adln perpustakaan universitas airlanggarepository.unair.ac.id/25721/1/saputri, sofia...
TRANSCRIPT
PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM
LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE
SKRIPSI
SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI
PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA
2012
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
ii
PERBANDINGAN HASIL ESTIMASI MODEL REGRESI LOGISTIK BINER MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM
LIKELIHOOD DAN METODE WEIGHTED LEAST SQUARE
SKRIPSI
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika
Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga
Oleh :
SOFIA UTAMI DEWI SAPUTRI NIM. 080710447
Tanggal Lulus : September 2012
Disetujui Oleh :
Pembimbing I
Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002
Pembimbing II
Drs. Suliyanto, M.Si
NIP. 19650907 199102 1 001
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
iii
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI
Judul : Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik
Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan
Metode Weighted Least Square
Penyusun : Sofia Utami Dewi Saputri
NIM : 080710447
Tanggal Ujian : September 2012
Disetujui oleh :
Pembimbing I
Toha Saifudin, S.Si, M.Si NIP. 19750106 199903 1 002
Pembimbing II
Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001
Mengetahui :
Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains Teknologi
Universitas Airlangga
Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
iv
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI
Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seijin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah. Segala Puji Syukur atas kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi dengan
judul “Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner
Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least
Square” dapat terselesaikan. Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk memenuhi
sebagian persyaratan guna memperoleh gelar sarjana pada pogram studi
Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.
Penulis menyadari bahwa berkat bantuan dan dukungan dari berbagai
pihak, maka skripsi ini dapat tersusun. Oleh karena itu, pada kesempatan ini
penulis menyampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya
kepada :
1. Kepada Ibunda saya tercinta Anna Laila Ahmad dan Ayahanda saya
tercinta Anwar Shodiq (Alm.) atas segala dukungan dan doanya.
2. Kepada ketiga kakak saya, Evy Rosydiana dan mas Indun, Fuad Ahmadi
dan mbak Ranty dan Ahmad Fauzi dan mbak Dian serta adik saya Bagus
Pranoto Abdillah serta Saudara-saudara saya atas doa serta dukungannya.
3. Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen
pembimbing I dan II yang telah memberikan bimbingan kepada penulis
dalam penyusunan skripsi ini dengan penuh keikhlasan dan kesabaran
hingga selesainya skripsi ini.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
vi
4. Drs. Sediono, M. Si selaku dosen wali yang telah banyak membantu dalam
kegiatan akademis selama Penulis belajar di Fakultas Sains dan Teknologi
UNAIR.
5. Dr.Miswanto selaku KAPRODI Matematika sekaligus KADEP
Matematika yang telah memberikan arahan dalam penyusunan skripsi.
6. Seluruh mahasiswa UNAIR angkatan 2007, khususnya mahasiswa Jurusan
Matematika angkatan 2007 atas kerjasama, do’a dan dukungannya.
7. Sahabat-sahabat saya Herlina, Trisfiyanti, Uum, Tia, Arista dan Galuh
terimakasih atas dukungan serta doa kalian semua.
8. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini.
Semoga segala pengorbanan dan bantuan yang telah diberikan
kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini mendapat imbalan dan
amalan yang diridhoi Allah S.W.T. Semoga skripsi ini dapat memberikan
manfaat bagi semua pihak yang berkepentingan.
Surabaya, September 2012
Penyusun
Sofia Utami Dewi Saputri
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
vii
Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square. Skripsi ini di bawah bimbingan Toha Saifudin, S.Si, M.Si dan Drs. Suliyanto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya
ABSTRAK
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square. Proses estimasinya menggunakan algoritma Newton raphson dan Iteratively reweighted least square. Untuk penerapan pada data dibuat program menggunakan Software S-PLUS 2000
Perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum likelihood dan metode Weighted least square diterapkan pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti. Variabel respon yang digunakan adalah jumlah kematian larva Aedes aegypti (Y), sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba (X1) dan lama waktu pengamatan (X2). Dari hasil analisa data diperoleh bahwa metode yang baik adalah metode Maximum likelihood dengan nilai Mean Square Error (MSE) dan Apparent Rate Error (APPER) yang terkecil , yaitu sebesar 0,6566313 dan 4,44%. Kata Kunci : Regresi logistik biner, Maximum Likelihood, Algoritma Newton
Raphson, Weighted Least Square, Iteratively Rweighted Least Square dan Kematian larva Aedes aegypti.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
viii
Sofia Utami Dewi Saputri, 2012. Comparison of Results of Binary Logistic Regression Model Estimation Method Using Maximum Likelihood and Weighted Least Square Method. This thesis under the guidance of Toha Saifudin S. Si, M. Si and Drs. Suliyanto M. Si. Department of Mathematics, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya.
ABSTRACT
The purpose of this paper is to compare the results of binary logistic regression model was estimated using the method Maximum Likelihood and Weighted Least Square method. Estimation process using the Newton Raphson algorithm and Iteratively Reweighted Least Squares. For the application on the data use S-PLUS 2000 software.
Comparison of the results of binary logistic regression model was estimated using the method of Maximum Likelihood and weighted least square method applied to the data of larvaside effectivity test of Neem leaf ethanol extract (Azadirachta indica) on Aedes aegypti larvae. The respon variable that is used is the mortality percentage of Aedes aegypti larvae (Y), while the predictor variables that are used are consentration of ethanol extract of Neem leaf (X1) and time of observation (X2). From the analysis og the data obtained is that a good method Maximum likelihood method with a value of Mean Square Error (MSE) and the Apparent Rate Error (APPER) is the smallest, that is equal to 0,6566313 and 4,44%. Key Word : Binary logistic regression, Maximum likelihood,Newton Raphson
algorithm, Weighted Least Square, Iteratively Reweighted Least Square, Aedes aegypti larvae mortality.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
ix
DAFTAR ISI
Halaman
LEMBAR JUDUL ...................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ....................................................................... ii LEMBAR PENGESAHAN ........................................................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ..................................... iv KATA PENGANTAR ................................................................................ v ABSTRAK .................................................................................................... vii ABCTRACT ................................................................................................. viii DAFTAR ISI ............................................................................................... ix DAFTAR TABEL ......................................................................................... xi DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. xii BAB I PENDAHULUAN ........................................................................ 1
1.1 Latar Belakang Masalah .................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................. 4 1.3 Tujuan ............................................................................... 4 1.4 Manfaat ............................................................................. 5 1.5 Batasan Masalah ................................................................ 5
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ............................................................... 6
2.1 Matriks .............................................................................. 6 2.2 Distribusi Binomial ............................................................. 7 2.3 Regresi Logistik Biner ......................................................... 7 2.4 Turunan dalam Format Vektor ............................................. 9 2.5 Metode Maximum Likelihood ............................................. 10 2.6 Metode Weighted Least Square .......................................... 10 2.7 Matriks Pembobot Keluarga Generalized Linier Model ..... 11 2.8 Prosedur Klasifikasi ............................................................. 12 2.9 Mean Square Error (MSE)……………………………….. 13 2.10 Algoritma Newton Raphson ................................................. 13 2.11 S-PLUS 2000.................................... ................................... 14 2.12 Aedes aegypti ...................................................................... 17 2.13 Daun Mimba (Azadirachta indica) ..................................... 19
BAB III METODE PENELITIAN .............................................................. 21
3.1. Estimasi model Regresi Logistik Biner .............................. 21 3.1.1. Metode Maximum Likelihood ................................... 21 3.1.2. Metode Weighted Least Square ............................... 23 3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square .......... 24
3.2. Membandingkan Metode MLE dengan Metode WLS ......... 25 3.3. Penerapan Model pada Data ................................................ 26
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ...................................................... 27
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
x
BAB V PENUTUP ........................................................................................ 44
5.1. Kesimpulan .......................................................................... 44 5.2. Saran .................................................................................... 45
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................. 46 LAMPIRAN
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
xi
DAFTAR TABEL
No Judul Tabel Halaman 2.1 Tabel Klasifikasi ................................................................................ 12
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
xii
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor Judul
1. Data Kematian Larva Aedes aegypti
2. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner
dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan
APPER
3. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner
dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan
APPER
4. Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner
dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE
danAPPER
5. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner
dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan
APPER
6. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner
dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan
APPER
7. Output program menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner
dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan
APPER
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam bidang ilmu statistika, untuk mengetahui hubungan antara variabel
respon dengan beberapa variabel prediktor dapat menggunakan analisis regresi
linier. Dalam analisis regresi linier, variabel respon harus bersifat kuantitatif
dengan skala pengukuran minimal interval. Variabel respon juga diasumsikan
berdistribusi normal dan mempunyai ragam yang homogen (Rokhman, 2008).
