ab bc bc cd cd ab - hoc24h.vn · gọi m là trung điểm ac, suy ra sm abc sm ac^Þ^( ). tam...

http://hoc24h.vn/ Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT https://www.facebook.com/thaydat.toan

MẶT CẦU – KHỐI CẦU – ĐÁP ÁN |

1

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP – ĐÁP ÁN

Giáo viên: Vũ Văn Ngọc, Nguyễn Tiến Đạt

Câu 1. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có , ,AB BC BC CD CD AB^ ^ ^ và

, ,AB a BC b CD c= = = là:

A. 2 2 2a b c+ + . B. 2 2 21

2a b c+ + . C. abc . D. ( )2 2 21

2a b c+ + .

Hướng dẫn giải:

( )CD BC

CD ABCCD AB

ü^ ïÞ ^ý

^ ïþ

AB BC ABC^ Þ D vuông tại B Gọi M là trung điểm của AC MÞ là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD Gọi N là trung điểm của CD

( )( )

MN CDMN ABC NA NB NC ND

CD ABC

üÞ ïÞ ^ Þ = = =ý

^ ïþ

Vậy N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện ABCD .

( )2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1

2 2 2 2R ND AD CD AC CD AB BC a b cÞ = = = + = + + = + +

Câu 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác vuông tại B , 1 , 3 , 4AB cm BC cm SA cm= = = ,

( )SA ABC^ . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC bằng:

A. 2 5cm . B. 5cm . C. 2cm . D. 19

2cm .

Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của SC

NÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

( )2 2 21 12 5

2 2R SC AB BC SA cmÞ = = + + =

Câu 3. Cho tứ diện .S ABC , đáy ABC là tam giác vuông tại B , SA vuông góc với mặt đáy. Biết 3 , 4 , 5AB a BC a SA a= = = . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC có bán kính bằng:

N

MC A

B

D

N

MA C

B

S



2

A. 5 2

2

a. B.

5 2

3

a. C.

5 3

2

a. D.

5 3

3

a.

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AC MÞ là tâm đường tròn ngoại tiếp

ABCD . Gọi N là trung điểm của SC .

( )( )

MN SAMN ABC NA NB NC NS

SA ABC

üÞ ïÞ ^ Þ = = =ý

^ ïþ

Vậy N là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp .S ABC

( )2 2 2 2 21 1 1 5 2

2 2 2 2

aR ND CD DA AC DA AB BCÞ = = = + = + + =

Câu 4. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và BC a= . Cạnh bên SA vuông

góc với đáy ( )ABC . Gọi ,H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh bên SB và SC .

Thể tích của khối cầu tạo bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .A HKCB là:

A. 3 2

3

ap. B. 3 2ap . C.

3

6

ap. D.

3

2

ap.


Theo giả thiết, ta có 090ABC = và 090AKC = ( )1

Do ( )( )

.AH SB

AH HCBC AH BC SAB

ì ^ïÞ ^í

^ ^ïî ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ba điểm , ,B H K cùng nhìn xuống AC

dưới một góc 090 nên hình chóp .A HKCB nội tiếp mặt cầu tâm

I là trung điểm AC , bán kính 2 2

2 2 2

AC AB aR = = = .

Vậy thể tích khối cầu 3

34 2

3 3

aV R

pp= = (đvtt).

Câu 5. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Gọi O là trọng tâm tứ diện đó và ( )S là mặt cầu tâm O bán kính

2

4

a. Mặt phẳng ( )BCD cắt mặt cầu ( )S theo đường tròn có bán kính bằng:

A. 3

3

a. B.

3

2

a. C.

3

6

a. D.

3

4

a.


M

N

A C

B

S

I

S

B

CAH

K



3

( )

( )( ) ( )( )

2

2 2

2 2; ;

.

6

42

6 3

12 6O BCD O BCD

AN AOAON ABG g g

AG AB

AB aAO

AB BG

a ad OG AG AO r R d

D D Þ =

Þ = =-

= = - = Þ = - =

∽

Câu 6. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng:

A. 3 6

2

ap. B.

3 6

4

ap. C.

3 6

6

ap. D.

3 6

8

ap.

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD , N là trung điểm của AB . Gọi O là giao điểm của trung trực của AB và AG

OA OBÞ = BCDD đều

GÞ là tâm đường tròn ngoại tiếp BCDD

( ),SG BCD O SG OB OC OD^ Î Þ = =

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

2

2 2

33

162

4cos 2

4 6

3 8

ABAN AB aR OA

AGBAG AB BGAB

aV R

pp

Þ = = = = =-

Þ = =

Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Gọi AH là đường cao của tứ diện và S là trung điểm đoạn thẳng

AH . Mặt cầu đi qua bốn điểm , , ,S B C D có bán kính bằng:

A. 3R a= . B. 3

2

aR = . C.

6

4

aR = . D.

6

3

aR = .

Hướng dẫn giải: H là trọng tâm tam giác BCD . Gọi I là giao điểm của AH và trung trực của SB . Vậy I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm , , ,S B C D .

O

N

G

G M

B D

C

A

B M

A

O

N

G

G M

B D

C

A

B M

A

I

NS

S

H M

B D

A

C

B MH

A



4

( )2 2

.

1 2 12 3 2. 6

1 42

SB SHSBH SIN g g

SI SN

SM AHSB SN a

R SISH AH

D D Þ =

æ öæ ö æ öç ÷+ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷è ø è øè øÞ = = = =

∽

Câu 8. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a . Một mặt cầu tiếp xúc với các đường thẳng , ,AB AC AD lần lượt

tại các điểm , ,B C D . Bán kính mặt cầu đó bằng:

A. 3

2

aR = . B.

2

3

aR = . C. 2R a= . D.

2

2

aR = .

Hướng dẫn giải: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC . Qua B , kẻ đường thẳng vuông góc với AB , cắt AH tại O .

( )( )

. .

90 , ,

OA BCD OB OC OD

AOB AOC AOD c c c

ABO ACO ADO AB BO AC CO AD DO

Þ ^ Þ = =

ÞD = D = D

Þ = = = °Þ ^ ^ ^

Vậy O là tâm mặt cầu tiếp xúc với , ,AB AC AD tại , ,B C D .

