1

เฉลยวชาคณตศาสตร 1. จงหาผลรวม 6 พจนแรกของอนกรม 1+2+4+8+…

(ก าหนดให 26=64, 36=729, 46=4096)

เฉลย ข. 63 วธท า ตรวจสอบวาเปนอนกรมเลขคณตหรอไม a3 - a2 = a2 - a1

4 – 2 = 2 – 1 เปนเทจ เพราะฉะนน ไมเปนอนกรมเลขคณต ตรวจสอบวาเปนอนกรมเรขาคณตหรอไม

1

2

2

3

a

a

a

a

21

2

2

4 เปนจรง เพราะฉะนน เปนอนกรมเรขาคณต

จากสตรหาอนกรมเรขาคณต

r

raS

n

n

1

)1(1 เมอ 1r

แทนคา 631

63

21

641

21

)21(1 6

6

S

2. จงหาคาของ )56.0674

12.0993(

lim421

20

nn

nn

n และลมตนเปนล าดบคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนต

เฉลย ข. Limit มคาเทากบ 0 และเปนล าดบคอนเวอรเจนต

วธท า จากโจทยพบวาเปนสมบตขอท 12 ของ limit

จาก )56.0674

12.0993(

lim421

20

nn

nn

nซงตวสวนมเลขชก าลงมากกวาตวเศษ

เพราะฉะนน limit จะมคาเทากบ 0

และ เมอ limit เขาใกลคาๆหนง (ในทนคอ 0) เพราะฉะนนจะเปนล าดบชนดลเขา หรอเปน

ล าดบคอนเวอรเจนตนนเอง

2

3. ทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญท 1 ดานหนงทาสขาวดานหนงทาสแดง เหรยญท 2 ดานหนงทาสแดง

อกดานทาสฟา เหรยญท 3 ดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามเหรยญพรอมกน จง

หาความนาจะเปนทเหรยญจะขนตางสกนทงหมด

เฉลย ค . 1

4

วธท า

เหรยญท 1 2 3

ขาว , แดง แดง , ฟา ฟา , ขาว

กรณท 1 ใหเหรยญแรกออกดานสขาว: ขาว แดง ฟา (1วธ)

กรณท 2 ใหเหรยญแรกออกดานสแดง: แดง ฟา ขาว (1วธ)

จะไดวธทเหรยญทง3 จะขนหนาตางสกนม 2 วธ

จ านวนวธทงหมด = 2 × 2 × 2 = 8 วธ

ดงนนความนาจะเปนทเหรยญทง3 จะขนหนาตางสกน = 2

8=

1

4

4. ถาน าตวอกษรทงหมดจากค าวา AVATAR มาจดเรยงเปนค าตางๆ โดยไมจ าเปนตองมความหมาย จะ

จดเปนค าทแตกตางกนไดกวธ

เฉลย ก . 120

วธคด จ านวนตวอกษรทงหมด = 6 ตว ม Aซ า 3 ตว

ดงนน จ านวนวธ = 6!

3!= 120 วธ

3

5. ก าหนดใหเมทรกซ

924

752

61

y

x

A โดยทไมเนอร(Minor) ของ a32 = 23 และโคแฟกเตอร(Cofactor)

ของ a23 =-44 จงหาคาของ x+y

เฉลย ง. 9 วธท า จากโจทยไมเนอรของ a32 = 23 (ปดแถวท 3 หลกท 2)

