1

Kursas: matematika ir filosofija

Padalomoji medžiaga

2018 m. vasario 22 d.

Žaislinis aritmetikos modelis: trupmenos

Dievas sukūrė sveikuosius skaičius, o visa kita - žmogaus rankų darbas

Leopoldas Kronekeris (1823-1891) – vokiečių matematikas

Tekstas supažindina su aritmetika, kurioje skaičiumi laikomas taškas ant geometrinės tiesės. Tai

nėra šiuolaikinės matematikos struktūros pavyzdys. Jis neatitinka šiuolaikinės matematikos

griežtumo standartų. Šiuo modeliu siekiama supažindinti su samprotavimų loginiu tikslumu

naudojant minimaliai abstrakčius matematinius objektus. Todėl modelis vadinamas žaisliniu.

Tačiau modelyje laikomasi visų logikos taisyklių. Samprotavimų loginis tikslumas reiškia tris

dalykus:

o tikslų sąvokų apibrėžimą;

o kiekvieno teiginio teisingumas yra paaiškinamas ir įrodomas;

o tarp sąvokų egzistuoja loginė tvarka, vadinama hierarchine struktūra.

Kodėl pradedame nuo trupmenų? Trupmenos sąvoka aiškinama 5-6 klasėse, ji yra viena pirmųjų

sukelianti rimtų sunkumų mokantis matematikos mokykloje. Vėliau tokių sunkumų tik daugėja.

Trupmenos sąvokos supratimas reikalauja iš vaiko abstraktaus mąstymo elementų, nes pati sąvoka

ir aritmetiniai veiksmai su trupmenomis dažniausiai yra nauji vaiko patyrimui. Vyresnėse klasėse,

susipažįstant su algebra, abstrakcija tampa dar didesne. Paprastai trupmenos sąvoka ir procedūros su

trupmenomis suformuluojamos kaip apibrėžimai ir taisyklės, kurias reikia įsiminti. Siekiant

palengvinti įsiminimo sunkumus paprastai siūloma daug pavyzdžių ir naudojamos įvairios

pedagoginės priemonės. Trupmenos sąvoką stengiamasi padaryti paprastesne ir aiškesne

interpretuojant ją realaus pasaulio kontekste, pavyzdžiui, dalinant picą ar tortą į dalis. Viso to

nepakanka.

Penktos klasės vadovėliuose yra įprasta trupmenos aiškinimą pradėti nuo picos dalinimo, kaip ir

pradinėse klasėse. Toliau apie trupmenas pasakoma bent keletas dalykų, vienas po kito:

o trupmena yra dalmuo, gautas vieną sveikąjį skaičių dalijant iš kito sveikojo skaičiaus;

o trupmena yra viena ar kelios lygios vieneto (ar visumos) dalys;

o trupmena yra dviejų sveikųjų skaičių santykis;

o trupmena yra dydis dalies gautos objektą (picą) dalinant į lygias dalis;

o trupmena yra taškas skaičių spindulyje.

2

Tokia trupmenos apibūdinimų gausa yra pirmoji problema. Trupmena siejama su iš pažiūros labai

skirtingomis sąvokomis. Pirmą kartą bandančiam suprasti trupmenos prasmę, tai yra sunkus

išbandymas. Antroji panašių apibūdinimų problema yra ta, kad nei vienas jų nėra naudojamas

paaiškinti visas trupmenų savybes, tokias kaip trupmenų ekvivalentumas, tvarka tarp trupmenų ir

aritmetinės operacijos su trupmenomis. Trečioji šių apibūdinimų problema yra ta, kad, priklausomai

nuo konteksto, jie gali būti logiškai klaidingi. Pavyzdžiui, pirmasis apibūdinimas neturi prasmės

tada, kai prieš tai dalmuo nėra apibrėžtas bet kuriai sveikųjų skaičių porai. Mūsų mokyklose

paprastai dalmuo apibrėžiamas tik tai skaičių porai, kurioje vienas jų dalo kitą be liekanos.

Kiekviena trupmenų savybė apibrėžiama pasitelkiant vienu iš daugelio apibūdinimu arba tik

iliustruojant pavyzdžiais. Tačiau toks mokymo kelias nepadeda vaikui ne tik įsiminti, bet ir suprasti

trupmenas. Mokymą iliustruojantys pavyzdžiai gali padėti tik ypatingai gabiems vaikams patiems

rasti paaiškinimus. Kiti vaikai greičiausiai praranda motyvaciją mokytis matematikos.

Matematikos procedūrų paaiškinimas ir supratimas slypi pačioje matematikoje. Matematikos žinios

sudaro tampriai susijusią ir hierarchinę sistemą. Jei pavyktų vaikui bent šiek tiek praskleisti skaičių

sistemos ryšius, tai jis be didelio vargo galėtų tas taisykles atrasti sau kiekvieną kartą kai jų reikia.

Sunkumas tas, kad šiuolaikinėje matematikoje naudojama skaičių sistemos samprata yra per daug

sudėtinga pirmam susipažinimui. Būtent, matematikoje racionalieji skaičiai ir aritmetinės operacijos

su jais apibrėžiami naudojant ekvivalentumo klases, o tai yra per daug abstraktu vidutiniam 5-6

klasės moksleiviui. Mokymo tikslams galima būtų naudoti ne pačią bendriausią skaičių sistemos

sampratą, bet pačius paprasčiausius tokios skaičių sistemos variantus. Pagrindinis reikalavimas

tokiai sistemai yra galimybė susieti visus mokykloje mokomus faktus apie skaičius. Be abejonės,

analogijos ir metaforos labai padeda suprasti sudėtingas sąvokas, jos ir toliau turėtų būti

naudojamos mokyklinėje matematikoje. Bet analogijos ir metaforos, bei realaus pasaulio

pavyzdžiai, negali pakeisti samprotavimų loginio tikslumo ugdymo.

