AI-34D Instrumentação IndustrialFísica

Dinâmica de Rotação

Profa Daniele Toniolo Dias F. Rosahttp://paginapessoal.utfpr.edu.br/danieletdias

danieletdias@utfpr.edu.br

Universidade Tecnológica Federal do ParanáTecnologia em Automação Industrial

Sumário

• Velocidade angular e aceleração angular

• Relações entre grandezas rotacionais e translacionais

• Energia cinética rotacional

• Torque e o produto vetorial

• Movimento angular

• Conservação do momento angular

• Aplicações.

• Estudando os parâmetros que caracterizam a dinâmica de rotação de um sistema de partículas obtêm-se informações importantes sobre a natureza da velocidade de rotação

Somos cercados completamente pelo movimento de rotação...• Elétrons e prótons

• Sistema de engrenagens

• Pião• Terra, planetas e galáxias

• Hélices e rotores

• Rodas e ponteiros

• Saltos ornamentais e acrobatas

Velocidade angular e aceleração angular

Movimento translacional e rotacional...

• Começamos no estudo do movimento translacionaldefinindo os termos posição, velocidade e aceleração. Por exemplo, localizamos uma partícula no espaço unidimensional com a variável x.

• Pensemos agora sobre um corpo em rotação: Como você descreveria sua posição nesse movimento rotacional?

• Considere um corpo plano girando ao redor de um eixo fixo que é perpendicular ao corpo e passa pelo ponto O

Figura 1

• Observe que uma partícula sobre o corpo, indicada pelo ponto preto está a uma distância r da origem e gira ao redor de O em um círculo de raio r (toda partícula no corpo realiza movimento circular o redor de O).

• É conveniente representar a posição da partícula com suas coordenadas polares: (r, ).

• Quando uma partícula sobre o corpo movimenta-se ao longo do círculo de raio r a partir do eixo x positivo (=0) até o ponto P, ela se desloca por um arco de comprimento s, que está relacionado com pela relação:

• O ângulo é a razão entre um comprimento de arco e o raio do círculo, portanto é um número puro.

(1.a)

(1.b)

• Contudo, é comum dizer-se que a unidade de é o radiano (rad).

• Um radiano é o ângulo submetido por um comprimento de arco igual ao raio do arco. Como a circunferência de um círculo mede 2r, segue-se que 3600 correspondem a um ângulo de 2r/r rad, ou 2rad.

• Portanto, 1 rad=3600/ 257,30. Para converter um ângulo em graus para um ângulo em radianos podemos utilizar o fato de que 2 rad=3600, ou rad=1800 , portanto:

Ex: 600 é igual a /3 rad, e 450 é igual a /4 rad

Figura 2

• Na Figura 2 quando a partícula vai de P para Q em um tempo t, o raio vetor percorre um ângulo de =2-1

(deslocamento angular).

• O número de revoluções que a partícula realiza em um intervalo de tempo é o deslocamento angular durante o intervalo de tempo dividido por 2.

• Definimos a velocidade angular média (ômega) como a razão do deslocamento angular para o intervalo de tempo t :

• Por analogia com a velocidade translacional, a velocidade angular instantânea é definida como o limite da razão (2) quando t se aproxima de zero:

• A velocidade angular tem unidade de rad/s (ou s-1, pois os radianos não são dimensionais). Consideramos como + quando estiver aumentando (sentido anti-horário)...

(2)

(3)

• Se a velocidade angular instantânea de uma partícula muda de 1 para 2 no intervalo de tempo t, a partícula tem uma aceleração angular. A aceleração angular média (alfa) de uma partícula em movimento em uma trajetória circular é definida como a razão da variação na velocidade angular no intervalo de tempo t :

• Por analogia, a aceleração angular instantânea :

• A aceleração angular tem unidade de rad/s2 (ou s-2).

(5)

(4)

• Para rotação ao redor de um eixo fixo, toda partícula de um corpo rígido tem a mesma velocidade angular e a mesma aceleração angular.

• Isto é, as grandezas e que discutimos para partículas caracterizam o movimento rotacional do corpo rígido inteiro.

• Para determinar o sentido do vetor velocidade angular (que até então utilizamos em módulo) utiliza-se a regra da mão direita.

