akolouthies - mathimatika

8/17/2019 Akolouthies - mathimatika

1/18

Κεφαλαιο 3

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ

Οι ακολουθίες και οι σειρές είναι ένα ασικό στοιχείο του Απειροστικού Λογι-

σµού. Η χρησιµότητά τους στο λογισµό προέρχεται από το γεγονός της αναπα-

άστασης συναρτήσεων ως αθροίσµατα απείρων σειρών. Για παράδειγµα, για να

ρούµε το εµβαδόν περιοχών, µπορούµε αρχικά να εκφράσουµε µια συνάρτηση

µε δυναµοσειρά και στη συνέχεια να ολοκληρώσουµε τη σειρά. Αρκετές συ-

ναρτήσεις στη Μαθηµατική Φυσική και Χηµεία ορίζονται ως δυναµοσειρές και

έτσι είναι αναγκαίο να εξοικειωθούµε µε τις ασικές έννοιες των ακολουθιών και

σειρών.

3.1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Ορισµός 3.1.1 Μια ακολουθία πραγµατικών αριθµών είναι µια συνάρτηση

Θα συµβολίζουµε µια ακολουθία µε

, ή µε

ή

ακόµη ϑα γράφουµε

, ή πιο απλά

Οι

λέγονται όροι

της ακολουθίας, και ειδικότερα ο

καλείται ο

–οστός όρος της ακολουθίας

.

Παραδειγµα 3.1

.

Η ΄Εννοια του Ορίου

Ορισµός 3.1.2 ΄Εστω ακολουθία

Θα λέµε ότι:

1. Η

συγκλίνει στο

, ή συµβολικά

ή

, όταν

123


2/18

124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

x

y

0 1 2 3

a

Σχηµα 3.1

2. Η

τείνει στο άπειρο, ή

όταν

3. Η

τείνει στο µείον άπειρο, ή

όταν

4. Η δεν συγκλίνει [ή ότι η αποκλίνει], όταν το

δεν υπάρχει,δηλαδή, όταν κανένα από τα παραπάνω

και

δεν ικανοποιείται.

Παραδειγµα 3.2 ΄Εστω

Τότε

1.

,

2. το όριο

δεν υπάρχει, και

3.

Αποδειξη 1. ΄Εστω

. Τότε

και υπάρχει ϕυσικός αριθµός

µε τηνιδιότητα

. ΄Εστω λοιπόν τώρα

, έτσι ώστε

. Στην περίπτωση

αυτή παρατηρούµε ότι:


3/18

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΣΕΙΡΕΣ 125

Συνεπώς

.

2. ΄Εστω ότι

, και έστω

. Τότε, υπάρχει

έτσι

ώστε όταν

, ϑα έχουµε

. Επειδή όµως το µήκος του

διαστήµατος

είναι

και οι αριθµοί

και

ανήκουν

στο

, ϑα πρέπει να ισχύει ότι η µεταξύ τους απόσταση είναι µικρότερη από

.

Το τελευταίο όµως είναι αδύνατο. ΄Αρα το όριο δεν υπάρχει.

3. ΄Εστω

. Τότε διαλέγουµε έναν ϕυσικό

, έτσι ώστε

. Στην

περίπτωση αυτή, όταν

.

Η επόµενη παρατήρηση, αν και προφανής, συµβάλλει στην κατανόηση του

ορίου µιας ακολουθίας:

Παρατήρηση 3.1.1 Αν

℄ , τότε για κάθε ϕυσικό ,

.

Αποδειξη ΄Εστω και . Τότε υπάρχει , έτσι ώστε

. Συνεπώς, όταν

. Οι άλλες

περιπτώσεις αποδεικνύονται παρόµοια.

Το επόµενο αποτέλεσµα προέρχεται από τη ϑεώρηση ορίων συναρτήσεων

µιας µεταβλητής, και αποτελεί τη άση για τον υπολογισµό ορίων πλείστων α-

κολουθιών.

Πρόταση 3.1.1 ΄Εστω µια πραγµατική συνάρτηση µε την ιδιότητα

, µε . Τότε, αν ϑεωρήσουµε την ακολουθία

έχουµε ότι

Αποδειξη Θα δείξουµε την πρόταση στην περίπτωση που το οι άλλες

περιπτώσεις είναι παρόµοιες. Επειδή

, ϑα έχουµε ότι

Æ Æ

(3.1)

Αλλά, αν ϑεωρήσουµε ένα ϕυσικό

έτσι ώστε Æ

, η (3.1) µας λέει ότι

Μία κατευθείαν εφαρµογή της παραπάνω πρότασης είναι τα ακόλουθα όρια:


4/18


Παραδειγµα 3.3 Α.

