actitud de un aerogenerador
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INSTITUTO POLITรCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERรA MECรNICA Y ELรCTRICA SECCIรN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIรN
UNIDAD PROFESIONAL ZACATENCO
MAESTRรA EN CIENCIAS EN INGENIERรA MECรNICA
ACTITUD DE UN AEROGENERADOR DE EJE HORIZONTAL
TESIS
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERรA MECรNICA
PRESENTA: ING. MรNICA SOBERANES ALANIS
DIRIGIDA POR:
Dr. FERMรN A. VINIEGRA HEBERLEIN Dr. ORLANDO SUSARREY HUERTA
Ciudad de Mรฉxico Enero 2018
CARTA DE CESIรN DE DERECHOS
En la Ciudad de Mรฉxico el dรญa 04 del mes Octubre del aรฑo 2017, la que suscribe Mรณnica Soberanes Alanรญs alumna del Programa de Maestrรญa en Ciencias en Ingenierรญa Mecรกnica con nรบmero de registro B091756, adscrito a la Secciรณn de Estudios de Posgrado e Investigaciรณn-ESIME, manifiesta que es autora intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la direcciรณn de Dr. Orlando Susarrey Huerta y el Dr. Fermรญn Alberto Viniegra Heberlein y cede los derechos patrimoniales del trabajo intitulado โActitud de un Aerogenerador de eje Horizontalโ, al Instituto Politรฉcnico Nacional para su difusiรณn, con fines acadรฉmicos y de investigaciรณn. Los usuarios de la informaciรณn contenida en este trabajo, no deben reproducir el contenido parcial o total del texto, grรกficas o datos del mismo, sin el permiso expreso de la autora y/o directores del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente direcciรณn [email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberรก dar el reconocimiento correspondiente y citar la fuente del mismo. โLa tรฉcnica al servicio de la Patriaโ
Ing. Mรณnica Soberanes Alanรญs
INSTITUTO POLITรCNICO NACIONAL
SECRETARรA DE INVESTIGACIรN Y POSGRADO
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
i
RESUMEN
El presente trabajo describe un conocimiento completo de la Mecรกnica del cuerpo rรญgido, y un resumen muy interesante de la Mecรกnica de fluidos, herramientas que a lo largo del tiempo la inteligencia humana ha ido descifrando para la soluciรณn de innumerables problemas. Gracias al aprendizaje adquirido durante la maestrรญa en SEPI- ZACATENCO, se ha podido encontrar resultados interesantes, como la actitud de la gรณndola de un Aerogenerador. Para calcular la actitud de un Aerogenerador se deben tomar en cuenta diferentes consideraciones que deben hacerse para facilitar el cรกlculo. Se analiza a la gรณndola del aerogenerador como un cuerpo rรญgido que rota alrededor de cierto eje sobre un punto fijo. Al hacer este cรกlculo se encuentra un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, las cuales se les lleva a una cuadratura y mediante los รกngulos de Euler se logra una parametrizacion, la cual permite encontrar las velocidades angulares del movimiento de ella. Gracias a la variable compleja, a la transformaciรณn de Joukowki y a las leyes de Blasius en la Mecรกnica de fluidos se encuentran a las fuerzas y la circulaciรณn que intervienen en la gรณndola. La actitud, es decir la orientaciรณn o pivoteo de la gรณndola cuando esta sometida a fuerzas y torcas externas, se encuantra integrando a las velocidades angulares de movimiento para encontrar los angulos de nutaciรณn y presecion que definen su movimiento. El fin de conocer el estado de movimiento (pivoteo o actitud) de la gรณndola, permite visualizar, analizar y en lo posterior resolover la estabilidad de este tipo de artefactos para aumentar la eficiencia de los aerogeneradores.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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ABSTRACT
This paper describes a complete understanding of rigid body mechanics and a very interesting overview of fluid mechanics, tools that over the time, the human mind has deciphered for the solution of many problems. Thanks to the learning acquired during the stay in SEPI-Zacatenco it could be found interesting results, such as the orientation of a wind turbine nacelle.
To calculate the orientation of a wind turbine body, different considerations are to be taken into
account, in order to facilitate its solution.
The wind turbine nacelle has to be seen as a rigid body that rotates around an axis on a fixed
point. Making this calculation, a set of nonlinear differential equations is solved, and using the
Euler angles it leads to its parameterization in order to find the nacelleโs angular velocities.
Through the use of complex variable, and the approach of the transformation of Joukowski and Blasius laws in fluid mechanics, the forces and the torque on the gondola can be calculated, as well as the moment and circulation, to give solution to the attitude of the wind turbine.
The attitude of the wind turbine, is to say the orientation of pivot of the wind turbine nacelle when is subjected to external forces and torque, is found by integrating the angular velocities of movement to find the nutation and preset angles that define its movement. In order to know the state of movement (pivot or attitude) of the nacelle, it is possible to visualize, analyze and subsequently resolve the stability of this type of artifact to increase the efficiency of wind turbines.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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A la energรญa con la que pasa el tiempo
D edico este trabajo a todas las estrellas, que dieron parte de ellas para estos pensamientos.
mi amada Naturaleza, a todos los animales de la selva, de la tundra, de la pradera, del desierto, a los peces, a las aves, a los insectos.
E n especial al Sol, un enamorado eterno, que persigue a su amada cada dรญa.
los gigantes verdes y a su refrescante sombra, , a los frutos, delicia del alma y a todas las flores con sus diferentes colores.
A la Luna que muestra su belleza cada noche arrancando profundos suspiros del alma.
L a dedico al amor; al Amor verdadero, al amor que no lo desgasta el viento, al amor que crece con el tiempo, al amor que en la distancia da la cara al cielo, al amor justo y cierto, al amor que con la mirada se desvanece en el firmamento y con un beso se acaba el universo.
L a dedico a las nubes que se transforman en rรญos.
A mi pasado y mi futuro incierto, a mi Familia y a los que ya se fueron.
A el viento, a las montaรฑas y a la mezcla de gases que respiro.
mis maestros y alumnos que tanto me dieron.
el mar y a las olas que me abrazan y bailan en invierno.
los retos y a los dรญas de sueรฑo.
mi madre Tierra que me cobija me da sustento y me recogerรก un dรญa. T
e la dedico js, que tanto Te Quiero.
el pensamiento mรกs puro y vivo
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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AGRADECIMIENTOS
Agradezco a mi querido Instituto Politรฉcnico Nacional, mi casa favorita, que me abriga aรบn. Agradezco a mis profesores: * Dr. Samuel Alcantara Montes que con sus clases mรกgicas me dibujรณ espacios que no imaginaba, por la frase de Carlos Castaneda que me regalรณ y siempre tendrรฉ conmigo y por enseรฑarme que las matemรกticas son un juego divertido.
* Dr. Jesรบs Alberto Meda por sus conocimientos, enseรฑanzas, recomendaciones, consejos, por su ayuda y por sus animos, le estoy muy agradecida.
* Dr. Orlando Susarrey Huerta quien con su ejemplo su buen humor, su sencillez, sus clases, su buen espรญritu me compartio enseรฑanzas valiosas que llevarรฉ siempre, pero le agradezco con todo mi corazรณn por haberme dado la mano cuando mรกs lo necesite, Gracias!!
Todos ellos me han introducido a la ciencia pero mi agradecimiento infinito es para * Dr. Fermรญn. A. Viniegra Heberlein, de quien he aprendido tanto, que sin duda nunca olvidarรฉ y por quien agradezco a Dios me haya hecho coincidir con รฉl en esta vida. รl me inspira con su plรกtica, y sus clases รบnicas que son de las mejores de mi vida.
รl, me ha dado tiempo, apoyo, consejos, regaรฑos, mucha paciencia, ciencia, trucos y lo mรกs importante su amistad, es inefable el agradecimiento y sentimiento que le tengo.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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INTRODUCCIรN La presente tesis tiene por objetivo calcular la Actitud de un Aerogenerador de eje
horizontal; es decir, La orientaciรณn de la gรณndola que pivotea en un punto fijo y rota alrededor de cierto eje analizado bajo la mecรกnica del cuerpo rรญgido, en donde solamente se toman en cuenta las rotaciones y se descartan las traslaciones, este cรกlculo describe un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, de segundo orden, acopladas, que, sin embargo se pueden llevar hasta cuadraturas, que describen la cantidad de movimiento (momento angular) y la orientaciรณn (actitud) de la gรณndola con respecto a dos sistemas de referencia, tres ejes coordenados fijos al cuerpo y otros tres ejes fijos en el espacio. Esta parametrizaciรณn se logra mรฉdiate los รกngulos de Euler y la matriz de rotaciรณn, permiten encontrar los รกngulos de nutaciรณn (cabeceo) y precesiรณn (guiรฑada) de Euler para la gรณndola. Utilizando variable compleja y aplicando la transformada de Joukowski, y de acuerdo a la primera y segunda leyes integrales de Blasius, se encuentra el momento, el levantamiento, y el arrastre de la gรณndola, Este trabajo presenta los siguientes capรญtulos: En el Capรญtulo 1 se presenta una breve introducciรณn de la energรญa eรณlica, de la fuente que la produce, de los aerogeneradores que hacen un papel importante en la conversiรณn de energรญa para la producciรณn de electricidad; se habla tambiรฉn de sus componentes y del funcionamiento del mismo, asรญ como tambiรฉn de la eficiencia que se puede alcanzar en uno de estos artefactos. En el capรญtulo 2 se aborda el cรกlculo relacionado con la rotaciรณn de un cuerpo, en este caso es la gรณndola de un aerogenerador de eje horizontal, que pivotea en un punto fijo. Para hacer este estudio se utiliza la mecรกnica del cuerpo rรญgido, conceptos de mecรกnica y los รกngulos de Euler; todo esto con el propรณsito de encontrar las componentes de la velocidad angular que intervienen en el movimiento del aerogenerador.
El capรญtulo 3, muestra un procedimiento bello de cรณmo atacar el problema de los efectos del viento sobre la gรณndola de un aerogenerador, se utiliza en este capรญtulo a la mecรกnica de fluidos, como herramienta de conocimiento para encontrar a la circulaciรณn del viento sobre la gรณndola y poner las bases para calcular el levantamiento y arrastre que se provoca sobre la misma.
En el capรญtulo 4 se resume el conocimiento de los capรญtulos anteriores para dar soluciรณn a las ecuaciones de la actitud del aerogenerador., es un procedimiento largo y complejo, pero al mismo tiempo fascinante, lo que hace que sea un placer ver el resultado.
Por รบltimo se muestran las conclusiones y recomendaciones de la tesis.
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CONTENIDO Pรกginas
Resumen โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ i Abstract โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ ii Dedicatoria โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ iii Agradecimientos โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ iv Introducciรณn โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ v Contenido โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ vi รndice de Figuras โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ viii รndice de Tablas โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ x Nomenclatura โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. xi Justificaciรณn โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ xv Objetivo General โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ xv Objetivos Particulares โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ xvi
Capรญtulo 1
GENERALIDADES 1 1.1. ENERGรA EรLICA 1 1.2 HISTORIA DE LOS AEROGENERADORES 2 1.3 FUENTE DE LA ENERGIA EรLICA: EL VIENTO 4 1.4 EL AEROGENERADOR 9 1.4.1 TIPOS DE AEROGENERADORES 9 1.4.1.1. Tipo de Eje 9 1.4.1.2. Orientaciรณn Respecto al Viento 10 1.4.1.3. Nรบmero de Palas en aerogeneradores de eje horizontal 10 1.4.2. COMPONENTES DE LOS AEROGENERADORES DE EJE HORIZONTAL 11 1.4.3. FUNCIONAMIENTO DE LOS AEROGENERADORES 15 1.5. DISCO DE CORRIENTE 16 1.6. LEY DE BETZ 17
Capรญtulo 2
EL CUERPO RรGIDO 19 2.1 INTRODUCCIรN 19 2.2. EL CUERPO RรGIDO 20 2.3 รNGULOS DE EULER 27 2.4 DINรMICA DE LA ACTITUD 29 2.5 CINEMรTICA DE LA ACTITUD 30
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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Capรญtulo 3
MECรNICA DE FLUIDOS 40 3.1 INTRODUCCIรN 40 3.2. ECUACIONES DE BALANCE 41 3.2.1. LA ECUACIรN DE BALANCE DE MASA. 41 3.2.2. LA ECUACIรN DE BALANCE DE MOMENTO 42 3.3. EL FLUIDO PERFECTO 43 3.3.1. LAS ECUACIONES DE EULER 43 3.3.2 EL FLUIDO PERFECTO INCOMPRESIBLE E IRROTACIONAL EN 2-D 45 3.3.3 TEOREMA DE KELVIN 46 3.4. MODELAJE DE FLUJOS 47 3.4.1. EL POTENCIAL COMPLEJO Y LA VELOCIDAD COMPLEJA 48 3.4.2. MODELAJE DE FLUJO DE FLUIDOS 51 ( i ) EL FLUJO UNIFORME 51 ( ii ) VรRTICE Y CIRCULACIรN 52 ( iii ) FUENTES Y SUMIDEROS 55 ( iv ) EL DOBLETE 56 3.5 FLUJO QUE REMONTA UN OBSTรCULO CILรNDRICO 60 3.5.1. FLUJO SIN CIRCULACIรN. 60 3.5.2. FLUJO CON CIRCULACIรN 64 3.6. LAS LEYES INTEGRALES DE BLASIUS 66 3.6.1. LA PRIMERA LEY INTEGRAL 66 3.6.2. LA SEGUNDA LEY INTEGRAL 71 3.7. LAS TRANSFORMACIONES DE JOUKOWSKI 72 3.7.1. LA TRANSFORMACIรN DE JOUKOWSKI 72 3.7.2. EL SEGMENTO DE RECTA 75 3.7.3 LA ELIPSE 78
Capรญtulo 4
DINรMICA DE LA ACTITUD DE UN AEROGENERADOR DE EJE HORIZONTAL 86
4.1 DINรMICA DE LA ACTITUD 86 4.1.1 FUERZAS Y TORCAS 87 4.1.2. LAS ECUACIONES DE EULER 92 4.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ACTITUD DE UN A.G. DE EJE HORIZONTAL 93 4.2.1. LA VELOCIDAD ANGULAR 93 4.2.2. LAS FUERZAS 95 4.2.3. LAS TORCAS 95 4.2.4. LAS ECUACIONES DE EULER 95 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 104
Referencias y Fuentes Bibliogrรกficas 106
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รNDICE DE FIGURAS.
Figuras Pรกginas
1.1 Barco egipcio representado en la tumba de Menna, Valle de los Nobles, dinastรญa XVIII, mediados del II milenio a. C (GNU Se aplica licencia de documentaciรณn gratuita a esta imagen) https://es.wikipedia.org/wiki/Navegaci%C3%B3n_mar%C3%ADtima#/media/File:Maler_der_Grabkammer_des_Menna_013.jpg
2
1.2 Molinos de viento de eje vertical. Localizados en Nashtifan, ciudad situada en el sur de la provincia de Jorasรกn Razavi, en Irรกn. Algunos derechos reservados por blog. UCLM. Direcciรณn web: http://blog.uclm.es/molinoferrera/files/2016/04/primermolinoviento.jpg
2
1.3 Molinos de viento de Kinderdijk, Netherlands Se aplica licencia libre GFDL. CC BY-SA 3.0 por Wikipedia.org Direcciรณn web : https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/KinderdijkMolens02.jpg diciembre de 2004
3
1.4 Multipala Americano (Texas) ยฉ Todos los derechos reservados por Bienes Comunes A. C. obtenida de la Direcciรณn: http://www.energias.bienescomunes.org/wp-content/uploads/2012/08/texas-molinos.jpg , el 2005-2012
3
1.5 Complejo Eรณlico Oaxaca II-II-IV Municipios de Santo Domingo y la Venta, Oaxaca (Mรฉxico). El mayor complejo eรณlico de Amรฉrica Latina, incorpora 204 aerogeneradores AW1500, capaces de cubrir la demanda elรฉctrica de unos 700,000 hogares mexicanos. ยฉ Todos los derechos reservados por acciona-mx.com Obtenida de la Direcciรณn web : http://www.acciona-mx.com/media/2018639/galeria-baja_oaxacas1.jpg, 2017.
4
1.6 Movimiento del viento en el planeta. ยฉ Todos los derechos reservados por Enciclopedia Britรกnica, inc. Obtenida de la direcciรณn: http://media1.britannica.com/eb-media/04/110604-034-849A13B1.jpg, 2017.
5
1.7 La Escala de Beaufort para medir velocidad del viento. Algunos derechos reservados por Meteoarganda.es por: http://meteoarganda.es/Saratoga/Escala%20de%20Beaufort_archivos/image002.jpg, 2006.
5
1.8 Parque eรณlico de Aerogeneradores de eje horizontal Bรญi Hioxho (viento fuerte) en Juchitรกn Oaxaca, generando 2MW cada uno. Algunos derechos reservados por el universal.com.mx, direcciรณn web: http://www.redpolitica.mx/estados/la-lucha-indigena-contra-las-eolicas-en-juchitan , 2014
9
1.9 Aerogenerador de eje Horizontal 9 1.10 Aerogeneradores de eje vertical 9 1.11 Rotor a Barlovento 10 1.12 Rotor a Sotavento 10 1.13 a)Una pala, b)Bipala, c)Tripala d) Multipala. Imagen tomada de la pรกgina 17 del libro Fundamentals, Resource
Analysis and Economics., (2006) [4].Palas de un aerogenerador de eje horizontal 10
1.14 Partes del perfil aerodinรกmico. 11 1.15 Arreglo geomรฉtrico en la configuraciรณn de perfiles de 4 dรญgitos en los Perfiles NACA 11 1.16 Palas de un aerogenerador de eje horizontal 12 1.17 Gรณndola de un aerogenerador de eje horizontal. Algunos derechos por gmoutlook.com direcciรณn web:
http://img.directindustry.com/images_di/photo-g/101961-2988353.jpg 12
1.18 Orientaciรณn del aerogenerador por veleta 14 1.19 Aerogenerador de eje Horizontal. Algunos derechos reservados por Washington Examiner, Direcciรณn web:
http://cdn.washingtonexaminer.biz/cache/1060x600-40ee7544d29d91fbad6f199bd2579bc4.jpg 15
1.20 Flujo de aire que pasa por el Disco de corriente. Imagen tomada de la pรกgina 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001., [8].
16
1.21 Extracciรณn de energรญa en el disco de corriente. Imagen tomada de la pรกgina 43 del libro Wind Energy HandBook. 2001., [8].
17
1.22 Libro Publicado en 1926 por el alemรกn Albert Betz โWind Energie und ihre Ausnutzug durch Windmรผlen,โ โWind Energy and its Extraction through Windmills,โ ยฉTodos los derechos reservados por Wind Energy Conversion Theory, Betz Equation M. Ragheb. Obtenida de la direcciรณn web: http://www.ragheb.co/NPRE%20475%20Wind%20Power%20Systems/Wind%20Energy%20Conversion%20Theory%20Betz%20Equation..pdf 2/10/2017
17
1.23 Modelo de Betz Imagen tomada de la pรกgina 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001., [9]. Interpretaciรณn Mรณnica Soberanes Alanis.
18
2.1 Ejemplo de una transformaciรณn R_ de la pieza impropia de O(3) es una inversiรณn total 25
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
ix
2.2 La Transformaciรณn โ+ del subgrupo propio de O(3) es una rotaciรณn simple. Ejemplificando asรญ una
rotaciรณn simple alrededor de OX dada por el รกngulo ๐ผ
25
2.3 El eje 0Z del cuerpo y el eje 0z del sistema fijo en el espacio forman un รกngulo ๐. Es el mismo que se forma entre el plano X0Y del sistema fijo al cuerpo y x0y del sistema fijo en el espacio, La lรญnea comรบn de ambos planos es la lรญnea de nodos (๐. ๐.).
28
2.4 Se muestran los รกngulos de precesiรณn ๐ y rotaciรณn ๐ que genera la lรญnea de nodos (๐. ๐.) con los ejes de las abscisas de los sistemas fijo en el espacio y fijo al cuerpo, respectivamente. Tambiรฉn se muestra el รกngulo de nutaciรณn ๐, La intersecciรณn de ambos planos es la lรญnea de nodos
29
2.5 Sistema de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z) 30 2.6 Dos Sistemas de coordenadas se adosan al centro de masa del aerogenerador, con los dos sistemas de
coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z). 30
2.7 Sistemas de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z) . Se muestran, el รกngulo azimutal ๐ alrededor de Oz y el angulo de ataque ๐ alrededor del eje de las ordenadas del sistema fijo al cuerpo.
31
2.8 Rotaciรณn alrededor de OZ del sistema de coordenadas fijo en el espacio. 33 2.9 Rotaciรณn alrededor del ๐. ๐.2, provocando un movimiento de Cabeceo. 33 2.10 El aerogenerador pivotea alrededor de un punto fijo. Cada elemento de masa se mueve con velocidad
y posee un Momento angular .
35
3.1 Contorno cerrado en el fluido 46 3.2 Descomposiciรณn del vector en sus componentes cartesianas ๐ข y ๐ฃ y en sus componentes polares
๐ข๐ ๐ฆ ๐ข๐.
50
3.3 Diagrama del Flujo Laminar o Uniforme en donde se muestran las lรญneas verticales que son equipotenciales ๐ y las lรญneas horizontales que son de corriente ๐. Ambas, siempre van a ser perpendiculares entre si.
52
3.4 Vรณrtice o remolino. El fluido se mueve a lo largo de circunferencias concรฉntricas. Las lรญneas equipotenciales son radiales; las lรญneas de corriente son cรญrculos
53
3.5 Una fuente centrada en el origen. El fluido forma lรญneas radiales que parten de 0 en todas direcciones, llamada lรญneas de corriente, mientras que las equipotenciales son circunferencias concรฉntricas.
55
3.6 El doblete. Una fuente y un sumidero de iguales intensidades se encuentran a ambos lados del origen a muy pequeรฑa distancia uno del otro Las lรญneas quebradas son las equipotenciales y las lรญneas de corriente. Las lรญneas dirigidas son lรญneas de flujo.
58
3.7 Un Flujo uniforme con velocidad U tiene un รกngulo de ataque. Las componentes radial y tangencial de la velocidad son ๐ข๐ y ๐ข๐
62
3.8 Cuando el flujo se acerca al origen se forma un doblete los puntos de estancamiento estรกn en los dos extremos de la circunferencia lรญmite.
63
3.9. Grรกfica de la funciรณn ๐ ๐๐ (๐ โ ๐ผ). Los puntos de estancamiento ocurren para ๐ = ๐๐ . 65 3.10 Por efecto de la circulaciรณn ฮ los puntos de estancamiento bajan. 66 3.11 Un obstรกculo cilรญndrico de secciรณn irregular enfronta un flujo desde la derecha. El flujo provoca en el
cuerpo una fuerza de levantamiento, y otra de arrastre. Un contorno cerrado ๐ encierra al cuerpo 67
3.12 El obstรกculo cilรญndrico, de secciรณn irregular y altura unidad es rodeado por una cubierta cuyo contorno es ๐ y de altura 1. Se muestra el elemento diferencial de รกrea ๐๐ .
69
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
x
3.13(a) La imagen de la transformaciรณn de Joukowski en el plano z duplica los รกngulos y eleva al cuadrado la relaciรณn de los radios.
74
3.13(b) En el plano ๐ un punto ๐โฒ seรฑalado por (๐1, ๐ฝ1) y (๐2, ๐ฝ2) se transforma mediante la transformaciรณn de Joukowski en el punto ๐ del plano ๐ง.
74
3.14(a) Una circunferencia de radio Ro , centrada en el origen de coordenadas del plano ๐ con abscisa 0ฮพ y ordenada 0๐
75
3.14(b) La circunferencia de radio ๐ ๐ en el plano ๐ de la figura anterior da lugar a un segmento de recta de longitud 4๐ ๐, centrado en el origen 0 del plano ๐ง.
75
3.15 Flujo que remonta una superficie plana, horizontal, de ancho 4๐ 0 y con รกngulo de ataque ๐ผ, donde en 2๐ 0 se muestran sus puntos de estancamiento.
77
3.16 La transformaciรณn de Joukowski de una circunferencia con radio R, da como resultado una elipse. 79 3.17 La condiciรณn de Kutta establece que el punto de estancamiento posterior debe estar situado en
(A,0). 84
4.1 Esquema de un aerogenerador de eje horizontal a barlovento. 87 4.2 Posiciรณn relativa instantรกnea del aerogenerador con respecto, al sistema fijo en el espacio. La
direcciรณn del viento coincide (pero en sentido opuesto) con el eje OX. El cuerpo se encuentra apoyado en P
88
4.3 Esquema donde se muestra la fuerza ๐น๐ฟ que es la de levantamiento, La fuerza ๐น๐ด
de arrastre, la masa y la gravedad, desde el centro de masa CM.
89
4.4 Esquema donde se muestra la fuerza ๐น๐ฟ que es la de levantamiento, la masa y la gravedad, desde el centro de
masa CM. La circulaciรณn y las distancias para encontrar la fuerza total neta con respecto al cuerpo. 94
4.5 Grafica del cabeceo en el aerogenerador de acuerdo con la soluciรณn (4.61) 101 C.1 Esquema donde se muestran los dos รกngulos de movimiento, el de cabeceo ๐(๐ก) y el de precesiรณn ๐(๐ก) que se
presentan en el movimiento de la gรณndola de un aerogenerador, sin superficies de control.
106
รNDICE DE TABLAS. Tabla Pรกgina
[ I ] Parques eรณlicos en Operaciรณn y construcciรณn en Mรฉxico. ยฉTodos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la direcciรณn web: http://www.gwec.net/wp-content/uploads/2014/04/GWEC-Global-Wind-Report_9-April-2014.pdf Global Wind Reports 2013.
7
[ II ] Top 10 de los paรญses con mayor capacidad instalada de energรญa eรณlica 2016. ยฉTodos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la direcciรณn web: file:///C:/Users/raymundo/Downloads/tesis%20docs/GWEC_Global_Wind_2016_Report_LR.pdf Global Wind Reports 2016.
8
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
xi
NOMENCLATURA
A ๐๐ฅ , ๐๐ฆ , ๐๐ง Componentes del Momento de inercia.
36,37
Aceleraciรณn angular 92 ๐ฅ , ๐ฆ , ๐ง Componentes de la aceleraciรณn angular
92
๐ รngulo de precesiรณn azimutal o guiรฑada
29 ๐๐ฅโฒ ,๐๐ฆ
โฒ ,๐๐งโฒ Componentes de la torca 91,92
๐ผ รngulo de ataque provocado por la circulaciรณn
60-65 ๐ข, ๐ฃ y ๐ค Componentes cartesianas del campo de velocidades
42
๐ รngulo de nutaciรณn o cabeceo, alrededor de su eje nodal instantรกneo
29,102 ๐๐งโ Conjugado de la diferencial de la variable compleja
70
ฮฒs รngulo polar de estancamiento
83 โ Conjunto de matrices de rotaciรณn
22
๐๐ รngulos de estacionamiento 63,65 ๐0 Constante con dimensiones de
velocidad inicial que representa un flujo uniforme.
51,52
a.C Antes de Cristo 1,2 ๐ Constante con dimensiones de velocidad que representa un flujo uniforme.
60,61,62
๐ด1, รrea 1 en la entrada de viento en el tubo de corriente
18 ๐ Constante real 52,53,54,55,56
A2 รrea 2 en la salida del tubo de corriente
18 ๐ Constante conforme de la transformaciรณn de Joukowski
72
A รrea del disco de corriente 17,18
๐ Cambio de la aceleraciรณn angular (cabeceo)
96 D
Aceleraciรณn angular de cabeceo
96 ๐ Densidad de masa La densidad del aire es 1.25
๐พ๐/๐3
17,41
C Derivada temporal del momento angular
37
๐ถ๐ Centro de masa 94 ๐ Diรกmetro del disco de corriente
17,18
๐ค Circulaciรณn 54,64,65,66
๐๐ Diferencial de la superficie 68
๐ข๐ Componente radial 50 ๐๐ง Diferencial de la variable compleja
70
๐ข๐ Componente transversal 50 ๐๐ Diferencial de masa 35 ๐น๐ฅ
โฒ, ๐น๐ฆโฒ, ๐น๐ง
โฒ Componentes de la fuerza en el sistema fijo al cuerpo.
90,95 ๐๐ Diferencial del volumen 35,36,37
๐ค๐ฅ , ๐ค๐ฆ, ๐ค๐ง Componentes de la velocidad angular
39,93 ๐ Distancia en el eje de las abscisas en el plano z
56,57,58
๐๐๐ฃ Divergencia de la velocidad, โ โ ๐ฃ es un campo escalar que compara salidas con las entradas del campo de velocidad
๐ท๐๐ฃ ๐ฃ = โ โ ๐ฃ = (๐๐ฃ1
๐๐ฅ
+ ๐๐ฃ2
๐๐ฆ
+๐๐ฃ3
๐๐ง
)
41
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
xii
E Gravedad, la fuerza mรกs dรฉbil de las cuatro fuerzas de la naturaleza mediante ella los objetos que tienen masa se atraen entre sรญ.
43
๐๐ Elemento diferencial de lรญnea
46 ๐๐๐๐ Gradiente de la velocidad ๐ป๐ฃ indica la direcciรณn en la cual el campo de velocidades varia mรกs rรกpidamente โ๐ฃ = (
๐๐ฃ
๐๐ฅ ,
๐๐ฃ
๐๐ฆ,๐๐ฃ
๐๐ง)
42,43,44
e Energรญa total del fluido por unidad de masa
45 ยฐ grados 5
๐๐ฅ๐ฆ, ๐๐ฅ๐ง y ๐๐ฆ๐ง Esfuerzos cortantes 43
๐๐ฅ, ๐๐ฆ y ๐๐ง; Esfuerzos normales 42,43 I
๐๐ Estancamiento en el eje de las abscisas
77, 82 โ Infinito 73
๐ฆ๐ Estancamiento en el eje de las ordenadas
77,82 ๐ Intensidad del doblete 57,58
๐โ๐๐ Variable en coordenadas polares.
