advanced con 42014 - ferdowsi university of...
TRANSCRIPT
Ali KarimpourAssociate Professor
Ferdowsi University of Mashhad
ADVANCEDADVANCEDCONTROLCONTROL
Reference:Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design”, 1999.
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
2
Lecture 4State Space Solutions and State Space Solutions and
RealizationRealizationTopics to be covered include: Introduction. Solution of State Equations. Equivalent State Equations. Realizations. Solution of Linear Time-Varying (LTV) Equations. Equivalence Time-Varying Equations. Time-Varying Realizations.
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
3
آنچه پس از مطالعه این مبحث می آموزیدLTIفضاي حالت سیستمهاي معادالتحل •
) جبري(سیستم هاي همانند یا معادل •
هم ارز یا معادل حالت صفر •
شرط وجود پیاده سازي در سیستمهاي خطی •
سازي نحوه پیاده •
LTVفضاي حالت سیستمهاي معادالتحل •
گذار حالت و خواص آنها ماتریساساسی و ماتریس •
LTVهم ارز یا معادل در سیستمهاي •
LTVپیاده سازي سیستمهاي •
• Solution of LTI state equations
• Equivalent(algebraic) state equations
• Zero state equivalent
• Realizable state equations
• Some different realization
• Solution of LTV state equation
• Fundamental matrix and stste transition matrix and their properties
• State Space Representation for LTV Systems
• Realization of LTV Systems
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
4
Introduction
فرم کلی معادالت فضاي حالت در سیستمهاي غیر خطی
مقدمه
If initial condition and input are defined, then x(t), y(t) ?
چند است؟ y(t)و x(t)اگر شرائط اولیه و ورودي مشخص باشد مقدار
LTIفضاي حالت سیستمهاي معادالت
LTVفضاي حالت سیستمهاي معادالت
)()()()()()(tDutCxtytButAxtx
)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
5
Solution of LTI state equation LTIحل معادالت فضاي حالت
)()()(:روش اول tButAxtx
AeAeedtd AtAtAt
در فصول قبل دیدیم
dBuexetx t tAAt )()( 0
)(
0
:داریم e-Atبا ضرب معادله حالت در )()()( tBuetAxetxe AtAtAt
)()( tBuetxedtd AtAt )()()( tBuetAxetxe AtAtAt
:با انتگرال از طرفین داریم dBuexe t AtA
00)()(
و نهایتا
معادله انتقال حالت dBuexetx t
t
tA
t
ttA )()(00
0 )()(
00|)( ttt xtx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
6
Solution of LTI state equation LTIحل معادالت فضاي حالت
)()()( 0 sBusAxxssx
)()()()( 10
1 sBuAsIxAsIsx
dBuexetx t tAAt )()( 0
)(
0 Convolutionintegral
معادله انتقال حالت
روش دوم
با تبدیل الپالس داریم
dBuexetx t
t
tA
t
ttA )()(00
0 )()(
)()()( tButAxtx 00
|)( ttt xtx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
7
Solution of LTI state equation LTIحل معادالت فضاي حالت
dBuexetx t tAAt )()( 0
)(
0
)()()( tButAxtx 00
|)( ttt xtx
eAtروشهاي محاسبه
...:سري نمایی -1!
...!2
22
nn
At AntAttAIe
n-1 :)(AheAtیافتن چند جمله اي درجه -2
ˆ1....و جردناستفاده از فرم -3 QQee tAAt
معکوس الپالساستفاده از تبدیل -4 11 )( AsILeAt
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
8
Solution of LTI state equation LTIحل معادالت فضاي حالت
.سیستم مقابل را در نظر بگیرید: 1-4مثال uxx
10
2110
x(t) مطلوبست
dBuexetx t tAAt )()( 0
)(
0
می دانیم : حل
.را تعیین نمود eAtپس ابتدا باید
1
111
211
)(s
sLAsILeAt
12121
121
122
22
221
sss
ss
sssss
LeAt
tt
tt
At
etteteet
e)1(
)1(
t t
t t
tt
tt
duetduet
xette
teettx
0
)(
0
)(
)())(1()()(
)0()1(
)1()(
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
9
uxx
10
3012
1
111
3012
)(s
sLAsILeAt
310
)3)(2(1
21
1
s
sssL
Solution of LTI state equation LTIحل معادالت فضاي حالت
.سیستم مقابل را در نظر بگیرید : 2-4مثال با فرض اعمال پله واحد x(t) مطلوبست
)0()0(
0)(
2
13
322
xx
eeee
txt
ttt
due
eeet
t
ttt
)(10
00 )(3
)(3)(2)(2
)0()0(
0)(
2
13
322
xx
eeee
txt
ttt
de
eet
t
tt
0 )(3
)(3)(2
.....
