อัจฉริยภาพทางคณิตศาสตร์...

เฉลยขอสอบแขงขนอจฉรยภาพทางคณตศาสตร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 28

เสถยร วเชยรสาร (ครไอ)โรงเรยนมธยมบกดองวทยาhttp://www.blwsc.ac.th/iMath

งานศลปหตถกรรมนกเรยน ครงท 64 ปการศกษา 2557

1

เสถยร วเชยรสาร (ครไอ)

http://www.blwsc.ac.th/iMath โรงเรยนมธยมบกดองวทยา

ขอสอบแขงขนอจฉรยภาพทางคณตศาสตรมธยมศกษาตอนปลาย ระดบเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 28

งานศลปหตถกรรมนกเรยน ครงท 64 ปการศกษา 2557

แบบทดสอบตอนท 1 แบบทดสอบปรนยชนดเลอกตอบ แบบ 4 ตวเลอก

จ ำนวน 10 ขอ ขอละ 1 คะแนน รวม 10 คะแนน

ค าชแจง : จงกำ x ทบตวอกษรตรงกบตวเลอกทตองกำรลงในกระดำษค ำตอบ

1. ก ำหนดใหเอกภพสมพทธคอ U ขอใดตอไปนถกตอง ก. ถำ A B B A แลว A หรอ B ข. ถำ A B C แลว A B C ค. ถำ A B C แลว B C A ง. ถำ A B A แลว A B 2. ขอใดตอไปนเปนเมทรกซเอกฐำน

ก. 2 5 7

19 13 9

7 21 6

ข. 13 15 17

5 23 37

39 45 51

ค. 34 31 28

38 37 23

35 24 15

ง. 34 7 6

26 17 27

35 22 42

3. ระบบสมกำรในขอใดตอไปนไมมผลเฉลย ก. x y 4 และ 2x 2y 8 ข. 3x 2y 1 และ 2x 3y 1 ค. 2x y 2 และ 4x 2y 3 ง. 3x 2y 1 และ 2x 4y 3

4. ก ำหนดให 3sin

5 แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. 3

sin(2 )5

ข. 4

cos( )5

ค. 3

tan( )4

ง. 4cot

2 3

5. ก ำหนดควำมสมพนธ 2R {(x, y) R R | y 16 x } ขอใดตอไปนผด ก. โดเมนของควำมสมพนธ R คอ [ 4, 4] ข. เรนจของควำมสมพนธ R คอ [ 4, 4] ค. โดเมนของควำมสมพนธ 1R คอ [0, 4] ง. เรนจของควำมสมพนธ 1R คอ [ 4, 4]

2



6. ขอใดตอไปนเปนฟงกชนลด

ก. x

1y

2 ข.

xy log 3

ค. xy 3 ง. 2y log x

7. ก ำหนดให a, b, c เปนจ ำนวนจรง ขอใดตอไปนกลำวถกตอง

ก. 2 2 2 2(a b c) a b c ข. 2 2 2 2(a b c) a b c ค. a b c a b c ง. a b c a b c

8. ก ำหนดให a, b, c เปนจ ำนวนจรง โดยท a b c ขอใดตอไปนกลำวถกตอง ก. ถำ c b b a แลว คำเฉลยเลขคณตจะมคำเทำกบมธยฐำน ข. คำเฉลยเลขคณตมคำนอยกวำมธยฐำน

ค. ถำ b c

a b แลว คำเฉลยเลขคณตมคำเทำกบ

2 2a 2ab b

3a

ง. ไมมขอถก 9. ก ำหนดให f (x) และ g(x) เปนฟงกชน ขอใดตอไปนคอโดเมนของฟงกชน (f g)(x) ก. f gD D ข. f gD D

ค. f gD D ง. ไมมขอถก

10. ขอใดตอไปนเปนเทจ เมอเอกภพสมพทธ U เปนเซตของจ ำนวนจรง ก. 2 2x y x y 4 ข. 3y x x y 1

ค. 3 3x y x y 0 ง. 3y x x y 1

3



แบบทดสอบตอนท 2 แบบทดสอบปรนยชนดเตมค าตอบ


ค าชแจง : จงเตมค ำตอบทถกตองลงในกระดำษค ำตอบทก ำหนดให

1. ให 1 3z i

2 2 จงหำสวนจรงของ 1

1 z

2. จงหำ 2

x 3

x 9lim

x 3

3. ก ำหนดให u (2, 5), v (1, 2), v w 11, u w 4 จงหำ w 4. ก ำหนดใหรปวงกลมแทนเซต A, B, C ดงรป จงแรเงำพนทของ (B A) C

5. รปสเหลยมผนผำมดำนยำวยำวกวำดำนกวำง 2 ฟต เสนทแยงมมยำวกวำดำนกวำง 4 ฟต จงหำ ควำมยำวของเสนรอบรปของรปสเหลยมรปน

6. ก ำหนดให 3x 1f (x)

2x 1

และ 2g(x) 3x 1 อนพนธของ [f (x) g(x)] ท x 1 มคำเทำใด

7. ก ำหนดให f (x) 3x 1 และ 2(f g) (x) 3x 1 ถำ g(0) 1 แลว (f g)(0) มคำเทำใด

8. ก ำหนดให 1f (x)

x 1

จงหำ เรนจของ f

9. ถำ 2y x 1 แลว 2xy มคำนอยทสดเทำไร 10. ให ABC เปนรปสำมเหลยมทมมม ˆACB เปนมมฉำก ดำน BC ยำว a หนวย ดำน AC ยำว a + 8 หนวย ถำ cot(90 B) 3 แลว a มคำเทำไร 11. ถำ 1 2 n 2 n 1 na 2, a 1, a a a เมอ n 1, 2, 3, ... จงหำ 11a 12. ถำพจนท n คอ 3n 10 ผลบวก 23 พจนแรกเปนเทำไร 13. จ ำนวนเตมทสอดคลองกบ x 4 5 มกจ ำนวน 14. ล ำดบเรขำคณตชดหนงมอตรำสวนรวมเปนจ ำนวนจรงบวก ถำผลบวกของสองพจนแรกเทำกบ 20 และผลบวก 4 พจนแรกเทำกบ 65 แลว ผลบวกของหกพจนแรกเทำกบเทำไร

