acta latinoamericana de volumen 22
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
Volumen 22
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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMÁTICA EDUCATIVA
VOLUMEN 22 Editora:
Patricia Lestón Comité Latinoamericano de Matemática Educativa
Editores Asociados: Carlos Oropeza Legorreta, Hugo Parra Sandoval, Elizabeth Mariscal Vallarta
En la portada:
(Fotografías ganadoras del Primer Concurso de Fotografía de Matemática Educativa 2008)
Manos gráficas Silvia Cristina Tajeyan Primer Lugar, Categoría “El aula de clase de matemática”
Diseño de portada y CD: Gabriela Sánchez Téllez Juan Gabriel Molina Zavaleta
En prueba de geometría Héctor Silva Crocci Segundo Lugar, Categoría “El aula de clase de matemática”
Diseño de interiores: José Francisco Canché Gómez Elizabeth Mariscal Vallarta
CICATA IPN, Legaria
Reflexión desde Casapueblo Héctor Osorio Ábrego Primer Lugar, Categoría “Memoria gráfica de la Relme”
Digitalización: Juan Gabriel Molina Zavaleta
CICATA IPN, Legaria
Edición: ©2009. Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C.
CMM 040505 IC7 Paseo de las Lomas 67. Parque Residencial Coacalco, CP 55720 Coacalco, Estado de México México
www.cmmedu.com
ISBN: 978-607-95306-00
Derechos reservados. © Comité Latinoamericano de Matemática Educativa www.clame.org.mx Se autoriza la reproducción total o parcial, previa cita a la fuente:
Lestón, P. (Ed.). (2009). Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 22. México, DF: Colegio Mexicano de Matemática Educativa A. C. y Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A. C.
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa
(CLAME) www.clame.org.mx
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Consejo Directivo
Cecilia Crespo Crespo
Presidente
Gisela Montiel Espinosa
Tesorera
Olga L. Pérez González
Secretaria
Ángela M. Martín
Vocal Caribe
Claudia M. Lara Galo
Vocal Centroamérica
Apolo Castañeda Alonso
Vocal Norteamérica
Hugo Parra Sandoval
Vocal Sudamérica
2008-
2012
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Consejo Consultivo
Egbert Agard
Ricardo Cantoral
Fernando Cajas
Guadalupe de Castillo
Evarista Matías
Rosa María Farfán
Teresita Peralta
Gustavo Martínez Sierra
Comisión de Admisión
Liliana Homilka
Leonora Díaz Moreno
Eugenio Carlos
Comisión de Promoción
Académica
Edison de Faria
Yolanda Serres
Leonora Díaz Moreno
Mayra Castillo
Javier Lezama
Comité Internacional de
Relme
Cecilia Crespo Crespo
Ángela Martín
Javier Lezama Andalón
Hugo Parra Sandoval
Olga L. Pérez González
v
Comité Científico de Evaluación
Acosta, Juan Alberto
Alberto, Malva
Aparicio, Eddie
Arcos, Ismael
Ardila, Analida
Arrieche, Mario
Arrieta, Jaime
Ávila Contreras, Jorge
Ávila Godoy, Ramiro
Beitía, Germán
Bermúdez, Gustavo
Beyer, Walter
Blanco, Haydeé
Borello, Mariangela
Buendía, Gabriela
Cabañas, María Guadalupe
Cadoche, Lilian
Cajas, Fernando
Camacho, Alberto
Cantoral, Ricardo
Carlos, Eugenio
Carrasco, Eduardo
Carrillo, Carolina
Carrillo, Hugo
Castañeda, Apolo
Castillo, Sandra
Ciancio, María Inés
Cordero, Francisco
Cortés, Carlos
Covián, Olda Nadinne
Crespo, Cecilia
Criberio,, Josefina
Dalcín, Mario
De Faria, Edison
Delgado, César
Díaz Moreno, Leonora
Dolores, Crisólogo
Engler, Adriana
Espinoza Ocotlán, Pedro M.