.....
t
ttt
At
eeee
e3
322
0
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
10
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
.با توجه به متغیرهاي حالت انتخاب شدهفضاي حالت معادالت مطلوبست) الف: 3-4مثال
.با توجه به متغیرهاي حالت انتخاب شدهفضاي حالت معادالت مطلوبست) ب
2
1
2
1
2
1
10
01
1110
xx
y
uxx
xx
2
1
2
1
2
1
11
11
0111
xx
y
uxx
xx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
11
ddcPc
PbbPAPA
ˆˆ
ˆˆ1
1ducxybuAxx
udwcy
ubwAwˆˆ
ˆˆ
1- It can lead to a simpler system. امکان ساده سازي سیستم -1
Pxw
Similarity transformation
2- It doesn’t change the eigenvalues. عدم تغییر مقادیر ویژه -23- Similar transfer function. توابع انتقال یکسان - 34- It doesn’t change observability. عدم تغییر رویت پذیري -4
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
5- It doesn’t change controllability. عدم تغییر کنترل پذیري - 5
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
12
ddcPc
PbbPAPA
Pxw
ˆˆ
ˆˆ1
1
ducxybuAxx
udwcy
ubwAwˆˆ
ˆˆ
تبدیل همانندي مقادیر ویژه را تغییر نمی دهد
0 AsI 0ˆ AsI
AsI ˆ 11 PAPsPP 1)( PAsIP 1 PAsIP
AsI
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
عدم تغییر مقادیر ویژه
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
13
ddcPc
PbbPAPA
Pxw
ˆˆ
ˆˆ1
1
ducxybuAxx
udwcy
ubwAwˆˆ
ˆˆ
تبدیل همانندي تابع انتقال را تغییر نمی دهد
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
توابع انتقال یکسان
dbAsIcsg ˆˆ)ˆ(ˆ)(ˆ 1 dPbPAPsIcP 111 )(
dPbPAsIPcP 111 )( dbAsIc 1)(
)(sg
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
14
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
همانندي تبدیالتکاربرد
یافتن سیستمهاي همانند ساده تر•
............. و مودال، فرم جردنفرمهاي کانونی، فرم
مدرج سازي براي پیاده سازي بهتر•
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
15
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
همانندي در مدرج سازي تبدیالتکاربرد . سیستم مقابل را در نظر بگیرید: 5-4مثال
2
1
2
1
2
1
12.0
1.010
1021.0
xx
y
uxx
xx
[y,x,t]=step(A,b,c,d);plot(t,x,t,y)grid onxlabel('Time(sec)')
1x
2x
y
10±براي پیاده سازي تماما داخل بازه
؟؟؟ yتاثیر تبدیل همانندي بر خروجی
؟؟؟ xتاثیر تبدیل همانندي بر حاالت
2211 ?ˆ,?ˆ xxxx
xPxx
?00?
