achsensymmetrie • punktsymmetrie • drehsymmetrie ... · pdf filedieses bandornament...
TRANSCRIPT
Symmetriearten
• Achsensymmetrie• Punktsymmetrie• Drehsymmetrie• Schubsymmetrie• Schubspiegelungssymmetrie
Gibt es schubsymmetrische Figuren?
Bandornamente, die als unendlich zu betrachten sind, sindschubsymmetrisch.
Bandornamenteaus verschiedenenKulturen
Dieses Bandornament ist nicht nur achsensymmetrisch und schubsymmetrisch, sondern auch schubspiegelungssymmetrisch.
Muster in der Fläche
Parkettieren
= vollständiges lückenloses, überlappungsfreies Auslegen der Ebene mit Figuren
Dreiecksparkette
Abgeleitete Figuren
„Nicht-normale“ Parkette aus Quadraten …
„Nicht-normale“ Parkette aus Rechtecken
Ein Parkett aus einem allgemeinen Viereck erstellen
Parkette aus Vierecken …
Parkett aus konkavem Viereck
Parkett aus konkavem Viereck
Gegenbeispiel
Notwendige Passbedingungen beim Parkettieren
• Beim „normalen“ Parkett stoßen die Figuren an einer Ecke zusammen:Der Gesamtwinkel muss genau 360°betragen.
• Aneinander stoßende Seiten müssen hier gleich lang sein.
Innenwinkelsumme S im n-Eck
Kernidee:Zerlegen in Dreiecke
Im Fünfeck:3x180°
Jedes weitere hinzukommende Eck bedeutet ein weiteres Dreieck, also + 1x180°
Allgemein:S = (n-2) x 180°
Innenwinkelsumme S im n-Eck
Kernidee:Zerlegen in Dreiecke
Im Fünfeck:5x180° - 360°
Allgemein:S = nx180° - 360° =nx180° - 2x180° =(n-2) x 180°
Archimedische Parkette• Sie enthalten zwei oder mehr
Sorten regelmäßiger Vielecke• An jeder Ecke gibt es von
jeder Vieleckssorte die gleiche Anzahl
• Jede Seite eines Vielecks ist Seite eines weiteren Vielecks; insbesondere sind alle Seiten gleichlang
• Zu je zwei Ecken P und Q des Parketts gibt es Drehungen, Verschiebungen oder Spiegelungen, die P auf Q und das Parkett auf sich abbilden
Zählweise bei archimedischen Parketten
Innenwinkel in regelmäßigen n-Ecken
1512109865
90°460°3Winkeln-Eck
171 3/7°42165°24162°20160°18156°15150°12
147 3/11°11144°10140°9135°8
128 4/7°7120°6108°590°460°3
Innenwinkel in regelmäßigenn-Ecken
Die Passbedingungen sind hier zunächst erfüllt. Jedoch lässt sich die Ebene nicht mit dem Typ 10,5,5 parkettieren
Parkettieren mit mindestens zwei Sorten regelmäßiger Figuren:
Bei einem archimedischen Parkett sind alle Ecken vom gleichen Typ.
Hier 3,3,3,4,4
bzw. 4,3,4,3,3
Typ: 4,3,4,6
10
10
4
3
2
2
1
1
Summe360°
12-Eck150°
8-Eck135°
6-Eck120°
4-Eck90°
3-Eck60°
Entstehung weiterer Parkette