สรุปเนื้อหา วิชาคณ ิตศาสตร...เน...

สรปเนอหา

วชาคณตศาสตร

(O-Net)

รศ.ดร.กฤษณะ เนยมมณ

ผศ.ดร.ไพศาล นาคมหาชลาสนธ

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

คณตศาสตร เซต 1

เซต

1. ความรพนฐานเกยวกบเซต

1. การเขยนเซต

1.1 แบบแจกแจงสมาชก เชน {1, 3, 5, 7, 9}

1.2 แบบบอกเงอนไข เชน { |x x เปนจานวนเตมบวกคทนอยกวา 10 }

เขยน x A∈ แทน “x เปนสมาชกของเซต A”

และเขยน x A∉ แทน “x ไมเปนสมาชกของเซต A”

2. เซตจากดและเซตอนนต

2.1 เซตจากด คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกหรอศนย เชน { 3,1, 0,2}−

เขยนแทนจานวนสมาชกของ A ดวย ( )n A เชน ( ){ 3,1, 0,2} 4n − =

2.2 เซตอนนต คอเซตทไมใชเซตจากด เชน {1,2, 3, }…

3. เซตวางและเอกภพสมพทธ

3.1 เซตวาง คอเซตทไมสมาชกเลย เขยนแทนดวย φ หรอ { }

3.2 เอกภพสมพทธ คอเซตทกาหนดขนโดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจาก

สมาชกของเซตทกาหนดขน มกเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U

2. ความสมพนธระหวางเซต

1. สบเซต

A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และเขยนแทนดวย A B⊂

2. การเทากนของเซต

A B= กตอเมอ 1. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และ

2. สมาชกทกตวของ B เปนสมาชกของ A

นนคอ A B= กตอเมอ A B⊂ และ B A⊂

2 เซต คณตศาสตร

ขอสงเกต สาหรบเซต A ใดๆ

1. Aφ ⊂

2. A A⊂

3. A U⊂

4. เรยกสบเซตของ A ทไมเทากบ A วา สบเซตแทของ A

5. ถา A เปนเซตจากด และ ( )n A m= แลว A จะมสบเซตแตกตางกนทงหมด 2m สบเซต

3. เพาเวอรเซต

เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )P A นยามโดย

{ }( ) |P A B B A= ⊂

ตวอยาง กาหนด { }1,2, 3A = จงหา ( )P A

วธทา { }( ) ,{1},{2},{3},{1,2},{1, 3},{2, 3},{1,2, 3}P A φ=


1. ( )P A คอเซตทประกอบดวยสบเซตทงหมดของ A

2. ถา A เปนเซตจากดแลว ( )( ( )) 2n An P A =

3. ( )P Aφ ∈ และ ( )A P A∈

4. ถา A B⊂ แลว ( ) ( )P A P B⊂

5. ( )( ) ( )P A P B P A B∪ ⊂ ∪

6. ( )( ) ( )P A P B P A B∩ = ∩

4. การดาเนนการของเซต

1. อนเตอรเซกชน { |A B x x A∩ = ∈ และ }x B∈

2. ยเนยน { |A B x x A∪ = ∈ หรอ }x B∈

3. คอมพลเมนท { | }A x x A′ = ∉

4. ผลตาง { |A B x x A− = ∈ และ }x B∉


ขอสงเกต สาหรบเซต A, B และ C ใดๆ

1. A A A∪ = A A A∩ =

2. A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩

3. ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

4. ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

5. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩ ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪

6. ( )A A′′ =

7. Uφ′ = U φ′ =

8. A A

A A

φ

φ

∪ =

− =

A

A

φ φ

φ φ

∩ =

− =

9. U A U

U A A

∪ =

′− =

U A A

A U φ

∩ =

− =

10. A A U′∪ = A A φ′∩ =

11. A B A B ′− = ∩

12. ถา A B⊂ แลว B A′ ′⊂

4 จานวนจรง คณตศาสตร

จานวนจรง

1. ผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน

2. สมบตของอสมการ

1. ถา a b< และ b c< แลว a c<

2. ถา a b< แลว a c b c+ < +

3. ถา a b< และ 0c > แลว ac bc<

4. ถา a b< และ 0c < แลว ac bc>

5. ถา a b< และ c d< แลว a c b d+ < +

6. ถา 0 a b< < และ 0 c d< < แลว 0 ac bd< <

7. ถา 0 a b< < แลว 1 1

0b a

< <

จานวนจรง ( )

จานวนอตรรกยะ ( )′ จานวนตรรกยะ ( )

จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม (I )′ จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ (I )− จานวนเตมบวก (I )

+

หรอจานวนนบ ( )

จานวนเตมศนย ({0})

คณตศาสตร จานวนจรง 5

3. คาสมบรณและสมบตของคาสมบรณ

0

0

a aa

a a

≥⎧⎪⎪= ⎨− <⎪⎪⎩

สาหรบจานวนจรง a ใดๆ

1. 2a a=

2. 0a ≥

3. a a= −

4. ab a b=

5. a ab b

=

6. 22a a=

7. a b a b+ ≤ +

8. ถา 0a > แลว

8.1 x a< กตอเมอ a x a− < <

8.2 x a≤ กตอเมอ a x a− ≤ ≤

8.3 x a> กตอเมอ x a<− หรอ x a>

8.4 x a≥ กตอเมอ x a≤− หรอ x a≥

4. การแกอสมการทแยกตวประกอบได

1. ถาจะคณทงสองขางของอสมการดวยคาคงตวหรอนพจน จะตองตรวจสอบวาคาคงตวหรอนพจน

นนมคาเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนงและอาจตองเปลยนเครองหมายอสมการใหเหมาะสม

2. พยายามจดใหขางหนงของอสมการเปน 0 แลวจงแยกตวประกอบ

3. เนองจากจานวนจรงทยกกาลงดวยเลขคจะมเครองหมายคงเดม และจานวนจรงทยกกาลงคจะมคา

เปนศนยหรอบวกเทานน จงสามารถพจารณาอสมการทแยกตวประกอบแลวบางวงเลบมเลขยกกาลงไดดงน

3.1 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหแกอสมการเสมอนหนงวาวงเลบนนยกกาลงหนง

3.2 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหตดวงเลบนนออกไปจากการพจารณากอน แตเมอได

คาตอบแลว จะตองพจารณาอกครงวาวงเลบทตดออกไปกอนนนมผลตอเซตคาตอบหรอไม แลวจงปรบ

คาตอบใหถกตอง

เมอ

เมอ

6 ความสมพนธและฟงกชน คณตศาสตร

ความสมพนธและฟงกชน

1. ผลคณคารทเชยน

กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของ A และ B คอ

{( , ) |A B a b a A× = ∈ และ }b B∈

ขอสงเกต โดยทวไปแลว A B B A× ≠ × แต ( ) ( ) ( ) ( )n A B n B A n A n B× = × =

2. ความสมพนธ

ความสมพนธจาก A ไป B คอ สบเซตของ A B×

ขอสงเกต

1. ถา A และ B เปนเซตจากดแลวจานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B คอ ( ) ( )

2n A n B

2. φ เปนความสมพนธเสมอ

3. โดเมนและเรนจ

1. โดเมน (Domain)

โดเมนของความสมพนธ r คอ { |rD x A= ∈ ม y B∈ ททาให ( , ) }x y r∈

2. เรนจ (Range)

เรนจของความสมพนธ r คอ { |rR y B= ∈ ม x A∈ ททาให ( , ) }x y r∈


1. เราอาจมองอยางงายๆ ไดวา rD กคอเซตของสมาชกตาแหนงแรกของ r และ rR กคอเซตของ

สมาชกตาแหนงหลงของ r

2. ในการหา rD นน เราจะเขยนสมการในรป ( )y f x= แลวพจารณาคา x ทเปนไปไดทงหมด

3. ในการหา rR นน เราจะเขยนสมการในรป ( )x g y= แลวพจารณาคา y ทเปนไปไดทงหมด

4. ฟงกชน

เรยกความสมพนธ r วาเปนฟงกชน กตอเมอ ทกคลาดบในความสมพนธนนไมมสมาชกตาแหนง

แรกซากน

คณตศาสตร ความสมพนธและฟงกชน 7

5. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอฟงกชนทอยในรป xy a= เมอ 0 1a< < หรอ 1a >


1. กราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลผานจด (0,1) เสมอ

2. 1 1

ontoexp :

− +→ นนคอ expD = และ expR +=

3. 0xa > เสมอ (เมอ 0a > )

4. ถา 1a > แลว xa จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x<

5. ถา 0 1a< < แลว xa จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x>

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

1

xy a

a

=

> 0 1

xy a

a

=

< <

8 ลาดบและอนกรม คณตศาสตร

ลาดบและอนกรม

1. ลาดบ

ลาดบเปนชดของตวเลขทเขยนเรยงตอกนอยางมลาดบ ซงอาจมจานวนพจนเปนจานวนจากดหรออาจ

มจานวนพจนเปนอนนตกได

ลาดบจากดทม n พจนจะอยในรป 1 2 3, , , , na a a a…

2. อนกรม

ให na เปนพจนท n ของลาดบหนง

ลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na คอ

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2n n

S a

S a a

S a a a

S a a a

=

= +

= + +

= + + +

อนกรมอนนตของลาดบอนนต na คอ 1 2 nS a a a= + + + +… เมอผลบวกมคา

ขอสงเกต 1n n na S S −= −

3. ลาดบเลขคณตและอนกรมเลขคณต

ลาดบเลขคณต คอลาดบซง 1n na a+ − เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n

เรยก 1n nd a a+= − ซงเปนคาคงตววา ผลตางรวม

พจนท n ของลาดบเลขคณตคอ ( )1 1na a n d= + −

ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ]1 12 ( 1)2 2n n

n nS a n d a a= + − = +

ตวอยาง ให 3,1, 5, 9,− … เปนลาดบเลขคณต จงหาพจนท n และผลบวก n พจนแรก

วธทา ผลตางรวม ( )1 3 4d = − − = ดงนน ( ) ( )1 1 3 1 (4) 4 7na a n d n n= + − = − + − = −

ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ] ( )12 ( 1) 2( 3) ( 1)4 2 52 2n

n nS a n d n n n= + − = − + − = −

คณตศาสตร ลาดบและอนกรม 9

4. ลาดบเรขาคณตและอนกรมเรขาคณต

ลาดบเรขาคณต คอลาดบซง 1n

n

a

a+

เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n

เรยก 1n

n

ar

a+= ซงเปนคาคงตววา อตราสวนรวม

พจนท n ของลาดบเรขาคณตคอ 1

1n

na a r −=

ผลบวก n พจนแรกคอ ( )1 1

1

n

n

a rS

r

−=

− เมอ 1r ≠

10 ความนาจะเปน คณตศาสตร

ความนาจะเปน

1. กฎการนบเบองตน

1. กฎการคณ

การทางานอยางหนงแบงเปน k ขนตอนยอย ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ

จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ

2. กฎการบวก

การทางานอยางหนงแบงเปน k กรณยอยทไมซากน ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ

จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 kn n n+ + + วธ

2. แฟกทอเรยล (Factorial)

0! 1= และ ! ( 1)( 2) 2 1n n n n= − − ⋅ เมอ 1n ≥

ขอสงเกต ( )!

( 1)( 2) ( )!

n mn n n n m

n+

+ + + =

3. ความนาจะเปน

1. การทดลองสม คอการทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกผล

การทดลองในแตละครงไดอยางถกตองแนนอน

2. แซมเปลสเปซ (sample space) คอเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม

3. เหตการณ (event) คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

ถา S เปนเซมเปลสเปซซงประกอบดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน แลวความนาจะเปน

ของเหตการณ E คอ ( )

( )( )

n EP E

n S=

คณตศาสตร ความนาจะเปน 11


1. 0 ( ) 1P E≤ ≤ สาหรบเหตการณ E ใดๆ

2. ( ) 0P φ = และ ( ) 1P S =

3. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

ในกรณท A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมกน จะได ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

4. ถา A และ B เปนเหตการณทอสระตอกนแลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

เหตการณจะเปนอสระตอกน เมอการเกดของเหตการณหนงไมมผลกระทบถงอกการเกด

ของอกเหตการณหนง

5. ถา A′ เปนคอมพลเมนตของ A จะได ( ) 1 ( )P A P A′ = −

12 สถต คณตศาสตร

สถต

1. การวดคากลางของขอมล

ลาดบ คากลาง สตร ขอสงเกต

1.

คาเฉลยเลขคณต

(arithmetic mean)

หรอ x 1

1 N

ii

x xN =

= ∑

1. 1

N

ii

x Nx=

=∑

2. 1

( ) 0N

ii

x x=

− =∑

3. 2

1

( )N

ii

x a=

−∑ นอยทสดเมอ a x=

4. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= +

5. min maxx x x≤ ≤

2. มธยฐาน

(median)

หรอ Me

Me = คาของขอมล

ตาแหนงตรงกลางเมอ

เรยงลาดบขอมลแลว

a Me= ทาให 1

N

ii

x a=

−∑ นอยทสด

3. ฐานนยม (mode)

หรอ Mo

Mo = คาของขอมล

ทมความถมากทสด

1. ในกรณทมขอมลมการแจกแจงความถ

อนตรภาคชนของทกชนตองเทากน

2. ขอมลคณภาพนยมหาคากลางโดยวธน

4.

คาเฉลยเรขาคณต

(geometric mean)

หรอ G.M.

1 2. . NNG M x x x=

1. ขอมล 1 2, , , Nx x x… ตองทาให

1 2N

Nx x x มความหมาย

2. 1

1log . . log

N

ii

G M xN =

= ∑

เมอ 0ix >

5.

คาเฉลยฮารโมนก

(harmonic mean)

หรอ H.M. 1

. .1N

i i

NH M

x=

=

∑ H.M. = สวนกลบของคาเฉลยเลขคณต

ของสวนกลบของขอมลแตละตว

6. กงกลางพสย

(mid range)

หรอ M.R.

min max. .2

x xM R

+=

ถาขอมลอยในรปอนตรภาคชนเปด

จะหาคากลางแบบนไมได

คณตศาสตร สถต 13

ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถ ใหถวงนาหนกดวยความถของขอมลแตละตวตามความ

เหมาะสม ยกเวนมธยฐานทใหคานวณตามสตรตอไปน

1

1 2

dMo L I

d d

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

เมอ L = ขดจากดลางของชนทมความถสงสด

I = ความกวางของชนทมความถสงสด

1d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทตากวาหนงชน

2d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทสงกวาหนงชน

ขอสงเกต ถาขอมลทกตวมคาบวกแลว . . . .x G M H M≥ ≥

2. หลกเกณฑสาคญในการใชคากลางชนดตางๆ

1. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไดจากการนาทกๆ คาของขอมลมาเฉลย แตมธยฐานและฐานนยม

เปนเพยงคากลางทใชตาแหนงท (position) ของขอมลบางคาเทานน

2. ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางคาทมคาสงหรอตากวาขอมลอนๆ มาก จะมผลกระทบ

กระเทอนตอการหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณต กลาวคออาจจะทาใหคากลางทไดมคาสงหรอตากวา

ขอมลทมอยสวนใหญ แตจะไมมผลกระทบกระเทอนตอการหาคากลางโดยใชมธยฐานหรอฐานนยม

3. มธยฐานและฐานนยมใชเพอตองการทราบคากลางของขอมลทงหมดโดยประมาณและรวดเรว

ทงนเนองจากการหามธยฐานและฐานนยมบางวธไมจาเปนตองมการคานวณซงอาจใชเวลามาก

4. ถาการแจกแจงความถของขอมลประกอบดวยอนตรภาคชนทมชวงปด อาจเปนชนตาสดหรอชน

สงสดคชนใดชนหนงหรอทงสองชน การหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณตไมสามารถหาได แตสามารถ

หามธยฐานหรอฐานนยมได

5. การแจกแจงความถของขอมลทมความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน อาจจะมผลทาใหคา

กลางทหาไดโดยใชคาเฉลยเลขคณตหรอฐานนยมคลาดเคลอนไปจากทควรจะเปนไดบาง แตจะไมม

ผลกระทบกระเทอนตอการหามธยฐาน

6. ในกรณทขอมลเปนประเภทขอมลคณภาพ (qualitative data) จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะ

ฐานนยมเทานน แตไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตหรอมธยฐาน


7. ความสมพนธของ x , Me, Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย

x Me Mo= = x

Mo Me x< <

x Me Mo< <

3. ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล

ให L = ขดจากดลางของชนทคาสถตนนอย

I = ความกวางของชนทคาสถตนนอย

Lf∑ = เปนความถสะสมกอนชนทคาสถตชนอย

if = ความถของชนทคาสถตนนอย

คาสถต ความหมาย ขอมลทไมแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถ

มธยฐาน

(Median)

จดทแบงขอมล

ออกเปน2 สวน

เทาๆ กน

ตาแหนงของ Me

คอ 1

2N +

ตาแหนงของ Me คอ 2N

2 L

i

Nf

Med L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

ควอรไทล

(Quartile)