15. ก ำหนดใหเวกเตอร 1

4

ตงฉำกกบ 8

a

และ 5 1 8b c

3 4 a

ถำ เปนมมระหวำง

เวกเตอร a

0

และ b

c

แลว 2cos เทำกบเทำไร

16. ชนะมเงนมำกกวำช ำนอย 150 บำท ทงสองคนมเงนรวมกนไมเกน 3,000 บำท ชนะมเงนมำกทสดได กบำท

B

A

C

4



17. ถำพจนท 4 และพจนท 7 ของล ำดบเรขำคณตเปน 54 และ 1,458 ตำมล ำดบ จงหำวำพจนแรกมคำ เทำใด 18. โหลใบหนงมลกแกวสแดง 5 ลก สเขยว 3 ลก สเหลอง 2 ลก หยบลกแกวออกมำ 2 ลกพรอมกน ควำมนำจะเปนทจะไดลกแกวสตำงกนเปนเทำใด 19. จงบอกจดขอบทงหมดของพนทรวมระหวำง 2x y 12 และ x 2y 9 เมอ x, y 0

20. ถำ 5sin(A)

3 แลว A

sin2

มคำเทำใด เมอ 0 A

5



แบบทดสอบตอนท 3 แบบทดสอบชนดแสดงวธท า


ค าชแจง : จงเขยนค ำตอบลงในกระดำษค ำตอบทก ำหนดให

1. ก ำหนด A(2, 3), B( 4, 3) และ C(6, 1) เปนจดยอดมมของรปสำมเหลยมมมฉำก ABC โดยม ˆBAC เปนมมฉำก จงหำสมกรำฟวงกลำมทผำนจด A, B, C

2. ก ำหนดให 2 2

1 1A 1 ...

3 5 และ

2 2 2

1 1 1B ...

2 4 6 จงหำ A

B มคำเทำใด

3. ABCD เปนรปสเหลยมแนบในวงกลมรศม 2 เซนตเมตร โดยทดำน AB ยำว 2 2 เซนตเมตร ดำน BC ยำว 2 เซนตเมตร ดำน CD ยำว 2 3 เซนตเมตร และดำน DA ยำว 2 2 เซนตเมตร จงหำพนทรปสเหลยม ABCD 4. จงหำเซตของจ ำนวนเตมทงหมดทสอดคลองกบอสมกำร 3 x 10 2x 2 3x 1 5. บรษทผลตเกำอแหงหนง กำรผลตตองผำนขนตอนคอ กำรประกอบและกำรตกแตง แผนกประกอบม ชวโมงท ำงำน 60 ชวโมงตอสปดำห แผนกตกแตงมชวโมงท ำงำน 48 ชวโมงตอสปดำห กำรผลตโตะ หนงตวตองใชเวลำประกอบ 4 ชวโมง เวลำตกแตง 2 ชวโมง กำรผลตเกำอตวหนงตองใชเวลำ ประกอบ 2 ชวโมง เวลำตกแตง 4 ชวโมง ถำก ำไรทไดจำกกำรขำยโตะเปน 320 ตอตว และเกำอ 240 ตอตว ตำมล ำดบ ก ำไรสงสดในหนงสปดำหเทำกบเทำใด

6



เฉลยแบบทดสอบตอนท 1

1. เฉลย ง. วธท า ก. สมมตให A = {1} B = {1} จะได A B = และ B A = นนคอ A B = B A แต A = และ B = ดงนน ขอ ก. ผด

ข. สมมตให U = {1, 2, 3, 4, 5} A = {3} B = {1, 2, 3} C = {2, 3, 4} จะได B C = {2, 3} A = {1, 2, 4, 5} B C = (B C) = {1, 4, 5} นนคอ A B C แต A B C ดงนน ขอ ข. ผด

ค. สมมตให U = {1, 2, 3, 4} A = {1, 2} B = {1, 2} C = {2, 3} จะได B C = {1, 2, 3} A = {3, 4} B C = (B C) = {1, 3, 4} นนคอ A B C แต B C A ดงนน ขอ ค. ผด

คงตองออกตวกอน ยอมรบผดเลยนะวำ ครเองกไมเคยสอนนกเรยนใหรจกเจำสญลกษณ นเลย (ครเองกไมเคยเรยนมำเหมอนกน) จรง ๆ แลวมนกคอสญลกษณ เปนสบเซต เหมอนกนกบ นแหละ คงจะเปนเพรำะกลวเปลองหมกปำกกำในกำรเขยนมง ปจจบนทไหน ๆ กเลยใช แทนไปเลย ถำเอำตรงเปะ ๆ ละก แทน เปนสบเซต แทน เปนสบเซตแท

7



ง. จำก A B = A และ A B = A (A B) จะได A (A B) = A นนคอ A B = (จะตองไมมพนททบซอน) ดงนน ขอ ง. ถก 2. เฉลย ข. วธท า ตองรจกกอนนะวำ เมทรกซเอกฐาน คอ เมทรกซทมคำดเทอรมแนนตเทำกบ 0 ซงจะพบวำ เมทรกซทมคำดเทอรมแนนตเทำกบ 0 คอเมทรกซในขอ ข. ยงไงนะเหรอ? สมมตให A แทน เมทรกซในขอ ข.

จำก ดเทอรมแนนต = คณลง – คณขน จะได det(A) = ( 15249 21645 3825) ( 15249 21645 3825) นนคอ det(A) = 0 3. เฉลย ค. วธท า เปะ ๆ เนยน ๆ กตองแกระบบสมกำร แตไมตองกไดนะ เอำแบบชว ๆ กใชควำมรเรองกรำฟ ของระบบสมกำร ระบบสมกำรทไมมผลเฉลยจะมกราฟอยในลกษณะขนานกน ระบบสมกำรทใหมำอยในรป ax by = c ex dy = f ถำท ำสมประสทธหนำตวแปรแตละตวใหเทำกนไดแลวละกใหไปดคำทำงฝงขวำของสมกำร หำกพบวำเปนตวเลขทตำงกน ฟนธงเลยวำ กรำฟขนำนกน นนกคอ ไมมผลเฉลย ซงจะพบวำ ระบบสมกำรทอยในลกษณะตำมทกลำวมำกคอ ระบบสมกำรในขอ ค. นนเอง ยงไงนะเหรอ?

