กลศาสตร ของแข็ง 2 - t u · 2012-11-05 · 2.5 ความเค...

กลศาสตรของแข็ง 2

รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย

คํานํา

กลศาสตรของแข็งเปนวิชาการที่เกีย่วของกับการวเิคราะหความเคน และความเครียดของโครงสรางทางวิศวกรรม โดยอาศัยพื้นฐานทางดานฟสิกส วัสดุศาสตร กลศาสตรของแข็งเบื้องตน หรือกลศาสตรของวัสดุ มาศกึษากรณีใชงานตางๆ ทางดานวิศวกรรม เชน การบิดของเพลา การโกงตัวของคาน ทรงกระบอกผนังบาง ทฤษฎีการเสียหาย เปนตน ซึ่งความรูและความเขาใจในวิชาการเหลานี้เปนพืน้ฐานที่จําเปนของวิศวกรเครื่องกล ที่จะใชในการออกแบบ การสราง การใชงาน การซอมบํารุงเครือ่งจักรกล ตลอดถึงการวิเคราะหความเสยีหายของชิน้สวนทางวิศวกรรมตาง ๆ

หนงัสือเลมนี้เขียนขึ้นมาเพือ่เผยแพรความรูเกี่ยวกับกลศาสตรของแข็ง และใชเปนเอกสารในการศึกษาวศิวกรรมกรรมเครื่องกล ระดับปริญญาตรี โดยเนนการใชงานดานวศิวกรรมเครื่องกล ปญหาที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล และความรูเบือ้งตนเกีย่วกับความเสยีหายของชิ้นสวนทางวศิวกรรม ซึง่เนื้อหาถูกแบงออกเปนบทตางๆ ดังนี ้

บทที ่1 กลาวถึงหลักการเบื้องตนของความเคน และความเครียด เชน ความเคนตั้งฉาก ความเครียดตัง้ฉาก ความสัมพันธระหวางความเคน-ความเครียด อัตราสวนปวซอง ความเคนเฉือน ความเครียดเฉือน และความเคนทีย่อมใหเกิดขึ้นในโครงสราง

บทที ่2 กลาวถึงโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน โดยอธิบายถงึผลกระทบของแรงตามแนวแกนทีม่ีตอการเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสราง ทั้งในสวนที่สามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล และไมสามารถคาํนวณภาระดวยสมการสมดุล นอกจากนีย้ังไดกลาวถึงผลกระทบจากความเครียดคงคาง อุณหภูมิ แรงแปรผัน และแรงที่กระทําอยางทนัททีันใด ที่มีตอโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน ซึ่งนําเสนอโดยใชหลักการความเคน-ความเครียด ประกอบกับทฤษฎีพลังงาน

บทที ่3 กลาวถึงโครงสรางที่รับแรงบิด โดยอธบิายถงึการบิดในโครงสรางประเภทตางๆ เชน โครงสรางทรงกระบอก โครงสรางทรงกระบอกกลวง โครงสรางที่มีลักษณะและคุณสมบัติไมสม่ําเสมอ ทัง้ในสวนที่สามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล และไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล นอกจากนี้ยงัไดกลาวถึงการสงกาํลังโดยเพลา การบดิในโครงสรางผสม และการบิดในทอผนังบาง โดยนาํเสนอโดยใชหลักการความเคน-ความเครียด ประกอบกับทฤษฎพีลังงาน

บทที ่4 กลาวถึงโครงสรางที่รับแรงดัด โดยอธบิายถงึความเคนและความเครียดในโครงสรางที่รับแรงดัดประเภทตางๆ เชน คานหนาตัดรูปวงกลม คานหนาตัดรูปตัวไอ คานประกอบ คานที่หนาตัดไมคงที ่ คานรับแรงในแนวแกน คานผสม คานแซนวิช โดยนาํเสนอโดยใชหลักการความเคน-ความเครียด ประกอบกับการวิเคราะหคานผสมดวยวิธีเปลี่ยนรูป และวิธีศูนยกลางการเฉือน

ก

บทที ่5 กลาวถึงการวิเคราะหความเคน และความเครียด เพือ่หาความเคนหลัก และความเคนเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นกับโครงสราง ในกรณคีวามเคนแบบระนาบ ความเครียดแบบระนาบ ความเคนในสามแกน ความเคนในสามมิติ โดยนําเสนอทัง้ในแบบสมการทางคณิตศาสตร และวงกลมของมอร

บทที ่6 กลาวถึงทฤษฎีการเสียหายเบื้องตน เกณฑการเสยีหายทั่วไป เกณฑการครากโดยคาํนงึถงึความเคนเฉือนสูงสุด เกณฑการแตกหักโดยคํานงึถงึความเคนตัง้ฉากสูงสุด

ในสวนทายของบทที ่1-5 มแีบบฝกหัดเพือ่ใหผูอานไดทบทวนเนื้อหา และนําเสนอถงึการนํากลศาสตรของแข็งไปใชในงานดานวิศวกรรมเครื่องกล

ผูเขียนขอขอบคุณมหาวิทยาลัยธรรมศาสตร ที่ใหทุนสนับสนนุการเขียนตํารา ประจําป 2546

รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย 22 พฤษภาคม 2550

ข

สารบัญ คํานํา ก

สารบัญ ค

บทที ่1. หลักการเบื้องตนของความเคน

1.1 ความเคนตั้งฉาก 1 1.2 ความเครียดตัง้ฉาก 4 1.3 แผนภูมิความเคน-ความเครยีด 5 1.4 อัตราสวนปวซอง 7 1.5 ความเคน และความเครียดเฉือน 11 1.6 แรง และความเคนทีย่อมใหเกิดขึ้นในโครงสราง 13 1.7 แบบฝกหัด 15 บทที ่2. โครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน

2.1 การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน 23 2.2 โครงสรางที่ไมสามารถคาํนวณภาระดวยสมการสมดุล 26 2.3 ผลกระทบจากอุณหภูม ิ 36 2.4 ความเครียดคงคาง 43 2.5 ความเคนบนพื้นที่หนาตัดทีเ่อียง 45 2.6 พลังงานความเครียด 50 2.7 การเปลี่ยนแปลงขนาดจากการกระทาํของแรงคงที ่ 57 2.8 แรงแปรผัน 59 2.9 แรงที่กระทําอยางทนัททีันใด 63 2.10 การสูญเสียพลังงาน 63 2.11 แบบฝกหัด 64

ค

บทที ่3. โครงสรางที่รับแรงบิด

3.1 การบิดในคานทรงกระบอก 78 3.2 คานทรงกระบอกกลวง 82 3.3 การบิดของคานที่มีคุณสมบติัไมสม่ําเสมอ 83 3.4 การเฉือนบริสุทธ ิ 87 3.5 ความสัมพันธระหวางโมดูลัสความยืดหยุน กับโมดูลัสเฉือน 92 3.6 การสงกาํลงัโดยเพลา 93 3.7 ปญหาที่แกไมไดดวยสมการสมดุลของโครงสรางที่รับแรงบิด 95 3.8 โครงสรางผสม 98 3.9 พลังงานความเครียดในกรณีการเฉือนและการบิด 100 3.10 ทอผนงับาง 105 3.11 แบบฝกหัด 111 บทที ่4. โครงสรางที่รับแรงดัด

4.1 ความเครียดตัง้ฉากในคาน 125 4.2 ความเครียดในแนวขวาง 129 4.3 ความเคนตั้งฉากในคาน 132 4.4 การออกแบบคาน 139 4.5 ความเคนเฉือนในคาน 144 4.6 ผลกระทบจากความเครียดเฉือน 148 4.7 คานหนาตัดรูปวงกลม 150 4.8 ความเคนเฉือนของคานหนาตัดรูปตัวไอ 153 4.9 คานประกอบ 157 4.10 คานที่หนาตัดไมคงที ่ 161 4.11 คานรับแรงในแนวแกน 169 4.12 คานผสม 170 4.13 การวิเคราะหคานผสมดวยวิธีเปลี่ยนรูป 175 4.14 คานแซนวิช 180 4.15 ศูนยกลางการเฉือน 181 4.16 แบบฝกหัด 186

ง

บทที ่5. การวเิคราะหความเคน และความเครียด

5.1 ความเคนแบบระนาบ 201 5.2 ความเคนหลกั และความเคนเฉือนสงูสุด 205 5.3 ความเคนเฉือนสูงสุด 211 5.4 วงกลมของมอรในกรณีความเคนแบบระนาบ 213 5.5 กฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ 217 5.6 การเปลี่ยนแปลงของปริมาตรหนึง่หนวย 218 5.7 ความเขมของพลังงานความเครียด 219 5.8 ภาระรวมแบบระนาบความเคน 221 5.9 ความเคนในสามแกน 227 5.10 ความเคนทรงกลม 230 5.11 ความเคนในสามมิติ 232 5.12 ระนาบความเครยีด 234 5.13 แบบฝกหัด 241 บทที ่6 ทฤษฎีการเสียหายเบื้องตน 6.1 เกณฑการเสียหายทัว่ไป 257 6.2 เกณฑการแตกหักตามความเคนตั้งฉากสงูสุด 258 6.3 เกณฑการครากตามความเคนเฉือนสงูสุด 259 บรรณานุกรม ฉ

จ

บทที่ 1 หลักการเบื้องตนของความเคนดึง อัด และเฉือน รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย

(Tension, Compression and Shear Stress)

1.1 ความเคนตั้งฉาก (Normal Stress)

ในกรณีที่โครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) ดังรูปที่ 1-1 และคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น เมื่อมีแรงกระทําผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสราง เราสามารถนิยามความเข็มขนของแรง (P) ที่ต้ังฉากบนพื้นที่หนาตัด m-n เปนความเคน (normal stress, σ ) ดังแสดงในรูปที่ 1-2 และความสัมพันธตอไปนี้

PA

σ = (1-1) A

B

C

D

รูปที่ 1-1

d

m

n

m

n

P

P

P

σ

รูปที่ 1.2

1



หมายเหตุ : σ จะมีการกระจายแบบสม่ําเสมอ (uniform) ก็ตอเมื่อพิจารณาพื้นที่หนาตัด m-n ที่มีระยะ d จากตําแหนงที่แรง P มากระทํา

ในกรณีที่ตองการคํานวณ σ บนจุด Q ใด ๆ ที่อยูบนพื้นที่หนาตัด m-n เราสามารถคํานวณ Qσ :

0limQ A

FA

σ∆ →

∆=

∆ (1-2)

โดย A∆ คือพื้นที่เล็ก ๆ รอบจุด Q และ σ คือความเคนตั้งฉากที่เกิดจากแรง P โดยถาทําใหเกิดการหดตัวของโครงสราง (compression) จะใชเครื่องหมายลบ (-) และถาทําใหเกิดการยึดตัวของโครงสราง (tension) จะใชเครื่องหมายบวก (+) ซึ่งความเคนตั้งฉากนี้มีหนวยเปนนิวตันตอตารางเมตร (N/m2) หรือพลาสคาล (Pa)

ตัวอยางที่ 1.1 จงแสดงวาแรง P ที่ทําใหเกิดความเคน (σ ) ที่กระจายตัวอยางสม่ําเสมอในคานที่มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) จะตองกระทําที่จุดจุดศูนยกลางมวลของพื้นที่หนาตัด

ถาแรง P ทําใหเกิดความเคนที่กระจายตัวอยางสม่ําเสมอบนพื้นที่หนาตัดของคานแลว โมเมนต (moment) ที่เกิดจากแรง P จะตองมีคาเทากับโมเมนตที่เกิดจากความเคน (σ ) ดังรูป

P P

m

n

y

0 z

y

y

yy

x

x

A

dA

P

0 x

σ

รูปที่ E1.1

2



พิจารณาโมเมนตที่เกิดจากแรง P:

x PM Py=

y PM Px= โดยในกรณีความเคน (σ ) ที่กระจายตัวอยางสม่ําเสมอ

P Aσ= ดังนั้น

x PM Ayσ=

y PM Axσ= (1)

พิจารณาโมเมนตที่เกิดจากความเคน σ :

xM ydAσ= ∫

yM xdAσ= ∫ (2)

โดยโมเมนตที่เกิดจากแรง P จะเทากับโมเมนตที่เกิดจาก σ ดังนั้น

(1) = (2)

โดย

pAy yσ σ= ∫ dA

P

ydAy

A∴ = ∫

และ

pAx xσ σ= ∫ dA

P

xdAx

A∴ = ∫

ซึ่ง Px และ Py คือตําแหนงของจุดจุดศูนยกลางมวลของพื้นที่หนาตัดนั้นเอง

3



1.2 ความเครียดตั้งฉาก (Normal strain)

เมื่อมีความเคน (σ ) เกิดขึ้นในโครงสรางจะทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาด (deformation) ซึ่งอาจจะเปนบวก (ยึดตัว) หรือลบ (หดตัว) ไดตามลักษณะของความเคนที่กระทํา โดยถาโครงสรางมีคุณสมบัติทั้ง 5 ประการ ตามหัวขอ 1.1 เราสามารถนิยามอัตราการเปลี่ยนแปลงขนาดตอความยาวหนึ่งหนวย (elongation per unit length) เปนความเครียดตั้งฉาก (normal strain, ε ) โดย

Lδε = (1-3)

L

P

d

P

m

n

δ


โดยความเครียดแรงดึง (tensile strain) จะเกิดเมื่อวัตถุยึดตัว และความเครียดแรงอัด (compressive strain) จะเกิดเมื่อวัตถุเกิดการหดตัว ซึ่งความเครียดตั้งฉากเปนปริมาณที่ไมมีหนวย (dimensionless)

ในกรณีที่ตองการคํานวณความเครียด (ε ) ของสวนเล็ก ๆ (element) ที่จุด Q:

0limQ x x

δε∆ →

∆=

∆ (1-4)

โดย คือความยาวของสวนเล็ก ๆ ที่จุด Q x∆

4



1.3 แผนภูมิความเคน-ความเครียด (Stress - Strain Diagrams)

เปนความสัมพันธระหวางความเคน (σ ) กับความเครียด (ε ) ของวัสดุตาง ๆ โดยไดมาจากการทดสอบการดึง (tension test) หรือการทดสอบการอัด (compression test) ซึ่งผลที่ไดจะมาแสดงอยูในรูปกราฟ โดยมีความเครียด (ε ) เปนแกนนอน และความเคน (σ )เปนแกนตั้ง ซึ่งเราสามารถแบงพฤติกรรมของวัสดุจากแผนภูมิความเคน-ความเครียดนี้ ออกได 2 แบบ คือ

1.3.1 พฤติกรรมแบบเปราะ (Brittle Behavior)

เปนพฤติกรรมของวัสดุซึ่งเมื่อเพิ่มขนาดของแรงที่กระทํากับวัตถุ จะทําใหเกิดการแตกหัก (rupture) โดยไมมีการเปลี่ยนแปลงขนาด หรือมีการเปลี่ยนแปลงนอยมาก ตัวอยางของวัสดุที่แสดงพฤติกรรมนี้ไดแก โลหะผสมที่มีความแข็งแรงสูง และเซรามิกส โดยลักษณะของแผนภูมิความเคน-ความเครียด (Stress - Strain Diagrams) สามารถแสดงไดดังรูป 1-4

stre

ss

strain


1.3.2 พฤติกรรมแบบเหนียว (Ductile Behavior)

เปนพฤติกรรมของวัสดุซึ่งเมื่อเพิ่มขนาดของแรงที่กระทํากับวัตถุจะทําใหเกิดการคราก (yield) กอนที่จะเกิดการแตกหัก (rupture) โดยการครากหมายถึง การที่วัสดุมีการเปลี่ยนแปลงขนาด (deformation) มากขึ้น โดยมีการเพิ่มข้ึนของความเคน (stress) ที่ลดลง ตัวอยางของวัสดุที่แสดงพฤติกรรมนี้ไดแก เหล็กเหนียวทั่วไป ทองแดง และโพลิเมอร โดยลักษณะของแผนภูมิความเคน-ความเครียด (Stress - Strain Diagrams) สามารถแสดงไดดังรูป 1-5

5



Ultimate stress

Yield stress

Proportional limit

Linearregion

Perfect plasticityor yielding

Strain hardening Necking

Fracture

O

A

B C

D

E

σ

ε

E ′


โดย

Yσ คือ ความเคนคราก (yield stress)

Uσ คือ ความเคนสูงสุด (ultimate stress)

Bσ คือ ความเคนที่เกิดการแตกหัก (breaking stress)

สําหรับสวนแรกของแผนภูมิความเคน-ความเครียด ซึ่งความสัมพันธระหวางความเคน (σ ) กับความเครียด (ε ) แสดงความสัมพันธเชิงเสน (linear) หรือแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติก (elastic behavior) โดย

σ ε∝ หรือ

Eσ ε= (1-5)

ซึ่งเราเรียกความสัมพันธนี้วา กฎของฮุก (Hooke’s law) และเรียกคาคงที่ E วาโมดูลัสของอิลาสติกซิตี หรือโมดูลัสของยัง (modulus of elasticity or Young’s modulus) โดยความเคน (σ ) สูงสุดที่วัสดุยังแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติก คือ proportional limit

6



1.4 อัตราสวนปวซอง (Poisson’s Ratio)

ถาใหแรงกระทํากับโครงสรางที่มีลักษณะตรง มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนง (homogeneous) และทิศทางของโครงสราง (isotropic) ดังรูป 1.6 จะพบวาโครงสรางจะมีการเปลี่ยนแปลงขนาด ทําใหเกิดความเครียดในแนวแรง (axial strain) ซึ่งในขณะที่โครงสรางยืดตัวออก พื้นที่หนาตัด (cross section area) ของโครงสรางก็มีแนวโนมที่จะลดลง ซึ่งเราเรียกการเปลี่ยนแปลงนี้วา ความเครียดในแนวขวาง (lateral strain) ซึ่งมีทิศทางตั้งฉากกับแรงที่มากระทํา

P P


หมายเหตุ: คุณสมบัติอิลาสติก (elastic properties) ของโครงสรางไมจําเปนตองคงที่ในทุก ๆ ทิศทาง (isotropic) แตคุณสมบัติอิลาสติกจะตองคงที่ในทุก ๆ ทิศทางที่ต้ังฉากกับทิศทางที่แรงมากระทํา (longitudinal axis) เพื่อทําใหเกิดความเครียดในแนวขวาง (lateral strain) ที่สม่ําเสมอ โดยเราเรียกอัตราสวนระหวางความเครียดในแนวขวาง (lateral strain) และความเครียดในแนวแรง (axial strain) วาอัตราสวนปวซอง (Poisson’s Ratio, ν ):

lateral strainaxial strain

ν = − (1-6)

โดยอัตราสวนปวซอง (Poisson’s Ratio, ν ) จะมีคาเปนบวกเสมอ โดยจะอยูในชวง O < ν < 0.5

ในการเกิดความเครียดในแนวขวาง (lateral strain) และความเครียดในแนวแรง (axial strain) ทําใหโครงสรางมีการเปลี่ยนแปลงขนาด และอาจทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตร (volume change) ได ซึ่งเราสามารถหาการเปลี่ยนแปลงปริมาตรไดจากความสัมพันธระหวาง σ , ε และ ν โดยพิจารณาโครงสรางที่มีคุณสมบัติคงที่ทุกทิศทาง (isotropic element) ดังรูป 1.7

7



y

x

z

σ

a

b

c

O

σ

aε

bνε

cνε


กําหนดให คือปริมาตรเริ่มตน (original volume) และoV fV คือปริมาตรสุดทาย (final volume)

ดังนั้น

oV a b c= ⋅ ⋅

( )( )( )1 1 1fV a b c ε νε νε= ⋅ ⋅ + − − 2 2 2 2 31 2 2fV a b c ε νε νε ν ε ν ε⎡ ⎤∴ = ⋅ ⋅ + − − + +⎣ ⎦

หมายเหตุ: แตเนื่องจาก ε มีคานอยกวา 1 มาก ดังนั้นกําลังสอง และกําลังสามของ ε จึงมีคาเขาใกลศูนย ดังนั้น

[ ]1 2 0 0fV a b c ε νε= ⋅ ⋅ + − − + + 0

[ ]1 2a b c ε νε= ⋅ ⋅ + −

8



โดย

f oV V V∆ = −

[ ]2a b c ε νε= ⋅ ⋅ −

[ ]∴ = ⋅ ⋅ ⋅ −∆V a b c ε ν1 2

ดังนั้นอัตราการเปลี่ยนแปลงปริมาตรตอปริมาตรหนึ่งหนวย (unit volume change) หรือ dilatation (e) สามารถคํานวณไดโดย

(1 2 )O

VeV

ε ν∆= = −

(1 2 )eEσ ν∴ = − (1-7)

ตัวอยางที่ 1.2 โครงสรางมีลักษณะตรง มีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีพื้นที่หนาตัดเปนวงกลมมี เสนผาศูนยกลาง 30 มม. ยาว 3 เมตร ยังโมดูลัส 70 GPa อัตราสวนปวซอง 1/3 ถูกดึงดวยแรง 85 kN จงหา δ , d∆ , V∆

L = 3.0 m

d = 30 mm.

