ตรโกณมตและการประยกต

1.วงกลมหนงหนวย (unit circle)

ความยาวของเสนรอบวงเทากบ 2r หนวย เมอ r = 1 ความยาวของเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวยเทากบ 2

Y (0,1)

(-1,0) (1,0) X

(0,-1)จากรป เปนพกด (x,y) ทอยบนเสนรอบวงของวงกลมรศมหนงหนวยตาม

คามมตางๆ

แบบฝกหดท 1 กำาหนดจำานวนจรง ใหหาจดปลายสวนโคงทยาว

หนวยทกำาหนดให 1.) = 2.) =

1

บทนยาม 1 วงกลมหนงหนวย หมายถง วงกลมทมจดศนยกลางอยทจดกำาเนด (origin) และมรศมยาวเทากบ 1

( 23 ,- )

(- 21 ’ - 23

)

( ’ )

( ’ - )

(- ’ )

( , )

(- ,- )

(- 23 , 21 )

( ’ 22

( ’ -(-22 ’ -)

(- ’

6

45

2

43

611

3.) = 4.) =

5.) = 6.) =

7.) = 8.) =

2. ฟงกชนไซนและโคไซน

2

ฟงกชนตรโกณมตเปนฟงกชนจากสบเซตของ R ไป R จะใชวงกลมหนงหนวยเปนหลกในการนยามฟงกชนตรโกณมต

กำาหนดจำานวนจรง (ทตา) ถา (x, y) เปนจดปลายสวนโคงทวดจากจก (1,0) ยาว || หนวย

1. ถา > 0 จะวดสวนโคงจากจด (1,0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา2. ถา 0 จะวดสวนโคงจากจด (1,0) ไปในทศทางทวนเขมนาฬกา

จากความสมพนธ (x,y) R ×R|x2 + y2 = 1 จะเหนวา-1 ≤ y ≤1 ดงนน -1 ≤ sin ≤ 1 และ -1 ≤ x ≤1 ดงนน

-1 ≤ cos ≤ 1นนคอ เรนจของฟงกชนไซนและโคไซน คอ เซตของจำานวนจรง

ตงแต -1 ถง 1 และโดเมนของฟงกชนไซนและโคไซน คอ เซตของจำานวนจรง

3. คาของฟงกชนไซนและโคไซนพจารณาจากคอนดบซงเปนจดปลายสวนโคงของวงกลมหนงหนวย

ซงเรมตนจากจด (1, 0) และยาว || หนวย โดยท แทนจำานวนจรงใดๆ คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจำานวนจรงบางจำานวน จากรป

วงกลมหนงหนวย จะไดดงตารางตอไปน (ใหนกเรยนลองเตมเองเปนแบบฝกหดครบ)

จำานวนจรง

0

sin 0cos 1

3

ควอดรนต ท 1 ควอดรนต ท 2

บทนยาม 2 เมอ (x, y) เปนจดปลายสวนโคงทยาว หนวย

ฟงกชนไซน (sine) คอ เซตของคอนดบ (, y)

ฟงกชนโคไซน (cosine) คอ เซตของค

จำานวนจรง

2

sin cos

4. คาของฟงกชนไซนและโคไซนของจำานวนจรงใดๆถาสวนโคงของวงกลมหนงหนวยทเชอมระหวางจด (1, 0) กบ (x,

y) ยาว || หนวย สวนโคงของวงกลมหนงหนวยทเชอมระหวางจด (1, 0) กบจด (x, -y) จะตองยาว || หนวย เมอ แทนจำานวนจรงใดๆ Y

(x,y) จากจด (x,y) และ (x,-y) (1,0) X สรปไดวา sin (- ) = - sin

- cos (- ) = cos

(x,-y)