Β.

Λυση Α. Θεωρούµε τη συνάρτηση

. Τότε από τον κανόνα του L’

Hospital, Θεώρηµα 2.7.1, έχουµε ότι

Από την Πρόταση 3.1.1 τώρα παίρνουµε ότι

. Παρόµοια

αποδεικνύεται και το δεύτερο σκέλος του παραδείγµατος.

n

a

0 1 2 3

1

4 5 6 7 8 9

n

Σχηµα 3.2 Η ακολουθία

Τα όρια ακολουθιών έχουν ιδιότητες παρόµοιες µε εκείνες των ορίων συναρ-

τήσεων, και έτσι τις παραθέτουµε χωρίς απόδειξη.

Ιδιότητες των Ορίων: ΄Εστω

ακολουθίες µε

και

. Τότε

1.

2.

3.

4.

αν


5/18


Ας δούµε ακόµη δύο χρήσιµες προτάσεις, οι οποίες οηθούν αρκετά στον

υπολογισµό ορίων, και όχι µόνο.

Θεώρηµα 3.1.1 ΄Εστω ακολουθία

. Τότε

(3.2)

Αποδειξη

.

Η επόµενη πρόταση, η οποία καλείται το ϑεώρηµα του Sandwich, είναι

ακριβώς η ίδια µε αυτή των συναρτήσεων [Θεώρηµα 1.5.4] και η απόδειξή του

αφήνεται ως άσκηση.

Θεώρηµα 3.1.2 [Sandwich ] ΄Εστω ακολουθίες

και

µε

,

για όλα σχεδόν τα , µε

και

. Τότε,

.

Ας δούµε τώρα µερικές εφαρµογές των παραπάνω προτάσεων πάνω στα όρια

ακολουθιών:

1. ΄Εστω

. Τότε

.

Η δυσκολία αυτού του ορίου έγκειται στο γεγονός ότι το

δεν

υπάρχει (γιατί

). ΄Οµως, χρησιµοποιώντας τα παραπάνω η εύρεση του

ορίου γίνεται µια πολύ εύκολη υπόθεση. Παρατηρούµε ότι,

για όλα τα

, και έτσι

Το Θεώρηµα 3.1.2 µας δίνει τώρα το ητούµενο αποτέλεσµα.

Παρόµοια, έχουµε ότι

.

2. ΄Εστω

. Τότε

.

Εδώ παρατηρούµε ότι

, και η τελευταία συγκλίνει στο

µηδέν. Άρα, το ητούµενο προέρχεται από το Θεώρηµα 3.1.1.


6/18


3. ΄Εστω

. Τότε

.

Στην περίπτωση αυτή έχουµε ότι

, και άρα το ϑεώρηµα

του Sandwich εφαρµόζεται.

Παρατήρηση 3.1.2 Στο Θεώρηµα 3.1.2 χρησιµοποιήσαµε την έκφραση για

όλα σχεδόν τα . Λόγω του ότι αυτή η έκφραση χρησιµοποιείται συχνά στην

περιοχή των ακολουθιών, καθώς επίσης και των σειρών, ϑα ήταν απαραίτητο να

την επεξηγήσουµε. Η εξήγηση είναι πάρα πολύ απλή: για όλα σχεδόν τα

σηµαίνει ότι υπάρχει , έτσι ώστε η ιδιότητα να ισχύει για .

Ολοκληρώνουµε αυτή την παράγραφο µε ένα αποτέλεσµα, το οποίο ασί-εται ουσιαστικά στο αξίωµα της πληρότητας των πραγµατικών αριθµών. Πριν

όµως διατυπώσουµε το ϑεώρηµα, ας δούµε τον ορισµό µιας ειδικής περίπτω-

σης ακολουθιών. Θα λέµε ότι µια ακολουθία

είναι αύξουσα (ϕθίνουσα ), εάν

, και ϑα συµβολίζουµε µε

, αντίστοι-

χα. Η ακολουθία

ϑα καλείται γνήσια αύξουσα (ϕθίνουσα), αν τα σύµβολα των

ασθενών ανισοτήτων παραπάνω αντικατασταθούν µε τα

, αντίστοιχα. Μια

αύξουσα ή ϕθίνουσα ακολουθία καλείται µονοτονική.