P = 85 kN

P


9



พิจารณาความเคนตั้งฉาก :

( )3

3 2

85 10 120.3 MPa4 (30 10 )

PA

σπ −

×= = =

×

พิจารณาความเครียดตั้งฉาก : 6

9

120.3 10 0.001718 1,71870 10E

σε µ×= = = =

×

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาด : 3(0.001718)(3.0 10 ) 5.15 mmLδ ε= = × =

พิจารณาความเครียดในแนวขวาง : 1 (0.001718)3lateral axialε νε= − = −

0.0005726 572.6µ= − = −

พิจรณาการเปลี่ยนแปลงขนาดเสนผาศูนยกลาง :

( )( 0.0005726) 30 mmlaterald dε∆ = = −

0.0172 mm= −

พิจรณาการเปลี่ยนแปลงปริมาตร :

( )1 2oV V ε ν∆ = −

3 2 1(30 10 ) (3) (0.001718) 1 24 3π −⎡ ⎤ ⎡= × − ×⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤⎥⎦

3

6 31.214 10 m−= ×

6 91.214 10 10 mm−= × ×

31214 mm=

10



1.5 ความเคนเฉือน และความเครียดเฉือน (Shear stress and strain)

1

2

3

2P P

m n

qp

mn

qp

m n

qpm n

v

v

τ


อัตราสวนระหวางความเขมขนของแรงที่เกิดบนรอยตัด m-n ตอพื้นที่หนาตัด m-n คือคาเฉลี่ยของความเคนเฉือน (average shearing stress, τ ) โดย:

avePA

τ = (1.8)

หมายเหตุ: ในความเปนจริงการกระจายของความเคนบนพื้นที่หนาตัด m-n เปนการกระจายแบบไมสม่ําเสมอ (nonuniform) ซึ่งมีความเขมขนสูงที่จุดกึ่งกลางของพื้นที่หนาตัด

เมื่อพิจารณาความเคนเฉือน (τ ) ที่เกิดบนลูกบาศกพบวา

x

y

z

a

b

c

s r

p q τ

τ


11



1. ความเคนเฉือนของหนาตรงขามของลูกบาศกจะมีขนาดเทากัน แตทิศทางตรงขาม

2. ความเคนเฉือนของหนาที่ต้ังฉากกันของลูกบาศกจะมีขนาดเทากัน และมีทิศทางพุงเขาหากัน หรือพุงออกจากกัน

3. ความเคนเฉือนเปนบวก เมื่ออยูบนหนาบวก (positive face) และมีทิศทางไปในทิศบวก (positive direction) หรืออยูบนหนาลบ (negative face) และมีทิศทางไปในทิศลบ (negative direction)

4. ความเคนเฉือนเปนลบ เมื่ออยูบนหนาบวก (positive face) และมีทิศทางไปในทิศลบ (negative direction) หรืออยูบนหนาลบ (negative face) และมีทิศทางไปในทิศบวก (positive direction)

เมื่อพิจารณาลูกบาศกที่มีความเคนเฉือนมากระทํา เราพบวาลูกบาศกมีแนวโนมที่จะเปลี่ยนแปลงรูปราง (distortion) ดังรูป 1.10

x

y

zs

r

pqτ

τ

2/γ

2/γ

γπ

+2

γπ−

2

τ

τ


12



โดยกําหนดใหการเปลี่ยนแปลงรูปราง (distortion) คือความเครียดเฉือน (shear strain, γ ) โดย

1. ความเครียดเฉือนเปนบวก เมื่อมุมระหวางหนาบวก (positive face) หรือมุมระหวางหนาลบ (negative face) ลดลง

2. ความเครียดเฉือนเปนลบ เมื่อมุมระหวางหนาบวก (positive face) หรือมุมระหวางหนาลบ (negative face) เพิ่มข้ึน

เมื่อทดลองหาความสัมพันธระหวางความเคนเฉือน และความเครียดเฉือน (τ -γ ) และนํามาวาดกราฟความเคนเฉือน และความเครียดเฉือน (stress-strain diagram in shear) ซึ่งมีรูปรางใกลเคียงกับแผนภูมิความเคน-ความเครียด แตมีขนาดที่ตางกันโดยสามารถแสดงความสัมพันธระหวางความเคนเฉือน และความเครียดเฉือนดวยกฎของฮุกสําหรับการเฉือน (Hooke’s law in shear):

Gτ γ= (1.9)

โดย คือโมดูลัสของอิลาสติกซิตีสําหรับการเฉือน (shear modulus of elasticity) หรือโมดูลัสของความแข็งแกรง (modulus of rigidity) ซึ่งความสัมพันธระหวางโมดูลัสของอิลาสติกซิตีสําหรับการเฉือน และโมดูลัสของอิลาสติกซิตี สามารถแสดงไดดังนี้

G

2(1 )EGν

=+

(1.10)

1.6 แรง และความเคนที่ยอมใหเกิดขึ้นในโครงสราง (Allowable stresses and allowable loads)

กําหนดใหอัตราสวนระหวางความสามารถในการตานทานภาระจริง (actual strength, yσ ) ตอความสามารถในการตานทานภาระในสภาพใชงาน (allowable strength, allσ ) คือปจจัยความปลอดภัย (factor of safety, ) n

actual strengthallowable strength

n = (1.11)

ซึ่งโดยทั่วไปความสามารถในการตานทานภาระในสภาพใชงานจะมีคาต่ํากวาความสามารถในการตานทานภาระจริง ซึ่งทําใหปจจัยความปลอดภัยมีคามากกวาหนึ่ง โดยเมื่อวัสดุแสดงพฤติกรรมตางกัน ปจจัยความปลอดภัย (factor of safety, n ) สามารถคํานวณไดโดย

13



กรณีวัสดุเหนียว:

y

all

nσσ

= (1.12)

กรณีวัสดุเปราะ:

u

all

n σσ

= (1.13)

14



1.7 แบบฝกหัด

1. จงคํานวณความเคนอัดที่เกิดในกานสูบเสนผาศูนยกลาง 5 มม เมื่อมีแรง P ขนาด 36 นิวตันมากระทําที่แปนเบรค โดยแรงนี้มีทิศทางขนานกับกานสูบ

(คําตอบ: 10.1 MPa) 2 ทอทรงกระบอกยาว 0.5 มม มีรัศมีภายใน และภายนอกเปน 25 มม และ 30 มม ตามลําดับ ถูกกระทําดวยแรงอัด P จงคํานวณ (a) ความยาวของทอที่ลดลง เมื่อเกจวัดความเครียด (strain gage) ที่ติดไวดังรูป อานคาได 6900 10ε −= × และ (b) แรง P ที่กระทํา ถาความเคนของทอเปน 60 MPa

(คําตอบ: (a) 0.45 มม และ (b) 13 kN)

15


(Tension, Compression and Shear Stress) 3. รถกระเชามวล 5500 กิโลกรัม ถูกดึงดวยลวดเสนผาศูนยกลาง 320 มม2 อยางชาๆ ข้ึนเนิน 31o ดังรูป จงหาความเคนดึงในเสนลวด

(คําตอบ: 86.8 MPa) 4. ในการดึงทอข้ึนจากพื้นดวยระบบลวดดังรูป ถากําหนดใหลวด AB อยูในแนวดิ่ง BD อยูในแนวระดับ และลวดทั้งหมดมีพื้นที่หนาตัด Ac จงคํานวณ (a) สมการของความเคนดึงในลวด AB และ (b) ความเคนดึงในลวด AB เมื่อ Q = 445 N, α = 5o, β = 8o และ Ac = 77 มม2

(คําตอบ: (a)

tan tanABc

QA

σα β

= และ (b) 470 MPa)

16


(Tension, Compression and Shear Stress) 5. คาความเคน – ความเครียดเมื่อทําการดึงพลาสติกที่อุณหภูมิหอง สามารถแสดงไดดังตาราง จงหาขีดจํากัดสัดสวน โมดูลัสของอิลาสติกซิตี และ ความเคนคราก ที่ 0.2% offset ความเคน (MPa) ความเครียด 8.0 0.0032 17.5 0.0073 25.6 0.011 31.1 0.0129 39.8 0.0163 44.0 0.0184 48.2 0.0209 53.9 0.0260 58.1 0.0331 62.0 0.0429 62.5 แตกหัก

(คําตอบ: proportional limit = 42 MPa, modulus of elasticity = 2.4 GPa และ yield strength ที่ 0.2% offset = 50 MPa)

17


(Tension, Compression and Shear Stress) 6. ทรงกระบอกยาว 1.2 เมตร เสนผาศูนยกลาง 6 มม. ทําจากอลูมิเนียมอัลลอยดซึ่งมีแผนภูมิความเคน-ความเครียดตามสมการ

93170000 7 270σ σε

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

โดยความเคนมีหนวยเปน MPa ลักษณะของแผนภูมิความเคน-ความเครียดสามารถแสดงไดดังรูป ถาออกแรงดึงตามแนวแกนขนาด 12.5 kN กระทํากับทรงกระบอกนี้ อยากทราบวาทรงกระบอกนี้จะมีขนาดเทาไร หลังจากเอาแรงออก (คา E สามารถคํานวณไดจากอนุพันธของสมการความเคน-ความเครียด) (คําตอบ: 274.8 มม.) 7 ทอเหล็กยาว 2 เมตร มีเสนผาศูนยกลางภายนอก 110 มม. และหนา 8 มม. รับแรงอัดตามแนวแกน 160 นิวตัน ถา และ 200 GPaE = 0.3ν = จงหา (a) ระยะที่หดสั้นลงของทอ (b) ขนาดที่เพิ่มข้ึนของเสนผาศูนยกลางภายนอก และ (c) ขนาดที่เพิ่มข้ึนของความหนา

(คําตอบ: (a) 0.624 มม , (b) 0.0103 มม., และ (c) 0.000749 มม.)

18



8. จงสรางสมการการเพิ่มข้ึนปริมาตร ( V∆ ) ของคานยาว L หนัก W ซึ่งถูกแขวนลงในแนวดิ่ง กําหนดใหการเปลี่ยนแปลงปริมาตรของลูกบาศกหนึ่งหนวย, ( )xe

Eσ

ν= −1 2

L

dx

x

(คําตอบ: ( )WLV

Eν−

∆ =1 22

) 9. รอยตอซึ่งประกอบดวยแผนยางหนา 10 มม. วางเชื่อมกับแผนเหล็กดังรูป ถายางมี

จงหา (a) ความเคนเฉือนเฉลี่ยในแผนยางเนื่องจากแรง kPaG = 800 kNP = 15 และ (b) ระยะยืดในแนวระดับเนื่องจากแรง P

(คําตอบ: (a) 0.312 และ (b) 3.12 มม.)

19



10. ถาเพลา (shaft) มีเสนผาศูนยกลาง d และสลัก (key) มีพื้นที่หนาตัด bxb และยาว c โดยกําหนดใหคร่ึงหนึ่งของสลัก (b/2) ยึดอยูในเพลา จงหาความเคนเฉือนเฉลี่ยที่เกิดในสลักเมื่อมีแรง P มากระทําดังรูป กําหนดใหแรงดันระหวางเพลาและกานหมุน (lever) มีการกระจายอยางสม่ําเสมอ

(คําตอบ: ( )

PLbc d b

τ =+

42

)

20


(Tension, Compression and Shear Stress) 11. แผนพลาสติกสี่เหลี่ยมขนาด b = 150 มม. และ c = 200 มม. ดังรูป มีโมดูลัสอิลาสติกซิตี E = 2.8 GPa อัตราสวนปวซอง 0.4ν = จงหาคาความเคนเฉือน (τ ) ที่ทําใหเสนทแยงมุมเสนหนึ่งมีความยาวเพิ่มข้ึน 1.2 มม.

(คําตอบ: 10 MPa) 12 อุปกรณรับแรงกระแทกซึ่งประกอบดวยทอเหล็ก(เสนผาศูนยกลางภายใน b) กอนยาง (สูง h) และแทงเหล็ก (เสนผาศูนยกลาง d) ดังรูป จงหา (a) ความเคนเฉือน τ ในยางที่ระยะ r จากแกนกลาง และ (b) ระยะที่แทงเหล็กเคลื่อนที่ตํ่าลง δ โดยกําหนดใหทอเหล็ก และแทงเหล็กไมมีการเปลี่ยนแปลงขนาด และ G เปนโมดูลัสอิลาสติกซิตีเฉือนของยาง

(คําตอบ: (a) Prh

τπ

=2

, และ (b) lnP bhG d

δπ

=2

)

21


(Tension, Compression and Shear Stress) 13. แทง AB และ BC ซึ่งทําจากวัสดุเดียวกัน รับแรงในแนวดิ่ง P ดังรูป ถากําหนดใหตําแหนงและระยะ BC คงที่เสมอ ความเคนดึงและความเคนอัดของวัสดุชนิดนี้มีคาเทากัน เมื่อขยับจุด A ลงในแนวดิ่งจะทําใหแทง AB มีความยาวลดลง มุม θ ลดลง แรงในแทง AB และ BC เพิ่มข้ึน ซึ่งจะสงผลใหเสนผาศูนยกลางของทอทั้งสองเพิ่มข้ึน เพื่อลักษณะระดับของความเคนใหเทาเดิม การเปลี่ยนแปลงตางๆจะเกิดในลักษณะตรงขามเมื่อเมื่อขยับจุด A ข้ึนในแนวดิ่ง ทําใหทราบวาน้ําหนักของโครงสรางขึ้นอยูกับมุม θ จงหามุม θ ที่ทําใหโครงสรางมีน้ําหนักเบาที่สุด โดยไมทําใหความเคนในโครงสรางสูงเกินกวาความสามารถของวัสดุ

(คําตอบ: ) . oθ = 54 7

22

บทที่ 2 โครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย

(Axially loaded members)

โครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน หมายถึงโครงสรางที่มีแกนลากผานจุดศูนยกลางของพื้นที่หนาตัด (longitudinal axes) ที่เปนเสนตรง และรับแรงในแนวแกน (axial force) ซึ่งอาจจะเปนแรงดึง (tensile force) หรือแรงอัด (compressive force) ก็ได เชน กานสูบในเครื่องยนต ซึ่งโดยทั่วไปการศึกษาทางดานกลศาสตรของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน จะแบงเปน:

1. การวิเคราะห (analysis) คือ การศึกษาคุณสมบัติของชิ้นสวนเครื่องจักรกลที่ใชงานอยูแลว และใชทฤษฎีมาทํานายพฤติกรรมภายใตสภาพตาง ๆ

2. การออกแบบ (design) คือ การคิด คํานวณ หารูปราง และคุณสมบัติตาง ๆ ของชิ้นสวนเครื่องจักรกลเพื่อใหเหมาะกับความตองการภายใตสภาพตาง ๆ

3. การเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุด (optimization) คือ การออกแบบ ภายใตขอจํากัดตาง ๆ เชน น้ําหนัก คาใชจาย ขนาด

2.1 การเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกน (Displacements of axially loaded members)

สําหรับโครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทําผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสราง:

PA

σ =

Lδε =

Eσ ε= ดังนั้น

PLL LE Aσδ ε= = ⋅ =

E

PLAE

δ∴ = (2.1)

โดย A, L, E คือคาคงที่ ทําใหสรุปไดวา Pδ ∝

23



เมื่อเปรียบเทียบกับสปริงที่รับแรงตามแนวแกน (axially loaded spring) ดัง

รูป

L

P

δ


P δ∝

P kδ= โดย k คือ คาคงที่สปริง หรือความคงตัว (spring’s constant หรือ stiffness)

และสวนกลับคาคงที่สปริง (k):

fk

=1

โดย f คือ คาความยืดหยุน (flexibility หรือ compliance)

เมื่อเปรียบเทียบโครงสรางที่รับแรงตามแนวแกนกับสปริง พบวาการยืด (elongation) ของโครงสรางเมื่อรับแรงตามแนวแกน อยูภายใตความสัมพันธ:

P kfδδ= = (2.2)

โดย AEkL

= Lf

AE=

24



ในกรณีที่ปญหามีความซับซอนมากขึ้น เชน โครงสรางรับแรงตามแนวแกนมากกวา 1 แรงขึ้นไป หรือ โครงสรางที่ประกอบดวยวัสดุ หรือพื้นที่หนาตัดที่แตกตางกัน ดังรูปที่ 2.2 ซึ่งสามารถคํานวณการเปลี่ยนแปลงขนาดของแตละชิ้นสวน และนํามารวมกันเปนการเปลี่ยนแปลงขนาดรวม (total elongation) ได:

1P

3P

2P

B

C

D

a

b

c

1P

2P

a

b


ดังนั้น n

i i

i ii

PLA E

δ=

=∑1

(2.3)

โดย

i คือ ตัวแปรบอกสวนประกอบแตละสวนของโครงสราง

n คือ จํานวนของสวนประกอบของโครงสราง

iP คือ แรงตามแนวแกนที่เกิดบนสวนประกอบแตละสวน

สําหรับกรณีที่พื้นที่หนาตัดมีการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่องตามแนวแกน (longitudinal axis) เราสามารถหาการเปลี่ยนแปลงขนาดของทั้งชิ้นสวนได โดยพิจารณาแตละชิ้นสวนเล็ก ๆ และรวม (inteqrate) แตละชิ้นสวนเขาดวยกัน ดังรูป 2.3

25



A

BC

x dx

L

P(X)

AC

x รูปที่ 2.3

พิจารณาแตละชิ้นสวนเล็ก ๆ ที่มีความยาว dx ของพื้นที่หนาตัด C: ( )

( )P x dxdE A x

δ ⋅=

⋅

ซึ่งเมื่อรวม (integrate) แตละชิ้นสวนเล็ก ๆ เพื่อหาการเปลี่ยนแปลงขนาดของทั้งชิ้นสวน (total elongation):

L

O

dδ δ= ∫

( )( )

L

O

P x dxE A x

δ∴ =⋅∫ (2.4)

หมายเหตุ: สมการนี้ต้ังอยูบนสมมุติฐานที่ความเคนที่เกิดบนพื้นที่หนาตัด มีการกระจายแบบสม่ําเสมอ ( )P Aσ = ซึ่งเกิดขึ้นกับชิ้นสวนที่มีมุมระหวางดานทั้งสองนอยกวา 20o ซึ่งทําใหเกิดความผิดพลาดจากการคํานวณนอยกวา 3% ซึ่งถือวายอมรับได

2.2 โครงสรางที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล (Statically Indeterminate Structures)

โครงสรางที่สามารถคํานวณแรงตามแนวแกนไดจากสมการสมดุล (equilibrium equation) จะถูกเรียกวา "statically determinate structures" สวนโครงสรางที่สมการสมดุลเพียงอยางเดียวไมเพียงพอที่จะคํานวณหาแรงตามแนวแกน ซึ่งจําเปนตองอาศัยสมการการเปลี่ยนแปลงขนาด (displacement equation) ชวยจะถูกเรียกวา "statically indeterminate structures" โดยแบงวิธีการคํานวณออกเปน 2 วิธี คือ

26


(Axially loaded members) 2.2.1 วิธีความยืดหยุน (flexibility method or force method)

จากรูป โครงสราง AB ถูกยึดดานบน และดานลางดวยจุดยึดแบบแข็ง (rigid support) โดยมีแรงในแนวแกนกระทําที่จุด C ทําใหเกิดแรงปฎิกริยา และ ซึ่งไมสามารถคํานวณไดดวยสมการสมดุล

aR bR

A

B

C

a

bL

P

Ra

Rb รูปที่ 2.4

วิธีการคํานวณแรงในโครงสรางที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล โดยใชวิธี Flexibility Method สามารถสรุปเปนขั้นตอนไดดังนี้

1. กําหนดสมการสมดุลของแรง

a bR R P+ =

2. กําหนดแรงที่ไมสามารถหาไดจากสมการสมดุล (statical redundant) เชน , โดยในที่นี้เราเลือก

aR bR

aR

3. แยกแรงที่ไมสามารถหาไดจากสมการสมดุลออกจากโครงสราง โดยจะได released structure หรือ primary structure และ statical redundant structure ดังรูป

27



A

B

C

P A

B

Ra


4. หาความสัมพันธรวมกัน (constitutive relation) จากกฎของฮุก โดย

4.1 พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เนื่องจากแรง P ใน released structure

PPbEA

δ =

4.2 พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เนื่องจากแรง ใน statical redundant structure aR

aR

R LEA

δ =

5. หาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB รวม เนื่องจากแรง P และ โดยรวม aR Pδ และ Rδ (กําหนดใหทิศลงเปนบวก)

P Rδ δ δ= − แตจาก compatibility equation พบวาการเปลี่ยนแปลงขนาดของ AB เปนศูนย (ถูกประกบดวยพื้นแข็งทั้งบนและลาง)

δ = 0 หรือ

P Rδ δ=

28


(Axially loaded members) ดังนั้น compatibility equation:

aR L PbEA EA

=

aPbRL

∴ =

6. หาแรงในแนวแกนที่เหลือ โดยใชสมการสมดุล

b aR P R= −

Pb PL PbPL L

−= − =

( )P a b PbL

+ −=

bPaRL

∴ =

หมายเหตุ : สาเหตุที่เรียกวิธีการคํานวณประเภทนี้วา flexibility method เนื่องจากคา flexibility (f) ซึ่งเทากับ L

EA จะปรากฏอยูใน compatibility equation ซึ่งบางครั้งก็เรียกวา force method

เนื่องจากแรง คือตัวแปรที่ไมทราบคา (unknown parameter) ใน compatibility equation

2.2 วิธีความคงตัว (stiffness method or displacement method)

อาศัยหลักการของสมการสมดุลเพื่อหา การเปลี่ยนแปลงขนาดที่ไมทราบคา (unknown displacement) โดยมีขอจํากัดวาโครงสรางจะตองมีพฤติกรรมเปนอิลาสติก จากรูปโครงสราง AB ถูกดวยจุดยึดแบบแข็ง (rigid support) โดยมีแรงในแนวแกนกระทําที่จุด C:

1. พิจารณาการเปลี่ยนแปลงขนาดของโครงสราง พบวาหลังจากที่มีแรง P มากระทํา สวนบนของ C มีแนวโนมที่จะยืดยาวขึ้น ในขณะที่สวนลางของ C มีแนวโนมที่จะถูกอัดใหส้ันลง ซึ่งจากกฎของฮุก ( Eσ ε= ) พบวา:

a CEARa

δ= ⋅

และ

b CEARb

δ= ⋅

โดย EAa

และ EAb

เปน stiffness และกําหนดให Cδ มีคาเปนบวก เมื่อมีทิศลง

29



A

B

C

a

bL

P

Ra


2. พิจารณาชิ้นสวนเล็ก ๆ ลอมรอบจุด C:

C

P

Ra


a bR R P+ = ดังนั้น

C CEA EA Pa b

δ δ⋅ + ⋅ =

Ca bEA Pab

δ +⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

30



CP ab

EA a bδ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠

CPabEAL

δ∴ =

3. จาก Cδ ทําการหา และ โดย: aR bR

a CEA EA Pab PbRa a EAL

δ= ⋅ = ⋅ =L

และ

bPaRL

=

ซึ่งคําตอบที่ไดก็เปนเชนเดียวกับ flexibility method

สรุปวิธีการแกปญหาแบบ statically indeterminate โดยใชวิธีความคงตัว (stiffness method):

1. เลือกการเปลี่ยนแปลงขนาดที่ไมทราบคา (unknown displacement) โดยจัดความสัมพันธระหวางการเปลี่ยนแปลงขนาดกับแรง (force - displacement relation) โดยเราเรียกความสัมพันธนี้วา “constitutive relations” ซึ่งสามารถแสดงไดดวยกฎของฮุก และคุณสมบัติของวัสดุนั้นเอง

2. ต้ังสมการสมดุล และแทนแรงดวยการเปลี่ยนแปลงขนาดที่ไมทราบคาในรูปของ stiffness ( )EA L 3. แกสมการหาการเปลี่ยนแปลงขนาดที่ไมทราบคา

4. หาแรงจากการเปลี่ยนแปลงขนาดที่ไมทราบคา

หมายเหตุ: เปรียบเทียบวิธีความยืดหยุน (flexibility method) กับ วิธีความคงตัว (stiffness method):

1. วิธีความยืดหยุน (flexibility method)

unknown force ⇒ ⇒ compatibility eq. known force

2. วิธีความคงตัว (stiffness method):

unknown displacement ⇒ ⇒ equilibrium eq. known displacement

31


(Axially loaded members) โดยทั้ง 2 วิธีจะใช constitutive relation ซึ่งโดยทั่วไปจะเปนกฎของฮุกเปนตัวเชื่อมโยงความสัมพันธระหวางแรง และการเปลี่ยนแปลงขนาด

ตัวอยางที่ 2.1 ทรงกระบอกตัน S ทําจากเหล็ก (steel) และทรงกระบอกกลวง C ทําจากทองแดงมีความยาวเทากัน L ถูกยึดอยูระหวางแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) โดยมีแรง P มากระทํา ดังรูป จงหา (a) sP และ , (b) cP sσ และ cσ , และ (c) δ ของระบบ

C L

P

C

P

S

รูปที่ E2.1a

พิจารณาแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) พบวา

P

PsPc Pc รูปที่ E2.1b

s cP P P= + (1)

32



ซึ่งมีสมการสมดุล 1 สมการ แตมีแรงที่ไมทราบคา 2 แรง ( sP และ ) ดังนั้นโครงสรางนี้เปนโครงสรางที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล (Statically Indeterminate Structures)

cP

1. วิธีความยืดหยุน (flexibility method)

- แยกทรงกระบอกตัน S ออกจากโครงสราง ดังรูป

P

Ps

P

Ps

Ps

Ps

sC C

รูปที่ E2.1c

PC C

PLE A

δ =

SR

C C

P LE A

δ =

SS

S S

P LE A

δ =

โดย LE AC C

และ LE AS S

เปนความยืดหยุน (flexibility) ของเหล็กและทองแดง ตามลําดับ โดย

ระยะหดตัวของทองแดงเปน

C P Rδ δ δ= + และระยะหดตัวของเหล็กเปน

SS

S S

P LE A

δ =

33



- พิจารณาสมการ compatibility

C Sδ δ=

P R Sδ δ δ− = S S

C C C C S S

P L P LPLE A E A E A

− =

ดังนั้น S S

SS S C C

E AP P

E A E A= ⋅

+

จาก

C SP P P= − ดังนั้น

C CC

S S C C

E AP P

E A E A= ⋅

+

ซึ่งสามารถสรุปไดวา : S S

SS S S C

P E P

CA E A E Aσ = =

+

C CC

C S S C

P E P

CA E A E Aσ = =

+

และ S

S S S S C C

P L PLE A E A E A

δ = =+

34



2. วิธีความคงตัว (stiffness method)

- สรางสมการสมดุล โดยพิจารณาแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) พบวา:

P

PsPc Pc รูปที่ E2.1d

S CP P P+ =

- จากสมการ compatibility พบวาการเปลี่ยนแปลงขนาดของทองแดงมีคาเทากับการเปลี่ยนแปลงขนาดของเหล็ก คือ δ และพิจารณาสมการ constitutive (กฎของฮุก)

S SS

E AP

Lδ= ⋅

C CC

E AP

Lδ= ⋅

- แทน และ ลงในสมการสมดุล: SP CP

S S C CE A E AP

L Lδ δ⋅ + ⋅ =

S S C C

PLE A E A

δ∴ =+

ซึ่งจากการเปลี่ยนแปลงขนาด (δ ) เราสามารถหา และ ไดจากสมการ constitutive (กฎของฮุก) และ

SP CP

Sσ และ Cσ ไดจากนิยามของความเคน P Aσ = โดยคาที่ได พบวามีคาตรงกับคาที่คํานวณดวยวิธีความยืดหยุน (flexibility method)

35


(Axially loaded members) 2.3 ผลกระทบจากอุณหภูมิ และความเครียดคงคาง (Temperature and Prestrain Effects)

พิจารณาวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น ซึ่งมีอิสระในการขยาย และหดตัวในทุกทิศทาง เมื่อใหความรอนตอวัสดุนี้อยางสม่ําเสมอ (unifornly heated) พบวาวัสดุจะเกิดการขยายตัว ดังรูป

A รูปที่ 2.8

ซึ่งเรียกการขยายตัวนี้วาความเครียดจากความรอนอยางสม่ําเสมอ (uniform thermal strain, Tε )

( )T Tε α= ∆ (2.5)