51
ฯต Excentricidad de la elipse, que indica su forma, su valor se encuentra entre cero y uno
83 ๐ Imaginario, nรบmero ๐ =
โโ1 ๐โ1= -i
๐0 = 1
๐1 = i
๐2 = -1 ๐3 = -i
๐4 = 1
49,50,51,52,53
IIE Instituto de investigaciones elรฉctricas
6
F
Flujo mรกsico ๐๐๐ โ K
๐น๐ด Fuerza de arrastre 67,68 kW Kilo watts 3,4
๐ Fuerza de cuerpo 42 km/h Kilรณmetros por hora 5
๐น๐ฟ Fuerza de sustentaciรณn 67,68 ๐น Fuerza ejercida por el
viento L
๐(๐ฅ, ๐ฆ) Funciรณn de Corriente 49 Factor de planta
Es la capacidad media operativa entre la capacidad mรกxima.
6 ๐ป2 Laplaciano 48,49
l.n Lineal nodal 28,29,30
G ๐ Longitud del รกngulo formado por ๐ para ๐ง en coordenadas polares
53,54,55
GWh Giga watts hora 7
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
xiii
R
M ๐๐๐ก โ ๐ฅ ๐ฃ = |๐ ๐ ๐
๐๐ฅ
๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ง
๐ฃ1 ๐ฃ2 ๐ฃ3
| Mide
los remolinos o vรณrtices del campo rotacional.
45
โ๐๐ Matriz anti simรฉtrica infinitesimal
26 โ๐ parte real 71
โ Matriz de rotaciรณn de 3x3
22,23 ๐ Radio de la transformaciรณn de Joukowski
78
โโ1 Matriz inversa de โ 22,23 ๐ 0 Radio ๐ 0 63
โ๐ Matriz transpuesta de โ
23,26
๐ Matriz unidad 22,68 rpm Revoluciones por minuto 13
Flujo mรกsico, es la velocidad a la que un flujo pasa a travรฉs de una superficie.
17 ๐ธ Rotaciรณn simple a lo largo del plano ๐. ๐.1OX forma un รกngulo ๐ o tambiรฉn llamado de cabeceo.
32,33,34
MW Mega watts 4,6,7,8 ๐น Rotaciรณn simple, alrededor de las cotas Oz formando un รกngulo ๐,
32,34
๐ผ1, ๐ผ2, ๐ผ3, Momentos de inercia principales
92 ๐ Rotaciones infinitesimales o pequeรฑos pivoteos de un cuerpo rรญgido.
26
m/s Metros por segundo 5,13
Momento Angular 35,36 S
Momento de la fuerza
71a 2๐ En el sistema sexagesimal equivale a 360 grados.
28
P T
๐ tensor de convecciรณn 68 ๐๐ฅ๐ฆ , ๐๐ฅ๐ง, ๐๐ฆ๐ง Productos de inercia. 36,37 ๐ tensor de esfuerzos 42,43
๐ Potencia del viento 17 ๐ Tensor de Inercia 36,37,38 ๐ Presiรณn [๐๐] 43 ๐ก Tiempo 98,99,100
๐น(๐ง) Potencial Complejo 50,51,52,53,55,56 ๐ก0 Tiempo en un instante cero
97,98,99
๐ (๐ฅ, ๐ฆ) potencial de velocidad 48,49 ๐๐๐โฒ Torca total 91
๐ potencial gravitacional 44,45 ๐(๐) = ๐ง Transformaciones conformes de Joukowski
72
pรณlder Tรฉrmino neerlandรฉs que describe las superficies terrestres ganadas al mar del Norte.
2 TWh Terawatt-hora. TW=1 000 000 000 000 (1012) Watts
1TWh=(1012)๐ฝ
๐ โ 3600๐ = 3.6๐ฅ1015
J
7
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
xiv
V
ฮพ Variable compleja, de una regiรณn diferente de z. en el mismo plano complejo.
72,73,74,75,76
๐๐ Vector de posiciรณn que parte del origen del sistema coordenado y apunta a la posiciรณn instantรกnea del cuerpo.
20
๐ Vector de posiciรณn que parte del origen del sistema coordenado y apunta a otra posiciรณn instantรกnea del cuerpo.
20
๐ , ๐ Vectores unitarios polares ortogonales.
53,54
Velocidad angular 36 ๐(๐ง) Velocidad Compleja 50,51
๐ Velocidad con respecto al sistema de coordenadas fijo al espacio
35
๐ฃ1 Velocidad del viento sin perturbar
17
๐ฃ2 Velocidad del viento en la salida del disco de corriente
17
Velocidad รบtil del viento/Campo de velocidades
17/41
Velocidad angular de cabeceo
39,93
Velocidad angular azimutal, guiรฑada o precesiรณn.
39,93
Z
๐ง Numero complejo, donde la parte izquierda es real y la derecha imaginaria.
49
zs Z de estancamiento 76,77
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
xv
JUSTIFICACIรN
En Mรฉxico no existen actualmente aerogeneradores de fabricaciรณn nacional a gran escala por lo que se depende de aerogeneradores diseรฑados y construidos en el extranjero, que son muy costosos, por gastos de importaciรณn, refacciones y mantenimiento.
Es urgente hacer una investigaciรณn sรณlida en este importante campo de generaciรณn de energรญa elรฉctrica, aprovechando el viento como fuente de generaciรณn, ya que la energรญa eรณlica es limpia, barata y renovable. Con el fin de ayudar al crecimiento de la economรญa nacional, es necesario crear tecnologรญa propia, resultando ser mรกs barata, aprovechando los recursos del paรญs como: materia prima, la mano de obra, la investigaciรณn de ingenieros mexicanos, produciendo asรญ, energรญa elรฉctrica amigable con el medio ambiente, anticipรกndose asรญ a la decadencia de la era de la generaciรณn de energรญa elรฉctrica por medio del petrรณleo.
En esta tesis de maestrรญa se calcula la orientaciรณn espacial de la gรณndola de un aerogenerador de eje horizontal; a lo que se da por llamar la actitud. Cabe aclarar que la gรณndola es la cubierta o estructura, que funciona como refugio de todos los componentes que intervienen en el funcionamiento de un aerogenerador, si no se contara con este elemento, los componentes internernos de los aerogeneradores sufrirรญan degradaciรณn por inclemencias del tiempo, resultando ser menos eficientes aerodinรกmicamente y por consiguiente la vida รบtil de cada componente interno, tendrรญa menos tiempo de vida รบtil. En este trabajo, la gรณndola se considera de forma elipsoidal por cuestiones aerodinรกmicas y por simplificaciรณn de cรกlculos.
Al encontrar la orientaciรณn, se tendrรกn las bases sรณlidas para implementar este cรกlculo y
programar algรบn sensor o actuador obteniendo el control de la gรณndola del Aerogenerador y esto traerรก como consecuencia mayor aprovechamiento de la energรญa eรณlica.
Con este cรกlculo y aunado a un grupo fuerte de investigadores en esta maestrรญa que trabajan en el diseรฑo de diferentes partes del aerogenerador, se busca que el aerogenerador sea una fuente energรฉtica complementaria y se propone su uso para satisfacer las necesidades bรกsicas de energรญa en las comunidades rurales donde no se tiene el suministro de energรญa elรฉctrica convencional, o para iluminar carreteras, anuncios, alumbrado pรบblico, para satisfacer las necesidades de la sociedad Mexicana, Esto con el fin de impulsar la energรญa mini eรณlica y de gran potencia eรณlica en Mรฉxico.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
xvi
OBJETIVO GENERAL
Obtener teรณricamente la orientaciรณn de un Aerogenerador de eje Horizontal.
OBJETIVOS PARTICULARES
1.โ Realizar una revisiรณn bibliogrรกfica de artรญculos y apuntes relacionados con la teorรญa del cuerpo rรญgido, transformadas de joukowski, estabilidad y control en los Aerogeneradores, 2.โ Proponer la Metodologรญa para calcular la orientaciรณn del Aerogenerador. 3.โAnalizar los resultados de los รกngulos de rotaciรณn, circulaciรณn, Momentos, fuerzas de levantamiento y arrastre, para encontrar la actitud de la gรณndola.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
1
Si no tienes nada porque morir, me dijo donJuan una vez
ยฟCรณmo puedes sostener que tienes algo porque vivir? Los dos van mano a mano y la muerte lleva el timon.
Carlos Castaneda
CAPรTULO 1
GENERALIDADES
1.1. ENERGรA EรLICA
La energรญa eรณlica es de las mรกs antiguas empleadas por el hombre. En sus inicios el viento solamente era utilizado para ser transformado en energรญa mecรกnica, para la navegaciรณn en embarcaciones a vela en Mesopotamia en el milenio IV a.C. Tiempo despuรฉs para la extracciรณn de agua o en molinos de grano. Hoy dรญa su aplicaciรณn mรกs extendida es la generaciรณn de electricidad, ya que รฉsta puede ser fรกcilmente distribuida y empleada. [1]
La energรญa eรณlica se considera una forma indirecta de energรญa solar. Entre el 1 y 2% de la energรญa proveniente del sol se convierte en viento, debido al movimiento del aire ocasionado por el desigual calentamiento de la superficie terrestre. [2][11] La energรญa cinรฉtica del viento puede transformarse en energรญa รบtil, tanto mecรกnica como elรฉctrica.
La energรญa eรณlica, transformada en energรญa mecรกnica ha sido histรณricamente aprovechada, pero su uso para la generaciรณn de energรญa elรฉctrica es mรกs reciente, existiendo aplicaciones de mayor escala desde mediados de la dรฉcada del 70, en respuesta a la crisis del petrรณleo y a los impactos ambientales derivados del uso de combustibles fรณsiles durante el siglo XX.[3]
La existencia de viento pone al alcance de las personas una energรญa totalmente renovable, aunque siempre se estรฉ a merced de su variabilidad, lo que obligarรก en muchos casos a disponer de otras fuentes alternativas para poder mantener un rรฉgimen continuo de consumo.
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
2
1.2 HISTORIA DE LOS AEROGENERADORES
La primera forma de aprovechamiento de la energรญa eรณlica fue en el cuarto milenio a.C, cuando aparecen en el Egeo las primeras naves de madera solida impulsadas por velas. Los Malayos fabricaban velas de hojas de palmera y bambu, los Fenicios utilizaban lino, esta tecnologรญa inventada por aquellos hombres anรณnimos fue un brillo de genialidad inicialmente para la navegacion marรญtima, y posterior para la conquista de tierras. [1]
FIGURA. 1.1 Barco egipcio representado en la tumba de Menna, Valle de los Nobles,
dinastรญa XVIII, mediados del II milenio a. C (GNU Se aplica licencia de documentaciรณn gratuita a esta imagen) direcciรณn: http://es.wikipedia.org/wiki/
Pero, los molinos de viento existรญan ya en la mรกs remota antigรผedad. Persia, Irak, Egipto y China disponรญan de mรกquinas eรณlicas muchos siglos antes de la era cristiana [6]. En Sijistan (sistan) entre Irรกn y Afganistรกn hay referencias de la existencia de molinos de rotor vertical y palas a base de telas colocadas sobre un armazรณn de madera, que eran utilizados para la molienda de granos y bombeo de agua mรกquinas conocidas como panรฉmonas, precursoras de los molinos persas.
Los molinos de viento fueron utilizados para regar las llanuras de Mesopotamia en el reino del rey Hammurab I (1792-1750 a.C) y se cree fueron primordiales para el riego de los jardines colgantes en la รฉpoca de Nabucodonosor II en babilonia. En la Edad Media, los molinos se extendieron por toda en Europa comenzando por Grecia, Italia y Francia. La diferencia fue que en Europa fundamentalmente se usaron los molinos de eje horizontal, mientras que los molinos orientales eran de eje vertical.
FIGURA. 1.2. Molinos de viento de eje vertical. Localizados en Nashtifan,
ciudad situada en el sur de la provincia de Jorasรกn Razavi, en Irรกn. http://blog.uclm.es/molinoferrera/files/2016/04/primermolinoviento.jpg
Los molinos holandeses de eje horizontal fueron usados desde 1430 para la desecaciรณn de los pรณlders logrando que entre los aรฑos 1609 y 1612 de nuestra era, Beemster fuera el primer municipio de los paรญses bajos que fue drenado con la ayuda de estas mรกquinas; sin embargo, no sรณlo utilizaron los molinos para drenar el agua, sino tambiรฉn para extraer aceites de semillas, moler grano, etc; precisamente el nombre de molinos proviene de este tipo de aplicaciones. [6]
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
3
Por el reconocido diseรฑador Jan Adriaenszoon, los holandeses, fueron los pioneros en la fabricaciรณn de estos molinos, hicieron muchas mejoras en el diseรฑo e inventaron varios tipos, por ejemplo: los molinos de tjasker y smock mill. [4] Para el siglo XVIII los holandeses tenรญan intalados y en funcionamiento 20,000 molinos que proporcionaban una media de 20KW cada uno.[6]
FIGURA 1.3. Molinos de viento de Kinderdijk, Netherlands. Se aplica licencia libre GFDL. CC BY-SA 3.0 por Wikipedia.org Direcciรณn: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/ff/KinderdijkMolens02.jpg diciembre de 2004.
El proceso de perfecciรณn de las palas de molinos de viento llevรณ aproximadamente 400 aรฑos, haciendo mejoras considerables en la eficiencia dando lugar a la teorรญa de la aerodinรกmica desarrollada durante las primeras dรฉcadas del siglo XX, permitiendo comprender la naturaleza y el comportamiento de las fuerzas que actรบan alrededor de las palas de las turbinas. Los mismos cientรญficos que la desarrollaron para usos aeronรกuticos; Nikolay Yegorovich Joukowski, G.Sabinin (pupilo del profesor Joukowski); Prandtl y Betz, establecieron los criterios bรกsicos que debรญan cumplir las nuevas generaciones de turbinas eรณlicas.
Por otro lado en Amรฉrica, en 1850 apareciรณ en las grandes llanuras del oeste el pequeรฑo multรญpala americano, fuรฉ utilizado para el bombeo de agua, los primeros fueron de madera, hacia 1900, casi todos eran de metal y las multiples palas eran de 3 a 5 metros de diรกmetro, ha sido el mรกs vendido de la historia, llegรกndose a fabricar mรกs de seis millones de unidades, de las cuales existen varios miles en funcionamiento. [7] En los aรฑos 20 se empiezan a aplicar a los rotores eรณlicos los perfiles aerodinรกmicos que se habรญan diseรฑado para las alas y hรฉlices de los aviones
FIGURA 1.4. Multipala Americano (Texas) ยฉ Todos los
derechos reservados por Bienes Comunes A. C. obtenida de la Direcciรณn: http://www.energias.bienescomunes.org/wp-
content/uploads/2012/08/texas-molinos.jpg , el 2005-2012 Pero para 1926 en Berlin Betz demostrรณ que el rendimiento de las turbinas aumentaba con la velocidad de rotaciรณn y que, ningรบn sistema eรณlico podรญa superar el 60% de la energรญa contenida en el viento. Por lo tanto, los nuevos rotores debรญan funcionar con elevadas velocidades de rotaciรณn para conseguir rendimientos mรกs elevados, ademรกs que cuanto mayor era la velocidad de rotaciรณn menor importancia tenรญa el nรบmero de palas, por lo que las turbinas modernas podรญan construirse con una sola pala sin que disminuyera su rendimiento aerodinรกmico significativamente.[9]
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
4
Tras la crisis de 1929 (jueves negro) los ojos de los visionarios de USA y Europa voltearon a ver a la energรญa eรณlica creando innumerables proyectos sobre aerogeneradores de gran potencia, centrando los temas en: la evaluaciรณn de los recursos disponibles, obtenciรณn y tratamiento de datos meteorolรณgicos, localizaciรณn de lugares con potencial eรณlico y el cรกlculo, diseรฑo y construcciรณn de plantas de gran potencia, asi como tambiรฉn se motivรณ para fabricar y comercializar pequeรฑas turbinas, que permitiesen cubrir las necesidades agrรญcolas o industriales situadas en zonas alejadas de tomas electricas.[6] De 1973 a 1986 los precios del petrรณleo fueron altos, lo que favoreciรณ el desarrollo de los aerogeneradores eรณlicos como fuente de energรญa alternativa, renovable y no contaminante, capaz de producir electricidad a precios competitivos. [8]
FIGURA 1.5. Complejo Eรณlico Oaxaca II-II-IV Municipios de Santo Domingo y la Venta, Oaxaca (Mรฉxico). El mayor complejo eรณlico de Amรฉrica Latina, incorpora 204 aerogeneradores AW1500, capaces de cubrir la demanda elรฉctrica de unos 700,000 hogares mexicanos. ยฉ Todos los derechos reservados por acciona-mx.com Obtenida de la Direccion: http://www.acciona-mx.com/media/2018639/galeria-baja_oaxacas1.jpg, 2017.
En los aรฑos siguientes, los aerogeneradores aumentaron poco a poco su potencia, tamaรฑo, mejorado el control y fiabilidad reduciendo asi los costos de producciรณn electrica. Las turbinas eรณlicas han incrementado con el paso del tiempo de 25-100kW, con 10-20m de diรกmetro a unidades de MegaWatts con aerogeneradores de 7.5-10MW de potencia eรณlica y 100-190m de diรกmetro lo que demuestra el alto grado de madurez alcanzado por esta tecnologรญa. [7][10]
1.3 FUENTE DE LA ENERGIA EOLICA. EL VIENTO
La energรญa eรณlica es energรญa solar, se considera viento a toda masa de aire en movimiento,
que surge como consecuencia del desigual calentamiento de la superficie terrestre que produce zonas de aire de alta y baja presion, este desequilibrio de presiones provoca desplazamientos del aire que rodea la tierra. El gradiente de velocidades del viento, es mayor cuanto mayor es la diferencia de presiones y su movimiento viene influenciado por el giro de la Tierra.
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
5
FIGURA. 1.6 Movimiento del viento en el planeta. ยฉ Todos los derechos reservados por Enciclopedia Britรกnica, inc. Obtenida de la direcciรณn: http://media1.britannica.com/eb-media/04/110604-034-
849A13B1.jpg, 2017.
La direcciรณn del viento estรก
determinada por efectos topogrรกficos y por la rotaciรณn de la tierra, uno de los vientos globales mรกs importantes son los alisios, los cuales tienen su origen en las zonas de mayor calentamiento de la tierra en la regiรณn ecuatorial, estos, se encuentran entre las latitudes de 0 a 30grados norte y sur, por lo que son de gran relevancia para la regiรณn de Amรฉrica Central
El viento produce energรญa porque estรก
siempre en movimiento. Se estima que la energรญa contenida en los vientos es aproximadamente el 2% del total de la energรญa solar que alcanza la tierra. [6][11]
Tambiรฉn se puede medir mediante la escala Beaufort: Esta es una escala numรฉrica utilizada en meteorologรญa que describe la velocidad del viento, asignรกndole nรบmeros que van del 0 (calma) al 12 (huracรกn). Fue ideada por el Almirante Beaufort en el siglo XIX.
FIGURA 1.7 La Escala de Beaufort para medir velocidad del viento.
Algunos derechos reservados por Meteoarganda.es por: http://meteoarganda.es/Saratoga/Escala%20de%20Beaufort_archivos
/image002.jpg, 2006.
Para caracterizar los vientos se utilizan dos magnitudes, la direcciรณn y la velocidad, La direcciรณn se observa con la veleta, mientras para la velocidad, el instrumento que la mide es el anemรณmetro, que generalmente estรก formado por un molinete de tres brazos, separado por รกngulos de 120ยฐ, que se mueven alrededor de un eje vertical. Los brazos giran con el viento y accionan un contador que indica en base al nรบmero de revoluciones, la velocidad del viento incidente. Se expresa en m/s, en km/h o en Nudos. 1Nudo=1 milla marina/hora= 1.852 km/h.
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
6
En un aerogenerador se consideran tres velocidades del viento:
La velocidad de conexiรณn, ๐๐๐๐๐ฅ๐๐๐ . Es la velocidad del viento por encima de la cuรกl se genera energรญa. Por debajo de esta velocidad toda la energรญa extraรญda del viento se gastarรญa en pรฉrdidas y no habrรญa generaciรณn de energรญa.
La velocidad nominal, ๐๐๐๐๐๐๐ . Es la velocidad del viento para la cuรกl la turbina eรณlica alcanza su potencia nominal (potencia lรญmite que el fabricante recomienda). Por encima de esta velocidad la potencia extraรญda del viento se puede mantener constante.
La velocidad de desconexiรณn, ๐๐๐ . Es la velocidad del viento que una turbina eรณlica deja de generar energรญa elรฉctrica, porque se acelera el rotor y los sistemas de seguridad comienzan a actuar frenando la mรกquina, desconectรกndola de la red a la que alimenta.
Es importante mencionar que se debe hacer un estudio de vientos en el lugar donde se obtendrรก energรญa eรณlica. De acuerdo con el estudio del IIE (2010) las regiones con mejor potencial en Mรฉxico, se ubican en la zona del Itsmo de Tehuantepec, la costa del Golfo de Mรฉxico (particularmente en la zona norte), y en la parte norte de la penรญnsula de Baja California. [24] Tan solo en Oaxaca se ha estimado un potencial superior a los 40,000MW. [25]
El viento es un importante recurso que Mรฉxico posee con un potencial energรฉtico del orden de 71,000 MW, con factores de planta superiores a 20%.[23]
En las estadรญsticas mundiales de energรญa eรณlica 2014 y en el reporte 2014 del Global Wind Report del Consejo Mundial de la Energรญa Eรณlica (GWEC), la energรญa eรณlica en Mรฉxico en el 2005 fue de 3MW; en el 2006-2007 de 85MW; en el 2008 de 165MW; en el 2009 de 202.28MW; en el 2010 de 518.63MW; en el 2011 de 873MW; en el 2012 de 1,053 MW; en el 2013 de 1,917 MW; en el 2014 de 2551MW, en 2015 de 3,073MW, en 2016 de 3,527MW y se espera para el 2020-22 se pueda obtener 15,000 MW con proyectos instalados en diferentes regiones del territorio mexicano[15][21]. En la tabla I se presenta un resumen de los proyectos eรณlicos en operaciรณn, en construcciรณn, y en desarrollo en todo el paรญs[14], Cabe notar que en esta tabla, los proyectos eรณlicos han florecido espectacularmente en los รบltimos aรฑos, especialmente en el sector privado, gracias al gran potencial energรฉtico y al apoyo que reciben del gobierno mexicano para aumentar la participaciรณn de sus tecnologรญas para generar electricidad por medio de energรญa renovables en los estados de Oaxaca, Puebla, Tamaulipas, Baja california, entre otros. Es decir que el sector privado se encarga del diseรฑo, construcciรณn, de los aerogeneradores, de la transformaciรณn y de la transmisiรณn de la energรญa eรณlica en los estados donde hay potencial, desarrollan la infraestructura necesaria para aprovechar el recurso eรณlico brindando el gobierno una certidumbre jurรญdica a sus intereses, ademรกs de los beneficios de apoyo equitativo en los costos de construcciรณn de infraestructura y eso no es todo, Mรฉxico incentiva fiscalmente con deducciรณn del 100% del costo de maquinaria para el desarrollo de energรญas renovables generando ahorros para cada participante privado, con el fin de crear nuevos
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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empleos y cumplir con la meta de capacidad de generaciรณn elรฉctrica, no importando a los polรญticos entregar hasta los recursos naturales de la naciรณn a manos extranjeras.
TABLA I. Parques eรณlicos en Operaciรณn y construcciรณn en Mรฉxico. ยฉTodos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la direcciรณn web: http://www.gwec.net/wp-
content/uploads/2014/04/GWEC-Global-Wind-Report_9-April-2014.pdf Global wind Reports 2013
Con toda la ayuda extranjera, la potencia eรณlica efectiva instalada en Mรฉxico representa el 2.1% de la generaciรณn elรฉctrica total del paรญs siendo de 301,462GWh para el 2014[22]. La capacidad de energรญa eรณlica instalada en Mรฉxico es de 3,527MW en el 2016. En cambio para China representa el 2.78% del total de producciรณn electrica que es 153.4TWh en el 2014[15]. Nadie puede destronar a china, se ha convertido en el paรญs nรบmero uno en capacidad eรณlica instalada con 168,732 MW en el 2016 [17].Cabe hacer notar que Mรฉxico podrรญa competir, tiene todo, un gran potencial eรณlico por sus condiciones geogrรกficas, la disposiciรณn del gobierno mediante incentivos en la investigaciรณn, creacion, desarrollo y producciรณn de energรญa eรณlica, de modo que, hay mucha tarea para todos los estudiantes interesados en aportar un granito de arena en esta รกrea.
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La tarea no esta hecha, la tecnologรญa de las turbinas eรณlicas es extranjera. Mexico puede y se ha comprobado en los los รบltimos aรฑos que hay personas interesadas en crear trabajos intelectuales de diseรฑo, de validaciรณn y pruebas, de producciรณn industrial, logรญstica, matenimiento, etc. Hay mucho potencial en los mexicanos y no solo para hacer llamadas de emergencia en caso que algรบn aerogenerador sufra alguna averรญa y esperar al tรฉcnico calificado que venga a dar mantenimiento a costos muy elevados.
TABLA II. Top 10 de los paรญses con mayor capacidad instalada de energรญa eรณlica 2016. ยฉTodos los derechos reservados por Global Wind Energy Council, obtenida de la direcciรณn web:
file:///C:/Users/raymundo/Downloads/tesis%20docs/GWEC_Global_Wind_2016_Report_LR.pdf , Global wind reports 2016.
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1.4 EL AEROGENERADOR
Un AEROGENERADOR es una turbina eรณlica que convierte la energรญa cinetica del viento incidente en energรญa elรฉctrica, mediante un generador de corriente. La captaciรณn de la energรญa eรณlica se produce mediante la acciรณn del viento sobre las palas. El principio aerodinรกmico por el cual el conjunto de palas gira, es similar al que hace que los aviones vuelen. Segรบn este principio, el aire es obligado a fluir por las caras superior e inferior de un perfil inclinado, generando una diferencia de presiones entre ambas caras, y dando origen a una fuerza resultante que actรบa sobre el perfil, Si se descompone esta fuerza en dos direcciones se obtiene una fuerza de sustentaciรณn, de direcciรณn perpendicular al viento y una fuerza de arrastre, de direcciรณn paralela al viento.
FIGURA 1.8. Parque eรณlico de Aerogeneradores de eje
horizontal Bรญi Hioxho (viento fuerte) en Juchitรกn
Oaxaca, generando 2MW cada uno. Algunos derechos
reservados por el universal.com.mx, direcciรณn web:
http://www.redpolitica.mx/estados/la-lucha-indigena-
contra-las-eolicas-en-juchitan , 2014 Con excepciรณn de los molinos de eje vertical, hoy, en todos los aerogeneradores, la fuerza dominante es la de sustentaciรณn, pues permite obtener, con menor peso y costo, mayores potencias por unidad de รกrea de rotor.
1.4.1 TIPOS DE AEROGENERADORES
1.4.1.1. Tipo de Eje
Eje horizontal o HAWT (Horizontal Axis Wind Turbine): Su principal caracterรญstica, es que su eje de rotaciรณn se encuentra en paralelo al suelo y a la direcciรณn del viento, sus aspas no soportan grandes velocidades en comparaciรณn con los VAWT, pero son mรกs eficientes que los anteriores por el gran diรกmetro de sus palas. Los HAWT se orientan mediante una veleta, mientras que los grandes utilizan sensores de direcciรณn y se orientan por servomotores o motoreductores.
Eje vertical o VAWT (Vertical Axis Wind Turbine): Su principal caracterรญstica es que su eje de rotaciรณn se encuentra en posiciรณn perpendicular al suelo, son capaces de captar el viento en cualquier direccion, por lo que resultan ser mรกs econรณmicos que los HAWT. Una de sus desventajas es que necesitan vencer la torca inicial que suele ser mayor que los HAWT.
FIGURA 1.9.-Aerogenerador de eje Horizontal
FIGURA 1.10.-Aerogeneradores de eje vertical
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1.4.1.2. Orientaciรณn Respecto al Viento
A barlovento: Tambiรฉn denominado a proa. La mayorรญa de los aerogeneradores de eje horizontal tienen este tipo de diseรฑo. Consiste en colocar el rotor de cara al viento, siendo la principal ventaja el evitar el abrigo del viento tras la torre. Como desventaja, necesita mecanismos de orientaciรณn del rotor, y que estรฉ situado a cierta distancia de la torre.
A sotavento: Tambiรฉn denominado a popa. Como ventaja presenta que el rotor puede ser mรกs flexible, y que no necesita mecanismo de orientaciรณn. Su principal inconveniente es la fluctuaciรณn de la potencia eรณlica, debida al paso del viento por el rotor y por el abrigo de la torre, por lo que crea mรกs cargas de fatiga en la turbina que con el diseรฑo anterior (Barlovento).
FIGURA 1.11-Rotor a Barlovento
FIGURA 1.12-Rotor a Sotavento
1.4.1.3. Nรบmero de Palas en aerogeneradores de eje horizontal
โข Una pala: Constituidos de una รบnica pala y de un contrapeso. Presentan velocidades de giro muy elevadas.
โข Bipala: Constituidos de dos palas son los mรกs econรณmicos y ligeros, por el contrario, necesitan una velocidad mayor para producir la misma cantidad de energรญa que el resto.
โข Tripala: La mayorรญa de los aerogeneradores de hoy en dรญa, presentan esta constituciรณn, la principal razรณn es que presentan un 4% mรกs de rendimiento que los de dos aspas.
โข Multipala: No es muy comรบn, pero presenta multitud de palas y normalmente es utilizado para la extracciรณn de agua en pozos.
FIGURA 1.13a-Una pala
FIGURA 1.13b-Bipala
FIGURA 1.13c-Tripala
FIGURA 1.13d-Multipala
Imagen tomada de la pรกgina 17 del libro Fundamentals, Resource Analysis and Economics., (2006) [4].