เทาๆ กน

ตาแหนงของ kQ

คอ ( 1)

4N k+

ตาแหนงของ kQ คอ 4

kN

4 L

ki

kNf

Q L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

เดไซล

(Decile)



เทาๆ กน

ตาแหนงของ kD

คอ ( 1)

10N k+

ตาแหนงของ kD คอ 10kN

10 L

ki

kNf

D L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

เปอรเซนไทล

(Percentile)


ออกเปน 100

สวนเทาๆ กน

ตาแหนงของ kP

คอ ( 1)

100N k+

ตาแหนงของ kP คอ 100kN

100 L

ki

kNf

P L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑


4. การวดการกระจายของขอมล

1. การวดการกระจายสมบรณ

1.1 พสย (Range) max minx x= −

1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) 3 1

2Q Q−

=

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) 1

N

ii

x x

N=

−=∑

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s)

2

1

( )N

ii

x x

N=

−=

∑

ความแปรปรวน (variance) 2s=


1. ถามขอมล m ชด และ 1 2 mx x x= = = แลว

2 2 22 1 1 2 2

1 2

m m

m

N s N s N ss

N N N+ + +

=+ + +รวม

2. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= + และ y xs a s=

2. การวดการกระจายสมพทธ

1. สมประสทธของพสย max min

max min

x xx x

−=

+

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล 3 1

3 1

Q QQ Q

−=

+

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย . .M Dx

=

4. สมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน sx

=

16 ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) คณตศาสตร

ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) ตอนท 1 ขอ 1-5 ขอละ 2 คะแนน ขอ 6-10 ขอละ 3 คะแนน

1. ถา { } { } { }{ }, 0,1, 1 , 1,2 , 3A = ∅ และ ( )P A เปนเพาเวอรเซตของ A แลว

จานวนสมาชกของเซต ( )P A A− เทากบเทาใด

2. ถา 2( ) 2 1f x x x= − + และ

2( )( ) 2 6g f x x x= − + แลว ( )(6)f g เทากบเทาใด

3. กาหนดให 1l เปนเสนตรงซงผานจด ( )2, 3− และ ( )1, 7 ถา 2l เปนเสนตรงซงผานจด ( )3, 2−

และขนานกบ 1l แลว ระยะหางระหวาง 1l และ 2l เทากบกหนวย

4. กาหนดให

2 1

1

xA

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

และ 1

1

x xB

x x

⎡ − − ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

ถา ( )det 2 28A = แลว ( )1det AB− เทากบเทาใด

5. ให 1 2 10, , ,x x x… เปนขอมลชดหนง ซง 10

1

30ii

x=

=∑ ถา 10

2

1

340ii

x=

=∑ และ คามาตรฐานของ 5x

เทากบ 0.40 แลว 5x มคาเทากบเทาใด

6. กาหนดให P เปนจดศนยกลางของวงกลม 2 2 4 6 12 0x y x y+ − + − = 1l เปนเสนตรง

ซงผานจด P และ จด ( )1,1− 2l เปนเสนตรงซงตงฉากกบ 1l และผานจด ( )5, 6

ถา 2l มสมการเปน 3 0x by c+ + = แลว b c+ มคาเทากบเทาใด

7. ถา 2 2( ) ( 4 5)f x x x= − − และ A เปนเซตคาตอบของอสมการ ( ) 0f x′ < แลว

[ ]5,10A∩ − มสมาชกทเปนจานวนเตมทงหมดกจานวน

8. ถา A และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 3 2

2 14

x−− < ≤ และ

40

5xx+

<−

ตามลาดบ

แลว ผลบวกของสมาชกทเปนจานวนเตมทงหมดของ A B∪ เทากบเทาใด

9. ถา { },a b เปนเซตคาตอบของสมการ ( )2 22 9 2 2x x+ − = − โดยท a b< แลว 2 2

2log 4a b+

เทากบเทาใด

10. ในการสอบครงหนง มขอสอบทงหมด 12 ขอ นกเรยนตองทาขอสอบรวม 8 ขอ โดยตองเลอกทา

อยางนอย 3 ขอจากขอ 1 ถง 6 และเลอกทาอยางนอย 3 ขอ จากขอ 7 ถงขอ 12 จานวนวธทงหมดท

นกเรยนจะสามารถเลอกทาขอสอบเทากบเทาใด

คณตศาสตร ขอสอบวชาคณตศาสตร 2 (มนาคม 2548) 17

ตอนท 2 ขอละ 3 คะแนน

1. นกเรยนชนมธยมปท 4 ของโรงเรยนแหงหนงม 400 คน ในจานวนน มผลงทะเบยนเรยนวชา

คณตศาสตร 225 คน และลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 240 คน ถามนกเรยนทไมลงทะเบยน

เรยนวชาคณตศาสตร และไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษ 50 คน แลวจานวนนกเรยนท

ลงทะเบยนเรยนวชาคณตศาสตรและไมลงทะเบยนเรยนวชาภาษาองกฤษเทากบเทาใดตอไปน

1. 110 คน 2. 115 คน 3. 120 คน 4. 125 คน

2. ถา { } { }24, 3, 2, 1, 0,1,2, 3 , ( , ) | 1A r x y A A y x= − − − − = ∈ × = + และ

{ }( , ) |s x y A A y x= ∈ × = แลว จานวนสมาชกของเซต s rR D− เทากบขอใดตอไปน

1. 1 2. 2 3. 3 4. 4

3. ถา ( ) 1f x x= − และ 2( ) 32g x x= − แลว จานวนสมาฃกทเปนจานวนเตมของ f gR D∩

เทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 5 3. 6 4. 7

4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง ซง 0a > ถาเซตคาตอบของอสมการ 9ax b+ < คอ

ชวงเปด 10 8

,3 3

⎛− ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ แลว a b+ เทากบขอใดตอไปน

1. 3 2. 4 3. 5 4. 6

5. เอกภพสมพทธ U ในขอใด ททาใหขอความ [ ]8(4 ) 16x xx∀ ≥ มคาความจรงเปนจรง

1. [ 20, 0)= −U 2. [ 15, 5)= −U 3. [ 10,10)= −U 4. [ 5,15)= −U

6. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาประพจน ( )[ ]A X Y X→ ∧ → มคาความจรงเปนเทจ

แลวประพจน ( )A Y X∨ → มคาความจรงเปนจรง

ข. ถาเอกภพสมพทธคอชวง ( )1, 0− แลวขอความ 2x x x⎡ ⎤∀ − >⎣ ⎦ มคาความจรงเปนจรง

ขอใดตอไปนถก

1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด

3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

7. ถา S เปนเซตคาตอบของอสมการ tan 2 sin 0x x+ = โดยท 0 2x π≤ ≤ แลว

ผลบวกของสมาชกในเซต S เทากบขอใดตอไปน

1. 3π 2. 4π 3. 5π 4. 6π


8. ถา x เปนจานวนจรงในชวง 0,2π⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ซงสอดคลองกบสมการ 2 sin 2 cot2 cosec2 0x x x− − =

แลว 2 2sin 4 cosx x+ เทากบขอใดตอไปน

1. 12

2. 34

3. 43

4. 32

9. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม ÂBC เปนมมฉาก และมม ÂCB เทากบ 6π

ถา D เปนจดบนดาน BC ซง AD:AC=3:4 และมม ÂDC เทากบ θ

แลว 2cos θ มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 13

2. 23

3. 49

4. 59

10. กาหนดใหวงร 2 24 9 36x y+ = มจด ( , )s t เปนจดโฟกสซง 0s < ถาวงกลม

2 2 4x kx y my+ + + = มจด ( , )s t เปนจดศนยกลาง แลวรศมของวงกลมวงนเทากบขอใด

ตอไปน

1. 2 หนวย 2. 3 หนวย 3. 2 5 หนวย 4. 3 5 หนวย

11. ถา 2 2 12 0kx ly− − = เปนสมการของไฮเพอรโบลาทมจด ( )5, 0 และ ( )5, 0− เปนโฟกส

และความยาวของแกนตามขวางเทากบ 6 หนวย แลว 3 4k l+ เทากบขอใดตอไปน

1. 7 2. 8 3. 9 4. 10

12. ถา x เปนจานวนจรงซง ( ) ( )( ) ( )4 2 2 42 3 3 2 3 2 0x x x x− − =

แลว ( )2log 2 7x + เทากบขอใดตอไปน

1. 2 2. 3 3. 4 4. 5

13. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ ( )2 22 2log log ( )x x≤ ถา a และ b เปนสมาชกทมคานอย

ทสด และสมาชกทมคามากทสดของ S ตามลาดบแลว 2b a− เทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

14. ถา A เปน 2 2× เมตรกซ ซง 12 det( ) 3 det(3( ) ) 55 0tA A−+ − =

และ det( )A เปนจานวนเตม แลวขอใดตอไปนถก

1. det( ) 10A ≤ 2. 10 det( ) 20A< ≤

3. 20 det( ) 30A< ≤ 4. det( ) 30A >


15. ถา x และ y เปนจานวนจรง ซงสอดคลองกบสมการ 59 8 3

36 4 2

x

y

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

แลว 2 2y x− เทากบขอใดตอไปน

1. 5 2. 6 3. 7 4. 8

16. กาหนดให f เปนฟงกชนทนยามโดย

2

2

16, 4

4( )2, 4

xx

xf xkx x x

⎧ −⎪⎪ >⎪⎪ −= ⎨⎪⎪ + − ≤⎪⎪⎩

ถา f เปนฟงกชนตอเนองท 4x = แลว ( )(5)f f′ ′ เทากบขอใดตอไปน

1. 1.50 2. 1.75 3. 2.00 4. 2.25

17. ถา 2 1

( )1

xf x

ax+

=−

และ (0) 2f ′ = − แลว ( )(1)f f ′+ เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3

18. กาหนดให 2

1( ) 2f x x dx

x⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∫ และ ( ) ( )g x xf x= ถา (1) 2f = −

แลว (3)g ′ เทากบขอใดตอไปน

1. 20 2. 25 3. 30 4. 35

19. กาหนดให 3 2( ) 13f x x ax bx= + + + ถา (1) 3f = − และ f มคาสงสดสมพทธท 2x = −

แลวคาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน

1. 32 2. 33 3. 36 4. 37

20. ในการจดคน 7 คน ซงมวชตและกนกรวมอยดวย เพอนงโตะกลมสองตว โตะตวแรกม 4 ทนง

และโตะตวทสองม 3 ทนง วธจดทงหมดทใหวชตและกนกนงโตะตวเดยวกนเทากบขอใดตอไปน

1. 60 วธ 2. 120 วธ 3. 150 วธ 4. 180 วธ

21. ปตนดพบปะสงสรรคกบเพอนในกลมเพอนสนทของเขา 6 คน ความนาจะเปนทเพอนอยางนอย 3

คนจะตอบรบการนดของปต เทากบขอใดตอไปน

1. 2132

2. 4164

3. 1132

4. 3164


22. กาหนดให 1 2 3 4 5, , , ,x x x x x และ 6x คอ 3, 4, 6,13, 8 และ 2 ตามลาดบ

พจารณาขอความตอไปน

ก. 6

2

1

( )ii

x a=

−∑ มคานอยทสดเมอ 6a =

ข. 6

1i

i

x b=

−∑ มคานอยทสดเมอ 5b =


1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด

3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด

23. กาหนดใหอตราสวนระหวางจานวนนกเรยนชายตอจานวนนกเรยนหญงของนกเรยนหองหนงเทากบ

3 : 2 ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองนทงหองเทากบ 43

คะแนน และ คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนชายมากกวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนน

สอบของนกเรยนหญงเทากบ 5 คะแนนแลว อตราสวนระหวางคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของ

นกเรยนชายตอคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนหญง เทากบขอใดตอไปน

1. 6 : 5 2. 7 : 6 3. 8 : 7 4. 9 : 8

24. กาหนดให 1 2 3 10, , , ,x x x x… เปนขอมลทเรยงลาดบจากนอยไปมาก โดยท 10

31

165ii

x x=

= +∑ และ

เปอรเซนไทลท 25 เทากบ 13.5 ถา 1 8x = และ 2 12x =

แลว คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน

1. 18.1 2. 18.0 3. 17.9 4. 17.8

25. ผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 20 คน เปนดงน กตสอบได 35 คะแนน และคาเฉลยของ

คะแนนสอบทงหมดเทากบ 60 คะแนน ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยน 19 คนท

ไมนบรวมกตเทากบ 2.5 แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบชดนเทากบขอใดตอไปน

1. 4 2. 6 3. 8 4. 10

สรปเนอหา

วชาคณตศาสตร

(A-Net)

รศ.ดร.กฤษณะ เนยมมณ

ผศ.ดร.ไพศาล นาคมหาชลาสนธ

ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย


เซต

1. ความรพนฐานเกยวกบเซต

1. การเขยนเซต

1.1 แบบแจกแจงสมาชก เชน {1, 3,5, 7, 9}

1.2 แบบบอกเงอนไข เชน { |x x เปนจานวนเตมบวกคทนอยกวา 10 }

เขยน x A∈ แทน “x เปนสมาชกของเซต A”

และเขยน x A∉ แทน “x ไมเปนสมาชกของเซต A”

2. เซตจากดและเซตอนนต

2.1 เซตจากด คอเซตทมจานวนสมาชกเทากบจานวนเตมบวกหรอศนย เชน { 3,1, 0,2}−

เขยนแทนจานวนสมาชกของ A ดวย ( )n A เชน ( ){ 3,1, 0,2} 4n − =

2.2 เซตอนนต คอเซตทไมใชเซตจากด เชน {1,2, 3, }…

3. เซตวางและเอกภพสมพทธ

3.1 เซตวาง คอเซตทไมสมาชกเลย เขยนแทนดวย φ หรอ { }

3.2 เอกภพสมพทธ คอเซตทกาหนดขนโดยมขอตกลงวาจะไมกลาวถงสงใดนอกเหนอไปจาก

สมาชกของเซตทกาหนดขน มกเขยนแทนเอกภพสมพทธดวย U

2. ความสมพนธระหวางเซต

1. สบเซต

A เปนสบเซตของ B กตอเมอ สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และเขยนแทนดวย A B⊂

2. การเทากนของเซต

A B= กตอเมอ 1. สมาชกทกตวของ A เปนสมาชกของ B และ

2. สมาชกทกตวของ B เปนสมาชกของ A

นนคอ A B= กตอเมอ A B⊂ และ B A⊂

2 เซต คณตศาสตร


1. Aφ ⊂

2. A A⊂

3. A U⊂

4. เรยกสบเซตของ A ทไมเทากบ A วา สบเซตแทของ A

5. ถา A เปนเซตจากด และ ( )n A m= แลว A จะมสบเซตแตกตางกนทงหมด 2m สบเซต

3. เพาเวอรเซต

เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวยสญลกษณ ( )P A นยามโดย

{ }( ) |P A B B A= ⊂

ตวอยาง กาหนด { }1,2, 3A = จงหา ( )P A

วธทา { }( ) ,{1},{2},{3},{1,2},{1, 3},{2, 3},{1,2, 3}P A φ=


1. ( )P A คอเซตทประกอบดวยสบเซตทงหมดของ A

2. ถา A เปนเซตจากดแลว ( )( ( )) 2n An P A =

3. ( )P Aφ ∈ และ ( )A P A∈

4. ถา A B⊂ แลว ( ) ( )P A P B⊂

5. ( )( ) ( )P A P B P A B∪ ⊂ ∪

6. ( )( ) ( )P A P B P A B∩ = ∩

4. การดาเนนการของเซต

1. อนเตอรเซกชน { |A B x x A∩ = ∈ และ }x B∈

2. ยเนยน { |A B x x A∪ = ∈ หรอ }x B∈

3. คอมพลเมนท { | }A x x A′ = ∉

4. ผลตาง { |A B x x A− = ∈ และ }x B∉


ขอสงเกต สาหรบเซต A, B และ C ใดๆ

1. A A A∪ = A A A∩ =

2. A B B A∪ = ∪ A B B A∩ = ∩

3. ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪ ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

4. ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩

5. ( )A B A B′ ′ ′∪ = ∩ ( )A B A B′ ′ ′∩ = ∪

6. ( )A A′′ =

7. Uφ′ = U φ′ =

8. A A

A A

φ

φ

∪ =

− =

A

A

φ φ

φ φ

∩ =

− =

9. U A U

U A A

∪ =

′− =

U A A

A U φ

∩ =

− =

10. A A U′∪ = A A φ′∩ =

11. A B A B ′− = ∩

12. ถา A B⊂ แลว B A′ ′⊂

5. สตรเกยวกบจานวนสมาชกของเซตจากด สาหรบเซตจากด A, B, C ใดๆ

1. ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩

2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

A BU

U

A B

C

4 ตรรกศาสตร คณตศาสตร

ตรรกศาสตร

1. ประพจน

ประพจน คอประโยคทเปนจรงหรอเทจอยางใดอยางหนงเพยงอยางเดยว ซงอาจจะอยในรปประโยค

บอกเลาหรอประโยคปฏเสธกได

2. นเสธและตวเชอมประพจน

เราสรางประพจนใหมทมคาความจรงตรงขามกบเดมไดโดยอาศยตวดาเนนการทเรยกวานเสธ

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ ∼ ซงสามารถแสดงคาความจรงดวยตารางคาความจรงไดดงน

p p∼

T F

F T

นอกจากนประพจนสองประพจนสามารถเชอมกนไดดวยตวเชอมประพจนตางๆ กน 4 แบบคอ

1. ตวเชอม และ เขยนแทนดวย ∧

2. ตวเชอม หรอ เขยนแทนดวย ∨

3. ตวเชอม ถา...แลว เขยนแทนดวย →

4. ตวเชอม กตอเมอ เขยนแทนดวย ↔

ซงสามารถแสดงคาความจรงสาหรบประพจนทมตวเชอมตางๆ ไดดงน

p q p q∧ p q∨ p q→ p q↔

T T T T T T

T F F T F F

F T F T T F

F F F F T T

หลกในการจาคาความจรงสาหรบตวเชอมตางๆ

1. ตวเชอม และ เปน T เมอทงคเปน T นอกนนเปน F

2. ตวเชอม หรอ เปน F เมอทงคเปน F นอกนนเปน T

3. ตวเชอม ถา...แลว เปน F สาหรบ T → F เพยงกรณเดยวเทานน ทเหลอเปน T

4. ตวเชอม กตอเมอ ถาเหมอนกนเปน T และถาตางกนเปน F

คณตศาสตร ตรรกศาสตร 5

3. ตารางคาความจรง

การสรางตารางคาความจรงของประพจนเปนการแจงกรณทเปนไปไดทงหมดทกกรณ ซงทาไดไมยาก

แตเสยเวลา หากมประพจนยอยตางๆ กนอย n ประพจนยอย จะมกรณทแตกตางกนไดทงหมด 2n กรณ

ตวอยาง จงสรางตารางคาความจรงของ ( )p q r→ ∧

วธทา

p q r p q→ ( )p q r→ ∧

T T T T T

T T F T F

T F T F F

T F F F F

F T T T T

F T F T F

F F T T T

F F F T F

4. ประพจนทสมมลกน

ประพจนใดๆ สองประพจนสมมลกน เมอไมวาคาความจรงในประพจนยอยจะเปนอยางไร คาความ

จรงของทงสองประพจนนนจะเหมอนกนทกกรณ การตรวจสอบการสมมลสามารถทาไดโดยสรางตารางคา

ความจรงหรออาศยประพจนสมมลพนฐานเขาชวย

ถา p และ q เปนประพจนทสมมลกน จะเขยนแทนดวย p q≡

เพอใหตรวจสอบประพจนทสมมลกนไดงาย เราอาจอาศยรปแบบทสมมลกนตอไปนเขาชวย

1. การสลบท p q q q

p q q p

p q q p

∨ ≡ ∨∧ ≡ ∧↔ ≡ ↔

2. การจดหม

( ) ( )

( ) ( )

p q r p q r

p q r p q r

∨ ∨ ≡ ∨ ∨

∧ ∧ ≡ ∧ ∧

3. การกระจาย

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

p q r p q p r

p q r p q p r

∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∧

∨ ∧ ≡ ∨ ∧ ∨

6 ตรรกศาสตร คณตศาสตร

4. เอกลกษณ

T

F

p p p

p p p

p p

p p

∨ ≡∧ ≡

∧ ≡

∨ ≡

5. ถา...แลว

p q p q q p→ ≡ ∨ ≡ →∼ ∼ ∼

6. นเสธซอน

( )p p≡∼ ∼

7. นเสธ

( )

( )

( )

p q p q

p q p q

p q p q

∨ ≡ ∧

∧ ≡ ∨

→ ≡ ∧

∼ ∼ ∼

∼ ∼ ∼

∼ ∼

8. กตอเมอ

( ) ( )p q p q q p↔ ≡ → ∧ →

5. สจนรนดร

เราจะเรยกประพจนใดวา สจนรนดร กตอเมอไมวาคาความจรงของประพจนยอยจะเปนอะไรกตาม

คาความจรงของประพจนนนจะเปนจรงเสมอ

6. ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

ประโยคเปด คอ ประโยคบอกเลาหรอปฏเสธทมตวแปร ประโยคเปดไมเปนประพจน แตถาแทนตว

แปรดวยสมาชกในเอกภพสมพทธแลวเราจะไดประพจน

การทาประพจนเปดใหเปนประพจนสามารถทาไดโดยการใส วลบงปรมาณ ซงมอยดวยกน 2 ตว คอ

“ ∀ ” (for all, ทกๆ) และ “∃” (for some, บางตว) ซงการกาหนดคาความจรงและการใสนเสธเปนไป

ตามตารางตอไปน

ขอความ เงอนไขททาใหจรง เงอนไขททาใหเทจ

[ ]( )x P x∀ ทกๆ x ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( )P x จรง

มบาง x ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( )P x เทจ

[ ]( )x P x∃ มบาง x ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( )P x จรง

ทกๆ x ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( )P x เทจ

คณตศาสตร ตรรกศาสตร 7

ในบางครงประโยคเปดของเราอาจมตวแปรมากกวาหนงตวกได เชน ให ( , )P x y เปนประโยคเปดท

แทนขอความวา “ 5x y+ = ” หรอ ( , , )Q x y z แทนขอความ “ 1x y z+ + = ” เปนตน

การกาหนดคาความจรงและการใสนเสธของประโยคเปดสองตวแปรเปนดงน

ขอความ เงอนไขททาใหจรง เงอนไขททาใหเทจ

[ ]( , )x y P x y∀ ∀

ทก x ทก y ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( , )P x y จรง

มบาง x และมบาง y ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( , )P x y เทจ

[ ]( , )x y P x y∀ ∃

ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา y

ททาให ( , )P x y จรงได

มบาง x ททาใหทก y ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( , )P x y เทจ

[ ]( , )x y P x y∃ ∀

มบาง x ซงทก y ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( , )P x y เทจ

ทก x ในเอกภพสมพทธ จะหา y

ททาให ( , )P x y เทจได

[ ]( , )x y P x y∃ ∃ มบาง x และมบาง y ในเอกภพสมพทธ

ททาให ( , )P x y จรง

ทก x และทก y ในเอกภพสมพทธ

ทาให ( , )P x y เทจ

7. นเสธของประพจนทมวลบงปรมาณ

1. [ ] [ ]( ) ( )x P x x P x∀ ≡ ∃∼ ∼

2. [ ] [ ]( ) ( )x P x x P x∃ ≡ ∀∼ ∼

3. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∀ ∀ ≡ ∃ ∃∼ ∼

4. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∀ ∃ ≡ ∃ ∀∼ ∼

5. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∃ ∀ ≡ ∀ ∃∼ ∼

6. [ ] [ ]( , ) ( , )x y P x y x y P x y∃ ∃ ≡ ∀ ∀∼ ∼

8. การอางเหตผล

การอางเหตผลคอการอางวาเมอมขอความ 1 2, , , np p p… ชดหนงเปนจรง จะสามารถสรปขอความ q

ไดหรอไม นนคอขอความ ( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ → เปนสจนรนดรหรอไมนนเอง

ถาขอความ ( )1 2 np p p q∧ ∧ ∧ → เปนสจนรนดร เราจะกลาววาการอางเหตผลนสมเหตสมผล

(valid) ถาไมเปนสจนรนดรจะกลาววาการอางเหตผลนไมสมเหตสมผล (invalid)

8 จานวนจรง คณตศาสตร

จานวนจรง

1. ผงแสดงความสมพนธของระบบจานวน

2. รากของสมการพหนาม

1. รากตรรกยะของสมการพหนาม

สมการพหนาม 11 1 0( ) 0n n

n np x a x a x a x a−−= + + + + = เมอ 1 0, , ,n na a a− ∈… และ

0na ≠ จะมรากตรรกยะทอยในรปเศษสวนอยางตา pq

เมอ p หาร 0a ลงตวและ q หาร na ลงตว

2. ทฤษฎบทเศษเหลอ

กาหนด 11 1 0( ) n n

n np x a x a x a x a−−= + + + + โดยท 1 0, , ,n na a a− ∈… และ 0na ≠

เมอหาร ( )p x ดวย x c− จะไดเศษเทากบ ( )p c

3. สมบตของอสมการ

1. ถา a b< และ b c< แลว a c<

2. ถา a b< แลว a c b c+ < +

3. ถา a b< และ 0c > แลว ac bc<

4. ถา a b< และ 0c < แลว ac bc>

5. ถา a b< และ c d< แลว a c b d+ < +

6. ถา 0 a b< < และ 0 c d< < แลว 0 ac bd< <

7. ถา 0 a b< < แลว 1 1

0b a

< <

จานวนจรง ( )

จานวนอตรรกยะ ( )′ จานวนตรรกยะ ( )

จานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม (I )′ จานวนเตม (I)

จานวนเตมลบ (I )− จานวนเตมบวก (I )

+

หรอจานวนนบ ( )

จานวนเตมศนย ({0})

คณตศาสตร จานวนจรง 9

4. คาสมบรณและสมบตของคาสมบรณ

0

0

a aa

a a

≥⎧⎪⎪= ⎨− <⎪⎪⎩

สาหรบจานวนจรง a ใดๆ

1. 2a a=

2. 0a ≥

3. a a= −

4. ab a b=

5. a ab b

=

6. 22a a=

7. a b a b+ ≤ +

8. ถา 0a > แลว

8.1 x a< กตอเมอ a x a− < <

8.2 x a≤ กตอเมอ a x a− ≤ ≤

8.3 x a> กตอเมอ x a<− หรอ x a>

8.4 x a≥ กตอเมอ x a≤− หรอ x a≥

5. การแกอสมการทแยกตวประกอบได

1. ถาจะคณทงสองขางของอสมการดวยคาคงตวหรอนพจน จะตองตรวจสอบวาคาคงตวหรอนพจน

นนมคาเปนบวกหรอลบอยางใดอยางหนงและอาจตองเปลยนเครองหมายอสมการใหเหมาะสม

2. พยายามจดใหขางหนงของอสมการเปน 0 แลวจงแยกตวประกอบ

3. เนองจากจานวนจรงทยกกาลงดวยเลขคจะมเครองหมายคงเดม และจานวนจรงทยกกาลงคจะม

คาเปนศนยหรอบวกเทานน จงสามารถพจารณาอสมการทแยกตวประกอบแลวบางวงเลบมเลขยกกาลงไดดงน

3.1 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหแกอสมการเสมอนหนงวาวงเลบนนยกกาลงหนง

3.2 ถาวงเลบใดยกกาลงดวยเลขค ใหตดวงเลบนนออกไปจากการพจารณากอน แตเมอได

คาตอบแลว จะตองพจารณาอกครงวาวงเลบทตดออกไปกอนนนมผลตอเซตคาตอบหรอไม แลวจงปรบ

คาตอบใหถกตอง

เมอ

เมอ

10 ทฤษฎจานวนเบองตน คณตศาสตร

ทฤษฎจานวนเบองตน

1. การหารลงตวและจานวนเฉพาะ

1. m หาร n ลงตวกตอเมอมจานวนเตม c ซง mc n= ใหเขยนแทนดวย |m n

2. จานวนเตมบวก 2p ≥ เปนจานวนเฉพาะกตอเมอจานวนเตมบวกทหาร p ลงตวอยในเซต {1, }p

3. จานวนเตม 1n > จะแยกตวประกอบ 1 21 2

km m mkn p p p= โดยท 1 2, , , kp p p… เปนจานวนเฉพาะ

ไดเพยงชดเดยวเทานน เมอไมคาถงนงลาดบในการเขยน

2. ทฤษฎบททสาคญสาหรบจานวนเตม

1. ถา |a b และ |b c แลว |a c

2. ถา a และ b เปนจานวนเตมบวกซง |a b แลว a b≤

3. ถา |a b และ |a c แลว |a bx cy+ สาหรบจานวนเตม x และ y ใดๆ

4. ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ |p mn แลว |p m หรอ |p n

3. ตวหารรวมมาก(ห.ร.ม.) และตวคณรวมนอย(ค.ร.น.)

1. จานวนเตมบวก g จะเหนตวหารรวมมาก(ห.ร.ม.) ของจานวนเตม m กบ n ซง 2 2 0m n+ ≠ เมอ

(1) g เปนตวหารรวมของ m กบ n นนคอ |g m และ |g n

(2) ในบรรดาตวหารรวมทงหมดของ m และ n ตวหารรวมทมคามากทสดคอ g

ห.ร.ม. ของ m และ n เขยนแทนดวย ( , )m n

2. จานวนเตมบวก c จะเปนตวคณรวมนอย(ค.ร.น.) ของจานวนเตม m กบ n ซง 2 2 0m n+ ≠ เมอ

(1) c เปนตวคณรวมของ m กบ n นนคอ |m c และ |n c

(2) ในบรรดาตวคณรวมบวกทงหมดของ m และ n ตวคณรวมทมคานอยทสดคอ c

ค.ร.น. ของ m และ n เขยนแทนดวย [ , ]m n

3. ถา m และ n ม ห.ร.ม. เทากบ 1 แลวจะกลาววา m และ n เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน

4. มจานวนเตม x และ y ซง ( , )m n mx ny= +

5. ( , ) 1m n = กตอเมอมจานวนเตม x และ y ซง 1mx ny+ =

6. ถา ( , )g m n= แลว ( , ) 1m ng g

=

7. ผลคณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจานวนเตมสองจานวนมคาเทากบผลคณของจานวนทงสอง

( , )[ , ]m n m n mn=

คณตศาสตร เมทรกซและดเทอรมแนนต 11

เมทรกซและดเทอรมแนนต

1. ความรพนฐานเกยวกบเมทรกซ

1. นยาม

1.1 เมทรกซเปนกลมของจานวนหรอ

นพจนทางคณตศาสตรทเขยนเรยงกน

ในลกษณะของสเหลยมมมฉาก

1.2 เมทรกซ A ขางตน ประกอบดวยแถว m แถว และหลก n หลก

จงกลาววาเมทรกซ A มมต m n×

1.3 ใชสญลกษณ ija แทนสมาชกในแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A

1.4 เขยน ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แทน “A เปนเมทรกซทประกอบดวยสมาชก ija และมมต m n× ”

2. เมทรกซพเศษทสาคญ

2.1 เมทรกซศนย คอ เมทรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย

2.2 เมทรกซจตรส คอ เมทรกซทมจานวนแถวเทากบจานวนหลก

ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n n×

เราจะนยาม เสนทแยงมมหลกของเมทรกซ A

เปนแนวของสมาชก 11 22, , , nna a a…

กลาวคอเปนแนวมมซายบนไปมมขวาลาง ดงรป

2.3 เมทรกซเอกลกษณ คอเมทรกซจตรสทมสมาชกทกตว

บนเสนทแยงมมหลกเปน 1 และสมาชกทเหลอเปนศนย

เขยน n nI × แทนเมทรกซเอกลกษณมต n n×

2. การดาเนนการและความสมพนธของเมทรกซ

1. การเทากนของเมทรกซ

A B= กตอเมอ เมทรกซมมตเดยวกนและสมาชกทอยในตาแหนงเดยวกนมคาเทากน

2. การบวกและการลบเมทรกซ

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij m n

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลว ij ij m nA B a b

×⎡ ⎤+ = +⎣ ⎦ และ ij ij m n

A B a b×

⎡ ⎤− = −⎣ ⎦

หลกท 1 หลกท 2 หลกท n

แถวท 1

แถวท 2

แถวท m

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3 3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I ×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

12 เมทรกซและดเทอรมแนนต คณตศาสตร

3. การคณเมทรกซดวยสเกลาร

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ k เปนสเกลาร (จานวนหรอนพจนทางคณตศาสตร) แลว ij m n

kA ka×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦

4. การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij m p

B b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลวจะได ij m pAB c

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ โดยท

1 1 2 2ij i j i j in njc a b a b a b= + + +

กลาวงายๆ คอ ijc เปนผลคณระหวางแถวท i ของเมทรกซ A กบหลกท j ของเมทรกซ B

โดยทวไปแลว AB BA≠ นนคอ ไมมสมบตการสลบทสาหรบการคณเมทรกซดวยเมทรกซ

5. ทรานสโพส

ทรานสโพสเปนการสลบเปลยนระหวางแถวกบหลกของเมทรกซ

ถา ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦ แลวทรานสโพสของ A เขยนแทนดวย

tA โดยท tij n m

A b×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ และ ij jib a=

3. สมบตทสาคญบางประการของการดาเนนการของเมทรกซ

กาหนด ,A B เปนเมทรกซมต m n× ใดๆ และ [0] เปนเมทรกซศนยมต m n×

1. A B B A+ = + (การสลบทสาหรบการบวก)

2. ( ) ( )A B C A B C+ + = + + (การเปลยนกลมสาหรบการบวก)