Pada realita di lapangan menunjukkan bahwa banyak penelitian yang
menghasilkan respon dengan nilai “sukses” atau “gagal”. Bila variabel respon
merupakan data kategorik termasuk data biner maka model regresi linier biasa
tidak dapat digunakan untuk analisis. Salah satu analisis regresi untuk
menganalisis variabel respon berskala biner adalah analisis regresi logistik
(Rokhman, 2008).
Terdapat beberapa metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter
model regresi logistik diantaranya adalah metode Maximum Likelihood, Weighted
Least Square (WLS) dan Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS) dalam
penyelesaian. Metode-metode estimasi tersebut telah dibahas oleh Agresti. Jika
diterapkan terhadap sebuah kasus yang sama, metode-metode tersebut dapat
menghasilkan estimator yang berbeda. Hal inilah yang menarik perhatian penulis
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
2
untuk membahas perbandingan hasil estimasi model regresi logistik biner
menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS dalam skripsi ini. Sebagai
kriteria perbandingan, penulis menggunakan nilai Apparent Error Rate (APPER)
dan Mean Square Error (MSE). APPER merupakan proporsi misklasifikasi
(ketidaktepatan klasifikasi) estimasi terhadap kenyataan yang sebenarnya dari
variabel respon. Nilai APPER berkisar dari hingga . Jika nilai APPER
semakin mendekati maka estimasi yang dilakukan semakin baik. Adapun
MSE merupakan ukuran rata-rata kuadrat kesalahan prediksi. Nilai MSE berupa
bilangan riil non negatif. Jika nilai MSE semakin mendekati 0 maka estimasi yang
dilakukan semakin baik.
Sebagai contoh penerapan, dalam skripsi ini penulis mengambil kasus
kematian larva Aedes aegypti akibat pemberian ekstrak daun mimba. Data yang
penulis gunakan, diadopsi dari Aradilla (2009). Berdasarkan data tersebut penulis
melakukan pemodelan regresi logistik menggunakan metode estimasi Maximum
Likelihood dan WLS, selanjutnya membandingkan hasilnya menggunakan kriteria
APPER dan MSE.
Aedes aegypti merupakan jenis nyamuk yang dapat membawa virus
dengue penyebab penyakit demam berdarah. Selain dengue, Aedes aegypti juga
merupakan pembawa virus demam kuning (yellow fever) dan chikungunya.
Penyebaran jenis ini sangat luas, meliputi hampir semua daerah tropis di seluruh
dunia. Sebagai pembawa vius dengue, Aedes aegypti merupakan pembawa utama
(primary vector) dan bersama Aedes Albopictus menciptakan siklus persebaran
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
3
dengue di desa dan kota. Aedes aegypti umumnya berkembang biak di rumah
penduduk, sedangkan Aedes Albopictus lebih suka di cekungan dahan pohon yang
menampung air (Judarwanto, 2007). Dalam Daniel (2008) dijelaskan bahwa
tindakan pencegahan dengan memberantas sarang nyamuk dan membunuh larva
serta nyamuk dewasa, merupakan tindakan yang terbaik.
Dalam Aradilla (2009) disebutkan bahwa tanaman Mimba (Azadirachta
indica) merupakan tanaman obat yang memiliki berbagai macam kegunaan. Salah
satu kegunaannya adalah sebagai biopestisida (larvasida). Berdasarkan penelitian
yang dilakukan oleh Ndione, et all pada tahun 2007, dengan menggunakan biji
daun mimba terhadap larva Aedes aegypti Linnaeus 1762, yang juga mengandung
azadirachtin, salalinin, meliantriol, nimbin dan nimbidin, daun mimba mampu
membunuh larva Aedes aegypti. Mimba tidak membunuh hama secara cepat
namun memiliki mekanisme kerja menurunkan nafsu makan dan menghambat
pertumbuhan dan reproduksi. Daya larvasida daun mimba berasal dari kandungan
aktifnya yang disebut azadirachtin dan salanin. Senyawa-senyawa yang dikandung
daun mimba itulah yang diduga dapat memberikan efek larvasida dari ekstrak
ethanol daun mimba.
Untuk mempermudah komputasi, penulis membuat pemrograman estimasi
dan perbandingan hasil estimasi dengan menggunakan S-PLUS 2000 dan
menerapkannya pada data uji efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba
(Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
4
1.2 Rumusan Masalah
1. Bagaimana hasil estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode
Maximum Likelihood dan WLS ?
2. Bagaimana membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner
menggunakan metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan
kriteria nilai APPER dan MSE ?
3. Bagaimana menerapkan model regresi logistik biner pada data uji
efektivitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica)
terhadap larva Aedes aegypti?
1.3 Tujuan
1. Mendapatkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan
metode Maximum Likelihood dan metode WLS.
2. Membandingkan hasil estimator model regresi logistik biner berdasarkan
metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan kriteria nilai
APPER dan MSE.
3. Mendapatkan metode yang baik diantara metode Maximum Likelihood dan
WLS pada pemodelan regresi logistik untuk data uji efektivitas larvasida
ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes
aegypti.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
5
1.4 Manfaat
1. Menambah referensi dan wawasan mengenai estimasi parameter model
regresi logistik biner dengan menggunakan metode Maximum Likelihood,
Weighted Least Square.
2. Secara teoritis akan memberikan tambahan wawasan terhadap ilmu
statistika terutama tentang model regresi logistik.
3. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai salah satu
referensi untuk mengetahui metode-metode yang lebih baik diantara
Maximum Likelihood dan WLS dalam mengestimasi parameter model
regresi logistik biner.
1.5 Batasan Masalah
Perbandingan dilakukan secara empiris. Kriteria perbandingan hasil
estimasi dari metode Maximum Likelihood dan WLS menggunakan nilai APPER
(Apparent Error Rate) dan MSE (Mean Square Error).
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
6
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Matriks
Definisi 2.1
Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan
yang disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-bilangan
itu disebut entri atau elemen matriks. Bentuk umum suatu matriks yang
terdiri dari n baris dan k kolom adalah :
Matriks tersebut dapat disajikan dalam notasi matriks yaitu ,
i = 1, 2, …, n dan j =1, 2, …, k (Anton, 2005).
Jika M adalah matriks berukuran nxm maka transpose dari M dinotasikan
yang didefinisikan sebagai matriks yang berukuran mxn yang merupakan hasil
pertukaran baris dan kolom dari matriks M (Anton, 2005).
Definisi 2.2
Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya
adalah nol kecuali elemen pada diagonal utama. Jadi disebut
matriks diagonal jika untuk (Anton, 2005).
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
7
Definisi 2.3
Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A jika AB = BA = I.
Dalam hal ini invers matriks A dinotasikan . Matriks yang mempunyai
invers disebut matriks non singular (Anton, 2005).
2.2. Distribusi Binomial
Distribusi Binomial merupakan suatu distribusi probabilitas yang dapat
digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan
proses Bernoulli. Dimisalkan maka fungsi probabilitasnya adalah
(Jeff Gill, 2001) :
(2.1)
Jika berdistribusi binomial maka mempunyai rata-rata dan variansi (Agresti,
2002) sebagai berikut :
Rata-rata :
Varian :
2.3. Regresi Logistik Biner
Regresi logistik biner adalah suatu analisis regresi yang digunakan untuk
menggambarkan hubungan antara variabel respon (outcome or dependent)
berskala biner dengan sekumpulan variabel prediktor (explanatory or
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
8
independent) bertipe kategorik maupun numerik (Agresti, 1990). Variabel
berskala biner adalah variabel yang memiliki dua kemungkinan (sukses atau
gagal) (Ricki Indra P, 2009).