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1.4.2. COMPONENTES DE LOS AEROGENERADORES DE EJE HORIZONTAL
Palas.- La pala es uno de los elementos bรกsicos de un aerogenerador que conforma al rotor, Si se toma una secciรณn transversal de la pala, se observarรก un perfil aerodinรกmico ver figura (1.14). Los perfiles tienen distintos nombres y clasificaciones, segรบn su geometrรญa pueden ser biconvexos, plano-convexos y de doble curvatura. En general, los tipos de perfiles utilizados en las mรกquinas eรณlicas rรกpidas son de la serie NACA (National Advisory Committee of Aeronautics), y vienen determinados por un conjunto de cifras que definen su geometrรญa. ver figura (1.15).
El perfil aerodinรกmico se conforma de las siguientes partes: 1. La cuerda: es una lรญnea recta que une el borde de ataque y el de salida del perfil. 2. La curvatura media: es la lรญnea media entre el extradรณs y el intradรณs. 3. Curvatura mรกxima: es la distancia mรกxima entre la lรญnea de curvatura media y la lรญnea de cuerda. 4. Espesor mรกximo: es la distancia mรกxima entre la superficie superior e inferior (extradรณs e intradรณs).
5. Radio del borde de ataque: es una medida del afilamiento del borde de ataque. Puede variar desde 0, para perfiles supersรณnicos afilados, o incrementando el radio segรบn convenga para obtener perfiles achatados.
FIGURA 1.14 Partes del perfil aerodinรกmico.
Las palas suelen estar fabricadas de material compuesto de matriz polimรฉrica (poliรฉster) con un refuerzo de fibras de vidrio o carbono para dar mayor resistencia. Se clasifican segรบn su uniรณn al buje en:
De paso fijo: No permite la rotaciรณn de la pala sobre su eje.
De paso variable: Permite la rotaciรณn controlada de la pala sobre su eje por medio de rodamientos.
FIGURA 1.15 Arreglo geomรฉtrico en la configuraciรณn
de perfiles de 4 dรญgitos en los Perfiles NACA
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12
Rotor. Se compone de un buje en donde se
conectan las palas, y es el que captura la potencia del viento mediante las palas del aerogenerador, y la transmite a un eje principal de baja velocidad.
FIGURA 1.16 Palas de un aerogenerador de eje
horizontal
Carenado (Nariz): El carenado del rotor es una cubierta frontal en forma de cono que sirve para desviar el viento hacia el tren de potencia y mejorar la ventilaciรณn en el interior, eliminar turbulencia indeseable en el centro frontal del rotor y mejorar el aspecto estรฉtico.
Torre: La torre del aerogenerador soporta la gรณndola y el rotor. En los grandes aerogeneradores las torres tubulares pueden ser de acero, de celosรญa o de hormigรณn. Las torres tubulares tensadas sรณlo se utilizan en aerogeneradores pequeรฑos
Gรณndola: La gรณndola es un cascarรณn que sirve de protecciรณn contra la intemperie a los diferentes componentes del aerogenerador que contiene, en รฉsta se realiza el funcionamiento interno de la turbina eรณlica, en donde el eje principal transmitirรก la fuerza del viento al una caja de engranes y posteriormente al Generador elรฉctrico. En la gรณndola tambiรฉn se encuentra el sistema de orientaciรณn, que controla la posiciรณn de la turbina en relaciรณn con el viento, encontrando la actitud de la gรณndola, para obtener mรกxima potencia del viento y ser eficiente la mayor parte del tiempo. Asรญ como tambiรฉn el control de cambio de paso de las palas y la unidad de guiรฑada, entre otros componentes. Se fabrica regularmente de fibra de vidrio, y de geometrรญa aerodinรกmica para reducir costos y peso. En su parte exterior lleva instalado un anemรณmetro y una veleta conectados a los sistemas de control de aerogenerador, y unos respiraderos para garantizar la refrigeraciรณn del generador.
FIGURA. 1.17 Gรณndola de un aerogenerador de eje horizontal. Algunos derechos por gmoutlook.com direcciรณn web:
http://img.directindustry.com/images_di/photo-g/101961-2988353.jpg
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En el interior de la gรณndola se encuentran los siguientes elementos:
El eje principal es una pieza tubular de acero macizo de gran diรกmetro, unido solidariamente al rotor y que gira a velocidades de entre 22 y 64 rpm, segรบn el modelo de aerogenerador y las condiciones de operaciรณn. Sin embargo un generador estรกndar de generaciรณn elรฉctrica necesita velocidades de giro alrededor de 1500 rpm, por lo que es necesario un multiplicador que aumente la velocidad de giro transmitida.
Caja de engranes es un arreglo de engranes que convierte la baja velocidad de giro y alta potencia del eje principal, en una velocidad de giro adecuada para el funcionamiento del generador a costa de la potencia.
Generador: El generador convierte la energรญa mecรกnica que el rotor extrajo del viento en energรญa elรฉctrica. Los generadores que comรบnmente se emplean en los aerogeneradores son: Generador sรญncronos de imanes permanentes y Generador asรญncrono o de inducciรณn.
Generador sรญncrono de imanes permanentes (de velocidad constante): Se emplea frecuentemente en la pequeรฑa potencia, permite aprovechar el viento en un amplio rango de velocidades, desde 2,5-3 m/s (velocidad de inicio de generaciรณn) hasta 11-13 m/s (velocidad de protecciรณn). Un generador de imanes permanentes puede funcionar a bajas velocidades, por lo que es posible acoplar el rotor directamente al eje del generador, por lo que no requieren caja de engranes, se caracteriza porque su campo inductor o de excitaciรณn es producido por imanes permanentes y no por bobinas por lo que no requiere de corriente de excitaciรณn. Su salida electrica es trifรกsica por lo que debe ser rectificada para almacenarla en baterรญas.
Generador asรญncrono o de inducciรณn (velocidad variable): Se emplea freccuentemente en gran potencia. Debido a la gran diferencia de giro entre el rotor y el generador se necesita una caja de engranes. Estos generadores requieren una corriente de excitaciรณn para poder generar. Al estar conectados a la red, รฉsta proporciona la corriente de excitaciรณn que es una corriente alterna que crea un campo magnรฉtico alterno de la misma frecuencia en el inductor. Es decir, cuando la velocidad de giro del rotor sea algo superior a la velocidad de sincronismo, los sitemas de control deberรกn conectar a la red y desconectarla cuando la velocidad sea inferior, pues en este caso el generador actuarรญa como un motor absorbiendo potencia de la red.
Sistemas de control: Los sistemas de control en un aerogenerador tienen dos
importantes cometidos: el primero es el aprovechamiento mรกximo de la fuerza del viento mediante la orientaciรณn del rotor, el segundo es la protecciรณn del aerogenerador ante velocidades de viento que podrรญan daรฑar la instalaciรณn. Para el cometido de la orientaciรณn el aerogenerador, estรฉ cuenta con equipos anemomรฉtricos y de medida de la direcciรณn del viento, instalados sobre la gรณndola. Los datos recogidos pasan al ordenador de control que, segรบn un algoritmo determinado, decidirรก como deberรก mover la gรณndola con servomotores o motoreductores y al sistema de corona dentada (motor de giro) instalados en la base de la gรณndola en su uniรณn con la torre. Es necesario aclarar que el control sobre la orientaciรณn del rotor no se realiza a tiempo real, sino que el algoritmo, con los datos recogidos, debe ser capaz de garantizar que realmente el viento ha cambiado de
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direcciรณn de forma estable, antes de que se produzca el giro de la gรณndola, ya que en caso contrario darรญa lugar a un movimiento errรกtico del sistema que reducirรญa su eficiencia.
En los casos en laque el viento ha superado la velocidad nominal de trabajo, en la que se alcanza la mรกxima potencia producida por el equipo y llega a la velocidad de parada, existen dos mรฉtodos de control, para evitar que puedan producirse daรฑos:
*Activo: Se usa para evitar cargas en la caja de engranes y en el generador, se lleva a cabo mediante un dispositivo mecรกnico, las palas giran el perfil (varรญan su รกngulo de paso) enfrentando al viento, cambiando su aerodinรกmica, por lo que para velocidades mayores de viento para las que estรกn diseรฑadas a trabajar de forma รณptima, se acciona el mecanismo de cambio de paso, orientando y capturando menos potencia del viento, y en el caso de que el viento caiga de repente, el mecanismo aplicado es el inverso. El control comprueba varias veces por minuto la potencia generada, al igual que en el caso anterior y modifica el รกngulo de paso al รณptimo.
*Pasivo: En este caso las palas no poseen ningรบn tipo de mecanismo de variaciรณn del รกngulo ofrecido al viento, sino que permanecen fijas al rotor en todo momento. En su lugar, las palas con este mecanismo de control se diseรฑan de tal manera que para velocidades demasiado elevadas del viento se producen turbulencias en la parte de la pala de baja presiรณn, por lo que la diferencia de presiones entre un lado y otro de la pala disminuye. Es decir, pasado un lรญmite de velocidad del viento, รฉste disminuye la fracciรณn de energรญa transmitida al movimiento de las palas por las turbulencias ocasionadas, rebajando la velocidad de giro del rotor. Este mรฉtodo de control es mucho mรกs econรณmico, pero menos exacto y eficiente que el activo, aรบn asรญ, alrededor de dos tercios de los aerogeneradores instalados hoy en dรญa utilizan este mรฉtodo.
Anemรณmetro: mide la velocidad del viento en todo momento. Transmite este dato al controlador, el cual lo registra y actรบa en consecuencia sobre el freno si esto fuera necesario.
Veleta: Detecta la direcciรณn en la que
sopla el viento. Este aparato la manda los datos al controlador, para que รฉste actรบe sobre el motor de orientaciรณn en consecuencia.
FIGURA. 1.18 Orientaciรณn del aerogenerador por veleta
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Electro freno: reduce las revoluciones del rotor cuando es necesario. Actรบa cuando la velocidad del viento es demasiado alta, y existe el riesgo de rotura del rotor o las aspas. Estรก gobernado por el controlador.
El freno mecรกnico: suele ser hidrรกulico y debe ser instalado por normatividad y se utiliza en caso de fallo del freno aerodinรกmico, o durante las labores de mantenimiento de la turbina.
1.4.3. FUNCIONAMIENTO DE LOS AEROGENERADORES La obtenciรณn de la potencia de un aerogenerador, se consigue al convertir la fuerza proveniente del viento, en un par que actรบa sobre las palas del rotor. La cantidad de energรญa transferida al rotor por el viento depende del รกrea de barrido y la velocidad del viento. El รกrea de barrido de las palas determina cuanta energรญa del viento es capaz de capturar el aerogenerador. A mayor diรกmetro de pala, la superficie es mayor y por lo tanto la energรญa que absorbe el rotor es alta. La velocidad del viento es un parรกmetro muy importante para la cantidad de energรญa que un aerogenerador puede transformar en electricidad. A mayor velocidad de viento, la energรญa que capte el aerogenerador es mayor. Entonces, la energรญa cinรฉtica del viento es capturada por el rotor del aerogenerador gracias a sus palas, que cuando el viento incide sobre ellas, estas giran en torno al eje del rotor o eje de baja velocidad que esta acoplado al buje, el giro del eje de baja velocidad, mueve a la caja de engranajes o multiplicadora que hace girar el eje a alta velocidad al que esta acoplado el generador que es el encargado de convertir la anergia de movimiento en energรญa elรฉctrica
FIGURA. 1.19 Aerogenerador de eje Horizontal.
Algunos derechos reservados por Washington Examiner, Direcciรณn web: http://cdn.washingtonexaminer.biz/cache/1060x600-40ee7544d29d91fbad6f199bd2579bc4.jpg
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1.5. DISCO DE CORRIENTE
Se puede apreciar en la figura (1.20), un disco imaginario, llamado โDisco de corriente, que se dibuja alrededor del rotor de la turbina eรณlica. En esta figura se muestra cรณmo el flujo de aire que se mueve hacia la derecha ocuparรก un gran volumen en la parte posterior del rotor. El disco de corriente (rotor) de la turbina eรณlica debe, obviamente, frenar el viento cuando captura su energรญa cinรฉtica y la convierte en energรญa rotacional. Esto implica que el viento se moverรก mรกs lentamente en la parte derecha del rotor que en la parte izquierda, como se ve en la figura (1.20)
Dado que la cantidad de aire que pasa (por segundo) a travรฉs del รกrea barrida por el rotor desde la izquierda debe ser igual a la que abandona el รกrea del rotor por la derecha, el aire ocuparรก una mayor secciรณn transversal (diรกmetro) detrรกs del plano del rotor, de acuerdo con la ecuaciรณn de balance de masa. El flujo de aire no serรก frenado hasta su velocidad final inmediatamente detrรกs del disco de corriente. La ralentizaciรณn se producirรก gradualmente en la parte posterior del rotor hasta que la velocidad llegue a ser prรกcticamente constante. Debido a que el aire al acercarse al disco de corriente reduce la velocidad, la presiรณn del aire aumenta a medida que el viento se acerca al rotor, ya que รฉste actรบa como una barrera; asรญ, inmediatamente despuรฉs de cruzar el rotor la presiรณn del aire disminuye por debajo de la presiรณn atmosfรฉrica,
FIGURA.1.20 Flujo de aire que pasa por el Disco de corriente. Imagen tomada de la pรกgina 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001 [8].
para despuรฉs aumentar de forma gradual hasta llegar a una presiรณn estรกndar, como se muestra en la figura (1.21). Es de considerar que el disco actuador induce una variaciรณn de la velocidad que debe ser superpuesta a la velocidad del flujo, en otras palabras, despuรฉs del disco de corriente la turbulencia del flujo a baja velocidad se mezcla con el flujo de alta velocidad del รกrea circundante. Por lo tanto la turbulencia disminuirรก gradualmente tras el rotor conforme se aleja de la turbina.
Capitulo 1 Generalidades
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FIGURA.1.21 Extracciรณn de energรญa en el disco de corriente. Imagen tomada de la pรกgina 43
del libro Wind Energy HandBook. 2001 [8].
1.6. LEY DE BETZ Betz publicรณ en 1926 un trabajo en donde da una
evaluaciรณn para la transferencia de potencia mรกxima que
el viento puede realizar sobre algรบn artefacto material. Su
resultado se conoce como la Ley de Betz. En รฉl, el autor
establece que, en ningรบn caso puede darse el evento de
que el viento transfiera mรกs allรก de un 59.3% de su
potencia.
Para demostrarlo el autor establece una igualdad
estrictamente cinemรกtica entre la potencia del viento,
calculada a partir de la segunda ley de la mecรกnica como:
๐ โก โ = ๐2 โ (2 โ 1)๐ด (1.1)
Donde ๐ representa la rapidez del viento justo en el plano, de las palas y esta misma, ver figura (1.20 ) evaluada bajo la primera ley de la termodinรกmica en la forma:
๐ =1
2๐๐ฃ (๐ฃ2
2 โ ๐ฃ12)๐ด
(1.2)
FIGURA 1.22 Libro Publicado en 1926 por el alemรกn Albert Betz โWind Energie und ihre Ausnutzug durch Windmรผlen,โ โWind Energy and its Extraction through Windmills,โ ยฉTodos los derechos reservados por Wind Energy Conversion Theory, Betz Equation M. Ragheb . Obtenida de la direcciรณn web: http://mragheb.com/NPRE%20475%20Wind%20Power%20Systems/Wind%20Energy%20 Conversion%20Theory%20Betz%20Equation..pdf, 2/10/2017
Al igualarlas puede verse que:
๐ฃ =1
2 (๐ฃ1 + ๐ฃ2 )
(1.3)
es decir que en el plano de palas el viento tiene una rapidez que es la media de ambas; a la entrada y a la salida. Finalmente, haciendo uso de la ecuaciรณn de balance de masa en la forma
= ๐๐ฃ๐ด = ๐๐ก๐ (1.4)
Sustituyรฉndola en (1.2 ) y usando el resultado en ( 1.4 ) se obtiene:
๐ = 1
4(๐ฃ1 + ๐ฃ2)(๐ฃ1
2 โ ๐ฃ22) โก โ
1
2๐0( ๐
3 + ๐2 โ ๐ โ 1) (1.5)
Capitulo 1 Generalidades
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
18
donde ๐ผ representa la relaciรณn de las rapideces de entrada y de salida del viento (๐ฃ2
๐ฃ1โ ) y ๐ท๐ la
potencia de รฉste (๐ฃ1
3
๐ฃ0โ ). El mรกximo se encuentra derivando (1.5).
(๐๐
๐๐)๐๐
= โ 1
2๐0( 3๐๐
2 + 2๐๐ โ 1) = 0 (1.6)
FIGURA. 1.23.- Modelo de Betz Imagen tomada de la pรกgina 42 del libro Wind Energy HandBook. 2001 [8]. Interpretaciรณn Mรณnica Soberanes Alanis.
de donde se encuentra que el mรกximo valor de la potencia transferida por el viento al plano de las palas es
๐ท = ๐. ๐๐๐ ๐ท๐ (1.7) Encontrando asรญ el lรญmite teรณrico o coeficiente de Betz; resultado que implica que ninguna mรกquina eรณlica, por muy sofisticada que sea, puede superar.
Consideraciones prรกcticas.- La ecuaciรณn de Betz proporciona el lรญmite superior de las posibilidades de un aerogenerador, pero en sรญ es poco aproximada, pues no tiene en cuenta ciertos factores como: La resistencia aerodinรกmica de las palas La pรฉrdida de energรญa por la estela generada en la rotaciรณn La compresibilidad del fluido La interferencia de las palas La pรฉrdida de energรญa por el decremento en la temperatura del viento al pasar por el disco. En realidad habrรก que tener en cuenta ademรกs el rendimiento de los diversos mecanismos que componen el aerogenerador, por lo que considerando el siguiente balance del mismo para los distintos componentes, suponiendo que el rendimiento de Betz puede alcanzarse, es:
Rendimiento de Betz 59,5% Rendimiento de la hรฉlice 85% del anterior. Rendimiento del multiplicador 98% del anterior Rendimiento del alternador 95% del anterior Rendimiento del transformador 98% del anterior.
Por lo tanto, se obtiene un rendimiento global teรณrico de la instalaciรณn del orden del 46%.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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Piรฉrdelo todo y lo ganarรกs todo
Los guerreros viajeros no se quejan, toman todo lo que se les da, el Infinito como dessafรญo
Don juan. Carlos Castaneda
CAPรTULO 2
EL CUERPO RรGIDO
2.1 INTRODUCCION
En este capรญtulo se estudiarรก de forma metรณdica el movimiento de rotaciรณn de la gรณndola de un aerogenerador de eje horizontal, considerando las causas que producen este movimiento, utilizando la teorรญa de la mecรกnica del cuerpo rรญgido. Para atacar este problema, se mencionan diversos conceptos de la mecรกnica, como la fuerza, la torca, momento de inercia, y numerosas definiciones propias de la rotaciรณn de un cuerpo rรญgido y las memorables ecuaciones de Euler.
Capitulo 2
El Cuerpo Rรญgido
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
20
2.2. EL CUERPO RรGIDO
El cuerpo rรญgido es un sistema de muchas partรญculas que se encuentran vinculadas unas con otras de tal manera que en todo instante sus distancias relativas son constantes, es decir las partรญculas materiales que constituyen un cuerpo rรญgido se hallan siempre a distancias relativas invariantes. Asรญ, dados dos puntos materiales cualesquiera de un cuerpo rรญgido, la distancia entre ellos, medida desde un marco de referencia anclado en algรบn punto en el espacio es,
|๐๐ โ ๐| = ๐๐๐๐ ๐ก (2.1)
No importa cรณmo se desplace el cuerpo por el espacio, esos puntos (todos), se moverรกn de manera tal que sus distancias relativas permanecerรกn inalterables. La expresiรณn (2.1) es vรกlida para todos los puntos de ese cuerpo; esto es para
๐, ๐ = 1,2, โฆ ,๐; ๐ โ ๐.
Siendo N el nรบmero total de partรญculas materiales que integran ese cuerpo rรญgido.
Es necesario puntualizar, que el cuerpo rรญgido es un sistema de partรญculas, esto significa que cuando se ve urgido por fuerzas aplicadas, su estado de movimiento cambiarรก, esto es, como si todas las fuerzas aplicadas se concentraran en su centro de masa y todas las partรญculas siguieran a ese centro de masa.
Ahora bien, conocer el cambio de estado de movimiento del centro de masa es indicativo del cambio de movimiento en todo el sistema, en otras palabras el cuerpo se desplaza por el espacio siguiendo la trayectoria de su centro de masa.
Entonces si la trayectoria del centro de masa es conocida, cualquier otro punto material del cuerpo rรญgido, el que sea, se moverรก siguiendo al centro de masa y a lo mas podrรก desplazarse en relaciรณn a รฉl. Asรญ, se supone por el momento que hay un sistema de coordenadas anclado en el centro de masa, y cualquier otro punto material solo puede moverse alrededor de รฉl sobre la superficie esfรฉrica ejecutando giros o mejor dicho โpivoteosโ alrededor del centro de masa.
Todo punto del cuerpo rรญgido, por consiguiente se mueve con un movimiento de traslaciรณn y rotaciรณn (alrededor de su centro de masa). Tal como lo estudio el matemรกtico francรฉs Michael Chasles (1793-1880), Profesor de la Sorbona de Paris que en su Teorema dice que โEl movimiento mรกs general del cuerpo rรญgido se puede descomponer en una traslaciรณn y un pivoteoโ. En donde la traslaciรณn mรกs sencilla de describir es la del centro de masa del cuerpo, y el pivoteo se puede referir al centro de masa o al de algรบn otro punto del cuerpo rรญgido. Por lo que el describir el movimiento general de un cuerpo rรญgido, en realidad se puede desglosar en dos problemas independientes, uno que se platea y resuelve con los mรฉtodos de la mecรกnica de una sola partรญcula puntual, en donde
Capitulo 2
El Cuerpo Rรญgido
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
21
se involucra al centro de masa, y el otro que se refiere a la descripciรณn de los pivoteos de un cuerpo rรญgido.
Entonces el pivoteo de un cuerpo rรญgido es lo que se desea estudiar, ya que la traslaciรณn del centro de masa esta, en principio resuelta, al menos teรณricamente. Lo que procederรก en adelante a suponer que el cuerpo rรญgido no viaja por el espacio, solamente se consideran los pivoteos y se ignoran las traslaciones.
Antes de proseguir, es necesario saber que el pivoteo es un cambio de orientaciรณn del cuerpo en el espacio, el cual se le refiere frecuentemente como un cambio en su actitud. Un pivoteo rota un cuerpo alrededor de cierto eje y sobre un punto fijo. En efecto al ocurrir un pivoteo, hay un eje, una lรญnea recta en el espacio que, al menos instantรกneamente permanece fija y alrededor de la cual, todos los puntos del cuerpo ejecutan movimientos circulares. Esa lรญnea recta se le llama eje instantรกneo de giro, el cual solamente lo es por breves instantes y puede ser una lรญnea imaginaria en el espacio o bien puede ocurrir que estรฉ formada por puntos materiales del propio cuerpo, en donde todos ellos tienen un punto fijo en comรบn. Un punto fijo en el espacio que es comรบn a todos los ejes instantรกneos de giro de un cuerpo rรญgido que solamente gira sin trasladarse en el espacio. Ese punto fijo comรบn es el llamado pivote de movimiento. Todos los puntos del cuerpo por los que pasa el eje instantรกneo de giro, estรกn momentรกneamente en reposo; tan pronto como el eje cambia, ellos vuelven a moverse.
Se estudia el cambio de orientaciรณn de la gรณndola de un aerogenerador, analizado desde el punto de vista del cuerpo rรญgido en rotaciรณn, desde el origen de un sistema coordenado que coincide con un pivote. El cuerpo gira alrededor de un eje instantรกneo y con รฉl giran todos los puntos materiales a excepciรณn de aquellos que yacen sobre el eje.
Asรญ que si se observa un punto material del cuerpo en un instante ๐ก0 se encuentra en la posiciรณn marcada por el radio vector ๐0. Al girar, va ocupando diferentes posiciones sucesivas en el espacio. En un instante posterior ๐ก, se hallarรก en la posiciรณn marcada por el nuevo radio vector ๐. Ambos vectores; el inicial ๐0 y el final ๐, tiene el mismo origen y apuntan al mismo punto material del cuerpo rรญgido, pero al girar, y ocupar distintas posiciones en el espacio, el punto material es seรฑalado por los vectores distintos. Se puede asociar el cambio de posiciรณn del punto material del cuerpo, con una transformaciรณn del radio vector, con el cual se le ubica desde el origen O.
Una transformaciรณn que mapea el vector ๐0 a ๐ก = ๐ก0 con el vector ๐ en un instante posterior se representa de forma general asรญ:
๐: ๐0 โ ๐(๐ก) (2.2)
Pero es mucho mรกs conveniente representar matemรกticamente a (2.2) con matrices, porque representa un giro del radio vector alrededor de un eje y sobre un punto fijo. Esta transformaciรณn es llamada ROTACION. y se escribe de la siguiente manera
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๐(๐ก) = โ(๐ก) โ ๐0 (2.3)
En donde โ(t) representa un matriz de 3x3, funciรณn del tiempo que al operar sobre ๐0 lo transforma en ๐(๐ก). A tal matriz se la llama matriz de rotaciรณn. La cual posee una serie de propiedades que la hacen sumamente interesante.
Primero. Hay que destacar que para un mismo punto material hay todo un conjunto de matrices de rotaciรณn que al operar sobre alguna de sus posiciones instantรกneas lo mapea; lo โdesplazaโ a una nueva ubicaciรณn en el espacio euclideo tridimensional, entonces el conjunto de matrices de
rotaciรณn es infinito. โ = โ1,โ2,โ3,โฆ. Ya que el nรบmero de posiciones sucesivas de un punto material es equivalente a una matriz de rotaciรณn.
Entonces, una rotaciรณn se puede descomponer en dos rotaciones sucesivas que llevan al punto desde una posiciรณn inicial, a otra intermedia, y luego a una posiciรณn final en el espacio; es decir, la composiciรณn de dos matrices de rotaciรณn da como resultado una nueva matriz de rotaciรณn. La regla de composiciรณn es la multiplicaciรณn matricial de renglones por columnas.
โ1 ๐ โ2 = โ3 โ โ (2.4)
Segundo. La matriz unidad ๐; es aquella que estรก formada por ceros y unos en su diagonal principal, esta tambiรฉn pertenece al conjunto de โ; รฉsta matriz, no provoca ninguna rotaciรณn en el punto material, y tiene la propiedad de que al actuar sobre alguna otra matriz de rotaciรณn o al ser actuada por alguna matriz de rotaciรณn, las deja sin cambio; esto es
๐ โ โ โก โ โ ๐ = โ (2.5) Tercero. Si una matriz โ del conjunto โ, representa la rotaciรณn de un cuerpo material de un cuerpo rรญgido, la matriz โโ1es aquella que representa un rotaciรณn en sentido contrario a la anterior, pero de igual tamaรฑo, Matemรกticamente esta situaciรณn se representa asi: dada una matriz โ de โ existe otra โโ1 del mismo conjunto, llamada inversa de โ tal que:
โ โ โโ1 โก โโ1 โ โ = ๐ (2.6)
Estas propiedades constituyen una estructura algebraica muy conocida de las matemรกticas y muy importante en la fรญsica llamada โgrupoโ.
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Para estudiar la actitud de un aerogenerador se tratarรก de un grupo de Rotaciones en tres dimensiones, asรญ que los pivoteos de un cuerpo rรญgido se describen con este grupo. Llamado grupo de rotaciones de un cuerpo rรญgido en 3D.o grupo ortogonal en tres dimensiones.
๐(3) (2.7) Este grupo es infinito ya que el nรบmero de elementos que lo componen es infinito. Se trata de un grupo de los llamados continuos o de Lie; รฉsto รบltimo de acuerdo a Sophus Lie, fรญsico noruego que en 1896 publicรณ un trabajo bellรญsimo sobre estos grupos. Otra caracterรญstica importante del grupo ortogonal en 3D es que debe preservar la distancia entre puntos de un cuerpo rรญgido. Si la distancia entre dos puntos cualesquiera estรก dada por (2.1), pero al ocurrir una rotaciรณn cada uno de los puntos, emigra a otro sitio en el espacio, de acuerdo con (2.3); entonces.
๐๐ โ ๐๐ = โ โ (๐๐0 โ ๐๐0 ), (2.8)
Asi que tomando el cuadrado del valor absoluto de esta diferencia de vectores se debe tener, de acuerdo con (2.1)
|๐๐ โ ๐๐ |2 = (๐๐0 โ ๐๐0 )
๐โ โ๐ โ โ โ (๐๐0 โ ๐๐0 ) โก |๐๐0 โ ๐๐0 |
2 (2.9)
En donde T en la parte superior derecha de la matriz significa una matriz transpuesta, esto es, una matriz que se obtiene de la original, intercambiando renglones por columnas y viceversa. Pero se puede observar que para satisfacer el requisito que el cuadrado de la norma de la diferencia de los vectores ante una rotaciรณn sea invariante se debe cumplir que
โ๐ โ โ = ๐ (2.10)
Lo que significa (2.10) es que las matrices โ del grupo O(3) (grupo de rotaciones del cuerpo rigido) son auto ortogonales; esto es que su producto interno da la identidad. Pero la propiedad de ortogonalidad implica dos resultados muy interesantes, como:
1.โ โ๐ = โโ1
(2.11)
Es decir que la transpuesta de una matriz del grupo de rotaciones en 3D es igual a su inversa. Si se calcula en ambos miembros de (2.10) el determinante, se tiene 2.โ ๐๐๐ก(โ๐ โ โ) = (detโ๐) (๐๐๐ก โ) = (detโ)2 = ๐ (2.12)
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Puesto que el determinante del producto de matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices y, ademรกs, el determinante de una matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.