3. [0] [0]A A A+ = + = (เอกลกษณการบวก)

4. ( ) ( ) [0]A A A A+ − = − + = เมอ ( 1)A A− = − (อนเวอรสการบวก)

กาหนด ,A B เปนเมทรกซใดๆ ทผลคณ AB มความหมาย

5. ( ) ( )AB C A BC= (การเปลยนกลมสาหรบการคณ)

6. ( )A B C AB AC+ = + และ ( )B C A BA CA+ = + (การกระจาย)

7. AI IA A= = เมอ A และ I เปนเมทรกซจตรสมตเดยวกน (เอกลกษณการคณเมทรกซจตรส)

กาหนด ,A B เปนเมทรกซใดๆ ทการดาเนนการในแตละขอตอไปนมความหมาย

8. ( )t tA A=

9. ( )t t tA B A B+ = + และ ( )t t tA B A B− = −

10. ( )t tkA kA= เมอ k เปนสเกลาร

11. ( )t t tAB B A=


4. ดเทอรมแนนต

สาหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ เขยน det( )A หรอ A แทนดเทอรมแนนตของเมทรกซ A โดย

1. ถา [ ]11 1 1A a

×= แลว 11det( )A a=

2. ถา A เปนเมทรกซมต 2 2× แลว det( )A หาไดจาก

3. ถา A เปนเมทรกซมต 3 3× แลว det( )A หาไดโดยวธตอสองหลกแรก

5. อนเวอรสการคณของเมทรกซ

ถา A เปนเมทรกซจตรสมต n n× และมเมทรกซ B มต n n× ซง AB BA I= = เมอ I เปน

เมทรกซเอกลกษณมต n n× แลวจะเรยก B วาอนเวอรสการคณของ A และเขยนแทนดวย 1B A−=

1. ถา A ไมมอนเวอรสการคณ แลวจะเรยก A วาเปนเมทรกซเอกฐาน (singular matrix)

ถา A มอนเวอรสการคณ แลวจะเรยก A วาเปนเมทรกซไมเอกฐาน (nonsingular matrix)

2. 1 1( )A A− − =

3. 1 1 1( )AB B A− − −=

4. 1 11( )kA A

k− −= เมอ k เปนสเกลารและ 0k ≠

5. 1 1( ) ( )t tA A− −=

6. สมบตทสาคญบางประการของดเทอรมแนนต

1. det( ) det( )det( )AB A B=

2. det( ) det( )tA A=

3. A เปนเมทรกซไมเอกฐาน กตอเมอ det( ) 0A ≠ และจะได 1 1

det( )det( )

AA

− =

4. ถา A มมต n n× และ k เปนสเกลารแลว det( ) det( )nkA k A=

5. det( ) 1I =

6. ( )det( ) det( )nnA A= เมอ

nA คอผลคณของเมทรกซ A ทงหมด n ตว

11 12 13 11 1211 22 33 12 23 31 13 21 32

21 22 23 21 2213 22 31 11 23 32 12 21 33

31 32 33 31 32

det( )

a a a a a a a a a a a a a aA a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a

+ += = − − −

+ + +

− − −

11 12

11 22 12 2121 22

det( )a a

A a a a aa a= = −

+

−

14 เมทรกซและดเทอรมแนนต คณตศาสตร

7. ไมเนอร โคแฟกเตอร และเมทรกซผกพน

กาหนด A เปนเมทรกซจตรสใดๆ

7.1 ไมเนอร (Minor)

ไมเนอรของสมาชก ija ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย ( )ijM A ซงเทากบดเทอรมแนนต

ของเมทรกซยอยทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของเมทรกซ A ทงไป เชน

7.2 โคแฟกเตอร (Cofactor)

โคแฟกเตอรของสมาชก ija ของเมทรกซ A เขยนแทนดวย ( )ijC A นยามโดย

( ) ( 1) ( )i jij ijC A M A+= −

ขอสงเกต ( 1)i j+− เทากบ 1 เมอ ij เปนเลขค และเทากบ 1− เมอ i j+ เปนเลขค

7.3 เมทรกซผกพน (Adjoint Matrix)

เมทรกซผกพนของเมทรกซ A เขยนแทน adj( )A เปนเมทรกซทไดจากการแทนทสมาชก

ทกตวดวยโคแฟกเตอรของสมาชกนนแลวทรานสโพส กลาวคอ adj( ) ( )t

ijA C A⎡ ⎤= ⎣ ⎦

7.4 สมบตทสาคญบางประการของโคแฟกเตอรและเมทรกซผกพน

สาหรบเมทรกซจตรส A ใดๆ ทมมต n n×

1. det( )A หาไดจากการกระจายโคแฟกเตอรตามแถวใดแถวหนง หรอหลกใดหลกหนง

1 1 2 2det( ) i i i i in inA a C a C a C= + + + (กระจายโคแฟกเตอรตามแถวท i)

1 1 2 2det( ) j j j j nj njA a C a C a C= + + + (กระจายโคแฟกเตอรตามหลกท j)

2. ( )adj( ) adj( ) det( )A A A A A I= =

3. ถา det( ) 0A ≠ นนคอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน แลว

1 adj( )

det( )A

AA

− =

ถา a b

Ac d

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

และ det( ) 0A ad bc= − ≠ แลว 1 1 d bA

c aad bc−

⎡ ⎤−⎢ ⎥= ⎢ ⎥−− ⎣ ⎦

4. ( ) ( ) 1det adj( ) det( )

nA A

−=

11 12 1312 13

21 22 23 21 12 33 13 3232 33

31 32 33

( )

a a a a aA a a a M A a a a aa a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


8. ระบบสมการเชงเสน

ระบบสมการเชงเสน m สมการ n ตวแปร

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

⎧ + + + =⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪ + + + =⎪⎪⎩

เขยนในรปเมทรกซไดดงน

111 12 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn n n

ba a a x

a a a x bAX B

a a a x b

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⇒ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

ถา m n= เมทรกซสมประสทธ A เปนเมทรกซจตรส และถา A เปนเมทรกซไมเอกฐานแลว

1. หาคาตอบของระบบสมการเชงเสนไดจาก 1X A B−=

2. กฎของคราเมอร (Cramer’s Rule)

1 21 2

det( ) det( ) det( ), , ,

det( ) det( ) det( )n

n

A A Ax x x

A A A= = =…

เมอ iA เปนเมทรกซทไดจากการนา B แทนลงในหลกท i ในเมทรกซ A

3. การดาเนนการตามแถว

1. สลบสองแถวใดๆ ( ijR )

2. คณแถวใดแถวหนงดวยคาคงตวทไมใช ( ikR )

3. บวกแถวใดแถวหนงดวยพหคณของอกแถวหนง ( i jR kR+ )

ใหทาการดาเนนการตามแถวจนไดเมทรกซลดรปขนบนได

9. การหาอนเวอรสการคณของเมทรกซโดยการดาเนนการตามแถว

ใหใชการดาเนนการตามแถวกระทากบ A I⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ จนได

1I A−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

A I⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

1I A−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

ดาเนนการตามแถว

16 ความสมพนธและฟงกชน คณตศาสตร

ความสมพนธและฟงกชน

1. ผลคณคารทเชยน

กาหนดให A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของ A และ B คอ

{( , ) |A B a b a A× = ∈ และ }b B∈

ขอสงเกต โดยทวไปแลว A B B A× ≠ × แต ( ) ( ) ( ) ( )n A B n B A n A n B× = × =

2. ความสมพนธ

ความสมพนธจาก A ไป B คอ สบเซตของ A B×


1. ถา A และ B เปนเซตจากดแลวจานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B คอ ( ) ( )

2n A n B

2. φ เปนความสมพนธเสมอ

3. โดเมนและเรนจ

1. โดเมน (Domain)

โดเมนของความสมพนธ r คอ { |rD x A= ∈ ม y B∈ ททาให ( , ) }x y r∈

2. เรนจ (Range)

เรนจของความสมพนธ r คอ { |rR y B= ∈ ม x A∈ ททาให ( , ) }x y r∈


1. เราอาจมองอยางงายๆ ไดวา rD กคอเซตของสมาชกตาแหนงแรกของ r และ rR กคอเซตของ

สมาชกตาแหนงหลงของ r

2. ในการหา rD นน เราจะเขยนสมการในรป ( )y f x= แลวพจารณาคา x ทเปนไปไดทงหมด

3. ในการหา rR นน เราจะเขยนสมการในรป ( )x g y= แลวพจารณาคา y ทเปนไปไดทงหมด

4. อนเวอรสของความสมพนธ

ให r เปนความสมพนธ จะไดอนเวอรสของ r คอ

1 {( , ) | ( , ) } {( , ) | ( , ) }r y x x y r x y y x r− = ∈ = ∈ ขอสงเกต 1 rr

D R− = และ 1 rrR D− =

คณตศาสตร ความสมพนธและฟงกชน 17

5. ฟงกชน

1. ความหมายของฟงกชน

เรยกความสมพนธ r วาเปนฟงกชน กตอเมอ ทกคลาดบในความสมพนธนนไมมสมาชกตาแหนง

แรกซากน และเรยก f วาเปนฟงกชนจาก A ไป B ( :f A B→ ) กตอเมอเมอ fD A= และ fR B⊂

2. ฟงกชนทวถง

เรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนจาก A ไปทวถง B และเขยนแทนดวย onto

:f A B→ กตอเมอ

:f A B→ และ fR B=

3. ฟงกชนหนงตอหนง

เรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนหนงตอหนง(1-1) และเขยนแทนดวย 1 1

:f A B−→ กตอเมอ

สาหรบทก 1 2, fx x D∈ ถา 1 2( ) ( )f x f x= แลว 1 2x x=

ขอสงเกต ถา f เปนฟงกชน 1-1 แลวอนเวอรสของ f เปนฟงกชนดวย

6. ฟงกชนคอมโพสท

ให f และ g เปนฟงกชนซง f gR D φ∩ ≠ ฟงกชนคอมโพสทของ f และ g นยามโดย

( )( )( ) ( )g f x g f x= สาหรบทก x ซง ( ) gf x D∈

7. พชคณตของฟงกชน

ให f และ g เปนฟงกชนซง f gD D φ∩ ≠ นยาม

1. ( )( ) ( ) ( ) f gf g x f x g x x D D+ = + ∀ ∈ ∩

2. ( )( ) ( ) ( ) f gf g x f x g x x D D− = − ∀ ∈ ∩

3. ( )( ) ( ) ( ) f gfg x f x g x x D D= ∀ ∈ ∩

4. ( )

( )( ) { | ( ) 0}( ) f g

f xfx x D D x g x

g g x= ∀ ∈ ∩ − =

8. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

1. ถา ( ) ( )f a f b< กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนเพม

2. ถา ( ) ( )f a f b> กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนลด

3. ถา ( ) ( )f a f b≤ กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนไมลด

4. ถา ( ) ( )f a f b≥ กตอเมอ a b< ทก a และ b ใน fD แลวจะเรยก f วาฟงกชนไมเพม

18 เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย คณตศาสตร

เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย

1. เรขาคณตวเคราะหเบองตน

1. ระยะทางระหวางจด

กาหนดจด 1 1 1( , )P x y และจด 2 2 2( , )P x y จะได 2 21 2 2 1 2 1( ) ( )PP x x y y= − + −

2. การแบงสวนของเสนตรง

พกดของจด P ซงทาให 1 2 1 2: :PP P P r r= คอ 2 1 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2

( , )r x r x r y r y

r r r r+ ++ +

ในกรณทจด P แบงครง 1 2PP จะไดพกดของจด P คอ 1 2 1 2( , )2 2

x x y y+ +

3. จดมธยฐานของสามเหลยม

กาหนดสามเหลยม ABC ดงรป พกดของจดมธยฐานคอ 1 2 3 1 2 3( , )3 3

x x x y y y+ + + +

1 1( , )A x y

2 2( , )B x y3 3( , )C x y

1r

2r( , )P x y

2 2 2( , )P x y

1 1 1( , )P x y

1 1 1( , )P x y

2 2 2( , )P x y

คณตศาสตร เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย 19

2. เสนตรง

1. ความชนของเสนตรง

นยามความชนของเสนตรงทผานจด 1 1 1( , )P x y และ 2 2 2( , )P x y

2 1

2 1

y ym

x x−

=−

เมอ 1 2x x≠

1.1 ถาเสนตรง L ทามม θ กบแกน x แลว tanm θ=

1.2 กาหนดใหเสนตรง 1L และ 2L มความชนเปน 1m และ 2m ตามลาดบ

จะได 1 2//L L กตอเมอ 1 2m m=

และ 1 2L L⊥ กตอเมอ 1 2 1m m = −

2. สมการเสนตรง

2.1 เสนตรงทผานจด 1 1( , )x y และมความชน m มสมการเปน 1 1( )y y m x x− = −

2.2 เสนตรงทตดแกน y ทจด (0, )c และมความชน m มสมการเปน y mx c= +

2.3 สมการทวไปของเสนตรงคอ 0Ax By C+ + = ซงมความชนเปน A

mB

= −

3. ระยะทางระหวางจดกบเสนตรง และเสนตรงกบเสนตรง

3.1 ระยะทางระหวางจด 1 1( , )x y กบเสนตรง 0Ax By C+ + = คอ

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+

3.2 ระยะทางระหวางเสนขนาน 1 0Ax By C+ + = กบ 2 0Ax By C+ + = คอ

1 2

2 2

C Cd

A B

−=

+

1 0Ax By C+ + =

2 0Ax By C+ + =d

0Ax By C+ + =

1 1( , )x y

d


3. วงกลม (Circle)

วงกลม คอเซตของจดทกจดบนระนาบซงหางจากจดคงทจดหนง(จดศนยกลาง)เปนระยะทางคงท(รศม)

เสมอ

สมการวงกลมทมจดศนยกลางทจด ( , )h k และรศมยาว r หนวย คอ

2 2 2( ) ( )x h y k r− + − =

4. พาราโบลา (Parabola)

พาราโบลา คอ เซตของจดทกจดบนระนาบซงหางจากเสนตรงคงทเสนหนง(ไดเรกทรกซ)และจด

คงท(โฟกส) จดหนงเปนระยะทางเทากนเสมอ

เรยกจดกงกลางระหวางจดโฟกส(จด F) กบไดเรกทรกซวา จดยอด (จด V)

c > 0 c < 0

2( ) 4 ( )x h c y k− = −

2( ) 4 ( )y k c x h− = −

ขอสงเกต ความกวางของพาราโบลาทจดโฟกสเทากบ 4c

( , )h k

r

( , )V h k

x h c= −

( , )F h c k+

( , )V h k

x h c= −

( , )F h c k+

( , )V h k

y k c= −

( , )F h k c+( , )V h k

y k c= −

( , )F h k c+

คณตศาสตร เรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวย 21

5. วงร (Ellipse)

วงร คอ เซตของจดทกจดบนระนาบซงผลบวกของระยะทางจากจดใดๆ ในเซตนไปยงจดคงทสองจด

(จดโฟกส) บนระนาบมคาคงท

ถาใหผลบวกคงทนนเทากบ 2a และใหจดโฟกสหางกน 2c โดยท a c>

และกาหนด b โดย 2 2 2a b c= +

จะไดสมการวงรใน 2 รปแบบตอไปน

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y ka b− −

+ =

เมอ 0a b> >

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y kb a− −

+ =

เมอ 0a b> >

เรยกจดกงกลางระหวางโฟกสทงสองวา จดศนยกลาง ซงกคอจด ( , )h k ในรป

เรยกแกนทยาววา แกนเอก

เรยกแกนทสนวา แกนโท

เรยกจดปลายทงสองของแกนเอกวา จดยอด ซงกคอจด V และ V ′ ความหมายของพารามเตอร , ,a b c มดงน

คา a จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดยอดทงสอง (จดปลายแกนเอก) จงอาจเรยก a วา

ระยะครงแกนเอก

คา b จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดปลายทงสองของแกนโท จงอาจเรยก b วาระยะครง

แกนโท

คา c จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดโฟกสทงสอง โดยจดโฟกสจะอยบนแกนเอกเสมอ

V ′

V

( , )h k

a

b

V ′ V( , )h k a

b


6. ไฮเพอรโบลา (Hyperbola)

ไฮเพอรโบลา คอ เซตของจดทกจดในระนาบซงผลตางของระยะทางจากจดใดๆในเซตนไปยงจดคงท

(จดโฟกส) สองจดบนระนาบมคาคงตว ถาใหผลตางคงทนนเทากบ 2a และใหจดโฟกสหางกน 2c โดยท a c<

และกาหนด b โดย

2 2 2c a b= +

จะไดสมการไฮเพอรโบลาใน 2 รปแบบตอไปน

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y ka b− −

− = 2 2

2 2

( ) ( )1

y k x ha b− −

− =

จด V และ V ′ เรยกวา จดยอด

สวนของเสนตรง VV ′ เรยกวา แกนตามขวาง

สวนของเสนตรง AA′ เรยกวา แกนสงยค

เสนตรง 1L และ 2L เรยกวา เสนกากบไฮเพอรโบลา

ความหมายของพารามเตอร , ,a b c มดงน

คา a จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดยอดทงสอง(จดปลายแกนตามขวาง)

