Aşağıdaki şekillerde alanların kaçar birim kare olduklarını bulalım.

25 br228 br2

Birim Karelerin Hangisi?*Aşağıda verilen aynı büyüklükteki masaların yüzeyleri, farklı boyutlardaki karelerle kaplanmıştır.

6 br2 12 br2 24 br2

* 3 işlemde de aynı bölgenin alanını doğru olarak ölçmemize rağmen, farklı sonuçlarla karşılaştık. Neden?* Çünkü herkes için geçerli olan, standart bir ölçme birimi kullanılmadı.

*Standart bir ölçme birimi ile ölçme yapılırsa, herkes için daha anlaşılır olur. * Standart alan ölçme birimi olarak cm2 ve m2 kullanılır.

•Kenar uzunluğu 1 cm olan karenin alanı 1 cm2 dir. “ Bir santimetre kare” biçiminde okunur.•Kenar uzunluğu 1 m olan karenin alanına ise 1 m2 denir. “ Bir metre kare” biçiminde okunur.***Eğer masamızın

alanını bulurken, standart ölçme birimleri olan cm yada m kullansaydık, bulduğumuz sonuçlar aynı çıkardı.

Şekillerde karelerin birer kenar uzunlukları verilmiştir.Alanlarını bulmaya çalışalım.

10 cm

9 cm

6 cm5 cm

3 cm

100105.kare

819 4.Kare

366 3.Kare

255 2.Kare

93 1.Kare

Alanı ( cm2)

Kenarı

(cm)Kareler

Ölçümlerimizi tablo halinde gösterelim. Her karenin bir

kenarının uzunluğu ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır?Karenin alanı bir kenarının kendisi ile çarpımıdır. Örnek : Karenin bir kenarı 3 cm ise, Karenin Alanı ;

( A ) = 3x3 = 32 = 9 cm2 dir.

Karenin bir kenar uzunluğuna a dersek , alanını nasıl gösteririz?Karenin bir kenar uzunluğuna a olursa ;

Alan ( A ) = a x a = a2 şeklinde formülleşir.

Şekillerde dikdörtgenlerin uzunlukları ve genişlikleri belirtilmiştir.Alanlarını bulmaya çalışalım.

11 cm

5 cm

8 cm

6 cm

5 cm

3 cm

9 cm

4 cm

9 cm

7 cm

Ölçümlerimizi yine tablo halinde görelim.

63975.Dikdörtgen

48864.Dikdörtgen

551153.Dikdörtgen

36942.Dikdörtgen

15531.Dikdörtgen

Alanı( cm2 )

Uzunluğu( cm )

Genişliği( cm )Dikdörtgenler

Her dikdörtgenin uzunluğu ve genişliği ile alanı arasında nasıl bir ilişki vardır?

Dikdörtgenin alanı, uzunluğu ile genişliği çarpılarak bulunur.

Örnek : Dikdörtgenin uzunluğu 11 cm, genişliği 5 cm ise;

Dikdörtgenin Alanı;

( A ) = 11x5 = 55 cm2 dir.

Bir dikdörtgenin genişliğine a , uzunluğuna b dersek ; alanını nasıl gösteririz?Dikdörtgenin genişliği a , uzunluğuna b olursa ;

Alanı ( A ) = a x b şeklinde formülleşir.

M N

KL

aa

c

c

Dikdörtgensel bölgenin alanı, uzunluğu ile genişliğinin çarpımına

eşittir.A(KLMN) = a x c

Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek;

Dikdörtgenin alanı, “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir”,

diyebiliriz.

Karesel bölgenin alanı;iki kenar uzunluğunun çarpımına

eşittir. A(FSEC) = a x a = a2

Bir kenarı yükseklik olarak düşünürsek;

Karesel bölgenin alanı; “bir kenarının uzunluğu ile yüksekliğinin çarpımına eşittir” ,

diyebiliriz.