Por lo tanto de (2.12) se infiere de inmediato que todas las matrices de O(3) tienen un determinante no nulo; esto es, son noโsingulares y su valor es
detโ = ยฑ 1 (2.13)
Es por eso que el grupo ortogonal tiene dos piezas La sucesiรณn de dos
rotaciones propias es a su vez una rotaciรณn propia,
Grupo propio O+(3)
Todas las matrices de rotaciรณn con ๐๐๐ก = (+1)
La transpuesta de una rotaciรณn propia es a su vez propia y la matriz unidad es propia
(๐๐๐ก๐ = +1)
Grupo Ortogonal
O(3) Un ejemplo de una transformaciรณn R_ es una inversiรณn total como en la figura 2.1.
Pieza impropia Oโ(3)
Todas las matrices de rotaciรณn con ๐๐๐ก = (โ1)
Esta ocurre cuando los sistemas coordenados de un sistema cartesiano se transforma en su negativo como:
๐ฅ โ ๐ฅ โฒ = โ๐ฅ ๐ฆ โ ๐ฆ โฒ = โ๐ฆ ๐ง โ ๐ง โฒ = โ๐ง
Se dice que estas dos piezas estรกn topolรณgicamente desconectadas entre sรญ pues no es posible por una sucesiรณn de rotaciones obtener una rotaciรณn impropia de una propia, ni viceversa.
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FIGURA 2.1. Ejemplo de una transformaciรณn R_ de la pieza impropia de O(3) es una inversiรณn total
La matriz que opera la transformaciรณn en las rotaciones impropias cuyo determinante es igual a menos uno. Es evidentemente
โ_ โก โโ1 0 00 โ1 00 0 โ1
โ (2.14)
Las rotaciones impropias juegan un papel de poca importancia dentro de la teorรญa del cuerpo rรญgido, por lo que en este contexto no se mencionaran mรกs.
En cambio el subgrupo de rotaciones propias es sumamente relevante en este estudio. Una rotaciรณn propia es cualquier pivoteo de los tres ejes coordenados, sobre el origen, que preserva la ortogonalidad entre ellos. En particular una rotaciรณn simple es un ejemplo de una rotaciรณn propia. Como se muestra en la figura 2.2
FIGURA 2.2. La Transformaciรณn โ+ del subgrupo propio de O(3) es una rotaciรณn simple. Ejemplificando asรญ una rotaciรณn simple alrededor de OX dada por el รกngulo ๐ผ
Si se giran los ejes coordenados OY y OZ, alrededor de OX, rรญgidamente por un รกngulo ๐ผ El eje de giro es el eje de las abscisas, aun que puede ser alrededor del eje de las ordenadas o de las cotas, los otros dos ejes giran preservando su ortogonalidad ya sea en sentido de las manecillas del reloj (rotaciรณn simple inversa) o en contra de las manecillas del reloj (rotaciรณn simple directa). Haciendo una rotaciรณn simple en el sentido contrario de las manecillas del reloj, se tiene que:
โ+ = โ1 0 00 ๐๐๐ ๐ผ ๐ ๐๐๐ผ0 โ๐ ๐๐๐ผ ๐๐๐ ๐ผ
โ (2.15)
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Resulta de inmediato demostrar que la matriz โ+ tiene un determinante igual a uno, que deja al eje de las absisas invariante y que su inversa es precisamente igual a su transpuesta
โ+๐ = โ
1 0 00 ๐๐๐ ๐ผ โ๐ ๐๐๐ผ0 ๐ ๐๐๐ผ ๐๐๐ ๐ผ
โ (2.16)
Ya que al multiplicar 2.15 por 2.16 y viceversa, se obtiene como resultado la matriz unidad, que es el elemento neutro multiplicativo del grupo. Pero los grupos propios ๐+(3) tienen una propiedad adicional: que pueden ser constituidos a partir de ciertos elementos bรกsicos por un concepto de integraciรณn. En efecto, el grupo continuo de transformaciones en 3D tienen en sus elementos las llamadas rotaciones infinitesimales, que son pivoteos pequeรฑรญsimos de un cuerpo rรญgido con respecto a cierto eje instantรกneo de giro. Estos se pueden representar matemรกticamente como
โ = ๐ + ๐ (2.17)
Donde ๐ es llamada la matriz de rotaciรณn infinitesimal Asรญ la matriz de rotaciรณn se da por la suma de la matriz identidad mรกs otra que representa la parte infinitesimal del pivoteo y de acuerdo a la propiedad de ortogonalidad de las matrices de rotaciรณn de (2.10), se debe satisfacer para estas transformaciones que:
(๐ + ๐๐) โ (๐ + ๐) = ๐ (2.18)
Desarrollando este producto, cancelando la matriz idรฉntica a ambos miembros y conservando solamente aquellos de primer grado en la parte infinitesimal se obtiene
๐ โ โ๐๐ (2.19)
Entonces (2.19) demuestra que la parte infinitesimal de la transformaciรณn (2.17) es, en si mismo, una matriz antisimรฉtrica, por lo tanto, se trata de un arreglo en cuya diagonal principal se hallan ceros y los tres elementos fuera de la diagonal principal y por arriba de ella son iguales numรฉricamente, pero de signos opuestos a los tres elementos que se encuentran debajo de la diagonal principal, de la forma siguiente:
๐ = โ
0 ๐1 ๐2
โ๐1 0 ๐3
โ๐2 โ๐3 0โ
(2.20)
De esta manera, una transformaciรณn infinitesimal queda totalmente descrita si se conocen tres cantidades
๐1, ๐2, ๐3
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2.3 รNGULOS DE EULER El problema de describir los pivoteos de un cuerpo rรญgido, fuรฉ uno de los tantos problemas
que atacรณ el matemรกtico suizo Leonhard Euler (1707 โ 1783), quien durante su estancia en Berlรญn,
Alemania, en una visita que tuvo de el italoโfrances Joseph Louis Lagrange (1736 โ1813); otro
grande de la mecรกnica, cuando se planteรณ el problema de la mecรกnica de los cuerpos rรญgidos. El
vรญnculo entre estos dos genios dio como resultado el tratamiento matricial que describe el
movimiento de estos cuerpos.
Euler propuso una tรฉcnica para descomponer un pivoteo cualquiera de un cuerpo rรญgido en
tres rotaciones simples sucesivas, esta tรฉcnica se logra con los รกngulos de Euler. Estos ayudan a
estudiar y comprender los movimientos de un cuerpo rรญgido, cuando se les supone libres de
translaciones. Aunque es necesario hacer ciertas consideraciones preliminares, en primer lugar se
supondrรก que el cuerpo rรญgido no se traslada, รบnicamente pivotea alrededor de un punto fijo en el
espacio. En segundo lugar, se supone la existencia de un marco de referencia inercial dotado de un
sistema coordenado cartesiano tridimensional. El origen del sistema coordenado se ubica
precisamente en el punto fijo; en el pivote, alrededor del cual gira el cuerpo. A este sistema se le
llamarรก marco de referencia fijo en el espacio.
Un segundo marco de referencia es necesario. Se trata de un observador fijo en el pivote del
cuerpo rรญgido y dotado de un sistema coordenado cartesiano, tridimensional que se mueve con el
cuerpo rรญgido. Este es el llamado marco de referencia fijo al cuerpo El sistema de coordenadas
del marco de referencia fijo al cuerpo no es inercial en general, pues al seguir al cuerpo rรญgido en
sus pivoteos estรก sujeto, igual que estรฉ, a aceleraciones.
La forma en cรณmo Euler propuso las rotaciones simples con los รกngulos que llevan su
nombre es la siguiente: si se considera un cuerpo rรญgido cualquiera que pivotea en el espacio con un
punto fijo. Con un sistema cartesiano fijo en el espacio (inercial) (0๐ฅ, 0๐ฆ, 0๐ง) que tiene su eje en el
pivote del cuerpo rigido, y un sistema coordenado cartesiano fijo al cuerpo (no
inercial) (0๐, 0๐, 0๐) tomando al eje de las cotas OZ como el eje de giro del cuerpo y una vez
escogida esta direcciรณn, los otros dos ejes del sistema se trazan simplemente perpendiculares al eje
de las cotas y ortogonales entre si.
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La inclinaciรณn del eje de las cotas 0Z del sistema fijo en el cuerpo, con respecto al eje 0z del sistema fijo en el espacio, se denotara por ๐ y este รกngulo serรก llamado รกngulo de nutaciรณn.
Ahora bien el eje de las 0Z fijo al cuerpo, por construcciรณn es normal al plano X0Y de este
mismo sistema, del modo que el eje 0z del sistema fijo al espacio es perpendicular al plano x0y, asi que al inclinarse el cuerpo rรญgido, con รฉl se inclina su eje 0Z y simultรกneamente, su plano X0Y con respecto al plano x0y del espacio. Asi que ambos planos tambiรฉn forman un รกngulo ๐ entre si, tal como se muestra en la figura 2.3. Asi dos planos que se intersecan, lo hacen en una lรญnea.
FIGURA 2.3 El eje 0Z del cuerpo y el eje 0z del sistema fijo en el espacio forman un รกngulo ๐. Es el mismo que se forma entre el plano X0Y del sistema fijo al cuerpo y x0y del sistema fijo en el espacio, La lรญnea comรบn de ambos planos es la lรญnea de nodos (๐. ๐.).
En este caso, los dos planos x0y y X0Y se intersecan en la llamada Lรญnea de nodos. Esta lรญnea es comรบn a ambos planos en todo momento y no es fija, sino que gira y oscila alrededor del origen en comรบn 0, conforme el cuerpo pivotea. En un instante, el eje de las abscisas del sistema fijo en el espacio forma un รกngulo que se denotara por ๐ , con la lรญnea de nodos; este รกngulo es el segundo parรกmetro de Euler y se llama รกngulo de precesiรณn. (Ver figura 2.4).
De igual modo, el eje de las abscisas del sistema coordenado fijo al cuerpo forma un รกngulo ๐ con la lรญnea de nodos, รฉste es el llamado รกngulo de rotaciรณn. En la figura 2.4 se muestran estos dos รกngulos. Tanto el รกngulo de precesiรณn como el รกngulo de rotaciรณn son variables, pues mientras el cuerpo rรญgido pivotea, va barriendo diferentes valores de ๐ , desde cero hasta 2๐ y del mismo modo ocurre con el angulo de rotaciรณn. Estos tres son los รกngulos de Euler.
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FIGURA 2.4. Se muestran los รกngulos de precesiรณn ๐ y rotaciรณn ๐ que genera la lรญnea de nodos (๐. ๐.) con los ejes de las abscisas de los sistemas fijo en el espacio y fijo al cuerpo, respectivamente. Tambiรฉn se muestra el รกngulo de nutaciรณn ๐. La intersecciรณn de ambos planos es la lรญnea de nodos
๐ Nutaciรณn ๐ Precesiรณn ๐ Rotaciรณn
Lo interesante de estos parรกmetros es que sirven para describir completamente los pivoteos del cuerpo rรญgido y se pueden definir en forma sencilla como la superposiciรณn de tres rotaciones simples; cada una respecto de uno de los รกngulos de Euler. Los รกngulos de Euler son entonces un sistema de รกngulos que describen la orientaciรณn de un cuerpo que esta fijo en un punto y a sus ejes respecto a un marco de referencia inercial.
Con lo anterior, se puede decir que el lector, tiene un panorama mรกs claro de la actitud de un objeto, Asรญ que es momento de atacar el problema de la actitud del aerogenerador, comenzando por su dinรกmica.
2.4 DINรMICA DE LA ACTITUD. Se supone que todas las partes del aerogenerador se encuentran confinadas, perfectamente fijas y empacadas en el interior de una carcasa de pared delgada, sรณlida y rรญgida, que tiene forma de un elipsoide de revoluciรณn oblato, con un eje de simetrรญa que enfronta al viento, a un รกngulo de ataque determinado. El cuerpo de este artefacto se supone rรญgido y con una masa total constante, que esta uniformemente distribuida en toda su extensiรณn. Debido a la acciรณn del viento, aparece sobre el aerogenerador una torca que tiende a hacerlo cambiar de actitud. El cuerpo reacciona ante este agente aerodinรกmico, de acuerdo con la dinรกmica de los cuerpos rรญgidos. Este estudio trata sobre la dinรกmica de la actitud de un aerogenerador de eje horizontal, ideal, como el que aquรญ se ha descrito.
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2.5 CINEMรTICA DE LA ACTITUD
Comenzando con el estudio de actitud del aerogenerador, se pone como restricciรณn el movimiento de traslaciรณn y solo se considera el movimiento de rotaciรณn alrededor de cierto eje instantรกneo sobre un punto fijo. Este punto fijo es llamado pivote de movimiento. No necesariamente el pivote y el centro de masa coinciden. De hecho, el cuerpo del aerogenerador se suele fijar al llamado centro de sustentaciรณn que ocupa una posiciรณn distinta al centro de masa.
FIGURA 2.5 Sistema de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z)
En la figura 2.5. Se muestra un aerogenerador de eje horizontal con dos sistemas coordenados adosados a รฉl: uno es el sistema coordenado inercial que esta fijo en el espacio, con coordenadas x, y, z y el otro es el sistema coordenado fijo en el cuerpo, no inercial, con coordenadas X, Y, Z, en algรบn instante. Ambos sistemas coordenados tiene orรญgenes comunes; donde el primer sistema, no cambia de orientaciรณn, el segundo (fijo al cuerpo) si lo hace.
Por lo anterior, se tienen dos sistemas de coordenadas, y por lo tanto, dos sistemas de ecuaciones de movimiento. En la figura 2.6 se muestra esquemรกticamente un aerogenerador con los dos sistemas coordenados, que recibe al viento paralelamente en el sistema de coordenadas inercial fijo en el espacio.
FIGURA 2.6 Dos Sistemas de coordenadas se adosan al centro de masa del aerogenerador, con los dos sistemas de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z).
La actitud instantรกnea del aerogenerador se determina a travรฉs de dos รกngulos: El primero, ๐ es el llamado รกngulo azimutal o guiรฑada. Este es el resultado de hacer girar al eje de las cotas (oz) del sistema fijo al espacio, hasta alcanzar con el eje de las abscisas, a la llamada lineal nodal (l.n.), este giro, hace coincidir momentรกneamente a la lรญnea nodal con el eje X del sistema fijo en el cuerpo, tal como se muestra en la figura 2.7.
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El segundo es al que se le conoce como el รกngulo de ataque, zenital o tambiรฉn de cabeceo ๐ฝ. Este es, por una parte, el รกngulo que debe hacerse girar alrededor del eje de las ordenadas del sistema coordenado fijo al cuerpo de la lรญnea nodal, hasta que esta lรญnea coincida con el eje de simetrรญa instantรกneo del cuerpo (su eje de las abscisas OX).
FIGURA 2.7. Sistemas de coordenadas fijo en el espacio (x, y, z) y el sistema de coordenadas fijo al cuerpo (X,Y,Z) . Se muestran, el รกngulo azimutal ๐ alrededor de Oz y el angulo de ataque ๐ alrededor del eje de las ordenadas del sistema fijo al cuerpo.
Por otra parte, este es el รกngulo que forma el eje del cuerpo con la direcciรณn del viento.
Para hacer la transformaciรณn
que mapea al vector r โฒ a t=t0 con el vector r, en un instante posterior se deben relacionar estos dos sistemas de coordenadas, lo cual se representa asi:
ฮค: r โฒ โ r(t) De modo que girando el radio vector alrededor del eje de las cotas sobre su punto fijo, la rotaciรณn se presenta como:
๐ โฒ = โ โ ๐ (2.21)
Donde:
๐ โฒ = โ๐๐๐โ
Es el radio vector de un punto material desde el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo.
= โ๐ฅ๐ฆ๐งโ
Es el radio vector de ese mismo punto desde el sistema de coordenadas fijo en el espacio.
y โ es una matriz de 3x3 llamada Matriz de Rotaciรณn que es la que representa el pivoteo. Pero para describir la Matriz โ se tiene que descomponer el sistema en dos rotaciones simples como se habรญa explicado anteriormente.
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La correspondencia entre el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo y el sistema de coordenadas fijo en el espacio se da mediante la matriz de rotaciรณn โ:
๐ โฒ = โ โ ๐ Por lo tanto la matriz de rotaciรณn es la superposiciรณn de ๐ธ y ๐น, entonces:
โ โก ๐ธ โ ๐น (2.22) Sustituyendo a โ en (2.21), se puede escribir:
๐ โฒ = (๐ธ โ ๐น) โ ๐ donde:
๐ธ= โ๐๐๐ ๐ 0 ๐ ๐๐๐
0 1 0โ๐ ๐๐๐ 0 ๐๐๐ ๐
โ y ๐น= โ๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ 0
โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 00 0 1
โ
Siendo ๐ธ ๐ฆ ๐น las matrices de rotaciรณn donde los รกngulos (๐ y ๐) Son parรกmetros de la matrizโ. Se expresan como el producto de dos rotaciones simples, mono paramรฉtricas a los que se conocen como รกngulos de Euler (Leonhard Euler 1707-1783). La primera rotaciรณn se da para crear el sistema coordenado de la lรญnea nodal se consigue a partir del sistema fijo en el espacio, mediante una rotaciรณn simple formando un รกngulo ๐, tomando como pivote al eje de las cotas Oz como se muestra en la figura 2.8.y esta rotaciรณn genera un movimiento de guiรฑada dado por: El sistema coordenado de la lรญnea nodal
๐ฟ. ๐ . โก ๐น โ ๐ donde ๐น se define como
๐น= โ๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ 0
โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 00 0 1
โ
(2.23)
O bien
โ
๐. ๐.1๐. ๐.2๐. ๐.3
โ = โ๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ 0
โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 00 0 1
โ โ๐ฅ๐ฆ๐งโ = โ
๐ฅ๐๐๐ ๐ + ๐ฆ๐ ๐๐๐โ๐ฅ๐ ๐๐๐ + ๐ฆ๐๐๐ ๐
๐งโ
(2.24)
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FIGURA 2.8 Rotaciรณn alrededor de OZ del sistema de coordenadas fijo en el espacio
La matriz (2.24) transforma del sistema de coordenadas fijo en el espacio a otro sistema
de coordenadas intermedio al que se le ha llamado l. n1, ๐. ๐2, ๐. ๐3 , mediante una rotaciรณn simple.
FIGURA 2.9 Rotaciรณn alrededor del ๐. ๐.2, provocando un movimiento de Cabeceo
Y una vez realizada รฉsta rotaciรณn, se puede llegar hasta el sistema coordenado fijo al cuerpo instantรกneamente, a travรฉs de otra rotaciรณn simple, tomando como pivote al eje de las ordenadas del nuevo sistema ๐. ๐.2, esta rotaciรณn forma un รกngulo ๐ llamado cenital a lo largo del plano ๐. ๐.1OX, y este giro provoca un movimiento de cabeceo dado por:
๐ โฒ โก ๐ธ โ ๐ฟ. ๐ (2.25)
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O Bien
โ๐๐๐โ = โ
๐๐๐ ๐ 0 ๐ ๐๐๐0 1 0
โ๐ ๐๐๐ 0 ๐๐๐ ๐โ โ
๐. ๐.1๐. ๐.2๐. ๐.3
โ
Resolviendo se tiene
โ๐๐๐โ = โ
๐๐๐ ๐ 0 ๐ ๐๐๐0 1 0
โ๐ ๐๐๐ 0 ๐๐๐ ๐โ โ
๐ฅ๐๐๐ ๐ + ๐ฆ๐ ๐๐๐โ๐ฅ๐ ๐๐๐ + ๐ฆ๐๐๐ ๐
๐งโ = โ
๐๐๐๐๐ฝ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐ฝโ๐๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐ฝ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐๐ฝ๐๐๐๐ + ๐๐๐๐๐ฝโ
(2.26)
Esta matriz transforma al sistema de coordenadas intermedio (๐. ๐1, ๐. ๐.2 , ๐. ๐.3) al sistema de coordenadas fijo en el cuerpo. ๐, ๐, ๐, Con estas dos rotaciones simples, sucesivas, se tiene el efecto de poner en correspondencia al sistema fijo en el espacio, con el sistema fijo en el cuerpo. Sustituyendo ๐ธ ๐ฆ ๐น en (2.22)
โ= โ๐๐๐ ๐ 0 ๐ ๐๐๐
0 1 0โ๐ ๐๐๐ 0 ๐๐๐ ๐
โ โ๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ 0
โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 00 0 1
โ
โ = โ
๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 0
โ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐โ
(2.27)
Esta es la forma general de la matriz de pivoteo que pone en correspondencia a ambos sistemas coordenados.
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Como se verรก en seguida, la cantidad de movimiento angular es proporcional a la velocidad angular y la constante de proporcionalidad es el momento de inercia, de modo que รฉste juega el rol de la masa, cuando hay rotaciones. Con lo anterior, para encontrar el momento de inercia, se analiza un elemento diferencial de masa ๐๐ del cuerpo rรญgido, que en este caso es la gรณndola del aerogenerador.
FIGURA 2.10 El aerogenerador pivotea alrededor de un punto
fijo. Cada elemento de masa se mueve con velocidad y posee un
Momento angular .
Partiendo de la Mecรกnica Clรกsica si el Momento Angular es:
= ๐ฅ ๐ Derivando
๐๐ฟ
๐๐ก
= ๐ฅ
๐๐
๐๐ก
+
๐๐
๐๐ก
๐ฅ ๐
El segundo tรฉrmino se elimina por ser un producto de vectores paralelos, asรญ solo queda:
๐๐ฟ
๐๐ก
= ๐ฅ
๐๐
๐๐ก
Aplicando la hipรณtesis del Medio Continuo de Stokes se tiene:
= โซ ๐ ๐ฅ ๐๐
๐๐ ๐ฃ ๐๐
๐
= โซ ๐ ๐ฅ ๐ ๐ฃ ๐๐๐
Pero si
๐ฃ = ๐ = ๐ฅ ๐,
Sustituyendo
= โซ ๐( ๐ ๐ฅ( ๐ฅ )) ๐๐๐
(2.28)
Desarrollando el triple producto vectorial se tiene:
= โซ ๐( ( ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ โ ๐ค) ๐) ๐๐๐
Capitulo 2
El Cuerpo Rรญgido
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
36
= โซ ๐( | ๐ |2 โ ( ๐ โ ๐ค) ๐) ๐๐๐
Cualquiera de los puntos materiales de un cuerpo rigido que pivotea alrededor de un punto fijo gira con la misma velocidad angular, entonces es la misma para todo los puntos del cuerpo,
entonces se puede sacar del integrando, de modo que la diferencial del momento angular queda descrito de la siguiente manera
= โซ ๐( | ๐ |2 ๐ โ ( ๐ ๐) )๐
โ ๐๐
Donde ๐ es la Matriz unitaria, o bien
= โซ ๐( | ๐ |๐ ๐ โ ( ) )๐ฝ
๐ ๐ฝ โ (2.29)
Entonces, el Momento de Angular es:
= ๐ โ (2.30)
Donde ๐ es el llamado Tensor de Inercia del cuerpo, definido como:
๐ = โซ ๐( | ๐ |2 ๐ โ ( ๐ ๐) )๐
๐๐
(2.31)
O bien expresรกndolo en sus componentes cartesianas
๐ =
โ
โโซ ๐( ๐ฆ2 + ๐ง 2)๐
๐๐ โโซ ๐๐ฅ๐ฆ๐
๐๐ โโซ ๐๐ฅ๐ง๐
๐๐
โโซ ๐๐ฅ๐ฆ๐
๐๐ โซ ๐( ๐ฅ2 + ๐ง 2)๐
๐๐ โโซ ๐๐ฆ๐ง๐
๐๐
โโซ ๐๐ฅ๐ง๐
๐๐ โโซ ๐๐ฆ๐ง๐
๐๐ โซ ๐( ๐ฅ2 + ๐ฆ 2)๐
๐๐โ
โ
๐ = โ
๐ผ๐ฅ ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ๐ฆ ๐ผ๐ฆ ๐๐ฆ๐ง
๐๐ฅ๐ง ๐๐ฆ๐ง ๐ผ๐ง
โ
(2.32)
Capitulo 2
El Cuerpo Rรญgido
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
37
Los elementos de esta matriz que aparecen sobre su diagonal principal, se les conoce como los Momentos de Inercia alrededor de OX, OY y OZ, respectivamente.
๐๐ฅ = โซ ๐( ๐ฆ2 + ๐ง 2)๐
๐๐
๐๐ฆ = โซ ๐( ๐ฅ2 + ๐ง 2)๐
๐๐
๐๐ง = โซ ๐( ๐ฅ2 + ๐ฆ 2)๐
๐๐
(2.33)
Mientras que los elementos del tensor de inercia que se encuentran fuera de la diagonal principal, se les conoce como los Productos de inercia.
๐๐ฅ๐ฆ = โโซ ๐๐ฅ๐ฆ๐
๐๐
๐๐ฅ๐ง = โโซ ๐๐ฅ๐ง๐
๐๐
๐๐ฆ๐ง = โโซ ๐๐ฆ๐ง๐
๐๐
(2.34)
Como se observa, el Tensor de inercia ๐ es una Matriz simรฉtrica, con a lo mรกs seis elementos reales: tres Momentos de inercia y tres Productos de inercia. Ahora, si se evalรบa el tensor de inercia durante el pivoteo desde el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo, los puntos materiales parecen estar fijos y por lo tanto, los momentos de inercia y los productos de inercia resultan constantes, Entonces, calculando la derivada temporal del momento angular dado en (2.30) se denota como:
= ๐ โ + x (๐ โ ๐ )
(2.35)
Capitulo 2
El Cuerpo Rรญgido
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
38
Pero si el tensor de inercia ๐ exhibe momentos de inercia sobre su diagonal principal pero los productos de inercia, esos escalares que aparecen fuera de ella son todos nulos , A este sistema de coordenadas se le llama sistema de ejes principales, y entonces el tensor de inercia es:
๐ โก โ
๐ผ1 0 00 ๐ผ2 00 0 ๐ผ3
โ
(2.36)
Usando la expresiรณn (2.36) para el tensor de inercia diagonalizado, en fรณrmula vectorial (2.35) para las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rรญgido que pivotea sobre un punto fijo, se tiene:
๐ณ = ๐ผ1๐ฅ + ( ๐ผ3 โ ๐ผ2)๐ค๐ฆ๐ค๐ง
๐ณ = ๐ผ2๐ฆ + ( ๐ผ1 โ ๐ผ3)๐ค๐ฅ๐ค๐ง
๐ณ = ๐ผ3๐ง + ( ๐ผ2 โ ๐ผ1)๐ค๐ฅ๐ค๐ฆ
(2.37a)(2.37b)(2.37c)
Donde (2.37a),(2.37b) y (2.37c) son las llamadas Ecuaciones de Euler del Cuerpo Rรญgido. El vector del Momento angular (2.30) se escribe en coordenadas cartesianas asi:
= ๐ ๐ผ1๐ค๐ฅ + ๐ ๐ผ2๐ค๐ฆ + ๐ผ3๐ค๐ง
(2.38)
Para terminar con este capรญtulo, se debe escribir las componentes de la velocidad angular instantรกnea de la carcasa del aerogenerador (๐ก).Desde el sistema fijo en el espacio la velocidad angular de precesiรณn es:
๐๐ ๐ธ = โ00
โ
(2.39)
asi que, si se describe desde el sistema fijo al cuerpo:
๐๐ ๐ธ = ๐ธ๐นโ00
โ
(2.40)
Capitulo 2
El Cuerpo Rรญgido
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
39
๐๐ ๐ธ = ๐ธโ๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ 0
โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 00 0 1
โโ00
โ = ๐ธโ00
โ (2.41)
๐๐ ๐ธ = โ๐๐๐ ๐ 0 ๐ ๐๐๐
0 1 0โ๐ ๐๐๐ 0 ๐๐๐ ๐
โโ
00
โ = โ๐ ๐๐๐
0๐๐๐ ๐
โ
(2.42)
Por su parte, la velocidad angular de cabeceo o nutaciรณn es ๐๐๐ tal como se observa en la figura 2.6, al hacer girar a la lรญnea nodal dos por el รกngulo ๐ es:
๐๐๐ = โ00โ
(2.43)
Al multiplicar por la matriz de rotaciรณn ๐ธ la velocidad de nutaciรณn ๐๐๐ queda descrita desde el sistema de coordenadas fijo en el cuerpo en direcciรณn de las abscisas y es:
๐๐๐ = ๐ธโ00โ = โ
๐๐๐ ๐ 0 ๐ ๐๐๐0 1 0
โ๐ ๐๐๐ 0 ๐๐๐ ๐โโ
00โ = โ
00โ
(2.44)
Entonces, si se suman las dos contribuciones, se tiene que desde el sistema fijo al cuerpo la velocidad angular estรก dada por:
= ๐๐ ๐ธ + ๐๐๐ (2.45) Resultando que las tres componentes de la velocidad angular son:
๐๐ = ๐๐๐๐ฝ (2.46a)
๐๐ = (2.46b)
๐๐ = ๐๐๐๐ฝ (2.46c)
Estas son las componentes del vector velocidad del cuerpo rรญgido que aquรญ se ha considerado, en
tรฉrminos de las velocidades angulares azimutal y de cabeceo ๐ฆ respectivamente.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
40
Para que yo deje esta tierra y me enfrente a lo desconocido, necesito toda mi fuerza,de todo mi dominio, de toda mi suerte;
pero sobre todo, necesito cada รกpice de los cojones de acero de un guerrero-viajero. Para quedarte aquรญ y batallar como un guerrero-viajero
necesitas todo lo que yo mismo necesito. Don juan.
Carlos Castaneda
CAPรTULO 3
MECรNICA DE FLUIDOS
3.1 INTRODUCCIรN En este capรญtulo se muestra el desarrollo del fascinante y complejo modelo teรณrico de la mecรกnica de fluidos en forma resumida. Se hace una revisiรณn de los conceptos que mรกs interesan de esta teorรญa, para el desarrollo del tema de esta tesis. Asi, se hace una descripciรณn breve de las ecuaciones de balance de masa y de momento, para abordar el tema del modelaje de flujos, desde la perspectiva de la teorรญa de la variable compleja. Con esta herramienta matemรกtica es posible estudiar el flujo de un fluido perfecto que remonta un obstรกculo geomรฉtrico dado. Particularmente, en el estudio de los efectos del viento sobre el cuerpo exterior o carcasa de un aerogenerador de eje horizontal, serรก importante plantear el problema desde el punto de vista de las transformaciones conformes de Joukowski. Con este enfoque, las fuerzas de levantamiento y arrastre sobre ese cuerpo podrรกn ser calculadas.