โดย

Tε คือความเครียดจากความรอน เปนปริมาณที่ไมมีหนวย (dimensionless)โดยมีคาเปนบวกเมื่อเกิดการขยายตัว และมีคาเปนลบเมื่อเกิดการหดตัว

α คือสัมประสิทธิการขยายตัวของวัสดุเนื่องจากความรอน (coefficient of thermal expansion) โดยเปนคุณสมบัติเฉพาะของวัสดุ มีหนวยเปน T∆1

T∆ คือการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ มีหนวยเปน , oC oK หรือ oF

จากการที่วัสดุเกิดการขยายตัว สงผลใหมีการเปลี่ยนแปลงขนาดของดานตาง ๆ ซึ่งการเปลี่ยนแปลงขนาด (elongation) สามารถคํานวณไดจาก:

( )T T L T Lδ ε α= = ∆ (2.6)

36



ถาความเครียดจากความรอน เกิดขึ้นบนโครงสราง ดังรูป

A

B

C

1T∆

2T∆


ซึ่งจะทําใหระบบเกิดการขยายตัว โดยเปนการขยายตัวอยางอิสระ ดังนั้นทําใหไมเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress) ในแตละชิ้นสวนของโครงสราง แตถาโครงสรางเปนโครงสรางที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล (statically indeterminate structures) การขยายตัวของแตละชิ้นสวนก็จะถูกจํากัด ดังรูป


ถาเราใหความรอนกับทุก ๆ ชิ้นสวนเทา ๆ กัน ก็จะทําใหทุก ๆ ชิ้นสวนเกิดการขยายตัวพรอม ๆ กัน ไมมีการดันหรือฉุดซึ่งกันและกัน จึงจะไมเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress) แตถาใหความรอนแตละชิ้นสวนไมเทากัน แตละชื้นสวนก็จะขยายตัวไมเทากัน สงผลใหเกิดการฉุดหรือดันซึ่งกันและกัน ทําใหเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress) ในโครงสรางได

37



หมายเหตุ: นอกจากนี้ การใหความรอนแบบสม่ําเสมอก็สามารถทําใหเกิดความเคนเนื่องจากความรอน (thermal stress) ไดเชนกัน การวิเคราะหปญหาโครงสรางในกรณีที่มีผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ (temperature change) สามารถทําไดโดยอาศัยความสัมพันธ ( )T T Lδ α= ∆ เปนสมการ constitutive ดังกรณีตอไปนี้

d TA

B

L

R

T∆

R

A

B

A

B

R

complete structure release structure redundant structure

T∆


จากวิธีความยืดหยุน (flexibility method) พิจารณาสมการ constitutive ของ released structure:

( )T T Lδ α= ∆ พิจารณาสมการ constitutive ของ redundant structure:

RRLAE

δ =

กําหนดสมการ compatibility (δ = 0 )

T Rδ δ δ= −

= 0

T Rδ δ∴ =

38




( ) RLT LAE

α ∆ =

( )R EA Tα∴ = ∆ หมายเหตุ: จากสมการขางตนทําใหเราทราบวาแรง R ไมข้ึนกับระยะ L

จากนิยามของความเคน R Aσ =

( )T E Tσ α∴ = ∆ หมายเหตุ : จากสมการขางตนทําใหเราทราบวาความเคนเนื่องจากความรอน ( Tσ ) ไมข้ึนกับระยะ L และพื้นที่หนาตัด A

ตัวอยางที่ 2.2 ปลอกกลวง (sleeve) ยาว L ถูกยึดดวยนอต ดังรูป กําหนดใหปลอกกลวง และนอตทําจากวัสดุที่แตกตางกัน จงหา sσ และ bσ เมื่อ s bα α>

L

T∆

Nut Sleeve Bolt headWasher

Before Heat

Released Structure

Redundant StucturePb Ps

δ1

δ2

δ3

δ4

δ

รูปที่ e2.2

39



a) วิธีความยืดหยุน (flexibility method) กําหนดสมการ constitutive โดย:

( )S T Lδ α= ∆1 (การเปลี่ยนแปลงขนาด เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ)

( )b T Lδ α= ∆2 (การเปลี่ยนแปลงขนาด เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ) S

S S

P LA E

δ =3 (การเปลี่ยนแปลงขนาด เนื่องจากแรง, Ps เปนแรงอัด)

b

b b

P LA E

δ =4 (การเปลี่ยนแปลงขนาด เนื่องจากแรง, Pb เปนแรงดึง)

กําหนดสมการ compatibility:

δ δ δ δ δ= − = +1 3 2 4 แทนคาความสัมพันธ constitutive ลงในสมการ compatibility:

( ) SS

S S

P LT L

A Eδ α= ∆ −

( ) bb

b b

P LT L

A Eδ α= ∆ + (a)

จากสมการสมดุล:

SP P= b (b)

แกสมการ (a) และ (b): ( )( )S b S S b b

S bS S b b

T E A E AP P

E A E Aα α− ∆

= =+

และ ( )( )S S b S b

SS S S b b

P T EA E A E A

α ασ

− ∆= =

+bE A

( )( )b S b S S bb

b S S b b

P T EA E A E A

α ασ

− ∆= =

+A E

โดยพบวา S b

b S

AA

σσ

=

40



และสามารถหาการเปลี่ยนแปลงขนาดรวมของระบบไดโดยแทน Pb หรือ PS ลงในสมการ (a): ( )S S S b b b

S S b b

E A E A T LE A E A

α αδ

+ ∆=

+( )

ซึ่งใชกรณีที่ปลอกกลวงและนอตทําจากวัสดุชนิดเดียวกัน ( s bα α= ):

σ = 0 และ

[ ](S S S b b

S S b b

E A E A T LE A E A

αδ

+ ∆=

+)

( )S T Lα= ∆

( )b T Lα= ∆

b) จากวิธีความคงตัว (stiffness method) พิจารณาสมการ constitutive และสมการ compatibility ของปลอกกลวง

δ = การเปลี่ยนแปลงขนาดที่เกิดจากแรง (ลดขนาด) + การเปลี่ยนแปลงขนาดที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ (เพิ่มขนาด)

SP

( )SP S T Lδ α= − + ∆


( )SP S T Lδ δ α= − + ∆

จากสมการ constitutive

S

S SS P

E AP

Lδ=

[ ( )S SS S

E AP

Lδ α∴ = − − ∆ ]T L (c)

41



พิจารณาสมการ constitutive และสมการ compatibility ของนอต

δ = การเปลี่ยนแปลงขนาดที่เกิดจากแรง (เพิ่มขนาด) + การเปลี่ยนแปลงขนาดที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ (เพิ่มขนาด)

Pb

( )bP b T Lδ α= + ∆


( )bP b T Lδ δ α= − ∆

จากสมการ constitutive

b

b bb

E AP

L Pδ=

[ ( )b bb b

E AP

Lδ α∴ = − ∆ ]T L (d)


S bP P= ดังนั้น

[ ]( )S SS

E AT L

Lδ α− ∆ [ ]( )b b

bE A

T LL

δ α= − ∆

( ) ( )S S S b b b

S S b b

E A E A T LE A E A

α αδ

+ ∆∴ =

+

หมายเหตุ: การเปลี่ยนแปลงขนาดรวมที่คํานวณไดจะเทากันกับผลการคํานวณโดยใชวิธีความยืดหยุน (flexibility method)

42


(Axially loaded members) 2.4 ความเครียดคงคาง (Prestrains)

ในกรณีที่โครงสรางเปนโครงสรางที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุล (statically indeterminate structures) และเกิดความเครียดขึ้น ทําใหเกิดความเครียดคงคาง (prestrain) หรือความเคนคงคาง (prestress) ข้ึนในโครงสราง เชน คานคอนกรีตอัดแรง (prestressed concrete beam), ซี่เหล็กในลอรถจักรยาน เปนตน โดยกรณีความเครียดคงคางจะมีความใกลเคียงกับกรณีของโครงสรางภายใตอุณหภูมิที่เปลี่ยนแปลงซึ่งสามารถแสดงการวิเคราะหได ดังตอไปนี้

L

Cable Turnbuckle Rigid plate

Before Restrain

Released Structure

Redundant Structure

δ1

δ2

δ3

Pc

Pc

Pb


โดยเมื่อหมุนตัวยึดเคเบิล (turnbuckle) จะทําใหความยาวของเคเบิลส้ันลง และดึงแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง (rigid plate) ใหกดคานใหส้ันลงดวย ทําใหเกิดโครงสรางที่ไมสามารถคํานวณภาระดวยสมการสมดุลในกรณีของความเครียดคงคาง โดยกําหนดให:

p คือระยะหางระหวางชวงเกลียว (pitch) δ1 คือระยะที่ส้ันลงเมื่อหมุนตัวยึดเคเบิล จํานวน n รอบ ดังรูป 2.13 δ2 คือการเปลี่ยนแปลงขนาดของเคเบิลที่เกิดจากแรงดึง PC หลังหมุนตัวยึดเคเบิล จํานวน n รอบ δ3 คือการเปลี่ยนแปลงขนาดของคานจากแรงอัด Pb ภายหลังหมุนตัวยึดเคเบิล จํานวน n รอบ

43



P P


โดย

npδ =1 2 C

C C

P LE A

δ =2

b

b b

P LE A

δ =3

ซึ่งเรียกทั้ง 3 สมการ นี้วาสมการ constitutive ในกรณีของความเครียดคงคาง

กําหนดสมการ compatibility โดย การเปลี่ยนแปลงขนาดของคาน (δ3 ) จะมีคาเทากับระยะหดตัวของเคเบิลเมื่อหมุนตัวยึดเคเบิล (δ1) หักดวยระยะยืดตัวของเคเบิลเมื่อถูกดึงดวยแผนแข็งซึ่งไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง และคาน (δ2 )

δ δ δ= −3 1 2 แทนคาดวยความสัมพันธ constitutive:

C b

C C b b

P L P Lnp

A E A E− =2 (1)


cP P=2 b (2)

จากสมการ (1) และ (2)

( )b b c c

b cb b c c

npE A E AP P

L E A E A∴ = =

+42

2

44


(Axially loaded members) 2.5 ความเคนบนพื้นที่หนาตัดที่เอียง (Stresses on inclined sections)

กําหนดใหโครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทําผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสรางโดยความเคนตั้งฉาก (σ ) มีการกระจายอยางสม่ําเสมอ P

Aσ = :

P

A

O C DB

P

m

n

xθ

y

p

q รูปที่ 2.14

พิจารณาชิ้นสวนเล็กๆ บนรอยตัด m-n:

x

y

z

o

o x

y

σx σx = P/Aσx σx


โดย

xPA

σ = ซึ่งเปนความเคนดึงจะมีคาเปนบวกและกระจายแบบสม่ําเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด

45


(Axially loaded members) พิจารณารอยตัด p-q:

y

x0

P

p

qV

N

P

θ


โดย

iA คือพื้นที่หนาตัดเอียง

N คือแรงตั้งฉากที่กระจายอยางสม่ําเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด, cosN P θ=

V คือแรงเฉือนที่กระจายอยางสม่ําเสมอตลอดพื้นที่หนาตัด, sinV P θ=

ซึ่งสามารถแสดงความเคนที่เกิดบนรอยตัดเอียงของโครงสราง ไดดังรูป:


โดย

cos cosxi

N PA Aθσ θ σ θ= = =2 2 (2.7)

ซึ่งจะมีคาเปนบวกในกรณีแรงดึง (tensile) และเปนลบในกรณีแรงอัด (compressive)

sin cosi

V PA Aθτ θ− −

= = θ (2.8)

cos sinxσ θ θ= −

46



ซึ่งจะมีคาเปนบวกในกรณีที่ความเคนเฉือนมีทิศทวนเข็มนาฬิกา (ccw) และเปนลบในกรณีที่ความเคนเฉือนมีทิศตามเข็มนาฬิกา (cw)

พิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) บนรอยตัดเอียง:

0

y

x

z

0

y

x

τθσθ

θσx = P/A σx

τθσθ

θθ

0

y

σoAx

τθ Aosecθθ

x

σθ Aosecθθ



sec coso x oA Aθσ θ σ θ− = 0 cosxθσ σ∴ = 2 θ (2.9)

และ

sec sino x oA Aθτ θ σ θ+ = 0 sin cosxθτ σ θ∴ = − θ (2.10)

เมื่อนํา θσ และ θτ มาวาดกราฟเทียบกับ θ จะไดความสัมพันธดังตอไปนี้

47




พิจารณา θσ :

xθσ σ= เมื่อ oθ = 0

θσ = 0 เมื่อ oθ = ±90

. xθσ σ= 0 5 เมื่อ oθ = ±45

พิจารณา θτ :

θτ = 0 เมื่อ oθ = 0

maxx

θσ

τ τ= =2

เมื่อ oθ = −45

maxx

θσ

τ τ= = −2

เมื่อ oθ = + 45

สําหรับในกรณี เมื่อพิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) พบวา: oθ = 45

48



0.5 xσ

0.5 xσ

0.5 xσ

0.5 xσ

0.5 xστ max =

0.5 xστ max =

45θ =

x

y

0

a

b

c

d


หมายเหตุ : ในกรณีที่โครงสรางรับแรงอัด (compressive structure) เราสามารถแทนคา σ x เปนลบ (มีทิศทางตรงขามกับกรณีโครงสรางรับแรงดึง)

49


(Axially loaded members) 2.6 พลังงานความเครียด (Strain Energy)

พิจารณาโครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น มีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) เมื่อมีแรงกระทําผานจุดศูนยกลางมวล (centroid) ของพื้นที่หนาตัด โดยอยูในทิศทางเดียวกับแกนหลัก (longitudinal axis) ของโครงสราง ดังรูป

L

P

δ


โดย P คือแรง (static load) ที่เพิ่มขนาดจากศูนยถึง P อยางชา ๆ ซึ่งจะสงผลใหคานคอย ๆ ยืดจากศูนยถึง maxδ ในเวลาเดียวกับการเพิ่มข้ึนของแรง

เมื่อนําแรง (load) และการเปลี่ยนแปลงขนาด (displacement) มาสรางเปนแผนภูมิแรง-การเปลี่ยนแปลงขนาด (load-displacement diagram):

P

0

P

δ

δ

δ1

dδ1

P1

dP1


50


(Axially loaded members) หมายเหตุ: แผนภูมิแรง-การเปลี่ยนแปลงขนาด (load-displacement diagram) เปนคุณสมบัติเฉพาะของแตละวัสดุ

จากงาน (work) มีคาเทากับผลคูณระหวางแรงและระยะที่วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวแรง

W F S= ⋅ ซึ่งงานที่แรง P1 กระทําตอโครงสรางสงผลใหโครงสรางมีการเปลี่ยนแปลงขนาด (elongation) เปน dδ1

W P δ= ⋅1 1 1 โดยมีคาเทากับพื้นที่แรเงาในแผนภูมิแรง-การเปลี่ยนแปลงขนาด ดังนั้นงานรวม (total work) เนื่องจากแรง P:

W Pdδ

δ= ∫ 1 10

(2.11)

เราเรียกพลังงาน (energy) ที่ใชระหวางกระบวนการเปลี่ยนแปลงขนาดวา พลังงานความเครียด (strain energy) ซึ่งจะมีคาเทากับงานที่กระทําโดยแรง P โดยไมมีการสูญเสียพลังงานในรูปอ่ืนๆ หนวยของพลังงานความเครียดเปนจูล (J) หรือนิวตัน-เมตร (N.m)

ในกรณีที่แรง P คอยๆ ลดลงจนมีคาเปนศูนย คานก็จะคอยๆ หดสั้นลงดวย โดยเราแบงพฤติกรรมการเปลี่ยนแปลงของคานออกเปน:

1) แรง P > ขีดจํากัดอิลาสติก (elastic limit)

0

P

δ

A

B

CD

Inelastic strain energy

Elastic strain energy


51


(Axially loaded members) โดยพลังงานความเครียดอิลาสติก (elastic strain energy) คือพลังงานที่ปลอยออกในชวงที่คอยๆลดแรง (unloading) และพลังงานความเครียดอินอิลาสติก (inelastic strain energy) คือพลังงานที่ใชในกระบวนการเปลี่ยนแปลงขนาดอยางถาวร (permanently deformation process)

2) แรง P < ขีดจํากัดอิลาสติก (elastic limit) ซึ่งไมมีกระบวนการเปลี่ยนแปลงขนาดอยางถาวร

0

P

δB

A

δ

P PU δ=

2


ดังนั้น PU W δ

= =2

(2.12)

ในกรณีของคานที่มีการกระจายตัวของความเคนอยางสม่ําเสมอ PLEA

δ = EAPL

δ=

P L EAUEA L

δ∴ = =

2

2 2

2 (2.13)

จาก stiffness(k) EAL

= :

P kUk

δ∴ = =

2

2 2

2 (2.14)

52



ในกรณีที่ระบบประกอบดวยชิ้นสวนตั้งแต 1 สวนประกอบขึ้นไป พลังงานความเครียดรวม

(total strain energy, U) สามารถหาไดจาก: P1

P2


ni i

i ii

P LU

E A=

= ∑2

1 2 (2.15)

โดย

iP คือแรงในแนวแกน (axial force) ที่กระทํากับชิ้นสวนที่ i ของคาน

n คือจํานวนของชิ้นสวนทั้งหมด

เชนเดียวกันถาระบบมีพื้นที่หนาตัดไมคงที่ (non-prismatic bar) และมีแรงกระทําในแนวแกนที่ไมคงที่ (varying axial force) เราสามารถหาพลังงานความเครียดรวม (total strain energy) ไดจาก:

L

X dx


53



[ ]( )( )

L P x dxU

EA x= ∫

2

02

(2.16)

โดย

( )P x คือแรงกระทําในแนวแกนที่ไมคงที่ (varying axial force) ที่ตําแหนง x

( )A x คือพื้นที่หนาตัดที่ตําแหนง x

เมื่อเรานําพลังงานความเครียดหารดวยปริมาตรหนึ่งหนวยของวัสดุจะไดความหนาแนนของพลังงานความเครียด (strain energy density, u) โดยในกรณีอิลาสติก

UuAL

= (2.17)

โดย u จะมีการกระจายตัวอยางสม่ําเสมอตลอดปริมาตรของวัสดุ

แทน P L EAVEA L

δ= =

2

2 2

2 ลงใน u :

P L EAuEA L AL

δ= =

2

22 2

2

2 (2.18)

EuE

σ ε∴ = =

2

2 2

2 (2.19)

จากกฎของฮุก; Eσ ε=

uE E

σ σσ σε∴ = = ⋅ ⋅ =2 1 1

2 2 2

( )E Eε ε ε σ= = ⋅ ⋅ =2 1

2 2 2ε1 (2.20)

โดย u สามารถคํานวณไดจากพื้นที่ใตกราฟแผนภูมิความเคน-ความเครียด

54



หมายเหตุ: - คาของ U และ u จะเปนบวกเสมอ เนื่องจากอยูในรูปกําลังสองของ σ และ ε

- หนวยของ u เปน N/m2 หรือ J/m3

- คา u ในชวงอิลาสติกเรียกวา modulus of resilience ( ) ซึ่งหมายถึง

ความสามารถในการดูดซับพลังงานในชวงอิลาสติก โดย ru

pru

Eσ

=2

2

- คา u ที่ตําแหนงที่เกิดการแตกหักเรียกวา modulus of toughnesss ( ) ซึ่งหมายถึงความสามารถในการดูดซับพลังงานกอนจะเกิดการแตกหัก

tu

ตัวอยางที่ 2.3: จงหาพลังงานความเครียด (strain energy) ในโครงสรางที่ถูกกระทําดวยแรงโนมถวงของโลก (น้ําหนักของโครงสราง) และแรง P ดังรูป กําหนดให γ คือความหนาแนนของวัสดุ

Ldx

x

P รูปที่ E2.3

แรงที่กระทํากับโครงสรางเนื่องจากแรงโนมถวง และแรง P:

( ) ( )P x A L xγ= − + P

จาก [ ]( )L P xU

EA= ∫

2

02

dx แทนคาดวย ( )P x

55



[ ]( )L A L x PU d

EAγ − +

∴ = ∫2

02

x

AL PL PE E E

γ γ= + +

2 3 2 2

6 2 2LA

หมายเหตุ: ALE

γ 2 3

6 คือพลังงานความเครียดเนื่องจากน้ําหนักของโครงสราง

P LEA

2

2 คือพลังงานความเครียดเนื่องจากแรง P

PLE

γ 2

2คือพลังงานความเครียดเนื่องจากน้ําหนักของโครงสราง และ แรง P

ตัวอยางที่ 2.4: แทงทรงกระบอกยาว L จํานวน 3 ชิ้น ทําจากวัสดุชนิดเดียวกัน มีขนาดดังรูป รับแรง P เทาๆ กัน จงเปรียบเทียบคาพลังงานความเครียด (strain energy) ในแตละกรณี โดยกําหนดใหวัสดุแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติก

L

3d

P

L/8d

P

L/4

d

P

3d

d


พิจารณาชิ้นงานที่ 1; P LUEA

=2

1 2

56



พิจารณาชิ้นงานที่ 2;

( / ) ( / )

( )P L P LU

EA E A= +

2 2

24 3

2 2 94

UP LUEA

∴ = =2

12 6 3

พิจารณาชิ้นงานที่ 3; ( / ) ( / )

( )P L P L P LU

EA E A EA= + =

2 2

38 7 8

2 2 9 9

2

UU∴ = 13

29

หมายเหตุ:

- Uvolume

∝1

- แทงทรงกระบอกชิ้นที่ 3 ใชพลังงานความเครียดนอยกวาแทงทรงกระบอกที่เหลือ ในการทําใหเกิด maxσ (ซึ่งเทากันกับแทงทรงกระบอกชิ้นที่ 2) ดังนั้นยิ่งสวนเวามีระยะสั้นโอกาศที่จะเกิด maxσ ก็งาย

ข้ึนเทานั้น (ใชพลังงานความเครียดนอย) ซึ่งสงผลใหมีอันตรายสูง

2.7 การเปลี่ยนแปลงขนาดจากการกระทําของแรงคงที่ (Displacements caused by a single load)

เมื่อโครงสรางซึ่งแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติก รับแรงคงที่ P:

U W Pδ= =12

ซึ่งมีขนาดเทากับพื้นที่ใตกราฟแรง-การเปลี่ยนแปลงขนาด (load-displacement curve)

หรือ UP

δ =2 (2.21)

โดยการเปลี่ยนแปลงขนาด (displacement) จะมีสาเหตุมาจากแรงคงที่ P ที่มากระทําเทานั้น

57


(Axially loaded members) ตัวอยางที่ 2.5: จงหาการเปลี่ยนแปลงขนาดในแนวดิ่ง (vertical displacement, Bδ ) ของจุด B ดังรูป โดยคานทั้งสองมีคาความแข็งแกรง (rigidity) เปน EA

A C

B

P

H

β β


งาน (W) เนื่องจากแรง P มีคาเทากับพลังงานความเครียด (strain energy, U) ของระบบ โดยแรงในคานแตละชิ้น (F) มีขนาดเปน:

cosPF

β=

2

ดังนั้น F LU

EA⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

212

2

จาก cos

HLβ

=1 และ cosPF

β=

2:

cosP HU

EA β∴ =

2

34

และ

bW Pδ=12

โดย U ดังนั้น: W=

cos bP H P

EAδ

β=

2

3124

58


(Axially loaded members) โดยการเปลี่ยนแปลงขนาดในแนวดิ่ง (vertical displacement, Bδ ) ของจุด B คือ

cosbPH

EAδ

β∴ = 32

2.8 แรงแปรผัน (Dynamic Loading)

แรงคงที่ (static loading) คือแรงที่มีขนาดเริ่มจากศูนย และเพิ่มข้ึนอยางชาๆ จนกระทั่งถึงขนาดสูงสุด และจะคงที่ตลอด สวนแรงแปรผัน (dynamic loading) คือแรงที่กระทําอยางทันทีทันใด (impact) หรือแรงที่มีการเปลี่ยนแปลงขนาด ทิศทาง เมื่อเวลาเปลี่ยนไป เชน แรงที่เกิดจากการหลนของวัตถุมากระทบผิงแข็ง แผนดินไหว น้ําหนักที่กระทําบนเพลาหมุน เปนตน

พิจารณาในกรณีของแรงกระแทกโดยมวล M ซึ่งอยูหยุดนิ่งในจุดเริ่มตนที่ระยะ h จากตําแหนงตํ่าสุดของแทงทรงกระบอก AB ดังรูป