Šiame tekste aptarsime skaičių sistemą, grindžiamą skaičių tiese (spinduliu), t.y. skaičiumi yra

laikomas taškas ant geometrinės tiesės. Tokia skaičiaus interpretacija yra viena iš daugelio

sutinkamų mokyklos kurse. Tačiau ji paprastai nėra naudojama paaiškinti ir pagrįsti skaičiaus

savybes ir aritmetinius veiksmus su skaičiais. Remsimės Hung-Hsi Wu ([Wu, 2010], [Wu, 2011]) ir

G. R. Jenseno [GRJ] knygomis mokytojams. Skirtingai nuo H.-H. Wu, trupmenas atitinkančius

taškus ant skaičių tiesės mes vadiname racionaliaisiais skaičiais, o trupmena tokiu atveju yra

racionaliojo skaičiaus išraiška, simbolis, skaitmuo. Racionalusis skaičius yra objektas turintis

vienaties savybę, o tą patį racionalųjį skaičių išreiškia daug skirtingų trupmenų. Wu taip pat skiria

skaičių nuo jo išraiškos, bet vadina juos trupmena ir trupmenos simboliu, atitinkamai (žr. 185 pusl.

[Wu, 2011]). Šioje medžiagoje praleidžiamas natūraliųjų skaičių aritmetikos įvadas ir be

paaiškinimo naudojamos kai kurios geometrijos sąvokos (geometrinė tiesė, taškas ant tiesės,

atkarpa, kongruencija). Pastebėsime, kad, siekiant iliustruoti samprotavimų loginį tikslumą,

maksimalus formalizmas – visų sąvokų ir veiksmų su jomis pagrindimas – nėra būtinas.

Geometrijos objektai yra naudojami tik vaizdumui, panašiai kaip skaičiuojant galima naudoti rankos

pirštus.

Skaičių tiesė ir kitos susijusios sąvokos

3

Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė, kurioje vienodu atstumu išsidėstę taškai žymi natūraliuosius

skaičius 0,1,2,... . Toliau apibrėžiamos pagalbinės sąvokos.

Apibrėžtis. Tarkime, kad a, b, c yra tiesės taškai, o [a,b] ir [b,c] yra dvi tos pačios tiesės atkarpos,

turinčios vieną bendrą tašką b. Šių atkarpų jungtis yra atkarpa [a,c].

Toliau tarsime, kad atkarpa [a,a] yra taškas a.

Taip pat apibrėžiama bet kurio skaičiaus vienas kitą liečiančių atkarpų jungtis.

Apibrėžtis. Sakysime, kad geometrinės tiesės taškų poros (T,S) ir (U,V) yra vienodai nutolusios, jei

jų sudarytos atkarpos [T,S] ir [U,V] yra kongruenčios, t.y. pastūmus [T,S] taip, kad T sutaptų su U,

S turi sutapti su V.

Geometrinės tiesės taškų pora (T,S) vienareikšmiškai apibrėžia atkarpą [T,S]. Apie atkarpas

sakysime, kad dvi ar daugiau atkarpų turi vienodą ilgį, jei jos yra kongruenčios. Kol kas

neapibrėžiame, kas yra atkarpos ilgis.

Tarkime, kad geometrinėje tiesėje yra pažymėtas nulis ir taškas T esantis į dešinę nuo nulio.

Stumkime atkarpą [0,T] į dešinę nuo nulio tol, kol kairysis atkarpos galas nulis sutaps su T.

Pastumtos atkarpos dešinį galą žymėkime 2T, t.y. atkarpos [0,T] ir [T,2T] turi vienodą ilgį.

Nuosekliai kartodami atkarpos [0,T] stūmimą, gauname taškus 0,T,2T,3T,....., kurie sudaro tai, ką

vadinsime taško T kartotinių taškų seka. Šioje sekoje T vadinamas taško T pirmuoju kartotiniu

tašku, 2T vadinamas taško T antruoju kartotiniu tašku ir t.t. Taško T kartotinių taškų sekos

iliustracija:

——|——————|——————|——————|——————|——

0 T 2T 3T ir t.t.

Dabar priminsime skaičių tiesės apibrėžimą.

Apibrėžtis. Duotoje geometrinėje tiesėje pasirenkame du skirtingus taškus: pirmasis kairėje žymi 0

(nulį), o kitas žymi 1 (vienetą). Vieneto kartotinius taškus vadinsime natūraliaisiais skaičiais.

Skaičių tiesė yra geometrinė tiesė su taškais žyminčiais natūraliuosius skaičius:

——|——————|——————|——————|——————|——

0 1 2 3 ir t.t.

Atkarpa tarp taškų 0 ir 1 vadinama vienetine atkarpa ir žymima [0,1]. Sakysime, kad vienetinei

atkarpai kongruenčios atkarpos ilgis yra lygus vienetui. Vėliau apibrėšime atkarpos ilgį, kurio

reikšmė yra racionalusis skaičius.

Turėdami skaičių tiesę galime apibrėžti skaičiaus sąvoką.

Apibrėžtis. Realusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje.

Pastaba. Terminą realusis skaičius pradėjo naudoti René Descartes 1637 m. norėdamas skirti šį

skaičių nuo menamojo skaičiaus.

4

Matematikoje realusis skaičius nėra tapatinamas su tašku skaičių tiesėje. Realusis skaičius yra

elementas aibės, kurioje aksiomų pagalba apibrėžta tam tikra struktūra (pilnas sutvarkytas laukas).

Matematikoje naudojama (pvz. analizinėje geometrijoje) Cantoro-Dedekindo aksioma: tarp

geometrinės tiesės taškų ir realiųjų skaičių aibės egzistuoja tvarką išsauganti abipus vienareikšmė

atitiktis. Realiųjų skaičių tapatinimas su taškais geometrinėje tiesėje yra pateisinamas mokyklinėje

matematikoje siekiant: (1) tiesių atsakymų į paprastus klausimus (pvz., kas yra skaičius); (2)

parodyti, kad sveikieji skaičiai, trupmenos (racionalieji skaičiai) ir iracionalieji skaičiai yra tos

pačios rūšies objektai; (3) logiškai tiksliai pagrįsti aritmetikos veiksmus su skaičiais.