C E

SF

a

a

a a

Şekil üzerinde, alanı 12 cm2 olan dikdörtgenler çizmeye çalışalım.

Alanı 12 cm2 olan kaç dikdörtgen çizebiliriz?

3 cm

4 cm

A = 3x4 = 12 cm2

6 cm

2 cm

A = 2x6 = 12 cm2

A = 1x12 = 12 cm2

1 cm12 cm

Bunun gibi başka dikdörtgenler çizebilir miyiz?

Şekilde iki nokta arası 2 cm’dir. Buna göre şeklin çevresi kaç santimetredir?

Kaç tane nokta aralığı olduğunu bulur ve 2 ile çarparız.

Toplam : 20 taneÇevre = 20 x 2 = 40 cm

Şeklimizin kenarlarını kes-yapıştır yöntemiyle dikdörtgene tamamlar ve çevresini hesaplarız.

6 cm

Oluşan dikdörtgenin;Kısa kenarı =Uzun Kenarı =Çevresi =

14 cm

Aynı şeklin bu kez de alanını hesaplayalım. ( iki nokta arası yine 2 cm)Şekil üzerinde çizimler yaparak, şeklimizi dikdörtgensel ve karesel

bölgelere ayırmaya çalışalım.1 dikdörtgensel ve 2 karesel bölge oluşturduk. Şimdi bu bölgelerin kenar uzunluklarını bulalım. ( iki nokta arası 2 cm idi.)

8 cm

6 cm4 cm

4 cm 2 cm

2 cm

8 cm

6 cm4 cm

4 cm 2 cm

2 cm

Ayrı ayrı alanları hesaplayıp ve daha sonra hepsini toplayarak , tüm şeklin alanını bulalım.

A = 6x8 = 48 cm2

48 cm2

A = 4x4 = 16 cm2

16 cm2

A = 2x2 = 4 cm2

4 cm2

Şeklimizin toplam alanı;

Aşağıdaki dikdörtgenlerin önce çevre uzunluklarını, daha sonra alanlarını hesaplayınız.

12 cm

6 cm

11 cm

7 cm

İki dikdörtgende de çevre uzunlukları eşit ve 36 cm çıktı. Şimdi alanlarını bulalım. Bakalım alanları da eşit çıkacak mı?Bu dikdörtgenler için, “çevreleri

eşitse; alanları da eşittir.” diyebilir miyiz?

Dikdörtgenin çevresini ; bir uzun ve bir kısa kenarını toplayıp, sonra 2 ile çarparak bulduğumuzu hatırlayın.

12 cm

6 cm

11 cm

7 cm

Görüldüğü gibi dikdörtgenlerin alanları birbirinden farklı çıktı. •Bu ve buna benzer dikdörtgenler için; “çevreleri eşitse, alanları da eşittir” yada “alanları eşitse, çevreleri de eşittir” şeklinde bir kural koyamayız.

•Verilen şeklin kenar uzunluklarına göre , çevre ve alanları hesaplamamız gerekir.

•Dikdörtgenlerimizin alanlarını ayrı ayrı hesaplayalım.

•Bazen öyle sorularla karşılaşırız ki, bize alanın bir kısmı verilir, bizden alanın tamamı istenir.•Bunun tersi de olabilir tabi ki : Alanın tamamı verilir, taralı alanı bulmamız istenir.•Yada “taralı alan şu kadarsa, şeklin çevresi ne kadardır?” gibi çevre soruları da olabilir.

Şimdi , örnekler üzerinde bununla ilgili çalışmalar

yapalım.

Çevresinin uzunluğu 24 cm olan karesel bölgenin alanı kaç cm2 dir?

Çevre ve alan hesaplamaları yaparken, şeklin kenar uzunluklarının bilinmesi gerekmektedir.

Karede dört eşit kenar bulunduğundan çevre uzunluğunu dörde bölerek, bir kenarını hesaplarız

Karenin alanını, bir kenar uzunluğunu kendisi ile çarparak buluyorduk.