Παραδειγµα 3.4 Εξετάστε αν οι ακολουθίες

,

και

είναι µονοτονικές.

Λυση Παρατηρούµε ότι οι όροι της

είναι µη µηδενικοί. Θεωρούµε λοιπόν

το πηλίκο

και έτσι η

είναι (γνήσια) ϕθίνουσα. Για την ακολουθία

είναι δύσκολο να

εφαρµόσουµε την ίδια µέθοδο. ΄Οµως, µπορούµε να ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση

και να προσπαθήσουµε να δούµε αν η τελευταία είναι αύξουσα ή

ϕθίνουσα. Αυτό, όπως γνωρίζουµε, µπορεί να επιτευχθεί µε το κριτήριο της

πρώτης παραγώγου. ΄Εχουµε λοιπόν

και συνεπώς η

είναι

αύξουσα για

. ΄Αρα και η ακολουθία

ϑα πρέπει να είναι


7/18


αύξουσα. Τέλος, αφήνουµε σε σας να δείτε µε αντιπαράδειγµα, ότι η ακολουθία

δεν είναι µονοτονική.

Μια ακολουθία

καλείται ϕραγµένη εκ των άνω (εκ των κάτω), αν υπάρχει

πραγµατικός αριθµός

έτσι ώστε

. Ο αριθµός

καλείται ένα άνω (κάτω) ϕράγµα της

, αντίστοιχα. Η ακολουθία

καλείται

ϕραγµένη, αν υπάρχει

έτσι ώστε

.

Παραδειγµα 3.5 Εξετάστε αν οι ακολουθίες

είναι ϕραγµένες εκ των άνω, εκ των κάτω ή δεν είναι ϕραγµένες.

Λυση Παρατηρούµε ότι και έτσι η

είναι ϕραγµέ-

νη. Επίσης, και έτσι η

είναι ϕραγµένη από κάτω. ΄Οµως, επειδή

, η

δεν είναι ϕραγµένη εκ των άνω. Αντίθετα, η

δεν είναι

ϕραγµένη.

∆εν είναι δύσκολο να αποδειχτεί ότι µια ακολουθία η οποία συγκλίνει σ’ έναν

αριθµό είναι αναγκαία ϕραγµένη.

Παρατήρηση 3.1.3 ΄Εστω

ακολουθία η οποία συγκλίνει σ ’ έναν πεπερα-

σµένο αριθµό . Τότε η ακολουθία

είναι ϕραγµένη.

Αποδειξη ΄Εστω

. Τότε υπάρχει ένας ϕυσικός

έτσι ώστε

για

όλα τα

. ∆ηλαδή, όταν το

έχουµε

. Αν καλέσουµετώρα

και

, τότε

παρατηρούµε ότι

για κάθε

, και έτσι υπάρχει

, έτσι

ώστε

.

Το αντίστροφο, έβαια, δεν ισχύει. Για παράδειγµα, η ακολουθία

℄

είναι προφανώς ϕραγµένη, από το

, αλλά δεν συγκλίνει [γιατί

].

΄Οµως, ισχύει ένα µερικό αντίστροφο, το οποίο πέρα από τη χρησιµοτητά του για

τις ακολουθίες, ϑα µας ϕανεί αρκετά χρήσιµο και στις σειρές.

Θεώρηµα 3.1.3 ΄Εστω

µια µονοτονική ϕραγµένη ακολουθία. Τότε η

συγκλίνει σ ’ έναν πραγµατικό αριθµό, δηλαδή,

.

Αποδειξη Οι δύο λέξεις κλειδιά, µονοτονική και ϕραγµένη , είναι πράγµατι αυ-

τές οι οποίες όχι µόνον εξασφαλίζουν τη σύγκλιση της

, αλλά και µας δείχνουν

πού η σειρά συγκλίνει. Πράγµατι, ας υποθέσουµε ότι η

είναι αύξουσα και


8/18


ϕραγµένη. Τότε από τον ορισµό, υπάρχει πραγµατικός αριθµός

µε την ι-

διότητα για κάθε . Καλούµε τον ελάχιστο αριθµό µε την ιδιότητα

, δηλαδή

. [ Εδώ είναι που υπεισέρ-

χεται το αξίωµα της πληρότητας και µας σιγουρεύει ότι ο

υπάρχει και είναι

πραγµατικός ! ] Θα δείξουµε ότι

. Πράγµατι, αν

, τότε για όλα

σχεδόν τα

έχουµε ότι

(3.3)

