Solución. Al igual que en el ejemplo anterior,

donde

y{x, p) = y0(x) + fiy^x) + p y2(x) + ...,

dy(x, ¡i) y0(x) = y(x,Q), yi(x) =

dfi fi=o

1 d2y

¡i=0 d 1

y'o(x) - y'Ax, 0), y[(x) - —yx{x, n)\ fy U o

y'iix) 1 eP 2 fJii 2 Vx

/i=0

Utilizando estas expresiones, a partir de la ecuación inicial hallamos y'0 = e^x, y[ = e»°-*y1+yaí

y'2 = e«°-xy2 + yi + \e«°~xyl ..., (1)

y las condiciones iniciales tienen la forma 3/o(0) = 3/2(0) = . . . = 0, ^(0) = - 1 . (2)

De la primera ecuación de (1) se deduce que e~ya = e~x -f Ci. En virtud de la primera condición inicial de (2) tenemos que Cx = 0, por tanto, yo = x. De la segunda ecuación de (1) no es difícil hallar 2/1 = C2ex - x ~ 1. La constante C2 — 0 se determina mediante la segunda condición de (2). Por consiguiente, y\ = —x — 1. De un modo análogo resolvemos el problema , +1)2

yi = yi - x -1 + — — , 2/2(0) = o. Finalmente,

2

y{x, fi) = x - fi(x + 1) + ^-(e* - xz - 2x - 1) + ... . •

J .< r ¡iis1 u ) j-fi - 1 \ # — y - fi(¿2 + y2), 3/(0) = /a3

4 Solución. Sustituyendo en las ecuaciones iniciales las series x(t, fi) = X0{t) + flXi(t) + fi2X2(t) + ..., v(t, f) = Sto(í) + + A2W + • • • U

e igualando los coeficientes que multiplican las potencias iguales de ¡i, obtenemos

£0 = xQ, ®o(0) = 1; ±1-x1+Xq- yl, Xi(0) = -1; x2 = x2 + 2x0x! - 2y0ylf x2(0) - 0;

yo = í/ü/ 3/o(0) = 0; yx = yx - x\ - y\, (0) — 0; 3/2 = 3/2- 2aj0®i - 2j/oSíi, 3/2(0) = 1.

De aquí, integrando hallamos sucesivamente

x0 = ef, 3/o = 0;

ají = e2í - 2e', = e ¡ - e2í;

a?2 = e3í - 4e2t + 3e, y2 = ie2t - e3í - 2e\

1'fcM MW'C1 í ' 1 ' : «i

Así pues, las series (1) se pueden escribir en la forma

x = é + ¡i(e2i ~ 2el) + ti2(eM - 4e2í + 3e () + . . . ,

y — f i f é — e2 í) + fi2(ie2t — e3í — 2e ¡) + . . . . •

Mediante el método del parámetro pequeño, hallar aproxima-damente las soluciones periódicas de período igual al período del segundo miembro de la ecuación dada {problemas 39-42):

M Solución. Conforme al método del parámetro pequeño, buscare-mos la solución periódica en la forma

x(t, ¡i) = x0(i) + ¡iXi(t) + /x x2(t) + .. (1)

donde x¡ (i — 0, oo) son funciones de período 2ir. Sustituyendo el desarrollo (1) en la ecuación inicial e igualando los coeficientes de las potencias iguales de fi, obtenemos

x0+3xo = 2 sen í, x 2 +3xi = ¿1, x 2 +3x 2 — 2x0xi, . . . . (2) La solución general de la primera ecuación es

x0(t) = Cjo sen V31 + C2o eos V3t + sen t. Dado que se pide hallar la solución de período 2-rr, en esta igualdad debemos tomar Ci = C2 = 0. Entonces,

x0(í) = senf. Tomando en consideración esta expresión, de la segunda ecuación del sistema (2) hallamos

a?i(í) = Cu sen V31 + C21 cosV3í + ~ - ^ eos 21. 6 2

De aquí, teniendo en cuenta que el período de la función x\ debe ser igual a 2tt, obtenemos

xi(t) 1 1 - - - eos 21. 6 2

De la misma manera, partiendo de la tercera ecuación del siste-ma (2) obtenemos

1 1 x2{t) — — - sen 3t -f - sen t.

6 2

§§lj|lAfl;«Citf dones diferenciales

Sustituyendo a¡0/ ®2/ • • • en (1), llegamos a la solución buscada:

/1 1 x(t, fi) = sen t 4- I g - - eos 2t ) 4-

+ (i { - - sen 3t 4- - sen t J + ... . ^

V d i oí í

Solución. Sustituyendo la serie

x(t, fl) = XO(t) + ¡J,XI(t) + fl2X2(t) + ... ,

en la ecuación dada, de manera usual obtenemos el sistema de ecuaciones

x0 4- 3xq 4- xq = 0, Xi 4- 3x\ 4- S a ^ i = 2 eos t,

it2 + 3®2 + 3x0XI + 3X\X2 = 0, «3 + 3x¡ 4- x? + 3«o»3 = 0 , . . . ,

de donde hallamos sucesivamente Jas soluciones de período 2%:

x0{t) = 0, Xi(í) = eos £, x2(t) - 0,

3 1 xM) = — - cosí 4- — cos3í.

v ' 8 24 Por consiguiente,

M 3 / ! x(í , fi) = ¡i eos t + — í - eos 3t — 3 eos t ) + „

Nota. Las soluciones no triviales de la ecuación 4- 4 = 0 se expresan mediante funciones elípticas, las cuales no poseen período 2tt.

4 1 . ai + sen x sen 2f.

Solución. Como en el ejemplo anterior, sustituimos en la ecuación inicial la serie de potencias

x(p, t) = x0{t) + fixi(t) 4- H2x2(t) + ...

yíí'-Siíi *

''i , !'

y obtenemos una igualdad respecto al parámetro ft, a partir de la cual se llega al sistema de ecuaciones

Xq + sen X(¡ = 0, + xi eos a;0 — sen 21,

&2 + x2 eos x0 - ™ sen x0 = 0, (1)

#3 + M) eos s 0 — xyXi sen xq — 0, . . . .

La primera ecuación de (1) proporciona las soluciones de período tt:

x0k = hn, k € Z. De la segunda ecuación obtenemos

_ sen 21 = 7 TTifc 7' ( - I ) * - 4

mientras que de la tercera hallamos x2-0.

De la cuarta ecuación, la cual se puede escribir en la forma

. , , ( - 1 ) " sen3 21 x3 + (-l) x3= — ( ( _ 1 ) t _ 4 ) 3 ,

se deduce la solución de período ir

x ( se: X 3 k 2 4 ( ( - l ) f c - 4 ) 3 V 3 6 -

senóí 4 + (~l)fc

{ „ 1 ) f c sen2í >

De esta manera,

4 + <- ! )* / sen 6t \ 3 6 - ( - ! ) * • ~

sen 21 y . . .

Nota. Para obtener el sistema (1) es cómodo emplear el desarrollo sen(®0 + u) — sen ¡r0 eos u + sen u eos Xo,

donde u — fixi + fizx2 + . . . , y también 1 1 4 eos u = 1 — — u" -I—ú ' — . . . , sen u = u b . . . . 2! 4! 3!

. T^msmm

$^étód<58-ideaproximación de las solucionen de las «viianones diferenciales

|;|0af)ítLÍÍb-

líti rsto caso so obtiene seti(X(, 4- m) = A son ;r(i I li cok

2 2 3 fí X | ^ 2 A — 1 (t ^¡xi + ..., B = fiX[ + (i x2 ... x) 4 2 6

';-.. 4 2 . £ 4- x — seri3í - sen 2t 4- /«s2.

Solución. Representado la solución como la serie x = x0 + pix\ + . . r e s p e c t o a las funciones xq, X\ . . . , obtenemos el sistema de ecuaciones

¿o + x<) — sen 31 - sen 21, 2 , fy (1)

X\+X\=XÍ)R XI + X2 = 2X0®!/ •-• •

De la primera ecuación del sistema (1) tenemos 1 1

a:,, = A eos t + B sen t 4- - sen 21 sen 3í, . . . , (2) 3 8

donde A, B son las constantes de integración. Estas constantes se determinarán partiendo de la condición de que en el segundo miembro de la segunda ecuación del sistema (1) no hayan términos resonantes. En el caso dado, los términos resonantes son las funciones t i-* sen t, eos t, por lo que en el segundo miembro

1 i y - sen 3í | ~ 8 } A eos t + B sen t + - sen 21 sen 3í

3 8

A2 + B2 A2 - B2 1 eos 4í 1 = ~ 2 ~ + c o s 2 Í + í i ~ " I T + m

eos 61 A !_ ab s e n 21 (sen 31 + sen t) —

128 3 A B

(sen 41 4- sen 21) (eos 21 - eos 4í) -8 8 1 B

(eos t - eos 5í) H (eos t - eos 3í). 24 3

1 se debe tomar A = 0, B — Entonces, de (2) obtenemos

8

a;0(í) = ^(sen t - sen 31) + - sen 21. 8 3

De un modo análogo se hallan las funciones X2, • • • • •

Métodos analíticos de aproximación

" " ' § 2

Con ayuda del método del parámetro pequeño, hallar aproxi-madamente las soluciones periódicas de las ecuaciones dadas a continuación:

4 3 . x -\ x — ft,(x - ár1).

Solución. El segundo miembro no depende explícitamente de £; por tanto, conforme al p. 2.2, primero realizamos el cambio de variable

T = í ( l + &2/A2 + ..•)/ donde £>,, i 6 N, son las constantes por determinar. En este caso obtenemos la ecuación d2x i \1

— ( 1 + hn + b2fi + . . . J + x =

~ (ID (i) Busquemos la solución aproximada de la ecuación (1) en la forma

X(T, FI) = a?o(R) + JTFXITR) + / I 2 X 2 ( T ) + . . . . ( 2 )

Luego de sustituir (2) en (1) e igualar los coeficientes de las potencias iguales de fi, obtenemos

DJO + ^O-0, XX +XI =±0-XL~2BI XQ,

x2+x2 — bixQ -261 Sj +±1 -36|áro -3x%±i - 62x0 - 2b2xQ,... . (3)

La solución de la primera ecuación es X0(T) — A eos (r -f ip) (A y ¡p son constantes arbitrarias). Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación de (3), hallamos £ 1 + x 1 = - J4sen(r+y)(l - .A 2sen 2 (T+i l£>))+2b 1 J4cos(T+y>)=

/3 , \ A3

= [ -A-Aj$en(T+<p)-— sen3(r+^)+2&, Acos(r+^)- (4)

Dado que estamos buscando soluciones periódicas no triviales, entonces en (4) debemos tomar

3 3 - A - A = 0, 2bíA = 0J 4

2 de donde se deduce que b¡ = 0, A = —¡=; entonces, a partir de la

v 3 ecuación (4) encontramos

1 XJCT) = Ai eos ( r + ipi) + sen 3 ( r + <p),

donde Ai y <p-¡ son constantes. Teniendo en cuenta los resultados anteriores, la tercera ecuación del sistema (3) adopta la forma

2

= - (1 - 4sena(r+<p)) sen(r+<pi)+

+ ™ 62 eos ( r + v ) + - (1 - 4sen2 (r+y>)) cos3(r+<p)= v 3 4 v 3

= A I (sen (T+<pi)+sen(T - ) ) •

De aquí vemos que la condición de ausencia de términos resonantes 1

se cumple si A\ — 0, b2 = - 77 • Así pues, 16 1

»I(T) = sen 3(r +

por consiguiente,

n) = eos (r + v) + sen 3(r + y>) +

14. J: - T - r

Solución, Considerando que x es pequeño, tomamos en calidad del parámetro pequeño la amplitud de las oscilaciones que cons-tituyen la solución de la ecuación x + x = 0. Suponiendo que a?|í=0 = /i (// es el parámetro pequeño), buscamos la solución periódica de la ecuación inicial en la forma

x = /X®0(R) + (I2X1(T) + / Í 3 X 2 ( T ) + . . . , ( ! )

donde r = t(l -f Í>i/t + b2p2 + . . . ) . Sustituyendo estos desarrollos en la ecuación dada e igualando los coeficientes de las potencias iguales de ¿t, obtenemos

£0 + X0 — 0/

1 1 + — - + - Cós 2r + 2bi eos r , (2)

x2 + x2 = 2«i eos r + 2b2 eos r , . . . . De la primera ecuación y de la condición inicial, hallamos

XQ(T) — eos T. Por cuanto la función x\ debe ser periódica, en el segundo miembro de la segunda ecuación del sistema (2) se debe considerar ¿>i = 0, Entonces, partiendo de esa ecuación obtenemos

1 1 si (r) = A eos r + - — eos 2r.

2 6 1

Teniendo en cuenta la condición xj{0) = 0, hallamos A = - - ; por tanto,

^ 1 1 1 -XAT) = - - ~ eos T - - eos 2r .

2 3 6 Luego de sustituir ia expresión de X\(r) en el segundo miembro de la tercera ecuación del sistema (2), y tomando en consideración que ésta no debe contener términos resonantes, obtenemos

5 A 1 h = ~ ~ , x2 = A - — cos2r + — cos3r.

Como ®2(0) = 0, entonces A = Consiguientemente, X 2 = - ¿ + ¿ C O S 2 r + ¿ C O S 3 r -

Así pues,

2Í1 1 1 „ \ x = fi eos r + fi ( eos r - - eos 2r } + \2 3 6 /

sí 1 1 ' „ 1 „ \

Nota. El mismo resultado se puede conseguir si repetimos los cálculos anteriores para la ecuación # + x = fix1, y tomamos en la solución fi = 1.

§ 3. Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales

3.1. Método de Euler de fe-ésimo orden Para resolver numéricamente el problema diferencial

y = f(x, y), y{x0) = y0, ®0 ^ ® O, (1)

donde las funciones

y = y(x) = (y1 (x), y2(x),... y,»(x))r

f{v,y) ~ y\,yi,---,y™),hix,yuyz,-.:.,ym),• • •) son diferenciables con continuidad un número suficiente de veces, el segmento de integración [xfí/ 6] se divide en partes iguales de

b — XQ longitud h = , y a partir del valor de j/(íc0 + Ih) = y¡

se calcula aproximadamente el valor de y(xo -I- (í + 1 )h) — y¡+\ mediante la fórmula

h2 hk yi+i = y¡ + hy¡ + ^y" + ... + (2)

donde

y¡ = }{m> y¡)>

d yi dx (ffr.y)) x—x¡

y=y>

df(xi,yi) df(xhyt) ^ ~—f(xh yi),

dy

x¡ •

( dyi

dfm V dyi

xü + Ih,

dx dfi dyi dfm" dyi

l = 0 , 1 , 2 , . . . ,n- 1.

dy

dVm

9fm dym /

El orden del error en el paso de integración [S¡,ÍC[+II es 0(hk+l).

tet

3.2. Método de Runge—Kutta de cuarto orden Primero se determinan los números

ki\ = f i (®¡, y\l, V2h • • • > Vmi),

( h hkn hk21 hkn\ &Í2 = fi + Vil + -y-, y2¡ + •—-, • • • , Vml + — I ,

(h hk\2 hk22 hk¡2 \ + 2 ' flí + " j " ' Ka + — ' • • • ' Vml + ) '

ka = /» (®Í + K 2/IÍ + hk13/ y2t + hk23,..., ym¡ + hk¡3). Luego se hallan los valores aproximados yi,i+\ por medio de la fórmula

h Viin = Vu + — (ftfi + lki2 4- lki3 + ki4), i~l,m. (4)

6 El error en el paso de integración [x¡, ¡E/+¡] es del orden de 0(h5).

3.3. Método de Stormer El valor aproximado yij+i del problema (1) se halla mediante una de las fórmulas

1 , Vi,i+1 = Va + qu + ~Ag^i-i, (5)

1 5 Vi.i+1 = ya + qu + + —&2qu-2, (6)

1 5 3 yn+1 = VÍ 1 + qu + 2^qiJt~1 + í2'^2gi'l~2 + § W

donde i = l,n yü - y¡(xi), x¡ =x0 + lh, qu = y'i{xi)h

Aq-ij-i - qu - qu-u A29¿,¡-2 = &<H,¡ -1 - Agi;¡_2,

El error de las fórmulas (5), (6), (7) en una iteración es 0(h3), 0(/i4), 0(h5), respectivamente. Para comenzar a integrar utilizando las fórmulas (5)-(7), es necesario conocer algunos de los primeros valores de yi(x¡), los cuales se pueden hallar utilizando el método de Euler, el de Runge—Kutta o el de las series de potencias.

Utilizando el método de Euler de fe-ésimo orden, hallar las soluciones aproximadas de los siguientes problemas diferen-ciales en el segmento señalado:

HsRgi' x - y, n ' x < i, i. - Í/ihj - iv* IHffiglgfe&Sttá'tr-Solucíón. Sean k = 2, h — 0,2. Como el error en cada paso es del orden 0{h3) ss 0,008, realizaremos los cálculos mediante la fórmula (2), p. 3.1, con tres cifras significativas. Tenemos:

h2 Vi+1 = Vi +hy¡ + ~y" = yi +hf(x¡, yt} +

, h2 f df(x¡,yi) df(xlryt) \

= t/i + fe(a:¡+y2)+y (l+2í/¡(«i + y¡2)), ¿ = 0,1,2,3,4,

o bien yi+1 = y¡ + 0,2(0,21 + y¡) + 0,02(1 + 0,4 lyt + 2 y f ) .

Tomando sucesivamente l = 0,1 . . . , y teniendo en cuenta la condición inicial, hallamos

Sfi = 0,3 + 0,2 • 0,09 + 0,02(1 + 0,054) = 0,339;

Ib = 0,339 + 0,2 (o,2 + (0,339)2) +

+ 0,02 ( l + 0,4 • 0,339 + 2(0,339)3) = 0,426;

y3 = 0,426 + 0,2 (o,4 + (0,426)2) +

+ 0,02 ( l + 0,8 • 0,426 + 2(0,426)3) = 0,572;

y4 = 0,572 + 0,2 (o,6 + (0,572)2) +

+ 0,02 ( l + 1,2 - 0,572 + 2(0,572)3) = 0,799;

y5 = 0,799 + 0,2 (o,8 + (0,799)2) +

+ 0,02 ( l +1 ,6 • 0,799 + 2(0,799)3) = 1,153. •

Mét°d°«, rium^fMKSWSMMWMaia

W - - 1 .

4 Solución. Sean k = 1, h — 0,1. El error en el paso de integración es del orden de 0(h2) ~ 0,01, por lo cual en los cálculos conser-varemos dos cifras significativas. Según la fórmula de Euler de primer orden,

yi+i -yi + o,

o bien

j/i+i = y¡ +

Haciendo Z = 0,1,...,9, hallamos

3/1 = 3/0 — 0,1 y0 = 0,9ya - 0,9;

/o,i/ \

yi = 2/i = 0 , 9 + 0,1 Q - 0 , 9 ^ = 0 , 8 2 ;

0,02 0,03 í/3 - 0,9J/2 + = 0,76; = 0,9y3 + = 0,72

f2 ÍÍ3 0,04 0,05

y5 = 0,9 y4 + = 0,70; j/6 = 0,9ys + — = 0,70; y* y$

0,06 yi = 0,9y6 + = 0,72; ys = 0,74;

Sfó 1,9 = 0,78, i/io = 0,81. •

47. i ~ I + 2® — tf, y sí t - a; + 2y; 0 ^ / 0.5;

Solución. Tomemos /i = 0,1, fe = 2 (método de Euler de segun-do orden). Realicemos los cálculos con tres cifras significativas. A partir de la fórmula (2), p. 3.1, tenemos

h2

s i + i = x¡ + h±¡ + — ®¡ = x¡ + ft(íi + 2®/ - y¡) +

+ y ( l + 2x( - y , ) =

= a?; + h(tt + 2x¡ ~ y¡) +


= 0,0112 + 1,225a;, - 0,12y¡,

h2 h2

VM = V¡ + tyí + y 2/ = !ft + h(l - ar¡ + 2 » ) + y ( -£/ + =

= 0,110 - 0,0005i - 0,12«i +1,225y h l = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 . De aquí, utilizando las condiciones iniciales, hallamos x-i = 0, y2 = 0,110; x2 = -0 ,002 , y2 = 0,244; = -0 ,009, j/3 = 0,408; x 4 = -0 ,027 , t/4 = 0,609; x5 - -0 ,062, y5 = 0,857. •

Utilizar el método de Runge—Kutta de cuarto orden para calcular aproximadamente las soluciones de los siguientes problemas diferenciales (realizar los cálculos con tres cifras significativas):

í 48. y' - y1 - x, 0 < x 0,5; y(0) = 0,5

Solución. Sea h = 0,1. Según el p. 3.2, tenemos

k2i = iyi + 0,05ku)2 - x¡ - 0,05,

fc3í = (y¡ + 0,05fc2,)2 - x¡ - 0,05,

hl = (yi + 0,lfc3;)2 ~X¡~ 0,1,

0,1 2/1+1 = y¡ + -yikii + 2 k2! + 2 k3! + k4!), 6 ai = 0 , 1 i, </o = 0,5, ¡ = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 .

I

= h

fcir = Vi

De aquí, tomando sucesivamente l = 0 , 1 . . h a l l a m o s

kx o = 0,25;

k20 = (0,512)2 - 0,05 = 0,212; fc3 o = 0,210;

kw = (0,521)2 - 0,1 = 0,171; 0,1

yi = 0,5 + - - ( 0 , 2 5 I- 0,424 + 0,420 + 0,171) = 0,521; 6

ku = (0,521 )2 - 0,1 = 0,171;

&2i = (0,53)2 - 0,150 = 0,131;

k31 = (0,528)2 - 0,150 = 0,129;

fe4i = (0,534)2 - 0,2 = 0,085; 0,1

y2 = 0,521 + —(0,171 + 0,262 + 0,256 + 0,085) = 0,534; 6

kn = (0,536)2 - 0,25 = 0,037;

h 3 = (0,538)2 - 0,3 = -0,011; 0,1

Vi = 0,534 + —(0,085 + 0,078 + 0,074 - 0,011) = 0,538; 6

k13 = (0,538)2 - 0,3 = -0,011;

k23 = (0,538)2 - 0,35 = -0,061;

k33 = (0,535)2 - 0,35 = -0,064;

k43 = (0,532)2 - 0,4 = -0,117;

0,1 yt = 0,538 + - ( - 0 , 0 1 1 - 0,122 - 0,128 - 0,117) = 0,532;

6 fcu = (0,532)2 - 0,4 = -0,117;

k24 = (0,526)2 - 0,45 = -0,173;

¿34 = (0,521)2 - 0,45 = —0,1.75;

ku = (0,515)2 - 0,5 - -0,235;

0,1 y5 = 0,532 + - ( - 0 , 1 1 7 - 0,346 - 0,350 - 0,235) = 0,515. •

6

s ecuaciones diferenciales

©xíV 1 i

t

4 Solución. Sea h — 0,2. Entonces, como en el ejemplo anterior, tenemos , 2 2

«r¡ = - Vi,

k2! = (x¡ + 0,1)2 - (y, + dU'!,)2,

k3i = (x, + o,if -(yi + o,ik2lf,

kit = (x¡ + 0,2)2 - {y, + 0,2^,)2; 0,1

V¡+1 =3/1 + + 2fc2i + 2fe3¡ + fc4/), J as, = 1 +0,2i.

Tomando sucesivamente en estas igualdades I = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , resulta

fcio = So ~ Ka = 0;

fcio = (1,1) - 1 = 0,21; &30 (1,1)2 - (1,021)2 = 0,168;

*40 = (1,2) - (1,034) = 0,371; 0,1

Vi = yo + — (fcio + 2 k20 + Ikjo + fc40) =

= 1 + ~(0,42 + 0,336 + 0,371) = 1,037; ftu = x l - y ¡ = (1,2)2 - (1,037)2 = 0,365; fe2i = (1,3)2 - (1,073)2 = 0,538; fcsi = (1,3)2 - (1,091)2 = 0,500; fc4i = 0,667;

0,1 V2 = Vi + — (-feit + 2A¡21 + 2 fc31 + ft41) =

= 1,037 + —- (0,365 +1,076 4-1,0 + 0,667) = 1,141; 6

hz = 4 - y\ = (1,4)2 - (1,141)2 = 0,658; k22 = (1,5)2 - (1,207)2 = 0,793; hi = (1,5)2 - (1,220)2 = 0,761;

fc42 = (1,6)2 - (1,293)2 = 0,888; 0,1

i/3 = 1,141 + -—(0,658 + 1,586 + 1,522 + 0,888) = 1,296;

fci3 = xj - yj = (1,6)2 - (1,296)2 = 0,880;

k23 = (1,7)2 - (1,384)2 = 0,975;

fc33 - (1,7)2 - (1,393)2 = 0,949;

43 = (1,8f - (1,486)2 = 1,032; 0,1

y i ~ 1,296 + -^-(0,880 +1,950 +1,898 + 1,032) = 1,488; 3

¿14 = x¡-y¡ = (1,8)2 - (1,488)2 = 1,026;

ku = (1,9)2 - (1,591)2 = 1,079;

fc34 = (1,9)2 - (1,536)2 = 1,063; fc44 = 4 - (l,70l)2 = 1,109;

0,1 y5 = 1,488 + ~~ (1,026 + 2,158 + 2,126 + 1,109) = 1,702. •

5 0 . y" = xy; 0 $ x ^ 0& ¡/iu) = 1, ¡/(O) - 0.

M Solución. Introduciendo una nueva variable z(x) -- y'{x), obte-nemos el sistema de ecuaciones diferenciales

z=xy, z(0) = 0; y = z, i/(0) = 1; O^x^l, Sea h — 0,2. Según el método de Runge—Kutta de cuarto orden, a partir de las fórmulas (3), (4), p. 3.2, tenemos

hi = xtyt,

ha - (x¡ + 0,l)(y, + 0,1^,),

% = (x¡ + 0,l)(jf¿ + 0,lp2í),

k4l = ( i , + 0r2)(y¡ + 0 , 2 ^ ) ;

Pli = z¡,

P21 = ¿i + 0,1 ftu,

P3J = Z¡ "("• 0,lfc2/y

^ I r o i S ^ d á n / d e laS'^luciónos di» las ecuaciones diferenciales

• w w s ^ v v » Iffüií

Pii - Zt+ 0,2fc3i; 0,1

zi+i -zi + —(Ai¡ + 2k2t + 2k3l + fc4/),

Vi+1 = Vi + —(Pli "I 2p2! + 2pn + Pal

x¡ = 0,2/, yo = 1, z0- 0, i = 0,1,2.

De aquí, haciendo sucesivamente l = 0 , 1 , . . . y teniendo en cuenta las condiciones iniciales, hallamos

Aio = 0 , p i o = 0 , fc2o = 0 , 1 , p2o — 0 ,

A30 = 0,1; j)30 = 0,01, fc40 = 0,2, p40 = 0,02;

zr = ^ ( 0 , 2 + 0 , 2 + 0,2) = 0,02; 3

y i = 1 + ^ ( 0 , 0 2 + 0,02) = 1,001;

An = XiV\ = 0,20;

Pu = zi = 0,02,

A21 = (a¡i + 0,l)(yi + 0,lpn) = 0,3 • 1,003 = 0,30;

P21 = + 0,U*n = 0,04, A31 = 0,3 -1,005 = 0,301,

p3 i ~ Zi + 0,1^21 = 0,02 + 0,1 • 0,3 = 0,05,

fc41. = (xi + 0,25(1/! + 0,2p3i) = 0,404, p41 = 21 + 0,2A31 = 0,080;

0,1 Z2-Z1 + — (An + 2&21 + 2A3i +'A4I ) =

ó 0,1

= 0,02 + —(0,20 + 0,60 + 0,602 + 0,404) = 0,080, 3

0,1 3/2 = Vi + — (P11 + 2j?2i + 2í>3! + p41) =

0,1 = 1,001 + — ( 0 , 0 2 + 0,08 + 0,10 + 0,08) = 1,010;

3 &12 - x2y2 ~ 0,4 -1,010 = 0,404,

Métodos numéricos de resolución de ecua

P12 = *2 = 0,080, k22 = (x2 + 0,l)(y2 + 0,1 pl2) = 0,5 • 1,018 = 0,509,

P22 = z2 + 0,1/112 - 0,080 + 0,1 • 0,404 - 0,120,

= (X2 + 0,l)(ífe + 0,lp22) = 0,5 • 1,022 = 0,511;

P32 ~ ¿2 + 0,1 ¿22 - 0,080 + 0,1 • 0,509 = 0,131;

kiZ = {x2 + 0,2)(y2 + 0,2j>3a) = 0,6 • 1,036 = 0,622;

Pi2 = + 0,2fc32 - 0,080 + 0,2 • 0,511 = 0,182; 0,1

Z¿ = Z2 + + 2/222 + 2fc32 + M =

0,1 = 0,080 + (0,404 + 1,018 + 1,022 + 0,622) = 0,182;

0,1 uí = vi + + p 2 2 + 2 p 3 2 + P i 2 ) =

= 1,010 4- Y (0,080 + 0,240 + 0,262 + 0,364) = 1,041. *

Calcular aproximadamente las soluciones de los problemas siguientes utilizando el método de Stormer. Realizar los cál-culos con tres cifras significativas. De ser necesario, hallar los valores de las primeras aproximaciones por el método de las series de potencias o por el de Runge—Kutta de cuarto orden.

< Solución. Utilicemos la fórmula (5), p. 3.3, tomando h 0,1. Entonces

Para calcular el valor de y\ recurrimos al método de Runge—Kutta. Tenemos:

kt -y0 = 1; kz = ífá -f -fct = 1,05;

-WBB

SÍoxittiaqión de las soluciones do las ecuaciones diferenciales

aBjKBJ >!T«!Kr'.,í << /1 . *r •

k3 = y0 + ~k2 = 1,052; ki = y0 + hk3 - 1,105;

0,1 VÍ = Vo + T Í f e i + 2 fc2 + 2fc3 + fy) = 1/105. 6

Dado que la magnitud del error en el paso es 0(h5) ~ JO -5, pode-mos considerar que todas las cifras significativas de la expresión de ij\ son fidedignas. Tomando en (1) sucesivamente l ~ 1 , 2 , . . . , y considerando el valor hallado de 2/1 y la condición inicial yo = 1, obtenemos

y2 = l,15j/i - O,O5y0 = 1,15 • 1,105 - 0,05 = 1,221; y3 = U5¡fe - 0,05yi = 1,15 • 1,221 - 0,05 • 1,105 = 1,349; y4 = l,15?/3 - 0,05i/2 = 1,15 • 1,349 - 0,05 • 1,221 = 1,490; ( ' y5 = l,15j/4 - 0,05j/3 = 1,15 • 1,490 - 0,05 • 1,349 = 1,649.

La magnitud del error de estos resultados es O(li) , es decir, se puede considerar que en cada una de las igualdades anteriores dos cifras significativas son fidedignas. •

52. Ü = x -t- y

, l 1,5. j»in 0.

•4 Solución. Utilizando la fórmula (6), p. 3.3, y escogiendo el paso de integración h — 0,1, obtenemos

1 5 , yi+i = |ft + « + - i + —A q,_2, (1)

donde

q, = 0,1 x

xi + yi

12

= - ft-i, (2)

A 2 = Ag¡_i - A®_i, = 1 + 0,1 yo = 0/ l = 2,3,4. Calculemos los valores de

2/i e 2/2 que faltan utilizando el método de las series de potencias. Hallemos y'{í),y"(l),y"'(l),..., partiendo de la ecuación inicial. Tenemos:

, „ (x + y)(x2 + 2xy) - x4 ,, 2/(1) — 1, »"(*) = - m . ^ \3 / ( D - 0 ,

(x + y)3

c. 1

Métodos numéricos de resolución •do ecuaciones á i í c r ^ í á í í

1 . , • , (2x + 2y - x2y") (x + y) - 2(1 + y')(x2 + 2xy - x2y')

y (JC) = L (x + yf

y"'{ 1) = 2 Por tanto, según la fórmula de Taylor,

SfCaj) = ® _ 1 + I(a: - l)3 + 0((ar - 1)4)# (3)

de donde hallamos 0,001

y, = y( 1,1) » 0,1 + — = 0,100;

¡te = y{ 1,2) pí 0,2 I 0,003 = 0,203. Señalemos que el error de la fórmula (1) en el paso de integración es del orden Of/i4); por esta razón, en la fórmula de Taylor (3) tomamos sólo los tres primeros términos del desarrollo.

Haciendo l = 2 en las fórmulas (2), obtenemos 0,1 ®2 . 2 q2 - = 0,103; A</i = q2- 9i, A q0~ Aqx - Aq0/

X2+V2 donde

0,1a:? „ 0,\xl qi = ~1—L- = 0,101; q0 = = 0,1;

«i + 3/1 + yo Por consiguiente, Ar/3 - 0,002; Aq0 - 0; A2q0 = 0,002, y de la fórmula (1) hallamos y3 = 0,309. Análogamente, para 1 — 3 tenemos

0,1®? = = 0,105; A92 = g3 - 92 = 0,002;

^3 + 3/3

1 . 5 A24! = Aq2 - Aqi = 0;

Vi = 3/3 + q3 + + = 0,415.

Finalmente, para / = 4, a partir de las fórmulas (1), (2) y de las magnitudes ya conocidas, hallamos

0,1x1 q i = i_ _ 0,108; A?3 = 94 - 93 = 0,003;

Xi + J/4

A2g2 = Aq3 - Aq2 = 0,001;

3/5 = 3/4 + 9 4 + 2 A ? 3 + ~ A ^ 2 = 0,525. •

'jiíiKI

H ^ ^ i f l i Ia^blúcitíng® de los ecuaciones diferencia lea : =

•• -" •• ----- '•• •--, - • • •••-J-.i-rii.'-.w,, jif/Wi^'v- -y.i 5 3 . xy" + y' + xy= 0, 0 $ ar < 1; y(0) = i ; y'(0) = 0.

•4 Solución. Introduciendo una nueva variable z — y , obtenemos el problema

y' = z, y(0) = l ; z' = - y ~ - , z(0) = 0. x

Empleando la fórmula (5), p. 3.3, y tomando el paso h = 0,1, resulta

yi+1 =y¡+ 0,1 PI + o,OSApj_lr z¡+1 = z¡ + 0,1® + 0,05A?,-1, (1)

donde Z\

P¡ = ?i, q¡ = -yi / APi-I = p¡ -pi-1, A = q ¡ - q¡-1, xt

xt = 0,1Í, l = 0^9, 2/0 = l , Zg — 0. (2)

Para comenzar a calcular necesitamos los valores de y(0,1) = í/i, 2(0 ,1) - Zi = y'(0,1), y también de q0 (a cau-

0 sa de la indeterminación - ) . Hallaremos todas esas magnitudes

con ayuda del método de las series de potencias. Busquemos la solución del problema planteado en la forma

y(x) = 1 + a2x2 + a3x3 + . . . . (3)

Sustituyendo la serie (3) en la ecuación inicial e igualando los coeficientes de las potencias iguales de x, obtenemos

1 a2 = - - , o 3 = 0 , . . . ;

4 por consiguiente,

x2

y{v) = i - j + - • •,

de donde-hallamos

yx = 2/(0,1) = 0,998, zj = i/(0,1) = -0,05,

3o = y"{0) = -0 ,5 .

Ahora podemos realizar los cálculos mediante las fórmulas (1), (2). Tomando sucesivamente l = 1 ,2>. . . , completamos la tabla si-guiente:

i x¡ yt Zl Pi A Aqi-x

0 0,0 i 0 0 -0,500 1 0,1 0,998 -0,050 -0,050 -0,498 -0,050 0,002 2 0,2 0,991 -0,100 -0,100 —0,491 -0,050 0,007 3 0,3 0,983 -0,149 -0,149 -0,486 -0,049 0,005 4 0,4 0,966 -0,197 -0,197 -0,476 -0,048 0,010 5 0,5 0,944 -0,244 -0,244 -0,456 -0,047 0,020 6 0,6 0,918 -0,289 -0,289 -0,438 -0,045 0,018 7 0,7 0,889 -0,332 -0,332 -0,419 -0,044 0,019 8 0,8 0,854 -0,373 -0,373 -0,394 -0,041 0,025 9 0,9 0,815 -0,411 -0,411 -0,359 -0,038 0,035

10 1,0 0,772

l í jorcicios

Hrtll.tr las soluciones de los siguientes problemas de Cauchy utilizando desarrollos pii ni'rk's de potencias:

I. ,„' x + y, y(0) = 1. }, ,i xy, y ( 0 ) = 1 . I. n' - x - 2xy, y(0) = 3. «i. //" -ni - y. y(o) - h y'(0) = o. \ ,/"' - -x2y" + y' + 2y, y(0) = 1, ¡,'(0) = 0, y"(0) = 0.

II,ill.it las soluciones aproximadas en forma de polinomios de cuarto grado:

h. y' ~-y2 ~x, y(0) = 1. 7, = xe» + y, y(0) = 0. H. ,/ = a;2 + y2, y(l) = 1. 'I. y" - ® - y'\ y(0) = 2, ¡,'(0) = 0.

10. ;</'" = y"2 + + y(0) = 1, y'(0) = y"(0) = 0.

11,ill.tr las soluciones aproximadas de los siguientes problemas de contorno:

II. y1 = x2 - y\ y( 1) + y(2} = 1, 1 < x < 2.

12, »/= j/(0)-4i/(l) = 5, 0 < « < 1. y

i v ?/" = W + y2, y(0) = 0, »/(l) = 2, 0 < x < 1.

M. / = y'1 + y, ,,(1) = 2, 1/(2) = 1 < ® < 2.

j&e a^xirtiÉÍcíóíi cty'tos soluciones cíe las ecuaciones diferenciales

Para los siguientes problemas de Cauchy, hallar las soluciones aproximadas forma de polinomios de tercer grado respecto al parámetro pequeño //:

15. y' = ~ - 5 f ix , í/(l) = 2. y

16 y(l) = l + ty.

17. y' = /xx3 + y2, y{0) = e"". 18. y' = 1 + x + /ty3, y(0) = sen /t. 19. y' = eos x + fj, ln (1 + y), y(0) = fi. 20. y' = sen x + /té", y{0) = 1 ~ fi.

Hallar las asíntotas de las curvas integrales de las ecuaciones siguientes (f e» parámetro pequeño, x —* +oo):

21. ey' = l-y2. 22. ey' = x2 ~yz. 23. ey' ~ y2 — (1 + x)2, 24. ey' = l - y 3 . 25. = x3 - y3.

Estabilidad y trayectorias de fase

§ 1. Estabilidad

1.1. Estabilidad según Liapunov. Estabilidad asintótica

Sea

~ = fi(t, xlf x2,..,, xn) (i - 1, n) (!) dt

un sistema de ecuaciones diferenciales. Supongamos que para t G [¿o, +oo) el sistema (1) tiene soluciones x¡ = <pi(t) (i = 1, ti) que satisfacen las condiciones iniciales

<Pí(to) - ¡CÍO, i = l,n. (2)

I >i'finición 1. Una solución ip(t) — (<pi(t), <p2(t),..., <pn(t)) del problema diferencial (l)-(2) se denomina estable según Liapunov si Ve > 0 3 S(e) > 0 tal que para cualquier otra solución x = x(í) = (x-\ (t), X; . ( í ) , . . . , x„(t)) del mismo problema que satisfaga la desigualdad

l l ® ( í o ) - y ( í o ) l l < S ( E ) > ( 3 )

lumbién se cumple la desigualdad

Mt)-<p(t)|| < e (4)

V t, /-o, donde || • || representa la norma.

d y trayectoria? de íasc,

^^^^K^J^j.ili^-1' ' v 'J 11

Geométricamente, esta definición significa que dos trayectorias x{t) y <p(t) cercanas en el instante inicial permanecen cercanas

Generalmente se utilizan las siguientes normas:

XI (¿) II = ¿ |a:;(f)l2, ||a:(i)|| = max |at(f)|, t=i

( 5 )

ll®(<)ll = ¿ M)\. k=1

Definición 2. Si 3 e > 0: V 6 > 0 3 í > f0 tal que de la desigualdad (3) no se deduce la desigualdad (4), entonces la solución <p{t) se denomina inestable según Liapunov.

Definición 3. Toda solución <p(t) estable según Lipunov y que satisface la condición

lim ||x(t) - v>(f)|| = 0, (6) Í-++CO se denomina asintóticamente estable.

El análisis de la estabilidad de la solución ¡p(t) se puede reducir al estudio de la estabilidad de la solución trivial (punto de reposo) mediante el cambio de variable y = x - <p(t).

