การใช้ทฤษฎี castigliano’s หาผลเฉลยที่ ... ·...
TRANSCRIPT
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 41 -
การใชทฤษฎ Castigliano’s หาผลเฉลยทแทจรงของการเสยรป ในชนสวนทมขนาดพ นทหนาตดไมคงท
(An Extension of Castigliano’s Theorem to Finding Exact
Solutionof Deformation of Parts with Varying Cross-Sections)
ตอศกด อทยไขฟา1) ณฐชานนท องศเศรณ
2)
1) ภาควชาวศวกรรมอตสาหการ วทยาลยวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยรงสต 2) ภาควชาวศวกรรมอตสาหการ คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยปทมธาน
Email: [email protected]
บทคดยอ
บทความนเปนการอธบายถงการน าทฤษฎ Castigliano ไปใชแกปญหาการหาขนาดการเสยรปทเกดขนในชนสวนทมพนทหนาตดไมคงทของชนสวนรบแรงรปตว C(Channel) ยาว 1 m เชอมตดกบเสารปตว T สง 4 m การพสจนทฤษฎกระท าโดยใชหลกการของทฤษฎอนรกษพลงงานและ Calculus ผลการค านวณทางทฤษฎพบวาคานรปตว c มระยะ Deflection คดเปนรอยละ 2.97 ของการเสยรปทงหมดของระบบ และเสารปตว T มระยะการ Deflection คดเปนรอยละ 96.94 สวนกรณการเกด Axial Load ในคานชนท1 คดเปนรอยละ 0.0884 ค ำส ำคญ : ทฤษฎ Castigliano, การหาผลเฉลยทแทจรง, พนทหนาตดไมคงท
Abstract
The work under study consists of one-meter C-Channel beam welded with a four meter T section beam. The validation of the model is made through the Castigliano’s theorem in conjunction with calculus. The calculations show that the C-Channel contributes 2.97% of the whole deformation under deflection leaving the rest, 96.94%, to the T-beam. Under axial load the proportion of the C-Channel reduces to 0.0884%. Keywords : Castigliano’s Theorem, Finding Exact Solution, Varying Cross-Sections.
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 42 -
1. บทน า ในโอกาสครบรอบ 129 ปการจากไปของ Carlo Alberto Castigliano นกคดทฤษฎและวศวกรหนมผมอายส นเพยง 37 ป กบความสามารถในการคดทฤษฎซงมผ สามารถน าไปตอยอดไดมากมาย บทความนจะกลาวถงทฤษฎและตวอยางของการหาคาการเสยรปใน column รปตว c ซงมพนทหนาตดไมคงตว จะเหนไดวาชนสวนทวไปทมพนทหนาตดเทากนตลอดนน ไดมผหาสตรการเสยรป และความเคนทเกดขนไวใชงาน ดงจะพบไดในตารางทายของเลมหนงสอทวไปทเ กยวกบงานทางดานน ส าหรบในบางกรณทวศวกรผออกแบบไดออกแบบใหชนสวนมความแขงแรงยงขน หรอบางกรณเปนออกแบบเพอใหประหยดขนอาจท าใหรปทรงตางๆมหนาตดไมสม าเสมอเหมอนในตาราง การหาขนาดของการเสยรปจะท าไดยากขน ทฤษฎ Castigliano ไดเขามามบทบาทในกรณน
ส าหรบตวทฤษฎไดถกแยกออกเปน 2 ทฤษฎ อยางไรกตามเมอกลาวถงทฤษฎท 2 ซงเปนทฤษฎทกลาวถงการเสยรป โดยอางองตาม [1] กลาววา ส าหรบระบบแบบอลาสตกใดๆทอยภายใตจดรองรบทแขงเกรง ถามแรงกระท าจากภายนอกขนาด F1, F2, …, Fn (รวมทงโหลดแบบกระจายและโหลดจากความเคนทเกดจากอณหภมดวย) กระท ากบระบบดงกลาว สามารถหาระยะการขจดของจดทมแรงกระท าไดจากความสมพนธดงสมการ