Čia apsiribojame teigiamais realiaisiais skaičiais norėdami paaiškinti tik idėjas. Skaičių tiesėje jau

turime pažymėtus natūraliuosius skaičius. Todėl tolesnis mūsų uždavinys yra skaičių tiesėje

nurodyti racionaliųjų ir iracionaliųjų skaičių vietas (taškus), bei tokia jų samprata pagrįsti

aritmetines operacijas tarp skaičių. Skaičių tiesėje turime natūraliuosius skaičius. Du skaičiai yra

lygūs, žymima =, jei jų vieta skaičių tiesėje yra ta pati.

Racionaliojo skaičiaus ir trupmenos apibūdinimas

Siūlomas apibūdinimas grindžiamas prielaida, kad duotą atkarpą galima padalinti bet kuriuo

skaičiumi vienodai nutolusių taškų, arba, kas yra tas pats, duotą atkarpą padalinti bet kuriuo

skaičiumi vienodo ilgio atkarpų.

Apibrėžtis. Trupmena yra simbolis 𝑚

𝑛, kuriame m yra natūralusis skaičius vadinamas skaitikliu, o

nuliui nelygus natūralusis skaičius n vadinamas vardikliu.

Pirmiausia skaičių tiesėje nurodysime vietas, žymimas trupmenomis, kurių vardikliais yra skaičius

trys, t.y. trupmenomis 1

3,

2

3,

3

3,

4

3, ir t.t.

Vienetinę atkarpą [0,1] daliname į tris vienodo ilgio atkarpas [0,1

3], [

1

3,2

3] ir [

2

3, 1], kurių jungtis yra

vienetinė atkarpa. Kiekvieną kitą atkarpą [1,2], [2,3],.. tokiu pačiu būdu padaliname į tris vienodo

ilgio atkarpas. Taip gautų visų atkarpų ilgiai yra vienodi, nes atkarpos kongruenčios. Pirmąją

atkarpą [0,1

3] pasirinksime trupmenos

1

3 standartine išraiška:

|▬▬ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 1

3 1 2 3

Ši atkarpa vienareikšmiškai nusakoma savo dešiniuoju galu:

|——•——ǀ——|——ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 1

3 1 2 3

Gautas taškas skaičių tiesėje yra racionalusis skaičius išreiškiamas trupmena 1

3, arba, tiesiog,

racionalusis skaičius 1

3. Taip pat sakysime, kad atkarpos [0,

1

3] ilgis yra

1

3 .

5

Pastaba. Konkretaus objekto skyrimas nuo jį žyminčio vardo ir tam tikras skirtumo supratimas

naudojamas kasdieniniame gyvenime. Pavyzdžiui, žmogus ir jo pavardė. Paprastai nesakome

,,žmogus išreiškiamas pavarde“, bet kontekstas leidžia nuspręsti kada pavardė nurodo konkretų

žmogų. Panašiai, nebūtina kiekvieną kartą pabrėžti racionaliojo skaičiaus ir trupmenos skirtumą.

Panašiu būdu, imant vienetinių atkarpų trečdalius ir apjungus bet kuriuos keturis iš jų, galima gauti

trupmenos 4

3 išraišką atkarpa. Dėl vienaties, pasirinksime pirmųjų keturių atkarpų jungtį, vadindami

ją trupmenos 4

3 standartine išraiška:

|▬▬ǀ▬▬ǀ▬▬|▬▬ǀ——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 1 4

3 2 3

Kadangi ši atkarpa vienareikšmiškai nusakoma savo dešiniuoju galu, tai jį tapatinsime su

racionaliuoju skaičiumi 4

3 , tiksliau, racionaliuoju skaičiumi išreiškiamu trupmena 4

3 :

|——ǀ——ǀ——|——•——ǀ——|——ǀ——ǀ——|—— .

0 1 4

3 2 3

Bendru atveju, su bet kuriuo nelygiu nuliui natūraliuoju skaičiumi m, racionalusis skaičius 𝑚

3 yra

pirmųjų m vienetinės atkarpos trečdalių jungties dešinysis galas. Gauti skaičių tiesės taškai sudaro

tai, kas toliau vadinama trečdalių aibe:

|——•——•——•——•——•——•——•——•—— .

0 1

3

2

3

3

3

4

3

5

3

6

3

7

3

8

3

Pastebėsime, kad trečdalių aibę sudaro taško 1

3 kartotiniai taškai.

Samprotavimai apie trupmenas, kurių vardikliais yra trejetas, apibendrinami trupmenoms, kurių

vardikliais yra bet kuris nelygus nuliui natūralusis skaičius n=1,2,3,... . Panašiu būdu, dalindami

vienetines atkarpas į n dalių, gauname trupmenų 1

𝑛,

2

𝑛,

3

𝑛, ... standartines išraiškas atkarpomis. Šių

atkarpų dešinieji galai skaičių tiesėje sudaro tai, kas vadinama n-tųjų dalių aibe, kurios elementais

yra atitinkami racionalieji skaičiai. Šią aibę sudaro taško 1

𝑛 kartotiniai taškai.

Dabar esame pasiruošę apibrėžti racionaliojo skaičiaus sąvoką.

Apibrėžtis. Duotam natūraliajam skaičiui n, skaičių tiesės vienetinę atkarpą [0,1] padaliname į n

vienodo ilgio atkarpų. Nuo nulio pirmosios gautos atkarpos dešinysis galas yra racionalusis

skaičius, žymimas trupmena 1

𝑛. Taško 1

𝑛 kartotiniai taškai sudaro n-tųjų dalių aibę, kurios elementais

yra trupmenomis 1

𝑛,

2

𝑛,

3

𝑛, ... žymimi racionalieji skaičiai. Visi šių aibių elementai kai n=1,2,3,... yra

skaičių tiesės taškai sudarantys (teigiamų) racionaliųjų skaičių aibę.