Misalkan Y variabel respon dengan nilai sukses atau gagal dan
merupakan nilai dari variabel prediktor, maka bentuk model
regresi logistik adalah (Hosmer dan Lemeshow, 2000) :
(2.2)
Fungsi merupakan fungsi nonlinier sehingga perlu dilakukan
transformasi dengan menggunakan transformasi logit untuk memperoleh fungsi
yang linier agar dapat dilihat hubungan antara variabel respon y dengan variabel
prediktor (Hosmer dan Lemeshow, 2000).
Fungsi logit dari model pada persamaan (2.2) adalah
(2.3)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
9
2.4. Turunan dalam Format Vektor
Definisi 2.4
Misalkan A matriks berukuran k x k dan adalah
vektor kolom berukuran k x 1 dari variabel real, maka disebut
bentuk kuadratik dalam y dan A disebut matriks dari bentuk kuadratik
(Suliyanto, 2010).
Definisi 2.5
Diasumsikan bahwa skalar z dapat ditulis sebagai fungsi dari k variabel
dan dinyatakan sebagai berikut :
dengan
merupakan vektor kolom yang mempunyai elemen ke-i adalah
, sehingga
Aturan Differensial
Beberapa aturan differensial untuk vektor (Suliyanto, 2010) :
1. Misalkan z = a’y, dengan a adalah vektor scalar, maka
2. misalkan z = y’y, maka
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
10
3. misalkan z = y’Ay, dengan A adalah matriks berukuran k x k, maka
2.5. Metode Maximum Likelihood
Misalkan merupakan variabel random identik independen dari
suatu distribusi PDF , untuk dengan ruang parameter. PDF
bersama antara adalah Jika PDF bersama
tersebut dinyatakan sebagai fungsi terhadap maka dinamakan fungsi Likelihood
yang dinotasikan L atau ditulis :
Jika statistik memaksimumkan fungsi likelihood
, maka statistik adalah maximum
likelihood estimator (MLE) dari (Hogg and Craig, 1995).
2.6. Metode Weighted Least Square
Menurut Suliyanto, dalam sebagian pengamatan yang digunakan dalam
analisis regresi biasanya mengalami sebuah penyimpangan asumsi galat.
Penyimpangan tersebut biasanya terlihat dari , melainkan suatu
matriks diagonal dengan unsur-unsur pada diagonal utama tidak sama. Dimisalkan
terdapat sebuah model regresi :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
11
(2.4)
dengan
dan (2.5)
Dari (2.5) dapat dilihat bentuk penyimpangannya, yaitu matriks , hal
ini mengakibatkan rumus pendugaan kuadrat terkecil tidak
berlaku, sehingga perlu mengubah prosedur untuk memperoleh nilai dugaan
tersebut yaitu menggunakan estimator WLS. Prinsip dari metode ini adalah
mencari nilai parameter yang meminimumkan fungsi . Sehingga
diperoleh
(2.6)
2.7. Matriks Pembobot Keluarga Generalized Lnier Model (GLM)
Residual tidak identik mengakibatkan var(i) tidak sama untuk setiap i,
dinotasikan var(i) = 2i (Pada OLS var(i) = 2). Agar i memenuhi asumsi
identik maka dilakukan transformasi, dengan cara mengalikan i dengan , atau
vektor dengan matriks W-1 dari sisi kiri. W adalah matrik diagonal dengan
elemen (Agresti, 2002)
(2.7)
dengan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
12
dan komponen kolom W. Matrik diagonal yang elemennya terdiri dari
komponen vektor W dinamai Matrik Pembobot (Wiwiek, S. W., 2009).
2.8. Prosedur Klasifikasi
Evaluasi prosedur klasifikasi adalah suatu evaluasi yang melihat peluang
kesalahan klasifikasi yang dilakukan oleh suatu fungsi klasifikasi. Ukuran yang
dipakai adalah apparent error rate (APER). Nilai APER menyatakan nilai
proporsi sampel yang salah diklasifikasikan oleh fungsi klasifikasi (Johnson dan
Wichern, 1992; Alvin C. R., 2002). Penentuan kesalahan pengklasifikasian dapat
diketahui melalui tabel klasifikasi berikut :
Table 2.1 Tabel Klasifikasi
Actual Group
Number of Observation
Predicted Group 1 2
1
2
Keterangan :
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 tepat diklasifikasikan pada
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 1 salah diklasifikasikan pada
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 salah diklasifikasikan pada
= Jumlah pengamatan dari Actual Group 2 tepat diklasifikasikan pada
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
13
(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 1)
(merupakan jumlah pengamatan Actual Group 2)
Predicted Group of 1
Predicted Group of 2
Apparent Error Rate (dalam %)
(2.8)
2.9. Mean Square Error (MSE)
Dalam statistika, Mean Square Error atau MSE dari suatu estimator adalah
nilai ekspektasi dari kuadrat error.
Definisi 2.4
MSE dari estimator terhadap parameter didefinisikan sebagai berikut
(Johnson, 2004)
(2.9)
2.10. Algoritma Newton Raphson
Algoritma Newton Raphson adalah suatu metode iterasi numerik yang dapat
digunakan untuk menghitung hampiran akar-akar sistem persamaan linier dan
tidak linier. Misalkan adalah vektor berdimensi n dan merupakan fungsi
berdimensi n sedemikian hingga
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
14
dan
(2.10)
Prinsip dari metode Newton Raphson adalah mencari nilai yang
memenuhi persamaan . Untuk memperoleh yang memenuhi
persamaan dengan memperbaharui proses iterasi terhadap adalah
(Lawless, 1982)
(2.11)
dengan
, H
dan t adalah indeks
iterasi.
2.11. S-PLUS 2000
Menurut Everit (1994), S-Plus adalah suatu paket program yang
memungkinkan membuat program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia
banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini
adalah baik program internal maupun yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai
subprogram yang akan dibuat.
Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-PLUS 2000 diantaranya:
a. function ( )
Merupakan perintah untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan
dalam program.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
15
Bentuknya : function(...)
b. length ( )
Merupakan perintah length( )digunakan untuk menunjukkan banyaknya
data.
Bentuknya : length(...)
c. for ( )
Merupakan perintah for ( ) digunakan untuk mengulang satu blok
pernyataan berulang kali sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan.
Bentuknya: for(kondisi){pernyataan}
d. sum ( )
Merupakan perintah untuk menjumlahkan semua anggota dari suatu
vektor.
Bentuknya : sum(...)
e. cat ( )
Merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk
karakter dan kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan.
Bentuknya : cat(”...”)
f. rep (a,b)
Merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a
sebanyak b.
Bentuknya : rep(...,...)
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
16
g. matrix(a,b,c)
merupakan perintah untuk membentuk sebuah matrik yang anggotanya a
dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c.
Bentuknya : matrix(...,...,...)
h. if else
Merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi
benar dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah.
Bentuknya : if(kondisi)pernyataan pertama
else pernyataan kedua
i. win.graph()
merupakan perintah awal dalam membuat gambar
Bentuknya : win.graph( )
j. plot()
merupakan perintah untuk membuat plot atau grafik
Bentuknya : plot(x, y, ...)
k. while
merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus
menerus selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar.
Bentuknya : while(logika)
{ pernyataan
}
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
17
l. repeat
merupakan perintah untuk mengulang eksekusi pernyataan secara terus
menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan
perulangan eksekusi.
Bentuknya : repeat
{ pernyataan
if(pernyataan kedua) break
}
2.12. Aedes aegypti
2.12.1. Morfologi Aedes aegypti
Menurut Sudarto (1972) secara umum nyamuk Aedes aegypti sebagaimana
serangga lainnya mempunyai bentuk morfologi sebagai berrikut:
a. Terdiri dari tiga bagian, yaitu : kepala, dada, dan perut
b. Pada kepala terdapat sepasang antena yang berbulu dan moncong yang
panjang (proboscis) untuk menusuk kulit hewan atau manusia dan
menghisap darahnya.
c. Pada dada ada 3 pasang kaki yang beruas serta sepasang sayap depan dan
sayap belakang yang mengecil yang berfungsi sebagai penyeimbang
(halter).
