เอกสารประกอบการบรรยาย ·...

เอกสารประกอบการบรรยาย โครงการสงเสรมโอลมปกวชาการฯ ศนย สอวน.

มหาวทยาลยขอนแกน

[ คายท 2 ]

เรขาคณต (Geometry)

================================================== ชอ-สกล ............................................... โรงเรยน................................จงหวด.....................

==================================================

อ. วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

คายโอลมปกวชาการ ศนยมหาวทยาลยขอนแกน ( คายท 2 ) สาขา คณตศาสตร ( วชา เรขาคณต )

อ.วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

2

1. บทน า และ ความรพนฐาน 1.1 ประวตความเปนมาโดยสงเขป

เรขาคณต (Geometry) มาจากรากศพทภาษากรกวา Geometrein (geo หมายถง earth และ metrein หมายถง to measure) แตความหมายของเรขาคณตในปจจบนมความแตกตางออกไปมาก เพราะวาวชาเรขาคณตไดรบการพฒนามาอยางตอเนองและแตกสาขาออกไปหลายสาขา และเรขาคณตทศกษาในระดบมธยมกเปนเพยงเรขาคณตของยคลด (Euclidean Geometry) ซงถอวาเปนพนฐานทท าใหมววฒนาการไปสเรขาคณตแบบอนๆ จนเปนทยอมรบกนวา ยคลดเปนบดาแหงวชาเรขาคณต

เรขาคณตสมยกอนเปนการศกษาแบบลองผดลองถก อาศยการสงเกตจากประสบการณ เราไมทราบประวตทสมบรณ แตกพอทราบจากแผนศลาจารกวา ชาวบาบโลน (4000 B.C.) สามารถหาพนทของสเหลยมผนผาโดยใชกวางคณยาว ชาวอยปต (2900 B.C.) สามารถสรางปรามดไดซงถอไดวาเปนความส าเรจทางเรขาณตจนกลายเปนสงมหศจรรยของโลก

การศกษาเรขาคณตเรมชดเจนขนโดยชาวบาบโลน (2000 B.C.) ตามดวยชาวอยปต (1650 B.C.) ตอมาไดพฒนาไปสกรก โดยทาลส (Thales, 640 B.C.) ผานไปทางตอนใตของอตาลโดยพธากอรส (Pythagorus, 584 B.C.) แลวไปสกรงเอเธนส โดยพลาโต (Plato, 400 B.C.) และกมาถงนกคณตศาสตรผยงใหญ ยคลด (Euclid, 300 B.C.) ซงเขยนหนงสอ 13 เลมในชอวา Elements จนเปนทยอมรบวาเปนต าราเรยนเลมแรกของโลกทใชกนอยางแพรหลาย และถอไดวาเปนแบบฉบบในการเขยนต าราอนๆในสมยนน และนวตน (Isaac Newton) กไดเขยนหนงสอทยงใหญอกเลมหนงคอ Principia ตามแบบ Elements น

หลงจากสนสดยคของยคลด โรมนเรมเรองอ านาจแตไมไดพฒนาทางคณตศาสตรเทาทควร จนกลาวกนวาเปนยคมด (Dark ages)ของเรขาคณต คณตศาสตรอยในสภาพเกอบคงทไมเปลยนแปลง เพงจะมาเจรญรงเรองอกครงในศตวรรษท 14 ซงเนนไปทางดาราศาสตร และ ตรโกณมต อยางไรกตามเรขาคณตในแถบเอเชย เชนจน และ อนเดย กมความเจรญรงเรองเชนกน แตการจารกหลกฐานไมมนคงถาวรเหมอนทางยโรปจงยากททราบประวตทชดเจน

ในศตวรรษท 17-18 ไดมการน าวชาพชคณต (Algebra) เขามาบรณาการรวมกน จนไดกอก าเนดวชาแคลคลส และ เรขาคณตวเคราะห (Calculus and Analytic Geometry) ขน โดยนกคณตศาสตรทส าคญในยคนไดแก Descartes, Pascal, Desargues, Newton and Leibniz

ในศตวรรษท 19 นกคณตศาสตรไดท าการศกษาเรขาคณตอยางจรงจงอกครง จนเกดมเรขาคณตทแตกตางจากเรขาคณตของยคลด (Non-Euclidean Geometry) เชน Hyperbolic Geometry, Elliptic



3

Geometry และ Spherical Geometryเปนตน แลวพฒนาไปสวชา Topology ซงครอบคลมเรขาคณตทกชนดในปจจบน โดยนกคณตศาสตรทสมควรกลาวถงคอ Saccheri, Bolyai, Lobachevsky, Gauss และ Riemann

อยางไรกตาม Euclidean Geometry กยงถอวาเปนตนแบบของเรขาคณตอนๆ และมความส าคญตอชวตประจ าวนเปนอยางมาก และเนองจาก Elements เปนต าราเลมแรกจงอาจมจดบกพรองเปนธรรมดา จนท าใหนกคณตศาสตรสวนใหญเหนวาควรจะ มการเสรมสรางใหมความสมบรณยงขน และนกคณตศาสตรทไดรบการยกยองวางท าใหระบบสจพจนของเรขาคณตยคลดมความสมบรณขนมากคอ David Hilbert (1862-1943) 1.2 สจพจนขอท 5 ของยคลด ระบบสจพจนของเรขาคณตของยคลด ประกอบดวย นยาม และสจพ จน ค านยามทไดรบการวจารณมากเปนพเศษคอ นยามของค าวา จด ซงเขานยามวา หมายถง สงทไมมความกวาง ความยาวและความหนา จนในทสดในปจจบนกใหถอเปนค าอนยาม สวนสจพจนทไดรบการวพากษวจารณมากทสด จนเกดเปนเรขาคณตชนดอนๆขนมากคอ สจพจนขอท 5 ในสจพจนตอไปน

1. A straight line can be drawn from any point to any point 2. A finite straight line can be produced continuously in a straight line 3. A circle may be described with any point as center and any distance as

radius 4. All right angles are equal to one another 5. If a transversal falls on two lines in such a way that the interior angle on one

side of the transversal are less than two right angles, then the lines meet on that side on which the angles are less than two right angles.

โดยใชสจพจนดงกลาวประกอบกบนยามและทฤษฎบทอนๆในเรขาคณตของยคลต ทไมได

น ามากลาวไวในทน เราสามารถพสจนไดวา มมภายในของรปสามเหลยมยอมรวมกนไดสองมมฉาก แตถามการเปลยนแปลงสจพจนขอท 5 เปนอยางอน เชน Spherical Geometry ก าหนดใหเสนขนานตดกนได กจะท าใหผลบวกของมมภายในรวมกนไดมากกวาสองมมฉาก ซง Spherical Geometry มประโยชนเปนอยางมากในการค านวณระยะทางเกยวกบการเดนเรอรอบโลก โดยทเรขาคณตของยคลดสามารถค านวณไดแมนย าในระยะทางใกลๆ เทานนเอง เรายกตวอยางนขนมาเพยงเลกน อยเพอใหเหนวายงมเรขาคณตชนดอนทนอกเหนอจากเรขาคณตของยคลดทเรยนในระดบมธยมศกษา ผทสนใจสามารถเลอกเรยนไดในระดบทสงขน และตอไปนเราจะกลาวถง