6

Pagal apibrėžimą, racionalusis skaičius yra taškas skaičių tiesėje. 𝑚

𝑛 yra racionalųjį skaičių žyminti

trupmena. Racionalusis skaičius 𝑚

𝑛 yra taško 1

𝑛 m-tasis kartotinis taškas.

Apibrėžtis. Lygybė 𝑎

𝑏 = 𝑚

𝑛 reiškia, kad trupmenos 𝑎

𝑏 ir 𝑚

𝑛 žymi tą patį racionalųjį skaičių. Be to,

nurodytos lygybės atveju sakoma, kad trupmenos 𝑎

𝑏 ir 𝑚

𝑛 yra ekvivalenčios.

Pagal apibrėžimą, kai n=1, taško 1

1 kartotiniai taškai 1

1, 2

1 ,..., 𝑚

1,...yra lygūs atitinkamiems

natūraliesiems skaičiams 1,2,...,m,.... Be to, natūralieji skaičiai išreiškiami trupmenomis:

𝑛

𝑛 = 1,

2𝑛

𝑛 = 2, .....

𝑘𝑛

𝑛 = k,

su bet kuriais natūraliaisiais skaičiais n ir k. Taigi, natūralieji skaičiai yra ir racionalieji skaičiai. Šis

faktas paprastai deklaruojamas mokykloje be pagrindimo. Jis yra svarbus susiejant aritmetines

operacijas tarp natūraliųjų skaičių ir racionaliųjų skaičių.

Kitas teiginys nurodo dviejų trupmenų ekvivalentumo pakankamas sąlygas. Dėl savo svarbos

tolesniuose samprotavimuose, šią teoremą vadiname pagrindine trupmenos savybe.

1 teorema. Tarkime, kad 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 yra dvi trupmenos ir egzistuoja toks natūralusis skaičius c, kad k =

cm ir l = cn. Tada 𝑚

𝑛 = 𝑘

𝑙 .

Įrodymas. Reikia įrodyti, kad 𝑚

𝑛 ir 𝑐𝑚

𝑐𝑛 žymi tą patį tašką skaičių tiesėje. Tam, kad suprasti įrodymo

idėją, verta ją pasiaiškinti atskiru atveju. Kokie samprotavimai galėtų įrodyti lygybę: 1

2 = 3

6 ? Šią

lygybę gauname, kai teoremoje imame m=1, n=2 ir c=3. Pasinaudokime iliustracijomis:

[――――――|――――――]――

0 1

2 1

[――|――|――|――|――|――]――

0 1

6 2

6 3

6 1

Trupmena 1

2 žymi tašką gaunamą dalinant [0,1] į 2 lygias dalis ir randant pirmosios atkarpos dešinįjį

galą. Trupmena 3

6 žymi tašką gaunamą dalinant [0,1] į 6 lygias dalis ir randant pirmųjų trijų atkarpų

junginio dešinįjį galą. Kaip įrodyti, kad šie du dešinieji galai sutampa? Kiekvieną iš dviejų

kongruenčių atkarpų [0,1

2] ir [

1

2,1] daliname į tris lygias dalis ir gauname šešias lygias dalis, nes 2 ×

3 = 6. Taigi, dalinant [0,1] iš pradžių į 2 lygias dalis ir, po to, į 3 lygias dalis gauname tą patį, ką

gautume dalindami iš karto į 6 lygias dalis. Tai rodo, kad atkarpos [0,1

2] ir [0,

3

6] yra kongruenčios,

nes gaunamos jungiant po tris tarpusavyje kongruenčias atkarpas. Todėl sutampa ir jų dešinieji galai

t.y. 3

6 = 1

2 .

Apibendrinsime pagrindinę šio samprotavimo idėją, kai n ir c yra bet kurie natūralieji skaičiai, o

m=1. Atkarpos [0,1] dalinimas į n lygių dalių duoda n kongruenčių atkarpų ir pirmosios iš jų

dešinysis galas yra taškas 1

𝑛 . Po to, kiekvieną iš n gautų atkarpų dalindami į c lygių dalių gausime

7

atkarpas, kurios sutaps su atitinkamomis atkarpomis gautomis [0,1] dalinant į nc lygių dalių, nes

dalinimas nuosekliai, pirma, į n ir, antra, į c dalių yra tas pats, kas dalinimas iš karto į nc dalių.

Pastarojo dalinimo pirmosios atkarpos dešinysis galas yra taškas 1

𝑛𝑐 . Paėmus to paties dalinimo

pirmąsias c atkarpas ir jas apjungus, dešiniame gautos atkarpos gale gausime tašką, kuris sutaps su

tašku 1

𝑛 , t.y. 𝑐

𝑛𝑐 = 1

𝑛 . Įrodėme teoremą kai m=1.

Dabar nesunku įrodyti suformuluotą teoremą su bet kuriuo natūraliuoju m. Taškas 𝑚𝑐

𝑛𝑐 yra dešinysis

galas atkarpos, gaunamos jungiant pirmąsias mc atkarpas, kongruenčias atkarpai [0, 1

𝑛𝑐 ]. Šis taškas

taip pat gaunamas dviem etapais: pirma, jungiant pirmąsias c atkarpas, kongruenčias atkarpai [0, 1

𝑛𝑐]

ir, antra, gautą atkarpą [0, 𝑐

𝑛𝑐] = [0, 1

𝑛 ] (tai įrodėme anksčiau) atidedant dar m kartų ir apjungiant.