-15249 21645 -3825

-15249 21645 -3825

A B

อาว...ชดเดยวกนเลยน

8



จำก 2x y = 2 (1) 4x 2y = 3 (2) 2 (1) 4x 2y = 4 (3) จะพบวำ สมประสทธหนำตวแปรแตละตวเทำกนแลว แตคำทำงฝงขวำของสมกำรไมเทำกน แสดงวำ กรำฟของสมกำรขนำนกน ดงนน ระบบสมกำรนไมมผลเฉลย 4. เฉลย ค. วธท า จ ำไหมวงกลมหนงหนวย cos = x sin = y ถำจ ำไดสบำยไปหลำยขอเลยนะ ก. 2 นตกคอรดรนตท 4 นะ ( , ) แสดงวำ sin(2 ) ตองตดลบนะ (sin คอ y ไง)

ดงนน sin(2 ) 3

5

ข. นตกคอรดรนตท 2 นะ ( , ) แสดงวำ cos( ) ตองตดลบนะ (cos คอ x ไง)

ดงนน cos( ) 4

5

ค. ขอนตองออกแรงนดหนอย

จำก sin 3

5

วำดรปประกอบไดดงน

จะได tan 3

4

เนองจำก tan( ) tan

ดงนน tan( ) 3

4

ง. ไหน ๆ กไหน ๆ แลวกตออกขอนะ

ตองรนะวำ cot2

tan

และจำกขอ ค. กจะได

tan 3

4

ดงนน cot2

3

4

3

5

4

9



5. เฉลย ค. วธท า พจำรณำตวเลอก ก. หำโดเมนของ R กอนนะ ซงโดเมนนคอคำ x นะ คำ x ทท ำใหสำมำรถค ำนวณหำคำ y ของควำมสมพนธออกมำได จงเกดหลกกำรวำ กำรหำโดเมน ตองจด y ใหอยในเทอมของ x กเพอจะหำคำ x ทเปนไปได

จำก y = 216 x

กำรทจะหำคำ y ไดนน สงทอยภำยใต จะเปนลบไมได นนคอตองมคำตงแต 0 ขนไป นนคอ 216 x 0 (กเรมจากนแหละ) จะได 2x 16 0

2 2x 4 0 (x 4)(x 4) 0

ดงนน โดเมนของ R คอ [ 4, 4] กแสดงวำตวเลอก ก. ถก (อยาไปเลอกละ)

พจำรณำตวเลอก ข. หำเรนจของควำมสมพนธ R ซงเรนจนคอคำ y นะ คำ y ทเปนไปไดทงหมดจำกควำมสมพนธ จงเกดหลกกำรวำ กำรหำเรนจ ตองจด x ใหอยในเทอมของ y กเพอจะหำคำ y ทเปนไปได ซงวธกำรกคลำย ๆ กบกำรหำเรนจ แตในทนครจะน ำเสนออกแบบนะ

จำก y = 216 x และ 216 x 0 (เพรำะมนคอรำกทสองทเปนบวก) กจะได y 0 .................. (1 ) และจำก 2x 0 จะได 2x 0 216 x 16 2y 16 2 2(y 16 x ) 2y 16 y 4 นนคอ 4 y 4 แตจำก (1 ) y 0 ดงนน 0 y 4 หรอ เรนจของของควำมสมพนธ R คอ [0, 4] กแสดงวำ ตวเลอก ข. นแหละผด (เลอกขอนแหละ)

–4 4

+ + –

10



ตออกสกหนอยนะ งำย ๆ แลวครำวน หลกกำรมอย 2 ขอคอ 1. โดเมนของ R คอ เรนจของ 1R 2. เรนจของ R คอ โดเมนของ 1R นนคอ โดเมนของ R คอ [ 4, 4] กจะเปนเรนจของ 1R ตวเลอก ง. กถกตอง และ เรนจของ R คอ [0, 4] กจะเปนโดเมนของ 1R ตวเลอก ค. กถกตอง

6. เฉลย ข. วธท า ดจำกตวเลอกน มนคอเนอหำเรอง ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอกำรทม นะ แตเจำะไปทฟงกชนลด งนเรำกตองรจกลกษณะของฟงกชนลดนะจงจะท ำขอสอบได หลกกำรนะ ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอฟงกชนทอยในรป y = xa .................. (1 ) สวนฟงกชนลอกำรทมคอฟงกชนทอยในรป y = alog x .................. ( 2 )

ซงฟงกชนทงสองจะลกษณะเปนฟงกชนลดเมอ 0 a 1 ฟงกชนทงสองจะลกษณะเปนฟงกชนเพมเมอ a 1

พจำรณำตวเลอก ก.

จำก y = x

1

2

จะได y = x2 ซง 2 1 ดงนน ฟงกชนนเปนฟงกชนเพม

พจำรณำตวเลอก ข. จำก y = xlog 3

จะได y = 3

1

log x

เนองจำก 3log x เปนฟงกชนเพม

นนคอ 3

1

log x เปนฟงกชนลด

ดงนน ฟงกชนนเปนฟงกชนลด

11



พจำรณำตวเลอก ค. จำก y = x3 ซง 3 1 ดงนน ฟงกชนนเปนฟงกชนเพม

พจำรณำตวเลอก ง. จำก y = 2log x

ซง 2 1 ดงนน ฟงกชนนเปนฟงกชนเพม

7. เฉลย ข. วธท า พจำรณำตวเลอก ก. ให a = 1 b = 0 c = 1 จะได 2(a b c) = 2( 1 0 1) = 0 และ 2 2 2a b c = 2 2 2( 1) 0 1 = 2 แสดงวำ 2(a b c) < 2 2 2a b c ดงนน ตวเลอก ก. ผด

พจำรณำตวเลอก ข. ให a = 1 b = 1 c = 1 จะได 2(a b c) = 2[1 1 ( 1)] = 9

และ 2 2 2a b c = 2 2 21 1 ( 1) = 3

แสดงวำ 2(a b c) > 2 2 2a b c ดงนน ตวเลอก ข. ผด

พจำรณำตวเลอก ค. ให a = 0 b = 1 c = 1 จะได a b c = 0 1 ( 1) = 2

12



และ a b c = 0 1 1 = 0

แสดงวำ a b c > a b c

ดงนน ตวเลอก ค. ผด

พจำรณำตวเลอก ง. a b c a b c

เนองจำก a a a (รไหมเนย)