M32 =72

6x = 7x-12 = 23

x = 5 จากโจทยโคแฟกเตอรของ a23 = -44

C23 =(-1)2+3M23 = (-1)5

y

x

24

1 = - (2xy + 4) = -44

y = 4 x + y = 5 + 4 = 9

6. ก าหนดให 2x- 2y-z = 5

x- 3y+z = 6

- x+y-z = 4

และให det A = 8 โดยท A เปนเมทรกซสมประสทธ จงหาคาของ x

เฉลย ก. 3

24

วธท า จากโจทยให

111

131

122

Aและ det A = 6

3

24

3

14

6

28

6

114

136

125

det

det 1

A

Ax

7. ให kjiu ˆ3ˆ2ˆ , kjiv ˆˆ2ˆ5

มมระหวางu กบ v

คอ 30 จงหา vu

เฉลย ค. 315

4

วธท า

𝑢 = 12 + 22 + 32 = 14

𝑣 = (−5)2 + (−2)2 + (−1)2 = 30

𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 ||𝑣 𝑐𝑜𝑠30 = 420 × 3

2=

1260

2= 315

8. ถา vu = 5; u

= 2 และมมระหวาง u กบ v

เปน 60 แลว vu

เทากบขอใดตอไปน

เฉลย ง. 39

วธท า

จาก 𝑢 ∙ 𝑣 = 5

𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠60 = 5

2 𝑣 1

2= 5

𝑣 = 5

จาก 𝑢 + 𝑣 2 = 𝑢 2 + 𝑣 2 + 2 𝑢 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝜃

= 22 + 52 + 2 2 5 𝑐𝑜𝑠60

= 4 + 25 + 10 = 39

ดงนน 𝑢 + 𝑣 = 39

1

เฉลยวชาฟสกส

1. เพชรมคาดชนหกเหเทากบ 2 อตราเรวแสงในอากาศมคาเทากบ 3x108 m/s จงหาอตราเรวแสงใน

เพชรวามคาเทาใด(สมมตใหแสงเดนทางจากอากาศไปยงเพชร)

ก. 6x108m/s ข . 3x108 m/s ค. 1.5x108 m/s ง . 1x108m/s

ค าตอบ ค.

วธท า n2

n1=

v1

v2

2

1 =

3x108

v2

v2 = 1.5x108m/s

2. ก าหนดใหพลาสตกใสมมมวกฤตคอ 𝜃c = 𝑠𝑖𝑛−1 0.7จงหาคาดชนหกเหของพลาสตกใส

ก. 0.2 ข. 0.7 ค. 1 ง. 1.43

ค าตอบ ง.

วธท า n2

n1= 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐

1

n1= sin(𝑠𝑖𝑛−10.7)

1

n1= 0.7

𝑛1 = 1.43

3. นกวทยาศาสตรคนหนงท าการทดลองโดยน าอเลกตรอนมวล m มประจ q ไปวางในสนามไฟฟาซง

เกดจากแผนโลหะคขนานตอกบเซลลไฟฟาดงรป จากนนเขาสงเกตเหนวาอเลกตรอนเคลอนทลง

ดวยความเรง 3.52 𝑚/𝑠2 ถามวาถานกวทยาศาสตรตองการใหอเลกตรอนหยดนงในสนามไฟฟา

เขาจะตองเพมความตางศกยของเซลลไฟฟาขนอกกโวลต ให 𝑞

𝑚ของอเลกตรอนมคาเทากบ

1.76𝑥1011 𝐶/𝑘𝑔อเลกตรอนมประจ−1.6𝑥10−19 𝐶และ d มคาเทากบ 30 cm

2

ก. 6𝑥10−12 𝑉 ข.1.5𝑥10−12 𝑉ค. 26.4𝑥10−12 𝑉ง. 3𝑥10−12 𝑉

ค าตอบ ก.

วธท า จากรปจะไดวาแผนโลหะบนมประจบวก แผนลางมประจลบ ดงนนสนามไฟฟาจะมทศ

จากบนลงลางmg มทศลงและ F=qEมทศขน

หาความตางศกยไฟฟาของเซลลไฟฟาตอนแรก

𝑚𝑔 − 𝑞𝐸 = 𝑚𝑎

𝐸 =𝑚(𝑔 − 𝑎)

𝑞

𝑉1 = 𝐸𝑑 =𝑚(𝑔 − 𝑎)𝑑

𝑞

หาความตางศกยของเซลลไฟฟาตอนหลง อเลกตรอนหยดนง สมดล

𝑚𝑔 − 𝑞𝐸 = 0

𝐸 =𝑚(𝑔)