A

B

h

ML

flange

sliding collarof mass M

A

Bδ max

h


59



เมื่อมวล M เคลื่อนที่เขากระทบปลายแทงทรงกระบอกที่จุด B จะทําใหแทงทรงกระบอกเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาด (เกิดความเคนและความเครียด) โดยจุด B จะยืดลงมายังจุดต่ําสุด ( maxδ ) และเคลื่อนที่ข้ึน-ลงจนกระทั่งหยุดนิ่ง (ภาวะสมดุล) โดยมีการเปลี่ยนแปลงขนาดสุดทายเทากับการเปลี่ยนแปลงขนาดในกรณีแรงคงที่ (static load) M มากระทํา โดยพลังงานจะมีการเปลี่ยนรูปดังนี้

พลังงานศักยของน้ําหนัก M ที่ความสูง h ⇒ พลังงานจลยของน้ําหนัก M ความเร็ว V ที่จุด B โดยพลังงานจลยของน้ําหนัก M ที่มีความเร็ว V ที่จุด B ⇒ พลังงานความเครียด + ความรอน + การเปลี่ยนแปลงขนาดแบบถาวร (plastic strain) + เสียง + พลังงานจลยที่ตําแหนงตางๆ ของแทงทรงกระบอก

หมายเหตุ: เพื่อใหการคํานวณงายขึ้น เรากําหนดใหการชนเปนแบบ perfectly plastic impact คือ มวล M และปลาย B เคลื่อนที่ติดกันไปและไมคิดการสูญเสียพลังงานตางๆ ซึ่งไดแก ความรอน เสียง การเปลี่ยนแปลงขนาดแบบถาวร ซึ่งทําใหพลังงานความเครียดมีคาสูงกวาความเปนจริง และสงผลใหความเคนสูงไปดวยเชนกัน ซึ่งเปนปจจัยความปลอดภัย (safety factor ในการออกแบบไดอยางหนึ่ง) นอกจากนี้ เรายังไมคิดน้ําหนักของแทงทรงกระบอก AB อีกดวย

จากหลักการอนุรักษพลังงาน (conservation of energy):

W mg= 2max

max( )2

EAW hL

δδ+ =

หารากที่สองของสมการ ( maxδ ) โดยเลือกรากที่เปนบวก: 1

2 2

max2WL WL WLh

EA EA EAδ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

กําหนดให stδ คือการเปลี่ยนแปลงขนาดในกรณีแรงคงที่ (static elongation) จากน้ําหนัก W:

stWLEA

δ = 1

2 2max 2st st sthδ δ δ δ⎡ ⎤∴ = + +⎣ ⎦ (2.22)

60



ในกรณีที่ sth δ :

max 2 sthδ δ≈ (2.23)

จาก 2 ; ; stWLv gh W MgEA

δ= = = ดังนั้น

2

maxMv LEA

δ∴ ≈ (2.24)

เนื่องจากกําหนดใหความเคนในแนวแกนมีการกระจายอยางสม่ําเสมอ และมีพฤติกรรมแบบอิลาสติก:

maxmax max

EEL

δσ ε= =

1

2 22W W WhEA A AL

⎡ ⎤⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

1

22

max2

st st sthEL

σ σ σ σ⎡ ⎤∴ = + + ⋅⎢⎣ ⎥⎦ (2.25)

ในกรณี sth δ หรือ stLhE

δ :

2

max2 . sthE Mv E

L Aσσ ≈ =

L (2.26)

หมายเหตุ: ในกรณีที่โครงสรางมีพื้นที่หนาตัดไมคงที่ เราไมสามารถใชความสัมพันธ EAP

Lδ

= เนื่องจากความเคนมีการกระจายแบบไมสม่ําเสมอ แตเราสามารถแทน EA L ดวย P δ ดังนั้น

61



1. 1

2 2

max2

( ) ( ) ( )W W WhP P P

δδ δ δ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2. ( ) ( )st

W MgP Mg

δ δδ δ

= = =

3. 2

max ( )MvP

δδ

≈

4. max max maxPP kδ δδ

= = ⋅

5. maxmax

min

PA

σ =

ในกรณีที่มวล M เคลื่อนที่มากระแทกคานในแนวระดับ โดยกําหนดใหมวลของวัตถุ M มากกวามวลของคานมากๆ ดังรูป ซึ่งพลังงานจลยของน้ําหนัก M จะเปลี่ยนเปนพลังงานความเครียดของคาน

M

L

δ

v


2 2

max

2EAMv

Lδ

=

2

maxMv LEA

δ∴ = (2.27)

62



สมมุติใหความเคนมีการกระจายแบบสม่ําเสมอ และมีพฤติกรรมแบบอิลาสติก: 2

maxmax

E Mv EL A

δσL

∴ = = (2.28)

หมายเหตุ: พบวา maxδ และ maxσ ของการชนในแนวระดับมีคาเทากับ maxδ และ maxσ ของการชนในแนวดิ่ง เมื่อ sth δ>>

2.9. แรงที่กระทําอยางทันทีทันใด (Suddenly applied load)

ในกรณีที่น้ําหนัก W กระทําตอคานอยางทันทีทันใด โดยไมมีความเร็วเริ่มตน ซึ่งกรณีนี้ตางจากแรงคงที่ (static load) ที่แรงคอยๆ เพิ่มจากศูนย จะทําใหแรงตานในคานคอยๆ เพิ่มข้ึนจนมีคาเทากับ W โดยคานจะยืดตัวจนกระทั่งถึงจุดต่ําสุด ( maxδ )

( )1

2 2max 2st st sthδ δ δ δ= + +

แตเนื่องจากแรงที่กระทําอยางทันทีทันใด เสมือนกับน้ําหนัก W ตกจากระยะ h = 0 ดังนั้น

( )1

2 2max st stδ δ δ= +

max 2 stδ δ∴ = (2.29)

โดยหลังจากที่ W ยืดตัวจนถึงจุดต่ําสุด ก็จะถูกดึงใหเคลื่อนที่ข้ึน-ลง จนกระทั่ง stδ δ⇒ ในที่สุด

2.10 การสูญเสียพลังงาน (Energy Losses)

ในกรณีที่เราคิดพลังงานที่สูญเสียไปในการชน (impact) เชน พลังงานความรอน เสียง ฯลฯ เราสามารถกําหนดพลังงานที่เหลือจากการสูญเสียพลังงานในรูปตางๆ ไดโดย คือพลังงานจลนกอนการชน (kinetic energy before impact) คือพลังงานจลยภายหลังการชน (kinetic energy after impact) และ คือปจจัยการสูญเสียพลังงานจลน (kinetic energy loss factor) ดังนั้น

1KE

2KE

LK

2 (LKE K KE= 1) (2.30)

63



2.11 แบบฝกหัด

1. ระบบซึ่งประกอบดวยชิ้นสวน 2 ชิ้น ทําจากวัสดุชนิดเดียวกัน ดังรูป ถูกกระทําดวยแรง P1 และ P2 จงหาอัตราสวนระหวาง P1/P2 ที่ทําใหจุด C ไมมีการเปลี่ยนแปลงตําแหนง (จัดใหอยูในความสัมพันธของ A1, A2, L1, L2, L3 และ L4)

(คําตอบ: LP A

P L A L⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

32 1

1 4 2 11 L2 )

2 แทงพลาสติก ABC ยาว 1.2 เมตร และมีคาโมดูลัส E = 4.0 GPa ประกอบดวยสวน AB (เสนผาศูนยกลาง 100 มม) และ BC (เสนผาศูนยกลาง 60 มม) ซึ่งมีความยาวเทากัน ดังรูป ในสวน AB มีรูในแนวแกนลึกครึ่งหนึ่งของระยะ AB ถาแทงพลาสติกถูกอัดดวยแรง P = 110 kN และระยะหดสั้นสุดที่เปนไปได คือ 8 มม จงหาเสนผาศูนยกลางของรู (d) สูงสุดที่เปนไปได

(คําตอบ: 23.9 มม)

64



3. แทงคอนกรีตซึ่งมีพื้นที่หนาตัดเปนสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังรูป มีคาโมดูลัส E = 24 GPa จงหาระยะหดตัวเมื่อมีแรงอัด 1600 kN มากระทํา (ไมคิดน้ําหนักของคอนกรีต)


4. จงหาระยะยืดตัว (δ )ที่ปลายแหลมของชิ้นสวนพื้นที่หนาตัดรูปวงกลม เนื่องจากน้ําหนักของโครงสราง ดังรูป ถาน้ําหนักตอปริมาตรหนึ่งหนวยเปน γ และโมดูลัสอิลาสติกซิตีเปน E

(คําตอบ: LE

γδ =2

6)

65



5. แทงเหล็ก (S) และทองเหลือง (B) ถูกยึดดวยวัสดุแข็งและประกอบกันเปนระบบ ดังรูป ถาพื้นที่หนาตัดรวมของแทงเหล็กมากเปน 1.5 เทาของพื้นที่หนาตัดของแทงทองเหลือง และคาโมดูลัสอิลาสติกซิตีของเหล็กสูงเปน 2 เทาของคาโมดูลัสอิลาสติกซิตีของทองเหลือง จงหาแรงที่เกิดขึ้นในแทงทองเหลือง

(ตอบ: BP P= 4 )

6. แทง AB ยาว 0.5 เมตร เสนผาศูนยกลาง 30 มม ดังรูป ถูกสรวมดวยทอ CD ยาว 0.3 เมตร เสนผาศูนยกลางภายนอก 45 มม ถาระหวางแทง AB และทอ CD ไมมีการไถล คาโมดูลัสของแทง AB เปน 3.1 GPa และคาโมดูลัสของทอ CD เปน 2.5 GPa จงหาระยะยืดของทอเมื่อถูกดึงดวยแรง 15 kN (คําตอบ: 2.39 มม)

66


(Axially loaded members) 7 ปลอกโลหะสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนา 25 มม ถูกหลอดวยคอนกรีต ดังรูป ถาคาโมดูลัสของโลหะเปน 84 GPa และคาโมดูลัสของคอนกรีตเปน 14 GPa จงหาขนาดสูงสุดของแรง P กําหนดใหโลหะสามารถรับความเคนได 36 MPa และคอนกรีตสามารถรับความเคนได 4.8 MPa (สมมติใหความเคนที่เกิดขึ้นมีการกระจายตัวอยางสม่ําเสมอบนพื้นที่หนาตัด)

(คําตอบ: 840 kN)

8. ทอเหล็กและอลูมิเนียมถูกยึดที่จุด A และ B ดังรูป โดยแผน C ไมมีการเปลี่ยนแปลงขนาด จงหาความเคนที่เกิดขึ้นในเหล็กและอลูมิเนียม ( sσ และ aσ ) เมื่อ P = 50 kN, Aa = 6000 มม2, As = 600 มม2, Ea = 70 GPa, และ Es = 200 GPa

(คําตอบ: . MPa (compression)Aσ =10 6 , . MPa (tension)Sσ = 60 6 )

67



9. คานผสมซึ่งมีลักษณะและคุณสมบัติเชิงกลดังแสดงในรูป จงหา (a) ระยะ e ที่ทําใหเกิดความเคนอัดที่กระจายตัวอยางสม่ําเสมอในวัสดุทั้งสอง และ (b) จงหาแรงที่เกิดในวัสดุทั้งสอง

(คําตอบ: (a) ((

))

b E Ee

E E−

=+

2 1

2 12, และ (b) 1 2P , PPE PE

E E E E= =

+ +1 2

1 2 1 2)

10. แทงเหล็ก ABC (E = 200 GPa) ถูกยึดที่จุด A และดึงดวยแรง P = 45 kN ที่จุด C ปลอกเหล็ก BD รองรับแทงเหล็ก ABC ที่จุด B จงหาระยะยืดที่จุด C ถากําหนดใหในสภาวะที่ไมมีแรงภายนอกมากระทํา ปลอกเหล็ก BD มีขนาดพอดีกับชวงลางของแทงเหล็ก (จุด B ถึงพื้น) และ L1 = 2L2 =250 มม, L3 = 100 มม, A1 = 2A3 = 1000 มม2, และ A2 = 322 มม2


68



11. แทง ABC ยาว L ทําจากวัสดุซึ่งมีโมดูลัสอิลาสติกเปน และสัมประสิทธิการขยายตัวเนื่องจากความรอนเปน

E

α ถูกยึดระหวางผนังแข็งเกร็ง ดังรูป ถามีการเพิ่มข้ึนของอุณหภูมิอยางสม่ําเสมอ เกิดขึ้นกับระบบ และ T∆ A A>2 1 จงหา (a) ความเคนสูงสุดในแนวแกน และ (b) การเปลี่ยนแปลงตําแหนงของจุด B โดยกําหนดใหการเปลี่ยนแปลงตําแหนงไปทางซายเปนบวก

(คําตอบ: (a) ( )E T AA Aα

σ∆

=+

2

1 2

2 , แรงอัด และ (b) ( )( )( )

L T A AA A

αδ

∆ −=

+2 1

1 22)

12 ปลอกทองเหลือง (b) ซึ่งมีเสนผาศูนยกลางภายใน 26 มม และเสนผาศูนยกลางภายนอก 36 มม. ถูกยึดอยางพอดี (ไมมีแรงกระทําที่ผิวทั้งสองขางของปลอกทองเหลือง) ดวยนอตเหล็ก (s) เสนผาศูนยกลาง 25 มม ดังรูป จงหาการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ ( T∆ ) ที่ทําใหเกิดความเคนอัด 25 MPa ในปลอกทองเหลือง โดยกําหนดให , o/b Cα −= × 620 10 GPabE =100 , และ

o /s Cα −= × 612 10

GPasE = 200

(คําตอบ: ) . o T C∆ = 46 8

69



:

13. ในการผลิตคอนกรีตอัดแรง เหล็กเสนถูกยืดดวยแรง Q จากนั้นเทคอนกรีตหุมเหล็กเสน และรอจนกระทั้งคอนกรีตแหงจึงคลายแรง Q ออก ซึ่งทําใหเหล็กเสนรับแรงดึง และคอนกรีตรับแรงอัด ถาแรง Q ทําใหเกิดความเคนเริ่มตนในเหล็กเสนเปน 760 MPa อัตราสวนระหวาง

และ: :steel concreteE E = 8 1 :steel concreteA A =1 30 จงหาความเคนที่เกิดในเหล็กเสนและคอนกรีตหลังจากเสร็จกระบวนการผลิต

(คําตอบ: s MPaσ = 600 และ c MPaσ = 20 )

14. เคเบิล AB ถูกยึดติดกับเพดานแข็งเกร็ง โดยมีแรงดึง 6 kN คางอยูในเคเบิล ถานําน้ําหนัก 8 kN มาแขวนบนเคเบิลที่ตําแหนง h จากฐานดานลาง จงหาแรง และ เมื่อ h เร่ิมต้ังแต 0 ถึง L (เคเบิลไมสามารถรับแรงอัด)

aP bP

(คําตอบ: ahPL

= +8000 6000 และ bhPL

= −8000 2000 )

70



15. คานซึ่งรับแรงอัดประกอบดวยพลาสติก 2 ชิ้นประกบกันดวยกาวตามแนว pq ดวยมุม ดังรูป กาวสามารถรับความเคนอัดได 8 MPa และความเคนเฉือนได 7 MPa และพลาสติก

สามารถรับความเคนอัดได 16 MPa และความเคนเฉือนได 10 MPa จงหาวาความกวางต่ําสุด ( ) ของคานควรเปนเทาไหรที่จะไมทําใหคานเสียหาย เมื่อมีแรงอัด

oα = 40

minb kNP =142 มากระทํา

(คําตอบ: ) mm 100min =b

16 จากชิ้นสวนความเคน (stress element) ซึ่งถูกตัดออกมาจากคานที่รับแรงในแนวแกน ดังรูป จงหา θ , θτ , maxσ และ maxτ

(คําตอบ: ) MPa 5.61 MPa, 123 MPa, 58 ,26.35 maxmaxmax ==−== τστθ o

71


(Axially loaded members) 17. คานยาว L พื้นที่หนาตัด A รับแรง P, 2P และ 3P ดังรูป จงหาพลังงานความเคน (U) ในคาน เมื่อ , , และ kNP = 21 . mL = 1 5 GPaE = 200 2mmA = 822

(คําตอบ: ) Jule 75.3=U

18. คาน AB ซึ่งมีพื้นที่หนาตัดเปนวงกลม ถูกกระทําดวยแรง P ดังรูป ถาคานทําจากวัสดุซึ่งมีโมดูลัสความยืดหยุน E จงหาพลังงานความเครียด (U) และการเปลี่ยนแปลงขนาด (δ ) ของคาน

(คําตอบ: 21

22dEdLPU

π= และ

21

4dEd

PLπ

δ = )

72



19. แรงอัด P กระทําผานแผนแข็งเกร็งผานไปยังเสา 3 ตนซึ่งมีพื้นที่หนาตัดเทากัน และทําจากวัสดุเดียวกัน ดังรูป ถา , , mL =1 mmS = 1 GPaE = 45 และ จงคํานวณ (a) แรง P ที่ทําใหชองวาง (S) ปด, (b) ระยะเคลื่อนที่ (

2mmA = 3000

δ ) ลงของแผนแข็งเกร็ง เมื่อถูกแรง มากระทํา, (c) พลังงานความเครียดรวม (U) ในเสาทั้งสามตน เมื่อ

kNP = 400

kNP = 400 และ (d) อธิบายสาเหตุที่ความเครียดรวม (U) ไมเทากับ Pδ 2

(คําตอบ: (a) , (b) kN 270=P mm 321.1=δ , (c) Jule 243=U , และ (d) load-displacement diagram ไมมีพฤติกรรมเชิงเสน)

73



20. น้ําหนัก ตกลงมากระทบแทงไมทรงกลม kNW = 18 GPaE =10 ดังรูป จงคํานวณ (a) ความเคนอัดสูงสุด ( maxσ ) เมื่อสมมุติใหไมมีการสูญเสียพลังงานระหวางการชน และ (b) ความเคนอัดสูงสุด ( maxσ ) เมื่อสมมุติใหมีการสูญเสียพลังงานระหวางการชน .LK = 0 8

(คําตอบ: (a) MPa 2.16max =σ และ (b) MPa 3.14max =σ )

74


(Axially loaded members) 21. ทอทรงกระบอกถูกปดดวยแผนเหล็กที่ปลายทอ ดังแสดงในรูป (a) โดยมีระยะยึดของนอตเปน เมื่อมีแรงที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา b1 ( )F t มากระทําชวงเวลาหนึ่ง นอตเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาด สงผลใหเกิดงาน W และความเคนสูงสุด σ1 ในนอต ถาออกแบบใหระยะยึดของนอตเปน ดังแสดงในรูป (b) และมีแรงที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา

b14

( )F t มากระทําชวงเวลาและเกิดงานเชนเดียวกับกรณีแรก จงคํานวณหาความเคนสูงสุด σ1 ในนอต (โดยทั่วไปนอตที่มีระยะยึดยาวจะใชกับกรณีแรงแปรผัน)

(คําตอบ: ab σσ 5.0= )

75



76

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members)

สําหรับโครงสรางมีลักษณะตรง และมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว (prismatic bar) มีสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homo-geneous and isotropic) มีการกระจายของวัสดุอยางตอเนื่อง โดยไมมีชองวางใด ๆ เกิดขึ้น เมื่อโครงสรางรับแรงคูบวบ (couple) จะทําใหเกิดการบิดรอบแกนหลัก (longitudinal axis) ดังรูป 3.1

P1

P1

P2

P2

d2d1

T2 = P2d2

T1 = P1d1

T2T1

T1 T2


โดย

T P d=1 1 1 2 และ T P d=2 2

ซึ่งเราเรียก และ T วาแรงบิด (torque), แรงคูควบ (twisting couple) หรือ โมเมนตบิด (twisting moment).

T1 2

77


3.1 การบิดในคานทรงกระบอก (Torsion of circular bars)

พิจารณาทรงกระบอกที่ถูกแรงบิด (T ) กระทําที่ปลายทั้งสอง โดยไมมีแรงอื่นมากกระทํา ดังรูป 3.2 ซึ่งเราเรียกกรณีเชนนี้วา "pure torsion" โดยแรงบิดจะทําใหโครงสรางเกิดการบิดเปลี่ยนรูปไป โดยพื้นที่หนาตัดยังคงที่และรัศมียังเปนเสนตรงอยู

mn

n' φ TT ττ

x dx

L


โดย φ คือมุมที่มีการบิดไป (angle of twist)

a

d

b

b'

cc'

d

dx

Or


เมื่อพิจารณารอยตัด dx. พบวาความเครียดเฉือน (shear strain, γ ) bbab

γ′

=

แตเนื่องจาก bb' มีคาเทากับความยาวฐานในสามเหลี่ยม bb'o สงผลให bb rdφ′ = และ ดังนั้น

ab dx′ =

rddx

φγ =

โดย d dxφ หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงมุมบิด (angle of twist) เมื่อเทียบกับระยะ x ซึ่งสามารถเรียกวามุมบิดตอหนึ่งหนวยความยาว (angle of twist per unit length, θ )

78


rd rdx

φγ θ∴ = = (3.1)

ในกรณีที่โครงสรางรับแรงบิดเทานั้น (pure torsion) มุมบิดตอหนึ่งหนวยความยาว (θ ) จะมีคาคงที่ตลอดความยาวของโครงสราง โดย Lθ φ= ดังนั้น:

rrLφγ θ= = (3.2)

หมายเหตุ : ความสัมพันธระหวางสมการ (3.1) และ (3.2) พัฒนาโดยอาศัยหลักการทางเรขาคณิต (geometric concept) บนพื้นฐานของคานทรงกระบอก ซึ่งสามารถประยุกตใชไดในกรณีอิลาสติก พลาสติก พฤติกรรมเชิงเสน หรือพฤติกรรมไมเปนเชิงเสน ก็ได

ในกรณีคานทรงกระบอกที่รับแรงบิดแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน (linear elastic) เราสามารถพิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) abcd ไดโดยอาศัยกฎของฮุก (Hooke's Law):

a

cd

b

c'

b'

τ

τ

ττ


G Grτ γ θ= = ในกรณีที่พิจารณาชิ้นสวนความเคนที่อยูหางจากเสนแนวแกนเปนระยะ ρ พบวา:

γ ρθ= Gτ ρθ= (3.3)

โดย G คือโมดูลัสอิลาสติกเฉือน

หมายเหตุ : คาความเคนและความเครียดในคานทรงกระบอกที่รับแรงบิด มีการเปลี่ยนแปลงแบบเชิงเสน โดยมีคาเปนศูนยที่เสนแนวแกน และมีคามากที่สุดที่ผิวนอกของคานทรงกระบอก

79


เมื่อพิจารณารอยตัด dx ของคานทรงกระบอกในสามมิติพบวา สมดุลของแรงแสดงไดโดย:

ความเคนเฉือนบนระนาบตัดขวาง (cross section plan) = ความเคนเฉือนบนระนาบตามแนวแกน (longitudinal plane)

ττ


ซึ่งถาสมบัติของวัสดุในระนาบตามแนวแกน (longitudinal plane) ออนแอกวาคุณสมบัติของวัสดุในระนาบตัดขวาง (cross section plan) เชน คานทรงกระบอกที่ทําจากไม การแตกหักก็จะเกิดขึ้นกับวัสดุในระนาบตามแนวแกนกอน

จากสมการสมดุลพบวาแรงคูควบ (couple) ที่เกิดจากความเคนเฉือนบนรอยตัดขวาง (cross section) จะตองมีคาเทากับแรงบิดจากภายนอก (torque, T) ที่มากระทํา:

dAr

dρ

ρ

τmax τ


กําหนดให dF คือแรงเฉือนที่กระทําบนพื้นที่เล็กๆ dA โดย

dF dAτ= ดังนั้น

dT dAτρ=

80


จากสมการ (3.3) Gτ ρθ= แทนคาเพื่อหาแรงบิด (torque):

dT G dAθρ= 2

ดังนั้นแรงบิดรวม (total torque) ที่กระทําบนระนาบตัดขวาง

T G dA G dθρ θ ρ= =∫ ∫2 2 A

นิยามโมเมนตอินนีเชียเชิงขั่ว (polar moment of inertia) โดย pI dAρ= ∫ 2 ดังนั้น

pT G Iθ= (3.4)

หมายเหตุ : สําหรับวงกลมรัศมี r :

pI dA d πρρ ρ πρ= = =∫ ∫4

2 2 2

2 โดย rρ =

pr dI π π

∴ = =4

2 32

4 โดยมีหนวยเปน m4 หรือ in4

จาก PT G Iθ= ดังนั้น

p

TGI

θ = (3.5)

โดยเราเรียก วา “torsional rigidity” pGI

จาก Lφθ = ดังนั้น

p

TLGI

φ = (3.6)

โดยเราเรียก pGIL

วา "torsional stiffness" และ p

LGI

วา "torsional flexibility"