Pastaroji jungimo procedūra duoda atkarpą, kurios dešinysis galas yra 𝑚

𝑛 . Įrodėme, kad 𝑚𝑐

𝑛𝑐 = 𝑚

𝑛 . ∎

Pastaba. Šis įrodymas nors ir paaiškina teoremos teiginį, bet nėra pakankamai griežtas matematikos

požiūriu. Pavyzdžiui tvirtinama, kad lygybė 𝑐

𝑛𝑐 = 1

𝑛 teisinga bet kuriems natūraliesiems skaičiams n ir

c. Tai galima patikrinti kiekvienai atskirai paimtai skaičių porai n ir c. Kodėl lygybė turi būti

teisinga visiems natūraliesiems skaičiams nėra įrodyta.

Pagrindinė trupmenos savybė leidžia bet kurioms dviem trupmenoms rasti joms ekvivalenčias ir

turinčias tą patį vardiklį.

Išvada. Jei 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 yra dvi trupmenos, tai kiekviena iš jų ekvivalenti trupmenoms 𝑙𝑚

𝑙𝑛 ir 𝑛𝑘

𝑛𝑙 ,

atitinkamai.

Apie bet kurias dvi trupmenas 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 suformuluosime du teiginius:

T := [egzistuoja toks natūralusis c, kad k=cm ir l=cn] ir S := [ 𝑚

𝑛 = 𝑘

𝑙 ].

Priminsime, kad sakinys vadinamas teiginiu, jei jis yra teisingas arba klaidingas. 1 teorema sako,

kad implikacija T ⟹ S teisinga bet kurioms dviem trupmenoms. Tokiu atveju teiginys T vadinamas

pakankama sąlyga teiginiui S, o S vadinamas būtina sąlyga teiginiui T (žr. [VK], 63 pusl.).

Galima klausti: Ar bet kuriai trupmenų porai teisinga atvirkštinė implikacija S ⟹ T ? Atsakymas –

ne. Pavyzdžiui, trupmenoms 4

6 ir 6

9 teisingas teiginys S (abi trupmenos ekvivalenčios trupmenai 2

3 ),

bet klaidingas teiginys T.

Tačiau teiginį S apie trupmenų ekvivalentumą galima apibūdinti kitu teiginiu apie atitinkamų

trupmenų skaitiklius ir vardiklius. Būtent, teisinga teorema.

2 teorema. Tarkime, kad 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 yra dvi trupmenos. Šios trupmenos yra ekvivalenčios tada ir tik

tada, kai ml = nk.

Įrodymas. Tarkime, kad 𝑚

𝑛 = 𝑘

𝑙 . Remiantis 1 teoremos išvada, trupmena 𝑚

𝑛 yra ekvivalenti trupmenai

A:= 𝑚𝑙

𝑛𝑙 , trupmena 𝑘

𝑙 yra ekvivalenti trupmenai B := 𝑘𝑛

𝑙𝑛 , o trupmenos A ir B turi tą patį vardiklį nl.

Trupmena A žymi tašką skaičių tiesėje, kuris yra taško 1

𝑛𝑙 ml-kartotinis taškas, o trupmena B žymi

tašką skaičių tiesėje, kuris yra to paties taško 1

𝑛𝑙 kn-kartotinis taškas. Kadangi pagal prielaidą turime

A = B, tai ml=kn.

8

Dabar tarkime, kad ml=kn. Tada 𝑚𝑙

𝑛𝑙 = 𝑘𝑛

𝑙𝑛 . Remiantis 1 teorema, 𝑚𝑙

𝑛𝑙 = 𝑚

𝑛 ir 𝑘𝑛

𝑙𝑛 = 𝑘

𝑙 . Todėl 𝑚

𝑛 = 𝑘

𝑙 , ką ir

reikėjo įrodyti. ∎

Teiginį ml = nk apie trupmenas 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 pažymėkime raide R. 2 teorema teigia, kad teiginiai S ir R yra

ekvivalentūs, t.y. S ⟺ R. Tokiu atveju matematikoje sakome, kad teiginys R yra būtina ir

pakankama sąlyga teiginiui S.

Pratimai:

o Kokioms trupmenoms 𝑚

𝑛 teisinga lygybė 𝑚

𝑛 = 𝑚+1

𝑛+1 ?

o Kokioms trupmenoms 𝑚

𝑛 ir 𝑎

𝑏 teisinga lygybė 𝑚

𝑛 = 𝑚+𝑎

𝑛+𝑏 ?

o Tarkime, kad a, b, c ir d yra natūralieji skaičiai, b ≠ 0 ir d ≠ 0. Įrodyti, kad teiginiai

T = [ 𝑎

𝑏 = 𝑐

𝑑 ] , S = [ 𝑎

𝑎+𝑏 = 𝑐

𝑐+𝑑 ] ir R = [ 𝑎+𝑏

𝑏 = 𝑐+𝑑

𝑑 ] yra ekvivalentūs.

o Sakysime, kad natūralusis skaičius n yra poroje su natūraliuoju skaičiumi m, jei 𝑛

𝑚 = 13

17 .

Su kokiu m poroje yra skaičius n = 39?

o Tarkime, kad a, b, c, d ir e yra natūralieji skaičiai, b ≠ 0, c ≠ 0 ir e ≠ 0. Ar teisinga

implikacija [ 𝑎

𝑏𝑐 = 𝑑

𝑒 ] ⟹ [ 𝑎

𝑐 = 𝑏𝑑

𝑒 ] ? Atsakymą pagrįsti.

Kitos trupmenos sampratos

Šioje dalyje susiesime dviejų natūraliųjų skaičių m ir n dalmenį m:n su trupmena 𝑚

𝑛 . Natūraliųjų

skaičių aibėje dalmuo yra apibrėžiamas tiems m ir n, kuriems m = cn su kuriuo nors natūraliuoju c.

Tokiu atveju sakoma, kad n dalo m ir c yra dalmuo, žymimas m:n, gautas dalinant m iš n. Kadangi

m=cn=n+...+n (c narių suma), dalmuo c turi tokią interpretaciją:

m:n yra skaičius grupių, kurias gauname m objektų paskirstę (dalindami) į lygias

grupes po n objektų kiekvienoje grupėje.