Ç = 24 cm

Bir uzun kenarı 40 m olan dikdörtgenin çevresi 120 m’dir. Bu dikdörtgenin alanı kaç m2 dir?

Çevresi ve bir uzun kenarı verilen dikdörtgenin, kısa kenarını da bulmamız gerekmektedir.

Dikdörtgenin uzun kenarları toplamı 40 + 40 = 80 m olur.Çevresinden uzun kenarlar toplamını çıkararak , kısa kenarların toplamını buluruz.120 – 80 = 40 m (kısa kenarlar toplamı)Bir kısa kenar uzunluğu ise; 40 : 2 = 20 m olur

Ç = 120 m

İki kenar da belli olduğuna göre; şimdi alanını bulabiliriz.

Uzun kenarı 160 m, kısa kenarı 40 m olan dikdörtgensel bir bahçenin alanı; karesel bir bahçenin alanına eşittir. Bu karesel bahçenin çevresi kaç m’dir?

•Dikdörtgen biçimindeki bahçenin;

Uzun kenarı :160 m

Kısa Kenarı : 40 m•Dikdörtgenin alanı, karenin alanına eşit.

Kare şeklindeki bahçenin çevresi

• Öncelikle problemi anlamaya çalışalım. Şekillerini çizelim.• Verilenleri ve isteneni listeleyelim.

•Dikdörtgensel bahçenin kısa kenarı 40 m, uzun kenarı 160 m.•Dikdörtgenin alanını hesaplayıp, karenin alanı ile eşleyelim.

40 m

160 m•Dikdörtgensel bahçenin alanı 6400 m2 olursa, karesel bahçenin alanı da 6400 m2 olacak.•Ancak soruda bizden karesel bahçenin çevresi isteniyor.

Bizden istenen karenin çevresi olduğu için, karenin alanı olan 6400 m2 den yola çıkarak , karenin bir kenarını bulmamız gerekir.Bir sayıyı kendisi ile çarparak 6400 sayısını bulacağız. Bu sayı kaç olabilir?

8 x 8 = 64 ise

80 x 80 = 6400 olur.

Öyle ise karesel bahçenin bir kenarı 80 m’dir. Şimdi çevresini hesaplayabiliriz.

72 cm2

ABCD karesinde taralı bölge 72 cm2 ise, şeklin tüm alanı kaç cm2’dir?

Karede komşu olmayan iki köşeyi birleştiren, iki doğru parçası vardır. Bunlara köşegen diyoruz. AC ve BD köşegenleri

Köşegenler kareyi eş parçalara ayırır. Şimdi AC köşegenini çizelim.Kare iki eş parçaya ayrıldı.Taralı bölge 72 cm2 ise, diğer bölgede 72 cm2’dir.Şeklin toplam alanı ise;

72 cm2

Karenin 2 köşegeni vardır. Bir köşegen kareyi iki eş parçaya; İki köşegen ise dört eş parçaya (üçgene) ayırır.Karenin köşegenleri birbirini ortalar. Yani birbirlerini eş parçalara ayırırlar.I AO I = I OC I = I BO I = I OD I

Şekilde KLMN karesel bir bölgedir. I LO I ve I NO I uzunlukları birbirine eşit ve KLO üçgeninin alanı 45 cm2 ise, tüm şeklin alanı kaç cm2’dir?

** ILNI doğru parçası karenin bir köşegenidir.

** I NO I = I LO I olduğu için I LN I köşegeni ortalanmış durumdadır.

*** Bu nedenle MO noktalarını birleştirdiğimizde, karenin diğer köşegeni olan I KM I köşegenini elde ederiz.

*** Böylelikle karemiz 4 eş parçaya ayrılmış oldu.

Taralı alan 45 cm2 ise;

Diğer parçalar da 45 cm2’dir.