หมายเหตุ : torsional stiffness คือแรงบิด (torque) ที่ใชในการหมุนคานทรงกระบอกยาว L ใหมีมุมเปลี่ยนไป 1 หนวย

81

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) จากความเคนเฉือน Gτ ρθ= และ pT GIθ = ดังนั้น

p

TIρτ = (3.7)

เมื่อ rρ → ซึ่งจะทําให maxτ τ→ :

maxp

TrI

τ∴ = (3.8)

หรือเมื่อแทน pI ของวงกลม PI dπ= 4 32 :

maxT

dτ

π∴ = 3

16 (3.9)

3.2 คานทรงกระบอกกลวง (Hollow circular bars)

ความเคนเฉือนในคานทรงกระบอกจะมีคามากที่สุดที่ผิวดานนอกและลดลงจนมีคาเปนศูนยที่แกนกลาง ดังนั้นในกรณีที่จําเปนตองลดน้ําหนักหรือควบคุมปริมาณวัสดุ เราสามารถใชคานทรงกระบอกกลวง (hollow circular bar) ได โดยวิธีการคํานวณจะคลายกับกรณีคานทรงกระบอก

r

pr

I dAρ= ∫2

1

2

โดย คือเสนผาศูนยกลางภายใน และ คือเสนผาศูนยกลางภายนอก r1 r2


( ) (p )I r r d dπ π∴ = − = −4 4 4 4

2 1 2 12 32 (3.10)

ในกรณีที่ความหนา (thickness, t) << รัศมี (radius, r):

pd tI r t ππ∴ ≈ =

332

4 (3.11)

โดย r คือรัศมีเฉลี่ย และ d คือเสนผาศูนยกลางเฉลี่ย

หมายเหตุ : ในการวิเคราะหคานทรงกระบอกกลวง (hollow circular bar) จะตองคํานึงถึงการยุบตัว (buckling) และการยน (wrinkling) ของผนังคานดวย

82

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 3.3 การบิดของคานที่มีคุณสมบัติไมสม่ําเสมอ (Nonuniform Torsion)

ในกรณีที่โครงสรางประกอบดวยคานหลายๆ ขนาด หรือทําจากวัสดุตางๆ กัน และมีแรงบิดมากระทําแตกตางกัน ดังรูป

T1 T4T3T2


ni i

i pii

T LG I

φ=

= ∑1

(3.12)

โดย i คือลําดับของสวนประกอบ และ n คือจํานวนสวนประกอบทั้งหมด

ตัวอยางที่ 3.1 เพลา ABCD มีเสนผาศูนยกลาง 75 มม หมุนอยางอิสระ โดยที่จุด B และ C มีแรงบิด T1 = 2.25 และ T2 = 1.4 kN.m มากระทํา จุด A ยึดติดอยูกับที่ จงหา maxτ ในแตละสวนของเพลาและมุมทั้งหมดที่มีการบิดไป (φ ) โดย L1 = 0.5 เมตร, L2 = 0.75 เมตร, L3 = 0.5 เมตร, และ G = 75 GPa

A B C D

L1 L2 L3

T1 T2

B CA D

T1 T2T1+T2


83

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) พิจารณาแรงบิดจากแผนภูมิรูปรางของวัตถุ (free body diagram, FBD) พบวา:

CDT = 0 เนื่องจากไมมีแรงบิดกระทําที่จุด D

. . BCT T kN= =2 1 4 m

m

. . ABT T T kN= + =1 2 3 65

พิจารณาความเคนเฉือนจาก FBD พบวา: ( )CD

CDTd d

τπ π

= = =3 3

16 016 0

( )( )

. .. BC

BC

M mmTMPa

d mmτ

π π

×= = =

6

3 3

16 1 4 1016 16 975

( )( )

. .. AB

AB

N mmT MPad mm

τπ π

×= = =

6

3 3

16 3 65 1016 44 175

ดังนั้น maxτ ที่เกิดในชวง AB มีคา 44.1 MPa

พิจารณาการเปลี่ยนแปลงรูปรางจาก FBD พบวา: n

i i

i pii

T LG I

φ=

= ∑1

BC CDAB

p p

T L T LT LGI GI GI

= + +2 31

p

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

. . . . . .

/

kN m m kN m

GPa mmπ

+ += 4

3 65 0 5 1 4 0 75

75 32 75

0

+

. .= +0 007834 0 004507 0

. . oradφ∴ = =0 0123 0 707

84

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) สําหรับกรณีพื้นที่หนาตัดมีการเปลี่ยนแปลงอยางตอเนื่อง หรือแรงบิดมีการเปลี่ยนแปลงดังรูป 3.8

T

q

dx

L

T(X)

x

T

q

x รูปที่ 3.8

โดย q(x) คือแรงบิดตอหนึ่งหนวยความยาว (torque per unit distance) และ T(x) คือแรงบิดที่เกิดบนรอยตัดขวางที่ระยะ x จากจุดยึด (torge at cross section on distance x from the end)

ดังนั้น dφ ของชิ้นสวนซึ่งยาว dx : ( )

( )p

T x dxd

GI xφ =

( )( )

L L

p

T x dxd

GI xφ φ∴ = =∫ ∫

0 0

(3.13)

85

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) ตัวอยางที่ 3.2 เพลาเอียง AB ซึ่งมีเสนผาศูนยกลางลดลงอยางตอเนื่อง จาก เปน ถูกกระทําดวยแรงบิด (torque, T) ที่ปลายทั้งสองขาง จงหามุมที่มีการบิดไป (

ad bd

φ ) ของเพลา

T

da

A

L

dx

B

Tdb

x


พิจารณารูป FBD พบวา: b a

ad d

d d xL−

= + ⋅

( ) .b ap a

d ddI x dL

π π −⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠

44

32 32x

( )T x T= เนื่องจากแรงบิดคงที่ตลอดความยาวของเพลาเอียง

จาก ( )( ) ( )

L

p

T x dxG x I x

φ = ∫0


( )

L

p

TdxGI x

φ = ∫0

L

b aa

Tdx

d dG d xL

φπ

=−⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

∫ 40

32

L

b aa

T dxG d dd x

L

π=

−⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ 40

32 1

กําหนดให และ aa d= B ad db

L−

= ดังนั้น:

( )

LT dx

G a bxφ

π=

+∫ 40

32 1

86

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) จากตารางอินทิกรัล (integral table):

( ) ( )( )

; n

n a bxa bx dx C n

b n

+++ = + ≠

+∫1

11

−


( )( )

La bxT

G bφ

π

−⎡ ⎤+⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎣ ⎦

3

0

323

แทนคา a, b, x :

( )b a a b

TLG d d d d

φπ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠

3 332 1 1

3

3.4. การเฉือนบริสุทธิ (Pure Shear)

เมื่อคานทรงกระบอก (circular bar) หรือเพลา รับแรงบิดจะทําใหเกิดความเคนเฉือนบนระนาบตัดขวาง (cross section plane) และระนาบตามแนวแกน (longitudinal plan) โดยถาตัดชิ้นสวนความเคน (stress element) ดังรูป จะพบวาความเคนเฉือน (shear stress) เทานั้นที่เกิดบนชิ้นสวนความเคน ดังนั้นเราเรียกกรณีนี้วา การเฉือนบริสุทธิ (pure shear)

a

cd

b

τ

τ

τ

τ x

y

o τ τAo

ττAotanθ

τθ σθ

σθAosecθ

τθAosecθθ θ


พิจารณาระนาบเอียง (inclined plane) บนชิ้นสวนความเคนพบวา ความเคนตั้งฉาก (normal stress, θσ ) และความเคนเฉือน (shear stress, θτ ) มากระทํา ซึ่งเมื่อคํานวณหาแรงที่มากระทําบน ชิ้นสวนความเคนพบวา:

1) sec sin tan cosA A Aθσ θ τ θ τ θ θ= +0 0 0

sin cosθσ τ θ θ∴ = ⋅2

87

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 2) sec cos tan sinA A Aθτ θ τ θ τ θ θ= −0 0 0

( )cos sinθτ τ θ∴ = −2 2 θ

โดย A0 คือพื้นที่หนาตัดของชิ้นสวนความเคน (stress element)

เมื่อแทน sin cos sinθ θ θ=2 2 และ cos sin cosθ θ− =2 2 2θ พบวา

sinθσ τ θ= 2 cosθτ τ= 2θ (3.14)


1) เมื่อ , ,o ooθ σ τ= = 0 00 0 τ=

τ

τ

τ

τ


2) เมื่อ ; ;θ σ τ τ° °= ° = = 45 4545 0

σmax = τ

σmax = τ σmin = −τ

σmin = −τ 45o


88


3) maxσ หาไดจาก dd

θσθ

= 0 โดย sin cosdd

θτ τθ

= =2 2 2θ 0

πθ∴ =4

ดังนั้นที่ πθ =4

จะทําใหเกิดคาความเคนสูงสุดซึ่งมีคาเทากับ τ

เมื่อพิจารณาความเครียด (strain) เราพบวาความเครียดเฉือน (shear strain, γ ) สามารถแสดงไดดังรูป โดยชิ้นสวนความเคน (stress element) ไมเปลี่ยนแปลงขนาด และความหนา ดังนั้นในกรณีนี้จะมีการเปลี่ยนแปลงรูปรางเพียงอยางเดียว โดยเรียกกรณีนี้วาการเปลี่ยนแปลงรูปรางจากการเฉือน (shear distorsion)

π/2 − γ

τ

τ

τ

τ

σmax = τ

σmax = τ σmin = −τ

σmin = −τ 45o


สําหรับกรณีที่ชิ้นสวนความเคนมีการหมุนไป 45° พบวาเปนกรณีของความเคนตั้งฉากสูงสุด (maximum normal stress) ซึ่งไมมีความเคนเฉือนเกิดขึ้น ดังนั้นจึงไมเกิดการเปลี่ยนแปลงรูปรางจากการเฉือนแตจะเกิดการเปลี่ยนแปลงขนาดของชิ้นสวนความเคนแทน

89

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) ในวัสดุที่แสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน เราสามารถคํานวณหาความเครียด (strain) ที่เกิดขึ้นที่ตําแหนง 0° และ 45° โดย:

1) กรณีที่ θ = °0 ความเครียดเฉือนสามารถคํานวณไดจาก

Gτγ =

2) กรณีที่ θ = 45°ความเครียดตั้งฉากสามารถคํานวณไดจาก Hook’s Law max min

max E Eσ νσε = +

( )E E Eτ ντ τ ν= + = +1

( )min Eτε ν= − +1

ตัวอยางที่ 3.3 จงหาคาสูงสุดของความเคนดึง อัด และเฉือน

A BT = 12 kN.mT

80 mm

100 mm


( )( )

( ) ( ) ( )max

, . .

. .

p

N m mTr MPaI m m

τπ

= = =⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦

4 4

12 000 0 050104

0 1 0 0832

104 MPa

104 MPa

A

รูปที่ E3.3b

90


max MPaσ τ= = 104

min MPaσ τ= − = −104 104 MPa

45o104 MPa

B


91


3.5 ความสัมพันธระหวางโมดูลัสความยืดหยุน (E) กับโมดูลัสเฉือน (G)

พิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) ซึ่งมีพื้นที่หนาตัดและความยาวของแตละดานคงที่

a

h

h

cd

b a

cd

b

τ

τ

τ τπ/2 − γ

a

d

b

π/4 − γ/2π/2 + γ

π/4 − γ/2

Lbd

h

h


ถากําหนดใหโครงสรางมีพฤติกรรมแบบอิลาสติก และชิ้นสวนความเคนอยูในสภาพความเคนเฉือน (pure shear) ชิ้นสวนความเคนจะมีการเปลี่ยนแปลงรูปรางดังรูป โดยดาน bd จะยาวขึ้นจากเดิมและดาน ac จะหดสั้นลง:

max2 2 2 2 .2bdL h h h hh

δ ε= + = +

( )max2 1bdL h ε∴ = + (1)

โดย maxε คือความเครียดตั้งฉากในทิศทาง 45o

ซึ่งนอกจากเราจะหา ไดจากความเครียดตั้งฉากแลว เรายังสามารถหา ไดจากวิธีทางเรขาคณิตอีก:

bdL bdL

2 2 2 22 cos( )2bdL h h h π γ= + − + (2)

แทนคา จาก (1) ลงใน (2): bdL

( )2max1 1 cos( )

2πε γ+ = − +

2max max1 2 1 sinε ε γ+ + = +

92


เนื่องจาก maxε และ γ มีขนาดเล็กมากๆ ดังนั้น 2maxε และ sin γ จึงมีคาเขาใกลศูนย

max1 2 1ε γ∴ + = + หรือ

max 2γε = (3.15)

จากกฎของฮุก

Gτγ =

และ

max (1 )Eτε ν= +

ดังนั้น 1(1 )2E G

τ τν+ = ⋅

2(1 )EG

ν∴ =

+ (3.16)

3.6.การสงกําลังโดยเพลา (Transmission of Power by Circular Shafts)

ประโยชนของเพลาคือ สามารถสงกําลังผานการหมุนในรูปของแรงบิด (torque) และความเร็วรอบ ซึ่งเพลาจะตองมีขนาดที่เหมาะสมจึงสามารถที่จะสงกําลังไดโดยมีความเคนไมมากเกินความแข็งแรงของวัสดุ

ถากําหนดให

W คืองาน (work, N.m, J หรือ ft.lb)

T คือแรงบิด (torque, N.m หรือ ft.lb)

φ คือมุมบิด (angular rotation, radian)

93

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) ดังนั้น

W Tφ= (3.17)

และ dW dP Tdt dt

φ= =

P Tω∴ = (3.18)

โดย

P คือกําลัง (power, W, N.m/s, J/s หรือ ft.lb/s)

ω คือความเร็วเชิงมุม (angular speed, rad/s)

ในกรณีที่ใชความถี่ (frequency, s-1) แทนความเร็วเชิงมุม:

2 fω π= 2P ftπ∴ = (3.19)

ในกรณีที่ใชจํานวนรอบตอนาที (revolution per minute, rpm, n) แทนความเร็วเชิงมุม: 260

nπω =

260

ntP π∴ = (3.20)

ในบางครั้งเราใชหนวยแรงมา (Horsepower, hp) แทนหนวยกําลัง โดย:

1 hp 550 ft Ib s= ⋅

1 hp 746 N m s≈ ⋅ โดย

260(550)

nTH π=

233,000

nTH π∴ = (3.21)

โดย n มีหนวยเปนรอบตอนาที, T มีหนวยเปน ft-lb และ H มีหนวยเปน hp

94

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 3.7 ปญหาที่แกไมไดดวยสมการสมดุลของโครงสรางที่รับแรงบิด (Statically Indeterminate Torional Members)

ในกรณีที่แรงบิดตางๆ ที่เกิดบนโครงสรางไมสามารถคํานวณไดจากสมการสมดุล (equilibrium equation).ดังนั้นจึงจําเปนตองอาศัยความสัมพันธของการบิดจาก compatibility equation มาใชในการคํานวณ โดยในกรณีของการบิดจะใช flexibility method ดังปญหาตอไปนี้

To

dbda

A BCTbTa


จากรูป และ ไมสามารถคํานวณไดจากสมการสมดุล ดังนั้นเราจะใช flexibiloty method เขาชวยแกปญหาโดยแยกแรงบิดที่ไมทราบคาออกเปน redundant structure กับ released structure:

aT bT

95

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) Released Structure

A BC

To

Redundant Structure

A BCTb

Completed Structure A BC

Tb

To

Ta

L

ba

IpaIpb


96


o


a bT T T+ = จาก constitutive relation ( pTL GIφ = ):

o b bb

pa pa pb

T a T a T bGI GI GI

φ⎛ ⎞ ⎛

= − +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎟⎠

จาก compatibility equation:

0bφ = ดังนั้น

0o b b

pa pa pb

T a T a T bI I I

− − = (1)

แทนสมการสมดุลลงใน (1):

paa o

pb pa

bIT T

aI bI⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

pbb o

pb pa

aIT T

aI bI⎛

= ⎜⎜ +⎝ ⎠

⎞⎟⎟ (2)

จาก pTr Iτ = ดังนั้นเราสามารถหาความเคนเฉือนสูงสุดไดจาก:

( )2 2a a o a

acpa pb pa

T d T bdI aI bI

τ = =+

( )2 2b b o b

cbpb pb pa

T d T adI aI bI

τ = =+

(3)

โดยการเปรียบเทียบ กับ ของ (3) เราสามารถหาความเคนเฉือนสูงสุดและมุมบิดของจุด C (

bad abd

cφ ) ไดจาก:

a bC

pa pb

T a T bGI GI

φ = =

( )o

Cpb pa

abTG aI bI

φ∴ =+

(4)

97

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) หมายเหตุ: ในกรณีที่ 2a b L= = และ pa pbI I I= = :

oa

T bTL

= และ ob

T aTL

=

2o a

acpa

T bdLI

τ = และ 2

o bcb

pa

T adLI

τ =

4o

Cp

T LGI

φ =

3.8 โครงสรางผสม (Composite Bar)

เมื่อโครงสรางประกอบจากชิ้นสวนที่ทําจากวัสดุที่แตกตางกันและมีแกนกลางรวมกัน มาประกอบเขาดวยกันโดยไมเกิดไถล (slip) ระหวางรอยตอ

da

db

AB


โดย

aG และ คือโมดูลัสเฉือนของ a และ b bG

ad และ คือเสนผาศูนยกลางของ a และ b bd

paI และ pbI คือโมเมนตอินนีเชียเชิงขั่วของ a และ b

98


กําหนดใหโครงสรางผสมรับแรงบิด (torque, T) มากระทําโดยใหเกิด บนแกน และ บนทอรอบนอก โดยจากสมการสมดุล:

aT bT

a bT T T= + เนื่องจากแกน A และทอรอบนอก B ติดกันอยางสนิท (no slip) ดังนั้นมุมบิดของทั้งสองสวนจึงเทากัน โดยจาก compatibility equation:

b aφ φ φ= = หรือ

b a

b pb a pa

T L T LG I G I

φ = =

โดย L คือความยาวของโครงรางผสม

จากสมการสมดุลและ compatibility equation เราสามารถคํานวณ และ โดย: aT bT

a paa

a pa b pb

G IT T

G I G I⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

b pbb

a pa b pb

G IT T

G I G I⎛ ⎞

= ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠

a pa b pb

TLG I G I

φ =+

(3.22)

จากความเคนเฉือนของเพลา pT Iτ ρ= ดังนั้นความเคนเฉือนสูงสุดของแกน A และทอรอบนอก B เปน:

( )/ 2a aa

pa

T dI

τ =

( )/ 2b bb

pb

T dI

τ = (3.23)

และ ( )( )

/ 2/ 2

b b pab

a a a p

T d IT d I

ττ

⋅=

⋅ b

99

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) เมื่อแทนคา และ : aT bT

b b

a a

G dG d

b

a

ττ

∴ = (3.24)

หมายเหตุ: τ ที่ผิวดานในของ b ไมจําเปนตองเทากับ τ ที่ผิวดานนอกของ a เนื่องจากทําจากวัสดุตางชนิดกัน แตแรงเฉือน (V) จะมีขนาดเทากัน

3.9 พลังงานความเครียดในกรณีการเฉือนและการบิด (Strain Energy in Pure Shear and Torsion)

ถาไมมีพลังงานสูญเสียจากระบบในรูปของความรอนหรือรูปอ่ืนๆ งานที่กระทําโดยภาระจะมีคาเทากับพลังงานความเครียด (strain energy) ที่ดูดซับโดยโครงสราง (W U= ):

a

h

h

cd

b a

cd

b

τ

τ

τ τπ/2 − γ

τ

τ

a

cd

bV

π/2 − γ

V

V V

a

cd

b

δV

V

V

Vγ


โดย

V htτ= เมื่อ t คือความหนาของชิ้นสวนความเคน

hδ γ=

100


ถากําหนดใหวัสดุมีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสนซึ่งมีความสัมพันธตามกฎของฮุก (V δ∝ ) ดังนั้น V

δ0 รูปที่ 3.18

ซึ่งงาน (work) ที่เกิดจากแรงเฉือนมีคาเทากับพลังงานความเครียด (strain energy) หรือพื้นที่ใตกราฟระหวาง V δ− :

12

U W Vδ= = (3.25)

แทนคา V และ δ ลงในสมการพลังงานความเครียด: 2

2h tU τγ

∴ = (3.26)

และความเขมของพลังงานความเครียด (strain energy density, ): u

volumeu U= โดย volume คือปริมาตรซื่งมีคาเปน 2h t

2u τγ

∴ = (3.27)

จากกฎของฮุก ( Gτ γ= ) ดังนั้น 2 2

2 2Gu

Gτ γ

∴ = = (3.28)

หมายเหตุ: ความเขมพลังงานความเครียด (strain energy density, u ) มีหนวยเปน 3J m หรือ Pa

101


จากความเขมของพลังงานความเครียด เราสามารถคํานวณพลังงานความเครียดของเพลาตันและเพลากลวงตางๆ ไดโดย

L

dρ

ρ TT


พิจารณาชิ้นสวนความเคนเล็กๆ ของเพลากลวง (hollow circular bar) ดังรูป โดย pT Iτ ρ= ดังนั้น:

dρ

ρ

ττ

τ

τ

dρ

ρ r1

r2 รูปที่ 3.20

2 2

22 2 p

TuG GI

2τ ρ= = (3.29)

และพลังงานความเครียดของวงแหวนเล็กๆ รัศมี ρ หนา d ρ สามารถคํานวณไดโดย:

dU uLdA=

2 2

22 p

T L dAGIρ

=

โดย คือพื้นที่หนาตัดของวงแหวนซึ่งมีคาเปน dA 2 dπρ ρ

102


U

ดังนั้นเราสามารถหาพลังงานความเครียดรวมโดยทําการอินทิเกรท ต้ังแตรัศมีภายในของเพลากลวง (r

dU

1) จนถึงรัศมีภายนอก (r2) โดย 2

1

r

r

U d= ∫

2

1

2

22

r

p r

T L dAGI

ρ= ∫

จากนิยามของโมเมนตอินนิเชียเชิงขั่ว 2

1

r

pr

dA Iρ =∫ และ pTL GIφ =

22

2 2p

p

GIT LUGI L

φ∴ = = (3.30)

นอกจากนี้เรายังสามารถหาพลังงานความเครียดรวมไดจากพื้นที่ใตกราฟ T φ− ไดอีกเชนกัน โดย T

φ0 รูปที่ 3.21

2TU φ

= (3.31)

ซึ่งเปนจริงก็ตอเมื่อพฤติกรรมของวัสดุเปนไปตามกฎของฮุก ซึ่งเมื่อแทนคา pTL GIφ = ก็จะไดผลเชนเดียวกับสมการขางตน

103


ในกรณีที่พื้นที่หนาตัดของเพลาไมคงที่ หรือแรงบิดมีการเปลี่ยนแปลงตามแกนของเพลา ดังรูป

T

q

dx

L

T(X)

x

T

q

x


โดย q คือแรงบิดตอหนึ่งหนวยความยาว และ T(x) คือแรงบิดที่เกิดบนรอยตัดที่ระยะ x จากปลายเพลา

ดังนั้นพลังงานความเครียดของวงแหวนหนา dx อยูบนระยะ x จากปลายเพลา: 2[ ( )]

2 ( )p

T x dxdUGI x

=

ทําการอินทิเกรท เพื่อหาพลังงานความเครียดรวม: dU

2[ ( )]2 ( )

L

pO

T x dxUGI x

= ∫ (3.32)

หรือ 22( )( ) ( )

2 2p pGI x d GI x ddU dx

dx dxφ φ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

ดังนั้น 2( )

2

Lp

O

GI x dUdxφ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ dx (3.33)

104

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 3.10 ทอผนังบาง (Thin-Walled Tubes)

พิจารณาทอผนังบาง ดังรูป โดยทอมีพื้นที่หนาตัดคงที่ตลอดความยาว มีแกนหลัก (longitudinal axis) เปนเสนตรง และความหนา (t) มีคานอยมากเมื่อเทียบกับความกวางของทอ และไมคงที่บนพื้นที่หนาตัด เมื่อตัดสวนเล็กๆ (dx) ออกจากทอมาพิจารณาดังรูป พบวาแรงเฉือนมีคาคงที่ แตความเคนเฉือนมีคาไมคงที่ เนื่องจากความหนา t ไมคงที่

dx

L

x

ad

tbc

0T T

x

z

y


dx

ad

bc

T Tτ

a

d

b

c

τb

τc

τb

τc

τb

τc

a

d

b

c

Fb

Fc

F1F1

tb

tc รูปที่ 3.24

จากรูป (b) พบวาความเคนเฉือนบนรอยตัดขวาง a-d และ b-c ไมคงที่ โดยมีคาเปน bτ และ cτ แตจากสมการสมดุล พบวาความเคนเฉือนบนรอยตัดตามยาว a-b และ c-d มีคาคงที่ตลอดความยาวของทอ โดยมีขนาดเปน bτ และ cτ ตามลําดับ:

b b bF t dxτ=

c c cF t dxτ= โดย และ คือความหนาที่ตําแหนง b และ c ตามลําดับ bt ct

105


พิจารณารูป (c) ถาใชสมการสมดุลของแรง พบวา

b b c Ct tτ τ= แตเนื่องจากความสัมพันธขางตนสามารถใชกับสวนใดๆ ของทอได ดังนั้น tτ จึงมีคาคงที่บนทุกๆ จุดบนทอ ซึ่งเรียก tτ วา “shear flow” หรือ f โดย:

constantf tτ= = (3.34)