Capitulo 3
Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
41
3.2. ECUACIONES DE BALANCE La mecรกnica de fluidos forma parte de una teorรญa mรกs general llamada โMecรกnica de los Medios Continuosโ, que fue desarrollada por George Gabriel Stokes (1819-1903) en la segunda mitad del siglo XIX. Para la estructuraciรณn del modelo con el cual el flujo de fluidos puede ser estudiado, Stokes planteรณ un sistema de expresiones diferenciales, a las cuales les llamo โecuaciones de balanceโ. Estas expresiones son, entre otras mรกs que aquรญ no serรกn consideradas, las ecuaciones de balance de masa y de momento. Con ellas se puede establecer ecuaciones diferenciales de flujo, cuya resoluciรณn permite, ocasionalmente, conocer la conducta de los fluidos. A continuaciรณn se hace un resumen de las ecuaciones de balance.
3.2.1. LA ECUACIรN DE BALANCE DE MASA. Esta expresiรณn diferencial es consecuencia directa del postulado que afirma que la masa total de un fluido, ni se crea, ni se destruye, es una constante de movimiento. La forma matemรกtica de la ecuaciรณn de balance de masa es la siguiente:
๐๐
๐๐ก+ ๐๐๐ฃ (๐) = 0
(3.1)
Donde ๐ es el sรญmbolo que representa a la โdensidad de masaโ del fluido; es decir, la relaciรณn de la masa, al volumen. Se debe entender que la densidad es una funciรณn de la posiciรณn y del tiempo, es decir,
๐ = ๐ ((๐ก), ๐ก) [๐พ๐
๐3โ ] (3.2)
Por su parte, al producto ๐, donde es el โcampo de velocidadesโ del fluido, se le conoce como el โflujo mรกsicoโ:
๐ [๐พ๐
๐2 โ ๐ โ ] (3.3)
Aunque en general la densidad de masa es una variable, para el caso de la mayorรญa de los lรญquidos que son incompresibles y en muchos problemas que involucran gases como el caso del viento que pasa al travรฉs de un obstรกculo sรณlido que le sirve de frontera, a una velocidad menor a la velocidad del sonido, se considera en la ingenierรญa que es una constante. Si bien esta consideraciรณn es inexacta, la experiencia ha mostrado en gran nรบmero de ecuaciones que no es un error apreciable el que se comete si se acepta esta hipรณtesis. En este trabajo se aceptarรก esta afirmaciรณn. Con estas consideraciones, la ecuaciรณn de balance de masa tiene una forma mรกs simple como la siguiente:
๐๐๐ฃ = 0 (3.4)
Capitulo 3
Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
42
En esta forma la ecuaciรณn de balance de masa se va a usar a lo largo del presente trabajo. Debe entenderse que, en tres dimensiones y usando coordenadas cartesianas, la fรณrmula (3.4) se ve de la siguiente forma:
๐๐ข
๐๐ฅ+
๐๐ฃ
๐๐ฆ+
๐๐ค
๐๐ง= 0
(3.5)
Donde ๐ข, ๐ฃ y ๐ค son las tres componentes del campo de velocidades en esta descripciรณn. Si se estudia el flujo en dos dimensiones, entonces, la ecuaciรณn de balance de masa se muestra enseguida:
๐๐ข
๐๐ฅ+
๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0
(3.6)
En esta forma va a ser utilizada la ecuaciรณn. Esto se podrรก hacer puesto que el cuerpo sรณlido expuesto al flujo del viento tiene simetrรญa axil, de modo tal que solamente dos dimensiones tendrรกn que considerarse.
3.2.2. LA ECUACION DE BALANCE DE MOMENTO. Las ecuaciones de balance de momento son fundamentales para la descripciรณn de los flujos. Son la consecuencia directa de las leyes de Newton de la mecรกnica, que expresan el vรญnculo entre agentes fรญsicos que actรบan sobre estos cuerpos deformables y las respuestas de estos, en forma de flujos, Las ecuaciones de balance de momento son las siguientes:
๐๐
๐๐ก+ ๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐ฃ ๐
(3.7)
En estas expresiones diferenciales, ademรกs de la densidad de masa ๐ y el campo de velocidades ,
aparecen, en el miembro de la derecha de (3.7), la โfuerza de cuerpoโ que es un vector que
representa a la fuerza neta aplicada, por unidad de masa al cuerpo y, ademรกs, la divergencia del
llamado โtensor de esfuerzosโ del fluido. Este tensor es una matriz de 3x3 que representa las
reacciones internas que se generan al interior de los fluidos, como consecuencia de las fuerzas y las
torcas aplicadas. En general, el tensor de esfuerzos ๐ contiene a los llamados โesfuerzos normalesโ
y a los โesfuerzos cortantesโ. Los primeros son aquellos que se ejercen sobre la superficie de los
fluidos, perpendicularmente a sus fronteras y se denotan como ๐๐, ๐๐ y ๐๐; estos son los
elementos que aparecen a lo largo de la-
Capitulo 3
Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
43
- diagonal principal del tensor, como se muestra en (3.8). Los esfuerzos cortantes son los que se aplican transversalmente a las superficies de los fluidos y se denotan como ๐๐๐, ๐๐๐ y ๐๐๐; estos
elementos aparecen por arriba y por debajo de la diagonal principal de la matriz ๐, como tambiรฉn se muestra a continuaciรณn:
๐ = (
๐๐ฅ ๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฅ๐ง
๐๐ฅ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ฆ๐ง
๐๐ฅ๐ง ๐๐ฆ๐ง ๐๐ง
) (3.8)
3.3. EL FLUIDO PERFECTO
3.3.1. LAS ECUACIONES DE EULER.
En el caso de los โfluidos perfectosโ, el tensor de esfuerzos (3.7) tiene un aspecto mucho mรกs simple y particularmente, si se consideran flujos en 2-D, tiene la siguiente forma:
๐ = โโ๐ 00 โ๐
โ (3.9)
Siendo ๐ la presiรณn manomรฉtrica del fluido. Se trata, como se ve en (3.9) de una matriz de 2x2, cuyos esfuerzos normales son iguales
๐๐ฅ = ๐๐ฆ = โ๐
Y que carece de esfuerzos cortantes. Este tensor de esfuerzos es tรญpico de los llamados โfluidos perfectosโ; aquellos que jamรกs exhiben esfuerzos cortantes. Si se calcula la divergencia del tensor de esfuerzos (3.9) se obtiene de inmediato:
๐๐๐ฃ๐ = โ๐๐๐๐ ๐ (3.10)
Donde ๐ representa la โpresiรณnโ ejercida sobre la cara (cualquier cara) del fluido; siendo
๐ [๐๐]
Asi, en el caso de fluidos perfectos, las ecuaciones de balance de momento son las siguientes:
๐๐
๐๐กโก ๐
๐
๐๐ก+ ๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐
(3.11)
Estas son conocidas en la ciencia como las โecuaciones de Eulerโ del fluido perfecto. Para resolver estas ecuaciones diferenciales, es necesario dar la fรณrmula para la fuerza de cuerpo. En muchos problemas prรกcticos de la ingenierรญa la fuerza del cuerpo es la siguiente:
๐ = โ (3.12)
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
44
Siendo el vector una constante que representa, la aceleraciรณn de la gravedad, con una componente no nula en la direcciรณn vertical. En el caso de un fluido que fluye en estado estacionario, en dos dimensiones, las ecuaciones de Euler son las siguientes:
๐ข๐๐ข
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ข
๐๐ฆ= โ
1
๐
๐๐
๐๐ฅ
(3.13a)
๐ข๐๐ฃ
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐ฃ
๐๐ฆ= โ๐ โ
1
๐
๐๐
๐๐ฆ
(3.13b)
Como se ve, se trata de un sistema de dos ecuaciones diferenciales simultaneas, con coeficientes variables, inhomogeneas. No es fรกcil resolverlas, a pesar de las simplificaciones que se han adoptado. Asi que es indispensable manipular a (3.11) para expresarla en una forma mรกs sencilla. Con frecuencia se utiliza el siguiente procedimiento: el tรฉrmino
๐ โ ๐๐๐๐
de acuerdo con el cรกlculo vectorial puede escribirse como:
๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ (1
2 ๐||2) โ ๐ x ๐๐๐ก
(3.14)
De modo que las ecuaciones de Euler en (3.11) para este caso se escriben, con la ayuda de la identidad (3.14) de la siguiente forma:
๐๐๐๐ [1
2 (๐||2) + ๐] = โ ๐ + ๐ x ๐๐๐ก
(3.15)
Aquรญ es posible aceptar dos condiciones adicionales, con las cuales se simplifica aun mรกs el resultado de este procedimiento; la primera de ellas consiste en suponer que la fuerza de cuerpo debida a la gravedad es conservadora, asรญ que se puede escribir tambiรฉn como un gradiente:
โ ๐ = โ๐๐๐๐ ๐ (3.16)
Siendo ๐ผ el potencial gravitacional (densidad de masa por gravedad por altura). La segunda condiciรณn que se impone es que el flujo sea irrotacional; es decir que no forme remolinos o vรณrtices. Esto significa que:
๐๐๐ก = 0 (3.17) Usando ambas condiciones en (3.15) se obtiene:
๐๐๐๐ (1
2 ๐||2 + ๐ + ๐) = 0
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
45
De donde se sigue el siguiente resultado:
1
2 ๐||2 + ๐ + ๐ = ๐๐
(3.18)
Donde e representa la energรญa total del fluido por unidad de masa, o energรญa especifica. Esta energรญa es constante y a la fรณrmula (3.18) se le conoce como la โEcuaciรณn de Bernoulliโ. Es la expresiรณn que afirma que la energรญa total (especifica) se conserva. Se puede observar que esta fรณrmula tiene la tรญpica estructura de la suma de la energรญa cinรฉtica mas la energรญa potencial. La ecuaciรณn de Bernoulli es una notable simplificaciรณn de las ecuaciones de Euler. No obstante y a pesar de las condiciones que se han impuesto, aun representa muy serias dificultades para su resoluciรณn.
3.3.2 EL FLUIDO PERFECTO INCOMPRESIBLE E IRROTACIONAL EN 2-D.
Tal como se tiene hasta este punto del desarrollo, para resolver el problema del flujo de un fluido en estado estacionario; que sea incompresible, que no forme remolinos; que fluya en dos dimensiones bajo la acciรณn de la gravedad, es necesario plantear expresiones diferenciales: 1) Ecuaciรณn de Bernoulli:
1
2 ๐(๐ข2 + ๐ฃ2) + ๐ + ๐๐๐ฆ = ๐๐
(3.19)
2) Condiciรณn de irrotacionalidad (noโvรณrtices):
๐๐๐ก โก (๐๐ฃ
๐๐ฅโ
๐๐ข
๐๐ฆ) = 0
(3.20a)
3) Condiciรณn de incompresibilidad:
๐๐๐ฃ โก ๐๐ข
๐๐ฅ+
๐๐ฃ
๐๐ฆ= 0
(3.20b)
Podrรญa dar la impresiรณn de que con todo este proceso, las expresiones matemรกticas a las que se ha llegado son triviales. Pero, no es asi, de hecho, aun serรก necesario otras consideraciones para estar en condiciones de resolver el problema. En el siguiente pรกrrafo de este trabajo se expone el llamado โTeorema de Kelvinโ, con el cual, se darรก otro paso para la soluciรณn al flujo de fluidos perfectos.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
46
3.3.3 TEOREMA DE KELVIN. Un primer resultado que se consigue de la ecuaciรณn de Euler es conocido como el Teorema de Kelvin. Este teorema demuestra que la โCirculaciรณnโ de un fluido, definida por:
๐ค โก โฎ โ ๐๐๐
(3.21)
es decir, como la integral cerrada de lรญnea del producto de la velocidad por el elemento
diferencial de lรญnea ๐ ๐ , a lo largo de un contorno ๐ , dentro de un flujo, es constante. Para demostrar este teorema se calcula la derivada total de la circulaciรณn ๐ con respecto al tiempo y se obtiene que:
๐๐ค
๐๐ก= 0
(3.22)
Asi que en efecto la circulaciรณn ๐ค es constante.
FIGURA 3.1. Contorno cerrado en el fluido.
La demostraciรณn se conduce de la siguiente forma de acuerdo con la definiciรณn (3.21):
๐๐ค
๐๐ก=
๐
๐๐กโฎ โ ๐๐๐
= โฎ (๐
๐๐ก โ ๐๐ + โ ๐๐ฃ )
๐
(3.23)
Pero el segundo tรฉrmino en el extremo de la derecha de la integral anterior es igual a cero, ya que:
โฎ โ ๐๐ฃ ๐
= 1
2โฎ ๐( | |2)๐
= 0
Puesto que la integral cerrada de lรญnea de la diferencial de un escalar es idรฉnticamente igual a cero.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
47
Por otra parte, el primer tรฉrmino de la derecha de la integral (3.23) se puede procesar haciendo uso de la ecuaciรณn de balance de momento de Euler (3.11) en el caso que aquรญ se ha considerado:
โฎ๐
๐๐ก โ ๐๐
๐
= โฎ ๐๐ โ ๐
๐๐ โ โฎ ๐๐๐๐ ๐ โ ๐
๐๐
Nuevamente debido a que el producto
๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐ = ๐๐
Cuando se tiene un flujo estacionario, entonces la segunda integral de la derecha es:
โฎ ๐๐๐๐ ๐ โ ๐
๐๐ = โฎ ๐๐ = 0๐
Y finalmente, suponiendo que la fuerza de cuerpo ๐๐ es conservadora, se ve que:
โฎ ๐๐ โ ๐
๐๐ = โ โฎ ๐๐๐๐ ๐ โ ๐
๐๐ = โโฎ ๐๐ = 0 ๐
Por la misma razรณn que se ha dado, de que la integral cerrada de lรญnea de un escalar es nula. Asi en efecto, se ha podido demostrar que la circulaciรณn de un flujo, definida en (3.21) es una constante de movimiento, tal como lo establece el teorema de Kelvin. Este resultado serรก de gran utilidad mรกs adelante, cuando se obtengan soluciones para diferentes tipos de flujos.
3.4. MODELAJE DE FLUJOS
Una herramienta de gran utilidad en el estudio de los flujos es la que se conoce como โmodelaje de flujosโ. Se trata de un mรฉtodo; una estrategia, que consiste en proponer soluciones de las ecuaciones diferenciales y luego identificar el tipo de flujo que ellas representan. Es un camino en sentido opuesto al que se sigue tradicionalmente en la investigaciรณn cientรญfica, pues en tanto que en otros campos del conocimiento se plantean las ecuaciones diferenciales y se hallan las soluciones de ellas, aquรญ primeramente se proponen las soluciones.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
48
3.4.1. EL POTENCIAL COMPLEJO Y LA VELOCIDAD COMPLEJA
El punto de partida para desarrollar la estrategia de modelaje de fluidos, consiste en hallar las soluciones para las condiciones de irrotacionalidad (3.20a) y de incompresibilidad (3.20b). En cuanto a la primera, si el rotacional de la velocidad es igual a cero, entonces se puede ver fรกcilmente que proponiendo:
๐๐๐ก = 0 y en consecuencia:
(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐๐๐๐ ๐ (๐ฅ, ๐ฆ)
(3.24)
es decir:
๐ข =๐๐
๐๐ฅ
(3.24a)
๐ฃ =๐๐
๐๐ฆ
(3.24b)
es decir, que la velocidad sea igual al gradiente de cierta funciรณn escalar
๐ (๐ฅ, ๐ฆ)
a la que se le llamarรก en adelante el โPotencial de Velocidadโ, entonces, si se sustituye a (3.24a) y (3.24b) en (3.20a) se obtiene:
๐2๐
๐๐ฅ๐๐ฆโ
๐2๐
๐๐ฆ๐๐ฅ= 0
(3.25)
Este resultado es una identidad; es la condiciรณn de integrabilidad de Cauchy-Riemann; que depende de la superficie a integrar y garantiza que el rotacional de la velocidad es igual a cero, asi que (3.20a) se cumple idรฉnticamente. Haciendo el mismo procedimiento pero sustituyendo ahora (3.24a) y (3.24b) en (3.20b) se encuentra lo siguiente:
๐2๐
๐๐ฅ2+
๐2๐
๐๐ฆ2= 0
(3.26)
El resultado (3.26) es la ecuaciรณn de Laplace en 2โD:
๐ป2๐ = 0 (3.26a) Esto es importante, ya que hay una infinidad de soluciones de (3.26a). Esto quiere decir que, resolviendo la ecuaciรณn de Laplace se consiguen expresiones del potencial de velocidad ๐ y con este, las componentes del campo de velocidades quedan determinadas.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
49
Por otra parte, se pueden hallar soluciones para la condiciรณn de incompresibilidad (3.20b). Si la divergencia de la velocidad es igual a cero, entonces se puede ver fรกcilmente que proponiendo:
๐๐๐ฃ = 0 (3.27)
Se resuelve (3.27) se propone que:
๐ข =๐๐
๐๐ฆ
(3.27a)
๐ฃ = โ๐๐
๐๐ฅ
(3.27b)
Donde ๐(๐ฅ, ๐ฆ) es un nuevo campo escalar al que se le denomina โFunciรณn de Corrienteโ. Sustituyendo a (3.27a) y (3.27b) en (3.20b) se obtiene:
๐2๐
๐๐ฅ๐๐ฆโ
๐2๐
๐๐ฆ๐๐ฅ= 0
(3.28)
Que es nuevamente una identidad debido a la condiciรณn de integrabilidad de Cauchy-Riemann. Ahora, sustituyendo (3.27a) y (3.27b) en (3.20a) se encuentra lo siguiente
๐2๐
๐๐ฅ2+
๐2๐
๐๐ฆ2= 0
(3.29)
Que es nuevamente la ecuaciรณn de Laplace en 2โD:
๐ป2๐ = 0 (3.30)
En resumen, dos funciones son soluciones de las condiciones de irrotacionalidad (3.20a) y de incompresibilidad (3.20b) y ambas soluciones conducen a conocer el campo de velocidades del fluido.
Esto significa que basta con ellas para resolver el problema de flujo de un fluido, sin necesidad de integrar las ecuaciones de Euler o la Ecuaciรณn de Bernoulli.
Pero si el potencial de velocidad ๐ (๐, ๐) y la funciรณn de corriente ๐(๐, ๐) resuelven las ecuaciones (3.20a) y (3.20b), entonces cualquier combinaciรณn lineal de ellas tambiรฉn es soluciรณn.
En particular, se ha definido una combinaciรณn lineal de estas funciones que ha sido de extraordinario valor para el estudio de los flujos. Se trata del Potencial Complejo:
๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฅ, ๐ฆ) + ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) (3.31)
Usando la teorรญa de variable compleja, donde:
๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ
(3.32)
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50
Se puede definir entonces el Potencial Complejo como:
๐น(๐ง) = ๐(๐ง) + ๐๐(๐ง) (3.33)
Ahora bien, si se deriva el potencial complejo (3.33), aparece la llamada Velocidad Compleja Siendo ๐ y ๐ las componentes cartesianas de la velocidad del fluido.
๐(๐ง) =๐๐น(๐ง)
๐๐ง=
๐๐
๐๐ฅโ ๐
๐๐
๐๐ฅ= ๐ข โ ๐๐ฃ
(3.34)
Por otra parte, el vector velocidad puede expresarse en coordenadas polares en 2-D. Esto se puede apreciar mejor acudiendo a la figura 3.2, donde se ha dibujado el vector , con sus dos componentes cartesianas ๐ y ๐ y ademรกs, se ve como se puede descomponer, asi mismo en una
FIGURA 3.2.Descomposicion del vector en sus componentes
cartesianas ๐ข y ๐ฃ y en sus componentes polares ๐ข๐ ๐ฆ ๐ข๐.
componente ๐๐น, llamada โradialโ a lo largo de la lรญnea que une al origen con el extremo posterior de y otra componente ๐๐ฝ , llamada โtransversalโ que es perpendicular a la anterior y se une a la punta de la flecha del vector. Se puede ver muy fรกcilmente, que se cumplen las siguientes relaciones trigonomรฉtricas:
๐ข๐ ๐๐๐ ๐ = ๐ข + ๐ข๐๐ ๐๐๐ (3.35a) o bien:
๐ข = ๐ข๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐ข๐๐ ๐๐๐ (3.35b) De igual manera
๐ข๐ ๐ ๐๐๐ = ๐ฃ โ ๐ข๐๐๐๐ ๐ (3.36a) o tambiรฉn:
๐ฃ = ๐ข๐ ๐ ๐๐๐ + ๐ข๐๐๐๐ ๐ (3.36b)
Sustituyendo las expresiones (3.35b) y (3.36b) en (3.34) se obtiene:
๐ = ๐ข โ ๐๐ฃ = (๐ข๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐ข๐๐ ๐๐๐) โ ๐( ๐ข๐ ๐ ๐๐๐ + ๐ข๐๐๐๐ ๐) Arreglando tรฉrminos
๐ = ๐ข๐ (๐๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐) โ ๐๐ข๐(๐๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐) (3.37) O bien, recordando el Teorema de Moivre de la variable compleja que afirma que :
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51
๐๐๐ ๐ โ ๐๐ ๐๐๐ = ๐โ๐๐ (3.38)
Sustituyendo (3.38) en (3.37) se tiene a la velocidad compleja en coordenadas polares, la cual se utilizara con frecuencia en el desarrollo de este trabajo.
๐ = (๐ข๐ โ ๐๐ข๐)๐โ๐๐ (3.39)
3.4.2. MODELAJE DE FLUJO DE FLUIDOS.
Con las definiciones dadas anteriormente es posible ahora proponer ciertas expresiones particulares del potencial complejo e investigar cual es el flujo que corresponde a ellas. ( i ) EL FLUJO UNIFORME Como un primer ejemplo se considera, la siguiente fรณrmula para el potencial complejo:
๐น = ๐0๐ง (3.40) Siendo ๐ผ๐ una constante con dimensiones de velocidad. Recordando que la variable compleja es
๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ Sustituyendo a ๐ง en (3.40) se ve que la funciรณn tiene una parte real y otra imaginaria, de la siguiente forma;
๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐0๐ฅ + ๐๐0๐ฆ Entonces, de acuerdo con (3.31), se ve que el potencial de velocidades ๐(๐ฅ, ๐ฆ) y la funciรณn de corriente ๐(๐ฅ, ๐ฆ) para este caso son:
๐ = ๐0๐ฅ ฯ = ๐0๐ฆ
(3.41)
Se trata de dos funciones que describen ciertos lugares geomรฉtricos en el plano XOY. La primera de ellas describe una familia de rectas verticales paralelas, a las que se llama โlรญneas equipotencialesโ ๐, en tanto que la segunda describe una familia de rectas horizontales paralelas, llamadas โlรญneas de corrienteโ ๐. Estas dos familias se muestran en la figura 3.3., como lรญneas que
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FIGURA 3.3. Diagrama del Flujo Laminar o Uniforme en donde se muestran las lรญneas verticales que son equipotenciales ๐ y las lรญneas horizontales son de corriente ๐. Ambas, siempre van a ser perpendiculares entre si.
derivando con respecto a ๐ง la funciรณn potencial compleja dada en (3.40), se obtiene la correspondiente velocidad compleja, tal como se definiรณ en (3.34). Para este caso se obtiene:
๐(๐ง) =๐๐น(๐ง)
๐๐ง= ๐0
(3.42)
Siendo ๐0 una constante y de acuerdo con la fรณrmula general de la velocidad del fluido donde se expresan sus dos componentes la real y la imaginaria (3.34), se compara el resultado de (3.42) y se ve que:
๐ข = ๐0
๐ฃ = 0
(3.43)
Por lo tanto, se trata de un flujo uniforme que viaja de izquierda a derecha, si la constante ๐0 es positiva, tal como se ve en la figura 3.3. ( ii ) VรRTICE Y CIRCULACIรN. Se considera ahora la siguiente fรณrmula para el potencial complejo:
๐น(๐ง) = ๐๐๐๐๐ง (3.44) Donde ๐ representa una constante real. Si se expresa el potencial complejo (3.44) en
coordenadas polares recordando a la variable compleja ๐ง = ๐๐๐๐ el potencial complejo queda de la siguiente forma:
๐น(๐, ๐) = ๐๐๐๐(๐๐๐๐) = ๐๐๐๐๐ โ ๐๐ (3.45)
De modo que, comparando las partes real e imaginaria de (3.45) con las correspondientes de la formula general (3.33) se ve que:
๐(๐, ๐) = โ๐๐ (3.46a)
๐(๐, ๐) = ๐๐๐๐ (3.46b)
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53
Ahora las lรญneas equipotenciales resultan ser rectas que son radiales desde el origen de coordenadas, formando un haz como el que se ha dibujado en la figura 3.4.
FIGURA 3.4. Vรณrtice o remolino. El fluido se mueve a lo largo de circunferencias concรฉntricas. Las lรญneas equipotenciales son radiales; las lรญneas de corriente son cรญrculos.
Por su parte las lรญneas de corriente son cรญrculos concรฉntricos. La derivada de (3.44) con respecto a ๐ง da la velocidad compleja:
๐(๐ง) = ๐๐น(๐ง)
๐๐ง=
๐๐
๐ง
(3.47)
En coordenadas polares:
๐ค(๐ง) = ๐๐
๐ ๐โ๐๐
(3.48)
Comparando (3.48) con (3.39) se obtienen las componentes polares de la velocidad:
๐ข๐ = 0 (3.49a)
๐ข๐ = โ๐
๐
(3.49b)
En la figura 3.4 se ha dibujado el patrรณn de velocidades que corresponde a este ejemplo. Se trata de una familia de circunferencias concรฉntricas, que se desarrollan en sentido inverso; es decir, en el mismo sentido que giran las manecillas del reloj y cuyas velocidades disminuyen a medida que
estรกn mรกs alejadas del origen, en una proporciรณn que va como 1
๐ Este flujo se conoce como un
Vรณrtice o Remolino. Si la funciรณn fuese ahora:
๐น(๐ง) = โ๐๐๐๐๐ง (3.50) Se modela nuevamente un vรณrtice, pero este se desarrolla en sentido directo; esto es en contra de las manecillas del reloj. En este caso la velocidad compleja puede comprobarse fรกcilmente y resulta:
๐ค(๐, ๐) = โ๐๐
๐ ๐โ๐๐
(3.51)
En general, si se expresa al vector velocidad en coordenadas polares, presenta la siguiente forma:
= ๐๐ข๐ + ๐๐ข๐ (3.52)
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Siendo, ๐ y ๐ฝ los vectores unitarios ortogonales, en la direcciรณn radial y en la direcciรณn tangencial, respectivamente. Por su parte, el elemento de lรญnea ๐ , en este mismo sistema de coordenadas es:
๐๐ = ๐๐๐ + ๐๐๐๐ (3.53)
En donde ๐๐ es el elemento diferencial en la direcciรณn radial y ๐๐๐ es en la direcciรณn tangencial, perpendicular al anterior. Como consecuencia de lo anterior, el producto escalar de la velocidad por el elemento vectorial de lรญnea es; de acuerdo con (3.52) y (3.53) lo siguiente:
โ ๐๐ = ๐ข๐๐๐ + ๐๐ข๐๐๐ (3.54)
En el caso de un vรณrtice en sentido directo, como es el ejemplo dado en (3.51), identificando las componentes radial y tangencial de la velocidad adecuadamente, se obtiene para el producto (3.54) el siguiente resultado:
โ ๐๐ = ๐๐๐ (3.55)
Por lo tanto, la circulaciรณn en este caso particular de un vรณrtice directo, esta dada por (3.20) en general y en este caso es:
๐ค = โฎ โ ๐๐๐
= ๐ โฎ ๐๐ = 2๐๐ 2๐
0
(3.56)
Entonces, la constante ๐ que se ha descrito en (3.50) y (3.51) tiene el valor:
๐ = ๐ค
2๐
(3.57)
En tรฉrminos de la circulaciรณn ๐ค.
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55
( iii ) FUENTES Y SUMIDEROS. Basta con proponer una funciรณn potencial compleja que sea muy parecida a aquella que dio lugar a los vรณrtices, (3.44), con la รบnica diferencia que el coeficiente sea real, para conseguir un flujo diferente. En efecto, si se supone ahora que la funciรณn sea:
๐น = ๐๐๐๐ง (3.58) Con ๐ constante real. En este caso, siguiendo un procedimiento idรฉntico al anterior se encuentra de inmediato que:
๐(๐, ๐) = ๐๐๐๐ (3.59a)
๐(๐, ๐) = ๐๐ (3.59b) Estas soluciones corresponden a lรญneas equipotenciales ๐(๐, ๐) con forma de circunferencias concรฉntricas a partir del origen y lรญneas de corriente ๐(๐, ๐) = ๐๐๐๐ ๐ก que son rectas que parten de 0 radialmente en todas direcciones.
FIGURA 3.5.Una fuente centrada en el origen. El fluido forma lรญneas radiales que parten de 0 en todas direcciones, llamada lรญneas de corriente, mientras que las equipotenciales son circunferencias concรฉntricas.
La velocidad compleja se encuentra de la misma manera que antes; derivando a ๐น(๐ง) con respecto a ๐ง lo que se encuentra es:
๐(๐ง) = ๐๐น(๐ง)
๐๐ง=
๐
๐ ๐โ๐๐
(3.60)
Lo cual significa que:
๐ข๐ =๐
๐
(3.61a)
๐ข๐ = 0 (3.61b) Como se ve, este caso es el opuesto al de los vรณrtices. Ahora las lรญneas radiales se alejan del origen cuando ๐ es positiva. Este flujo se conoce como una โfuenteโ en 0. Si por el contrario ๐ es una constante negativa, entonces las lรญneas de flujo llegan al origen 0 desde el infinito. En este caso se tiene una โsumideroโ.
En ambos; la fuente o el sumidero, la velocidad del fluido disminuye como el inverso de la distancia ๐.
