—ΣΔΕi,ΤμήμαΒ— Φύλλο9ο Επιμέλεια:Π.Καλαμβόκας,a...

— ΣΔΕ I, Τμήμα Β — Φύλλο 9ο Επιμέλεια: Π. Καλαμβόκας, A. Τόγκας

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις ΙΓραμμικά Συστήματα ΣΔΕ

Δισδιάστατα Γραμμικά Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων

Ένα δισδιάστο γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων (σ.σ.δ.ε.) έχειτη μορφή

𝑥′1 = 𝑓11(𝑡) 𝑥1 + 𝑓12(𝑡) 𝑥2 + 𝑔1(𝑡)𝑥′2 = 𝑓21(𝑡) 𝑥1 + 𝑓22(𝑡) 𝑥2 + 𝑔2(𝑡)

όπου 𝑓𝑖𝑗(𝑡), 𝑔𝑖(𝑡), 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 2 είναι συνεχείς συναρτήσεις σε κάποιο διάστημα 𝐼των πραγματικών αριθμών. Ισοδύναμα, το σύστημα μπορεί να γραφεί σε μορφήπινάκων ως

(𝑥1𝑥2)

′= (

𝑓11(𝑡) 𝑓12(𝑡)𝑓21(𝑡) 𝑓22(𝑡)) (

𝑥1𝑥2)

+ (𝑔1(𝑡)𝑔2(𝑡))

ή

x′ = A(𝑡) x + g(𝑡). (A.1)Το διάνυσμα g(𝑡) καλείται όρος μη ομογένειας του συστήματος. Όταν g ≡ 0, τοσύστημα (A.1) καλείται ομογενές.

Η θεωρία των γραμμικών σσδε, έχει αρκετές ομοιότητες με αυτή των γραμμι-κών σ.δ.ε. δεύτερης τάξης. Λόγω της γραμμικότητας, ισχύει η αρχή της υπέρθε-σης:

Αν

x(1)(𝑡) = (𝑥11(𝑡)𝑥21(𝑡))

, x(2)(𝑡) = (𝑥12(𝑡)𝑥22(𝑡))

είναι δυο λύσεις του ομογενούς συστήματος

x′ = A(𝑡) x (A.2)τότε και κάθε γραμμικός συνδυασμός των x(1)(𝑡), x(2)(𝑡),

x(𝑡) = 𝑐1 x(1)(𝑡) + 𝑐2 x(2)(𝑡), 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ, (A.3)αποτελεί λύση του συστήματος (A.2).Μάλιστα, αν x(1)(𝑡), x(2)(𝑡) είναι δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του ομογενούςσυστήματος (A.2), τότε η σχέση (A.3) αποτελεί τη γενική λύση του συστήματος(A.2).Το σύνολο {x(1)(𝑡), x(2)(𝑡)} δυο γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων του συστήματος(A.2) καλείται θεμελιώδες σύνολο λύσεων, και ο πίνακας που έχει ως στήλες ταδιανύσματα x(1)(𝑡), x(2)(𝑡),

ΨΨΨ(𝑡) = (𝑥11(𝑡) 𝑥12(𝑡)𝑥21(𝑡) 𝑥22(𝑡))

, (A.4)

λέγεται θεμελιώδης πίνακας του συστήματος (A.2).

91


Με τη βοήθεια του θεμελιώδους πίνακα, η γενική λύση του συστήματος (A.2)μπορεί να γραφεί στη μορφή

x(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) c, (A.5)

όπου c = (𝑐1𝑐2)

.

Η ορίζουσα ενός πίνακαM(𝑡) με στήλες δυο οποιεσδήποτε λύσεις του συστήμα-τος (A.2) καλείται ορίζουσα Wronski, συμβολίζεται με 𝑊 (𝑡) και ικανοποιεί τηνταυτότητα του Abel για πίνακες. Πιο συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι η 𝑊 (𝑡)ικανοποιεί την σδε

𝑑𝑊𝑑𝑡 = tr(A(𝑡)) 𝑊 (A.6)

η οποία ολοκληρώνεται εύκολα (χωριζομένων μεταβλητών) και δίνει

𝑊 (𝑡) = 𝑐 exp(∫ tr(A(𝑡)) 𝑑𝑡), 𝑐 ∈ ℝ (A.7)

από όπου συνεπάγεται ότι για οποιεσδήποτε λύσεις του σσδε ισχύει ότι 𝑊 ≡ 0, ή𝑊 (𝑡) ≠ 0, για κάθε 𝑡 ∈ 𝐼 ,

Μέρος 1ο: Ομογενή Γραμμικά Σ.Σ.Δ.Ε. με Σταθερούς Συντελεστές

Ένα τέτοιο σύστημα, έχει τη μορφή

x′ = A x (B.1)

όπου

A = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑)

με 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ.Η συνηθέστερη μέθοδος επίλυσης αυτών των συστημάτων, είναι η λεγόμενη

μέθοδος των χαρακτηριστικών μεγεθών, η οποία στηρίζεται στην εύρεση τωνιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα A. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο

Όπως και στις ομογενείς γραμμικέςσ.δ.ε. δεύτερης τάξης με σταθερούςσυντελεστές, υποθέτουμε ότι το σύστημα(B.1) δέχεται λύσεις της μορφής

x(𝑡) = 𝜉𝜉𝜉 𝑒𝜆 𝑡, 𝜆 ∈ ℂ.

Εισαγάγοντας στο σσδε, διαπιστώνουμεότι ο αριθμός 𝜆 πρέπει να είναι ιδιοτιμήτου πίνακα A, με αντίστοιχο ιδιοδιάνυ-σμα 𝜉𝜉𝜉.

του πίνακα A,det(A−𝜆 Id) = 𝜆2 − tr(A) 𝜆 + det(A),

είναι δευτέρου βαθμού και άρα η εξίσωση det(A−𝜆 Id) = 0 έχει δυο λύσεις,συνυπολογίζοντας την πολλαπλότητα των ριζών.

• Όταν έχει δυο πραγματικές λύσεις, 𝜆+ ≠ 𝜆−, τότε θα έχει ακριβώς δυο γραμ-μικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, 𝜉𝜉𝜉+, 𝜉𝜉𝜉− αντίστοιχα, και το θεμελιώδες σύ-νολο λύσεων του συστήματος (B.1) θα είναι το

{𝜉𝜉𝜉+ 𝑒𝜆+ 𝑡, 𝜉𝜉𝜉− 𝑒𝜆− 𝑡}. (B.2)

92


• Όταν έχει δυο συζυγείς μιγαδικές λύσεις, 𝜆1 = 𝑟+𝑖 𝑘, 𝜆2 = 𝜆1, τότε θα έχει δυοσυζυγή μιγαδικά ιδιοδιανύσματα, έστω 𝜉𝜉𝜉1 = 𝛼𝛼𝛼 + 𝑖𝛽𝛽𝛽, 𝜉𝜉𝜉2 = 𝜉𝜉𝜉1 αντίστοιχα, καιμπορούμε να επιλέξουμε για το θεμελιώδες σύνολο λύσεων, τα διανύσματαRe(𝜉𝜉𝜉1 𝑒𝜆1 𝑡), Im(𝜉𝜉𝜉1 𝑒𝜆1 𝑡), δηλαδή, το θεμελιώδες σύνολο λύσεων του συστήμα-τος (B.1) θα είναι το

{𝛼𝛼𝛼 𝑒𝑟 𝑡 cos(𝑘 𝑡) − 𝛽𝛽𝛽 𝑒𝑟 𝑡 sin(𝑘 𝑡), 𝛼𝛼𝛼 𝑒𝑟 𝑡 sin(𝑘 𝑡) + 𝛽𝛽𝛽 𝑒𝑟 𝑡 cos(𝑘 𝑡)}. (B.3)

• Τέλος, όταν υπάρχει μόνο μια (πραγματική) λύση 𝜆 με πολλαπλότητα 2, ενδέ-χεται σε αυτή να αντιστοιχούν δυο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα 𝜉𝜉𝜉1και 𝜉𝜉𝜉2. Σε αυτή την περίπτωση, το θεμελιώδες σύνολο λύσεων του συστήμα-τος (B.1) είναι το

Για παράδειγμα όταν ο πίνακας 𝐴 είναισυμμετρικός.