เชนเดยวกน b b b

และ c c c

จะได a b c a b c a b c .................. (1 )

แยกพจำรณำคำของ a b c กรณท 1 a b c 0 จะได a b c a b c

จำก (1) ทวำ a b c a b c

จงได a b c a b c .................. ( 2 )

กรณท 2 a b c 0 จะได a b c a b c

จำก (1) ทวำ a b c a b c

จงได a b c a b c

หรอ a b c a b c .................. (3 )

ซงจำก กรณท 1 และ กรณท 2 ไมวำกรณไหนกตำม จะไดวำ a b c a b c

ดงนน ตวเลอก ง. ถก

13



8. เฉลย ก. วธท า เนองจำก a b c แสดงวำ Me = b .................. (1 )

และ x = a b c

3

.................. ( 2 )

พจำรณำตวเลอก ก. เนองจำก c b = b a จะได c a = 2b .................. (3 )

จำก ( 2 ) x = a b c

3

หรอ x = a c b

3

จำก ( 3 ) จะได x = 2b b

3

= 3b

3

นนคอ x = b = Me ดงนน ตวเลอก ก. ถกตอง พจำรณำตวเลอก ข. ถำ a = 0 b = 1 c = 5 จะได Me = 1

และ x = 0 1 5

3

= 6

3

จะได x = 2 นนคอ x > Me ดงนน ตวเลอก ข. ผด

14



พจำรณำตวเลอก ค. ถำ a = 1 b = 2 c = 4

จะได b

a = 2

และ c

b = 2

นนคอ b

a = c

b

จะได x = 1 2 4

3

= 7

3

และ 2 2a 2ab b

3a

= 2 21 2(1)(2) 2

3(1)

= 3

แสดงวำ x 2 2a 2ab b

3a

ดงนน ตวเลอก ค. ผด

พจำรณำตวเลอก ง. เจอตวเลอกแบบนในขอสอบ ไมวำจะเปน O-Net, PAT1 หรอขอสอบระดบประเทศใด ๆ ก แลวแต ใหตดทงไมตองเอำมำใสในระบบประสำทเลยนะ ถำไมมขอถกเขำไมมำถำมเรำหรอก ดงนน ตวเลอก ง. ผด 9. เฉลย ค. วธท า กอนอนกท ำใหงำนเรำเบำขนกอนนะ 1. ขอ ง. นตดทงไดเลย เพรำะถำไมมขอถก เขำไมท ำขอสอบมำถำมเรำหรอก 2. รไหมวำ โดเมนนเปนเซตนะ ดงนนกำรด ำเนนกำรของเซตไมมหรอกกำรบวกนะ ตดขอ ก. ทงไดเลย จรง ๆ แลวขอนเปนหลกกำรพชคณตของฟงกชนเปะ ๆ เลยนะ ถำจ ำไดกจบเลย เพรำะ โดเมนของฟงกชน (f g)(x) คอ f gD D จบ.... กอยำงทบอก ถำจ ำไดกจบ แตปญหำคอ จ ำไมไดนส...เลยตองยำว เนองจำก (f g)(x) = f (x) g(x) ซง fD เปนโดเมนของ f หรอเปนเซตของ x ทสำมำรถหำคำ f (x) ได และ gD เปนโดเมนของ g หรอเปนเซตของ x ทสำมำรถหำคำ g(x) ได จะไดวำ f gD ซงเปนโดเมนของ f g จะตองเปนเซตของ x ทสำมำรถหำคำไดทง f (x) และ g(x) ซงกคอ f gD D ดงนน ตวเลอก ค. ถก

15



10. เฉลย ก. วธท า พจำรณำ ตวเลอก ก. ส ำหรบประโยคเปด 2 2x y x y 4

จะเปน จรง เมอ แทน x ดวยจ ำนวนจรงทกจ ำนวน ซงแตละคำของ x จะตองสำมำรถน ำ y ทเปนจ ำนวนจรงทกจ ำนวนมำแทนคำรวมกน แลวท ำใหเงอนไข 2 2x y 4 เปนจรง (ซงหากจะพสจนวาจรงดวยการแทนคานสาหสเลยนะ ทงชาตกแทนไมหมด) แตจะเปน เทจ เมอม x และ y อยำงนอย 1 คทน ำมำแทนคำ แลวท ำใหเงอนไข 2 2x y 4 เปนเทจ ซงในทนถำให x = 0 และ y = 0 จำกเงอนไข 2 2x y = 4 แทนคำจะได 2 20 0 = 4 0 = 4 ซงเปนเทจ นนคอ 2 2x y x y 4 เปนเทจ

ดงนน ตวเลอก ก. นแหละเปนเทจ (ตอบขอนแหละนะ)

พจำรณำ ตวเลอก ข. ส ำหรบประโยคเปด 3y x x y 1

จะเปน จรง เมอ แทน y ดวยจ ำนวนจรงทกจ ำนวน ซงแตละคำของ y จะตองสำมำรถน ำ x ทเปนจ ำนวนจรงอยำงนอย 1 คำ มำแทนคำรวมกน แลวท ำใหเงอนไข 3x y 1 เปนจรง แตจะเปน เทจ เมอม y อยำงนอย 1 คำ ทไมสามารถหำคำ x แมแตคำเดยว มำรวมแทนคำ แลวท ำใหเงอนไข 3x y 1 เปนจรงได จำกเงอนไข 3x y = 1 จะได x = 31 y นนคอ ไมวำ y จะมคำเทำใดกตำม จะสำมำรถหำคำ x ทสอดคลองกบเงอนไขออกมำไดเสมอ เชน ถำ y = 0 กจะได x = 31 0 = 1 ซงจำกเงอนไข 3x y = 1 จะพบวำ 31 0 = 1 เปนจรง ส ำหรบกรณอน ๆ กเชนเดยวกน ดงนน ตวเลอก ข. เปนจรง (อยาตอบขอนละ)