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
18
2.12.2 Siklus Hidup Aedes aegypti
Siklus hidup nyamuk Aedes aegypti secara sempurna terdiri dari 4 (empat)
stadium, yaitu telur, larva, pupa, dan dewasa (Sudarto, 1972; Cahyaningsih,
2011).
1. Telur
Pada waktu dikeluarkan, telur aedes berwarna putih, dan berubah
menjadi hitam dalam waktu 30 menit. Telur dapat bertahan sampai berbulan-
bulan dalam suhu – , namun akan menetas dalam waktu 1 – 2 hari
pada kelembaban rendah. Telur yang diletakkan di dalam air kan menetas
dalam waktu 1 – 3 hari pada suhu , tetapi membutuhkan waktu 7 hari
pada suhu . Pada kondisi normal, telur Aedes aegypti yang direndam di
dalam air akan menetas sebanyak 80% pada hari pertama dan 95% pada hari
kedua.
2. Larva
Setelah menetas, telur akan berkembang menjadi larva (jentik-jentik).
Pada stadium ini, kelangsungan hidup larva dipengaruhi suhu, pH air
perindukan, ketersediaan makanan, cahaya, kepadatan larva, lingkungan hidup,
serta adanya predator. Temperatur optimal untuk perkembangan larva ini
adalah – . Larva berubah menjadi pupa memerlukan waktu 4 – 9
hari dan melewati 4 fase atau biasa disebut instar. Perubahan instar tersebut
disebabkan larva mengalami pengelupasan pada kulit atau biasa disebut
ecdisi/moulting.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
19
3. Pupa
Larva instar IV akan berubah menjadi pupa yang berbentuk bulat gemuk
menyerupai tanda koma. Untuk menjadi nyamuk dewasa diperlukan 21 waktu
2 – 3 hari. Suhu untuk perkembangan pupa yang optimal adalah sekitar
– . Stadium pupa tidak memerlukan makanan. Bentuk nyamuk dewasa
timbul setelah sobeknya selongsong pupa oleh gelembung udara karena
gerakan aktif pupa.
4. Dewasa
Setelah keluar dari selongsong pupa, nyamuk akan diam beberapa saat di
selongsong pupa untuk mengeringkan sayapnya. Nyamuk betina dewasa
menghisap darah sebagai makanannya, sedangkan nyamuk jantan hanya makan
cairan buah-buahan dan bunga. Nyamuk dapat hidup dengan baik pada suhu
– dan akan mati bila berada pada suhu dalam 24 jam.
Nyamuk dapat hidup pada suhu – Rata-rata lama hidup nyamuk
betina Aedes aegypti selama 10 hari.
2.13. Daun Mimba (Azadirachta indica)
Tanaman mimba (Azadirachta indica) termasuk familia Meliaceae. Mimba,
terutama dalam biji dan daunnya mengandung beberapa komponen dari produksi
metabolit sekunder yang diduga sangat bermanfaat, baik dalam bidang pertanian
(pestisida dan pupuk), maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan). Diantaranya
adalah azadirachtin, salanin, meliantriol, nimbin dan nimbidin yang merupakan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
20
kandungan bermanfaat baik dalam bidang pertanian (pestisida dan pupuk)
maupun farmasi (kosmetik dan obat-obatan) (Kardiman dkk, 2004, Cahyaningsih,
2011).
Daun mimba dan biji mimba bisa digunakan sebagai antibiotik, antimikroba,
antifungi, antihelmintik dan antivirus. Selain itu daun mimba dapat digunakan
untuk menurunkan gula darah, menyembuhkan penyakit kulit (Csurhes, 2008),
memiliki efek gastro protektif pada mukosa lambung terhadap ulkus peptikum,
menurunkan total kolesterol dalam darah, LDL- and VLDL-cholesterol,
triglyserid dan total lipid dalam serum (Chattopadhyay dkk, 2005, Cahyaningsih,
2011).
Efek primer azadirachtin terhadap serangga berupa antifeedant dengan
menghasilkan stimulan detteren spesifik berupa reseptor kimia (chemoreseptor)
pada bagian mulut (mouth part) yang bekerja bersama-sama dengan reseptor
kimia yang mengganggu persepsi rangsangan untuk makan (phagostimulant).
Sedangkan efek sekunder Azadirachtin yang dikandung mimba berperan sebagai
ecdyson blocker atau zat yang dapat menghambat kerja hormon ecdyson, yaitu
hormon yang berfungsi dalam menghambat metamorfosa serangga sehingga dapat
mengakibatkan kematian pada serangga (Samsudin, 2008; Cahyaningsih, 2011).
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
21
BAB III
METODE PENULISAN
Metode penulisan yang digunakan dalam penelitian ini melalui langkah-
langkah sebagai berikut ini:
3.1. Estimasi model regresi logistik biner berdasarkan metode :
3.1.1. Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
Langkah 1.
Mengasumsikan data yang mempunyai struktur
i
1.
2.
N
dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i
ukuran sampel pengamatan ke- i
nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari
pengamatan ke- i
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
22
dan memenuhi model logit
dengan
,
,
dan
Langkah 2.
Menentukan fungsi likelihood berdasarkan model logit.
Langkah 3.
Menentukan fungsi log likelihood.
Langkah 4.
Menentukan differensial parsial fungsi log likelihood terhadap parameter
dan disamadengankan nol.
Langkah 5.
Mencari nilai yang memaksimumkan fungsi log likelihood dengan cara
menyelesaikan persamaan-persamaan pada langkah 4. Jika masih dalam
bentuk implisit, maka digunakan metode numerik. Dalam skripsi ini
digunakan metode Newton Raphson.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
23
3.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS) dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
Langkah 1.
Mengasumsikan data yang mempunyai struktur
i
1.
2.
N
dengan banyaknya peluang sukses dalam sampel pengamatan ke- i
ukuran sampel pengamatan ke- i
nilai-nilai prediktor ke- i sampai ke- k dari
pengamatan ke- i
dan memenuhi fungsi logit
dengan
,
dan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
24
Langkah 2.
Menyatakan model regresi logistik dalam bentuk matriks
dengan
,
, dan
dan diasumsikan .
Langkah 3.
Mendefinisikan fungsi jumlah kuadrat galat dengan
dan
Langkah 4.
Mencari nilai yang meminimumkan fungsi Q dengan cara menurunkan
fungsi Q terhadap dan disamadengankan nol.
Langkah 5.
Menyelesaikan persamaan yang diperoleh dari langkah 4 untuk
mendapatkan estimasi parameter model regresi logistik dengan
menggunakan metode WLS.
3.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square dengan langkah-langkah
sebagai berikut :
Langkah 1.
Menentukan nilai awal matriks pembobot .
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
25
Langkah 2.
Menentukan nilai estimator dengan menggunakan rumus yang telah
didapat dari metode WLS berdasarkan .
Langkah 3.
Menentukan kembali matriks pembobot yang dihitung berdasarkan
nilai .
Langkah 4.
Menentukan kembali nilai estimator dengan menggunakan rumus yang
telah diperoleh dari metode WLS berdasarkan .
Langkah 5.
Proses yang sama untuk mendapatkan dan seterusnya sampai
konvergen.
3.2. Membandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner menggunakan
metode MLE dengan metode WLS berdasarkan kriteria nilai APPER dan
MSE dengan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.
Langkah 2.
Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
26
Langkah 3.
Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai
APPER dan nilai MSE terkecil.
3.3. Menerapkan model regresi logistik biner pada data uji efektivitas larvasida
ekstrak ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes
aegypti dengan langlah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1.
Input data.
Langkah 2.
Menaksir parameter regresi logistik biner pada data tersebut dengan
menggunakan metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS.
Langkah 3.
Menghitung nilai APPER dan MSE dari masing-masing metode.
Langkah 4.
Membandingkan kedua nilai APPER dan MSE yang telah diperoleh.
Langkah 5.