{𝜉𝜉𝜉1 𝑒𝜆 𝑡, 𝜉𝜉𝜉2 𝑒𝜆 𝑡}. (B.4)Στη περίπτωση όμως που στην ιδιοτιμή 𝜆 αντιστοιχεί μόνο ένα ιδιοδιάνυσμα𝜉𝜉𝜉, τότε το θεμελιώδες σύνολο λύσεων του συστήματος (B.1) είναι το

{𝜉𝜉𝜉 𝑒𝜆 𝑡, 𝜉𝜉𝜉 𝑡 𝑒𝜆 𝑡 + 𝜂𝜂𝜂 𝑒𝜆 𝑡}, (B.5)

όπου, το διάνυσμα 𝜂𝜂𝜂 προσδιορίζεται από την λύση του γραμμικού συστήμα-τος

(A−𝜆 Id)𝜂𝜂𝜂 = 𝜉𝜉𝜉 ,και καλείται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A

Μια άλλη μέθοδος επίλυσης του συστήματος (B.1), είναι αυτή της διαγωνιο-ποίησης, η οποία στηρίζεται στη διαγωνιοποίηση του πίνακα A των συντελε-στών. Με την μέθόδο αυτή μπορούμε να αποσυμπλέξουμε τις μεταβλητές στο σύ-στημα των σδε, έτσι ώστε να καταλήξουμε σε δυο σ.δ.ε., μια για κάθε μεταβλητήξεχωριστά.Υποθέτοντας, λοιπόν, ότι ο πίνακας A διαγωνιοποιείται, δηλαδή υπάρχουν δυογραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα 𝜉𝜉𝜉1, 𝜉𝜉𝜉2 με αντίστοιχες ιδιοτιμές 𝜆1, 𝜆2,θέτουμε

Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοστείπάντα, αν ο πίνακας A έχει δυο διαφορε-τικές (πραγματικές) ιδιοτιμές.

x(𝑡) = T y(𝑡) (B.6)

όπου T είναι ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα 𝜉𝜉𝜉1, 𝜉𝜉𝜉2 και y(𝑡) = (𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡))

. Τότε

το σ.σ.δ.ε. (B.1) μετασχηματίζεται στο σύστημα

T y′ = A T y.

Επειδή οι στήλες του πίνακα T είναι γραμμικά ανεξάρτητες, είναι det(T) ≠ 0, πουσημαίνει ότι ο T αντιστρέφεται. Άρα, παίρνουμε

y′ = T−1 A T y = D y

όπου

D = (𝜆1 00 𝜆2)

,

93


λόγω της διαγωνιοποίησης του A. Έτσι, λοιπόν, έχουμε καταλήξει στο σ.σ.δ.ε.

𝑦′1 = 𝜆1 𝑦1𝑦′2 = 𝜆2 𝑦2

το οποίο αποτελείται από δυο ξεχωριστές σ.δ.ε., μια για τη συνάρτηση 𝑦1(𝑡) καιμια για τη συνάρτηση 𝑦2(𝑡). Η λύση αυτών των εξισώσεων είναι

𝑦1(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝜆1 𝑡, 𝑦2(𝑡) = 𝑐2 𝑒𝜆2 𝑡.

Συνεπώς, μέσω της σχέσης (B.6), η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. (B.1) είναι

x(𝑡) = T(𝑐1 𝑒𝜆1 𝑡𝑐2 𝑒𝜆2 𝑡)

, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ. (B.7)Αν εκτελέσουμε τον πολλαπλασιαμό τωνπινάκων, διαπιστώνουμε ότι η μορφή(B.7) της γενικής λύσης ταυτίζεται μετην λύση του σσδε χρησιμοποιώντας τηνμέθοδο των χαρακτηριστκών μεγεθών.

Μέρος 2ο: Μη Ομογενή Γραμμικά Σ.Σ.Δ.Ε.

Έστω το γραμμικό, μη ομογενές σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων

x′ = A(𝑡) x + g(𝑡), (C.1)

όπου ο πίνακας των συντελεστών A(𝑡) και ο όρος μη ομογένειας g(𝑡) αποτελού-νται από συνεχείς συναρτήσεις σε ένα διάστημα 𝐼 ⊆ ℝ. Οι βασικότερες μέθοδοιεπίλυσης συστημάτων της μορφής (C.1), είναι οι εξής:

• Η Μέθοδος της Μεταβολής των Παραμέτρων (Lagrange)

Θεώρημα 1. Αν ΨΨΨ(𝑡) είναι ο θεμελιώδης πίνακας του αντίστοιχου ομογενούςσυστήματος

x′ = A(𝑡) x, (C.2)

τότε το διάνυσμα

x𝜀(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) ∫ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) 𝑑𝑡 (C.3)

αποτελεί (ειδική) λύση του συστήματος (C.1). Επιπλέον, η γενική λύση του(C.1) δίνεται από τη σχέση

x(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) c + ΨΨΨ(𝑡) ∫ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) 𝑑𝑡 (C.4)

με c = (𝑐1𝑐2)

∈ 𝑀2×1(ℝ).

Η παραπάνω μέθοδος είναι γενική και μπορεί να εφαρμοσθεί αν γνωρίζουμετον θεμελιώδη πίνακα του αντίστοιχου ομογενούς συσστήματος.

94


• Διαγωνιοποίηση

Η μέθοδος αυτή μπορεί να εφαρμοσθεί μόνο όταν τα στοιχεία του πίνακα Aείναι σταθεροί πραγματικοί αριθμοί, κι επιπλέον ο A διαγωνιοποιείται. ΈστωT ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του A. Εισάγοντας νέα εξαρτημένημεταβλητή y(𝑡) μέσω της σχέσης

x(𝑡) = T y(𝑡) (C.5)

και αντικαθιστώντας στο σύστημα (C.1), παίρνουμε

T y′ = A T y + g(𝑡).

Πολλαπλασιάζοντας, τώρα, με τον αντίστροφο πίνακα του T, καταλήγουμεστο νέο σύστημα (για τη y(𝑡)),

y′ = T−1 A T y + T−1 g = D y + T−1 g (C.6)

όπου D είναι ο διαγώνιος πίνακας που αποτελείται από τις ιδιοτιμές του A,έστω 𝜆1, 𝜆2. Το σύστημα (C.6) αποτελείται από δυο ξεχωριστές γραμμικές

Οι ιδιοτιμές ως διαγώνεια στοιχείατου πίνακα D είναι κατανεμημένες μετην ίδια σειρά που εμφανίζονται τααντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους ωςστείλες του πίνακα T.

σ.δ.ε. πρώτης τάξης για τις συναρτήσεις 𝑦1(𝑡) και 𝑦2(𝑡):

𝑦′1 = 𝜆1 𝑦1 + ̃𝑔1(𝑡)𝑦′2 = 𝜆2 𝑦2 + ̃𝑔2(𝑡)

όπου οι συναρτήσεις ̃𝑔1(𝑡), ̃𝑔2(𝑡) είναι γραμμικοί συνδιασμοί των συναρτή-σεων 𝑔1(𝑡), 𝑔2(𝑡). Λύνοντας, λοιπόν, τις δυο αυτές σ.δ.ε. για τις συναρτήσεις𝑦1(𝑡), 𝑦2(𝑡) και στη συνέχεια αντικαθιστώντας στη σχέση (C.5), βρίσκουμε τηγενική λύση του συστήματος (C.1).

• Η Μέθοδος Προσδιορισμού των Συντελεστών

Η μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών για συστήματα σ.δ.ε. της μορ-φής (C.1) μπορεί να εφαρμοσθεί μόνο όταν τα στοιχεία του πίνακα A είναισταθεροί πραγματικοί αριθμοί, και είναι παρόμοια με την αντίστοιχη μέθοδογια γραμμικές μη ομογενείς σ.δ.ε. δεύτερης τάξης με σταθερούς συντελεστές.

Μια βασική διαφορά εμφανίζεται στην περίπτωση που κάποιος όρος μη ομο-γένειας (δηλαδή μια από τις συναρτήσεις της g(𝑡)) είναι της μορφής w 𝑒𝜆 𝑡,όπου 𝜆 είναι μια απλή (πραγματική) ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμουτου πίνακα A. Τότε, αντί να θεωρήσουμε ότι η ειδική λύση είναι της μορφής𝑡𝛼𝛼𝛼 𝑒𝜆 𝑡 και να προσδιορίσουμε το διάνυσμα 𝛼𝛼𝛼, είναι απαραίτητο να κάνουμετην υπόθεση εργασίας ότι η ειδική λύση είναι της μορφής 𝑡𝛼𝛼𝛼 𝑒𝜆 𝑡 + 𝛽𝛽𝛽 𝑒𝜆 𝑡 και ναπροσδιορίσουμε τα διανύσματα 𝛼𝛼𝛼 και 𝛽𝛽𝛽.

95


Άσκηση 1. Να βρεθεί ο θεμελιώδης πίνακας του συστήματος

x′ = (−1 −4

1 −1) x

και να βρεθεί η λύση του πατ, με 𝑥1(0) = 1, 𝑥2(0) = 1.