16



พจำรณำ ตวเลอก ค. ส ำหรบประโยคเปด 3 3x y x y 0

จะเปน จรง เมอ แทน x ดวยจ ำนวนจรงอยำงนอย 1 คำ ซงคำของ x ดงกลำวสำมำรถน ำ y ทเปนจ ำนวนจรงอยำงนอย 1 คำ มำแทนคำรวมกน แลวท ำใหเงอนไข 3 3x y 0 เปนจรง แตจะเปน เทจ เมอไมสามารถหำคำ x ทเปนจ ำนวนจรงไดเลยแมทคำเดยวทจะมำรวมมอกบ คำ y ทเปนจ ำนวนจรงใดกได เพอรวมกนแทนคำ แลวท ำใหเงอนไข 3 3x y 0 เปนจรงได ถำอยำงนนกงำยเลยครบทจะหำเลขมำแทนแลวท ำใหเงอนไขเปนจรง กลองให x = 0 และ y = 0 จำก 3 3x y = 0 จะได 3 30 0 = 0 ซงเปนจรง ดงนน ตวเลอก ค. เปนจรง (อยาตอบขอนละ)

พจำรณำ ตวเลอก ง. ส ำหรบประโยคเปด 3y x x y 1

จะเปน จรง เมอ แทน y ดวยจ ำนวนจรงอยำงนอย 1 คำ ซงคำของ y ดงกลำวสำมำรถน ำ x ทเปนจ ำนวนจรงอยำงนอย 1 คำ มำแทนคำรวมกน แลวท ำใหเงอนไข 3x y 1 เปนจรง แตจะเปน เทจ เมอไมสามารถหำคำ y ทเปนจ ำนวนจรงไดเลยแมทคำเดยวทจะมำรวมมอกบ คำ x ทเปนจ ำนวนจรงใดกได เพอรวมกนแทนคำ แลวท ำใหเงอนไข 3x y 1 เปนจรงได ถำอยำงนนกงำยเลยครบทจะหำเลขมำแทนแลวท ำใหเงอนไขเปนจรง กลองให y = 0 และ x = 1 จำก 3x y = 1 จะได 31 0 = 1 ซงเปนจรง ดงนน ตวเลอก ง. เปนจรง (อยาตอบขอนละ)

17




1. วธท า จำก z = 1 3i

2 2

จะได 1

1 z = 1

1 31 i

2 2

= 1

3 3i

2 2

= 2

3 3i

= 2 3 3i

3 3i 3 3i

= 2

2

6 2 3i

3 3

= 6 2 3i

12

นนคอ 1

1 z = 1 3

i2 6

ดงนน 1Re

1 z

= 1

2

2. วธท า เนองจำก 2

x 3

x 9lim

x 3

=

2 2

x 3

x 3lim

x 3

= x 3

(x 3)(x 3)lim

x 3

= x 3lim(x 3)

= 3 3

ดงนน 2

x 3

x 9lim

x 3

= 6

3. วธท า ให w = (x, y) เนองจำก u = (2, 5) v = (1, 2) และ v w = 11 จะได x 2y = 11 .................. (1)

18



และจำก u w = 4 จะได 2x 5y = 4 .................. (2) 2 (1) 2x 4y = 22 .................. (3) (3) (2) 9y = 18 นนคอ y = 2 แทน y 2 ใน (1) จะได x 2(2) = 11 นนคอ x = 7 ดงนน w = (7, 2)

4. วธท า จำกรปทโจทยก ำหนดให สำมำรถจดเปนพนทยอย ๆ ไดดงน

ซงจะไดวำ B A = ข, จ (B A) = ก, ค, ง, ฉ นนคอ (B A) C = ง, ฉ ดงนน สำมำรถแรเงำไดดงรป (อยางสวยงาม เนยนมาก)

5. วธท า รใชไหมวำควำมยำวรอบรปหำโดยเอำควำมยำวทกดำนมำรวมกน (ถาไมรนไปตอไมไดเลยนะ) แตปญหำคอไมรวำแตละดำนยำวเทำไหร งนกสมมตใหควำมยำวแตละดำนเปนตวแปรตำมนแลวกน (หนวยเปนฟตนะ บอกไวกอน) ดำนกวำง = x (ถาไมชอบ x กใหเปนตวอนเองนะ) จะได ดำนยำว = x 2 (ดานยาวยาวกวาดานกวาง 2 ฟตไง) และ เสนทแยงมม = x 4 (กโจทยบอกเสนทแยงมมยาวกวาดานกวาง 4 ฟตไง) วำดรปประกอบครำว ๆ กตำมนเลยนะ

B

A

C ก

ข ค ง จ ฉ

B

A

C

19



พจำรณำทรปสำมเหลยมมมฉำก จะสำมำรถเขยนควำมสมพนธตำมทฤษฎบทพทำโกรสไดวำ 2(x 4) = 2 2x (x 2) 2x 8x 16 = 2 2x x 4x 4 0 = 2x 4x 12 2x 4x 12 = 0 (เปลยนขางใหเดยวจะรสกวามนไมคน) (x 2)(x 6) = 0 x = 2, 6 จ ำไดไหมวำ x คอควำมยำวของดำนกวำง ซงมนจะตดลบไมไดนะ กแสดงวำ กวำง = 6 ยำว = 8 ดงนน ควำมยำวรอบรปสเหลยมรปนเทำกบ 6 8 6 8 28 ฟต

6. วธท า จำกโจทย f (x) = 3x 1

2x 1

และ g(x) = 23x 1 = 1

2 2(3x 1) อนพนธของ [f (x) g(x)] กคอ [f (x) g(x)] จำก [f (x) g(x)] = f (x) g (x)

ซง f (x) = 2

(2x 1) 3 (3x 1) 2

(2x 1)

และ g (x) = 1

2 21

(3x 1) (6x)2

จะได [f (x) g(x)] = 1

2 22

(2x 1) 3 (3x 1) 2 1(3x 1) (6x)

(2x 1) 2

นนคอ อนพนธของ [f (x) g(x)] ท x 1

= 1

2 22

1 11 1

1

(2 1) 3 (3 1) 2 1(3 1) (6 )

(2 1) 2

= 1

23 8 1

(4) (6)1 2

= 3

52

= 7

2

x

x + 2

x

x + 2

ถอดรป แยกพจำรณำ

20



7. วธท า จำกโจทย f (x) = 3x 1 (f g) (x) = 23x 1 และ g(0) = 1 เนองจำก (f g)(0) = f[g(0)] จะได (f g)(0) = f (1) = 3(1) 1 ดงนน (f g)(0) = 4 แสดงวำ เจำ 2(f g) (x) 3x 1 เอำมำขเฉย ๆ หรอไมโจทยกพมพตกอะไรสกอยำง