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( iv ) EL DOBLETE
Otro ejemplo muy interesante de modelaje de flujos es el caso del llamado โdobleteโ. Este flujo se obtiene cuando se considera una fuente y un sumidero de igual intensidad, que se encuentran ubicados uno al lado del otro, a lo largo del eje de las abscisas 0x, a distancias iguales del origen 0, como se muestra en la figura 3.6. En este caso, el potencial complejo es la suma de una fuente en (c, 0), mรกs un sumidero en (โc, 0):
๐น(๐ง) = ๐ ๐๐ (๐ง โ ๐) โ ๐ ๐๐ (๐ง + ๐) (3.62) O bien, lo que es equivalente:
๐น(๐ง) = ๐ ๐๐ (๐ง โ ๐
๐ง + ๐)
(3.63)
Si se supone que ๐ es una distancia muy pequeรฑa, comparada con aquellas en donde se observa al fluido; es decir,
|c
z| โช 1
entonces es posible escribir (3.63) en forma aproximada como:
๐น(๐ง) โ ๐ ๐๐ (1 โ๐
๐ง)2
โ ๐ ๐๐ (1 โ2๐
๐ง)
(3.64)
NOTA: Para obtener el resultado aproximado (3.64) se hace el siguiente procedimiento:
๐๐ (๐ง โ ๐
๐ง + ๐) = ๐๐ (
1 โ๐๐ง
1 +๐๐ง
) = ๐๐ (1 โ๐
๐ง) (1 +
๐
๐ง)โ1
โ ๐๐ (1 โ๐
๐ง)2
Luego, suponiendo que |c zโ | es suficientemente pequeรฑo como para poder despreciar sus potencias superiores a la primera, se obtiene (3.64) al desarrollar el binomio cuadrado. Por otra parte, es posible procesar aun mรกs el logaritmo que ha quedado en el extremo de la derecha de (3.64) si se considera que
๐๐(1 โ ๐ฅ) = โซ๐๐ฅ
1 โ ๐ฅ โก โโซ(1 โ ๐ฅ)โ1๐๐ฅ = โโซ(1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ) ๐๐ฅ
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Rescribiendo la ec anterior
๐๐(1 โ ๐ฅ) = โซ๐๐ฅ
1 โ ๐ฅ โก โโซ(1 โ ๐ฅ)โ1๐๐ฅ = โโซ(1 + ๐ฅ + ๐ฅ2 + โฏ) ๐๐ฅ
asi que en consecuencia:
๐๐(1 โ ๐ฅ) = โ(๐ฅ +1
2๐ฅ2 +
1
3๐ฅ3 + โฏ)
Si el argumento ๐ฅ en la integraciรณn anterior es un infinitรฉsimo de primer orden, entonces se puede escribir el resultado en forma aproximada;
๐๐(1 โ ๐ฅ) โ โ๐ฅ (3.65) Por lo tanto el potencial complejo del doblete es aproximadamente el siguiente:
๐น(๐ง) โ โ2๐๐
๐ง
Esta fรณrmula es exacta si se imagina que la distancia entre la fuente y el sumidero se hace cada vez mรกs y mรกs pequeรฑa, en la misma medida que la intensidad ๐ se hace mรกs y mรกs grande, pero de forma tal que el producto de ambos parรกmetros permanezca constante en magnitud. En tal caso:
๐น(๐ง) = lim๐โ0๐โโ
(โ2๐๐
๐ง) โก โ
๐
๐ง
(3.66)
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Al parรกmetro ๐ que resulta del producto de la distancia ๐๐ por ๐ se le llama la โintensidad del dobleteโ. Ahora bien, usando la definiciรณn del potencial complejo dada en (3.31) entonces, de acuerdo con el resultado obtenido para el doblete en (3.66) se puede ver que se cumple la siguiente igualdad:
FIGURA 3.6.El doblete. Una fuente y un sumidero de iguales intensidades se encuentran a ambos lados del origen a muy pequeรฑa distancia uno del otro Las lรญneas quebradas son las equipotenciales y las lรญneas de corriente. Las lรญneas dirigidas son lรญneas de flujo.
๐ + ๐๐ = โ๐
๐ฅ + ๐๐ฆ
Y para despejar esta expresiรณn, se multiplica y se divide el miembro de la derecha por
๐ฅ โ ๐๐ฆ Lo que se obtiene con esta operaciรณn es lo siguiente:
๐ + ๐๐ = โ๐(๐ฅ โ ๐๐ฆ)
๐ฅ2 + ๐ฆ2
Ahora es posible, separar las partes real e imaginaria de ambos miembros de la expresiรณn anterior; lo que se consigue con ello es el resultado que se escribe a continuaciรณn:
๐ = โ๐๐ฅ
๐ฅ2 + ๐ฆ2
(3.67)
๐ = โ๐๐ฆ
๐ฅ2 + ๐ฆ2
(3.68)
De la expresiรณn (3.67), despejando se obtiene lo siguiente:
๐ฅ2 +๐
๐๐ฅ + ๐ฆ2 = 0
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Si se completa el trinomio perfecto para la coordenada ๐ฅ, sumando y restando la misma cantidad
๐2
4๐2
Se obtiene
(๐ฅ โ๐
2๐)2
+ ๐ฆ2 = ๐2
4๐2
(3.69)
Esta ecuaciรณn representa dos familias de cรญrculos; una para valores positivos de ๐
2๐ y la otra para
valores negativos de esta misma entidad y con radios iguales al valor absoluto de ella. En la figura
3.6, estas familias se muestran como circunferencias centradas en (ยฑ ๐
2๐ , 0). Estas son lรญneas
equipotenciales. Por su parte, la expresiรณn (3.68) se puede progresar en forma idรฉntica a la anterior para obtener la ecuaciรณn del lugar geomรฉtrico siguiente:
๐ฅ2 + (๐ฆ โ๐
2๐)2
= ๐2
4๐2
(3.70)
Nuevamente, (3.70) representa dos familias de cรญrculos con centro en ( 0, ยฑ๐
2๐) y radios
๐
2๐.
Estas son las lรญneas de corriente que se muestran tambiรฉn en la figura 3.6. La velocidad compleja para el doblete se obtiene derivando el potencial complejo (3.66) con respecto a ๐ง:
๐(๐ง) = โ๐
๐ง2
(3.71)
La forma mรกs sencilla de visualizar el flujo es expresando primero a la velocidad compleja (3.71) en coordenadas polares:
๐(๐, ๐) = โ ๐
๐2๐2๐๐= โ(
๐
๐2๐โ๐๐) ๐โ๐๐ = โ(
๐
๐2๐๐๐ ๐ + ๐
๐
๐2๐ ๐๐๐)๐โ๐๐
(3.72)
Luego, separando las partes real e imaginaria de (3.72) y comparando cada una de ellas con las componentes radial y tangencial de la velocidad en coordenadas polares dadas en (3.39) se obtiene:
๐ข๐ = โ๐
๐2๐๐๐ ๐
(3.73a)
๐ข๐ = ๐
๐2๐ ๐๐๐
(3.73b)
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Ahora es posible calcular las componentes cartesianas de la velocidad ๐ y ๐, a partir de la ley de transformaciรณn (3.35b) y (3.36b):
๐ข = ๐ข๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐ข๐๐ ๐๐๐ = โ๐
๐2 (๐๐๐ 2๐ โ ๐ ๐๐2๐) = โ
๐
๐2๐๐๐ 2๐
๐ฃ = ๐ข๐ ๐ ๐๐๐ + ๐ข๐๐๐๐ ๐ = โ2๐
๐2 ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ = โ
๐
๐2๐ ๐๐2๐
De donde, elevando al cuadrado cada tรฉrmino y sumando:
||2 = ๐ข2 + ๐ฃ2 = ๐2
๐4
(3.74)
La ecuaciรณn anterior representa dos familias de circunferencias como las que se han dibujado con lรญneas continuas, dirigidas, en la figura 3.6, Estas son lรญneas de flujo. Podrรญa pensarse que el caso del doblete tiene un valor puramente teรณrico y en nada se puede asociar a algรบn flujo que ocurre realmente en la naturaleza. A continuaciรณn se mostrarรก cรณmo este modelo conduce de manera directa a resultados del mundo real.
3.5 FLUJO QUE REMONTA UN OBSTรCULO CILรNDRICO. Una aplicaciรณn muy importante de la estrategia de modelaje de fluidos es el problema que se estudiarรก a continuaciรณn. Se trata de determinar el flujo de un fluido ideal que enfronta un obstรกculo cilรญndrico rรญgido, de secciรณn circular, que se encuentra transversalmente a su paso. Se supondrรก asรญ mismo, que el fluido fluye con un รกngulo de ataque dado y que el flujo es suficientemente lento para no formar vรณrtices ni otro tipo de efecto turbulento a su paso por el cilindro. Con esta aplicaciรณn se abren las puertas de la aerodinรกmica, como se verรก adelante.
3.5.1. FLUJO SIN CIRCULACIรN.
Ya se vio cรณmo, proponiendo expresiones particulares del potencial complejo se modelan flujos y tambiรฉn se sabe que la superposiciรณn de funciones que son soluciones de las ecuaciones de flujo que dan lugar a otras soluciones. Considรฉrese la suma de las funciones para un flujo uniforme que se desplaza de izquierda a derecha con velocidad ๐ e incide con un โรกngulo de ataqueโ ๐ y un doblete como el que se vio en la secciรณn anterior. El flujo uniforme se modela con la funciรณn:
๐น1(๐ง) = ๐๐โ๐๐ผ๐ง (3.75)
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En tanto que el doblete se describe con la funciรณn siguiente:
๐น2(๐ง) = + ๐
๐ง๐๐๐ผ (3.76)
Siendo b la intensidad del doblete y ฮฑ el รกngulo de ataque del fluido. El factor
๐โ๐๐ผ
debe acompaรฑar a la variable compleja z para indicar que el flujo se desplaza con ese รกngulo. La suma de las funciones anteriores da por resultado un potencial complejo que tambiรฉn es soluciรณn de las ecuaciones de flujo:
๐น(๐ง) = ๐๐โ๐๐ผ๐ง +๐
๐ง ๐๐๐ผ
(3.77)
El signo mรกs que se ha usado ahora en el doblete indica que en este caso, la fuente se encuentra a la izquierda y el sumidero a la derecha, de manera que el flujo descrito por Fz (z) va en sentido opuesto al que se ilustra en la figura 3.6. En coordenadas polares, la funciรณn (3.77) adquiere la forma siguiente:
๐น(๐, ๐) = ๐๐๐๐(๐โ๐ผ) + ๐
๐๐โ๐(๐โ๐ผ)
(3.78)
La velocidad compleja se encuentra derivando (3.77) con respecto a z:
๐(๐ง) = ๐๐น(๐ง)
๐๐ง= ๐๐โ๐๐ผ โ
๐
๐ง2 ๐๐๐ผ
O bien:
๐(๐ง) = ๐ (๐โ๐๐ผ โ ๐ต
๐ง2๐๐๐ผ)
(3.79
En donde se ha sacado al parรกmetro U como factor comรบn y se ha adoptado una constante
๐ต โก ๐
๐
(3.80)
En coordenadas polares, la velocidad compleja tiene la forma que se ve a continuaciรณn:
๐(๐, ๐) = ๐ (๐๐(๐โ๐ผ) โ ๐ต
๐2 ๐โ๐(๐โ๐ผ)) ๐โ๐๐ (3.81)
Y usando el teorema de Moivre para escribir las exponenciales complejas dentro del parรฉntesis de (3.81) en tรฉrminos de senos y cosenos, se obtiene, despuรฉs de agrupar, lo siguiente:
๐(๐, ๐) = ๐ [(1 โ๐ต
๐2) ๐๐๐ (๐ โ ๐ผ) + ๐ (1 +
๐ต
๐2) ๐ ๐๐(๐ โ ๐ผ)] ๐โ๐๐
(3.82)
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Por lo tanto, de acuerdo con la definiciรณn (3.39), se ve que las correspondientes componentes polares de la velocidad son:
๐ข๐ (๐, ๐) = ๐ (1 โ๐ต
๐2) ๐๐๐ (๐ โ ๐ผ)
(3.83a)
๐ข๐(๐, ๐) = โ๐ (1 +๐ต
๐2) ๐ ๐๐(๐ โ ๐ผ)
(3.83b)
Muy lejos del origen, a izquierda y derecha, el fluido fluye con una velocidad que, de acuerdo con (3.83), cuando rโ โ es la siguiente:
๐ข๐ (๐, ๐) โ ๐๐๐๐ (๐ โ ๐ผ) (3.84)
๐ข๐(๐, ๐) โ โ๐๐ ๐๐(๐ โ ๐ผ)
FIGURA 3.7. Un Flujo uniforme con velocidad U tiene un angulo de ataque. Las componentes radial y tangencial de la velocidad son ๐ข๐ y ๐ข๐
Se puede ver en la figura 3.7. un flujo uniforme con velocidad ๐ y sus componentes radial y tangencial ๐ข๐ y ๐ข๐, respectivamente. Se observa que cumplen con las formulas (3.84). Por otra parte, cerca del origen de coordenadas, se vuelven importantes los tรฉrminos correspondientes al doblete, en tanto que aquellos que describen al flujo uniforme son despreciables. Por tanto, lejos del origen, el fluido se comporta uniformemente y cerca de 0 sobresale el doblete que se estudio anteriormente.
Pero hay una regiรณn que presenta una propiedad interesante. Si se considera el valor de la distancia radial
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63
FIGURA 3.8. Cuando el flujo se acerca al origen se forma un doblete los puntos de estancamiento estรกn en los dos extremos de la circunferencia limite.
๐ 0 = โ๐ต โก โ๐
๐
(3.85)
Se observa de (3.83a) que
๐ข๐ (๐ 0 , ๐) = 0 (3.86)
En tanto que (3.83b) tiene el valor de:
๐ข๐(๐ ๐, ๐) = โ2๐๐ ๐๐(๐ โ ๐ผ)
(3.87)
Esto significa que, cuando el valor de la coordenada radial es precisamente el que se tiene en (3.85), la componente radial de la velocidad del fluido es nula. Esto es que, el fluido que es externo no puede atravesar una circunferencia con ese radio ๐น๐ hacia el interior, ni el fluido interno del doblete puede atravesar hacia fuera de ese mismo radio. Esa circunferencia de radio ๐น๐ dada por (3.85) constituye una frontera fรญsica real para ambos flujos: el externo y el interno. Por tanto puede sustituirse el flujo interior (doblete) por un cilindro rรญgido y sรณlido con ese mismo radio. El flujo exterior lo va a remontar como si en el interior hubiera un doblete de intensidad ๐. Las expresiones (3.83) describen entonces este flujo; es decir, el flujo que remonta un obstรกculo cilรญndrico con secciรณn recta circular de radio ๐น๐ , con la condiciรณn de que la variable radial sea
๐ โฅ ๐ 0
Sobre la superficie del obstรกculo, la componente radial de la velocidad es nula, tal como se mostro en (3.86). Pero la componente tangencial, sobre la superficie del obstรกculo no es nula, excepto en dos puntos de รฉl; uno cuando el รกngulo ฮธ adquiera un valor tal que
๐๐ โ ๐ผ = 0
O bien ๐๐ = ๐ผ (3.88a)
Y el otro cuando: ๐๐ = ๐ผ + ๐ (3.88b)
A estas se les llama โรกngulos de estancamientoโ y a los correspondientes puntos sobre la superficie de la circunferencia, se les conoce como โpuntos de estancamientoโ. Estos puntos
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se muestran en los dos extremos de la circunferencia lรญmite (con radio R) en la figura 3.8. estos puntos son aquellos donde llega el fluido con velocidad cero y sale el fluido hacia la derecha, con velocidad cero:
๐ข๐(๐ ๐, ๐ผ) = ๐ข๐ (๐ ๐, ๐ผ + ๐) = 0 (3.89)
3.5.2. FLUJO CON CIRCULACIรN. Es necesario complicar un poco mรกs el estudio de los fluidos. Supรณngase ahora un fluido que remonta un obstรกculo cilรญndrico, como en el problema anterior, pero se considera, adicionalmente, un vรณrtice con intensidad ฮ/2ฯ como el que se presentรณ en la secciรณn 3.4.2. (ii). Sumando ambos casos se tiene un potencial complejo compuesto, como el siguiente:
๐น(๐ง) = ๐ (๐ง๐โ๐๐ผ +๐ ๐
2
๐ง๐๐๐ผ) โ
๐๐ค
2๐๐๐ (๐ง๐โ๐๐ผ) (3.90)
La velocidad compleja que corresponde a este flujo es la siguiente:
๐(๐ง) = ๐ (๐โ๐๐ผ โ๐ ๐
2
๐ง2๐๐๐ผ) โ
๐๐ค
2๐๐ง
(3.91)
O bien, en coordenadas polares, despuรฉs de usar el teorema de Moivre y agrupar:
๐(๐, ๐) = ๐ [(1 โ๐ ๐
2
๐2)๐๐๐ (๐ โ ๐ผ) โ ๐ [(1 +๐ ๐
2
๐2)๐ ๐๐(๐ โ ๐ผ) +๐ค
2๐๐]] ๐โ๐๐
(3.92)
Donde Ro es el radio lรญmite calculado en (3.85) y ฮ es la circulaciรณn definida en (3.56). Las componentes polares de la velocidad se obtienen de inmediato a partir de (3.92) y la definiciรณn (3.39):
๐ข๐ (๐, ๐) = ๐ (1 โ๐ ๐
2
๐2)๐๐๐ (๐ โ ๐ผ) (3.93a)
๐ข๐(๐, ๐) = ๐ (1 +๐ ๐
2
๐2)๐ ๐๐ (๐ โ ๐ผ) +๐ค
2๐๐
(3.93b)
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
65
Se observa nuevamente de (3.93a) que sobre la circunferencia del obstรกculo, la componente radial de la velocidad del fluido es nula, ya que para
๐ = ๐ ๐
Se tiene que: ๐ข๐ (๐ ๐, ๐) = 0
Pero para el mismo valor del radio, la componente tangencial de la velocidad es
๐ข๐(๐ ๐, ๐) = 2๐๐ ๐๐(๐ โ ๐ผ) +๐ค
2๐๐ ๐
(3.94)
Ahora, la componente tangencial se hace nula cuando el รกngulo ฮธ toma un valor ฮธs tal que:
๐ ๐๐(๐๐ โ ๐ผ) = โ๐ค
4๐๐๐ ๐
(3.95)
FIGURA 3.9. Grafica de la funciรณn sean ๐ ๐๐ (๐ โ ๐ผ). Los puntos de estancamiento ocurren para ๐ = ๐๐ .
En la figura 3.9 se muestra una grรกfica de la funciรณn de sen(ฮธ โ ฮฑ) y se seรฑalan los valores del รกngulo que satisfacen la condiciรณn (3.95). Se observa que esos valores son entre ๐ผ + ๐ y ๐ผ + 2๐, para que el argumento sea negativo. Este hecho muestra que los puntos de estancamiento, por expresarlo de algรบn modo, han emigrado, como consecuencia de la circulaciรณn y lo han hecho hacia abajo de la lรญnea del diรกmetro de la circunferencia.
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FIGURA 3.10. Por efecto de la circulaciรณn ฮ los puntos de estancamiento bajan.
A su vez, la migraciรณn de los puntos de estancamiento tiene el efecto de modificar las lรญneas de flujo como se ve en la figura 3.10. Ahora las lรญneas de flujo ya no presentan la misma simetrรญa que en el ejemplo anterior. Ahora, si bien sigue existiendo una simetrรญa izquierda-derecha, ya no la hay arriba-abajo, como se observa en la misma figura. Este rasgo serรก importante mas adelante, pues รฉl serรก el que determine la presencia de fuerzas de sustentaciรณn o levantamiento en los cuerpos inmersos en flujos.
3.6. LAS LEYES INTEGRALES DE BLASIUS.
Es el momento de cambiar un poco el tema y dejar de lado el modelaje de flujos. Con los logros avanzados hasta aquรญ es suficiente para los fines que persigue este trabajo. El tema que a continuaciรณn se presenta es no menos fascinante. Se trata de dos resultados obtenidos en la primera mitad del siglo XX por un cientรญfico de apellido Blasius. Se presentan como las leyes integrales y permiten calcular los efectos de un flujo sobre un cuerpo sรณlido que se encuentra inmerso en รฉl. Esos efectos son las fuerzas y las torcas y son las causas de que un perfil, como el de una ala de un aviรณn se sustente y permita el vuelo de cuerpos pesados.
3.6.1. LA PRIMERA LEY INTEGRAL. Considรฉrese un cuerpo sรณlido, cilรญndrico, de secciรณn recta arbitraria, como se muestra en la figura 3.11. Imagรญnese que ese cuerpo se halla inmerso en un flujo de un fluido ideal, estacionario, que lo remonta, como se ve en la figura 3.11.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
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FIGURA 3.11. Un obstรกculo cilรญndrico de secciรณn irregular enfronta un flujo desde la derecha. El flujo provoca en el cuerpo una fuerza de levantamiento, y otra de arrastre. Un contorno cerrado ๐ encierra al cuerpo
El fluido, originalmente uniforme, pasa por encima y por debajo del perfil. Al pasar por el cuerpo, el fluido ejerce alguna fuerza. Por la tercera ley de la mecรกnica, el sรณlido exhibe una reacciรณn a esa fuerza externa. Supรณngase que la reacciรณn tiene dos componentes: una horizontal en el sentido positivo, opuesta al flujo, a la que se llamarรก โfuerza de arrastreโ y se denota simplemente como:
๐ด
La otra es la llamada โfuerza de sustentaciรณnโ o โfuerza de levantamientoโ que se simboliza como
๐ฟ
De acuerdo con la mecรกnica, ambas fuerzas se generan en el centro de masa del cuerpo. En ese punto se coloca el origen O de un sistema coordenado. Pero estas fuerzas de reacciรณn son de igual intensidad y en sentido opuesto a la fuerza que experimenta el fluido:
๐น๐ด๐ + ๐น๐ฟ ๐ โก โ โก โ โซ ๐๐๐๐
๐(๐ก)
(3.96)
Siendo ๐ la densidad de masa, la fuerza de cuerpo y la integral se debe realizar sobre algรบn volumen V(t) del fluido que contiene al cuerpo sรณlido. Es conveniente tomar como volumen de integraciรณn una regiรณn constituida por un contorno cerrado ๐ como el de la figura 3.11, que es la cara de un cilindro que tiene una profundidad de una unidad (1m). Es necesario recordar en este punto del desarrollo, las ecuaciones de Euler para el flujo de un fluido perfecto, que se plantearon en (3.11); estas ecuaciones diferenciales, en el caso estacionario presentan la siguiente estructura:
๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐ (3.97)
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Es necesario hacer unos cuantos cambios en estas ecuaciones, para poderlas utilizar propiamente en la fรณrmula (3.96). Lo primero que se puede hacer, es transformar el miembro de la izquierda de (3.97). Se ve que รฉste puede ser reescrito en la forma siguiente:
๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐ฃ (๐ ) โ ๐๐๐ฃ (๐) (3.98) Pero, dado que el fluido que aquรญ se estudia es incompresible, entonces, de acuerdo con la ecuaciรณn de balance de masa (3.1), el tรฉrmino de la extrema derecha en (3.98) es igual a cero. En estas condiciones se puede escribir, como consecuencia de (3.1) y (3.98) que:
๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐ฃ (๐ ) (3.99)
El producto directo ๐ se conoce como el โtensor de convecciรณnโ del fluido. Por otra parte, al gradiente de la presiรณn que aparece en el miembro de la derecha de (3.97) tambiรฉn se le puede hacer un pequeรฑo cambio; es posible escribirlo de la siguiente forma:
๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐ฃ (๐ ๐) (3.100) Siendo ๐ la matriz unidad
๐ โก โ1 00 1
โ (3.101)
Por lo anterior, es claro que (3.97) puede ser reescrita como:
๐๐ = ๐๐๐ฃ (๐ + ๐๐) (3.102)
En esta forma, es posible sustituir la fuerza del cuerpo que aparece en (3.102) en la integral (3.96). Lo que se consigue con ello es, una integral de volumen de la divergencia que se obtuvo en el resultado (3.102). Una integral de divergencia de cierto objeto matemรกtico se puede escribir, mediante el teorema de Gauss en una integral de flujo; asรญ, (3.96) se puede reescribir de la siguiente forma:
๐น๐ด๐ + ๐น๐ฟ๐ = โโฎ(๐ + ๐๐) โ ๐๐
๐
(3.103)
Siendo dS el elemento diferencial de la superficie frontera del volumen sobre el cual se habรญa planteado la integraciรณn (3.96).
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69
FIGURA 3.12 El obstรกculo cilรญndrico, de secciรณn irregular y altura unidad es rodeado por una cubierta cuyo contorno es ๐ y de altura 1. Se muestra el elemento diferencial de รกrea ๐๐ .
En la figura 3.12 se ilustra esta idea: el obstรกculo cilรญndrico de secciรณn recta irregular ha sido rodeado por una cubierta cilรญndrica de secciรณn elรญptica, con una frontera ๐ al frente y una longitud o profundidad de una unidad.
El elemento diferencial de รกrea dS se construye como el producto vectorial:
Con este resultado se puede calcular enseguida el integrando (3.103) resultando:
๐๐ = โx๐๐ = |๐ ๐ 0 0 โ1๐๐ฅ ๐๐ฆ 0
| =
๐๐ฆ โ ๐๐๐ฅ
(3.104)
(๐ + ๐๐) โ ๐๐ = ๐(๐ข ๐๐ฆ โ ๐ฃ ๐๐ฅ) + ๐(๐ ๐๐ฆ โ ๐ ๐๐ฅ)
Por lo tanto, la integral (3.103), escrita para cada una de sus componentes, da como resultado las siguientes expresiones:
๐น๐ด = โโฎ ๐๐ข(๐ข ๐๐ฆ โ ๐ฃ ๐๐ฅ) โ โฎ ๐ ๐๐ฆ๐๐
(3.105a)
๐น๐ฟ = โโฎ ๐๐ฃ(๐ข ๐๐ฆ โ ๐ฃ ๐๐ฅ) + โฎ ๐ ๐๐ฅ๐๐
(3.105b)
La presiรณn ๐ tambiรฉn se puede eliminar de las integrales (3.105) si se recuerda la ecuaciรณn de Bernoulli (3.17):
๐ = ๐๐ โ ๐ โ1
2๐(๐ข2 + ๐ฃ2)
(3.106)
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Y se sustituye este resultado de vuelta en (3.105a) y (3.105b); lo que se obtiene es lo siguiente:
๐น๐ด = โโฎ1
2๐(๐ข2 โ ๐ฃ2) ๐๐ฆ + โฎ ๐๐ข๐ฃ ๐๐ฅ
๐
โ (๐๐ โ ๐)โฎ ๐๐ฆ๐๐
(3.107a)
๐น๐ฟ = โโฎ ๐๐ข๐ฃ ๐๐ฆ โ โฎ1
2๐(๐ข2
๐
โ ๐ฃ2) ๐๐ฅ + (๐๐ โ ๐)โฎ ๐๐ฅ๐๐
(3.107b)
Ahora hรกgase la siguiente operaciรณn:
๐น๐ฟ + ๐๐น๐ด = โโฎ1
2๐(๐ข2 โ 2๐๐ข๐ฃ โ ๐ฃ2) (๐๐ฅ + ๐ ๐๐ฆ) + (๐๐ โ ๐)โฎ (๐๐ฅ
๐
โ ๐๐๐ฆ)๐
O bien, recordando que la diferencial de la variable compleja y su conjugado son:
๐๐ง = ๐๐ฅ + ๐ ๐๐ฆ
๐๐งโ = ๐๐ฅ โ ๐ ๐๐ฆ
Se puede escribir ahora:
๐น๐ฟ + ๐๐น๐ด = โ1
2๐ โฎ (๐ข โ ๐๐ฃ)2๐๐ง + (๐๐ โ ๐)โฎ ๐๐งโ
๐๐
y ya para terminar: la integral en el extremo de la derecha del resultado anterior es igual a cero, ya que
โฎ ๐๐งโ = โซ ๐(๐๐๐ ๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐) = 0
2๐
0๐
Y multiplicando lo que queda por (โi), se obtiene finalmente:
๐น๐ด โ ๐๐น๐ฟ =1
2๐๐ โฎ [๐(๐ง)]2
๐
๐๐ง (3.108)
Esta es la primera ley integral de Blasius, donde se ha hecho uso de la definiciรณn dada para la velocidad compleja en (3.34).
