acelerÓmetro del celular -...

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN

FACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

MAESTRÍA EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

CURSO: ENSEÑANZA DE LA FÍSICA –MECÁNICA-

ACELERÓMETRO DEL CELULAR

PHYSICSSENSOR Diego L. Aristizábal R.

Profesor asociado con tenencia de cargo, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellín

Mayo de 2014

ÍNDICE

1. Gravedad efectiva

2. ¿Qué es lo que mide un acelerómetro?

3. El acelerómetro del celular

4. El programa Acelerómetro Celular ANDROID de PhysicsSensor

1. Gravedad efectiva

Un péndulo simple de longitud L que se cuelga del techo de un vehículo el cual se mueve con una

aceleración a respecto a un marco de referencia inercial sirve de acelerómetro, es decir se

puede usar para medir esta aceleración.

Para analizar se elegirá como marco de referencia inercial al suelo O. Las fuerzas que actúan

sobre la masa pendular son la fuerza de tensión F y su peso P . Por lo tanto aplicando la

segunda ley de Newton se obtiene,

p/oF + P = m a

En donde p/oa corresponde a la aceleración de la masa pendular respecto al marco de

referencia inercial O. Ahora si p/o'a es la aceleración de la masa pendular respecto al vehículo

O’ se tiene,

p/o' p/o o'/oa a a

y por lo tanto,

Universidad Nacional de Colombia sede Medellín, Facultad de Ciencias, Escuela de Física PhysicsSensor

2

2

p/o p/o' o'/oa a a

p/o p/o'a a a

y se obtiene,

p/o'F + P = m a a

p/o'F + P - m a = m a

p/o'F + m g - m a = m a

p/o'F + m g - a = m a

Por lo tanto se concluye el movimiento del péndulo visto desde el vehículo es equivalente al de

un péndulo normal en un sistema en reposo, si se cambia la gravedad en este caso por una

gravedad efectiva,

efectivag = g - a [1]

donde tanto la gravedad como la aceleración deben ser tratados vectorialmente.

Esta es una expresión general en donde a es la aceleración del vehículo en donde se encuentra

el péndulo, efectivag la aceleración de la gravedad medida dentro del vehículo o mejor la

gravedad efectiva y g la aceleración de la gravedad REAL o mejor la gravedad medida desde

un marco de referencia inercial.

El péndulo simple al oscilar tiene un periodo P que se calcula para pequeñas oscilaciones

mediante la expresión,

LP = 2π

g

En este caso g será la magnitud de la gravedad efectiva efectivag ,

efectiva

LP = 2π [2]

g

Para mayor claridad se analizarán tres casos, en los cuales se podrá observar que conocido el

periodo se puede calcular la magnitud de la aceleración a :


3

3

El vehículo es un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración a .

El vehículo es un auto que se mueve horizontalmente con aceleración a .

El vehículo es un cajón que desliza por un plano inclinado muy liso con aceleración a .

Caso 1: El vehículo es un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración a .

En la Figura 1 se ilustra esta situación. Aplicando la ecuación [1] se obtiene

efectivaˆ ˆg = - g j - a j

efectivaˆg = - g + a j

Figura 4

El periodo de oscilación es con base en la ecuación [2],

LP = 2π

g + a

si descendiera con esa aceleración el resultado sería,

efectivaˆg = - g - a j

y el periodo de oscilaciones,

LP = 2π

g - a

y en caída libre,


4

4

efectivag = 0

y por lo tanto el periodo es infinito es decir el péndulo no oscila.

Caso 2: El vehículo es un ascensor que se mueve horizontalmente con aceleración a .

En la Figura 2 se ilustra esta situación. Aplicando la ecuación [1] se obtiene

Figura 2

efectivaˆ ˆg = - g j - a i

es decir,

2 2

efectivag = g + a

Y por lo tanto el periodo de oscilación es,

2 2

LP = 2π

g + a

Caso 3:El vehículo es un cajón que desliza por un plano inclinado muy liso con aceleración

a .

En la Figura 2 se ilustra esta situación. La aceleración la de un cuerpo que desliza por en un

plano inclinado, sin rozamiento ni rodadura, es debida exclusivamente a la componente del peso

paralela al plano (ya que la componente normal es compensada por la reacción del plano). Por lo

tanto,

ˆa = g senφ i


5

5

Aplicando [1],

efectivaˆ ˆ ˆg = g senφ i - g cosφ j - g senφ i

y por lo tanto,

efectivaˆg = - g cos φ j

Esto quiere decir que la gravedad efectiva es perpendicular al plano inclinado, y por tanto al

suelo del cajón. Es decir, un observador situado en el interior del cajón sin acceso al exterior,

vería el péndulo colgando normalmente.