F
Uq
i
i
, ni ..., ,3 2, 1, (1)
เมอ iq ขนาดของการเสยรป U ฟงกชนของพลงงานภายในของระบบ iF โหลดทกระท ากบระบบ
2. ทฤษฎ Castigliano ทฤษฎ Castigliano มรากฐานอยบนทฤษฎของการอนรกษพลงงานและมการพสจนไดหลายชองทางแตใน
บทความนจะแสดงการพสจนในบรบทของทฤษฎทางกลศาสตรรวมกบแคลคลส โดยมขนตอนดงน ล ำดบท 1 สมมตใหระบบ(System) ถกตรงอยกบทโดยจดรองรบทแขงเกรง(Rigid Supports)
ขนท 1 ใหระบบถกกระท าดวยแรง nFFF ,...,, 21
เนองจากทฤษฎ Castigliano เคารพกฏของเทอรโมไดนามกส [2] ดงนนจะไดวา PEKEUWQ 2,12,1 (2) เมอ 2,1Q ความรอนท State1 ส State2 2,1W งานทเกดขนจากท State1 ส State2 U พลงงานภายในเปลยนแปลงของระบบ KE พลงงานจลนทเปลยนแปลงของระบบ PE พลงงานศกยทเปลยนแปลงของระบบ ถาระบบถก Fixed อยกบทดงน นจงไมมการเปลยนแปลงพลงงานจลนและพลงงานศกย และถาเปนระบบ Adiabatic ดงนนจะไมมการเปลยนแปลงของความรอน สมการ(2)จะลดรปลงเหลอ UW 2,1 ถางานภายนอกทกระท ากบระบบเปนการเพมพลงงานภายในใหแกระบบ เราอาจเขยนใหมเพอความสะดวกในรปของ Differential ดงน dUdW (3)
จากนยามของงานเทากบแรงคณระยะทางการเคลอนทในแนวแรงจะได FdxdW FdxW (4)
แตจาก kkxF เมอ k คาคงทของการยดตววสดในชวงอลาสตก
222
2
0
Fkk
dkW (5)
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 43 -
F1
F2
Fn
FJ FJ
Fn F1
F2
1 1
2
n
j
2
n
dFJ
j
F1
F2
Fn
Fj dFj
2
n 1
j dFj
ถาระบบถกแรงภายนอกกระท าท งหมด n แรง สมการ(5) จะเขยนไดใหมเปน
2222211 nnFFF
W
... (6)
หรอเขยนในรปฟงกชนไดเปน nn FFFUFFFfW ,...,,,...,, 2121 (7)
ขนท 2 เพมแรงเลกๆขนาด jdF เพยง 1 แรงเทานนเขาไปทแรง jF ดงนนพลงงานภายในของสมการ(7) จะเขยนไดใหมเปน
njj FdFFFFUUs ...,,..., 211 หรอในทางคณตศาสตรเขยนไดใหมเปน
dUUUs 1 (8) เมอ 1sU พลงงานภายใน ใน step1 แตจาก Elementary Calculus คา Total Differential จะหาได
รปท 1 แสดงการใหแรงกระท าในขนตอนท 1 โดยใหแรงขนาดใหญกอนแรงขนาดเลก
รปท 2 แสดงการใหแรงกระท าในขนตอนท 2 โดยใหแรงขนาดเลกกอนแรงขนาดใหญ
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 44 -
จากสตร
j
j
dFF
UdU
ดงนนสมการ(8) เขยนไดใหมเปน
j
j
dFF
UUU s
1 (9)
ล ำดบท 2 ขนท 1 ใหแรงเลกๆ ขนาด jdF กระท ากบระบบกอนแรงขนาดใหญ (ดรปท2) ดงนนงานทเกดจากแรงขนาดเลกๆ jdF นจะหาไดจากสมการ
2
jddFdW
j (10)
ขนท 2 ในขนนถาใหแรงขนาดใหญๆ ขนาด
nj FFFF ,...,...,, 21 กระท ากบระบบเหมอนทเคยกระท าในล าดบท 1 (แตกระท าตอจากแรงขนาดเลก) จะไดสมการของงานดงสมการ
222
2211 jjFFFW
...
jj
n dFFn
2
... (11)
งานภายนอกทงหมดทกระท ากบระบบจะไดจากการรวมสมการ(10) และสมการ(11 )เขาดวยกน
222
22112
jjFFFWs
...
