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ANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURASANLISE ESTTICA DE ESTRUTURAS E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a E n g e n h a r i a I n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r aI n d u s t r i a l d a M a d e i r a ---- P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o P r o f . M r c i o M a y e rM a y e rM a y e rM a y e r
2008200820082008 Pgina Pgina Pgina Pgina 1111
1.2. Composio e Decomposio de Foras no Plano
1. Duas foras cujos mdulos so 5 N e 8 N formam ngulo de 60. Calcular o mdulo da resultante e os ngulos entre a reta de ao da resultante e as retas de ao das componentes.
2. Achar as componentes ortogonais de uma fora de 100 kgf sabendo que uma das direes forma com a fora um ngulo de 30.
3. Duas foras retangulares tm mdulos 10 N e 14 N. Calcular o mdulo de sua resultante e os ngulos que faz a reta de ao da resultante com as retas de ao das componentes.
4. Duas foras concorrentes tm mdulo x, cada uma. O mdulo da resultante de tais foras x. Calcular o ngulo formado entre as foras componentes.
5. Duas foras concorrentes cujos mdulos so 4 kgf e 8 kgf tm resultante de 10 kgf. Calcular os ngulos que faz a reta de ao da resultante com as retas de ao das componentes.
6. Duas foras ortogonais tm mdulos que diferem de 3 N. A resultante de tais foras 15 N. Calcular os mdulos das foras componentes.
7. Decompor uma fora de 200 kgf segundo duas direes ortogonais. Sabe-se que uma das direes forma com a direo da fora o ngulo de 73.
8. Para os sistemas planos de foras abaixo, pede-se calcular o mdulo e os ngulos diretores da resultante.a)
b)
c)
d)
e)
f)
x
y 2N 14N
3N
30 40
90 x
y
x
y 5 kgf
7 kgf
9 kgf 90 125 160
x
y
10 kgf
8 kgf
12 kgf
90
110 35 x
y 12N
20N
14N 28N
90 90 150
140
x
y 4N
5N
6N
5N
90
90
90
90 x
y
5 kgf
4 kgf
7 kgf 10 kgf 90
55
120
145
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2008200820082008 Pgina Pgina Pgina Pgina 2222
Respostas (Composio e Decomposio de Foras no Plano)
1. R = 11,36 N = 22,41 ; = 37,59
2. F1 = 50 kgf ; F2 = 86,6 kgf
3. R = 17,20 N = 35,54 ; = 54,46
4. = 120
5. = 22,33 ; = 49,46
6. 9 N ; 12 N
7. F1 = 191,26 kgf ; F2 = 58,47 kgf
8. a) R = 11,35 N = 50,18 ; = 39,82
b) R = 21,74 kgf = 131,51 ; = 138,49
c) R = 1,41 N = 135 ; = 45
d) R = 17,67 kgf = 8,66 ; = 98,66
e) R = 19,39 N = 61,27 ; = 28,73
f) R = 5,59 kgf = 124,36 ; = 34,36
1.3. Composio e Decomposio de Foras no Espao
1. Os ngulos diretores para uma fora so = 40, = 70 e . Calcular o ngulo .
2. Calcular o ngulo diretor para uma fora, sabendo que = 10 e = 23.
3. Uma fora F = 80 kgf, apresenta componentes ortogonais Fx = 50 kgf, Fy = 20 kgf e Fz. Calcular o mdulo da componente Fz e os ngulos diretores de F. Sabe-se que a componente Fz est orientada de acordo com o eixo z.
4. Um sistema de trs foras no espao dado por: F1 = 210 kgf ; 1 = 50 ; 1 = ? ; 1 = 47 F2 = 250 kgf ; 2 = 45 ; 2 = 45 ; 2 = ? F3 = 350 kgf ; 3 = 61 ; 3 = 43 ; 3 = 61 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 1 90 e que 2 90.
5. Uma fora tem mdulo 400 kgf. Calcular suas trs componentes ortogonais Fx, Fy e Fz. Sabe-se que = 30 e = 60.
6. Uma fora tem mdulo 50 N. Calcular as suas trs componentes ortogonais Fx, Fy e Fz. Sabe-se que = 70 e = 30 e ainda que um ngulo agudo.
7. Uma fora de mdulo 100 N apresenta ngulos diretores = 76 e = 123. Calcular as projees ortogonais da fora sobre os eixos x, y e z. Sabe-se que um ngulo obtuso.
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2008200820082008 Pgina Pgina Pgina Pgina 3333
8. As projees ortogonais de uma fora de mdulo 500 kgf, sobre os eixos x, y e z so respectivamente Fx = 207 kgf, Fy = 193 kgf e Fz. Sabe-se que a orientao de Fz contrria ao eixo z. Calcular os ngulos diretores da fora 500 kgf.