Farfán, Rosa María
Ferrari Escolá, Marcela
Flores Estrada, Claudia
Gaita Ipaguirre, Rosa Cecilia
García Zatti, Mónica
Grijalva, Agustín
Hernández Rodríguez, Marco
Homilka, Liliana
Ibarra Olmos, Silvia
Iglesias, Martha
Jarero Kumul, Martha
Lara Galo, Claudia
Larios Osorio, Víctor
Lestón, Patricia
Lezama Andalón, Javier
Lois, Alejandro
López Flores, José Iván
Maffey García, Silvia
Mántica, Ana María
Marcolini, Josefina Marta
Martínez, Gustavo
Milevicich, Liliana
Mingüer, Luz María
Miranda, Eduardo
Molfino, Verónica
Molina, Juan Gabriel
Montiel, Gisela
Müller, Daniela
Muñoz, Germán
Navarro, Catalina
Nesterova, Elena
Ochoviet, Teresa Cristina Ojeda Salazar, Ana María Olave, Mónica Oliva, Elisa Oliveira Groenwald, Claudia Oropeza Legorreta, Carlos Ortega del Rincón, Tomás Osorio Abrego, Héctor Otero, Rita Parra, Hugo Ponteville, Christiane Ramos Carranza, Rogelio Rey, José Luis Rodríguez de Estofán, María Rosa Rodríguez, Flor Rodríguez, Ruth Rosado, Pilar Rosas Mendoza, Alejandro Ruiz, Blanca Salazar, Pedro Sánchez Aguilar, Mario Sánchez Barrera, Julio Moisés Sánchez Luján, Bertha Ivonne Sardella, Oscar Scaglia, Sara Serna, Luis Arturo Serres, Yolanda Sierra, Modesto Suárez, Liliana Testa Rodríguez, Yacir Valero, Socorro Velázquez, Santiago Véliz, Margarita Ventura, Marger Vrancken, Silvia Zúñiga, Leopoldo
xiv
Una propuesta curricular para la implementación de un taller de aplicaciones matemáticas en ingeniería
Alejandro Muñoz Diosdado, Juan Ortiz Juárez, Alejandro Hernández Madrigal, Jaime Martínez Capistrán
997
Materiales tangibles. Su influencia en el proceso enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Genny Rocío Uicab Ballote
1007
Un estudio de instrumentos que facilitan cálculos a través del uso de logaritmos Renata Ivonne López Sánchez, Marcela Ferrari Escolá
1015
Visualización dinámica en problemas de cálculo universitario, un estudio sobre visualización en matemáticas
Lianggi Espinoza Ramirez, Estelita García
1023
Una construcción del significado del número complejo y su operatividad Rocío Antonio Antonio, Gustavo Martínez Sierra
1033
Un estudio de la constitucion y deconstrucción de prácticas de los ingenieros bioquimicos, el caso de las diluciones seriadas
Lorena Landa Habana, Jaime Arrieta Vera, Adriana Galicia Sosa
1043
CATEGORÍA 3: ASPECTOS SOCIOEPISTEMOLÓGICOS EN EL ANÁLSIS Y EL REDISEÑO DEL DISCURSO MATEMÁTICO ESCOLAR
Introducción al Capítulo de Aspectos socioepistemológicos en el análisis y el rediseño del discurso matemático escolar
Ricardo Cantoral, Magali Méndez
1055
Una caracterización de los escenarios socioculturales desde la socioepistemología Cecilia Crespo Crespo
1061
Representaciones sociales, ideología y enseñanza del concepto de límite Alberto Camacho Ríos
1071
El infinito: vivo en el aula de matemática y fuera de ella Patricia Lestón
1081
Un planteamiento de resignificación de las desigualdades a partir de las prácticas didácticas del profesor. Un enfoque socioepistemológico
Mariangela Borello, Javier Lezama
1091
Motivación socioepistemológica de la función senoidal a través del movimiento circular como metáfora
Ricardo Pérez Arellano
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Categoría 2. Propuestas para la enseñanza de las matemáticas
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Resumen. Bajo alguna concepción y/o creencia acerca de qué enseñar, cómo enseñar y cómo se debe aprender matemáticas, es común encontrar que los profesores emplean diferentes recursos didácticos para apoyar la impartición de su cátedra, entre dichos recursos podemos encontrar los manipulables tangibles; consideramos a éstos como cualquier tipo de material u objeto físico que los estudiantes pueden “palpar” para ver y experimentar conceptos matemáticos. El presente trabajo, en sus inicios como proyecto de investigación pero ya maduro por sus años de desarrollo empírico; tiene como intención presentar un panorama reflexivo que permita apreciar que los manipulables bien diseñados en conjunto de una adecuada planeación por parte del profesor considerando lo que se quiere enseñar, pueden apoyar a los estudiantes a construir y conectar varias representaciones de ideas matemáticas, así como, inducirlos a plantearse nuevas alternativas para la resolución de problemas.