4

เฉพาะเรขาคณตของยคลดเทานน สวนเนอหาและกจกรรม ในเอกสารประกอบการอบรมครงน โดยส วนใหญจะยดตามแนวเอกสารประกอบการอบรมวชาคณตศาสตร ในโครงการสงเสรมโอลมป กวชาการและพฒนามาตรฐานวทยาศาสตรศกษา ปการศกษา 2543 ของ ร .ศ.เทยง ภมสะอาด และ เอกสารเสรมความรวชาคณตศาสตร (เรขาคณต ) ของ สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย จงขอขอบคณไว ณ โอกาสน อยางไรกตามผเขยนไดพยายามเพมเตมความรและประสบการณอนๆ ทไดรบมาจากการเรยน การสอนเรขาคณตในระดบมธยมศกษา ตลอดจน การสอนคณตศาสตรในระดบอดมศกษา ในสวนทคดวาจะสงเสรมความร ทกษะ และ ประสบการณใหกบนกเรยนในโครงการ สอวน. ตลอดจนผสนใจ ไดตามสมควร

1.3 ลกษณะการศกษาวชาเรขาคณต

การศกษาวชาเรขาคณต มลกษณะเดนในเรองการพสจน มากวาการคดค านวณ ดงนนจงนบวาเปนวชาพนฐานคณตศาสตรทส าคญ โดยทวไปแลวขอความทจะพสจนในทางเรขาคณตจะเปนขอความทจด ใหอยในรป “ ถา ……..แลว………..” หรออาจจะเขยนเปนประโยคสญลกษณทางตรรกศาสตรไดเปน “ p q ” และการพสจนขอความดงกลาวในทางตรรกศาสตรสามารถพสจนไดทงในทางตรงและโดยทางออม แตในทางเรขาคณตสวนใหญเราจะพสจนในแบบทางตรง โด ยถอวา p เปนเหต หรอ สงก าหนดให และ q เปนผล หรอสงทตองพสจน สงทน ามาอางองในการพสจนกคอ อนยาม นยาม สจพจน และ ทฤษฎบท ททราบมากอน โดยน ามาวเคราะหรวมกบสงทก าหนดใหเพอน าไปสการประมวลผลวา ผลหรอสงทตองพสจน นนเปนจรง ซงถอวาเปนทกษะทางความคดทส าคญ และ แนนอนทสด ทกษะดงกลาวจะไดรบการสงเสรม และ พฒนาไดตองอาศยการฝกฝนอยเปนประจ า ดวยใจรก

เชอหรอไมวา ในตอนเปนเดก ของเลนท ไอนสไตน ประทบใจทสด สงแรก คอ ...... ......เขมทศ ............และ ล าดบตอมา กคอ ............. เรขาคณต......... นเอง

1.4 ความรพนฐาน

ความรพนฐานทางเรขาคณตทเรยนในระดบมธยมศกษา สรปไวเปนหมวดหม ในลกษณะของนยาม สจพจน และทฤษฎบท โดยนกเรยนควรฝกพสจนดวยตวเองใหไดทกทฤษฎบท



5

1.4.1 มม นยาม มมขนาด 1 องศา หมายถงมมทเกดจากการแบงมมรอบจดออกเปน 360 สวนเทาๆกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 1 มมตรงทกมมมขนาด 180 องศา ………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 2 มมฉากทกมมมขนาด 90 องศา ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.2 เสนขนาน นยาม เสนตรงสองเสนขนานกน กตอเมอ เสนตรงสองเสนอยบนระนาบเดยวกน และไมตดกนไมวาจะตอออกไปใหยาวเทาไรกตาม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 3 ถาเสนตรงสองเสนตดกน แลวขนาดของมมตรงขามยอมเทากน ……………………………………………………………………………………………………… สจพจน (สจพจนขอท 5 ของยคลด) เสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง เสนตรงคนนจะขนานกน กตอเมอ ผลบวกของขนาดของมมภายในบนขางเดยวกนของเสนตดเทากบ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 4 ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนขนานคหนง แลวมมแยงทเกดขนยอมมขนาดเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 5 ถาเสนตรงเสนหนงตดเสนตรงคหนง และมมแยงทเกดขนมขนาดเทากน แลว เสนตรงคนนยอมขนานกน ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.3 ทฤษฎบทพนฐานเกยวกบดาน และ มม ของรปสามเหลยม ทฤษฎบท 6 ผลบวกของมมภายในของรปสามเหลยมใดๆ เทากบ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 7 ขนาดของมมภายนอกของรปสามเหลยมใดๆ จะเทากบผลบวกของขนาดของมมภายในทอยตรงขามกบมมภายนอก ………………………………………………………………………………………………………



6

นยาม การเคลอนทของรปเรขาคณต คอ การเปลยนต าแหนงของรปเรขาคณตบนระนาบ โดยทระยะหางระหวาจดสองจดใดๆของรปนนไมเปลยนแปลง ……………………………………………………………………………………………………… สจพจน รปเรขาคณตสามารถเคลอนทได สจพจน เสนตรงทไมขนานกนยอมตดกน และตดกนเพยงจดเดยวเทานน สจพจน ระหวางจดสองจด จะมสวนของเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานน นยาม รปเรขาคณตเทากนทกประการกตอเมอเคลอนทรปหนงใหทบอกรปหนงไดสนท ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 8 ถาสามเหลยมสองรปใดๆ มดานยาวเทากนสองค และมมในระหวางดานคทเทากนมขนาดเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ด.ม.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 9 ถาสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองค และดานทเปนแขนรวมระหวางมมคทเทากนมขนาดเทากนแลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ม.ด.ม.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 10 ถาสามเหลยมสองรปใดๆ มมมทมขนาดเทากนสองค และดานทอยตรงขามมมคเทากนมขนาดเทากนหนงค แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ม.ม.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 11 ถารปสามเหลยมสองรปมดานยาวเทากนทงสามดาน แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ด.ด.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 12 ถารปสามเหลยมมมฉากสองรปมดานตรงขามมมฉากยาวเทากน และมดานอกดานหนงยาวเทากน แลว รปสามเหลยมสองรปนนจะเทากนทกประการ (ฉ.ด.ด.) ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 13 ในรปสามเหลยมหนาจวมมทอยตรงขามกบดานทยาวเทากนยอมกางเทากน ……………………………………………………………………………………………………… สจพจน ในรปสามเหลยมใดๆ ผลบวกของดานสองดาน ยอมยาวกวาดานทสาม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 14 ในรปสามเหลยมใดๆ ดานทอยตรงขามกบมมทมขนาดใหญกวา ยอมยาวกวาดานทอยตรงขามกบมมทมขนาดเลกกวา ………………………………………………………………………………………………………