1.2. Análisis de estabilidad mediante la primera aproximación: primer teorema de Liapunov

Teorema (primer teorema de Liapunov). Supongamos que el sistema dx¡

— = «ti®1 + a¿2«2 + • • • + a¿n®n + 9i{t, ®2/ - • - r ®n)/ i — \,n, aik = const,

¡/IMII/C las funciones gt satisfacen la condición ^ai(x)||a;||, (8)

(»M.r) O cuando |¡:r|[ —> O, i = l,n) tiene solución trivial Entonces, si las jmrh'u reales de los valores propios A de la matriz A = (a^) son negativas (Kc A < 0), la solución trivial del sistema (7) es asintóticamente estable; si ¡a fuiilc real de al menos un valor propio es positiva {Re A > 0), entonces la m>lación trivial es inestable.

1.3. Análisis de la estabilidad mediante las funciones de Liapunov: segundo teorema de Liapunov

Teorema (segundo teorema de Liapunov). Si existe una función diferenciable V = v(t,Xi,X2,. .., X„),

denominada función de Liapunov, la cual en un entorno del punto x = 0 milis face las condiciones

I) v(t, x-i, x2,..., xn) W{x\,x2r... ,xn) ^ 0 para t >- f0, donde la función continua W tiene un mínimo estricto en el punto x — 0; además, v{t,0,... ,0) = W(0,..., 0) = 0,

'?) la derivada total dv dv ^^ dv — = — + forJ'V'• • • /®») < o (í ^ t0),

entonces la solución trivial x = x2, • •., x„) = 0 es estable.

Si en lugar de la condición 2) se cumple la desigualdad

dv dv dv

¡=i

pura t ^ t\ > t0 y 0 < < |jx|| < ó2, donde Si,62,¡3 son constantes, ftiionces la solución trivial es asintóticamente estable.

Teorema (de inestabilidad de Chetáev). Supongamos que se cumplen las siguientes condiciones:

1) el sistema (1) tiene solución trivial;

icláítf y trayectorias de fase ii* i, >

a*

2) en cierta región F c l » existe una función diferenciable v = v(xux2,...,xn);

3) el punto x — (x\, x2,.. •, ®n) = 0 pertenece a la frontera de la región V; 4) 3 £o > 0 tal que v ~ Q en la parte de la frontera de la región V donde

IMi < e0 ; 5) en la región V se cumple la desigualdad v > 0, y si t > f0 también se

cumple la desigualdad dv 9v -77 = V, > w{x) >0, x € V, dt 7—' dxi

donde w es una función continua en V.

Entonces la solución trivial (punto de reposo) del sistema (1) es inestable.

1.4. Condición de negatividad de las partes reales de todas las raíces de la ecuación con coeficientes reales a0Xn + axA"-1 + . . . + an-tÁ + an = 0 , a0 > 0

La condición necesaria para que todas las partes reales de las raíces de la ecuación

a0A" + ai A" 1 + . . . + a„ iA + an = 0 (a0 > 0)

sean negativas son las desigualdades a¿ > 0 (i = 0, n). La matriz de la forma

/ a i a0 0 0 0 0 . . . 0 \ a3 a2 ai a0 0 0 . . . 0 a5 a4 0,3 a2 üi üq . . . 0

( 9 )

\ 0 o 0 0 o o

(10)

/

la cual se obtiene al cambiar por ceros los números a¡ con índices i > n ó i < 0, se denomina matriz de Hurwitz.

Teorema (criterio de Routh—Hurwitz). Para que todas las partes reales de las raíces de la ecuación (9) sean negativas, es necesario y suficiente que sean

in>-,¡lióos todos ¡os menores principales diagonales de la matriz de Huriuitz:

«i <to O Ai = au A2 - a i a0

03 a2 a3 «2

«4 <*3 (11)

leorema (criterio de Liénard—Chipart). Para que todas las partes reales de ¡na raíces de ¡a ecuación (9) sean negativas, es necesario y suficiente que Indos los coeficientes at- > 0 y que An~.i > 0, An_3 > 0 , A n—5 > 0

Teorema (criterio de Mijáilov). Para que todas las partes reales de ¡as raíces tic la ecuación (9) sean negativas, es necesario y suficiente que anan-¡ > 0 y que tas raíces de los polinomios

PÍO = an ~ o„_2f + a„_4Í2 - ...,

q(q) = a„_i - + an^5r¡2

satisfagan las desigualdades

0 < fi < m < 6 < V2 < (13)

Utilizando la definición de estabilidad de Liapunov, determi-nar si las soluciones de los siguientes problemas son estables:

illlilliPillSfWPI^^^H^^^^BB^^^^^^HMI^fflW^HBBIi^Sl^^sMiill 1 . Je — 4x — t X, J-LLLL == 0 , X — 4x - t X, J-CUl = 0. , .,

íSSiiiilfilIl^^

M Solución. Evidentemente, <p{t) = 0 es una solución del proble-ma. Separando las variables e integrando, hallamos las demás soluciones:

í5

x{t) = Ceu~ 3 .

Conforme a la definición 1, p. 1.1, ll®(¿o)-V(ío)lt = l®(0)-v(0)| = |C|,

ll*(í) ~ <P(t)\\ = !*<*) - <P(t)I - l®(í)l = \C\e4t~J.

,y .trayectorias de fase

Fijemos e > 0. Si en calidad del número <5(e) escogemos — , 1 ¿3 16 _ 16

donde M = max e 3 = e 3 , es decir, 6(e) = ee 3 , entonces <5:0

la desigualdad (4) se deduce de la desigualdad (3) (v. p. 1.1). Por tanto, la solución <p{t) = 0 es estable según Liapunov. Además, como

4 t-t lim x(t) - lim Ce 3 = 0, i—>+oo í^+co

podemos concluir, según la definición 3, p. 1.1, que esta solución es asintóticamente estable. •

. 2 . 3(í — 1)x ~ x, ¡r{2) 0. ^ 8

Solución. La función 0 dado. Tomemos e = 1. Entonces, a pesar de que se cumple la desigualdad

IMío) - M = l®(ío) - <P(to)\ = i®(ío)í = \C) < 6, también se cumple la desigualdad

||®(í) - <p(f)|| = |¡x(í)|| = |®(í)l = \C\(t - 1)1/3 > 1

para t > 1 + . Por consiguiente, la solución nula es ines-

table. •

3 . ¿ i = -xu i2 = -2x2, a:i(0) - x2(0) = 0.

M Solución. Debemos analizar la estabilidad de la solución nula <Pi(t) = 0, = Integrando el sistema, obtenemos x3 = C¡e xi — C*2e"2!. Sea e > 0 cierto número dado. Hallemos un 6 = 6{e) tal que de la desigualdad

II®(0) - ?(0)|| = N/COÍ O) - + ~ ^(0))2 < s

se deduzca la desigualdad

v W ) - <PÁt))2 + (x2(t) - <pi{t)? < e, Ví > 0. Dado que a partir de la desigualdad

C\ + C\ < ó2

se obtiene C2e~2t + C2e~4t ^ C\ + C2< 62,

entonces, para t > 0 y cierto £ > 0 arbitrario, tomando <5(e) = £ obtenemos

||¡r<í) - ÍP(Í)|| < £ para ||ar(0) - <p(0)\\ < 6. Por consiguiente, según la definición, la solución nula es estable. Además, como

lim ||at(í)-V(í)||=0, í-»+00

dicha solución es asintóticamente estable. •

4 . x = ~yf y = 2 r 3 ; X(0) ~ y(0) » 0. ' j^Oí

Solución. Dividiendo miembro a miembro la segunda ecuación por la primera e integrando, se obtiene la familia de trayectorias del movimiento de un punto material en el plano Oxy:

y2 + x4 ~ C,

donde C es un parámetro arbitrario. Para investigar la estabilidad de un punto material que se encuentra en reposo en el origen de coordenadas, lo desplazamos mediante una perturbación pequeña arbitraria desde el punto (0,0) hasta el punto de coordenadas x = ¡Eq, y = yo- Entonces, a partir de la familia de soluciones obtenida se deduce que la trayectoria del punto material es

x4 + y2 = xa + yi

Por cuanto esta trayectoria es cerrada y para valores de x0 ,yc suficientemente pequeños no sale de los límites del círculo de

radio r0 = \ J A + yl (jti + a?o < S/o + xo P a r a N i ^ 1), entonces el punto de reposo (0,0) es estable (pero no asintóticamente estable). •

^trayectorias de fase;, > ...

§ « W í i r « -m'^) " i 1 " " < - . « > j t C 0 8 l i j e f e ' e l t ¿ f i * ¡ ( 0 j # ' 1 / ( 0 ) a » 0. " '

I Solución. Por analogía con el ejemplo anterior,

e~y ^ eos x = e~Vt^2 eos Xq, 7T

donde Ixol < 6 < —, |y0] ^ 6. Investigando del modo habitual los extremos la función de Lagrange

L = x2 + y2 - A {e~v%n eos x ~ C)

(A es una constante, C = e~Vo¡2 eos xQ), comprobamos que la función <p — <p{x, y) = x2 + y2 (cuadrado de la distancia hasta el origen de coordenadas) toma valores extremos en los puntos (0, y\) y {x\, 0), Nótese que la curva analizada es simétrica respecto a los ejes de coordenadas, por lo que consideraremos que x ^ 0, y > 0. Sin dificultad, hallamos que

yx = xi- arceos C.

Como C ~> 1 cuando xl + y2 —> 0, entonces X\ ü, yx 0. Por consiguiente, el punto de reposo es estable, pues a cualesquiera perturbaciones tan pequeñas como se quiera les corresponden trayectorias cerradas contenidas totalmente en círculos de radios tan pequeños como se desee. •

6 . I.!« tidvi-i liiri.ii del sistema <1,• ci íucinm-i

están representadas en el plano de fase de la figura l. ¿Qué se puede decir acerca del comportamiento de las soluciones cuando t —> t-oo? ¿Será la solución nula asintóticamente estable? ¿Será estable según Liapunov?

6

Fig.l

•4 Solución. Como vemos en la figura 1, todas las soluciones tienden a cero cuando t —* +00, ya que todas las trayectorias llegan al origen de coordenadas. Supongamos que se cumple la desigualdad \y(t(])\ < 6 (en el caso analizado <p(t) = 0), donde S > 0 es un número tan pequeño como se quiera. Entonces, para el instante t = ti tenemos

MÍ2)¡ > l!/(*i)l = fo > o, donde e0 no se puede reducir más. Por consiguiente, la solución nula no es estable según Liapunov y, por tanto, no se puede con-siderar asintóticamente estable, a pesar de que üm x(t) = 0. •

<-*+ 00

Dadas las siguientes soluciones generales, verificar si las soluciones nulas de los sistemas son estables.

7 . a¡,(0 = Ci cos-f - C2ef, x7[t) = C\t4e ' + 2C2. '

•4 Solución. Sean e > 0 cierto número dado, y fo un instante arbitrario. A partir de este valor de e hallaremos un 5(e) > 0 tal

M a n

^trayectorias de fase

B S W ? ' /

que de la desigualdad

M í o ) - pftOll = >/(®l(ío) - <Pl(k))2 + (z2(to) ~ <P2(to))2 < 6 se deduzca la desigualdad

IWÍ) - v(i)ll < £ V í ^ í 0 .

Para simplificar el procedimiento, tomemos ¿o = 0. Tenemos:

l!«(ío) - <p(to)\\ = ¡ k ( í o ) l ! =

= f(C\ cos% - C2e~iaf + {C,tyh + 2C2)2^1/2

0 )

(2)

= \J{C] - C'2)2 + 4C 2 ^ V/(!C1l + lC2|)2 + 4Cf < 6;

||®(¿) - *>(í)|| = ||®(í)|| =

= v^Ci eos H - C2e *f + {C^e-1 + 2C2)2 íC

< Ví lC i l + IC2I)2 + (256|Ci |e-4 + 2|C2|)2. Pero de (1) se deduce que |Ci| < 6, \C2\ < 6; por tanto, podemos continuar la estimación (2) de la manera siguiente:

||®(«)|| < + (256c 4 + 2)262 = + (256c"* + 2)2 6, de donde se tiene que, si escogemos ,

x/4 + ( 2 5 b í F ^ T W obtendremos la desigualdad ||x(í)|j < e V i > 0 simultáneamente. De esta manera, conforme a la definición, la solución nula es estable según Liapunov. •

8 . » ,« )== (Ci - C%t)e'f, T2(t) = C: v í

In ( - t 2i - I -C2.

Solución- De la igualdad

l|s(*o)ll = \ (Ci - Cdofe-2*» + Ci\/tp

ln( í 2 + 2) + C2

se deduce que si C{ + C2 —• 0, entonces )!»(ío)ll 0- Por cuanto

lim m

+00 ln (t2 + 2) +00,

entones, por muy pequeños que escojamos \C\ | \Cí\, siempre se puede hallar un valor de ¿i > 0 tal que para un valor de e > 0 dado se cumple la desigualdad

2\

(Cx - C 2 í a ) V 2 f l + + C 2 ) ) >

Por tanto, según la definición, la solución nula es inestable. •

y . Demostrar que si una solución cualquiera de .uiY ,1513-.' tema lineal de ecuaciones diferenciales es estable segúnLja;' pmii'V. entoiiiTi'-; -«iri i'-mMi^ tudas las ^iliu imv» de dicK5¡

I Solución. Sea ip(¿) = (<fii(t), <pz(t), • • •, <pn{t)) una solución estable según Liapunov del sistema

~ = A(t)x(t)+m,

donde A(t) = (a¡j{t)) es una matriz de dimensión n x n, y las funciones x(t), f(i) son funciones vectoriales con valores en K" . Mediante el cambio de variable x(t) = <p(t) + e(t), a partir de este sistema obtenemos

§ = * <1> Por cuanto la solución <p(t) es estable, la solución nula del sistema (1) también es estable. Sea ip(t) una solución cualquiera del sistema. Entonces, al igual que antes, obtenemos un sistema respecto a la perturbación pequeña 6(t) (desviación respecto a la solución i¡f(t))

dÓ

cuya solución es estable. Por consiguiente, todas las soluciones del sistema dado son estables según Liapunov. •

It'átílli'dad ^trayectorias de fase

jí'í 1 .0.1 'Demostrar que sí toda solución Üe ún 'sistema linea] • homogéneo se mantiene acotada cuando t +00, entonces

la solución nula es estable según Liapunov.

Solución. Sea Y la matriz fundamental del sistema dx — = Ax (1) dt v '

es decir, dY — =AV, r(to) = E. at

Entonces todas las soluciones del sistema (1) se representan en la forma X ~ YC (C es un vector arbitrario constante). En virtud de que cada solución del sistema (1) es acotada, se cum-ple la desigualdad ||Ff| ^ M (Af ^ 0 es una constante). Por consiguiente,

¡\X\\^\\Y\\-\\C\\^M\\C\\. £

Sea £ > 0 cierto número dado. Entonces, tomando 6 ——, M

a partir de la desigualdad |¡a;(ío)l! = 11 *11 < 6 se obtiene la desigualdad ||x(í)|| ^ M||C|| ^MÓ = s Vi > t0. •

11. Analizar la estabilidad de la solución nula del sistema = «it(í)j;i -¡-ai2(í)j;2/ x2 - aiííícj l-fl2;(f)ai, si so cumple

que «u(/) í <i2z(t) ~> b > 0 cuando t -<• i oo.

Solución. Utilizando la fórmula de Ostrogradski, tenemos

W{t) = W(t0) exp | J (a„(r) + a22(r)) dr j (1)

tu (consideramos que a,-¿ son funciones continuas en (¿o, +oo)). En virtud de la condición an(r) + a22(r) —> &0 > 0 cuando r —»• +oo, a partir de (1) se deduce que |W{t)\ oo cuando t —» +oo. Por tanto, una de las soluciones xn(í), xi2(í), x2í(t), x^t), las cuales forman el sistema fundamental, no está acotada cuando t —» +oo (esto se deduce de que W{t) — x\\(t)x22{t) ~ x-í2{t)x1\{t)). Por consiguiente, las soluciones del sistema dado

= x\\Ci + xn C2, x2{t) = a;2i C¡ + x22C2

W)

cuando C\ + C| 0 y t —• +00 tampoco están acotadas, lo que indica la inestabilidad de la solución nula del sistema ánali-zado. •

En los problemas 12-16, investigar la estabilidad de la solución nula con ayuda del primer teorema de Liapunov,

1 2 . ti ¿s 2 ai jar 2 - x{ + x2, ¿2 ~2xl - 3 « z + 5,-rf _ .i.,.*

-4 Solución. Para los términos no lineales tj\(t, x\,x2) = 2x1ar2, g2(t, x\, x2) = 5xf + x\ se verifican las estimaciones

I01I = 2{xix2\ ^x¡ + xl = oti(xi, a?2)||X||,

l5al = |5s} + a!2l<«2(ai/«2)11X11,

donde

oíi(xi,x2)= yx\ + x:

+ \x2 a?.{xlf x2) -V ® ! + 3

¡pqi = yjx\ + x¡; a n - > 0 , a 2 - > 0 cuando ||JT|| 0.

Por tanto, conforme al primer teorema de Liapunov, es suficiente investigar la estabilidad de Ja solución nula del sistema lineal

X\ = -xi + x2,

x2 = 2xí — 3x2.

Construyendo la ecuación característica y resolviéndola

= A + 4A + 1; -1 - A 1

2 - 3 - A

Ax = - 2 + \Í3,

A2 = - 2 - >/Í,

vemos que ReAj < 0, ReA2 < 0. Por consiguiente, la solución nula del sistema dado es asintóticamente estable. •

í y trayectorias de fase

•4 Solución. Para hallar los términos lineales, desarrollemos los segundos miembros de las ecuaciones iniciales mediante la fórmula de Maclaurin:

ln(4x2 + e _ 3 K , ) = In ^

= - 3 a i + 4a?2 - 8£2 + o (x\4-x\) ;

4x2 +1 — 3^1 + -x] + o

2x2 ~ 1 + (1 - íiii)1/3 = 2b2 - 1 + - 2si - + o {x\ + x\) =

— lx2 —2xi -4x\ + o{xl + xl).

Por cuanto

lffi|= ~8 xl + 12xíx2 + o(x\-{-xl) 4

¿ 16 xl + xl + o(xl + xl) =ai(®i/x2)||X||,

\gz\= - 4 x¡ + o{xi+xl)

x\ + xj + o(x\ + xj) =a2(x-l,x2)]\X}\,

donde

ot\{x\, x2) = 16 yjx\ + i j + ° + x l j '

a2(xu x2) ' 4y^x\ + x\ + x\ + x^j,

y qíj —• 0, a 2 —> 0 cuando ||JTj| 0,

entonces podemos aplicar el primer teorema de Liapunov, es decir, investigar la estabilidad de la solución nula del sistema lineal

±i = — 3®j + 4a?2, x2 = - 2 » ! + 2^2-

Dado que Re X\i2 < 0, donde Aj/2 son las raíces de la ecuación característica A2 + A + 2 = 0, es evidente que la estabilidad es asintótica. •

.82

1' i« fililí S ¡Í'V

1 4 . X! = tg for2 - z, i J-, - • ( - r , ] ^ ^

< Solución. Utilizando la fórmula de Maclaurin determinamos la parte lineal en cada uno de los segundos miembros de las ecuaciones dadas:

t g (x2 ~ = X2~XX + o(x\ + x 2 ) ,

2X2 - 2 eos = l + a ; 2 l n 2 + y ln 22 + o(«2) -

- 2 ^ c o s ~ • y + + sen | • =

= -\Z3xj + ® 2 l n 2 + ~ ( z ¡ + x 2 l n 2 2 ) + o(x2 + « 2 ) .

Por tanto, el sistema lineal correspondiente es

±1 = x2~ x\, x2 = ®2 ln2 - V3xi,

y su ecuación característica es A2 + A(1 — ln2) + V3 — ln2 = 0. La parte real de las raíces Ai es negativa (Re Ai¿ < 0); por consiguiente, la solución nula es asintóticamente estable. •

1 5 . xi = ePi - x2 =4xi-3 sen(j?i + x2),_ ln 11 J : - V , l

< Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, utilizando la fórmula de Maclaurin representamos los segundos miembros de las ecuaciones iniciales en la forma

e*1 e 3 x 3 ^ x 1 + 3 x 3 + ^ x ¿ ~ ~ x ¡ + o(xí + x ¡ + xÍ ) ,

4x3 - 3 s e n ( x i + x2) = 4x3 - 3(x¡ -hx2)-h o(x2 + x2 + x 2 ) ,

ln (1 + x3 - 3xi) = x3 - 3xx - - ( x 3 - 3x0 2 + o(x2 + x2 + ^3) •

Luego investigamos la estabilidad de la solución trivial del sistema

Ai = XI + 3X3, x2 = —3xi - 3x2 + 4x3 , x3 = —3xi + x3 .

Las raíces de la ecuación característica 1 - A O 3 - 3 - 3 - A 4 - 3 O 1 - A

= O son Ai — - 3 , A23 = 1 ± 3i.

Por cuanto Re (A23) > 0, según el primer teorema de Liapunov la solución nula del sistema dado es inestable. •

1 6 . ÍE| = X] — X2 ~ ¿2 = F2 ~ 3,Cj, = X] -

p í » ^ n s

A Solución. Una de las raíces de la ecuación característica 1 - A - 1 - 1

F(X) = 1 1 - A - 3 = 0 1 - 5 - 3 - A

satisface las desigualdades 3 < A < 4 (F{3) > 0, F{4) < 0); consiguientemente, la solución nula del sistema es inestable. •

17. ¿I\i;.l I|I¡i; \ . ¡ ! "r i> re-ik- d.' n p u n í " -K- :v|»nni f ü x2 — 0, Xj = 0 del sistema x1 ~ ast -- x2, x2 = ax¿ -x% ~ fiXT, — X\ es estable'

M Solución. De la ecuación característica a - A - 1 0

0 a - A - 1 - 1 0 a - A

= (a - A) - 1 = 0

1 , 1 .y/5 obtenemos Ai = a — j , X2 = a-] 1—, A3 = a H 1 - 1 — .

2 1 2 2 Partiendo de la condición .a - 1 < 0 A a + - < 0 hallamos los

2 valores de a para los cuales la solución nula es asintóticamente

1 1 estable: a < — - . Si a > — , entonces ReA2,3 > 0, y la solución

2 1 mi la es inestable. Finalmente, si a = - - , entonces tenemos que

milis

3 \/3 = A2j3 = ±i~, y la solución general del sistema dado se

expresa linealmente mediante las funciones a/3 V3

11-> e 2 eos — f , sen — í . 2 2

Así, tenemos estabilidad no asintótica {concretamente, en cierto entorno del punto de reposo se observa un proceso oscilatorio). •

En los problemas 18-20, investigar para cuáles valores de los parámetros a y b la solución nula es asintóticamente estable.

18. Jt ~ aj-j - Zr2 + a;2, Jc2 = Ji ¿2 ^ a-ix2.

< Solución. Como

x\ ^ xl + x\ = ai{x\, ar2)||X||,

\X]X2\ íí -(xl + xl) =a2(x1/x2)\\X\\/

ai(xv x2) = 2ct2(a:i, x 2 ) = y x f + x f - ||X|j 0

cuando a:2 + x\ —> 0, entonces hacemos uso del primer teorema de Liapunov (v. p. 1.2). Según este teorema, para que la estabilidad sea asintótica es necesario que Re A < 0, donde A satisface la ecuación característica del sistema lineal correspondiente:

a - A —2 1 1 - A = A - A(o + 1) + a + 2 = 0.

De aquí vemos que Re A < 0 sólo cuando se cumple la condición

< 0 A D ^ 0 j V A VD + < ,

donde

D (a + 1)2

- a - 2.

Por tanto, - 2 < a < —1.

, i t WÍ «,í ii (< tu¡i nf i ii« i U i - c *'i¡|t i¡u-i mj,' l f i í . r,| * ;> • • 1 , , 1 9 . V ¿ i ~ x ¡ + a x 2 + á¡2 ss i»xj l - f3»a -"a*},

1 tv i'itMíw! Htii >»til< ' . > - - ' 1«, 1 ni» 1

< Solución. No es difícil ver que el análisis de la estabilidad asintótica de ¡a solución nula del sistema se reduce a la búsqueda de las condiciones para las cuales Re A < 0, donde A son las raíces de la ecuación característica

1 - A a b -3-A = A2 + 2A - 3 - ab = 0 =» A1j2 = - 1 ± v ^ + ab.

Para ab + 4 ^ 0, o bien para ai»+4 > 0, Vab f 4 < 1, tenemos que Re Aj < 0 y Re A2 < 0. Resolviendo las dos últimas desigualdades, hallamos que ab < - 3 . •

2 0 . ¿1 - ln (r + ax O - e*1, x2 = 6a; 1 H tg

< Solución. Primero desarrollamos en series de Maclaurin los segundos miembros de las ecuaciones dadas y despreciamos los términos no lineales. Después investigamos la estabilidad asintótica del sistema lineal

a Xi = -Xi - 352/ x2 — bx 1 + ®2-

e Las raíces de la ecuación característica de este sistema son

De aquí se deduce que las desigualdades Re A] < 0 y ReA2 < 0 se cumplen, si

A ( i + l ) < 0 A t > l ( Í + l V ' | V

l í a \ 1 / a \2 _ 1 v 2

V , 2 U + 1 ) + r A e + l ) " Í < 0 A K 4 U + 1 1

=> a < —e A b > Q. •

B6

1 •" ' • .•'J- / -!:.".'rsSi:Vr v'T S v &aHvraaBUBfiaK

2 1 . Inves tigar si es estable Ja solución j^cosí , del-sistema • " ' " ' - i , 'L " v - • - » • r ^ í / j ^ í

f i l W

i , = l r ( x i ~ 2 s c n - J - y , ^

= (4 - x?) eos f - 2a¡a sen21 - eos 3 i . • - * j ¡ f| Solución. Efectuemos los cambios de variable x\ ~ eos t + £\(t), x2 = 2 sen t + £2(t). Ahora investiguemos la estabilidad de la solución nula del sistema

1 2 él = ln (1 + £i) ~ ~£2, é2 — -l£\ - £\ eos t. (1)

Teniendo en cuenta el primer teorema de Liapunov, pasamos del sistema (1) al sistema lineal correspondiente

1 ¿1 — C\ — ~£2/ ¿2 — —2£I.

Debido a que una de las raíces de la ecuación característica de / 1±V5\

este sistema es positiva I A1;2 = — - — j , según el teorema de

Liapunov podemos afirmar que la solución nula del sistema (1) es inestable. Por consiguiente, también son inestables las soluciones indicadas en el ejercicio. •

® Dados los siguientes sistemas (22-27), hallar todas las posi-ciones de equilibrio e investigar su estabilidad.

2 2 . í t = j-3 - xy - xlf x2 = 3rx - x\ - x2.

< Solución. Primero hallamos en el plano Oxxx2 todos los puntos en los cuales x\ = x2 = 0 (puntos de reposo o posiciones de equilibrio), es decir, resolvemos el sistema de ecuaciones

2 2 x2 - X\- xx -- 0, 3xi - xx - x2 = 0.

Tenemos dos puntos de equilibrio: (0,0) y (1,2). Para investigar su estabilidad aplicaremos el primer teorema de Liapunov (v. p. 1.2). En el caso del punto (0,0), despreciamos los términos no lineales en los segundos miembros de las ecuaciones iniciales, y para el

^trayectorias de fase .' ' a ¡Th r, i t t t ~~ '" "

M>'i* ,,t*H-i u, i

sistema lineal obtenido construimos la ecuación característica y hallamos sus raíces: Aj = - 1 - V5, A2 = — 1 + y/3. Vemos que el punto de equilibrio (0,0) es inestable.

Para analizar la estabilidad del segundo punto de equilibrio (1,2), realizamos los cambios de variable xx — 1 + x 2 = 2 + e2. De esta manera, obtenemos el sistema

2 2 é\ — £2 ~ 3¿1 ~ t\, ¿2 — — e l ~ £"2'

Conservando solamente los términos lineales £] y e?, obtenemos el sistema lineal correspondiente é\ = e2 ~ 3£i, é2 — ex - e2. La ecuación característica de este sistema A2 + 4A + 2 — 0, tiene por raíces a A]j2 — - 2 ± \/2, las cuales demuestran la estabilidad asintótica del punto de equilibrio (1,2). •

2 3 . Xj = x2l x2 ~ sen(¿3 + a^).

4 Solución. Del sistema de ecuaciones x2 — 0, sen(«x + x2) — 0 hallamos los puntos de equilibrio: {hit, 0), k G Z. Haciendo X\ = kit 4- £\, x2 ~ £2, obtenemos el sistema

¿i = £2, ¿2 = ( -1 ) * sen{£j + e2),

al cual hacemos corresponder el sistema lineal

¿i = e2, é2 = (-l) f c(£i + e2).

La ecuación característica de este sistema es

A 2 - ( - l ) * A + (~l)*+ 1 = 0 .

Las raíces de esta ecuación son

i /I , ^ 2 y 4

De aquí, en virtud del primer teorema de Liapunov, p. 1.2, se deduce que si k = 2n + 1, la posición de equilibrio es asintótica-mente estable, mientras que si k ~ 2n, la posición de equilibrio es inestable. •

. 2 4 . « , » > H r $ t S » f i f l

< Solución. Resolviendo el sistema de ecuaciones

3 - y j l + x ¡ + x 2 - 0, ln(s? - 3) = 0,

hallamos los puntos de equilibrio: ( - 2 , 1 ) y (2,1). Medíante los cambios de variable x\ = 2{-lf + e\, x2 = 1 + e2 (k — 1,2), obtenemos un sistema respecto a las perturbaciones pequeñas

¿ 1 = 3 - i y 9 + £2 + 4 - ( - l ) f c £ 1 +4,

é2 = ln ( l + 4( - l ) A ei 4- e 2 ) . Determinando mediante la fórmula de Taylor los términos lineales en los segundos miembros de estas ecuaciones, obtenemos el sistema lineal

éi = - - U , ¿2 = 4 ( ~ l ) * £ l , ó o cuya ecuación característica es

Las raíces de la ecuación característica son

De aquí se deduce que para k = 2 se tiene Re Ai|2 < 0; para k = 1 una de las raíces es positiva. Por tanto, el punto de equilibrio (2,1) es estable, mientras que el punto ( - 2 , 1 ) no lo es. •

2 5 . J-1 = ln (1 4- sen a^), x : - 2 + (3 sen - 8)1 ' V ^

•4 Solución. El sistema de ecuaciones

ln ( i + X2 + senah) = 0, 2 + ( 3 s e n » ! - 8)V 3 = 0

tiene los siguientes pares de raíces reales: (kn, 0), donde k £ Z. Al igual que en los ejemplos anteriores, hacemos los

cambios de variable íci = kir +£\, x2 = s2, y por el método ya

I j í íad y trayectorias de fase i r f.1 i

conocido obtenemos un sistema de ecuaciones lineales respecto a las perturbaciones pequeñas £\,£2:

Las raíces de la ecuación característica de este sistema son

Apliquemos ahora el primer teorema de Liapunov, p. 1.2: si k — 2n + 1, entonces Re A] 2 < 0 y los puntos de equilibrio ((2n + 1)tt, 0) son asintóticamente estables; si k ~ 2n, entonces Re A] > 0 y los puntos de equilibrio (2m7t, 0) son inestables. •

Investigar la estabilidad de las soluciones de las siguientes ecuaciones:

26.

M Solución. Sea e(t) una perturbación pequeña de la solución general

obtenemos de manera usual la siguiente ecuación respecto a la función e = £{t):

s + 9e - 0, cuya solución general es

£(t) = A$en3t + Bcos3t. Esto implica que si en el instante inicial la perturbación era pequefía (\/A2 + B2 < 6), entonces en virtud de la estimación |£(í)| < VA2 + B2 < 6 = £, la misma seguirá siendo pequeña Vi > ¿o- De este modo, todas las soluciones de la ecuación inicial son estables (no se tiene estabilidad asintótica, pues £(t) 0 cuando t —+oo) . •

É] = e2 + (-1)%, <?2 = H)*^I, &

x = C\ sen 31 + eos 3t + - sen t 8

de la ecuación dada. Mediante el cambio de variable 1

x = Ci sen 31 + C2 eos 3t + - sen t + £{t), 8

2 7 . * 4 4 * + ' . 0 * =* t. , • ' ' i >' A. > f i, , - » i >t i i»l 'j B

< Solución. Para analizar la estabilidad de la solución general 2

x(t) = Cj + e~2í(C2 eos t + C3 sen i) + - - - — < 1U <¿3

de la ecuación inicial, introducimos una perturbación £ — £(/), haciendo

í2 4 x = C\ + e 2 i(C2 eos í + C3 sen t) + — - —t + e(í). 10 25

Entonces, respecto a e(í) obtenemos la ecuación

£ +4£ + 5é = 0, a partir de la cual hallamos

s(t) = Ai + e~2t (Á2 eos t + A3 sen í ) .

De aquí vemos que si |-4,¡ -h ^JA\ + Aj < S (pequeñas per-turbaciones iniciales), entonces para t > tg también tendremos

)e(¿)| < \Ai\ + \fA\ + Al < 6 = e, donde e > 0 es un número fijado de antemano. Por consiguiente, todas las soluciones de la ecuación original son estables (estabilidad asintótica no hay, debido a que lim x(t) =¡¿ 0), •

t—*+00

28. Hallar la solución periódica de la ecuación x - f j ss'Jji

e in\i'-íi>Viv i'sMlviid.kl ' , '.j,,, j Solución. De la solución general de la ecuación dada se deduce la solución periódica

1 x{t) = -(eos t — sen t).

Haciendo el cambio de variable x — x(¿) + e(í), obtenemos la siguiente ecuación respecto a la función e = e(í):

£ +£ = 0,

cuya solución general

£(t) = Cíe"1 + et/2 (c2 eos + C3 sen —t

no está acotada en un entorno de t = oo. Por consiguiente, la solución periódica obtenida es inestable, >

!¡ En los problemas siguientes, investigar la estabilidad de la solución nula construyendo la función de Liapunov y aplicando el teorema de Chetáev o de Liapunov.

Solución. La función diferenciable v = v(x\, x2) — x] x\ satis-face las condiciones

a) v(xi, x2) > 0 para x2 + x\ / 0, v(0,0) = 0; dv dv dv

b) - r = — + = 2xi{x2 - xi + Xix2) + dt OX\ OXz

2x2(xi - x 2 ~ x \ - xl) = ~2((xi - x2f + x\) ^ 0. Por consiguiente, según el segundo teorema de Liapunov,

p. 1.3, podemos afirmar que la solución nula es estable. Además, por cuanto la superficie

z = 2 ((ai ~x2)2 + x\) tiene forma de taza, existe un entorno suficientemente pequeño

dv ) < 6i < ||ar|| ^ Sz, tal que -— ^ < 0, donde ¡3 es cierto

dt lúmero. Por tanto, la solución nula también es asintóticamente ;stable. •

l, 3 0 . X] = 2x1 - / l í»=r -jt, - x] + x\.

olución. Dado que en un entorno pequeño del punto (0,0) i función diferenciable v = v(x\, x2) = x\ + x\ satisface las Midíciones

a) v(x\, xj) > 0 para x\ + x2 0, i>(0, 0) = 0, dv t * i c

b) — = 2^i (2^2 - je?) + 4XÍÍ-XI - x\ + x2) = dt

~2{x\ + x\~2x\) <0,

itonces, según el segundo teorema de Liapunov, p. 1.3, la solución ila es estable. •

ra,-

í VijiVffiÉHí

i I I i * Pí^Vs'

3 1 * -t s¿£ ~ *¿ = r - 2* - . ¡ ñ l ' f e f f l l i

4 Solución, La función « = v(xirx2) ~ lxi + xif + ~x2 es diferen-

dable, no negativa para x\ + x2 -fi 0 y v(Q, 0) = 0. Su derivada dv

total — , en virtud de las ecuaciones del sistema dado, es dt

dv 3 4 = 2 ( x i + x2)(xi + x2) -t- 2x2xt = -6x2 0 .

dt Por consiguiente, según el segundo teorema de Liapunov (v. p. 1.3), la solución nula es estable. •

ó¿. X] ~ Xi ~ xz - JTjJSj, x2 - 2 j \ - x2 - x?.

•4 Solución. ínicialmente comprobemos que la función diferenciable v = v(xi,x2) = X\ - Xix2 -f -x2 satisface las condiciones del segundo teorema de Liapunov, p. 1.3. En efecto, v{X), x2) > 0 para x] + x\ fi 0 {2v = (a?] - x2f + ®f > 0)- y v(0,0) - 0;

dv — - (2®! - x2)¿i + (x2 - Xi)¿2 ~ ~xí((x 1 - x2f + X?) ^ 0. dt

De este modo, la solución nula es estable. •

3 3 . x\ = - sen — , , J"

Solución. Se puede escoger la función de Liapunov 1 ,

v{xx,x2) = -xx + 1 - eos x2.

Es evidente que en cierto entorno pequeño del punto (0,0), excluyendo el propio punto, se tiene que v(xi, x2) > 0. Luego,

dv a partir del sistema inicial obtenemos que la derivada total — es

di dv — = X\±i + sen x2 • x2 — xh— sen®2) + sen x-, = 0. dt

Consiguientemente, la solución nula es estable. •

-esfflw

lí(Ía| y. trayectorias do fase (Mhj MVMny »„' í I ' i- i11

3 4 * z donde ^ g n / ^ ' ^ g n ' a , t =a 1,2,3,4.

Solución. Tomemos la siguiente función de Liapunov:

ü(«i ,x 2) = J h{z)dz + J f2(z) dz. o o

Es evidente que v(0,0) = 0. En virtud de la condición sgn f¡(z) ~ sgn z, las integrales

«2 J Mz)dz, J h(z)dz o o

ion positivas para x\ -f- 0, x2 0, respectivamente (consideramos ]ue las funciones /,• son continuas). Finalmente, la derivada total es

dv = /3Í®l)aftl + /2(«2)«2 =

= -/3(2l)(/t(®l) + fl&l)) + /2{®2)(/3(®l) - /l(®2)) =

= ~{Mxi)fl{xx) + f2(X2)ft(X2)) a multiplicación de dos funciones de igual signo es no negativa); or tanto, la solución nula es estable. •

3 5 . xi~x¡- x2r t7 =r a-! + r],

ílución. La función v = v(x¡ , x-¿) = x\ + x\ satisface las condi-mes

a) v(xj, xo) > 0 en la región V: x¡ + x2 0. En la frontera de la región V (en el punto (0,0)) se tiene v(0,0) 0.

b) ~ = 2x-i±i + 2a;2á:2 = 2x\{x\ - x2) + 2x2(x\ -f £2) = uc

2(x\ + x2) > 0 para (xu x2) £ V.

• consiguiente, según el teorema de Chetáev (v. p. 1.3), la ición nula es inestable (señalemos que en calidad de función = w(x) aquí se puede tomar la expresión w — 2{x\ + x*)). •

Solución. En calidad de función de Liapunov escogemos la función v(x\, x2) = xxx2 en la región V: X\ > 0 A 0 < x2 < 1. Es evidente que v{0, x2) = v{x\, 0) = 0 ,y que el punto de reposo (0,0) pertenece a la frontera de la región V. Además, tenemos que v > 0 en toda la región V (para todo t), y la derivada total

~ = x i ( l - x2)(x\ + X2) + » 2 = w(xi,íbz) > 0 en V. dt

Por consiguiente, según el teorema de Chetáev, la solución nula es inestable. •

3 7 .

•4 Solución. Veamos la función v = v{x\,x2) = x\ - x\ en la región V: x\ < 1A x2 > |a5i |. En una parte de la frontera de dicha región (para ||x|| £0 — 1) tenemos que v = 0 (el punto (0,0) pertenece a la frontera de la región F ) . Además, en V la función v = v(x\, x2) > 0. Considerando las ecuaciones del sistema inicial, obtenemos que la derivada total

~ =2(x\ + £2 + (l ~xi)x2xl) > 0 en V. dt

De esta manera, se cumplen todas las condiciones del teorema de Chetáev, lo cual significa que la solución nula del sistema dado es inestable. •

x, - XiX *z

3 8 . .Para que v,iKm>s di- a el ^Mcnu de eahKiiinL'S,, r¡ • .fi • ns. - .i-", .r ; •-- -x- - lieiv un punió di- r v p o w j estable en = 0, x2 = 11?

Solución. Despreciemos los términos no lineales en los segundos miembros de las ecuaciones y apliquemos el teorema de Liapunov de análisis de estabilidad mediante la primera aproximación. La ecuación característica A2 - a A + 1 = 0 del sistema lineal

a a2 x\ = x2 + axi, x2 — —X] tiene las raíces Ajj = — ± \ 1.

rî^êctoâa de fase ; • f>

JmmñM^'/ De aquí se deduce que Re A < 0 si a < 0. En ese caso, conforme al teorema de Liapunov, la solución nula es asintóticamente estable. Si a > 0, según el teorema citado, la solución xx = 0, x2 — 0 es inestable. Si a = 0, utilizando solamente el teorema indicado no podemos decir nada acerca de la estabilidad.