45 cm2

45 cm2

45 cm2

45 cm2

75 m2

25 m Şekilde verilenlere göre EFGH dikdörtgeninin çevresi kaç metredir?

Dikdörtgenin bir kenarı ile alanının bir kısmı verilmiş, bizden çevresini bulmamız isteniyor.Çevresini bulmak için dikdörtgenin diğer kenarını da bulmamız gerekir.Bunu nasıl yapabiliriz? Biraz düşünün bakalım.

•Dikdörtgenin alanı , kısa kenar ile uzun kenarın çarpımı ile bulunuyordu. •Alanının tamamını bulabilirsek , verilmeyen kenarı da bulabiliriz.

75 m2

25 m

Karede olduğu gibi dikdörtgende de köşegenler , alanı birbirine eşit parçalara ayırırlar.

Verilen şekilde köşegenler , dikdörtgeni 4 eş parçaya ayırmıştır. Taralı kısım 75 m2 ise , diğer parçalarda 75 m2’dir.

75 m275

m2

75 m2

25 mBulduğumuz alanı yerine yazalım.

•Ancak bizden istenen alan değil, dikdörtgenin çevresiydi.•Bunun için de alan formülü kullanarak, kısa kenarı bulmamız gerekir.

Dikdörtgenin Alanı = Kısa Kenar x Uzun kenar

12 m

• Son işlem ; kısa ve uzun kenarları belli olan dikdörtgenimizin çevresini bulalım.

Şekildeki PRSŞ dikdörtgeninde IPRI kenarı dört eşit parçaya ayrılmıştır. Dikdörtgenin tüm alanı 200 cm2 ise, taralı alan kaç cm2’dir?

** *Dikdörtgen üzerinde köşegenleri çizerek, dikdörtgeni eş parçalara ayıralım. *** ŞR köşegeni çizildiğinde taralı alanın kesildiği görülmektedir. **** Bu yüzden ŞR köşegenini kullanmamız doğru olmaz.*** Sadece SP köşegenini çizerek dikdörtgenimizi 2 eş parçaya ayırırız.

*** Toplam alan 200 cm2 olduğundan, iki eş parçadan her biri 100 cm2 olur.

100 cm2

100 cm2

Sadece taralı alanın yer aldığı parçayı, dikdörtgenden ayıralım.

Bu şeklin tüm alanı 100 cm2 olmuştu.

100 cm2

IPRI doğru parçasının 4 eş parçaya ayrıldığı, soruda belirtilmişti.Birleştirilmeyen diğer noktayı da, S köşesi ile birleştirelim.

Alanları birbirine eşit olan 4 tane üçgen elde ederiz.

Bu şeklin tamamı 100 cm2 ise ;

100 cm2

Şekildeki ABCD dikdörtgeni içerisinde, birbirine eş 10 kare bulunmaktadır. BC kenarı 12 m ise, taralı alan kaç m2 olur?

Taralı alanı bulmak için, ABCD dikdörtgeninin alanından , birbirine eş 10 karenin alanını çıkarmamız gerekiyor.Bunun için öncelikle dikdörtgenin ve karelerin kenar uzunluklarını hesaplamalıyız.

12 m

12 m

•BC kenarının ölçüsü olan 12 m yi kullanarak , karenin bir kenarını bulalım. •BC kenarını 4 kare ile oluşturduk. Öyleyse karelerin bir kenarı;•Böylelikle bütün karelerin alanlarını hesaplayabiliriz.

3

3

3

3

12 m

Kısa kenarı 12 cm olan ABCD dikdörtgenin uzun kenarını bulalım.

Dikdörtgenin uzun kenarı 6 kareden oluştu. Karenin bir kenarı 3 cm olduğu için, dikdörtgenin uzun kenarı;

Şimdi kısa ve uzun kenarı belli olan ABCD dikdörtgenin alanını bulabiliriz.

18 m

12 m

18 m

3