7

ทฤษฎบท 15 ในรปสามเหลยมมมฉากใดๆ ดานตรงขามมมฉากยอมยาวทสด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 16 ในบรรดาสวนของเสนตรงทงหลายทลากจากจดภายนอกของเสนตรงเสนหนงไปยงเสนตรงเสนนน จะมสวนของเสนตรงเพยงเสนเดยวเทานนทเปนเสนตงฉาก และเสนตรงนจะเปนเสนทสนทสด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 17 ในรปสามเหลยมใดๆ สวนสงของสามเหลยมทงสามยอมพบกนทจดๆหนง ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 18 ในรปสามเหลยมมมใดๆ เสนมธยฐานของสามเหลยม ทงสามยอมพบกนทจดๆและจดนนจะแบงเสนมธยฐานออกเปนอตราสวน 2:1 ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 19 ในรปสามเหลยมหนาจว เสนมธยฐานทลากจากจดยอด ยอมตงฉากกบฐาน ……………………………………………………………………………………………………… 1.4.4 สามเหลยมคลาย นยาม รปเรขาคณตทคลายกน หมายถงรปทมมเทากนทกค และ อตราสวนของดานทสมนยกน มคาเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 20 ถารปสามเหลยมสองรปมอตราสวนของดานทสมนยกนมคาเทากน แลวสามเหลยมสองรปยอมคลายกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 21 ถารปสามเหลยมสองรปมมมเทากนทงสามค แลวสามเหลยมสองรปยอมคลายกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 22 ถารปสามเหลยมสองรปมมมเทากน 1 ค และอตราสวนของความยาวของดานประกอบมมนนเทากน แลวสามเหลยมสองรปจะคลายกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 23 เสนตรงทตอจดกงกลางของดานสองดานของรปสามเหลยมใดๆยอมขนาน และ ยาวเปนครงหนงของดานทสามของสามเหลยมนน ………………………………………………………………………………………………………



8

1.4.5 สเหลยมดานขาน นยาม รปสเหลยมดานขนาน หมายถงรปสเหลยมทมดานขนานกนสองค ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 24 ดานตรงขามของสเหลยมดานขนานยอมยาวเทากน ………………………………………………………………………………………………………ทฤษฎบท 25 ถารปสเหลยมรปหนงมดานตรงขามยาวเทากนทงสองค แลว สเหลยมรปนนยอมเปนสเหลยมดานขนาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 26 ผลบวกของมมภายในของรปสเหลยมใดๆยอมเทากบ 360 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 27 มมตรงขามของรปสเหลยมดานขนานยอมมขนาดเทากน ………………………………………………………………………………………………………ทฤษฎบท 28 เสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานยอมแบงครงซงกนและกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 29 เสนทแยงมมของรปสเหลยมดานเทายอมตงฉากกน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 30 เสนขนานตงแตสามเสนขนไป ตดเสนขวางสองเสน อตราสวนของสวนตดยอมเทากน ……………………………………………………………………………………………………… นยาม พนท 1 หนวย หมายถงพนทสเหลยมจตรสทยาวดานละ 1 หนวย ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 31 พนทสเหลยมผนผา เทากบ กวาง คณ ยาว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 32 พนทสเหลยมดานขนาน เทากบ สง คณ ฐาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 33 พนทสามเหลยมเทากบ ครงหนงของ ผลคณของสง กบ ฐาน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 34 (Pythagoras Theorem) ในรปสามเหลยมใดๆ พนทสเหลยมจตรสบนดานตรงขามมมฉาก ยอมเทากบ ผลบวกของพนทสเหลยมจตรสบนดานประกอบมมฉาก ………………………………………………………………………………………………………



9

1.4.6 วงกลม นยาม วงกลมหมายถงทางเดนของจด (Locus) ซงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะทางคงตว ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 35 ถามมทจดศนยกลางของวงกลม และมมทเสนรอบวงของวงกลม รองรบดวยสวนโคงเดยวกน แลวมมทจดศนยกลางยอมมขนาดเปนสองเทาของมมทเสนรอบวง ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 36 มมในครงวงกลมยอมเปนมมฉาก ……………………………………………………………………………………………………… นยาม รปสเหลยมแนบในวงกลมหมายถงรปสเหลยมทมจดยอดมมทงสอยบนเสนรอบวงของวงกลม ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 37 ผลบวกของขนาดของมมตรงขามของสเหลยมแนบในวงกลมเทากบ 180 องศา ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 38 ในวงกลมทเทากน หรอวงกลมเดยวกน มมทเสนรอบวงของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงทเทากน หรอ สวนโคงเดยวกน ยอมมขนาดเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 39 ถาสวนของเสนตรงผานจดศนยกลางของวงกลม และตงฉากกบคอรดใดๆ แลว สวนของเสนตรงนนยอมแบงครงคอรด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 40 ถาสวนของเสนตรงผานจดศนยกลางของวงกลม และแบงครงคอรดใดๆ แลว สวนของเสนตรงนนยอมตงฉากกบคอรด ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 41 ในวงกลมวงหนง คอรดทยาวเทากนยอมอยหางจากจดศนยกลางเทากน ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 42 ในวงกลมวงหนง คอรดทอยหางจากจดศนยกลางเทากน ยอมยาวเทากบ ……………………………………………………………………………………………………… ทฤษฎบท 43 ในวงกลมทเทากน หรอวงกลมเดยวกน มมทจดศนยกลางของวงกลมทรองรบดวยสวนโคงทเทากน ยอมมขนาดเทากบ ………………………………………………………………………………………………………



10

1.4.7 ตวอยางขอสอบ คายท 1 ค าชแจง ขอสอบมทงหมด 7 ขอ ขอละ 10 คะแนน ใหแสดงวธท าทกขอในสมดค าตอบ (1) สามเหลยมรปหนงมเสนมธยฐานทงสามยาว 3,4 และ 5 หนวย จงหาความยาวของดานทสน

ทสด (2) ก าหนดให , ,a b c เปนดานทงสามของ ABC และ r เปนรศมของวงกลมทลอมรอบรป

สามเหลยมดงกลาว ถา A เปนพนทของสามเหลยมดงกลาว จงแสดงวา

4

abcr

A

(3) ก าหนดให , ,a b c เปนดานทงสามของ ABC และ A เปนพนทของสามเหลยมดงกลาว จง

พสจน Heron’s Formula ( )( )( )A s s a s b s c

เมอ 2

a b cs



11

(4) ก าหนดให ABC มดาน AB = 2, CA = 3 และ BC = 4 จงหาความยาวของรศมของวงกลมทมจดศนยกลางอยบนดาน BC และสมผสดาน AB และ AC

(5) D และ E เปนจดกงกลางดาน AB และ AC ของ ABC ตามล าดบ BE และ CD ตดกนท

จด P โดยท EDP มพนท 4 ตารางนว PBC มพนท 9 ตารางนว จงหาพนทของABC (6) วงกลมสองวงสมผสกนภายในทจด M เสนตรงเสนหนงสมผสวงกลมเลกทจด P และตด

เสนรอบวงของวงกลมใหญทจด Q และ R จงพสจนวา ˆ ˆQMP RMP (7) ก าหนดให ABC เปนสามเหลยมทม ˆ 100BAC และ AB AC ถาจด D เปนจดบน

AC ทท าให ˆ ˆABD CBD จงพสจนวา



12

(8) จด P แบงดาน BC ของ ABC ดวยอตราสวน : 1: 2BP PC ถา ˆ 45ABC และ ˆ 60APC จงแสดงวธหาขนาดของ ˆACP พรอมทงใหเหตผลประกอบในแตละขนตอนอยาง

ชดเจน (9) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทแนบในวงกลมทมรศม 5 นว โดยม AC เปนเสนผานศนยกลาง และม AB เปนคอรดทยาว 6 นว ถา AD เปนคอรดทแบงครงมม ˆBAC จงแสดงวธหาความยาวของคอรด AD พรอมทงใหเหตผลประกอบในแตละขนตอนอยางชดเจน (10) ก าหนดให I เปนจดศนยกลางของวงกลมทแนบในรปสามเหลยม ABC โดยทวงกลมนสมผสดาน BC และ AC ทจด D และ E ตามล าดบ ถาสวนตอของ BI ตด DE ท G แลว จงพสจนวา AG BG