Λύση. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα

A = (−1 −4

1 −1)

είναι

det(A−𝜆 Id) = |−1 − 𝜆 −4

1 −1 − 𝜆| = (𝜆 + 1)2 + 4 = (𝜆 + 1 + 𝑖 2)(𝜆 + 1 − 𝑖 2).

Άρα, οι ιδιοτιμές του A είναι οι συζυγείς μιγαδικοί 𝜆± = −1 ± 𝑖 2. Έχουμε, λοιπόν,

(−1 − (−1 + 𝑖 2) −4

1 −1 − (−1 + 𝑖 2)) (𝑢𝑣) = (

00) ⇒ (

−𝑖 2 −41 −𝑖 2) (

𝑢𝑣) = (

00)

οπότε

−𝑖 2 𝑢 − 4 𝑣 = 0 (1.1)𝑢 − 𝑖 2 𝑣 = 0 (1.2)

Παρατηρούμε ότι οι εξισώσεις (1.1) και (1.2) είναι ισοδύναμες, και από την (1.2),είναι 𝑢 = 𝑖 2 𝑣. Άρα

𝑢 − 𝑖 2 𝑣 = 0 ⇒ −𝑖 2 𝑢 + 𝑖2 4 𝑣 = 0⇒ −𝑖 2 𝑢 − 4 𝑣 = 0.

(𝑢𝑣) = (

𝑖 2 𝑣𝑣 ) = 𝑣 (

𝑖 21 ) .

Συνεπώς, ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα για την ιδιοτιμή 𝜆+ = −1 + 𝑖 2είναι το

𝜉𝜉𝜉 = (𝑖 21 ) = (

01) + 𝑖 (

20) = 𝛼𝛼𝛼 + 𝑖𝛽𝛽𝛽.

Επομένως, δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του συστήματος είναι οι

x(1)(𝑡) = (01) 𝑒

−𝑡 cos(2 𝑡) − (20) 𝑒

−𝑡 sin(2 𝑡) = (−2 sin(2 𝑡)

cos(2 𝑡)) 𝑒−𝑡

και

x(2)(𝑡) = (01) 𝑒

−𝑡 sin(2 𝑡) + (20) 𝑒

−𝑡 cos(2 𝑡) = (2 cos(2 𝑡)sin(2 𝑡)) 𝑒

−𝑡

που σημαίνει ότι ο θεμελιώδης πίνακας του σ.σ.δ.ε. είναι ο

ΨΨΨ(𝑡) = (−2 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) 2 𝑒−𝑡 cos(2 𝑡)

𝑒−𝑡 cos(2 𝑡) 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) ) .

96


Η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. είναι

x(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) (𝑐1𝑐2)

. (1.3)

Οπότε, για 𝑡 = 0, συνεπάγεται

x(0) = ΨΨΨ(0) (𝑐1𝑐2)

⇒ (𝑥1(0)𝑥2(0))

= (0 21 0) (

𝑐1𝑐2)

⇒ (11) = (

0 21 0) (

𝑐1𝑐2)

.

Ο πίνακας

B = (0 21 0)

αντιστρέφεται, διότι

det(B) = |0 21 0| = |

−2 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) 2 𝑒−𝑡 cos(2 𝑡)𝑒−𝑡 cos(2 𝑡) 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) ||𝑡=0

= det(ΨΨΨ(0)) = 𝑊 (0) ≠ 0.

Επιπλέον det(B) = −2. Άρα,

B−1 = −12 (0 −2

−1 0 ) = (0 112 0)

και έτσι

(𝑐1𝑐2)

= B−1 (11) = (

0 112 0) (

11) = (

112 )

.

Συνεπώς,

ΨΨΨ(𝑡) (𝑐1𝑐2)

= (−2 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) 2 𝑒−𝑡 cos(2 𝑡)

𝑒−𝑡 cos(2 𝑡) 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) ) (112 )

=(

−2 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) + 𝑒−𝑡 cos(2 𝑡)𝑒−𝑡 cos(2 𝑡) + 12 𝑒

−𝑡 sin(2 𝑡) )

που σημαίνει ότι η λύση του π.α.τ. είναι

x(𝑡) = (𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡))

=(

−2 𝑒−𝑡 sin(2 𝑡) + 𝑒−𝑡 cos(2 𝑡)𝑒−𝑡 cos(2 𝑡) + 12 𝑒

−𝑡 sin(2 𝑡) ).

97


Άσκηση 2. Να βρεθεί η γενική λύση του σ.σ.δ.ε.

x′ = (1 14 −2) x + (

𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡)

i) με τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων.

ii) με τη μέθοδο προσδιορισμού των συντελεστών.

iii) με διαγωνιοποίηση.

Λύση. Και για τους τρεις τρόπους θα χρειαστούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύ-σματα του πίνακα των συντελεστών του συστήματος,

A = (1 14 −2) .

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα A είναι

det(A−𝜆 Id) = |1 − 𝜆 1

4 −2 − 𝜆| = (1−𝜆)(−2−𝜆)−4 = −2+𝜆+𝜆2 −4 = 𝜆2 +𝜆−6.

Οι ρίζες του πολυωνύμου αυτού είναι

𝜆± =−1 ± √1 + 24

2 =−1 ± 5

2

και άρα οι ιδιοτιμές του A είναι 𝜆+ = 42 = 2 και 𝜆− =−62 = −3.

Για την ιδιοτιμή 𝜆+ = 2 έχουμε:

(−1 1

4 −4) (𝑢1𝑢2)

= (00)

δηλαδή −𝑢1 + 𝑢2 = 0 ⇔ 𝑢1 = 𝑢2. Άρα,

(𝑢1𝑢2)

= (𝑢1𝑢1)

= 𝑢1 (11) ,

και ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα για τη 𝜆+ είναι το (11).

Για την ιδιοτιμή 𝜆− = −3 έχουμε:

(4 14 1) (

𝑢1𝑢2)

= (00) ⇒ 4 𝑢1 + 𝑢2 = 0 ⇒ 𝑢2 = −4 𝑢1.

Άρα,

(𝑢1𝑢2)

= (𝑢1

−4 𝑢1)= 𝑢1 (

1−4)

και ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα για τη 𝜆− είναι το (1

−4).

98


i) Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων:

Ο θεμελιώδης πίνακας του αντίστοιχου ομογενούς σ.σ.δ.ε.,

x′ = (1 14 −2) x,

είναι

ΨΨΨ(𝑡) = (𝑒2 𝑡 𝑒−3 𝑡𝑒2 𝑡 −4 𝑒−3 𝑡) .

Η ορίζουσά του ισούται με

𝑊 (𝑡) = det(ΨΨΨ(𝑡)) = −4 𝑒−𝑡 − 𝑒−𝑡 = −5 𝑒−𝑡

και άρα, ο αντίστροφος του ΨΨΨ(𝑡) είναι ο

ΨΨΨ(𝑡)−1 = − 15 𝑒−𝑡 (−4 𝑒−3 𝑡 −𝑒−3 𝑡

−𝑒2 𝑡 𝑒2 𝑡 ) =15 (

4 𝑒−2 𝑡 𝑒−2 𝑡𝑒3 𝑡 −𝑒3 𝑡) .

Ο όρος μη ομογένειας του σ.σ.δ.ε. είναι g(𝑡) = (𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡). Επομένως

ΨΨΨ(𝑡)−1g(𝑡) = 15 (4 𝑒−2 𝑡 𝑒−2 𝑡

𝑒3 𝑡 −𝑒3 𝑡) (𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡)

= 15 (4 𝑒−4 𝑡 − 2 𝑒−𝑡

𝑒𝑡 + 2 𝑒4 𝑡 ) .

και άρα

∫ΨΨΨ(𝑡)−1g(𝑡) 𝑑𝑡 = 15 (

∫(4 𝑒−4 𝑡 − 2 𝑒−𝑡) 𝑑𝑡∫(𝑒𝑡 + 2 𝑒4 𝑡) 𝑑𝑡 ) =

15 (

−𝑒−4 𝑡 + 2 𝑒−𝑡𝑒𝑡 + 12 𝑒

4 𝑡 )Οπότε μια ειδική λύση του συστήματος είναι

x�(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) ∫ΨΨΨ(𝑡)−1g(𝑡) 𝑑𝑡 = 15 (

𝑒2 𝑡 𝑒−3 𝑡𝑒2 𝑡 −4 𝑒−3 𝑡) (

−𝑒−4 𝑡 + 2 𝑒−𝑡𝑒𝑡 + 12 𝑒

4 𝑡 )

= 15 (

52 𝑒

𝑡

−5 𝑒−2 𝑡)=

(

12 𝑒

𝑡

−𝑒−2 𝑡).