Taip pat, kadangi m=cn=c+....+c (n narių suma), dalmuo c turi kitą interpretaciją:

m:n yra objektų skaičius grupėse, kai m objektų yra paskirstomi (dalinami) į n lygias

grupes.

Toliau atsisakysime prielaidos, kad n dalo m.

Apibrėžtis. Tegul m ir n yra natūralieji skaičiai ir n ≠ 0. Skaičių m ir n dalmuo (angl. quotient),

žymimas m:n, yra dešinysis galas arčiausiai nulio esančios atkarpos, kurią gauname m ilgio atkarpą

[0,m] dalindami į n vienodo ilgio atkarpų.

Pagal šį apibrėžimą, dalmuo yra skaičius, nes tai yra taškas skaičių tiesėje. Bet neaišku ar dalmuo

yra racionalusis skaičius, nes toks skaičius gaunamas dalinant vienetinio ilgio intervalą [0,1].

Tačiau teisinga kita teorema.

3 teorema. Tegul m ir n yra natūralieji skaičiai ir n ≠ 0. Tada jų dalmuo m:n yra racionalusis

skaičius išreiškiamas trupmena 𝑚

𝑛 .

9

Įrodymas. Trupmena 𝑚

𝑛 išreiškiamas racionalusis taškas yra m-kartotinis taško, gaunamo dalinant

atkarpą [0,1] į n lygių dalių ir sutampančio su pirmuoju dalinimo tašku esančiu į dešinę nuo nulio.

Dėl vaizdumo, pirma nagrinėsime atskirą atvejį, kai m = 2 ir n =3. Parodysime, kad 2

3 yra dešinysis

galas arčiausiai nulio esančios atkarpos, kurią gauname atkarpą [0,2] dalindami į 3 vienodo ilgio

atkarpas.

Nesunku atkarpą [0,2] padalinti į dvi lygias dalis. Neaišku, kaip šią atkarpą padalinti į tris lygias

dalis. Tam panaudosime 1 teoremą, pagal kurią 2 = 3•2

3 , t.y. 2 yra taško 1

3 6-kartotinis taškas arba

dešinysis galas atkarpos, gaunamos jungiant šešias 1

3 ilgio atkarpas.

[——|——][——|——][——|——]————————

0 1

3 2

3 3

3 4

3 5

3 6

3 = 2

Turime atkarpą [0,2], padalintą į šešias kongruenčias atkarpas. Jas nuosekliai jungdami į grupes po

2 atkarpas, gauname tris kongruenčias atkarpas kurios dalo atkarpą [0,2]. Pirmosios šios grupės

atkarpos dešinysis galas yra taško 1

3 2-kartotinis, taigi, racionalusis skaičius, išreiškiamas trupmena

2

3. Pastebėkime, kad šis samprotavimas, jungimas po du objektus, yra dalyba 6:3. Bendru atveju

samprotavimai yra tie patys. ∎

Iki šiol viskas buvo daroma laikantis samprotavimų loginio tikslumo. Palyginimui pacituosiu

mokykliniame vadovėlyje naudojamus samprotavimus apibrėžiant trupmenas.

Ištrauka iš mokyklinio vadovėlio. Į skrituliuko gimtadienį atėjo du draugai, o teta buvo iškepusi

tik dvi nedideles picas. [Čia turėtų būti atitinkamas paveiksliukas] Kaip 2 picas padalinti 3

draugams? Kiekvieną picą galima padalinti į tris lygias dalis ir duoti po trečdalį kiekvienam vaikui.

Kadangi yra 2 picos, tai kiekvienas vaikas gaus po 2

3 picos.

Trupmeną 2

3 gavome 2 dalindami iš 3, vadinasi, 2:3 = 2

3 . Apibendrinant, trupmenas gauname

dalydami vieną arba kelis vienetus į lygias dalis. Todėl sakoma, kad trupmena yra dalmuo, gautas

vieną skaičių dalijant iš kito. [Ištraukos pabaiga]

Pagrindinė problema cituotame samprotavime yra tai, kad vadovėlyje dalmuo apibrėžiamas tik toms

natūraliųjų skaičių poroms, kurių vienas dalo kitą. Tai reiškia, kad nauja sąvoka [trupmena]

apibrėžiama naudojant kitą neapibrėžtą sąvoka [skaičių dalmuo bendru atveju].

Racionaliųjų skaičių suma

Racionaliojo skaičiaus ir trupmenos skyrimas yra svarbus kalbant apie aritmetikos operacijas.

Matematikoje aritmetikos operacijos su skaičiais yra funkcijos. Tai reiškia, kad skaičių porai turi

būti priskiriamas vienintelis skaičius. Ši savybė nėra išpildoma, kai aritmetikos operacijos

atliekamos su trupmenomis.

Racionaliojo skaičiaus ir trupmenos apibrėžtis yra paprasčiausioji dalis. Įdomiausia yra parodyti

kaip iš šios apibrėžties išvedamos visos jų savybės. Aritmetinės operacijos su racionaliaisiais

skaičiais apibrėžiamos taip, kad jos apibendrintų atitinkamas operacijas su natūraliaisiais skaičiais.

10

Aritmetinės operacijos su racionaliaisiais skaičiais apibrėžiamos ne ad hoc, bet apibendrinant

natūraliųjų skaičių atitinkamas aritmetines operacijas. Pavyzdžiui, skaičių 1 ir 2 suma 1+2 yra

dešiniuoju galu atkarpos [0,3] gaunamos apjungiant vienetinio ilgio atkarpą [0,1] su iš karto po jo

esančia dvigubai ilgesne atkarpa [1,3]:

|——————|————————————|——

0 1 3

Tokį natūraliųjų skaičių sumos apibrėžimą galima apibendrinti trupmenoms.