13

2. จด และ เสนตรงทเกยวของกบรปสามเหลยม

2.1 จดศนยกลางวงลอม จดรวมมวล และจดออรโทเซนเตอร ในสวนนจะกลาวถง เส นแบงครงมมภายในของสามเหลยม เสนมธยฐาน (Median) และ

สวนสง (Altitude) ของรปสามเหลยมพรอมทงศกษาคณสมบตบางประการของเสนเหลานน ทฤษฎบท 2.1.1 เสนตรงทตอจดกงกลางของดานสองดานของสามเหลยมยอมขนานกบดานทสามและยาวเปนครงหนงของดานทสาม พสจน ทฤษฎบท2.1.2 สวนของเสนตรงทตอจดกงกลางของดานทงสามของสามเหลยมยอมแบงรปสามเหลยมออกเปนรปสามเหลยมยอยสรปทเทากนทกประการ พสจน ทฤษฎบท 2.1.3 เสนตรงทแบงครงมมทงสามของสามเหลยมยอมพบกนท จดๆหนง และเรยกจดนนวา จดศนยกลางภายใน (Incenter) พสจน



14

ทฤษฎบท 2.1.4 เสนตรงทแบงครงและตงฉากกบดานทงสามของสามเหลยมยอมพบกนทจดๆหนง และเรยนจดจดนนวาจดศนยกลางวงลอม (Circumcenter) พสจน

ทฤษฎบท 2.1.5 เสนมธยฐานของสามเหลยมใดๆยอมตดกนทจดจดหนงภายในสามเหลยม และเรยกจดนนวาจดรวมมวล (Centroid) พสจน ทฤษฎบท 2.1.6 จดรวมมวลจะแบงเสนมธยฐานออกเปนอตราสวน 2 : 1 พสจน บทแทรก เสนมธยฐานของสามเหลยมทงสามจะแบงสามเหลยมนนออกเปนสามเหลยมยอย 6 รปทมพนทเทากน ทฤษฎบท 2.1.7 เสนสวนสงของสามเหลยมใดๆยอมพบกนทจดจดหนง และเรยกจดนนวา จดออรโทเซนเตอร (Orthocenter) พสจน



15

2.2 สามเหลยมพแดล และ เสนออยเลอร

ในหวขอนเรากลาวถงทฤษฏบทเกยวกบสามเหลยมทเกยวของกบเสนแบงครง เสนสวนสง และเสนมธยฐานทเปนทรจกกนดในนามของ สามเหลยมพแดล (Pedal triangle) และ เสนออยเลอร (Euler line) นยาม 2.21 สามเหลยมพแดล หมายถงสามเหลยมทเกดจากการเชอมจดปลายฐานของสวนสงทงสามของรปสามเหลยม ทฤษฎบท 2.2.1 ในสามเหลยมมมแหลม เสนรอบรปของสามเหลยมพแดลจะแบงกนรปสามเหลยมนนออกเปนสามเหลยมคลายสามรป และยงคลายกบสามเหลยมรปเดมดวย พสจน ทฤษฎบท 2.2.2 ในสามเหลยมมมแหลม เสนสวนสงจะแบงครงมมยอดของสามเหลยมพแดล พสจน



16

ทฤษฎบท 2.2.3 ในสามเหลยมใดๆ จดศนยกลางวงลอม (Circumcenter) จดรวมมวล (Centroid) และ จดออรโทเซนเตอร (Orthocenter) ยอมอยบนเสนตรงเดยวกน พสจน นยาม 2.2.2 เสนตรงทผาน จดศนยกลางวงลอม จดรวมมวล และ จดออรโทเซนเตอร เรยกวา เสนออยเลอร (Euler line) ทฤษฎบท 2.2.4 ในสามเหลยมใดๆ จดรวมมวลจะแบงเสนออยเลอรออกเปนอตราสวน 2 : 1 พสจน



17

2.3 แบบฝกหด ( บางขอ...จากขอสอบ แขงขนคณตศาสตรโอลมปกแหงประเทศไทย) (1) ให ABCD เปนรปสเหลยมดานขนาน ตอดาน DA ไปทาง A ไปยงจด P และให PC ตด AB ทจด Q และ DB ท R ถา 525PQ และ 80QR จงหาความยาวของ RC

(2) ABC เปนสามเหลยมมมฉากโดยม A เปนมมฉาก ให D และ F เปนจดอยบน AC และ BC ตามล าดบ โดยท AF BC และ 3BD DC FC จงหาความยาวของ AC (3) ให ABC เปนรปสามเหลยม มพนท 28 ตารางนว จด ,D E และ F เปนจดบนดาน

,AB BC และ CA ตามล าดบ และ 3AD นว 4DB นว ถา ABE และ DBEF มพนทเทากน แลว ABE มพนทเทาไร (4) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทม ˆ ˆ 90A B และ 2BC CA AB ถา

cosm

Cn

เมอ ห.ร.ม. ( , ) 1m n จงหา m n



18

(5) จากรป ˆ ˆ 90ACB DAB 3, 4AC BC และ 12AD โดยท AC DE ถา DE m

DB n เมอ ห.ร.ม. ( , ) 1m n จงหา m n

(6) ให ABCD เปนสเหลยม โดยมจด O เปนจดตดของเสนทแยงมม AC และ BD ถา

3AOB , 6BOC และ 2COD จงหาพนทของ DOA (7) ให ABC เปนสามเหลยมมมฉากท ˆ 90ABC โดยม 4AB BC จด D และ E เปนจดบนดาน AB และ BC ตามล าดบ โดยท 3BD BE ลาก AC และ CD ตดกนทจด F จงหาพนทของสามเหลยม AFC



19

3. การสรางและการแบงแบบฮารมอนก

3.1 บทน า การสรางนบวาเปนทกษะพนฐานทส าคญในการศกษาวชาเรขาคณต นอกจากจะมการสรางตามจดประสงคของโจทยแลว ยงมการสรางอกอยางคอการสรางเพมเตมเพอชวยในการพสจน การสรางเพมเตมเพอชวยในการพสจนนเปนเรองทตองระมดระวงเปนพเศษ จะตองค านงถงความเปนไปได ตามกฏและทฤษฎตางๆในทางเรขาคณต ไมเชนนนอาจท าใหไดขอสรปทผดพลาดไปจากความเปนจรง ยกตวอยางเชน จากการสรางในรปขางลางนเราส ามารถพสจนไดวา มมฉากเทากบมมปาน ก าหนดให ABCD เปนสเหลยมผนผา สราง AD = PC OM และ ON แบงครงและตงฉากกบ AP และ DCตามล าดบ สงทตองพสจน มม OCB = มม OCP พสจน ตวอยางขางตนชใหเหนวา การสรางรปดวยการคาดคะเน ดวยสายตาในบางครงกจะท าใหเกดขอผดพลาดไดอยางใหญหลวง ดงนนในบทนเราจะกลาวถงบทสรางตางๆโดยใชไมบรรทด และวงเวยน ซงตอไปจะเรยกวา เครองมอของยคลด และการสรางตางๆจะตองพสจนใหเหนจรงดวย อยางไรกตาม การใชเครองมอของยคลด ไมสามารถสรางบางสงบางอยางไดเชน การแบงมมออกเปนสามสวนเทาๆกน หรอ การสรางสเหลยมจตรสใหมพนทเทากบวงกลม ซงเปนปญหาททาทายนกคณตศาสตรมาหลายพนป แตในปจจบนมการพสจนใหเหนจรงแลววา เราไมส ามารถใชเครองมอของยคลดสรางสงเหลานนได นกเรยนทสนใจการพสจนอาจจะศกษาใน Algebraic Number Theory ในระดบอดมศกษาตอไป