Figura 3

El periodo de oscilación es,

LP = 2π

g cosφ


6

6

2. ¿Qué es lo que mide un acelerómetro?

Un acelerómetro NO MIDE la aceleración de la gravedad.

Un acelerómetro mide la aceleración que generaría la fuerza neta que actúa sobre el

cuerpo en el cual se encuentra apoyado pero sin tener en cuenta el peso del mismo. Esta

aceleración, que en este documento se denotará como efectivag' es el NEGATIVO de la

denominada gravedad efectiva efectivag . Por lo tanto según la ecuación [1] es,

efectivag' = a - g [2]

en donde la aceleración a es la aceleración del cuerpo sobre el que se apoya el

acelerómetro y es medida desde un marco de referencia inercial y g la aceleración de

la gravedad REAL en la superficie de la Tierra (g = 9,81 m.s-2, es su valor estándar).

La unidad utilizada por los acelerómetros es la unidad g : que es en magnitud la aceleración de

la gravedad en el planeta Tierra en “caída libre”, es decir en condiciones ideales (sin atmósfera

u otro rozamiento). Una aceleración de 1 g es generalmente es igual a la gravedad estándar,

que es de 9.80665 m/s2 (aproximada a 9,81 m/s2).

2.1 Análisis dinámico con base en la segunda ley de Newton

Si un cuerpo tiene una aceleración a respecto a un marco de referencia inercial se cumple,

F = m a

Por lo tanto,

otras

F + P = m a

En donde otras

F corresponde a la suma de las fuerzas sin tener en cuenta la fuerza de

gravedad, es decir sin tener en cuenta el peso P ,

otras

F + m g = m a

otras

Fa g

m


7

7

En donde,

otras

efectiva

Fg' = [3]

m

Esta es la aceleración medida por el acelerómetro, es decir es el negativo de la gravedad

efectiva (observar que es precisamente la aceleración que tendría el cuerpo si se computan las

fuerzas que actúan sobre él sin tener en cuenta su peso), y por lo tanto,

efectivaa = g + g'

que es la ecuación [2].

A continuación se analizarán algunos ejemplos para lograr aclarar estos conceptos.

2.2 Ejemplos

Un acelerómetro está ligado a un cuerpo. En cada una de las siguientes situaciones se deberá

reportar la lectura del acelerómetro.

(a) Si el cuerpo está en “caída libre” observado desde un marco de referencia inercial ( a = g )

la única fuerza que actúa sobre éste es el PESO. Por lo tanto efectivag' es igual a cero ya que

no hay una fuerza diferente a éste que genere una aceleración. El acelerómetro estará en

el estado de la Figura 4(a). Este valor se puede verificar aplicando la ecuación [2].

(b) Si el cuerpo está reposando sobre una superficie horizontal, es decir, la aceleración

medida desde un marco de referencia inercial es a = 0 , la efectivag' es igual + g ya que la

fuerza normal (fuerza que ejerce el piso sobre el cuerpo) si actuara sola sobre el cuerpo

generaría una aceleración igual a la aceleración de la gravedad pero verticalmente hacia

arriba. El acelerómetro estará en el estado de la Figura 4(b).

(c) Si el cuerpo está reposando en el piso de un ascensor que sube con una aceleración a

medida desde un marco de referencia inercial, la efectivag' es igual según la ecuación [2] a

a + g . Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza normal si actuara sola

sobre el cuerpo. En la Figura 4(c) se ilustra un caso.


8

8

Figura 4: Los acelerómetros están en unidades g


9

9

(d) Si el cuerpo está reposando en el piso de un ascensor que baja con una aceleración a

medida desde un marco de referencia inercial, la efectivag' es igual según la ecuación [2] a

- (a - g) . Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza normal si actuara sola

sobre el cuerpo. En la Figura 4(d) se ilustra un caso.

En las Figuras 4(e) y 4(f) se ilustra otros dos ejemplos.

(e) Si el cuerpo está descendiendo por un plano inclinado un ángulo con fricción despreciable

con una aceleración a medida desde un marco de referencia inercial, Figura 5, la efectivag'

es igual según la ecuación [2]

efectivaˆ ˆ ˆg' j = a - g senα i + g cosα j

Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza normal si actuara sola sobre el

cuerpo.

En componentes rectangulares se obtiene,

efectiva, xg' a - g senα = 0

efectiva, yg' g cosα

Por lo tanto un acelerómetro con marca en X

efectiva, xg' a - g senα = 0

dando como resultado que la aceleración inercial es en dirección x e igual a,

a = g senα

y en Y marca,

efectiva, yg' g cosα


10

10


(f) Si el cuerpo está reposando en un plano inclinado un ángulo (f es la fuerza de rozamiento)

Figura 6, la efectivag' es igual a según la ecuación [2]

efectivaˆ ˆ ˆg' j = - g senα i + g cosα j


Esta es la aceleración que generaría la acción de la fuerza resultante de la suma de la fuerza

normal y la fuerza de fricción si actuaran solo ellas sobre el cuerpo.