ˆ01.0
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
16
Equivalent state equation )معادل(معادالت فضاي حالت همانند
همانندي در مدرج سازي تبدیالتکاربرد
2
1
2
1
2
1
12.0
1.010
1021.0
xx
y
uxx
xx
1x̂
2x̂
y 10±در بازه متغیرهاتمام
ddcPc
PbbPAPA
Pxx
ˆˆ
ˆˆˆ
1
1
2
1
2
1
2
1
ˆˆ
ˆˆ
ˆˆ
xx
y
uxx
xx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
17
Zero state equivalent هم ارز حالت صفر
ماتریسحالت صفر گویند اگر ) هم ارز(معادله فضاي حالت را معادل دو دسته : 1- 4تعریف .تابع انتقال آنها یکسان باشد
معادله فضاي حالت زیر همانند هستند؟ معادل حالت صفر چطور؟آیا ) الف: 4-4مثال
2
1
2
1
2
1
11
01
1002
xx
y
uxx
xx
xyuxx
2
. واضح است که همانند نیستند
21)(
ssg
21)(
ssg
. فضاي حالت داده شده معادل حالت صفر هستند معادالت
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
18
هستند )داراي تابع انتقال یکسان (حالت زیر معادل حالت صفر معادالتدو دسته : 1- 4قضیه . اگر و فقط اگر روابط زیر برقرار باشد
udwcyubwAw
ducxybuAxx
....,2,1,0
mbAcbcAdd
mm
:حالت فوق داراي توابع انتقال زیر هستند معادالتدو دسته : اثبات
bAsIcdbAsIcd 11 )()( : با استفاده از بسط سري داریم
...... 32213221 sbAcsbAcsbcdbscAcAbscbsd
Zero state equivalent هم ارز حالت صفر
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
19
Realization
EuCxyBuAxx
معادالت فضاي حالتThis transformation
is uniqueEBAsICsG 1)()(
خروجی-توصیف ورودي)تابع انتقال(
EBAsICsG 1)()(
خروجی-توصیف ورودي)تابع انتقال( Realization
EuCxyBuAxx
معادالت فضاي حالت
This transformationis not unique
براي چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضاي حالتی وجود دارد؟: نکته مهم
پیاده سازي
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
20
Realization پیاده سازي
.واضح است که براي اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد: اثبات
قابل پیاده سازي G(s)انتقال ماتریس G(s) گویاي مناسب ماتریس
گویاي مناسب ماتریس G(s) قابل پیاده سازي G(s)انتقال ماتریس
:ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم
فضاي حالت مقابل وجود دارد معادالتقابل پیاده سازي است لذا G(s)چون DuCxyBuAxx
پس تابع انتقال برابر است با DBAsICsG 1)()( DB
AsIAsIadjC
)( ..........................................
گویاي مناسب باشد ماتریس G(s)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر Gqp(s)انتقال ماتریس: 2- 4قضیه
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
21
گویاي مناسب باشد ماتریس G(s)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر Gqp(s)انتقال ماتریس: 2- 4قضیه
Realization پیاده سازي
گویاي مناسب ماتریس G(s) قابل پیاده سازي G(s)انتقال ماتریس
:حال طرف دوم قضیه را اثبات می کنیم
)()()( sGGsG sp
G(s) گویاي مناسب است لذا داریم ماتریس : rr
rr NsNsNsNsd
G
1
2
2
1
1 ...)(
1)(
: در رابطه فوقrr
rr ssssd
1
1
1 ...)(فضاي حالت سیستم عبارتست از معادالتحال ادعا می کنیم
uGxNNNNy
u
I
x
I
II
IIII
x
rr
p
p
p
p
pppp
pppp
ppp
prprpp
)(...
0
00
0...00
00...00...0
...
121
121
)(....)( 1 sGDBAsIC
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
22
گویاي مناسب باشد ماتریس G(s)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر Gqp(s)انتقال ماتریس: 2- 4قضیه
Realization پیاده سازي
فضاي حالت سیستم عبارتست از معادالتحال ادعا می کنیم
uGxNNNNy
u
I
x
I
II
IIII
x
rr
p
p
p
p
pppp
pppp
ppp
prprpp
)(...
0
00
0...00
00...00...0
...
121
121
)(....)( 1 sGDBAsIC
rZ
ZZ
BAsI
2
1
1)(
rZ
ZZ
AsIB
2
1
)(
12 ZsZ
23 ZsZ
34 ZsZ
1 rr ZsZPrr IZZZsZ ...22111 Pr
r IZss
sZ
11
211 ...
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
23
گویاي مناسب باشد ماتریس G(s)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر Gqp(s)انتقال ماتریس: 2- 4قضیه
Realization پیاده سازي
فضاي حالت سیستم عبارتست از معادالتحال ادعا می کنیم
uGxNNNNy
u
I
x
I
II
IIII
x
rr
p
p
p
p
pppp
pppp
ppp
prprpp
)(...
0
00
0...00
00...00...0
...
121
121
)(....)( 1 sGDBAsIC
12 ZsZ 23 ZsZ 1...
rr ZsZ
Pr
r IZss
sZ
11
211 ...