• Os quatro dedos da mão direita curvam-se na direção de rotação. O polegar estendido da mão direita aponta na direção de . Em que a direção é a direção do eixo de rotação.

Natureza vetorial

• Todas as grandezas lineares podem ser substituídas pelas grandezas angulares de tal forma que podemos escrever as equações angulares a partir das lineares.

Fórmula(movimento translacional)

Variáveis Fórmula(movimento rotacional)

x

v0 0

v

a

Tabela 1

Relações entre grandezas rotacionais e translacionais

Movimento rotacional e translacional...

• Considere uma partícula sobre um corpo rígido em rotação, deslocando-se em um círculo de raio r ao redor do eixo z, como na Figura 3.

• Como a partícula descreve uma trajetória circular, seu vetor velocidade translacional v é sempre tangente à trajetória, por isso é frequentemente denominada velocidade tangencial (periférica).

Figura 3

• O módulo da velocidade tangencial da partícula é, por definição a velocidade escalar tangencial, dada por v=ds/dt, em que s é a distância percorrida pela partícula ao longo da trajetória circular.

• Lembrando da Eq. (1a) que s=r (em que r é constante):

• A velocidade escalar tangencial da partícula é igual à distância da partícula até o eixo de rotação multiplicado pela velocidade angular da partícula.

(6)

• A velocidade de um ponto devido à rotação (v=r) está associada estritamente à rotação.

• Devemos imaginar o corpo sem movimento de translação.

• Essa é a velocidade percorrida por alguém que observaa partícula ou corpo em rotação em torno do eixo.

• Podemos relacionar a aceleração angular da partícula à sua aceleração tangencial at (que é a componente da aceleração tangente à trajetória do movimento) fazendo a derivada temporal de v:

• Sabe-se que uma partícula girando em uma trajetória circular tem uma aceleração centrípeta, ou radial, de módulo v2/r direcionada para o centro de rotação (ver a Figura 4).

(7)

• Como v=r, podemos expressar a aceleração centrípeta da partícula em termos da velocidade angular como:

• A aceleração translacional total da partícula é a=at+ar. O módulo da aceleração translacional total da partícula é, portanto, dada por:

Figura 4

(8)

(9)

Energia cinética rotacional

Movimento rotacional...

• Supondo um corpo rígido que gira ao redor do eixo fixo z com velocidade angular (Figura 5).

• Cada partícula do corpo rígido está em movimento e tem, assim uma energia cinética, determinada por sua massa e velocidade escalar tangencial.

• A -iésima partícula tem massa mi

e velocidade tangencial vi. Figura 5

• Se a massa da -iésima partícula é mi e sua velocidade tangencial é vi, a energia cinética dessa partícula é:

• A energia cinética total KR será a soma das energias cinéticas das partículas individuais:

• A grandeza entre parênteses é chamada momento de inércia I do corpo rígido:

• Podemos expressar a energia cinética:

é comum a todas as partículas

(10)

(11)

• O momento de inércia tem dimensões ML2 (kg m2 no SI).

• O momento de inércia é uma medida da resistência à variação na velocidade angular de um sistema (mesmo papel da massa no movimento translacional). Entretanto ele depende além da massa também de como a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação.

• Dependendo do eixo em torno do qual um objeto gira, seu momento de inércia varia, apesar da massa ser a mesma.

• O momento de inércia sempre é relativo a um eixo de rotação.

Torque e produto vetorial

Movimento rotacional...

• Quando uma força é exercida sobre um corpo rígido que pode girar em torno de um eixo e a linha de ação da força não passa através do ponto de apoio no eixo, o corpo tende a girar ao redor desse eixo.

• Por exemplo quando você empurra uma porta, aplica uma força sobre a mesma, como consequência a porta gira ao redor de um eixo passando pelas dobradiças.

• A tendência de uma força em girar um corpo ao redor de algum eixo é medida por uma grandeza vetorial chamada torque.

• O torque é a causa das variações no movimento rotacional e é análogo à força, que causa variações no movimento translacional. Definimos o torque (tau) que resulta da força F com a expressão:

𝜏 = 𝑟 × 𝐹 (12)

Lembrando produto vetorial:

Área do paralelogramo

• O módulo do vetor é:

• É importante reconhecer que o torque é definido apenas quando é especificado um eixo de referência, a partir do qual a distância r é determinada.

