Método Numérico Act 12 Lección evaluativa Unidad No. 3

1. Diferenciación e Integración Numérica

Diferenciación Numérica

El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.

Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en términos del límite:

imagen

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

imagen

(Note el símbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

imagen

Antes de ver algunos ejemplos donde usamos esta formula, tratemos de contestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

imagen

donde ?x esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de Dhf(x) tenemos que:

imagen

Esta fórmula nos dice que Dhf(x) aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).

Ejemplo 1: Tomamos f(x)=x9 y queremos aproximar f’(x) cuyo valor exacto es nueve. En la siguiente figura ilustramos los errores? f’(x) – Dhf(1) ? Como función de "h" en escala logarítmica.

imagen

Podemos ver que los errores disminuyen hasta un cierto valor crítico "hmin" luego del cual los errores aumentan según la "h" disminuye. ¿Contradice esto el resultado de arriba de O(h) del error? ¡NO! El resultado de arriba es sobre la convergencia si la aritmética es exacta y se dice que es un resultado asintótico. La figura ilustra los efectos de redondeo debido a la aritmética finita los cuales se hacen significativos para "h" pequeño y pueden afectar cualquier formula numérica para aproximar la derivada. Sin embargo, una formula con un grado de aproximabilidad digamos O(h2) es preferible a una O(h) ya que los errores (teóricos) tienden a cero más rápido y así la "h" no se tiene que hacerse tan pequeña reduciendo así los efectos de los errores por la aritmética finita.

El método de arriba usando la expansión de Taylor se puede utilizar para obtener formulas para aproximar la derivada con un grado de aproximabilidad más alto que uno. Ilustramos esto para la obtención de una formula O(h2). Si en lugar de llegar hasta términos de orden dos, expandimos hasta términos de orden tres en la expansión de Taylor, obtenemos las formulas:

imagen

Si restamos estas dos ecuaciones, despejamos para f'(x), y usamos el teorema del valor medio aplicado a f'''(x) obtenemos la formula:

imagen

donde

imagen

y ? X esta entre [x-h, x+h]. Tenemos pues que la formula Dhnf(x) tiene un error proporcional a O(h2).

Ejemplo 2: Comparamos las dos formulas obtenidas hasta ahora para aproximar f'(x) con el ejemplo de f(x) = x9 para f'(1). Los resultados los presentamos en forma tabulada para distintos valores de h:

h Dhf(1) ? f ‘ (1) - Dhf(1) ? Dhn f(1) ? f ‘ (1) – Dh

n f(1) ?0.1 13.5795 4.57948 9.85264 0.852636

0.05 11.0266 2.02656 9.21079 0.2107880.025 9.95452 0.954519 9.05255 0.05254920.0125 9.46337 0.463374 9.01313 0.0131281

Este ejemplo ilustra lo superior de la formula Dhnf(x). Note que cada vez que h se divide entre dos, el error en la formula Dhnf(x) se divide por dos (aproximadamente) mientras que en la formula Dhnf(x) se divide (aproximadamente) por cuatro (¿por qué?).

En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x=2h, x=3h, etc. Por ejemplo la expansión

imagen

nos da una formula de orden cuatro para f'(x). Es importante observar que mientras más alto el grado de aproximabilidad de la formula, más suave tiene que ser la función para que dicha aproximación sea valida. Por ejemplo esta formula de orden cuatro requiere que la función tenga cinco derivadas continuas en el intervalo en cuestión mientras que la formula de orden dos requiere únicamente tres derivadas continuas.

Formulas para la segunda derivada: El proceso de arriba se puede usar para obtener formulas para las derivadas de orden mayor de uno de una función f(x). Usamos este proceso para obtener una formula para la segunda derivada. Usando el Teorema de Taylor, podemos escribir las expansiones:

imagen

Sumando estas dos expansiones y despejando para f''(x) obtenemos:

imagen

donde

imagen

Y ? x esta entre [x-h, x+h]. Tenemos aquí una formula de orden dos para f"(x).

Ejemplo 3: Examinamos la formula de arriba en el caso f(x) = x9 y para aproximar f ‘‘(1)=72. Tenemos los resultados: ? f ‘’ (1) - Dh(2) f (1) ?

h Dh(2)f(1) ? f ‘’(1) - Dh

(2)f(1) ?0.1 74.5368 2.53682

0.05 72.6311 0.631050.025 72.1576 0.1575660.0125 72.0394 0.0393791

Nuevamente se puede ver el factor de cuatro en el error, característico de la convergencia de orden dos.