Πράγµατι, αν υπάρχουν άπειρα

έτσι ώστε η (3.3) να µην ισχύει, τότε ϑα έχουµε

ή

γι’ αυτά τα άπειρα . Η τελευταία ανισότητα δεν είναι

δυνατόν να ισχύει, διότι αυτό έρχεται σε αντίθεση µε τον ορισµό του

. Από την

άλλη µεριά, αν

για άπειρα

, και λόγω του ότι η ακολουθία είναιαύξουσα, τότε ϑα έχουµε ότι το

είναι ένα άνω ϕράγµα της

. Το τελευταίο

αντίκειται στην υπόθεση ότι το είναι το ελάχιστο άνω ϕράγµα. ΄Ετσι λοιπόν

.

Πόρισµα 3.1.4 ΄Εστω και έστω η ακολουθία

.

Τότε

αν

αν

αν

και η

δεν συγκλίνει αν ή .

Αποδειξη 1. ΄Εστω

. Αν

, τότε

, και έτσι

.

΄Εστω λοιπόν

µε

. Θέτουµε

. Τότε

, και έστω

. Παρατηρούµε ότι

, δηλαδή, η

είναι ϕραγµένη. Από

την άλλη µεριά η

είναι ϕθίνουσα, διότι

, και έτσι

από το Θεώρηµα 3.1.3 η

συγκλίνει, ας πούµε, στο . Θεωρούµε τώρα την

ακολουθία

. Παρατηρούµε ότι

. ΄Οµως,

η

συγκλίνει επίσης [Παρατήρηση 3.1.1] στο

, δηλαδή,

, από το οποίο

συνεπάγεται ότι

.

2. ΄Εστω τώρα

. Τότε η

είναι αύξουσα, µε άνω όριο το

. Είναι

τώρα υπόθεση ουτίνας να δειχτεί ότι

.

3. Η περίπτωση του

ή του

, είναι µια απλή εφαρµογή του

παρακάτω σπουδαίου ϑεωρήµατος.


9/18


΄Εστω

µια ακολουθία. Μπορούµε να ορίσουµε δύο νέες ακολουθίες ως

ακολούθως :

και

Αυτές είναι οι υπακολουθίες των αρτίων (περιττών) όρων της

, αντίστοιχα.

Ας υποθέσουµε τώρα ότι η


. Τότε, αν

, υπάρχει

αν

. Από το τελευταίο συνεπάγεται ότι

αν

τότε

και

, δηλαδή

ως επίσης και

. Το αξιοσηµείωτο είναι ότι ισχύει και το αντίστροφο:

Θεώρηµα 3.1.5 ΄Εστω

µια ακολουθία, και

οι υπακολουθίες των

αρτίων και περιττών όρων, αντίστοιχα, και ℄ . Τότε,

και

Αποδειξη ΄Εστω . Τότε υπάρχουν

έτσι ώστε αν

και

. Αν τώρα

, παρατηρούµε ότι αν

και έτσι

.

Το παραπάνω αποδεικνύει το ϑεώρηµα στην περίπτωση που το

. Αν

, η απόδειξη είναι παρόµοια.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3.1

1. Βρείτε τους πρώτους έξι όρους των ακολουθιών:

2. Βρείτε τον τύπο των ακολουθιών, υποθέτοντας ότι ο κανόνας που ακολουθούν οι όροι

που δίνονται συνεχίζεται επ’ άπειρον.


10/18


3. Να αποφασιστεί αν οι ακολουθίες συγκλίνουν ή αποκλίνουν. Αν συγκλίνουν, ρείτε

το όριό τους.

4. Αποφασίστε αν οι επόµενες ακολουθίες είναι µονοτονικές ή όχι.

5. Μια ακολουθία ορίζεται ως ακολούθως:

.

Με τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής [λέπε Κεφάλαιο 7], δείξτε ότι η

είναι

αύξουσα και ϕραγµένη εκ των άνω από το . Στη συνέχεια, εφαρµόστε το Θεώρηµα

3.1.3 για να δείξτε ότι το όριο

υπάρχει. Τέλος, ρείτε αυτό το όριο.