P
r
IsdsZ
)(
1
1
P
r
Isd
sZ)(
2
2
Pr Isd
Z)(
1
)(...)(
1)()( 2
2
1
1
2
1
1
GNsNsNsd
D
Z
ZZ
CGBAsIC r
rr
r
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
24
Realization پیاده سازي.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 6-4مثال
2)2(
1)2)(12(
12
312
104
)(
ss
ss
sss
sG
22 )2(
1)2)(12(
12
312
12
0002
)2(1
)2)(12(1
23
12104
)(
ss
ss
ss
ss
ss
sss
sG
)5.0)(1()2(5.0)5.0)(2(3)2(6
265.41
0002
)(2
23 ssssss
ssssG
5.01324
5.15.05.724
1036
265.41
0002
)( 2
23ss
ssssG
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
25
Realization پیاده سازي.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 6-4مثال
2)2(
1)2)(12(
12
312
104
)(
ss
ss
sss
sG
5.01324
5.15.05.724
1036
265.41
0002
)( 2
23ss
ssssG
uxy
uxx
0002
5.015.15.0103245.72436
000000001001
00100000010000001000000120605.40
020605.4
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
26
Realization پیاده سازي
pu
uu
sGsusGsy
2
1
)()()()(
pcpcc usGusGusGsusGsy )()()()()()( 2211
)()()()()()( 21 sysysysusGsy cpcc
2
1
21
2
1
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
00
uu
ddxx
CCyyy
uu
bb
xx
AA
xx
cc
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
27
Realization پیاده سازي
.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 7-4مثال
2)2(
1)2)(12(
12
312
104
)(
ss
ss
sss
sG
)2)(12(1
12104
)(1:,
ss
ss
sG
2
2:,
)2(12
3
)(
ssssG
5.0)2(6
15.21
02
)(21:,
sss
sG
5.012
06
15.21
02
)(21:,
sss
sG
111
11
02
5.00126
01
0115.2
uxy
uxx
c
1)2(3
441
00
)(22:, s
sss
sG
16
13
441
00
)(22:, s
sssG
222
222
00
1163
01
0144
uxy
uxx
c
:ستون اول :ستون دوم
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
28
Realization پیاده سازي
.فضاي حالتی سیستم مقابل را بدست آورید معادالت: 7-4مثال
2)2(
1)2)(12(
12
312
104
)(
ss
ss
sss
sG
111
111
02
5.00126
01
0115.2
uxy
uxx
c
222
222
00
1163
01
0144
uxy
uxx
c
:ستون اول :ستون دوم
2
1
2
1
0002
115.0063126
00100001
01004400
00010015.2
uu
xy
uu
xx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
29
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
.مقابل است معادالتدر این بخش هدف حل
)()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx
:ابتدا قسمت همگن را حل می کنیم)()()( txtAtx
شرط اولیه nاست nnداراي ابعاد Aبا فرض اینکه : )اساسی ماتریس(2- 4تعریف و x1(t) ،x2(t)فرض کنید .در نظر میگیریم xn(t0)... و x1(t0) ،x2(t0)مستقل
...xn(t) اساسی ماتریسپاسخ سیستم به شرایط اولیه انتخاب شده است در اینصورت.زیر تعریف می شود بصورت
)()()()( 21 ttttX nxxx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
30
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
)(000
)( txt
tx
.....اساسی ماتریس: نکته
.اساسی سیستم مقابل را بدست آورید ماتریس: 8-4مثال
.مقابل در نظر گرفته می شود بصورتشرایط اولیه مستقل
01
)0(1x
21
)0(2
x
.مقابل در نظر گرفته می شود بصورتشرایط اولیه مستقل همچنین می تواند
25.05.0
11)(
22 tttX
21 5.01
)(t
tx
25.0
1)(
22 ttx
01
)0(1x
10
)0(2
x
15.001
)(2t
tX
21 5.01
)(t
tx
10
)(2 tx
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
31
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
. در معادله همگن زیر صدق می کند X(t)اساسی ماتریس: نکته )()()( txtAtx
:پس داریم
)()()( tXtAtX
. تمام زمانها غیر منفرد است ازايبه X(t)اساسی ماتریس: 1- 4لم
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
32
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
: )گذار حالت ماتریس(3- 4تعریف : اساسی معادله همگن زیر باشد ماتریسهر X(t)فرض کنید
)()()( txtAtx
:زیر تعریف میشود بصورتگذار حالت ماتریسدر اینصورت
)()(),( 0
1
0 tXtXtt
:دستگاه معادله زیر است بفردجواب منحصر گذار حالت ماتریس
Itt
tttAttt
),(
),()(),(
00
00
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
33
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
)(000
)( txt
tx
.گذار حالت سیستم مقابل را بدست آورید ماتریس: 9-4مثال
25.05.0
11)(
22 tttX
15.001
)(2t
tX
.اساسی سیستم محاسبه شد ماتریسدر مثال قبل
5.025.05.0125.0
25.05.011
)()(),(2
0
2
0