Sea a = 0. Escojamos la función v = v(x¡,x2) = x2 + x\ en la región V: x\ + x\ fi 0. Dado que v(xx,x2) > 0 en V,

dv 6 6 •»;(0,0) = 0 y ~ = - a ¡ i - a ; 2 ^ _ ^ < 0 e n e l exterior de cierto entorno del origen de coordenadas, entonces, según el segundo teorema de Liapunov, p. 1.3, la solución nula es asintóticamente estable. Así pues, concluimos que para a ^ 0 la solución nula es asintóticamente estable, mientras que para a > 0 es inestable. •

En los problemas 39-46, investigar la estabilidad de la solución nula analizando el signo de las partes reales de las raíces del polinomio característico con coeficientes reales.

m + 2 x -+- 3± f 2x - 0.

Solución. Para analizar la estabilidad de la solución nula utili-zaremos el criterio de Routh—Hurwitz. En este caso la matriz de Hurwitz tiene la forma

(2 1 0 0 \ 3 4 2 1 0 2 3 4

\0 0 0 2 / Por cuanto sus menores principales

Ai - aj = 2 > 0, A = 2 1 3 4 5 > 0,

A , = 2 3 0

= 7 > 0,

0 0 2 1 3 4 0 2

= 14 > 0,

entonces, según el criterio mencionado, las partes reales de todas las raíces de la ecuación característica A4 + 2A3 + 4A2 + 3A + 2 son negativas, lo cual implica que la solución nula es asintóticamente estable. •

IPfy

4 0 . xv + V F 5 x " l f H 6x" + Sos' + 2* « 0 . , "

Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, apliquemos el criterio de Routh—Hurwitz. La matriz de Hurwitz

¡2 1 0 0 0\ 6 5 2 1 0 2 5 6 5 2 0 0 2 5 6

\ 0 0 0 0 2} tiene los menores principales

A, = 2 > 0, A2 = 2 1 6 5 = 4 > 0, A3 =

2 1 0 6 5 2 2 5 6

= 8 > 0,

A¿ =

2 1 0 0 6 5 2 1 2 5 6 5 0 0 2 5

= 16 > 0, A5 = 2A4 = 32 > 0.

Por tanto, según el criterio mencionado, las partes reales de todas las raíces del polinomio A5 + 2A4 + 5A3 + 6A2 + 5A + 2 son negativas, lo cual significa que la solución nula es asin Icticamente estable. •

4 1 . j-v -r 4J-iv ' 1 6 t " + 25a" I -13/ \ - 0 '••"ÍÍ4

Solución. Apliquemos el criterio de Liénard—Chipar t. Para la matriz de Hurwitz

/ 4 1 0 0 0 \ 25 16 4 1 0 9 13 25 16 4 0 0 9 13 25

\ o o o o 9 y

los menores diagonales principales que nos interesan son todos positivos

j 4 1 0 0 4 1

25 16 = 39 > 0, A4 25 16 4 1 9 13 25 16 0 0 9 13

= 5210 > 0,

•a

^«^p.aü i y a uy celo das de fase

y todos los coeficientes de la ecuación característica X5 + 4A4 + 16A3 4- 25A2 + 13A 4- 9 = 0

son positivos; por tanto, según el criterio citado, las partes reales de todas las raíces son negativas, y esto implica que la solución nula es asintóticamente estable. •

*IV 4- 2x"' >• bx" - 5 / - fxr - 0 .

•4 Solución. La matriz de Hurwitz /2 1 0 0

5 6 2 1 0 6 5 6

\ 0 0 0 6 tiene menores diagonales principales positivos:

2 1 0 Ai - 2 > 0, A3 = 5 6 2

0 6 5 = 11 > 0.

Dado que todos los coeficientes de la ecuación característica

A4 + 2A3 + 6A2 + 5A + 6 = 0 son positivos, según el criterio de Liénard—Chipart, las partes reales de todas las raíces de dicha ecuación son negativas. De esta manera, tenemos una estabilidad asintótica. •

4 3 . j-v ) « 4* ' " -i •te" •+ 2x = ü.

A Solución^ Para investigar la estabilidad emplearemos el criterio de Mijáilov. En el caso dado, las raíces de los polinomios

J»(0 = 2-3Í + Í2, q{V) = if - 4tj + j

3 5 son: £1,2 = 1,2; - por consiguiente, 0 < & < í/i < £¡ <

Como vemos, se cumplen todas las condiciones del criterio de Mijáilov (v. p. 1.4), por lo que podemos concluir que la solución nula es asintóticamente estable. •

9$

4 4 . W ' ^ a / ' ^ t o a s O . '

M Solución. Utilicemos los criterios anteriormente empleados. Dado que a0 = 1, a\ = 1, a2 — 1, «3 — 2, los menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son

A j = l > 0 , A2 • 1 1 2 1 = - 1 < 0, A3 =

1 1 0 2 1 1 0 0 2

= - 2 < 0.

Por tanto, según el criterio de Routh—Hurwitz, no todas las partes reales de las raíces de la ecuación

m A3 + A2 + A + 2 = 0

son negativas, lo cual implica que la solución nula no es estable asintóticamente.

Por cuanto las raíces de los polinomios

m = 2 - Í , í W = 1 - » ?

no satisfacen la desigualdad 0 < £1 < r¡i, según el criterio de Mijáilov podemos afirmar que no todas las raíces de la ecuación /(A) = 0 tienen partes reales negativas.

Supongamos ahora que al menos una de las raíces de la ecuación /(A) = 0 es un número imaginario puro. Entonces, evidentemente, ambas ecuaciones 2 — ui2 = 0 y w( 1 - w2) 0 deben tener las mismas raíces reales. Sin embargo, dado que no se tienen raíces comunes, hemos llegado a una contradicción.

De este modo, la ecuación /(A) = 0 tiene obligatoriamente una raíz con parte real positiva, lo cual significa que la solución nula es inestable. •

4 5 . x f V + 2x" •<• 3 / + 7x' , 2x 0. i ,yj¡,"i' J

ítlíftóiíit!

M Solución. Los primeros menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son

Ai = 2, A2 2 1

\7 3 = - 1 .

í f í l lpcf y tfoyéctorlas do fase

Por tanto, no todas las raíces de la ecuación

/(A) = A4 + 2 A3 + 3A2 + 7A + 2 = 0

tienen partes reales negativas. Supongamos que la parte real de una de las raíces es nula: A — iw. Entonces tenemos w4 - 2iu)3 -3w2 + 7w + 2 = 0, o bien - 3w2 + 2 = 0 A -2w3 + 7u¡ - 0. La última relación demuestra que nuestra suposición es imposible; por consiguiente, al menos una raíz tiene parte real positiva, y esto significa que la solución nula es inestable. •

4 6 . • ®v h 5./:,v' + 15*'" + 48»" - 44x' - 74a: = 0. " ' " ' " " :

< Solución. Utilicemos el criterio de Mijáilov. Aquí = 74 -48£ + 5£2, ¥¡(i}) = 44 ~ 15?? + rf, an = 74 > 0, = 44 > 0. Además, las raíces

24 T V m 6,2 = ~ 1,9; 5,7; = 4; 11,

o de las ecuaciones p(£) = 0, q(r¡) = 0 satisfacen las desigualdades 0 < £i < f¡\ < £2 < V2- Por consiguiente, la solución nula es asintóticamente estable. •

B En los problemas siguientes (47-51), determinar para qué valo-res de los parámetros a y & la solución nula es asintóticamente estable.

47. x"' 3x" i. ax' :- bx = t). | f j j

< Solución. Construyendo la matriz de Hurwitz

3 1 0 b a 3 , 0 0 i»

vemos que todos sus menores diagonales principales son positivos si 3a - b > 0 y b(3a - b) > 0. Consecuentemente, para 3a > b > 0 la solución nula es asintóticamente estable. •

tliíf Í&1 f

, " . « i . > VI i i*. - - 1 v 11 , > >

< Solución. Al igual que en el ejemplo anterior, construimos la matriz de Hurwitz

1 a 0 0 I l l a 0 6 1 1 0 0 0 6

y calculamos sus menores diagonales principales

Ai = 1 > 0; 1 a 1 1 = 1 — a;

A 3 -1 a 0 1 1 1 0 6 1

= 1 - a - b; A4 = 6{1 - a - b).

Según el criterio de Routh—Hurwitz, para que haya estabili-dad asintótica es necesario y suficiente que se cumpla la rela-ción

l - a > 0 A l — a — 6 > 0 A 6 ( 1 — a - 6 ) > 0 A a > 0 .

Resolviendo este sistema de desigualdades obtenemos las condi-ciones requeridas: a > 0, í> > 0, a 4- & < 1. •

4 9 . a:!v i- ax'" i 4 * " + 2x' + hx = 0. •• - .-«AU

<4 Solución. Aplicando el criterio de Liénard—Chipart, obtenemos

Aj = a > 0, b > 0, , A3 = a 1 0 2 4 a 0 6 2

= 8a - a 6 - 4 > 0.

Vemos que la estabilidad asintótica se observa si se cumplen las desigualdades

a¡ < a < a2/ 0 < b < 4; a u — (4 =F 2a/4 - b)b~\ •

-'¡f

líafobüiííad yi trayectorias de fase

V|IV W ' t M M MI" ' - M'llllI' /aiul'nY ) • 1, . 5 0 ; , ^ í . ^ + V + W + a - d ; * , . W ' . f A ' . ' :

n I .r-y.'Si,!' í* l.'-'l'Vl»

Solución. Análogamente al ejemplo anterior tenemos

a 1 0 Ai = ai > 0, 6 > 0, A3 =

. Ci

5 4 a 0 1 b

= 4ab - a2 - b2 > 0,

de donde hallamos las condiciones de estabilidad asintótica:

2 - \ / 3 < ^ < 2 4 - v / 3 (a > 0, 6 > 0). •

5 1 . x" i- x" 4 (I X + 5a í = 0. Hallar la región de cstabi*

Solución. Apliquemos el criterio de Liénard—Chipart. Por cuanto

= a(a - 5) > 0, « A 1 1 a > 0, A2 = L 2 5 a a

tenemos que la solución nula es asintóticamente estable si a > 5. Sea 0 < a < 5. Suponiendo que una de las raíces de la

ecuación /(A) = A3 + A2 + a2 A + 5a = 0

es un número imaginario puro, llegamos a una contradicción, pues

f{iu)) = — ib? — LO2 4- ia2u + 5 = 0 =4» w2 = 5a A w2 = a2.

Esto significa que para a < 5 no hay estabilidad. Si a = 5, a partir de las últimas expresiones se deduce que Ai,2 = ±5¿. No es difícil hallar que A3 = - 1 . De esta manera, para a = 5 la solución nula es estable {no hay estabilidad asintótica debido a que no existe lim e(í), donde e(t) es la solución perturbada). •

í +oo

5 2 . I n péndulo e-l.i turm.idi' J . v r ii!'.a b,i¡r.i nt-.id.i .le longitud l y un cuerpo de masa m unido al extremo libre {fig. 2). Dos muelles de rigidez k están unidos a la barra a una distancia a del punto de fijación. Determinar la condición de equilibrio del péndulo en la posición superior.

í 02

, I, "i , •Íií'lwíilliiji^^^^^^

A Solución. Sea <p el ángulo de inclinación de la barra respecto a la vertical. Considerando que el ángulo <p es pequeño, podemos escribir sin dificultad la función de Lagrange L — K — U, donde K, U son las energías ciné-tica y potencial del sistema, respectivamente. Tenemos: ITOJUIT

l K = -ml2<p2,

m

-jjTJTORJ"

U ka2tp2 + mgl eos <p, X 2 2

L — -mi íp 2 Y

2 2 ka ip mgl eos <p. F i g . 2

(la energía cinética de los muelles se desprecia). Utilizando las ecuaciones de Lagrange, escribimos la ecua-

ción diferencial que describe las oscilaciones pequeñas de la barra respecto a la posición vertical:

d fdL\ dL 2 , 2 — 1 I = mí + 2ka tp - mgl sen 0 la barra reali-za oscilaciones pequeñas alrededor de la vertical. Por consiguiente, si 2ka 2 > mgl, la posición vertical de la barra es estable. •

5 3 . n M'U-m.1 mi'i anii u ivpn-eii!.id.i en L í"i>;ur.i ,1 gíi ilp'di-diT di-I t¡e Mi o'ii 11:1.1 ve!ui-id..d anjrnlar a>n>-!ciiiti: uiy; l n i iicr¡M de ui.i-i.1 M pikMi- move^e lo largo del eje vertical AB. Determinar l.i |'0-icn':i d-- equi;it>r:.ri de cr-íenu (desprecia)' las masas de las barras).

Solución. Para construir la función de La-grange calculamos las energías cinética y po-

Fig.3

|pli]ti3e(á'yJtrnytícl:oríí>9 de fase,

m B t t í S r f f i * ' ^ ' •'

tendal del sistema. Tenemos:

, M x 2 , K = ma2$2 - y - + Jv ,

donde I — ma2 sen2 6, x ~ \CD\ = 2a eos 9. Por tanto,

K = ma2é2 + 2Ma2é2 sen2 9 + maw2 sen2 9.

La energía potencial del sistema se analiza respecto al punto B (\CB\ — 2a), pues el sistema no puede alcanzar posiciones infe-riores a dicho punto. Es evidente que

U = 2mg\K B\+Mg\DB\ = 2mg(2a-acosO)+Mg{2a-2acos9).

De este modo, la función de Lagrange tiene la forma

L = (m + 2M sen2 0)a2é2 +

+ in«2w2 sen2 6 + 2ga(m + M) eos 6> - 2ag(2m + M),

y la ecuación de Lagrange es

d (0L\ dL ,

4- 2a1 MO1 sen 20 + 2ga(M + m) sen 6 - ma2w2 sen 26» = 0. (1)

En la posición de equilibrio 8 = 0, 8 = 0; por tanto, a partir de (1) podemos hallar el ángulo de equilibrio 8q, el cual verifica la igualdad

sen &o {g(M + m) - mauf eos #0) - 0.

De aquí se deducen los valores posibles del ángulo &o'-

g(M + rn) 0Q = 0, eos 0O = «i 2 g 2 sen2si—(M + m)senxi-Mxzsen2xi \¿)

± 2 = J ¿ « (m+2Afsen2a:i)

; Í04

Analicemos la estabilidad del punto de equilibrio (0,0). Haciendo corresponder al sistema (2) el sistema de ecuaciones linea liza do

±i = x2, x2 - ^u>2 - | + «i

y calculando las raíces

,2 8 ( M \l2 = W2 f- 1 y a \m

de su ecuación característica, observamos que para maw2 > g(M + m) el punto de equilibrio (0,0) es inestable por el primer teorema de Liapunov.

Sea maw2 ^ g{M + m). Tomando la función de Liapunov

v = x\ (m + 2M sen2 ati) 4- 2(1 - eos »i) x

í , \ 2 2X\ \ ~{M + m) - mw eos — , \ a 2 J la cual satisface las condiciones íj(0, 0) — 0, v(x\, x2) > 0 para

1 0 < x2 + x\ < -, v{x\, x2) s 0, concluimos, en virtud del segundo teorema, que el punto de equilibrio (0,0) es estable.

Analicemos ahora la estabilidad del equilibrio en el punto (00,0). Cambiando las variables x\ = 0O + yu x2 = y2 en la expresión de la función de Liapunov del caso anterior y exigiendo que v(0,0) = 0, obtenemos

v(:!A, Vi) - yi{m + 2 M sen2(ó>u + yij) + (eos (9{) + yx) - eos 0Q) x

x ^tow 2 (eos (0O -i- yx) 4- eos 60) - 4- m ) ^ .

f'(yi) = » 2 [ • — ( M + m) - eos (0Q + yj) ) sen(0o + Vi), \ amu ¿ )

La derivada

donde

f(Vi) = (eos ($0 + yj)- eos d0) x

mti?2 (eos (0O + ffi) + eos 0O) - ^ ( M + m)^,

satisface las condiciones /'(0) = 0, f'iyi) > 0 para f> > y-, > 0, y fiy\) < 0 para -6 < yx < 0. De este modo, la función / tiene

im

y trayectoria'; de fase

p p ü g ' . ' f 1 ; 1 ! ,

un mínimo estricto en el origen de coordenadas. Por consiguiente, la función v — v(y¡, y2) también tiene un mínimo estricto en el punto (0, 0).

En virtud del sistema

V\

Íl2

yi> muí 2 — sen 2(0O + Vl) - -(M + m) sen(90 + yx)

JL CL

-My\ sen 2(0O + yí) 1

m + 2Jlísen2(flo + ífi)' tenemos que v{yi,y2) = 0. Por tanto, conforme al teorema de Liapunov, el punto (0,0) en el plano y\Oy2 es estable, es decir, el punto (#0/0) en el plano xi Ox2 es estable. •

§2. Puntos singulares

2.1. Definición de punto singular. Clasificación Supongamos que en el sistema de ecuaciones diferenciales

dx dy = M(x, y), — = N(x, y) (1) dt x dt

las funciones M,N son diferenciabas con continuidad en cierto entorno del punto (xg, y$) y se anulan simultáneamente en dicho punto, es decir, M{x0r y0) - 0, N(xih y0) - 0.

Definición. Un punto (®o, j/o) en cuyo entorno las funciones M,N son diferenciables con continuidad y M(xü, yü) = N{x(), y0) = 0, se denomina punto singular del sistema (1) en el plano Oxy.

En el caso más simple, cuando M y N son lineales, es decir, M(x, y) = ax + by, N(x, y) = ex + dy, donde a, b, c, d son constantes, la investigación de los puntos singulares se realiza según el esquema siguiente. Primero se hallan las raíces A¡>2 de la ecuación característica

-A b c d — A

= 0. (2)

•a h£

Punlob angulares!

i PV.'IUÍJ .atíÉ-Wjiíí

Si las raíces son reales, > 0 y Aj fi A2, entonces el punto singular se denomina nodo (el gráfico de las curvas integrales en un entorno del origen de coordenadas recuerda una familia de parábolas cuyos vértices coinciden con el punto (0,0)). Si las raíces tienen signos diferentes, entonces el punto singular se denomina punto de silla, y las curvas integrales representan una familia de hipérbolas un poco deformadas. Si las raíces son complejas, pero Re A12 fi 0, entonces el punto singular se denomina foco, y las curvas integrales tienen forma de espirales que se enrollan alrededor del origen de coordenadas. Si Re ~ 0, pero Im A12 fi 0, entonces el punto singular se denomina centro. En este caso las curvas integrales son cerradas y abarcan el origen de coordenadas.

Además de estos puntos singulares fundamentales, se distinguen los siguientes: el nodo degenerado (A-j = A2 fi 0) y el nodo dicrítico (tiene lugar sólo cuando el sistema es de la forma dx dy — = a s e , — =ay, a f i 0 ) . dt dt

Cuando los puntos singulares son nodos y puntos de silla, el sistema de ecuaciones (1) tiene soluciones representadas por rectas que pasan por el origen de coordenadas. Las direcciones de estas rectas están determinadas por los vectores propios de la matriz

En el caso de un nodo las curvas integrales son tangentes al vector propio correspondiente al A de menor valor absoluto.

Para determinar el sentido del movimiento por la tra-yectoria es suficiente construir en algún punto (x, y) el vector velocidad (x, y).

2.2. Métodos prácticos de estudio de las singularidades

Supongamos que en cierto entorno de un punto singular (xo, yo) del sistema (1), donde se ha introducido un sistema de coordenadas cartesianas Oxij/i según las fórmulas x — x0 + x\, y = y0 + y\, los segundos miembros del sistema se pueden representar en la

y trayectorias tile fase

forma

M(x, y) ~ M(x0 + xuy0 + yi) = axx + byi + a(xuy{), N(x, y) = N(xü + xlf y0 + yx) = ex i 4- dyx + p(xu yx),

donde a ,b ,c ,d son constantes y las funciones a , p son tales que se verifican las siguientes estimaciones

afei/yi) p{xi,yi) rl+s ^ rl+e U

cuando r —* Q (s > 0), r = ^Jx\ + y\. Entonces, si Re A ^ 0, donde A se determina a partir de

la ecuación (2), el punto singular (x^, yo) del sistema (1) es del mismo tipo que el punto singular (0,0) del sistema

dx\ dy\ ~ - a x 1 + byi, — = cx-¡ + dyv. (3) at dt

Si para el sistema (3) el punto singular es un centro, entonces para el sistema

dx i + byx + a(Xj,yi),

< 4> dyi ~- = CXi+ dyi + p{xx, yi), dt

el punto puede ser tanto un centro como un foco. Si las tra-yectorias del sistema {4} tienen un eje de simetría que pasa por el punto singular analizado, entonces dicho punto es tam-bién un centro para el sistema (4). Pasando del sistema (4) a la ecuación

dy _ N{x, y) dx M(x, y)' [ }

es fácil hallar el eje de simetría. Si la ecuación (5) no varía al cambiar x por - x , o y por —y, entonces el centro del sistema (3) es centro del sistema (4). Un foco se tiene sola-mente cuando la solución nula del sistema (1), después de una traslación paralela del sistema de coordenadas al punto sin-gular, es asintóticamente estable cuando t -* 4-oc o cuando t —oo.

108

H En los problemas 54-63, investigar los puntos singulares y representar gráficamente la familia de curvas integrales en un entorno del punto singular.

5 4 . x ~ x + 3y, y = -hs - 5y.

Solución. Construimos y resolvemos la ecuación característica:

~ ¡ A - 5 - A H ^ = Como Re Aj^ < 0, el punto (0,0) es un foco estable (fig. 4). Para determinar el sentido en que se enrollan las cur-vas integrales (espirales), construimos el vector velocidad en el punto (1,0): x = 1, y = - 6 . •

, *. tU • ti'1 tí i,.

y, i

Fig. 4

5 5 . x - - 2 x - 5y, y - 2x + 2y.

( - 5 , 2 )

0

M Solución. La ecuación caracte-rística

- 2 - A - 5 2 2 - A

tiene raíces = ü V 6 . Por con-siguiente, el punto singular es un centro. El sentido del movimien-to por la trayectoria se determina mediante el vector velocidad en el punto (0,1) (fig. 5):

(±(0,1); j ( 0 , l ) ) = ( - 5 ; 2 ) Para determinar las ecuaciones de las rectas y — kx en las

cuales están situados los ejes de las elipses debemos hallar los extremos de la función / = f(x, y) — x2 + y1, bajo las condiciones y — = k y x — —2x — 5y, y = 2x + 2y. De la condición necesaria x

Fig. 5

íÉsUHnliüad y trayecto; ¡as de fase

j^apftulo,^'^ ff

de ¡os extremos, obtenemos la ecuación

df ~ = 2xx -f 2yy = 0, dt

a partir de la cual, después de sustituir las expresiones de x,y, y — kx y de simplificar por x2, llegamos a la ecuación

2k2 - 3fe - 2 = 0.

Así pues, los ejes de todas las elipses están situados en las rectas x

y - 2x, y~-~. •

5 6 . ,t = 3;c - 4y, y = X - 2y. i i kSíÜí í miWhfíi ViMm'mSí

Solución. De la ecuación

3 - A 1

1 ± 3

- 4 | 2 •• A

= 0

hallamos que Ai;2 Las raíces Aj^ son reales y tienen

signos diferentes; por tanto, el punto singular es un punto de silla. En este caso, en la familia de curvas integrales (hipérbolas) hay dos rectas que pasan por el origen de coordenadas: x — t, y = kt

(t es un parámetro). Para hallar la pendiente k sustituimos las ecuaciones paramétricas de las rectas en el sistema de ecuacio-nes diferenciales. Después de excluir el parámetro t obtene-mos una ecuación respecto a k:

4k2 - 5k + 1 = 0,

de donde hallamos kx — l, 1

«2 = - . Por consiguiente, entre

Fig. 6 las curvas integrales tenemos

x las rectas y — x, y — - (fig. 6).

,Punto^ singuleirWJí

{ ! i i

Finalmente, construyendo cuatro vectores velocidad

wi(0, - 1 ) = (4, 2); ^<0,1) = ( - 4 , - 2 ) ;

vi (l, = (10); v4 - ^ = ( - 1 , 0 )

determinamos el sentido del movimiento por las trayectorias. •

5 7 . x 2 .r 3 y, y — x • 4,y. I ' • I* - Vji

aSIftii : - "j

.iw 1 < * j« ''ílftl

•4 Solución. Resolviendo la ecua-ción característica

(2 - A)(4 - A) - 3 = 0

(Ai = 5, A2 = 1),

vemos que eí punto singular es un nodo. Hallemos las rectas integra-les sustituyendo x = t e y — kt en el sistema inicial. Como resul-tado obtenemos la ecuación

3Jfc2 - 2k - 1 = 0,

cuyas raíces son k\ —

buscadas son y — x, y

1

Fig. 7

1, ki = — - . Por consiguiente, las rectas

= - f ( % 7 ) .

Tomando A = A2 — 1 en la ecuación

2 3 1 4

^ -e 2

(A2 es el valor propio de menor valor absoluto de la matriz 2 3 \

4 ))/ P a r a coordenadas en, e12 del vector propio corres-pondiente al valor propio A2 obtenemos la expresión e n + 3 e i 2 = 0. De aquí, haciendo ei2 = 1, hallamos eu — - 3 . Por consiguiente,

el vector e¡ = ( - 3 , 1 ) está dirigido a lo largo de la recta y = — —.

Esta recta es tangente a todas las curvas integrales, las cuales tienen forma de parábolas situadas a ambos lados de la recta. Los vértices de las parábolas son los puntos de tangencia con la recta.

Finalmente, tomando en las ecuaciones iniciales xx = 1; yi = 2; a?2 = — 1, Vi = ~ 2, hallamos dos vectores velocidad t>i(1, 2) = (8,9); w 2 ( - l , - 2 ) = ( - 8 , - 8 ) , que indican el sentido del movimiento por las trayectorias. •

5 8 . .L' = 3-r y, y - y - x .

Solución. Primero hallamos las raíces de la ecuación característica

3 - A l - 1 1 - A

A I = A 2 = 2 .

= 0;

Vemos que el punto (0,0) es un nodo degenerado. De la ecua-ción (3 — A)en + ei2 = 0, tomando arbitrariamente ei2 = 1, para A = 2 p¡g g obtenemos en = - 1 , De este modo, la recta y = -x es una curva integral y todas las curvas integrales son tangentes a ella en el origen de coordenadas (fig. 8).

Utilizando la tabla

X -2 - 1 0 1 2 - 2 - 1 1 2 - 2 - 1 1 2

y - 4 - 2 0 2 4 - 2 - 1 1 2 0 0 0 0

X - 1 0 - 5 0 5 10 - 8 - 4 4 8 - 6 - 3 3 6

y - 2 - 1 0 1 2 0 0 0 0 2 1 - 1 - 2

construimos los vectores velocidad (campo direccional), y a partir de ellos, las curvas integrales. •

'SípIifflfFPSf 5 9 .

Solución tica

ij-

. De la ecuación caracterís-

- 2 - A - 4

1 2 - A

se deduce que Ai = A2 = 0. Esto significa que los coeficientes de las ecuaciones dadas son proporcionales. Por consiguiente, la recta y = 2x esta formada por puntos singulares. La familia de curvas integrales se halla fácilmente a partir de la ecuación

— = 2 dx

=> y = 2x + C (CfiO).

•"«•"ice *

Fig. 9

Físicamente, la familia de curvas integrales representada en la figura 9 se puede interpretar como el retrato de la corriente laminar de dos flujos líquidos que se mueven al encuentro. Además, en ambos flujos el valor absoluto de la velocidad de la corriente crece a medida que nos alejamos de la línea de separación {y = 2x), donde la velocidad es igual a cero. •

60. X 5= x, y = y.

Solución. Construyendo y resol-viendo la ecuación característica ha-llamos las raíces Ai = A2 = 1. Esto significa que el punto (0,0) es un nodo dicrítico. Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones iniciales e integrando el resultado, obtenemos la familia de rectas

y = kx, x = 0 (fig. 10). Por cuanto Re Ax,2 > 0, concluimos que el nodo es ines-table. •

iS

Fig. 10

••BiaSi^v-" T.V"" • l l l ^ l j f ' o ; ^ — 0. • ' "• • wiU: : 'i

•4 Solución. Es evidente que todo el plano Oxy esta formado por puntos singulares. La familia de curvas integrales en el plano Oxy no existe. •

Nota. En el espacio Oxyt las curvas integrales son rectas paralelas al eje Oí,

62.

Solución. Resolviendo la ecuación característica 3 - A - 2

4 - 1 - A

hallamos las raíces

A u = 1 ± 2 i.

Por consiguiente, el punto singular es un foco. Para determinar el sentido del giro de las curvas integrales (espirales) hacemos x = 1, y = 0 en el sistema de ecuaciones

x = 3x — 2 y,

y = 4x-y.

Entonces, teniendo en cuenta el sentido del vector velocidad v( l ,0 ) = (3,4) y que el foco es inestable, concluimos que cuando nos alejamos del origen de coordenadas el sentido del movimiento por la espiral es contrario al de las agujas del reloj (fig. 11). •

Nota. Acerca de la estabilidad del punto singular de la ecuación original no se puede decir nada, pues al cambiar t por —t la ecuación no varía y las trayectorias del movimiento (curvas integrales) no son cerradas, lo cual implica que en este caso la estabilidad depende del sentido del movimiento por la trayectoria.

11A

6 3 * y - • • ••• ,• • 3x + 4y

•4 Solución. Construyendo y resol-viendo la ecuación

3 - A 4 2 1 — A

a C Ü

= 0;

- 1 , Ai — 5, A2 =

vemos que el punto singular es un punto de silla. Haciendo el cambio de variable y = kx en la ecuación diferencial, hallamos las rectas in-tegrales (asíntotas de la familia de hipérbolas deformadas). Tenemos:

2 +fe 1 ki =

Fig.12

k2 = -1. 3 + 4fe ' 2 '

De esta manera, las rectas buscadas son x

V = y - -x.

El punto singular es inestable (en el caso dado, a diferencia de los anteriores, el carácter de la solución trivial no depende del sentido del movimiento por las trayectorias). La forma aproximada de la familia de curvas integrales está representada en la figura 12. •

1 En los problemas 64-70, hallar e investigar los puntos singu-lares de las ecuaciones y sistemas dados.

6 4 . y = lx + y •

x - ly - 5 '•"áa 4 Solución. Del sistema de ecuaciones

2x + y - 0, x - 2y - 5 = 0,

hallamos las coordenadas del punto singular: x = 1, y — - 2 . Luego trasladamos el origen de coordenadas a dicho punto:

x = 1 + 6 y=-2 + rj.

Como resultado llegamos a la ecuación

dn _ 2^ + rj di ~ Z-2t}'

Dado que las raíces de la ecuación característica 11 - A -2

1 - A = 0

son Ay = 1 ± 2i, podemos afir-mar que el punto singular es un foco. Tomando £ = 1, i) — 0 en el sistema

v = 2$ + n, obtenemos el vector velocidad v(l, 0) = (1,2). Si, además, te-nemos en cuenta que para este sistema el punto (0,0) es un foco inestable, entonces podemos ver sin dificultad que partiendo del

origen de coordenadas 0\£r¡ y moviéndonos por las espirales, el sentido de nuestro giro será contrario al de las agujas del reloj (fig-13)-

Nótese que, al igual que en el ej. 62, acerca de la estabilidad del foco no se puede decir nada. •

Fig. 13

' 6 5 . : -

2 y

Solución. Partiendo del sistema

2y = 0, x2 - y2 - 1 0

hallamos las coordenadas del punto singular: (—1,0), (1,0). Ha-ciendo los cambios de variable x ~ — 1 4- y — f], reducimos la ecuación dada a la forma

(1) di e - r f - 2 ? U

Junto con la ecuación (1), analicemos la ecuación linealizada

dr¡ r¡

la cual se obtiene al despreciar los términos no lineales de la ecuación (1). Debido a que las partes reales de las raíces de la ecuación característica correspondiente a esta última ecua-ción diferencial son diferentes de cero (A|,2 = ±2), y la fun-ción

cuando + r¡2 —» 0 (e > 0), entonces, según el p, 2.2, el punto singular de la ecuación (1) es del mismo tipo que el punto singular de la ecuación linealizada. Además, en un entorno pequeño do! punto singular los gráficos de las curvas integrales (1) y de la ecuación linealizada serán aproximadamente iguales (cuanto menor es el entorno, tanto mayor es la coincidencia de los gráficos).

De esta manera, el punto ( - 1 , 0 ) es un punto de silla de la ecuación original.

Haciendo el cambio de variable x = l + £ , y = t¡, obtenemos la ecuación

di} 2 T] = e - ^ + w

cuya ecuación linealizada es

dr] r¡

T ^ l

La ecuación linealizada tiene el punto singular (0,0) que, como se puede deducir a partir de la ecuación

es un nodo dicrítico. Por la misma razón mencionada anterior-mente, el punto (1,0) también es un nodo dicrítico de la ecuación inicial. •

l á i f á f ráyeítbfiae fie /ase Si. V M * / '

av,'1* W<! /. i i i! 1 • , 11'.' -jl j» iti». , J|Hjj i • i Ui»< i K . ^ ' i : 66. y

x 4- y -(-1

i Solución. A partir del sistema de ecuaciones

y + V i + 20x2 = 0, x + + 1 = 0, hallamos los puntos singulares (0 , -1 ) , ( 2 , - 3 ) . Analicemos cada uno de ellos. Mediante los cambios de variable a? = y = —1-i-rj, la ecuación dada se reduce a

75 d j } , - 1 + (i + 20O1/4 ^ + - y í 2 + °(ñ

d€ Z + V La ecuación linealizada

S + V

dr¡ t) + 5£

Í + Í/' como se deduce de su ecuación característica

1 — A 1

5 1 - A = 0 '

tiene un punto de silla (A]/2 = 1 Además, la función

e - -7je+o(e)^o(r^),

por tanto, según el p. 2.2, el punto (0, - 1 ) también es un punto de silla de la ecuación diferencial inicial.

Haciendo los cambios de variable x — 2 + y = - 3 + r/, a partir de la ecuación inicial obtenemos análogamente

20 dr¡ V + zjt + Oi?)

1 - A = 0; Ai, 2 = 1 ±

27 '

Construyendo y resolviendo la ecuación característica 1 - A 1

20 27

comprobamos que el punto (0,0) es un nodo. Considerando, ade-más, la expresión 0 (£ 2 ) = o(r1 + f) , conforme al p. 2.2 concluimos que el punto (2, —3) también es un nodo de la ecuación diferencial dada. •

<"'VÍ '<_ 'vil't , f< w -i"-'.' r ' ifis-'1 .--íirfl

Solución. Primeramente hallamos las soluciones reales del sistema de ecuaciones

ln (2 - y2) - 0, e* - c* = 0.

De la primera ecuación obtenemos y — ±1; de la segunda x — ±1 . Por consiguiente, los puntos ( - 1 , - 1 ) y (1,1) son singulares.

Investiguemos ahora cada uno de estos puntos. Mediante los cambios de variable x — ±1 + y = ±1 + tj reducimos (as ecuaciones diferenciales iniciales a la forma

í = ln ( l =f 2i} ~ V2), V = (e ( - e"). De aquí, aplicando la fórmula de Maclaurin, obtenemos

Í = T2i) + 0(t?), f¡ = eM(t-i} ) + 0 ( r 2 ) .

Resolviendo la ecuación característica

correspondiente al sistema linealizado

4 = =F2Í7, ^ = c ± 1 ( í - i 7 ) ,

vemos que el primer punto singular (al primer punto siempre le corresponde el signo superior) es un foco estable, mientras que el segundo es un punto de silla. En virtud del p. 2.2, estas afirmaciones también son válidas para el sistema analizado. •

6 8 . .i: -- - y +-2-2, y arctg (x1 xy)

Solución, El sistema de ecuaciones

yjx1 -y+ 2 — 2, xz + xy~ 0,

iyectórífis de fase

ifítfWU'í í,'r ' 1 ',< <

tiene las soluciones X\ = 0 , x2 — - 2 , x 3 = 1 e yx = - 2 , y2 = 2, y3 = - 1 . Por consiguiente, los puntos {0, - 2 ) ; ( - 2 , 2 ) ; (1, - 1 ) son singulares.

Haciendo el cambio de variable x = y — -2 + r¡, reducimos el sistema de ecuaciones dado a la forma

í = V í 2 - V + 4 - 2 , í/ = arctg £ ( - 2 + £ + í?). Desarrollando los segundos miembros de estas ecuaciones median-te la fórmula de Maclaurin y tomando sólo los términos lineales, obtenemos el sistema linealizado

i = V - - 2 Í -Las raíces de la ecuación característica de este sistema son A | 2 = ±\/2, lo cual implica que el punto singular es un punto de silla. Según el p. 2.2, el punto (0, - 2 ) también es un punto de silla del sistema inicial.

Traslademos el origen de coordenadas al punto ( - 2 , 2 ) haciendo x — — 2 + 3/ = 2 + j?. Entonces, el sistema inicial adopta la forma

i = - 2 + V<2 - O2 - V, V = -arctg(277 + 2 £ - £ 2 ) . Aplicando la fórmula de Maclaurin a los segundos miembros de este sistema y despreciando los términos no lineales, obtenemos el sistema linealizado

¿ = f¡ = —2£ — 2r).

3 ± V3 Las raíces de la ecuación característica A];2 — — - — son reales

y tienen signos iguales. Por tanto, el punto singular es un nodo. Según el p. 2.2, el punto (—2,2) también es un nodo del sistema inicial.

Finalmente, haciendo a¡ = 1 + y — - 1 + t¡, tras una serie de cálculos análogos reducimos las ecuaciones dadas a las ecuaciones lineales

i £ v í .

Las raíces de la ecuación característica | Ai.2 = — — — I son

complejas y Re A¡2 ^ 0; por tanto, podemos concluir que el punto singular es un foco, y también lo es para el sistema inicial. •

=

•4 Solución. Del sistema de ecuaciones

y y - 2 = 0, 2 2 x = y

hallamos las coordenadas de los puntos singulares: ( - 1 , - 1 ) ; ( - 2 , 2 ) ; (1, ~1); (2,2). Haciendo x ~ ± l + £ , y = -1+r/, reducimos el sistema de ecuaciones diferenciales inicial a la forma linealizada

í - - V , V = ±2£ + 2Í?.

A partir de la ecuación característica

- A - 1 ± 2 2 - A

0,

y en virtud del p. 2.2, deducimos que el punto (1, —1) es un foco (Aij2 = 1 ± i), mientras que el punto (—1, - 1 ) es un punto de silla (AI/2 = 1 ± \/3). Análogamente, haciendo x = ± 2 + y = 2 -)• r), y tomando sólo los miembros lineales, a partir del sistema dado obtenemos el sistema linealizado

£ = 7], f] - ± 4 | - 4j?.

Resolviendo la ecuación característica

- A 1

± 4 - 4 - A 0

y tomando en cuenta el p. 2.2, concluimos que el punto (2,2) es un punto de silla (Ai¿ = —2±2V5) , mientras que el punto ( - 2 , 2 ) es un nodo degenerado (Aij2 = - 2 # 0). •

70. x^ j ^ f - ' - e .

•4 Solución. Partiendo del sistema de ecuaciones

y2 - x = 0, (x - y)2 = 1,

hallamos las coordenadas de cuatro puntos singulares: (0,1); ( 0 , -1 ) ; (—1,0); (3,2). Haciendo los cambios de variable x =

Íidad''y'tríiyectoi"ins de fase

wiíifjr""' y = ±1 + r¡, las ecuaciones dadas se reducen a las ecuaciones lineali/adas

( = ft = e(-{±2V).

Las raíces de la ecuación característica de este sistema tienen la forma

=Fl ± 2e y/l + 4e(l ± 1) + 4e2 A l _ — _ + - ,

_ ± 2e V1 + 4e(1 ± 1) + 4e2 A-j — — .

2 2 Por cuanto AiA2 < 0 (Aj,A2 son raíces reales), entonces, según el p.2.2, tenemos que los puntos (0,1), (0, - 1 ) son puntos de silla. Análogamente, trasladando el origen de coordenadas al punto (—1,0) mediante las fórmulas a; = - 1 + y = f), y tomando en los segundos miembros sólo los términos lineales, obtenemos el sistema linealizado

. 1 £ = -FO - O, V =

Debido a que las raíces

1 l e ^ - " 4 ± ' V 1 6 2

son complejas, según el p. 2.2 el punto singular ( - 1 , 0 ) es un foco. Finalmente, haciendo en las ecuaciones dadas # = 3+£, y — 2+r¡, y utilizando la fórmula de Maclaurin, obtenemos el sistema linealizado

. 1 Í = V = e(4r]-0,

cuya ecuación característica tiene las raíces Ai¿ = 2e + - ±

3e Por cuanto las raíces son reales y tienen

2 ' signos iguales, concluimos que el punto singular (3,2) es un nodo. •

m

En los problemas 71-73, construir los gráficos aproximados de las curvas integrales en un entorno del origen de coordenadas.

7 1 . xy

X-r y'

Solución. Determinemos primero las regiones del plano Oxy donde las derivadas y', y" son de signo constante y las curvas integrales en las cuales dichas derivadas son iguales a cero o no están acotadas.

