ajar-6-07

Statistik Maxwell-Boltzmann Fisika Statistik Mirwan 2007

BAB VI

STATISTIK MAXWELL-BOLTZMANN

A. PENDAHULUAN Pada topik ini akan dibahas tentang anggapan dasar statistik Maxwell-

Boltzmann, distribusi partikel dalam keadaan energi, konfigurasi dengan

peluang terbesar, dan ruang fasa. Bekal untuk memahami dan mempelajari

topik ini adalah semua pengetahuan dan pemahaman yang telah anda peroleh

dari memahami dan mempelajari bagian-bagian sebelum ini.

Adapun tujuan instruksional khusus dalam mempelajari topik ini adalah

diharapkan anda mempunyai kemampuan untuk menjelaskan prinsip-prinsip

dasar statistik Maxwell-Boltzmann dalam menentukan konfiguasi sistem

partikel.

B. PENYAJIAN

6.1. Anggapan Dasar Dalam statistik Maxwell-Boltzmann: Partikel-partikel dalam sebuah sistem dianggap terbedakan.

Tidak ada batasan dalam banyaknya partikel yang dapat mengisi keadaan

energi yang sama.

Setiap keadaan energi dapat diisi beberapa partikel.

Diantara partikel terjadi gaya antar aksi hanya ketika bertumbukan

(berinteraksi lemah atau kuasi bebas).

6.2. Distribusi Partikel dalam Keadaan Energi. Tinjau sistem 4 partikel terbedakan mempunyai dua tingkat energi yang

non degenerasi (masing-masing tingkat hanya mempunyai satu keadaan).

Keadaan makro yang mungkin adalah:

Keadaan makro ke I II III IV VN2 0 1 2 3 4N1 4 3 2 1 0

Bila sekarang ke 4 partikel tersebut diberi nama a, b, c, d. Tentukan

berapa banyak keadaan mikro pada tiap keadaan makro tersebut ?

Jawabnya adalah:

53


Untuk N1 = 4 dan N2 = 0N2

N1 A b c d

Untuk N1 =3, dan N2 = 1N2 d c b a

N1 a b c a b d a c d b c d

Untuk: N1 =2, dan N2 = 2

N2 Cd bd bc ad ac ab

N1 Ab ac ad bc bd cd

Untuk N1 =1, dan N2 =3N2 bcd acd abd abc

N1 a b c d

Untuk N1 = 0, dan N2 = 4N2 abcd

N1

Dari ke 5 kejadian tersebut, nampak banyaknya keadaan mikro untuk

keadaan makro adalah sebagai berikut:

Keadaan makro ke I II III IV VJumlah keadaan

mikro1 4 6 4 1

Bagaimana angka-angka dalam keadaan mikro tersebut diperoleh ?

Jika partikel-partikel terdistribusi sedemikian sehingga ada N j partikel tiap

tingkat energi, maka bobot konfigurasi diperoleh dari banyaknya cara untuk

menghasilkan konfigurasi N partikel dalam sistem tersebut. Angka-angka

tersebut merupakan banyaknya cara memilih N partikel pada tingkat energi.

N = total partikel dan Nj = jumlah partikel pada tingkat energi j.

Banyaknya cara memilih N1 partikel pada tingkat pertama dari total N partikel

adalah:

Banyaknya cara = ... (6.1)

Begitu pula Banyaknya cara memilih N2 partikel pada tingkat ke 2 dari total N

partikel adalah dipilih dari partikel sisa (N-N1), sehingga

Banyaknya cara = ... (6.2)

54


Total banyak cara pemilihan partikel untuk tingkat pertama dan kedua

adalah:

=

= =

Jika hanya ada tiga tingkat, dimana N3 = N – N1 – N2 , maka total banyak

cara pemilihan konfigurasi dengan N1, N2, N3, adalah:

Banyak cara = ... (6.3)

Secara umum untuk n tingkat energi, banyaknya cara pemilihan

konfigurasinya adalah:

Banyak cara = ...

(6.4)Sekarang tinjau satu tingkat energi ke j dengan = 2 dan Nj = 3 (partikel

terbedakan). Berapa banyak cara pengisian konfigurasi ?

Jawabnya: Banyak cara = = 23 = 8. Ilustrasinya adalah sebagai berikut:

Abc

Ab c

Ac b

Bc a

A bc

B ac

C ab

abc

Total cara penyusunan N partikel ke dalam n tingkat energi dengan distribusi:

N1 partikel di tingkat 1 dengan g1



55


...................................................

Nn partikel di tingkat n dengan gn

Adalah:

Total cara penyusunan N partikel kedalam n tingkat energi = peluang

termodinamik. Yaitu:

... (6.5)

dengan

W juga menyatakan banyaknya keadaan mikro dalam sebuah keadaan

makro.

6.3. Konfigurasi Dengan Peluang Terbesar. Keadaan makro yang mempunyai peluang terbesar adalah keadaan

makro yang mempunyai keadaan mikro terbanyak (W terbesar). Bila W

maksimum, maka ln W juga maksimum. Dari persamaan 6.5:

Dengan menggunakan pendekatan Stirling diperoleh bahwa:

Ln(X!) = X ln X – X

Atau ln N! = N ln N – N

Bila ada persamaan berbentuk , maka:

Bila persamaannya berbentuk::

, maka uraiannya menjadi:

dan seterusnya.

Padahal:

Untuk

56


... (6.6)

Bila ln W maksimum, maka d lnW = 0. Ini berlaku untuk N tetap, sehingga

perbedaan keadaan makro hanya di tentukan oleh perbedaan N j saja. Dalam

hal ini ln W sebagai fungsi Nj saja. Bila digunakan fungsi lnW(N,Nj), maka:

Untuk N tetap, maka dN = 0, sehingga :

Bila dikumpulkan:

*lnW maksimum, maka d lnW = 0

*Sistem terisolasi, maka: N, U, V adalah tetap.