Palabras clave: recursos didácticos, manipulables tangibles
Introducción
Las matemáticas juegan un papel importante en nuestro entorno. Ante el fenómeno de la
globalización que hoy nos invade, la enseñanza de contenidos matemáticos es primordial en el
contexto escolar, por ello, es importante que el profesor como ente de experiencia, proporcione
a los alumnos, las herramientas que les permitan apropiarse del saber matemático, saber que
confluya para atender situaciones de su ámbito social.
Ante este panorama, las diversas opiniones y creencias acerca de qué enseñar, cómo enseñar y
cómo se debe aprender matemáticas generan diferentes posturas en los profesores interesados
en cómo hacer efectiva la enseñanza de las matemáticas al interior del aula. Bajo alguna
concepción, es común encontrar que los profesores emplean diferentes recursos didácticos,
para apoyar la impartición de su cátedra, apoyados en lo que consideran, la mejor forma de
enseñar y aprender matemáticas. Entre estos recursos se encuentran aquellos denominados
manipulativos que pueden agruparse en los denomina tangibles (concretos) y virtuales (Godino,
Batanero y Font, 2003). Centrando nuestra atención en los manipulables tangibles,
MATERIALES TANGIBLES. SU INFLUENCIA EN EL PROCESO ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS
Genny Rocío Uicab Ballote Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán México [email protected] Campo de investigación: Materiales didácticos Nivel: Cualitativa
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consideramos a éstos como cualquier tipo de material u objeto físico que los estudiantes
pueden “palpar” para ver y experimentar conceptos matemáticos, es decir ponen en juego la
percepción táctil.
Partidaria de que el órgano sensorial constituye el primer paso en el proceso de obtener
información (con la intención de que ésta se convierta en conocimiento) y bajo mi propia
creencia de cómo enseñar matemáticas, hace algunos años, me fui interesando en tratar de
presentar el objeto matemático a través de representaciones concretas. Esto me llevó a
producir algunos materiales tangibles para acompañar algunas de mis clases de matemáticas a
nivel bachillerato y una que otra a nivel licenciatura. Empíricamente uno puede apreciar lo que
ocurre al interior del aula, cuando se trabaja con un material tangible, apreciando las bondades
que brinda al proceso de enseñanza aprendizaje y evaluando los aspectos que pueden
mejorarse. Sin embargo, en un sentido más formal, es importante cuestionarse ¿cómo los
materiales tangibles contribuyen al entendimiento de ideas matemáticas? ¿qué aspectos deben
considerarse para el diseño y la elaboración de los tangibles? ¿qué investigaciones revelan
aspectos instruccionales con apoyo de materiales tangibles? ¿es posible caracterizar a los
materiales tangibles? etc.; estas son algunas preguntas cuya búsqueda de sus respuestas dan
origen a este proyecto de investigación.
