Abstract
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University of Évora - Department of Economics, Largo dos Colegiais, N.o 2, 7000-803, Évora/Portugal, Tel.:
+351 266 740894 / Fax: +351 266 742494, E-Mail: jbravo@uevora.pt
1
3 Modelo de Merton (1973) 4
4 Modelo de Merton com Jumps 6
5 Modelo de Vasicek 7
6 Mean Reverting with Jumps (M.R.J.) 9
7 Modelo de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) 11
8 Modelo de Dothan (1978) modi…cado 14
9 Modelo de Feller 17
10 Modelo de Feller com Jumps 20
11 Equação de Ornstein-Uhlenbeck 21
12 Equação de Ornstein-Uhlenbeck com Jumps 22
13 Modelo de Gompertz-Makeham 24
14 Modelo de Siler 28
15 Modelo de Thiele 32
2
1 Conceitos Base
Probabilidade de sobrevivência
S x(t) = P (T x  > t j F 0) = E  h
e R  t 0  x(u)du j F 0
i
2 A¢ne Processes
Considere-se o seguinte espaço de probabilidade  (; F ; P ) e a …ltragem  z = (F t)t0 satisfazendo
as habituais condições e representando a informação disponível até ao momento  t. Admitamos
que a intensidade de mortalidade  x é especi…cada em termos de uma função do tipo a¢ne com
respeito a um processo estocástico  X (t) (i.e.   x =  0 + 1X (t)) em  R, cuja dinâmica é explicada
pela seguinte equação diferencial estocástica (SDE):
dX (t) = (t; X (t))dt + (t; X (t))dW (t) + dJ (t)
onde  W (t) denota um movimento browniano standard em  Rn e  J  de…ne um "jump-process"
em  Rn com intensidade de salto fl(t; X (t)) : t > 0g e dimensão dos saltos distribuída segundo  t
em  Rn: Admitamos em seguida que  () e  () têm a seguinte forma:
8
>>><
>>>:

i;j  = (V 0(t))i;j + (V 1(t))i;j X (t); i; j = 1; :::n:
l(t; X (t)) =  l0 (t) + l1 (t) X (t)
e que a distribuição da dimensão dos saltos é determinada pela sua transformada de Laplace:
 (t; c) = R 
Rn  eczdt(z ); de…nida para  t 2 [0; 1); c 2 Cn de tal modo que o integral seja …nito.
De…nition 1  Se admitirmos que a probabilidade de sobrevivência  S x(t)  tem a seguinte forma:
S x(t) = E 
onde  f  tem a seguinte forma:
3
f (t ; x ; T ;x) =   eA(t;x;T )+B(t;x;T )x
=   eA( ;x)+B( ;x)x;   = T   t   (1)
onde  A(t;x;T  )  e  B(t;x;T  )  são funções determinísticas, o modelo para a intensidade de mor-
talidade possui uma estrutura dita do tipo a¢ne para o cohort  x  e  A() e  B() satisfazem o seguinte 
conjunto de ODE’s:
2 B(t)T V 1(t)B(t) l1(t) [ (t; B(t)) 1]   (2)
A 0 (t) =   0 d0 (t) B(t)  1
2 B(t)T V 0(t)B(t) l0(t) [ (t; B(t)) 1]
com as seguintes condições limite:
A(T; T ) = 0; B(T; T ) = 0
3 Modelo de Merton (1973)
Equação de difusão:
dx(t) = adt  + dW (t)
onde W (t) designa um movimento browniano. Admitamos que a probabilidade de sobrevivên-
cia é representada pela seguinte função:
f ( ;x) = exp fA( ) + B( )xg ;   = T   t   (3)
Calculando as necessárias derivadas parciais
@f ( ;x)
f (t;x)
Dividindo por f (t;x) e arrumando as parcelas obtemos:
h
8
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (5)
Resolvendo o sistema (4) e (5) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   (T   t)
6  (T   t)3
Substituindo em (3) obtemos a seguinte expressão para a probabilidade de sobrevivência:
S x(t) = exp