การหาคาของฟงชนกตรโกณมตของจำานวนจรงตงแต 0 ถง 2

จดปลายสวนโคงทยาว หนวยอยในควอดรนต ท 2

ควอดรนต ท 3

ควอดรนต ท 4

2sin( ) = sincos( ) = -cos

tan( ) = -tan

sin( ) = -sincos( ) = -cos

tan( ) = tan

sin(2 ) = -sin

cos(2 ) = cos

tan(2 ) = -tan

แบบฝกหดท 2

4

ควอดรนต ท 3 ควอดรนต ท 4

1. ใหเตมคาของฟงกชนไซนและโคไซนของจำานวนจรง ทกำาหนดให

sin cos sin cos sin cos32

2. กำาหนดให 0 และ sin = 0.4848 จงหาคาของ1.) sin( ) 2.) cos( )

3.) cos(2 ) 4.) sin (- )

3. จงหาคาของ sin และ cos เมอ เปนจำานวนจรงตอไปน1.) = 2.) =

3.) = 4.) =

5. ฟงกชนตรโกณมตอนๆ

ทฤษฎบทของปทาโกรส1. sin2 + cos2 = 12. sec2 - tan2 = 13. cosec2 - cot2 =1

ใหนกเรยนลองพสจนขอ 2 กบขอ 3 เปนแบบฝกหด

แบบฝกหดท 3 1. จงพสจนขอความตอไปน

5

บทนยาม 3 สำาหรบจำานวนจรง ใดๆ tangent = เมอ cos ≠ 0secant = เมอ cos ≠ 0cosecant = เมอ sin ≠ 0cotagent = เมอ sin ≠0

1.) sec2 - tan2 = 1 2.) cosec2 - cot2 =1

2. กำาหนดให sin = -0.6 และ 2 จงหาคาฟงกชนตรโกณมตอนๆ ของ 3. จงหาคาของ

1.) cos - sin + tan - cos + tan 2.) sin + tan - cos sin

3.) sin + tan cos -cot -sin 4.) sin cos+ cos sin + sin

5.) cos2 + sin2 + sin2 cos2 6.) 2 sec2 sin0 - cos22 + cosec

4. จงพสจนแตละขอตอไปน1.) cot2x + sec2x = tan2x + cosec2x2 .) tan2x - sin2x = tan2xsin2x

3.) cosec x(cosec x - sin x) = cot2x 4.) cos x (sec x - cos x) = sin2x

5.) 1- cos x sin x cos x = sin2x 6.) 1+ sin x tan x sec x = sec2x

6

7.) cos + sin tan = sec 8.) = tan2x

9.) = cos2x + sin2x 10.) = cosec2x

11.) = tan2x 12.) = cot x

6. ฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจำานวนจรงหรอมม Y

P2(x2,y2) P3 (x3,y3) P1(x1,y1) P (1,0) X

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

สตรของฟงกชนตรโกณมตของผลบวกและผลตางของจำานวนจรงหรอมม (ตองจำาใหได)

ถา A,B เปนจำานวนหรอมม ททำาใหฟงกชนตรโกณมตตอไปนมคา แลว

8

จำานะ 1. sin (A+B) = sin A . cos B + cos A . sin B

2. sin (A-B) = sin A . cos B - cos A . sin B

3. cos (A+B) = cos A . cos B - sin A. sin B

4. cos (A-B) = cos A . cos B - sin A. sin B

5. tan (A+B) = 6. tan (A-B) = 7. cot (A+B) =

สงทควรเนน1. ผศกษาจะตองจำาสตรทง 8 สตรใหขนใจ2.ถาผศกษาจำาสตรเหลานไมได ผเขยนเชอวา ผศกษาจะไมสามารถ

ศกษาฟงกชนตรโกณมตไดอยางราบรน ดงนน ตงใจทองและจำาใหได นะเดกๆ

แบบฝกหดท 4 1. จงหาคาของ

1.1) sin 15 1.2) cos 15

1.3) tan 15 1.4) cosec 15

1.5) sec 15 1.6) cot 15

1.7) sin 75 1.8) cos 75

1.9) tan 75 1.10) sec 75

2. ถา tanA = 2 และ A+B = 135 เมอ B เปนมมแหลม แลว cosB มคาเทาไร

3. ถา sin A = เมอ <A < และ sinB = - เมอ < B < แลว จงหาคาของ

3.1) cos A 3.2) cos B

3.3) sin (A+B) 3.4) cos(A+B)