El objetivo del presente trabajo (como parte de la etapa inicial del proyecto) pretende
proporcionar referentes acerca del uso de los recursos didácticos, y en particular de los
materiales manipulativos, en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Antecedentes
Baez y Hernández (2002) en un recorrido histórico entre los años sesentas y ochentas señalan:
El uso de materiales concretos, como un primer acercamiento, parece ser que se asume en
forma incuestionable. La aparición de los materiales concretos ocurre en la década de los de
los años sesentas, con la publicación de las bases teóricas propuestas por Zoltan Dienes
(1960) y por Jerome Bruner (1961) y que a partir de ese hecho, varios estudios desde
entonces se publicaron, haciendo referencia a la efectividad del uso de los materiales
concretos y los resultados fueron variados: Fennema (1972), argumentó a favor del uso de
materiales concretos para los primeros años, no así para estudiantes mayores, indicando
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que éstos no necesariamente se beneficiarían con el uso de este tipo de materiales. Por otra
parte, Svydam e Higgins (1977), reportaron patrones de beneficio para todas las edades en
los estudiantes. Labinowicz (1985), reportó dificultades considerables con materiales de
base diez, aunque Fuson y Briars (1990) reportaron un éxito inaudito con el uso de los
mismos materiales en la enseñanza de los algoritmos de sustracción y adición. Por su parte,
Resnick y Omanson en (1987) y Thompson en (1992), informaron que el uso de bloques de
base diez generó poco efecto sobre los algoritmos de sustracción y adición, mientras que,
Wearne e Hiebert (1988) reportaron un éxito consistente en el uso de materiales concretos
para ayudar a los estudiantes sobre la comprensión de fracciones y numeración decimal.
Por otro lado, de acuerdo con Fischbein (1987) los conceptos matemáticos y las operaciones
matemáticas son básicamente creaciones abstractas y formales, pero nuestra naturaleza no nos
permite movernos únicamente en contextos puramente simbólicos sólo con restricciones
formales: así que con frecuencia producimos modelos mentales que proporcionan algún
significado práctico o unificador a estos símbolos. Considerando que en el proceso de enseñanza
aprendizaje, no es fácil lograr el desarrollo de la capacidad de razonamiento abstracto, interesa
promover la actividad manipulativa y deducción de los conceptos matemáticos, permitiendo así
visualizar la abstracción e ir de lo concreto a lo abstracto para proporcionar a los estudiantes
elementos para la construcción de sus propias ideas matemáticas.
Los materiales tangibles, recursos didácticos
La actividad del maestro, es decir, la enseñanza, se considera como una actividad de mediación
entre la cultura, en su sentido más amplio, representada en el currículo, y el alumno. Por tanto,
el maestro, a través de la actividad de la enseñanza, debe facilitar el aprendizaje del alumno,
para lo cual dispone de diferentes elementos, medios o recursos, de los que se ayuda para hacer
posible su labor de mediación cultural. Esas ayudas del material didáctico es todo aquel objeto
artificial o natural que produzca un aprendizaje significativo en el alumno. Los materiales
didácticos son usados para apoyar el desarrollo de los estudiantes en aspectos relacionados con
el pensamiento, el lenguaje oral y escrito, la imaginación, la socialización, el mejor conocimiento
de sí mismo y de los demás; de esta manera los materiales didácticos han ido cobrando una
creciente importancia en la educación contemporánea. Las memorizaciones forzadas y las
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amenazas físicas dejaron de ser métodos viables hace mucho tiempo, dando paso a la
estimulación de los sentidos y la imaginación.
Los recursos didácticos pueden clasificarse en dos tipos (Godino, Batanero y Font, 2003):
a) Ayudas al estudio. Son recursos que asumen parte de la función del profesor
(organizando los contenidos, presentando problemas, ejercicios o conceptos). Un ejemplo lo
constituyen las pruebas de autoevaluación o los programas tutoriales de ordenador, etc.
