Cuestiones de aerodinamica no estacionaria

Mario de la Rosa

18 de mayo de 2015

1. Ecuaciones, condiciones de contorno (y su interpretacion fsica) de la ae-rodinamica no estacionaria potencial linealizada para un fluido incompresiblecomentando las condiciones de validez.

Las ecuaciones de la aerodinamica no estacionaria potencial linealizada para un fluido in-compresible se obtienen de las ecuaciones de Navier-Stokes realizando las siguientes hipotesis:

1. Perfil esbelto:

h0 c, zex 1, zi

x 1 (1)

Siendo h0 el espesor del perfil, c la cuerda y ze y zi las funciones que definen el extradosy el intrados del perfil respectivamente.

2. Angulo de ataque reducido:(t) 1 (2)

3. Velocidades transversales y angular pequenas:

zet U, zi

t U, c U (3)

4. Capa lmite confinada en una pelcula muy delgada adherida al perfil.

5. Efectos viscosos en la estela apreciables unicamente en una region de pequeno espesor.

Las ecuaciones que determinan el movimiento del fluido son la siguientes.

Ecuacion de continuidad

La ecuacion de continuidad implica que la divergencia del campo de velocidades de pertur-bacion, v, debe ser nula.

v = 0 v = 0 (4)Donde se ha tenido en cuenta

v = Uex + v (5)

1

Ecuacion de la cantidad de movimiento

vit

+ v vi = pxi

(6)

Tomando el rotacional de la ecuacion de cantidad de movimiento se obtiene el siguiente resultado

t( v) + Uv ( v) = 0 (7)

Definiendo la vorticidad como = v (8)

se obtiene (

t+ Uv

) = 0 (9)

Esto implica que la derivada sustancial de la vorticidad es nula, es decir, el observador ve siemprela misma vorticidad. Ademas, dado que en x la vorticidad es nula, = 0, se concluyeque la vorticidad del campo de velocidades de perturbacion es nula para cualquier posicion.

Por lo tanto, la ecuaciones que se deben cumplir son:

v = 0 (10)

v = 0 (11)

Condiciones de contorno

Las condiciones de contorno son las siguientes:

a) El campo de velocidades de perturbacion debe ser nulo lejos del perfil.

v = 0 x (12)

b) La velocidad debe ser tangente al perfil, por lo tanto, en el mismo se deben cumplir lassiguientes igualdades:

w(x, 0+) =zet

+ Uzex

(13)

w(x, 0) =zit

+ Uzix

(14)

c) En la estela se debe cumplir las siguientes condiciones:

1. Debe existir continuidad de velocidades transversales, es decir, lo que arrastra porarriba es lo que succiona por abajo.

w(x, 0+, t) = w(x, 0, t) (15)

2. Las presiones por la parte superior deben ser iguales a las presiones en la inferior.Esto se demuestra aplicando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta que lamasa de la estela se supone nula. De esta forma se obtiene que el sumatorio de fuerzasdebe ser nulo, es decir, las presiones en ambas caras deben ser iguales.

p(x, 0+, t) = p(x, 0, t) (16)

2

Teniendo en cuenta las siguientes relaciones:

p(x, t) = t U

x(17)

(x, t) = (x, 0+, t) (x, 0, t) (18)se puede obtener la condicion de Kutta generalizada a partir de la igualdad de pre-siones.

(x, t)

t+ U(x, t) = 0 (19)

Derivando esta expresion respecto de x se puede conocer como es la evolucion de lostorbellinos a lo largo de la estela.(

t+ U

x

)(x, t) = 0 (20)

Esto implica que la derivada sustancial respecto de es nula en la estela, es decir, unobservador que se mueva con el fluido ve siempre la misma densidad de circulacion. Porlo tanto, se puede concluir que los torbellinos se convectan aguas abajo manteniendosu densidad de circulacion constante.

2. Explicacion esquematica (diagrama de flujo o pseudo codigo) del metodonumerico Vortex Lattice para resolver el problema anterior, indicando comopueden calcularse numericamente a partir de la solucion (distribucion de den-sidades de circulacion sobre el perfil) las distribuciones presiones, sustentaciony momentos del fluido sobre el perfil.

La solucion del problema es una distribucion continua de torbellinos a lo largo del perfil yde la estela, esto es

v =

0

(x0, t)dx02pi

zex (x x0)ez(x x0)2 + z2 (21)

Este campo de velocidades es solenoidal y rotacional. Ademas se cumple la condicion de contornoa).