𝑞

𝑉2 = 𝐸𝑑 =𝑚(𝑔)𝑑

𝑞

ดงนนจะตองเพมความตางศกยของเซลลไฟฟาเทากบ

𝑉2 − 𝑉1 =𝑚(𝑔)𝑑

𝑞−

𝑚(𝑔 − 𝑎)𝑑

𝑞

𝑉2 − 𝑉1 =𝑚(𝑎)𝑑

𝑞=

(𝑎)𝑑𝑞

𝑚

𝑉2 − 𝑉1 =3.52(30 × 10−2)

1.76 × 1011

𝑉2 − 𝑉1 = 6 × 10−12𝑉

3

4. นกวทยาศาสตรไดท าการทดลองอกการทดลองหนงโดยโดยการยงอนภาคแอลฟาไปยงอะตอมของ

ทอง จงหาวาจะตองใชความตางศกยนอยทสดเทาไหรเพอเรงใหอนภาคแอลฟาเขาใกลอะตอมของ

ทองเปนระยะ9𝑥10−9 𝑚เมอใหแอลฟามประจ +3.34𝑥10−19 𝐶และอะตอมของทองม

ประจรวม132𝑥10−19 𝐶

14.67 V ข.26.4 V ค. 6.6 V ง. 13.2 V

ค าตอบ ง.

วธท า

𝑊จากการเรงประจ = 𝑊จากศกยของอะตอมทอง

𝑞𝑉 =𝑘𝑄อะตอมทอง𝑞

𝑟

𝑉 =𝑘𝑄อะตอมทอง

𝑟

𝑉 = 9 × 109 (132 × 10−19)

(9 × 10−9)

𝑉 = 13.2 𝑉

5. จงค านวณหาความตานทานรวม (R รวม ) ของวงจรตอไปน

ก. 6 Ω ข. 7 Ω ค . 8 Ω ง. 9 Ω

ค าตอบ ก.

4

สวนท 3 สวนท 2

สวนท 1

วธท า พจารณาวงจรทละสวน

พจารณาสวนท 2

R2 R3 =(𝑅2)(𝑅3)

𝑅2+𝑅3 =

(10)(2.5)

10+2.5 =

25

12.5 = 2 Ω

พจารณาสวนท 3 เมอยบวงจรจะได

R รวมของวงจร = Rสวนท 1 + Rสวนท 2 + Rสวนท 3

= 1 + 2 + 3

= 6Ω

หาคา R4 // R5 // R6

1

𝑅รวม =

1

𝑅4 +

1

𝑅5 +

1

𝑅6

= 1

5 +

1

12 +

1

20

1

𝑅รวม =

1

3

ดงนน Rรวม = 3 Ω

5

6. จงค านวณหาคา I1

ก.

15

14 𝐴 ข.

16

14 𝐴 ค.

17

14 𝐴 ง.

18

14 𝐴

ตอบขอ ง.

วธท า ใชหลกการ KVL

พจารณาวง I1 : 2I1 + 4 (I1 - I2 ) + 3 I1 - 12 = 0

9 I1 - 4 I2= 12 …………………….( 1 )

พจารณาวง I2 : 4 I2+ 4 (I2 - I1 ) + 6 = 0

8 I2- 4 I1 = -6 ……….……………( 2 )

แกสมการ ( 1 ) และ ( 2 )

จะได I1 = 18/14 A

7. สนามแมเหลกขนาด 0.04 เทสลาพงลงบนพนโตะสเหลยมกวาง 50 เซนตเมตร ยาว 60 เซนตเมตร

ในแนวท ามม 60 องศากบแนวดงจงหาฟลกซแมเหลกทผานโตะตวนมคาเทาใด

ก. 6 Wb ข.12 Wb ค. 0.006 Wb ง.0.012 Wb

ค าตอบ ค.