Equação de difusão:
dx(t) = adt + dW (t) + dJ (t)
onde  J (t) designa um processo de Poisson composto, independente de  W (t), com intensidade
de salto l1  > 0 e dimensão dos saltos exponencialmente distribuída com média  < 0. Da aplicação
da fórmula de Feynman-Kac resulta, neste caso:
f (t;x)
Dividindo por f (t;x) e arrumando as parcelas obtemos:
h
8
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (7)
Resolvendo o sistema (6) e (7) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   (T   t)
ln [1 + (T   t)]


ln [1 + (T   t)]
Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac resulta, para   = T   t:
7
Dividindo por f (t;x) e arrumando as parcelas obtemos:
h
8
2 2B( )2 = 0
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (9)
Resolvendo o sistema obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   1
+ea(T t) a
0 = 0
ds
2a
Equação de difusão:
dx(t) = a( x(t))dt + dJ (t)
onde  J (t) designa um processo de Poisson composto, independente de  W (t), com intensidade
de salto  l1  > 0  e dimensão dos saltos exponencialmente distribuída com média  < 0. Seja:
f (t;x) = exp
Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac resulta, para   = T   t:
f (t;x)
1 B( )   x(t)
Dividindo por f (t;x) e arrumando as parcelas obtemos:
9
B( )
8
B( ) 1B( )  = 0
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (13)
Resolvendo o sistema (12) e (13) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   1
a +    + l1
B 0 ( ) aB( ) 1 = 0 ,
+ea(T t) a
0 = 0
1 B(T   s)

)

)
=   [(T   t) + B( )] +   l1
a(a + ) f ln(a)a + ln [a (1 + B( ))] a a(T   t)g
=   [(T   t) + B( )] l1 (T   t)
a +    + l1
Equação de difusão:
x(t)dW (t)
Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac resulta, para   = T   t:
f (t;x)
2 2x(t)B( )2 x(t)

Daqui resulta o seguinte conjunto de ODE’s:
11
A0( ) + aB ( ) = 0 (16)
e respectivas condições terminais
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (17)
Resolvendo o sistema obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   B(T   t) =   1 e1(T t)
2 + 3e1(T t) ;
p  a2+22
2
 1
8
1 = p 
u( ) = B( )  (a + 1)
12
2   1 +
22
a2 + 22 2
u( ) =   21
Invertendo a substituição de variável obtemos:
B( ) =   u( ) +  (a + 1)
+  (a + 1)

Das condições limite para  B( ) obtemos:
B(0) = 0 , 21 2 + (a + 1)
2 21e10 C 1

2 (2 21C 1)   = 0
, 21 2 + 2(a + 1) 21(a + 1)C 1 = 0
,   21(a + 1)C 1 =  2 (a 1)
,   C 1  =   2 (a 1)
21(a + 1)
Substituindo em B ( )


2 h
e1 
2   2(a1) a+1
e1  =  (a 1) (a 1) e1 
2(a+1)2(a1)e1 
a+1
h
1 e1 
=   22
  1 e1 
2   e1 
p  a2+22
2
(2 + 3) ln
2 + 3e1t
+ 13(T   t)
123
Equação de difusão:
dx(t) =  p 
x(t)dW (t),   > 0
 
onde  W (t)  designa um movimento browniano. Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac
resulta neste caso:
f (t;x)
2 2x(t)B( )2 x(t)

8
A0( ) = 0 (18)
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (19)
Resolvendo o sistema (18) e (19) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
A( ) = 0   (20)
B( ) =   B(T   t) =
p  2 h
i
  (21)
=   1
B0( ) +  1
 1
8
u( ) = B( ) p 
u0( ) =   1
2 2
u( ) =   4
; C 1 =  constante
B( ) =   u( ) +
p  2
+
i
B(0) = 0 , 4 +
p  2 h
i
  = 0
2 p  2
42[1+e( p  2 )]
2 p  2
x(t)dW (t),   > 0
onde  W (t)  designa um movimento browniano. Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac
resulta neste caso:
f (t;x)
2 2x(t)B( )2 x(t)

