ความสัมพันธ์...
TRANSCRIPT
ความสมพนธ และฟงกชน
ความสมพนธและฟงกชน มความส าคญในเกอบทกแขนงวชาทเกยวกบคณตศาสตร เพราะเปน
เครองมอทางในการแปลงความของแขนงวชานนๆในรปคณตศาสตร โดยมรากฐานอยบนทฤษฎ
เซต
4.1 ความสมพนธ
ความสมพนธเปนวลทแสดงการเกยวของกนของเซตสองเชต จะแสดงความสมพนธในรปคอนดบ
ของสมาชกทงสองเซต
นยาม ค อนดบ (order pairs) คอ สงทมสมาชกสองตว และอนดบของสมาชกนนมความหมาย เรา
แทนคอนดบ a,b
ดวยสญลกษณ (a,b) เราจะเรยก a วา สมาชกตวแรกของคอนดบ
และเรยก b วา สมาชกตวหลงของคอนดบ
หมายเหต
1. เราใชคอนดบเมอกลาวถงสงทเกยวของกน
2. (a,b) (b,a) เมอ a b
3. ในระบบพกดฉาก เราแทน (x, y) ดวยจดหนงจดบนระนาบ xy ในท านองเดยวกน จดหนงจดบน
ระนาบ xy จะแทนดวย (x, y)
การเทากนของค อนดบ
ทฤษฎบท ให (a,b) และ (c,d) เปนคอนดบใดๆ (a,b) = (c,d) กตอเมอ a = c และ b = d
นยาม ผลคณคารทเชยน (Cartesian product) ของเซต A และเซต B ซงเขยน แทนดวย AX B คอ
เซตของคอนดบท งหมดทมสมาชกตวแรกของคอนดบเปนสมาชกของเซต A และ สมาชกตวหลง
ของคอนดบเปนสมาชกของเซต B
นนคอ AX B = { (x, y) | x Aและ yB }
ขอสงเกต
1. AX B BX A
2. จ านวนสมาชกของ AX B มคาเทากบผลคณระหวาง จ านวนสมาชกของเซต A กบ จ านวนสมาชก
ของเซต B นนคอ n(AX B) = n(A) X n(B)
นยามความสมพนธ
ถา R AX B แลว R วาเปน ความสมพนธจากเซต A ไปเซต B
เราจะกลาววา x มความสมพนธกบ y ถา (x, y) R
และ เรยก R วาเปนความสมพนธจากในเซต A ถา R A X A
โดเมนของความสมพนธ r คอเซตของสมาชกตวแรกของคอนดบ
ในความสมพนธ r แทนดวย Dr หรอ D(R) นนคอ
DR = {x | (x,y) R }
เรจนของความสมพนธ r คอเซตของสมาชกตวหลงของคอนดบ
ในความสมพนธ r แทนดวย r R หรอ R(r) นนคอ
RR = { y | (x , y) R }
คณสมบตของความสมพนธ
ความสมพนธสะทอน R บนเซต A
ส าหรบทกสมาชก a A ความสมพนธ (a,a) R
ตวอยาง
ก าหนด เซต A = {1,2,3,4}
และ R = {(1,1),(1,2), (2,1),(2,2),(3,4),(3,3),(4,3),(4,4)}
วธท า
พจารณา สมาชก (1,1), (2,2), (3,3) และ (4,4) R
ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธสะทอน
ความสมพนธสมมาตร R บนเซต A
ถา (a,b) R แลว (b,a) R ส าหรบ a, b A
ตวอยาง
ก าหนด A = {1,2,3,4}
และ R = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(4,4)}
วธท า
พจารณา
(1,1) R (1,1) R เปนจรง
(1,2) R (2,1) R เปนจรง
(2,1) R (1,2) R เปนจรง
(2,2) R (2,2) R เปนจรง
(3,4) R (4,3) R เปนจรง
(4,3) R (3,4) R เปนจรง
(4,4) R (4,4) R เปนจรง
ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธสมมาตร
ความสมพนธอสมมาตร R บนเซต A
ถา (a,b) R และ (b, a) R a = b
ตวอยาง
ก าหนด A = {1,2,3,4}
และ R = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,4),(4,4)}
วธท า
พจารณา
(1,1) R และ (1,1) R 1 = 1 เปนจรง
(1,2) R และ (2,1) R 1 = 2 เปนจรง
(2,2) R และ (2,2) R 2 = 2 เปนจรง