ตอมาเราจะเชื่อมโยง shear flow กับแรงบิด โดยพิจารณา:

s

ds

fds

t

ormedian line or centerline


โดยแรงเฉือนรวมที่กระทํากับชิ้นสวน ds มีคาเปน tdsτ หรือ fds ดังนั้นโมเมนตของแรงรอบจุด 0 ใดๆ:

dT rfds= ทําการอินทิเกรทตามความยาวทั้งหมดของ median line (Lm) เพื่อหาแรงบิดรวมที่กระทําบนทอ:

mL

O

T rfd= ∫ s

mL

O

f rds= ∫

106


แตจากรูปพบวาพื้นที่ที่ลอมรอบดวยชิ้นสวน ds เปน 12

dA rds= ⋅


2rds dA= แทนคา rds ลงในสมการหาแรงบิดรวม (T):

2 2m mL L

O O

T f dA f dA= =∫ ∫

ซึ่ง คือพื้นที่หนาตัดที่ถูกลอมรอบดวยทอ (AmL

O

dA∫ m):

2 mT fA∴ = (3.35)

ซึ่งเราสามารถหา shear flow (f) และความเคนเฉือน (τ ) โดย:

2 m

Tf tA

τ= =

2 m

TtA

τ = (3.36)

จากความเขมของพลังงานความเครียด (strain energy density) 2 2u τ= G ดังนั้นพลังงานความเครียดของชิ้นสวนเล็กๆ (ds) เปน:

( )dU u tdsdx= ⋅

2 2

2t ds dxG t

τ= ⋅ ⋅

2

2f ds dxG t

= ⋅ ⋅

ดังนั้นพลังงานความเครียดรวมของทอเปน:

U d= ∫ U

2

2

mL L

O O

f dsdxG t

⎡ ⎤= ⋅⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

107


โดย f เปนคาคงที่ t มีคาไมคงที่บน median line และ L

O

dx L=∫ ดังนั้น:

2

2

mL

O

f L dsUG t

= ∫

แทนคา 2 m

TfA

= :

2

28

mL

m O

T L dsUGA t

∴ = ∫ (3.37)

นิยามใหคาคงที่การบิด (torsion constant, J) เปน 24

m

mL

O

AJdst

=

∫ (3.38)

ดังนั้น 2

2T LUGJ

= (3.39)

ในกรณีที่ความหนา (t) คงที่บน median line: 2 24 4

m

mL

m

O

mA A tJL

ds= =

∫ (3.40)

โดยคาคงที่การบิดมีหนวยเปน หรือ 4m 4in

หมายเหตุ: พลังงานความเครียดของเพลา (U) มีคาเปน 2

2 p

T LUGI

=

108


กรณีพิเศษ (I): ทอวงกลม (circular tube) t

o

r


2mL rπ= 2

mA rπ= 2 4

34 22

r tJr

π r tππ

∴ = = (3.41)

กรณีพิเศษ (II): ทอส่ีเหลี่ยม (rectangular tube) t2

t2

t1

t1

h

b


2( )mL b= + h

h

mA b=

1 2 1

2 2 2mL h b

O O O

ds ds ds h bt t t t t

⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫ ∫

2

109


2 21 2

1 2

2b h t tJbt ht

∴ =+

(3.42)

จากสมมุติฐานที่วางาน (work) ที่กระทําโดยแรงบิด (torque) มีคาเทากับพลังงานความเครียด (strain energy) ที่เกิดขึ้น:

W U= 21

2 2T LTGJ

φ = (3.43)

ในกรณีที่วัสดุมีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน ตามกฎองฮุก: TLGJ

φ = (3.44)

โดย คือ torsional rigidity GJ


1) มุมบิดของเพลาคือ p

TLGI

φ = โดย คือ torsional rigidity pGI

2) การวิเคราะหวางอยูบนสมมุติฐานวาความหนาของทอมีคามากพอที่จะปองกันการยุบตัว buckling ได

110

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 3.11 แบบฝกหัด 1. ประแจเหล็กยาว 450 มม เสนผาศูนยกลาง 12 มม ดังรูป ถาความเคนเฉือนที่เหล็กรับไดเปน 76 MPa จงหาแรงบิด (torque, T) สูงสุดที่ประแจนี้สามารถรับได และมุมบิด (φ ) ที่เกิดขึ้นเมื่อมีแรงบิดสูงสุดมากระทํา กําหนดให และไมคิดโมเมนตที่เกิดขึ้นบนประแจ GPaG = 81

(คําตอบ: และ ) . N mT = 25 8 ⋅ oφ = 4

2 แทงโลหะทรงกระบอกสามชิ้นถูกเชื่อมติดบนระนาบเดียวกัน ดังรูป เสนผาศูนยกลางของแทงทรงกระบอกเปน และเสนผาศูนยกลางของแผนวงกลมที่ปลายแทงทรงกระบอกเปน ถาแรง จงหาขนาดและตําแหนงของความเคนเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้น

mmd =1 10

mmd =2 75 NP =1 100

(คําตอบ: max MPaτ = 54 บนชิ้นสวนเสนผาศูนยกลาง ) d3

111


3. ทรงกระบอกกลวงขนาดดังรูป มีมุมบิด เมื่อมีแรงบิด . oφ = 3 57 N mT = ⋅600 มากระทําที่ปลายทั้งสองขาง จงหาโมดูลัสอิลาสติกซิต้ีเฉือนของวัสดุที่ใชทําทางกรบอกกลวงนี้

(คําตอบ: ) G GP= 28 a

4. แทงทรงกระบอกรัศมี เมื่อถูกเจาะรูรัศมี r rβ ทะลุตามแนวแกนหลัก ดังรูป จงหา (a) รอยละการลดลงของพื้นที่หนาตัด (b) รอยละการลดลงของแรงบิดที่แทงทรงกระบอกสามารถรับได และ (c) กราฟแสดงความสัมพันธระหวาง β กับคาใน (a) และ (b)

(คําตอบ: (a) % area removed β= 2100 และ (b) % reduction in torque β= 4100 )

112

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 5. เพลาเหล็ก ABC มีขนาดดังรูป ถาแรงบิด 400 N mT = ⋅ และเหล็กมีคาโมดูลัสเฉือน

จงหาขนาด ที่เล็กที่สุดที่ทําใหมุมบิด 84 G GP= a d φ ระหวาง AC ไมเกิน 5o

(คําตอบ: ) 28.7 d m= m

6 ถาเพลาตัน (รูปดานบน) และเพลากลวง (รูปดานลาง) มีความยาวเทากัน ทําจากวัสดุเดียวกัน และมี torsional stiffness ( pGI L ) เทากัน จงคํานวณหาเสนผาศูนยกลาง d


113


7. เพลาเอียง AB มีความหนาคงที่ t และยาว L ดังรูป โมเมนตอินนีเชียในกรณีผนังบาง 3 4pI t tπ≈ จงหามุมบิด φ ในกรณีที่มีแรงบิด T มากระทําที่ปลายของเพลา

(คําตอบ: 3

32 a

TLGtd

φπ

= )

8. จงคํานวณหาคาสูงสุดและทิศทางของความเคนดึง ความเคนอัด และความเคนเฉือนที่เกิดในเพลา ดังรูป

(คําตอบ: 48.9 tensile MPaσ = , 48.9 compressive MPaσ = − และ max 48.9 MPaτ = )

9. ถาความเครียดตั้งฉากในทิศทาง บนผิวของทอกลวงดังรูปเปน เมื่อมีแรงบิด มากระทํา ถาเสนผาศูนยกลางภายนอกเปน 20 มม จงคํานวณหาเสนผาศูนยกลางภายใน d เมื่อวัสดุที่ใชทําทอกลวงมี

45o 61860 10−×

200 N mT = ⋅

a47 G GP= และ 0.33ν =


114

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 10. ทรงกระบอกที่ติด strain gage ที่ผิวดังรูป เมื่อรับแรงบิด 1200 N mT = ⋅ strain gage อานคาได จงหาโมดูลัสเฉือนของวัสดุที่ใชทําเพลา 6305 10ε = ×

(คําตอบ: ) 80.2 G G= Pa

11. เมื่อเพลาไดรับแรงบิดทําใหเกิดความเคนดึง 55 MPaσ = ที่มุม กับแกนหลัก จงคํานวณหาคาสูงสุดของความเครียดตั้งฉาก (

45o

ε ) และความเครียดเฉือน (γ ) เมื่อ และ 80 E GP= a

0.3ν =

(คําตอบ: และ 6894 10ε −= × 31.787 10γ −= × )

115

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 12. เพลาเหล็กเสนผาศูนยกลาง d จํานวน 2 ชิ้น ถูกเชื่อมดวยปลอกเหล็กชนิดเดียวกันเสนผาศูนยกลาง d1 ถาการเชื่อมตอเกิดขึ้นอยางสมบูรณ (ไมมีการไถลระหวางเพลาและปลอกเหล็ก) จงหาเสนผาศูนยกลาง d1 เล็กที่สุดของปลอกเหล็กที่สามารถสงผานกําลังไดเทากับเพลาเหล็กผาศูนยกลาง d ที่มีความยาวเทากัน

(คําตอบ: ) .d d=1 1 221

13 มอเตอร A สงกําลัง 300 kW ที่ 3.2 Hz โดยเฟอง B และ C มีกําลัง 120 และ 180 kW ตามลําคับ และ , จงหาขนาดของเสนผาศูนยกลางของเพลา d เมื่อขีดจํากัดของความเคนเฉือนและมุมบิดของเพลาระหวางจุด A และ C เปน 50 MPa และ 0.02 เรเดียน โดย

1 1.5 mL = 2 0.9 mL =

75 GPaG =

(คําตอบ: ) mmd = 120

14. เพลาตัน AD ถูกยึดที่จุด A และ D รับแรงบิด To ดังรูป จงหา Ta, Td, มุมบิดที่จุด B ( bφ ) และจุดกึ่งกลางของเพลา ( mφ )

(คําตอบ: a oT T= 3 , d oT T= 3 , ob

p

T LGI

φ =9

และ mφ = 0 )

116

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 15. ระบบซึ่งประกอบดวยเพลาและจานหมุนถูกยึดที่จุด A และ B ดังรูป ถาระดับความเคนเฉือนสูงสุดที่ยอมรับไดในเพลาเปน allowableτ และ จงหามุมบิดสูงสุด a b> φ ที่ตําแหนงจานหมุน

(คําตอบ: allowable

Gdbτ

φ =2 )

16. เพลาซึ่งประกอบดวยเพลาตัน AB และเพลากลวง BC จงหาอัตราสวน a L ที่ทําใหแรงบิดที่จุดยึด A และ C มีขนาดเทากัน

(คําตอบ: ( )a L d d= 4

1 2 )

17. เพลาตันถูกลอมรอบดวยทอ โดยที่ปลายดานซาย (จุด A) ถูกยึดกับกําแพง และที่ปลายดานขวา (จุด B) ถูกเชื่อมติดกันดังรูป จงหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุดในเพลาและทอ ( , b tτ τ ) เมื่อมีแรงบิด มากระทําที่ปลายดานขวาของระบบ (b) มุมบิดที่เกิดขึ้นที่ปลายดานขวา เมื่อ และ (c) Torsional stiffness k ของระบบ

2000 N mT = ⋅

a80 G GP=

(คําตอบ: (a) . MPabτ = 25 4 , . MPatτ = 38 1 , (b) และ (c) . oφ = 0 48 . kN m radk = ⋅238 4 )

117


Pa Pa m

18. ทอเหล็กถูกเชื่อมติดอยางสนิทกับเพลาทองเหลือง โดยมีเสนผาศูนยกลางภายในและภายนอกเปน 50 และ 60 มม ตามลําดับ โดยโมลัสเฉือนของเหล็กและทองเหลืองเปน

และ ตามลําดับ เมื่อเพลาไดรับแรงบิด 80 sG G= 40 bG G= 3200 T N= ⋅ จงคํานวณหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุดในเหลกและทองเหลือง ( , s bτ τ ) และ (b) มุมบิดที่เกิดขึ้น

(คําตอบ: (a) . MPasτ = 99 4 , . MPabτ = 41 4 , และ (b) ) . oφ = 1 80

118

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 19. ทอผนังบาง AB มีความหนาของผนังคงที่ t ดังรูป จงหาพลังงานความเครียด U และมุมบิด φ เมื่อมีแรงบิด T มากระทํา

(คําตอบ: ( )a b

a b

T L d dU

Gtd dπ

+=

2

2 2 , และ ( )a b

a b

TL d d

Gtd dφ

π

+= 2 2

2 )

20 จงหาพลังงานความเครียด U ของเพลาที่ถูกยึดปลายทั้งสอง ดังรูป

(คําตอบ: o

p

T LU

GI=

21932

)

119

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 21. เพลา ABC ที่ถูกยึดปลายทั้งสอง ดังรูป ถาเพลาทั้งสองสวนทําจากวัสดุชนิดเดียวกัน จงหามุมบิด φ ที่จุด B

(คําตอบ: ( )p p

L L TG L I L I

φ =+

1 2

1 2 2 1

)

22. จงคํานวณความเคนเฉือน τ และมุมบิด φ ของทอเหล็ก ( 76 G GPa= ) เมื่อมีแรงบิด

มากระทํา โดยทอเหล็กมีความยาว 15 T kN= m⋅ 1.5 L m=

(คําตอบ: . MPaτ = 52 5 และ ) . oφ = 0 855

120

บทที่ 3 โครงสรางที่รับแรงบิด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย (Torsional members) 23. จงคํานวณความเคนเฉือน τ และมุมบิดตอหนึ่งหนวยความยาว θ ของทอดังรูป เมื่อมีแรงบิด T มากระทํา

(คําตอบ: Tb t

τ = 23

9 และ T

Gb tθ = 3

29

)

24. ทอผนังบางรูปส่ีเหลี่ยมมีความหนาของผนังคงที่ t ดังรูป ถา median line ( ) และแรงบิด

ที่มากระทําคงที่ จงหา (a) mL

T a bβ = ที่ทําใหความเคนเฉือน τ มีคาต่ําที่สุด และ (b) a bβ = ที่ทําใหความมุมบิดตอหนึ่งหนวยความยาว θ มีคาต่ําที่สุด

(คําตอบ: (a) β = 1, และ (b) β = 1)

121


122

บทที่ 4 โครงสรางที่รับแรงดัด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย

(Bending Structures)

คาน (beam) หมายถึงโครงสรางที่รับแรงในแนวตั้งฉากกับแกนตามยาว (longitudinal axis) โดยแรงนี้จะสงผลใหเกิดแรงเฉือน (shear force, V ) และโมเมนตดัด (bending moment, M ) บนคาน ซึ่งในบทนี้เราจะศึกษาเฉพาะคานที่มีแกนตามยาวเปนเสนตรง มีความสมมาตร (symmetric) เมื่อเทียบกับระนาบ x-y (y เปนแกนสมมาตรของหนาตัด) และภาระที่มากระทําและการโกงตัว (deflection) เกิดบนระนาบ x-y ดังรูป

(a)

AP

B

x

y

(b) v

A P

B

x

y


เมื่อคานรับโมเมนตดัด (bending moment) คงที่ จะสงผลใหแรงเฉือน (shear force) เปนศูนย เนื่องจาก V dM dx= 0= ซึ่งเราเรียกกรณีเชนนี้วา การดัดบริสุทธิ์ (pure bending) ดังแสดงในรูปที่ 4.2

123



(a)

A B

0

M1

M1

M

M1

(b)

A B

0

M2

-M2

M

M2


และเมื่อคานมีแรงเฉือนและโมเมนตดัดไมคงที่ (V dM dx= ) เราเรียกกรณีเชนนี้วา การดัดแบบไมสม่ําเสมอ (nonuniform bending) โดยมีแผนภาพแรงเฉือน (shear diagram) และแผนภาพโมเมนต (moment diagram) ดังรูป

124



P

M

-P

a

x

y

0

P

a

0

PV

0

aP

(a)

(b)

(c)


4.1 ความเครียดตั้งฉากในคาน (Normal Strain in Beams)

เมื่อพิจารณาคานยื่น (cantilever beam) ที่รับแรง P ดังรูป 4.4


125



กําหนดให คือจุดศูนยกลางความโคง (center of curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด O′ ρ คือรัศมีความโคง (radius of curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด และ คือคาความโคง (curvature) ที่ระยะ x จากจุดยึด ซึ่งมีคาเทากับสวนกลับของรัศมีความโคง (

k

ρ1 ) โดยจากความสัมพันธทางเรขาคณิต

d dsρ θ = และถาการโกงตัว (deflection) มีคานอยมาก ๆ จะสงผลให dx ds≈ ดังนั้น

d dxρ θ = หรือ

dxd

ρθ

= dkdxθ

ρ∴ = =

1 (4.1)

หมายเหตุ: สําหรับเครื่องหมายของคาความโคง (curvature) สามารถกําหนดไดตามแกนอางอิง (coordinate axis) โดย:

x

y

0

+positive curvature

x

y

0

-negative curvature


ในการคํานวณความเครียดตั้งฉาก (normal strain) เราสามารถอาศัยคาความโคงและการโกงตัวของคานมาใชในการคํานวณ ในกรณีของการดัดแบบ pure bending ถาตัดสวน a-b ของคานยื่น ดังรูป 4.6

126



0

y

x

Mo Mo

a

s ydx

feqn

pm b

s

y

x0

(a) (b)

(c)


127


(Bending Structures) 1) โมเมนตดัด (bending moment, M ) oM= − 2) หนาตัด (cross section) m-n มีลักษณะเหมือนกับหนาตัด p-q เนื่องจากหนาตัดและภาระของคานมีลักษณะสมมาตร

3) ระยะ m-p ยาวขึ้น (ความเครียดตั้งฉากเปนบวก) หรือเกิดการดึง ในขณะที่ระยะ n-q หดสั้นลง (ความเครียดตั้งฉากเปนลบ) หรือเกิดการอัด

4) ระหวาง m-p และ n-q จะมีพื้นผิวซึ่งไมมีการยืดหรือหด ซึ่งแสดงไดดวยเสนประ s-s โดยเรียกพื้นผิวนี้วาพื้นผิวเปนกลางของคาน (neutral surface of beam)

5) รอยตัดระหวางพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) กับหนาตัด (cross section) เรียกวาแกนเปนกลางของหนาตัด (neutral axis of cross section)

6) เมื่อตอเสนตรงจาก m-n และ p-q บนคานที่โกงตัว พบวาจะตัดกันที่จุดศูนยกลางความโคง ( O′ ) โดยมุมที่ทําระหวางระนาบ m-n และ p-q เปน dθ และระยะจาก O′ ไปยังพื้นผิวเปนกลางเปน ρ (รัศมีความโคง) โดย d dxρ θ =

พิจารณาเสน e-f ซึ่งอยูหางเปนระยะ จากพื้นผิวเปนกลาง โดย e-f ยาว กอนที่จะเกิดการโกงตัว และ e-f ยาว หลังจากที่เกิดการโกงตัวแลว โดย:

y dx

L1

( )L y dρ θ= −1

d ydρ θ θ= − แต

dx dρ θ=

d dθρ

=1 x

yL dx dxρ

∴ = −1

จากความเครียดในแนวตั้งฉาก (normal strain), x Lε δ= :

xL dx

dxε

−= 1

x

ydx dx dx

dxρε

− −∴ =

128


(Bending Structures) ดังนั้น

xy kyερ−

= = − (4.2)

หมายเหตุ: x kε ∝ และ x yε ∝ โดย

เปนบวก เปนบวก y k xε เปนลบ (หดตัวสั้นลง)

เปนลบ เปนบวก y k xε เปนบวก (ขยายตัวยาวขึ้น)

4.2 ความเครียดในแนวขวาง (Transverse Strains)

MoMo

y

x

z

0


จากผลกระทบของปวซองส (poison’s effect) จะทําใหโครงสรางเกิดความเครียดในแนวขวาง (transverse strain) เมื่อมีภาระใดๆ มากระทําใหเกิดความเครียดตั้งฉาก (normal strain, xε ) โดย

( )z x kyε νε ν= − = − −

z kyε ν∴ = (4.3)

หมายเหตุ : ความเครียดตั้งฉาก ( xε ) ทําใหเกิดความเครียดขวาง ( zε ) ซึ่งทําใหหนาตัด (cross section) ของคานมีการเปลี่ยนแปลงรูปรางไปจากเดิม ดังรูป 4.7

129



(a)

Mo

s s

ρ

O’

(b) y

z0

(c)


1) พิจารณาสวนบนของคานซึ่งมี xε เปนบวก ดังนั้น zε จะมีคาเปนลบ z xε νε= − ซึ่งทําใหสวนบนของหนาตัดสั้นลง

2) พิจารณาสวน s-s หรือพื้นผิวเปนกลางโดยมี xε = 0 และ zε = 0 ซึ่งทําใหสวนแกนเปนกลาง (neutral axis) หรือแกน z ไมมีการเปลี่ยนแปลงขนาด

3) พิจารณาสวนลางของคานซึ่งมี xε เปนลบ ดังนั้น zε จะมีคาเปนบวก z xε νε= − ซึ่งทําใหสวนลางของหนาตัดยาวขึ้น

130



จากผลกระทบปวซองส ( z x kyε νε ν= − = ) สงผลใหเกิดการเปลี่ยนขนาดของหนาตัด ซึ่งเปนสัดสวนโดยตรงกับระยะ จึงทําใหดานขางของหนาตัดเอียงเขาหากัน ดังรูป 4.8c โดยมีจุดศูนยกลางความโคงในแนวขวาง (transverse center of curvature) อยูที่

y

O′′ และมีรัศมีความโคงในแนวขวาง (transverse radius of curvature) เปน ρ1 โดย ρ ρ1 และมีอัตราสวน ρ ρ1 เทากับ

x zε ε ดังนั้น ρρν

=1

k kν=1 (4.4)

ตัวอยางที่ 4.1 คาน AB ยาว 4 เมตร ถูกงอดวยโมเมนต Mo ดังรูป โดยระยะจากผิวดานบนของคานไปยังพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) เปน 150 มม จงหา ρ , , k δ ในแนวดิ่งของจุดกึ่งกลางคาน โดย xε ที่ผิวดานบนของคานเปน 0.0014

A B

L/2

ρ

O'

ρ

L/2

δ

θ θ

Mo Mo


จาก x yε ρ= − :

. mm

x

yρε−

= = −1500 0014

. mρ∴ =107 14 หรือ

. /mkρ

= =1 0 0093

131


(Bending Structures) เนื่องจากคานมีการโกงตัว (deflection) เปนสวนหนึ่งของวงกลม (arc) โดยมีรัศมีความโคง (radius of curvature) เปน ρ ดังนั้น

cos ( cos )δ ρ ρ θ ρ θ= − = −1 และ

/sin Lθρ

=2

arcsin Lθρ

⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠2

แทนคา L และ ρ :

arcsin ..