220
1
0 tt
tttXtXtt
1)(5.001
),(2
0
20 tttt
اساسی بعدي ماتریسو براي
15.001
15.001
)()(),(2
0
20
1
0 tttXtXtt
1)(5.001
),(2
0
20 tttt
.....ماتریس گذار حالت : نکته
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
34
1- Φ(t,t) = I
خواص ماتریس انتقال حالت
2- Φ-1(t,t0)= Φ(t0,t)
3- Φ(t2,t1)Φ(t1,t0) = Φ(t2,t0)
Property of state transition matrix
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
35
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
.مقابل بود معادالتدر این بخش هدف حل )()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx
:ازعبارت است ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق
:می کند ارضابراي اثبات ادعاي فوق ابتدا باید نشان دهیم معادله فوق شرط اولیه را
:و همچنین باید رابطه داده شده در معادله باال صادق باشد)()()()(.................................)( tutBtxtAtx
t
tt
t
tt
duBtxtt
duBtxtttx
00
00
)()(),(),(
)()(),(),()(
00
0
0
0
00)()(),(),()( 000 t
t
tt xduBtxtttx
:ازعبارت است پس خروجی
t
tt tutDduBttCxtttCty00
)()()()(),()(),()()( 0
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
36
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
.مقابل بود معادالتدر این بخش هدف حل )()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx
:ازعبارت است ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق
t
tt
t
tt
duBtxtt
duBtxtttx
00
00
)()(),(),(
)()(),(),()(
00
0
:ازعبارت است پس خروجی t
tt tutDduBttCxtttCty00
)()()()(),()(),()()(0
:ازعبارت است پاسخ ورودي صفر
0),()( 0 txtttx
0),()()(
0 txtttCty :ازعبارت است پاسخ حالت صفر
t
t tutDduBttCty0
)()()()(),()()(
t
t duttDBttCty0
)()()()(),()()(
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
37
Solution of LTV state equation LTVحل معادالت فضاي حالت
.مقابل بود معادالتدر این بخش هدف حل )()()()()()()()()()(tutDtxtCtytutBtxtAtx
:ازعبارت است ادعا می کنیم جواب دستگاه فوق
t
tt
t
tt
duBtxtt
duBtxtttx
00
00
)()(),(),(
)()(),(),()(
00
0
:ازعبارت است پس خروجی t
tt tutDduBttCxtttCty00
)()()()(),()(),()()(0
:ازعبارت است پاسخ حالت صفر t
t duttDBttCty0
)()()()(),()()(
t
t dutGty0
)(),()( :قبال دیدیم
)()()(),()(),( ttDBttCtG )()()()()()( 1 ttDBXtXtC
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
38
ddcPc
PbbPAPA
ˆˆ
ˆˆ1
1ducxybuAxx
udwcy
ubwAwˆˆ
ˆˆ
عدم تغییر مقادیر ویژه و توابع انتقال یکسان: خواص مهم
Equivalent state equation for LTV systemsLTVمعادالت فضاي حالت همانند در سیستم
:داریم LTVاما در مورد سیستمهاي
.....)(ˆ tA
utdxtcyutbxtAx
)()()()(
utdwtcy
utbwtAw
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ
ddtcPtcbtPtb ˆ),()(ˆ,)()(ˆ 1
عدم تغییر پاسخ ضربه: خواص مهم
Pxw
Similarity transformation
P(t)xw
Similarity LTV transformation
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
39
Equivalent state equation for LTV systemsLTVمعادالت فضاي حالت همانند در سیستم
utdxtcyutbxtAx
)()()()(
utdwtcy
utbwtAw
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ
اي بگونهرا P(t)ثابت دلخواه باشد در اینصورت در رابطه باال تبدیل ماتریس A0فرض کنید : 3- 4قضیه ˆ)(0می توان انتخاب نمود که AtA
:اثبات
)(matrix lFundumenta
tX
tAetW 0)(matrix lFundumenta
)()()( 0 tXtPetW tA )()( 10 tXetP tA
0............................)(ˆ AtA
P(t)xw
Similarity LTV transformation
utdxtcyutbxtAx
)()()()(
utdwtcy
utbwAw
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ0
P(t)xw
Similarity LTV transformation
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
40
Equivalent state equation for LTV systemsLTVمعادالت فضاي حالت همانند در سیستم
داریم A0=0در حالت خاص در قضیه قبل با فرض
xtPW )(
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
41
Equivalent state equation for LTV systemsLTVمعادالت فضاي حالت همانند در سیستم
utdxtcyutbxtAx
)()()()(
P(t)xw
ation transformLTV Similarity
utdwtcy
utbwtAw
)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ
نامیده می شود اگر لیاپانوفیتبدیل P(t) ماتریس: )لیاپانوفیتبدیل (4- 4تعریف
1- P(t) غیر منفرد باشد.