Συνεπώς, η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. είναι η

x(𝑡) = 𝑐1 (11) 𝑒

2 𝑡 + 𝑐2 (1

−4) 𝑒−3 𝑡 +

(

12 𝑒

𝑡

−𝑒−2 𝑡), 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

ii) Μέθοδος προσδιορισμού των συντελεστών:

Ο όρος μη ομογένειας του σ.σ.δ.ε., g(𝑡), γράφεται

g(𝑡) = (𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡) = (

10) 𝑒

−2 𝑡 + (0

−2) 𝑒𝑡.

Αναζητούμε, λοιπόν, ειδική λύση της μορφής

x𝜀(𝑡) = (𝐴0𝐴1)

𝑒−2 𝑡 + (𝐵0𝐵1)

𝑒𝑡.

99


Τότε

x′𝜀(𝑡) = −2 (𝐴0𝐴1)

𝑒−2 𝑡 + (𝐵0𝐵1)

𝑒𝑡

και άρα, αντικαθιστώντας στο σύστημα, είναι

−2 (𝐴0𝐴1)

𝑒−2 𝑡+(𝐵0𝐵1)

𝑒𝑡 = (1 14 −2) (

𝐴0𝐴1)

𝑒−2 𝑡+(1 14 −2) (

𝐵0𝐵1)

𝑒𝑡+(𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡)

δηλαδή

−2 (𝐴0𝐴1)

𝑒−2 𝑡 + (𝐵0𝐵1)

𝑒𝑡 = (𝐴0 + 𝐴1

4 𝐴0 − 2 𝐴1)𝑒−2 𝑡 + (

𝐵0 + 𝐵14 𝐵0 − 2 𝐵1)

𝑒𝑡 + (𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡)

και άρα

−2 (𝐴0𝐴1)

𝑒−2 𝑡 + (𝐵0𝐵1)

𝑒𝑡 = (𝐴0 + 𝐴1 + 1

4 𝐴0 − 2 𝐴1 + 0)𝑒−2 𝑡 + (

𝐵0 + 𝐵1 + 04 𝐵0 − 2 𝐵1 − 2)

𝑒𝑡.

Πρέπει, λοιπόν,

−2 (𝐴0𝐴1)

= (𝐴0 + 𝐴1 + 1

4 𝐴0 − 2 𝐴1 + 0)και (

𝐵0𝐵1)

= (𝐵0 + 𝐵1 + 0

4 𝐵0 − 2 𝐵1 − 2)δηλαδή

−2 𝐴0 = 𝐴0 + 𝐴1 + 1−2 𝐴1 = 4 𝐴0 − 2 𝐴1,

από όπου συνεπάγεται ότι 𝐴0 = 0, 𝐴1 = −1, και𝐵0 = 𝐵0 + 𝐵1𝐵1 = 4 𝐵0 − 2 𝐵1 − 2,

που συνεπάγεται ότι 𝐵1 = 0 και 𝐵0 = 1/2. Συνεπώς, είναι

x𝜀(𝑡) = (0

−1) 𝑒−2 𝑡 +

(

120)

𝑒𝑡

και η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. είναι

x(𝑡) = 𝑐1 (11) 𝑒

2 𝑡 + 𝑐2 (1

−4) 𝑒−3 𝑡 + (

0−1) 𝑒

−2 𝑡 +(

120)

𝑒𝑡, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

iii) Διαγωνιοποίηση:

Παρατηρούμε ότι ο πίνακας των συντελεστών του σ.σ.δ.ε. διαγωνιοποιείται,διότι έχει δυο διαφορετικές πραγματικές ιδιοτιμές, τις −3, 2. Τα ιδιοδιανύ-

σματα που αντιστοιχούν σε αυτές είναι (1

−4) και (11). Εισάγουμε, λοιπόν,

τη νέα εξαρτημένη μεταβλητή y(𝑡) που ορίζεται μέσω της σχέσηςx(𝑡) = T y(𝑡)

με

T = (1 1

−4 1) .

100


Τότε, το σ.σ.δ.ε. γίνεται

T y′ = A T y + g ⇒ y′ = T−1 A T y + T−1 g ⇒ y′ = D y + T−1 g

όπου

D = (−3 0

0 2)και

T−1 = 1det(T) (

1 −14 1) =

15 (

1 −14 1) .

Επομένως, το σύστημα για τη συνάρτηση y(𝑡) είναι

(𝑦1𝑦2)

′= (

−3 00 2) (

𝑦1𝑦2)

+(

15 −

154

515 ) (

𝑒−2 𝑡−2 𝑒𝑡) = (

−3 𝑦1 00 2 𝑦2)

+(

15 𝑒

−2 𝑡 + 25 𝑒𝑡

45 𝑒

−2 𝑡 − 25 𝑒𝑡)

ή ισοδύναμα

𝑦′1 = −3 𝑦1 +15(𝑒

−2 𝑡 + 2 𝑒𝑡) (2.1)

𝑦′2 = 2 𝑦2 +15(4 𝑒

−2 𝑡 − 2 𝑒𝑡) (2.2)

Η γενική λύση της (2.1) είναι

𝑦1(𝑡) = 𝑒−3 𝑡(𝑐1 + ∫15(𝑒

−2 𝑡 + 2 𝑒𝑡) 𝑒3 𝑡 𝑑𝑡) = 𝑒−3 𝑡

(𝑐1 + ∫15(𝑒

𝑡 + 2 𝑒4 𝑡) 𝑑𝑡)

= 𝑒−3 𝑡(𝑐1 +15 𝑒

𝑡 + 110 𝑒4 𝑡

) = 𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 15 𝑒

−2 𝑡 + 110 𝑒𝑡

ενώ της (2.2) είναι

𝑦2(𝑡) = 𝑒2 𝑡(𝑐2 + ∫15(4 𝑒

−2 𝑡 − 2 𝑒𝑡) 𝑒−2 𝑡 𝑑𝑡) = 𝑒2 𝑡

(𝑐2 + ∫15(4 𝑒

−4 𝑡 − 2 𝑒−𝑡) 𝑑𝑡)

= 𝑒2 𝑡(𝑐2 −15 𝑒

−4 𝑡 + 25 𝑒−𝑡

) = 𝑐2 𝑒2 𝑡 − 15 𝑒

−2 𝑡 + 25 𝑒𝑡.

Συνεπώς,

y(𝑡) =(

𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 15 𝑒−2 𝑡 + 110 𝑒

𝑡

𝑐2 𝑒2 𝑡 − 15 𝑒−2 𝑡 + 25 𝑒

𝑡 )

και άρα

T y(𝑡) = (1 1

−4 1) (𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 15 𝑒

−2 𝑡 + 110 𝑒𝑡

𝑐2 𝑒2 𝑡 − 15 𝑒−2 𝑡 + 25 𝑒

𝑡 )

=(

𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 15 𝑒−2 𝑡 + 110 𝑒

𝑡 + 𝑐2 𝑒2 𝑡 − 15 𝑒−2 𝑡 + 25 𝑒

𝑡

−4(𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 15 𝑒−2 𝑡 + 110 𝑒

𝑡) + 𝑐2 𝑒2 𝑡 − 15 𝑒−2 𝑡 + 25 𝑒

𝑡)

=(

𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 12 𝑒𝑡 + 𝑐2 𝑒2 𝑡

−4 𝑐1 𝑒−3 𝑡 − 𝑒−2 𝑡 + 𝑐2 𝑒2 𝑡)=

(𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 𝑐2 𝑒2 𝑡 + 12 𝑒

𝑡

−4 𝑐1 𝑒−3 𝑡 + 𝑐2 𝑒2 𝑡 − 𝑒−2 𝑡).

101


Επομένως, η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. είναι

x(𝑡) = (𝑐1 𝑒−3 𝑡

−4 𝑐1 𝑒−3 𝑡)+ (

𝑐2 𝑒2 𝑡𝑐2 𝑒2 𝑡)

+(

12 𝑒

𝑡

0 )+ (

0−𝑒−2 𝑡)

= 𝑐1 (1

−4) 𝑒−3 𝑡 + 𝑐2 (

11) 𝑒

2 𝑡 +(

120)

𝑒𝑡 + (0

−1) 𝑒−2 𝑡, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

Άσκηση 3. Να επαληθευτεί ότι η συνάρτηση

xhom(𝑡) = 𝑐1 (11) 𝑡 + 𝑐2 (

13) 𝑡

−1, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ

είναι η γενική λύση που αντιστοιχεί στο ομογενές σύστημα του σ.σ.δ.ε.

𝑡 x′ = (2 −13 −2) x + (

1 − 𝑡22 𝑡 ) , 𝑡 > 0

και θέτοντας 𝑡 = 𝑒𝑠, να βρεθεί η γενική λύση του.

Παρατηρήστε ότι το σύστημα δεν έχεισταθερούς συντελεστές, αφού, διαιρώ-ντας με 𝑡, ο πίνακας των συντελεστώνείναι

1𝑡 (

2 −1

3 −2).