คา b จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดปลายทงสองของแกนสงยค

คา c จะบอกระยะจากจดศนยกลางไปยงจดโฟกสทงสอง โดยจดโฟกสจะอยบนแกนตามขวางเสมอ

ถา a b= แลวจะเรยกไฮเพอรโบลานนวา ไฮเพอรโบลามมฉาก

นอกจากนยงมไฮเพอรมมฉากในรปพเศษซงมสมการเปน xy k= เมอ k เปนคาคงทและ 0k ≠

V ′

V

F

F ′

1L

2L

a

bc

V ′ V FF ′

2L 1L

a

b c

คณตศาสตร ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม 23

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม

1. ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลคอฟงกชนทอยในรป xy a= เมอ 0 1a< < หรอ 1a >


1. กราฟของฟงกชนเอกซโพเนนเชยลผานจด (0,1) เสมอ

2. 1 1

ontoexp :

− +→ นนคอ expD = และ expR +=

3. 0xa > เสมอ (เมอ 0a > )

4. ถา 1a > แลว xa จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x<

5. ถา 0 1a< < แลว xa จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2x xa a< กตอเมอ 1 2x x>

2. ฟงกชนลอการทม

ฟงกชนลอการทมเปนฟงกชนอนเวอรสของฟงกชนเอกซโพเนนเชยล

กาหนดฐาน a สอดคลองกบ 0 1a< < หรอ 1a >

xy a= กตอเมอ loga y x=

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

-2 -1 1 2x

1

2

3

4

y

1

xy a

a

=

> 0 1

xy a

a

=

< <

1 2 3 4x

-2

-1

1

2

y

1 2 3 4x

-2

-1

1

2

y

log

1a y x

a

=

>

log

0 1a y x

a

=

< <

24 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยลและฟงกชนลอการทม คณตศาสตร


1. กราฟของฟงกชนลอการทมผานจด (1, 0) เสมอ

2. 1 1

ontolog :

−+ → นนคอ expD += และ expR =

3. ถา 1a > แลว loga x จะเปนฟงกชนเพม นนคอ 1 2log loga ax x< กตอเมอ 1 2x x<

4. ถา 0 1a< < แลว loga x จะเปนฟงกชนลด นนคอ 1 2log loga ax x< กตอเมอ 1 2x x>

3. สมบตทสาคญบางประการของฟงกชนลอการทม

1. log 1 0a = และ log 1a a =

2. log xa a x=

3. log ( ) log loga a axy x y= +

4. log log loga a a

xx y

y= −

5. log logya ax y x=

6. log logpy

aa

yx x

p=

7. log

loglog

ay

a

xx

y=

8. 1

loglogy

x

xy

=

9. loga xa x=

4. ลอการทมฐานธรรมชาต

e เปนคาคงตวและเปนอตรรกยะ โดย 2.7182818e = …

ลอการทมฐาน e นยมเขยนแทนดวย ln x นนคอ ln logex x=

5. การหา 2a b±

เนองจาก ( )2 ( ) 2x y x y xy+ = + +

การหา 2a b± จงทาไดโดยหา x และ y ซง x y a+ = และ xy b= และจะได

2a b x y+ = + และ 2a b x y− = − เมอ x y>

ตวอยาง 5 2 6 3 2+ = + และ 5 2 6 3 2− = −

คณตศาสตร ตรโกณมต 25

ตรโกณมต

1. วงกลมหนงหนวยและการวดมม

วงกลมหนงหนวย คอ วงกลม 2 2 1x y+ =

กาหนดใหมมทจดศนยกลางทรองรบสวนโคงทยาว θ หนวย

มคาเทากบ θ เรเดยน โดยใหมมบวกเปนมมทวดในทศทวนเขมนาฬกา

เทยบกบแกน x ดานบวกและใหมมลบเปนมมทวดในทศทวนเขมนาฬกา

เทยบกบแกน x ดานลบ

1. มม θ และมม 2nθ π+ เมอ n เปนจานวนเตมใดๆ จะมจดปลายเดยวกน

2. สวนโคงทยาว a ในวงกลมรศม r จะรองรบมมทจดศนยกลางเทากบ ar

θ =

3. π เรเดยน = 180°

2. ฟงกชนตรโกณมต

ถาจดปลายของมม θ มพกดเปน ( , )x y บนวงกลมหนงหนวยแลวจะนยาม

cos xθ = sin yθ = 1 1

seccos x

θθ

= = เมอ 0x ≠ sin

tancos

yx

θθ

θ= = เมอ 0x ≠

1 1cosec

sin yθ

θ= = เมอ 0y ≠

coscot

sinxy

θθ

θ= = เมอ 0y ≠

3. เอกลกษณพนฐาน 2 2sin cos 1θ θ+ = 2 21 tan secθ θ+ = 2 21 cot cosecθ θ+ =

sin( ) sinθ θ− = − cos( ) cosθ θ− = tan( ) tanθ θ− = −

sin( ) cos2π

θ θ− = cos( ) sin2π

θ θ− = tan( ) cot2π

θ θ− =

sin( ) sinπ θ θ− = cos( ) cosπ θ θ− = − tan( ) tanπ θ θ− = − 1sin( ) ( 1) sinnnπ θ θ+− = − cos( ) ( 1) cosnnπ θ θ− = −

2 1sin( ) ( 1) cos

2nn

π θ θ+

− = − 2 1

cos( ) ( 1) sin2

nnπ θ θ

+− = −

4. สตรมมประกอบ

sin( ) sin cos cos sinA B A B A B+ = + sin( ) sin cos cos sinA B A B A B− = −

cos( ) cos cos sin sinA B A B A B+ = − cos( ) cos cos sin sinA B A B A B− = + tan tan

tan( )1 tan tan

A BA B

A B+

+ =−

tan tan

tan( )1 tan tan

A BA B

A B−

− =+

x

y

(1, 0)

(0,1)

( 1, 0)−

(0, 1)−

θθ

26 ตรโกณมต คณตศาสตร

5. สตรมมสองเทา 2

2 2 2 22

1 tancos2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin

1 tanA

A A A A AA

−= − = − = − =

+

2

2 tansin 2 2 sin cos

1 tanA

A A AA

= =+

2

2 tantan2

1 tanA

AA

=−

6. สตรมมสามเทา 3sin 3 3 sin 4 sinA A A= − 3cos 3 4 cos 3 cosA A A= − 3

2

3 tan tantan 3

1 3 tanA A

AA

−=

−

7. สตรมมครงเทา

2 1 cossin

2 2A A−

= 2 1 coscos

2 2A A+

=

sin 1 costan

2 1 cos sinA A A

A A−

= =+

8. สตรแปลงระหวางผลคณกบผลบวกหรอผลตาง

2 sin cos sin( ) sin( )A B A B A B= + + − sin sin 2 sin cos2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜+ = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 cos sin sin( ) sin( )A B A B A B= + − − sin sin 2 cos sin2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 cos cos cos( ) cos( )A B A B A B= + + − cos cos 2 cos cos2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜+ = ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 sin sin cos( ) cos( )A B A B A B= − − + cos cos 2 sin sin2 2

A B A BA B

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜− = − ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

9. สตรเกยวกบรปสามเหลยม

1. กฎของไซน (Law of Sine)

2sin sin sin

a b cR

A B C= = =

เมอ R เปนรศมของวงกลมทลอมรอบรปสามเหลยม

2. กฎของโคไซน (Law of Cosine)

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 cos

2 cos

a b c bc A

b a c ac B

c a b ab C

= + −

= + −

= + −

เมอกาหนดความยาวดาน , ,a b c สามารถใชกฎของโคไซนหา cos , cos , cosA B C ได

A

B Ca

bc

คณตศาสตร ตรโกณมต 27

3. พนทรปสามเหลยม

พนทรปสามเหลยม 1 1 1

sin sin sin2 2 2ab C ac B bc A= = =

พนทรปสามเหลยม ( )( )( )s s a s b s c= − − − เมอ 2

a b cs

+ +=

10. รปทวไปของมมจากการแกสมการตรโกณมต

1. ถา sin sinθ α= แลว ( 1)nn αθ π= + − หรอเขยนวา 2 , (2 1)n nθ π α π α= + + −

2. ถา cos cosθ α= แลว 2nθ π α= ±

3. ถา tan tanθ α= แลว nθ π α= +

11. อนเวอรสของฟงกชนตรโกณมต

1. ถา arcsiny x= กตอเมอ siny x= และ [ , ]2 2

xπ π

∈ −

2. ถา arccosy x= กตอเมอ cosy x= และ [0, ]x π∈

3. ถา arctany x= กตอเมอ tany x= และ ( , )2 2

xπ π

∈ −

ฟงกชน โดเมน เรนจ

arcsin [ 1,1]− [ , ]2 2π π

−

arccos [ 1,1]− [0, ]π

arctan ( , )2 2π π

−


1. sin(arcsin )x x= เสมอ แต arcsin(sin )x อาจไมเทากบ x ตองพจารณาชวงของ x ดวย

2. 2sin(arccos ) 1x x= − และ 2cos(arcsin ) 1x x= −

3. arcsin( ) arcsin , arccos( ) arccosx x x xπ− = − − = − และ arctan( ) arctanx x− = −

4. arctan arctan arctan1x y

x yxy

⎛ ⎞+ ⎟⎜+ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ เมอ arctan arctan

2 2x y

π π− < + <

28 เวกเตอร คณตศาสตร

เวกเตอร

1. ความรพนฐานเกยวกบเวกเตอร

สเกลารเปนปรมาณทมขนาดเพยงอยางเดยว

เวกเตอรเปนปรมาณทมทงขนาดและทศทาง ซงสามารถเขยนแทนไดดวยสวนของเสนตรงทมลกศรท

ปลายหนงเพอระบทศทางของเวกเตอรและความยาวของสวนของเสนตรงนนระบขนาดของเวกเตอร

ขนาดของเวกเตอร u เขยนแทนดวย u

จะกลาววา u v= กตอเมอ u และ v มทศทางเดยวกนและมขนาดเทากน

เวกเตอรศนย เปนเวกเตอรทมขนาดเปน 0 เขยนแทนดวย 0

2. การบวกและการลบเวกเตอร

1. การบวกเวกเตอร

ทาไดโดยการเขยนเวกเตอรตอกนในลกษณะหางตอหว

2. การลบเวกเตอร

ทาไดโดยการกลบทศของเวกเตอรตวลบกอนจงบวกเขากบเวกเตอรตวตง


1. v− เปนนเสธของ v กลาวคอมขนาดเทากบ v แตมทศตรงขาม

2. u v+ และ u v− เปนเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานทม u และ v เปนดาน

3. เนองจากเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานจะตงฉากกนกตอเมอดานแตละดานยาวเทากน

จงไดวา u v u v+ ⊥ − กตอเมอ u v=

3. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ให k เปนสเกลาร และ u เปนเวกเตอร นยาม ku เปนเวกเตอรทมขนาดเปน k เทาของ u และ

1. มทศเดยวกบ u ถา 0k >

2. มทศตรงขามกบ u ถา 0k <


1. ( 1)u u− = −

2. ถา , 0u v ≠ และมสเกลาร k ซง u kv= แลว u ขนานกบ v

uv

u

v

u v+

u

v w

u v w+ +

u

vu v+

u v−

คณตศาสตร เวกเตอร 29

4. สมบตทสาคญบางประการเกยวกบเวกเตอร

สาหรบเวกเตอร , ,u v w ใดๆ และสเกลาร ,a b ใดๆ

1. u v v u+ = +

2. ( ) ( )u v w u v w+ + = + +

3. 0 0u u u+ = + =

4. ( ) ( ) 0u u u u+ − = − + =

5. ( ) ( )a bu ab u=

6. ( )a b u au bu+ = +

7. ( )a u v au av+ = +

8. ถา , 0u v ≠ และ u ไมขนานกบ v และ 0au bv+ = แลว 0a = และ 0b =

5. เวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต

ให i เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน x

และ j เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน y

เวกเตอร u ทเรมจากจดกาเนดไปสนสดทจด ( , )a b คอ

au ai bj

b

⎡ ⎤⎢ ⎥= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦

และขนาดของเวกเตอร u คอ 2 2u ai bj a b= + = +

เวกเตอร u ทเรมจากจด 1 1( , )A x y ไปสนสดทจด 2 2( , )B x y คอ

1 2 2 1

1 2 2 1

x x x xu AB AO OB y y y y

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + = − + = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

x

y

( , )a b

a

b

0

u

ai

bj

u ai bj= +

x

y

1 1( , )A x y

O

u2 2( , )B x y

30 เวกเตอร คณตศาสตร

6. เวกเตอรหนงหนวย

1. เวกเตอรหนงหนวยในทศทกาหนดให

กาหนด u ai bj= + โดยท 0u ≠ ขนาดของ u คอ 2 2u a b= +

เวกเตอรหนงหนวยในทศของ u คอ 2 2

u ai bju a b

+=

+

เวกเตอรหนงหนวยในทศตรงขามกบ u คอ 2 2

u ai bju a b

+− = −

+

2. เวกเตอรหนงหนวยในทศทตงฉากกบเวกเตอรทกาหนดให

กาหนด u ai bj= + โดยท 0u ≠ ขนาดของ u คอ 2 2u a b= +

เวกเตอรหนงหนวยในทศทตงฉากกบ u คอ 2 2

bi aj

a b

−±

+

7. ผลคณเชงสเกลาร (Dot Product)

กาหนด u ai bj= + และ v ci dj= +

นยามผลคณเชงสเกลารระหวาง u กบ v เปน u v ab cd⋅ = +

ขอสงเกต สาหรบเวกเตอร , ,u v w ใดๆ

1. u v v u⋅ = ⋅

2. ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

3. ( ) ( ) ( )a u v au v u av⋅ = ⋅ = ⋅

4. cosu v u v θ⋅ = เมอ θ เปนมมระหวาง u กบ v

ถา , 0u v ≠ เราสามารถหามมระหวางเวกเตอรไดจาก

cosu vu v

θ⋅

=

5. ถา , 0u v ≠ แลว u v⊥ กตอเมอ 0u v⋅ =

6. 2u u u⋅ =

7. ( ) ( ) ( )2 22 2u v u v u v u u v v+ = + ⋅ + = + ⋅ +

( ) ( ) ( )2 22 2u v u v u v u u v v− = − ⋅ − = − ⋅ +

θu

v

คณตศาสตร เวกเตอร 31

8. เงาฉาย (Projection)

ให , 0u v ≠ projection ของ u บน v คอเงาฉายของเวกเตอร u บนเวกเตอร v ดงรป

ให vu เปนเวกเตอรเงาฉายของ u บน v จะเหนวา cosv

u v u vu u u

u v vθ

⎛ ⎞⋅ ⋅⎟⎜ ⎟= = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ดงนน 2v

u v v u vu v

v v v

⎛ ⎞⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟= = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ในทานองเดยวกน เงาฉายของ v บน u คอ 2u

u vv u

u

⎛ ⎞⋅ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

9. เวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

ในทานองเดยวกบเวกเตอรในระบบพกดฉากสองมต จะกาหนดให i เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศ

บวกของแกน x, j เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศบวกของแกน y และ k เปนเวกเตอรหนงหนวยในทศ

บวกของแกน z จะเหนวาเวกเตอร u ทเรมจากจดกาเนดไปสนสดทจด ( , , )a b c จะเขยนไดในรป

u ai bj ck= + +

10. ผลคณเชงสเกลารและผลคณเชงเวกเตอรในระบบพกดฉากสามมต

กาหนด 1 1 1 1u a i b j c k= + + และ 2 2 2 2u a i b j c k= + + จะนยาม

1. ผลคณเชงสเกลาร (Scalar Product หรอ Dot Product)

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 cosu u a a b b c c u u θ⋅ = + + =

เมอ θ เปนมมระหวาง 1u กบ 2u

2. ผลคณเชงเวกเตอร (Vector Product หรอ Cross Product)

( ) ( ) ( )1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2

i j k

u u a b c b c b c i c a c a j a b a b k

a b c

× = = − + − + −

หาทศของ 1 2u u× ไดจากกฎมอขวาและ 1 2 1 2 sinu u u u θ× = เมอ θ เปนมมระหวางเวกเตอร

1u กบ 2u นอกจากน 1 2u u× ยงเปนพนทรปสเหลยมดานขนานทม 1u กบ 2u เปนดานประชด

11. ปรมาตรของรปทรงสเหลยมดานขนาน

รปทรงสเหลยมดานขนาน(parallelepiped) ทมเวกเตอร , ,u v w เปนดานประชดคอ

( )V u v w= ⋅ ×

u

vθ

vu

32 จานวนเชงซอน คณตศาสตร

จานวนเชงซอน 1. ความรพนฐานเกยวกบจานวนเชงซอน

1. จานวนเชงซอน

จานวนเชงซอนคอจานวนทเขยนในรป a bi+

โดยท a และ b เปนจานวนจรง และ 2 1i = −

เรยก a วาสวนจรง(real part) และเรยก b วาสวนจนตภาพ(imaginary part)