La densidad de circulacion se calculara imponiendo la condicion de contorno b).

w(x, z = 0, t) =

c0

p(x0, t)dx02pi(x0 x) +

c

E(x0, t)dx02pi(x0 x) = wp(x, t) (22)

Esta ecuacion puede ser resuelta con el metodo numerico Vortex Lattice que consiste endiscretizar la integrar con un sumatorio dividiendo el perfil en paneles. En cada panel se colocaun torbellino de densidad de circulacion constante a un cuarto del comienzo del mismo(puntode centrado del torbellino). Ademas se define un punto de colocacion a una distancia h/2 delanterior donde se imponen los valores de w.

De esta forma la integral queda

wp(xci, t) =Nj=1

Aijpj +EIUt

2pi(c+ xci) +I1k=1

EKUt2pi(xgEk(t) xci) (23)

siendo

Aij =h

2pi(xgj xci) (24)

3

donde xg es el punto de centrado del torbellino y xc el punto de colocacion.Esto son N ecuaciones pero hay N+1 incognitas, por lo tanto sera necesaria otra ecuacion que

se obtendra aplicando el Teorema de Bjerknes-Kelvin. Este afirma que la suma de la circulaciondel perfil mas la de la estela debe ser nula porque as lo era inicialmente.

Nj=1

pjh+ EIUt+I1k=1

EKUt = 0 (25)

Este sistema de N+1 ecuaciones se puede expresar matricialmente como se indica a continuacionUt

2pi(c+xc1)A

...Ut

2pi(c+xcN )h ... h Ut

p1...

pNEI

=

wp(xc1, t)I1

k=1EKUt

2pi(xgEk(t)xc1)...

wp(xcN , t)I1

k=1EKUt

2pi(xgEk(t)xcN )I1k=1 EKUt

(26)Para resolver este conjunto de ecuaciones hay que seguir el siguiente metodo:

1. Calcular la matriz de coeficientes(B) y su inversa(B1). Se puede observar que esta matrizes constante pues no depende del tiempo, unicamente de la geometra.

2. Se comienza un bucle para resolver las ecuaciones en cada instante de tiempo. Si la variabledel bucle se denomina I entonces el tiempo en cada iteracion sera tI = It

2.1. Para I = 1 los sumatorios que aparecen en el vector de terminos independientes sonnulos por lo que unicamente afecta el valor de la velocidad vertical evaluada en cadapunto de colocacion del perfil en t = t

De esta resolucion se obtienen las densidades de circulacion del perfil,pi, y la primerade la estela,E1.

2.2. Para I > 1 se deben calcular los sumatorios del vector de terminos independientes.Estos sumatorios se realizan desde k = 1 hasta k = I 1, por lo tanto todos losvalores se pueden obtener de la iteracion anterior.

Sustentacion

La sustentacion se calcula a partir de la siguiente integral

L(t) =

c0pi(x, t) pe(x, t)dx (27)

Para calcular esta integral numericamente sera necesario discretizarla

L(tI) = h

Nk=1

pi(xk, tI) pe(xk, tI) (28)

La diferencia de presiones se calcula como sigue

pi(x, t) pe(x, t) = (e(x, t) i(x, t))

t+ U(x, t) (29)

pi(x, t) pe(x, t) = (x, t)

t+ U(x, t) (30)

4

Discretizando se obtiene

pi(xk, tI) pe(xk, tI) = (xk, tI) (xk, tI1)

t+ Up(xk, tI) (31)

La circulacion alrededor del perfil se calcula integrando las densidad de circulacion.

(x, t) =

x0(x, t)dx (32)

Discretizando la integral se obtiene

(xj , tI) = h

jk=1

(xk, tI) (33)

Momento aerodinamico

El momento aerodinamico se define como

M0(t) =

c0x(pi(x, t) pe(x, t))dx (34)

Discretizando esta integral se tiene

M0(tI) =Nk=1

h(pi(xk, tI) pe(xk, tI))(xgk + xck)/2 (35)

3. Funcion de Wagner: Concepto, universalidad, comportamiento cualitativoindicando su interpretacion fsica.

La funcion de Wagner es una funcion universal que caracteriza la variacion de la sustentacionde una placa plana con el tiempo ante un cambio en escalon del angulo de ataque efectivo. Estafuncion permitira calcular la sustentacion para cualquier condicion de vuelo y cuerda del perfil.