Λύση. Για να αποτελεί η συνάρτηση

xhom(𝑡) = 𝑐1 (11) 𝑡 + 𝑐2 (

13) 𝑡

−1

τη γενική λύση του συστήματος

𝑡 x′ = (2 −13 −2) x, (3.1)

θα πρέπει τα διανύσμτα x(1)(𝑡) = (11) 𝑡 = (

𝑡𝑡) και x

(2)(𝑡) = (13) 𝑡

−1 = (𝑡−1

3 𝑡−1),

να είναι γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του συστήματος (3.1).Έχουμε,

(2 −13 −2) x

(1)(𝑡) = (2 −13 −2) (

𝑡𝑡) = (

2 𝑡 − 𝑡3 𝑡 − 2 𝑡)

= (𝑡𝑡) = 𝑡 (

11) = 𝑡 (

11) (𝑡)

′ = 𝑡 x(1)(𝑡)′

και

(2 −13 −2) x

(2)(𝑡) = (2 −13 −2) (

𝑡−13 𝑡−1) = (

2𝑡 −

3𝑡3

𝑡 −6𝑡 )

=(

− 1𝑡− 3𝑡 )

= 𝑡 (13) (𝑡

−1)′ = 𝑡 x(2)(𝑡)′

102


και άρα, τα διανύσμτα x(1)(𝑡) και x(2)(𝑡), είναι λύσεις του συστήματος (3.1). Επι-πλέον,

|𝑡 𝑡−1𝑡 3 𝑡−1| = 3 − 1 = 2 ≠ 0

που σημαίνει ότι τα διανύσμτα x(1)(𝑡) και x(2)(𝑡) είναι και γραμμικά ανεξάρ-τητα. Οπότε η γενική λύση του συστήματος (3.1) είναι η

xhom(𝑡) = 𝑐1 (11) 𝑡 + 𝑐2 (

13) 𝑡

−1.

Έστω τώρα, z(𝑠) = x(𝑒𝑠) = x(𝑡(𝑠))= x(𝑡). Τότε,

𝑑z𝑑𝑠 =

𝑑x𝑑𝑡

𝑑𝑡𝑑𝑠 =

𝑑x𝑑𝑡 𝑒

𝑠 = 𝑑x𝑑𝑡 𝑡.

Επομένως, το σ.σ.δ.ε. μετασχηματίζεται στο σύστημα

z′ = (2 −13 −2) z + (

1 − 𝑒2 𝑠2 𝑒𝑠 ) , (3.2)

το οποίο είναι ένα γραμμικό, μη ομογενές σύστημα με σταθερούς συντελεστές. Οθεμελιώδης πίνακας του αρχικού συστήματος είναι

ΨΨΨ(𝑡) = (𝑡 𝑡−1𝑡 3 𝑡−1) .

Οπότε, o θεμελιώδης πίνακας του σ.σ.δ.ε. (3.2) είναι

Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠) = (𝑒𝑠 𝑒−𝑠𝑒𝑠 3 𝑒−𝑠) .

Η ορίζουσα του Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠) είναι det(Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠)) = 3 − 1 = 2, και άρα ο αντίστροφος είναι

Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠)−1 = 12 (3 𝑒−𝑠 −𝑒−𝑠−𝑒𝑠 𝑒𝑠 )

Κατά συνέπεια, έχουμε

∫Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠)−1

(1 − 𝑒2 𝑠

2 𝑒𝑠 ) 𝑑𝑠 =12 ∫ (

3 𝑒−𝑠 −𝑒−𝑠−𝑒𝑠 𝑒𝑠 ) (

1 − 𝑒2 𝑠2 𝑒𝑠 ) 𝑑𝑠

= 12 ∫ (3 𝑒−𝑠 − 3 𝑒𝑠 − 2

−𝑒𝑠 + 𝑒3 𝑠 + 2 𝑒2 𝑠) 𝑑𝑡

= 12 (−3 𝑒−𝑠 − 3 𝑒𝑠 − 2 𝑠−𝑒𝑠 + 13 𝑒

3 𝑠 + 𝑒2 𝑠 )

103


και άρα, μια ειδική λύση του σ.σ.δ.ε. (3.2) είναι η

z𝜀(𝑠) =12Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠) (

−3 𝑒−𝑠 − 3 𝑒𝑠 − 2 𝑠−𝑒𝑠 + 13 𝑒

3 𝑠 + 𝑒2 𝑠 )

= 12 (𝑒𝑠 𝑒−𝑠𝑒𝑠 3 𝑒−𝑠) (

−3 𝑒−𝑠 − 3 𝑒𝑠 − 2 𝑠−𝑒𝑠 + 13 𝑒

3 𝑠 + 𝑒2 𝑠 )

= 12 (−3 − 3 𝑒2 𝑠 − 2 𝑠 𝑒𝑠 − 1 + 13 𝑒

2 𝑠 + 𝑒𝑠−3 − 3 𝑒2 𝑠 − 2 𝑠 𝑒𝑠 − 3 + 𝑒2 𝑠 + 3 𝑒𝑠)

= 12 (−4 − 2 𝑠 𝑒𝑠 − 83 𝑒

2 𝑠 + 𝑒𝑠−6 − 2 𝑒2 𝑠 − 2 𝑠 𝑒𝑠 + 3 𝑒𝑠)

Συνεπώς, η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. (3.2) είναι

z(𝑠) = Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠) (𝑐1𝑐2)

+ 12 (−4 − 2 𝑠 𝑒𝑠 − 83 𝑒

2 𝑠 + 𝑒𝑠−6 − 2 𝑒2 𝑠 − 2 𝑠 𝑒𝑠 + 3 𝑒𝑠)

= Ψ̃̃Ψ̃Ψ(𝑠) (𝑐1𝑐2)

+(

−2 − 𝑠 𝑒𝑠 − 43 𝑒2 𝑠 + 12 𝑒

𝑠

−3 − 𝑒2 𝑠 − 𝑠 𝑒𝑠 + 32 𝑒𝑠 )

.

Επιστρέφοντας, λοιπόν, στην ανεξάρτητη μεταβλητή 𝑡, βρίσκουμε ότι η γενικήλύση του αρχικού σ.σ.δ.ε. είναι

x(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) (𝑐1𝑐2)

+(

−2 − 𝑡 ln 𝑡 − 43 𝑡2 + 12 𝑡

−3 − 𝑡2 − 𝑡 ln 𝑡 + 32 𝑡 )

= ΨΨΨ(𝑡) (𝑐1𝑐2)

+(

−2 − 𝑡 ln 𝑡 − 43 𝑡2 + 12 𝑡

−3 − 𝑡 ln 𝑡 − 𝑡2 + 32 𝑡 ),

δηλαδή

x(𝑡) = 𝑐1 (11) 𝑡 + 𝑐2 (

13) 𝑡

−1 + (13)

𝑡2 − (

431)

𝑡2 − (11) 𝑡 ln 𝑡 − (

23)

104


Άσκηση 4. Nα βρεθεί η γενική λύση του σ.σ.δ.ε.

x′ = (2 −51 −2) x + (

−2 sin 𝑡0 ) .

Λύση. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων. Αρχικά,βρίσκουμε τις ιδιοτιμές του πίνακα των συντελεστών του συστήματος,

A = (2 −51 −2) .

Έχουμε,

Αν χρησιμοποιούσαμε τη μέθοδο προσ-διορισμού των συντελεστών, θα έπρεπενα θεωρήσουμε ειδική λύση της μορφής

x�(𝑡) = (𝐴0𝐴1)

cos 𝑡 + (𝐵0𝐵1)

sin 𝑡

+ (𝐶0𝐶1)

𝑡 cos 𝑡 + (𝐷0𝐷1)

𝑡 sin 𝑡

διότι η συνάρτηση (sin 𝑡

0 ) του όρουμη ομογένειας, εμφανίζεται στο θεμε-λιώδες σύνολο λύσεων του ομογενούςσυστήμταος (συγκεκριμένα στη λύσηx(1)(𝑡)).Λύστε την άσκηση και με αυτό τοντρόπο.

det(A−𝜆 Id) = |2 − 𝜆 −5

1 −2 − 𝜆| = −(2 − 𝜆)(2 + 𝜆) + 5 = −4 + 𝜆2 + 5 = 𝜆2 + 1

και άρα οι ιδιοτιμές είναι οι 𝜆 = ±𝑖.Τώρα, το σύστημα

(2 − 𝑖 −5

1 −2 − 𝑖) (𝑢1𝑢2)

= (00)

είναι ισοδύναμο με το

2 𝑢1 − 𝑖 𝑢1 − 5 𝑢2 = 0𝑢1 − 2 𝑢2 − 𝑖 𝑢2 = 0.