11

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Se puede observar que en esta situación de reposo sobre el plano inclinado el acelerómetro

sirve de inclinómetro. Para esto se puede utilizar la dirección de la aceleración de la gravedad,

efectivag = - g'

ˆ ˆ ˆg j = g senα i - g cosα j

x

y

gtanα = [4]

g

3. El acelerómetro del celular

En esta sección se analizará el acelerómetro de un teléfono celular. Para este caso se

considera que el sistema de coordenadas es el que se ilustra en la Figura 7 (convención

internacional).

Figura 7

Por lo tanto dependiendo de la orientación del celular la gravedad g medida desde un marco

de referencia inercial con un sistema de coordenadas fijo a él con la misma orientación del

sistema de coordenadas del celular tendrá las siguientes componentes rectangulares,

x y zˆ ˆ ˆg = g i + g j + g k

Análogamente las componentes de la aceleración a del celular (que es la del móvil donde está

ubicado) y de la gravedad efectiva efecg' (la cual mide su acelerómetro) son,

x y zˆ ˆ ˆa = a i + a j + a k

efec efec,x efec,y efec,zˆ ˆ ˆg' = g' i + g' j + g' k


12

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La ecuación [2] se debe cumplir y por lo tanto,

efectivaa g' + g [5]

Ejemplo

En la Tabla 1 se ilustran algunos ejemplos del celular en reposo respecto a un marco de

referencia inercial pero en diferentes orientaciones con alguno de sus ejes en posición

vertical. Los valores de las aceleraciones no se han reportado en unidades g sino que se han

convertido a m.s-2.

Tabla 1: a = 0

ORIENTACIÓN

DEL CELULAR

g [m.s-2] efecg' [m.s-2]

xg yg zg g

efec,xg' efec,yg'

efec,zg' efecg'

Eje XY en plano

horizontal y eje +Z

hacia arriba 0 0 -9,81

9,81

0 0 +9,81 9,81

Eje XY en plano

horizontal y eje +Z

hacia abajo 0 0 +9,81 0 0 -9,81 9,81

Eje XZ en plano

horizontal y eje +Y

hacia arriba 0 -9,81 0 0 +9,81 0 9,81

Eje XZ en plano

horizontal y eje +Y

hacia abajo 0 +9,81 0 0 -9,81 0 9,81

Eje YZ en plano

horizontal y eje +X

hacia arriba -9,81 0 0 +9,81 0 0 9,81

Eje YZ en plano

horizontal y eje +X

hacia abajo +9,81 0 0 -9,81 0 0 9,81

Ejemplo

En la Figura 8 se ilustra un celular en reposo sobre un plano inclinado 30o. f es la fuerza de

rozamiento.


13

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Figura 8

En la Tabla 2 se ilustra los valores correspondientes de las aceleraciones. Los valores de las

aceleraciones no se han reportado en unidades g sino que se han convertido a m.s-2.

Tabla 2: Según ecuación [4] efeca g + g y por lo tanto,

efecg = a g .

a [m.s-2] g [m.s-2] efecg' [m.s-2]

xa ya za a xg yg

zg g efec,xg'

efec,yg' efec,zg'

efecg'

0 0 0 0 0 +4,91 -8,50 9,81 0 -4,91 +8,50 9,81

Ejemplo

Supóngase que el celular se monta en un carrito que rueda hacia abajo de un plano inclinado

30,0o de fricción despreciable con una aceleración de 2,00 m.s-2, Figura 9. La orientación del

celular es como se indica en la figura.


14

14

Figura 9

En la Tabla 3 se ilustra los valores correspondientes de las aceleraciones. Los valores de las

aceleraciones no se han reportado en unidades g sino que se han convertido a m.s-2.

Tabla 3: Según ecuación [4] efeca g + g y por lo tanto,

efecg = a g .

a [m.s-2] g [m.s-2] efecg' [m.s-2]

xa ya za a xg yg

zg g efec,xg'

efec,yg' efec,zg'

efecg'

0 +2,00 0 2,00 0 +4,90 -8,50 9,81 0 -2,90 +8,50 8,98

En la Figura 10 se ilustra un acelerómetro de tres ejes comercial. Su valor es alrededor de

$US 15.

Figura 10: http://img231.imageshack.us/img231/4799/acelerometroqr4.jpg

En la Figura 11 se ilustra el acelerómetro de un teléfono celular.