8
A0( ) = 0 (22)
17
 
Resolvendo o sistema (22) e (23) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
A( ) = 0
2 + 3e1(T t) ;
2
p  a2+22
 1
8
2
1 = p 
u( ) = B ( )  (1 a)
u0( ) =   1
2 2
u( ) =   21
18
B( ) =   u( ) +  (1 a)
+  (1 a)
2
=   1 2 + 221e1  C 1 + a2 2a1e1  C 1
(2 21e1  C 1)2
Das condições limite para  B( ) obtemos:
B(0) = 0 , 1 2 + 221e1  C 1 + a2 2a1e1  C 1
(2 21e1  C 1) 2   = 0
, 1
2 + 221e1  C 1 + a2 2a1e1  C 1  = 0
, 2(a + 1) 221C 1 + 2a1C 1  = 0
,   C 1 [21(a 1)] 2(a + 1) = 0
,   C 1  =   2(a + 1)
21(a 1)
Substituindo em B ( )
B( ) =   21(a 1) + 31e1  + a1(a 1) a21e1 
2 1(a 1) + 21e1  + a1e1 

=   a21 31 + e1 (31 a21) + a21 a21
2 1(a 1) + e1 (21 + a1)

  1(21 a2)
Recordando que  1  = p 
a2 + 22 a expressão acima simpli…ca-se para dar lugar a:
B( ) =   1(22) + e1  [1(22)]
1 2 [e1 (a + 1) (a 1)]
=   21
=   1 e1 
2   e1 
p  a2+22
Equação de difusão:
dx(t) = ax(t)dt +  p 
x(t)dW (t) + dJ (t),   > 0
onde  J (t) designa um processo de Poisson composto, independente de  W (t), com intensidade
de salto l1  > 0 e dimensão dos saltos exponencialmente distribuída com média  < 0. Da aplicação
da fórmula de Feynman-Kac resulta, neste caso:
f (t;x)
2 2x(t)B( )2 + l1

8
A0( ) + l1 B( )
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (25)
Resolvendo o sistema (24) e (25) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
A( ) =     l1
2 + 3e1(T t) ;
p  a
e1(T t)

dx(t) = ax(t)dt + dW (t),   > 0
onde  W (t)  designa um movimento browniano. Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac
resulta neste caso:
f (t;x)
2 2B( )2 x(t)
Dividindo por f (t;x) e arrumando as parcelas obtemos:
[B0( ) + aB( ) 1]x(t) +
8
(26)
21
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (27)
Resolvendo o sistema (26) e (27) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   B(T   t) =  1
A( ) =   1
ds
=   2
2a2
Equação de difusão:
dx(t) = ax(t)dt + dW (t) + dJ (t),   > 0
onde  J (t) designa um processo de Poisson composto, independente de  W (t), com intensidade
de salto l1  > 0 e dimensão dos saltos exponencialmente distribuída com média  < 0. Da aplicação
da fórmula de Feynman-Kac resulta, neste caso:
22
2 2B( )2 + l1
Dividindo por f (t;x) e arrumando as parcelas obtemos:
[B0( ) + aB( ) 1]x(t) +
8
B( ) 1B( )
B(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (29)
Resolvendo o sistema (28) e (29) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ) e  B( ) :
B( ) =   B(T   t) =  1

)
ds +

)
com
dX  j(t) =   a j( j X  j(t))dt +  jdW P jt ; X  j(0) =   X  j; j  = 1; 2
dW P1tdW P2t   =   12dt
ou, em notação matricial
a2(2 X 2(t))

 =  f (t; X (t))
f (t; X (t)) = exp fA(x;  ) + B1(x;  )X 1 + B2(x;  )X 2g
Da aplicação da fórmula de Feynman-Kac resulta, neste caso:
f (t; X (t)) n
h
0 1( )X 2
+ B1( ) [a1(1 X 1)] + B2( ) [a2(2 X 2)] +
+ 1

2 21B1( )2 +

8
A0( ) + a11B1( ) + a22B2( ) +  1 2 21B1( )2 + 1
2 22B2( )2 + B1( )B2( )1212 = 0
(30)
B1(T; T ) = 0; B2(T; T ) = 0; A(T; T ) = 0:   (31)
25
 
Resolvendo o sistema (26) e (27) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ); B1( ) e
B2( ) :
onde:
+  22c2x

