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Introduction
L’abaque de Smith permet une représentation graphiquesynthétique des principaux paramètres caractéristiques dela propagation le long d’une ligne
Cette étude sera limitée au cas des lignes sans pertes
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Rappel des formules
ZL
charge
x 0
v(x,t)
i(x,t)
Oi
Or
Soit une ligne sans pertes d’impédance caractéristi que Z c chargée par ZL
� Tension et courant complexes
� Coefficient de réflexion en x
avec ρρρρL le coefficient de réflexion sur la charge
� Impédance en x
Question : comment représenter ces grandeurs sur le même système d’axe ?
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Comment représenter toutes ces grandeurs sur le même système d’axe ?
En utilisant l’impédance réduite z(x)
ou
Il est donc équivalent de connaître les deux grandeurs complexes ρρρρ(x) ou z(x)
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Justification
x
r
r ≥≥≥≥ 0x ≥≥≥≥ 0 ou x ≤≤≤≤ 0
La représentation de toutes les valeurs possibles de z(x) nécessite l’utilisation
d’un demi plan infini
v
u-1 1
M M|ρρρρ|
θθθθ
La représentation de ρ(ρ(ρ(ρ(x)))) correspondant à toutes les valeurs possibles de z(x) se
fera à l’intérieur d’un disque de rayon unité
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Construction de l’abaque
Recherche des lieux des points correspondant à r = cste et x = cste dans la représentation | ρρρρ|, θθθθ
En séparant partie réelle et partie imaginaire :
Les lieux de r = cste sont des cercles d’équations :
Les lieux de x = cste sont des cercles d’équations :
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Construction de l’abaque
u-1 1
v
Re(z) = 0Re(z) = 1
Re(z) = ∞∞∞∞
O
L’abaque de Smith est constitué de deux familles de cercles orthogonaux :� les cercles représentant Re(z(x)) (partie réelle de l’impédance réduite)� les cercles représentant Im(z(x)) (partie imaginaire de l’impédance
réduite)
u-1 1
v
Im(z) = 0
Im(z) = 1
Im(z) = ∞∞∞∞
O
Im(z) = - 1
Im(z) > 0
Im(z) < 0
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Représentation sur l’abaque de Smith
u-1 1
v
Re(z) = 1 et Im(z) = 0 ���� z =1 ou Z(x) = Zc
O
Mθθθθ
|ρρρρ| E ou I01
SWR ou TOS1∞
� Le taux d’onde stationnaire (TOS ou SWR)
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Utilisation de l’abaque de Smith : déplacement sur une ligne sans pertes
e(t)+
-
Zg
ZL
générateur charge
Ligne sans pertes
Le module du coefficient de réflexion | ρρρρ| est constant le long d’une ligne sans pertes
u-1 1
v
O
M|ρρρρ | = cste Les impédances réduites le long
de la ligne se trouve sur le cercle de rayon |ρρρρ|
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e(t)
+
-
Zg
ZL
générateur charge
Ligne sans pertes
z(x) Point M sur l’abaque
Vers le générateur Vers la
charge
u-1 1
v
O
M|ρρρρ | = cste
Vers la charge
Vers le générateur Le déplacement autour de l’abaque est
gradué en fraction de longueur d’onde
Tour complet = λλλλ/2
Demi-tour = λλλλ/4
Utilisation de l’abaque de Smith : déplacement sur une ligne sans pertes
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Graduation vers le
générateur
Vers la charge
Graduation vers la charge
Vers le générateur
Déplacement sur une ligne sans pertes
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Utilisation de l’abaque de SmithVariation de V(x) et I(x)
−−−−++++====−−−−++++====
xjeiV
xjerV1xjeiVxjerVxjeiV)x(V ββββ
ββββββββββββββββ
)x(1V
)x(V
iρρρρ++++====)x(1V)x(V i ρρρρ++++====
ZL
charge
x 0
v(x,t)
i(x,t)
Oi
Or
xjerIxjeiI)x(I ββββββββ −−−−++++==== )x(1I
)x(I
iρρρρ−−−−====
De la même façon :
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Utilisation de l’abaque de SmithVariation de V(x) et I(x)
u-1 1
v
O
M
|ρρρρ | = csteN
O’
|ρρρρ(x) + 1+ 1+ 1+ 1|
|1 - ρρρρ(x)|
R’R� Si M est en R, v est minimum ���� N
est en R’, i est maximum
� Si M est en R’, v est maximum ���� N est en R, i est minimum
R
� Un maximum de tension correspond à un minimum de co urant et vice versa
� Deux maxima ou de minima de tension sont séparés d’ une distance égale à λλλλ/2 – Idem pour le courant
� Un maximum et un minimum de tension successifs sont séparés de λλλλ/4 – Idem pour le courant
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u-1 1
v
O
M
|ρρρρ | = csteN
Utilisation de l’abaque de SmithAdmittance réduite