Mendapatkan metode yang lebih baik yaitu metode yang mempunyai nilai
APPER dan nilai MSE terkecil.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
27
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter
model regresi logistik, dilengkapi dengan algoritma untuk pemrograman
komputasi estimator. Selanjutnya diuraikan prosedur untuk perhitungan APPER
dan MSE. Pada akhir bab ini akan disajikan contoh penerapan pemodelan regresi
logistik pada kasus uji efektifitas larvasida ekstrak ethanol daun mimba terhadap
larva Aedes aegypti. Pada contoh kasus tersebut dilakukan estimasi parameter
model regresi logistik dengan menggunakan metode Maximum Likelihood, WLS
dan IRWLS. Selanjutnya dibandingkan hasil estimasi dari ketiga metode tersebut
dengan kriteria APPER dan MSE untuk mendapatkan metode yang lebih baik.
4.1. Estimasi Parameter Model Regresi Logistik
Misalkan Y adalah variabel respon yang menyatakan jumlah sukses dalam
sampel berukuran n dengan probabilitas sukses . x1, x2, …, xk adalah variabel-
variabel prediktor yang berpengaruh terhadap probabilitas sukses . Misalkan
dalam sebuah penelitian dicatat data pengamatan dengan struktur sebagai berikut :
i
1.
2.
N
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
28
dengan jumlah sukses dalam sampel pengamatan ke- i
ukuran sampel pengamatan ke- i
nilai-nilai prediktor ke- 1 sampai ke- k dari
pengamatan ke- i
dan memenuhi model logit
dengan
,
,
dan
Berikut ini akan diuraikan tiga metode untuk mengestimasi parameter .
4.1.1. Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE)
Jika diasumsikan independen identik dari distribusi Binomial
maka fungsi likelihood untuk model regresi logistik biner adalah
(4.1)
Secara matematis akan lebih mudah jika persamaan (4.1) dibawa ke fungsi log
likelihood dan memaksimalkan log Likelihood yang dinotasikan , yaitu
dengan cara mendifferensialkan terhadap lalu menyamakan dengan nol.
Untuk tujuan tersebut, berikut ini adalah fungsi log likelihood :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
29
Karena
maka
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
30
(4.2)
Selanjutnya persamaan (4.2) diturunkan terhadap . Hasil penurunan
tersebut disamadengankan nol sehingga diperoleh :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
31
Sehingga diperoleh persamaan umumnya
(4.3)
dengan
Selanjutnya estimator diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan (4.3).
Namun persamaan (4.3) masih dalam bentuk implisit dan tidak bisa diselesaikan,
sehingga dibutuhkan metode numerik. Dalam skripsi ini digunakan metode
Newton Raphson. Berdasarkan iterasi Newton Raphson dalam (2.11), maka
berikut ini akan ditentukan turunan kedua dari fungsi log likelihood terhadap
masing-masing parameter.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
32
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
33
Sehingga diperoleh persamaan umumnya
(4.4)
Dari (4.3) diperoleh vektor kolom berikut :
Dari (4.4) diperoleh matriks persegi Hessian dengan
Algoritma iterasi Newton Raphson untuk mendapatkan nilai melalui langkah-
langkah sebagai berikut :
1. Masukkan nilai dugaan awal yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil
(OLS)
kemudian masukkan pada persamaan (2.2).
2. Menentukan dan .
3. Untuk m > 0 dengan menggunakan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
34
Nilai digunakan untuk mencari sehingga diperoleh nilai
dan . Kemudian diperoleh nilai , dan seterusnya untuk setiap j
sampai mencapai
dengan adalah tingkat ketelitian, misalkan .
4.1.2. Metode Weighted Least Square (WLS)
Misalkan model logit
dengan asumsi .
Estimator parameter regresi logistik dapat diperoleh dengan menggunakan metode
WLS, diperoleh dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat terboboti
. Misalkan terdapat suatu matriks non singular P yang bersifat
, maka dengan mengalikan kedua sisi pada model logit dengan
diperoleh
dengan dengan . Sehingga
fungsi Q dapat diuraikan sebagai berikut :
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
35
Syarat cukup agar fungsi Q mencapai nilai minimum adalah
Maka diperoleh estimasi parameter model regresi logistik
(4.5)
Berdasarkan (2.7), maka elemen-elemen dari Matriks pembobot untuk model
regresi logistik ini adalah
(4.6)
4.1.3. Metode Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS)
Metode ini dikembangkan dari metode WLS. Berdasarkan (4.6) dapat
dilihat bahwa elemen pembobot masih tergantung pada . Jika diambil
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
36
maka dalam persamaan (4.6) terlihat bahwa pembobot masih terdapat
estimator . Oleh karena itu, jika estimator yang telah diperoleh dari (4.5)
selanjutnya digunakan untuk menghitung pembobot yang baru dan menghitung
ulang nilai estimator yang baru, demikian seterusnya maka metode seperti ini
disebut Iteratively Reweighted Least Square (IRWLS). Untuk lebih jelasnya,
berikut akan diberikan langkah-langkah IRWLS dalam model regresi logistik :
i. Menentukan dengan menggunakan persamaan (4.6).
ii. Menghitung dengan menggunakan persamaan (4.5)
iii. Menghitung
iv. Melakukan perhitungan iterasi dengan dan seterusnya maka
dan
v. Jika maka proses iterasi dihentikan. Jika tidak maka
hitung :
dan kembali ke langkah iv.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
37
4.2. Membandingkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner
Menggunakan Metode ML dan Metode WLS berdasarkan Kriteria Nilai
APER dan MSE
Setelah mendapatkan hasil estimasi dari metode Maximum Likelihood dan
metode WLS maka langkah selanjutnya adalah membandingkan kedua hasil
estimator tersebut berdasarkan kriteria nilai APPER dan MSE. Untuk itu, berikut
ini akan diuraikan terlebih dahulu cara menghitung APPER dan MSE.
Berdasarkan struktur data sebelumnya, berikut ditulis kembali penggalan
struktur data beserta probabilitas sukses dan estimasinya :
i
Kelompok Prediksi Kelompok
1.
2.
3.
N
Pengisian kelompok dan prediksi kelompok adalah dengan cara sebagai berikut :
i. Jika maka , sebaliknya jika maka .
ii. Jika maka , sebaliknya jika maka .
Selanjutnya diisi dengan nilai-nilai berikut :
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
38
untuk i = 1, 2, …, N.
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
untuk i = 1, 2, …, N.
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
untuk i = 1, 2, …, N.
banyaknya pengamatan dengan nilai dan
untuk i = 1, 2, …, N.
Selanjutnya APPER dihitung dengan rumus :
APPER
Sedangkan MSE dihitung dengan rumus :
(4.7)
dengan
dan
4.2.1. Metode ML
Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode
maximum likelihood pada persamaan (4.6) berupa bentuk implisit maka
digunakan metode numerik dengan ditentukan nilai awal terlebih dahulu lalu
dimasukkan dalam persamaan (2.2). Kemudian menentukan matrik u dan matrik
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
39
Hessian H. Setelah melalui proses iterasi, maka diperoleh nilai . Kemudian
ditentukan nilai MSE dan APPER.
4.2.2.Metode WLS
Telah diketahui hasil estimasi model regresi logistik biner dari metode WLS
pada persamaan (4.5) maka ditentukan nilai terlebih dahulu untuk
mendapatkan nilai lalu disubstitusikan dalam persamaan (4.5). Kemudian
menentukan nilai . Setelah mendapatkan nilai , selanjutnya hitung nilai
APPER dan MSE.
4.2.3.Metode IRWLS
Metode IRWLS dalam menentukan nilai sama halnya dengan metode
WLS. Namun terlebih dahulu hitung nilai lalu disubstitusikan ke persamaan
(4.5). Kemudian dengan melalui proses iterasi IRWLS, maka diperoleh nilai
yang terkecil yang mendekati nol. Kemudian ditentukan nilai MSE dan APPER.
Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode,
lalu dibandingkan. Nilai MSE dan APPER yang paling kecil itulah metode yang
baik.