ถาให z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะกาหนด Re( )z a= และ Im( )z b=

2. ขนาดของจานวนเชงซอน

ถา z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะเขยน z แทนขนาดของ z โดย 2 2z a b= +

3. สงยค(conjugate)ของจานวนเชงซอน

ถา z a bi= + เปนจานวนเชงซอน จะเขยน z แทนสงยคของ z โดย z a bi= −

2. การดาเนนการและความสมพนธของจานวนเชงซอน

กาหนด 1 1 1z a b i= + และ 2 2 2z a b i= + เปนจานวนเชงซอน

1. การเทากนของจานวนเชงซอน

1 2z z= กตอเมอ 1 1a b= และ 2 2a b=

2. การบวกและการลบจานวนเชงซอน

( ) ( )

( ) ( )1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

z z a a b b i

z z a a b b i

+ = + + +

− = − + −

3. การคณจานวนเชงซอน

( )( ) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z a b i a b i a a a b i a b i b b i= + + = + + +

แต 2 1i = − จงได ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1z z a a b b a b a b i= − + +


1. 2 3 4 5 61, , 1, , ,i i i i i i i i= − = − = = = − …

2. 4 4 1 4 2 2 4 3 31, , 1,n n n ni i i i i i i i+ + += = = = − = = − เมอ n เปนจานวนเตม

3. ถา z a bi= + แลว ( )( ) 2 2 2 2 2 2zz a bi a bi a b i a b z= + − = − = + =

คณตศาสตร จานวนเชงซอน 33

4. การหารจานวนเชงซอน

ถา 2 0z ≠ แลว 1 1 2 1 22

2 2 2 2

z z z z zz z z z

= ⋅ =

นนคอ ( ) ( )1 2 1 2 2 1 1 21 1 1 1 1 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

a a b b a b a b iz a b i a b i a b iz a b i a b i a b i a b

+ + −+ + −= = ⋅ =

+ + − +

ขอสงเกต 2

1 ii

i i= = −

3. สมบตทสาคญบางประการ

สาหรบจานวนเชงซอน 1 2, ,z z z ใดๆ

1. ( )z z=

2. 1 2 1 2z z z z+ = + และ 1 2 1 2z z z z− = −

3. 1 2 1 2z z z z= และ 1 1

2 2

z zz z

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ เมอ 2 0z ≠

4. 2zz z=

5. Re( )2

z zz

+= และ Im( )

2z z

zi−

=

6. z z− =

7. 1 2 1 2z z z z= และ 11

2 2

zzz z

= เมอ 2 0z ≠

8. n nz z= เมอ n เปนจานวนเตม และ 0z ≠ เมอ n เปนจานวนเตมลบ

9. 1 2 1 2z z z z+ ≤ +

10. ( )( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 22Rez z z z z z z z z z z z z z z z z z+ = + + = + + + = + +

( )( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 22Rez z z z z z z z z z z z z z z z z z− = − − = − − + = − +

ตวอยาง กาหนด 1 4 3z i= − และ 2 1z i= + จงหา

6 171

52625

z iz

วธทา จะเหนวา 2 2

1 4 3 4 ( 3) 5z i= − = + − = และ 2 2

2 1 1 1 2z i= + = + =

นอกจากน 1i = ดงนน

( )

6 66 17 17 176 17 6 171 1 11

5 5 55 52 2 2 2

5 1 25625 625 4 2625 625 625 2

z i z i z iz iz z z z

⋅= = = = =

34 จานวนเชงซอน คณตศาสตร

4. จานวนเชงซอนในระบบพกดเชงขว

จานวนเชงซอน z a bi= + แทนไดดวยจด ( , )a b ในระบบพกดฉาก

เรยกแกน x วาแกนจรง และเรยกแกน y วาแกนจนตภาพ

เรยก r วามอดลส(modulus) และเรยก θ วาอารกวเมนท(argument) ของ z

จะเหนวา ( )cos sin cos sinz a bi r r i r iθ θ θ θ= + = + = +

เรยกจานวนเชงซอนทเขยนอยในรป ( )cos sinz r iθ θ= + เมอ 0r ≥ วารปเชงขว


1. cos sin 1iθ θ+ = และ ( )cos sinr i rθ θ+ =

2. ( ) ( )cos sin cos sini iθ θ θ θ− = − + −

ตวอยาง

1. 1 2 cos sin4 4

i iπ π⎛ ⎞⎟⎜+ = + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2. 1 3 2 cos sin3 3

i iπ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜− = − + − ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. 2 2 cos sin2 2

i iπ π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

4. ( )1 1 cos( ) sin( )iπ π− = − + −


1. รปเชงขวของ z มไดมากมาย เชน 2 cos 2 sin 22 2

i k i kπ π

π π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + + + ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

เมอ Ik ∈

2. การเขยนจานวนเชงซอนในรปเชงชวทาใหการคณ หาร และยกกาลงทาไดงายขนมาก

x

y

0

( , )z a b=

r

a

b

θ

2 2

tan

r a b

ba

θ

⎧⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪ =⎪⎪⎪⎩

cos

sin

a r

b r

θ

θ

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

x

y

1 i+

1 3i−

2i

1−

คณตศาสตร จานวนเชงซอน 35

5. การคณ การหาร และการยกกาลงของจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให ( )1 1 1 1cos sinz r iθ θ= + และ ( )2 2 2 2cos sinz r iθ θ= +

( )

( )

1 2 1 2 1 2 1 2

1 11 2 1 2

2 2

cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

z z r r i

z ri

z r

θ θ θ θ

θ θ θ θ

= + + +

= − + −

ให ( )cos sinz r iθ θ= + และ n เปนจานวนเตม

( )cos( ) sin( )n nz r n i nθ θ= +

6. การหารากท n ของจานวนเชงซอนในรปเชงขว

ให ( )cos sinz r iθ θ= + และ n เปนจานวนเตม

1 1 2 2cos sinn n k k

z r in n

θ π θ π⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜= + ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ เมอ 0,1,2, , 1k n= −…

ขอสงเกต รากทง n ตวมขนาดเทากนหมด และมอารกวเมนตหาง 2nπ

เทาๆ กน

ตวอยาง จงหารากท 4 ของ 16i

วธทา เนองจาก 16 16 cos sin2 2

i iπ π⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ดงนนรากทเหนไดงายทสดคอ 2 cos sin8 8

iπ π⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

สวนรากทเหลออก 3 ตว หาไดโดยการเพมอารกวเมนตของรากตวแรกไปครงละ 24π

ซงจะไดรากทเหลอเปน 5 5 9 9 13 13

2 cos sin , 2 cos sin , 2 cos sin8 8 8 8 8 8

i i iπ π π π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ + + +⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7. รากของสมการพหนาม

พจารณาสมการพหนาม 1

1 1 0 0n nn na z a z a z a−

−+ + + + = เมอ 0na ≠

1. สมการนมราก n ราก (นบรากทซากนดวย)

2. ในกรณท 0 1, , , na a a… เปนจานวนจรง และถา 1z เปนรากแลว 1z จะเปนรากดวย

3. ถา 1 2, , , nz z z… เปนรากทง n ตว (อาจซากนได) แลว

11 2

nn

n

az z z

a−+ + + = − และ ( ) 0

1 2 1 nn

n

az z z

a= −

ในกรณของสมการกาลงสอง 2 0az bz c+ + = เมอ 0a ≠

และ 1 2,z z เปนรากทงสองแลวจะได 1 2

bz z

a+ = − และ 1 2

cz z

a=

36 กาหนดการเชงเสน คณตศาสตร

กาหนดการเชงเสน

1. ปญหากาหนดการเชงเสน (Linear Programming Problem)

ปญหากาหนดการเชงเสนเปนการหาคาสงสดหรอตาสดของฟงกชนจดประสงคทเปนฟงกชนเชงเสน

ภายใตขอจากดทกาหนดให

ขอจากดมกจะอยในรปของระบบอสมการเชงเสน

2. ขนตอนการแกปญหากาหนดการเชงเสน

1. หาฟงกชนจดประสงคและขอจากดทงหมดของปญหา

2. เขยนอาณาบรเวณของผลเฉลยทเปนไปได (feasible region) และหาพกดของจดมมทกจด

3. หาคาฟงกชนจดประสงคทจดมมทกจด แลวเลอกจดทใหคาสงสดหรอคาตาสดตามตองการ

ตวอยาง จงหาคาสงสดและคาตาสดของ 5 4P x y= + ภายใตขอจากด

2 8, 6, 0, 0x y x y x y+ ≤ + ≤ ≥ ≥

วธทา เขยนบรเวณของผลเฉลยทเปนไปได

ไดจดมม 4 จดคอ (0, 0), (0, 6), (2, 4), (4, 0) ซงแทนในฟงกชนจดประสงคไดดงน

(0, 0) 0, (0, 6) 24, (2, 4) 26, (4, 0) 20P P P P= = = =

ดงนน P มคาสงสดเทากบ 26 เมอ 2, 4x y= = และ P มคาตาสดเทากบ 0 เมอ 0, 0x y= =

2 8x y+ =

6x y+ =

x

y

64

6

8

0

(2, 4)

คณตศาสตร การนบและความนาจะเปน 37

การนบและความนาจะเปน

1. กฎการนบเบองตน

1. กฎการคณ

การทางานอยางหนงแบงเปน k ขนตอนยอย ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ

จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 3 kn n n n วธ

2. กฎการบวก

การทางานอยางหนงแบงเปน k กรณยอยทไมซากน ททาได 1 2, , , kn n n… วธ ตามลาดบ

จะมจานวนวธทจะทางานนนทงหมด 1 2 kn n n+ + + วธ

2. แฟกทอเรยล (Factorial)

0! 1= และ ! ( 1)( 2) 2 1n n n n= − − ⋅ เมอ 1n ≥

ขอสงเกต ( )!

( 1)( 2) ( )!

n mn n n n m

n+

+ + + =

3. วธเรยงสบเปลยน

1. วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง

1. ของ n สงทตางกน เรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได !n วธ

2. ของ n สงทตางกน นามาทละ k สงมาเรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได !

( )!n

k

nP

n k=

− วธ

3. การเรยงสบเปลยนของซาเปนเสนตรง

ถาของ n สงแบงได k กลมดงน ทมของเหมอนกน 1 2, , , kn n n… สง ตามลาดบ

แลวจะมวธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรงได 1 2

!! ! !k

nn n n

วธ

ขอสงเกต !

!0 !

nn

nP n= = และ 0

!1

!n nP

n= =

2. วธเรยงสบเปลยนเปนวงกลม

สงของ n สงทตางกน เรยงสบเปลยนเปนวงกลมได ( 1)!n − วธ

ถาจดเปนวงกลมทมองไดสองดาน เชน การรอยมาลย จะทาได ( 1)!

2n −

วธ

38 การนบและความนาจะเปน คณตศาสตร

4. วธจดหม

มของ n สงทตางกน เลอกมาทละ k สงโดยไมสนใจลาดบ จานวนวธททาไดคอ

!!( )!

nk

n nC

k k n k

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ −⎝ ⎠


1. n n

k n k

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟=⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ −⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. 10

n n

n⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

3. ( 1)( 2) ( 1)

!

n n n n n kk k

⎛ ⎞ − − − +⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠ 4. !n

k

nP k

k

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

5. การแบงกลมของทตางกน

มของ n สงทตางกน ตองการแบงเปน k กลมตางกน ทม 1 2, , , kn n n… สง ตามลาดบ

จะแบงกลมได 1 2

!! ! !k

nn n n

วธ

6. ทฤษฎบททวนาม (Binomial Theorem)

1 2 2 1( ) 0 1 2 1n n n n n k k n n

nn n nn na b a a b a b a b ab bnnk

− − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟+ = + + + + + + +⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜− ⎟⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


1. ในการจาย ( )na b+ จะได 1n + พจน

2. พจนท 1k + คอ 1n k k

k

nT a b

k−

+

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

3. สมประสทธของการกระจายทวนามจดเปนสามเหลยมของปาสคาลได

4. เอกลกษณของปาสคาล 1

1 1

n n n

k k k

⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜+ =⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟+⎟ ⎟ +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5. ถาแทน 1a b= = จะได 20 1 1n

n nn n

nn

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎟ ⎟+ + + + =⎜ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜− ⎟⎟ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

6. ถาแทน 1, 1a b= = − จะได ( 1) 00 1 2n

n nn n

n⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎜⎟ ⎟⎟ ⎟− + − + − =⎜ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

คณตศาสตร การนบและความนาจะเปน 39

7. ความนาจะเปน

1. การทดลองสม คอการทดลองซงทราบวาผลลพธอาจจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถบอกผล

การทดลองในแตละครงไดอยางถกตองแนนอน

2. แซมเปลสเปซ (sample space) คอเซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดของการทดลองสม

3. เหตการณ (event) คอ สบเซตของแซมเปลสเปซ

ถา S เปนเซมเปลสเปซซงประกอบดวยสมาชกทมโอกาสเกดขนไดเทาๆ กน แลวความนาจะเปน

ของเหตการณ E คอ ( )

( )( )

n EP E

n S=


1. 0 ( ) 1P E≤ ≤ สาหรบเหตการณ E ใดๆ

2. ( ) 0P φ = และ ( ) 1P S =

3. ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩

ในกรณท A และ B เปนเหตการณทไมเกดรวมกน จะได ( ) ( ) ( )P A B P A P B∪ = +

4. ถา A และ B เปนเหตการณทอสระตอกนแลว ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =

เหตการณจะเปนอสระตอกน เมอการเกดของเหตการณหนงไมมผลกระทบถงอกการเกด

ของอกเหตการณหนง

5. ถา A′ เปนคอมพลเมนตของ A จะได ( ) 1 ( )P A P A′ = −

8. ความนาจะเปนแบบมเงอนไข

ความนาจะเปนของเหตการณ A เมอมเงอนไขวาเหตการณ B เกดขนแลว เรยกวาความนาจะ

เปนแบบมเงอนไข เขยนแทนดวย ( | )P A B และ

( )( | )

( )P A B

P A BP B

∩=


1. ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )P A B P B P A B P A P B A∩ = =

2. ถา A และ B อสระตอกนแลว

( | ) ( )P A B P A= และ ( | ) ( )P B A P B=

ซงจะไดตามมาวา ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ =


ลาดบและอนกรม

1. ความรพนฐานเกยวกบลาดบและอนกรม

1. ลาดบ

ลาดบเปนชดของตวเลขทเขยนเรยงตอกนอยางมลาดบ ซงอาจมจานวนพจนเปนจานวนจากดหรออาจ

มจานวนพจนเปนอนนตกได

ลาดบจากดทม n พจนจะอยในรป 1 2 3, , , , na a a a…

ลาดบอนนตจะอยในรป 1 2 3, , ,a a a …

2. อนกรม

ให na เปนพจนท n ของลาดบหนง

ลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na คอ

1 1

2 1 2

3 1 2 3

1 2n n

S a

S a a

S a a a

S a a a

=

= +

= + +

= + + +

อนกรมอนนตของลาดบอนนต na คอ 1 2 nS a a a= + + + +… เมอผลบวกมคา

ขอสงเกต 1n n na S S −= −

3. ลาดบเลขคณตและอนกรมเลขคณต

ลาดบเลขคณต คอลาดบซง 1n na a+ − เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n

เรยก 1n nd a a+= − ซงเปนคาคงตววา ผลตางรวม

พจนท n ของลาดบเลขคณตคอ ( )1 1na a n d= + −

ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ]1 12 ( 1)2 2n n

n nS a n d a a= + − = +

ตวอยาง ให 3,1, 5, 9,− … เปนลาดบเลขคณต จงหาพจนท n และผลบวก n พจนแรก

วธทา ผลตางรวม ( )1 3 4d = − − = ดงนน ( ) ( )1 1 3 1 (4) 4 7na a n d n n= + − = − + − = −