3.5) tan(A-B) 3.6) tan(A+B)

4. จงหาคาของ k ททำาให tan 70 – tan 20 = k tan 50 มคาเทาไร

9

C C

C

b

aA

B

5. จงหาคาของ k ททำาให tan 65 – tan 25 = k tan 40 มคาเทาไร *****************************************************************************

7. เอกลกษณของฟงกชนตรโกณมตเอกลกษณของฟงกชนตรโกณมต หมายถง สมการตรโกณมตทเปนจรงเสมอ ไมวาจะแทนทตวแปลดวยจำานวนจรงใดๆ กตาม โดยการแทนทตวแปลดวยจำานวนจรงนนจะตองทำาใหแตละพจนมความหมายดวยการพสจนเอกลกษณ หมายถง การพสจนใหเหนจรงวา กลมพจนทางดานซายมอและขวามอ ของเครองหมายเทากบ เทากนเสมอ ในทกๆ คาตวแปรหลกการในการพสจนเอกลกษณ 1. ควรพสจนจากดานทยงยากไปหาดานทงายกวา2. ควรจะเปลยนฟงกชนตรโกณมตทโจทยกำาหนดมาใหเปนฟงกชน sine หรอ cosine เพอทจะทำาใหการพสจนเอกลกษณงายขน

1. cos2A + cos2(60 + A) + cos2(60 - A) มคาเทาไร

15. ฟงกชนตรโกณมตกบสามเหลยมในระนาบ

1. ขอตกลงเกยวกบสญลกษณและความหมายของรปสามเหลยม ABC

10

B

A

B

A

cจากรป 1. A, B และ C แทนมมของรปสามเหลยม ABC

2. a, b และ c แทนดานของรปสามเหลยม ABC โดยทดาน a ตรงขามมม A ดาน b ตรงขามมม B และดาน c ตรงขามมม C

2. การแกสมการโดยตรโกณมต การแกสามเหลยม หมายถงกระบวนการคำานวณหาคาทเปนดานหรอมมทยงไมทราบของรปสามเหลยมใดๆ ในการแกสามเหลยมเราอาจจะตองอาศยกฎดงตอไปน3. กฎของไซนและโคไซน

กฎของไซน (The Law of Sine)ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปฯความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C ตามลำาดบ แลวจะไดความสำาพนธดงน

= = หรอ = =

กฎของโคไซน (The Law of Cosine)1. ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปฯความยาวของดานตรงขามมม A, B และ C ตามลำาดบ แลวจะไดความสำาพนธดงน

a2 = b2+ c2- 2b . c . cosAb2 = c2 + a2 – 2c .a . cosB

2. เราอาจมองใหอยในรปแบบใหมได ดงน = = =

แบบฝกหดท 91. ในสามเหลยม ABC รปหนง a = 7 , b = 5 และ c = 3

จงหามมทใหญทสด

11

2. จงแกสามเหลยม ABC รปหนง b = 75, c = 150 และ B = 30

3. กำาหนดใหสามเหลยม ABC รปหนง a = 300 หนวย , b = 120 หนวย และ C = 150 จงหาพนทของสามเหลยม ABC

4. ในสามเหลยม ABC รปหนง A = 22.5 , B = 45 และ b = 220 หนวย จงหาพนทของสามเหลยม ABC

12

5. ในสามเหลยม ABC รปหนง a = 17 หนวย , b = 25 หนวย และ c = 28 หนวย จงหาพนทของสามเหลยม ABC

6. ชตมายนอยหางจากตกหลงหนง 18 เมตร มองเหนยอดตกและเสาอากาศซงอยบนยอดตกเปนมมเงย 30 และ 60 ตามลำาดบ แลวจงหาความสงของเสาอากาศ

7. เรอสองลำาทอดสมออยหางกน 60 เมตร และอยในแนวเสนตรงเดยวกบประภาคาร ลกเรอในเรอแตละลำามองเหนยอดประภาคารเปนมมเงย 45 และ 30 จงหาวาเรอลำาทอยใกลประภาคารอยหางจากประภาคารเทาไร

13

14