ABOD vuông tại B , đường cao BH

2 2 2

1 1 1 2

2

aR BO

BH AB BOÞ = + Þ = =

Câu 9. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , AB a= . Cạnh bên 2SA a= , hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC là:

A. 2

2

a. B.

6

3

a. C.

6

2

a. D.

2

3

a.


Gọi M là trung điểm AC , suy ra ( ) .SM ABC SM AC^ Þ ^

Tam giác SAC có SM là đường cao và cũng là trung tuyến nên SACD cân tại S .

Ta có 2 2 2AC AB BC a= + = , suy ra tam giác SAC đều.

Gọi G là trọng tâm SACD , suy ra ( )1GS GA GC= =

Tam giác ABC vuông tại B , có M là trung điểm cạnh huyền AC nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Lại có ( )SM ABC^ nên SM là trục của tam giác ABC .

Mà G thuộc SM nên suy ra ( )2GA GB GC= = .

O

H

M

C

A

DB

HB

O

A

G

M

S

B

CA



5

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra GS GA GB GC= = = hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp

khối chóp .S ABC .

Bán kính mặt cầu 2 6

3 3

aR GS SM= = = .

Câu 10. Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 21

6

a. Gọi h là chiều cao

của khối chóp và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp. Tỉ số R

h bằng:

A. 7

12. B.

7

24. C.

7

6. D.

1

2.


Gọi O là tâm ABCD , suy ra ( )SO ABC^ và 3

.3

aAO =

Trong SOA , ta có 2 2 .2

ah SO SA AO= = - =

Trong mặt phẳng SOA , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I

,I d IS IA I SO IA IB ICÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC . Gọi M là trung điểm SA , ta có SMI SOAD D∽ nên

2. 7.

2 12

SM SA SA aR SI

SO SO= = = = Vậy

7.

6

R

h=

Câu 11. Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên

mặt phẳng ( )ABC là trung điểm H của cạnh BC . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( )ABC

bằng 060 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC , R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt

phẳng ( )SAB . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. ( )( ),R d G SAB= . B. 3 13 2R SH= . C. 2 4 3

39ABC

R

SD

= . D. 13R

a= .


M

O

A C

B

S

I



6

Ta có ( )( ) ( ) 060 , ,SA ABC SA HA SAH= = = .

Tam giác ABC đều cạnh a nên 3

2

aAH = .

Trong tam giác vuông SHA , ta có 3.tan

2

aSH AH SAH= = .

Vì mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với ( )SAB nên bán kính mặt cầu

( )( ),R d G SAB= .

Ta có ( )( ) ( )( ) ( )( )1 2

, , ,3 3

d G SAB d C SAB d H SAB= =

Gọi ,M E lần lượt là trung điểm AB và MB .

Suy ra 3

2

CM AB

aCM

ì ^ïïíï =ïî

và 1 3

2 4

HE AB

aHE CM

ì ^ïïíï = =ïî

.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SE , suy ra HK SE^ . ( )1

Ta có ( ) .HE AB

AB SHE AB HKAB SH

ì ^ïÞ ^ Þ ^í

^ïî ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )HK SAB^ nên ( )( ),d H SAB HK= .

Trong tam giác vuông SHE , ta có 2 2

. 3

2 13

SH HE aHK

SH HE= =

+.

Vậy 2

3 13

aR HK= = .

Câu 12. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật, ( )SA ABCD^ . Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

.S ABCD là: A. Trung điểm cạnh SC . B. Trung điểm cạnh SD . C. Giao điểm của hai đường chéo AC và BD . D. Trọng tâm tam giác SAC .

Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD , I là trung điểm của SC .

( )OI SA OI ABCD IA IB IC IDÞ Þ ^ Þ = = =

SACD vuông tại A , I là trung điểm của SC IA IC ISÞ = =

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD.

Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng:

G

EM

HB C

A

S

K

O

I

O

B

S

D

A

C

S

A C



7

A. 21

6

a. B.

5

2

a. C.

30

6

a. D.

30

3

a.


Gọi M là trung điểm của ( )AB SM ABCDÞ ^

Gọi O là giao điểm của AC và BD , N là trung điểm của CD , G là trọng tâm tam giác SAB , I là giao điểm của đường thẳng qua O vuông góc với MN và đường thẳng qua G vuông góc với SM (trong mặt phẳng

( )SMN )

( )/ /OI SM OI ABCDÞ Þ ^

I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

2 2 21

6

aR SI SG GI= = + =

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là tứ giác có , 3, 2,AB a BC a CD a= = =

2, 2AD a AC a= = . Cạnh bên SA vuông góc với đáy và 2 3SA a= . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp là:

A. 3

2

aR = . B.

2

aR = . C. 2R a= . D. R a= .

Hướng dẫn giải: ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AC . Gọi M là trung điểm của AC , O là trung điểm của SC

( )MO ABCDÞ ^

O chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

2 21 12

2 2R SO SC SA AC aÞ = = = + =

Câu 15. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy

ABCD và SA a= . Gọi E là trung điểm của CD . Tính diện tích mặt cầu đi qua bốn điểm , , ,S A B E

.

A. 2

3

aS

p= . B.

241

16

aS

p= . C.

241

4

aS

p= . D.

22

3

aS

p= .


ONM

OB

S

C

A

D

S

M N

G I

O

M

A D

CB

S



8

Gọi G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABE . Qua G kẻ đường thẳng vuông góc với AG , cắt trung trực của

SA tại I . Vậy I là tâm mặt cầu đi qua bốn điểm , , ,S A B E .

( )( )2 2

2 22 2 2 2 2 2

1. 5 32.

8 8

5 41 414

8 2 8 16

EM AMEP EG EP EA a aEPG EMA g g EG MG

EM EA EM EM

a SA a aAG AM MG R AI AG IG AG S R

pp

+D D Þ = Þ = = = Þ =

æ öç ÷Þ = + = Þ = = + = + = Þ = =ç ÷è ø

∽

Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều, AB BC CD a= = = và 2AD a= . Cạnh

bên 2 3SA a= và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

là:

A. 2

aR = . B. R a= . C. 2R a= . D.