2- P(t) وP’(t) پیوسته باشد.
3- P(t) وP-1(t) براي تمامt باشد کراندار.
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
2
1
2
1
2
1
11
01
1002
xx
y
uxx
xx
42
Equivalent state equation for LTV systemsLTVمعادالت فضاي حالت همانند در سیستم
براي سیستم مقابل تبدیل همانندي اي بیابید که: 11-4مثال
است؟ لیاپانوفیآیا تبدیل بدست آمده . و سیستم جدید را نمایش دهید
0000
)(ˆ0AtA
)()( 10 tXetP tA :تبدیل همانندي مورد نظر عبارتست از
t
t
t
t
ee
ee
tP0
00
01001
)(212
)()()()(ˆ 1 tPtPAtPtA )(0
0210
020
01
22
tPe
ee
et
t
t
t
0000
)()()(ˆ tbtPtb
01
002
t
t
ee
0
2 te tt eetPtctc 21 )()()(ˆ 0)(ˆ td
. نیست لیاپانوفیتبدیل بدست آمده
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
43
Realization for LTV systems
utDxtCyutBxtAx)()()()(
معادالت فضاي حالت This transformation
is unique)()(
)()()()(),( 1
ttDBXtXtCtG
پاسخ ضربه
Realization
This transformationis not unique
براي چه سیستمهایی امکان محاسبه توصیف فضاي حالتی وجود دارد؟: نکته مهم
LTVپیاده سازي سیستمهاي
)()()()()()(),( 1
ttDBXtXtCtG
پاسخ ضربه
utDxtCyutBxtAx)()()()(
معادالت فضاي حالت
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
44
.واضح است که براي اثبات باید هر دو طرف قضیه را اثبات کرد: اثبات
قابل پیاده G(t,)پاسخ ضربه ماتریسسازي
قابل پیاده G(t,)پاسخ ضربه ماتریسسازي
:ابتدا به اثبات قسمت اول می پردازیم
فضاي حالت مقابل وجود دارد معادالتقابل پیاده سازي است لذا G(t,)پاسخ ضربه چون
utDxtCyutBxtAx)()()()(
:پس پاسخ ضربه عبارتست از
)()()()(.........)()()(),()(),( ttDNtMttDBttCtG
زیر بصورترا G(t,)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر بتوان Gqp(t,)پاسخ ضربه ماتریس: 4- 4قضیه .بیان نمود
Realization for LTV systems LTVپیاده سازي سیستمهاي
)()()()(),( ttDNtMtG
)()()()(),( ttDNtMtG
)()()()(),( ttDNtMtG
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
45
قابل پیاده G(t,)پاسخ ضربه ماتریسسازي
:حال به اثبات قسمت دوم می پردازیم
utDxtMy
utNxx
)()(
)(00
00
:فضاي حالت سیستم مقابل عبارتست از معادالتادعا می کنیم
)()()(),()(),( ttDBttCtG
زیر بصورترا G(t,)قابل پیاده سازي اگر و فقط اگر بتوان Gqp(t,)پاسخ ضربه ماتریس: 4- 4قضیه .بیان نمود
Realization for LTV systems LTVپیاده سازي سیستمهاي
)()()()(),( ttDNtMtG
)()()()(),( ttDNtMtG
)()()()( ttDINtM
)()()()( ttDNtM
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
46
Realization for LTV systems LTVپیاده سازي سیستمهاي
در صورت . نظر بگیریددر g(t)=teλtرا به صورت LTIضربه یک سیستم پاسخ : 12-4مثال .بدست آورید LTVو یک پیاده سازي LTIامکان یک پیاده سازي
ttetg )(
222 21
)(1)(
ssssg
: LTIپیاده سازي
: LTVپیاده سازي xy
uxx
1001
012 2
)()()( tettg
ee
teetg tt)( xteey
uete
xx
tt
t
t
0000
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
47
Exercises تمرینها
xx: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید: 1-4تمرین