B A M

O

C

P

D N



20

3.2 บทสราง ในหวขอนเราจะแนะน าบทสรางตางๆทเปนหลกในการสรางอนๆตอไป บทสราง 3.2.1 การแบงครงมมทก าหนดให วธสราง พสจน บทสราง 3.2.2 การหาจดแบงครงสวนของเสนตรงทก าหนดให วธสราง พสจน บทสราง 3.2.3 การลากเสนตงฉากกบสวนของเสนตรงทก าหนดใหทจดก าหนด วธสราง พสจน บทสราง 3.2.4 การสรางมมใหเทากบมมทก าหนดให วธสราง พสจน



21

บทสราง 3.2.5 การลากสวนของเสนตรงใหขนานกบเสนตรงทก าหนดให วธสราง พสจน บทสราง 3.2.6 การแบงสวนของเสนตรงออกเปนหลายสวนเทาๆกน วธสราง พสจน

3.3 การสรางทางเรขาคณตทส าคญ

■ การสรางเกยวกบรปสามเหลยม 3.3.1 การสรางรปสามเหลยมเมอก าหนดความยาวดานทงสามให วธสราง 3.3.2 การสรางรปสามเหลยมเมอก าหนดมมหนงมม และดานสองดานให วธสราง



22

3.3.3 การสรางรปสามเหลยมเมอก าหนดมมสองมมและดานหนงดาน วธสราง 3.3.4 การสรางรปสามเหลยมมมฉากเมอก าหนดดานตรงขามมมฉาก และดานประกอบมมฉากหนงดาน

■ การสรางเกยวกบรปสเหลยม 3.3.5 การสรางรปสเหลยมเมอก าหนดดานทงสดาน และมมหนงมม วธสราง 3.3.6 การสรางรปสเหลยมดานขนาน โดยก าหนดดานประชดทงสอง และ มมในระหวางดานทงสอง 3.3.7 การสรางรปสเหลยมจตรสบนดานทก าหนดให



23

■ การสรางเกยวกบพนท 3.3.8 การสรางรปสเหลยมดานขนานใหมพนทเทากบรปสามเหลยม เมอก าหนดมมประชดให 3.3.9 การสรางรปสามเหลยมใหมพนทเทากบรปสเหลยมทก าหนดให 3.3.10 การสรางรปสเหลยมดานขนานใหมพนทเทากบรปสเหลยมทก าหนดให และมมมหนงเทากบมมทก าหนดให 3.3.11 การสรางความยาวทเปน n เมอ n เปนจ านวนเตมบวกใดๆ



24

3.3.12 การแบงเสนตรงทก าหนดให โดยทพนทของสเหลยมผนผาทประกอบดวยสวนของเสนตรงทงหมด และ สวนแบงสวนหนง เทากบจตรสบนดานของสวนแบงอกสวนหนง 3.3.13 การสรางรปสเหลยมจตรสใหมพนทเทากบรปสเหลยมผนผาทก าหนดให

■ การสรางเกยวกบโลกส (Locus) ของจด 3.3.14 การหาโลกสของจดทอยหางจากจดคงทสองจด เปนระยะทางเทากน วธสราง 3.3.15 การหาโลกสของจดทอยหางจากเสนตรงสองเสนเปนระยะทางเทากน วธสราง



25

3.3.16 การหาโลกสของจดทอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะทางคงตว วธสราง 3.3.17 การหาโลกสของจดทอยหางจากจดคงท และเสนตรงคงทจดหนงเปนระยะทางคงตว วธสราง พสจน 3.3.18 การหาโลกสของจดทผลบวกของระยะทางจากจดคงทสองจด มคาคงตว วธสราง

■ การสรางเกยวกบวงกลม 3.3.19 การหาจดศนยกลางของวงกลม หรอ สวนโคงของวงกลม ทก าหนดให วธสราง



26

3.3.20 การลากเสนสมผสวงกลมเมอก าหนดจดสมผส วธสราง 3.3.21 การลากเสนตรงจากภายนอกมาสมผสวงกลม วธสราง 3.3.22 การลากเสนสมผสรวมของวงกลมสองวง วธสราง 3.3.23 การสราง วงกลมลอมรอบรปสามเหลยมทก าหนด



27

3.3.24 การสราง วงกลมแนบในรปสามเหลยมทก าหนด 3.3.25 การสรามมในสวนของวงกลมใหเทากบมมทก าหนด วธสราง 3.3.26 การสรางรปหลายเหลยมปกต (Regular Polygons) แนบใน และ แนบนอกวงกลมทก าหนด 3.3.27 การสราง วงกลมแนบใน และแนบนอกรปหลายเหลยมปกตทก าหนด



28

■ การแบงแบบฮารมอนก บทนยาม สวนของเสนตรงททถกแบงทงภายใน และ ภายนอก ออกเปนอตราสวนเทากนเรยกวา เปนการ แบงแบบ ฮารมอนก (Harmonic Section) จากรป AB ถกแบงแบบ ฮารมอนก ทจด P และ Q กตอเมอ : :AP PB AQ BQ หรอ : :AP AQ PB BQ 3.3.28 จงพสจนวา ถา AB ถกแบงภายในทจด P และ แบงภายนอกทจด Q ในอตราสวนเดยวกน แลว AB จะเปน มชฌมฮารมอนกระหวาง AQ และ AP 3.3.29 จงพสจนวา ถา AB ถกแบงฮารมอนกทจด P และ Q ถา O เปนจดกงกลางของ AB แลว 2.OP OQ OA

3.3.30 ก าหนดให 0a b ถา . .2

a bA M

, . .G M ab และ 2

. .ab

H Ma b

แลวจง

แสดงวา . . . . . .AM G M H M



29

3.4 โจทยตวอยางทเกยวกบการสราง 3.4.1 ก าหนดสวนของเสนตรง AB จงหาจด X ซงเปนจดแบงภายในและภายนอกของ AB ทท าให : 2 :3AX XB

วธสราง 3.4.2 จงสรางสามเหลยม เมอก าหนดความยาวของดานหนง และความยาวของสวนสง และ เสน

มธยฐานทอยบนดานนน Side วธสราง Median Altitude 3.4.3 จงสรางสามเหลยมเมอก าหนดมมหนงมม ดานตรงขามมมทก าหนด ความยาวของสวนสง

ทตงอยบนดานนน Side วธสราง Altitude Angle 3.4.4 จงสรางสามเหลยมเมอก าหนดมมใหสองมม และความยาวของเสนแบงครงมมทสาม วธสราง



30

3.4.5 จงสรางรปสเหลยมผนผาเมอก าหนดดานหนงดาน และความยาวของเสนทแยงมม Side วธสราง Diagonal 3.4.6 จงสรางวงกลมเมอก าหนดรศม และ เสนรอบวงสมผสเสนตรงทก าหนด พรอมทงตดเสน

รอบวงของวงกลมทก าหนดเปนมมฉาก Radius วธสราง พสจน 3.4.7 ก าหนดสวนของเสนตรงยาว a และ b จงสรางสวนของเสนตรงทยาว a b , a b , ab