Από τις δυο αυτές εξισώσεις, βρίσκουμε ότι 𝑢1 = 2 𝑢2 + 𝑖 𝑢2 και άρα

(𝑢1𝑢2)

= (2 𝑢2 + 𝑖 𝑢2

𝑢2 )= 𝑢2 (

2 + 𝑖1 ) .

Συνεπώς, ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα για την ιδιοτιμή 𝜆 = 𝑖 είναι το

𝜉𝜉𝜉 = (2 + 𝑖

1 ) = (21) + 𝑖 (

10) .

Επομένως, δυο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις του συστήματος είναι οι

x(1)(𝑡) = (21) cos 𝑡 − (

10) sin 𝑡 = (

2 cos 𝑡 − sin 𝑡cos 𝑡 )

και

x2(𝑡) = (21) sin 𝑡 + (

10) cos 𝑡 = (

2 sin 𝑡 + cos 𝑡sin 𝑡 )

που σημαίνει ότι ο θεμελιώδης πίνακας του σ.σ.δ.ε. είναι ο

ΨΨΨ(𝑡) = (2 cos 𝑡 − sin 𝑡 2 sin 𝑡 + cos 𝑡

cos 𝑡 sin 𝑡 ) .

105


Η ορίζουσά του είναι

det(ΨΨΨ(𝑡)) = |2 cos 𝑡 − sin 𝑡 2 sin 𝑡 + cos 𝑡

cos 𝑡 sin 𝑡 | = 2 cos 𝑡 sin 𝑡−sin2 𝑡−2 cos 𝑡 sin 𝑡−cos2 𝑡 = −1.

Άρα, λοιπόν,

ΨΨΨ(𝑡)−1 = − (sin 𝑡 −2 sin 𝑡 − cos 𝑡

− cos 𝑡 2 cos 𝑡 − sin 𝑡 ) = (− sin 𝑡 2 sin 𝑡 + cos 𝑡cos 𝑡 −2 cos 𝑡 + sin 𝑡)

Πολλαπλασιάζοντας τον πίνακα ΨΨΨ(𝑡)−1 με τον όρο μη ομογένειας, g(𝑡) = (−2 sin 𝑡

0 ),έχουμε

ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) = (− sin 𝑡 2 sin 𝑡 + cos 𝑡cos 𝑡 −2 cos 𝑡 + sin 𝑡) (

−2 sin 𝑡0 )

= (2 sin2 𝑡

−2 sin 𝑡 cos 𝑡) = (2 sin2 𝑡

− sin(2 𝑡))

και άρα

∫ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ (

2 sin2 𝑡− sin(2 𝑡)) 𝑑𝑡 = ∫ (

1 − cos(2 𝑡)− sin(2 𝑡) ) 𝑑𝑡 = (

𝑡 − sin(2 𝑡)212 cos(2 𝑡))

Συνεπώς, μια ειδική λύση του συστήματος είναι η

x𝜀(𝑡) = ΨΨΨ(𝑡) ∫ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) 𝑑𝑡 = (

2 cos 𝑡 − sin 𝑡 2 sin 𝑡 + cos 𝑡cos 𝑡 sin 𝑡 ) (

𝑡 − sin(2 𝑡)212 cos(2 𝑡))

=(

2 𝑡 cos 𝑡 − cos 𝑡 sin(2 𝑡) − 𝑡 sin 𝑡 + 12 sin 𝑡 sin(2 𝑡) + sin 𝑡 cos(2 𝑡) +12 cos 𝑡 cos(2 𝑡)

𝑡 cos 𝑡 − 12 cos 𝑡 sin(2 𝑡) +12 sin 𝑡 cos(2 𝑡) )

=(

2 𝑡 cos 𝑡 − 𝑡 sin 𝑡 + 12 cos 𝑡 − sin 𝑡𝑡 cos 𝑡 − 12 sin 𝑡 )

= (2 𝑡 cos 𝑡 − 𝑡 sin 𝑡

𝑡 cos 𝑡 ) + (

12 cos 𝑡 − sin 𝑡

− 12 sin 𝑡 )

= (2 𝑡 cos 𝑡 − 𝑡 sin 𝑡

𝑡 cos 𝑡 ) −12 (

2 sin 𝑡sin 𝑡 ) +

12 (

cos 𝑡0 )

Άρα, η γενική λύση του σ.σ.δ.ε. είναι

x(𝑡) = 𝑐1 (2 cos 𝑡 − sin 𝑡

cos 𝑡 ) + 𝑐2 (2 sin 𝑡 + cos 𝑡

sin 𝑡 ) + (2 𝑡 cos 𝑡 − 𝑡 sin 𝑡

𝑡 cos 𝑡 ) , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

Παρατηρήστε ότι ο όρος

− 12 (2 sin 𝑡sin 𝑡 ) +

12 (

cos 𝑡0 )

που εμφανίζεται στη ειδική λύση,έχει απορροφηθει στον όρο

𝑐2 (2 sin 𝑡 + cos 𝑡

sin 𝑡 ) στη γενική λύση.

106


Άσκηση 5. Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώ-σεων

𝑡 𝑥′ = −𝑥 + 𝑡 𝑦𝑡2 𝑦′ = −2 𝑥 + 𝑡 𝑦

για 𝑡 > 0.

Λύση. Διαιρώντας την πρώτη εξίσωση του συστήματος με 𝑡, έχουμε

𝑥′ = −1𝑡 𝑥 + 𝑦

και άρα

𝑦 = 𝑥′ + 1𝑡 𝑥. (5.1)

Αντικαθιστώντας την έκφραση της 𝑦 σε συνάρτηση της 𝑥(𝑡) και της παραγώγου

Το σύστημα αυτό δεν ανήκει στην κα-τηγορία των συστημάτων με σταθερούςσυντελεστές. Διαιρώντας την πρώτημε 𝑡 και την δεύτερη με 𝑡2 έτσι ώστε τοσύστημα να έρθει σε κανονική μορφή,βρίσκουμε ότι ο πίνακας των συντελε-στών είναι

(− 1𝑡 1

− 2𝑡21𝑡)

.

Οπότε δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε τιςτεχνικές που ξέρουμε (δηλαδή να βρούμετις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματατου πίνακα των συντελεστών) για τηνεπίλυσή του. Παρατηρούμε, όμως, ότιμπορούμε να λύσουμε τη μια από τις δυοεξισώσεις ως προς τη μια μεταβλητή καιαντικαθιστώντας στην άλλη εξίσωση, ναπάρουμε μια (διαφορική) εξίσωση μόνογια την άλλη μεταβλητή, με την ελπίδαότι η τελευταία μπορεί να ολοκληρωθείμε κάποιες από τις τεχνικές που έχουμεστην διάθεσή μας.

της στην άλλη εξίσωση του συστήματος, βρίσκουμε ότι

𝑡2(𝑥′ + 1𝑡 𝑥)′ = −2 𝑥 + 𝑡(𝑥′ + 1𝑡 𝑥)

δηλαδή

𝑡2(𝑥″ − 1𝑡2 𝑥 +1𝑡 𝑥

′) = −2 𝑥 + 𝑡 𝑥′ + 𝑥

καταλήγοντας έτσι στην εξίσωση

𝑡2 𝑥″ = 0 (5.2)

η οποία είναι μια σ.δ.ε. για τη συνάρτηση 𝑥 μόνο. Επειδή από την υπόθεση είναι𝑡 ≠ 0, συνεπάγεται ότι 𝑥″ = 0 και άρα

𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑡 + 𝑐2

για 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ. Τότε, όμως, από την εξίσωση (5.1),

𝑦 = (𝑐1 𝑡 + 𝑐2)′ +1𝑡 (𝑐1 𝑡 + 𝑐2) = 𝑐1 + 𝑐1 +

1𝑡 𝑐2,

δηλαδή

𝑦(𝑡) = 2 𝑐1 + 𝑐21𝑡 .

Συνεπώς, η γενική λύση του συστήματος σ.δ.ε. είναι

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)) = 𝑐1 (

𝑡2) + 𝑐2 (

11𝑡 )

, 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

Παρατηρήστε ότι, στη συνάρτηση 𝑦(𝑡),δεν θεωρήσαμε τον αριθμό 2 𝑐1 ως μιαάλλη σταθερά 𝑐3. Αυτό θα ήταν λάθος,καθώς τότε η διάσταση του συστήματος,που είναι 2, δεν θα ήταν ίση με τοναριθμό των αυθαίρετων σταθερών πουεμφανίζονται στη γενική λύση.

Αναδιατύπωση της Άσκησης:Μια αναδιατύπωση της Άσκησης θα μπορούσε να είναι:

Θεωρούμε μια γνωστή λύση του συστήματος, έστω την (1

1/𝑡).Να βρεθεί μια δεύτερη γραμμικά ανεξάρτηση λύση του συστήματος.