Resolviendo las desigualdades xy

y £ 0 , x + y

obtenemos el resultado siguiente: si (x > 0 A í/ > 0 ) V ( x > 0 A z + í/<0) V ( y > 0 A x + j r<0) ,

entonces y > 0, mientras que si (a; < 0 A x + y>0) V (x <0 A y <0) V (y <0 A x + y>Q),

entonces y' < 0. Dado que y' = 0 para x = 0 ó y = 0, tenemos que las

curvas integrales cortan el eje Oy formando ángulos rectos y que el eje Ox es una curva integral. Por cuanto en la recta x -f y = 0 la derivada y' no está acotada (sería más correcto decir que la derivada y no está definida en la recta x + y = 0 y que y' —> oo cuando e+j/ 0), en-tonces las curvas integrales se acercan a dicha recta por ambos lados for-mando ángulos rectos con el eje Ox. El cuadro aproximado de las curvas integrales se ilustra en la figura 14: las curvas integrales con derivadas nega-tivas se representan mediante líneas inclinadas hacia la izquierda y las cur-vas con derivadas positivas, mediante líneas inclinadas hacia la derecha.

Para determinar las regiones de concavidad de las curvas integrales resolvemos las desigualdades

y(y - y\)(y - ife)

Fig. 14

y (x + y)3 £ 0 ,

donde

yi,2Íx) - 2 ± " 4 x 3 ) •

Resolviendo estas desigualdades y denotando las regiones donde y" > 0 mediante el signo " + " , y las regiones donde y" < 0 mediante el signo " - ", obtendremos el cuadro representado en la figura 15.

Así, en las curvas y = 0, y = y\(x), y = yi(x) la segunda derivada se anula, mientras que en la recta x + y — 0 no está acotada (precisemos: en la recta x + y = 0 la segunda derivada no está definida, y en un entorno de la misma no está acotada).

Ahora, utilizando esta información acerca del comporta-miento de las curvas integrales podemos efectuar una segunda aproximación (fig. 16).

Sólo nos queda aclarar algunos detalles del comportamiento xy

de las curvas integrales. La función (x, y) y-> ——— y su derivada

parcial respecto a y son continuas para x + y fi 0. Por tanto, por cada punto del plano (ar + y fi 0) pasa una única curva integral. Debido a que y = 0 (x fi 0) es solución de la ecuación diferencial dada, ninguna curva integral puede ser tangente al eje Ox. Es evidente que todas las curvas integrales que entran en el ángulo x + y > 0 A y < 0, caen obligatoriamente en el origen de coordenadas (sería más correcto hablar de una tendencia asintótica de las curvas al origen de coordenadas, pues para

1Í24

x = y = O el segundo miembro de la ecuación dada no está definida). Señalemos, además, que existe una curva integral que entra en el origen de coordenadas y está situada entre la familia de curvas integrales parabólicas y la de curvas integrales hiperbólicas (v. segundo cuadrante).

Finalmente, demostremos que para x > 0, y > 0 ninguna curva integral entra en el origen de coordenadas. Supongamos lo contrario y escribamos la ecuación integral de la curva que entra en el punto (0,0) para x > 0, y > 0:

, , f ty(t)dt m = J T^m-

o

En virtud de la desigualdad

¡ ^ < 1 (í > 0, y(t) > 0),

a partir de la última ecuación obtenemos la estimación

X 2 J tdt = j .

o A su vez

y{t) ^ y(t) t ^ sup t + y(t)^ > í + 3/(f) t + 2'

0

* ,2 r vdt f r x* y(x) < / 5C / - dt- —

' ^ J t + 2^ J 2 3 o o

etcétera. Continuado las estimaciones, en el n-ésimo paso se obtiene

De aquí se deduce que y(x) ^ 0 cuando n —> oo, y esto contradice nuestra hipótesis. Hechas estas observaciones, construyamos la tercera aproximación del cuadro real de las curvas integrales (fig. 17). •

TsttMkU

y trayectorias de fase (i Í'íi;;» ' -

k i' \ I ^

1,,'WV' 'l'. ¡-U- -.-t. .

("i. |>ft 1¡. <. ,.>>' i ,1, t'H I'

Solución, A partir de las desigualdades 2xy

y + x2 <

hallamos las regiones donde la derivada y' tiene signo constante. A saber, si

(x > 0 A y > 0) V (y + x2 < 0 A x > 0) V (x < 0 A y < 0 A y + x2 > 0), entonces y' > 0 . En la parte restante del plano (excluyendo las rectas y — 0, x = 0, donde la derivada es igual a cero, y la parábola y = -x2, donde la derivada no está definida) las cur-vas integrales tienen de-rivada negativa. De este modo, la primera apro-ximación del gráfico de las curvas integrales tie-ne la forma representa-da en la fig. 17. A partir de la expresión para la derivada segunda Fig. 17

2 y x'1 + y2

' (y + x2)3

se deduce que para (y > 0) V (y < 0 A x2 + y < 0) las curvas son cóncavas hacia arriba, mientras que para y < 0 A x2 + y > 0, son cóncavas hacia abajo. Teniendo en cuenta la concavidad, el cuadro representado en la figura 18 se puede precisar (segunda aproximación) (fig. 19).

Señalemos que para la construcción de las curvas en la figura 19 tuvimos en cuenta que

r ' !• Z x y n hm y — lim r = 0, ¡c-^oo X—>oc y -\- X

lo cual, geométricamente, significa que las curvas integrales se enderezan a medida que nos alejamos del origen de coordenadas por cualquier horizontal. Además, al cambiar x por — x la ecuación no varía su forma, lo cual indica que todas las curvas integrales son simétricas respecto al eje Ox.

Fig. 18 Fig.19

Finalmente, determinemos cuáles curvas integrales tien-den al origen de coordenadas. Es evidente que cualquier curva integral que salga de la región y + x2 < 0 cae en el ángulo (x > 0 A y < 0) V (y + x2 > 0). Por otra parte, según el teorema de existencia y unicidad, por cada punto (x, y), donde y + x2 ^ O, pasa una única curva integral. Por consiguiente, ninguna curva integral que salga de la región y + x2 < 0 puede detenerse en el ángulo indicado. En virtud de ese mismo teorema ninguna de las curvas puede cortar el eje Ox puesto que la recta y = 0 es una recta integral. Además, ninguna de las curvas puede alejarse a lo largo del eje Ox hasta el infinito, pues en el ángulo analizado y" < 0. Por tanto, nos queda una última posibilidad, cuando todas las curvas integrales tienden al punto (0,0).

Demostremos ahora que para y > 0 ninguna curva integral puede caer en el origen de coordenadas. Supongamos lo contrario. Para cierta curva y(x) > 0, donde x > 0, pasemos de la ecuación diferencial a la integral

y(x)

X

ty{t) dt

t2 + y(t)'

« H H M M

|,yt*iJ ,L*rVr9^Wtóíias de fase1,

Fig. 20

En virtud de la estimación

hallamos

y(t) t2 + y(t)

1,

y(x) < 2

Análogamente

X

J tdt = x2.

/y

t max dt = (-Ky i2 t2 + y 2'

etcétera. En el n-ésimo paso obtenemos la desigualdad y(x) ^ —. n

Por consiguiente, y{x) 0, lo cual contradice la hipótesis. Teniendo en cuenta todas estas observaciones construi-

mos la tercera aproximación del cuadro de las curvas integrales (fig-20). •

7 3 . y = * y

y 11

I Solución. De un modo análogo al de los ejemplos anteriores, a partir de las desigualdades

xy y-X2

hallamos la región de crecimiento y decrecimiento monótono de las curvas integrales. Luego construimos el cua-dro aproximado del comportamiento de las curvas en el plano Oxy (fig. 21). De la expresión para la segunda deri-vada

y y(y2- 2*4)

{y-x2f '

Fig. 21

vemos que en los gráficos de las funciones y = ±V2x2 las curvas integrales cambian el sentido de la concavidad. Las regiones donde

•Í?R

+ _/ + 1 -I

la derivada segunda tiene signo constante están representadas en la figura 22.

Examinemos la curva inte-gral que viene de la región

a; < 0 A y> 0 A y <x2.

En esta región y' > 0 y y" > 0; por tanto, la ordenada de la curva crece cuando x crece y la concavi-dad de la curva está dirigida hacia arriba (fig. 23). Es evidente que

+ + + + +

y A

M *

n + u 5 »

\ \ + + \\

lim y 3¡—>3¡.„ —0 = +oo,

-00.

- 0 / _ /+

t 1+

+ ,_/+ +

- .r

l ' II - -

Fig.22 lim y

2—>3!(,+0 Por tanto, la curva irá hacia arriba y a la izquierda del punto X = xk. En el punto M no hay inflexión; sin embargo, como se deduce de la figura 23, la curva cambia el sentido de la concavidad y en el punto N debe tener una inflexión, pues este punto pertenece a la curva de inflexiones de las curvas integrales y — V2x2. Cambiando nuevamente el sentido de la concavidad, la curva integral, en virtud de que la derivada es negativa, se irá a la izquierda y hacia arriba (hacia +oo).

Fig. 23 Fig. 24

Examinemos ahora la curva integral que parte de un punto (0, y) hacia las x < 0. Por cuanto y' < 0 para y > x2, la ordenada de la curva crecerá (fig. 24). Sin embargo, en vista de que la

3 2 parábola y = -x es solución de la ecuación diferencial dada,

vi

jadV feyectprias de fase

la curva integral analizada no puede cortarse con la parábola, lo que significa que dicha curva no puede salir de la región

3 2 y > 2

Por consiguiente, el espacio entre las parábolas y = Vlx2

3 2 e y = - x estará colmado de curvas hiperbólicas, una de las

cuales fue analizada antes. La 3 2

parábola y = -x sirve como

línea divisoria de las curvas señaladas.

Para un valor de y < x2

fijo tendremos que

lim — y

xy — 0;

por tanto, todas las curvas in-tegrales en la región y < x2 se aproximan al eje Ox, pero no lo cortan (ya que y = 0 es solu-

2 5 ción y para y = x2 se cumplen las condiciones del teorema de

unicidad). Para y < - Vl:r2 todas las curvas Integrales son cónca-vas hacia arriba; por tanto, no pueden pasar por el punto (0,0). De esta manera, al origen de coordenadas entran sólo dos curvas

3 2 integrales: y = 0 e y = -x .

Partiendo de los resultados obtenidos construimos el cuadro definitivo de las curvas integrales (fig. 25). •

7 4 . Demostrar que si j||||fH

1] i;: ei .L.i '•:</.' • ''//•«ir • • rn.r k-¡;-.l¡i - I" n¡i i - u-a! ecuación diferencial exacta, i

| j | ™ 2) el punto singular (0,0) de esta ecuación es un punto dtj

mmmmamsmBVi

entoníés di,cha ecúación tiene un factor integrante cdptifluoi ¡J en un entorno del origen de coordenadas.

• . „ ' -i . a J J

•4 Solución. Buscaremos el factor integrante fi = p.(x, y), el cual en nuestro caso satisface la ecuación

du da {mx + ny)~ (ax + by)-~~ = ¡i(b - m), (I)

ax dy

en la forma fi = <p(w), donde u> = ax + ¡3y (a, ¡3 son constantes por definir). Sustituyendo la expresión de ji en (1), obtenemos

<p'(új)((ma - a¡3)x + (na - bp)y) ={b — m)<p(u>). (2)

Hagamos (ma - a¡3)x + (na - b¡5)y = A(ax + (3y), donde A es cierta constante. Entonces, a partir de la última identidad hallamos

(m - X)a - a{3 = 0, na ~ (b + X)¡3 = 0. 1 '

Como a fi Oa/3 fi 0, entonces, en virtud de la homogeneidad del sistema (3), llegamos a la condición

{ m - A -a

n -b — X 0 =$>•

^í,2 = ~ (m - b ± s/(m- b)2 - 4(an - lna) ^ .

Debido a que el punto singular (0,0) es un punto de silla, las raíces Ai, A2 son reales. Por consiguiente, los números a, ¡5 también son reales y tenemos, en general, dos factores integrantes, los cuales se obtienen integrando la ecuación (2):

b—m b—m fil = CX |wi| Al , /x2 = C2\u)z\ , (4)

donde + ¡3]y, LO2 = a2x + fi2y, siendo C\, C2 las constantes de integración. Señalemos que, como b fi m (esto se deduce de la primera condición de partida), tenemos que los factores (4) no son constantes.

Dado que AiA2 < 0, uno de los exponentes de (4) es positivo independientemente del signo de b — m, y esto significa que uno de los factores integrantes es continuo. •

a^V"trayectorias do fase

§3. Plano de fase

3.1. Conceptos básicos Un sistema de ecuaciones diferenciales

dxj — = fi{%l,X2,...,Xn), í = l,7l, (1) dt

donde la variable í (tiempo) no aparece explícitamente y las fun-ciones fi son diferenciables con continuidad en cierta región, se denomina autónomo. Pongamos en correspondencia cada solución Xi = <Pi(t) (i = 1, n) del sistema (1) con el movimiento de un punto en un espacio de n dimensiones (x\,x2, .-•, xn). La curva descrita por el punto en el proceso de movimiento se denomina trayectoria. De esta manera, x¿ ~ <p¿(t) (i ~ 1, n) son las ecuaciones paramé-tricas de la trayectoria. El espacio de n dimensiones donde las soluciones del sistema (1) se representan en forma de trayectorias se denomina espacio de fase. En particular, si n = 2, el espacio de fase se denomina plano de fase. El vector / = (/i, f2,. • •, fn) se denomina velocidad de fase. La posición de equilibrio del sistema autónomo se halla a partir de la condición / = 0, es decir, como las soluciones del sistema de las ecuaciones

fi{x],xz .. • ,x„) — 0,

3.2. Construcción del retrato de fase Para dibujar en el plano de fase las trayectorias de un sistema autónomo

x - f(x, y), $ = g(x, y), (2) primero es necesario investigar los puntos singulares de este sistema, y, luego, analizar con ayuda de las derivadas y'x, y"i el comportamiento de las curvas integrales de la ecuación

dy _ gjx, y) dx f(x, y)

(señalemos que a veces las soluciones de esta ecuación son cerradas).

Cuando se pide construir las trayectorias de la ecuación

x = g(x, x),

es necesario introducir la variable y = x, pasando luego de esta ecuación al sistema

x = y, y = g(x, y), el cual es un caso particular del sistema (2).

3.3. Ciclos límites Se denomina ciclo límite del sistema (1) una trayectoria cerrada y aislada de este sistema, la cual posee un entorno totalmente lleno de trayectorias en las que el punto de fase se acerca ilimitadamente a la trayectoria cerrada cuando t —> +oo, o bien t —* —oo.

Si la trayectoria del sistema (1) se acerca al ciclo límite sólo cuando t —> +oc, el ciclo se denomina estable. Si la trayectoria del sistema (1) se acerca al ciclo límite solo cuando i —• — oo entonce» el ciclo límite es inestable. En el caso n — 2 (plano de fase) también se analizan los ciclos denominados semiestables. Un ciclo límite en el plano de fase se denomina semiestable si por una parte las trayectorias del sistema (2) se acercan al ciclo cuando t —* +oo, y por otra se acercan cuando t -+ —oo. Por consiguiente, los ciclos semiestables pueden ser de dos tipos.

Teorema. Sea k un ciclo límite del sistema (2). Supongamos que son continuos tanto los segundos miembros del sistema como sus derivadas parciales respecto a x e y. Entonces, todas la trayectorias internas que comienzan cerca de k se enrollan alrededor de él como espirales, bien cuando t —> 4-OG, bien cuando t —> -oo. Esta afirmación se cumple también para las trayectorias exteriores respecto al ciclo límite.

3.4. Criterios de ausencia de ciclos límites

Teorema (criterio de Bendixon). Si en una región simplemente conexa D los segundos miembros de las ecuaciones (2) tienen derivadas parciales de primer orden continuas y la expresión

dx ^ dy ^ no cambia de signo en ningún lugar y no es idéntica a cero, entonces en la región D no hay ciclos límite.

Estabilidad y, trayectorias de fase

Teorema (criterio de Poincaré). Sea v(x, y) — C una familia de curvas cerradas suaves que cubren el plano Oxy. Entonces, en toda región D donde la expresión

dv dv n = i r J + r y s ( 4 )

conserva el signo no hay ciclos límite.

Una región simplemente conexa D en el plano Oxy no •ontiene ciclos límite si en ella no hay puntos singulares del ¡istema (2).

J.5. Criterios de existencia de ciclos límite

Teorema (de Levinson—Smith). Sea una ecuación diferencial x + xf{x) + g(x) = 0, (5)

donde las funciones f , g son continuas para todos los valores de x y garantizan una única solución del problema Cauchy, la cual depende continuamente de las condiciones iniciales. Supongamos, además, que se cumplen las siguientes condiciones:

1) xg(x) > 0, para x fi 0; 2) /, 9 son funciones diferenciables; 3) f(x) < 0 en (—x\,xi),_ donde x¡,x2 son positivos y f(x) ^ 0 para el

X

resto de los valores de x; además, F(oo) = oo, siendo F(x) = j f[s)ds; o

4) (?(±oo) = oo; • £

5) G(~xi) = G[X2), donde G{x) = J g(s) ds. o

Entonces la ecuación (5) tiene un único ciclo límite estable en el plano de fase (x, x).

Teorema (de Reissíg). Consideremos la ecuación x + f(x) + g{ x)~0, (6)

iloitde f , g son funciones continuas, /(O) — O y xg{x) > O para x ^ 0. Supongamos que las funciones f , g son continuas respecto a todos sus argumentos y aseguran la existencia de una única solución de la ecuación (6), y que dicha solución satisface las condiciones iniciales y depende continuamente de éstas. Sea, además

O Vf(y) ^ O, para |j/| ^ J/i, T¡I > 0; • 2) f(y) sgn y > e > O, para |y| ^ rj2 > qi; 3) max f(y) = M > 0;

Ijíl iji 4) g(x) sgn a; ^ M + e, para 6 > 0.

l'jitonces, en el plano de fase del sistema x = y, y = -~g{x) - f{y)

existe al menos un ciclo límite estable.

I® Dadas las ecuaciones de los problemas 75-89, dibujar las trayectorias en el plano de fase.

7 5 . Ü - x + ar = l).

Solución. Haciendo x = y, pasamos al sistema

x - y, y - x - x2, del cual, dividiendo miembro a miembro sus ecuaciones, obtene-mos

dy _ x - x2

dx y o bien (para y # 0)

ydy = (x- x2) dx. La integral general de la ecuación (1) es

3{y2 - a;2) + 2x3 = C. Dado que al cambiar y por - y las ecuaciones de las curvas integrales no varían, todas estas curvas son simétricas respecto al eje Ox. Asignando valores concretos al parámetro C y utilizando los medios usuales del análisis matemático, construimos el cuadro de las trayectorias en el plano de fase (fig. 26). Nótese que a las

y 'trayectoria;* de fase

curvas que abarcan el punto (1,0) les corresponden los valores de C que satisfacen la desigualdad - 1 ^ C < 0.

La ecuación (1) tiene dos puntos singulares (0,0) y (1,0). Eliminando x2 en esta ecuación, obtenemos la ecuación linealizada

dx y

-A 1 1 - A = A2 - 1 = 0 tiene Dado que su ecuación característica

raíces con partes no nulas, entonces, conforme al p. 2.2, el punto singular (0,0) (éste es un punto de silla de la ecuación linealizada) es un punto de silla de la ecuación (1).

Investiguemos el punto (1,0). Primero trasladamos el ori-gen del sistema de coordenadas a este punto mediante los cambios ar = u = r¡. Eliminando de la ecuación obtenida los términos no lineales llegamos a la ecuación linealizada

óül = A d£ T)'

para la cual el punto singular (0,0) es un centro. De este mo-do, para el sistema inicial el punto (1,0) puede ser un foco o un centro. En virtud de la simetría de las curvas integrales res-pecto al eje Ox (v. p.2.2) concluimos que el punto (1,0) es un centro. •

< Solución. Haciendo x = y, obtenemos

. " W I S M S P S Í

x = y, y~ -2x . De aquí, dividiendo miembro a miembro las ecuaciones e inte-grando, encontramos la familia de trayectorias en el plano de fase: y2 + a:4 = C. Cada trayectoria representa una circunferencia deformada (fig. 27). El punto (0,0) es un centro. •

7 7 . x -í 2,c - 2x = 0. 1( Tí íj'irr J

-4 Solución. Tomando x = y llegamos a la ecuación

dy 2{x~ x3) dx y

cuya solución general es

y — ±yj C + x2(2 — x2). ( 1 )

Como la trayectoria es simétrica respecto a los dos ejes de coor-denadas, consideraremos que x ^ 0, y ^ 0. Si en (1) tomamos x — y — 0, obtenemos que C = 0. Por tanto, la curva

y - V x 2 ( 2 - x2) pasa por el origen de coordenadas (fig. 28).

y A

1 {l

Fig. 28

Para C > 0 todas las trayectorias pasan por encima de esta curva (fig. 29); además, en el punto x = 0 la derivada y' = 0,

'trayectorias de fase

rfiWiJtt'ií'WííMíil.'i«• :!,i

mientras que para y ~ 0 la derivada no está acotada (mejor dicho, y' —• - o o cuando y —> +0).

Para C < 0, a partir de la desigualdad

X2(2 — x1) > -C

se deduce que

yi^VTTc ^ x ^ yj\ + Vi + c (c ^ 4) .

listo significa que al disminuir C, la región de existencia de la familia de trayectorias se contrae, y para C = — 1 las trayectorias degeneran en el punto (1,0) (fig. 30). Finalmente, reflejando res-pecto al eje Ox las curvas representadas en la figura 30, y luego reflejando el cuadro obtenido respecto al eje Oy, obtendremos el cuadro completo de las trayectorias (fig. 31). Es evidente que los puntos (1,0) y ( - 1 , 0 ) son centros, mientras que el punto (0, 0) es un punto de silla. •

C>0

C = 0

Fig. 31

7 8 . « - r J- * + 1 = o.

I Solución. Pasando al plano de fase, tenemos

dy 2X - x - 1 > — = — .

dx y x = y, V = 2X - x-1 (1)

Integrando la ecuación (1) obtenemos la familia de trayectorias

2 y = ln2

x -2x + C. (2)

Ahora, utilizando los mé-todos usuales del análi-sis matemático, construire-mos el cuadro de las cur-vas integrales (2) (fig. 32). Señalemos que a la cur-va que pasa por el punto (1,0) le corresponde el va-

4 lor C = 3 . A las cur-

ln2 vas cerradas que abarcan el origen de coordenadas les corresponden los valo-res de C que satisfacen la desigualdad

2

Fig. 32

íí C <3 4

ln2 " " " Los valores de C para las demás curvas se muestran en la figura 32. •

7 9 . x + 2 e o s £ - 1 = 0 , < -A B ^ a l l l l B H i l i i H e S H M B ^

Solución. A partir del sistema x — y, y — 1 — 2 eos x, obtenemos

dy 1 - 2 eos x 2 „ = ; yz ^2x-4senx + C. 1)

dx y

Resolviendo el sistema y = 0, 1 - 2 eos x = 0, encontramos los

puntos singulares: 2kir, C^j, Nk + 2kir, , donde

k 6 Z. No es difícil establecer que los puntos M¿ son puntos de silla, mientras que los puntos son centros (fig. 33).

AL ^o M 0 JV, 7JI 3 3

_ JL O A 3 U 3

5JT 3 T x

Fig. 33

pStfibllíy'Qd y trayectorias de fase

I p ^ g i i T T ^ " :

Para construir el cuadro de la familia (I), primero construi-mos la curva (fig. 34)

<p(x) = 2x ~ 4 sen x,

y luego el cuadro de la familia

ip(x) = 2x - 4 sen x + C

mediante una traslación paralela del gráfico de la función i(x).

Precisemos: en la figura 37 se representa sólo una parte de la

familia en los entornos del centro Y del P u n to de

silla ( o , | ) .

Para obtener todo el cuadro de la familia de trayectorias en el plano de fase Oxy es necesario continuar periódicamente el cuadro representado en la figura 37 (con un período igual a 2TT),

40

'i" ' TSlkn^jTuT&ffl J. ^ \ Z3, VflPJg

- • r - * f m m t H i

tanto a la izquierda como a la derecha de su posición inicial, lin ese caso obtendremos el cuadro de la figura 38. •

8 0 . + 1 1

<4 Solución. Mediante el cambio de variable x — y pasamos al sistema lineal

x-y, y~ -2y - 5x, con el punto singular (0,0). Como la raíz de la ecuación caracte-rística de este sistema es - 1 ± 2i, el punto singular es un foco estable. Tomando x = 1, y — 0 hallamos el vector velocidad de fase v = (0, - 5 ) , mediante el cual, considerando la estabilidad del centro, establecemos el sentido del giro de las trayectorias en el plano de fase (fig. 39). •

81. £ + x + 2x - x2 = 0.

Solución. Haciendo en esta ecuación x = y, obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales

x = y, y = x1 - 2x - y,

del cual se deduce que los puntos (0,0), (2,0) son singulares. Analizándolos del modo común, vemos que el punto (0,0) es un foco estable, mientras que el punto (2,0) es un. punto de silla. Las rectas

yx - x - 2, yz = -2x + 4

son tangentes a las curvas integrales que entran en el punto de silía (fig. 40). Ahora, teniendo en cuenta el signo de la derivada

, x2 - 2x — y V /

y

podemos esbozar el cuadro de las curvas integrales (fig. 41). Obsérvese que en la parábola

y = x2 - 2x

las curvas integrales alcanzan valores extremos; ellas cortan el eje Ox perpendicularmente y el eje Oy bajo un ángulo de 45°. Con estos datos podemos construir el cuadro de las curvas integrales (fig. 42). •

Fig. 41 Fig. 42

8 2 . x + o.

•4 Solución. Partiendo de la ecua-ción

dy x2 - y1 - 1 (1)

V > T \ i i 11 11111H i i [ \ T / . . . . II fl I I ñ-H-H-

Fíg. 43

dx y hallamos las regiones de creci-miento y decrecimiento de las curvas integrales en el plano de fase Oxy (fig. 43). Las curvas in-tegrales cortan las curvas

x2 - y2 - 1 = 0 horizontalmente y el eje Ox per-pendicularmente.

Hallamos los dos puntos singulares ( - 1 , 0 ) , (0,1). Como las raíces de la ecuación característica correspondiente al sistema linealizado

( = ri, r¡ = son imaginarias, el punto singular ( - 1 , 0 ) puede ser un foco o un centro del sistema

± - y , y = x2 - y2 - 1. Teniendo en cuenta que al cambiar y por ~y la ecuación (1) no varía su forma, concluimos que el punto singular observado es un centro de dicho sistema.

s í '

g l b l í í d a ^ y trayectorias de fase

El punto (1,0) es un punto de silla y las rectas

th = - 1), y2 = ~V2(x - 1) son tangentes a las curvas integrales que entran en él. Los puntos singulares se muestran en la figura 44.

De esta manera, considerando todo lo dicho y a partir de las figuras 43 y 44 construimos el retrato de fase (fig. 45). •

Fig. 44 Fig. 45

8 3 . ;}• | 5 * - 4 ^ -I- 1

= 0.

I Solución. Excluyendo el parámetro t del sistema de ecuaciones diferenciales

, ®2 + 1 -x - y , y = 4 ln ™ 5 y,

llegamos a la ecuación

x2 + l dy 5 y

(i)

(2) dx y

con puntos singulares en (—1, 0), (1, 0). Resolviendo la desigualdad

4 ln x2 + \

5 y

determinamos las regiones de monotonía de las curvas integra-les (2) en el plano de fase (fig. 46). La curva

4 , x2 + 1 y = - ln

5 2

es cortada por las curvas integrales horizontalmente, mientras que la curva y = 0 es cortada verticalmente. Investiguemos ahora los puntos singulares.

Haciendo x — y=T) en el sistema (1) y despreciando los términos no lineales, obtene-mos el sistema linealizado

j¡ - 4£ - 5r¡.

Dado que las raíces de la ecua-ción característica son

- 5 ± v 5 T A , , 2 = -

(A, « 0,70; A2 » -5 ,7) ,

tenemos que el punto singular (1,0) es un punto de silla. Las rectas

y ~ A¿(a; - 1), y = A2(a; - 1) son tangentes a las curvas integrales que entran en el punto. Análogamente, tomando ar = - l -| -£ , t/ = í/en (1), obtenemos ei sistema linealizado

cuyo determinante característico tiene como ceros a

Ai = - 1 , A2 = - 4 .

Por consiguiente, el punto singular ( - 1 , 0 ) es un nodo. De la ecuación

encontramos que todas las curvas integrales que pasan por el nodo son tangentes a la recta y — -x — 1, mientras que de la ecuación

Fig. 46

se deduce que todas las curvas indicadas se cortan con. una curva integral que pasa por el nodo y que en este punto tiene por tangente a la recta y = ~4x - 4. Los entornos de los puntos singulares se representan en la figura 47.

Finalmente, considerando todos los datos obtenidos cons-truimos el cuadro de fase completo (fig. 48). •

84. & = 4 - 4a: - 2y, y = xy.

Solución. Partiendo del sistema 4 - 4x - 2y = 0, xy = 0

encontramos los puntos singulares (1,0), (0,2). De la manera usual establecemos que el punto (1,0) es un punto de silla, mientras que el punto (0,2) es un nodo degenerado; en el punto de silla

7r las curvas integrales entran formando un ángulo a = - —. Las

curvas integrales cortan el eje Oy horizontalmente y la recta 4 - 4x - 2y = 0 verticalmente. Resolviendo la desigualdad

xy £ 0 ,

4 - 4x - 2y <

establecemos las regiones de monotonía de las curvas integrales (fig. 49). Para representar con más precisión el comportamiento de

las curvas integrales analicemos el signo de la segunda derivada ,, 4y(y - y{)(•{./ - y2)

y

donde yi = 2 - x + x entonces

(4 - 4x - 4y) 3

, 3 /2 3/2 2 - x - xm (x > 0 ) . S i x < 0,

y „ __ 4y (y2 + y{2x - 4) + (1 - x){4 + s 2 ) )

(4 - 4x - 2y)3

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Fig. 50

^ 0, para x ^ 0

^ 0 para a; < 0,

Fig. 49

Resolviendo las desigualdades

y(y - y\){y - yi) (4 - 4x - 2y)3

y y

(4 _ 4 X _ 2yp ^ ' hallamos las regiones de concavidad de las curvas integrales (fig. 50). Señalemos que en la recta 4 — 4x — 2y — 0 y en las curvas y — yi, y = yi algunas trayectorias cambian de concavidad. Estudiemos ahora las curvas integrales que pasan por los puntos singulares. Por el punto de silla pasa la recta y = 0 y una curva

5 que corta el eje Ox formando un ángulo a = — arctg - . Esta curva

tiene un punto de inflexión en la parábola y — yi, corta el eje Oy

'Sfá.'y trayectoria? de fase

horizontalmente y la recta 4—4x - 2y = 0 verticalmente, y entra en el nodo forman-do un ángulo de 135° con el eje Ox. La parte inferior de esta recta (para y < 0) pasa por debajo de la parábola

£C y ~ 3/2, puesto que: 1) y' ~ — — cuando

y —* - o o , e ~ - - x 1 ^ 2 ; 2) no puede

pertenecer a la región comprendida entre las curvas y ~y% y 4-4x-2y = 0, para y < 0, pues, de ser cóncava hacia arriba, tendría que cortar la recta 4—4x~2y = 0, lo cual es imposible, o quedarse en esa misma región, lo que tampoco es posible en virtud de 1) (fig. 51).

Investiguemos el nodo. Saliendo del punto angular por la tangente a las curvas y = y\ e y = yi, la trayectoria (a) puede entrar solamente en la región III, pues en la región I es cóncava hacia abajo y esto no es posible para la trayectoria analizada,

mientras que en la región 11 la concavidad está dirigida hacia arriba y esto implica que la tra-yectoria debe cortar la curva integral (a), lo cual también es imposible. De esta manera, des-pués de entrar en la región III, la trayectoria de fase corta la recta 4 - 4x - 2y = 0 vertical-mente, después el eje Oy hori-zontalmente y, como es cónca-va hacia arriba, se aleja hacia la izquierda y hacia arriba. Aho-ra examinemos las trayectorias que salen del nodo hacia arri-ba y hacia la izquierda. Aquí tenemos dos posibilidades. La primera consiste en que la tra-yectoria de fase (fi) primero en-tra en la región I, después en

y) . i V r -

^ \\

2

1 Á v í l A / L A

III-0 - *

R y s 11 \ \

, vT V\ («>l V A *

R y s 11 \ \

, vT V\ («>l V A *

Fig. 51

las regiones If, Ifl y, finalmente, se aleja hacia la izquierda y hacia arriba. La segunda posibilidad es que la trayectoria de fase (7) entra en la región IV, después corta la recta 4 - 4x - 2y — (1 verticalmente, el eje Oy horizontalmente, cambia el sentido de la concavidad en la curva y = y\ y, finalmente, tiende asintóticamen-te al eje Ox. En la figura 52 se representan las posibles salidas de las trayectorias de fase del nodo.

Demostremos, finalmente, que todas las curvas integrales que salen del nodo, salvo la curva (a), tienden asintóticamente al eje Ox cuando x —• +00. Evidentemente, es suficiente demostrar que Ve > 0 3x para el cual la curva integral (J3) corta obligato-riamente la recta 4 - 4x - 2y — 0. Sustituyendo x por -x en la ecuación diferencia]

(para mayor comodidad), pasamos a la siguiente ecuación integral de la curva (/3):

f ty(t) dt

0 Evidentemente, y(x) > e > 0 para x > 0. Sea y(x) < 2(1 + x) para x > 0. Entonces, a partir de (2) obtenemos la estimación

e f tdt { x 1 \

0 Considerando la última desigualdad, a partir de (2) obtenemos una estimación más precisa:

( 1 f 4t + t2 - t ln (1 + t) \

X 0 /

\ 16 J t + 4 j o

( x2 l f t ln (1 + í) , \ = e [ 1 + / dt ¿

V 32 16 J t + 4 } ' v o 7

«rautas

Por tanto,

0 < e 1 + — + —

x 2 1

3 2 ~~ 1 6

x 2 X — + — 3 2 1 6

x 1 +

ln (1 + í) dt] =

32 16 16

ln (1 + x) , x ^ 0.

ln (1 + a) ) < y{x) < 2(1 + as).

Fig. 53

De aquí no es difícil ver que V e > 0 3 cc0 para el cual la curva (fl) corta la recta indicada. En efecto, xü satisface la desigualdad 0 < x0 < x, donde x es solución de la ecuación

l + ^ + + = 2 ( l + x), x > 0.

Si x +oo e y está acotada, a partir de la ecuación diferencial (1) se deduce que

y'fr) y 4 y(x) ~ Ce ~z¡i

"150

es decir, cuando x t oo todas las curvas integrales tienden asintóticamente al eje Ox. £1 comportamiento de las curvas integrales para y < 0 no requiere una investigación detallada. La forma aproximada de las trayectorias de fase se representa en la figura 53. •

8 5 . * = 2® i y2- 1, y = fe - j M 1. • i ' f y * ] J s l l i ásSBi i lM

Solución. Partiendo de las desigualdades

6x - y2 + 1 2x + y2 - 1

determinamos las regiones de monotonía de las trayec-torias de fase (fig. 54). Nóte-se que, salvo en los puntos singulares (0,1) y (0 , -1 ) , las trayectorias cortan la parábola 2x + y2 - 1 = 0 verticalmente y la parábola 6x - y2 + 1 = 0 horizontal-mente.

Utilizando el méto-do conocido podemos esta-blecer que el punto ( 0 , - 1 ) es un foco inestable, y el punto (0,1), un punto de silla; además, en este últi-mo las rectas y = 1 - 3x e y = 1 + x son tangentes a las curvas integrales (fig. 55), Demos-tremos ahora que toda trayectoria que pasa por el punto (®o, 0) corta obligatoriamente la parábola 2x + y2 - 1 = 0 (a¡0 < 0). Para mayor comodidad, cambiemos x por —x e y por ~y en la ecuación

Fig. 54

6x y =

y1 + 1 2x + y2 — 1

>iuffln

í f g ^ r a y e c t ó r i a s de fase

H ^ j p í / p ' V

Fig. 55 Fig. 56

y escribamos la ecuación integral de la trayectoria indicada x „

y\t) y(x) f +

~ 2Í + 1 - y2m dt. (1)

Como y2(t) ^ 0, entonces de (1) se deduce la desigualdad i0

f 6f - 1 , / dt =

J 2Í + 1 3{« + x0) - 8 ln

2® + 1

1 - 2a;n' -*0

la cual indica que la ordenada de la curva investigada crece. Debido a que este crecimiento es de orden mayor que el lineal, entonces existe un X\ tal que

y{Xl) - ^/T+2x¡. A partir de la expresión de la segunda derivada

y 8

{2x + y1-\f

8

(y2 - 1 - 2xyy) =

((y2 - l)(2x + y2- l + 2xy) - llx2y) (2x + y2- l)3

je, entre las pa para y < 0 todas las trayectorias son cóncavas hacia arriba. Por vemos que, entre las parábolas 6x ~ y2 + 1 = 0 y 2x •[• y2 l = 0,

esta razón, las curvas integrales cortan la parábola bx — y2 + 1 = 0 y después se alejan hacia arriba y hacia la derecha.

De este modo, teniendo en cuenta todo lo dicho, podemos construir la familia de las trayectorias de fase (fig. 56). •

no varía su forma al cambiar x por -x e y por —y, entonces el cuadro de las trayectorias de fase es simétrico respecto al eje Ox y al eje Oy. No es difícil hallar que los puntos singulares (0, :.t-1) son centros, mientras que los puntos (±1,0) son puntos de silla por los cuales pasa la trayectoria elíptica

Resolviendo las desigualdades xy

- > 0 i o o < ' 1 — x¿ - y¿

hallamos las regiones de decrecimiento (crecimiento) monótono de las trayectorias de fase (fig. 57) •

Solución. Dado que la ecuación diferencial dv 2xii dx 1 - x2 ~ y2

Fig. 57

H^^trí»jií?ctorifl5 do fase •> ~

Fig. 58 Fig. 59

8 7 . * -T ( n y? - i, y - - y 2 - ¿ + l

-4 Solución. Al igual que en los ejemplos anteriores, primero halla-mos las regiones de monotonía de las curvas integrales (fig. 58) y después determinamos los puntos singulares y de qué tipo son: ( 0 , - 1 ) es un punto de silla, (1,0) es un foco inestable, ( - 3 , 2 ) es un nodo y (0,1) es un punto de silla. Del sistema linealizado de ecuaciones diferenciales se deduce que en el punto ( 0 , - 1 ) las tangentes a las curvas integrales tienen la forma

x-1, y y = -1 +

y en el punto (0,1) las rectas son

1 y

l + l / - ]x~l;

1

En el nodo las trayectorias son tangentes a la recta

1 - V3. y -(x + 3) + 2.

Por este punto pasa, además, una curva integral con tangente

1 + y/3. y -(x + 3) + 2.

• iS/i

En la figura 59 se representan los puntos singulares junto con entornos pequeños su-yos.

Finalmente, es intere-sante determinar el compor-tamiento de las curvas in-tegrales que pasan por las singularidades. En particu-lar, demostremos que la cur-va (a) se convierte en una de las espirales del polo (1,0), mientras que la curva (b) evita el polo y en la franja {x + y}2 ^ 1 pasa por debajo de la curva (a).

Escribamos la ecuación integral de la curva (b) para x > 0, y ^ 0:

\ \ y i

\ 10,1)

jr

(a)

( C ) \ s Fig. 60

a> i - t - t m

{t + y(í))2~ 1 dt. (1)

Tomando en consideración las desigualdades 0 sí y(t) < 1 y i + y{t) > 1, a partir de (1) obtenemos la estimación

y{x) > 1 Ir-(t + y{t))

{t + y(t)f dt

1

X

/ dt > 1

X

f dt _ j 2~

x ' " i -1 +1 + y{t)

o o De aquí se deduce que la curva (b) corta el eje Ox en el punto z0 > 2. En la franja (x + y)2 < 1 la derivada y' > 0; esto significa que la ordenada de la curva (a) crece y, por esta razón, puede cortar la recta x + y = 1 en el punto (x\,y\), donde x\ < 2. De esta manera, las trayectorias (a) y (b) no "logran encontrarse": la trayectoria (a), como se puede ver en la figura 60, se convierte en una espiral, mientras que la trayectoria (b), contorneando el polo y cortando verticalmente las rectas x + y — 1 y x + y = —1, tiende asintóticamente a la curva (c).

Proponemos al lector analizar el comportamiento de las demás curvas integrales mencionadas, cuyas formas aproximadas se representan en la figura 60.