9. As projees ortogonais de uma fora de mdulo 280 N, sobre os eixos x, y e z so respectivamente Fx, Fy = 165 N e Fz = 142 N. Sabe-se que a orientao de Fx contrria ao eixo x. Calcular os ngulos diretores da fora 280 N.
10. Uma fora F1 tem mdulo 10 N e sua reta suporte o eixo y tendo o mesmo sentido que este eixo. Uma fora F2 tem mdulo 30 N e ngulos diretores = 60 e = 30. Pede-se calcular: a) o mdulo da resultante das duas foras; b) os ngulos diretores da resultante.
11. Um sistema de trs foras no espao dado por: F1 = 180 kgf ; 1 = 81 ; 1 = ? ; 1 = 19 F2 = 300 kgf ; 2 = 43 ; 2 = 61 ; 2 = 61 F3 = 400 kgf ; 3 = ? ; 3 = 90 ; 3 = 90 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 3 90 e que 1 90.
12. Um sistema de trs foras no espao dado por: F1 = 50 kgf ; 1 = 0 ; 1 = 90 ; 1 = ? F2 = 60 kgf ; 2 = 26 ; 2 = ? ; 2 = 80 F3 = 80 kgf ; 3 = ? ; 3 = 112 ; 3 = 150 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 1 90 , 2 90 e que 3 90.
13. Um sistema de quatro foras no espao dado por: F1 = 200 N ; 1 = ? ; 1 = 125 ; 1 = 100 F2 = 300 N ; 2 = 36 ; 2 = ? ; 2 = 82 F3 = 100 N ; 3 = 105 ; 3 = 40 ; 3 = ? F4 = 400 N ; 4 = 45 ; 4 = 45 ; 4 = 90 Pede-se determinar: a) o mdulo da resultante; b) os ngulos diretores da resultante. Sabe-se que 1, 2 e 3 so ngulos agudos.
14. As fora F1 e F2, abaixo especificadas, apresentam resultante R. F1 = ? ; 1 = 43,28 ; 1 = 61 ; 1 = ? F2 = ? ; 2 = 0 ; 2 = 90 ; 2 = 90 R = 282 kgf ; = 14,22 ; = 80 ; = 80 Pede-se calcular os mdulos de F1 e F2 e ainda o ngulo 1. Sabe-se que as foras esto aplicadas na origem do sistema de referncia e que suas extremidades situam-se no primeiro octante.
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Respostas (Composio e Decomposio de Foras no Espao)
1. = 57,03 ou = 122,97
2. No possvel uma fora apresentar dois de seus ngulos diretores iguais a 10 e 23.
3. Fz = 59,16 kgf = 51,32 ; = 75,52 ; = 42,31
4. R = 765,35 kgf = 51,02 ; = 48,61 ; = 65,87
5. Fx = 346,41 kgf ; Fy = 200 kgf Fz = 0
6. Fx = 17,10 N ; Fy = 18,24 N Fz = 43,30 N
7. Fx = 24,19 N ; Fy = -80,30 N Fz = -54,46 N
8. = 65,54 ; = 67,29 ; = 145,53
9. = 128,97 ; = 53,89 ; = 59,53
10. R = 38,98 N = 67,37 ; = 22,63 ; = 90
11. R = 746,80 kgf = 29,88 ; = 74,72 ; = 65
12. R = 152,98 kgf = 31,51 ; = 110,72 ; = 112,63
13. R = 782,76 N = 32,55 ; = 57,89 ; = 85,17
14. F1 = 101,01 kgf ; F2 = 199,82 kgf 1 = 61
1.4.1. Momento Polar
1. Para o sistema de foras abaixo, calcular: a) o mdulo do vetor momento polar do sistema, em relao ao plo P; b) os ngulos que faz a reta de ao do vetor momento com os planos 1 e 2, os quais so
ortogonais. F1 = 6 N F2 = 8 N F3 = 7 N A (0 ; 2 ; 1) m B (1 ; 0 ; 2) m C (4 ; 0 ; 0) m
2. A chapa plana da figura abaixo possui um pino P, em torno do qual pode girar. Aplicam-se sobre a chapa, em seu plano, as foras F1 e F2. Pede-se: a) a grandeza do momento responsvel pelo giro da chapa em torno do pino; b) o sentido de giro que as foras comunicam a chapa.
F1 = 8 kgf F2 = 5 kgf 20
30
y
x
z
F1 F2
F3
A
B
C
1
2
.
.
.
P
.
F1
F2
A
B
.
.
P
.
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3. A chapa plana da figura abaixo possui um pino P, em torno do qual pode girar. Sobre a chapa, e no seu plano, atua um sistema de foras. Pede-se: a) o mdulo do momento responsvel pelo giro da chapa em redor do pino; b) o sentido de giro da chapa ao redor do pino.