22
jjjj
ddFd
FFnn
... (12)
2
jj
jj
ddFdFU
(13)
แตจากงานเทากบพลงงานดงนน 22 ss UW อยางไรกตามพลงงานภายในของระบบจะไม
ขนอยกบล าดบกอนหลง (Sequent) ของแรงกระท า ดงนนสมการ(9)เทากบสมการ(13)
j
j
jj
j
dFd
UdFF
UU
2
j
j
jj
j
dFd
dFF
U
2
2j
j
j
d
F
U
ถา j
j
jd
d
j
2lim
0ดงนนจะได
j
jF
U
(14)
3 การประยกตทฤษฎสหลกการทางกล กราฟความสมพนธของงานในการเสยรปบน
ชวงอลาสตกแสดงในรปท 3 จากสมการท (14) มความหมายส าคญทบอกวา ถา
มสมการของพลงงานภายในทเกดจากโหลดตางๆแลวละก เราจะสามารถหาขนาดของการเสยรปทเกดจากโหลดชนดนนไดโดยการดฟเฟอรเรนชเอทสมการพลงงานเทยบกบโหลดชนดน น อยางไรกตามพลงงานภายในของระบบดงกลาวขางตนจะสามารถสะสมไวไดใน 4 รปแบบคอ 1 Axial strain 2 Bending Strain 3 Shear Strain และ 4 Torsion Strain ซง derived มาจากสตรตางๆดงน
1. Axial Energy จากรปท 4 ความเคนและความเครยดของแกน (Axial) ทจดใดๆจะหาไดจากสมการทวไปทเปนฟงกชนของระยะ z
zA
zFz (15)
dz
dz
(16)
แตจาก Hooke’s Law E (17)
dz
dzE
zA
zF (18)
dzzEzA
zFd (19)
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 45 -
21
jjFA
dFj
0
dj j
Fj
jjdFA 2
23
jjddFA
F
F
L
dzzEzA
zF
0 (20)
ถาฟงกชนทกตวในอนทแกรนดลดรปลงเปนคาคงทจะได
L
AE
FLdz
AE
F
0 (21)
จาก A
F , dAdF zz (23)
จาก dz
d z , dzd zz (24)
ส าหรบพลงงานภายในของ Volume Element, dV ทยดตวออกในแกน z เปนระยะ zd จะหาไดจาก
2
zdFddWdU
(22)
แทนสมการ (23) และ (24) ในสมการ (22)
2
dzdxdydW zz
(25)
รปท 3 แสดงกราฟของงานทเกดขนจากการเสยรป
รปท 4 แสดงความสมพนธระหวางการเสยรปกบพลงงานความเครยด
F
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 46 -
dV
EdVdW zzzz
22
/
dUdVE
2
2 (26)
หรอเขยนในกรณทวไปทความเคนและโมดลสเปนฟงกชนของ z ไดเปน
dVzE
zdU
2
2 (27)
dzdxdyzEzA
zFdV
zE
zA
zF
UA
V
2
2
2
22
dz
zEzA
zFU
2
2
(28)
ส าหรบพลงงานภายในชนดท 2, 3 และ 4 จะขอน าสตรส าเรจมาใชแทนลงในสมการทวไปทมรปคลายกบสมการ(28) สวนทมาของแตละสตรจะขออธบายในโอกาสตอไปหรอสามารถหาอานไดจากหนงสอ Mechanics ทวไป
2. Bending Energy จากรปท 5 คานทถกดดดงรปจะเกด Bending Moment ขน โดยมความสมพนธกบ Axial Stress ดงสมการ
zI
yzMz (29)
dVzE
zI
yzM
dVzE
zdU M 22
2
2
dV
IzE
yM
z
z
2
22
2 (30)
dAdzzIzE
yzMU
AM 2
22
2 (31)
แตจาก IdAy 2 (32)
dz
zIzE
zMU M 2
2
(33)
รปท 5 แสดงการเกด Bending Moment ในคาน
รปท 6 แสดงความสมพนธระหวาง Bending Moment กบ Normal Stress ทเกดขนในคาน
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 47 -
3. Transverse Shear Energy
ในกรณของความเคนเฉอนจะแทนดวย และคาคงทจะแทนดวย G และมความสมพนธของความเคนเฉอนเปนไปตามสมการ
It
VQ (34)
A
dAdzIt
VQ
dVUGGV
S 22
2
2
L
dzdAt
Q
GI
V
A02
2
2
2
2 (35)
เนองจาก 0A ดงนนถาคณสมการ(35)ดวย A
A จะได
L
dzGA
VfU s
S
0
2
2 (36)
หรอเขยนในเทอมทวไปไดเปน
L
dzzAzG
VfU
zzszS
0
2
2
เมอ
A
dAyt
Qf
zyzS 2
2,
= Form Factor for Shear (37) zV แรงเฉอน zG Shear Modulus
AydyyytzyQ
topy
y
, (38)
N.A. zM dz
dz
zdMzM
z
1
z
2
zy
ytop
y
dy
dz dz
ytop
t(y)
y
dy
N.A.
