adjunta de una representación lineal ejemplos. propiedades
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
Adjunta de una representación linealEjemplos. Propiedades
Jana Rodriguez HertzGAL2
IMERL
12 de octubre de 2010
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto interno
T : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación lineal
cualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
definición
definición: adjunta
definición (clase pasada)V ,W e.v. sobre K con producto internoT : V →W transformación linealcualquier función T ∗ : W → V se llama adjunta de T si
〈T (v),w〉 = 〈v ,T ∗(w)〉 ∀v ∈ V w ∈W
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existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finita
toda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
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existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación lineal
tiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
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existencia y unicidad de la adjunta
teorema de existencia y unicidad
teorema: ∃! adjunta (clase pasada)V ,W e.v. sobre K de dimensión finitatoda T : V →W tranformación linealtiene una única T ∗ : W → V transformación lineal adjunta
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramos
T (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3,
alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3,
alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3,
alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 =
〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉
=x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z
= 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica〈(x , y , z),T ∗(1,0,0)〉 = 〈T (x , y , z), (1,0,0)〉 =x − y + 2z = 〈(x , y , z), (1,−1,2)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 =
〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉
= 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z
=〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
〈(x , y , z),T ∗(0,1,0)〉 = 〈T (x , y , z), (0,1,0)〉 = 4x − 3z =〈(x , y , z), (4,0,−3)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 =
〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉
=x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z
= 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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ejemplo 1
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en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
〈(x , y , z),T ∗(0,0,1)〉 = 〈T (x , y , z), (0,0,1)〉 =x + 5y + z = 〈(x , y , z), (1,5,1)〉 ∀(x , y , z)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1)
=(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 1
ejemplo 1
ejemplo 1
en R3 con el producto interno habitual, consideramosT (x , y , z) = (x − y + 2z,4x − 3z, x + 5y + z)
calculemos T ∗ : R3 → R3, alcanza con base canónica⇒ T ∗(1,0,0) = (1,−1,2)
⇒ T ∗(0,1,0) = (4,0,−3)
⇒ T ∗(0,0,1) = (1,5,1)
∴ T ∗(x , y , z) = x(1,−1,2) + y(4,0,−3) + z(1,5,1) =(x + 4y + z,−x + 5z,2x − 3y + z)
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
![Page 31: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/31.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)
calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 =
〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
![Page 34: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/34.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉
= 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
![Page 35: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/35.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉
= tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A))
=tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A)
= tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA)
= 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A
⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 2
ejemplo 2
ejemplo 2V =Mn(R) con producto interno 〈A,B〉 = tr(Bt .A)
T :Mn(R)→Mn(R) tal que T (A) = M.A (M matriz fija)calculemos T ∗
〈A,T ∗(B)〉 = 〈T (A),B〉 = 〈M.A,B〉 = tr(Bt .(M.A)) =tr((Bt .M)A) = tr((M t .B)tA) = 〈A,M t .B〉 ∀A⇒ T ∗(B) = M t .B
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 42: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/42.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 43: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/43.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces
〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 44: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/44.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 =
〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 45: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/45.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉
= p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 46: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/46.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉
porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 47: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/47.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes
⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 48: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/48.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 49: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/49.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 50: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/50.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRiesz
la clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
![Page 51: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/51.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene
⇒ D no tiene adjunta
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
ejemplo 3
transformación sin adjunta
ejemplo 3 (transformación sin adjunta)V = {polinomios reales} con producto〈p,q〉 =
∫ 10 p(x)q(x) dx
consideramos D : V → V tal que Dp = p′
si D tuviera adjunta, entonces〈p,D∗q〉 = 〈Dp,q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)− 〈p,Dq〉 porpartes⇒ 〈p, (D∗ + D)q〉 = p(1)q(1)− p(0)q(0)
⇒ 〈p, (D∗ + D)(x − 1)〉 = p(0)
⇒ la aplicación Tp = p(0) tendría un representante deRieszla clase pasada vimos que no tiene⇒ D no tiene adjunta
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto interno
T1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → U
entonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
![Page 55: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/55.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
![Page 57: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/57.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 1
proposición 1Sean V ,W ,U e.v. sobre K con producto internoT1,T2 : V →W , T : V →W , S : W → Uentonces
1 (T1 + T2)∗ = T ∗
1 + T ∗2
2 (α.T )∗ = α.T ∗
3 (S ◦ T )∗ = T ∗ ◦ S∗
4 Id∗ = Id
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
ejercicio
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
proposición 2V ,W e.v. de dimensión finita
T : V →W transformación lineal⇒
(T ∗)∗ = T
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal
⇒(T ∗)∗ = T
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 2
proposición 2V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal⇒
(T ∗)∗ = T
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉
= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉
= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉
= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
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adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉
= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
![Page 68: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/68.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
![Page 69: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/69.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
![Page 70: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/70.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Para todo x ∈W , y ∈ V
〈x , (T ∗)∗y〉 = 〈T ∗x , y〉= 〈y ,T ∗x〉= 〈Ty , x〉= 〈x ,Ty〉
⇒ (T ∗)∗ = T
![Page 71: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/71.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finita
sea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley
(T ∗)−1 = (T−1)∗
![Page 72: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/72.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación lineal
entonces T invertible⇔ T ∗ invertibley
(T ∗)−1 = (T−1)∗
![Page 73: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/73.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertible
y(T ∗)−1 = (T−1)∗
![Page 74: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/74.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 3
proposición 3V ,W e.v. de dimensión finitasea T : V →W transformación linealentonces T invertible⇔ T ∗ invertibley
(T ∗)−1 = (T−1)∗
![Page 75: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/75.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 =
〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
![Page 76: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/76.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉
= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
![Page 77: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/77.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
![Page 78: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/78.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
Supongamos que T es invertible
〈v1, v2〉 = 〈T−1Tv1, v2〉= 〈v1,T ∗(T−1)∗v2〉
⇒ T ∗ invertible
![Page 79: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/79.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
proposición 4V ,W e.v. de dimensión finita
T : V →W transformación linealentonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
![Page 80: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/80.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación lineal
entonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
![Page 81: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/81.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
proposición 4
proposición 4V ,W e.v. de dimensión finitaT : V →W transformación linealentonces
λ valor propio de T ⇐⇒ λ valor propio de T ∗
![Page 82: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/82.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T
⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗
![Page 83: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/83.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible
⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗
![Page 84: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/84.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible
⇔ λ valor propio de T ∗
![Page 85: Adjunta de una representación lineal Ejemplos. Propiedades](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022070414/62c0d08c9c310308eb47b069/html5/thumbnails/85.jpg)
adjunta de una transformación lineal ejemplos propiedades
demostración
λ valor propio de T⇔ T − λI no invertible⇔ (T − λI)∗ = T ∗ − λI no invertible⇔ λ valor propio de T ∗