ab2 bijeenkomst5 2015
TRANSCRIPT
Bijeenkomst 5
§7.4 Bewijzen met volledige induc6e
Volledige induc3e is een manier van redenen welke je gebruikt om beweringen voor alle natuurlijke (of gehele) getallen te bewijzen. Principe van volledige induc3e. 1. Onderzoek of de bewering geldt voor een zekere startwaarde 2. Toon aan dat als de bewering waar is voor een willekeurig natuurlijk getal k,
de bewering ook waar is voor zijn opvolger (k + 1)
De bewering geldt voor alle natuurlijke getallen. (bewezen met een bewijs uit het ongerijmde)
⇓
7.4.1c
Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt: is deelbaar door 90
Bewijs met volledige induc3e. 1. Kies n (= startwaarde) = 1 en laat zien dat de bewering waar is. 2. Kies n = k willekeurig (neem aan dat de bewering waar is voor deze zekere
k) en toon de juistheid van de bewering aan voor n = k + 1
5 ⋅ 3n+1 + 45
7.4.1d
Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt dat 1. Kies n = 1 en ga na dat voor deze startwaarde de bewering waar is. 2. Kies n = k willekeurig. Veronderstel dat de bewering waar is voor deze
zekere k ( = induc3ehypothese). Dus neem aan:
Toon vervolgens de juistheid van de bewering aan voor n = k + 1
Uit 1. en 2. volgt, vlgs principe van volledige induc3e, dat de bewering waar is
voor alle natuurlijke getallen.
1+ 3+ 32 + 33 + ......+ 3n = 12 (3
n+1 −1)
1+ 3+ 32 + 33 + ......+ 3k = 12 (3
k+1 −1)
7.4.2
Bedenk zelf een gesloten formule voor en toon aan dat die formule juist is voor alle natuurlijke getallen. Wanneer je naar de elementen kijkt, krijg je het vermoeden dat geldt:
11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ ............+ 1n(n +1)
S(1) = 11 ⋅2
= 12
S(2) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
= 23
S(3) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
= 34
S(n) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1n(n +1)
=n
(n +1)
7.4.2
Dus aan te tonen dat voor alle natuurlijke getallen n geldt dat 1. Bewering bekijken voor het eerste natuurlijke getal. Kies n = 1
is juist. 2. Kies een willekeurig natuurlijk getal n = k en toon aan
S(k) = waar, dus Nu S(k + 1) onderzoeken. Gebruik de induc3ehypothese!
Uit 1. en 2. volgt dat de bewering geldt voor alle natuurlijke getallen.
S(k) ⇒ S(k +1)
S(n) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1n(n +1)
=n
(n +1)
S(1) = 11 ⋅2
= 12 =
1(1+1)
S(k) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1k(k +1)
=k
(k +1)
S(k +1) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1k(k +1)
+1
(k +1)(k + 2)= S(k) + 1
(k +1)(k + 2)k
(k +1)+
1(k +1)(k + 2)
=k(k + 2) +1(k +1)(k + 2)
=k2 + 2k +1(k +1)(k + 2)
=(k +1)2
(k +1)(k + 2)=(k +1)(k + 2)
7.4.4
Toon aan dat voor ieder natuurlijk getal n geldt dat de afgeleide van de func3e wordt gegeven door
Bewijs met volledige induc3e. 1. Kijk of de bewering geldt voor het eerste natuurlijke getal n = 1. 2. We nemen aan dat de bewering waar is voor een zeker willekeurig natuurlijk
getal k, dus de afgeleide van is Hiervan maken we gebruik wanneer we aantonen dat de bewering dan ook geldt voor z’n opvolger, het natuurlijk getal k + 1 dus wanneer we laten zien dat de afgeleide van dan ook gelijk is aan
f (x) = xn f '(x) = nxn−1
f (x) = x1 = x ⇒ f '(x) = 1 = 1 ⋅ x1−1
f (x) = xk
f (x) = xk+1
f '(x) = kxk−1
f '(x) = (k +1)xk
Er geldt namelijk dat Uit de productregel voor het differen3ëren volgt dat de afgeleide van deze func3e gelijk is aan: Dus zegt het principe van volledige induc3e ons dat de bewering geldt voor alle natuurlijke getallen.
f (x) = xk+1 = x ⋅ xk
f '(x) = 1 ⋅ xk + x ⋅ (k ⋅ xk−1) = xk + k ⋅ xk = (k +1) ⋅ xk
Hoeveel zeXen/handelingen zijn minstens nodig om de puzzel met vijf schijven op te lossen? ‘Verzin’ een directe formule waarmee het minimale aantal zeXen bij een zeker aantal schijven is te berekenen. Bewijs met behulp van volledige induc3e dat het door jou gevonden voorschri\ juist is.
§7.5 Volledige induc6e en rijen.
§7.5 Volledige induc6e en rijen.
7.4.3
Toon aan dat het volgende geldt: Het aantal deelverzamelingen van is gelijk aan 1. Bewering bekijken voor het eerste geval.
hee\ twee deelverzamelingen nl. Dus is de bewering hiervoor juist.
2. Bekijk de implica3e
hee\ deelverzamelingen. Toon aan dat deelverzamelingen hee\.
1,2,3,4,.....n{ }
B(1) : 1{ }
2n
∅ , 1{ }
B(k) ⇒ B(k +1)
1,2,3,4.....,k{ }1,2,3,4.....,k,k +1{ }
2k
2k+1
7.4.3
Bekijk een aantal verzamelingen en bestudeer de rela3es tussen de aantalen deelverzamelingen. Je ziet dat het aantal deelverzamelingen steeds wordt vermenigvuldigd met twee. Dus hee\ deelverzamelingen betekent hee\ Bewering is dus waar!
1{ } ∅ , 1{ }
1,2,3,4.....,k{ } 1,2,3,4.....,k,k +1{ }2k
2 ⋅2k = 2k+1
1,2{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }
1,2,3{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }3{ } , 1, 3{ }, 2, 3{ }, 1,2, 3{ }