F1 = 10 kgf F2 = 4 kgf F3 = F5 = 6 kgf F4 = F6 = 3 kgf
4. Calcular o mdulo do momento polar, em relao ao plo O, para o conjunto de foras abaixo. F1 = 10 kgf F2 = 20 kgf F3 = 5 kgf F4 = 12 kgf A (4 ; -2) m B (-3 ; 0) m C (3 ; -3) m D (1 ; 2) m
5. Calcular o mdulo do momento polar, em relao ao plo O, para o conjunto de foras abaixo. F1 = 10 N F2 = 8 N F3 = 5 N A (2 ; 2 ; 0) m B (0 ; 2 ; 0) m C (0 ; 0 ; 4) m D (3 ; 0 ; 0) m
6. Calcular o mdulo da fora F1 afim de que a chapa da figura abaixo no gire em torno do pino P.
F1 = ? F2 = 8 N F3 = 6 N d1 = 8 cm d2 = 10 cm d3 = 7 cm
7. A barra da figura abaixo pode girar em torno do pino O. A barra pesa 20 kgf. Calcular o mdulo da fora F1 afim de que no ocorra giro da barra em torno de O.
F1 F2
2m
. P
3m
F4 F3
F5
F6
F1 F2
F3
B
C
D
.
.
O .
y
x
z
.
.
A
F1
F2
A
B
.
.
P
.
F3
d1 d2 d3 .
C
x
y
90
50 45 90
F3
F2 A
B
.
.
.
.
C
D
F4
F1
O
.
62 90
F2 = 10 kgf
80 cm
F1
.
30 cm
O
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Respostas (Momento Polar)
1. a) MP = 20 N.m b) o vetor momento faz ngulo de 53,13
com o plano 1 e 36,87 com o plano 2.
2. a) MP = 10 kgf.cm b) a chapa gira no sentido anti-horrio.
3. a) MP = 1,04 kgf.m b) a chapa gira no sentido anti-horrio.
4. MO = 4 kgf.m
5. MO = 26 N.m
6. F1 = 10 N
7. F1 = 14,41 kgf
1.4.2. Momento Axial
1. dado o conjunto de trs foras da figura abaixo onde a fora F2 paralela ao eixo z e a fora F3 paralela ao eixo y. Pede-se calcular o valor algbrico dos momentos axiais do sistema em relao aos eixos x, y e z.
F1 = 10 kgf F2 = 12 kgf F3 = 15 kgf A (0 ; 0 ; 3) m B (3 ; 0 ; 0) m C (3 ; 4 ; 0) m D (3 ; 0 ; 4) m
2. A figura abaixo representa uma porta, vista de frente e vista em planta. Uma fora de 2 kgf aplicada na porta, perpendicularmente a seu plano. A linha AB representa o eixo das dobradias. Determinar o mdulo, a direo e o sentido do momento axial da fora em relao ao eixo das dobradias.
3. A pea rgida da figura abaixo est em um plano horizontal submetida a foras verticais. Calcular o momento axial do sistema de foras em relao ao eixo AB. A pea apoiada nos pontos A e B.
F1 = F3 = F5 = 20 kgf F2 = F4 = 10 kgf
F1
F2
F3 D
A
B
.
.
O .
y
x
z
.
.
C
A
B
2,10 m
0,80 m
F
F1
F2 F5
60 cm
A
B
F3
F4
60 cm
40 cm
40 cm
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4. A pea rgida da figura abaixo est no plano horizontal xOy, apoiada nos pontos O e A. A fora F1 est no plano xOz e a fora F2 paralela ao eixo z. Calcular o mdulo de F1 a fim de que a pea no gire em torno de OA.
F2 = 100 kgf
Respostas (Momento Axial)
1. Mx = -12 kgf.m ; My = -14,8 kgf.m Mz = 45 kgf.m
2. Mdulo: 1,6 kgf.m ; Direo: AB Sentido: de B para A
3. MAB = 8 kgf.m
4. F1 = 170,13 kgf
1.5. Composio e Decomposio de Foras Paralelas
1. Determinar a resultante do sistema de foras paralelas da figura abaixo.
PQ 20 cm
2. Determinar a resultante do sistema de foras paralelas da figura abaixo.
M (8 ; 12) cm N (29 ; 0) cm
3. Achar a posio do centro de foras paralelas para o sistema de foras da figura abaixo.
P (0 ; 12) cm M (0 ; -4) cm Q (-2 ; 0) cm
15 N
P
Q
10 N
.
.
25 N
Q
x
y
M
P
7 N
8 N
.
.
.
F1
80 cm
O
A
50 cm
50 cm
36
F2
x
y
z
.
.
20 kgf
M
N
8 kgf
x
y