ACTIVIDAD 5

ALUMNO: SANTIAGO GHIONE

Parte A.

Retome el SEL de la Actividad 2C y cambie de modelo matemático.

Los datos del ejercicio de la actividad 2C se muestran en la siguiente tabla:

% vitamina A % vitamina B % vitamina CComprimido 1 2 3 0Comprimido 2 3 0 2Comprimido 3 0 1 2

Cantidad diaria de:

- Vitamina A = 19%- Vitamina B = 21%- Vitamina C = 18%

Conformando el siguiente SEL

2x+3y+0z=19 3x+0y+1z=21 0x+2y+2z=18

Este SEL puede plantearse en términos de vectores-. Llamamos A1,A2,A3 cada columna de la Matriz A:

AX=B (Ecuación matricial)

2 3 0 x 19 3 0 1 y = 21 0 2 2 z 18

Su Ecuación vectorial será:

xA1+yA2+zA3=B

Siendo:A1: Vector Composición del Comprimido 1A2: Vector Composición del Comprimido 2A3: Vector Composición del Comprimido 3Cada vector posee 3 componentes:

1ra: porcentaje de Vitamina A2da: porcentaje de Vitamina B3ra: porcentaje de Vitamina C

Los datos son 3 vectores en el espacio tridimensional (A1,A2,A3)Queremos determinar si el vector B es Combinación Lineal de los otros.

2 3 0 19x 3 + y 0 + z 1 = 21 0 2 2 18

x: cantidad de comprimidos del tipo 1 que se deben consumir diariamentey: cantidad de comprimidos del tipo 2 que se deben consumir diariamentez: cantidad de comprimidos del tipo 3 que se deben consumir diariamente

Resolviendo obtenemos:

x= 5y= 3z= 6

El vector B es Combinación Lineal de los vectores A1, A2, A3 (por lo tanto también es solución al SEL) y su formulación matemática es:

2 3 0 195 3 + 3 0 + 6 1 = 21 0 2 2 18

Gen {A1,A2,A3} =

2 3 0 Gen 3 , 0 , 1 0 2 2

={xA1+yA2+zA3/x,y,z Ɛ R}

Base:

Tomo A1, es obviamente LI.

Ahora agrego A2.

Son LI.Por último agrego A3

Son LI

Por lo tanto, la base tiene dimensión 3 y es el conjunto formado por los vectores:

2 3 0 3 , 0 , 1 0 2 2

Para identificar un Vector que pertenezca al espacio generado asigno valores a x,y,z.Por ejemplo x=1, y=2, z=0

8 x A1 + y A2 + z A3 = 3 A1 + 2 A2 + 0 A3 = 3 =W 4

Un vector W esta en Gen{A1,A2,A3} si el SEL, cuya matriz aumentada es [A1 A2 A3 W], es consistente (tiene solución única)

Además {A1,A2,A3}es LI porque su determinante es distinto a cero

Parte B.

Retome el SEL de la Actividad 4B.

Un colegio -de pequeña capacidad de alumnos y personal- cada tres meses realiza un estudio de sus gastos en papelería, tizas y otros útiles. De ese estudio resultó: en marzo se gastó $240, en abril $1240, en mayo $520 y en junio $20. Al notar la gran diferencia entre mes y mes, quisieron averiguar el precio por unidad ¿cómo hacen para saberlo? La tabla muestra las unidades consumidas por mes.

marzo abril mayo junio

papelería 5 80 15 1

tizas 10 65 25 1

Otros útiles 15 55 55 1

Datos:

Gasto en el mes de Marzo: $240

Gasto en el mes de Abril: $1240

Gasto en el mes de Mayo: $520

Gasto en el mes de Junio: $20

Sean

x: precio unitario de papelería en pesos

y: precio unitario de tizas en pesos

z: precio unitario de otros útiles en pesos

AX=B (Ecuación matricial)

5 10 15 x 240 80 65 55 y = 1240 15 25 55 z 520 1 1 1 20

Su Ecuación vectorial será:

xA1+yA2+zA3=B

Siendo:A1: Vector gastos en papeleríaA2: Vector gastos en tizasA3: Vector gastos en otros útilesCada vector posee 4 componentes:

1ra: gastos en marzo2da: gastos en abril3ra: gastos en mayo4ta: gastos en junio

Queremos determinar si el vector B es Combinación Lineal de los otros vectores.

5 10 15 240 80 65 55 1240 x 15 + y 25 + z 55 = 520 1 1 1 20

x: precio unitario de papelería en pesosy: precio unitario de tizas en pesosz: precio unitario de otros útiles en pesos

NO tiene solución. Por lo tanto el vector B no es Combinación Lineal de los otros vectores.