También se incluyen aquí los libros de texto, libros de ejercicios, etc.
b) Materiales manipulativos que apoyan y potencian el razonamiento matemático. Son
objetos físicos tomados del entorno o específicamente preparados, así como gráficos,
palabras específicas, sistemas de signos etc., que funcionan como medios de expresión,
exploración y cálculo en el trabajo matemático. Se distinguen dos tipos, “manipulativos
tangibles” y “manipulativos gráfico-textuales-verbales”; en éstos últimos participan la
percepción visual y/o auditiva; gráficas, símbolos, tablas, etc. Centrándonos en los
manipulativos tangibles, son aquellos que ponen en juego la percepción táctil: regletas,
ábacos, piedrecillas u objetos, balanzas, instrumentos de medida, etc. Es importante resaltar
que los materiales tangibles también desempeñan funciones simbólicas. Por ejemplo, un niño
puede usar conjuntos de piedrecillas para representar los números naturales.
Algunas características de estos materiales manipulativos o concretos son:
En primer lugar, el material concreto tiene un fuerte carácter exploratorio, lo que propicia un
marco para la resolución de problemas, discusión, comunicación y reflexión. Las limitaciones
que pueda presentar un manipulativo bien encauzadas pueden generar la chispa para algunas
discusiones en clase.
En una segunda instancia, a medida que los estudiantes trabajan con las herramientas por un
tiempo considerable y desarrollan más y más el entendimiento de los conceptos matemáticos,
ellos tienen menos necesidad de herramientas concretas (tales como piezas manipulables o
diagramas), sirviendo las piezas concretas solamente como un puente hacia el entendimiento de
ideas abstractas.
En un tercer plano, el material didáctico manipulable es un complemento, no un sustituto de
otras representaciones (Báez y Hernández, 2002).
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Las bondades de un material didáctico manipulable conllevan a que éstos sean considerados
como recursos de apoyo para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, principal o
exclusivamente en los niveles primarios. Por mencionar, en las distintas propuestas de reforma
del currículo matemático de las comunidades autónomas españolas, y de otros países, se
sugiere el uso de materiales didácticos (generalmente de tipo manipulativo o visual) como un
factor importante para mejorar la calidad de la enseñanza. El uso de recursos manipulativos
como el geoplano, tangram, ábacos, material multibase, dados, fichas, etc. se presenta como
"casi obligado" en los niveles primarios y secundarios. Estas propuestas vienen apoyadas por
instituciones prestigiosas como el NCTM, que ha dedicado varias publicaciones a este tema.
También en España los profesores se han preocupado por esta cuestión; por ejemplo, la
Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas organizó unas jornadas
específicas sobre el tema (Godino et als., 2003).
Estructurando ambientes de aprendizaje con materiales tangibles
El proyecto de investigación que se está desarrollando consiente el hecho de que hay llevar al
alumno (de diferentes edades) progresivamente a la construcción de una red de conceptos y
procedimientos, y al dominio del lenguaje matemático, en consonancia con el conocimiento
matemático formal. De aquí que se asuma una postura de que la orientación de la enseñanza y
del aprendizaje esté situada en un continuo que vaya de lo manipulativo, práctico y concreto
hasta lo esencialmente simbólico, abstracto y formal. Se propone que las experiencias
matemáticas iniciales sean de naturaleza intuitiva y puedan (en su caso) ser vinculadas a la
manipulación de objetos concretos. Estas experiencias iniciales serían sólo un punto de partida
que hay que abandonar en algún momento, para construir el conocimiento matemático a través
de una abstracción y formalización crecientes. Enfocándonos al uso de tangibles, es importante
apreciar que estará condicionado por una serie de elementos que pueden plantear diversos
problemas y dificultades que son importantes considerar; entre ellos podemos destacar:
a) El profesor: la formación científica y didáctica del profesor y sus concepciones sobre la
matemática y su aprendizaje influyen notablemente a la hora de decidir la conveniencia de
utilizar un determinado material tangible con los alumnos. Así, el profesor que tenga como
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objetivo prioritario provocar en sus estudiantes experiencias matemáticas bajo este enfoque,
justificará la necesidad de emplear dicho material.