Figura 11: http://www.omicrono.com/wp-content/uploads/2012/05/acelerometromovil.jpg

http://img231.imageshack.us/img231/4799/acelerometroqr4.jpg

http://www.omicrono.com/wp-content/uploads/2012/05/acelerometromovil.jpg


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4. El programa Acelerómetro Celular ANDROID de PhysicsSensor

PhysicsSensor posee software para ANDROID para dos tipos de acelerómetros: no inercial e

inercial

4.1 Acelerómetro tipo NO INERCIAL

En éste se despliega en un instrumento virtual el valor de las componentes en los tres ejes de

la aceleración efectivag' . También despliega la gráfica en el tiempo de estas componentes y de la

magnitud de efectivag' .

Ejemplo

En la Figura 12 se ilustra el celular reposando sobre una superficie supuestamente horizontal.

En esta situación debería marcar el valor +g en el eje z y cero en los ejes x e y.

Figura 12: X (izquierda), Y (centro), Z (derecha)

Al realizar las lecturas se obtiene en x 0,15 m.s-2, en y 0,15 m.s-2 y en z 9,65 m.s-2. Se debe

considerar que las diferencias en los resultados comparados con los teóricos se deben a la

apreciación del acelerómetro del celular la cual no es reportada en el manual técnico del celular

pero podría ser del orden de 0,2 m.s-2 (esto es una estimación de los autores de este

documento con base en los resultados obtenidos en múltiples experimentos).


16

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Ejemplo

Tomar el celular en la mano y darle una orientación muy general. Obtener los cosenos

directores del vector aceleración de la gravedad g .

Solución:

De la ecuación [2],

efectivag' = a - g

y como el celular está en reposo a = 0 y por lo tanto.

efectivag = - g'

Por ejemplo para una orientación dad del celular se obtuvo,

efectiva 2

mˆ ˆ ˆg' = -5,36 i + 4,90 j + 6,44 k s

Por lo tanto,

2

mˆ ˆ ˆg = 5,36 i - 4,90 j - 6,44 k s

2

mg = 9,70

s

Debería dar 9,81 .s-2 pero se debe recordar que las diferencias que se encuentren es debido a

la apreciación del acelerómetro del celular.

Los cosenos directores son,

x

5,36cos θ 0,55

9,70

y

4,90cos θ 0,51

9,70

z

6,44cos θ 0,66

9,70

Para verificar el resultado,

2 2 2

x x xcos θ + cos θ + cos θ = 0,9982


17

17

Debería dar 1 pero el resultado es muy aceptable.

Ejemplo

Ubicar el celular en un plano inclinado, Figura 13. Si se obtiene que,

efectiva 2

mˆ ˆg' = - 1,53 j + 9,50 k s

Calcular el ángulo de inclinación del plano.

Solución:

De la ecuación [2],

efectivag' = a - g

y como el celular está en reposo a = 0 y por lo tanto.

efectivag = - g'

Figura 13

Por lo tanto,

2

mˆ ˆg = 1,53 j - 9,50 k s

y

z

gtanφ =

g


18

18

1,53tanφ = = 0,16

9,50

oφ =9,1

4.2 Acelerómetro tipo INERCIAL

En éste se despliega en un instrumento virtual el valor de las componentes en los tres ejes de

la aceleración medida en el marco de referencia inercial a . Retomando la ecuación [5],

efectivaa g' + g [5]

Por lo tanto dependiendo de la orientación del celular la gravedad g medida desde un marco

de referencia inercial con un sistema de coordenadas fijo a él con la misma orientación del

sistema de coordenadas del celular tendrá las siguientes componentes rectangulares,

x y zˆ ˆ ˆg = g i + g j + g k

Análogamente las componentes de la aceleración a del celular (que es la del móvil donde está

ubicado) y de la gravedad efectiva efecg'

(la cual mide su acelerómetro) son,

x y zˆ ˆ ˆa = a i + a j + a k

efec efec,x efec,y efec,zˆ ˆ ˆg' = g' i + g' j + g' k

El software toma el valor medido por el acelerómetro de las componentes del vector gravedad

efectiva efecg' y el valor de las componentes del vector aceleración de la gravedad para obtener

las componentes del vector a y los despliega en el instrumento virtual.

Ejemplo

El celular se encuentra en reposo en una superficie. Verificar que el valor de las componentes

de la aceleración a son iguales a cero usando el acelerómetro inercial de PhysicsSensor.

Solución:

En la Figura 14 se ilustra el resultado.


19

19

Figura 14: De izquierda a derecha se ilustran las lecturas de las componentes en X, en Y, en Z

y la magnitud de la aceleración a medida desde un marco de referencia inercial. Todas las

lecturas son cero ya que a = 0

Ejemplo 4.5

Usando el acelerómetro inercial de PhysicsSensor desplegar las gráficas de las componentes

de la aceleración a cuando se hace oscilar el celular.

Solución:

En la Figura 15 se ilustra el resultado.

Figura 15: Amarillo (ax), azul (ay), rojo (az), blanco (a)

FIN

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