En forma similar se pueden obtener formulas de orden mayor utilizando expansiones de Taylor que envuelvan x+2h, x+3h, etc. Por ejemplo la expansión

imagen

nos da una formula de orden cuatro para f"(x).

Tomado de mate.uprh.edu/~pnm/notas4061/numdif /numdif.htm.

PREGUNTA:

La fórmula de orden cuatro para f'(x) requiere que la función tenga:

Seleccione una respuesta.

a. Tres derivadas continuas en un intervalo dado

b. Dos derivadas continuas en un intervalo dado.

c. Cuatro derivadas continuas en un intervalo dado

d. Cinco derivadas continuas en un intervalo dado

2. Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación.

Así por ejemplo x=5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2

De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y2 + 3y=6 + 4y

En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 3(x - 3)2 = 3(3x - 10) es:

Seleccione una respuesta.

a. x = 5

b. x = 6

c. x = - 6

d. x = -5

No tiene solución:

3 ( x−3 )2=3 (3 x−10 )≈3 x2−3 x+9=9 x−30≈

3 x2(−3 x−9 x)(+9+30)=0≈3 x2(−12 x)(+39)=0≈

x=−(−12)±√−122−4(3)(39)

2(3)≈12±√144−468

6≈

12±√−3246

las raíz de un numero negativo es un numero imaginario

3. El numero x= -7/5 es la solución de:

Seleccione una respuesta.

a. 2X-5(1-3X) = 1-3(1-4X)

b. 2X+5(1-3X) = 1-3(1-4X)

c. 2X-5(1-3X) = 1-3(1+4X)

d. 2X + 5(1+3X) = 1-3(1-4X)

2(−75 )+5[1+3(−75 )]=1−3 [1−4 (−75 )]≈−18,8=−18,8

4. Integración Numérica

Cuadratura gaussiana:

Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.

El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,..., xn en [a, b] y los coeficientes c1, c2,..., cn que minimicen el error de la aproximación

Reglas de Cuadratura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma

Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a, b] entonces mediante el cambio de variables

tenemos que

lo cual nos da una integral en [-1,1]. Así que sin pérdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1].

Sean x1, x1,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1, w2,…, wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica

sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I son operadores lineales, basta verificar que

Caso n=1 : Aquí I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I1(f)=2f(0) lo cual se conoce como la fórmula del punto medio.

Caso n=2 : Tenemos ahora que I2(f)= w2f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x1, x2, w1, w2:

Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w1, w2 obteniendo así que

Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x1, x2 obtenemos que

Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:

Caso n>2 : Al aplicar las condiciones

se obtiene un sistema nolineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los xi's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión

En particular tenemos que L2(x)= (3/2) x2-(1/2) cuyos ceros son ± 1/ ?3 que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También

de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones.

Ejemplo 2 : Aproximamos

usando la regla de cuadratura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:

Tenemos ahora que

Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta.

PREGUNTA:

Teniendo en cuenta la lectura anterior:

Para el Caso n=1: Aquí I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I1(f)=2f(0) lo cual se conoce como:

Seleccione una respuesta.

a. La fórmula del punto medio

b. La fórmula del punto mínimo

c. Sistemas lineales.

d. Sistemas no lineales.

5. De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación 7x – 3 = 2x + 2. Con cual de los siguientes el valores de x, se cumple la igualdad.

Seleccione una respuesta.

a. x = 3

b. x = -1

c. x = 1

d. x = -3

7(1) –3=2(1)+2≈

4=4

6. En el Ejemplo 1 de la lectura anterior, para aproximar la integral con el método de Romberg se usan los segmentos de longitud:

Seleccione una respuesta.

a. 1; 1/2; 2/4

b. 1; 3/2; 1/4

c. 1; 1/2; 1/2

d. 1; 1/2; 1/4

7. MÉTODO DE RUNGE – KUTTA

Sin entrar en mucho detalle, mencionamos solamente que el método de Runge-Kutta cambia la dirección en el sentido de que no sigue la misma línea de los métodos de Euler. De hecho está basado en una aplicación de los polinomios de Taylor.