(3,4) R และ (4,3) R 3 = 4 เปนจรง
(4,4) R และ (4,4) R 4 = 4 เปนจรง
ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธอสมมาตร
ความสมพนธถายทอด R บนเซต A (a, b) R และ (b, c) R (a, c) R
ตวอยาง
ก าหนด A = {1,2,3,4}
และ R = { (1,1), (1,2), ( 2,3), (3,4), (1,3), (1,4), (2,4) }
วธท า
พจารณา
(1,1) R และ (1, 1) R (1, 1) R เปนจรง
(1,1) R และ (1, 2) R (1, 2) R เปนจรง
(1,1) R และ (1, 3) R (1, 3) R เปนจรง
(1,1) R และ (1, 4) R (1, 4) R เปนจรง
(1,2) R และ (2, 3) R (1, 3) R เปนจรง
(1,2) R และ (2, 4) R (1, 4) R เปนจรง
(2,3) R และ (3, 4) R (2, 4) R เปนจรง
(1,3) R และ (3, 4) R (1, 4) R เปนจรง
(1,4) R และ (4, X ) R (1,X) R เปนจรง
(1,4) R และ (4, X ) R (1,X) R เปนจรง
ดงน น R มคณสมบตของความสมพนธถายทอด
ตวอยาง
ก าหนด R1 = { (1,1), (2,2), (3,3) }
และ R2 = { (1,1), (1,2), (1,3),(1,4) }
จงหา R1 R2 , R1 R2 และ R1 R2
วธท า
R1 R2 = { (1,1), (1,2), (1,3),(1,4) , (2,2), (3,3) }
R1 R2 = { (1,1) }
R1 R2 = { (2,2), (3,3) }
นยาม ความสมพนธประกอบ SoR เมอ S และR เปนความสมพนธ
x (a,x ) R (x, b) S (a,b) SoR
ตวอยาง
ก าหนดความสมพนธ R และ S ดงน
R = { (1,1), (1,4), (2,3), (3,1), (3,4)}
S = {(1,0), (2,0), (3,1), (3,2), (4,1)}
จงหา ความสมพนธประกอบ SoR
วธท า
SoR = { (1,0), (1,1), (2,1), (2,2), (3,0), (3,1)}
นยาม ยกก าลงความสมพนธ Rn
R1 = R
Rn+1 = Rn o R
ตวอยาง
ก าหนด ความสมพนธ R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }
จงหา R2 R3 R4
วธท า
R = { (1,1), (2,1), (3,2), (4,3) }
R2 = RoR = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,2) }
R3 = R2oR = { (1,1) , (2,1), (3,1) , (4,1)}
R4 = R3 o R = { (1,1), (2,1), (3,1), (4,1)}
ความสมพนธ n-ary
ความสมพนธ R เปนความสมพนธจากเซตสองเซตใดๆ เรยกวา Binary Relation
สมาชกของความสมพนธ R มลกษณะเปนคล าดบ (pair (x,y))
ความสมพนธ R เปนความสมพนธจากเซตสามเซตใดๆ เรยกวา Ternary Relation
สมาชกของความสมพนธ R มลกษณะเปนสามล าดบ (triple (x,y,z))
…
ความสมพนธ R เปนความสมพนธจากเซต n เซตใดๆ เรยกวา n-nary Relation
สมาชกของความสมพนธ R มลกษณะเปน n ล าดบ (n-tuple (x1,x2, …, xn))
หมายเหต หลกการเรองความสมพนธถกน าไปประยกตใชกบฐานขอมลทางคอมพวเตอร
ก าหนด A1,A2, … ,An แทนเซต
ความสมพนธ n-ary R คอ R A1XA2X … XAn
ตวอยาง
ก าหนดความสมพนธ R บนเซต N X N X N ทประกอบดวยสมาชก สามล าดบ (a,b,c) ซง
a b c จงหา ความสมพนธ R ทมคณสมบตขางตน
วธท า
R = { (0,1,2), (0,1,3), (0,1,4), …
(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), …
…}
ฐานขอมลทางคอมพวเตอรสามารถแทนไดดวยโมเดลความสมพนธ
ตวอยาง
ขอมลนกศกษา (ชอนกศกษา, รหสนกศกษา, ชอสาขา, เกรดเฉลย)