107


Για τη λύση της άσκησης σε αυτή τη μορφή, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύποτου Abel:

Έστω (𝑥𝑦) μια λύση του συστήματος σ.δ.ε., γραμμικά ανεξάρτητη από την

(1

1/𝑡). Τότε

𝑊 (𝑡) =|1 𝑥1𝑡 𝑦|

= 𝑦 − 1𝑡 𝑥 ≠ 0.

Από τον τύπο του Abel

𝑊 (𝑡) = exp(∫ tr(A) 𝑑𝑡),

όπου A είναι ο πίνακας συντελεστών του συστήματος και tr(A) το ίχνος τουA. Είναι

A =(

− 1𝑡 1

− 2𝑡21𝑡)

,

και άρα tr(A) = − 1𝑡 +1𝑡 = 0. Οπότε, 𝑊 (𝑡) = 𝑒

0 = 1, δηλαδή

𝑦 − 1𝑡 𝑥 = 1. (5.3)

Επειδή το διάνυσμα (𝑥𝑦) αποτελεί λύση του συστήματος, θα πρέπει να το επα-

ληθεύει, δηλαδή πρέπει

𝑥′ = −1𝑡 𝑥 + 𝑦(5.3)==⇒ 𝑥′ = 1 ⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑡.

και άρα 𝑦(𝑡) = 2. Συνεπώς μια λύση του συστήματος σ.δ.ε., γραμμικά ανεξάρτητη

από την (1

1/𝑡), αποτελεί η συνάρτηση

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)) = (

𝑡2) .

Παρατηρήστε ότι επιλέξαμε τη συνάρ-τηση 𝑥(𝑡) = 𝑡 σε αντίθεση με τη γενικό-τερη 𝑥(𝑡) = 𝑡 + 𝑐 (η οποία θα έδινε τησυνάρτηση 𝑦(𝑡) = 2 + 𝑐/𝑡), με 𝑐 αυθαίρετηπραγματική σταθερά. Αυτό δε βλάπτει τηγενικότητα, καθώς τότε, η γενική λύσηθα ήταν

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)) = 𝑐1 (

𝑡 + 𝑐2 + 𝑐 1𝑡 )

+ 𝑐2 (11𝑡 )

= 𝑐1 (𝑡2) + 𝑐1 𝑐 (

11𝑡 )

+ 𝑐2 (11𝑡 )

= 𝑐1 (𝑡2) + (𝑐1 𝑐 + 𝑐2) (

11𝑡 )

= 𝑐1 (𝑡2) + 𝐶2 (

11𝑡 )

από όπου φαίνεται ότι μια δεύτερη γραμ-μικά ανεξάρτητη λύση είναι πράγματι

η (𝑡2). Σε κάθε περίπτωση, ψάχνουμε

κάποια και όχι την πιο γενική λύση,οπότε επιλέγουμε την πιο απλή απόπλευράς υπολογισμών, δηλαδή αυτή για𝑐 = 0.

108


Άσκηση 6. Να βρεθεί η γενική λύση του συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώ-σεων

𝑥′ = 𝑦 + 6 𝑒2 𝑡

𝑦′ = 𝑥 − 3 𝑒2 𝑡

Λύση.1ος τρόπος: Το σύστημα είναι μη ομογενές με σταθερούς συντελεστές. Μπο-

ρούμε, λοιπόν, να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο μεταβολής των παραμέτρων γιατη λύση του.

Ο πίνακας των συντελεστών είναι

A = (0 11 0)

και άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυμό του είναι

|A−𝜆 I | = |−𝜆 1

1 −𝜆| = 𝜆2 − 1 = (𝜆 − 1)(𝜆 + 1).

Συνεπώς, οι ιδιοτιμές του είναι 𝜆± = ±1.Για το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 𝜆+ = 1 έχουμε:

(−1 1

1 −1) (𝑢1𝑢2)

= (00) ,

δηλαδή

{−𝑢1 + 𝑢2 = 0

𝑢1 − 𝑢2 = 0(6.1)

(6.2)

Οι εξισώσεις (6.1) και (6.2) είναι ισοδύναμες και συνεπάγονται ότι 𝑢2 = 𝑢1. Άρα

(𝑢1𝑢2)

= (𝑢1𝑢1)

= 𝑢1 (11) ,

οπότε ένα ιδιοδιάνυσμα για την 𝜆+ είναι το (11).

Για το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή 𝜆− = −1 έχουμε:

(1 11 1) (

𝑣1𝑣2)

= (00) ⇒ 𝑣1 + 𝑣2 = 0 ⇒ 𝑣2 = −𝑣1.

Άρα

(𝑣1𝑣2)

= (𝑣1

−𝑣1)= 𝑣1 (

1−1)

και ένα ιδιοδιάνυσμα για την 𝜆− είναι το (1

−1). Συνεπώς, ο θεμελιώδης πίνακαςτου συστήματος είναι

𝛹𝛹𝛹(𝑡) = (𝑒𝑡 𝑒−𝑡𝑒𝑡 −𝑒−𝑡) .

109


Η ορίζουσα του πίνακα ΨΨΨ(𝑡) είναι

det(ΨΨΨ(𝑡)) = 𝑊 (𝑡) = 𝑒𝑡 𝑒−𝑡 |1 11 −1| = −1 − 1 = −2

και άρα ο αντίστροφος πίνακς του ΨΨΨ(𝑡) είναι

ΨΨΨ(𝑡)−1 = 1−2 (−𝑒−𝑡 −𝑒−𝑡−𝑒𝑡 𝑒𝑡 ) =

12 (

𝑒−𝑡 𝑒−𝑡𝑒𝑡 −𝑒𝑡 ) .

Ο όρος μη ομογένειας του συστήματος είναι g(𝑡) = (6 𝑒2 𝑡

−3 𝑒2 𝑡) και άρα

ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) = 12 (𝑒−𝑡 𝑒−𝑡𝑒𝑡 −𝑒𝑡 ) (

6 𝑒2 𝑡−3 𝑒2 𝑡) =

12 (

6 𝑒𝑡 − 3 𝑒𝑡6 𝑒3 𝑡 + 3 𝑒3 𝑡)

= 12 (3 𝑒𝑡9 𝑒3 𝑡) =

32 (

𝑒𝑡3 𝑒3 𝑡) .

Συνεπώς,

∫ΨΨΨ(𝑡)−1 g(𝑡) 𝑑𝑡 = 32 ∫ (

𝑒𝑡3 𝑒3 𝑡) 𝑑𝑡 =

32 (

∫ 𝑒𝑡 𝑑𝑡∫ 3 𝑒3 𝑡 𝑑𝑡) =

32 (

𝑒𝑡𝑒3 𝑡) ,

οπότε μια ειδική λύση του συστήματος είναι

x𝜀(𝑡) =32 ΨΨΨ(𝑡) (

𝑒𝑡𝑒3 𝑡) =

32 (

𝑒𝑡 𝑒−𝑡𝑒𝑡 −𝑒−𝑡) (

𝑒𝑡𝑒3 𝑡) =

32 (

𝑒2 𝑡 + 𝑒2 𝑡𝑒2 𝑡 − 𝑒2 𝑡) = (

3 𝑒2 𝑡0 ) .

Συνοψίζοντας, η γενική λύση του συστήματος σ.δ.ε. είναι

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)) = 𝑐1 (

11) 𝑒

𝑡 + 𝑐2 (1

−1) 𝑒−𝑡 + (

3 𝑒2 𝑡0 ) , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

2ος τρόπος: Η πρώτη εξίσωση του συστήματος γράφεται ισοδύναμα ως

𝑦 = 𝑥′ − 6 𝑒2 𝑡. (6.3)

Αντικαθιστώντας στη δεύτερη εξίσωση, βρίσκουμε

(𝑥′ − 6 𝑒2 𝑡)′ = 𝑥 − 3 𝑒2 𝑡 ⇔ 𝑥″ − 12 𝑒2 𝑡 = 𝑥 − 3 𝑒2 𝑡,

δηλαδή𝑥″ − 𝑥 = 9 𝑒2 𝑡 (6.4)

η οποία είναι μια μη ομογενής γραμμική σ.δ.ε. δεύτερης τάξης με σταθερούςσυντελεστές για τη συνάρτηση 𝑥.

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης της (6.4)είναι

𝑟2 − 1 = (𝑟 − 1)(𝑟 + 1)που σημαίνει ότι το θεμελιώδες σύνολο λύσεων είναι το {𝑒𝑡, 𝑒−𝑡}.

110


Βλέπουμε, λοιπόν, ότι η συνάρτηση 𝑒2 𝑡 δεν ανήκει στο θεμελιώδες σύνολο. Οπότε,επιλέγουμε ειδική λύση για την εξίσωση (6.4) της μορφής

𝑥𝜀(𝑡) = 𝐴 𝑒2 𝑡, 𝐴 ∈ ℝ.