8. วธท า จำกโจทย f (x) = 1

x 1

เนองจำก x 0 แสดงวำ x 1 1 หรอ 1 ( x 1) 1

นนคอ 1 1

x 1

หรอ 1

x 1 1

นนคอ f (x) 1 .................. (1)

และเนองจำก 1

x 1 ไมมโอกำสเปน 0 หรอจ ำนวนจรงลบแนนอน

แสดงวำ 1

x 1 0

นนคอ f (x) 0 .................. (2) จำก (1) และ (2) จะได 0 f (x) 1 ดงนน เรนจของ f คอ (0,1]

9. วธท า รไหมวำขอนอยในเนอหำเรองแคลคลส หวขอคำต ำสดและคำสงสด (ถารกตอไดเลยนะ) จำก 2y x = 1 จะได 2y = x 1 ให f (x) = 2xy = x(x 1) จะได f (x) = 2x x และ f (x) = 2x 1

21



ให f (x) = 0 เพอหำคำวกฤต x ทจะใหเกดคำสงสดหรอต ำสด จะได 2x 1 = 0

นนคอ x = 1

2 (มคำวกฤตเดยวไมตองเสยเวลำตรวจสอบหรอก)

คำวกฤตมเพยงคำเดยว กไมตองไปตรวจสอบหรอก ยงไงกคำนแหละทจะท ำใหไดคำนอยทสด จำก f (x) = 2x x

จะได 1f

2

= 2

1 1

2 2

= 1 1

4 2

= 3

4

ดงนน 2xy มคำนอยทสดเทำกบ 3

4

10. วธท า วำดรปโดยอำศยขอมลจำกโจทยไดดงน

รไหมวำ cot(90 B) = tan B จำก cot(90 B) = 3 นนคอ tan B = 3

จะได a 8

a

= 3 (เพรำะวำ ACtan B

BC )

a 8 = 3a 8 = 2a ดงนน a = 4

C A

B

a + 8

a

22



11. วธท า จำก n 2a = n 1 na a

แสดงวำ พจนถดไปจะมคำเทำกบสองพจนกอนหนำบวกกน เนองจำก 1a = 2 และ

2a = 1 จะได 3a = 2 1a a = 2 1 = 3

4a = 3 2a a = 3 1 = 4

5a =

4 3a a = 4 3 = 7

6a = 5 4a a = 7 4 = 11

7a = 6 5a a = 11 7 = 18 8a = 7 6a a = 18 11 = 29 9a = 8 7a a = 29 18 = 47 10a = 9 8a a = 47 29 = 76 ดงนน 11a = 10 9a a = 76 47 = 123

12. วธท า จำก na = 3n 10

จะได 23S = 23

n

n 1

a

= 23

n 1

(3n 10)

= 23 23

n 1 n 1

3n 10

= 23

n 1

3 n (23)(10)

= 23(23 1)3 230

2

= 828 230 ดงนน 23S = 598

13. วธท า ยงจ ำกนไดไหมครบสมบตทวำ ถำ x a แลว a x a นนคอ x 4 5 จะได 5 x 4 5 45 x 44 5 4 นนคอ 1 x 9 หรอ x มคำตงแต 1 ถง 9 แตในทนจะสนใจคำ ทเปนจ ำนวนเตมเทำนน ซงไดแก 1, 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ดงนน จ ำนวนเตมทสอดคลองกบอสมกำรนมทงหมด 11 จ ำนวน

23



14. วธท า จำกสตร nS = n

1a (1 r )

1 r

จะได 6S = 6

1a (1 r )

1 r

.................. (1)

จำกโจทย 2S = 20

นนคอ 2

1a (1 r )

1 r

= 20

1a (1 r)(1 r)

1 r

= 20

1a (1 r) = 20 .................. (2) และจำกโจทย 2S = 65

นนคอ 4

1a (1 r )

1 r

= 65

2 2

1a (1 r )(1 r )

1 r

= 65

2

1a (1 r)(1 r)(1 r )

1 r

= 65

2

1a (1 r)(1 r ) = 65 จำก (2) จะได 220(1 r ) = 65

21 r = 65

20

2r = 651

20 = 45

20 = 9

4

นนคอ r = 3

2

เนองจำกโจทยระบวำ อตราสวนรวมเปนจ านวนจรงบวก

จะได r = 3

2 .................. (3)

จำก (2) จะได 1a = 20

1 r = 20

31

2

= 8

จำก (1) จะได 6S =

63

8 12

31

2

=

7298 1

64

1

2

= 66516

64

ดงนน 6S = 665

4

24



15. วธท า จำกหลกกำรทวำ u ตงฉำกกบ v กตอเมอ u v

จำกโจทย เวกเตอร 1

4

ตงฉำกกบ 8

a

แสดงวำ 1 8

4 a

= 0

8 4a = 0 4a = 8 นนคอ a = 2

จำกโจทย 5

3

= 1 8b c

4 a

= b 8c

4b 2c

นนคอ 5

3

= b 8c

4b 2c

จะไดวำ b 8c = 5 .................. (1) และ 4b 2c = 3 .................. (2) 4 (1) 4b 32c = 20 .................. (3) (2) (3) 34c = 17

จะได c = 1

2

แทน 1c

2 ใน (1) จะได

1b 8

2

= 5

b 4 = 5 จะได b = 1

ให u = a

0

= 2

0

จะได u = 2 22 0 = 2

และให v = b

c

= 1

1

2

จะได v = 2

2 11

2

= 5

2

จำก u v = u v cos

จะได 12 1 0

2

= 5

2 cos2

2 = 5 cos

25



2

5 = cos

ดงนน 2cos = 4

5

16. วธท า ใหชนะมเงน x บำท (โจทยอยากรยอดเงนของชนะใชไหม) จะไดช ำนมเงน x 150 บำท (เพราะวาช านมเงนนอยกวาชนะอย 150 บาทไง) เนองจำก ทงสองคนมเงนรวมกนไมเกน 3,000 บำท จะได x (x 150) 3000 2x 150 3000 2x 3150 x 1575 ดงนน ชนะมเงนมำกทสดได 1,575 บำท