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71
3.6.2. LA SEGUNDA LEY INTEGRAL.
La segunda ley integral de Blasius permite calcular la torca que ejerce un fluido al incidir sobre un cuerpo sรณlido. Como se recordarรก, la torca se define como el momento de la fuerza
โก ๐ ๐ฅ (3.109)
O bien, como el flujo es bidimensional, la magnitud del momento de la fuerza es simplemente, de acuerdo con (3.105a) y (3.105b):
๐ = ๐ฅ๐น๐ฟ โ ๐ฆ๐น๐ด = โฎ [๐๐ฅ ๐๐ฅ + ๐๐ฆ ๐๐ฆ โ ๐๐ฃ(๐ข ๐๐ฆ โ ๐ฃ ๐๐ฅ)๐ฅ + ๐๐ข(๐ข ๐๐ฆ โ ๐ฃ ๐๐ฅ)๐ฆ]๐
Los primeros dos tรฉrminos a la derecha corresponden a la presiรณn multiplicada por la diferencial del cuadrado de la distancia desde el punto sobre ๐ hasta el centro de masa del cuerpo en el origen del sistema de coordenadas. Los otros dos tรฉrminos representan al momento debido a las fuerzas de convecciรณn. Simplificando el resultado anterior se obtiene:
๐ = โฎ [๐๐ฅ ๐๐ฅ + ๐๐ฆ ๐๐ฆ + ๐(๐ข2๐ฆ ๐๐ฆ + ๐ฃ2๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ข๐ฃ๐ฆ ๐๐ฅ โ ๐ข๐ฃ๐ฅ ๐๐ฆ)]๐
Nuevamente, invocando a la ecuaciรณn de Bernoulli (3.17)
๐ = โ๐ โฎ [1
2(๐ข2 + ๐ฃ2)(๐ฅ ๐๐ฅ + ๐ฆ ๐๐ฆ) โ (๐ข2๐ฆ ๐๐ฆ + ๐ฃ2๐ฅ ๐๐ฅ) โ ๐ข๐ฃ(๐ฆ ๐๐ฅ + ๐ฅ ๐๐ฆ)]
๐
Donde se ha hecho uso del hecho de que todo los demรกs tรฉrminos de la ecuaciรณn de Bernoulli se hacen cero pues:
(๐๐ โ ๐)โฎ (๐ฅ ๐๐ฅ + ๐ฆ ๐๐ฆ) =1
2(๐๐ โ ๐)โฎ ๐|๐|2
๐๐
= 0
Un nuevo re arreglo de la integral de momento conduce al siguiente resultado:
๐ = โ1
2๐ โฎ [(๐ข2 โ ๐ฃ2)(๐ฅ ๐๐ฅ โ ๐ฆ ๐๐ฆ) + 2๐ข๐ฃ(๐ฅ ๐๐ฆ + ๐ฆ ๐๐ฅ)]
๐
Pero la integral anterior corresponde a lo siguiente:
๐ = โโ๐ [1
2๐ โฎ [๐(๐ง)]2๐ง ๐๐ง
๐
] (3.110)
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Que significa: โla parte realโ del complejo que esta encerrado en el parรฉntesis rectangular en (3.110).El resultado anterior es la segunda ley integral de Blasius. Ambas leyes integrales van a ser de gran utilidad para calcular el levantamiento, el arrastre y el momento de la fuerza a los que estรก sujeto un aerogenerador de eje horizontal, debidos al embate del viento sobre su cuerpo exterior.
3.7. LAS TRANSFORMACIONES DE JOUKOWSKI.
3.7.1. LA TRANSFORMACIรN DE JOUKOWSKI.
Un รบltimo cuerpo de conocimientos es indispensable revisar ahora para estar en condiciones de dar el asalto final y resolver el problema de determinar la actitud de un aerogenerador de eje horizontal. Esto se conoce como las transformaciones de Joukowski. En tรฉrminos generales, se trata de un conjunto de transformaciones del plano complejo, de las llamadas โconformesโ, con la propiedad de que preservan รกngulos y direcciones locales de curvas y que tienen una estructura muy particular.
Las transformaciones (conformes) de Joukowski se describen de la siguiente forma: es una funciรณn del tipo general.
๐(๐) = ๐ง (3.111)
Que establece una regla de correspondencia entre la variable compleja ฮพ (se lee Kxi), definida en cierta regiรณn del plano complejo y una variable z en otra regiรณn del mismo plano. La regla de correspondencia o mapeo, como tambiรฉn se le llama, tiene la siguiente forma particular:
๐ง = ๐ +๐2
๐
(3.112)
Se dice tambiรฉn que la transformaciรณn de Joukowski realiza una forma de traducciรณn de objetos geomรฉtricos que estรกn descritos โen el plano ๐โ a las correspondientes โimรกgenesโ de esos objetos en el plano ๐.
El inverso de la transformaciรณn de Joukowski es:
๐ =1
2[๐ง + โ๐ง2 + 4๐2]
(3.113)
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
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En (3.112) y (3.113), aparece una constante ๐ positiva. Esta es la llamada constante conforme y debido a ella es que se le da este apelativo a la transformaciรณn. Una propiedad general de las transformaciones de Joukowski es que para valores muy grandes de la variable; es decir, cuando
๐ โ โ Entonces ambas descripciones; la del plano ๐ y la del plano z coinciden y se obtiene aproximadamente la transformaciรณn idรฉntica. En cambio, cerca del origen del sistema ๐, la transformaciรณn (3.112) tiende al infinito. Por esta razรณn, lo objetos geomรฉtricos que se someten a este mapeo deben evitar transformar valores muy pequeรฑos de ๐. Si se toman las diferenciales de las variables en la fรณrmula para la transformaciรณn (3.112), se ve que:
๐๐ง
๐๐= 1 โ
๐2
๐2
(3.114)
De donde se ve que existe un punto singular en el origen del plano ๐; sin embargo, esta singularidad carece de importancia, pues en todos los problema prรกcticos en los que se aplica la transformaciรณn de Joukowski, el origen de las coordenadas esta siempre ocupando por un cuerpo sรณlido, asรญ el fluido ni siquiera llega a acercarse a ella. Si se suma en ambos miembros de (3.112) la constante 2a, se obtiene lo siguiente:
๐ง + 2๐ =(๐ + ๐)2
๐
(3.115a)
Igualmente, restando a ambos miembros de (3.112) la constante 2a, se consigue:
๐ง โ 2๐ =(๐ โ ๐)2
๐
(3.115b)
Asรญ que dividiendo (3.115a) entre (3.115b), se obtiene la relaciรณn que se describe a continuaciรณn: ๐ง + 2๐
๐ง โ 2๐= (
๐ + ๐
๐ โ ๐)2
El resultado anterior es interesante. Para resaltar sus rasgos importantes, se puede expresar en coordenadas polares:
๐2๐1
๐๐(๐2โ๐1) = (๐2
๐1)2
๐2๐(๐ฝ2โ๐ฝ1) (3.116)
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Siendo r1 y r2 dos radios en el plano z que parten de los puntos (โ2a, 0) y (2a, 0), respectivamente y seรฑalan un mismo punto de ese plano, como se ve en la figura 3.13(a). El รกngulo que forma cada uno de esos radios con el eje de las abscisas es ฮธ2 y ฮธ1, respectivamente. Por otra parte, los parรกmetros ฮผ1 y ฮผ2 representan los dos radios que parten de los puntos (a, 0) y (โa, 0), respectivamente y los dos รกngulos que forman con el eje de las abscisas del plano ฮพ los รกngulos ฮฒ1 y ฮฒ2, como se ve en la figura 3.13 (b). Se puede observar que la expresiรณn (3.116) exhibe una elongaciรณn y una rotaciรณn, pues, al pasar del plano z al plano ฮพ la relaciรณn entre las distancias se eleva al cuadrado y la relaciรณn de los รกngulos se duplica; es decir:
๐2๐1
โ (๐2
๐1)2
(๐2 โ ๐1) โ 2(๐ฝ2 โ ๐ฝ1)
FIGURA 3.13(a). La imagen de la transformaciรณn de Joukowski en el plano z duplica los รกngulos y eleva al cuadrado la relaciรณn de los radios.
FIGURA 3.13(b). En el plano ๐ un punto ๐โฒ seรฑalado por (๐1, ๐ฝ1) y (๐2, ๐ฝ2) se transforma mediante la transformaciรณn de Joukowski en el punto ๐ del plano ๐ง.
La transformaciรณn de Joukowski es una herramienta formidable para resolver algunos problemas de flujos externos; es decir, aquellos que se desplazan por el espacio y encuentran a su paso de objetos sรณlidos macroscรณpicos que remontan, como fue el caso del obstรกculo cilรญndrico que se vio anteriormente. Con la transformaciรณn de Joukowski, un cuerpo de forma, mรกs o menos irregular puede ser โgeneradoโ a partir de una geometrรญa muy simple, como se verรก en seguida. Entonces, conociendo el flujo a lo largo de un cuerpo, como un cilindro de secciรณn recta circular, mediante una transformaciรณn adecuada, puede convertirse en un flujo que remonta un perfil diferente.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
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75
3.7.2. EL SEGMENTO DE RECTA. Como un ejemplo sencillo de la aplicaciรณn de la transformaciรณn de Joukowski, se
plantea ahora el problema de determinar el flujo perfecto que incide sobre la superficie plana, con cierto รกngulo de ataque. Para ello se parte de un obstรกculo cilรญndrico de secciรณn recta circular, con un radio Ro, como el que se estudio, (ver figura 3.14(a)). Supรณngase que ese cuerpo esta descrito en el plano ฮพ y es en esa descripciรณn que se ha hecho el estudio del flujo. Ahora considรฉrese la transformaciรณn de Joukowski
FIGURA 3.14(a). Una circunferencia de radio Ro , centrada en el origen de coordenadas del plano ๐ con abscisa 0ฮพ y ordenada 0๐
FIGURA 3.14 (b). La circunferencia de radio ๐ ๐ en el plano ๐ de la figura anterior da lugar a un segmento de recta de longitud 4๐ ๐, centrado en el origen 0 del plano ๐ง.
๐ง = ๐ +๐ ๐
2
๐
(3.117)
Que mapea el plano ๐ en el plano z. La ecuaciรณn de una circunferencia de radio Ro, centrada en el origen del plano ฮพ esta dada, en coordenadas polares, por:
๐ = ๐ ๐๐๐๐ฝ (3.118)
Siendo ฮฒ el รกngulo que forma un radio con el eje de las abscisas. Sustituyendo la fรณrmula (3.118) en la expresiรณn para la transformaciรณn de Joukowski (3.117), se obtiene:
๐ง = ๐ ๐(๐๐๐ฝ + ๐โ๐๐ฝ) = 2๐ ๐๐๐๐ ๐ฝ (3.119)
Ahora, recordando que
๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ
e identificando en (3.119) las componentes de la variable compleja, se ve que debe cumplirse lo siguiente:
๐ฅ = 2๐ ๐๐๐๐ ๐ฝ (3.120)
๐ฆ = 0
Las anteriores son la formas paramรฉtricas de un segmento de recta horizontal, de longitud ๐๐น๐, centrado en el origen del sistema coordenado z, tal como se ve en la figura 3.14(b).
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Imagรญnese ahora el flujo de un fluido que remonta u obstรกculo cilรญndrico en el plano ฮพ, incidiendo con un รกngulo de ataque ฮฑ y con una circulaciรณn ฮ, tal como se vio en la secciรณn 3.5.2. El potencial complejo para este fenรณmeno, de acuerdo con (3.90) es:
๐น(๐) = ๐ (๐๐โ๐๐ผ +๐ ๐
2
๐๐๐๐ผ) โ
๐๐ค
2๐๐๐ (๐๐โ๐๐ผ)
(3.121)
Ahora, en el plano z, la expresiรณn (3.121) para el potencial complejo del flujo ante un obstรกculo cilรญndrico, se convierte, por medio de la transformaciรณn de Joukowski inversa, dada en la fรณrmula (3.113), en el potencial complejo del fluido que remonta un obstรกculo plano horizontal:
๐น(๐ง) =1
2๐ [(๐ง + โ๐ง2 โ 4๐ ๐
2)๐โ๐๐ผ +4๐ ๐
2๐๐๐ผ
๐ง + โ๐ง2 โ 4๐ ๐2] โ
๐๐ค
2๐๐๐ [(๐ง + โ๐ง2 โ 4๐ ๐
2)๐๐๐ผ] (3.122)
Derivando con respecto a z la fรณrmula (3.122), se obtiene la expresiรณn que corresponde a la velocidad compleja para este flujo:
๐(๐ง) =1
2๐ [(1 +
๐ง
โ๐ง2 โ 4๐ ๐2)๐โ๐๐ผ + (1 โ
๐ง
โ๐ง2 โ 4๐ ๐2)๐๐๐ผ] โ
๐๐ค
2๐โ๐ง2 โ 4๐ ๐2
(3.123)
Esta es la expresiรณn con la cual se puede dibujar las lรญneas de flujo del fluido cuando pasa a travรฉs del perfil del plano horizontal. Los puntos de estancamiento corresponden a aquellos valores de z = zs para los cuales la velocidad compleja (3.123) se vuelve igual a cero, es decir:
(1 +๐ง๐
โ๐ง๐ 2 โ 4๐ ๐
2)๐โ๐๐ผ + (1 โ
๐ง๐
โ๐ง๐ 2 โ 4๐ ๐
2)๐๐๐ผ โ
๐๐ค
๐๐โ๐ง๐ 2 โ 4๐ ๐
2= 0
(3.124)
O bien agrupando:
๐๐๐ ๐ผ +โ๐
โ๐ง๐ 2 โ 4๐ ๐
2(๐ง๐ ๐ ๐๐ ๐ผ +
๐ค
2๐๐) = 0
(3.125)
Ahora, despejando y elevando al cuadrado el resultado (3.125) se obtiene lo siguiente:
(๐ง๐ 2 โ 4๐ ๐
2) ๐๐๐ 2๐ผ = โ(๐ง๐ ๐ ๐๐ ๐ผ +๐ค
2๐๐)2
Y en consecuencia:
๐ง๐ 2 โ 4๐ ๐
2๐๐๐ 2๐ผ +๐ง๐ ๐ค
๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ +
๐ค2
4๐2๐2= 0
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77
Con este resultado es posible despejar el valor de la variable compleja para el cual se da el punto de estancamiento:
๐ง๐ = โ๐ค
2๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ ยฑ
1
2๐ ๐ โ(16 โ
๐ค2
๐2๐2๐ ๐2)๐๐๐ 2๐ผ
O bien:
๐ง๐ = โ๐ค
2๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ ยฑ
1
2๐ ๐ โ(1 โ
๐ค2
16๐2๐2๐ ๐2)๐๐๐ ๐ผ
(3.126)
Como los puntos de estancamiento deben estar en alguna parte de la superficie del segmento recto, entonces no puede haber un valor de la ordenada (la parte imaginaria de zs ) que sea distinto de cero; en otras palabras:
๐ฆ๐ = 0 Por lo tanto, descomponiendo (3.126) solo la parte imaginaria, se obtiene que:
๐ฅ๐ = โ๐ค
2๐๐ ๐ ๐๐ ๐ผ ยฑ
1
2๐ ๐ โ(1 โ
๐ค2
16๐2๐2๐ ๐2)๐๐๐ 2๐ผ
(3.127)
FIGURA 3.15. Flujo que remonta una superficie plana, horizontal, de ancho 4๐ 0 y con angulo de ataque ๐ผ , donde en 2๐ 0 se muestran sus puntos de estancamiento.
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
78
3.7.3 LA ELIPSE. Otra aplicaciรณn importante de la estrategia de la transformaciรณn de Joukowski
que se ha presentado en este contexto, es la siguiente: supรณngase que ahora se tiene un obstรกculo cilรญndrico de secciรณn recta circular y radio R, pero esta dimensiรณn es mayor que el radio crรญtico de la transformaciรณn de Joukowski; esto es
๐ > ๐
Siendo a ese radio crรญtico tal que al pasar al plano z se tiene
๐ง = ๐ +๐2
๐
(3.129)
Pero la circunferencia dada por
๐ = ๐ ๐๐๐ฝ (3.130)
En el plano ฮพ se convierte, de acuerdo con (3.129) en:
๐ง = ๐ (๐๐๐ฝ +๐2
๐ 2๐โ๐๐ฝ)
en el plano z. La expresiรณn anterior se puede desarrollar haciendo uso del teorema de Moivre como:
๐ง = ๐ [(1 +๐2
๐ 2)๐๐๐ ๐ฝ + ๐ (1 โ๐2
๐ 2) ๐ ๐๐ ๐ฝ] (3.131)
Asรญ que separando las partes real e imaginaria de la variable compleja z= x + iy se consigue:
๐ฅ = ๐ (1 +๐2
๐ 2)๐๐๐ ๐ฝ
(3.132)
๐ฆ = ๐ (1 โ๐2
๐ 2)๐ ๐๐ ๐ฝ
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
79
Despejando (3.132) las funciones trigonomรฉtricas y luego elevando al cuadrado y sumando los resultados se obtiene lo siguiente:
๐ฅ2
๐ 2 (1 +๐2
๐ 2)2 +
๐ฆ2
๐ 2 (1 โ๐2
๐ 2)2 = 1
(3.133)
FIGURA 3.16. La transformaciรณn de Joukowski de una circunferencia con radio R a da como resultado una elipse.
Esta es la ecuaciรณn para una elipse con semiโeje mayor
๐ด โก ๐ (1 +๐2
๐ 2) (3.134a)
Y con semiโeje menor
๐ต โก ๐ (1 โ๐2
๐ 2) (3.134b)
Centrada en el origen del plano z. Esto se ha dibujado en la figura 3.16, donde se exhibe, en el lado izquierdo, una circunferencia de radio R mayor que el radio crรญtico de la transformaciรณn de Joukowski (3.129), centrada en el origen del plano ฮพ y luego, por virtud de la transformaciรณn, esa figura da lugar a una elipse oblata, con semi-ejes mayor A y menor B, centrada en el origen del plano z. Si se imagina que la circunferencia
๐ = ๐ ๐๐๐ฝ (3.135)
Corresponde a un obstรกculo cilรญndrico en el plano ฮพ que enfronta un flujo uniforme de un fluido perfecto que incide sobre รฉl con un รกngulo de ataque ฮฑ y una circulaciรณn ฮ, el potencial complejo para ello es el siguiente:
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
80
๐น(๐) = ๐ (๐๐โ๐๐ผ +๐ 2
๐๐๐๐ผ) โ
๐๐ค
2๐๐๐ (๐๐โ๐๐ผ)
(3.136)
Para investigar cuรกl es el correspondiente potencial complejo en el plano z, hay que acudir a la transformaciรณn de Joukowski inversa que se vio en (3.113)
๐ =1
2[๐ง + โ๐ง2 โ 4๐2]
(3.137)
Y sustituirla en (3.136). Lo que se obtiene es lo siguiente:
๐น(๐ง) =1
2๐ [(๐ง + โ๐ง2 โ 4๐2) ๐โ๐๐ผ +
๐ 2
๐2(๐ง โ โ๐ง2 โ 4๐2) ๐๐๐ผ]
โ๐๐ค
2๐๐๐ [(๐ง + โ๐ง2 โ 4๐2) ๐โ๐๐ผ]
(3.138)
Esta fรณrmula corresponde al flujo de un fluido perfecto, uniforme que incide sobre un obstรกculo cilรญndrico de secciรณn recta elรญptica, con velocidad U, a un รกngulo de ataque ฮฑ y con una circulaciรณn ฮ. La velocidad compleja en este caso es:
๐(๐ง) =1
2๐ [(1 +
๐ง
โ๐ง2 โ 4๐2) ๐โ๐๐ผ +
๐ 2
๐2(1 โ
๐ง
โ๐ง2 โ 4๐2) ๐๐๐ผ] โ
๐๐ค
2๐
1
โ๐ง2โ4๐2
(3.139)
Desarrollando las exponenciales imaginarias de acuerdo con el teorema de Moivre y agrupando convenientemente lo tรฉrminos, se obtiene a partir de (3.139) lo siguiente:
๐(๐ง) =1
2๐ [(1 +
๐ 2
๐2)๐๐๐ ๐ผ โ ๐ (1 โ๐ 2
๐2)๐ ๐๐๐ผ]
+๐ง๐
2โ๐ง2 โ 4๐2[(1 โ
๐ 2
๐2)๐๐๐ ๐ผ โ ๐ (1 +๐ 2
๐2)๐ ๐๐๐ผ] โ๐๐ค
2๐
1
โ๐ง2โ4๐2
(3.140)
Usando las definiciones dadas en (3.134a) y (3.134b) para los ejes mayor y menor de la elipse, es posible simplificar un poco el resultado (3.140); en efecto, se le puede expresar asรญ:
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
81
๐(๐ง) =1
2๐
๐
๐2[๐ด๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ต๐ ๐๐๐ผ] โ
๐ง๐
โ๐ง2 โ 4๐2
๐
2๐2[๐ต ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ด๐ ๐๐๐ผ] โ
๐๐ค
2๐
1
โ๐ง2 โ 4๐2
(3.141)
Y para facilitar aun mรกs el manejo algebraico de la velocidad compleja dada en (3.141) se usarรกn las siguientes definiciones: sean
๐ โก๐
2๐2[๐ด ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ต ๐ ๐๐ ๐ผ]
(3.142)
๐ โก๐
2๐2[๐ต ๐๐๐ ๐ผ + ๐ ๐ด ๐ ๐๐ ๐ผ]
(3.143)
Entonces
๐(๐ง) = ๐ [๐ โ๐ง
โ๐ง2 โ 4๐2๐] โ
๐๐ค
2๐
1
โ๐ง2 โ 4๐2
(3.144)
Los puntos de estancamiento, como siempre, son aquellos valores de la variable compleja, zs, para los cuales, la velocidad compleja es igual a cero. En este caso, esos puntos, de acuerdo con (3.144) son: aquellos, para los cuales se cumple que:
๐ โ๐๐ง๐
โ๐ง๐ 2 โ 4๐2
=๐๐ค
2๐๐โ๐ง๐ 2โ4๐2
O bien, despejando:
๐โ๐ง๐ 2โ4๐2 = ๐๐ง๐ +
๐๐ค
2๐๐
Suponiendo que los efectos de la circulaciรณn son pequeรฑos, se eleva al cuadrado:
๐2(๐ง๐ 2โ4๐2) = ๐2๐ง๐
2 + ๐๐๐ค
๐๐๐ง๐ โ
๐ค2
4๐2๐2
O bien:
(๐2 โ ๐2)๐ง๐ 2 โ
๐๐๐ค
๐๐๐ง๐ +
๐ค2
4๐2๐2โ4๐2๐2 = 0
Resolviendo para ๐ง๐
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
82
๐ง๐ =๐๐
2( ๐2 โ ๐2) [
๐๐ค
๐๐ ยฑ ๐ โ16๐2 โ ( ๐2 โ ๐2) โ
๐ค2
๐2๐2]
(3.145)
Ahora que se ha obtenido un resultado concreto para la ubicaciรณn de los puntos de estancamiento, hay que emprender el camino de regreso; es necesario recordar de (3.142) y (3.143) el significado de los coeficientes P y Q en tรฉrminos de los parรกmetros del cuerpo. Ademรกs se puede ver con facilidad que:
(๐2 โ ๐2) โก๐ 2
4๐4 [(๐ด๐๐๐ ๐ผ โ ๐ต๐ ๐๐๐ผ )2โ (๐ต๐๐๐ ๐ผ โ ๐ด๐ ๐๐ ๐ผ)2] =
๐ 2
4๐4 (๐ด2 โ ๐ต2 )
= ๐ 2
4๐4 (๐ด2 โ ๐ต2)
(3.146)
Y como A y B estรกn definidos por (3.134a) y (3.134b), respectivamente, entonces
๐ด2 โ ๐ต2 =๐ 2
4๐4 [(๐ +
๐2
๐ )
2
โ (๐ โ ๐2
๐ )
2
] =๐ 2
๐2
(3.147)
Por lo tanto, regresando a (3.145); incorporando en ese resultado las definiciones (3.142), (3.143) y el que se obtuvo en (3.147) se obtiene:
๐ง๐ =๐๐ค
4๐ ๐๐ [ (๐ต๐๐๐ ๐ผ + ๐๐ด๐ ๐๐๐ผ ) ยฑ (๐ด๐๐๐ ๐ผ + ๐๐ต๐ ๐๐๐ผ )โ1 โ
๐ค2
16๐2๐ 2๐2]
(3.148)
Finalmente, recordando que ๐๐ = ๐๐ + ๐๐๐, donde ๐๐ representa a las abscisas de los puntos de estancamiento y ๐๐ a las ordenadas, se puede separar la expresiรณn anterior en su parte real y su parte imaginaria y se consigue el resultado siguiente:
๐ฅ๐ = โ๐ค๐ด
4๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ผ ยฑ โ1 โ (
๐ค2
16๐2๐ 2๐2) ๐ด๐๐๐ ๐ผ
(3.149a)
๐ฆ๐ =๐ค๐ต
4๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ผ ยฑ โ1 โ (
๐ค2
16๐2๐ 2๐2) ๐ต๐ ๐๐๐ผ
(3.149a)
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
83
Finalmente, si se recuerdan los resultados (3.132) donde se describen las coordenadas cartesianas de la elipse en funciรณn de las coordenadas polares, los punto de estancamiento (3.149) se pueden describir igualmente en coordenadas polares, usando esas fรณrmulas; lo que se obtiene es lo siguiente:
cos ฮฒs = โ๐ค
4๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ผ ยฑ โ1 โ
๐ค2
16๐2๐ 2๐2 ๐๐๐ ๐ผ
(3.150a)
sen ฮฒs =๐ค
4๐ ๐๐๐๐๐ ๐ผ ยฑ โ1 โ
๐ค2
16๐2๐ 2๐2 ๐ ๐๐๐ผ
(3.150b)
Donde ฮฒs es el รกngulo polar desde el origen hasta los puntos de estancamiento. Pero hay que dejar estas fรณrmula en tรฉrminos de los parรกmetros de la elipse; asรญ, la excentricidad se define como la relaciรณn de los semiโejes menor a mayor.
ฯต โกB
A
(3.151)
Asรญ que, de acuerdo con (3.151), (3.134a) y (3.134b)
ฯต โก๐ (1 โ
๐2
๐ 2)
๐ (1 +๐2
๐ 2)=
๐2
๐ 2 (1 + ฯต) = (1 โ ฯต)
(3.152)
๐ = Rโ1 โ ๐
1 + ๐
(3.153)
Aunque los resultados anteriores han quedado expresados en funciรณn de las condiciones de ataque del fluido sobre el cuerpo de secciรณn recta elรญptica, como son su velocidad U y el รกngulo de ataque ฮฑ y tambiรฉn, de los parรกmetros propios de la elipse, como su excentricidad ฯต y su semiโeje mayor A, aun ha quedado sin definir cuรกl debe ser la circulaciรณn ฮ que resuelva definitivamente este problema. Esto puede resolverse tambiรฉn si se acepta la llamada โcondiciรณn de Kuttaโ. Esta expresa que el punto de estancamiento
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
84
posterior debe estar situado justamente en el vรฉrtice del cuerpo. Este punto corresponde aquรญ al punto (A, 0) como se ve en la figura 3.17. En este punto el valor que tiene el รกngulo polar es:
ฮฒs = 0
FIGURA 3.17. La condiciรณn de Kutta establece que el punto de estancamiento posterior debe estar situado en (A,0).
asรญ que
cos ฮฒs = 1 (3.155)
sen ฮฒs = 0 Usando la condiciรณn de Kutta en (3.154b) se encuentra que para un valor del รกngulo ฮฑ que no sea igual a ฯ
2โ , el tรฉrmino en el parรฉntesis
rectangular debe ser nulo; esto significa que:
1 = โ๐ค
4๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐ผ ยฑ โ1 โ
๐ค2
16๐2๐ 2๐2 ๐๐๐ ๐ผ
(3.156a)
0 =๐ค
4๐ ๐๐๐๐๐ ๐ผ ยฑ โ1 โ
๐ค2
16๐2๐ 2๐2 ๐ ๐๐๐ผ
(3.156b)
Elevando al cuadrado a (3.156b) se tiene:
๐ค2
16๐2๐ 2๐2๐๐๐ 2๐ผ ยฑ (1 โ
๐ค2
16๐2๐ 2๐2) ๐ ๐๐2๐ผ = 0
๐ค2
16๐2๐ 2๐2 (๐๐๐ 2 ๐ผ + ๐ ๐๐2๐ผ) = ๐ ๐๐2๐ผ
De donde, despejando a la ฮ se obtiene:
Capitulo 3 Mecรกnica de Fluidos
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
85
ฮ = 4ฯRUsen ฮฑ (3.157)
Pero de (3.153)
๐ = Rโ1 โ ๐
1 + ๐
๐ 2 = ๐2 (1 โ ๐
1 + ๐)
R = ๐โ(1 โ ๐
1 + ๐)
Sustituyendo en (3.157)
ฮ = 4ฯU๐โ(1 โ ๐
1 + ๐) sen ฮฑ
(3.158)
Obteniendo asi la circulaciรณn del flujo que remonta la elipse, el signo positivo de la circulaciรณn que aparece en la fรณrmula (3.158) significa que para este caso, la circulaciรณn del fluido a remontar el obstรกculo, en sentido directo; es decir, en el sentido contrario de las manecillas del reloj, tal como se ha indicado en la figura 3.17.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
86
El universo no tiene lรญmites, y las posibilidades
que se dan en รฉl, son en verdad inconmensurables. Asi es que no caigas preso del axioma โsolo creo lo que veoโ
Porque es la postura mas tonta que se puede adoptar Don juan.
Carlos Castaneda
CAPรTULO 4
DINรMICA DE LA ACTITUD DE UN AEROGENERADOR
DE EJE HORIZONTAL
4.1 DINรMICA DE LA ACTITUD La orientaciรณn de un cuerpo en el espacio, en este caso un aerogenerador, esta descrita por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales, las cuales es necesario integrar a fin de conocer la cantidad de movimiento angular (momento angular) y la orientaciรณn (actitud) del cuerpo respecto a los dos sistemas de referencia: tres ejes coordenados fijos al cuerpo y otros tres ejes fijos en el espacio. Esta parametrizaciรณn se logra mรฉdiate el uso de ciertos angulos, la matriz de rotaciรณn y una matriz anti simรฉtrica llamada ฮฉ que representa la velocidad angular del cuerpo
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
87
El cuerpo externo de un aerogenerador de eje horizontal puede verse como un cuerpo rรญgido, oblongo, oblato, con un punto de apoyo, a barlovento con respecto al flujo de aire, como se muestra en la figura 4.1.
FIGURA 4.1 Esquema de un aerogenerador de eje horizontal a barlovento.
Como resultado de la acciรณn del viento sobre las palas, se genera un movimiento de rotaciรณn sobre ellas. Este movimiento activa un generador elรฉctrico interconstruido y asรญ se produce la electricidad. Pero el viento ejerce tambiรฉn otra acciรณn sobre este artefacto. Se trata de una fuerza aerodinรกmica que el fluido provoca en la superficie de la carcasa del aerogenerador, asi como una torca que tiende a hacerlo girar. El cambio de orientaciรณn de este cuerpo debido al viento se conoce como el โel cambio de la actitud del aerogeneradorโ.
En este trabajo se investiga el cambio de la actitud de un aerogenerador de eje horizontal, debido a la acciรณn del viento sobre su carcasa o gรณndola.