คยหลก (Primary Key) คอ แอททรบวต (column) ทมคณสมบตทท าใหขอมล 2 เรคคอรด (row) ใด
ในตารางไมซ ากน จากตารางขางตน แอททรบวตทมคณสมบตเปนคยหลก คอ รหสนกศกษา
คยประกอบ (Composite Key) คอ คยทเกดจากการรวมหลายแอททรบวต (column) เพอใหขอมล
ในตารางแตละแถวแตกตางกน
การด าเนนการ Selection บนฐานขอมล
ตวอยาง
จากตารางทก าหนดให
จงด าเนนการ selection ขอมลตามเงอนไข GPA > 3.45
วธท า
การด าเนนการ Projection บนฐานขอมล
ตวอยาง
จากตารางทก าหนดให
จงด าเนนการ projection ขอมล P1,4
การด าเนนการ join บนฐานขอมล
ตวอยาง
จากตารางทก าหนดให
จงด าเนนการ join ขอมลท งสองตารางเขาดวยกน
วธท า
ผลการด าเนนการ join เปนดงตารางน
4.2 ฟงกชน (Function)
ฟงกชน คอ ความสมพนธทสมาชกตวแรกของคอนดบทงหมดแตกตางกนหมด เราสามารถเขยน
ฟงกชนในรปของเซตได ดงน
f = {(x,y) | {(x, y 1) f (x,y2) f } (y1 = y2) }
เราจะเรยก โดเมนของ f วา โดเมนของฟงกชน f และเรยกเรนจ ของ f วาเรนจของฟงกชน f
ถา(x, y) f เราจะกลาววา y เปนอมเมจ(image) ของ x ภายใต f หรอ y เป นคาของฟงกชน f ท x
เขยนแทนดวย
y = f (x)
นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชนจาก A ไป B (function from A to B) กตอเมอ
Df = A และ Rf B แทนดวย f : A B
เรยก เซต Aวาเปน โดเมนของฟงกชน f
เรยก เซต B วาเปน โคโดเมนของฟงกชน f
เรยก สมาชก y วาเปน อมเมจของ x ภายใต f
เรยก สมาชก x วาเปน พรอมเมจของ y ภายใต f
หมายเหต y อาจมมากกวาหนง พรอมเมจ
เรยก R วาเปน เรนจ เมอ RB โดยท R={b | a f(a)=b }.
หมายเหต
ฟงกชนบางสวน (partial function) จาก A ไป B คอ ฟงกชน จาก เซต A ไปยงเซต B โดยท
A A ฟงกชนบางสวนจะใชเมอไมทราบโดเมนทแทจรงของฟงกชนทพจารณา
ส าหรบ ฟงกชนทงหมด (total function) ถา A = A ซงคอนยามเดยวกบ ฟงกชน
ตวอยาง
สมมตในการก าหนดเกรดใหนกศกษา:
“f เปนฟงกชนทมการทอดคาชอของนกศกษาทเรยนวชาน โดยเกรดทจะใหกบนกศกษาคอ
{A,B,C,D,F}”
จากตวอยางน เซตของโคโดเมนคอ: {A,B,C,D,F} และเซตของเรนจคอ undefined
ถานกศกษาทกคนทเรยนวชานไดเกรด A หรอไมกไดเกรด B
ดงน นเรนจของฟงกชน f คอ {A,B} สวนเซตของโคโดเมนคอ {A,B,C,D,F}
4.2.1 ฟงกชนกบตรรกศาสตร ประพจนใดๆ สามารถพจารณาเปนฟงกชนจาก “สถานการณ” ททอดคาไปยงคาความจรง {T,F}
ตรรกใดๆ จะถกเรยกวา “situation theory”
ตวอยาง
p=“ฝนก าลงจะตก” s = สภาพแวดลอมในขณะนน ดงน น p(s){T,F}
ตวด าเนนการใดๆ ของประพจนสามารถพจารณาเปนฟงกชนททอดคาจากคอนดบของคาความจรง
ไปสคาความจรง
ตวอยาง
((F,T)) = T
→((T,F)) = F
พรดเคตใดๆ เปนฟงกชนของวตถตางๆ ททอดคาไปยงประพจนทมคาความจรง
ตวอยาง
ก าหนดให P แทนขอความ “is 7 feet tall”;
P(Mike) = “Mike is 7 feet tall.” = False.
สายของบต B ทมความยาว n บต สามารถพจารณาเปนฟงกชนชนดหนง ททอดคาจากต าแหนงของ
บต {1,…,n} ไปสคาของบตในต าแหนงนนๆ {0,1}
ตวอยาง
B=101 B(3)=1.