Dengan menggunakn pengali Lagrange dan , maka dapat dituliskan sebagai:

(distribusi Maxwell-Boltzmann) ... (6.7)

Deff.

Z = fungsi partisi (dikenalkan oleh Boltzmann yang menyebutnya sebagai Zustandsumme, artinya jumlahan terhadap keadaan.

57


Lambangnya Z diambil huruf depannya)

Jadi:

Distribusi Maxwell-Boltzmann menjadi berbentuk:

... (6.8)

Pengali :Tinjau dua buah sistem terisolasi berikut:

Gambar 6.1: Dua sistem terisolasi

Sistem gabungannya adalah:

S = S(1) + S(2)

W = W(1) + W(2)

ln W = ln W(1) + ln W(2)

Deff. S = k ln W ... (6.9)

Dengan mengingat :

dan

Diperoleh:

58

N(1) w(1)

V(1)

U(1) S(1)

N(2) W(2)

V(2)

U(2) S(2)


... (6.10)

Dengan hukum termodinamika:

T dS = dU + P dV

,

Sehingga

atau ... (6.11)

Distribusi Maxwell-Boltzmann menjadi berbentuk:

... (6.12)

dan ... (6.13)

Entropinya menjadi:

... (6.14)

Fungsi Helmholtz:

F = U – TS

... (6.15)

Dari termodinamika:

dF = -P dV – S dT

dan

6.4. RUANG FASA. Keadaan sistem pada setiap saat didefinisikan dengan spesifikasi posisi

dan momentum. Ruang posisi mempunyai komponen ( X, Y, Z).Ruang

59


momentum mempunyai komponen (px, py, pz). Keadaan sebuah partikel

ditentukan oleh 6 koordinat, yaitu : X, Y, Z, px, py, pz, yang diberi nama ruang

fasa.

Tinjau sebuah partikel terletak pada posisi dengan komponen antara :

X dan X + dX

Y dan Y + dY

Z dan Z + dZ

Maka elemen volumenya adalah dV = dX dY dZ. Namun bila sebuah partikel

yang posisi dan momentumnya terletak antara :

X dan X + dX

Y dan Y + dY

Z dan Z + dZ

pX dan px + dpx

py dan py + dpy

pz dan pz + dpz

maka elemen volume tersebut adalah dalam ruang fasa, yaitu:

Partikel ke 1:

Partikel ke 2:

.......................................................................................

Partikel ke n:

Untuk sistem N partikel:

... (6.16)

Energi kinetik partikel ke j adalah:

... (6.17)

Keadaan partikel (X, Y, Z, px, py, pz) dinyatakan sebagai fungsi energi dengan

mengambil bahwa volume-volume (banyak volume yang sama ukurannya)

dalam ruang fasa berisi jumlah keadaan yang sama. Misal ada B keadaan

persatuan volume ruang fasa sedemikian sehingga elemen volume d dalam

60


ruang fasa berisi B d keadaan. Atau dapat dituliskan bahwa degenerasi ke j

yaitu:

Kita cari d sebagai berikut:

... (6.18) ... (6.19)

Diketahui bahwa:

Sehingga:

... (6.20)

Atau Jadi sekarang:

Fungsi partisinya adalah:

, dimana

Sehingga ... (6.21)

dan ... (6.22)

Secara kontinu:

... (6.23)

Rumus-rumus statistik Maxwell-Boltzmann:

61


... (6.24)

TUGAS:Kerjakan soal-soal berikut:

1) Distribusi Maxwell Boltzmann dapat dituliskan sebagai:

, Tuliskan arti masing-masing lambang tersebut.

2) Dalam ruang fasa dengan koordinat X, Y, Z, VX, VY, VZ, dijumpai integral :. Dalam ruang yang

bebas dari medan luar terdapat gas yang partikelnya tidak berinteraksi, volume gas adalah V; dimana V = .

a) Tulislah energi partikel dinyatakan dalam .b) Tulislah fungsi distribusi partikel ini, yaitu me-

nurut Maxwell-Boltzmann.c) Cari Fungsi partisinya.d) Cari persamaan keadaannya.e) Cari entropinya.

3) Ruang silinder (luasnya A dan tingginya L) berisi gas monoatomik yang memenuhi statistik Maxwell-Boltzmann. Gas dalam kesetimbangan termal pada temperatur T. Tiap partikel gas tersebut bermassa m yang berada dalam medan gravitasi dengan percepatan gravitasi g yang dianggap tetap.

a. Tulislah energi yang dimiliki setiap partikel gas itu.b. Tentukan energi rata-rata yang dimiliki setiap partikel gas tersebut

(nyatakan dalam L dan T).c. Tentukan fungsi partisi sistem ini.d. Tentukan kapasitas termal sistem pada volume tetap.e. Turunkan ungkapan tekanan terhadap ketinggian.

PUSTAKA:1. Siti Nurul Khotimah, Fisika Statistik. Bandung : ITB, 1999. H: 46 – 53.

62


2. Fw Sears and Salinger, Thermodynamics, Kinetic Theory and Statistical Thermodynamics. Addison Wesley, 1986. H: 320 – 327 dan 334 - 336.

3. Zemansky M.W, dan R.H Dittman. 1986.Kalor dan Termodinamika. Alih Bahasa: The Houw Liong.Penerbit ITB Bandung. H: 342 – 347.

63

ajar-6-07

Documents