4.1.1 FUERZAS Y TORCAS
De acuerdo con la mecรกnica del cuerpo rรญgido, un cuerpo que pivotea alrededor de
un punto fijo tiene una cantidad de momento angular ๐ณ . Para calcularla se puede imaginar a ese cuerpo como si estuviera constituido por pequeรฑos elementos diferenciales de masa ๐ ๐, como se muestra en la figura (2.10). Dicho de otra manera, si se quiere encontrar el momento angular de todo el cuerpo se tiene que integrar las ecuaciones diferenciales en (2.37), ya que cualquier cuerpo material en el espacio euclideo de tres dimensiones cumple con:
= (4.1)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
88
donde es la torca o momento de la fuerza que actรบa sobre el cuerpo, definida como:
= ๐ ๐ฅ
(4.2)
Siendo la fuerza neta total que actรบa sobre รฉl.
FIGURA 4.2 Posiciรณn relativa instantรกnea del aerogenerador con respecto, al sistema fijo en el espacio. La direcciรณn del viento coincide (pero en sentido opuesto) con el eje OX. El cuerpo se encuentra apoyado en P.
Continuando con el cรกlculo, se hacen nuevamente ciertas consideraciones, en donde la gรณndola del aerogenerador es un sรณlido que presenta generalmente una distribuciรณn axisimรฉtrica de masa, esto es, por la forma como se distribuyen en su interior sus diversos componentes y por la forma elipsoidal de su fuselaje; en tanto, se puede suponer que dos de sus momentos de inercia principales son iguales.
๐ผ1 ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ผ2 ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
๐ผ3 ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
entonces
๐ผ2 = ๐ผ3 = ๐ผ
๐ผ1 = ๐ผ0
(4.3)
Por otra parte, el punto de apoyo del aerogenerador es aquel donde llega la torre. En la figura ese punto estรก marcado como P (ver figura 4.2). Desde el sistema fijo al cuerpo, el punto P es aquel cuyo radio vector desde el origen en el centro de masa del mismo es:
๐โฒ = โ๐00โ
(4.4)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
89
La fuerza que actรบa sobre este artefacto, desde el sistema de coordenadas fijo en el espacio es:
๐น โก ๐น๐ฟ + ๐น๐ด
+ ๐น๐ (4.5)
Donde ๐น๐ฟ es el Levantamiento, ๐น๐ด
es el arrastre y ๐น๐ es el peso del aparato o gรณndola, este se aplica en su centro de masa desde este sistema de coordenadas fijo en el espacio. Como se muestra en la figura 4.3.
๐น๐ฟ = โ
00๐น๐ฟ
โ
(4.6)
Donde ๐น๐ฟ , tambiรฉn actรบa en el centro de masa y estรก dirigida paralelamente al eje de las cotas en
sentido positivo o negativo; es decir que desde el sistema fijo al cuerpo, donde esta fuerza viene dada en (3.108)
๐น๐ฟ
โฒ= โ
00
๐๐ขฮ๐๐๐ ๐โ
(4.7)
Siendo ๐ y ๐ la densidad y la magnitud de la velocidad del viento supuestas constantes. Ademรกs ฮ(ฮธ) representa la circulaciรณn de un flujo que envuelve a la carcasa elรญptica del aerogenerador. Si el รกngulo que tiene el viento (รกngulo de ataque) es ๐ผ, constante, con relaciรณn al eje Ox del sistema fijo al cuerpo, entonces, desde el sistema fijo en el cuerpo es ๐ผ + ๐ y tomando la consideraciรณn de Kutta (3.158), es :
ฮ = 4ฯU๐โ(1 โ ๐
1 + ๐) sen ฮฑ
(4.8)
FIGURA 4.3. Esquema donde se muestra la fuerza ๐น๐ฟ
que es la de levantamiento, La fuerza ๐น๐ด de arrastre, la masa y la
gravedad, desde el centro de masa CM.
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
90
La Fuerza de arrastre ๐น๐ด, estรก dirigida en el eje de las abscisas del cuerpo y su sentido es opuesto
al viento. Si se considera que la carcasa tiene la forma de un elipsoide de revoluciรณn, de acuerdo con la ley integral de Blasius, debe ser nula, Aquรญ se aceptara este valor.
Es necesario considerar al peso; es decir la fuerza debida a la gravedad; ๐น๐ desde el sistema inercial fijo en el espacio, esta fuerza es
๐น๐ = โ00
โ๐๐โ
(4.8)
Por lo tanto la Fuerza del peso que actรบa sobre el cuerpo se obtiene al multiplicar (2.27) y (4.8) encontrando las componentes de la gravedad en el sistema fijo al cuerpo.
๐น๐ โฒ= โ โ ๐น๐ = = โ
๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐โ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ 0
โ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ โ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐โ โ
00
โ๐๐โ = โ
โ๐๐๐ ๐๐๐0
โ๐๐๐๐๐ ๐โ
(4.9)
Por lo tanto la fuerza aplicada neta total, del aerogenerador desde el sistema fijo en el cuerpo es:
๐น ๐๐๐โฒ = ๐น๐ฟ
โฒ+ ๐น๐
โฒ= โ
โ๐๐๐ ๐๐๐0
๐๐ขฮ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐โ
(4.10)
Y sus componentes son:
๐น๐ฅโฒ = โ๐๐๐ ๐๐๐ (4.10a)
๐น๐ฆโฒ = 0 (4.10b)
๐น๐งโฒ = ๐๐ขฮ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐ (4.10c)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
91
Finalmente, es posible calcular la torca neta total sobre este cuerpo en la descripciรณn del sistema coordenado fijo a รฉl. Para encontrar la torca, de (4.2) se tiene:
= ๐ x
de (4.4) se ve que, ๐โฒ es:
๐โฒ = โ๐00โ
Donde ๐๐๐โฒ es la torca neta total del aerogenerador con respecto al cuerpo. Sustituyendo en
(4.2) se tiene:
๐๐๐โฒ = โฒ๐ฅ ๐น ๐๐๐
โฒ = โ๐ ๐ ๐ 0 0๐น๐ฅ
โฒ ๐น๐ฆโฒ ๐น๐ง
โฒโ= โ๐๐๐น๐ง
โฒ
(4.11)
๐๐๐โฒ = โ๐๐(๐๐ขฮ๐๐๐ ๐ โ ๐๐๐๐๐ ๐)
(4.12)
๐ดsi que de acuerdo con (4.12) las componentes de la torca son:
๐๐ฅโฒ = 0 (4.13a)
๐๐ฆโฒ = ๐๐๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐ขฮ0๐๐๐๐ ๐ (4.13b)
๐๐งโฒ = 0 (4.13c)
Es decir la รบnica componente no_ nula de la torca es ๐๐ฆ
โฒ .
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
92
4.1.2. LAS ECUACIONES DE EULER
Si en (2.43) se sustituye (4.1), se encuentran las cรฉlebres ecuaciones de Euler que permite estudiar los pivoteos de cualquier cuerpo rรญgido alrededor de un punto fijo en el espacio.
= ๐ โ + ๐ฑ (๐ โ ๐ )
(4.14)
Estas ecuaciones son las que vinculan las causas de las torcas con los efectos que ellas provocan en los cuerpos que se encuentran en cierto estado inicial de rotaciรณn. Escribiendo la ecuaciรณn anterior en sus componentes vectoriales, en el sistema de ejes principales,
๐๐ฅโฒ = ๐ผ1๐ฅ + ( ๐ผ3 โ ๐ผ2)๐ค๐ฆ๐ค๐ง (4.14a)
๐๐ฆโฒ = ๐ผ2๐ฆ + ( ๐ผ1 โ ๐ผ3)๐ค๐ฅ๐ค๐ง (4.14b)
๐๐งโฒ = ๐ผ3๐ง + ( ๐ผ2 โ ๐ผ1)๐ค๐ฅ๐ค๐ฆ (4.14c)
donde ๐ผ1, ๐ผ2, ๐ ๐ผ3 son los momentos de inercia del cuerpo, con respecto a OX, OY y OZ respectivamente, cuando estos son los ejes principales del cuerpo. Recordando el caso que aquรญ interesa, donde el cuerpo del aerogenerador es simรฉtrico axilmente, con respecto a su eje OX y los momentos de inercia alrededor de OY y OZ son iguales, las ecuaciones de Euler para el aerogenerador de eje horizontal son las siguientes de acuerdo a (4.3) y (4.13a),(4.13b),(4.13c).
0 = ๐ผ0๐ฅ (4.15a) ๐๐ฆ
โฒ = ๐ผ๐ฆ + ( ๐ผ0 โ ๐ผ)๐ค๐ฅ๐ค๐ง (4.15b)
0 = ๐ผ๐ง โ ( ๐ผ0 โ ๐ผ)๐ค๐ฅ๐ค๐ฆ (4.15c)
De (4.15 a) aparece de inmediato un primer resultado importante: ๐ค๐ฅ = ๐ (๐๐ก๐) (4.16)
Haciendo uso de la expresiรณn (2.49a), este resultado significa que:
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
93
๐ค๐ฅ โก ๐ ๐๐๐ = ๐ (4.17)
O tambiรฉn, que
=๐
๐ ๐๐๐ (๐ โ 0)
(4.18)
Asรญ que el cabeceo del aerogenerador esta acoplado con su movimiento en el รกngulo azimutal. Esta condiciรณn va a ser de gran utilidad mรกs adelante. Por otra parte, las ecuaciones diferenciales de Euler (4.15a), (4.15b) y (4.15c) se pueden escribir de una forma sugestiva como:
๐ผ0๐
๐๐ก( ๐ ๐๐๐) = 0
(4.19a)
๐ผ๐
๐๐ก+ ( ๐ผ0 โ ๐ผ)2๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ = ๐๐๐๐๐๐ ๐ โ ๐๐ขฮ๐๐๐๐ ๐๐ง
(4.19b)
๐ผ๐
๐๐ก(๐๐๐ ๐) โ ( ๐ผ0 โ ๐ผ)๐ ๐๐๐ = 0
(4.19c)
4.2 LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ACTITUD DE UN AEROGENERADOR DE EJE HORIZONTAL
4.2.1 LA VELOCIDAD ANGULAR
De acuerdo con lo que se estableciรณ en el capitulo 2, las componentes de la velocidad angular del aerogenerador de eje horizontal, son las siguientes desde el sistema coordenado fijo al cuerpo:
๐ค๐ฅ = ๐ ๐๐ ๐ (2.46a)
๐ค๐ฆ = (2.46b)
๐ค๐ง = ๐๐๐ ๐ (2.46c)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
94
FIGURA 4.4. Esquema donde se muestra la fuerza ๐น๐ฟ que es la de levantamiento,
la masa y la gravedad, desde el centro de masa CM. La circulaciรณn y las distancias para encontrar la fuerza total neta con respecto al cuerpo.
De donde integrando la primera ecuaciรณn (4.19a) se obtiene:
๐ค๐ฅ โก ๐ ๐๐๐ = ๐ (4.17)
Pero recordando la primera componente de la velocidad angular del cuerpo en tรฉrminos de los รกngulos de Euler, se ve que debe cumplirse:
=๐
๐ ๐๐๐
(4.18)
(๐ โ 0)
Ya que la componente x de la Torca es nula. Esto se ve si se acepta que desde el sistema de coordenadas fijo en el espacio
= ๐น๐ง ๐น๐ง = ๐๐ขฮ โ ๐๐
(4.20)
De manera que, desde el sistema fijo en el cuerpo
๐น๐งโฒ = ๐โฒ๐น๐ง ๐ ๐๐๐ โ โฒ๐น๐ง ๐๐๐ ๐ (4.21)
Y la torca:
๐๐๐โฒ = ๐โฒ๐ฅ ๐๐๐
โฒ = โ๐โฒ ๐โฒ โฒ
๐ 0 0๐น๐ง ๐ ๐๐๐ 0 ๐น๐ง ๐๐๐ ๐
โ= โ๐โฒ๐น๐ง๐๐๐๐ ๐
(4.22)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
95
4.2.2 LAS FUERZAS
De acuerdo con (4.10), las componentes de la fuerza que actรบa sobre el aerogenerador, desde el sistema coordenado fijo al cuerpo son las siguientes:
๐น๐ฅ
โฒ = ๐น๐ง๐ ๐๐๐ (4.10aยด) ๐น๐ฆ
โฒ = 0 (4.10bยด)
๐น๐งโฒ = ๐น๐ง ๐๐๐ ๐ (4.10cยด)
4.2.3 LA TORCA. Por lo tanto, la torca que actรบa sobre el aerogenerador medida desde el sistema fijo al cuerpo es:
๐๐ฅโฒ = 0 (4.23a)
๐๐ฆโฒ = โ๐น๐ง ๐๐๐๐ ๐ (4.23b)
๐๐งโฒ = 0 (4.23c)
es decir, sรณlo hay una componente no nula de la torca. Esta componente tiende a hacer girar al aerogenerador alrededor de su eje de las ordenadas.
4.2.4 LAS ECUACIONES DE EULER.
Tomando en cuenta que ๐ผ2 = ๐ผ3 = ๐ผ, en tanto que ๐ผ1 = ๐ผ0 debido a la simetrรญa del aerogenerador y que รบnicamente una componente de la torca es no-nula, las ecuaciones de Euler ahora son las siguientes:
๐ผ0๐
๐๐ก( ๐ ๐๐๐) = 0
(4.24a)
๐ผ๐
๐๐ก+ ( ๐ผ0 โ ๐ผ)2๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ = โ๐น๐ง ๐๐๐๐ ๐
(4.24b)
๐ผ๐
๐๐ก(๐๐๐ ๐) โ ( ๐ผ0 โ ๐ผ)๐ ๐๐๐ = 0
(4.24c)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
96
Pero de acuerdo con (4.17), (4.24b) y (4.24c) se simplifican de la siguiente manera
+ ( ๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ) ๐๐๐๐ ๐ = โ
๐น๐ง๐
๐ผ๐๐๐ ๐
(4.25b)
๐
๐๐ก(๐๐๐ ๐) = (
๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ) ๐
(4.25c)
Derivando (4.25b) con respecto al tiempo
๐ + ( ๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ) ๐
๐
๐๐ก(๐๐๐ ๐) =
๐น๐ง๐
๐ผ๐ ๐๐๐
y sustituyendo en (4.25c)
(4.26)
๐ + ( ๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ๐)
2
=๐น๐ง๐
๐ผ๐ ๐๐๐
reescribiendo 4.27
(4.27)
๐2
๐๐ก2+ (
๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ๐)
2
=๐น๐ง๐
๐ผ๐ ๐๐๐
(4.28)
La ecuaciรณn diferencial (4.28) es una de esas ecuaciones que tiene una infinidad de soluciones posibles, pero algunas veces el resultado no es una soluciรณn lรณgica con la fisica, es por esa razรณn que se debe buscar la soluciรณn que satisfaga el sistema. Sean
๐ด โก ๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ๐ ๐ฆ ๐ต โก
๐น๐ง๐
๐ผ
(4.29)
La ecuaciรณn (4.28) por resolver es:
๐2
๐๐ก2โก
๐
๐๐กโก ๐ = (๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2)
(4.30)
Si se supone que, por regla de la cadena
๐
๐๐กโก
๐
๐๐
(4.31)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
97
entonces:
๐
๐๐= (๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2)
(4.32)
Por lo tanto;
๐ = (๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2)๐๐ โก ๐๐(๐)
๐๐ ๐๐
(4.33)
donde:
๐๐(๐)
๐๐โก (๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2)
(4.34)
asi que integrando:
(๐ก) = 0 + โซ (๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2)๐
๐0
๐๐ = 0 โ [๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2๐] ๐๐0
(4.35)
y en consecuencia:
(๐ก) = ๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 + 0 โ (๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 ) (4.36)
Siendo ๐ฝ๐ y ๐ el angulo y su aceleracion medidos en ๐๐, ellos son todos constantes. Por otro lado, se denotarรก en adelante como una sola constante a ฮฉ0 como:
ฮฉ0 = ๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 + 0 (4.37) entonces:
(๐ก) = ฮฉ0 โ (๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 ) (4.38)
Ahora, multiplรญquese por toda la expresiรณn anterior:
(๐ก) โก๐
๐๐ก (
1
22) = ฮฉ0 โ (๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 )
(4.39)
o ๐2 โก 2[ ฮฉ0 โ (๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 )]๐๐ (4.40)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
98
Integrando
2(๐ก) = 02+ 2 ฮฉ0(๐ โ ๐0) โ 2๐ต(๐ ๐๐๐ โ ๐ ๐๐๐0 ) โ ๐ด2(๐2 โ ๐0
2) (4.41)
Nuevamente sea:
๐ถ2 = 02โ 2 ฮฉ0๐0 + 2๐ต๐ ๐๐๐0 + ๐ด2๐0
2 ๐๐๐๐ ๐ก๐๐๐ก๐ (4.42)
Entonces:
2(๐ก) = ๐ถ2 + 2 ฮฉ0๐ โ 2๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2๐2 (4.43)
Por lo tanto:
(๐ก) = ยฑ โ๐ถ2 + 2 ฮฉ0๐ โ 2๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2๐2 (4.44)
Y esta expression se puede escribir como una cuadratura:
๐ก โ ๐ก0 = ยฑโซ๐๐
โ๐ถ2 + 2 ฮฉ0๐ โ 2๐ต๐ ๐๐๐ โ ๐ด2๐2
๐
๐0
(4.45)
Esta es una integral eliptica del tercer tipo. Lo mejor que se puede hacer para resolverla es suponer que el angulo de nutaciรณn que barre el A.G. es pequeรฑo; es decir que se puede aceptar la aproximaciรณn
๐ ๐๐๐ โ ๐
(4.46)
Con esta, es posible escribir el radical en el denominador como:
๐ก โ ๐ก0 = ยฑโซ๐๐
โ๐ถ2 + 2 (ฮฉ0 โ ๐ต)๐ โ ๐ด2๐2
๐
๐0
(4.47)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
99
๐ก โ ๐ก0 = ยฑโซ๐๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด2 )2
โ ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด2 )2
+ 2 (ฮฉ0 โ ๐ต)๐ โ ๐ด2๐2
๐
๐0
(4.48)
๐ก โ ๐ก0 = ยฑโซ๐๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด2 )2
โ ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด2 โ ๐ด๐ )2
๐
๐0
(4.49)
๐ก โ ๐ก0 = ยฑโซ๐๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด2 )2
โ1 โ
(
ฮฉ0 โ ๐ต๐ด โ ๐ด๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด)2
)
2
๐
๐0
(4.50)
Ahora es momento de hacer una transformaciรณn de variable; sea:
๐ข =
ฮฉ0 โ ๐ต๐ด
โ ๐ด๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด )2
๐๐ข =โ๐ด๐๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด )2
(4.51)
Por lo tanto; la cuadratura anterior se convierte en:
๐ก โ ๐ก0 = ยฑ1
๐ดโซ
๐๐ข
โ1 โ ๐ข2
๐
๐0
(4.52)
Eligiendo el signo menos
๐ก โ ๐ก0 = ยฑ1
๐ด[๐๐๐ โ1๐ข]
๐ข๐ข0
(4.53)
Asi mismo, se puede escoger el valor de ๐ข0 como igual a la unidad, de manera que
๐๐๐ โ1๐ข0 = 0
(4.54)
๐ข0 = cos 0 = 1
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
100
Despejando:
๐ด(๐ก โ ๐ก0) = ๐๐๐ โ1๐ข
๐ข = cos๐ด(๐ก โ ๐ก0) (4.55)
Entonces, sustituyendo (4.51) en (4.55):
ฮฉ0 โ ๐ต๐ด
โ ๐ด๐
โ๐ถ2 + ( ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด)2
= cos๐ด(๐ก โ ๐ก0)
(4.56)
Despejando entonces a ๐, se tiene:
๐ฝ(๐) = ๐๐ โ ๐ฉ
๐จ๐ [๐ โ โ๐ + (
๐ช
๐๐ โ ๐ฉ)๐
๐๐จ๐ฌ๐จ(๐ โ ๐๐)]
(4.57)
Para apreciar mucho mejor esta soluciรณn, se harรกn las siguientes consideraciones:
๐ = ฮฉ0 โ ๐ต
๐ด2
(4.58)
๐ = โ1 + (๐ถ
ฮฉ0 โ ๐ต)2
(4.59)
๐ = ๐ด (4.60)
๐ฝ(๐) = ๐ [๐ โ ๐๐๐๐๐๐] (4.61)
Rercordando que ๐ฝ es el รกngulo de cabeceo se puede ver que graficando la soluciรณn anterior se encuentra:
๐(0) = ๐ [1 โ ๐๐๐๐ (0)] = ๐(1 โ ๐)
๐(๐ 2โ ) = ๐ [1 โ ๐๐๐๐ (๐ 2โ )] = ๐
๐(๐) ๐ [1 โ ๐๐๐๐ (๐)] = ๐(1 + ๐)
๐(3๐2โ ) ๐ [1 โ ๐๐๐๐ (3๐
2โ )] = ๐
๐(2๐) ๐ [1 โ ๐๐๐๐ (2๐)] = ๐(1 โ ๐)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
101
FIGURA 4.5. Grafica del cabeceo en el aerogenerador deacuerdo a la soluciรณn (4.61)
Analizando a ฮฉ0 de (4.37), en donde la aceleraciรณn inicial de la gรณndola es cero, por esta
consideraciรณn 0 = 0, por lo tanto se tiene:
ฮฉ0 = ๐ต๐๐๐ ๐0 + ๐ด2๐0 (4.62)
Si se recuerda la la serie del coseno, y se supone que los angulos son pequeรฑos, los terminos de sergundo orden resultan despreciables, asi se obtiene:
ฮฉ0 = ๐ต + ๐ด2๐0 (4.63)
Analizando a la siguiente constante C2 de (4.42) y , recordando la consideracion (4.46) y proponiendo que la velocidad inicial del movimiento de la gondola del aerogenerador sea
cero, esto es 0 = 0, esto es:
๐ถ2 = โ2 ฮฉ0๐0 + 2๐ต๐ ๐๐๐0 + ๐ด2๐02 (4.64)
Encontrando que:
๐ถ2 = โ2(๐ต + ๐ด2๐02)๐0 + 2๐ต๐0 + ๐ด2๐0
2 (4.65)
๐ถ2 = โ2๐ด2๐0
2 + ๐ด2๐02 = โ๐ด2๐0
2 (4.66)
Entonces: la constante ๐ถ
ฮฉ0โ๐ต que se encuentra dentro de la raรญz b de (4.59) queda:
๐ถ
ฮฉ0 โ ๐ต= โ
1
๐ด
(4.67)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
102
Regresando a la ecuaciรณn del angulo de cabeceo (4.57) y sustituyendo el valor de las constantes:
๐(๐ก) =๐ด2๐0
๐ด2 [1 โ โ1 โ (
1
๐ด)2
cos๐ด(๐ก โ ๐ก0)]
(4.68)
Finalmente, sustituyendo el valor de la constante A dada en la ecuaciรณn (4.29) se encuentra:
๐ฝ(๐) = ๐ฝ๐
[
๐ โโ
๐ +๐
(๐ฐ
๐ฐ๐ โ ๐ฐ)๐
๐๐
๐๐จ๐ฌ ( ๐ฐ๐ โ ๐ฐ
๐ฐ) ๐๐
]
(4.69)
Con la soluciรณn (4.69), se encuentra el รกngulo de nutaciรณn o cabeceo del aerogenerador, notese que estรก en funciรณn del รกngulo de posiciรณn inicial en el cabeceo, de los momentos de inercia, de la fuerza de levantamiento, del peso de la gรณndola descritas en (4.10), y simplificadas en (4.29), tambiรฉn es una funciรณn de una constante k que debe suponerse como una constante igual a uno, esto signifca que el resultado es solo una escala de k, y de una frecuencia coseno, claro, todo esto en funciรณn del tiempo. Esto significa que; el รกngulo de nutaciรณn o cabeceo de la gรณndola del aerogenerador, se moverรก mediante la funciรณn ๐(๐ก) y nutarรก asi, hasta equiparlo con algun medio de control. Pero para encontrar el angulo de precesiรณn ๐, aun falta analizar la constante que se encuentra dentro de raรญz en el resultado anterior (4.69).
(๐ผ
๐ผ0 โ ๐ผ)2
(4.70)
Analizando la relaciรณn
๐ผ0๐ผ
> 1 (4.71)
๐ผ0๐ผ
โ 1 > 0 (4.72)
Capitulo 4 Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
103
Esto quiere decir que:
(๐ผ
๐ผ0 โ ๐ผ)๐ =
1
(๐ผ0๐ผ
โ 1) ๐ < 1
(4.73)
entonces
[๐ผ
๐ผ0 โ ๐ผ๐]
2
โช 1 (4.74)
โ1 +
1
(๐ผ
๐ผ0 โ ๐ผ)2
๐2
= [1 + (๐ผ
๐ผ0 โ ๐ผ๐)
2
]
12โ
โ 1 +1
2(
๐ผ
๐ผ0 โ ๐ผ๐)
2
(4.75)
Si se toman los elementos cuadrรกticos como despreciables, la ecuaciรณn (4.69) queda:
๐ฝ(๐) = ๐ฝ๐ [๐ โ ๐๐จ๐ฌ ( ๐ฐ๐ โ ๐ฐ
๐ฐ)๐๐]
(4.76)
Para encontrar la velocidad de precesiรณn , se retoma de la ecuacion (4.18) y con la
consideraciรณn (4.46):
=๐
๐(๐ก)
(4.77)
Sustituyendo el resultado (4.76) en (7.77)
=๐
๐0 [1 โ cos ( ๐ผ0 โ ๐ผ
๐ผ ) ๐๐ก]
(4.78)
Encontrando asi la velocidad de precesiรณn y recordando que la constante k=1, Integrando se
obtiene finalmente:
๐(๐) = โ๐ฐ
(๐ฐ๐ โ ๐ฐ)๐ฝ๐ [
๐ + ๐๐จ๐ฌ ( ๐ฐ๐ โ ๐ฐ
๐ฐ )๐๐
๐ฌ๐๐ง( ๐ฐ๐ โ ๐ฐ
๐ฐ)๐๐
]
(4.79)
El resultado (4.76), junto con (4.79), constituyen las dos expresiones con las cuales queda descrita la conducta del aerogenerador; es decir, su actitud, ante el flujo de viento que incide sobre รฉl.
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
104
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
El objetivo de esta tesis ha sido la descripciรณn de la actitud de un aerogenerador de eje
horizontal; entendida como la orientaciรณn que presenta ante el flujo de aire, cuando รฉste remonta
su cuerpo. Esa descripciรณn se ha hecho, sobre la base de la mecรกnica clรกsica y particularmente
fundamentada en la llamada dinรกmica del cuerpo rรญgido. Ademรกs, se ha aplicado a este trabajo el
conocimiento sobre la dinรกmica de fluidos. Tal objetivo se ha cumplido.
Ahora es posible saber que un objeto como la gรณndola de un aerogenerador de eje horizontal,
presenta dos tipos de movimientos, como respuestas al embate del viento: por una parte, exhibe
una tendencia a girar en forma armรณnica alrededor de su eje vertical realizando un movimiento
de guiรฑada o precesion hacia la izquierda o hacia la derecha de la direcciรณn de incidencia
instantรกnea del viento. Por otra parte, presenta un cabeceo, alrededor de su eje nodal
instantรกneo. Ambos movimientos son el resultado de las fuerzas aerodinรกmicas que se generan
cuando este fluido remonta la superficie elipsoidal del cuerpo externo del aerogenerador.
Pudieron identificarse tres fuerzas aerodinรกmicas: la fuerza de levantamiento o sustentaciรณn, la
fuerza de arrastre, que es la reacciรณn que opone el aerogenerador a la acciรณn del viento y una
tercera, a la que se dio el nombre de fuerza de guiรฑada, transversal al cuerpo y que en esencia es
del mismo tipo que la de sustentaciรณn, debida a la geometrรญa elipsoidal de la gondola pero que,
para un cuerpo del aerogenerador, con simetrรญa axil, es nula. Adicional a esto, con este mismo
procedimiento se pudo mostrar que ninguna torca se genera sobre este objeto. Finalmente, se
puede apreciar en los resultados que ๐ฝ(t), es una funciรณn que depende de la geometrรญa de la
gรณndola y de la velocidad de precesiรณn, mientras que la velocidad de precesiรณn es una funciรณn
del tiempo, del angulo de cabeceo y tambiรฉn de la geometrรญa de la gรณndola. Esto quiere decir que
si se coloca una gรณndola sobre un punto fijo (torre) y se deja que el viento la envuelva, cuando
ninguna superficie de control se ha construido en este sistema, la gรณndola empezarรก a cabecear
por efectos del viento entre dos รกngulos lรญmites, ademรกs que comenzarรก a preceder tal como se
muestra en la figura (C.1).
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
105
Es por esto que se debe de instrumentar, la gรณndola del aerogenerador con superficies de control,
ya sean mecรกnicas o mediante servomecanismos programados y haciendo uso de algoritmos de
control, para poder darle la actitud correcta.
Todo este conocimiento, es de vital importancia para la construcciรณn de aerogeneradores de eje
horizontal, pues, conocidas, tanto las causas, como los efectos de los movimientos del cuerpo
alrededor de sus soportes, y con los resultados matemรกticos a los que se llega, es posible diseรฑar
elementos estructurales que lo aguanten y en su caso, medios para controlarlos.
El control de la actitud de un aerogenerador de eje horizontal es un tema que se recomienda
continuar en este trabajo, partiendo del conocimiento en esta tesis de Maestrรญa, dรกndole
continuidad a los resultados obtenidos, programando sensores o servo mecanismos que muevan
actuadores para orientar la gรณndola en un รกngulo controlado donde se aproveche el viento
incidente y aumente la eficiencia de los aerogeneradores de eje horizontal. Esto ya no se harรก
aquรญ, pues forma la esencia de otro trabajo, desarrollado por otros estudiantes de esta misma
SEPI_ESIME_IPN.
FIGURA C.1 . Esquema donde se muestran los dos รกngulos de movimiento, el de cabeceo ๐(๐ก) y el de precesiรณn ๐(๐ก) que se
presentan en el movimiento de la gรณndola de un aerogenerador, sin superficies de control.
REFERENCIAS Actitud del aerogenerador
Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
106
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Actitud de un aerogenerador de eje horizontal
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