ผลบวก n พจนแรกคอ [ ] [ ] ( )12 ( 1) 2( 3) ( 1)4 2 52 2n

n nS a n d n n n= + − = − + − = −


4. ลาดบเรขาคณตและอนกรมเรขาคณต

ลาดบเรขาคณต คอลาดบซง 1n

n

a

a+

เปนคาคงตว สาหรบทกจานวนนบ n

เรยก 1n

n

ar

a+= ซงเปนคาคงตววา อตราสวนรวม

พจนท n ของลาดบเรขาคณตคอ 1

1n

na a r −=

ผลบวก n พจนแรกคอ ( )1 1

1

n

n

a rS

r

−=

− เมอ 1r ≠

ในกรณท 1r < จะหาผลบวกอนนตไดเปน 1

aS

r=

−

2. ลมตของลาดบ

1. ความหมายของลมต

ถา na มคาเขาใกลคาคงตว A ในขณะท n มคามากขนเรอยๆ อยางไมมขอบเขต

จะกลาววาลมตของ na เมอ n → ∞ เทากบ A และเขยนแทนดวย lim nna A

→∞=

ตวอยาง

1. 1n

na

n=

+ ซงกคอ

1 2 3 4, , , ,

2 3 4 5… ซงมคาเขาใกล 1 ดงนน lim lim 1

1nn n

na

n→∞ →∞= =

+

2. 1

32

n

na⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

ซงกคอ 3 3 3 3, , , ,

2 4 8 16… ซงมคาเขาใกล 0 ดงนน

1lim lim 3 0

2

n

nn na

→∞ →∞

⎛ ⎞⎟⎜= =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

2. ลาดบคอนเวอรเจนตและลาดบไดเวอรเจนต

ให na เปนลาดบ

ถา lim nna

→∞ มคา จะเรยก na วาเปนลาดบคอนเวอรเจนต (convergent sequence)

มฉะนนจะเรยก na วาเปนลาดบไดเวอรเจนต (divergent sequence)

ตวอยาง

1. 2

11na

n= − มคาเขาใกล 1 เมอ n → ∞ นนคอ lim 1nn

a→∞

= จงเปนลาดบคอนเวอรเจนต

2. ( 1)nna = − ซงกคอ 1,1, 1,1,− − … ซงไมไดเขาใกลคาใด จงไมมลมต และเปนลาดบไดเวอรเจนต

ขอสงเกต ถาลมตมคา แลวลมตจะตองเปนคาคงตวและมคาเดยวเทานน


3. ทฤษฎบทเกยวกบลมต

ถา lim nna A

→∞= และ lim nn

b B→∞

= แลว

1. ( )lim nnca cA

→∞= เมอ c เปนคาคงตว

2. ( )lim n nna b A B

→∞+ = + และ ( )lim n nn

a b A B→∞

− = −

3. ( )lim n nna b AB

→∞= และ lim n

nn

a Ab B→∞

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ เมอ 0B ≠

4. lim nna A

→∞=

5. lim c cnn

a A→∞

= เมอ c เปนคาคงตว

6. limn

c c→∞


7. 0 1

lim1 1

n

n

rr

r→∞

⎧ <⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ และ lim n

nr

→∞ ไมม เมอ 1r = − หรอ 1r >

8. 0 0

lim1 0

p

n

pn

p→∞

<⎧⎪⎪= ⎨⎪ =⎪⎩ และ lim p

nn

→∞ ไมม เมอ 0p >

9. 1

1 1 01

1 1 0

lim0

pp p

p pq

q qnq q

ap qa n a n a n a b

b n b n b n b p q

−−

−→∞−

⎧⎪ =⎪+ + + + ⎪⎪= ⎨⎪+ + + + ⎪ <⎪⎪⎩

และไมมลมตเมอ p q>

4. อนกรมคอนเวอรเจนตและอนกรมไดเวอรเจนต

ให nS เปนลาดบของผลบวกยอย n พจนแรกของลาดบ na

ถา lim nnS

→∞ มคา จะเรยกผลบวก 1 2 3a a a+ + + วา อนกรมคอนเวอรเจนต

มฉะนนจะเรยกวา อนกรมไดเวอรเจนต


1. อนกรมเลขคณตเปนอนกรมไดเวอรเจนตเสมอ ยกเวนเมอ 1 0a d= = ซงคอลาดบ 0, 0,…

2. อนกรมเรขาคณตจะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตเมอ 1r <

และเปนอนกรมไดเวอรเจนตเมอ 1r ≥ ทงนเมอ 1 0a ≠

เมอ

เมอ

เมอ

เมอ

เมอ

เมอ


3. ความสมพนธระหวางการลเขาและลออกของลาดบและอนกรม

กรณทสรปไดแนนอนมสองกรณ คอ

3.1 ถาอนกรมคอนเวอรเจนตแลว ลาดบตองคอนเวอรเจนตเขาส 0 เสมอ

นนคอ ถา lim nnS

→∞ มคา แลว lim 0nn

a→∞

=

3.2 ถาลาดบไดเวอรเจนตแลว อนกรมตองไดเวอรเจนตเสมอ

กรณทสรปผลไมไดมสองกรณ คอ

3.3 ถาอนกรมไดเวอรเจนตแลว ลาดบอาจจะคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนตกได

3.4 ถาลาดบคอนเวอรเจนตแลว อนกรมอาจจะคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนตกได

3. เครองหมายรวมยอด (Summation)

ให na เปนลาดบ กาหนด 1 21

n

i ni

a a a a=

= + + +∑

1. สมบตบางประการของเครองหมายรวมยอด

1. ( )1 1

n n

i ii i

ca c a= =

=∑ ∑ เมอ c เปนคาคงตว

2. ( )1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

+ = +∑ ∑ ∑

3. ( )1 1 1

n n n

i i i ii i i

a b a b= = =

− = −∑ ∑ ∑

2. ผลรวมทควรทราบ

1. 1

n

i

c c c c nc=

= + + + =∑

2. ( )

1

11 2

2

n

i

n ni n

=

+= + + + =∑

3. ( )( )2 2 2 2

1

1 2 11 2

6

n

i

n n ni n

=

+ += + + + =∑

4. 2

3 3 3 3

1

( 1)1 2

2

n

i

n ni n

=

⎡ ⎤+⎢ ⎥= + + + =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑

44 แคลคลส คณตศาสตร

แคลคลส

1. ลมตและทฤษฎบทเกยวกบลมต

1. ลมตสองดาน

เขยน lim ( )x a

f x L→

= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a”

ถา lim ( )x a

f x→

และ lim ( )x a

g x→

มคาแลว

1. lim ( ) lim ( )x a x a

c f x c f x→ →


2. [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

+ = + และ [ ]lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a


− = −

3. [ ] ( )( )lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a


=

4. lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x a

x ax a

f xf xg x g x

→

→→

= เมอ lim ( ) 0x a

g x→

≠

5. ถา ( )f x เปนฟงกชนพหนามแลว lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

6. lim ( ) lim ( )n nx a x a

f x f x→ →

= เมอการหารากมความหมาย

2. ลมตดานเดยว


f x L−→

= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a จากทางซาย”


f x L+→

= แทน “ ( )f x มคาเขาใกล L ขณะ x มคาเขาใกล a จากทางขวา”

ทฤษฎบทสาหรบลมตสองดานยงคงใชไดกบลมตดานเดยว

ถา lim ( ) lim ( )x a x a

f x f x L− +→ →

= = แลว lim ( )x a

f x L→

=

2. ความตอเนอง

ฟงกชน f จะมความตอเนองท x a= กตอเมอ

1. ( )f a มคา และ

2. lim ( )x a

f x→

มคา และ

3. lim ( ) ( )x a

f x f a→

=

คณตศาสตร แคลคลส 45

3. อตราการเปลยนแปลงเฉลย

กาหนด ( )y f x=

ถา x เปลยนไปเปน x h+ แลวการเปลยนแปลงของ x คอ ( )x x h x hΔ = + − =

และการเปลยนแปลงของ y คอ ( ) ( )y f x h f xΔ = + −

อตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ในชวง x ถง x h+ คอ

( ) ( )f x h f xyx h

+ −Δ=

Δ

4. อนพนธ

กาหนด ( )y f x= อนพนธของ y เทยบกบ x เขยนแทนดวย ( )

, , ( ),df xdy

y f xdx dx

′ ′ โดยท

0 0

( ) ( )lim limx h

f x h f xdy ydx x hΔ → →

+ −Δ= =

Δ

เราอาศยสตรตอไปนชวยในการหาอนพนธของฟงกชน

1. 0dcdx


2. 1dxdx

=

3. 1n

ndxnx

dx−= เมอ n เปนจานวนตรรกยะ

ให u และ v เปนฟงกชนของ x

4. ( )d cu du

cdx dx


5. ( )d u v du dvdx dx dx+

= +

6. สตรผลคณ ( )d uv dv du

u vdx dx dx

= +

7. สตรผลหาร 2

du dvv ud u dx dx

dx v v

−⎛ ⎞⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

ถา z เปนฟงกชนของ y และ y เปนฟงกชนของ x แลว

8. กฎลกโซ dz dz dydx dy dx

= ⋅


5. ความชนและเสนสมผสเสนโคง

กาหนดเสนโคง ( )y f x= ความชนเสนสมผสเสนโคงทจดใดกคออนพนธทจดนน

6. อนพนธอนดบสง

กาหนด ( )y f x= เราเรยก ( )dy

f xdx

′= วาอนพนธอนดบหนง

เรยก

2

2 ( )d y d dy

f xdx dx dx

⎛ ⎞⎟⎜′′= = ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ วาเปนอนพนธอนดบสอง

และสามารถหาอนพนธอนดบอนๆ ไดในทานองเดยวกน

7. ฟงกชนเพมและฟงกชนลด

ให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง [ , ]a b

สาหรบทก [ ]1 2, ,x x a b∈

1. ถา 1 2( ) ( )f x f x< ทก 1 2x x< แลวจะกลาววา f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b

2. ถา 1 2( ) ( )f x f x> ทก 1 2x x< แลวจะกลาววา f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b

ถา ( )f x′ หาคาไดททกจดในชวง ( , )a b แลวจะตรวจสอบวา f เปนฟงกชนเพมหรอลดไดดงน

( )y f x=( , ( ))a f a

x

y( ) ( )( )y f a f a x a′− = −

x

y( )y f x=

ฟงกชนเพม

x

y( )y f x=

ฟงกชนลด

คณตศาสตร แคลคลส 47

1. ถา ( ) 0f x′ > ทก ( , )x a b∈ แลว f เปนฟงกชนเพมบนชวง [ , ]a b

2. ถา ( ) 0f x′ < ทก ( , )x a b∈ แลว f เปนฟงกชนลดบนชวง [ , ]a b

8. คาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธ

เมอกาหนด ( )y f x= หาจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธของฟงกชน f ไดดงน

1. หาอนพนธ ( )f x′

2. แกสมการ ( ) 0f x′ = คาตอบทไดเรยกวาจดวกฤต (จดทหา ( )f x′ ไมไดเปนจดวกฤตดวย)

3. จดวกฤตแตละจดอาจเปนจดสงสดสมพทธ หรอจดตาสดสมพทธ หรอไมใชทงสองอยาง

ซงสามารถทดสอบจดวกฤต 0x x= ไดดวยวธใดวธหนงตอไปน

3.1 วธอนพนธอนดบสอง

- ถา 0( ) 0f x′′ > แลว 0x จะใหจดตาสดสมพทธ

- ถา 0( ) 0f x′′ < แลว 0x จะใหจดสงสดสมพทธ

- ถา 0( ) 0f x′′ = แลวยงสรปไมได ตองทดสอบโดยวธอน

3.2 วธอนพนธอนดบหนง

พจารณาการเปลยนเครองหมายของ ( )f x′ ทจด 0x ขณะ x มคาเพมขนจากทางซาย

ของ 0x ไปทางขวาของ 0x

- ถา ( )f x′ มคาเปลยนจากบวกไปเปนลบ แสดงวาเปลยนจากฟงกชนเพมไปเปน

ฟงกชนลด จงใหจดสงสดสมพทธ

- ถา ( )f x′ มคาเปลยนจากลบไปเปนบวก แสดงวาเปลยนจากฟงกชนลดไปเปนฟงกชน

เพม จงใหจดตาสดสมพทธ

x

yจดสงสดสมพทธ

จดตาสดสมพทธ


- ถา ( )f x′ ไมเปลยนเครองหมาย แสดงวาไมใชจดสงสดสมพทธและจดตาสดสมพทธ

9. ปฏยานพนธและอนทกรลไมจากดเขต

ถา F เปนฟงกชนซง ( )

( )dF x

f xdx

= แลวจะเรยก ( )F x วาปฏยานพนธของ ( )f x และเขยน

แทนดวย ( ) ( )F x f x dx= ∫

ขอสงเกต ถา ( )F x เปนปฏยานพนธของ ( )f x แลว ( )F x c+ เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

จะเปนปฏยานพนธของ ( )f x

เราอาศยสตรตอไปนชวยในการหาปฏยานพนธ

1. dx x c= +∫ และ 1

1

nn x

x dxn

+

=+∫ เมอ 1n ≠ −

2. ( ) ( )a f x dx a f x dx=∫ ∫ เมอ a เปนคาคงตว

3. [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

10. อนทกรลจากดเขตและพนทใตกราฟ

ถา ( )F x เปนปฏยานพนธของ ( )f x แลวนยาม ( ) ( ) ( ) ( )b b

aaf x dx F x F b F a= = −∫

ถา ( ) 0f x ≥ สาหรบทก ( , )x a b∈ แลว ( )b

af x dx∫ จะมความหมายเปนพนทใตกราฟ

ของ ( )y f x= ในชวง x a= ถง x b=

ถา ( ) 0f x ≤ สาหรบทก ( , )x a b∈ แลว ( )b

af x dx∫ จะมความหมายเปนพนทระหวางกราฟ

( )y f x= กบแกน x ในชวง x a= ถง x b=


สถต

1. การวดคากลางของขอมล

ลาดบ คากลาง สตร ขอสงเกต

1.

คาเฉลยเลขคณต

(arithmetic mean)

หรอ x 1

1 N

ii

x xN =

= ∑

1. 1

N

ii

x Nx=

=∑

2. 1

( ) 0N

ii

x x=

− =∑

3. 2

1

( )N

ii

x a=

−∑ นอยทสดเมอ a x=

4. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= +

5. min maxx x x≤ ≤

2. มธยฐาน

(median)

หรอ Me

Me = คาของขอมล

ตาแหนงตรงกลางเมอ

เรยงลาดบขอมลแลว

a Me= ทาให 1

N

ii

x a=

−∑ นอยทสด

3. ฐานนยม (mode)

หรอ Mo

Mo = คาของขอมล

ทมความถมากทสด

1. ในกรณทมขอมลมการแจกแจงความถ

อนตรภาคชนของทกชนตองเทากน

2. ขอมลคณภาพนยมหาคากลางโดยวธน

4.

คาเฉลยเรขาคณต

(geometric mean)

หรอ G.M.

1 2. . NNG M x x x=

1. ขอมล 1 2, , , Nx x x… ตองทาให

1 2N

Nx x x มความหมาย

2. 1

1log . . log

N

ii

G M xN =

= ∑

เมอ 0ix >

5.