θ ⎛ ⎞∴ = =⎜ ⎟×⎝ ⎠ rad4 0 0187

2 107 14

แทนคา θ และ ρ :

( ). cos( . ) . mmδ∴ = − =107 14 1 0 0187 18 7

ดังนั้นอัตราสวนระหวางความยาวของคานตอการโกงตัวเปน

:.

m mm

Lδ= =

4 214 118 7

ซึ่งแสดงใหเห็นวาคานเกือบจะไมมีการโกงตัว เมื่อเทียบกับความยาวของคาน

4.3 ความเคนตั้งฉากในคาน (Normal Stresses in Beams)

ในกรณีของคานที่มีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน (linear elastic) เราสามารถหาความเคนต้ังฉาก (normal stresses, xσ ) ที่กระทํากับหนาตัด (cross section) ไดจากความเครียดตั้งฉาก (normal strain, xε ) โดยพิจารณา

x xEσ ε= จาก

xykyερ−

= − =

132



x Ekyσ = − (4.5)

ซึ่งเราพบวา xσ มีการเปลี่ยนแปลงตามระยะ y (ระยะจากพื้นผิวเปนกลางไปยังตําแหนงที่พิจารณา) และคาความโคง (curvature, ) ดังรูป 4.9 k

z

σx

dAc2

c1

y0 0

y

x

y

Mo

(a) (b)


จากรูปพิจารณาความเคนตั้งฉาก ( xσ ) ในพื้นที่เล็กๆ ( dA ) พบวาแรงที่เกิดขึ้นมีขนาดเปน xdAσ ซึ่งแรงที่เกิดขึ้นในแนวแกน x นั้น จะตองอยูในสภาพสมดุลโดย xF =∑ 0 และ oM M=∑ :

1) จาก พิจารณาแรงรวมตลอดพื้นที่หนาตัดพบวา xF =∑ 0

xF dAσ= =∑ ∫ 0

จาก x Ekyσ = − ดังนั้น

F EkydA= −∑ ∫

เนื่องจาก E และ k1 หรือ ρ มีคาคงที่ โดย ρ คือระยะจากพื้นผิวเปนกลางไปยังจุดศูนยกลางความโคง (center of curvature)

F Ek ydA∴ = − =∑ ∫ 0

133


(Bending Structures) ซึ่งหมายความวา หรือโมเมนตของพื้นที่คร้ังที่หนึ่ง (first moment of the area) เปนศูนยเมื่อเทียบกับแกน z นอกจากนี้ยังแสดงใหเห็นดวยอีกวาแกน z ผานจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัดจะอยูที่ตําแหนงเดียวกันกับแกนเปนกลาง (neutral axis) ซึ่งเปนจริงเสมอในกรณีที่วัสดุมีพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน และแกน y เปนแกนสมมาตร (axis of symmetry)

ydA =∫ 0

2) จาก oM M=∑ เมื่อพิจารณาโมเมนต ( dM ) ที่เกิดจากความเคนตั้งฉาก ( xσ ) ซึ่งกระทําบนพื้นที่เล็กๆ ( ) พบวา dA

xdM ydAσ= โดยความสัมพันธระหวางโมเมนตและความโคง สามารถแสดงได ดังรูป

x

y

0x

y

0

negative curvature

positive bending moment

possitive curvature

negative bending moment

-Mo -Mo+Mo +Mo

(a) (b)


เมื่อพิจารณาโมเมนตรวมที่เกิดบนหนาตัด พบวา

xM ydAσ= ∫

หรือ

M kE y dA= − ∫ 2

จาก x Ekyσ = − และ (โมเมนตอินนิเชียของหนาตัดเมื่อเทียบแกน z) I y d= ∫ 2 A

M kEI∴ = − (4.5)

134



หรือ Mk

EIρ−

= =1

ซึ่งหมายความวา และ k M∝ − kEI

∝1 โดยเรียก วา “flexural rigidity” EI

จาก x Ekyσ = − แทน k M E= − I :

xMyI

σ∴ = (4.6)

โดยเรียกสมการนี้วา flexure formula และเรียก σ x วาความเคนดัด (bending stress)

σ2

c1

c2 0 x

y

-M

tensile stress

compressivestress

c1

c2 0 x

y

+M

tensile stress

compressivestressσ2

σ1σ1


จากรูปกําหนดให σ1 และ σ 2 คือ ความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ําสุด ดังนั้น MC M

I Sσ = =1

11

โดย S I C=1 1

และ MC M

I Sσ = = −2

22

โดย S I C=2 2

ซึ่งเราเรียก และ วา “section moduli ของพื้นที่หนาตัด” S1 S2

1) กรณีหนาตัดสมมาตรรอบแกน z (double symmetry) โดย C C C= =1 2 MC M

I Sσ σ∴ = − = =1 2

135


(Bending Structures) 2) กรณีหนาตัดเปนรูปส่ีเหลี่ยม (rectangular cross section)

y

z0

b

h/2

h/2


โดย bhI =3

12 ดังนั้น

I bhSC h

= = ⋅3 1

12 2

bhS∴ =2

6

3) กรณีหนาตัดรูปวงกลม (circular cross section)

y

z0d

รูปที่ 4.13a

136



= ∫ 2

เมื่อพิจารณาสวนเล็กๆ ( dA ) บนหนาตัด ดังรูป และคํานวณหาโมเมนตอินนิเชียของหนาตัดเมื่อเทียบแกน z ( ) พบวา I y dA

dθ r

dr

rdθ

y

x

รูปที่ 4.13b

sin sinr r

r rI y dxdy r rdrd d r drπ π

π πθ θ θ θ= = = = =∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫2 2 4 4

2 2 2 2 3

0 0 0 0

4 4 44 4 4

และ I dSC d

π= = ⋅

3 164 2

dS π∴ =

3

32

ตัวอยางที่ 4.2: ลวดเหล็กเสนผาศูนยกลาง d ถูกงอรอบทรงกระบอกรัศมี r ดังรูป จงคํานวณหาความเคนงอสูงสุด ( maxσ ) และโมเมนตงอ ( M ) ถา GPaE = 200 , mmd = 4 และ . mr = 0 5

r

d


137


(Bending Structures) จากรูปพบวา

drρ = +2

kr dρ

= =+

1 22

และ

maxdy =2

จาก x Ekyσ = − ดังนั้น

maxdE

r dσ∴ = − ⋅ ⋅

+2

2 2

ดังนั้นความเคนงอสูงสุด ( maxσ ):

maxEd

r dσ −

=+2

แตลวดเหล็กมีหนาตัดแบบสมมาตรรอบแกน z (double symmetry) ดังนั้นความเคนงอต่ําสุด ( minσ ):

mindy = −2

mindE

r dσ ⎛ ⎞ ⎛∴ = − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜+⎝ ⎠ ⎝

22 2

⎞⎟⎠

Edr d

=+2

ซึ่ง max minσ σ=

( )(( )

GPa mm mm mm

=+

200 42 500 4

)

MPa= 797

138


(Bending Structures) และจาก flexure formula ( x My Iσ = ) ดังนั้น

IMyσ

=

โดย 2 , dy d I π= =

4

64

dMd

πσ∴ = ⋅ ⋅4 1

64 2


maxEd dMr d

π⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟+⎝ ⎠

3

2 32

( )maxE dM

r dπ

∴ = −+

4

32 2

4.4 การออกแบบคาน (Design of Beams)

ในการออกแบบคานสิ่งที่ตองพิจารณา ไดแก วัสดุ ภาระที่มากระทํา สภาวะแวดลอม และรูปแบบของโครงสรางเปนตน แตโดยทั่วไปแลวเราจะเลือกใชคานที่มีอยูแลวใหเหมาะกับความตองการ ซึ่งในการเลือกจะตองพิจารณาความสามารถในการใชงาน โดยไมทําใหเกิดความเสียหาย:

yall n

σσ =

หรือ u

all nσ

σ =

และ max

all

MS

σ= (4.7)

โดยคานที่เลือกจะตองสามารถรับ ไดโดยไมทําใหความเคนสูงสุดมีขนาดเกิน maxM allσ จากสมการที่ 4.7 พบวา allσ ข้ึนอยูกับวัสดุที่ใช ดังนั้นถาเปรียบเทียบคานที่ทําจากวัสดุชนิดเดียวกัน พบวาคานที่มีคา S สูงจะสามารถรับโมเมนตสูงสุด ( ) ไดมาก โดยในการเปรียบเทียบจะตองพิจารณาพื้นที่หนาตัดที่มีขนาดเทากัน

maxM

139



1) คานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม (rectangular cross section beam) b

h/2

h/2 รูปที่ 4.14

.bh AhS A= = =2

0 1676 6

h

โดยถา A คงที่ การเพิ่มคา h จะทําใหคา S มากขึ้นไปดวย แตขนาดของ b จะลดลง เพื่อรักษาให A คงที่ ซึ่งในการที่คาของ S สูงขึ้น จะทําใหคานสามารถรับ ไดมากขึ้น แตถาขนาดของ b ที่ลดลง อาจสงผลใหคานเกิดการโกงงอ (buckling) ในแนวดานขางได

maxM

2) คานหนาตัดรูปวงกลม (circular cross section beam)

d


พิจารณาคานหนาตัดรูปวงกลมที่มีพื้นที่หนาตัดเทากับคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยมกวาง h1 (หรือ b = h1) และยาว h1

dA hπ= =

2214

dh π∴ =1 2

เปรียบเทียบโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ของคานหนาตัดรูปวงกลม และคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม พบวา

140



.circledS dπ

= =3

20 098232

.squrehbh dS dπ

= = = =

3332 231 0 1160

6 6 48

พบวาเมื่อพื้นที่หนาตัดเทากัน โมดูลัสของหนาตัดของของคานหนาตัดรูปวงกลมมีคานอยกวาคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม ( ) ซึ่งหมายความวาคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยมสามารถรับ ไดสูงกวาคานหนาตัดรูปวงกลม

square circleS S> maxM

3) คานหนาตัดอุดมคติ (Ideal cross section beam)

h/2

h/2

A/2

A/2 รูปที่ 4.16

พิจารณาโมเมนตอินนีเชีย (moment of inertia) ของคานหนาตัดอุดมคติ พบวา

/AAI I d⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦

222

2

แทนคา d h= 2 ดังนั้น

A h A hI⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

2 21212 2 2 2 2

A h A h⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2 213 26 2 2 2 2

Ah≈

2

4

.S h∴ ≈ 0 5 A

ซึ่งคานหนาตัดอุดมคตินี้มีประสิทธิภาพสูงสุดเมื่อเทียบกับคานประเภทอื่นๆ โดยในกรณีที่พื้นที่หนาตัด (A) เทาๆ กัน คานหนาตัดอุดมคตินี้จะมีโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) สูงที่สุด

141


(Bending Structures) 4) คานหนาตัดรูปไอ (I-section beam)

web

flange


.S A≈ 0 35 h

ซึ่งคานหนาตัดรูปไอนี้ จะมีคาโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ใกลเคียงกับคานหนาตัดอุดมคติ แตถาสวนแกน (web) คานหนาตัดรูปไอมีขนาดเล็กมากๆ จะทําใหเกิดการโกงงอ (buckling) ได

ตัวอยางที่ 4.3: เขื่อนไมดังรูป ถูกสรางโดยมีเสาในแนวตั้ง (vertical post) หนาตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัส (b×b) โดย S = 0.8 เมตร เมื่อระดับน้ํา h = 2 เมตร จงหาคานอยที่สุดของ b ถา allσ ของไมเปน 8 MPa


142



s

กําหนดใหแรงสูงสุดที่กระทําโดยน้ําคือ ดังนั้น oq

q hγ= โดย γ คือน้ําหนักจําเพาะของน้ํา (specific weight of water), h คือความสูงของระดับน้ํา และ s คือระยะหางระหวางเสา

จากแผนภาพแรง (loading diagram):

maxhM q h h sγ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠31 1

2 3 6

และ

SM

all= max

σ

โดยคาโมดูลัสของหนาตัด (section modulus, S) ของคานหนาตัดสี่เหลี่ยมเปน S b= 3 6 ดังนั้น

all

b h sγσ

= ⋅3

31 16 6

all

h sb γσ

∴ =3

3

3 3(9.81 kN/m )(2 m) (0.8 m)8 MPa

=

. 3m= 0 007848

ดังนั้นคานอยที่สุดของ b ของเสาไม โดยไมทําใหความเคนเกิน allσ ของไมเปน 199 มม แตถาคํานึงถึงตัวประกอบความปลอดภัย (safety factor, n) เราอาจจะใหคา b > 199 มม ได

143


(Bending Structures) 4.5 ความเคนเฉือนในคาน (Shear Stresses in Beams)

พิจารณาคานที่มีหนาตัดแบบสี่เหลี่ยม ดังรูป ถากําหนดใหความเคนเฉือน (τ ) ที่เกิดขึ้นมีทิศขนานกับแรงเฉือน (V ) ในแนวดิ่ง และความเคนเฉือนมีการกระจายแบบสม่ําเสมอ (uniform) ตลอดความกวาง ( b ) ของหนาตัด คาของความเคนเฉือนในแนวดิ่งจะมีคาเทากับความเคนเฉือนในแนวระดับ (ตามสมการสมดุลของแรงและโมเมนต) และที่จุดสูงสุดหรือจุดต่ําสุดของหนาตัดจะมีความเคนเฉือนเปนศูนยทั้งในแนวดิ่งและแนวระดับ ดังนั้นสามารถสรุปไดวาความเคนเฉือนในแนวดิ่งมีการกระจายอยางไมคงที่ตามระยะ h

(a)

b

h

m

o

v

x

y

z

n

τ

(b) m

n

τ

(c)

τ

τ


144



ถาเราตัดสวน ออกจากคาน ดังรูป โดยใหสวนตัดนี้มีความหนา และดาน ขนานกับพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) โดยหางเปนระยะ และดาน อยูที่ผิวต่ําสุดของคาน

pp n n1 1 dx pp1

y1 n n1

(a) ดานขางของคาน

y

h

dA

z

b

0y y1

τmax

τ

(b) ภาพตัดขวางของคาน (c) ความเคนเฉือน


พิจารณาหนา พบวาชิ้นสวน มีแรงมากระทํา: pn dA

xMydA dAI

σ = pp1

ดังนั้นแรงกระทําทั้งหมดบนหนา เปน: pn

MyF dAI

= ∫1

โดยอินทีเกรทตั้งแต y y= 1 ถึง y h= 2

145



สําหรับ แรงที่มากระทําจะเปน: p n1 1

( )M dM yF dAI

+= ∫2

สําหรับสวนบนของสวนตัด หนา จะมีความเคนเฉือนมากระทํา ดังนั้นแรงที่กระทําบนหนา เปน:

pp1 pp1

F bdxτ=3

จากสมการสมดุล

F F F= −3 2 1 ดังนั้น

( )M dM y Mybdx dA dAI I

τ += −∫ ∫ dM ydAdx Ib

τ ⎛ ⎞∴ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫

1

แต V dM dx= ดังนั้น V ydAIb

τ = ∫

โดย คือโมเมนตของพื้นที่ โดยเทียบกับแกนเปนกลาง (neutral axis, z-axis) โดยพื้นที่คิดจากระยะ ลงมา ในกรณีที่พิจารณาทั้งหนาตัด

ydA∫ pp n n1 1

y1

y h

y h

ydA Q=

=

=∫1

ดังนั้น VQIb

τ = (4.8)

โดย คงที่ และเรียกสมการนี้วาสูตรการเฉือน (shear formula) , , V I b

146



เมื่อพิจารณาหาตัดสี่เหลี่ยม พบวาคา Q สามารถคํานวณไดจาก: b h

b y

Q ydA ydydz−

= =∫ ∫ ∫1

2 2

2

hh

yy

yybdy b⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫11

22 2

2

b h y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2212 4

หรือสามารถหา Q ไดจากผลคูณระหวางพื้นที่กับระยะ (D).จากจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัดไปยังแกนเปนกลาง (neutral axis)

h yhQ b y y⎛ ⎞−⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

11 1

22 2

b h y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2212 4

ดังนั้นความเคนเฉือนของคานหนาตัดสี่เหลี่ยมเปน: VQIb

τ =

และเมื่อแทนคา Q พบวา: V h yI

τ⎛

= −⎜⎜⎝

2212 4⎞⎟⎟⎠

(4.9)

โดยที่แกนเปนกลาง (neutral axis):

y =1 0

I bh= 3 12

A bh= ดังนั้นคาความเคนเฉือนสูงสุดเปน:

maxVh V

I Aτ∴ = =

2 38 2

(4.10)

147




1) ความเคนเฉือนเฉลี่ย (average shear stress, V Aτ = ) นอยกวา 50% ของ maxτ

2) สูตรการเฉือน (shear formula) ใชไดในกรณีที่วัสดุแสดงพฤติกรรมอิลาสติกเชิงเสนเทานั้น โดยถา คาสูตรการเฉือนยิ่งมีความนาเชื่อถือสูง (ความผิดพลาดต่ํา) b h<

3) หนาตัดทั้งสองดานควรขนานกับแกน y เนื่องจากความเคนเฉือน (τ ) กระทําขนานกับแกน y

4) แรงเฉือน (V ) ที่เปนบวก ทําใหเกิดความเคนเฉือน (τ ) ที่เปนลบ

4.6 ผลกระทบจากความเครียดเฉือน (Effects of shear strain)

ในกรณีของคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม (rectangular cross section) ความเคนเฉือน (shear stress, τ ) มีการเปลี่ยนแปลงแบบพาลาโบลา (parabolic) ตามแนวดิ่งโดย τ γ∝ ดังนั้นความเครียดเฉือน (γ ) จึงมีการเปลี่ยนแปลงแบบพาลาโบลาในแนวดิ่งเชนกัน โดย γ มีคาเปนศูนยที่ผิวดานบนและลาง ซึ่งสงผลใหหนาตัดของคานไมมีการเปลี่ยนแปลงรูปราง แตที่บริเวณพื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) คาความเครียดเฉือน (γ ) มีคาสูงสุด ดังนั้นหนาตัดในบริเวณนี้ จึงมีการเปลี่ยนแปลงรูปรางมากที่สุดเชนกัน

m1

p1

n1q1

m1

mp

nq


148


(Bending Structures) ตัวอยางที่ 4.4: จงคํานวณความเคนดัด (σ ) และความเคนเฉือน (τ ) ที่จุด C บนคาน AB ดังรูป

100 mm 75 mm

200 mm

L = 1000 mm

q = 28 kN/m

A BC


จากแผนภาพโมเมนตดัด (bending moment diagram) และแผนภาพแรงเฉือน (shear diagram):

. kN mcM = ⋅2 24

. kNV = −8 4 พิจารณาหนาตัดของโครงสรางพบวา

50 mm

50 mm

25 mm

25 mm

C

oz

y


( )( mm mmbhI = =3

31 25 10012 12

)

4 mm= × 32083 10

149



ที่จุด C; ดังนั้น mmy = −25

( . )( )4

N.mm mm mmx

MyI

σ × −= =

×

6

32 24 10 25

2083 10

. MPa= −26 9 (ความเคนอัด)

( )( )( mm mm mmQ A D= ⋅ = +2525 25 252

)

, 3 mm= 23 400 ดังนั้น

( )( , ) .( )( )

3

4 N mm MPa

mm mmVQIb

τ = = =× 3

8400 23 400 3 82083 10 25

3.8 MPa

3.8 MPa

26.9 MPa 26.9 MPaC


หมายเหตุ: ที่จุด C แรงเฉือนมีทิศขึ้น (เปนลบ) ดังนั้นความเคนเฉือนมีทิศทวนเข็มนาฬิกา (เปนบวก)

4.7 คานหนาตัดรูปวงกลม (Beam of Circular Cross Section)

ในกรณีที่หนาตัดของคานมีลักษณะเปนวงกลม เราไมสามารถสมมุติใหความเคนเฉือน (τ ) มีทิศทางขนานกับแกน y ไดทั้งหมดเหมือนกรณีคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม เนื่องจากในบางตําแหนงของหนาตัดรูปวงกลม ความเคนเฉือนมีทิศทางไมต้ังฉากกับแกนเปนกลาง (neutral surface) ดังรูป ยกตัวอยางเชน ความเคนเฉือนที่จุด m มีทิศทางอยูในแนวสัมผัสกับเสนรอบวง (ไมต้ังฉากกับแกนเปนกลาง) โดยความเคนเฉือนสูงสุด ( maxτ ) จะอยูบริเวณแกนเปนกลางของหนาตัด มีทิศทางขนานกับแกน y และมีขนาดคงที่ตามแนวพื้นผิวเปนกลาง pq

150



oz

y

r

qp

mτ

τ


จาก VQIb

τ =

rI π=

2

4

b r= 2 r rQ π

π

⎛ ⎞⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

2 34 22 3 3

r


maxVQ V VIb Ar

τπ

= = =24 4

33

aveτ= ⋅43

(4.11)

สําหรับคานหนาตัดรูปวงกลมกลวง (hollow circular cross section) เราสมมุติใหความเคนเฉือน (shear stress) มีการกระจายแบบสม่ําเสมอตามแกนเปนกลาง (neutral axis) และมีทิศทางขนานกับแกน y

151



o z

y

qr2r1


( )I r rπ= −4 4

2 14

( )b r r= −2 12

( )Q r r= −3 32 1

23


maxr r r rVQ V

Ib A r rτ

⎡ + += = ⎢

+⎢⎣

22 2 1 1

2 22 1

43

⎤⎥⎥⎦

2 (4.12)

ซึ่งเมื่อ (บริเวณแกนเปนกลาง) r =1 0 maxVA

τ =43

เชนเดียวกับกรณีคานหนาตัดรูปวงกลม

152


(Bending Structures) 4.8 ความเคนเฉือนของคานหนาตัดรูปตัวไอ (Shear Stresses of I-Beams)

แรงเฉือน (shear force, V) และความเคนเฉือน (shear stress, τ ) สวนใหญจะกระจายอยูในแกนกลาง (web) ดังรูป โดยความเคนเฉือนสามารถคํานวณได โดยตั้งสมมุติฐานวาความเคนเฉือนกระทําขนานกับแกน y และมีการกระจายคงที่ตามความหนาของแกนกลาง (t) ซึ่งสามารถคํานวณโดยใชสูตรการเฉือน (shear formula)

b

oz

y

h

h1/2

h1/2y1

t

a b c de f

h1/2

h1/2

τmax

τmin

τ


พิจารณาสวนที่แรเงา:

fhhA b⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠1

2 2

whA t y⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠1

12

และ

f wQ Q Q= +

h h h h h h yhb t y y− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛= − + + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝

1 1 1 1 1 11 1

2 2 22 2 2 2 2 2

⎞⎟⎠

( ) (b tQ h h h y∴ = − + −2 2 2 21 1 4

8 8)1


( ) (VQ V b h h t h yIb It

τ ⎡ ⎤= = − + −⎣ ⎦2 2 2 2

1 1 148

)

153



โดยคาโมเมนตอินนิเชีย (moment of inertia): ( )b t hbhI −

= −3 3

1

12 12

( )bh bh th= − +3 3 31 1

112

แทนคาลงในสมการความเคนเฉือน: (

(V bh bh th ty

t bh bh thτ

− + −=

− +

2 2 2 21 1 1

3 3 31 1

32

))

4 (4.13)

โดยความเคนเฉือนสูงสุด ( maxτ ) เกิดขึ้นที่แกนเปนกลาง (neutral axis, y =1 0 ) ของคานหนาตัดรูปตัวไอ

max ( )V bh bh thIt

τ∴ = − +2 2 21 18

((

V bh bh tht bh bh th

− +=

− +

2 2 21 1

3 3 31 1

32

))

(4.14)

และความเคนเฉือนต่ําสุด ( minτ ) เกิดที่ y h= ±1 1 2 ของแกนคานหนาตัดรูปตัวไอ

( )minVb h h

Itτ∴ = −2 2

18

( )(

Vb h ht bh bh th

−=

− +

2 21

3 3 31 1

32 )

⋅

(4.15)


1) แรงเฉือนของแกนคานหนาตัดรูปตัวไอ ( ) สามารถหาไดจากพื้นที่ใตแผนภูมิความเคน (stress diagram) คูณกับระยะ t โดย:

webV

( )web area I area IIV t= +

( )min max minh t hτ τ τ= + −1 123

t

( )web max minthV τ τ∴ = +1 23

154



โดย

web 90-98%V ≈ ของ V

h1/2

h1/2

τmax

τmin

τ

I II


2) คาความเคนเฉือนเฉลี่ย (average shear stress) ซึ่งสามารถใชในการออกแบบ

aveVth

τ =1 (แกนคานหนาตัดรูปตัวไอ)

โดย

ave ±10%τ = ของ maxτ (แกนคานหนาตัดรูปตัวไอ)

3) คาความเคนเฉือน (shear stress) ในสวนปก (flange) ยาว b จะไมคงที่ เชน ความเคนที่ผิว ab และ cd เปนศูนย แตในความเปนจริงที่จุด b และ c ความเคนเฉือนไมเทากับศูนย เนื่องจากเกิดการสะสมของความเคน (stress concentration)

155


(Bending Structures) ตัวอยางที่ 4.5: จงคํานวณความเคนเฉือนสูงสุด ( maxτ ) ในแกนคานหนาตัดรูปตัวไอ เมื่อมีแรงเฉือน

มากระทํา NV = 45

b = 100 mm

t = 24 mm

cnn

z

y

oh = 200 mm

h1 = 176 mm


กําหนดใหของดานบนของคานเปนตําแหนงเปรียบเทียบ (reference) โดยระยะ c เปนระยะระหวางตําแหนงเปรียบเทียบไปยังจุดเซนทรอยดของหนาตัด (centroid, O)

( ) ( )I I

I II

IA AC

A A+

=+

mm mm12 112

. mm= 75 77

คาโมเมนตอินนิเชีย (moment of inertia, I) ที่จุด O หาไดจากทฤษฎีแกนขนาน (parallel axis theorem):

