Matching

陳鵬宇 (float)<float.tw@gmail.com>

2

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3

Matching

● 匹配● 圖上各點僅連接零或一條邊，所構成的集合

1 2

3 4

Graph

1 2

3 4

Matching

4

Cardinality

● 匹配數

1 2

3 4

0

1 2

3 4

1

1 2

3 4

1 2

3 4

2

1 2

3 4

5

Cardinality

● Maximal matching– 無法在增加匹配數

● Maximum matching– 匹配數最多

● Perfect matching– 所有點都完成配對

6

Weight

1 2

3 4

-35

2

8

1 1 2

3 4

-35

2

8

1 1 2

3 4

-35

2

8

1

3 -3 13

7

Weight

● Maximum weight matching

– 權重最大的匹配● Maximum weight maximum cardinality matching

– 在匹配數最大的情況下，權重最大的匹配● Maximum weight perfect matching

– 所有點都完成配對的情況下，權重最大的匹配

8

Bipartite Matching

● Bipartite Graph– 二分圖，圖上點被分為兩群，群內沒有邊

0

1

2

3

4

5

6

9

Bipartite Matching

● 化簡資料結構

0

1

2

0

1

2

3

10

Bipartite Matching

● 利用 flow 解 Bipartite Matching 問題

0

1

2

0

1

2

3

s t

11

Bipartite Matching

● Alternating Path– 交錯路徑，一條路徑上，匹配、未匹配邊交互出現

0

1

2

0

1

2

3

12

Bipartite Matching

● Augmenting Path– 擴充路徑，起始點和終點都是未匹配點的交錯路徑

0

1

2

0

1

2

3

13

Bipartite Matching

● Augmenting Path– 特性：交換匹配、未匹配邊可增加匹配數

0

1

2

0

1

2

3

0

1

2

0

1

2

3

14

Bipartite Matching

● 經過一些證明（有興趣者可以參考演算法筆記）– 如果任取一未匹配點，找不到以此點作為起點的擴充路徑，

那麼最大匹配就不會包含此點。● 找最大匹配的演算法

– 1. 起始圖上皆為未匹配點

– 2. 把圖上各點當作起點嘗試尋找擴充路徑● 成功：修改匹配增加匹配數● 失敗：刪掉他

15

Bipartite Matching

● Bipartite Graph 的好處

– 擴充路徑會在兩側來回

0

1

2

0

1

2

3

16

Bipartite Matching

17

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 解最大權完美二分匹配● 修改後也可以求

– 最大全最大二分匹配– 最大二分匹配

18

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 預備知識● 權重調整

– 對一個點連接的所有邊，等量加減權重，不影響最大權最大匹配

0

1

2

0

1

2

3

1 + D

3 + D

19

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 權重調整– 將每個點加上一個變數 (label) ，用來取代在邊上調

整，減少調整時間

0

1

2

0

1

2

3

1

3

+D

0

0

0

0

0

0

20

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 問題轉換– 使所選邊兩端 label 和大於等於邊的權重，當 label

值從上限往下降低，便可以碰到最大權重

0

1

2

0

1

2

1

2

3

2

7

3

2

7

0

0

0

21

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 等邊– 兩端 label 和等於邊的權重– 在最大權二分匹配的情況下， label 和最低時，所

有匹配邊皆為等邊0

1

2

0

1

2

1

2

3

2

7

3

2

7

0

0

0

22

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 演算法：結合等邊和 Augmenting path 概念– 一直以等邊組成的擴充路徑擴充，最後就可以得到

最大權匹配– 1. 起始所有點皆為未匹配點 (X, Y 兩群 )– 2. 嘗試用 X 中的每個點作為擴充路徑的起點，並建

立交錯樹● 有擴充路徑：沿路徑修改匹配，增加匹配數● 找不到：調整 label

23

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 調整 label

0

1

2

3

4

5

3

2

1

2

7

3

2

7

0

0

0

2

24

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 調整 label

0

1

2

3

4

5

3

2

1

2

7

3

2

7

0

0

0

2

25

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 調整 label

0

1

3

4

5

3

2

1

3

2

0

0

0

2

交錯樹

26

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 調整 label ，找減小幅度最小者（以免小於最大值）

0

1

3

4

5

3

2

1

3

2

0

0

0

2

幅度計算， label 和減去權重

d = min((3 + 0 – 1 = 2), (3 + 0 – 2 = 1)) = 1

27

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 調整 label ，找減小幅度最小者（以免小於最大值）

0

1

3

4

5

3

2

1

3 - d

2 - d

0 + d

0

0

2

28

Hungarian Algorithm(Kuhn-Munkres Algorithm)

● 調整 label ，找減小幅度最小者（以免小於最大值）

0

1

3

4

5

3

2

1

2

1

1

0

0

2

等邊出現

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Practice

● UVa11138● UVa 663

● http://140.113.210.149/gdoj/problemset/problem/253

● http://140.122.185.166/ZeroJudge/ShowProblem?problemid=d191&contentlanguage=en_US

● ACM-ICPC Live 4102

31

Thank You for Your Listening.