17. วธท า จำกควำมสมพนธ 4a = 3

1a r (พจนท 4 เทากบเอาพจนท 1 คณดวย r ไป 3 ตว)

จะได 1a = 4

3

a

r .................. (1)

จำกโจทย 4a = 54 7a = 1458 จำกควำมสมพนธ 7a = 3

4a r (พจนท 7 เทากบเอาพจนท 4 คณดวย r ไป 3 ตว) แทนคำจะได 1458 = 354r

1458

54 = 3r

นนคอ 3r = 27

จำก (1) จะได 1a = 54

27

ดงนน 1a = 2

18. วธท า จำก P(E) = n(E)

n(S) .................. (1)

ขอมลในโจทยท ำใหทรำบวำ มลกแกว 10 ลก ตองกำรหยบออกมำ 2 ลกพรอมกน หำ n(S) กอนนะ เพรำะมนงำย ไมมเงอนไขอะไร จะไดมก ำลงใจท ำตอไป (ม 10 หยบมำ 2)

จะได n(S) = 10, 2C = 10!

(10 2)!2! = 10 9 8!

8!2!

= 45

ตอมำหำ n(E) ซงจะมควำมเจำะจงตำมเงอนไขทตองกำร (ม 10 หยบมำ 2 ตองตำงกน) โดยสำมำรถแยกเปน 3 กรณ ดงน กรณท 1 หยบไดสแดงและสเขยว ( 1E ) จะได 1n(E ) = 5 3 = 15 (แดงม 5 เขยวม 3) กรณท 2 หยบไดสแดงและสเหลอง ( 2E ) จะได 2n(E ) = 5 2 = 10 (แดงม 5 เหลองม 2)

26



กรณท 3 หยบไดสเขยวและสเหลอง ( 3E ) จะได

3n(E ) = 3 2 = 6 (เขยวม 3 เหลองม 2) จำกทง 3 กรณจะได n(E) = 1 2 3n(E ) n(E ) n(E ) = 15 10 6 = 31

จำก (1) จะได P(E) = 31

45

ดงนน ควำมนำจะเปนตำมเงอนไขนเทำกบ 31

45

19. วธท า จำก 2x y 12 และ x 2y 9 เปลยนอสมกำรทงสองใหเปนสมกำรกอน เพอหำจดตดแกน x และ y ของกรำฟทงสอง

อสมกำร สมกำร จดตดแกน x (ให y = 0) จดตดแกน y (ให x = 0) 2x y 12 2x y 12 (6, 0) (0,12) x 2y 9 x 2y 9 (9, 0) (0, 4.5)

หำจดตดระหวำงสมกำร 2x y 12 และ x 2y 9 โดยกำรแกระบบสมกำร 2x y = 12 .................. (1) x 2y = 9 .................. (2) 2 (1) 4x 2y = 24 .................. (3) (3) (2) 3x = 15 x = 5 แทน x 5 ใน (1) จะได 2(5) y = 12 y = 2 นนคอ กรำฟของสมกำร 2x y 12 และ x 2y 9 ตดกนทจด (5, 2) จำกขอมลทไดสำมำรถน ำมำวำดกรำฟไดดงรป

ดงนน จดขอบทงหมดของพนทตำมเงอนไขขอนไดแก (0, 0), (0, 4.5), (5, 2) และ (6, 0)

27



20. วธท า จำกสตร Asin

2 = 1 cos A

2

เนองจำก 0 A จะได A0

2 2

นนคอ Asin

2 = 1 cos A

2

.................. (1)

จำกโจทย sinA = 5

3

สำมำรถวำดรปประกอบพรอมหำควำมยำวของดำนทเหลอไดดงน

จำกรปจะได cosA = 2

3

จำก (1) จะได Asin

2 =

21

3

2

= 1

3

2

ดงนน Asin

2 = 1

6

A

2

C

B

=

= = = =

28




1. วธท า จำกรปทวไปของสมกำรวงกลม 2 2x y Ax By C = 0 .................. (1) เนองจำกวงกลมผำนจด A(2, 3) นนคอ 2 22 3 A(2) B(3) C = 0 จะได 2A 3B C = 13 .................. (2) เนองจำกวงกลมผำนจด B( 4, 3) นนคอ 2 2( 4) ( 3) A( 4) B( 3) C = 0 จะได 4A 3B C = 25 .................. (3) เนองจำกวงกลมผำนจด C(6, 1) นนคอ 2 26 ( 1) A(6) B( 1) C = 0 จะได 6A B C = 37 .................. (4) (2) (3) 6A 6B = 12 A B = 2 .................. (5) (2) (4) 4A 4B = 24 A B = 6 .................. (6) (5) (6) 2B = 8 จะได B = 4 แทน B 4 ใน (5) A 4 = 2 จะได A = 2 แทน A 2, B 4 ใน (2) จะได 2( 2) 3(4) C = 13 C = 21 จำก (1) 2 2x y Ax By C = 0 จะได 2 2x y 2x 4y 21 = 0

29



2. วธท า จำก A = 2 2

1 11 ...

3 5

B = 2 2 2

1 1 1...

2 4 6

จะได B = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1...

(2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5)

= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1...

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5

= 2 2 2 2 2

1 1 1 1 11 ...

2 2 3 4 5

= 2 2 2 2

1 1 1 1 11 ... ...

4 3 5 2 4

= 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 11 ... ...