6. ΄Εστω σταθερές. Θεωρώντας το όριο

δείξτε ότι

Υπόδειξη: Θεωρήστε τη συνάρτηση

.

7. ΄Εστω ϑετικοί πραγµατικοί αριθµοί, µε . Θεωρούµε τον αριθµητικό µέσο

και το γεωµετρικό µέσο

:


11/18


Επαναλαµβάνοντας αυτή τη διαδικασία, ορίζουµε

(α) Χρησιµοποιώντας µαθηµατική επαγωγή δείξτε ότι

() Από το παραπάνω δείξτε ότι οι

και

είναι συγκλίνουσες. Τέλος, αποδείξτε

ότι

8. Αποδείξτε το Θεώρηµα 3.1.2.

3.2 ΣΕΙΡΕΣ

Μία έννοια στενά συνδεδεµένη µε αυτή της ακολουθίας, είναι η έννοια της σει-

άς. Ας ξεκινήσουµε µε ένα παράδειγµα.

Παραδειγµα 3.6 [ Η αναπήδηση µιας µπάλας ] Ας υποθέσουµε ότι ίχνουµε

µια µπάλα του golf από ένα ύψος , και έστω ότι η µπάλα αναπηδά σε ένα ύψος

από το έδαφος. Αν αυτή η διαδικασία συνεχιστεί επ ’ άπειρο, ποια είναι η

απόσταση

που ϑα διανύσει η µπάλα;

Λυση Σύµφωνα µε την υπόθεση, όταν η µπάλα ϕθάσει για πρώτη ϕορά στο

έδαφος, ϑα έχει διανύσει µια απόσταση , όταν χτυπήσει για δεύτερη ϕορά ϑα

έχει διανύσει µια απόσταση

, ενώ την τρίτη ϕορά ϑα έχει

διανύσει µια απόσταση

. Αν συνεχίσουµε αυτή τη

διαδικασία επ’ άπειρο, τότε η συνολική απόσταση

ϑα είναι

(3.4)

Η έκφραση για το

στην (3.4) είναι ένα άπειρο άθροισµα, το οποίο, διαισθη-

τικά τουλάχιστον, ϑα πρέπει να τείνει σ’ έναν πεπερασµένο αριθµό. Παρακάτω,(3.7), ϑα δούµε ότι πράγµατι το

.

Παραδειγµα 3.7 [ Το Παράδοξο του Ζήνωνα ] Ο αρχαίος ΄Ελληνας σοφι-

στής Ζήνων ο Ελεάτης (490–435 π.Χ.) πρότεινε το ακόλουθο παράδοξο για να


12/18


δείξει την αδυναµία των πεπερασµένων αθροισµάτων (που, όµως, έµµεσα έδειξε

την αναγκαιότητα των απείρων αθροισµάτων, δηλαδή των σειρών):΄Εστω ότι ένας σκύλος κυνηγάει µια γάτα . Η ταχύτητα του σκύλου είναι

και της γάτας . Ας υποθέσουµε, ακόµη, ότι στο χρόνο , η απόσταση

µεταξύ του σκύλου και της γάτας είναι . Μετά από , η µεταξύ τους

απόσταση ϑα είναι

. Μετά από

,

κ.ο.κ. ΄Ετσι λοιπόν ο σκύλος

δεν ϑα µπορέσει ποτέ να ‘πιάσει’ τη γάτα.

Βέβαια, γνωρίζουµε (καθώς και ο Ζήνων γνώριζε) ότι έπειτα από χρόνο

ο σκύλος ϑα έχει διανύσει µια απόσταση

, ενώ η γάτα µόνον

, και

έτσι ο σκύλος ϑα ϕτάσει τη γάτα µετά από

. Ακόµη, σύµφωνα µε τον

Ζήνωνα, ο χρόνος που απαιτείται για να γίνει η

είναι ίση µε το άπειροάθροισµα

(3.5)

Το παραπάνω άθροισµα είναι ένα ακόµη παράδειγµα µιας σειράς, το οποίο

µπορεί να ϑεωρηθεί το

κοµµάτιασµα

του χρόνου

, σε άπειρα κοµµάτια

χρόνου.

΄Εχοντας τα παραπάνω υπόψη µας, ας δώσουµε τον ορισµό µιας σειράς.