A partir de los resultados obtenidos podemos construir el retrato de las trayectorias de fase (fig. 61). •

88. ± - (2x - yf - 9 , y = (je - 2 y f - 9.

I Solución. Partiendo de las desigualdades

(a - 2yf - 9 $ 0

(2x - yf - 9 <

hallamos las regiones de monotonía de las curvas integra-les (fig. 62). Nótese que las curvas integrales cortan las rectas

2x-y — ±3 vertica [mente y las rectas x-2y = ± 3 horizontalmeiv te. Se puede comprobar que los puntos singulares ( - 1 , 1 ) , {1, - 1 ) son puntos de silla, y que los puntos (3,3), (™3, - 3 ) son nodos. Además, la recta integral y = x pasa por los nodos, mientras que otras dos curvas integrales pasan por dichos puntos perpen-dicularmente a la recta indi-cada. Las pendientes de las tangentes a las curvas inte-grales en el punto (—1,1) son k-¡ — 2 + V3, k2 = 2 — V3. Mediante los cam-

x + y bios de variable u =

\/l '

la ecuación di-

adopta la forma

dy dx

dv dv.

[x - 2y)2 - 9 { 2 x _ y)2 _ 9

uv a + ¡3u2 + 7t>2

Al cambiar u por —u, o v por ~v, la última ecuación no varía su forma; por tanto, las curvas integrales son simétricas respecto a la recta x + y = 0 y respecto a la recta x — y = 0.

Considerando todo lo dicho anteriormente podemos cons-truir la familia de trayectorias de fase (fig. 63). •

8 9 . t = x2~y, y~(x-y){x~y + 2). .

•4 Solución. Pasando a un nuevo sistema de coordenadas Ouv mediante las fórmulas x = v, y = 1 - u, a partir del sistema dado obtenemos la ecuación diferencial

dv 1 — v2 - u du (u + v)2 - l'

Fig. 63

cuyas curvas integrales ya fueron analizadas en el ejemplo 87. Por consiguiente, si el sistema de coordenadas representado en la figura 61 se traslada paralelamente hacia la derecha en una unidad y luego se hace girar 90° en el sentido contrario al de las agujas del reloj, entonces obtendremos el retrato de las trayectorias de fase del sistema de ecuaciones diferenciales dado. •

Dibujar en el plano de fase las trayectorias de los sistemas en coordenadas polares de los ejemplos 90-92 y determinar si hay ciclos límites.

90. = 1.

"158

•4 Solución. Dividiendo miem-bro a miembro una ecuación por la otra, obtenemos

dr — = r(r - 1) ( r - 2). dtp (1)

De aquí, si 0 < r < 1, en-dr

tonces — > 0 , es decir, d¡p

r = r(ip) crece monótonamente cuando ip —• +oo (t —>• +oo);

dr si 1 < r < 2, entonces < 0,

d(p Fig. 64 es decir, r = r(<p) decrece mo-nótonamente cuando t +oo. Es evidente que r = 1 es solución de la ecuación (1). Por consi-guiente, según el p. 3.3, la circunferencia r = 1 es un ciclo límite estable.

Analicemos una trayectoria cerrada más: r = 2. Puesto que dr

para 1 < r < 2 la derivada — < 0, mientras que para r > 2 d 0, entonces las trayectorias r — r(<p) se alejan

ií^P de la circunferencia r ~ 2 cuando t — +oo. Por consiguiente, la curva cerrada r = 2 es un ciclo límite inestable (fig. 64). El sistema dado no contiene otras trayectorias cerradas. •

91. •ir ds —- - sen r, -— =s 1. df dt lá

•4 Solución. De la ecuación sen r — 0 se deduce que r = kw (k £ Z, k 0) son trayectorias cerradas aisladas del sistema dado.

dr Si 0 < r < 7T, entonces sen r > 0 => — > 0. Por tanto,

dt todas las trayectorias que salen de un entorno suficientemente pequeño del origen de coordenadas se aproximan a la circunfe-

dr rencia r — ir cuando t —> +oo. Si ir < r < 2tt, entonces — < 0.

dt iWtgMUHlHWli

Fig. 65

Consiguientemente, r jt + 0 cuando i —» +00, es decir, la circunferencia r = 7r es un ciclo límite estable.

dr Sea 2ir < r < 3ir. Entonces — > 0 y las espirales se alejan

de la circunferencia r = 2n cuando t —> 4-00. Por tanto, el ciclo r — 2TT es inestable.

De forma análoga se establece que la circunferencia r = 3x es un ciclo estable. En general, las circunferencias

r = (2 k + 1)tt, k - 0,oo representan ciclos estables, mientras que las circunferencias

r = 2kir, k e N son ciclos inestables (fig. 65). •

rkn» dr 1 d<p 92. - = , . „ - , ) s e n ¡ 1 = 1 .

•4 Solución. Las circvmferencias

r = 1 — k = ±1, ±2, kir

son trayectorias aisladas del sistema dado. Investiguemos su estabilidad.

1 dr Sea 0 < r < 1 . Entonces — > 0, lo que significa

7T dt 1

que las espirales se aproximan a las circunferencias r — 1 1 1 dr *

desde adentro. S i l < r < 1 , entonces — < 0. Por 7r 2w dt

consiguiente, las trayectorias de fase se enrollan alrededor de la circunferencia desde afuera. De este modo,

1 r = 1

7T es un ciclo límite estable.

Siguiendo esos mismos razonamientos llegamos a que el 1

ciclo r = 1 - — es inestable. En general, los ciclos

*• = ! - , , * (» = 0 , 1 , 2 , . . . ) (2 ra + l)7r

son estables, mientras que los ciclos

r = n * (« = 0 , 1 , 2 , . . . ) (2 n + 2)?r son inestables. De la misma manera hallamos que los ciclos

1 , 1 , 1 r = 1 + 1 + — , . . . , 1 + , . . .

27T 4ir (2 n -f 2)ír son estables, y que los ciclos

1 1 1 TT 37T (2 n + 1)7T

donde n — 0 , 1 , 2 , . . . , son inestables. Dejamos a cargo del lector dibujar las trayectorias de fase. •

9 3 . ¿Bajo qué condiciones el sistema •'•*;¡i SBÉHHPBMHBIM

ñip • ;ft¡íí i - ' - £

iiiT'.d>- LA IUIKÍ.'III / e- . iiii'i'ii..i, íii-I 11 ciclo límite? ¿Bá]&"$ qué 101 iiliciones dicho ciclo es estable, inestable o ¡semiestablé1??"^

iíy y Vayectorias de fase

Solución. Supongamos que la ecuación /(r) — 0 tiene una solución positiva aislada r — R, es decir, 3 e > 0 para el cual no hay otras soluciones en el segmento [R ~ e, R -f s]. Supongamos que la función / está definida en ese seg-mento.

Integrando el sistema, obtenemos

<P = Ci +

tp — +

r

I R-e

R+e /

dp

TÍPY R~e <r < R,

dp

J(P) , R<r < R + e,

De aquí vemos que si las integrales impropias

R+e f dp f dp

J 75) y J R-e

f(p) (1)

divergen hacia ±00, entonces cuando r —* R + 0 o cuando r —> R - 0 el ángulo polar 0 para R — e < r < R, entonces cuando t +00 todas las trayectorias suficientemente cercanas se aproximan a la circunferencia r = R tanto desde adentro como desde afuera, es decir, el ciclo límite es estable. Es evidente que el ciclo r — R es inestable si la función / cambia el signo de a " + " cuando pasa por cero. Finalmente, se observa semiestabilidad en el caso en que, cuando t —> +00, las trayectorias se aproximan por uno de los lados al ciclo, mientras que por el otro se alejan. Por consiguiente, se debe cumplir la igualdad

dr dr sgn — ™ sgn — ,

(R,R+S) d(P (fi~efi) d<P es decir, en un entorno de r = R la función / no cambia de signo. •

• " v : i : PiSH»

r,V;.<.»ÍWf:.¡-|¡ .¡H-nMKittU'iJBilSl* «WvllW.ÍIi'ií1" **i 9 4 . ¿Para qué Valores de la constante a el

- = ( r - l)(a -i- sen" <?). —

tiene tul ciclo límite estable? es inestable?

¿Para qué valores de a'el ciclo

•4 Solución. Dividiendo miembro a miembro una ecuación por la otra e integrando, obtenemos

i i f ( 1 ^ s e n 1 | r - l | = Cexp | l a + 2 J V T ~ / '

De aquí vemos que las trayectorias cerradas son posibles sólo para 1 1

C = 0 (para cualquier a fi - - ) , ypara a—- - (para cualquier

Sin embargo, en el último caso tenemos una familia de curvas cerradas pero no aisladas, pues el valor del parámetro C se puede cambiar continuamente. De este modo, la circunferencia r = 1 es

la única solución periódica aislada ( a fi - - J . Es evidente que

1

r — r({p) —> 1 cuando ip —» +oo sólo si a < - - , es decir, el ciclo

límite es estable solamente para a < - - , •

H En los problemas 95-101 establecer si hay ciclos límite.

9 5 . .i- - af - - y-, y ^ x* , y 4 y1 - y ' , í

•4 Solución. Por cuanto las funciones / = f(x, y) = x5 + 3x3 + y2, g — g(x, y) — x'' + y5 — y3 + y tienen derivadas parciales conti-nuas y

^ + ^ = 5x* + 9x2 + 5y4 + 3y2 +1 > 0, dx dy

entonces, conforme al criterio de Bendixon, en el plano de fase no hay ciclos límite.

W"-y?'* Y* 1 • • V i ? -2y , y = +i/.

Solución. Tomemos la familia de curvas suaves cerradas que cubre el plano Oxy en la forma

v(x, y) = 3x2 + y4 = C.

Por cuanto

« = ~ f + = M ® 3 - 2y3} + 4</3(3x + y) = 6x4 + Ay4 > 0, ax dy

entonces, según el criterio de Poincaré, el sistema de ecuaciones diferenciales dado no tiene ciclos límite. •

. 9 7 . x^x2 + y2-n, y^--Ty.

•4 Solución. El sistema dado no tiene puntos singulares; por tanto, según el p.3.4, no existe ninguna región simplemente conexa del plano Oxy que contenga ciclos límite, •

9 8 . a.- -i 2x 4- j ? i j- = 0,

•4 Solución. Pasemos al sistema x - y ,

y = -2y-y3-x

y apliquemos el criterio de Bendixon:

dy d i •> JL + ( _ 2 y - y3 _ X) = - 2 - 3y- < 0 . ax dy

Por consiguiente, no existen ciclos límite. •

9 9 . £ -Y fx2 I J í - x:i = 0.

•4 Solución. Utilicemos el teorema de Levinson—Smith. Aquí las funciones / = f(x) = x2 - 1, g = g(x) = x3 son continuas para todos los valores de x y, evidentemente, garantizan que la solución

del problema de Cauchy es única y depende continuamente de las condiciones iniciales. Además se cumplen las condiciones:

1) xg(x) = xi>0 Vx fiO; 2) f , g son funciones diferenciables; 3) x2 - 1 < 0 en ( - 1 , 1 ) , x2 - 1 ^ 0 para Ja?} > 1;

x i

/

x

(.s2 - 1) ds = ~ - x y F(oo) = oo; o x j

/

X

s3ds = j y G{±oo) ~ 00; o

6) G ( - 1 ) = G ( 1 ) = -4

Consiguientemente, de acuerdo con el teorema señalado, en el plano de fase Oxy existe un único ciclo límite estable. •

100. x + ±3 - a- + x ~ í).

Solución. Apliquemos el teorema de Reissig. Tenemos:

1) /(O) = 0, donde f(y) = y3 - y; 2) xg(x) > 0, donde g{x) — x para x fi 0;

3) yf(y) = yi~y2 = y2(y2 - 1 K o para I j i U I ; 4) f(y) sgn y = \y\(y2 - 1) ^ e > 0 para |p] > r}2 > 1;

, 2 5) max \y3 - y\ — M — —= > 0;

2 2 6) sgn x = |x| + e para ¡x¡ J ¡ 6 - + e;

7) las funciones / y g son continuas y garantizan el cum-plimiento de las condiciones de existencia de una solución única y localmente estable del problema de Cauchy.

Entonces, según el teorema señalado, en el plano de fase (x, x) existe al menos un ciclo límite estable. •

llétttbllidEl^.y1 trayectorias do fase

•y IÍ.i,•„r, • >,," ", *• 0„donde F es-una-función continua;'

m; F(p) iO. para ¡/ > 0 yF(y) < 0 para ?/ < 0,

•4 Solución. Tomemos la familia de curvas suaves cerradas v(x, y) = x2 + y2 = C y construyamos la expresión

dv dv tl = f— +9—,

dx dy donde / = f(x, y) — y, g = g(x, y) — -x- F(y) son los segundos miembros del sistema de ecuaciones diferenciales

x = y, y - - x - F(y). Entonces, como O = -2yF(y) < 0, no hay ciclos límite en

el plano de fase (por el criterio de Poincaré). •

v-1 ~ •

{i-

Ejercicios Investigar la estabilidad de la solución de las ecuaciones y sistemas siguientes:

1. x2y" -1 xy' + y = 0. 2. (2x + lfy" + 3(2x +1 )y' - 4y = 0. 3. x3y"' + xy' ~ y = 0. 4. (1 + x2)y" + xy' + 2t/ = 0.

2ty = 0,

+ 2tx — 0. + t(2x - y) = 0,

t(x -y) = 0. í t2x" + tx' + x - y = 0, l t2y" + ty' - 2x + y = 0.

8 . y"+2y'+5y^Q. 9. yv + 2yw + 5y"' = 0.

10. yw + 2y'" + 4y" + 3y' +2y = Q. 11. yw + 2y"' + 3y" + 2y' + ay = 0. 12. x' + x + 5y = 0, y' - x - y = 0. 13. x' = x + z - y, y' = x + y - z, z' = 2x - y. 14. x' = 2x - z, y' = x - y, z' = 3x - y- z. 15. x' = 3x - 3y + z, y' = 3x - 2y + 2z, z' ~-x + 2y.

Utilizando el primer método de Liapunov, investigar la estabilidad del punto de reposo indicado en los siguientes sistemas:

16. x' = x2 + y2 - 2x, y' = 3x2 -x + 3y; (0,0). 17. x' = ex+2y - eos3®, y' = V^+Sx -2ey; (0,0).

IN. ;«' = ln (3e!y - 2 eos a-), y' = 2c1 - i^H f 12y; (0,0). 22 10

l'i. x' = tg(« - y) ~ — y' = V9 + 2z - 3, 2' = -—y; (0,0,0).

An.ilizar la estabilidad del punto de reposo indicado en los siguientes sistemas:

20. x" = 2x - 3y + xy, y" = x ~ 2y + x2 + 1/2; (0,0). ••I, = e9 — 1, y" = ln(l + x); (0,0). 22. x" + 3y" -x + cosy-0, x' + 3y' - e2y + 1 = 0; (1,0). 23. x" - 2 y " + e ^ - 1 +sen( j -3 ¡/) = 0, 4y" ~2x"-sen x' +2s/Y^2x + 5y-2 = 0; (0,0). 24. x" = -Wl-2x -seny + 4, y" = ln(1 + x); (0,0). W. x" = x-y, y'= e2*-e»; (0,0).

Utilizando el segundo método de Liapunov, investigar la estabilidad del punto nulo de reposo de los siguientes sistemas:

2f>. x' — y — 3x - x3, y1 — 6x ~ 2y. 27. x' — -xy, y' = ~x3. 28. x' - -y - xy1, y' = 2x - y - y\ 2'). x' - 2y - x3, y' = 2x - y3. 30. x 31. x 32. x 33. x 34. x 35. x 36. x 37. x

= 3y2 — x5, y' = —3x — y5.

= -x+ 3y' + x2, y" - - y ' - y - 3x. = x3 - y + x' - x, y' =x'2 + y2 + y. ~ -y' - x - xy3, y" = x — y — y1. = -x-xy, y" = -y3 + x3. = —x' — y — x ~ xy1, y' = — y + x' --y + x'-y3.

Método de transformaciones integrales de Laplace para la solución de ecuaciones

diferenciales lineales

Durante el proceso de resolución del problema de Cauchy, para la determinación de las constantes de integración correspondien-tes es necesario resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Esto se puede evitar si se emplea el método de trans-fonnaciones integrales de Laplace. Utilizando este método pode-mos obtener la solución del problema sin recurrir a la solución general de la ecuación. Este método, conocido como cálculo operacional (simbólico), se utiliza ampliamente para resolver mu-chas clases de ecuaciones diferenciales lineales, tanto ordinarias como en derivadas parciales, así como de ecuaciones integro-diferenciales lineales tipo convolución. Muchos problemas de electrotecnia, radiotecnia, teoría de control automático y muchas otras ramas de la ciencia y la técnica, se reducen a estas clases de ecuaciones.

Transfomiíiclón do [.aplaco. Conctpl

§ 1. Transformación de Laplace. Conceptos y propiedades principales

1.1. Original y transformada Denominaremos función original a toda función / : R —> C definida en toda la recta numérica E y que satisfaga las condiciones siguientes:

1) la función / y todas sus derivadas de orden n son funciones continuas o continuas a trozos en toda la recta numérica;

2 ) V i < 0 / { £ ) = 0 ;

3) existen ciertas constantes M > 0 y a > 0, tales que V t. > 0 se cumple la estimación

Se denomina índice de crecimiento de la función / el número a — inf{a}. Para las funciones acotadas a = 0.

Las condiciones 1) y 3) se cumplen para la mayoría de las funciones / que describen procesos físicos. Desde el punto de vista físico la condición 2) es completamente natural, pues en física no interesa en absoluto como se comportan las funciones buscadas antes del instante inicial, el cual siempre se puede tomar como el instante t = 0. El método operacional sirve para resolver ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales, de lo cual ya hemos hablado con anterioridad.

La función original más simple es la función de Heaviside

Si cierta función tp satisface las condiciones 1) y 3) pero no satisface la condición 2), entonces, el producto

satisface la condición 2), es decir, el producto es una función original. En adelante, el factor T¡ no se escribirá en las notaciones de las funciones, sino que éstas se considerarán iguales a cero para

|/(í)| < Meat.

si t < 0, si t ^ 0.

si í < 0, si t 0

t < 0.

[M^tqdp, transformaciones integrales de Laplnet

Definición. La función de variable compleja p = s + ia determinada pol-la expresión.

+co

m = J f{t)e-ptdt, (1) o

se denomina transformada de Laplace de la función /.

La relación entre las funciones / y F se representa sim-bólicamente mediante el signo ==, es decir, / = F. El sentido de esta notación es que al original / se le hace corresponder la transformada F, y que la transformada F tiene por original la función /.

Si la función / es original y su índice de crecimiento es a , entonces la función F existe y es analítica en el semiplano P = {p G C | Rep > a } .

1.2. Propiedades de la transformación de Laplace

Teorema 1 (de homogeneidad). Si/ = F y a € C, entonces af = a,F,

Teorema 2 (propiedad lineal). Sifj = Fp Rep > a¿ (j = 1 ,n), entonces n n

X ) ^ f j ^ Y1 / i j f J' R e p > m a x

j=l j=1 Kií» donde pj son números constantes dados, reales o complejos, y aj son los índices de crecimiento de las funciones /y.

Teorema 3 (de semejanza). Seaf == F, Rep > a. Entonces V/3 > 0

Transformación do l.nphKc. Conceptos y propiedades priridj j^f^

•

Teorema 4 (de retraso). Sif A F y r > 0, entonces

f(t - r) = e~prF(j>).

El sentido de esta relación es que al desplazamiento del argumento en la clase de los originales le corresponde la operación de multiplicación por una función exponencial en la clase de las transformadas.

Teorema 5 (de adelantamiento). Sif = F y r > 0, entonces

f{t + T) = eT J e~ptf(t) dt

Corolario. Si f es una función periódica de período T, entonces T

= T T T ^ f / 1 ® * ' " d L

o

Teorema 6 (de desplazamiento). Si f = F, p0 € C, entonces

Teorema 7 (de diferenciación del original). Sif = F y las funciones (k = 1, n) son originales, entonces

f'(t) = pF(p)-f(oy,

fi2\t)±p2F(p)-pm-f'm;

/<»>(() = pnF(p) - pn~'m - pn~2f'(o) - . . . - /(ri l)(o),

donde fík'{0) ~ lim f(k){t) (k = 0, n - 1) en el caso general.

^^^Vtr'ttrtsfocmatíones integrales de Laplace

' Í í m P Í Í í y : 1 " 1 1

Teorema 8 (de diferenciación de la transformada). SiF == / , Rep > a, entonces

F'(P) = ~tf(t);

• f{%) = t2m¡

F(n)(j>) = ( - 1 )ntnf{t).

Teorema 9 (de integración del original). Sif = F, Rep > a, entonces

L

I /(r)dr = . F(p)

Teorema 10 (de integración de la transformada). Sif = F, Rep > a y la +00

integral J F(q) dq converge en el semiplano P — {p £ C | Re p > ai > a } , Q

entonces +00

f(t) dq = —-—.

+00

/ t

Teorema 11 (de relaciones límites). Si f y su derivada f son originales y F = / , entonces

lim pF(p) = /(O), p—>00

7T donde p oo dentro del ángulo |argp| < — - 6 y /(O) — lim /(i). Si,

2 í—i+tx además, existe lim f{t) — f(+oo), entonces

í—I>+00

lim pF(p) = /(+oo). p—t o

Transformndón de Laplace, Conceptos y propie;

IB Hallar las transformadas de las siguientes funciones:

1 . La función de Heaviside r¡. " . A ^ M la

•4 Solución. Según la fórmula (1), p. 1.1, tenemos +00

-pi Jt — 1!t_ F{p) = j r}(t)e o

J dt = lim / e~p dt = x—i+oo ,

O

,-pt lim

2->+00 p

t=O 1 e~p*

lim I-Í+OO \p p

Sí Re p > O, entonces lim e px = 0. Por consiguiente, X—'+00

1 1 = - , Rep > 0. •

P

•4 Solución. Según la definición, tenemos +oo +oo

F(p) = J eate~pt dt= J <T<P~B,Í dt = o o

= lim l e J - { ? - « ) < At — dt = lim

1

si

De este modo,

lim

®->+oo i p — a p — a

R e p > Re a.

1

x—t+oo p — a

-{p-a)x \ |

í=0

i=z

P~a

al • e = p — a

-, Re p > Re a. •

fratáforma'donés1 integrales1 de Laplace

• 3 . }{t) - a1 («. > 0).

A Solución. Escribamos la función / en la forma a1

utilicemos la solución del ejemplo anterior. Obtenemos , 1

a ^ — r R e p > l n a . • p - ln a

„í 1n a

. 4 . f[i) = r>, «>-i.

A Solución. Según la definición de trans-formada tenemos

+ 00

dt.

Tomando pt — r , obtendremos

F(p) 1

V ,a+l J e Tra dr, Fig. 66

7r donde 7 es un rayo de dirección | argp| < —

(fig. 66). La función r i-> e ^ r " es analítica en el semiplano T — { r € C | R e r > 0}. Analicemos el contorno cerrado L, com-puesto del conjunto ordenado (71,7^,7") de curvas orientadas (fig. 67). Según el teo-rema de Cauchy para funciones analíticas, 0 ^ tenemos Fig. 67

J e'Wdr = J e~TTadr + J e-TTadr + J ,

de donde

e~TTadT + j e-TTadT + j e T dr = 0,

7i 7h T

J e~TTadT = j e~ltadt + J e~TTadr

Ti 7 R (tuvimos en cuenta que / e~rTadr = - J e^TradT, y que r — t

7 7" en 71). Como lim e~TTa = 0, entonces lim f e TTadr — 0,

|r|-»+oo ü->+00

TVmififoi'mm.'lt'ín di' üipluce! Conceptos'y* jprOple^^jíSI^

por consiguiente, +00

J e~TradT = J e~ltadt = F{a + 1), a + 1 > 0,

7 o donde F es la función gamma de Euler. De esta manera,

„ ría + 1 ) ta= pa+l , a > - l , R e p > 0 . (I)

El resultado obtenido se puede extender a los casos en que a < — 1 A a —n, r é N , ra > 1. Para esto recurriremos a una propiedad conocida de la función gamma, la cual se expresa mediante la fórmula

r(n + a) = (ra + a - 1 )(n + a-2)... &r{á), a > ü, y permite prolongar la función en el semieje negativo sin los puntos xn — —n (ra € N), suponiendo que

, F(n + a) r(a)=. " -n < a < —n + 1. a(a + 1 ) . . . (a + n - 1)

Para el caso analizado a < — 1A a ^ -n, ra G N, n > 1, tenemos ta = ^ra + a + l) m

' (a + l)(a + 2) . . . (a + n)pa+l' En este último caso el original y la transformada se denominan generalizados. •

5. f{t) = 2

I Solución. En correspondencia con la fórmula (1), ej.4, tenemos

i r [ n + 3-

n+l/2 \ 2 píi+3/2

Utilicemos las siguientes propiedades conocidas de las funciones gamma:

( 1\ (2ra — 1)!! _ (2 ra)! _ r(a + 1) = aTia), r (ra + - \ = L^-rf.

'jt i a ÍW ¿íránBÍOímadonps Intégralos de Laplace

oítuib a- KF ,

Obtenemos:

jji+i/2 (2n + l ) ! 0 F n¡22n+lpn+3/2"

r Vñ 1 En particular, v t = — — ^ . •

" 6 . / ( t J ^ . í T S -

Solución. Apliquemos la fórmula (2), ej.4. Obtenemos V /' I

¿n+1/2 ' - » + J ) (-71 + 3/2) . . . P

( - l ) " v ^ r 2 " ( - l f v ^ r n !

-ti+1/2

(2n - l ) ! ! p - n + !/ 2 (2n)!p~B + V 2 '

En particular, = vt

( t, si 0 $ í < a, 7 . /if) 2« - t, si a < t. < 2a,

l 0, si / .> 2fl, f < 0.

Solución. Utilicemos la fórmula (1), p. 1.1. integrando por partes, obtenemos

+<x> a 2a

F(p) = J f(t)e~pt dt = J te^pl dt + J(2a - t)e~pt dt = 0 0 a

Tranwfoniuidón do Upliicu. Conceptos

i'

= * + = I (1 _ e-"")2 . p¿ p2 -2 v

Por consiguiente,

p2 p2

1

P

8 . a) /íí) - '•en/, b) /(/] • h 1: <j /(/) = cosí ]

Solución. Utilicemos la solución del ej. 2: e" = , para p - o

Rep > Re «.

a) sen* = i (e¿ í - e ^ ) = i - =

b ) s h í = Í ( e ( - e - 0 = - f ^ — ^ = - y " — ; ' 2 \ / 2 \p - 1 p + V p2 - 1

c ) c o s t = j ( e * + e - » ) = = i ( 1 1

^ p — i p + i p2 + r

d) 2 \ / 2 \p — 1 p + l j p2- 1 Durante la resolución del ejemplo utilizamos la propiedad

lineal de la transformación de Laplace. •

9 . a) /(f) = sen at; b) f(t) = sh at; c) f{t) = eos a i j

Solución. Recurramos al teorema de semejanza y al ejemplo anterior. Tenemos:

1 1 a a) sen at = ^ " *

a p

ar + 1 p2 + a 2 '

ta a b) i sh at = sen tal ==• ——7—7, sh at = —• -;

p¿ + (»a)¿ p¿ - c r

12 ta. 41

"-fÓinn^ibñee integrales do Laplace

c) eos at ==

P a

+ 1 p2+a2

a, . P d) ch at = eos iat = •p2 -f (ia)•

r, ch at = P p2 — a2

10, a) f(t) = eos 2at; b) f(t) = ch 2at; c) f(t) = sen2 al; d) f(t) = sh 2at; e) f(t) - sen at eos ftt; f) f(t) = sen at ch }5t, g) }(t) =íCOsaísh / t t .

Solución, a) Escribamos la función / en la forma f(t) = 1 - (1 +cos 2at) y utilicemos la transformada de la función fj(t) — 1 {v. ej. 1), la de la función fi{a) — eos 2at (en el ej. 9 c, en lugar de a tomamos 2a), y también la propiedad lineal de la transformación de Laplace. Obtenemos

2 , . M A . y \ P2 + 2«2 eos 2 \p p2 + 4a2 / p(p2 + 4a 2 ) '

b) Escribamos la función / en la forma /(f) — eos2 iat y sirvámonos de la solución del ej. a). Hallamos

2 p2 + 2(ia)2 p2 - 2a2 ch at —

p{p2 + 4(ia)2) p(p2 - 4a2)'

c) Dado que sen2 at = ~(1 - eos 2at), entonces

2 * • 1 í 1 P \ sen at — - I — 2 \p p2 + 4a 2 /

Utilicemi del ej.c). Tenemos:

2a2

p(p2 + 4a 2 ) '

d) Utilicemos la igualdad i2 sh 2at = sen2 iat y la solución

2 2 2 (iflcr 2 2 a i sh at = sen iat == —— .,. . — i p(p2 + 4(¿a)2) p(p2 - 4a 2 ) '

sh 2at = ^U pijp- — 4a 2)

Tronsformiición de í.nplact'.

e) Llevemos la función / a la forma

f(t) = ~ (sen(a - p)t + sen(a + p)t) y recurramos a la solución del ej.9a. Obtenemos

1 ( a-p a + p \ sen at eos pt = -- [ ™— — + — —- = 2 \P + (a - P)2 p2 + {a + P)2J

a(p2 + a2 - p2) (p2 + ( a _ /J)2)(p2 + (a + "

f) Escribamos la función f en la forma sen a i ch pt sen at eos ipt. Entonces, según el ej. e),

/ h m - aip2 + a2 + P2) _ sen ai en + + { a + -

_ a(p2 + a2 + P2) ~ (p2 + a2 — p2)2 + Aa2P2'

g) Escribiendo la función f en la forma eos a sh pt ~i sen ipt eos at, la solución del ejemplo se reduce al caso c Tenemos:

i ( ip-a ip + a cosafsh/3í = — - — — — ~ H—z—— ^ 2 \p2 + (ip-a)2 p2 + (zp + a)2

_\ í p+ia p~ia \ ~ 2 \p2 + a2-p2- i2ap + p2 + a2 - p2+ i2ap )

P(p2 - a2 — p2) {p2a2 — p2)2 + 4a2p2'

1 1 . a) m 5= sen(ut - bj / ( / ) ® &h (MÍ- c) eos (ut - d) f{t) =s ch {iüt - yo); e) / ( / ) = (at ~ &

A Solución. Apliquemos los teoremas de semejanza y de retri so para hallar la transformada del original escrito en la forir f(at - t0), donde ¡o > 0 y a es un número complejo. Sea f == i

1 /p> Entonces, conforme al teorema de semejanza, f(at) -F l -

Por el teorema de retraso = / ( . ( « - £ ) ) * IF ( J ) . - ^ . r

a) Utilicemos la fórmula (1) y la solución del ej.9a. Obte-nemos

w sen(wí - *Po) = ¿ m'llJ

p2 + w 2'

b) Análogamente, tomando en consideración la solución del ej .9b, tenemos

sh [<trt-<p0) = e - p V t t , v — ^ — P2 — O?2 '

V c) Según el ej.9c, tenemos que eos att == A partir pl + u>¿

de la fórmula (1), hallamos

C O S (ivt — tpo) = __!L PL +

d) Utilizando la fórmula (1) y la solución del ej. 9 d, obtenemos

p2 — w2'

e) Teniendo en cuenta la fórmula (!) del ej. 4 y la fórmula (1) del presente ejemplo, hallamos

{aí _ h f ± ± r(a+]) -pbja = omo^)e-vhj

0 Pa+1

1 2 . /¡o - ,/to, < to, ijntidi'ii uniiU.I

< Solución. Según la solución del ej. 1 y la fórmula (1) del ej. 11, obtenemos

e-pto y(t - k) =

p

Transformación de Uplace, Conceptos y proejé1 J i

-4 Solución. Escribamos la función / en la forma f(t) — (r/(í) r¡(t - r))a. Entonces

m ( 1 e - p T \ 1 — e~pT

== a ( • a . \P P J P

t - ln, si 2o < t < a + b, .. ! I. / ( / ) = -j 2b - t. si a I b < t < 26,

i Ü, si i > 2b, o bien t ^

g m m u ¡ f r t - 2/7, si 2o < t < a +1>,

1 4 . I li. -i t > 2& o bien / 2

-iiilWiSlíw'íSI

-4 Solución. Como la función / se puede llevar a la forma

f(t) = {t- 2a)rj(t - 2a) - (t - 2a)r}{t - a - b) + + (2b - Í)Í/(Í - o - 6) + (¿ - 2b)rj(t - 2b) =

= (í - 2a)r¡(t - 2a) -2(t-a- b)-q(t - a - b) + + (t - 2b)r}(t - 2b),

entonces

f(t) = —j j— + — = i j ^ jr p1 pz p

(v. e j . l l e ) . •

m >

6 - a

A O 2fl

3

2 *

1

O l

Fig. 68 Fig. 69

íes integrales de» laplace

• . , s i í < 0

r.S. íNt'ff]! ! ,

Solución. Escribiendo la función f en la forma f(t) = r¡(t - 1) - r¡(t - 2) + 2t](t - 2) 4- 2t/(í - 3) + 3rj(t - 3) -—3»j(í—4)+- • • + ( n - l ) i / ( í - ( n - l ) ) - ( n - l ) i / ( í - n ) + n í í ( t - n ) + . . . =

= 7?(Í - 1) + I}(t - 2) + 7}(t - 3) + • • • + v(t - n) + ..., obtenemos oo

p{e? - 1)'

1A rn\ s i í < a .

Solución. La función / se puede escribir en la forma

m = ( l - e " * - » ) q(t - a). Por consiguiente,

e?" e~pa be "a

/(í) =

ffig 70).

f(t)

p p + b p(p + b) 0 a Fig. 70

Hallar las transformadas de los siguientes originales perió-dicos:

1 7 . /(*) -/(/t 2 * ) - -• • • • •

senf, si 2/?7r<í<(2« 1 l;ir, 0, si (2iH-1)JT<K(2íi ! 2)ir,

Solución. Recurramos al corolario del teorema 5, p. 1.2. Sí / es una función periódica de período T , entonces

T

F{p)

Transformación Ui» Uplaco, Conceptc®l>y:pr^{|^diw; '•'V^m'írA«

m

jt 2JF 3JE Fig. 71

En el caso dado tenemos 2it

o n n

- - — f e'pt sen i dt = Im f e (" J ' 1 __ e-2^ J J _ e-2jrp y di

e pt (eos t+p sen t) (1 - e~2*P)(p? + 1)

1 + e~*p _ 1 (1 - e-2*»)(p2 +1) ~ (p2 +1)(1 - e-'P)'

Así pues,

f(t) = 1

(p2 + l)(l-e-*P)'

1 8 . m ^ 1 sen at j (ñg. 72). ' i

7r Solución. La función / es periódica de período —; por consi-guiente,

m

ir ¡a

~ r I e~pt sen at dt = 1 - e-P"/a J

1 — e

3r/(l

- — 7 - Im í e{~p o-pTT/n I I i(l)t dt

Dnes integralea da í,aplace

Fig. 72

e pt(a eos at + p sen at)

a

e~ !>*/"• p2 + a2

1 + a

n/a epx¡2a e-pjr/2a

p2 + a2 1 - e-í™/" p2 + a2 e^l 2 a - e-/"^20

a 7r sen aí =f —Z r c thp—.

p2 + a2 2a a

2 , 2 Cthj? p£ + a¿

TT 2a '

3?t 4jt

Fig. 73

sení

1 9 . / r o H t ^ i

.0, w ¿<o

r i , s¡ 2i/3r<f,(2ft-H)ír,

i2íí i ]\ir<l,il» . 2)?r,

Solución. La restricción de la función / en el semieje positivo es una función periódica de período 2TT; por tanto,

I ifcY -W Transformación de Lnplitcc. Conceptos'y piro

< • <'W ^ ;;

2jt

= x _ j e~Pt s S n ( s e n fydt = o

On 2J pt

1 ( i 0 4 2"\ 1 = - ( e~F + e~p ) i — =

p \ JT * ) 1 - e2?* -/ur (1 - e~pjr)2 _ 1

p(l - e-2*™) ~ p( 1 + e-P*) ~ eP /2 _ g-Jw/2 j

= - th p (eW2 + c-p»/2) p 2 '

Consiguientemente, sen í 1 »7T

= - t h • sení| ' p 2

2 0 . /(f).= /(M4a)=:

- - 4w, «i Ana<-t-:(\a- I R

- • 4 h • 2 . - i M » • f í ( 4 / i f 2 ) f i ,

( 0 , (tic. 74).

si ( 4 n + 2 ) a < ¿ < ( 4 « + 4 ) a , í < 0 , • \ , ^

Solución, La función / es periódica de período 4a, por lo que 4o

-iap o

dt =

tír^ansfoñnaciofifesántegrales do Lapida;

m

K A 0 2a 4 a 6a 8 a

Fig. 74

1 ( í te~pi e~pt' o(l - e " 4 ^) r

+

(te~pi e~pt 2ae~#' + + — \ p r

(1 - e~ap)2

2a >

P

(1 ~ €~aJ>)2

ap2( 1 - e ^ ) ap2(l - e-2f lf)(l + e~2ai')

1 - e~ap t h ^

a/>2(l + e^aP)(l + e~2aP) ap2 (1 + '

De este modo,

th ap

m = ap2(í+e~2aP)'

1 Empleando el teorema de desplazamiento, hallar las transfor-madas de las funciones siguientes:

2 1 . a) f(t) = c nt son wí: bj f ( f ) - e~ut shu>f; C)/(Í)-C" 1 ,CPSWÍ ; d ) / ( * ) = E " > t ch wt; E> /(¿) = /"C1^;

O m = sen g) f(t) ^ sen o í ; TI' '^^^^SmswíIÍWw»™

h) /<0 = sh o í ; i) /{f) - sh a i ; j) /(/.) = t°co*[it; - * * sfiíiSlW

Transformación do U placo. Concepto^ y / j i b ^ í e ^ , ^

'••WiSv •< : j - i*

K) f(t) « ' ^ « r ' . c o s w ; 1) f{t) =¡= — c h a i ; • ,, J

m) f(t) ~ —fincha/. Solución. En los casos a)—e) se puede aplicar directamente el teorema de desplazamiento. En general, si se pide hallar ln transformada de cierta función <p, se debe intentar llevar la función a la forma <p(t) = ePoii¡;(t), po = const, y utilizar el teorema de desplazamiento. Entonces

<p = $(p- Po), donde ^ es la transformada de la función tp. Tenemos:

LO a) senwí = — - (v. ej. 9 a). Según el teorema de

desplazamiento p2 + w2

e aí sen wí = w

(p + a)2 + w2 ' Uf

b) shwí = — r (v. ej.9b). Por consiguiente, pr — LO¿

t w e sh ojt =

(p + a)2 - ÜJ2' p

c) coswí = (v. ej. 9 c). Entonces

-at , . P + a e eos wt =

' (p + a)2 + u;2' P d) ch wt = (v. ej.9d). Por el teorema de desplaza-

p¿ — iúl

miento e chwí =

(p + a)2 - w2 '

e) Ia = ^ (v- e l ' 4 ) ' Entonces

í V » na + iy

En particular, tnept = • P ip /3)

• ip-pr^' ni

••ir&m

^ f l ^ l p ^ c i o ñ é s ' intégrales de Laplace ¿VM,? I', ' 'I '"•M, Ajrt'Jt'W

f) La solución se reduce al caso e). En efecto, t" sen pt

i ( í V " - tae~il3t), 2 i

, r(a + l)((p + pi)a+1 - (p ~ pif+1) t sen pt ~

2 ¿(p2 + /?2)a+1

Si a = n, entonces

n'.SCnP ' 2i (p2 + p2)n+1

Si a = - tenemos

sen pt t v^r y/p + fa - y/p ~ pi

Vt 2 i y/fTW

, sen t V VP2 + 1 - V En particular, , — : = , , — .