วธท า จาก 𝐵 =∅

𝐴 cos 𝜃

∅ = 𝐵𝐴 cos 𝜃 ∅ = (0.04)(0.5)(0.6) cos 𝜃 ∅ = 0.006 𝑊𝑏

I1

I2

6

8. โปรตรอนเคลอนทดวยความเรว 5𝑥109 𝑚/𝑠ตามแนวราบไปทางขวา เขาสสนามแมเหลก

ขนาด 0.5 T ทศพงเขาจากระนาบกระดาษ จงหาขนาดและทศของแรง F ทกระท าตออเลกตรอน

ก .4𝑥10−10 𝑁 มทศ พงขนขางบน ข . 4𝑥10−9 𝑁 มทศ พงขนขางบน

ค . 4𝑥10−10 𝑁 มทศ พงลงดานลาง ง . 4𝑥10−9 𝑁 มทศ พงลงดานลาง

ค าคอบ ก .

วธท า จาก 𝐹 = 𝑞𝑣𝐵 sin 𝜃

𝐹 = (1.6𝑥10−19)(5𝑥109)(0.5) sin 90°

𝐹 = 4𝑥10−10 𝑁

หาทศ

มทศ พงขนขางบน

F

V

B

1

เฉลยวชาเคม สวนท 3: วชาเคม

1) จากปฏกรยาเคมตอไปนขอใดท าใหสมดลเลอนไปทางซาย

N2(g) + 3H2(g) 2NH3(g)+ความรอน

ก.เตม NH2 ข.เพมอณหภม ค.เพมความดน ง.ถกทงขอ ก.และ ข.

เฉลยง.ถกทงขอก.และข.

ก. การเตม NH3 ท าใหความเขมขนของ NH3 ในระบบเพมขน สมดลจงเลอนไปทางซายเพอปรบ

ลดความเขมขน NH3ลง

ข. เนองจากปฏกรยาดงกลาวเปนปฏกรยาคายความรอน การเพมอณหภมท าใหปฏกรยานเกด

ยอนกลบมากขน สมดลจงเลอนไปทางซาย

ค. สารตงตนมจ านวนโมลรวมเทากบ 4 mol สารผลตภณฑมจ านวนโมลรวมเทากบ 2 โมล เมอ

เพมความดน สมดลจะเลอนไปทางโมลนอยเพอปรบลดความดนในระบบ เพราะฉะนนสมดล

จงเลอนไปทางขวา

2) จากปฏกรยาเคมSO2 + NO2 SO3 +NO เมอเขาสสมดล ความเขมขนของ SO2, NO2และSO3

เทากบ 0.1, 0.2 และ 0.4 ตามล าดบ ขอใดถกตอง

ก.คาคงทสมดลของปฏกรยานเทากบ 0.8

ข. ถาเตม SO2เปนจ านวนมาก จะท าใหคา K เพมขน

ค. เมอเพมหรอลดอณหภม คาคงทสมดลจะไมเปลยนแปลง

ง. คาคงทสมดลของ 2SO2 + 2NO2 2SO3 +2NO เทากบ 64

เฉลย ง.

2

SO2 + NO2 SO3 +NO

สมดล 0.1 0.2 0.4 0.4 ; ความเขมขนของ NO คดจากสดสวนโมล

K = SO 3 [NO ]

SO 2 [NO 2]= (0.4)(0.4) /(0.1)(0.2) = 8

3) จงหา% การแตกตวของสารละลายกรด HA เขมขน 0.1 mol/dm3มคา 𝐾𝑎 = 4 × 10−5

ก. 2.78%

ข. 2.98%

ค. 2.00%

ง. 3.00%

เฉลย ง.