รปท 7 แสดงการกระจายของ Normal Stress ทเกดขนจาก Bending Moment
รปท 8 แสดงสวนหนงของหนาตดจากแกนสมดลเปนระยะ y และมการสมดลในแกน x
dz
dz
zdMzM
dz
N.A. zM
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 48 -
a b
dz
Distribution of Shear Stress
Twisted End
Fixed End z
4 Torsion Energy พจารณารปท 10 กรณการเกด Torsion จะมสมการ ดงน
dz
dG
(39)
แต GJ
T
dz
d
(40)
ดงนน J
T (41)
เมอแทน(40)และ(41)ในสมการ(39) จะไดเปน
A
JdAdzdV
GU
G
T
VT 2
2
2
2
L
A
dzdAGJ
T
0
22
2
2
dzddGJ
TL
0 0
2
0
22
2
2
dzdGJ
TL
0 0
32
22
2
(42)
แต Jd
32 (43)
dzGJ
TU
L
T 0
2
2 (44)
หรอเขยนในเทอมทวไปไดเปน
dz
zJzG
TzU
Lz
T 0
2
2 (45)
รปท 9 แสดงตวอยางการกระจายตวของความเคนเฉอนเปนรปทรงพาราโบลาบนหนาตดสเหลยมผนผา
รปท 10 a) แสดงการเสยรปจาก Torque และ b) การแจกแจงของ Shear Stress ทเกดขน
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 49 -
4 การออกแบบและการค านวณ ชนสวนดงรปท 11 รบแรงกดขนาด 200 kg จะม Deflection เกดขนดงน
รปท 11 แสดงมตของคานและต าแหนงทแรงกระท า
รปท12 แสดง Free Body Diagram ของชนสวนชนท 1, Shear Force และ Bending Moment
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 50 -
i
ifhz
l
hhzh
1
(46)
161166
z 1610
1
z (47)
i
ii
A
Ayy
(48)
11215
112
121550
zh
zhzh
.
3
512
zh
zh . (49)
รปท 13 แสดง Free Body Diagram ของชนสวนชนท 2
รปท 14 แสดงพกดตางๆของหนาตด ตว c
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 51 -
Z
3
1212
12
3
1 311 hzhbhbI z
~
2
11
2 2h
hzhbzh (50)
311
12
1215
3
1 3zh
21
111
2zh
zh
31
1212
35
zh
21
12
zhzh
3
32 3
zh (51)
3211215 zhzhA (52) จาก 2
1 yAII zz ~ (53)
21 yAII zz
~ (54)
3
32 3
1
zh
I z
22
325132
zh
zhzh
. (55)
96
252696 234
1
zh
zhzhzhzhI z
.
(56) แทน (47) ใน (56) จะได
1756000
2181500370041
z
zzzI z
87906250020710000 z (57)
1
0 11
211
1 2
l
z
dzzIzE
zM
FF
U MM
dz
zIzE
F
zMzM
dzzIzE
F
zMl
z
l
z
1
0 11
111
0 11
21
2 (58)
รปท 15 แสดงกราฟของการเกด Deflection เทยบกบความยาวของคานชนท1
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 52 -
z
27
cmN100682
1
.