• Note na figura que a componente Fcos paralelo a r não causa uma rotação ao redor do ponto de apoio, pois sua linha de ação passa exatamente pelo ponto de apoio no eixo.

• Você não pode abrir uma porta empurrando as dobradiças!

𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛∅

Regra da mão direita

(13)

• Experimente fechar uma porta empurrando no centro da porta (Figura a) e depois, aplicando a mesma força empurre na extremidade (Figura b).

• A porta é fechada mais facilmente quando a força é aplicada na extremidade da porta.

• “Dê-me uma alavanca que moverei o mundo” Arquimedes

• Alavanca: Barra rígida apoiada (ponto de apoio O) usada para facilitar o deslocamento de um corpo pesado.

• Braço de Alavanca (L) é a distância do ponto de apoio (O, por onde passa o eixo de rotação), à linha de ação da força (F)

• O momento linear p=mv também possui uma correspondente grandeza angular, o momento angular L.

unidade kgm2/s ou J.s. A rotação não é necessária para o momento angular, a partícula não precisa estar girando em torno de O para ter momento angular em relação a este ponto.

Momento angular

Movimento rotacional...

(14)

• O módulo do vetor é:

• Assim como o torque, o momento angular só faz sentido quando especificamos o ponto de referência.

• O movimento rotacional tem uma lei de movimento semelhante à Segunda Lei de Newton (F=dp/dt).

• Válida também para um sistema de partículas e para um corpo rígido. O torque resultante agindo sobre um sistema é igual a taxa temporal de variação do seu momento angular.

(15)

(16)

• O momento angular de um corpo rígido que gire em torno de um eixo fixo pode ser definido em função do momento de inércia I:

• Em que I=miri2 nos diz como a massa de um corpo

girando se distribui em torno do eixo de rotação e é denominada inércia rotacional ou momento de inércia I do corpo em relação ao eixo de rotação.

• O momento de inércia representa uma resistência ao movimento de rotação.

(17)

Para um corpo rígido em equilíbrio:

• A força externa resultante tem que ser nula:

• O torque externo resultante tem que ser nulo ao redor de qualquer eixo:

• O torque resultante agindo sobre um corpo é proporcional à aceleração angular do corpo e a constante de proporcionalidade é o momento de inércia I:

𝐹 = 0

(19)

Equilíbrio translacional

𝜏 = 0

(18)

Equilíbrio rotacional

(20)

• Para o caso particular de um sistema em rotação em torno de um eixo fixo (Eq. 16) quando nenhum torque externo atua sobre o sistema (Eq. 19) temos a seguinte lei de conservação do momento angular:

• “Quando nenhum torque externo atua sobre um sistema L permanece constante, qualquer que seja a alteração ocorrida no interior do sistema”

Conservação do momento angular

Movimento rotacional...

(21)

• A Eq. 21 permanece válida para um sistema não rígido neste caso, a velocidade angular também varia de i

para f, tal que:

• Se I diminui tem de aumentar.

(22)

• Exemplos clássicos de sistemas em que existem apenas forças internas e, portanto:

• Com a aproximação dos halteres (If<<Ii) a velocidade angular do sistema aumenta (f>>i)

assim como a patinadora do gelo que encolhe os braços para girar mais rapidamente,...

• (I2<<I1) e (2>>1)

a mergulhadora que dá um salto múltiplo dobrando os joelhos e juntando os braços para girar o corpo e os esticando após para cair mais lentamente na água,...

• (I>>I’) e (<<’)

L’

a ginasta que durante o salto varia o momento de inércia e proporcionalmente varia sua velocidade,...

• As mudanças no momento de inércia são obtidas com a manipulação dos segmentos resultando nos saltos carpado e estendido

o gato que faz girar a cauda e encolhe as patas para cair de pé...

• A rotação no eixo transverso tem menor distribuição de massa o que facilita o movimento.

• Bibliografia:

1. TIPLER, Paul Allen; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. Rio de Janerio: LTC, vol 1.

2. SERWAY, Raymond A., JR JEWETT John W. Princípios de física. São Paulo: Thomson, vol 1.

4. HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro, RJ: LTC, vol 1.

5. CHAVES, Alaor. Física Básica: Mecânica. Rio de Janeiro: LTC.

Referências