b) El alumno: el interés, la motivación, la disciplina o el nivel de los alumnos son factores que
también influyen en la decisión de emplear materiales tangibles. Aunque con estos objetos se
espera mejorar las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas, un excesivo número de
alumnos por clase puede ocasionar dificultades en la organización del trabajo a realizar.
c) El conocimiento matemático a estudiar plantea al profesor una serie de cuestiones
metodológicas que pueden afectar la utilización de los materiales tangibles. Por ejemplo, ¿qué
material manipulativo conviene emplear para enseñar el tópico matemático que nos interesa?
¿Qué tareas o actividades podríamos proponer a los alumnos con ese material? ¿Cuáles serían
las más adecuadas? ¿Se está produciendo algún aprendizaje como consecuencia del uso del
material? ¿Cómo podríamos determinar la comprensión que adquieren los estudiantes acerca
de un conocimiento matemático cuando utilizan material tangible?
Es importante que el uso del material, no comprometa toda la atención de los alumnos,
desplazando la propia reflexión matemática. Usar manipulativos tangibles en la enseñanza de las
matemáticas es siempre un medio para un fin, nunca un fin en sí mismo. El aspecto central no es
sólo el material concreto, sino la situación didáctica integral, que atiende tanto a la práctica
como al discurso, de la que emergen las técnicas y estructuras conceptuales matemáticas.
d) El diseño del material tangible ¿qué elementos se deben considerar para el diseño y
elaboración de un material? Es importante considerar el nivel al que va dirigido dicho material,
las características del grupo, la duración de los módulos-clase, etc.
Conclusiones
Como toda metáfora, el uso del material concreto en el aprendizaje de las matemáticas puede
resaltar unos aspectos de los conceptos que tratamos de enseñar y ocultar otros, por lo que
debemos prestar una atención cuidadosa en su diseño, elaboración y uso. Cuando trabajamos
con materiales (por ejemplo, con “polígonos” o “poliedros” de plástico), en cierta forma
“manipulamos” y vemos los sistemas de signos matemáticos, pero no los conceptos
matemáticos, que son intangibles e invisibles. Es una idea errónea pensar que los conceptos
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matemáticos, incluso los figurales, están plasmados, reflejados o cristalizados en el material
tangible. En consecuencia, un uso irreflexivo del material manipulativo podría constituir
obstáculos para la apropiación efectiva del conocimiento matemático.
El lenguaje y la práctica escolar pueden llevar a confundir entre las propiedades concretas del
material manipulativo y los objetos matemáticos que modelizan dichas propiedades. Ello puede
impregnar a los objetos matemáticos de unas connotaciones tangibles y visuales de las que
progresivamente los alumnos deben desprenderse en los niveles superiores de enseñanza.
Si no se es cuidadoso en separar el material manipulativo del objeto abstracto, el paso de la
acción física directa sobre material tangible a la acción imaginada, apoyada en sistemas de
signos, puede estar no exento de conflictos.
Referencias bibliográficas
Godino, J.; Batanero, C. y Font, V. (2003). Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas para maestros. Extraído el 28 de julio de 2006, desde
http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/
Báez, M. y Hernández, S. (2002). El uso de material concreto para la enseñanza de la
matemática. Taller de Matemáticas del Centro de Ciencia de Sinaloa. Extraído el 23 de
septiembre de 2007, desde http://redexperimental.gob.mx/descargar.php?id=229.
Fischbein, E. (1987). Intuition in science and mathematics: an educational approach. Holanda:
Reidel.