5 10 15 80 65 55Gen {A1,A2,A3} = 15 , 25 , 55 1 1 1

Base:Tomo A1, es obviamente LI.

Ahora agrego A2.

Son LI

Agrego A3.

Son LI

Para identificar un Vector que pertenezca al espacio generado asigno valores a x,y,z.Por ejemplo x=1, y=0, z=2

35 x A1 + y A2 + z A3 = 1 A1 + 0 A2 + 2 A3 = 190 = W 125 3

Un vector W esta en Gen{A1,A2,A3} si el SEL, cuya matriz aumentada es [A1 A2 A3 W], es consistente (tiene solución única)

Compruebo:

Un vector W no estará en Gen{A1,A2,A3} si el SEL, cuya matriz aumentada es [A1 A2 A3 W], no tiene solución.

Por ejemplo: 35 190W = 126 3

Se comprueba fácilmente que no tiene solución:

Parte C. Individual.

Retome la Actividad 3B, aquella en que identificó los vértices de la letra N para modificar su posición en el plano multiplicando matrices,  y cambie el modelo matemático. Lo pensará como una transformación lineal:

1. Identifique la primera  transformación lineal que identificaremos por  T.

2. Identifique el espacio de salida y el de llegada.

La dimensión de la matriz T nos indica que tanto el espacio de salida como el de llegada son de dimensión 2. Entonces se trata de R² y vale la notación:

T:R²R²

3. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de salida.

x Ɛ Gen 1 0 y 0 ,1

4. Identifique la expresión genérica de un vector en el espacio de llegada.

X 2 0 T y Ɛ Gen 0 , 1 , más aún, es de la forma

2 0x 0 + y 1

5. Repita 1)  2), 3) y 4) para la segunda transformación lineal que identificaremos por S.

S:R²R²

x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1

x 0 1

S y Ɛ Gen 1 , 0 , más aún, es de la forma

0 1x 1 + y 0 en el espacio de llegada

6. Repita 1)  2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .

=

: R²R²

x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1

x 0 1 S o T y Ɛ Gen 2 , 0 , más aún, es de la forma

0 1x 2 + y 0

7. Repita 1)  2), 3) y 4) para la composición de ambas transformaciones lineales que identificaremos por .

T o S =

T o S: R²R²

x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1

x 0 2 T o S y Ɛ Gen 1 , 0 , más aún, es de la forma

0 2x 1 + y 0

8. Repita 1)  2), 3) y 4) para la transformación inversa de T.

Llamaré M a la inversa de T para facilitar la escritura

M:R²R²

x Ɛ Gen 1 0 (espacio de salida) y 0 ,1

x 1/2 0 M y Ɛ Gen 0 , 1 , más aún, es de la forma

1/2 0x 0 + y 1 en el espacio de llegada

Parte D Seleccione con su grupo una matriz de la lista. A partir de esta matriz construya una transformación matricial (transformación lineal –TL-) asociada. Luego explicite: (sea muy cuidadoso con la simbología matemática):

Matriz del Punto 5:

1 3A= 0 1

a) El vector genérico TX.

T:R² →R²

X ↦AX

x 1 3 x x+3yy ↦ 0 1 y = yx 1 0y Ɛ Gen 0 , 1 en el espacio de salida,

x 1 3 1 3A y Ɛ Gen 0 , 1 , más aún es de la forma x 0 + y 1 en el espacio de llegada

b) El núcleo de esta TL.

NulA= 1 3 x 0 0 1 y = 0 x 0 Admite sólo la solución nula X= y = 0

0NulA = Gen 0

c) Los autovalores de la TL.

Planteamos det (A-kI)=0

Para k=1

El determinante es cero

Si k=1, planteo AX=1X

x+3y x y = y x+3y=x sólo se cumple para y=0

No se plantean restricciones para x, luego, todo vector de la forma: x 0Es un vector propio o autovector. x puede asumir cualquier valor real 1 1X 0 = Gen 0

En particular:

1 7 10 0 , 0 , 0Son vectores propios de la transformación dada (Es la recta x de coordenadas)

d) Una base de los autovectores asociados a cada autovalor.

Si k=1

x 1y = x 0

es la recta sobre el eje de coordenadas x

Además: e) Grafique cada vector de cada base y también grafique cada espacio generado.

f) Analice si A es diagonalizable. En caso de serlo construya P y D que hacen verdadera la igualdad. Para pensar: ¿Cómo y con qué información se construyen dichas matrices?

A no es diagonizable ya que sólo posee 1 autovector LI. No es 2x2

h) Plantee la transformación inversa.

A es cuadrada de determinante distinto de cero. Es invertible

T:R² →R²

X ↦A X

x 1 -3 x x-3yy ↦ 0 1 y = y

-1