Ορισµός 3.2.1 ΄Εστω

µια ακολουθία. Τότε, ορίζουµε µια νέα

ακολουθία,

δηλαδή,

κ.ο.κ. Η ακολουθία καλείται η σειρά των όρων της

, και (παρόµοια µε το άθροισµα πεπερασµένων όρων) ο

καλείται ο –οστός

όρος της σειράς

.

Η σειρά

συµβολίζεται επίσης µε

, ή µε

. Λόγω του ότι µια

σειρά δεν είναι τίποτε άλλο παρά µια ειδική µορφή ακολουθίας, η έννοια του

ορίου υπεισέρχεται και σ’ αυτήν. ΄Ετσι λοιπόν έχουµε:

Ορισµός 3.2.2 ΄Εστω

η σειρά

Τότε

1. Θα λέµε ότι η


εάν

, και σ’ αυτή την

περίπτωση ϑα συµβολίζουµε επίσης µε

. Το

επίσης καλείται

το άθροισµα της σειράς

.


13/18



(ή η

) απειρίζεται όταν

ή


αποκλίνει, όταν αυτή δεν συγκλίνει σε κανένα

℄

.

Πριν προχωρήσουµε, διευκρινίζουµε εδώ ότι στα περισσότερα ιβλία των µα-

ϑηµατικών ο όρος η σειρά

αποκλίνει είναι ταυτόσηµος µε το ότι είτε η

σειρά

δεν συγκλίνει ή ότι η σειρά

συγκλίνει στο ή στο . Στον

παραπάνω ορισµό, κάναµε το διαχωρισµό µεταξύ απόκλισης και του ότι µια

σειρά απειρίζεται, στηριζόµενοι στο γεγονός ότι είναι χρήσιµο, όπως ϑα δούµε

παρακάτω, να ξέρουµε ότι µια σειρά απειρίζεται από το να αποκλίνει.

Παραθέτουµε τώρα δύο παραδείγµατα σειρών τα οποία είναι αρκετά χρήσιµα

στην κατανόηση της σύγκλισης και της απόκλισης.

Η Γεωµετρική Σειρά

Αυτή είναι µια σειρά της µορφής

, όπου

. Το

καλείται ο λόγος

της σειράς. Για τη σειρά αυτή είναι αρκετά εύκολο να ρούµε ένα κριτήριο

σύγκλισης ή απόκλισης, το οποίο έβαια ϑα εξαρτάται, προφανώς, από το

.

΄Εστω λοιπόν

η σειρά

και

. Τότε

, και αφαιρώντας τις τελευταίες δύο ισότητες, έχουµε

ή

αν

Αν, έβαια

, παίρνουµε

.

Από τα παραπάνω παρατηρούµε τα ακόλουθα : Αν

, τότε η σειρά

απειρίζεται. Από την άλλη µεριά, όταν

, η σειρά


, δηλαδή,

αν

και τελικά η σειρά

απειρίζεται, αν

και αποκλίνει αν

.


14/18


Συνοπτικά, έχουµε το ακόλουθο διάγραµµα.

Η


αν

απειρίζεται αν

αποκλίνει αν

(3.6)

Από τα παραπάνω, είναι προφανές ότι

(3.7)

αν έβαια

. ∆ηλαδή, το άθροισµα µιας συγκλίνουσας Γεωµετρικής σειράς

είναι ίσο µε το πηλίκο του πρώτου όρου διά

µείον το λόγο της σειράς.

Παραδειγµα 3.8 Να ρεθεί το ακριβές άθροισµα της σειράς

.

Λυση ΄Οπως είναι γραµµένη η σειρά δεν ϕαίνεται να είναι γεωµετρική. ΄Οµως,

µια δεύτερη µατιά ϑα µας πείσει ότι

και έτσι

Παραδειγµα 3.9 Να γραφεί ο δεκαδικός αριθµός υπό µορ-

ϕή κλάσµατος.


15/18


Λυση ΄Εχουµε ότι

Τηλεσκοπική Σειρά

΄Ενα άλλο παράδειγµα σειράς της οποίας το άθροισµα είναι δυνατόν να υπολο-

γιστεί ακριβώς είναι η λεγόµενη τηλεσκοπική σειρά.

Παραδειγµα 3.10 Βρείτε το όριο της

Λυση Εδώ παρατηρούµε ότι

, και έτσι αν

είναι η

ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της δοθείσης σειράς, τότε έχουµε

και συνεπώς

(επειδή

). ∆ηλαδή,

.