3

2

aR = .

Hướng dẫn giải: ABCD là hình thang cân nội tiếp đường tròn đường kính AD . Gọi O là trung điểm của AD , I là trung điểm của SD

( )OI ABCDÞ ^

I chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

2 21 12

2 2R SI SD SA AD a= = = + =

Câu 17. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và 2BC a= . Từ B và C dựng các đoạn ,BD CE vuông góc

với mặt phẳng ( )ABC ở về một phía của ( )ABC sao cho BD CE a= = . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp .A BCED là:

A. 22S ap= . B. 2S ap= . C. 23S ap= . D. 24S ap= .


M

B

G

PN

EM

S

D

A

C

A B

S

A G

I

E

G

I

OA D

CB

S



9

Gọi O là giao điểm của BE và CD . Tứ giác BCED là hình chữ nhật OB OC OD OEÞ = = = Gọi M là trung điểm của BC . ABCD vuông cân tại A nên M là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD

( )( )

AM BCED AM MOMO ABC OA OB OC

MO BC

üÞ ^ Þ ^ ïÞ ^ Þ = =ý

ï^ þ

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .A BCED

2 2 2 21 1 34 3

2 2 2

aR OB BE BC CE S R ap pÞ = = = + = Þ = =

Câu 18. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn 2AD a= , AB BC CD a= = = . Cạnh bên 2SA a= và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

Tỉ số R

a nhận giá trị nào sau đây?

A. 2a . B. a . C. 1. D. 2 .


Ta có SA AD^ hay 090 .SAD = Gọi E là trung điểm AD . Ta có EA AB BC= = nên ABCE là hình thoi.

Suy ra 1

2CE EA AD= = .

Do đó tam giác ACD vuông tại C . Ta có:

( )DC AC

DC SAC DC SCDC SA

ì ^ïÞ ^ Þ ^í

^ïî hay 090 .SCD =

Tương tự, ta cũng có SB BD^ hay 090 .SBD =

Ta có 090SAD SBD SCD= = = nên khối chóp .S ABCD nhận trung điểm I của

SD làm tâm mặt cầu ngoại tiếp, bán kính 2 2

22 2

SD SA ADR a

+= = = .

Vậy 2.R

a=

Câu 19. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AB a= , AD a= . Cạnh bên SA vuông

góc với đáy và góc giữa SC với đáy bằng 045 . Gọi N là trung điểm SA , h là chiều cao của khối chóp .S ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .N ABC . Biểu thức liên hệ giữa R và h là:

A. 4 5R h= . B. 5 4R h= . C. 4

5 5R h= . D.

5 5

4R h= .


OM

C

D

B

E

A

I

EA D

B

S

C



10

Ta có ( )( ) ( ) 45 , ,SC ABCD SC AC SCA°= = = .

Trong SACD , ta có 5.h SA a= =

Ta có ( )BC AB

BC SAB BC BNBC SA

ì ^ïÞ ^ Þ ^í

^ïî.

Lại có NA AC^ . Do đó hai điểm ,A B cùng nhìn đoạn NC dưới

một góc vuông nên hình chóp .N ABC nội tiếp mặt cầu tâm J là

trung điểm NC , bán kính 2

21 5. .

2 2 2 4

NC SA aR JN AC

æ öç ÷= = = + =ç ÷è ø

Câu 20. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a . Đường thẳng 2SA a= vuông

góc với đáy ( )ABCD . Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng ( )a đi qua hai điểm A và M đồng thời

song song với BD cắt SB , SD lần lượt tại ,E F . Bán kính mặt cầu đi qua năm điểm , , , ,S A E M F

nhận giá trị nào sau đây?

A. 2a . B. a . C. 2

2

a. D.

2

a.


Mặt phẳng ( ) BDa cắt SB , SD lần lượt tại ,E F nên EF BD .

SACD cân tại A , trung tuyến AM nên AM SC^ . ( )1

Ta có ( )BD AC

BD SAC BD SCBD SA

ì ^ïÞ ^ Þ ^í

^ïî.

Do đó EF SC^ .( )2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra ( )SC SC AEa^ Þ ^ . ( )*

Lại có ( )BC AB

BC SAB BC AEBC SA

ì ^ïÞ ^ Þ ^í

^ïî.( )**

Từ ( )* và ( )** , suy ra ( )AE SBC AE SB^ Þ ^ .

Tương tự ta cũng có .AF SD^

Do đó 090SEA SMA SFA= = = nên năm điểm , , , ,S A E M F cùng

thuộc mặt cầu tâm I là trung điểm của SA , bán kính 2

2 2

SA aR = = .

Câu 21. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đường thẳng SA vuông góc đáy

( ).ABCD Gọi H là hình chiếu của A trên đường thẳng SB . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

HBCD có giá trị nào sau đây?

J

N

OB C

DA

S

IF

E

M

OB

A D

C

S



11

A. 2a . B. a . C. 2

2

a. D.

2

a.

Hướng dẫn giải: Gọi O AC BD= Ç .

Vì ABCD là hình vuông nên OB OD OC= = .( )1

Ta có ( )CB AB

CB SAB CB AHCB SA

ì ^ïÞ ^ Þ ^í

^ïî.

Lại có AH SB^ .

Suy ra ( )AH SBC AH HC^ Þ ^ nên tam giác AHC vuông tại H

và có O là trung điểm cạnh huyền AC nên suy ra ( )2OH OC= .

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra 2

.2

aR OH OB OD OC= = = = =

Câu 22. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Cạnh bên 6SA a= và vuông góc

với đáy ( )ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD ta được:

A. 2 2a . B. 28 ap . C. 22a . D. 22 ap .

Hướng dẫn giải: Gọi O AC BD O= Ç Þ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .

Gọi I là trung điểm SC , suy ra ( ).IO SA IO ABCDÞ ^

Do đó IO là trục của hình vuông ABCD , suy ra .IA IB IC ID= = = ( )1

Tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm cạnh huyền SC nên

IS IC IA= = . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có: 22

SCR IA IB IC ID IS a= = = = = = =

Vậy diện tích mặt cầu 2 24 8S R ap p= = (đvdt).