Τότε,𝑥″𝜀 − 𝑥𝜀 = 9 𝑒2 𝑡 ⇒ 4 𝐴 𝑒2 𝑡 − 𝐴 𝑒2 𝑡 = 9 𝑒2 𝑡 ⇒ 3 𝐴 𝑒2 𝑡 = 9 𝑒2 𝑡,

που συνεπάγεται ότι 3 𝐴 = 9, δηλαδή 𝐴 = 3. Επομένως, η γενική λύση τηςδ.ε. (6.4) είναι

𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 + 𝑐2 𝑒−𝑡 + 3 𝑒2 𝑡,με 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ. Γνωρίζοντας πλέον τη συνάρτηση 𝑥(𝑡), μπορούμε τώρα να βρούμεκαι τη συνάρτηση 𝑦(𝑡) επιστρέφοντας στην εξίσωση (6.3). Αντικαθιστώντας,έχουμε ότι

𝑦 = (𝑐1 𝑒𝑡 + 𝑐2 𝑒−𝑡 + 3 𝐴 𝑒2 𝑡)′ − 6 𝑒2 𝑡 = 𝑐1 𝑒𝑡 − 𝑐2 𝑒−𝑡 + 6 𝐴 𝑒2 𝑡 − 6 𝑒2 𝑡 = 𝑐1 𝑒𝑡 − 𝑐2 𝑒−𝑡

και άρα𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 − 𝑐2 𝑒−𝑡.

Συνεπώς, η γενική λύση του συστήματος είναι

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)) = (

𝑐1 𝑒𝑡 + 𝑐2 𝑒−𝑡 + 3 𝐴 𝑒2 𝑡𝑐1 𝑒𝑡 − 𝑐2 𝑒−𝑡 )

= 𝑐1 (𝑒𝑡𝑒𝑡) + 𝑐2 (

𝑒−𝑡−𝑒−𝑡) + (

3 𝑒2 𝑡0 ) ,

δηλαδή

(𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)) = 𝑐1 (

11) 𝑒

𝑡 + 𝑐2 (1

−1) 𝑒−𝑡 + (

3 𝑒2 𝑡0 ) , 𝑐1, 𝑐2 ∈ ℝ.

3ος τρόπος: Προσθέτοντας τις δυο εξισώσεις του συστήματος κατά μέλη, έχουμε

𝑥′ + 𝑦′ = 𝑦 + 𝑥 + 6 𝑒2 𝑡 − 3 𝑒2 𝑡 ⇔ (𝑥 + 𝑦)′ = 𝑥 + 𝑦 + 3 𝑒2 𝑡

ή, θέτοντας, 𝑥 + 𝑦 = 𝑧,𝑧′ = 𝑧 + 3 𝑒2 𝑡 (6.5)

που είναι μια γραμμική σ.δ.ε. πρώτης τάξης για τη μεταβλητή 𝑧. Η γενική λύσηαυτής είναι

𝑧(𝑡) = 𝑒𝑡(𝑐1 + ∫ 3 𝑒2 𝑡 𝑒−𝑡 𝑑𝑡) = 𝑒

𝑡(𝑐1 + ∫ 3 𝑒

𝑡 𝑑𝑡)= 𝑒𝑡(𝑐1 + 3 𝑒𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 + 3 𝑒2 𝑡

και άρα𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 + 3 𝑒2 𝑡, 𝑐1 ∈ ℝ. (6.6)

Ομοίως, αφαιρώντας κατά μέλη τις δυο δ.ε. του συστήματος, είναι

𝑥′ − 𝑦′ = 𝑦 − 𝑥 + 6 𝑒2 𝑡 + 3 𝑒2 𝑡 ⇔ (𝑥 − 𝑦)′ = −(𝑥 − 𝑦) + 9 𝑒2 𝑡.

Θέτοντας 𝑥 − 𝑦 = 𝑤, καταλήγουμε στη γραμμική σ.δ.ε. πρώτης τάξης για τημεταβλητή 𝑤,

𝑤′ = −𝑤 + 9 𝑒2 𝑡. (6.7)

111


Η γενική λύση της είναι

𝑤(𝑡) = 𝑒−𝑡(𝑐2 + ∫ 9 𝑒2 𝑡 𝑒𝑡 𝑑𝑡) = 𝑒

−𝑡(𝑐2 + ∫ 9 𝑒

3 𝑡 𝑑𝑡)= 𝑒−𝑡(𝑐2 + 3 𝑒3 𝑡) = 𝑐2 𝑒−𝑡 + 3 𝑒2 𝑡,

οπότε𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) = 𝑐2 𝑒−𝑡 + 3 𝑒2 𝑡, 𝑐2 ∈ ℝ. (6.8)

Έχουμε καταλήξει, λοιπόν, στο αλγεβρικό σύστημα για τις συναρτήσεις 𝑥(𝑡) και𝑦(𝑡),

𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 + 3 𝑒2 𝑡 (6.9)𝑥(𝑡) − 𝑦(𝑡) = 𝑐2 𝑒−𝑡 + 3 𝑒2 𝑡 (6.10)

Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (6.9) και (6.10), έχουμε

2 𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 + 𝑐2 𝑒−𝑡 + 6 𝑒2 𝑡 ⇔ 𝑥(𝑡) =𝑐12 𝑒

𝑡 + 𝑐22 𝑒−𝑡 + 3 𝑒2 𝑡

ενώ, αφαιρώντας τις (6.9) και (6.10) κατά μέλη,

2 𝑦(𝑡) = 𝑐1 𝑒𝑡 − 𝑐2 𝑒−𝑡 ⇔ 𝑦(𝑡) =𝑐12 𝑒

𝑡 − 𝑐22 𝑒−𝑡.

Επομένως, αν θέσουμε 𝑐12 = 𝐶1 και𝑐22 = 𝐶2, βρίσκουμε, ξανά, ότι

𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒𝑡 + 𝐶2 𝑒−𝑡 + 3 𝑒2 𝑡

και𝑦(𝑡) = 𝐶1 𝑒𝑡 − 𝐶2 𝑒−𝑡

με 𝐶1, 𝐶2 ∈ ℝ.

Παρατήρηση. Ο δεύτερος και τρίτος τρόπος που χρησιμοποιήσαμε για να λύ-σουμε την άσκηση, στηρίζονται ουσιαστικά στο γεγονός ότι μπορούμε να επιλύ-σουμε τη μια από τις δύο εξισώσεις ως προς τη μια μεταβλητή και αντικαθιστώ-ντας στην άλλη, να έχουμε μια σ.δ.ε. μόνο για τη μια από τις δυο μεταβλητές.

112


Ασκήσεις για επίλυση

Άσκηση 1. Βρείτε την γενική λύση του συστήματος σδε x′ = A x για καθένα απότους παρακάτω πίνακες :

𝑖) A = (5 −13 1 ) , 𝑖𝑖) A = (

0 −66 0 ) , 𝑖𝑖𝑖) A = (

3 4−2 −1) ,

𝑖𝑣) A = (3 1

−1 1) , 𝑣) A =⎛⎜⎜⎝

3 2 42 0 24 2 3

⎞⎟⎟⎠

.

Άσκηση 2. Βρείτε την λύση για καθένα από τα παρακάτω ΠΑΤ:

𝑖) x′ = (5 −13 1 ) x , x(0) = (

11) , 𝑖𝑖) x

′ = (1 10 1) x , x(0) = (

04) ,

𝑖𝑖𝑖) x′ = (4 02 4) x , x(0) = (

80) , 𝑖𝑣) x

′ = (0 −44 0 ) x , x(0) = (

01) .

Άσκηση 3. Βρείτε την γενική λύση της παρακάτω μη-ομογενών συστημάτων σδε

𝑖) x′ = (2 2

−6 −5) x + (e−2 𝑡

−e−2 𝑡) . 𝑖𝑖) x′ = (

−4 3−2 1) x + (

6 e−𝑡4 e−𝑡) .

𝑖𝑖𝑖) x′ = (2 −51 −2) x+ (

−2 cos 𝑡 + 4 sin 𝑡2 sin 𝑡 ) , 𝑖𝑣) x

′ = (0 1

−1 0) x+ (01

cos 𝑡 ), −𝜋2 < 𝑡 <

𝜋2 .

Άσκηση 4. Βρείτε την γενική λύση του παρακάτω συστήματος σδε

𝑡 x′ = (3 −22 −2) x + (

−2 𝑡𝑡4 − 1) .

113

—ΣΔΕi,ΤμήμαΒ— Φύλλο9ο Επιμέλεια:Π.Καλαμβόκας,a...

Documents