100
01756000
879062500207100002181500370041001008069200
dz
z
zzzz
zz.
0710. cm เมอพลอตกราฟของฟงกชนการเกด Deflection
จะไดกราฟ ดงรปท 15 ส าหรบ Deflection ของชนสวนท 2 จะหาไดจาก
dz
zIzE
F
zMzM
F
Ul
z
MM
2
0 22
22
22
2
2
221
2
0 2
21210
ll
zz EI
ylF
EI
ylyFFl zdz
(59)
1819192 A cm2 3195519502 ..y cm
391
121319
31
2zI~
336129
192
cm4
รปท 16 แสดงเสนผานศนยกลางมวลของเสารปตว T
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 53 -
เปอรเซนตการเสยรป
ชนดของการเสยรป
2222 yAII zz ~
174318336 2 cm4 แทนคา 2y , 2zI และคา E ตาม [1] ในสมการ (59)
31382174100682
400310080692007
2
2 ..
.
M cm
ส าหรบผลของการยายแรงมากระท าท Neutral Axis ของชนสวนท 2 จะท าใหเกดการหดตวดงน
2
0 22
22
2 2
l
A dzzAzE
F
FF
U A
dz
zAzE
Fdz
zAzE
F
Fll
2
0 22
2
0 22
2
2
400
0
11 2
02 Fz
EAFdz
EA
l
A
00211018100682
40080692007
..
.
cm
ถาไมคดผลจาก Transverse Shear จะม Deflection เกดขนทงสนเทากบ
313820710002110212
... MMA
386912. cm
ระยะขจดจากปลายเดมหาไดจาก
23138220710002110 ... d
3152. cm มมทกระท ากบแนวดงหาไดจาก
465720710002110
31382.
..
.arctan
จ านวนเปอรเซนตของการเกด Deflection แสดงในรปท 17
5. สรป
เมอไมคด Transverse Shear จะพบวา ผลของ Bending Moment ในคานชนท 1 คดเปน 2.97% ของการเสยรปท งหมด และคดเปน 96.94% ส าหรบชนสวนท 2 สวนกรณการเกด Axial Load ในคานชนท1 คดเปน 0.0884% ซงถอวานอยมาก จะเหนวาการเสยรปของคานขนอยกบปจจยหลกคอทศทางทแรงกระท าและคา Second Moment of Area ของคาน โดยทการค านวณทกอยางรวมทงการเขยนรป Deflection จะตองกระท ากบแกน Neutral axis ของคานหรอชนสวนนนเปนหลก ดงรปท 18
%.94962 M
%1 97.2M
รปท 17 แสดงจ านวนเปอรเซนตของการเกด Deflection เทยบกบชนดของการเสยรป
%0884.02
A
RSU JET Vol. 16, No. 2, 2013 บทความวชาการ
- 54 -
6. กตตกรรมประกาศ ขอขอบคณ ดร.พษณ มนสปต ทชวยตรวจสอบ
ภาษา ผศ.ดร.วนย อวยพรประเสรฐทชวยแนะน าการใชโปรแกรมคอมพวเตอร ผศ.สน สขกรมใส(มอเยอร) อาจารยศลปชย วฒนเสย ทชวยเขยนรปและกราฟ และสดทายขอขอบคณนายกจเกษม คลายกรต ทชวยแนะน าการใชโปรแกรมคอมพวเตอรและการพลอตกราฟ
7. เอกสารอางอง [1] Boresi, Arthur P. and Omar M. Sidebottom,
“Advance Mechanics of Materials”, John Wiley & Sons, pp. 170, 1993.
[2] Kalyan Annamalai & Ishwar K. Puri., “Advanced thermodynamics engineering”, 2001.
[3] Robert L. Norton., “Machine Design An Integrated Approach”, Prentice-Hall Inc., pp. 994, 1996.
รปท 18 แสดงระยะการเกด Deflection ของคาน