Apibrėžtis. Dviejų racionaliųjų skaičių 𝑚

𝑛 ir

𝑘

𝑙 suma, žymima 𝑚

𝑛+𝑘

𝑙, yra skaičių tiesės taškas

sutampantis su atkarpos [0,𝑚

𝑛 ] ir iš nulio į tašką 𝑚

𝑛 pastūmtos atkarpos [0,𝑘

𝑙] jungties dešiniuoju galu.

Apibrėžties iliustracija: suma 𝑚

𝑛+𝑘

𝑙 yra dviejų atkarpų jungties dešinysis galas

[——————][————————————]——

0 𝑚

𝑛 𝑚

𝑛+𝑘

𝑙

Toliau parodome, kad racionaliųjų skaičių suma yra racionalusis skaičius ir randame jo išraišką

trupmena. Dabartiniuose mūsų vadovėliuose šis faktas pateikiamas kaip taisyklė, be motyvacijos.

4 teorema. Skaičių tiesės taškas 𝑚

𝑛+𝑘

𝑙 yra racionalusis skaičius išreiškiamas trupmena 𝑚𝑙+𝑛𝑘

𝑛𝑙 .

Įrodymas. Trupmenos 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 yra ekvivalenčios trupmenoms, atitinkamai, 𝑙𝑚

𝑙𝑛 ir 𝑛𝑘

𝑛𝑙 . Racionalusis

skaičius 𝑙𝑚

𝑙𝑛 yra taško 1

𝑙𝑛 (lm)-tasis kartotinis taškas, o racionalusis skaičius 𝑛𝑘

𝑛𝑙 yra taško 1

𝑛𝑙 (nk)-tasis

kartotinis taškas. Pagal sumos apibrėžimą, pakanka rasti atkarpų [0,𝑙𝑚

𝑙𝑛] ir [𝑙𝑚

𝑙𝑛,𝑙𝑚

𝑙𝑛+ 𝑛𝑘

𝑛𝑙] jungties

dešinįjį galą. Abi atkarpos yra padalintos vienodo ilgio atkarpomis, kurios kongruenčios atkarpai

[0, 1

𝑙𝑛]. Suskaičiavę kartotinius taškus gauname, kad ieškomas dešinysis galas yra taško 1

𝑙𝑛 (ml+nk)-

kartotinis taškas. Todėl

𝑚

𝑛+𝑘

𝑙 = 𝑙𝑚

𝑙𝑛 + 𝑛𝑘

𝑛𝑙 = 𝑚𝑙+𝑛𝑘

𝑛𝑙 ,

ką ir reikėjo įrodyti. ∎

Racionaliesiems skaičiams, kaip ir natūraliesiems skaičiams, galioja sumos komutatyvumo ir

asociatyvumo savybės: jei A, B ir C yra racionalieji skaičiai, tai

A + B = B + A ir (A + B) + C = A + (B + C).

Įrodymas išplaukia iš sumos apibrėžties ir atkarpų jungimo tvarkos savybių.

Pratimai:

o Tarkime, kad A ir B yra racionalieji skaičiai. Įrodyti implikaciją [A + B = A] ⟹ B = 0.

11

o Tarkime, kad a, b, c ir d yra natūralieji skaičiai, b ≠ 0 ir d ≠ 0. Kokioms trupmenoms 𝑎

𝑏 ir 𝑐

𝑑

teisinga lygybė 𝑎

𝑏 + 𝑐

𝑑 = 𝑎+𝑐

𝑏+𝑑 ?

Racionaliųjų skaičių daugyba

Istoriškai natūraliųjų skaičių daugyba kaip aritmetinė operacija atsirado tik Descarteso (1596-1650)

dėka. Iki tol dviejų natūraliųjų skaičių sandauga buvo atitinkamo stačiakampio plotas. Toliau

formuluojama racionaliųjų skaičių sandaugos apibrėžtis yra istoriškai motyvuota, bet ne vienintelė

galima.

Jei a ir b yra racionalieji skaičiai ir p yra geometrinė plokštuma su koordinačių sistema, tai

stačiakampis su kraštinėmis a ir b yra plokštumos p geometrinė vieta taškų (x,y), kur x ϵ [0,a] ir y ϵ

[0,b]. Be to, atkarpos [0,a] ilgiu yra skaičius išreiškiamas šios atkarpos dešiniojo galo tašku a.

Apibrėžtis. Dviejų racionaliųjų skaičių 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 sandauga, žymima , yra plotas stačiakampio, kurio

kraštinės yra 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 .

Stačiakampio ploto skaičiavimui pakanka šių pagrindinių faktų apie plokštumos figūros plotą:

a. plokštumos figūros plotas yra skaičius;

b. vienetinio kvadrato plotas yra skaičius 1;

c. jei dvi plokštumos figūros yra kongruenčios, tai jų plotai yra lygūs;

d. jei dvi plokštumos figūros nesikerta arba turi bendrą tik sieną, tai šių figūrų jungties plotas

lygus jų plotų sumai.

Svarbiausia skaičiuojant plotą yra tai, kad tapatinamos dvi skaičių tiesės: vienos jų vienetas yra

vienetinės atkarpos ilgis, o kitos tiesės vienetas yra plotas vienetinio kvadrato, kurio kraštinė yra

pirmosios tiesės vienetinė atkarpa. Jei pavyksta parodyti, kad vienetinis kvadratas padengiamas n

kongruenčių stačiakampių, tai vieno tokio stačiakampio plotas yra 1

𝑛 .

Pavyzdys: 1

2 × 1

2 = {𝑝𝑙𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑡𝑎𝑚𝑠𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑘𝑣𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑜 𝑠𝑢 𝑘𝑟𝑎š𝑡𝑖𝑛ė𝑚𝑖𝑠 1

2} = 1

4 .

5 teorema. Skaičių tiesės taškas yra racionalusis skaičius išreiškiamas trupmena 𝑚𝑘

𝑛𝑙 .