4.3. Menerapkan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner pada Data Uji
Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta
indica) terhadap Larva Aedes aegypti
4.3.1.Data
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan data dari hasil penelitian Aradilla
(2009) dalam tugas akhirnya. Penelitian tersebut mengenai uji efektivitas
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
40
larvasida ekstrak ethanol daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes
aegypti. Variabel respon dari data tersebut adalah jumlah kematian larva Aedes
aegypti. Sedangkan variabel prediktor yang digunakan adalah konsentrasi ekstrak
ethanol daun Mimba dalam g/L dan lama waktu pengamatan larva Aedes
aegypti dalam jam . Data selengkapnya dapat dilihat di lampiran 1.
4.3.2. Analisa Data
Langkah awal dalam menganalisa data ini adalah membuat struktur data
sesuai model regresi logistik biner seperti berikut ini
i
1.
2.
N
dengan :
jumlah larva nyamuk Aedes aegypti yang mati
jumlah larva nyamuk Aedes aegypti keseluruhan
konsentrasi ekstrak ethanol daun Mimba g/L
lama waktu pengamatan larva Aedes aegypti dalam jam
Kemudian data dimasukkan pada masing-masing metode.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
41
4.3.2.1. Metode ML
Terlebih dahulu menentukan nilai awal dengan menggunakan metode
OLS (program lihat pada Lampiran 2) dan diperoleh (hasil output lihat pada
Lampiran 5.a)
Kemudian melalui proses iterasi dengan menggunakan algoritma Newton Raphson
(program lihat pada Lampiran 2) maka diperoleh estimator (hasil output lihat
pada Lampiran 5.b)
Lalu dimasukkan kedalam persamaan (2.3) maka diperoleh hasil estimasi dan
model regresi logistik biner sebagai berikut :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c, maka diperoleh nilai MSE yaitu
0,6566313. Untuk APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 5.c maka :
27
1
1
16
maka nilai APPER-nya adalah
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
42
APPER
4.3.2.2. Metode WLS
Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai .
Kemudian substitusikan ke
dan persamaan (4.5), maka akan
didapatkan (hasil output lihat pada Lampiran 6.a)
Sehingga model regresi logistik biner menjadi
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka diperoleh nilai MSE yaitu
0,8861757. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitungannya :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 6.b maka :
25
3
0
17
maka nilai APPER-nya adalah
APPER
4.3.2.3. Metode IRWLS
Langkah awal pada metode ini adalah ditentukan nilai dengan
menggunakan persamaan (2.7) dengan . Kemudian menghitung
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
43
nilai dengan
sampai dengan
melalui proses iterasi (program lihat pada Lampiran 4) sehingga
mendapatkan hasil estimasi
Maka model regresi logistik biner adalah
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka diperoleh nilai MSE
0,6763576. Untuk nilai APPER, berikut akan diuraikan perhitngannya :
Berdasarkan hasil output pada Lampiran 7.b maka :
26
2
1
16
maka nilai APPER-nya adalah
APPER
Setelah mendapatkan nilai MSE dan APPER dari masing-masing metode, langkah
selanjutnya adalah membandingkan metode-metode tersebut. Dari hasil yang
diperoleh, menunjukkan bahwa nilai MSE dan APPER pada metode maximum
likelihood adalah 0,6566313 dan 4,44%. Sedangkan pada metode WLS nilai MSE
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
44
dan APPER pada metode WLS adalah 0,8861757 dan 6,67%. Dan nilai MSE dan
APPER pada metode IRWLS adalah 0,6763576 dan 6,67%.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
44
BAB V
PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Dari hasil pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulkan sebagai
berikut :
1. Hasil estimasi parameter model regresi logistik biner adalah sebagai brikut :
a. Berdasarkan metode Maximum likelihood :
Estimator diperoleh dengan menyelesaikan system
persamaan
dengan
menggunakan metode numerik.
b. Berdasarkan metode WLS :
Estimator diperoleh dengan rumus
dengan
,
c. Berdasarkan metode IRWLS :
Estimator diperoleh dengan iterasi
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
45
dengan
,
,
adalah indeks iterasi.
2. Perbandingkan hasil estimasi model regresi logistik biner yang lebih baik dari
metode Maximum Likelihood, metode WLS dan IRWLS berdasarkan kriteria
nilai MSE dan APPER diperoleh dengan memilih nilai MSE dan APPER yang
terkecil.
3. Berdasarkan hasil penerapan pada kasus uji efektivitas larvasida ekstrak
ethanol daun mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti maka
diperoleh metode yang lebih baik adalah metode Maximum Likelihood
dengan nilai MSE dan APPER masing-masing adalah 0,6566313 dan 4,44%.
5.2. Saran
1. Berdasarkan hasil yang telah diperoleh, maka penulis menyarankan
penggunaan metode Maximum likelihood dalam pemodelan regresi
logistik biner.
2. Perbandingan hasil estimasi dengan ketiga metode ini dapat
dikembangkan untuk pembahasan pada model regresi logistik
multinomial atau ordinal.
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
46
DAFTAR PUSTAKA
1. Agresti, A., 2002, Categorical Data Analysis, John Wiley and Sons, Inc,
New York
2. Anton, H., 2005, Elementary Linear Algebra Ninth Edition, John Wiley & Sons, Inc, Canada
3. Aradilla, A.S., 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang
4. Cahyaningsih, T, 2011, Estimasi Model Regresi Probit Nonparametrik Aditif Berdasarkan Estimator Kernel, Skripsi, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya
5. Chattopadhyay RR and Bandyopadhyay M., 2005, Effect of Azadirachta indica Leaf Extract on Serum Lipid Profile Changes in Normal and Streptozotocin Induced Diabetic Rats, African Journal of Biomedical Research, Vol. 8; 101 – 104 ISSN 1119 – 5096 © Ibadan Biomedical Communications Group
6. Csurhes S., 2008, Pest Plant Risk Assessment, Neem Tree (Azadirachta indica), Department of Primary Industries and Fisheries, Queensland, Australia
7. Danardono, Dr., MPH, 2006, Bahan Ajar Biostatistika dan Epidemiologi, Jurusan Matematika, FMIPA UGM, Yogyakarta
8. Daniel, 2008, Ketika Larva dan Nyamuk Dewasa Sudah Kebal Terhadap Insektisida, FARMACIA Vol.7 No.7
9. Everiit, S, 1994, A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman & Hall, London
10. Grill, J., 2001, Generalized Linier Model: A Unified Approach, University of Florida, London
11. Hosmer, D.W. dan S. Lemeshow, 2000, Applied Logistic Regression, John Wiley and Sons, Inc, New York
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
47
12. Indra, P., R., 2009, Faktor-faktor Yang Mempengaruhi Resiko Penyebab Penderita Kanker Payudara Dengan Menggunakan Pendekatan Regresi Logistik, Makalah, Mahasiswa Jurusan Statistika FMIPA ITS, Surabaya