Αρµονική Σειρά

Θα τελειώσουµε αυτή την παράγραφο µε µια σειρά η οποία παρουσιάζεται συχνά

στα επόµενα. Είναι η λεγόµενη αρµονική σειρά,

.


16/18


Παρατήρηση 3.2.1 Η αρµονική σειρά

απειρίζεται, δηλαδή,

.

Αποδειξη ΄Εχουµε

Παρόµοια

, ή γενικά

Αυτό δείχνει ότι

, δηλαδή, η

(γιατί

), και εποµένως η

αρµονική σειρά απειρίζεται.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3.2

1. Εξετάστε ποιες από τις επόµενες σειρές συγκλίνουν, απειρίζονται ή αποκλίνουν.

Βρείτε τα όρια αυτών που συγκλίνουν.

2. Να αποφασιστεί αν οι επόµενες σειρές συγκλίνουν, απειρίζονται ή αποκλίνουν. Αν

συγκλίνουν, ρείτε το όριό τους.


17/18


3. Κάνετε το ίδιο για τις σειρές:

4. Βρείτε τις τιµές του για τις οποίες οι σειρές συγκλίνουν. Στη συνέχεια, ρείτε το

όριο αυτών που συγκλίνουν.

5. ΄Εστω ορθό τρίγωνο µε υποτείνουσα την ακµή και έστω η γωνία µε κορυφή

το . ΄Εστω η προβολή του στην πλευρά ,

η προβολή του στην ,

η προβολή του

στην κ.ο.κ. ΄Εστω

.

Βρείτε το άθροισµα

συναρτήσει της και του µήκους .

3.3 ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ

Σ’ αυτή την παράγραφο ϑα συζητήσουµε µερικά από τα ασικά κριτήρια ελέγχου

σύγκλισης και απόκλισης σειρών. Θα αρχίσουµε µε ένα κριτήριο απόκλισης. Ο


18/18


όρος απόκλιση ϑα χρησιµοποιείται στην παράγραφο αυτή, σε ελάχιστη αντίθεση

µε την προηγούµενη παράγραφο, µε την έννοια της µη σύγκλισης σε πραγµατικόαριθµό. ∆ηλαδή, µια σειρά αποκλίνει, όταν ϑα απειρίζεται ή δεν ϑα συγκλίνει

σε πραγµατικό αριθµό.

Πρόταση 3.3.1 [ Κριτήριο απόκλισης ] ΄Εστω

µια σειρά. Αν το

δεν υπάρχει ή δεν είναι ίσο µε , τότε η σειρά αποκλίνει.

Αποδειξη ΄Εστω

µια συγκλίνουσα σειρά, µε

. Τότε αν

είναι η ακολουθία των µερικών αθροισµάτων της, ϑα

έχουµε

. ΄Οµως, παρατηρούµε επίσης ότι

[Παρατήρηση 3.1.1],

και έτσι η ακολουθία

ϑα συγκλίνει στο

. Το τελευταίο, όµως,

είναι ισοδύναµο µε το

, δηλαδή, έχουµε

Αν η σειρά

συγκλίνει (σε πραγµατικό αριθµό)

(3.8)

Η απόδειξη της πρότασης είναι τώρα προφανής (χρησιµοποιήστε άτοπο απαγω-

γή).

Η δέουσα προσοχή πρέπει να δοθεί στο κριτήριο αυτό, καθώς επίσης και

στην (3.8). Η συνθήκη

είναι µια αναγκαία, αλλά όχι ικανή για τη

σύγκλιση της σειράς

!

Παραδειγµα 3.11 Να αποφασιστεί αν η σειρά

συγκλίνει ή αποκλί-

νει.

Λυση ΄Εχουµε ότι

, και άρα η σειρά αποκλίνει.

Σειρές ϑετικών ΄Ορων

Σ’ αυτή την παράγραφο, για λόγους ευκολίας, ϑα ϑεωρήσουµε σειρές του τύπου

, όπου

, για όλα σχεδόν τα

. Το επόµενο είναι το πρώτο από τα

κριτήρια σύγκλισης που ϑα δούµε εδώ. ΄Οπως δείχνει και το όνοµά του, το

κριτήριο αυτό ασίζεται στη συσχέτιση δύο σειρών. Λίγο πιο κάτω, ϑα δούµε και

ένα δεύτερο κριτήριο σύγκρισης, το λεγόµενο οριακό κριτήριο σύγκρισης.

akolouthies - mathimatika

Documents