จากสตร % = 𝐾

𝑁× 100

แทนคา % = 4×10−5

0.1× 100 = 2% …

4) เมอผสมสารละลายH2SO4เขมขน 0.5 mol/dm3จ านวน 40 cm3กบสารละลาย

NaOH เขมขน 0.1 mol/dm3จ านวน 20 cm3รวมกน จงหาสารทเหลอวามความเขมขนเทาใด

ก.38

120

ข.38

60

ค.40

100

ง.9

60

3

เฉลย ก.

จากสตร 𝑁เหลอ =𝑎𝑁1𝑉1−𝑏𝑁2𝑉2

𝑎𝑉รวม

แทนคา 𝑁เหลอ =2 0.5 40 −1 0.1 20

2 60

เพราะฉะนน 𝐻2𝑆𝑂4 =40−22

120=

38

120 …

5) ในการไทเทรต HCl เขมขน 5 mol/dm3 ตองใช HCl 200 cm3ถาน าไปไทเทรตกบ NaOH เขมขน 72% โดย

มวล/ปรมาตร จะตองใชเบสนกลกบาศกเซนตเมตร

ก. 100 cm3

ข. 150 cm3

ค. 200 cm3

ง. 250 cm3

เฉลย ก.

จาก NaOH 72% โดยมวล/ปรมาตร

สตร

[ NaOH ] = 10 × 72

40 = 18 mol/dm3

aN1V1 = bN2V2

1 × 9 × 200 = 1 × 18 × V2

V2 = 100 cm3

∴ตองใช NaOH 100 cm3

[ ] = 10 × %

𝑀𝑤

4

6) ถาตองการสะเทนสารละลาย Ba(OH)2 เขมขน 0.05 M ปรมาตร 30 cm3จะตองใช H3PO4เขมขน 0.25 M ก

cm3?

ก. 3 cm3

ข. 4 cm3

ค. 5 cm3

ง. 6 cm3

เฉลย ข.

aN1V1 = bN2V2

2 × 0.05 × 30 = 3 × 0.25 × V2

V2 = 4 cm3

∴ตองใช H3PO44 cm3

7) จากสมาการ aClO- + bCrO2- + cOH- xCrO4

2- + H2O + yCl-

จงหาคา a,b,c มคาเทาใดตามล าดบ

ก. 3,1,2 ข. 3,2,2

ค. 3,1,4 ง.2,2,2

เฉลย ข

ClO- + CrO2- + OH- CrO4

2- + H2O + Cl-

จากนนท าการคณไขวแลวดล

3 ClO- + 2CrO2- + 2OH- 2CrO4

2- + 1H2O + 3Cl-

+1 -2 +3 -2 -2 +1 +6+2 +1-2 -1

ลด2

5

8) ก าหนดคาศกยไฟฟามาตรฐานของครงเซลลรดกชนตอไปน

ปฏกรยาครงเซลล E0(V)

Cl2(g) + 2e-2Cl-(aq) +1.36

O2(g) + 4H+ 2H20(l) +1.23

Ag+(aq) + e- Ag(s) +0.80

I2(s) + 2e- 2I-(aq) +0.54

ปฏกรยาใดบางทสามารถเกดได

1. Cl2(g) + 2I- 2Cl-(aq) + I2

2.2Ag(s) + I2(s) 2AgI(aq)

3.2Ag(s) + Cl2(g) 2AgCl(aq)

4.O2(g) + 4HCl(aq) 2Cl2(g)+2H2O

ก.1 และ 3 เทานน ข. 2 และ 3 เทานน

ค. 1 , 2 และ 3 ง. 2 , 3 และ 4

เฉลย ก

1. ถก เนองจาก E0=E0(Cl2) – E0(I2) =(+1.36) – (+0.54) = +0.84

2.ผด เนองจาก E0=E0(I2) – E0(Ag)=(+0.54) – (+0.80) = -0.26

3.ถก เนองจาก E0=E0(Cl2) – E0(Ag)=(+1.36) – (+0.80) = +0.56

4.ผด เนองจาก E0=E0(O2) – E0(Cl2)=(+1.23) – (+1.36) = -0.13