13. Johnson, R. A. dan Wichern, D. W., 1992, Applied Multivariate Statistical Analysis, Prentice Hall, New Jersey
14. Judarwanto SpA, Dr. Widodo, 2007, Profil Nyamuk Aedes dan Pembasmiannya, Artikel, http://medicastore.com/artikel/184/Profil_Nyamuk_Aedes_dan_Pembasmiannya.html, download tanggal 1 Agustus 2012
15. Kardiman, A. dan Dhalimi A., 2003, Mimba (Azadirachta indica A.Juss) Tanaman Multi Manfaat. Perkembangan Teknologi TRO Vol. XV, No. 1
16. Rencher, Alvin C., 2002, Methods of Multivariate Analysis, John Wiley and Sons, Inc, New York
17. Rokhman, M. S., 2008, Perbandingan Antara Model Logit Dengan Probit Sebagai Regresi Untuk Peubah Respon Kategori, Jurnal OSEATEK UPS, Tegal
18. Samsudin, 2008, Azadirachtin Metabolit Sekunder dari Tanaman Mimba sebagai Bahan Insektisida Botani, Lembaga Pertanian Sehat
19. Sudarto, 1972, Atlas Entomologi Kedokteran, EGC, Jakarta
20. Winahju, W. S., 2009, Bahan Ajar Regresi Terboboti (Weighted Regression atau Weighted Least Square, http://oc.its.ac.id/jurusan.doc, 27 Maret 2012
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 1 : Data Kematian Larva Aedes aegypti
No. Larva mati
(ekor)
Jumlah
larva (ekor)
1. 1 75 2.5 36
2. 4 75 2.5 48
3 8 75 2.5 60
4 10 75 2.5 72
5 11 75 2.5 84
6 13 75 2.5 96
7 15 75 2.5 108
8 16 75 2.5 120
9 19 75 2.5 144
10 21 75 2.5 156
11 22 75 2.5 168
12 2 75 5 12
13 10 75 5 24
14 11 75 5 36
15 17 75 5 48
16 22 75 5 60
17 32 75 5 72
18 33 75 5 96
19 34 75 5 108
20 37 75 5 120
21 41 75 5 132
22 42 75 5 156
23 45 75 5 168
24 3 75 10 12
25 9 75 10 24
26 17 75 10 36
27 27 75 10 48
28 30 75 10 60
29 32 75 10 72
30 34 75 10 84
31 38 75 10 96
32 40 75 10 108
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Keterangan:
Sumber : Aradilla, Ashry Sikka, 2009, Uji Efektivitas Larvasida Ekstrak Ethanol
Daun Mimba (Azadirachta indica) terhadap larva Aedes aegypti, Laporan Akhir Penelitian, Fakultas Kedokteran Universitas Diponegoro, Semarang
33 43 75 10 120
34 47 75 10 132
35 50 75 10 144
36 51 75 10 156
37 56 75 10 168
38 9 75 20 12
39 51 75 20 24
40 62 75 20 36
41 66 75 20 48
42 67 75 20 60
43 68 75 20 72
44 73 75 20 84
45 74 75 20 96
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 2 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan kriteria MSE dan APPER
a. Menentukan nilai beta awal
beta.awal<-function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
k<-ncol(data)
Pi<-data[,1]/data[,2]
gx<-log(Pi/(1-Pi))
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k])
beta.awal<-solve((t(x)%*%x))%*%((t(x)%*%gx))
return(beta.awal)
}
b. Menentukan nilai estimasi parameter
estimasiMLE<-function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
p<-ncol(data)
y<-data[,1]
n<-data[,2]
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p])
k<-ncol(x)
u<-matrix(0,k,1)
H<-matrix(0,k,k)
beta<-beta.awal(data)
it<-1
repeat
{
phix<-rep(0,N)
for(i in 1:N)
{
phix[i]<-exp(x[i,]%*%beta)/(1+exp(x[i,]%*%beta))
}
for(j in 1:k)
{
u[j,]<-sum((y-n*phix)*x[,j])
}
for(a in 1:k)
for(b in 1:k)
{
H[a,b]<--sum(x[,a]*x[,b]*n*phix*(1-phix))
}
betatopi<-beta-solve(H)%*%u
print(max(abs(betatopi-beta)))
if(max(abs(betatopi-beta))<0.001) break
beta<-betatopi
it<-it+1
}
cat("hasil estimasi :\n")
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
return(betatopi)
}
c. Menentukan nilai MSE dan APPER
MSE.MLE<-function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
k<-ncol(data)
Pi<-data[,1]/data[,2]
gx<-log(Pi/(1-Pi))
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k])
beta<-estimasiMLE2(data)
Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))
gxtopi<-log(Pix/(1-Pix))
error<-gx-gxtopi
mse.MLE<-mean(error^2)
cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode ML :\n")
#mencari APPER
Pibaru<-round(Pi)
Pixbaru<-round(Pix)
jml<-0
for(i in 1:N)
{
if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i]) jml<-jml+1
}
APPER.MLE<-jml/N
M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru)
dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru"))
return(mse.MLE,M,APPER.MLE)
}
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 3 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
a. Menentukan nilai estimasi parameter
estimasi.WLS <- function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
p<-ncol(data)
y<-data[,1]
n<-data[,2]
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p])
k<-ncol(x)
Pi<-data[,1]/data[,2]
gx<-log(Pi/(1-Pi))
w<-diag(as.vector(1/(n*Pi*(1-Pi))))
beta<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx)
phix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))
cat("Hasil estimasi :\n")
return(beta)
}
b. Menentukan nilai MSE dan APPER
MSE.WLS<-function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
k<-ncol(data)
Pi<-data[,1]/data[,2]
gx<-log(Pi/(1-Pi))
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k])
beta<-estimasi.WLS(data)
Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))
gxtopi<-log(Pix/(1-Pix))
error<-gx-gxtopi
mse.WLS<-mean(error^2)
cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS :\n")
#mencari APPER
Pibaru<-round(Pi)
Pixbaru<-round(Pix)
jml<-0
for(i in 1:N)
{
if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i])jml <- jml + 1
}
APPER.WLS<-jml/N
M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru)
dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru"))
return(mse.WLS, M, APPER.WLS)
}
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 4 : Program untuk menentukan nilai estimasi model regresi logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS berdasarkan kriteria MSE dan APPER
a. Menentukan nilai estimasi parameter
estimasi.IRWLS <- function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
p<-ncol(data)
y<-data[,1]
n<-data[,2]
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:p])
k<-ncol(x)
Pi<-data[,1]/data[,2]
gx<-log(Pi/(1-Pi))
w<-diag(as.vector(1/(n*Pi*(1-Pi))))
beta<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx)
phix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))
repeat
{
w<-diag(as.vector(1/(n* phix*(1-phix))))
betabaru<-solve(t(x)%*%w%*%x)%*%(t(x)%*%w%*%gx)
phix<-exp(x%*%beta)/(1+ exp(x%*%beta))
if(max(abs(betabaru-beta))<0.001) break
beta<-betabaru
}
cat("Hasil estimasi :\n")
return(betabaru)
}
b. Menentukan nilai MSE dan APPER
MSE.IRWLS<-function(data)
{
data<-as.matrix(data)
N<-nrow(data)
k<-ncol(data)
Pi<-data[,1]/data[,2]
gx<-log(Pi/(1-Pi))
x<-cbind(rep(1,N),data[,3:k])
beta<-estimasi.IRWLS(data)
Pix<-exp(x%*%beta)/(1+exp(x%*%beta))
gxtopi<-log(Pix/(1-Pix))
error<-gx-gxtopi
mse.IRWLS<-mean(error^2)
cat("Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS :\n")