0110
پاسخ سیستم به شرط اولیه مطلوبست
11
)شرط اولیه صفر است(مطلوبست پاسخ پله واحد سیستم مقابل : 2-4تمرین
xy
uxx
3211
2210
:مطلوبست فرم کانونی جردن و فرم مودال سیستم مقابل: 3-4تمرین
xy
uxx
011101
220101002
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
48
Exercises تمرینها
: معادله حالت مقابل را در نظر بگیرید: 4-4تمرین
معادله حاالت مقابل را در نظر بگیرید آیا این دو معادله حالت همانند هستند؟: 5-4تمرین . آیا هم ارز حالت صفر هستند
xy
uxx
011101
220101002
xy
uxx
011011
100220212
xy
uxx
011011
100120112
اگر به ورودي . تبدیل همانندي اي بیابید که دامنه متغیرهاي حالت با خروجی یکسان باشداي تنظیم کنید که کلیه حاالت و خروجی در بگونهرا aاعمال شود مقدار aپله با دامنه
. باشد ±10بازه
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
49
Exercises تمرینها
: انتقال مقابل را بیابید ماتریسپیاده سازي : 6-4تمرین
انتقال مقابل را از طریق یافتن معادله حالت براي هر ستون و ماتریسپیاده سازي : 7-4تمرین : الحاق آنها را بیابید
212
)2)(1(32
12
)(
ss
ss
sss
ssG
212
)2)(1(32
12
)(
ss
ss
sss
ssG
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
50
Exercises تمرینها
: انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید ماتریساساسی و ماتریس: 8-4تمرین
: انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید ماتریساساسی و ماتریس: 9-4تمرین
: انتقال حالت سیستم مقابل را بیابید ماتریساساسی و ماتریس: 10-4تمرین
xt
x
010
xe
xt
101 2
xt
tx
cos00sin
xt
tx
cos00sin
: یک سیستم غیر متغیر با زمان براي سیستم مقابل بیابید: 11-4تمرین
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
51
Exercises تمرینها
براي سیستم LTVو یک پیاده سازي LTIدر صورت امکان یک پیاده سازي : 12-4تمرین tettg.مقابل بیابید 2)(
براي سیستم LTVو یک پیاده سازي LTIدر صورت امکان یک پیاده سازي : 13-4تمرین .مقابل بیابید
cos)(sin),( )( tettg ماتریسبراي : 14-4تمرین
:نشان دهید
)()()()(
2221
1211
tatatata
A
t
t daatt0
)()(exp),(det 22110
:جواب معادله زیر است X(t)=eAtCeBtنشان دهید که : 15-4تمرین
CXXBAXX )0(
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
52
Exercises تمرینها
فرض کنید : 16-4تمرین
: انتقال حالت سیستم مقابل است ماتریس
: نشان دهید که
نشان دهید که جواب معادله: 17-4تمرین
:عبارتست از
.مستقل است tاز X(t)و همچنین مقادیر ویژه
11 )()()( AtXtXAtX
),(),(),(),(
),(022021
012011
0 tttttttt
tt
xtAtAtA
x
)(0)()(
22
1211
2,1),(),(
0),(
00
0021
iforttAttt
tandtallfortt
iiiiii
tAtA eXetX 11 )0()(
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
53
Answers to selected problems
:1- 4جواب
:2- 4جواب
.همانند نیستند ولی هم ارز حالت صفر هستند: 5- 4جواب
:6- 4جواب
uxy
uxx
tfortety
tttt
tx
t
1100
26233422
00001001
001000012030
0203
0sin5)(
sincossincos
)(
lecture 4
Dr. Ali Karimpour May 2014
54
Answers to selected problems:8- 4جواب
:9- 4جواب
:10- 4جواب
:12- 4جواب