Câu 23. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là:

A. 32

3

ap. B.

311 11

162

ap. C.

3

6

ap. D.

3

3

ap.


OB C

DA

S

H

O

I

B

A D

C

S



12

Gọi O AC BD= Ç . Suy ra .OA OB OC OD= = = ( )1

Gọi M là trung điểm AB , do tam giác SAB vuông tại S nên MS MA MB= = . Gọi H là hình chiếu của S trên AB .

Từ giả thiết suy ra ( ).SH ABCD^

Ta có ( )OM AB

OM SABOM SH

ì ^ïÞ ^í

^ïînên OM là trục của tam giác SAB ,

suy ra .OA OB OS= = ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có .OS OA OB OC OD= = = =

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD , bán kính

2

2

aR OA= = .

Suy ra 3

34 2

3 3

aV R

pp= = (đvtt).

Câu 24. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a . Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD là:

A. 2ap . B. 22 ap . C. 24 ap . D. 26 ap .

Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD .

( ),SO ABCD OA OB OC ODÞ ^ = = =

SACD có: , 2SA SC a AC a SAC= = = Þ D vuông cân tại S

1

2OA OC OS ACÞ = = =

Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABCD

2 224 2

2 2

AC aR OA S R ap pÞ = = = Þ = =

Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 060 . Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD là:

A. 34

3

ap. B.

32 6

9

ap. C.

38 6

9

ap. D.

38 6

27

ap.


M

OB C

DA

H

S

O

B

S

C

D

A



13

Gọi O AC BD= Ç , suy ra ( )SO ABCD^ .

Ta có ( ) 060 , ,=SB ABCD SB OB SBO= = .

Trong SOBD , ta có 6.tan

2

aSO OB SBO= = .

Ta có SO là trục của hình vuông ABCD . Trong mặt phẳng SOB , kẻ đường trung trực d của đoạn SB .

Gọi I SO IA IB IC ID

I SO dI d IS IB

ì ìÎ = = =ï ï= Ç Þ Þí í

Î =ï ïî î

IA IB IC ID IS RÞ = = = = = .

Xét SBDD có 60o

SB SD

SBD SBO

ì =ïÞí

ï = =î SBDD đều.

Do đó d cũng là đường trung tuyến của SBDD . IÞ là trọng tâm SBDD .

Bán kính mặt cầu 2 6

3 3

aR SI SO= = = . Suy ra

334 8 6

.3 27

aV R

pp= =

Câu 26. Diện tích của hình cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a là:

A. 27

9ap . B. 27

12ap . C. 27

3ap . D. 27

36ap .


Gọi O là trọng tâm ABCD , 'O là trọng tâm ' ' 'A B CD ( )'OO ABCÞ ^

Gọi I là trung điểm của 'OO IÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ. 2 2

2 2 2 23 ' 21 74

3 2 6 3

AB AA aR IA OA OI S R ap p

æ ö æ öç ÷ ç ÷= = + = + = Þ = =ç ÷ç ÷ è øè ø

Câu 27. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ' ' 'ABC A B C có AB a= , góc giữa hai mặt phẳng ( )'A BC và ( )ABC

bằng 60° . Gọi G là trọng tâm tam giác 'A BC . Diện tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a bằng:

A. 27

6ap . B. 249

36ap . C. 249

144ap . D. 249

108ap .


OD

AB

C

S

I

I

O

O'

B'

C'

C

B

A

A'



14

Gọi M là trung điểm của BC .

( ) ( )( ) ( ) ' , ' , ' 60

3' . tan 60

2

A BC ABC A M AM AMA

aAA AM

Þ = = = °

Þ = °=

Gọi O là trọng tâm ABCD ( )'OG AA OG ABCÞ Þ ^

Gọi I là giao điểm của OG và trung trực của AG IÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC .

2 2

22 2

' 21

3 2 6

7 492 42 12 36cos

AA a aOG AG OG OA

AGNG AG a

R GI S R aOG OGAGOAG

p p

= = Þ = + =

= = = = = Þ = =

Câu 28. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại B , 3AC a= , góc ACB bằng 030 . Góc giữa đường thẳng 'AB và mặt phẳng ( )ABC bằng 060 . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

'A ABC bằng:

A. 3

4

a. B.

21

4

a. C.

21

2

a. D.

21

8

a.


Ta có ( ) 060 ', ', 'AB ABC AB AB B AB= = = .

Trong ABCD , ta có 3.sin .

2

aAB AC ACB= =

Trong 'B BAD , ta có 3' . tan ' .

2

aBB AB B AB= =

Gọi N là trung điểm AC , suy ra N là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD .

Gọi I là trung điểm 'A C , suy ra ( )'IN AA IN ABCÞ ^ .

Do đó IN là trục của ABCD , suy ra .IA IB IC= = ( )1

Tam giác 'A AC vuông tại A có I là trung điểm 'A C nên 'IA IC IA= = . ( )2

Từ ( )1 và ( )2 , ta có 'IA IA IB IC= = = hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp '.A ABC với bán kính 2 2' ' 21

'2 2 4

A C AA AC aR IA

+= = = = .

Câu 29. Thể tích của khối cầu nội tiếp khối lập phương có cạnh bằng a là:

A. 31

2ap . B. 32

9ap . C. 32

3ap . D. 31

6ap .


N

G

O M

B'

C'

C

B

A

A'

A M

A'

O

G

I

N

I B'

C'

A C

B

A'



15

Gọi O là giao điểm của 'BD và 'B D . OÞ là tâm mặt cầu nội tiếp khối lập phương

( )( )3

34,

2 3 6

a aR d O ABCD V R

pp= = Þ = =

Câu 30. Một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương cạnh a thì diện tích mặt cầu đó bằng:

A. 2ap . B. 22 ap . C. 24 ap . D. 22a .

Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của 'BD và 'B D , M là trung điểm của CD . OC OD OM CD O= Þ ^ Þ là tâm mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương.

2 2' 24 2

2 2

B C aR OM S R ap p= = = Þ = =

Câu 31. Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2 , 4 ,6cm cm cm . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ

nhật bằng:

A. 2 14R cm= . B. 14R cm= . C. 28R cm= . D. 14R cm= .

Hướng dẫn giải: Gọi O là giao điểm của 'BD và 'B D .

OÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

( )( )

2 2 2''14

2 2

BC CD BBBDR OB cm

+ += = = =

Câu 32. Một hình trụ có bán kính bằng 1, thiết diện qua trục là hình vuông. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình trụ là:

A. 6 3p . B. 3 3p . C. 4 2

3

p. D.

8 2

3

p.


O

A' D'

C'B'

B

AD

C

M

O

A' D'

C'B'

B

AD

C

2

4

6 O

A' D'

C'

B

C

DA

B'



16

Gọi O là tâm của thiết diện qua trục OÞ là tâm khối cầu ngoại tiếp hình trụ.

31 4 8 22 2

2 3 3AB R OA AC V R

pp= Þ = = = Þ = =

Câu 33. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a . Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình nón bằng:

A. 34 3

27

ap. B.

3 3

2

ap. C.

34

3

ap. D.

3 3

27

ap.

Hướng dẫn giải: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình nón chính là trọng tâm O của tam giác.

332 3 4 4 3

3 3 3 27

a aR OA AM V Rp= = = Þ = =

Câu 34. Người ta xếp 7 quả bóng bàn có cùng đường kính vào một cái hộp hình trụ sao cho tất cả các quả bóng bàn đều tiếp xúc với mặt đáy hình trụ, quả bóng nằm giữa tiếp xúc với 6 quả bóng xung quanh và mỗi quả bóng xung quanh đều tiếp xúc với các đường sinh của hộp hình trụ. Biết diện tích đáy hình trụ là

( )23600 mmp . Thể tích của mỗi quả bóng bàn là:

A. ( )3256000

3mm

p. B. ( )332000

3mm

p. C. ( )364000

3mm

p. D. ( )3128000

3mm

p.


( )

2

3 3

13600 60 20

34 32000

3 3

d t b t

b b

S R R r R

V r mm

p p

pp

= = Þ = Þ = =

Þ = =

Câu 35. Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng

hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng 3 lần đường kính quả banh. Gọi 1S là tổng

diện tích của ba quả banh, 2S là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích 1

2

S

S là:

O

D

B C

A

O

M

A

B C



17

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Hướng dẫn giải: Giả sử đáy của hình trụ có bán kính R Þ Bán kính của banh là R . Chiều cao của hình trụ là 3.2 6h R R= =

2 21

2

3.4 121

2 . 2 .6

S R R

S R h R R

p p

p p= = =

Câu 36. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng ( )SA ABC^ , tam giác SBC vuông cân

tại B có diện tích bằng 22a ?

A. 2R a= . B. 2 2R a= . C. R a= . D. 2R a= .

Hướng dẫn giải: Gọi I là trung điểm của SC

SI IC IB IA IÞ = = = Þ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC

2 212 2 2 2

2

22

SBCS SB a SB BC a SC a

SCR a

= = Þ = = Þ =

Þ = =

Câu 37. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD có ( )SA ABCD^ trong đó ABCD là hình chữ

nhật với 2 2AB AD a= = đồng thời 1cos

10BSD = .

A. 4S p= . B. 6S p= . C. 13

2S

p= . D. 8S p= .


R

I

A C

B

S



18

Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD , I là trung điểm của SC

( )OI ABCD IÞ ^ Þ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

.S ABCD Đặt SA x= . Ta có:

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

4 ;

5

2 . .cos

15 4 2 4 . .

10

1 1 6

2 2 2

4 6

SB SA AB x a SD SA AD x a

BD AC AB AD a

BD SB SD SB SD BSD

a x a x a x a x a

ax a SA a R SI SC SA AC

S Rp p

= + = + = + = +

= = + =

= + -

Û = + + + - + +

Û = Û = Þ = = = + =

Þ = =

Câu 38. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng ( )SA ABC^ , tam giác ABC vuông tại

A và tam giác SBC đều cạnh a .

A. 2

2

aR = . B.

3

2

aR = . C.

6

4

aR = . D.

2

aR = .

Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , I là trung điểm của SA , M là trung điểm của BC .

Trong ( )SAM đường thẳng vuông góc với SM tại

G và đường thẳng vuông góc với SA tại I cắt nhau tại O

OÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC

( )

2 2

2 2

2 1;

2 2 22

3 3 2;

2 2 2

.

1 1.. 6 2

1 4 22

6

4

BC a aSB SC AB AC AM BC

BC a aSM SA SM AM

IN SNSIN OGN g g

GN ON

SM SMGN SN a aON OI

IN AM

aR SO SI OI

= Þ = = = = =

= = = - =

D D Þ =

Þ = = = Þ =

Þ = = + =

∽

I

OB

AD

C

S

O

N O

G

I

I

G

M

B

CS

A

A M

S



19

Câu 39. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng ( )SA ABC^ , tam giác ABC đều cạnh

a đồng thời ( )SBC tạo với mặt phẳng đáy góc 60° .

A. 43

4S

p= . B.

43

24S

p= . C.

43

16S

p= . D.

43

12S

p= .

Hướng dẫn giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm của SAa , M là trung điểm của BC .

Trong ( )SAM đường thẳng vuông góc với AM tại G và

đường thẳng vuông góc với SA tại I cắt nhau tại O OÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC

( ) ( )( )

2 2 2

, 60

3 3 3.tan 60

2 2 2

3 1 3;

3 2 4

129 434

12 12

SB SC SM BCSBC ABC SMA

AM BC

BC a aAM SA AM

a aOI AG OG AI SA

aR OA AI OI S R

pp

ü= Þ ^ ïÞ = = °ý

^ ïþ

= = Þ = °=

= = = = =

Þ = = + = Þ = =

Câu 40. Tính bán kính khối cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác đều .S ABC có cạnh bên bằng 2a và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60° .

A. 2 3

3

aR = . B.

3

3

aR = . C.

3

aR = . D. R a= .

Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm ABCD

( ) ( )( ) ( )

2 2

, , 60

.cos 60 3

SO ABC SA ABC SA AO SAO

AO SA a SO SA AO a

Þ ^ Þ = = = °

Þ = °= Þ = - =

Trong ( )SOA , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SO tại I

,I d IS IA I SO IA IB ICÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC . Gọi M là trung điểm SA , ta có SMI SOAD D∽ nên

2. 2 3

2 3

SM SA SA aR SI

SO SO= = = = .

Câu 41. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tứ giác đều .S ABCD có thể tích bằng 2 3 và diện tích

xung quanh đạt giá trị nhỏ nhất.

OI

GM

A C

B

S

M

O

A C

B

S

I



20

A. 2 3R = . B. 3R = . C. 2R = . D. 2 3

3R = .


Gọi O là tâm đáy ABCD ( )SO ABCDÞ ^

Trong ( )SBC , kẻ trung trực d của đoạn SC cắt SO tại

I ,I d IS IA I SO IA IB ICÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC .

Đặt AB x= 2. 2

1 6 3. . 2 3

3S ABCDV AB SO SOx

Þ = = Þ =

Gọi N là trung điểm CD 2

2 24

2 4

4 2

4 4

32 2 2 2

4

2

1 108

2 2 4

1 108 1084 4. . . 2

2 4 4

54 54 54 542 2 3 . . 6 3

4 4

54min 6 3 6

4

xq SCD

xq

x xON AD SN SO ON

x

x xS S x

x x

x x

x x x x

xS x

x

= = Þ = + = +

Þ = = + = +

= + + ³ =

Þ = Û = Û =

2

16 3; 3 6

2

.3

2

AB OD BD SO SD

SM SD SDSMI SOD R SI

SO SO

= Þ = = = Þ =

D Þ =D = = =∽.

Câu 42. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng 3SA SB SC a= = = , tam giác ABC

vuông tại B có 2AC a= .

A. 3 3

5

aR = . B. R a= . C.

3 2

4

aR = . D. 2R a= .


N

M

OB

AD

C

S

I



21

Gọi M là trung điểm của AC

( )SA SB SC SM ABC= = Þ ^

Trong ( )SAC , kẻ trung trực d của đoạn SA cắt SM

tại O

;O d OS OA O SM OA OB OCÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó OA OB OC OS= = = nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC .

2 2

2

2

. 3 2

2 4

SM SA AM a

SA SI SA aSOI SAM R SO

SM SMD

= - =

D Þ = = = =∽

Câu 43. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Tam giác SAB

nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy đồng thời 3,SA a SB a= = .

A. 2

4

aR = . B.

3

2

aR = . C.

3

3

aR = . D. 2R a= .


Kẻ ( )SH AB SH ABCD^ Þ ^

Gọi N là trung điểm của AB 2 2 23; ; 2SA a SB a AB a SA SB AB= = = Þ + =

SABÞ D vuông tại S NS NA NBÞ = =

( )( )

SH ABCD SH NONO SAB

NO AB

OA OB OS

ü^ Þ ^ ïÞ ^ý

ï^ þ

Þ = =

Mà OA OB OC OD= = = Do đó OA OB OC OD OS= = = = nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

12

2R OA AC aÞ = = =

Câu 44. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông, tam giác SAB đều và

nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy biết rằng thể tích của khối chóp đã cho bằng 34 3

3

a.

A. 21

7

aR = . B.

3

2

aR = . C.

3 3

7

aR = . D.

21

3

aR = .


I

M

S

B

CA

O

HN

OB C

DA

S



22

Gọi H là trung điểm của ( )AB SH ABCDÞ ^

Gọi G là trọng tâm của SABD

Đặt 3

2

xAB x SH= Þ =

3 32

.

1 1 3 4 3. . . 2

3 3 6 3S ABCD ABCD

x aV S SH AB SH x a= = = = Þ =

Trong ( )SHO , kẻ đường thẳng vuông góc với SH tại G , đường

thẳng vuông góc với HO tại O , cắt nhau tại I

;I GI IS IA IB I OI IA IB IC IDÞ Î Þ = = Î Þ = = =

Do đó IA IB IC ID IS= = = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

2 22 2 3 1 21;

3 3 2 3

a aSG SH GI AD a R SI SG GI= = = = Þ = = + =

Câu 45. Chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , ( )SA ABCD^ , góc giữa ( )SBD và ( )ABCD bằng

60° . Gọi H là hình chiếu của A trên SB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp .H ABCD .

A. 2

4

aR = . B.

3

2

aR = . C.

3

3

aR = . D.

2

2

aR = .


Gọi 2

2

aO AC BD OA OB OC OD= Ç Þ = = = =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

22 2

2 2

2 2

;, , 60

6 10 10.tan 60 ; ;

2 2 5

2. . .cos

22. . .

2

2

2

SO BD AO BDSBD ABCD SO AO SOA

SBD ABCD BD

a a AB aSA OA SB SA AB BH

SB

OH BH BO BH BO SBO

BO aBH BO BH BO

SB

aR OA OB OC OD OH

üÞ ^ ^ ïÞ = = = °ý

Ç = ïþ

Þ = °= = + = = =

= + -

= + - =

Þ = = = = = =

Câu 46. Chóp .S ABC có ( )SA ABC^ , các tam giác ABC vuông tại B và tam giác SAC vuông cân tại A .

Mặt phẳng ( )P đi qua A , vuông góc với SC và cắt ,SB SC lần lượt tại ,M N . Xác định tỷ số thể

tích của hai khối cầu ngoại tiếp tứ diện SAMN và khối chóp .A BMNC .

A. 1. B. 2

3. C.

1

2. D.

1

8.

IG

HO

B

AD

C

S

OB C

DA

S

H



23


( )( )

( )( )

;

SA ABC SA BCBC SAB

BC AB

BC AMAM SBC

SC SMN SC AM

AM SB AM MC

ü^ Þ ^ ïÞ ^ý

ï^ þ

üÞ ^ ïÞ ^ý

^ Þ ^ ïþ

Þ ^ ^

Gọi ,I J lần lượt là trung điểm của ,SA AC

,I JÞ lần lượt là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

SAMN và khối chóp .A BMNC

33

1

32

4.