Comentamos sin embargo, que el método de Runge-Kutta si contiene como casos especiales los de Euler.

Las fórmulas

donde

Se conocen como las reglas o fórmulas de Runge-Kutta de orden cuatro para la ecuación diferencial:

y’ = f(x,y)

y (x0) = y0

Ejemplo 1

Usar el método de Runge-Kutta para aproximar y (0.5). dada la siguiente ecuación diferencial:

y’ = 2xy

y (0) = 1

Solución

Primero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dos métodos anteriores. Segundo, procedemos con los mismos datos:

primeros los valores de k1, k2, k3 y k4 . Tenemos entonces que:

Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas, veamos la siguiente iteración:

El proceso debe repetirse hasta obtener y5 . Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n xn yn0 0 11 0.1 1.010052 0.2 1.040813 0.3 1.094174 0.4 1.173515 0.5 1.28403

Concluimos que el valor obtenido con el método de Runge-Kutta es:

y(0.5) ? 1.28403

Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:

Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducido muchísimo el error relativo. De hecho observamos que tenemos 6 cifras significativas en la aproximación!

Ejemplo 2

Usar el método de Runge-Kutta para aproximar y(2.2) dada la ecuación diferencial:

y’ = x + y

y(2) = 4

Solución

Igual que siempre, tomamos h=0.1 y llegaremos a la aproximación en dos pasos.

Con esta aclaración, tenemos los siguientes datos:

Primera Iteración :

Segunda Iteración :

Concluimos entonces que el valor buscado es:

y(2.2) ? 5.34982

PREGUNTA:

Teniendo en cuenta el ejemplo 1 del tema anterior, el método de Runge-Kutta, la tercera iteración, es decir y3, es igual a:

Seleccione una respuesta.

a. 0.01005

b. 0.03076

c. 1.09417

d. 1.01005

8. El método de Runge-Kutta de hecho está basado en una aplicación de:

Seleccione una respuesta.

a. El método de Cuadraturas

b. los polinomios de Taylor.

c. El método de Euler

d. El método Multipaso

9. "Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones"

De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones.

Seleccione una respuesta.

a. – 5y = 6 – 4y

b. x –100 = x

c. 3K/(1- T) = S

d. sen(2x-3)

10.MÉTODO DE EULER

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto x1 como una aproximación al valor deseado y(x1).

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto (x0,y0). De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

y=m(x-x0)+y0

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es:

y = f(x0,y0)(x-x0)+y0

Ahora bien, suponemos que x1 es un punto cercano a x0, y por lo tanto estará dado como x1= x0 + h. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

y(x0 + h) = y0 + hf(x0,y0)

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia h= ? x1 – x0 ? en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a .

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que:

y1 = y0 + hf(x0,y0)

Para obtener y2 únicamente hay que pensar que ahora el papel de (x0,y0) lo toma el punto (x1,y1), y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:

y2 = y1 + hf(x1, y1)

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:

y n+1 = yn + hf(xn,yn)

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de y(x1) aplicándola sucesivamente desde x0 hasta x1 en pasos de longitud h.

Ejemplo 1

Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial:

y’ = 2xy

y (0) = 1

Aproximar y(0,5).

NOTA

Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones.

Solución Analítica .

Sustituyendo la condición inicial:

x = 0 ? y = 1

ln 1 = 02 + c entonces

0 = c

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solución Numérica

Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre x0 = 0 y x1 = 0,5 no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de h = 0,1 y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos.

De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y así sucesivamente hasta obtener y5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n xn yn0 0 11 0.1 12 0.2 1.023 0.3 1.06084 0.4 1.124455 0.5 1.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es:

y(0,5) = 1,2144

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 2

Aplicar el método de Euler para aproximar y(1,3), dada la ecuación diferencial.

y’ = x2 + 0,5y2 si se tiene que y(1) = 2

Solución

Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente h =0,1 para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

n xn yn0 1 21 1.1 2.32 1.2 2.68553 1.3 3.1901

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es:

y(1,3) = 3,1901

PREGUNTA:

La fórmula de aproximación:

y (x0 + h)= y0 + h f(x0, y0)

por el método de Euler puede ser suficientemente buena, si el valor de h es:

Seleccione una respuesta.

a. Realmente Grande

b. Realmente pequeño

c. Realmente alto

d. Realmente Mediano