Įrodymas. Stačiakampis, kurio kraštinės yra 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 , padengiamas mk kongruenčių stačiakampių

kurių kraštinės yra 1

𝑛 ir 1

𝑙 . Pastarojo stačiakampio plotas yra 1

𝑛𝑙, nes nl tokių kongruenčių

stačiakampių padengia vienetinį kvadratą. Remdamiesi d gauname, kad ieškomo stačiakampio

plotas yra 𝑚𝑘

𝑛𝑙 , ką ir reikėjo įrodyti. ∎

Racionaliųjų skaičių sandaugą galima apibrėžti neišeinant už skaičių tiesės ribų parodant, kad

naujas apibrėžimas ekvivalentus ankstesniam.

12

Apibrėžtis. Dviejų racionaliųjų skaičių 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 ,,alternatyvi sandauga“ yra ilgis atkarpos gautos

apjungus m kongruenčių atkarpų, gautų dalinant atkarpą [0, 𝑘

𝑙 ] į n vienodo ilgio atkarpas.

Visos racionaliųjų skaičių sumos ir sandaugos savybės įrodomos, o tuo pačiu ir paaiškinamos,

naudojantis apibrėžtimis. Panašiu būdu galima apibrėžti ir kitas aritmetines operacijas su

racionaliaisiais skaičiais.

Racionaliųjų skaičių atimtis ir dalyba

Apibrėžtis. Racionalusis skaičius A yra didesnis už racionalųjį skaičių B, rašoma A > B, jei

skaičių tiesėje taškas A yra dešinėje nuo taško B. A ≥ B, jei A > B arba A = B.

Apibrėžtis. Tegul A ir B yra racionalieji skaičiai ir A ≥ B. A ir B skirtumas, žymimas A-B, yra toks

racionalusis skaičius C, kad A = C + B.

Tegul A = 𝑚

𝑛 ir B = 𝑘

𝑙 yra racionaliųjų skaičių išraiškos trupmenomis. Geometrinė skirtumo

apibrėžties interpretacija yra tokia:

𝑚

𝑛 - 𝑘

𝑙 = {ilgis atkarpos, kuri lieka iš 𝑚

𝑛 ilgio atkarpos išmetus 𝑘

𝑙 ilgio atkarpą}

-------------- 𝑚

𝑛 -------------------

[―――――――][――――]

𝑚

𝑛 - 𝑘

𝑙 ---- 𝑘

𝑙 -------

6 teorema. Tegul A = 𝑚

𝑛 ir B = 𝑘

𝑙 . Tada 𝑚

𝑛 - 𝑘

𝑙 = 𝑚𝑙−𝑘𝑛

𝑛𝑙 .

Įrodymas. Tegul C := 𝑚𝑙−𝑘𝑛

𝑛𝑙 . Tada

C + B = 𝑚𝑙−𝑘𝑛

𝑛𝑙 + 𝑘

𝑙 = 𝑚𝑙−𝑘𝑛

𝑛𝑙 + 𝑘𝑛

𝑙𝑛 = 𝑚𝑙−𝑘𝑛+𝑘𝑛

𝑛𝑙 = 𝑚𝑙

𝑛𝑙 = 𝑚

𝑛 = A,

ką ir reikėjo įrodyti. ∎

Racionaliųjų skaičių dalybą apibrėšime panašiai kaip atimtį ir parodysime, kad nauja sąvoka

ekvivalenti su anksčiau apibrėžtu dalmeniu natūraliesiems skaičiams.

Apibrėžtis. Tarkime, kad A ir B yra racionalieji skaičiai ir B ≠ 0. A dalmuo iš B, žymimas 𝐴

𝐵 arba

A:B, yra toks racionalusis skaičius C, kad A = C×B.

Natūralieji skaičiai yra racionaliaisiais skaičiais, todėl ši apibrėžtis negali prieštarauti anksčiau

suformuluotam natūraliųjų skaičių dalmens apibrėžimui. Pagal 3 teoremą, natūraliųjų skaičių m ir n

dalmuo m:n yra racionalusis skaičius išreiškiamas trupmena 𝑚

𝑛 . Tegul A = m ir B = k. Pakanka

įsitikinti, kad m = 𝑚

𝑘 × k. Iš tikro, naudodami 5 ir 1 teoremas, gauname

𝑚

𝑘 × k = 𝑚

𝑘 × 𝑘

1 = 𝑚𝑘

𝑘 = m,

ką ir reikėjo parodyti. Tą patį samprotavimą naudosime įrodydami kitą teiginį.

13

7 teorema. Tarkime, kad racionalieji skaičiai A ir B išreiškiami trupmenomis 𝑚

𝑛 ir 𝑘

𝑙 ,atitinkamai, ir

k ≠ 0. Tada dalmuo A:B išreiškiamas trupmena 𝑚𝑙

𝑛𝑘 , t.y. teisinga lygybė

𝑚

𝑛 : 𝑘

𝑙 = 𝑚𝑙

𝑛𝑘 .

Įrodymas. Tegul C:= 𝑚

𝑛 × 𝑙

𝑘 = 𝑚𝑙

𝑛𝑘 . Tada C×B = 𝑚𝑙

𝑛𝑘 × 𝑘

𝑙 = 𝑚𝑙𝑘

𝑛𝑘𝑙 = 𝑚

𝑛 = A, ką ir reikėjo įrodyti. ∎

Cituojama literatūra

[GRJ] Gary R. Jensen. Arithmetic for teachers. American Mathematical Society, 2003.

[VK] Virginia Klenk. Kas yra simbolinė logika. Vilniaus universiteto leidykla, 2011.

[Wu, 2011] H.-H. Wu. Understanding Numbers in Elementary School Mathematics. American

Mathematical Society, 2011.

[Wu, 2010] H.-H. Wu. Pre-Algebra (Draft). Knygos [Wu, 2011] pradinis variantas. http://math.berkeley.edu/~wu/Pre-Algebra.pdf