4 3 5 2 4 6

นนคอ B = 1(A B)

4

4B = A B 3B = A

3 = A

B

ดงนน A

B = 3

3. วธท า ขอนตองใชจนตนำกำรเขำมำชวยมำกพอสมควรนะครบเพอวำดรปสเหลยม ABCD ใหอยภำยในรปวงกลม ซงมเงอนไขตำง ๆ ตำมทก ำหนด ซงจดแรกทเปนตวบอกใบทนำจะท ำใหฉกคดขนมำไดบำงกคอ 1. รศมของวงกลมทยำว 2 ซม. 2. ควำมยำวของดำน AB และ DA ซงยำวเทำกบ 2 2 ซม. ซงเมอน ำมำวำดรปจะพบวำควำมสมพนธของควำมยำวดงกลำวเปนไปตำมบทกลบของ ทฤษฎบทพทำโกรส หรอกคอเปนรปสำมเหลยมมมฉำก AOB และ AOD นนเอง

และจำกรปดำนบน เมอพจำรณำตอไปอกจะพบวำ ควำมสมพนธของเสนผำนศนยกลำง BD

A

B

C

D

2

2

2

O

30



รวมถงควำมยำวของดำน BC และ CD เปนไปตำมบทกลบของทฤษฎบทพทำโกรส จงไดวำรปสำมเหลยม BCD เปนรปสำมเหลยมมมฉำกนนเอง

นนคอ พนทรปสเหลยม ABCD ซงเปนรปสเหลยมอะไรกไมร จะเทำกบพนทของรป สำมเหลยม ABD และรปสำมเหลยม BCD รวมกน

จำก พ.ท. ABCD = พ.ท. ABD พ.ท. BCD

จะได พ.ท. ABCD = 1 1BD AO BC CD

2 2

= 1 14 2 2 2 3

2 2

ดงนน พ.ท. ABCD = 4 2 3 ตำรำงเซนตเมตร

4. วธท า จำก 3 x 10 2x > 2 3x 1 พจำรณำหำคำวกฤต x ส ำหรบกำรก ำจดเครองหมำยคำสมบรณ ซงในทนมอยสองทคอ พจำรณำจำก x 10 ให x 10 = 0 จะได x = 10 พจำรณำจำก 3x 1 ให 3x 1 = 0

จะได x = 1

3

น ำคำวกฤตทไดมำเขยนบนเสนจ ำนวน

A

B

C

D

2

4 O

31



กรณ 1x

3

จะได 3x 1 < 0 และ x 10 < 0 จำก 3 x 10 2x > 2 3x 1 จะได 3(x 10) 2x > 2(3x 1) 3x 30 2x > 6x 2 x > 32 นนคอ จ ำนวนเตมทสอดคลองกบอสมกำรในกรณนไดแก 31, 30, 29, ..., 1

กรณ 1x 10

3

จะได 3x 1 0 และ x 10 < 0 จำก 3 x 10 2x > 2 3x 1 จะได 3(x 10) 2x > 2(3x 1) 3x 30 2x > 6x 2 11x > 28

x < 28

11

หรอ x < 2.กวำ ๆ (กสนเฉพาะจ านวนเตมนนา กเลยไมหาถงทศนยม) นนคอ จ ำนวนเตมทสอดคลองกบอสมกำรในกรณนไดแก 0,1, 2 กรณ x 10 จะได 3x 1 0 และ x 10 0 จำก 3 x 10 2x > 2 3x 1 จะได 3(x 10) 2x > 2(3x 1) 3x 30 2x > 6x 2 5x > 32

x < 32

5

หรอ x < 6. กวำ ๆ (กสนเฉพาะจ านวนเตมนนา กเลยไมหาถงทศนยม) กคงจะหำไมไดหรอกจ ำนวนทมคำตงแต 10 ขนไป แตนอยกวำ 6. กวำ ๆ นนคอ จ ำนวนเตมทสอดคลองกบอสมกำรในกรณนไมม ดงนน จำกทงสำมกรณจะไดวำจ ำนวนเตมทสอดคลองกบอสมกำรนม 34 จ ำนวน

32



5. วธท า กอนอนกตองรกอนนะวำก ำไรนมำจำกกำรขำยโตะและเกำอ แตปญหำคอตอนนเรำยงไมรวำจะตองผลตโตะและเกำอออกมำขำยกตว สมมตให x แทนจ ำนวนโตะ y แทนจ ำนวนเกำอ จะได ก ำไรจำกกำรขำยโตะ เทำกบ 320x บำท (ก ำไรตวละ 320 บำท) ก ำไรจำกกำรขำยเกำอ เทำกบ 240x บำท (ก ำไรตวละ 240 บำท) นนคอ ก ำไรจำกกำรขำยจะเปนดงสมกำร P = 320x 240y .................. (1) แตในกำรผลตโตะและเกำอ ไมใชวำจะผลตกตวกไดนะ เพรำะยงมเงอนไขตำง ๆ ก ำหนดไวดวย ซงไดแกเงอนไขกำรประกอบและเงอนไขกำรตกแตง พจารณาเงอนไขการประกอบ กำรประกอบโตะจะใชเวลำ 4x ชวโมง (จ ำนวน x ตว ๆ ละ 4 ชวโมง) กำรประกอบเกำอจะใชเวลำ 2y ชวโมง (จ ำนวน y ตว ๆ ละ 2 ชวโมง) แตแผนกนมเวลำท ำงำนเพยง 60 ชวโมง/สปดำห นนคอ 4x 2y 60 .................. (2) พจารณาเงอนไขการตกแตง กำรตกแตงโตะจะใชเวลำ 2x ชวโมง (จ ำนวน x ตว ๆ ละ 2 ชวโมง) กำรตกแตงเกำอจะใชเวลำ 4y ชวโมง (จ ำนวน y ตว ๆ ละ 4 ชวโมง) แตแผนกนมเวลำท ำงำนเพยง 48 ชวโมง/สปดำห นนคอ 2x 4y 48 .................. (3) พจารณาเงอนไขของจ านวนโตะและเกาอ ซงจ ำนวนโตะและเกำอจะตองไมตดลบ (จะผลตหรอไมผลตเทานนเอง) นนคอ x 0 .................. (4) y 0 .................. (5) น ำสมกำรทง 5 มำวำดเปนกรำฟ ไดดงรป (คงไมลงรายละเอยดถงวธการวาดวาท าไดยงไงนะ)

ซงจะมจด (12, 6) เปนจดตดของสมกำร 4x 2y 60 และ 2x 4y 48

33



จะไดวำ จดทจะตองน ำมำพจำรณำเพอหำคำก ำไรสงสดไดแก (0,12), (12, 6) และ (15, 0)

จด แทนคำ P 320x 240y ก ำไร (P) สรปผล (0,12) P 320(0) 240(12) 2,880 (12, 6) P 320(12) 240(6) 5,280 สงสด (15, 0) P 320(15) 240(0) 4,800

ดงนน ก ำไรสงสดเทำกบ 5,280 บำท/สปดำห

อัจฉริยภาพทางคณิตศาสตร์...

Documents