คาเฉลยฮารโมนก

(harmonic mean)

หรอ H.M. 1

. .1N

i i

NH M

x=

=

∑ H.M. = สวนกลบของคาเฉลยเลขคณต

ของสวนกลบของขอมลแตละตว

6. กงกลางพสย

(mid range)

หรอ M.R.

min max. .2

x xM R

+=

ถาขอมลอยในรปอนตรภาคชนเปด

จะหาคากลางแบบนไมได


ในกรณทขอมลมการแจกแจงความถ ใหถวงนาหนกดวยความถของขอมลแตละตวตามความ

เหมาะสม ยกเวนมธยฐานทใหคานวณตามสตรตอไปน

1

1 2

dMo L I

d d

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ +⎝ ⎠

เมอ L = ขดจากดลางของชนทมความถสงสด

I = ความกวางของชนทมความถสงสด

1d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทตากวาหนงชน

2d = ผลตางของความถของชนทมความถสงสดกบความถของชนทสงกวาหนงชน

ขอสงเกต ถาขอมลทกตวมคาบวกแลว . . . .x G M H M≥ ≥

2. หลกเกณฑสาคญในการใชคากลางชนดตางๆ

1. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไดจากการนาทกๆ คาของขอมลมาเฉลย แตมธยฐานและฐานนยม

เปนเพยงคากลางทใชตาแหนงท (position) ของขอมลบางคาเทานน

2. ถาในจานวนขอมลทงหมดมขอมลบางคาทมคาสงหรอตากวาขอมลอนๆ มาก จะมผลกระทบ

กระเทอนตอการหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณต กลาวคออาจจะทาใหคากลางทไดมคาสงหรอตากวา

ขอมลทมอยสวนใหญ แตจะไมมผลกระทบกระเทอนตอการหาคากลางโดยใชมธยฐานหรอฐานนยม

3. มธยฐานและฐานนยมใชเพอตองการทราบคากลางของขอมลทงหมดโดยประมาณและรวดเรว

ทงนเนองจากการหามธยฐานและฐานนยมบางวธไมจาเปนตองมการคานวณซงอาจใชเวลามาก

4. ถาการแจกแจงความถของขอมลประกอบดวยอนตรภาคชนทมชวงปด อาจเปนชนตาสดหรอชน

สงสดคชนใดชนหนงหรอทงสองชน การหาคากลางโดยใชคาเฉลยเลขคณตไมสามารถหาได แตสามารถ

หามธยฐานหรอฐานนยมได

5. การแจกแจงความถของขอมลทมความกวางของแตละอนตรภาคชนไมเทากน อาจจะมผลทาใหคา

กลางทหาไดโดยใชคาเฉลยเลขคณตหรอฐานนยมคลาดเคลอนไปจากทควรจะเปนไดบาง แตจะไมม

ผลกระทบกระเทอนตอการหามธยฐาน

6. ในกรณทขอมลเปนประเภทขอมลคณภาพ (qualitative data) จะสามารถหาคากลางไดเฉพาะ

ฐานนยมเทานน แตไมสามารถหาคาเฉลยเลขคณตหรอมธยฐาน


7. ความสมพนธของ x , Me, Mo

โคงปกต โคงเบขวา โคงเบซาย

x Me Mo= = x

Mo Me x< <

x Me Mo< <

3. ควอรไทล เดไซล และเปอรเซนไทล

ให L = ขดจากดลางของชนทคาสถตนนอย

I = ความกวางของชนทคาสถตนนอย

Lf∑ = เปนความถสะสมกอนชนทคาสถตชนอย

if = ความถของชนทคาสถตนนอย

คาสถต ความหมาย ขอมลทไมแจกแจงความถ ขอมลทแจกแจงความถ

มธยฐาน

(Median)



เทาๆ กน

ตาแหนงของ Me

คอ 1

2N +

ตาแหนงของ Me คอ 2N

2 L

i

Nf

Med L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

ควอรไทล

(Quartile)



เทาๆ กน

ตาแหนงของ kQ

คอ ( 1)

4N k+

ตาแหนงของ kQ คอ 4

kN

4 L

ki

kNf

Q L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

เดไซล

(Decile)



เทาๆ กน

ตาแหนงของ kD

คอ ( 1)

10N k+

ตาแหนงของ kD คอ 10kN

10 L

ki

kNf

D L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑

เปอรเซนไทล

(Percentile)


ออกเปน 100

สวนเทาๆ กน

ตาแหนงของ kP

คอ ( 1)

100N k+

ตาแหนงของ kP คอ 100kN

100 L

ki

kNf

P L If

⎛ ⎞⎟⎜ − ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

∑


4. การวดการกระจายของขอมล

1. การวดการกระจายสมบรณ

1.1 พสย (Range) max minx x= −

1.2 สวนเบยงเบนควอรไทล (Q.D.) 3 1

2Q Q−

=

1.3 สวนเบยงเบนเฉลย (M.D.) 1

N

ii

x x

N=

−=∑

1.4 สวนเบยงเบนมาตรฐาน (s)

2

1

( )N

ii

x x

N=

−=

∑

ความแปรปรวน (variance) 2s=


1. ถามขอมล m ชด และ 1 2 mx x x= = = แลว

2 2 22 1 1 2 2

1 2

m m

m

N s N s N ss

N N N+ + +

=+ + +รวม

2. ถา i iy ax b= + แลว y ax b= + และ y xs a s=

2. การวดการกระจายสมพทธ

1. สมประสทธของพสย max min

max min

x xx x

−=

+

2. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทล 3 1

3 1

Q QQ Q

−=

+

3. สมประสทธของสวนเบยงเบนเฉลย . .M Dx

=

4. สมประสทธของสวนเบยงเบนมาตรฐาน sx

=

5. คามาตรฐานและการแจกแจกปกต

คามาตรฐาน(Z-score) กาหนดโดย x x

Zs−

=


1. คาเฉลยของ Z เทากบ 0 เสมอ

2. สวนเบยงเบนมาตรฐานของ Z เทากบ 1 เสมอ


ถาขอมลมการแจกแจงปกต แลว Z จะมการกระจายดงแสดงในรป

-3 -2 -1 1 2 3Z

0.1

0.2

0.3

0.4

กราฟนมสมมาตรเทยบกบ 0Z = และเปดตารางหาพนท A ระหวาง 0 ถง Z ได

6. การวเคราะหความสมพนธเชงฟงกชนระหวางขอมล

1. ความสมพนธเชงฟงกชนทเปนเสนตรง

สมการทวไปคอ y mx c= +

สมการปกตคอ 1 1

2

1 1 1

N N

i ii i

N N N

i i i ii i i

y m x Nc

x y m x c x

= =

= = =

⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑

ขอสงเกต y mx c= +

2. ความสมพนธเชงฟงกชนทไมเปนเสนตรง

1. สมการพาราโบลา 2y ax bx c= + +

สมการปกตคอ

2

1 1 1

3 2

1 1 1 1

2 4 3 2

1 1 1 1

i

N N N

i ii i i

N N N N

i i i i ii i i i

N N N N

i i i i ii i i i

y a x b x Nc

x y a x b x c x

x y a x b x c x

= = =

= = = =

= = = =

⎧⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = + +⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪ = + +⎪⎪⎪⎩

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

2. สมการเอกซโพเนนเชยล xy ab= หรอ log log logy a x b= +

สมการปกตคอ 1 1

2

1 1 1

log log (log )

log (log ) (log )

N N

i ii i

N N N

i i i ii i i

y N a b x

x y a x b x

= =

= = =

⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩

∑ ∑

∑ ∑ ∑


ขอสอบวชาคณตศาสตร 1 (มนาคม 2548) ตอนท 1 ขอ 1-5 ขอละ 2 คะแนน ขอ 6-10 ขอละ 3 คะแนน

1. ผลบวกของคาตอบของสมการ ( ) ( )12 2 3 9 4 18 0x x x− − + = มคาเทากบเทาใด

2. พจนทเปนคาคงตวทเกดจากการกระจาย ( )8tan 2 cotx x− มคาเทากบเทาใด

3. ในคณะกรรมการนกเรยนจานวน 10 คน จะมวธเลอกประธาน รองประธาน และเลขานการ ไดกวธ

ถากรรมการคนหนงไมสมครทจะเปนประธาน

4. นายแดงนาเงนไปฝากธนาคารออมสนโดยฝากเดอนแรก 100 บาท เดอนตอไปฝากเพมขนเดอนละ 5

บาททกเดอน เมอครบ 2 ป นายแดงนาเงนไปฝากทงหมดเทาใด

5. กาหนดให , ,u v w เปนเวคเตอรทสอดคลองกบสมการ 5 2 0u v w+ − = โดยท 3 4u i j= +

และ u ตงฉากกบ v ถา θ เปนมมระหวาง u และ w แลวคาของ cosw θ เทากบเทาใด

6. ขอมลชดหนงประกอบดวย 1 2 13, ,x x x… โดยท 5nx n= − เมอ 1,2, ,13n = … จานวนจรง a

ททาให 13

1n

n

x a=

−∑ มคานอยทสดเทากบเทาใด

7. กาหนดใหเสนตรง x y= ตดวงร

2 2( 1) ( 1)1

9 4x y− −

+ = ทจด A และ B ถา 1F และ 2F

เปนจดโฟกสของวงรนแลว 1 2 1 2AF AF BF BF+ + + มคาเทากบเทาใด

8. กาหนดใหพาราโบลารปหนงทสมการเปน 2 4 16 12 0y y− − − = ถา l เปนเสนตรงทผานโฟกส

ของพาราโบลารปน และตงฉากกบเสนตรง 3 2 5 0x y− + = แลว ระยะตดแกน y ของเสนตรง l

มคาเทากบเทาใด

9. ถา 1 4(cos145 sin145 )z i= + และ 2 3(cos115 sin115 )z i= + แลว คาของ 2

1 2z z−

เทากบเทาใด

10. ถา n เปนจานวนเตมบวกซงมสมบตดงน

100 1000n≤ ≤

45 และ 75 หาร n ลงตว

7 หาร n เหลอเศษ 3

แลว n มคาเทากบเทาใด


ตอนท 2 ขอละ 3 คะแนน

1. สาหรบเซต A และ B ใดๆ ขอใดตอไปน ผด

1. ถา A B∩ = ∅ แลว A B ′⊂ และ B A′⊂

2. ( )A A B A B− ∩ = −

3. ( )A B A B∪ − =

4. ถา ( )A B A∩ = แลว A B⊂

2. ขอใดตอไปน ผด

1. เสนตรง 3 2y x= + ขนานกบเสนตรง 3 4 0x y− − =

2. เสนตรง 5 8 0y x+ + = ตงฉากกบเสนตรง 5 3y x= +

3. ระยะหางระหวางจด (0, 0) กบเสนตรง 3 4 10 0x y+ − = เทากบ 2

4. ระยะหางระหวางเสนตรง 2 5 0x y− + = กบเสนตรง 2 5 0x y− − = เทากบ 2

3. เซตในขอใดตอไปนเปนเซตคาตอบของสมการ 3 29 12 2 0x x x+ + − =

1. 1 3

{ 2, , }3 2

− 2. 2 1

{ 1, , }3 2

− − 3. 1 2

{ 1, , }3 3

− 4. 2 1

{ 1, , }3 3

− −


ก. ถา f และ g เปนฟงกชนซง 0 0

( ) ( ) ( ) ( )lim lim ( )h h

f x h f x f x h f xg x

h h+ −→ →

+ − + −= =

แลว ( ) ( )g x f x′=

ข. ถา f เปนฟงกชนซง ( ) 0f x > สาหรบทกๆ จานวนจรง x และ ( ) 0f a′ ≠

แลวความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน 1( )

yf x

= ทจด a คอ 1( )f a′


1. ก ถก และ ข ถก 2. ก ถก และ ข ผด

3. ก ผด และ ข ถก 4. ก ผด และ ข ผด

5. คาของ 2

2

24 x dx

−−∫ อยในชวงใดตอไปน

1. (3.1, 3.2) 2. (3.2, 3.3) 3. (6.1, 6.2) 4. (6.2, 6.3)

6. ให , , ,p q r s เปนประพจน ถา ( )[ ] ( )p q r q s→ ∨ ∧ ∨∼ มคาความจรงเปนจรง และ

( )p s r∧ → มคาความจรงเปนเทจแลว ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปน เทจ

1. p q→ 2. q r→ 3. r s→ 4. s p→



ก. ถาเอกภพสมพทธคอเซตของจานวนเตมแลวขอความ [ ]5 7 1m n m n∃ ∃ + = มคาความจรงเปนจรง

ข. นเสธของขอความ 2( 2 2) ( sin )x y x x y y x⎡ ⎤∀ ∃ − ≥ − ∧ ≥⎣ ⎦ คอ

2( 2 2) ( sin )x y x x y y x⎡ ⎤∃ ∀ − < − ∨ <⎣ ⎦




8. ถา

2 2

2 2

sin 3 cos 32

sin cosA AA A

− = แลว cos2A มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 14

2. 12

3. 12

4. 13

9. ถา ( )tan arccos 3x = − แลว คาของ sin(2 arccos )x x เทากบขอใดตอไปน

1. 34

− 2. 12

− 3. 12

4. 34


ก. เซตคาตอบของ 4 3 22 4 6 0x x x x− + + − = คอ { 2, 2, 1 2 , 2 }i i− + +

ข.

6 61 3 1 3

22 2

i i⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟+ ≤⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠




11. ให S เปนเซตคาตอบของอสมการ ( ) 2log log log(9 log )x x+ − ≥1ถา a และ b เปนสมาชก

ของ S ทมคามากทสดและคานอยทสดตามลาดบแลว ab มคาเทากบขอใด

1. 7210 2.

9210 3.

11210 4.

13210


1 1 0 1

0 1 2 , 0 ,

3 0 1 2

x

B C X y

z

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

และ I เปนเมตรกซเอกลกษณ

ถา A เปนเมตรกซมต 3 3× ซงสอดคลองกบสมการ 2AB I= และ AX C= แลว

คาของ x y z+ + เทากบขอใดตอไปน

1. 20 2. 24 3. 26 4. 30



4 12 9

7 10 5

1 0 0

A

⎡ ⎤−⎢ ⎥⎢ ⎥

= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

และ , ,B C D เปนเมตรกซมต 3 3× ซง A B C D∼ ∼ ∼

โดยท B ไดจาก A โดยการดาเนนการ 1 2

43

R R−

C ไดจาก B โดยการดาเนนการ 15R

D ไดจาก C โดยการดาเนนการ 23R

แลว det( )D เทากบขอใดตอไปน

1. –3,750 2. –150 3. 150 4. 3,750

14. ถา na เปนคาเฉลยเลขคณตของขอมล

1,2,2, 3, 3, 3, , , , ,n

n n n n… … แลว lim n

n

an→∞

เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 12

3. 13

4. 23


11

1( ) det1 1

xf x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ 1x ≠ ขอใดตอไปนถก

1. f เปนฟงกชน 1-1 และ

1

1

11

1( ) det1 1

xf x

−

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ 0, 1x x≠ ≠

2. f เปนฟงกชน 1-1 และ 1

1 1

( ) det 11

1

f x

x

−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

เมอ 1x ≠−

3. f ไมเปนฟงกชน 1-1 เนองจากม x ททาให

11

1det 01 1

x⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

4. f ไมเปนฟงกชน 1-1 และ

211

1( )( ) det1 1

xf f x

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

เมอ 1x ≠

16. กาหนดให 1, 0

( )0, 0

xf x

x

⎧ ≤⎪⎪= ⎨⎪ >⎪⎩ พจารณาขอความตอไปน

ก. 0

lim( )( ) 0x

f f x−→

= ข. 0

lim( )( ) 1x

f f x+→

=





17. ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง ( )y f x= ทจด ( , )x y ใดๆ เปน 2 4x − และ f มคาตาสด

สมพทธเทากบ 10 หนวย แลว พนทปดลอมดวยกราฟของ ( )y f x= กบแกน X จาก 0x = ถง

3x = เทากบขอใดตอไปน

1. 33 2. 36 3. 39 4. 42

18. ให {1,2, 3, 4}A = และ {1,2, 3, 4, 5}B = ถา f เปนฟงกชนจาก A ไป B โดยท (1) 2f =

หรอ (2)f m= เมอ m เปนจานวนค แลวจานวนฟงกชน f ทมสมบตดงกลาวเทากบขอใด

1. 75 2. 150 3. 425 4. 500

19. กลองใบหนงมลกบอลสดา 4 ลกและสแดง 6 ลก ถาสมหยบลกบอลจากกลองใบนมา 3 ลก ความ

นาจะเปนทจะไดลกบอลสละอยางนอยหนงลกเทากบขอใดตอไปน

1. 0.78 2. 0.80 3. 0.82 4. 0.84

20. ในการสมหยบเลข 3 หลกทมากกวาหรอเทากบ 100 มาหนงจานวน ความนาจะเปนทเลขจานวนนนม

เลข 8 อยางนอย 1 หลกและไมมเลข 9 ในหลกใดๆ จะเทากบขอใดตอไปน

1. 18

2. 19

3. 28

4. 29

21. กาหนดสมการจดประสงค z ax by= + โดยท 0, 0a b> > และมอสมการขอจากดคอ

2 0

3

2 4

0

0

x y

x y

x y

x

y

− ≤

+ ≥

+ ≥

≥

≥

เมอ 0z = จะไดเสนตรง 0ax by+ = มความชนเทากบ 32

− ถา z มคานอยสดทจด 0 0( , )x y

แลวคาของ 0 0x y− เทากบขอใดตอไปน

1. 4− 2. 1− 3. 1 4. 3

22. กาหนดพนทใตเสนโคงปกตระหวาง 0z = ถง 1z = เทากบ 0.3413 ถาคะแนนสอบวชา

คณตศาสตรของนกเรยนกลมหนงซงมจานวน 20,000 คน มการแจกแจงปกตแลว จานวนนกเรยนท

สอบไดคะแนนซงตางจากคะแนนเฉลยมากกวาสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบขอใดตอไปน

1. 3,413 2. 6,348 3. 6,826 4. 13,652


23. กาหนดฮสโทแกรมของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 80 คน ดงน


1. นกเรยนทสอบไดคะแนนระหวาง 50-79 มจานวนมากกวานกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขน

ไปเทากบ 50 คน

2. นกเรยนทสอบไดคะแนน 90 คะแนนขนไป มรอยละ 10 ของนกเรยนทงหมด

3. ควอรไทลทหนงของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 60-69 คะแนน

4. ควอรไทลทสามของคะแนนสอบมคาอยระหวาง 80-89 คะแนน

24. กาหนดใหวงกลม 2 2 2 2 0x y ax by c+ + + + = ตดแกน Y ทจด 2 จดแตไมตดแกน X

ขอความในขอใดตอไปนเปนจรง

1. 2a c> และ 2b c>

2. 2a c> และ 2b c<

3. 2a c< และ 2b c>

4. 2a c< และ 2b c<

25. ถา S เปนเซตของจานวนเตม m ทมสมบตดงน

50 100m≤ ≤

7 หาร 3m เหลอเศษ 6

แลวจานวนสมาชกของ S เทากบขอใดตอไปน

1. 7 2. 14 3. 21 4. 28

0.375

0.350

0.0750.0500.025

คะแนน

ความถสมพทธ

29.539.5

49.559.5

69.579.5

89.599.5

สรุปเนื้อหา วิชาคณ ิตศาสตร...เน...

Documents