และ a

b

a วธสราง b 3.4.8 จงสรางรปสเหลยมจตรสใหมพนทเทากบรปหลายเหลยมทก าหนด วธสราง



31

4. ทฤษฎบทของเชวา และ เมเนลอส ในหวขอนเราจะกลาวถงสมบตบางประการของเสนตรง และสามเหลยม โดยมทฤษฎบททส าคญคอ ทฤษฎบทของ Menelaus ชงใหเงอนไขทจ าเปนและเพยงพอในการท จดสามจดจะอยบนเสนตรงเดยวกน และทฤษฎบทของ Ceva ซงใหเงอนไขทจ าเปน และเพยงพอในการทเสนตรงสามเสนจะพบกนทจะจดจดหนง 4.1 ทฤษฎบททเกยวของ ทฤษฎบท 4.1 เสนแบงครงมมภายใน (ภายนอก) ของมมในรปสามเหลยมจะแบงดานตรงขามอยางภายใน (ภายนอก) ออกเปนสดสวนเดยวกนกบสดสวนของดานประกอบมมนน พสจน ทฤษฎบท 4.2 (Menelaus’s Theorem) ในรปสามเหลยม ABC ถาลากเสนตรงผานใหตดดาน

(หรอสวนตอ) , ,BC CA AB ทจด , ,D E F ตามล าดบ แลว 1BD CE AF

DC EA FB

พสจน



32

ทฤษฎบท 4.2 (บทกลบ) ถา , ,D E F เปนจดบนดาน (หรอสวนตอ) , ,BC CA AB ของรป

สามเหลยม ABC ตามล าดบ โดยท 1BD CE AF

DC EA FB แลว , ,D E F อยบนเสนตรงเดยวกน

พสจน ทฤษฎบท 4.3 (Ceva’s Theorem) ให S เปนจดในระนาบเดยวกนกบรปสามเหลยม ABC และเสนตรงทลากจากจดยอด , ,A B C ผานจด S พบดานตรงขามของรปสามเหลยม (หรอสวนตอ)

ท , ,D E F ตามล าดบ แลว 1BD CE AF

DC EA FB

พสจน นยาม 4.1 Cevian หมายถง สวนของเสนตรงทเชอมจดยอดของรปสามเหลยมกบจดทอยบนดานตรงขาม ทฤษฎบท 4.3 (บทกลบ) ถา , ,AD BE CF เปน Cevians ของรปสามเหลยม ABC ทมสมบตวา

1BD CE AF

DC EA FB แลว Cevians ทงสามพบกนทจดจดหนง

พสจน



33

4.2 แบบฝกหด( บางขอ...จากขอสอบ แขงขนคณตศาสตรโอลมปกแหงประเทศไทย)

(1) ในรปสามเหลยม ABC ลาก CE และ AD โดยท 3

1

CD

DB และ 3

2

AE

EB ให CP

rPE

เมอ P เปนจดตดของ CE และ AD จงหา r (2) รปสามเหลยม ABC ม I เปนจดศนยกลางของวงกลมทแนบใน โดยวงกลมนสมผสดาน

,BC CA ทจด ,D E ตามล าดบ ถา BI ตด DE ท G แลว AG BG พสจน (3) ให F เปนจดบนดาน AB ของรปสามเหลยม ABC ให D เปนจดตดของ BC กบเสนตรงทลากจากจด A และขนานกบ FC ในท านองเดยวกนให E เปนจดตดของ CA กบเสนตรงท

ลากจากจด B และขนานกบ FC จงพสจนวา 1 1 1

CF AD BE

พสจน (4) จงใชทฤษฎบทของ Ceva พสจนวา สวนสงของสามเหลยมยอมพบกนทจดจดหนง พสจน



34

(5) ในรปสามเหลยม ABC ม I เปนจดศนยกลางของวงกลมแนบใน วงกลมนสมผสดาน BC ทจด T เสนตรงทผาน T ขนานกบ IA ตดวงกลมแนบในทจด S เสนสมผสวงกลมแนบในท S ตดดาน ,AB AC ทจด ,C B ตามล าดบ

จงพสจนวา ,AB C ABC คลายกน พสจน

(6) จงพสจนวา เสนแบงครงมมภายในสองมม และแบงครงมมภายนอกของมมทสาม จะตดดานตรงขามทงสาม ณ จดสามจด ทอยบนเสนตรงเดยวกน พสจน (7) จงพสจนวา จดทแบงครงมมภายนอกทงสามของรปสามเหลยมใดๆ ตดกบดานตรงขาม ยอมอยบนเสนตรงเดยวกน

พสจน



35

5. ทฤษฎบททเกยวกบสามเหลยม สเหลยม และ วงกลม ในหวขอนจะกลาวถงทฤษฎบทตางๆ ทมความสมพนธกนระหวางรปสามเหลยม รปสเหลยม และวงกลม ตวอยาง เชน Ptolemy Theorem , Euler Theorem, Simson Line และ Nine Point Circle เปนตน 5.1 นยามและทฤษฎบททเกยวของ ทฤษฎบท 5.1.1 อตราสวนระหวางเสนรอบวง และ เสนผานศนยกลางของวงกลมใดๆ ยอมเทากน นยาม 5.1.1 อตราสวนระหวางเสนรอบวง และ เสนผานศนยกลาง ของวงกลม จะแทนดวย ทฤษฎบท 5.1.2 ให Q เปนจดภายในวงกลม ถา XY เปนคอรดใดๆทผานจด Q แลว ผลคณ QX QY จะมคาคงตว ทฤษฎบท 5.1.3 ให P เปนจดเปนจดบนคอรด AB (หรอสวนตอ) ของวงกลมทมจดศนยกลางอย O และรศม r แลว 2 2PA PB OP r ถา P อยภายนอกวงกลม (เรยก 2 2OP r วา Power ของ P) หรอ 2 2PA PB r OP ถา P อยภายในวงกลม



36

ทฤษฎบท 5.1.4 ถา AD เปนเสนแบงครงมมภายใน A ของรปสามเหลยม ABC และพบดาน BC ทจด D แลว 2AB AC BD DC AD ทฤษฎบท 5.1.5 (Ptolemy Theorem) ผลคณของความยาวของเสนทแยงมมทงสองของรปสเหลยมทมวงกลมลอมรอบ มคาเทากบผลบวกของผลคณของความยาวดานคทตรงขามกนทงสองคของรปสเหลยมนน ทฤษฎบท 5.1.6 รปสเหลยมจะมวงกลมแนบในได กตอเมอ ผลบวกของความยาวของดานตรงขามของรปสเหลยมนนมคาเทากน ทฤษฎบท 5.1.7 ให r เปนรศมของวงกลมทแนบในรปสามเหลยม ABC ให , ,a b ch h h เปน

สวนสงทลากจาก A, B, C มายงดานตรงขามตามล าดบ ดงนน 1 1 1 1

a b cr h h h



37

ทฤษฎบท 5.1.8 (Euler Theorem) ให d เปนระยะทางระหวางจดศนยกลางของวงกลมลอมรอบ กบจดศนยกลางของวงกลมแนบในรปสามเหลยม ดงนน 2 2 2d R rR เมอ R เปนรศมของวงกลมลอมรอบ และ r เปนรศมของวงกลมแนบในรปสามเหลยม ทฤษฎบท 5.1.9 คอรด CX ของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม ABC ซงตงฉากกบดาน BC จะยาวเทากบ AH เมอ H เปนจดออรโทเซนเตอร (Orthocenter) ของรปสามเหลยม ABC