Z   T 
Z   T 
ds +
 22c2x
2a22
ds
t
1 ea1(T s) ea2(T s) + e(a1+a2)(T s)
ds
=   1
(a1 + a2)
  21 2a21
2a1
2a2
(a1 + a2)

27
+  22c2x

dx(t) = X 1(t)exp( 1x) + X 2 + X 3(t)exp( 3x)
com
2
7 7 7 5
dX  j(t) =   a j( j X  j(t))dt +  jdW P jt ; X  j(0) =   X  j; j  = 1; 2; 3
dW Pit dW P jt     =
2

(
f (t; X (t))
i=1
 j=1 i6 =j
Bi( )B j( )i jij  (X 1e1x + X 2 + X 3e3x)
9
X 1 + h
X 3
9
8
B 0 2( ) a2B2( ) 1 = 0
B 0 3( ) a3B3( ) e3x = 0
A0( ) + P3
i=1 1 2 2i Bi( )
2 + P3
i=1
Bi( )B j( )i jij  = 0
(32)
e respectivas condições terminais
A(T; T ) = 0; Bi(T; T ) = 0; i = 1; 2; 3:   (33)
Resolvendo o sistema (32) e (33) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ); B1( );
B2( ) e  B3( ) :
a1
a3
onde:
2a21 +   22 2a22
a1a2 +
a2a3
a1a3
a2a3
a1a3 +  2323
a1a3 (a1 + a3)


ds
30
ds
ds +
ds
t
1 ea1(T s) ea2(T s) + e(a1+a2)(T s)
ds
a1a3
t
1 ea1(T s) ea3(T s) + e(a1+a3)(T s)
ds
t
1 ea2(T s) ea3(T s) + e(a2+a3)(T s)
ds

a1a3


e3x(T   t) + B3( )
2a1
2a3
a1 + a2

a1a3
a1 + a3

a2 + a3

2a21 +   22 2a22
a1a2
a2a3
a1a3
a2a3
a1a3 +  2323
a1a3 (a1 + a3)
+

dx(t) = X 1(t)exp( 1x) + X 2 exp  2(x  )2
+ X 3(t)exp( 3x)
7 7 7 5
dX  j(t) =   a j( j X  j(t))dt +  jdW P jt ; X  j(0) =   X  j; j  = 1; 2; 3
dW Pit dW P jt     =
2

(
f (t; X (t))
i=1
 j=1 i6 =j
Bi( )B j( )i jij  (X 1e1x + X 2e2(x)2 + X 3e3x)
9
X 1+ h
X 2+ h
X 3
9
8
B 0 2( ) a2B2( ) e2(x)2 = 0
B 0 3( ) a3B3( ) e3x = 0
A0( ) + P3
i=1 1 2 2i Bi( )
2 + P3
i=1
Bi( )B j( )i jij  = 0
(34)
e respectivas condições terminais
A(T; T ) = 0; Bi(T; T ) = 0; i = 1; 2; 3:   (35)
Resolvendo o sistema (32) e (33) obtemos as seguintes soluções fechadas para  A( ); B1( );
B2( ) e  B3( ) :
a1
a2
a3
onde:
34
 
0   =   1e1x 2e2(x)2 3e3x +  21e21x
2a21 +  22e22(x)2
2a22 +  23e23x
a1a3 +  2323e3x2(x)2
a2a3
a1a2 +  1313e3x
a1a3
a2a3
a1a3 +  2323e2(x)2
a2a3
a1a2 (a1 + a2)
a1a3 (a1 + a3)

a2a3 (a2 + a3)

ds
35
ds
ds
ds
a1a2
t
1 ea1(T s) ea2(T s) + e(a1+a2)(T s)
ds
a1a3
t
1 ea1(T s) ea3(T s) + e(a1+a3)(T s)
ds
a2a3
t
1 ea2(T s) ea3(T s) + e(a2+a3)(T s)
ds
36
a1a2

a1a3

a2a3 [(T   t)

1e1x 2e2(x)2 3e3x +  21e21x
2a21 +  22e22(x)
a1a2 +
a1a3 +
a2a3
a1a2 +  1313e3x
a1a3
a2a3
a1a3 +  2323e2(x)2
a2a3
a1a2 (a1 + a2)
a1a3 (a1 + a3)

a2a3 (a2 + a3)

)