El analisis dimensional permite demostrar la existencia de esta funcion universal. Partiendode que la sustentacion depende unicamente de las siguientes variables

L(t) = f(t, U, , eff (0), b) (36)

y teniendo en cuenta que se supone una dependencia lineal con el angulo de ataque effectivo

L(t) = eff (0)f(t, U, , b). (37)

Ademas teniendo en cuenta que se trata de un problema mecanico se puede adimensiona-lizar usando tres magnitudes dimensionales que incluyan masa, longitud y tiempo, estas son:, U2, b. Definiendo el tiempo adimensional s = tU/b se tiene

cL =L

U2b= eff (0)F (s = tU/b) (38)

Con este analisis adimensional queda demostrada la existencia de una funcion universaldependiente del tiempo adimensional que relaciona el coeficiente de sustentacion con el angulode ataque efectivo.

=F (s = tU/b)

2pi(39)

En la siguiente figura se representa la funcion de Wagner. Se puede observar que cL/(2pieff )aumenta a medida que aumenta el tiempo. Esto es debido a que inicialmente se forma el de-nominado torbellino de arranque el cual modifica el campo de velocidades cuando se encuentrasuficientemente cerca del perfil de forma que disminuye el salto de presiones del mismo.

5

0 2 4 6 8 10 12 14 160.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

s=U

t/b

cL/(2pieff)

Figura 1: Funcion de Wagner

4. Justificacion (saber como resulta) de la formula de convolucion para la sus-tentacion para el movimiento general de una placa plana, interpretando fsi-camente cada uno de sus terminos. Formula de convolucion para el momento,justificando cada uno de sus terminos.

La formula de convolucion permite calcular la sustentacion de una placa plana que se en-cuentra sometida a un movimiento cualquiera.

L(t) = pib2(h+(c/2xe)+U)+2piUb(w3/4(0)(t) +

t0

dw3/4(t0)

dt0

(Ub

(t t0))dt0

)(40)

Esta formula permite evaluar el efecto de los tres fenomenos fsicos diferentes que se dan:

Sustentacion debida a la fuerza ejercida por la masa aparente: Lmap. Se puede dividir a suvez en dos terminos:

Sustentacion debida a las aceleracion lineal y angular del centro de gravedad: LG.LG = pib2(h+ (c/2 xe)) (41)

La masa de fluido aparente se puede interpretar como una porcion del fluido ficticiaque rodea la placa y que participa en su movimiento como solido rgido. El movi-miento de la placa produce una fuerza sobre el fluido, la reaccion de esta fuerza esla denominada sustentacion debida a la aceleracion lineal y angular del centro degravedad de la masa aparente.

Sustentacion debida al Efecto Magnus: LMagnusLMagnus = pib2U (42)

El giro de la placa produce tambien un giro de la masa aparente. Si el giro es posi-tivo(sentido de las agujas del reloj) se produce un incremento de la velocidad en laparte del extrados y una disminucion en el intrados. Esto hace que la presion en laparte superior sea inferior a la del intrados, provocando una fuerza hacia arriba.

6

Sustentacion circulatoria debida al efecto de los torbellinos sobre la placa: Lc

Lc = 2piUb(w3/4(0)(t) +

t0

dw3/4(t0)

dt0

(Ub

(t t0))dt0

)(43)

Esta expresion se puede demostrar partiendo de la expresion del angulo de ataque desustentacion nula para un perfil con curvatura zcx = C(xe x) y teniendo en cuenta lavelocidad impuesta por el perfil.

SN = C(xe 34c) (44)

wp(x) = Uzpx

= U+ Uzcx

= U+ UC(xe x) (45)wp(x = 3c/4) = U+ UC(xe 3c/4) (46)

wp(x = 3c/4)

U= ( C(xe 3c/4)) (47)

Teniendo en cuenta esta ultima igualdad, la expresion del coeficiente de sustentacion

cL = 2pi( SN ) = 2pi( C(xe 3c/4)) (48)

y defiendo el downwash en x = 3c/4 como

w3/4 = wp(x = 3c/4) (49)

Se puede expresar el coeficiente de sustentacion como sigue

cL = 2piw3/4

U(50)

Finalmente se puede concluir que el coeficiente de sustentacion en el caso no estacionarioante un cambio impulsivo en la velocidad impuesta por el perfil desde wp = 0 hasta

wp = (D(0)U + C(0)U(xe x))H(t) (51)

es el siguiente

cL = 2piw3/4

U(s = Ut/b) (52)

Teniendo en cuenta este resultado se puede obtener la sustentacion para una placa planaque se desplaza verticalmente una distancia he y gira un angulo . En este caso la velocidadimpuesta por el perfil es la siguiente

wp(x, t) = Ueff (t) + (t)(xe x) (53)

por lo tanto el downwash en x = 3c/4 es

w3/4(t) = U (t)(xe 3c/4) (54)

Usando la integral de convolucion se puede expresar esta funcion de la siguiente forma

w3/4(t) = w3/4(0)H(t) +

t0

w3/4(t0)

t0H(t t0)dt0 (55)

7

Esta expresion del downwash como un sumatorio(integral) permite obtener la sustentacioncomo una suma de las respuestas de cada uno de los terminos que componen la excitacion.