38

ทฤษฎบท 5.1.10 ในรปสามเหลยมใดๆ จดศนยกลางของวงกลมลอมรอบ จออรโทเซนเตอร และ จด รวมมวล ทงสามจดอยบนเสนตรงเดยวกน โดยจดรวมมวลอยระหวางจดศนยกลางของวงกลมลอมรอบ กบจดออรโทเซนเตอร และแบงสวนของเสนตรงทเชอมจดทงสองออกเปนสดสวน 1:2 (และเรยกเสนตรงดงกลาววา Euler Line) ทฤษฎบท 5.1.11 ( Nine Point Circle) จดปลายของสวนสงทงสามของรปสามเหลยม จดกงกลางของดานทงสาม และจดกงกลางของสวนของเสนตรงจากจดออรโทเซนเตอรไปยงจดยอดทงสามของรปสามเหลยม จดทงเกาจดนจะอยบนเสนรอบวงของวงกลมเดยวกนทมรศมเทากบครงหนงของรศมของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยมน ( เรยกวงกลมดงกลาววา Nine Point Circle ) นอกจากนจดศนยกลางของวงกลมดงกลาวยงแบงครงเสนตรงทเชอมระหวางเสนตรงทเชอมจดออรโทเซนเตอร กบจดศนยกลางของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม



39

5.2 แบบฝกหด( บางขอ...จากขอสอบ แขงขนคณตศาสตรโอลมปกแหงประเทศไทย) (1) ถา P เปนจดบนสวนตอของคอรด AB ของวงกลมทมจดศนยกลาง O และรศม r แลว

2PA PB PT เมอ PT เปนเสนสมผสวงกลมทจด T (2) วงกลม C1 และวงกลม C2 ตดกนทจด P และ Q ซงแตกตางกน ใหเสนตรงทผานจด P ตดวงกลม C1 และวงกลม C2 ทจด A และ B ตามล าดบ ให Y เปนจดกงกลางดาน AB และ QY ตดวงกลม C1 และวงกลม C2 ทจด X และ Z ตามล าดบ จงพสจนวา Y เปนจดกงกลางดาน XZ (3) ถา a, b และ c เปนดานทงสามของรปสามเหลยมทแนบในวงกลมรศม r และ A เปนพนทของ

รปสามเหลยมดงกลาว แลว 4

abcA

r



40

(4) ให ABCD เปนรปสเหลยมทมวงกลมลอมรอบได ให P เปนจดตดของเสนทแยงมม AC และ BD ให O เปนจดศนยกลางของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม APB และ H เปนจดออรโทเซนเตอรของรปสามเหลยม CPD จงแสดงวา O, P,H อยบนเสนตรงเดยวกน (5) ใหรปสเหลยม ABCD มวงกลมลอมรอบได เสนแบงครงมม A, B, C, D ตดกนเกดเปนรปสเหลยมรปใหมภายในรปสเหลยม ABCD โดยจดยอดเปนจดตดของเสนแบงครงมมแตละรป จงพสจนวา รปสเหลยมรปใหมนมวงกลมลอมรอบได (6) รปสเหลยมจะมวงกลมลอมรอบไดกตอเมอผลบวกของความยาวดานตรงขามของรปสเหลยมมคาเทากน (7) วงกลมแนบในรปสเหลยม ABCD สมผสดาน AB, BC, CD, AD ทจด P, Q, R, S ตามล าดบ ถา AB = 3, DS = 4, PB = 6 และ BC = 10 จงหา DC และ RC



41

(8) รปสเหลยม ABCD มวงกลมลอมรอบได ลาก CX ขนานกบดาน AB ตดเสนทแยงมม BD ทจด X จงพสจนวา AC เปนเสนสมผสวงกลมทลอมรอบสามเหลยม CXD (9) O เปนจดศนยกลางของวงกลมวงหนงทม AB เปนเสนผานศนยกลาง ให C เปนจดบนวงกลมทแตกตางจากจด A และ จด B โดยท ˆ 90CDB และ M เปนจดบน BC โดยท

ˆ 90BMO ถา 1

3OM DB แลว จงหาขนาดของ ˆABC

(10) ก าหนดให , ,A B C และ D เปนจดบนวงกลม ตอดาน AB และ DC ไปพบ กนทจด F ตอดาน BC และ AD พบกนทจด E โดยท E และ F เปนจดภายนอกวงกลม ถา ˆ 30BEA และ ˆ 44DFA แลว ˆDAF กางกองศา (11) ก าหนดให A เปนจดบนวงร จงหาสมการวงรทมจดโฟกสอยท 1( 2,1)F และ 2 (4,1)F ซงมมม A เปนมมทอยระหวางจด A ไปยงโฟกสทงสอง มขนาด 60 และ 1 4 3F A



42

6. อสมการเรขาคณต ในหวขอนจะกลาวถง เงอนไขตางๆ มผลตอ อสมการทเกยวของกบดาน และ มม ของรปสามเหลยม และรปสเหลยม ทฤษฎบท 6.1 ในรปสามเหลยม ABC ถา AC AB แลว ˆˆABC ACB ทฤษฎบท 6.2 ในรปสามเหลยม ABC ถา ˆˆABC ACB แลว AC AB ทฤษฎบท 6.3 ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา BA AC BC ทฤษฎบท 6.4 ถา ABC และ DEF เปนรปสามเหลยมท AB DE และ AC DF จะไดวา

ˆ ˆBAC EDF กตอเมอ BC EF ทฤษฎบท 6.5 (อสมการ Pythagoras) ในรปสามเหลยม ABC



43

(1) ถา ˆ 90BCA แลว 2 2 2AB BC CA (2) ถา ˆ 90BCA แลว 2 2 2AB BC CA ทฤษฎบท 6.6 ( Ptolemy’s Inequality) ในรปสเหลยม ABCD ใดๆ . . .ABCD BC AD AC BD 6.2 แบบฝกหด (1) จงพสจนวาในรปสามเหลยมใดๆ มดานของรปสามเหลยมอยางมากหนงดาน สนกวาสวนสงทวดจากจดยอดตรงขามกบดานนน (2) จงพสจนวา ดานใดๆ ของรปสามเหลยมมความยาวนอยกวาครงหนงของความยาวของเสนรอบรป (3) ในรปสามเหลยม ABC มดาน 3.8AC และ ดาน 0.6AB ถาความยาวของดาน BC เปนจ านวนเตม จงหาความยาวของ BC (4) ในรปสามเหลยม ABC ม AD เปนเสนมธยฐานทลากจากมม A ไปยงดาน BC จงพสจนวา

2AD BA AC



44

(5) ก าหนดให p เปนความยาวของเสนรอปรปของสามเหลยม และ m เปนผลบวกของความยาว

ของเสนมธยฐานทงสาม จงพสจนวา 4

3m p m

(6) จงพสจนวา ผลบวกของความยาวของเสนรอบรปของสเหลยมนน นอยกวาความยาวของความยาวของเสนรอบรป แตมากวา ครงหนงของความยาวของเสนรอบรป (7) จงพสจนวา ระยะทางระหวางจดสองจดใดๆในรปสามเหลยมนอยกวาครงหนงของความยาวของเสนรอบรป (8) ในรปสเหลยม ABCD ใดๆ ทม AD BC ถา ˆˆADC BCD จงพสจนวา AC BD (9) ให A เปนพนทของรปสเหลยมใดๆ ทมเสนทแยงมมยาว a และ b จงแสดงวา