4.2.2 ฟงกชนกบเซต
เซต S ใดๆ ทอยในเซตเอกภพสมพทธ U สามารถพจารณาเปนฟงกชนททอดคาสมาชกตางๆใน U
ไปสคา {T, F} หรอกลาวอกอยางหนงกคอสมาชกแตละตวใน U อยในเซต S หรอไม
ตวอยาง S={3} fS(0)=F, fS(3)=T.
ตวด าเนนการของเซตใดๆ เชน ,, เปนฟงกชนททอดคาจากคตางๆ ของเซตทถก
ด าเนนการไปสเซตใหมทเปนผลของจากการด าเนนการ
ตวอยาง
(({1,3},{3,4})) = {3}
ฟงกชนทวถง ฟงกชน 1-1
นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชนจาก Aทวถง B (function from A onto B :
surjection ) กตอเมอ Df = A และ Rf = B แทนดวย 𝒇: 𝑨𝒐𝒏𝒕𝒐→ 𝑩
นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชน 1–1 จาก Aไป B (one-to-one function from
A into B: injection ) กตอเมอ f เปนฟงกชนจาก A ไป B และ ส าหรบทก x1, x2 A
f (x 1) = f (x2 ) (x1 = x2 )
แทนดวย 𝑓: 𝐴1−1→ 𝐵
นยาม ให f เปนฟงกชน เราจะกลาววา f เปนฟงกชน 1–1 จาก A ทวถง B (one-to-one and onto
function from A B : bijection) กตอเมอ f เปนฟงกชน 1–1 จาก A ไป B และ Rf = B แทนดวย
𝑓: 𝐴1−1 ,𝑜𝑛𝑡𝑜→ 𝐵
ฟงกชนผกผน
นยาม ให f เปนฟงกชน ผกผนของฟงกชน f (inverse of a function f ) คอ ความสมพนธทเกดจาก
การสลบทระหวางสมาชกของแตละคอนดบทอยใน f แทนดวย f -1 นนคอ
f -1= { ( y, x) | (x, y) f }
หมายเหต
1. f -1 อาจเปนฟงกชนหรอไมเปนกได
2. ถา f -1 เปนฟงกชน เราจะเรยก f -1 วา ฟงกชนผกผน (inverse function)
พชคณตฟงกชน
นยาม ให f และ g เปนฟงกชน การบวก ลบ คณ และ หาร ของ f และ g แทนดวย f + g, f g, fg
และ f/g ตามล าดบ เปนฟงกชนทก าหนดดงน
(f+g )(x ) = f(x ) +g (x)
(f g)(x) = f(x) g(x )
( fg)(x ) = f (x ) g(x )
และ (fg) (x) = f(x) g(x) โดยท D = Df Dg {x | g(x) = 0}
ฟงกชนประกอบ (Composite Function)
นยาม ให f และ g เปนฟงกชนซง R f Dg ≠ เราสามารถแทนฟงกชนประกอบของ f และ g
ได แทนดวย g o f ก าหนดโดย (g o f )(x) = g( f (x))
ขอสงเกต Dgof Df และRgof Rg
4.3 ฟงกชนส าคญ
ฟงกชนเอกลกษณ
นยาม ส าหรบเซตของโดเมน A ใดๆ ฟงกชนเอกลกษณ (Identity Function) แทนดวย I : A A
คอ ฟงกชนทมคณสมบต a A, I(a) = a
ตวอยาง
a A, I(a) = a + 0 = a
a A, I(a) = a 1 = a
a {T,F}, I(a) = a F = F
a {T,F}, I(a) = a T = T
S , I(S) = S U = U
S , I(S) = S =
หมายเหต
ฟงกชนเอกลกษณ เปนฟงกชน 1-1 และ ทวถงเสมอ
ในศาสตรคอมพวเตอรมกจะพบกบฟงกชน ตอไปน
Floor Function
นยาม Floor Function แทนดวย : เมอ x หมายถง จ านวนเตมทมากทสดทนอย
กวาหรอเทากบ x หรอ x = max({i i x})
Ceiling Function
นยาม Ceiling Function แทนดวย : เมอ หมายถง จ านวนเตมทนอยทสดท
มากกวาหรอเทากบ x หรอ x = min({i i x})
หมายเหต
x x
และ x x
และ ถา x แลว x x x
ตวอยาง จงแสดงกราฟของฟงกชน f(x) = x 3
วธท า