L(t) = Ub2pi(w3/4(t) +

t0

w3/4(t0)

t0

(Ub

(t t0))dt0

)(56)

El momento aerodinamico se puede calcular facilmente teniendo en cuenta que cada terminode sustentacion esta aplicado en un determinado punto de la placa.

M0(t) = LGc/2 + LMagnus3c/4 + Lcc/4 +pib4

8 (57)

El ultimo termino representa el momento de inercia debido a la masa aparente.

5. Deducir la expresion de Theodorsen para la sustentacion y momento en unmovimiento periodico. Saber calcular la forma compleja (amplitud y fase) dela sustentacion y momento segun Theodorsen.

Para obtener la formula de Theodorsen se partira de la formula de convolucion para lasustentacion

L(t) = pib2(h+(c/2xe)+U)+2piUb(w3/4(0)(t) +

t0

dw3/4(t0)

dt0

(Ub

(t t0))dt0

)(58)

Teniendo en cuenta que el movimiento es periodico se tiene

w3/4 = w3/4,0eit (59)

Expresando la sustentacion en funcion de la coordenada h(t) y (t) complejas se obtiene

L(t) = pib2(h+ (c/2 xe) + U ) + Ub2pi t

d

dt0w3/4(t0)

(Ub

(t t0))dt0 (60)

donde se ha se ha extendido la integral hasta por ser el movimiento periodico y se ha tenidoen cuenta que inicialmente el downwash era nulo.

Calculando cada una de las derivadas se tiene

h = 2h, = 2, = i, w3/4 = iw3/4, (61)Sutituyendo en la ecuacion anterior se tiene

L(t) = pib2(2h(c/2xe)2+Ui)+Ub2pi t

iw3/4,0eit0

(Ub

(t t0))dt0

(62)

L(t) = pib2(2h(c/2xe)2+Ui)+Ub2piiw3/4,0eit t

eit0eit(Ub

(t t0))dt0

(63)

L(t) = pib2(2h(c/2xe)2+Ui)+Ub2piiw3/4 t

ei(t0t)(Ub

(t t0))dt0

(64)

8

Realizando el siguiente cambio de variables se obtiene la funcion de Theodorsen C(k)

=Ub

(t t0), d = Ubdt0 (65)

C(k) = ib

U

0

eibU ()d (66)

Definiendo la frecuencia reducida como k = bU se obtiene

C(k) = ik

0

eik()d (67)

La funcion de Theodorsen es una funcion compleja que permite calcular la sustentacion de unaplaca plana sometida a un movimiento periodico.

Incluyendo este termino en la expresion de la sustentacion se obtiene la expresion de Theo-dorsen para la sustentacion

L(t) = pib2(2h (c/2 xe)2+ Ui) + 2piUbC(k)w3/4 (68)Para calcular el momento en el origen M0 sera necesario indicar donde estan aplicadas las

diferentes sustentaciones.

La sustentacion debida a la aceleracion lineal y angular esta aplicada en el centro de laplaca.

La sustentacion originada por el efecto Magnus esta aplicada en 3c/4.

La sustentacion circulatoria esta aplicada en c/4.

Ademas aparece una reaccion del fluido al giro de la placa

Mfluidoplaca =pib4

8 (69)

Por lo tanto el momento total es

M0 = pib2(h+ (c/2 xe) )c/2 + pib2U 3c/4 + 2piUbC(k)w3/4c/4 +pib4

8 (70)

6. Acoplamiento Vortex lattice de la aerodinamica con la dinamica de la placay explicacion esquematica de su implementacion numerica.

Las ecuaciones que rigen el movimiento de la placa son las siguientes

m(he + (xcm xe)) = kehe c

0pi(x) pe(x)dx (71)

Icm = kehe(xcm xe) k c

0pi(x) pe(x)(x xcm)dx (72)

De la segunda ecuacion se puede obtener y sustituyendo en la primera se obtiene h.Discretizando las derivadas se pueden obtener las velocidades lineales y angulares

he(tI+1) = he(tI) + the (73)

(tI+1) = (tI) + t (74)

La misma operacion se debe realizar para calcular la posicion y el angulo de ataque

he(tI+1) = he(tI) + the (75)

(tI+1) = (tI) + t (76)

9