V yf ixi 2 v / P 2 T l g) La solución se reduce al caso f). Tenemos:

Pt t • 1 <J>~P + <xi)n+l-(P~0-<xi)n+1 —e r señar = r ¡ »! 2i ({p - p)2 + a2)n+í

h) Escribamos la función / en la forma

J X / 2 Vr ! m } y utilicemos el resultado del caso g). Tenemos:

tn sh a i

ni * i ( — i í — )

(p + a ) " f l - (p - a)n + 1

2(p2 - a 2 ) n+l

i) Utilizando la solución h) y el teorema de desplazamiento, obtenemos

t" ñ f

sh at . (p-p + a)n+l - t p - p - a ) n+l

2({p - P)2 — a2)"+1

j) Llevando la función a la forma f(t) = ^ ( í V " ' + tae"m)

y sirviéndonos de la solución e) y del teorema de desplazamiento,

mmmmmmm^mmmt-ni--

Transformación do Laplace, Conccpioi y 'pí íopfedf^^j

hallamos

at • 1 í r ( a + 1) , r ( a + 1) ^ c o s ^ 2 v (p - wr+í (p+ma+1)

r(a + 1 )(p + i/3f+í + (p - Í(3)a+l

2 (p2 + /32)"+1

En particular,

r (P + + (p - i f i f ' 1 EOS ¿ _ >/ v V I + P — eos pt — 2 ( p 2 + p 2 ) n + l ' V S F Í - 2VFTÍ '

k) Debido a que, según e) ^ (p + »«)"+1 + (p - ¿a)"+1

n] cósate 2{pl + a2}n+l

entonces, conforme al teorema de desplazamiento, hallamos

pt 4 . (P ~ Z3 + + (P - p -—e eos a i = —¡ — . 2((p - /3)2 + a 2 )

í " 1 / í " í™ _ \ 1) Puesto que — ch at - - í — eat + —e ) , y de

n! 2 \n! n\ / n!

do con e), = ——r, entonces (p - a ) " + 1

i " 1 / 1 1 \ ^ n! C a ' 2 - a)"+ 1 + (p + a ) ^ 1 )

_ (y + a ) " + 1 + (p - a)" + 1

" 2(p2 - a 2 )" + 1

m) A partir de la solución l) y del teorema de desplaza miento hallamos

tn pt , . . (p~p + a)n+l + (p-l3-a)n+1 — e c h a í = rr¡ . • »! 2((p — fl)2 — a 2 )

acuer

Hallar las transformadas de las siguientes ecuaciones diferen cíales:

2 2 . Ly = yK(t) - 5y'"(t) - 4y"{t) + 2 ^ ( 0 - y(t) + 8, c o Q las condiciones iniciales «(0) = 5, y'(Q) = 0, ¡/"(O) = - i p n s

I^'tíflrtt^ de Lapla«>

l Solución. Sean y(t) = Y{p). Entonces, a partir del teorema 7, p. 1.2, y de las condiciones iniciales obtendremos

y'(t) = pY(p) - 5; y" (i) = pLY(p) - 5p; y"'(t) = p3Y(p) - 5p2 + 1; 2/IV(í) = p4F(p) - 5 / + p - 2.

Utilizando la propiedad lineal de la transformación de Laplace, hallamos

Ly = p4V(p) - 5p2 + p - 2 - 5(p3F(p) - 5p2 +1) -

- 4 (pV(p) - 5p) 4-2 (pY(p) - 5) - y(p) + ^ =

= (p4 — 5p3 - ip2 + 2p l) Y(p) -

- 5p3 4- 25»2 4- 21p - 1 7 4 - - . • P

' 2 3 . \ Ly y"'(l)~2y"{t) + 3y'(t) -y{t), bajo las condiciones Iniciales i/'(0) //(O) = 0, / (O) = 1, }){t) = Y{p).

< Solución. Sigamos el mismo esquema del ejemplo anterior. Tene-mos:

y'(t) = pY(p) - 3 / ( 0 ) = pY(p);

y"(t) = p2Y(p) - y(0)p - y'(o) = p2Y(p);

y"'(t) ± p3Y(p) - y(0)p2 - py'(0) - y"(0) = p3Y(p) - 1.

Por consiguiente,

Ly == p3r(p) - 1 - 2p2r(p) + 3pY(p) - K(p) =

= (p3 — 2p2 4- 3p - l )F (p) - 1.

2 4 . Hallar la ti irs-formada de la d.-rñada dt l.i funiion

Solución. Tenemos:

. ' ( i ) > r G ) pV'2 ~ 2 p3/2 "

TranMÍomimióndc Laplace, Conceptos y pfppie • f i l i

La función /'(i) = —7= existe Vi > 0 y no existe para 2 v i

t — 0. La transformada de este tipo de funciones se halia mediante el teorema de diferenciación del original, en el cual se supone que f{n\t) existe V t > 0, mientras que para t = 0 la derivada f{n)(t) puede no existir. Así pues

f ' ( i ) = 1>0J2 - m = (puesto que /(O) = 0). •

2 5 . Ly = yv 1 2yK + 4y, y(0) = y'(Ü) = /(0)V.¿ ¡/'"(O) — SÍ1V(Ü) = — 1.

•4 Solución. Teniendo en cuenta las condiciones iniciales resulta yv(t)=p5Y(p) + p +1, ylv(t) = piY(p) +1,

Ly = (p$+ 2pA+4jY(p)+p + 3. •

U M e d i a n t e el teorema d e diferenciación d e la t ransformada , hallar las t ransformadas de las funciones siguientes :

• . " •--- /.irmrtt'iw 2 6 . a) f(t) = t sen at, b) f(t) ~ f eos at; c) f(t) = t sh « í ; Z di f'.i) - M - ni.

< Solución, a) De acuerdo con el teorema 8, p. 1.2, F'(p) = -tf{t). a

Como sen at = — - , entonces pz + a2

( a V 2pa 2 pa -t sen at = -5 : = r-7, í s e n a í : = — : r-r.

V p2 + a2) (p2 + a2)2 (p2 + a2)2

P b) Dado que eos a i = - , y también - i c o s a i = ^ p2 + a2 3

\ ' 2 2 p \ p - ot \ p2 + a2} (p2 + a2)2

, entonces

l l^pÜo'd^tr^nafotmaciones integrales do Laplace m<w » ¿*• í 11 •> jt ,/• • ' bímWi ERr 1

V* 1 '

c — Y \p2-a2J

a c) En el ej. 9 b obtuvimos que sh at = — Entonces

p¿ - cr 2pa

(p2-a2)2' 2pa

t sh « í = (p2 - a2)2

P ( P Y p2 + <*2 d) Como ch at = — ? y — r = - 7-= ^r ,

p2 - a2 \p2 - a2/ (p¿ - a2)2

entonces pz + a2

t ch at == " (p2 — a2)2'

2 7 . / i ' i • t ^en ot sh at.

<4 Solución. Llevando la función f{t) a la forma

f{t) = —i sen iat, sen at — - ^ (eos (1 - ¿)aí - eos (1 + i)at),

y utilizando la solución del ej.9c, obtenemos

1 f p P \ sen ctí sh at = - - I — - • , ; - , .., ~ 1 =

2 \p2 + (1 - i f a 2 p2-h(l + i)2a2 )

2 pa2

p4 + 4 a 4 ' Conforme al teorema 8, p. 1.2,

( 2pa2 —t sen at sh at =

' l p4 + 4a4 I

- 2«2(4ct4 - 3p4) _ 2a(3p4 - 4a4) _ (p4 + 4a4)2 (p4 + 4ct4)2

De este modo,

2a2 (3p4 - 4a4) t sen at sh at

' (p4 + 4a4)2

L92

: TniiiNÍurnutión do Uiplace. Conteptós y propiedades principa!

,•. • ' - ^ W É i i i ! « í n-' 'íK, . -i ' , «lk i lf llíMt A t i |

2 8 . W u < . _ _

M Solución. Por el teorema 8, p. 1.2, tenemos F"(p) = í2f(l), donde F = /. Al resolver el ej. 10 a, obtuvimos que eos 2at

p2 + 2a2

Por consiguiente,

,2 2 , . ( Pz + 2a2 \ " v6 + 24/ÍV + 32«fi r eos at == — — = 2 - — í - 5 — — = — . •

\ + 4a2) ) p3(p2 + 4a2 3

tvyi; ¿ y * Hallar las transformadas de las funciones

t

/

sen x

• dx {seno integral de Fresnel); V2jtíc

o í

/

eos x

dx (coseno integral de Fresnel). o •4 Solución. Mediante el cambio de variable x = u2 obtenemos

Í2 ^ Í2 ^ S(t) = y — J ser\u2du, :C{í) y ~ J eos u2du.

o o Del curso de análisis matemático se sabe que

+co +¡x>

/2 f 2 Vi sen u du = j eos u du = —^ (integrales de Fresnel).

o o

Por consiguiente, 5(0) = C(0) = 0, S(+oo) = £7(+oo) =

Conforme al teorema 9 de integración del original tenemos

J f(r) dr = p

F(p) <f>(p) donde F = f . Por tanto, S(t) = — , C(t) = donde

P P sen í eos t .

F(p) = — = Al resolver los ejemplos 21f, j , V27TÍ V27TÍ

• y V p ' T I ^ p _ y y p 2 + i + p obtuvimos que F(p) - — — 7 = - , <!>(?) = „ ^ — -

2 v y + 1 2 V p 2 + 1 Por consiguiente,

\ U / j F + i - v \ Vp2 + 1 + p 5(í) = V C(í) = 1 7 = = ^ - •

3 0 . Hallar las Uansformadas de las funciones

.1) ¡t¡ •• I J . inhwll,

b) (£) = - / — — dr (seno integral);

c) shi (f) - I dr (seno intrgral hipnbóüco).

I Solución. Dado que sent = - — , entonces, conforme al teore-p¿ + 1

ma 10 de integración de la transformada, tenemos

TT 1 sen t ^ ' = a r c t S P " J q2 + l

— — arctg p = arctg - .

p

Apliquemos ahora el teorema de integración del original. Hallamos

í f senr , 1 1

Si (í = / — dr = - arctg J T P V o

Iranulomuiolón do l.aplnce, Conceptos y*plfópKiHaHeT'pr sit , T jvupjK

': 'i 1 -. i l 1 d 'i.'íri'wi t .<r l'iiHriwu^W^ISKttisS

sertr 7T _ , . 7T I OO ^ , , „

Debido a que J dr — —, tenemos si (¿) = Si (t) - —. Por 0 r 2 2

consiguiente,

1 I T T I / 7r 7T 1 \ 51 C> * " a r c t S " " 2 p ( P U e S t ° ^ 2 ' 1 * 2 p ) •

Escribiendo el seno integral hiperbólico en la forma

i shi (t) - Si (it),

y teniendo en cuenta el resultado del caso a), obtenemos

1 i i 1 I p i l i shi (f) = - arctg - = - arcth - , shi (t) = - ln .

p p p p 2 p - 1 i

En efecto, realizando el cambio de variable arctg - = ia, hallamos V

i . sen ¿a 1 ei{ia) ~ ei{ia)

í de donde

1 , 1 1 i i i 1 th a = —, a = arcth - , - arctg - = -a = — arcth —. •

P P P P P P P

— tg ia = — = T -7^- : TTT-T = i th a, p b eos ta % e!<«") + e-1^

••u 1 • >'':. §111 3 1 . m = — — . • .

M Solución. De acuerdo con el resultado del ej. 21 a,

1 e~~at sen t =

' (p + a)1 + 1 Utilizando el teorema de integración de la transformada, hallamos

_ y +00 e sen í _ f dq

t p

f dq - J (q + a f + i = a r C t g { q + a )

q= + oo

q=p

ir 1 = - - arctg (p + a) = arctg

2 0 p + a

'-i i <1=; • n * r * * * e M « i

^|'|fansformacionos integral les deL.apl.ice

K.'l.il íi'jU' i '' ^ sen 7t sen It r , ,'i't'j i " i.11 i<

t

4 Solución. Primero hallamos la transformada de la función <p(t) = 1

sen a i sen ¡3t = - (eos (a - ¡3)t - eos (a + fi)t). A partir de los

resultados del e j .8c y de la propiedad lineal de la transformada, obtenemos

vit) = 1 P P 2 \p2 + (a-p)2 p2 + (a + ¡3)2

2 aPp (p2 + (a-f3)2)(p2 + (a + /3f)'

42p -. Utilicemos En el caso dado sen7ísen3¿ = —r- . .

{p2 + 16 )(p2 +100) ahora el teorema de integración de la transformada. Escribiendo

1 (p2 + 16 )(p2 + 100)

(p2 + 100) - (p2 + 16) (p2 + 100)(p2 + 16)

1 1 84 \p2 + 16 p2 + 100

obtenemos + o o

m q \ = i <r + i6

q2 + 16 q2 + 100 ) Q 4 " q2 + 100

+ 00 p

100 1 ln p 1 1 6 = 1 ln P

4 p2 + 100 4 p2 + 16

§2. Convolución de funciones. Teoremas de desarrollo

2.1. Definición de convolución Sean (p y / dos funciones continuas definidas en el semieje positivo de la recta numérica K. Se denomina convolución <p * f

Convoluddn do funcionéf

de las funciones ) = tp * f+-).

2.2. Teorema del producto (E. Borel)

Teorema (de Borel). Si f = F, Re p > «o y (p = <&, Re p > « i , donde <*<) y son Jos índices de crecimiento de las funciones f y respectivamente, entonces f * y q son funciones analíticas, entonces

o

2.4. Integrales de Duhamel t

Si f *tp = f f(r)(p(t - r ) dr = F(p)$(j>), entonces o

t

f(tM0) + J /(r )^(f - r ) dr = pF(p)<Z>(p), (2) o

r-ÍSITOHI

?íóf¿MÍÓ'*iíe¡ ^ansfórmaciones intégralos do Laplace

f é a k u f ó ' ~ " " " " •

o bien f

¥>(0/(0) + J tp(T)f¡(t-T)dT±PFm(p)- (3) o

Las primeros miembros de las expresiones (2) y (3) de denominan integrales de Duhamel.

. 3 3 . Hallar <p * f <i <p(t) = f{t) = eos wt.

4 Solución. Según la definición i

tp* f = I (t - r)2 eos wr dr.

o w 2 2

Como coswí -, t = —r, conforme al teorema de Borel, p¿ + u¿ pi

tenemos 2w

n

/ ( O - C ( í ) c o s í - f 5(í) sen t, donde C{t.) y S(t) son el coseno integral y el seno integral de Fresnel, respectivamente ív. ej. 29).

•4 Solución. La función / tiene la forma t t t

/

cosr f senr f 1 - •— -dr+sen¿ / ~ = d r = ¡ cos(t—r) ^—dr. V27TT J V2írr 7 V 2 x r

0 0 0 1

De este modo, / = tp * V/ donde <p(t) — cosí, — —

V 2 ? T Í Según el teorema de Borel f(t) = F(/?)<l>(p), donde

p 1 1 = - J _ - = eos t, $(p) =

jt + l ' ' ^ V 2 p ' VSTTÍ'

iiw'iwiiminiiiirninniii;

Convolución de funciones. Teoternas de^

Así pues,

m = VJppz + i'

35. Hallar la transformada de !a función . " * ,'H\'K

f(t) = C(t) sen t - S[t) eos t. * 1

A Solución. En vista de que f(t) — f s e n ( i - r ) dt, conforme al o v2ir t

teorema de Borel,

f m m m , t,

Por tanto,

36. Ha'I.ir la M-IIVOILICIIMI * f y LI transformada'sí

Vit) - t". f ( f ) = t°, a > Q, ¡3 > Q. ' < Solución. Según el ej. 4,

ta 1 tp

r(a +1) r r{/3 +1) • Basándonos en el teorema de Borel, hallamos

1_ ^ ta . tfi

pa+l ^ P(a + !) * r(p+l)' o bien

1 - 1 e * ^

pa+/?+2 • ,T(a + l)r(/? + 1)

Dado que • • •- v - = — — r r , entonces -——• 1 pa+p+2 r{a + p + 2) r(ot + /3 + 2)

1 de donde r(a + \)r{S5 + 1) + = r(a + i ) rp3 + i ) a + f ¡ + 1

/"(a -f /3 + 2)

¿ transformaciones integrales de Laplace

El resultado obtenido permite establecer una relación entre las funciones beta y gamma de Euler. En efecto, según la definición de convolución,

t

í r"(t - rf (IT r ( a + i ) r ( /3 + i) + / ? + 1

r(a + p + 2)

Tomando T — tx en la integral, obtenemos dr — tdx, T" = tax°, (t - rf - ^{1 - x f ,

_ta+0+lr(a+l)F(l3+l)

r(a+p+2) ' J ra(t~rfdT=ta+(i+1J xa(l-zfdx=t

o bien i

J xa~\l-x) p-i dx _ r(ot)r(p) d,f

r(a + p + 2) '

B{a,p). • r(a + p)

i 2 f 2

Nota. La función erf t — J expf • r } dr se denomina integral de probabilidad.

La serie e x p { - í J } 1)T| -y es uniformemente convergente, por lo cual se n=0

puede integrar término a término. Tenemos:

erft = 4= Í f V l ) " — dr = 4 = T V ! ) " " v 7T J n! \/7r ' n!

2 Í Í + 1

(2 n +1)

Evidentemente, erf (~t) - - erf t, (erf i)' = > 0, erf(0) = 0, erf (+oo) = V7T

—=—— = 1. Por consiguiente, la función erf es impar, continua, y creciente. Para V7T 2 valores grandes del argumento t se analiza la función

Erf •t-vX i T^

t~ 1 - erf t = J e"'2 dt - J e"7 ' dr = j e V dr.

La función Erf es decreciente y continua.

ffin

, / Wl 1 1 1 f ('onvoliu'ión do /unciones, Teoremas de des.

•":.'=•."'•

paliar ta transformada de la función f{t) ¿ éxTiyit,f¡£

t 1 1 1 A Solución. Utilicemos las expresiones e = , — = = — - y P~ 1 V 7TÍ VP

el teorema de Borel. Tenemos:

t . t Ji 1 1 f t-r dT 2e f -r M ^ 2e í ¿ , - — = \ é = — / e Td(Vf) = -= / e dx,

p-ly/p J V^rr VT 7 VW o o o

L — ^ e ' e r f t ^ ) . (p- VVP

Conforme al teorema de desplazamiento,

erf (Vt) = —• • pVp + 1

38. Hallar la transformada de la función f(t.) ^Erf ^

A Solución. Según la definición, Erf (Vt) — 1 - erf {Vt). Por consi-

guiente, 1 1 1 Erf (Vt) ==

p pvp +1 P +1 + Vp +1'

2 ffffiV'gi 3 9 . Hallar la transformada de la función /(/) = e .,' " ,"k¡¡

Solución. Apliquemos la transformación de Laplace. Obtenemos

+00

e-¡2 = J e^e^ dt = e ^ I e ' ^ f dt

o

1 +00

e^'e"'1 dt = = [ e J 0

+00

f dr -J 2 p/2

•! üQli

^E^Cífe 'trans formaciones integra les do l aplaco

'.•.aKcS1

í¡40.WHíiItóT ía transformada de la función '¡{t):~ erf t. ' •' 3

Solución. Sirvámonos de la solución del ej. 39 y del teorema de integración del original: si f = F, entonces

¡ m * * ™ . J V o

De este modo, 1 ¿

P erf t = - e " Erf .

i'" 4 1 . tl.ill.ir l.i ln>K.ii>n ur.a transí-i:mada e-ICK*.

Solución. Descomponiendo la función F en fracciones simples, obtenemos

1 1 1 = ,

^ p + 1 p + 2 (p + 2)2

Como 1 . -I 1 . _—2í = e y = e

p + 1 ' p + 2 Ja solución del ejemplo se reduce a la búsqueda del original de la función

1 _ 1 1 V Í P ) ~ (p + 2)2 ~ J+2 ' J+2'

Según el teorema de Borel

t t

V(p) = j e-^-T)e-2rdr = e~2i J dr = e"2 í í . o o

Finalmente, f(t) = e~l - (1 + t)e~2t. •

Convolución defunciones. Teoremas

ÍIV -¿V^ríllíte ' • H I, „J , Sf«!¡ „MK''i* <><•,.>•„•• • . - • i

, 42v5i'|;;'Halíaferóriginal de la. función'F sí ' ^ t ' f t y f f i f i g

F{p) -

4 Solución. Escribiendo F(p) en la forma F(p) = V '"J' V p2 + 9 p2 4 4 y

P P tomando en consideración que - r = eos 3i y — == eos 21, M p2 + 9 P2 + 4

a partir del teorema de Borel obtenemos t

f(t) = J eos 3(í - r ) eos 2r dr -o

í

= - y (eos (5r - 34) + eos (3í - r)) (ir = o

or-/ ¡T=0

1 (sen(5r — 3i) ^ 2 \ 5~ « n ( 3 t - * >

1 (sen 2í sen 3í , - — — + — sen 2 i + sen 3í = 2 V 5 5

1 (3 sen 3í — 2 sen 2í). •

4 3 . Hallar el original de la función F, donde

F(p) ^ —7-^ ii-y^l * V'li'. I" W J

Solución. Llevamos la función F a la forma 1 1

F(P) ~ P' ' -YTT = P<P(P)Í>(P)> p¿ + 1 1 1

donde tp(p) = — y ib(p) = — . De las relaciones p4 p¿ +1

i3

= T = p2 + l = sen t = ^(i),

Iramiformacionesintégrale*de Loplnce'

M i r ^ ' K i ' , T f ' r • * ~

"T'-T.1' i • 't 1' / -'i " ' ' .!

y de la fórmula (2), p.2.4, escrita en la forma

dt i f(T)<p(t-T)dr = F(p)$(p),

obtenemos

1 f rip2 +1) " dt J

d f (t - rf sen r dr

1

o t

/< t¿

, (t — T) sen T dr = — h eos t - 1. 2 J 2

o

§3. Transformación inversa de Laplace

3.1. Fórmula de inversión de Riemann—Mellin

Teorema (fórmula de inversión de Riemann—Mellin). Sita función f es un original, es decir, satisface las condiciones 1), 2), 3), p. 1,1, y F es su transformada, entonces en todo punto de continuidad de f se cumple la igualdad

O-t-ÍQO m=é¡ IePtF(p)dp' (i)

donde la integral se toma a lo largo de cualquier recta {p 6 C | Re p — a > a} y se entiende en el sentido del valor principal de Cauchy. En los puntos de discontinuidad de la función f , en lugar de f(t) en el primer miembro de la

l fórmula (1) se puede tomar - (f{t + 0) + f(t - 0)).

3.2. Elementos de la teoría de las funciones de variable compleja

Recordamos al lector que una función / : C —> C diferenciable en todo punto de cierta región D, se denomina analítica (regular; monógena) en esta región.

'•204

Transformación 'inversa d,e t&ftlfj

' ' ' • ' ^ m m m

Una función / analítica en el anillo

K = {z e C | r < \z - zo\ < R}

puede ser desarrollada en una serie de Laurerü: OO

f(Z)= Y , Cn(Z-ZQf. (I) n=—oo

Esta serie converge uniformemente en cualquier región cerrada perteneciente al anillo K .

La serie (1) se puede escribir en la forma oo oo

/<*) = £ * < * - * ) " + £ ( — - « • (2) n=o «=i [ Z Z o )

00 La serie ^ <"„(z - zr¡)n es la parte regular de la serie de Laurenl,

n=() oo

E C—ji — es su parte principal.

Si la función / es diferenciable en cierto entorno del punto ZQ, salvo, posiblemente, el propio punto z(], entonces z(l so denomina punto singular uniforme.

Si la parte principal de la serie de Laurent es idéntica a cero, entonces ZQ se denomina punto singular evitable.

Si la parte principal de la serie de Laurent está compuesta de un número finito de términos, entonces el punto ZQ se denomina polo. El número m es el orden del polo si c m fi O y c..m j — 0 V j e N.

Teorema 1. El punto zg es un polo de orden m si, y sólo si, existe cierta función <p diferenciable con continuidad, tal que

m = ^ V z £ 0Za \ {zo} y <p(za) fi o, (3)

donde 0,„ = {z G C | \z - z0\ < fi}.

Si c -TÍ fi O para un conjunto infinito de valores de n <E M, el punto zo se denomina punto singular esencial. Por ejemplo, las

rtnlH

de transformaciones integrales de I .aplace

íítüio'^'r'""

funciones z e ¡ , z \—* sen Z H eos - tienen en el origen de z z

coordenadas un punto singular esencial. La función / se denomina entera (holomorfa) si no

tiene puntos singulares. Por ejemplo, las funciones z e*, z i—• sen z, z eos z son enteras.

La función f se denomina meromorfa si no tiene otras singularidades que no sean polos.

Por definición, una función meromorfa es igual al cociente de dos funciones analíticas en el plano complejo € ; además, la función del denominador tiene al menos un cero aislado en el plano C, y si se tiene un conjunto infinito de ceros, dicho conjunto no tiene puntos límites.

El número

res f = ~ [ f { z ) d z , (4) a 2iri J

7

donde 7 = {z 6 C | ¡z - a| = 5} es una circunferencia suficiente-mente pequeña, se denomina residuo de la función f en el punto singular aislado a.

Si la función / se puede desarrollar en una serie de Laurent (2) en un entorno del punto singular aislado a, entonces

res / = c_i. (5) a

En un punto singular evitable el residuo siempre es igual a cero. En un polo de orden m el residuo se calcula mediante la fórmula

res / = — ! — lim ({z - a)n f(z)) . (6) a (n - 1)! z-*a dzn 1 v '

Para los polos de primer orden la fórmula (6) adopta la forma

res / = lim(z - a)f(z). (7) a z—a

Si en este caso en un entorno del punto a tenemos que (p(z)

ftz) = , donde tp y ib son funciones analíticas en el punto a, ip{z)

<p(a) ^ 0 y tp{z) tiene en el punto a un cero de primer orden (es decir, i[?(a) = 0 y V'(a) 0), entonces en lugar de la fórmula (7)

Transformación inversa dAj,<ft]j>]

se puede emplear la fórmula

res / = lim ^ ( z - a) = lim ^ r ^ , = (8) « z-.«ip(zy «-a 1>{z) ~ jija) i)'(a)

z - a

3.3. Teoremas de desarrollo El uso directo de la fórmula (1), p. 3.1, es dificultoso. Analicemos los denominados primer y segundo teoremas de desarrollo, los cuales simplifican considerablemente el proceso de reconstrucción del original a partir de la transformada.

Teorema 1. Si en un entorno del punto p,; = 0 la transformada F se puede

desarrollar en una serie convergente de Laurent de potencias de -P

oo

W = 0 )

entonces la función original de F(p) es oc tk

"kl t=o

Antes de formular el segundo teorema de desarrollo,'vea-mos algunas ideas sugerentes.

Si / es una función analítica en todo el interior de la región D, salvo en un número finito de puntos singulares a¡ (j = 1, n), y es continua en la frontera C de esta región, entonces se cumple la fórmula de Cauchy de los residuos

r " / f(z) dz = 2ttí J 2 r e s /• (3)

c J= 1

La función subintegral F(p)epx en la fórmula (1), p. 3.1, c;-analítica y sus puntos singulares se encuentran en el plano p a l< izquierda de la recta de ecuación s = a — a, A la derecha de esl.i recta la función F(p)epz es analítica, puesto que ambos factorw

^ t í f d o . d e transformaciones integrólos de Laplace

l

;

a + bi

y S

\ 0 S = a

a ~ bi

son funciones analíticas. Si aplicamos el teorema de los residuos a la integral

a+bi

<j> epxF(p)dp = J e"' > F(p) dp = j e1 F(p) dp +

C a-U

Fig. 75

+ j ep F(p) dp

c„ por el contorno C = Ci U CR (fig. 75) y pasamos al límite para & —> oo, en-tonces

es decir,

J eptF(p)dp~> 0,

Cn a+bi

í eptF{p) dp f(t)2iri = 2iTÍ V res(ep*í,(p)), y j Pi -u J

Este resultado se conoce en la teoría del cálculo operacional como el segundo teorema de desarrollo. Formulemos este teorema.

Teorema 2. Supongamos que:

1) la transformada F es una función meromorfa en el plano complejo p y analítica en el semiplano Re p > a;

2) existe una sucesión de circunferencias Cn — {p £ C \ \p\ = B„} (Ri < R2 < ..., Rn —» +oo) en la cual F(p) tiende a cero uni-formemente respecto a arg p;

a+ioo 3) la integral f F(p) dp converge absolutamente para todo a > a.

a—¿oo

Entonces el original de la transformada F(p) es la función

V(t)f(t) = ^ 2 r e 4 é ' i F ( p ) ) . (4)

lino

TYa nstórmacitíí

Si para un punto ZQ existe un S-entorno tal que al dar una vuelta alrede-dor del punto zg por cualquier contorno cerrado que pertenezca completamente a este ¿-entorno, una rama de una función multiforme pasa a otra, entonces el pun-to Zr, se denomina punto de ramificación de la función multiforme.

Si entre los puntos singulares de la función epiF{p), además de los po-los y puntos singulares esenciales p/;

(k — '!, n), se tienen puntos de ramifica-ción p'j (J — 1, m), entonces

Fig. 76

m " . -i m „

E M^F(p)) - - Y 2 J e ^ d p , k=l j=1 ,

(5)

donde y'j son contornos compuestos por circunferencias Cj de radio pequeños y centros en los puntos de ramificación y por los bordes superior e inferior de los cortes del plano a lo largo de rayos que parten de dichos puntos (fig. 76).

Hallar los originales de las funciones F dadas a continuación:

4 4 . F(p) = — , a > 0. </p

Solución. La función F es analítica en el plano p con un corte a lo largo del semieje negativo. En el borde superior del corte tenemos p = petJ y y/p = i /p, mientras que en el borde inferior p = pe~'n y ^ = —iyfp. Dado que p — 0 es un punto de ramificación de la función F , según la fórmula (5)

.•>'•• .-i •¿mi

"H

¥ Fig. 77

m - - Í 2m J ¿>t[

VP dp,

%

btr^ns fo t mac i oríes integra les de Laplace

donde 7¿ es el contorno representado en la fig. 77, orientado en e! sentido contrario al del movimiento de las agujas del reloj y compuesto de dos rayos y una circunferencia de radio e > 0.

Estimemos

/ VP f |ept| f |ept| J

C, VP

\dP\.

Tomando p = ee"p, obtenemos S I oP* 1

VP \dp\ =

IT íí eos Ip ®

~a\ft eos <P

cuando e 0. Por tanto,

yfi

0 ' . „ +OD J« = m). Haciendo

/(a) = / ( eos au du, e integrando por partes, hallamos o

+00 senaw ^uhl+co 2t f _u2t , 21 di

T(a) = e H { ue sen audu — —. a ¡o a J a da

Obtuvimos una ecuación diferencial de variables separables. Re-solviéndola, obtenemos

„2 a

I(a) = Ce 4i

La constante C se halla a partir de la condición

+00 +00

c = /(O) = J e~uH du=~ J e~(us/if d{u\ít) = o o

_ JL fí " v T T ~ 2 V ¿ '

Consiguientemente, 2 2 a a"1

4 5 . /'"(/ii

^ Solución. Sea f{t) = e Aplicando el teorema de derivación de la transformada obtenemos

-tf(t) = ' o bien ^tf(t) = -ajp

VP

2 1 _<¿ Según la solución del ejemplo anterior - í / ( í ) = — P o r

a vnt tanto,

fl ft^ y— "

f(t)=z e~4¡" == J ' ' 2tVrt

a _ <£ e 4í .

4 6 . F(p) =r — , a > 0.

-4 Solución. Utilicemos los resultados del ejemplo anterior y el teorema de integración del original. Tenemos:

f e - ¿ P 2yf% J

1 dr 4 r •

^^^^itóeifotttwyon^'lntograled do Laplace

ÍVMv/'Jiííi 'k.! l1 B H ' v

a i Realizando el cambio de variable — = u , hallamos 4 r

t + 00

Í a - í A 2 f -V / —7=e 4r dr = —= / e j 2V?tí3 a y

2 / W du = Erf — p

\2Vi

por tanto, íTi

p ' Erf Gv¿)' *

4 7 . f w P¿ + P- 1

(/. 2)1 p - I*

Solución. Dado que

(p - 2)(p2 - p - 20) - (p - 2)(p + 4)(p - 5),

la función F tiene polos simples en los puntos p\ — 2, p2 = —4, P3 = 5. Estos puntos también son los polos de la función é'lF{p). Para hallar el original de la función F utilizaremos la fórmula (4), p. 3.3, mientras que los residuos de la función p cptF(p) los hallaremos mediante la fórmula (8), p. 3.2. Tenemos:

^ e P V 1 ) res é F(p) = — ^

e f t f + p - 1)

p=2 ' 1 8 '

res ep F(p) = P——4 w 3(p2 -2p-6)

„ e ^ V + p - 1 ) res é F(t) = ——:— -P=5 w 3(p2 — 2p- 6)

p=-4

p=5

11 = 54C

-4 í

29 27<

5t

Sustituyendo los resultados obtenidos en la fórmula (4), p. 3.3, hallamos

/(*) = ¿ ( l l í T 4 t + 5 8 e 5 1 15e21).

• ' 4 8 1 f ( » ) - i • p ~ p + 2 • ' • ;

•4 Solución. La función eptF(p) tiene polos simples en los puntos p — ±2i y p = ±i. A partir de la fórmula (8), p.3.2, hallamos

rtj?, ^ + res eF F(p) — -P=Í KF> 2p(2f+5)

„t ept(p2 - p + 2) res eptF(p) = ^ ,

P=2i w 2p(2p2 + 5) p=2i

(1 + 0 « —

1 ~ 1 _2 ¿í

En los puntos p = — i y p — — 2¿ obtenemos las expresiones complejas conjugadas. Por consiguiente,

/(í) = 2 Re 2tí i + * «A

= ~(cos 21 + sen 21 - eos t + sen t).

4 9 . Fíp) = IBÍ111ÍÍSÍSI Wmm

í p - l ) V + l ) ( p - 2 j I B I

Solución. La función e^Flp) tiene polos simples en los puntos p — 2, p — db«, y un polo de tercer orden en el punto p = 1. Conforme a la fórmula (4), p. 3.3,

/(í) = res ^Fip) + res eptF{p) + res eptF(p) + res eptF(p). p=2 p=i p=-i p=l

Calculemos los residuos mediante las fórmulas (6) y (7), p. 3.3:

ept res eptF(p) = — p=2 w (p - 1 )3{p2 + 1) p—2

= ~e 5

2t

res e^F(p) + res epiF(p) = 2 Re I res epiF(p) ] = p=i p=—i \p=¿

oí"' ]

apt = 2 Re

( p - l ) 3 ( p + ¿ ) ( p - 2 )

JL 20

(eos t — 3 sen t),

integrales de Laplace ^-«^liHsHr^it c f\ «tj

P=i

1 / 2 (6p 4 -16p 3 + 1 5 p 2 ~ 3 ) ^ 2 1 (p2 + l)3(p ~ 2)3

(P + 1)2(P ~~ 2)3 + (p2 + l)(p - 2)

De este modo,

e2í 1 /(*) = y + ~ ( c o s f - 3 s e n í ) - ~(t¿ + l). •

50. F{J1) = . p ch p

-4 Solución. Por cuanto chp — eos ip, entonces la función eptF(p) tiene un conjunto infinito de polos simples

Po = 0, pk = ± i (k - ^ 7T, fc € N.

A partir del segundo teorema de desarrollo tenemos

m = ( A S ] + 2 R e y ( ~ < JK> \chpjp=0 ¿Vpshp

= 1+2 Re s 3¿(í;-1/2)»Í

¿ ( & - - j 7T Sh¿ í fe - - | 7T

= l + 2 ¿ ( - l ) * eos ( k - ~ 1 nt

Í!=l k ~ 2 } *

' • 2 1 4

Ttónsformaclón Inveróat, - ifftWrS. 5 ymr-mm

No es difícil demostrar que hemos obtenido el desarrollo cosenc de Fourier de la función

m si 4A: - 1 < t < 4/s + 1, si Ak + 1 < t < 4k + 3.

en el segmento [0,4]. En efecto, los coeficientes de Fourier a¡¡ de la función / se calculan mediante las fórmulas

i 2 f t fcirí

«fe = y / /(í) eos - y - di (fe G Z 0 ) .

o En el caso dado l = 4; por tanto,

4 3

o = \f f(t)dt=^J 2dt = 2, o i

3 n 7 r

1 f Jfeff COS — ST k ~ 2 J c o s Y t d t = 2 ™

nir nir eos — sen ——

4

_ , , nwn-K >. Debido a que eos — sen — = ( - 1 ) para n = 4k - 2 (k 6 N),

„ ( -1 ) * . . entonces ojt = 2-7 — — ; por consiguiente,

( . - I ) , '

COS f fe - - ) 7rf OU L ít I /I V «r

L> / 1\ 1 2, si 4fc + l ( k ] 7T k

- 1 < í <4fc + l, < í <4fc + 3.

Con ayuda de la función de Heaviside rj podemos escribir la función f en la forma

/(«)=* 2 ¿ ( - l ) * t 7 ( í - 2 f c - l ) . k=0

Así pues

p c h p ===2 ¿ ( - 1 ) ^ - 2 / 5 - 1 ) .

t=o

do LopJ ico

•jV * s v a ' ,

Hallar las transformadas de las funciones siguientes:

5 1 . ; , / ( í ) = s e n 2 ^ .

•4 Solución. Recurramos al teorema 1, p. 3.3. Desarrollando la función f en una serie de potencias, obtenemos

"O r)2n+l sen 2Vi = X ^ C - 1 ) " ? ^ — - W

n=0 (2n + 1)!

Según los resultados del ej.5,

i

Por consiguiente,

a+1/2 ^ (2n + 1)!v/TF n|22n+ipii+3/2 ;

n=0 ^ " * • n=0 1 FK

V V J>

eos 2v7

Solución. A partir del desarrollo

eos 2\/í ^ ( - l ) W " 1 / 2

Vi <2fe)!

y de la expresión

t

hallamos

1

jb-1/2 [ v + 2 y (2fc - l ) ü v ^ (2fc)!^F í> fc+l/2

eos iVt

Vt k=0

r fc

ifc!

mm

W'i&gxm ~ 5 3 . . m » tnnJ„(2Vt), donde 1

V ^ h f X \ 1

2 / ^ ' . V j

es una función cilíndiica (de Bessel) de primeia especie y de'''1"-

f.'ltin'V

Solución. Cambiando x por i V t en la fórmula de Jn{x), obten-dremos

f(t) = ñ J„(2v/í) = „ 00 - n\n+2k °° ,

= t 5 y - ^ x f - m = y ( ~ 1 ) ¿ .

' k\r(n + k +1) ^ kT(n + k (•• 1)

Tomando en consideración los resultados del ej.4, hallamos . . ^ ¿ H n + f e + l)

pH+fc+1

Consiguientemente,

1

k Pn+k+l

fc=0

i V

54. / : 1

Solución. Utilicemos la solución del ejemplo anterior suponiendo que n — 1. Obtenemos

A partir de la fórmula de integración de la transformada (v. teo-rema 10, p. 1.2) hallamos

í1/2 Jx{lVt) 7 ° e _ 1 / í d9 -i/» +0° = e 19

t • J q2

P

1 - e ' 1 " .

Por tanto, f{t) = 1 ~ e - 1 / P

§4. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales

4.1. Integración de ecuaciones con coeficientes constantes

Sea la ecuación diferencial dny dn^y dy

Ly = a0— + — +• •• •• + an„r- + any = /(i) (1)

con las condiciones iniciales

y(0) = yo, y'M = y'0 yin~])(0) = vtl)- (2> Supongamos que a0 ^ 0 y que tanto la función / como la solu-ción y(t) con todas sus derivadas de hasta el orden n, son origi-nales. Sean Y(p) = y(t), F(p) = f(t).

Conforme a las reglas de diferenciación y a la propiedad lineal, en lugar de la ecuación diferencial (1) con las condiciones iniciales (2), obtenemos la ecuación operacional

(a>oPn + ftip"-1 H + <ín)Y(p) =

= F(P) + yo(aopn'~1 + a i?"" 2 + • • • + «n-t) +

+ yó(«o/"2 + «i pn~3 + -•• + on-2) + • - • + y{rnao, o bien

A&)Y(p) = F(p) + B<p)t (3) donde A(j>) y B(p) son polinomios conocidos. Resolviendo esta ecuación hallamos la solución operacional

A(p)

í m :

Ecuaciones y sis^emWdífeíejr . t i * JfW»" -""US

Si la ecuación (1) con las condiciones iniciales (2) tiene una solución y(t) que satisface las condiciones impuestas a los originales, entonces esta solución es el original de Y(p).

4.2. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

El método operacional se emplea de un modo análogo en los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons-tantes. Supongamos que se pide resolver el sistema de n ecuaciones diferenciales de segundo orden

d2Vi. dvt \ -dílF + K k ~dt + °VkVk ) = M t ) { U = 1 ' U ) ( ' )


Vk( 0) = akt —— = pk. (2) at

Si Vk(t)> fv{t) son originales e Yk(p), Ft,(p) son sus transformadas respectivas, entonces el sistema (1) con las condiciones iniciales (2) se puede cambiar por el sistema operacional

n

(a"kP2 + b"kP + Cvk) Ykip) =

n

= + E + b"*>ak + a»iP*)- (3) k-1

Resolviendo (3) como un sistema de ecuaciones lineales algebraicas, hallamos Yí;(p) y luego sus originales

4.3. Resolución de ecuaciones con condiciones iniciales nulas mediante la integral de Duhamel

Supongamos que se pide hallar una solución particular de la ecuación diferencial

Ly = y<n) + " ) • • • I an ,•//' I any J(t) (I)

Iptófocfc) ele ttárísformadones integrales de I,aplace


y{0) = y(0) = ...=yin~l)(0) = 0. (2)

Analicemos el problema

Ly = 1; y(0)^y'(0) = ...= y{n^(0) = 0, (3) donde Ly es el primer miembro de la ecuación (1). Dado que las ecuaciones operacionales correspondientes a los problemas (1), (2) y (3) tienen la forma

A(p)Y(p) - F(p), A{p)Yi(j>) = i P

donde F = f , entonces Y(p) = pY\(p)F{p). De esta manera, si se conoce la solución del problema (3), conforme a la fórmula de Duhamel tenemos

t

y(t) = j f(T)y[(t-T)dT (4) o

(tuvimos en cuenta que, según las condiciones iniciales, t/i(0) = 0). La fórmula (4) toma la forma

t

y(t) = yi(f)/(0) + J yi(t)f'(t - r) dr. (5) o

Ofrecemos al lector una tabla con las transformadas de algunas funciones y las indicaciones para su empleo. Si se conoce el original y se necesita hallar su transformada correspondiente, entonces la tabla se lee de izquierda a derecha; si se conoce la transformada y se pide hallar el original, entonces se lee de derecha a izquierda.