#mencari APPER
Pibaru<-round(Pi)
Pixbaru<-round(Pix)
jml<-0
for(i in 1:N)
{
if(Pibaru[i]!=Pixbaru[i])jml <- jml + 1
}
APPER.IRWLS<-jml/N
M<-cbind(Pi,Pix,Pibaru,Pixbaru)
dimnames(M)<-list(NULL,c("P","Ptopi","P.baru","Ptopi.baru"))
return(mse.IRWLS, M, APPER.IRWLS)
}
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 5 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi
logistik biner dengan menggunakan metode ML berdasarkan
kriteria MSE dan APPER
a. Beta Awal
beta.awal(larva2)
[,1]
-4.40513698
0.24455729
0.02211002
b. Hasil Estimasi ML
> estimasiMLE2(larva2)
[1] 0.7420654
[1] 0.07895556
[1] 0.00102748
[1] 1.697294e-007
hasil estimasi :
[,1]
-3.74305479
0.20274230
0.01848701
c. MSE dan APPER
> MSE.MLE(larva2)
[1] 0.7420654
[1] 0.07895556
[1] 0.00102748
[1] 1.697294e-007
hasil estimasi :
Nilai MSE dan APPER dari Metode ML :
mse.MLE:
[1] 0.6566313
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
M:
P Ptopi P.baru Ptopi.baru
[1,] 0.01333333 0.07105028 0 0
[2,] 0.05333333 0.08715940 0 0
[3,] 0.10666667 0.10650217 0 0
[4,] 0.13333333 0.12952845 0 0
[5,] 0.14666667 0.15666026 0 0
[6,] 0.17333333 0.18824622 0 0
[7,] 0.20000000 0.22450523 0 0
[8,] 0.21333333 0.26546432 0 0
[9,] 0.25333333 0.36029824 0 0
[10,] 0.28000000 0.41284276 0 0
[11,] 0.29333333 0.46745066 0 0
[12,] 0.02666667 0.07533413 0 0
[13,] 0.13333333 0.09231799 0 0
[14,] 0.14666667 0.11266427 0 0
[15,] 0.22666667 0.13681883 0 0
[16,] 0.29333333 0.16518793 0 0
[17,] 0.42666667 0.19808939 0 0
[18,] 0.44000000 0.27796256 0 0
[19,] 0.45333333 0.32459232 0 0
[20,] 0.49333333 0.37498201 0 0
[21,] 0.54666667 0.42823443 1 0
[22,] 0.56000000 0.53858063 1 1
[23,] 0.60000000 0.59302239 1 1
[24,] 0.04000000 0.18335389 0 0
[25,] 0.12000000 0.21892471 0 0
[26,] 0.22666667 0.25920598 0 0
[27,] 0.36000000 0.30401407 0 0
[28,] 0.40000000 0.35287825 0 0
[29,] 0.42666667 0.40502580 0 0
[30,] 0.45333333 0.45940873 0 0
[31,] 0.50666667 0.51477592 1 1
[32,] 0.53333333 0.56978279 1 1
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
[33,] 0.57333333 0.62311925 1 1
[34,] 0.62666667 0.67363086 1 1
[35,] 0.66666667 0.72041021 1 1
[36,] 0.68000000 0.76284508 1 1
[37,] 0.74666667 0.80062185 1 1
[38,] 0.12000000 0.63033057 0 1
[39,] 0.68000000 0.68037144 1 1
[40,] 0.82666667 0.72657680 1 1
[41,] 0.88000000 0.76837665 1 1
[42,] 0.89333333 0.80549695 1 1
[43,] 0.90666667 0.83792313 1 1
[44,] 0.97333333 0.86584380 1 1
[45,] 0.98666667 0.88958842 1 1
APPER.MLE:
[1] 0.04444444
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 6 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi
logistik biner dengan menggunakan metode WLS berdasarkan
kriteria MSE dan APPER
a. Hasil Estimasi WLS estimasi.WLS(larva2)
Hasil estimasi :
[,1]
-5.78273716
V3 0.31886588
V4 0.03187675
b. MSE dan APPER
MSE.WLS(larva2)
Hasil estimasi :
Nilai MSE dan APPER dari Metode WLS :
mse.WLS:
[1] 0.8861757
M:
P Ptopi P.baru Ptopi.baru
[1,] 0.01333333 0.02108239 0 0
[2,] 0.05333333 0.03060561 0 0
[3,] 0.10666667 0.04423620 0 0
[4,] 0.13333333 0.06353946 0 0
[5,] 0.14666667 0.09046872 0 0
[6,] 0.17333333 0.12726015 0 0
[7,] 0.20000000 0.17611655 0 0
[8,] 0.21333333 0.23860150 0 0
[9,] 0.25333333 0.40243728 0 0
[10,] 0.28000000 0.49680031 0 0
[11,] 0.29333333 0.59139183 0 1
[12,] 0.02666667 0.02175563 0 0
[13,] 0.13333333 0.03157316 0 0
[14,] 0.14666667 0.04561439 0 0
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
[15,] 0.22666667 0.06547784 0 0
[16,] 0.29333333 0.09314691 0 0
[17,] 0.42666667 0.13087076 0 0
[18,] 0.44000000 0.24448615 0 0
[19,] 0.45333333 0.32175495 0 0
[20,] 0.49333333 0.41018579 0 0
[21,] 0.54666667 0.50483077 1 1
[22,] 0.56000000 0.68662027 1 1
[23,] 0.60000000 0.76258183 1 1
[24,] 0.04000000 0.09871743 0 0
[25,] 0.12000000 0.13835312 0 0
[26,] 0.22666667 0.19053845 0 0
[27,] 0.36000000 0.25654690 0 0
[28,] 0.40000000 0.33593258 0 0
[29,] 0.42666667 0.42581366 0 0
[30,] 0.45333333 0.52088008 0 1
[31,] 0.50666667 0.61445788 1 1
[32,] 0.53333333 0.70027568 1 1
[33,] 0.57333333 0.77401664 1 1
[34,] 0.62666667 0.83391795 1 1
[35,] 0.66666667 0.88039480 1 1
[36,] 0.68000000 0.91518821 1 1
[37,] 0.74666667 0.94054368 1 1
[38,] 0.12000000 0.72653270 0 1
[39,] 0.68000000 0.79569834 1 1
[40,] 0.82666667 0.85095913 1 1
[41,] 0.88000000 0.89327743 1 1
[42,] 0.89333333 0.92464403 1 1
[43,] 0.90666667 0.94733525 1 1
[44,] 0.97333333 0.96346367 1 1
[45,] 0.98666667 0.97478428 1 1
APPER.WLS:
[1] 0.06666667
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
Lampiran 7 : Output program menentukan nilai estimasi model regresi
logistik biner dengan menggunakan metode IRWLS
berdasarkan kriteria MSE dan APPER
a. Hasil Estimasi
>estimasi.IRWLS(larva2)
Hasil estimasi :
[,1]
-4.85354531
0.29216975
0.02383477
b. MSE dan APPER
> MSE.IRWLS(larva2)
Hasil estimasi :
Nilai MSE dan APPER dari Metode IRWLS :
mse.IRWLS:
[1] 0.6763576
M:
P Ptopi P.baru Ptopi.baru
[1,] 0.01333333 0.03678916 0 0
[2,] 0.05333333 0.04838126 0 0
[3,] 0.10666667 0.06338563 0 0
[4,] 0.13333333 0.08263916 0 0
[5,] 0.14666667 0.10707243 0 0
[6,] 0.17333333 0.13764576 0 0
[7,] 0.20000000 0.17523574 0 0
[8,] 0.21333333 0.22046680 0 0
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
[9,] 0.25333333 0.33382987 0 0
[10,] 0.28000000 0.40013652 0 0
[11,] 0.29333333 0.47031520 0 0
[12,] 0.02666667 0.04283258 0 0
[13,] 0.13333333 0.05621780 0 0
[14,] 0.14666667 0.07346486 0 0
[15,] 0.22666667 0.09546793 0 0
[16,] 0.29333333 0.12318485 0 0
[17,] 0.42666667 0.15754716 0 0
[18,] 0.44000000 0.24888678 0 0
[19,] 0.45333333 0.30607344 0 0
[20,] 0.49333333 0.36992845 0 0
[21,] 0.54666667 0.43868356 1 0
[22,] 0.56000000 0.58067089 1 1
[23,] 0.60000000 0.64829324 1 1
[24,] 0.04000000 0.16167326 0 0
[25,] 0.12000000 0.20427066 0 0
[26,] 0.22666667 0.25468187 0 0
[27,] 0.36000000 0.31264583 0 0
[28,] 0.40000000 0.37712682 0 0
[29,] 0.42666667 0.44627221 0 0
[30,] 0.45333333 0.51756107 0 1
[31,] 0.50666667 0.58814216 1 1
[32,] 0.53333333 0.65527494 1 1
[33,] 0.57333333 0.71673534 1 1
[34,] 0.62666667 0.77106636 1 1
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri
[35,] 0.66666667 0.81762810 1 1
[36,] 0.68000000 0.85648249 1 1
[37,] 0.74666667 0.88819094 1 1
[38,] 0.12000000 0.78174543 0 1
[39,] 0.68000000 0.82662357 1 1
[40,] 0.82666667 0.86388054 1 1
[41,] 0.88000000 0.89415646 1 1
[42,] 0.89333333 0.91833495 1 1
[43,] 0.90666667 0.93737703 1 1
[44,] 0.97333333 0.95221007 1 1
[45,] 0.98666667 0.96366590 1 1
APPER.IRWLS:
[1] 0.06666667
ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga
Skripsi Perbandingan Hasil Estimasi Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Maximum Likelihood dan Metode Weighted Least Square.
Sofia Utami Dewi Saputri