2 2 4a b A

7. การพสจนกฎ และทฤษฎบางอยางโดยใชเรขาคณต



45

ในหวขอนจะแสดงใหเหนวา เราสามารถประยกตใชเรขาคณตในการพสจนกฎพนฐานในสาขาอนได ดงตวอยางตอไปน

■ พชคณต 7.1 2 2 2( ) 2a b a ab b 7.2 2 2 2( ) 2a b a ab b 7.3 2 2 ( )( )a b a b a b

■ ตรโกณมต 7.4 sin cos(90 ) 7.5 sin( ) sin cos cos sin 7.6 cos( ) cos cos sin sin



46

7.7 sin2 2sin cosA A A

■ แคลคลส

7.8 1lim 1

n

ne

n

7.9 lim 0xx

x

e

7.10 2 2 2 ... 2

■ อสมการ

7.11 2

a bab

7.12 2

2

a b abab

a b

7.13 20 sin

2

xx x x



47

7.14 1 1 1

n n n

i i i i

i i i

x y n x y

■ อนกรม

7.15 2 3

1 1 1 1...

4 4 4 3

7.15 1 1 1 1 1 1 1...

2 4 8 16 32 64 3

7.16 1 1 3 1 3 5...

3 5 7 7 9 11

8. โจทยเสรมประสบการณ



48

(1) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก ทม ˆ 90BAC และ ˆ 60ABC ให D เปนจด

กงกลางดาน AB และ E เปนจดแบงภายใน BC โดยท 2

3BE BC ลากเสนตรง AE และ

DC ให ˆCAE และ cosm

n เมอ ,m n เปนจ านวนเตมบวก และ หรม. ( , ) 1m n จง

หาคาของ m n (2) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ทม ˆ 70ABC และ ˆ 50ACB เสนตงฉากทลากจาก จด A และ B พบฐาน BC และ AC ทจด D และ E ตามล าดบ จงหาวาขนาดของ ˆBED (3) ก าหนดให k เปนพนทของรปสเหลยม ABCD ทม AC และ BD เปนเสนทแยงมม โดยท

2 2 8AC BD k ถา เปนมมเลกทเกดจากการตดกนของเสนทแยงมมทงสอง และ AC BD จงหา ขนาดของ

(4) ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ทม 2AB , 3BC และ 4AC ให D เปนจดกงกลางดาน AB และ E เปนจดแบงภายใน AC ทท าให : 2 :1AE EC ลากเสนตรง DE ไปทาง E พบสวนตอของ BC ทจด F จงหาพนทของสามเหลยม CEF (5) ABC เปนรปสามเหลยม ทม ˆ 120ACB เสนแบงครงมม ˆABC ทงภายใน และ ภายนอก พบกบ AC และ สวนตอของ AC ทจด D และ E ตามล าดบ ทท าให BD BE ลากเสนแบง

ครง ˆBCE พบ BE ทจด G ถา CG m

BD n เมอ ,m n เปนจ านวนเตมบวก และ หรม.

( , ) 1m n จงหาคาของ m n (6) จากจด A ทอยนอกวงกลม ลากเสนตรงเสนแรกตดวงกลมทจด B และ C ท าให AB BC ลากเสนตรงทสองตดวงกลมทจด D และ E ท าให AD DE เสนทแยงมมของรปสเหลยมแนบในวงกลม BDEC ตดกนทจด O ถา พนทของ BOD เทากบ 4 ตารางหนวย และ พนทของ

COE เทากบ 9 ตารางหนวย แลว พนทของ □BDEC เทากบ ก ตารางหนวย (7) ABC เปนรปสามเหลยมใดๆ AD และ BE เปนเสนมธยฐาน ทตงบนฐาน BC และ AC ตามล าดบ ถา ˆ 45ADB และ AD ตดกบ BE ทจด P ท าให ˆ 120APE แลว ˆBAPกางกองศา



49

(8) จงสรางรปสเหลยม ABCD ใหดาน 2, 3, 4AB BC CD และ 5DA แลวสรางรปสเหลยมจตรสใหมพนทเทากบรปสเหลยม ABCD (9) จงใชทฤษฎบทของเชวา (Ceva) หรอทฤษฎบทของเมเนลอส (Menelaus) พสจนวา เสนทลาก

จากจดยอดมมทงสามของรปสามเหลยมใดๆ มาตงฉากกบดานตรงขามยอมพบกนทจดจดหนง (10) ก าหนดใหจด O เปนจดใดๆภายในรปสเหลยมจตรส ABCD จงพสจนวา

OA OD OB OC (11) ก าหนดให ABCD เปนรปสเหลยมคางหม ทม AB ขนานกบ DC และเสนทแยงมม AC

ตดกบ BD ทจด P ถา พนทของ ABP เทากบ 4 ตารางหนวย และ พนทของ DCP เทากบ 9 ตารางหนวย จงแสดงวธหาพนทของ รปสเหลยม ABCD

(12) ก าหนดให ABC มพกดในระบบพกดฉากดงนคอ A (1 , 2), B (3 , 4) และ C (5 , 6) โดยม AD เปนเสนมธยฐาน สมการเสนตรงททบกบ AD คอ …………………………………….. (13) วงกลม ทมจดศนยกลางอยทจดโฟกสของพาราโบลา x2 = 2y – 4 และสมผสพาราโบลาทจด

ยอดมสมการเปน ……………………………. (14) D และ E เปนจดทอยบนดาน AB และ AC ของ ABC ตามล าดบ BE และ CD ตดกนท

จด P โดยท BPD มพนท 2 ตารางนว CPE มพนท 3 ตารางนว และBCP มพนท 4 ตารางนว แลว ADPE มพนท …………………… ตารางนว

(15) จด P แบงดาน BC ของ ABC ดวยอตราสวน BP : PC = 1 : 2 ถา มม ABC = 45 องศา

และ มม APC = 60 องศา แลว มม ACP = …………….องศา

A B

P

C

60

45

A

B

D E

C

P



50

(15) จด A เปนจดทอยนอกวงกลม จากจด A ลากเสนสมผสวงกลมทจด B และ ลากเสนตรง ตดวงกลมทจด C และ B ตามรปทก าหนด ถา CD = 8 และ AC = 5 แลว AB = …………………

(16) ABC เปนรปสามเหลยมทแนบในวงกลมทมรศม 5 นว โดยม AC เปนเสนผานศนยกลาง และม

AB เปนคอรดทยาว 6 นว ถา AD เปนคอรดทแบงครงมม BAC จงแสดงวธหาความยาวของคอรด AD พรอมทงใหเหตผลประกอบในแตละขนตอนอยางชดเจน

(17) จงสรางวงกลมสองวงใหสมผสกนภายในทจด O ลากเสนตรงเสนหนงใหสมผสวงกลมเลกท

อยภายในทจด P และตดกบเสนรอบวงของวงกลมใหญทจด T และ S แลวจงพสจนวา มม TOP เทากบ มม SOP ( 18 คะแนน)

(18) จงใชทฤษฎบทของเชวา (Ceva) พสจนวาเสนแบงครงมมภายในทงสามของรปสามเหลยม

ใดๆ ยอมพบกนทจดๆหนง (18 คะแนน)

บนทก

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

A

B

D C



51

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการบรรยาย ·...

Documents