En la literatura especializada de cálculo operacional se pueden hallar tablas más detalladas que esta.

Tabla de originales y sus transformadas

Original Transformada

i ,A Í0, si í < 0 = { 1, si 0

1 P

'•220

licuaciones y sistemas 'tiiferenciciles^é^jgl


2 i" (a > -1 ) r(a + 1)

p"+1

3 e*1, a = const 1

p- <7

4 tneffi, n € N, <r = const n\

(p - <r)n+1

5 sen wí, ^ £ I , m = const w

p2 + w2

6 eai sen wt, w £ IR, <r = const, w = const ii)

(p~<r)2 + w2

7 t" sen wt, n € N, w € R, w = const t Irn (p + iw)"'1

(p2+w2)n'11

8 eos wt, tu £ R, w = const P p2 +w2

9 eat eos wt, w € ¡R, = const, w — const p-a

(p-a)2 + w2

10 tn eos wt, n € N, w 6 R, ui — const

11 sh wt, u> £ 3R, w ~ const w

p2 — w2

12 ch wí, u £ R, w = const p p2 — w2

13 sen wt — - — , w € E, w = const

7T p — — arctg —

14 | sen wt], u> £ R, w — const OI 7Tp

o ? c t h „ p2 + w1 2w

15 e~ah\ a € K, a = const i/í / a \ Z—e*a2 E rf 2 \ V P J

16 —=, a £ K, a = const Vttí

1 V r + a

Ido^Üe^iíansíoririacioncS integrales d<¡ Laplace iU ¿«íftlj jJi II.M'1


17 1

~jz=e « , a G 3R, a = const Vjtí VP

18 1 1

~F= s e n TT Vñt 2 í sen i / p

\/P

19 1 1

>/w7 2í ™e _ v / ? cos s/p VP

20 { a \

Erf { —p , a € R a = const \2VtJ P

Resolver los siguientes problemas diferenciales:

5 5 . y" + a2y - b sen at; y(0) = ylh y1;)(0) = y'Q. i - A

Solución. La ecuación operacional correspondiente al problema diferencial es

2 2 I & + a = 2 ^ 2 + VoP + 2/0-p¿ + a¿

Resolviéndola, hallamos ab , P , y'o

Y(P) ~ , 7x9 + yo , , , + (p2 + a2)2 p2 + a2 p2 + a2' Utilizando la tabla de transformadas de funciones vemos que

P Vo yó y0 ^ y0 COg atr _ ^ i- Sen at. p¿ + aL p¿ + a¿ a

Debido a que r— — - — - , entonces, según la ab b 2ap 1

(p2 + a2)2 " 2 (p2 + a2)2 p' fórmula 7 de la tabla y el teorema de integración del original, tenemos

í ab b f b • b f

== - I T sen ar dr = —r(sen at - at eos at). a2)2 2 J (p2 + a2)2 2 J 2a2

o Finalmente,

( , b \ sen at ( bt\ yo + r a ) ~ - + {y°-Ta)C0SaL

•

Ecuaciones y ^¡.stemab'd

, ' 5 6 . y" +4?/ '+4j / -e" 2 í (cosí+2-íení) ;

< Solución. Pasemos a las transformadas

y = Y, y' = p F + l, y " = : p 2 F + p - l , cos í+2sení == F +1

Conforme al teorema de desplazamiento,

• P + 4 e (eos t + 2 sen í) = ^ ^

(p + 2)2 + l

La ecuación operacional del problema diferencial es

p2Y+p-l+4pY + 4 + 4 Y = { p ^ + i ,

y su solución, p3 + 7p2 + 16p + l l

W ((p + 2)2 + \)(p + 2)2 ' Descomponiendo el segundo miembro de esta igualdad en trac-ciones simples, hallamos

p + 4 1 Yin) — + . w (p + 2)2 + 1 (p + 2)2

Pasemos al original sirviéndonos de la propiedad lineal, del teore-ma de desplazamiento y de la tabla de transformadas. Tenemos:

y{t) = e~2i(t - eos t - 2 sen í)- •

5 7 . y'" \ 3y" + 31/' + y = 1; y[Q) = y\0) = y"(0) = 0. ISilgyiÉlw^

-4 Solución. Sea j/(¿) = F(p). Pasando a las transformadas ob-tenemos la ecuación operacional correspondiente al problema diferencial:

(p + í f Y = -. P

Su solución es 1 1 1 1 1

Y(p) = p(p + l)3 p p + 1 (p + 1)2 (p + l)3

••úi^tíímt

^tóy^^e/transformaciones integrales tic La plací'

El original de la transformada Y se halla mediante las fórmulas 1, 3 y 4 de la tabla:

t2 t l y(t) = 1 - e~l - te~l - -c^ = 1 - e~l I 1 +1 + - I . •

, 5 8 . y'" r y = l ; ¡/(O) - ?/(0J - y"{0) = u.

Solución. Al problema diferencial le corresponde una ecuación operacional cuya solución es la función

Y(p) = p(p3 + 1)'

Hallemos el original mediante el segundo teorema de desarrollo: y(t) — res (^Yip)). La función Y tiene polos simples en

' Pj i 1 iV3 1 iV3

los puntos px ~ 0, p2 = - 1 , Ps = ~ J~> P4 = - + — •

Calculando los residuos de la función p i--> epíY(p) en los puntos mencionados, hallamos

resé*—^ = i i m c í * _ L _ = 1# • pi + 1 ) p-+o p-4 + 1

ept t~x res eptY{p) = lim — = - — - , pi i p(p¿ - p + 1 ) 3

e\2 2 J res ep Y(p) + res eptY(p) = 2 Re -P> P 4

Finalmente, tenemos

- 3

2 . V 3 , eos 1.

3 2

e -í 2 . V3 y(t) = 1 - ~ - -e» eos — ¿ .

licLuicíories yvsistehnak

. , i, i. • . •• .-..i-» " h.,>d'iir ¡i.i'iii !,A,jt ''¡.W-;-,' v 5 9 . • • ylv+2y"+y = sen í; y(0) y'(0) / ( O )

Solución. La solución de la ecuación operacional correspondiente al problema diferencial (luego de pasar de la función, de sus derivadas y del segundo miembro de la ecuación, a las transfor-madas) es

y<p)= 1 (P2 + I ) 3 '

Hallemos al original y(t) como el residuo de la función p • eJ'r Y(]>) en el punto p = i:

d2 / é* y(t) = Re

dp2 \ip + lf 1 3

- - ( 3 - í 2 ) sení - -t eos/. • 8 ' 8

P=i

IHPgpINBHBM 6 0 . yw - y' = tí sen ¿; i/(ü) - i/ ¡í-, / ( O ) = * / " ( ( : } > 'OA ?/v(0) - l jí;

< Solución. Como y(t) == Y(p), y'(t) == pY(p)f yv(t) ^ p5Y(p) - 1, 1

sen t = 2 la ecuación operacional correspondiente al proble-

ma diferencial tiene la forma c 8

p5Y -1-pY p2 + 1'

de donde

y(p) = p2 + 9

p(p2 - 1 )(p2 + l ) 2 '

Hallemos el original con ayuda del segundo teorema de desarrollo. La función Y tiene polos simples en pj = 0, yb/j — ±1 y los polos complejos conjugados de segundo orden pit5 = ±-¿. Haciendo p2 + 9 = F[ (p) y (p2 - l)(p2 + l)2 = FoXp), obtenemos

v , ^ F W Y(l>) = -TTTT'

Hallemos los residuos de la función eptY(p) en sus polos: ptv, , F¡ (0) (1

rese' F(p) = — = - 9 , í'i 3(11)

p t v f , F r j p 1 0 e ¡ 5 ( res ev F(p) = — — — - = = - -* P2F&2) 8 4

7 e '

P t v í , F ( j> 3 )e^ 5 resey Y(p) = ————- = ~e , i» P i F ^ i ) 4

res e^F(p) r res é"Y{j>) = í'4 PS

= 2 Re lim — ( ~ ¿> V + 9 > e " \ =

6 dp p(p2 + l)(p2 - l)2 J = V _ p(p2 - 1 )(p2 + i")2:

- 2 Re í ~ 4 4 p 3 + 2 ? P ~ p 4 i ~ 2 8 p 2 ¿ + 1 f ? V - 1)2(P + ¿)3

+

= 2Re

Así pues,

(p2 + 9 )Í

p(p2 - l )(p + í)2

13 eos f 4- 2t sen t.

5 13 y(t) = - 9 + - chí 4- — cosí + 2ísení . •

2 2

6 1 . y" - J'n >i (r¡(t) - ,}(t - 61); y{0) = íf'(0) ™ 0.

I Solución, Pasemos a las transformadas, leñemos J/==F, y ==p Y, 1 e~bp

T¡(t) = —, T¡(t - b) = (por el teorema de retraso). Al problema P P

diferencial le corresponde la ecuación operacional

cuya solución es

-(1 - e~bp). p(p2 + ÜJ2) *

Por ei segundo teorema de desarrollo, a a a 2 a a a

== -^r í eos cot p(j>2 + cu2) ' a/2 b)2

y, por el teorema del retraso,

, iút sen' — ,

ae -bP

pip2 + W2) ' LO2 S e n

2a 2 ^tt - b) T){t - 6).

2 a U)t y(t) = T sen ~~r¡(t) - sen'

u(t - b) Tlit-b)}. •

6 2 . y" -f 4y = f(t), y(ü) = y'<0) « 0, donde f t-2wc, si 2ft7f<íC(2ni 1 K

f(t)=f(t f 27r)= < - í+2(w+l) í r , si ( 2 í i+ ] } j r< í^ {2n-

Solución. La restricción de la función en el semieje positivo es una función periódica de período 2ir. Tenemos (v. corolario del teorema 5, p. 1.2)

2 r

1 - e~2wp

te'

2jt

/ « " " i " jr

¡ =

í>2 J í= +

+ f f e ~ * | e ' P t 2 n e ~ P t

P r p

;=27M

F=3T

^^^qUo^^e^tramformaciontís integrales de Uplace

1 - e 1 , irp ~ - r th — .

p2( 1 + e~"P) p2 2 La función / es continua V t G MQ . Su derivada

{1, si 2mr<t<(2n + l)ir, - 1 , si (2n + 1)* < t < (2n + 2)ir, n G ZQ,

0, si í < 0, tiene puntos de discontinuidad de primer género en los puntos f„ = nir (TÍ, G N). La ecuación operacional correspondiente al problema diferencial dado es

9 1 , 7T» p2Y + 4F = - th

de donde 1 irp

Hallemos el original de la transformada Y(p) utilizando el teo-rema del producto. La transformada de la función /', según el teorema de diferenciación del original, tiene la forma

, 1 itp 1 i »

Tenemos: j ( 1, si 2n% <t< (2 n + 1)tt, - th ~ = < - 1 , si (2n + l)?r < t < (2n + 2)ir, n G So, ? 2 1 0 , si t < 0,

1 1 , "TT"? 77 ^ 7V1 _ eos 2t). p ( p + 4) 4

El original de la función Y en los diferentes intervalos de variación del parámetro i se expresa mediante las fórmulas siguientes:

i t h ^ - 2 P 2 p{j/

1 ( sen2í\ — A t — J , si 0 < í <7r,

TT í

Y ( p ) = y ^(1—cos2r)dr + J | ( - l + c o s 2 r ) d r = o

22K

licuaciones y siótertias Wifere&laleál iiiiifi, wi/kí ft V ,

1 { , sen2t „ \ ~4 t + + ) ' S1 7 r < í < 2 7 r '

Tt 2»

Y(p) = j^(l-coslT)dT+ J^(-\+CO$lT)dT +

+ f 1 \ ( sen21 / - ( l - c o s 2 r ) d T = - I f 2tt ) , si 27t<í<37t,

2x

^(p)^ S si 2?i7T<í<(2n+1)7r,

1 / sen2í - ( t 27T7¿ , 4 V 2 "

Finalmente, 1 ( sen2t \ - t 2-ku ,

4 \ 2 ) '

^ + ] , si (2n + l ) ir<í^(2n+2)ir (

si 2mr<t^(2n+l)ir,

A (n € Z0). •

si t< 0,

63. y"' \ 6¡/"+1 ty' i ty == /(O; ¡r(0) - 0, tAO) = //"(O) =' l) • í donde

r 0, m t < 1, /(i) - K si 1 < í < 2,

l r - 4i -f si t > 2.

Solución. Escribamos la función f en la forma

f(t) = V{t - 1) - r¡(t - 2) + (í2 - 4Í + 5)V(t ~2) =

Entonces J) + ( í - 2 f i / ( í - 2 ) .

e'P 2e~2p

m == — + —

..i' --i.

(por el teorema de retraso). Continuemos:

»(í) = m y'(t) = pY(p),

y"(t) = p2Y(p) - 1, y"'(t) == p3Y(p) - p - 1 ,

e~p 2e~2p

p3Y ~p~ 14- 6p2Y - 6 + l l p F + 6Y = +

o bien

de donde

Y{p)

O-P

p r

2e~2p

( / + 6p + l l p + 6)F ~p + 7+ — + , P P

p + 7 +

(p + l)(p + 2)(p + 3) p(p + l)(p + 2)(p + 3)

2e~lp

p3(p + 1 )(p + 2)(p + 3)

Para determinar los originales de las funciones Y\, Y2,13 aplicamos el segundo teorema de desarrollo. La función Y\ tiene polos simples en pi = —1, p2 = -2, p3 = - 3 ; por consiguiente,

3 /

™ * £ (p + 7)ept

3 / (p + 7)ept \

f - f l 3p2 +12p + 1 1 i l ft=l \ / p=~k

= 3e _ i - 5e - 2 í + 2e - 3 ' .

La función K2 tiene cuatro polos simples en los puntos Po — 0/ Pi = —1/ P2 - —2, p3 = - 3 . Tenemos:

r2(p) = Pi>(¡-1)

(p + l)(p + 2)(p + 3)

+ E r.

+ 7 < = n

^ V(p(P + 1)(P + 2)(P + 3 ) ) 7

1 sf*f i T ^ ' t l íT 'u f l^

A=1 \

e At-V \ p(3p2 + 12p + 11) J / - fu

= V i — z — " - i — r J ' » - " -La función Ys tiene un polo de tercer orden en Pa = 0 y

polos simples en px — - 1 , p2 — - 2 , p$ = - 3 ; por tanto,

n í p ) = ( * > % + i ) t + 2 ) ( P + 3) e " j +

^ A = - l eV[t'1] V ~ V(P + 1XP + 2)(P + 3 ) J Í = 0 +

3 / 0P«-2) \ + 2 E . 6p5 + 30p4 + 44p3 + 18p2 / K—1 \ / J>=s—-Ai

= (2{3p2 + + 1 1 ) 2 " 3 { P + 1 ) ( P + 2 ) 2 ( P + 3 ) eí" '-^-

V ({/> + l)(P + 2)(p + 3))3

_ 2(t~2)(3p2 + 12p + ll)

((p + l)(p + 2)(p + 3)}2

+ ü z É + ( p + i ) ( P + 2 ) ( P + 3 ) y p = o

+hl v 2 ( 3 p 3 + 15p2+22p+9)J / 85 ll(t - 2) (t - 2)2 {t_2)

y 108 16 6 c-2(i-2) e-3(/-2)\

+ ^ w - ) * - 1 * -

!éfo<jo tJé triiíieformaciones integrales dt' Implan n "i >

La solución del problema diferencial es la función

y(t) = 3e_ i - 5e~2í + 2e~3i +

( \ e - f í - 1 } e"^'-1» e"3<t-1>\ + + — J * « - l ) +

( 8 5 1 1 , 1 , 2 1 -2ÍÍ-21

- ¿ e - 3 " " 2 1 ) >J<1 - 2). •

ar'v ; ••••••_ I' ; 6 4 . ( ,"-f i2(/ = 6 t " r ; í/(0} = ;ñ¡i| =0.

Solución. Vamos a resolver el problema con ayuda de la integral de Duhamel, p.4.3. Primero resolveremos el problema

y"-a2y = 1; ¡,(0) = y'{0) - 0, (1) y luego recurriremos a la fórmula (4), p.4.3. Sea yL la solución

e Y¡ la transformada del problema (1). Entonces Y¡ = •— - •. p(jr - a¿)

Utilizando la fórmula 11 de la tabla de transformadas y el teorema de integración del original, obtenemos

í i r i

Y\ = - / sh ar dr = -rfch at - 1) — yAt). a J

Ü

Según la fórmula (4), p. 4.3, t

a2'

b f t2 y(t) = - e T sh a(t - r ) dr.

o

Realizando el cambio de variable sha(í - r) = - - e y completando cuadrados perfectos, llegamos a la solución del problema en la forma

a2

1,(0 = ^ e 4 ( e « erf ( * + £ ) " ^ erf (t - \) ) . •

Ecuaciones y sistemas diÍGWhb.al^'ft ' .. ,*j< ' I M A. .1*»^MHÍÉWWI

y;65. yW+2y"+ti = eos £; y{0) = y'(0¡ *

M Solución. Hallemos la solución yi del problema yw + 2y" + y = 1, y(0) = ¡/'(O) = y"{0) = /'(O) = 0. Tenemos:

*!<*) = JIÍP), = yl'fp) 4= iYdpl 1 = V

La ecuación operacional es

1

V

resolviéndola, llegamos a

1

p*Yl+2p2Y] -r K, =

yi(p) =

Hallamos el original de la función Fj con ayuda del segundo teorema de desarrollo. La función Y\ tiene un polo simple en p = 0 y polos complejos conjugados de segundo orden en p — ± t . De acuerdo con el segundo teorema de desarrollo,

1 i ( d i i ept \ \ = T T T ^ T + 2 R e — ( p - i ) 2 M -iP2 + l)2 U \dP\ P { P 1 + 1 ) 2 / /

(tp1 - 3 p + {tp - l) i 1¡t\ t — 1 + 2 Re j — f r ^ k L e P ) = 1 - c o s í - - s e n / .

\ p2(p +1) 3 . 2 \ / p=i

Conforme a la fórmula (4), p.4.3, la solución del problema inicial es

y{t) = J c o s r - ^ ^ s e n ( í - r ) ~ ( í - r ) c o s ( í - r ) ^ dr — o 1 / 4 t cos(¿ —2r) / sen(/-2r)

= - r s e n M ( Í - T ) I TCOSI 4 V 2 V 2

r 2 eos (í - 2r) - Y C O S Í +

r=t 1

= - í ( s e n í - í c o s í ) . • T = 0

6 6 . y" + 3¡f •+ 2y ~ e'; y(0) r- jí'(O) -= 0. fmMMSwm,

< Solución. Sigamos el mismo esquema de resolución de los dos ejemplos anteriores. Tenemos:

t

y(t) J eTy\(t- T) dr.

donde y\ es la solución del problema

y" + 3y' + 2y — 1, y(0) = y'(0) = 0. (1) Construyamos la ecuación operacional correspondiente al prob-lema (1):

yi(t) = F!(p), y"(t) = p2Yi(p), y'\(t) = pY\(p), i = p

Y = p(p + l)(p + 2) La función Y\ tiene polos simples en los puntos /JO=0, PI = - 1 , p2 = —2. Según el segundo teorema de desarrollo

yi(t) = (p + l)(p + 2) +

í =o PÍP + 2) +

e * p{p + l )

1 c = e H

2 2

21

Dado que y[(t - r ) = e - ( |-T ) - e - 2 t t - r ) , hallamos

y(t) ~ J eT ( e - W - e - * - * ) dr =

o ¿

= J (e~t+2r - e~2t+3r) e2Tdr = o

= ( r^-r™*) sh - ( e — e ) •

licuaciones y sistemas,dif^^CJalt'

itMSmvsftVriái*',*/**' ' 'V1 •! v,1 t * . ' * "v -i, v r, v j» •frtimia* •i&SM'lf.ífií» ' t i i 1 1 * * | i ' ' , - ' ^ • i . ^ V ' ¡ í,,if>i

o / . Una masa puntal m efectúa oscilaciones rectilfneaé Supongamos que el medio no opone resistencia! al movimiento ¡j y que la fuerza de recuperación mu z x es proporéíbñflV'ill desplazamiento. En los instantes í* = kr (k é a lajltiásiM: se le comunican impulsor de magnitud a. Hallar la^cjiadón| de n'i)\ i miento de l.i partícula m !a desviación y-jíjíij velocidad inicial son iguales a cero. : c- ' í^i-fái^*

Solución. Tomemos la posición de equilibrio del punto como el origen de coordenadas. Conforme a la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento es

oo mx + míú2x = a ^T^ S(t — kr),

fe=o donde 6 es la función de Dirac.

Aplicando a esta ecuación la transformación integral de Laplace obtendremos una ecuación respecto a la transformada X{p) = x(t):

+00 ^ A

m(p2 + u)2)X{p) e~pt6(t - kr) dt.

Dado que fc=0 0

í

J 6(s - kr) ds = r¡{t - kr), -00

es decir, r)'(t - kr) = 6(t - kr), y que por la propiedad del original e~pkT

T)(t - kr) = , entonces

e~pkT

6(t - kr) = i}'(t - kr) = p = e~p . P

Por consiguiente, +2° / e~pt6{l - kr) dt ^ e~pkr, = í1 " ^ y 1 '

{ o en virtud de lo cual encontramos

a X(p) =

míp2 + a>2)(l - e-r*)'

Ip^íScló,1'iie transformaciones Integrales de Laplace

^ m m i ^ ^ ' : : •

Reconstruyendo el original x(t) == X(j>) hallamos la solu-ción del problema. Para obtener el origina] empleamos el segundo teorema de desarrollo. La función x es meromorfa y tiene polos

2kwi en los puntos = ±»W y Pk = (fe € So). Si T no es un

r 2x

múltiplo entero de TÍ = — (lo cual se supone), entonces todos w los polos son simples, por lo cual, conforme al segundo teorema de desarrollo, hallando los residuos obtenemos

0:(í) = a 1 U>

mu)2 T V

ÚJT 2 sen —-

2 (XJ

t=i

2 R

r 2 - fe2r2

eos u , ( t + I ) -

COS k—Lüt

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes;

f (2x" - x' t yj-) - (y" I- t/ ^ 3y) = 0, 68. { Qx" f x' + 7x) - (//" - y' H 5y) = 0,

l ¡r(U) - •*'(()) - 1, 1/(0) = y'(0) = 0.

Solución. El sistema operacional correspondiente al problema dado tiene la forma

f (2p2-p + 9)X ~(p2 + p + 3)Y = 2p + l, \ (2p2 + p + 7)X ~(p2 - p + 5)Y = 2p + 3,

donde X{p) == x{t), Y(p) == y(t). Sumando y restando miembro a miembro estas ecuaciones, obtenemos

V + 1 1 2X-Y=2^r~i-, X+Y =

p2 + 4 p - 1 de donde

1 2p 2 + 1

Y =

3(p - 1) 3(p2 + 4) 3[p1 + 4)' 2 2p 2

3(^1) ~ 3<jt+A) ~ 3(p2 + 4)'

xuaciones y sistemas

x - ^ m m ^

Pasemos a los originales: 1

x(t) = - { e ' + 2 eos 21 + sen 2t),

2 y{t) - -{le1 - 2eos 21 - sen 2/,).

3

y+ z —0, 'IS®

1 r 1 y, f t jí(0) = y(0) = ¿tO) = a-'(O) = p'fl)) = s'(ü) = 0. . ; ¡

< Solución. Sean £c(í) = X{p), y{l) == Y(p), z{t) = Z{p). El sistema operacional correspondiente al problema diferencial es

{p2 -1)X + Y + Z = p, X + {p2 - 1)Y + Z = 0, X + Y + {p2 - l)Z = 0.

Resolviendo este sistema por la regla de Cramer, obtendremos „3

X = p Y = Z~ —

Aplicando el segundo teorema de desarrollo hallamos los originales

x{t) = \ ch {t\ñ) + - eos t, 3 3

y(í) = z(í) = - I c h ( í V 2 ) + I c o s t . > 3 ó

7 0 . x'0 s= - a ^ X f c axb = a%k-1 - Vñ)¡ ' 3V)(0) ',®fc{0) = 0 " • .

< Solución. Sean x0(¿) = X(p), Xk{t) == (fc = 1, n). El sistema operacional correspondiente al sistema diferencial es

(p + ü)Xq = 1, (p + a)XK - a I M = 0,

de donde

XK {p + a)k+l

{k = 0, n).

¡j|t>po fj^ tí'flmfonnacíones integrales do Laplace

Hallamos los originales con ayuda de la fórmula 4 de la tabla:

7 1 . K r ' t 2.r - / / ' 4 y = « l jr(0) = 1/(0) - ]/(0) = ü, x'(0) •= 1.

Solución. Sean x(t) = X(p), y(t) = F(p). Dado que

x'(t) = pX, x"(t) = p2X - 1, e = 1

P - l

y\t)±pY, y"{t)±p2Y, e'1 • 1 ' p + l '

el sistema operacional correspondiente al diferencial es l

p2x - 1 + p X +P2Y - Y =

1 pX + 2X-pY + Y = ——,

p +1 Resolviendo este sistema obtenemos

2p - 1 1 3 1 X(P) = TT7—Í77 = TT +

Y<p) =

2 ( p - l ) ( p + l)2 8 ( p - 1 ) 4(p + l)2 8(p + l ) ' 3p

2(p2-l)2' Aplicando el teorema de derivación de la transformada a las expresiones

—— = e\ —2—- = sh t, p + 1 p¿ - 1

hallamos

—— ) = —te"1 y [ J = - í s h í , p + l ) y W - i )

o bien 1 - Í 2 P ,

7 777 Y TT 777 =F í sh í. (p + l)2 J ( P 2 - l ) 2

Finalmente, 1 3 3

x{t)--sht+-te~i, y(t)=-tsht. • 4 4 4

msmm&imsmmí'.'-iñMsttsiii

/ Z , Tres masas puntuales iguales m están fijadas, a'-üna';| cuerda de forma tal que ésta queda dividida en cuatro partes | iguales de longitud i. En el instante inicial todas las masaS' Sé'"| encuentran en equilibrio y a la masa central se le comunica | una velocidad Hallar la ecuación de movimientó' del |

Fig. 78

Solución. Hallaremos las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema con ayuda de las ecuaciones de Lagrange, que en el caso de oscilaciones libres pequeñas tienen la forma

d f 8T\ 8U _ dt [ j k j j +

donde T es la energía cinética del sistema, U es la energía potencial, qk son las coordenadas generalizadas, y el punto indica la derivada respecto al tiempo. Si x\{t), x%(t), xj(í) son las desviaciones respectivas de las masas respecto a la posición de equilibrio, entonces

771 ( y 2 2\ / 2 2 2 \ T = Y ^áj + x2 + x3 J , U ~ — ^ + x2 + x3 -xix2~ x2x3 J ,

donde P es la tensión de la cuerda. Las ecuaciones de movimiento tienen la forma

x\ + \{2XÍ - x2) = 0, X2 + A(2«2 — XI — X3) — 0,

x3 + X(2X3 - x2) = 0,

P donde A = — T o m a n d o en cuenta las condiciones iniciales

mi ®i(0) = x2(ü) = x3(0) = ±\(0) = a;3(0) — 0, ±2(0) = v0, obtenemos

transformaciones IntcgraleN de Laplace

las ecuaciones operacionales

(p2 + 2A)Xj - XX2 = 0,

—AXi + (p2 + 2A)X2 - AX3 = v0)

- A X 2 + (p2 + 2A)X3 = 0,

donde X\ (p) = ®i(t), X2(p) == ;e2(£), X3(p) = í¡53 (t). Resolviendo este sistema, hallamos

p2 + 2A _ A ~ r 2A)2 - 2A2 ~ ~ J f T W ^ 2

de donde, empleando el segundo teorema de desarrollo, resulta

... % /senwíí sen w2t\ ®i í = ®3(í) = )/ 2 v 2 V wi w2 /

Vo /seno^it sena>2f\ ®2(í) ~ V + J ' 2 v f>i «2 /

siendo Wi = y ( 2 + v^)A, o>2 - y (2 - \/2)A. •

§ 5. Ecuaciones integrales tipo convolución. Ecuaciones singulares

5.1. Ecuaciones integrales tipo convolución Toda ecuación de la forma

P

af(t) = <p(t) + A J K(t, t )/( t ) dr, a < i < /?, (1) a

donde / es una función desconocida, tp y K son funciones dadas, y a, A, a, ¡3 son constantes, se denomina ecuación integral lineal de Fredhohn de primera especie si a — 0, y de segunda especie si a 0.

La función K, definida en el cuadrado DK = {(t, r ) e I 2 | a < t < P,a < r < 13}, se denomina núcleo de la ecuación integral. Si <p(t) = 0, la ecuación se denomina homogénea.

liauidoiu'ít Integrales tipo coiwoludófy'

La ecuación t

af(t) = <p(t) + * f K(t,r)f(T)dT (2)

a se denomina ecuación integral lineal de Volterra de primera especie si a — 0, y de segunda especie si a 0.

Si el núcleo K de la ecuación depende solo de la diferencia t - r, es decir, K(t, r ) — K(t - r ) , entonces la integral

í

J K(t-T)f(T)dT = K(t)*f(t) (3)

o es la convolución de las funciones K y / . En este caso, la ecuación de Volterra

t

fl/(f) - <p(t) + A J K(t, r )/(r ) dr (4)

o es una ecuación tipo convolución y su solución se puede hallar con ayuda del método operacional, utilizando el teorema del producto de E. Borel.

5.2. Ecuaciones integrales de segunda especie Si la integral

+00

J e~ptK(l) * f(t) dt o

converge absolutamente, entonces, conforme al teorema del pro-ducto de Borel, la transformación de Laplace reduce la convolución al producto de las transformadas, es decir,

K{t)*J{t) = K{p)F{p)t

donde K{t) = K(p). Por tanto, la ecuación (4), p.5.1, después de pasar a las transformadas f(t) = F(p), ip(t) = <f>(p), K(t) == K{jp), conduce a la ecuación operacional

aFijp) - <&{p) + AK(p)F(p)t

,Máodo le transformaciones integrales tic* Laplace

m =

W ^ p f e f ;

de donde

a - AK(p) o bien _

1 A K(p) F(p)=-m+ rS7T$<P)-a a a — XK(p)

K(p) Sea = — = ^(p) y = ip(t). Entonces a la igualdad

a - AK(p)

F(p) = + a a

le corresponde la solución af(t) = ip(t) + Xip(t) * ip(t)

en la clase de los originales. En particular, si la función K es un

polinomio K(t) = ^ ^ a)Jk> s u transformada K(p) tiene la forma fc=o

~ an ai rt\ K{p) = - + ^ + • • • + on—j-. p p1 pn+1

Fot consiguiente,

K{p) a0pn + axpn^ + • - • + n\an i[t(p) = a - AK(p) - Aa0p" - Aaip""1 - . . . - Aannl

La función ^ es racional y su original tp se puede hallar mediante el segundo teorema de desarrollo.

De este modo, la solución F(p) de la ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral de segunda especie tipo convolución, siempre tiene original.

5.3. Ecuaciones integrales de primera especie A la ecuación integral de primera especie

t

<p(t) = \ J K{t-T)f{T)dT (1)

0 le corresponde la ecuación operacional

$<p) = A K(p)F{p),

líCLUH'itmt'H lulegniles tipo convolución, Ecnaciohqs

cuya solución es

W - T - ^ - W (2)

El original de la solución (2) no se puede hallar mediante el

teorema del producto. Esto se debe a que la función — no K

es una transformada, pues la condición necesaria para la exis-tencia de la transformada es el cumplimiento de la igualdad limíifíp))"1 = 0. Sin embargo, en algunos casos la solución exis-JJ—>00 te. Si las funciones K y tp son diferenciables y ÜT(0) fi 0, entonces diferenciando la ecuación (1) obtendremos la ecuación integral de segunda especie ^

<p'(t) = A J K'(t - T)/(r) dr + iT(0)/(í), (3) o

cuya solución existe. Si K{0) = K\0) = . . ' . = jr(B_1>(0) = 0 y íT(r)(0) fi 0,

diferenciando (n + l) veces la ecuación (1) obtendremos la ecuación integral de segunda especie ¿

<p{n+1\t) = A J K{n+Í)(t - r)/(r) dr + K{n]{0)f(t). (4) o

5.4. Ecuaciones integrales singulares. Ecuación integral de Abel

Las ecuaciones integrales (1), (2), p. 5.1, se denominan singulares si el núcleo K(t,r) se hace infinito en uno o varios puntos del segmento [a, /?], o si uno o ambos límites de integración a y fi son infinitos. Un ejemplo de ecuación integral singular de Volterra de primera especie es la ecuación integral de Abel

f f(r) J w^irdT = m 0<a<h o 1

Esta ecuación fue obtenida por Abel para el caso a = - , durante

la resolución del problema de la tantócrona: la curva para la cual

''^Hrnn^fortmcipnes intégrales detaplace f i,"

se cumple que un punto material que se desliza sin fricción a lo largo de ella alcanza su punto mínimo al cabo de un mismo intervalo de tiempo, independientemente de su posición inicial.

Supongamos que el núcleo K de la ecuación (1), p. 5.3, para t = 0 se hace infinito y no tiene derivadas. Analicemos la

t convolución f(x)* 1 = / /(r) dr = g{t). Conforme a la propiedad

o de integración del original, tenemos

9(t) = G(P) = - F(p) P

por lo que la ecuación (2), p. 5.3, adopta la forma

= f 1(?>• w A pK{p)

Según el teorema 11, p. 1.2, lim pK(p) — lim K(t) — oo; por p~>oo t^O

1 1 tanto, lim — = — — 0. Consiguientemente, la función — = — es

p-K» ]>K{p) pK(p) una transformada. Aplicando el teorema del producto podemos hallar los originales de ambos miembros de la igualdad (1).

Resolver las siguientes ecuaciones integrales de segunda especie:

7 3 . f{t)^senti-~J(t-T)if(T)dr.

Solución. Pasemos a las transformadas. Tenemos:

f(t) = Fip),sent= p¿ 4 1

t

J(t-T)2f(T)dT = t2*f(t) = -^F(p).

0 La ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral es

1 1 2 FW = T T T + í l W p¿ + 1 2 pd

líaiiH'lone» Integrales tipo convolución, I?Cuí|cionés ei^giill

de donde

F{p) = ( p - l ) ( p 2 + l ) ( p 2 + p + l ) '

Representemos la función F como una suma de fracciones simples: A Bp + C Dp + E

F(p) = r + . . + p - 1 P2 + 1 ' p2 + p + 1'

A partir de la identidad

p3 = A(p2 + l)(p2 + p-t- l ) +

+ (Bp + C)(p3 - 1) + (Dp + E)(p - l)(p2 + I) obtenemos el sistema de ecuaciones

A + B + D = 0, A + C-D + E=l, 2A + D-E-0, A-B-D + E - 0, A--C - E = 0,

1 1 1 2 1 de donde hallamos A— - , B — -,C — ~,D = —, FJ = - .

6 2 2 3 3 Conforme al segundo teorema de desarrollo,

1 ( 1 (p + De* , 1 (p + l)ep<' /(O = 7 e + ó r<?s , 2 ,.... + r res V T T T T ~ 6 2 » (p¿ + 1 ) 2 -» + 1 )

1 (2p + l)ept 1 (2p| l)rf - res — — res 3 (p2 + p + 1 ) 3 - w s (p2 + p + l )

(2p + l)ep¿

2p + l

1 , 1 2 _i/2 V3 — ~ e + ^ ( c o s í - f s e n f ) — e ' e o s — t =

6 2 3 2

= - ( V + 3eost + 3sení - 4 e _ í / 2 e o s — A . • 6V 2 /

7 4 . = / V ' *>f(T)dT ¿itl felfeé P ttlfe 'm^^W^^mSMî^^^MÉî^Mw^^^^^^^^^^^^áî

rap-rr f"f < <C ' "í11."rr ' Tí. i ' "» . , . formaciones integrales de Laplace

* Solución. Sea F(p) = f(t). En el segundo miembro de la ecuación pasamos a las transformadas:

t

o (por el teorema de E. Borel). Entonces

P + 1 1 3 F(j>) = -r-r^i = + (p + 2 ) ( p - 2 ) 4(p + 2) 4 ( p - 2 ) '

de donde

75. f(t) = sen 2t - - / sh 3</ - r ) / ( r ) dr.

< Solución. Sea F(p) = /(¿). Utilizando la tabla de transformadas 2 3

hallamos que sen2f = , sh3í ^ - = — y mediante el ^ p2 + 4 p2 - 9 '

teorema del producto de Borel, obtenemos i

j Sh3(í - r ) / ( r ) dr = F(p)~~^.

o A esta ecuación integral le corresponde la ecuación operacional

F ( p ) = _ J L _ - ^ - F ( p ) , p¿ 4-4 p ¿ - 9

cuya solución es la función

F ( = 2(P2"9) = , J L , ^ +

( p 2 - l ) ( p 2 + 4) p~ 1 p + 1 p2 + 4 De la identidad Aip + l)(p2 + 4) +B{p - 1 )(p2 + 4) + (Cp + Z>)(p2 - 1) = 2(p2 - 9) hallamos

. - 4 c - a « = f .

Eauidonofl integrales tipó convi)íü^t¿K%;oViáaó^

De este modo,

F(p) - --8

+ 8 13 2

5(p - 1) 5(p + 1) 5í>2 + 4 ' Recurriendo a la tabla obtenemos

8 8 _ / 1 3 f(t) ~~-el + -e + — sen 2t - - (13 sen 21 - 16 sh t). •

5 5 5 5

7 6 . / ( 0 - í V / « n f t - r W D * . ' • m

' i ®

-4 Solución. Para obtener la ecuación operacional pasamos a las transformadas:

f{t) = F{p), = sen i=== 1

F i>2 + l '

f jP(p) / sen(í - r )/(r) dr = - 5 - — '

J y +1 o

Utilizando la tabla de transformadas, hallamos

m = ío + t'- " igl Integrar las siguientes ecuaciones de Volterra de primera

especie:

7 7 . l-cost^ J sh(t- T)J{T)4T.

<4 Solución. Aquí el núcleo K(t.) — sh t es una función diferenciable y K'(0) 0; por tanto, la ecuación tiene solución. Pasemos a las

P ^ ^ ^ g P ^ ^ m a o i ó h i é s , integrales de laplace

transformadas: 1 p

1 - eos t == p p2 +1 p(p2 +1)'

í

J sh (í - r ) / ( r ) dT = sh í * / ( í ) =

o La ecuación operacional es

1 f<p)

p(p2 + l ) p 2 - l ' de donde

p2 - 1 p 1

p(p2 + 1) p2 + 1 p De la tabla de transformadas hallamos

f(t) — 2cos í - 1. •

7 8 . sen t = I eos (í - r ) / ( r W r ,

Solución. Aquí if(0) fi 0, donde K(t) — cosí. Con ayuda de la fórmula (3), p. 5.3, obtenemos la ecuación integral de segunda especie

i

eos í = - í sen(í - r )/(r ) dr + f{i).

o Pasemos a las transformadas:

t P J „_/.. F<P)

o

f(t) = F(p), eos í = , í sen (i - r)/(r) dr = p¿ + 1 7 p2 H-1

La ecuación operacional es p f ( p )

p2 + 1 p2 + 1 1

De aquí obtenemos que F(p) — - . Por tanto, f(t) — 1. • P

liaiík'lmu'rt Integrales tipo convoludón.Eci

- ' " w m i w

79. 1 COSÍ- / ch(t~T)f(T)dT

Solución. Dado que chO = 1, al igual que en el ejemplo anterioi llevamos la ecuación integral dada (de primera especie) a un. ecuación de segunda especie:

i

sen t = J sh (í - r)/(r) dr + f(t). o

La solución de la ecuación operacional correspondiente es

F(p) p2 - 1 2 1

p2(p2 + 1) p2 + 1 p2 '

Por consiguiente, f(t) = 2sení — t. •

8 0 . = í(t - r f f ( r ) dr. - .. ;

Solución. Aquí K{t) = t2, JST(0) = ÜT'(O) = 0, K"{0) = 2 Aplicando la fórmula (4), p.5.3, hallamos

6 = 2 f(t), /(t) = 3. •

Resolver los sistemas de ecuaciones siguientes:

foipkioiwfs integirales de I.,a place

•4 Solución. Sean x(t) = X(p), y(t) = Y(p), z(i) = Z(p). Entonces, (

/ y(T) dr = 1 * y(t) = . Y(p) P o

t

í z(r) dr = 1 * z(t) = — , J P o

i

J X(T) dr — 1* x(t) 4 . X(p)

o El sistema de ecuaciones operacionales correspondiente es

2 T(p) 1 ^ Z(p) 1 X(p) X(p) , F(p) = -z + , Z(p) = - + .

p3 p P P P P Resolviéndolo, encontramos

4 4(p + 2) X(p)-.