3 14

.3

IAV IA

V JAJA

p

p

æ öç ÷Þ = = =ç ÷è ø

Câu 47. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng ( )SA ABC^ , tam giác ABC vuông tại

B , , 30AB a BAC= = °, góc giữa hai mặt phẳng ( )SBC và ( )ABC bằng 60° .

A. 37

6

aV

p= . B.

34 3

3

aV

p= . C.

313 39

54

aV

p= . D.

316 5

54

aV

p= .

Hướng dẫn giải: Gọi I lần lượt là trung điểm của SC

( )( )

SA ABC SA BCBC SAB BC SB

BC AB

ü^ Þ ^ ïÞ ^ Þ ^ý

ï^ þ

IÞ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC .

( ) ( )( ) ( )

32 2 3

, , 60

2 3.tan 60 3;

cos30 3

1 1 39 4 13 39

2 2 6 3 54

SBC ABC SB AB SBA

AB aSA AB a AC

a aR SI SC SA AC V R

pp

= = = °

Þ = °= = =°

Þ = = = + = Þ = =

Câu 48. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , đồng thời tam giác SAB vuông cân và tam giác SCD đều.

A. 21

3

aR = . B.

21

6

aR = . C.

21

7

aR = . D.

7

3

aR = .


J

I

A C

B

S

N

M

I

S

B

CA



24

Kẻ ( )SK HO SK ABCD^ Þ ^

Trong ( )SHM , kẻ đường thẳng vuông góc với SH tại

H và đường thẳng vuông góc với HM tại O , cắt nhau tại I

;I HI IS IA IB I OI IA IB IC IDÞ Î Þ = = Î Þ = = =

Do đó IA IB IC ID IS= = = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD .

2 2 2

2 2

1 3 3; ,

2 2 2 2

; 60

3

cos30 3

21

6

a CD aSH AB HM AD a SM

SH SM HM SH SM SHM

HO aHI

aR SI SH HI

= = = = = =

Þ + = Þ ^ = °

Þ = =°

Þ = = + =

Câu 49. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng ( )SA ABC^ , tam giác ABC vuông tại

A có 3 , 4AB a AC a= = và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC là 2a .

A. 2147

4

aS

p= . B.

2155

6

aS

p= . C.

2161

5

aS

p= . D.

2110

3

aS

p= .

Hướng dẫn giải: Kẻ AH SB^

( )( )

( ) 2 2

. 6 5, 2

5

AC ABAC SAB

SA ABC SA AC

AC AH AB AH ad SB AC AH a SA

AH SB AB AH

ü^ ïÞ ^ý

^ Þ ^ ïþ

üÞ ^ ïÞ = = Þ = =ý

^ ï -þ

Trong ( )SAM , kẻ đường trung trực d của SA và đường thẳng vuông góc với

AM tại M , cắt nhau tại I . ;I d IS IA I MI IA IB ICÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABCD

22 2 2

1 3 5 1 5;

2 5 2 2

805 1614

10 5

a aIM SA AM BC

a aR IA IM AM S R

pp

= = = =

Þ = = + = Þ = =

Câu 50. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC biết rằng 2SA SB SC a= = = , tam giác ABC có

, 2AB a AC a= = , trung tuyến 7

2

aAM = .

I

S

K

O

KM

HO

B

A D

C

H M

S

I

N

M

S

B

CA

H



25

A. 2 3

3

aR = . B.

3

3

aR = . C.

3

aR = . D. R a= .


( )2 2 2

2 2 22

32

AB AC BCAM BC a AB BC AC

+ -= Þ = Þ + =

ABCÞ D vuông tại B Gọi N là trung điểm của AC

( )SA SB SC SN ABC= = Þ ^

Trong ( )SAC , kẻ đường trung trực d của SA cắt SN tại I .

;I d IS IA I NS IA IB ICÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC

2

2 2

. 2 3

32

SP SA SA aSPI SNA R SI

SN SA AND D Þ = = = =

-∽

Câu 51. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều ABCD có độ dài các cạnh như sau: ,AB CD a= =

,BC AD b AC BD c= = = = .

A. 2

ab bc caR

+ += . B.

2 2 2

2 2

a b cR

+ += . C.

2 2 2

2

a b cR

+ += . D.

2 2 2

4

a b cR

+ += .

Hướng dẫn giải: Gọi , ,M N I lần lượt là trung điểm của , ,AB CD MN .

, ,MN AB MN CD IA IB IC ID

AB CD OIB OIC IB IC

Þ ^ ^ Þ = =

= Þ D = D Þ =

Do đó IA IB IC ID= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều ABCD .

( ) ( )2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 22 2

2 2

2 2

1 1

2 2 2 2

2 2

AC BC AB c b aMC

c b a c b aMN MC CN IN MN

a b cR IC CN IN

+ - + -= =

+ - + -Þ = - = Þ = =

+ += = + =

Câu 52. Trong mặt phẳng ( )P cho đường tròn ( )C đường kính 2AB R= . Gọi M là một điểm di động trên

đường tròn. Kẻ MH vuông góc với AB tại H với ( )0 2AH x x R= < < . Dựng đường thẳng vuông

góc với ( )P tại M . Trên đường thẳng đó lấy điểm S sao cho MS MH= . Xác định giá trị lớn nhất

bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABM ?

P

M

NA C

B

S

I

I

M

N

A

C

DB



26

A. 5

2

R. B.

3

2

R. C. R . D. 2R .

Hướng dẫn giải: Gọi N là trung điểm của AC

Trong ( )SMN , kẻ đường trung trực d của SM và đường thẳng

vuông góc với MN tại N cắt nhau tại I . ;I d IS IM I IN IA IB IMÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IM IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SABM

2 2 2 2 2 2

1 1;

2 2

1 1 5

4 4 2

IP MN R IN SM MH

Rr MI MN IN MN MH MN MN

= = = =

= = + = + £ + =

Câu 53. Chóp .S ABCD có SA vuông góc mặt phẳng đáy. Đáy ABCD là hình chữ nhật với 2AD a= và

AB a= . Góc giữa hai mặt ( )SBD và ( )ABCD là 45° . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

A. 5

4

aR = . B.

3

2

aR = . C.

4

aR = . D.

7

4

aR = .

Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD , I là trung điểm của SC

( )OI ABCD IÞ ^ Þ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

.S ABCD

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2

1 55

2 2

, , 45

5 1 1 5

2 2 2 4

aAC BD AB AD a AO AC

SBD ABCD SO AO SOA

a aSA AO R SI SC SA AC

= = + = Þ = =

= = = °

Þ = = Þ = = = + =

Câu 54. Chóp .S ABC có hai mặt ( ) ( ),SAB SAC vuông góc với đáy. Đáy ABC cân có 120BAC = °,

2AB AC a= = , góc giữa ( )SBC và mặt đáy là 60° . Xác định thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp.

A. 33 18V ap= . B. 319 19

6

aV

p= . C.

310 20

3

aV

p= . D.

313 13

6

aV

p= .


I

P

N

S

A

BM

H

I

OB

AD

C

S



27

( ) ( ) ( ) ( ) ( ),SAB ABC SAC ABC SA ABC^ ^ Þ ^

Gọi M là trung điểm của BC , D là điểm đối xứng mới A qua

M .

Trong ( )SAD , kẻ đường trung trực d của SA và đường

thẳng vuông góc với AD tại D cắt nhau tại I . ;I d IS IA I ID IA IB ICÞ Î Þ = Î Þ = =

Do đó IA IB IC IS= = = nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp .S ABC

( )

( ) ( )( ) ( )

2 2

2 2 2

32 2 3

2 . .cos120 2 3

22 2

2

, , 60

1 1 3. . tan 60

2 2 2

19 4 19 19

2 3 6

BC AB AC AB AC a

AB AC BCNI AM a AD AM a

SBC ABC SM AM SMA

aID NA SA AM

a aR AI AD ID V R

pp

= + - ° =

+ -= = = Þ = =

= = = °

Þ = = = °=

Þ = = + = Þ = =

Câu 55. Tứ diện đều ABCD có bán kính mặt cầu ngoại tiếp là 6

4

a. Xác định thể tích tứ diện.

A. 3 2

6

aV = . B.

3 3

12

aV = . C.

3 2

12

aV = . D.

3 3

24

aV = .

Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của CD , N là trung điểm của AB . Đặt AB a= Gọi O là giao điểm của trung trực của AB và AG

OA OBÞ = BCDD đều GÞ là tâm đường tròn ngoại tiếp BCDD

( ),SG BCD O SG OB OC OD^ Î Þ = =

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

2

2 2

2 2

3

162

4cos 2

6

3

1 2.

3 12ABCD BCD

ABAN AB xR OA

AGBAG AB BGAB

ax a AB a AG AB BG

aV S AG

= = = = =-

Þ = Þ = Þ = - =

Þ = =

I

N

MB D

CA

S

O

N

G

G M

B D

C

A

B M

A



28

Câu 56. Lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân cạnh a , khoảng cách giữa AB và ' 'B C là 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

A. 6

3

aR = . B.

6

2

aR = . C.

3

2

aR = . D.

3

4

aR = .


( )' , ' ' ' ' , ' ' 2BB AB BB B C BB d AB B C a^ ^ Þ = =

Giả sử ABCD vuông cân tại B . Gọi I là giao điểm của 'AC và 'A C IÞ là tâm đường tròn ngoại tiếp lăng trụ

2 2 2 21 1 62 '

2 2 2

aAC AB BC a R AC AA AC= + = Þ = = + =

Câu 57. Cho tứ diện ABCD . Tập hợp các điểm M thỏa mãn MA MB MC MD a+ + + =

là một mặt cầu có

bán kính là:

A. R a= . B. 2R a= . C. 4

aR = . D.

2

aR = .


Giả sử ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;A x y z B x y z C x y z D x y z

Giả sử ( ); ;I x y z là thỏa mãn 0IA IB IC ID+ + + =

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4; ;4 4 4

x x x x y y y y z z z zIæ ö+ + + + + + + + +ç ÷Þ ç ÷è ø

4 44

aa MA MB MC MD MI IA IB IC ID MI R MI= + + + = + + + + = Þ = =

Câu 58. Hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có , 2AB AD a CD a= = = . Gọi 't Dt là đường thẳng

vuông góc với ( )ABCD tại D . Trên đường thẳng đó lấy M sao cho 2MD a= . Tính diện tích mặt

cầu ngoại tiếp tứ diện MBCD .

A. 28S ap= . B. 24S ap= . C. 26S ap= . D. 212S ap= .


I

N

B'

C'A'

B

CA



29

Gọi I là trung điểm của MC

2; 2BD BC a CD a BCD= = = Þ D vuông tại B

IÞ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp

2 2

2 2

1 12

2 2

4 8

R MC CD MD a

S R ap p

Þ = = + =

Þ = =

Câu 59. Cho mặt cầu ( )S tâm O bán kính R . Gọi V là thể tích khối chóp tứ giác đều nội tiếp mặt cầu đã

cho. Giá trị lớn nhất của V là?

A. 364

81

RV = . B.

316

81

RV = . C.

3128

81

RV = . D.

3

81

RV = .


Gọi I là tâm hình vuông ABCD ( )SI ABCDÞ ^

Đặt ( ) 2 20OI x x R AI R x= < < Þ = -

( ) ( )( )( )

( )

2 2 2 2 2

2 2

3 2 2 3

2 2

21 2.

3 3 3

ABCD

ABCD ABCD

AB R x S AB R x

R x R xV S SI x Rx R x R

Þ = - Þ = = -

- +Þ = = = - - + +

Xét hàm số ( ) 3 2 2 3f x x Rx R x R= - - + + trên ( )0; R

( ) ( )2 2

3

max max

' 3 2 ; ' 0 1

3

32 2 64

3 27 3 3 81

x Rf x x Rx R f x

x R

R R R Rf f V f

é = -ê

= - - + = Ûê=ê

ë

æ ö æ öç ÷ ç ÷Þ = = Þ = =ç ÷ ç ÷è ø è ø

I

B

NDC

A

M

C

D

S

O

IB

A

ab bc bc cd cd ab - hoc24h.vn · gọi m là trung điểm ac, suy ra sm abc sm ac^Þ^( ). tam...

Documents