3 ( p - l ) 3(p 2+p + l) 4 p+1/2 4 y/3/2 4

3(p + l/2)2+3/4 V5 (p + 1/2)2+3/4 3 ( p - l ) '

v ^ ^ , 4 4 p + 1/2 4 \/3/2 p2 3(p — 1) 3 (p + 1/2)2+3/4 v^ (p + 1/2)2 + 3/4' 3 4 8 p + 1/2

p 3(p - 1 ) 3 (p + 1/2) +3/4

Hallamos los originales:

4 t 4 - - V3 4 -&(r) = -e e ¿ eos — t ¿ sen — t ,

w 3 3 2 y/3 2

4 , 4 - - V3 4 -- V^3 «(í) = —2í + - e e 2 eos — í -1—-=e ¿ sen — - t , , / w 3 3 2 . y/3 2

4 i 8 - J V3 z(t) = - 3 + - é + - e 2 eos y t . •

líciiiH'ionoN integrales Upó c'orivótí

x(t) = t h / y(r) dr, . __ : , 8 2 . « • - . ' • - ^ v ^ M

^ Solución. Sean x(í) = j/(í) = Y(p). Entonces i í

J y(r) dr = 1 * y(t) = — , J a:(r) dr = 1 * x(t) =

o ^ o 1 „ 1 t = - , 14=-p

1 F(p) 1 X(D) P P p p

Resolviendo este sistema, obtenemos 2 2p 1

X(p)=-—t F{p) = -p2 - 1 p2 - 1 p

y de la tabla de transformadas hallamos

¡r(í) = 2sh¿, y(i) = 2 c h i - l . •

• XM

t

V

a 3 . f P mi nraiiloii!inpu-^t'>de m> i-U-im-nto inductivo^ un elemento capacitivo C y una resistencia R conectadas -*th' (M;; 7lt;, -v introduce una fueme E. I'n el in-taiili" inicial"' la comente en el circuito y la carga <JQ on el condensador iguales a cero. Determinar la dependencia de la corriente", contorno respecto al tiempo.

< Solución. Como es sabido, la corriente i(t) y la tensión Í7(£) en los bornes de un dipolo que contiene un resistencia activa R, una autoinducción L o un condensador C, están relacionadas, respectivamente, por las expresiones

uit) = Ri{t), u(t) = L di(t) I T '

¿(r) dr + q0

p a o W wpi nfíiiW tjrQiisformacioniis integrales dy Laplace MWyWa'MW/Mfe 1 1 1 L I . I , 7.J1". JJ' , . 1

donde qo es la carga inicial en las placas del condensador. Basándonos en la ley de Kirchhoff tenemos la ecuación

I E di i r

L—+RÍ + - / %{T)ÚT = E dt C J (1)

L W J i P

Fig. 79 (se tuvo en cuenta que qo — 0).

Sea i{t) == I(j>)- A la ecuación integro-diferencial (1) le corresponde la ecuación operacional

cuya solución es

m E

(2)

La ecuación

tiene las raíces

Sean

2 R 1

R R2 1

R — ~ a, 2 L

ar LC

Entonces pi — - a ¡3, p2 — - a - ¡3, y la expresión (2) adopta la forma

E l I(P) = -

L (p-pi)(p-p2) E. ( 1 E 1 1

Hpí~p2)\p-pi P~PiJ 2 Lf3\p-px p-p2

Pasando a los originales, obtenemos

i { t ) = J L e - ^ 1 - e-P) = sh/Jí. w 2/3 L v PL

(3)

íeuaclones integrales tipo convolución^Ecúaciónesj] •

n- 2 1 Si a > — , es decir,

LC [L

B > 2 \ c ' las raíces plt p-> son reales y la fórmula (3) se puede utilizar en lof

cálculos. Si R < 2W —, las raíces p\ y pj son complejas; entonce? tomamos

por consiguiente, p = iu>. Ya que sh (ia>t) = i senwí, obtenemos

i{t) =—~e at semot. wL

En este caso en el contorno tiene lugar un proceso oscila toril amortiguado de frecuencia w. En el caso crítico, es decir, pan P — 0, el valor de i(t) se puede obtener a partir de la fórmula (3) pasando al límite cuando p -> 0. Utilizando la regla de L'f I6pil.il hallamos

, Ee~at sh pt E _ai i ¿ _ iim —-Í- = -te ai. • v ' j3—>o PL L

Resolver las siguientes ecuaciones integrales singulares:

BflflilliP^ 8 4 . f dr f(t), 0< a < ).

J (t • r)~

Solución. Dado que K(t) = t (r, tenemos

(v. ej. 4). En el punto t — 0 el núcleo K se hace infinito; por tanto la ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral SÍ determina mediante la fórmula (1), p.5.4:

g(p) = —L -(p) = — - — - m -XpK{p) p"T{l - a)

fólteaciohés integral^ de Laplace MV.' fV-'á

El original de la transformada G(p) se halla aplicando el teorema del producto

t „_i sen ira

t • r r(a)r{ 1 - a) r tt g(t) = -I"'1 *?>(') = J Ra~x<p{t - T) dr

o

(en las transformaciones anteriores hemos utilizado la fórmula del 7T

complemento P ( a ) r ( l - a ) = , 0 < a < 1). Suponiendo sen 7ra

que la función g es diferenciable, hallamos la solución de la ecuación de Abel

m g'(t) = ^ ( j V ' ( í - r ) dr + ?(0) í»"1 j .

o c r mdr 8 5 ' J ( T ^ = sení-

i l Solución- Tomando en el ejemplo anterior a = p(í) = sen t,

hallamos * i 1 sen — r _ i

/(i) 2- / r 2 eos (í - r ) dr = tt y

o ( i t

2 1 f cosr f senr — \ — | cosí / , - dr + sen t I ,

V 7T \ y V2ñT J V2TTT \ 0 o

= cos 1 + swsen o' donde C(í) y £(í) son las integrales de Fresnel (v. ej.29), •

dr -

Eauieiones integrales tipo ctnwo^ciónl;iEaiai:iontí|,

' ' " too ' '1 - S .wl > "M 8 6 . fü) — t^ + X f — — / ( t J dr, |A| * 1, ' « ¿ í . - t ó j

A Solución. Sea / == F . Según los resultados del ejercicio 4,

^ r(a + 1 ) pa+l

Al resolver el ejercicio 51 hallamos que

sen 2 VÍ = -V V P Por el teorema de semejanza tenemos que

sen 2Vtr 1 7TT ' Py/P

Hallamos la transformada de la integral +00

T

e P.

I sen iVtT f(r)dT

mediante el teorema de Efros (v. p. 2.3), en el cual se debe tomar 1 1

$(p) = — , q<J>) = PVP P

Por consiguiente, 00

/ sen2\/ír v j 1 „ f l —p / r dr= — F -Vñr pVP \P

La ecuación operacional correspondiente a la ecuación integral inicial es

r ( a + 1) A /1 \

Cambiando p por - en (1), obtenemos P

F{a + 1 )pa+l + XpVpFip). (2)

í Ct ;<itfmififonnacioneg integrales de LapJuce

' '"v ^ i ' •XRffiSiSf¿WWte' " 5'iI 11 í„

A partir de (1) y (2) hallamos „ÍI+I r(a + 1) A p° 2

F{p) = „a+1 + -f^r-r(a + 1) + A2F(p), P PVP

de donde i Z r c o + i) Ar(« + i)

F(p) ~ - rT I + 1 - A2 \ p P 2 Pasando de las transformadas a los originales resulta

1 1 i

P2 t ^ h í ^ - a

m = 1 - A 2

t a + \r(a + 1 )

r\\-a)ta+l

4'!., I

'V 8 7 . <p(t) — J ' n {t~T)/(T)d.T. ;f> .i; .

•4 Solución. El núcleo K(t) = ln t tiene una singularidad en el punto t — 0, puesto que lim K(t) ~ -oo. Por tanto, la ecuación integral

+Ü es singular. Hallemos la transformada de la función í i—• lní . Con este objetivo utilizaremos la solución del ej. 4, en el cual

se demostró que tn = — \ a > — 1. Diferenciando esta P

expresión respecto al parámetro a , obtenemos

ta lní = ^ - ( / " ( a + 1) - F(a + 1) lnp).

Tomando a = 0 y considerando la igualdad JP(1) = 1, hallamos . r ' ( l ) - l n p

ln t = . P

Del curso de análisis matemático se sabe que

r'(i) = - c ,

( i )

256

Ucuaciones integrales tipo convolución,

donde C ~ lim f 1 + - + ••- + - - ln » } = 0,577216... es la n—>00 y 2 n )

constante de Euler. Sea 7 = ec = 1,781072 — Entonces

ln ( 7 p) ~ ln t = ^ = K(p).

P 1

-(l'(p) obtenida anteriormen-Utilicemos la igualdad G{p) - , - , ApK(p)

te (ésta es una consecuencia de la fórmula (2), p. 5.3). En el caso dado,

ln(7í>)

Hallemos el original de la función p 1

ta ln(7 p)

. Integrando desde 0

hasta +00 la función a

obtenemos +00

r(a + 1 ) respecto al parámetro ft,

+00 +00

f _ f ,ff+l „ a + l

0 0

Por el teorema de la semejanza hallamos

+00

pa+l ln p p\np

/ ta-y~a 1 da ==

r(a + 1) ' p ln (7/;)

De este modo, +00

9(t) - I

ta 7 -

r(a + 1) da * <p(t),

es decir,

9(t)

t / +00

II T 7

0 \0 r(a +1)

da 1 <p{t — T) dr,

'"tnw • icws

^IPJy^Transfóf tWidones integraWde Laplace

y la solución de la ecuación tiene la forma

/ ( Í ) = Í ' ( Í ) = t / +00 _ \ +00

— y ( y ^ k ) i a r , ( í - t ) d r - m / w k i a

o \o / o (v. fórmula (2), p. 2.4). •

§ 6. Empleo del cálculo operacional en la resolución de ecuaciones en derivadas parciales

Analicemos la ecuación diferencial d2u du d2u du

L U = a M + b d x + C U + a i M + b l d i = ° ' ( 1 )

donde a, b, c, a\, b\ son funciones continuas que dependen sólo de x y están definidas en el segmento [O, i]- Consideremos que a > O y analicemos dos casos: 1) ai < O (caso hiperbólico); 2) «i = 0 , bt < O (caso parabólico).

Se pide hallar la solución u(x,t) de la ecuación diferen-cial (1) (para y t ^ 0) que satisfaga las condiciones iniciales

u(x, 0) — <p(x) (para el caso parabólico), 8u(x, 0) , , , ,

u(x, 0) — <p(x), — = ip(x) (para el caso hiperbólico), C/b

y las condiciones de contorno du(l, t) du(l, t)

u(0 , i ) = /(¿),

donde a, 0,7 son constantes. Los problemas de este tipo se denominan no estacionarios.

Suponiendo que u, — y —— son originales (analizadas £/ JL> \J JL/

como funciones de variable t), denotamos mediante +00

U(p, x) - J u(x, y)e pi dt Pt

Resolución de etuaScwW

1 ! v

la transformada de la función u. Entonces, como consecuencia de las suposiciones hechas, tenemos

+00 +00 du f du _„, dU d2u f dxhi

-e f du _vt dU d¿u f

== / —e p dt = —, —z = J dx dx dx2 J dx ' J dx" " dx' dx2 ' J dx2

o o Por la regla de diferenciación del original, hallamos

~pt dt = d2U dx2'

du 'dt

= pU - u(x, 0), d2u 2rr , « du{ ®,0) = y1^ - u(x, 0)p í.

o, teniendo en cuenta las condiciones iniciales,

du d2u — = pU - ip(x), - = P U - p<p{x) - ip{x).

Suponiendo que f(t) es original y que F(ji) = f(t), a partir de las condiciones de contorno obtenemos

U = + ¡3{pU ~ *>)) = 7 U x-l x-l

El método operacional reduce la solución del problema no esta-cionario en derivadas parciales (1) a la solución de la ecuación diferencial ordinaria

donde

d2U dU i—T + b— + AU + B = 0, dx¿ dx

A = c + aip +bip, B —-a-fpip - aitp - biip,

(2)

(p es un parámetro complejo) con las condiciones de contorno

= 0. (3) > ( Resolver los problemas siguientes:

U\ = F{p), L=o

dU ,

C-t

8 8 . La temperatura u{r, t) en una barra delgada satisface £ Ja ecuación ¿>

« a =const Hallar la di-lnlmcii-n de l.¡ temperatura en la M-nui'sp.K'iu x > 0 si se conoce la ley de variación de la temperatura de^

inte&ralcs de Laplace»

H

su extremo izquierdo y que la temperatura inicial de la barra es igual a cero:

M = Ü, V a l B ^ s B

= f(t). (2) í S i S á i l l i i S S f f e K i i

•4 Solución. Pasando a las transformadas, obtenemos la ecuación diferencial ordinaria

7d2U pu = (3)

con la condición

ü = F(p). (4) 2=0

La solución general de la ecuación (3) es

De acuerdo con la condición del problema, las funciones u y U deben estar acotadas cuando x —• +oo; por esa razón, C2 = 0 y la solución general de la ecuación (3) es

¡¿Lr U(x,p) ~ Cxe~ «

De la condición (4) se deduce, que C\ — Í7(0, p) — F{p). Por consiguiente,

U(x, p) — F(p)e~^x.

Para hallar el original analicemos primeramente el caso par-

ticular f{t) = 1. Aquí F(p) = Ui(x,p) — . Utilizando P P

la solución del ej. 46, obtenemos XI

2ai/t

= I e"'dT- <5) 0

Si las condiciones de contorno (2) son arbitrarias, utilizamos la integral de Duhamel (v. fórmula (2), p. 2.4), suponiendo que <p(t) = Erf ( - í - ] , -v (0) = 0, <fi'{t) = — - — . Dado que

V2 aVtJ

; • ^ r^rnaaBai U(JJ) — pF(p)UI{p) (v. p.3.3), entonces

t

u(x, t) = x m

2 a ^ { ( i - T ) Í / + 00 ,

X \ 2a Vi

(tras el cambio de variable £ =

e 4«J(t-r) dr =

4a2£2

2aVt - T

o " . Una barra de longitud l se encuentra cn cstado'ÜCf' reposo y uno de sus extremos x = ü está fijo. Sobre el extrémo, ¡J libre x = í actúa una fuerza A senu>í, dirigida a lo'largó déí#| eje de la barra. Hallar las oscilaciones longitudinales tié'lft'5

' .c i --v ^ ^ - x ^ j v ' á ^ r a i .. ....--••( íiAÍlditíi

barra.

Solución. La ecuación de las oscilaciones de la barra es &2u ,d2u dt2 a dx2' ( i )

donde u — u(x, t) es el desplazamiento longitudinal y a2 es un coeficiente constante que depende del material de la barra. Las condiciones iniciales y de contorno son las siguientes:

u t=o

du ~M

= 0, (=0

O, x=¡

= — sen (Dt, (2) A

du

.«o 9 x

donde E es el módulo de la elasticidad. Al problema diferencial le corresponde el problema operacional

(3) 2 2 d U

p2U = a2

dx2'

U1 x=0 O, di/ dx

A O.'

,=i Ep2 + u>2' La solución general de la ecuación (3) es

V "P V(x, p) — C\ ch -x + C2 sh -x. a a

(4)

Sáb^e^transformacíones integrales de Laplace

De las condiciones (4) hallamos

b C\ — 0, C2 — p~,

p(p2 + w2) ch -l a

Aaw donde b = . Por consiguiente, la solución de la ecuación

E operacional es

x

U(x, P) = ~TTT~~2\ —7- = TT^- <5> p(p2 + w2) c h l Y(x, p) a

Para hallar el original u(x, t) nos valemos del segundo teorema de desarrollo. La función U tiene un único polo real p = 0 y un conjunto infinito de polos imaginarios puros con-jugados. Los polos que están en el semiplano superior p = iw,

ira í 1' "Pk ~ i— ~ 2J ~ (fe ^ ^ s o n todos de primer orden

y diferentes si w / w Vfe E N (condición de ausencia de la resonancia). Conforme al segundo teorema de desarrollo,

t t\ r> ( X ( x > i w ) , V ^ x(x>Pk) u(x,t) = 2 Re e + > —- < \Y¿(x,iu) j^Y¿(x,pk)

¡Uht

sen —¡csenwf 4- . - • • 2 vi " a i f - 1 u l - w 2 u j k eos — ft=i k

a

9 0 . Dos barras iguales de longitud / MO mueven al encuen-¡salm por una misma línea paralela a sus ejes. La velocidad de *

ambas barras es igual a i»,.. Determinar el desplazamiento de los puntos de las barras después del choque.

< Solución. Supongamos que el choque tiene lugar en el instante t = 0 en el origen de coordenadas (el tiempo se mide a partir del instante del choque). En virtud de la simetría es suficiente analizar ci desplazamiento u(x, i) de los puntos de una de las barras, por

I , < | V ^'ííV Resolución de ecuaciones en derivadas par<

. _ '.«I*»»} ' /i:",',';

ejemplo, de la barra derecha. El problema se reduce a la resolución de la ecuación

con las condiciones du ¥

d2u _ 2 92U

W ~ a d^ ( 1 )

u t=0 i=ü

du I -va, « = 0 ' - H = 0 . (2)

=0 \x=i

Al problema diferencial (1), (2) le corresponde el problema opera-cional

d U i-. U — T J ax2 a2

t / U = o, dU dx

0,

cuya solución es x=¡

-n21"* Pa -L P vQ ' VQ e ' a + e ] « U{x,p) = J + — 5-p-

p2 p2 i + e - 4

(3)

(4)

(3)

_ 2f|¡ / . Dado que e « < 1, la función p ^ 1 + e 11 I puede representarse mediante la serie convergente

-3 oo 2ki

Por tanto, k=0

V0 Vn xr^ a- l -r?-kl+x p2(fc-H)l-a;

fc=0 Con ayuda del teorema de retraso hallamos el original

v^ / / 2kl + x\ ( 2kl + x* u{x,t)^v0 ( -t + ]£(_l)1 ( (í — j í j j í I +

fe=o a

¿ (2fc + l)í - a; ^ ^ _ (2fc +1)1 - a a a

La solución es válida mientras las barras están en contacto, du

< 0 . • £=0

es decir, mientras dx

Ejercicios Hallar las transformadas de las funciones:

1. shatchpt. 2. eos ai eos ¡3t. 3. chai sh pt. 4. sen at sen pt. 5. shaísh/?í. 6. sh ai —sen ai. 7. chai —eos ai. 8. sh at +sen ai. 9. ehaf + cosaí.

10. eos ai ch/Jt. 11. sen ai sh/3í.

12. f(t)

13. /(i)

14. f(t)

-H¿~a) "{i (ra,

= í ° ' \ n +1, n

t<a, t>a. t< 0,

na<í $(n + l)a, í < 0,

< f ^ n + l,

- - (in +1),

fl£Z0.

n €

15. /(í) = f(t + 2a) =

16. f(t) = f(t + a) =

2na < í < (2n + l)a,

l 0,

S - + 4n + 3, (2n + l)a < t ^ (2n + 2)a,

2t a 0,

í <0,

(ln + 1), na < t ^ (n + l)a,

t <0, n e

1 7 . /(*) = / ( í + f ) = 2njr (2ra + 1)tt

^ í ^ ~t a a

(2n + 1)JT (2 n + 2 )ir — — — — — — ^ ¿ ^

t < 0, n e :

18. e sen 3í eos 2í. 19. eM eos 3i eos 4í. 20. shi cos2í sen3í. 21. chtsen2isen3í. 22. eh3í sen21. 23. sh4icos23í.

Hallar las transformadas de las siguientes expresiones diferenciales:

24. Ly = yw(t)+4y"'{t)+4y"(t); y{0) = 1, y'(0)=2, y"(0) = -2 , y"'(0) = 3.

ors .1

25. Ly - 3y"'(t) - 2y"(t) + 5 ; y(0) = - 1 , y'(0) = 2, y"(0) = - 3 . 26. Ly = 4 f { t ) + 3y"(í) + y(í); y(0) = O, i/'(0) = 3, jf"{0) = 0, y"'(0) = - 1 . 27. ¿ y = / ( * ) +2j/lV(/) + 4y(t); y(0) - y'{0) = /(O), /'(O) = / v (0 ) = - 1 .

Medíante el teorema de derivación de la transformada, hallar Jas transformadas de las funciones:

28. t2 eos at. 29. í 2 s e n a í . 30. í s e n a f s h a í . 31. t eos at c h a i .

Empleando el teorema de integración de la transformada, hallar las transforni.ul.in de las funciones:

32.

33.

e~at sen t

sh H t

sen 7t sen 31 34. .

t chaf — ch bt

35. } .

sh i 36.

eos bt — eos at 3 7 . _ _ .

1 - COS t t 38. e .

1 — eat

3 9 ' - f c T - -eat sen2 bt

40. — ¡ — .

Utilizando el teorema del producto de E. Borel, hallar los originales de las funciones F(p):

41. F(p) = 1 (p + lXp + 2)2

P2 42 Ffoi = ~

' W (p2+9)(p2+ 4)'

i 44. F(p) =

(p2 + 6p + 13)^ - 6p + 10)' •¡ífSSSH

" W - Í T i F -

Aplicando el teorema del producto, hallar los originales de las funciones F:

4 8 . , P + 1 . W p 2 ( p - l ) ( p + 2)

P2 +1 49. F(p) — ^ p(p + l)(p + 2)(p + 3)

5 1 - F ( P ) = ( P + 1P1(P + 3)-

54. F(p) = a4

p(p2 + a 2 ) 2 '

Resolver los problemas diferenciales siguientes:

55. Ay" + 12?/ +9y = 144c" i ' ; y(0) = 1, ?/(0) =

56. y" - 2y' = e\e + t - 3); y(0) = 2, y'(0) = 2. 57. y" + 4y' + 3y - sh t sen í; ¡/(O) = 0, ¡/'(O) = 1. 58. y" + 2y'+y = e'^cos t +t); y( 0) = 1, y'{ 0) = - 1 . 59. y'" - 3y' + 2?/- 8/,e"'; y(0) = ?/(0) = 0, :</'(()) = 1. 60. ~ y = 2 cos3í(sec2í - 1); j/(ü) = y'(0) = y"'(0) = 0, y"(0) = 1. 61. yv - 6j/'" + 9y" - 54Í + 18; y(0) = y'(0) - 0, y"(0) = t/"(0) = j/,v(0) = 1. 62. y" + by' + 8y = sen í - i? ( i - - ) eos í; y(0) = y'{0) = 1.

63. y" + iy' +20i) = v(t~ eos ^f - ^ ; »/(0) = 1, y'{0) = 0-

Resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales:

r 2x" -x'+9x- y" -y'-3y = 0, 64. i 2x" + x' + 7x - y" + y' - 5y = 0;

L x(0) = x'{0) = 1, y(0) = ír'(0) = 0.

' x" ~ x + y + z = O, fi= x + y" - y + z = Q,

L ®{0) = l ar'(0) = 3/(0) = t/'(0) = 2(0) = z'(0) = 0.

{ x' + 2x + y = sen í, y' - 4a? - 2y = eos í; jf(0) = 0, y{0) = 1.

Resolver las ecuaciones integrales:

í

67. f(t) = sení + J /{r )dr . o

í

68. /(í) = f + J(t~T)f(T)dT. 0

t

69. /(í) = í + 2 — 2 eos t — J{t-T)f{r)dT. o

t

70. /(í) = t2 + J f(r) dr. a

i

71. /(í) = eos í + J /(r) dr. o

t

72. /(f) = l + J el~Tf{r)dr.

o t

73. /(í) = e3í + ^ J sh4(í - r)/(r) dr. o

¡

74. /(£) = e2( + eos 3í + J sen(í - r )/(r) dr. o

í

75. sen2 t = J sen(í - r)/(r) dr. o

Í

76. i4 = ^(2í3 - 3í2r + r3)/(r) dr.

Resolver los sistemas de ecuaciones integrales siguientes: t t

x(t) —2t~ J ( t - T)X(T) dr + J y{r) dr,

77. o

y(t)

78.

x{t) = 2 +

- 2 - 4 J x{r)dr + 3 J ( t - T)y{r) d r . o o t

J y(r)dT,

l y(t) = 9í - t2 - t* + J z(t) d r ,

z(t) = 15 +

i J *(r) dr.

'/• 79.

z(í) = 1 - / j/(r) dr,

l t/(f) = eos í - 1 + J Z(T) dr,

o t

z(t) = eos t + J X(T) dr. o

®(í) y(r} dr,

80.

o «

j(i) = 1 - í3 + y z(r) dr, o

Í

2 ( í ) - 2 í 2 + J X(T) dr. o

Hallar las soluciones de las ecuaciones integrales singulares

si. = 7 ( í - r ) «

82. f ^ J L — eos t. J Vt^p o

2 +00 T

83. f(t) = t - - j = j ¿ 4í f{r) dr, | A| jé 1. o

2

+00 T

84. ~ L J e itf(j)dr-]nt = 0. o +x T2

85. ~ J e" 4í /(r) cfr = sen2 - . o

Resolver los problemas siguientes:

d2u(x,t) 1 <92m(;M) fluíalo) 86, d ^ = ? ~ u ( M ) = M(U) = = ~at = sen

0 < x < l, a2 > 0.

d2u(i- t) , 0u(a:, í) 87. ^ ^ = a — u ( 0 , í ) = A, Hm u(x,t) = 0, u(¡c,0) = 0, x ^ 0.

dx¿ dt X-Í+OC

Respuestas

Capítulo 1

00 i _ —.. rj^J 1. y^\+x + 22_, — •

5 • X2j

3 . . = 3 +

2 ¿ 2 ( a n 2

5. y = a0 + «i® + • • <k> = 1, «i = 0, a2- O, o3 = —, a4 = O, J !

aj = ((2- (J - 3 ) ( J - 4 ) ) -2)<ij_2) ( j ( 7 - 1 ) 0 ' - 2 ) ) " \ j = 5, 6, . . . .

6. y = 1 + X + y + ^a;3 + ^ x 4 + 0(ar5).

11 29 8 . y = 1 + 2(® - 1) + 3(a - l ) 2 + —{x - 1 )3 + ~-{x - l ) 4 + O ((a - l ) 5 ) .

3 6 x3

9 . ¡f = 2 + — + 0 (a ; 5 ) . 3 4

1 0 . y = l + | - - . £ f + 0 ( « ' ) .

11- ST = ao + a i ( « - l ) + a2(®~l)2 + C>((3;-l)3) , oa = 1-OQ, a2 = l - a 0 + ag, a o - a o + + 3 = O a 0 = - 1 , Si = O, S 2 = 2.

1 2 . y = a0 -4- oí® + a2x2 + C>(aj3), a0 = - 1 , ü-t = 1, a2 =

4 2 13. y = a0 + + a2x2 + a^x3 + 0 ( V ) , o0 = O, ñi = -, a2 = O, a3 = -.

14 . y = a0 + ai(x - 1) + a2{x - 1 f + o3(x - l)3 + O{{x - l ) 4 ) , 8n = 2, a, = - 1 , a2 = 3/2, a3 - -7/6.

15 . y = a0 + a\fi + O (fi2), a0 = x~2, « 1 = 2 - a;2 j .

1 6 . y = a0 + O]/i + a0 = x~\ a} = 3.

17 . ao = (1 - zr)"2, oj = (1 - ^ - ^x5 + j - .

a;2 x7 x6 3 a;4

18. a0 = x + y , ai = — + Y + ^j® + — + 1, » = Oo + /tai + O (/¿2) •

19. y = a0 + ai/i + O (/i2), a0 = sena;, ai = J ln (1 + sen s) ds + 1. o

x

2 0 . y = a0 + + O (/12), a0 = 2 - eos x, a-i = J ea°{3)ds - 1.

o 2 1 . í/= 1. 2 2 . y = x. 2 3 . y = - 1 - x. 2 4 . y = 1. 2 5 . ¡/ - x.

Capítulo 2 I . Inestables. 3. Inestables. 5. Estables. 7. Inestables, 9 . Inestables. II. 0 < a < 2. 13. Inestables, 15. Asintóticamente estables. 17 . Inestable. 19 . Inestable. 2 1 . Inestable. 23 . Inestable. 26 . Estable. 28 . Estable. 3 0 . Asintóticamente estable. 3 2 . Inestable, v = x' - y. 33 . Asintóticamente estable, v

2. Inestables. 4 . Inestables. 6. Asintóticamente estables. 8 . Asintóticamente estables. 10 . Asintóticamente estables. 12 . Estables. 1 4 . Asintóticamente estables. 16 . Inestable. 18 . Inestable. 2 0 . Inestable. 2 2 . Inestable. 2 5 . Inestable. 2 7 . Inestable. 2 9 . Asintóticamente estable. 3 1 . Estable, v = a;'4 + y*.

= x2 + y2 + y'2.

i m

34. Inestable, v = x2 + x'2 + y2. 3 5 . Asintóticamente estable, v = x2 + y'2 -f y2. 3 6 . Asintóticamente estable, v = 1/2(x2 4- y'2) + 1/4y4.

3 7 . Asintóticamente estable, v = x2 4- x'2 + y2.

Capítulo 3

a (p2 - a2 + p2) " (p2 - (a - p)2) (p2 - (a + p f ) '

p(p2 + a2 + p2)

' (p2 + (a — P)2) (p2 + (a + P)2) p{p2~a2-p2)

" (p2 — (a - p)2) (p2 - (a -f /3)2) 4 2 a p p

(p2 + (a - /?}2) <p2 + (a 4- /?)2)' 2a Pp

' (p2 — (a + /3)2) (p2 — (a ~ P)1) 2« 3

"1 T • p 4 - a4

7 ^ 4 4"

p* - a*

p4 — a4 p* - a*

1 0 J> (p2 + - l 2 ) (p2 + a2 - p2)2 4- 4a2/?2 '

<p2 + a2 - p2)2 + 4a2/92 ' 1 2 . e ' ^ - ^ í - a ) .

13- , 1 , p (ea? - 1)

14. - 1 p (1 - e~P)

1 B . i j d . f - I .

ap¿ 2 p

16 2 + a P + ( 2 + ítp2 (e~af - 1 ) 17 . L _

p -t-u e a — 1

1 8 1 / 5

2 Vp2 + 8p+41 + p2 + 8p+17,

19 ^ ' 2 \ (p — 3)2 + 49 (p-3)2 + l A

2 0 . — - i . p4 + 4 p4 + 48p2 + 676

„3 „3 2 1 .

1 / p3 p3 + 24p \ 2V(p2-2)2 p4 + 48p2 -f- 676 /

22 V V + 13P 2\P 2 ~9 p4 - 10p2 + 169

2 3 V 2 , 2 P 2 " 1 0 4 ^ ' 4 Vp2 — 16 p4 + 40p2 + 2704/

24. (p4 + 4p3 + 4p2)r{p) - p3 - 6p2 - 10p -5

25. (3p3 - 2p2) Y(p) + 3p2 - 8p + 13 + - .

26. (4p4 + 3p2 + l)y(p) - 12p2 - 5. 27. {p5 + 2p4 + 4)Y(p)+p + 3.

28. ^ ~ 3q2) (p2 + a 2 ) 3

2 9 2 a ( 3 ^ - <*') (p2 + a 2 ) 3

3 0 . 2 " W - 4 a 4 ) (p4 + 4a4)2

31< p2(pi — 12a4)

(p4 + 4 a 4 ) 2

1 3 2 . arctg .

p + a

33. i ln. p2 4 p2 - 4

i * 4 p2 + 16 1 . p2 - f r 2

2 - «2"

35. - l n 2 p2 - a

3 6 . l l n t t l . 2 p - 1

3 7 ' 2 pM-"^2

38. + 2 (p + 1)2

p + 1 - a 39, ln

P + 1

4 0 . l l n f r + a ) 2 + / . 4 (p + a)2

4 1 . e~{ - (1 + t)e~2t,

4 2 . ~(3sen 3£ — 2 sen 2í).

5

43. ^ (2 sen 2í ~ eos 2t + e1),

1 * 4 4 . - e (2 sen t — sen2í). 6

4 5 . ^e 2 i ( í 2 - 4í + 6) - e~'(¿ + 3).

4 6 . i ( c o s í + sení)-

47. é - t - l . 3 t 2e* e~2t

1 5e~2t 5e_3t 49. - - e + — — , 6 5 0 . ~ (í2e2í — 4te2t + 6e2í - 2tel - 6e¿).

2 51 . Í ( ( 2 í 2 - 2 í + l ) e - ' - e - 3 í ) .

t2 /í 3 3 N 52. 4í + 1 0 - e _ í ( - + -t2 + 6t + 10 . 2 \ 6 2 J

53. + + + 27 18 V 3 3 /

at 54. 1 - eos at sen at.

2 5 5 . ( l8í2 + 2í + 1 ) . 56. (ef - í 2 - í + 1).

79 3 7 57 . - ™ e " 3 í + 0,3e_í - — e* cosí + — e( sen í + O^e"1 eos t + 0 , le" ' sen í.

58 . 2e_ i + -e""'í3 — e _ í eos í. 6

59 . 2te~i + té - é + e~2t. M 3 19 1 1 6 0 . - c h í — — cosí c o s 3 í — í s e n í .

5 32 160 8 „ , , 37 59 e3' / 59' 6 1 . t' + 3t2 + j t + - + —\22t-

„ A 3 .2, 9 6 7 ' / 7r\ 6 2 . - e - — e - — cosí + — sen t + 77{ t - - J x

5 17 85 85

f 1 -HA V 85 85 10 34 }

) y 377

6 3 . e-2< ( cos4í + \ sen 4 í ) + r, ( í - f eos ( « - £ ) +

4 H sen

377 1 1 64. ar(í) = - (e' + 2 eos 2f + sen 2í ) , y(t) = - (2el - 2 eos 2í - sen 2í) .

O 1 2 r- 1 1 / -

65. a?(t) = - eos í + - ch V2t, z(t) = <í) = - eos í - - ch \/2í. J O J J

71 í

6 6 . x(í) = 2 sen t ~ 3í, y(t) = 6í + 3 - 2 eos í - 3 sen í.

67. - fe - eos í + sen í). 2 '

68. s h i . 69. (l + í)sení. 70. 2 ( e ' - í - l ) .

. i ^e* + eos í + sen f .

7 2 . 1 ( 1 + ^ ) .

7 3 . —- (35e?< + 45 ch 5t + 27 sh 5f) . 80 v

7 4 . — (45ez< + 32 eos 31 - 18í - 5 ) . 36

75. - ( 1 + 3 eos 2í).

76. I 3

77. ®(í) = 2e-í(l - t), y(t) = e'\\ - t). 78. x(t) = 2(1 + a1), y(t) = 24í, z{t) = 15 + 2í(l + 2í2). 79. a;(f) = eos í , y(t) = sen f, z(í) = sen t + eos t. 80. a(í) = 2í, y(í) = 1/

r (n + i ) r * - 1

' r ( l - a ) r ( » + a ) '

8 2 . + ~ (eos ÍS(Í) - sen íC(i) ) . v 7TÍ y j r

8 4 . ln(7Í2) . \ { t t \

8 5 . c h a c o s

B mx Bl nn at nnx 86. U(x, p) = r r i sen , u(x, t) = — sen — sen — w r p2 " e nrra e e

8 7 . CTÍ», p) - «(x, t) = A Erf .

Indice de materias A Abel, ecuación integral 243

B Bendixon, criterio 133 Borel, teorema 197

c cálculo operacional 168 Cauchy, fórmula de los residuos 207 centro 107 ciclo límite 133

estable 133 inestable 133 semiestable 133

convolución 196 coseno integral de Fresnel 193 criterio de Bendixon 133 — de Liénard—Chipart 73 — de Mijáilov 73 — de Poincaré 134 — de Routh—Hurwitz 72

ch Chetáev, teorema de inestabilidad 71 Chipart—Liénard, criterio 73

D Duhamel, integral 198

E ecuación homogénea 240 — integral de Abel 243

lineal de Fredholm de primera es-pecie 240

de segunda especie 240 de Volterra de primera especie

241 de segunda especie 241

— singular 243 — tipo convolución 241 Efros, teorema 197 Euler, método 54 espacio de fase 132

F foco 107 fórmula de Cauchy de los residuos 207 — de inversión de Riemnnn—Mellin 201 Fredholm, ecuación integral linón 1 do pri-

mera especie 240 —, de segunda especie 240 Fresnel, coseno integral 193 —, integral 193 —, seno integral 193 función analítica 204 — de Heaviside 169 — de Liapunov 71 — entera 206 — meromorfa 206 — original 169

generalizada 175 — unidad generalizada de Heaviside 180

H Heaviside, función 169 •—, — unidad generalizada 180 Hurwitz, matriz 72 Hurwitz—Róuth, criterio 72 índice de crecimiento 169

I integral de Duhamel 198 — de Fresnel 193 — de probabilidad 200

L Laplace, método de transformaciones in-

tegrales 168 —, transformada 170

Laurent, serie 205 Levinson—Smith, teorema 134 Liapunov, primer teorema 70 —, segundo teorema 71 Liénard—Chipart, criterio 73

M matriz de Hurwitz 72 Mellin—Riemann, fórmula de inversión

204 método de Euler 54 — de Runge—Kutta 55 — de Stórmer 55 — de transformaciones integrales de La-

place 168 — del parámetro pequeño 17 Mijáilov, criterio 73

N nodo 107 — degenerado 107 — dicrítico 107 núcleo de una ecuación integral 240

O orden de un polo 205

P parte principal de la serie de Laurent 205 — regular de la serie de Laurent 205 plano de fase 132 Poincaré, criterio 134 polo 205 problema de la tautocrona 243 — no estacionario 258 propiedad lineal de la transformación de

Laplace 170 punto de ramificación 209 — de silla 107 — singular 106

esencial 205 evitable 205 uniforme 205

R Reissig, teorema 134

residuo de una función 206 Riemann—Mellin, fórmula de inversión

204 Routh—Hurwitz, criterio 72 Runge—Kutta, método 55

s segundo teorema de desarrollo 208 seno integral 194

de Fresnel 193 hiperbólico 194

serie de Laurent 205 sistema autónomo 132 Smith—Levinson, teorema 134 solución asintóticamente estable 70 — estable según Liapunov 69 — inestable según Liapunov 70 Stórmer, método 55

T teorema de adelantamiento 171 — de Borel 197 — de Chetáev de inestabilidad 71 — de desarrollo 207 — de desplazamiento 171 — de diferenciación de la transformada

172 del original 171

— de Efros 197 — de homogeneidad 170 — de integración de la transformada 172

del original 172 — de Levinson—Smith 134 — de Liapunov, primero 70

, segundo 71 — de Reissig 134 — de relaciones límites 172 — de retraso 171 — de semejanza 170 transformada de Laplace 170 — generalizada 175 trayectoria 132

V velocidad de fase 132 Volterra, ecuación integral lineal de pri-

mera especie 241 —, de segunda especie 241

Indice

Prólogo a "Ecuaciones diferenciales'7 3 Capítulo 1 Métodos de aproximación de las soluciones de las ecuaciones diferenciales 4

§ 1. Dependencia de la solución de las condiciones iniciales y de los parámetros . 4

§2. Métodos analíticos de aproximación 16 § 3. Métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales . . . 54

Capítulo 2 Estabilidad y trayectorias de fase 69

§1. Estabilidad 69 § 2. Puntos singulares 106 §3. Plano de fase 132

Capítulo 3 Método de transformaciones integrales de Laplace para la solución de ecuaciones diferenciales lineales . 168

§ 1. Transformación de Laplace. Conceptos y propiedades principales . 169 §2. Convolución de funciones. Teoremas de desarrollo 196 § 3. Transformación inversa de Laplace 204 §4. Ecuaciones y sistemas diferenciales lineales 218 § 5. Ecuaciones integrales tipo convolución. Ecuaciones singulares . . . 240 § 6. Empleo del cálculo operacional en la resolución de ecuaciones en

derivadas parciales 258 Respuestas 270 índice de materias 277

alekséi klimiéntievich boiarchuk, g. p. golovach, ivan ivanovich liashko, iakov gavrilovich gai...

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