. 4 mmI = × 626 3 10 คาโมเมนตของพื้นที่คร้ังที่หนึ่ง (first moment of area, Q) นับจากจุด O ลงมาเปน

Q A D= ⋅

( )( . ) ( . mm mm mm= ⋅124 124 2 124 22

)

3 mm= × 3185 10

156


(Bending Structures) จาก

VQIt

τ =

( )(( . )( )

3

4 N m

mm mm× ×

=×

3 3

645 10 185 1026 3 10 24

)m

(คาสูงสุด) . MPa=13 2

4.9 คานประกอบ (Built-up Beams)

เปนคานที่ประกอบจากวัสดุต้ังแต 2 ชิ้นขึ้นไปประกอบเขาดวยกัน เพื่อเพิ่มความสามารถของคาน ยกตัวอยางเชน คานไมรูปกลอง (รูปที่ 4.25a) คานไมซอนเปนชั้น (รูปที่ 4.25b) และคานเหล็กแผนเชื่อม (รูปที่ 4.25c)

z

y

o


ลักษณะสําคัญของคานประกอบ:

1) มีการเชื่อมตออยางเหมาะสมจนทุกชิ้นสวนของคานประกอบกันเสมือนกับเปนชิ้นเดียว

2) ชิ้นสวนหลักในคานรับความเคนดัด (bending stress) และความเคนเฉือน (shear stress)

3) ชิ้นสวนที่ทําหนาที่ยึดชิ้นสวนหลักเขาดวยกัน จะรับแรงเฉือน (shear force) ในแนวระดับที่สงผานระหวางแตละชิ้นสวน

157


(Bending Structures) จากความเคนเฉือนในคาน (หัวขอ 4.5) กําหนดใหความเคนเฉือนมีการกระจายสม่ําเสมอในแนวระดับ (แนว b) ดังรูป

b

h

m

o

v

x

y

z

n

τ


ซึ่งทําใหแรงที่กระทําบนผิว มีคาเปน 1pp 3F bdxτ= แตบางกรณีความเคนเฉือนไมมีการกระจายแบบสม่ําเสมอ ดังนั้นนิยามแรงเฉือนตอหนึ่งหนวยความยาว (shear flow หรือ shear force per unit distance, f ) โดย:

3F fd= x

( )M dM MyydA dAI I+

= −∫ ∫

dM y dAI⋅

= ∫

1dMf ydAdx I

∴ = ⋅ ∫

หรือ VQfI

= (4.16)

โดยเรียกความสัมพันธนี้วาสูตรการไหลเฉือน (formula of shear flow) ซึ่งแสดงถึงคาแรงเฉือนตอหนึ่งหนวยความยาวในบริเวณผิว 1pp

158


(Bending Structures) หมายเหตุ:

1) ในกรณีที่ความเคนเฉือนมีการกระจายอยางสม่ําเสมอ f bτ=

2) สูตรการไหลเฉือน (formula of shear flow) ใชไดกับหนาตัดทั่วไปที่สมมาตรรอบแกน y:

z

y

o

a a

รูปที่ 4.27 VQfI

= (เปนคาแรงเฉือนตอหนึ่งหนวยความยาวบริเวณรอยเชื่อมหรือแนว a-a )

โดย Q คือผลคูณระหวางพื้นที่ของปก (flange) กับระยะจากเซนทรอยดของปก (flange centroid) ไปยัง O

z

y

o

b b

รูปที่ 4.28 VQfI

= (เปนคาแรงเฉือนตอหนึ่งหนวยความยาวบริเวณรอยตอระหวางคานหนาตัดรูปตัวไอ (I-beam) กับราง (channel หรือแนว b-b)

โดย Q คือผลคูณระหวางพื้นที่ของราง (channel) เหนือจุด O กับระยะจากเซนทรอยดของราง (channel centroid) ไปยัง O

159


(Bending Structures) ตัวอยางที่ 4.6: คานประกอบไมรูปกลอง ดังรูป ประกอบดวยหมุดยึด (screw) ที่สามารถรับแรงได (allowable load) 1100 N/screw ถาแรงเฉือน (V) ที่กระทําบนหนาตัดเปน 10.5 kN จงหาระยะ s ระหวางหมุดยึด (screw) แตละตัวที่ไมทําใหคานประกอบนี้เสียหาย

z

y

o280 mm

180 mm

40 mm

15 mm15 mm

40 mm x

s s s

ภาพตัด ภาพดานขาง

(a) (b)


พิจารณาแรงเฉือนในแนวระดับ (horizontal shear force) ที่รอยตอระหวางขอบซาย-ขวา และปกดานบน

VQfI

=

โดย

Q A y= ⋅ [ ]180 mm 40 mm 120 mm= × ⋅

3 3864 10 mm= ×

I = โมเมนตอินนิเชียของคานประกอบ

3 31 1(210 mm)(280 mm) (180 mm)(200 mm)12 12

= −

6 4264.2 10 mm= ×

160



3 3

6 4

(10,500 N)(864 10 mm )(264.2 10 mm )

VQfI

×= =

×

34.3 N mm= โดยในระยะ s จะมีหมุดยึด (screw) 2 ตัว (2 ขาง) ซึ่งสามารถรับแรงได 2F ดังนั้น

2Ffs

=

หรือ 2 2(1100 N)

34.3 N mmFsf

= =

65.1 mms∴ = (ระยะหางมากที่สุดระหวางหมุดยึดที่ไมทําใหคานประกอบเสียหาย)

4.10 คานที่หนาตัดไมคงที่ (Nonprismatic Beams)

จากคานที่หนาตัดคงที่ (prismatic beam) พบวา:

1) สูตรการดัด (Flexure Formula): MyI

σ =

2) สูตรการเฉือน (Shear Formula): VQIb

τ =

3) สูตรการไหลเฉือน (Shear Flow Formula) ; VQfI

=

ซึ่งเมื่อคานมีหนาตัดไมคงที่ เราจําเปนตองศึกษาการวิเคราะหความเคนดัด (bending stress) และความเคนเฉือน (shear stress) ใหมดังนี้:

4.10.1 ความเคนดัด (bending stress)

ถามุมระหวางขอบบนและแนวระดับนอยกวา 20o สามารถใชสูตรการดัด (flexure formula) MyI

σ = ในการคํานวณหาความเคนบิดได โดยมีคาความผิดพลาด (error) นอยกวา 10% ซึ่งถามุมนี้ยิ่งนอย คาความผิดพลาดก็จะยิ่งนอย ทําใหคานมีลักษณะเขาใกลคานที่หนาตัดคงที่ (prismatic beam)

161



ซึ่งในคานที่หนาตัดคงที่ (prismatic beam) ความเคนดัดจะแปรผันตามโมเมนตดัด ( Mσ ∝ ) เนื่องจากคาโมเมนตอินนิเชียของหนาตัด ( I ) คงที่ ซึ่งเมื่อหนาตัดไมคงที่ M

Iσ ∝

da db

Lx

P

AB


กําหนดให

2b

a

dd

=

และที่ระยะ x ใด ๆ

( )a b axd d d dL

= + −


1axd dL

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

จากคาโมดูลัสหนาตัด (S) ของคานหนาตัดรูปวงกลม: 3

32dS π

=

3

3 132 a

xdL

π ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

162


(Bending Structures) จาก

MS

σ =

33

32

1a

pxxdL

σπ

∴ = ⋅⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.17)

เมื่อหา d dxσ และกําหนดใหเปนศูนย พบวา 2x L= ดังนั้นความเคนเฉือนสูงสุด ( maxσ ) เกิดที่ 2x L= โดย

max 3 3

128 4.74127 a a

PL PLd d

σπ π

= =

โดยตําแหนงที่มีโมเมนตเฉือนสูงสุด (maximum bending moment) คือจุด B ( x L= ):

3

4b

a

PLd

σπ

=

ซึ่งถาความเอียงของคานที่หนาตัดไมคงที่ลดลง ตําแหนงของความเคนเฉือนสูงสุด ( maxσ ) ก็จะเขาใกลตําแหนงของโมเมนตเฉือนสูงสุด (maximum bending moment) จนถาความเอียงเปนศูนย (คานที่หนาตัดคงที่) ตําแหนงของความเคนเฉือนสูงสุด ( maxσ ) ก็จะอยูตําแหนงเดียวกันกับโมเมนตเฉือนสูงสุด

4.10.2 ความเคนเฉือน (Shear Stresses)

พิจารณาชิ้นสวนเล็กๆ ที่ตัดออกจากคานที่หนาตัดไมคงที่ dx

p

M1

∆x

m1

h1/2 M2

σx

τ y1h1/2

m2

n1n2

h2/2

h2/2

p1 p2


163


(Bending Structures) โดย

2 12 1

2 1

M Mfdx ydA ydAI I

= −∫ ∫

2 2 1 1

2 1

M Q M QfdxI I

∴ = −

พิจารณาความเคนเฉือนในคานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยมที่มีความกวาง (b) คงที่และความหนา (h) ไมคงที่ โดยกําหนดใหความเคนเฉือนมีการกระจายอยางสม่ําเสมอตาม b ( f bτ= ):

221

1 12 4b hQ y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

222

2 12 4b hQ y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

31

1 12bhI =

32

2 12bhI =

กําหนดให และแทนลงในสมการ และ 2 1h h= + ∆h Q I โดยตัด 2 ,h h3∆ ∆ เนื่องจากมีคานอยมาก:

12 1 4

bh hQ Q ∆= +

21

2 1 4bh hI I ∆

= +

จาก

2 2 1 1

2 1

M Q M Qf xI I

∆ = −

164



กําหนดให 2 1M M M= + ∆ แทนคา 2M , และ 2Q 2I โดยตัด M h∆ ⋅∆ และ x h∆ ⋅∆ เนื่องจากมีคานอยมาก:

( ) 11 1

1 12

1 11

4

4

bh hM M QM Qb x

bh h IIτ

∆⎛ ⎞+ ∆ +⎜ ⎟⎝ ⎠∆ = −

∆+

ดังนั้น 21 1 1 1

1 114 4

M bh M QbI x h Q M bh hI

τ ∆ = ⋅∆ + ∆ − ⋅ ∆1

21 1 1 11 1

14 4 1M bh h M M Q hbI Q bh

x dx I xτ ∆ ∆

= ⋅ + − ⋅∆ ∆

∆

กําหนดให x O∆ → , h dhx dx

∆→

∆ และ M dM V

x dx∆

→ =∆

21 1 1 1 1

1 114 4

M bh dh M Q bh dhbI QVdx I dx

τ = + − ⋅

14

QV Mh Qh dhIb I I d

τ ⎛ ⎞x

∴ = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(4.18)


1) ความสัมพันธ ขางตนใชไดเฉพาะกรณีความกวาง (b) คงที่และความหนา (h) ไมคงที่เทานั้น

2) ความเคนเฉือนขึ้นอยูกับแรงเฉือน โมเมนตดัด และอัตราการเปลี่ยนแปลงความหนาตอหนึ่งหนวยระยะ ( , , dhV M

dxτ ∝ )

165



3) จากคานยื่นซึ่งมีหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม (cantilever beam with rectangular cross section) ดังรูป

ha hb

L

x

P

AB

y

o 2ha

b


โดย

2b ah h= b a ah h hdh

dx L L−

= =

ที่ปลาย A; ดังนั้น 0M =

2212 4

ahQV V yIb I

τ⎛ ⎞

= = −⎜ ⎟⎝ ⎠

และ maxτ เกิดที่พื้นผิวเปนกลาง (neutral surface) โดย 1y O=

max1.5

a

Pbh

τ =

166



ที่จุดกึ่งกลางของคาน; 2x L= โดย

V P= 1.5 ah h=

2212 4

b hQ y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

2PLM =

3112

I bh=


3 a

Pbh

τ = (คงที่ตลอดความหนาของคาน)

ที่ปลาย B; x L= โดย

V P= 2 ah h=

2212 4

b hQ y⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

M PL= 31

12I bh=

167




3 18 a a

P ybh h

τ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

โดย

max34 a

Pbh

τ =

168


(Bending Structures) 4.11 คานรับแรงในแนวแกน (Beams with Axial Loads)

จากรูปแรง P กระทําที่จุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัดที่ปลายดานขวาของคาน โดยแรง P สามารถแยกสวนประกอบออกเปนแรง Q และ S ซึ่งสงผลใหเกิดแรงเฉือน (V), โมเมนตดัด (M) และแรงในแนวแกน (N) ในคาน:

x

y

L

S

Q P

x

y

x

NV

M


โดย

( )M Q L x= −

V Q= −

N S=

1) แรงในแนวแกน (axial force, N)

ทําใหเกิดความเคนที่กระจายตัวอยางสม่ําเสมอบนหนาตัดของคาน (uniform stress, N Aσ = )

2) โมเมนตดัด (bending moment, M)

ทําใหเกิดความเคนตั้งฉากที่มีการเปลี่ยนแปลงแบบเชิงเสน (linearly varying stress) ตามแกน y

MyI

σ =

โดยความเคนตั้งฉากทั้งหมดที่กระทําบนหนาตัดเปน: N MyA I

σ = +

169



( )axial aσ ( )bending bσ maxa bσ σ> maxa bσ σ= maxa bσ σ<



1) เมื่อมีแรงในแนวแกน และโมเมนตดัดกระทําบนหนาตัดพรอมๆ กัน พื้นผิวเปนกลาง (neutral surface, พื้นผิวที่ผานหนาตัดในตําแหนงที่ความเคนตั้งฉากเปนศูนย) จะไมผานจุดเซนทรอยด (centroid) ของหนาตัด ดังแสดงในรูป 4.33

2) ในการวิเคราะหความเคนตั้งฉาก ถาสมมุติใหคานสั้นและแข็ง (มีการโกงตัวนอยมาก, length

deflection< 10 ) จะทําใหโมเมนตที่เกิดจากการเปลี่ยนแปลงรูปรางของคานมีผลนอยมากตอคาม

เคนตั้งฉาก

4.12 คานผสม (Composite Beams)

เปนคานที่เกิดจากการรวมของวัสดุต้ังแตหนึ่งชนิดขึ้นไป เชน

(a) (b) (c)


170



ในการวิเคราะหคานผสมภายใตโมเมนตดัด เราสมมุติใหระนาบของหนาตัดหลังจากมีโมเมนตดัดมากระทํายังคงสภาพเปนระนาบอยู ซึ่งความเครียดตั้งฉาก (ε ) มีการเปลี่ยนแปลงแบบเชิงเสนโดยมีคาสูงสุดและต่ําสุดที่ผิว ดังรูป 4.35

x

y

b

o

1

2

ε1

ε2

εx

σ2 = E2 ε2

σ1 = E1 ε1

σx


โดย

x E kyσ = −1 1

x E kyσ = −2 2 (4.18)

จากสมการสมดุลของแรง ความเคนตั้งฉาก (normal stress) ที่ตําแหนงของแกนเปนกลาง (neutral axis):

x xdA dAσ σ+ =∫ ∫1 21 2

0

แทนคา x E kyσ = −1 1 และ x E kyσ = −2 2 ดังนั้น

E k ydA E k ydA+ =∫ ∫1 21 2

0

โดย

ydA∫1

คือโมเมนตคร้ังที่หนึ่งของพื้นที่ (first moment of area) สําหรับวัสดุที่ 1 เมื่อเทียบกับแกนเปน

กลาง (neutral axis) ของหนาตัดของคานผสม

ydA∫2

คือโมเมนตคร้ังที่หนึ่งของพื้นที่ (first moment of area) สําหรับวัสดุที่ 2 เมื่อเทียบกับแกนเปน

กลาง (neutral axis) ของหนาตัดของคานผสม

171


(Bending Structures) พิจารณาโมเมนตดัด (M) ที่เกิดบนหนาตัด:

x x xM ydA ydA ydAσ σ σ= = +∫ ∫ ∫1 21 2

kE y dA kE y dA= − −∫ ∫2 21 2

1 2

( )M k E I E I∴ = − +1 1 2 2 (4.19)

โดย

I1 คือโมเมนตอินนิเชีย (moment of inertia) ของวัสดุที่ 1 เมื่อเทียบกับแกนเปนกลาง (neutral axis)

I2 คือโมเมนตอินนิเชีย (moment of inertia) ของวัสดุที่ 2 เมื่อเทียบกับแกนเปนกลาง (neutral axis)

และ

I I I= +1 2 โดย

I คือโมเมนตอินนิเชีย (moment of inertia) ของหนาตัดทั้งหมด เมื่อเทียบกับแกนเปนกลาง (neutral axis)

จากโมเมนตดัด (M) เราสามารถหาความโคง (curvature, MkEIρ

= = −1 ไดโดย:

MkE I E Iρ

= = −+1 1 2 2

1 (4.20)

โดยเราเรียก วา ความแข็งแกรงการงอของคานผสม (flextural rigidity of composite beam)

E I E I+1 1 2 2

แทนความโคง (สมการ 4.20) ลงในสมการความเคนดัด (4.18):

xMyEkE y

E I E Iσ = − =

+1

1 11 1 2 2

xMyEkE y

E I E Iσ = − =

+2

2 21 1 2 2

(4.21)

โดยเราเรียกสมการนี้วา สูตรการงอของคานผสม (Flexure Formula for Composite Beam)

172


(Bending Structures) ตัวอยางที่ 4.7: คานผสม ดังรูป รับโมเมนตดัดบวก kN mM = ⋅4 จงหาความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ) และความเคนดัดต่ําสุด ( minσ ) ถา GPaE =1 7 และ GPaE =2 140

z

y

100 mm

o

1

2

12 mm

150 mmh1

h2

A

B

C


จาก

E ydA E ydA+ =∫ ∫1 21 2

0

โดย

( )( ) ( )( mmh hydA h h−= − + −∫ 1 1

1 11

150100 150 1002 2

)

)

( )( )2 mm mm h= × −3115 10 75

และ

( )( )( mm mm mmydA h= −∫ 12

156 12 100

( )( )2 mm mm h= − 11200 156

แทน และ ลงใน ydA∫1

ydA∫2

E ydA E ydA+ =∫ ∫1 21 2

0 ดังนั้น

. mmh∴ =1 124 8 และ . mmh =2 37 2

173


(Bending Structures) เทียบกับแกนเปนกลาง (neutral axis) เราสามารถหา I1 และ I2 หาจากทฤษฎีแกนขนาน (parallel-axis theorem):

( )( ) ( )( )( mm mm mm mm mmI h⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦3 2

1 11 100 150 100 150 75

12)−

( )( ) ( )( )( mm mm mm mm mmI h⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦3 2

2 11 100 12 100 12 6

12)−


. 4 mmI = × 61 65 3 10

. 4 mmI = × 62 1 2 10

พิจารณาความเคนดัดที่จุด A

xMyE

E I E Iσ =

+1

11 1 2 2

โดยแทน . mmy h= − = −1 124 8

. MPaAσ∴ = −1 5 59

ที่จุด แทน C .y h= − = mm2 12 25 2

. MPaCσ∴ =1 1 13

ที่จุด แทน B . mmy h= =2 37 2

xMyE

E I E Iσ =

+2

21 1 2 2

. MPaBσ∴ =2 33 3

ที่จุด แทน C . mmy = 25 2

. MPaCσ =2 22 6

174



4.13 การวิเคราะหคานผสมดวยวิธีเปลี่ยนรูป (Transformed-section Method)

เปนการวิเคราะหคานผสม โดยการเปลี่ยนคานผสมใหเปนคานธรรมดาที่ประกอบดวยวัสดุเดียว แตมีขนาดของหนาตัดที่ตางจากหนาตัดเดิม โดยมีขอจํากัดคือ:

1) มีแกนเปนกลาง (neutral axis) อยูที่ตําแหนงเดิม

2) มีโมเมนตดัด (bending moment) เทาเดิม

โดยกําหนดใหอัตราสวนโมดูลัส (modular ratio) เปน:

2

1

EnE

= (4.22)

ดังนั้นตําแหนงของแกนเปนกลาง (neutral axis) สามารถคํานวณจาก

1 21 2

0E ydA E ydA+ =∫ ∫

หรือ

2

11 2

0EydA ydAE

+ =∫ ∫


1 2

0ydA yndA+∫ ∫ = (4.23)

ซึ่งหมายความวาตําแหนงของแกนเปนกลาง (neutral axis) จะคงที่หรือเทากัน ระหวางคานผสมและคานที่มีการเปลี่ยนรูปไป ถาแทนวัสดุชนิดที่ 2 ดวยวัสดุชนิดที่ 1 โดยมีขนาดของพื้นที่เปน n เทาของพื้นที่เดิม:

175



z

y

b

o

1

2z

y

b

o

1

2

nb


พิจารณาคานที่เปลี่ยนรูป (transformed beam) พบวา

1x E kyσ = − ดังนั้นเราสามารถหาโมเมนตดัดโดย:

1 2x x xM ydA ydA ydAσ σ σ= = +∫ ∫ ∫

2 21 1

1 2

kE y dA kE y dA= − −∫ ∫

( )1 1 1 2k E I E nI= − +

โดย 2

1

EnE

=

( 1 1 2 2 )M k E I E I∴ = − + (4.24)

หมายเหตุ: ผลของการคํานวณโมเมนตดัดโดยใชวิธีวิธีคานเปลี่ยนรูป จะเทากันการวิเคราะหโดยวิธีทั่วไป

จากโมเมนตดัด เราสามารถคํานวณหาความเคนดัดในคานเปลี่ยนรูป (transformed beam) โดย:

1xt

MyI

σ = (4.25)

176


(Bending Structures) โดย tI คือโมเมนตอินนิเชียของคานเปลี่ยนรูปรอบแกนเปนกลาง

21 2 1

1t

E2I I nI I I

E= + = + (4.26)

แทน tI (สมการ 4.26) ลงใน 1xσ (สมการ 4.25) พบวา

11

1 1 2 2x

MyEE I E I

σ =+

(4.27)

จาก 1 1x E kyσ = − และ 2 2x E kyσ = − โดย k มีคาคงที่ ดังนั้น

1 2

1 2

x x

E Eσ σ

− = −

หรือ

22 1

1x x

EE

σ σ=


2x n 1xσ σ= (4.28)

22

1 1 2 2x

MyEE I E I

σ∴ =+

(4.29)

ซึ่งเราพบวาคาของ 1xσ และ 2xσ มีคาเทากับคาที่ไดจากการวิเคราะหคานผสมโดยไมใชวิธีเปลี่ยนรูป

177


(Bending Structures) ตัวอยางที่ 4.8: จากตัวอยางกอนหนานี้ ใหใชการวิเคราะหคานผสมโดยวิธีเปลี่ยนรูป (transformed-section method) คํานวณความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ) และความเคนดัดต่ําสุด ( minσ ) และเปรียบเทียบผล

z

y

100 mm

o

1

2

12 mm

150 mmh1

h2

A

B

C

y

100 mm

o

12 mm

150 mmh1

h2

A

B

C z

2000 mm


จากรูป

2

1

140EnE

= =

20(100 mm) 2 mnb∴ = =

คํานวณหาจุดเซนทรอยด (centroid) หรือแกนเปนกลาง (neutral axis) โดยใชขอบบนเปนแกนเปรียบเทียบ:

1i i

i

y Ah

A= ∑

∑

(75 mm)(100 mm)(150 mm) (156 mm)(2000 mm)(12 mm)(100 mm)(150 mm) (2000 mm)(12 mm)

+=

+

3

3

4869 10 mm 124.9 mm39 10 mm

×= =

×

โดย

2 1162 mm 37.2 mmh h= − =

178


(Bending Structures) หาโมเมนตอินนิเชีย (moment of inertia) ของหนาตัดเปลี่ยนรูป (transformed section):

1 2tI I I= +

3 21

1 (100 mm)(150 mm) (100 mm)(150 mm)( 75)12

h⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦−

3 22

1 (2000 mm)(12 mm) (2000 mm)(12 mm)( 6)12

h⎡ ⎤+ +⎢ ⎥⎣ ⎦−

6 488.98 10 mmtI∴ = ×

พิจารณาความเคนดัดที่จุด A, B และ C ของคานเปลี่ยนรูป:

( )( )6

6 4

4 10 N.mm 124.9 mm

88.98 10 mmat

MyI

σ× −

= =×

5.61 MPa= −

( )( )6

6 4

4 10 N.mm 37.2 mm

88.98 10 mmbt

MyI

σ×

= =×

1.67 MPa=

( )( )6

6 4

4 10 N.mm 25.15 mm

88.98 10 mmct

MyI

σ×

= =×

1.13 MPa=

พิจารณาความเคนดัดที่จุด A, B และ C ของคานผสมเดิม:

1 5.61 MPaA aσ σ= = −

1 (20)(1.67 MPa)B bnσ σ= =

33. 4 MPa=

1 1.13 MPaC cσ σ= =

ซึ่งไดผลเชนเดียวกับการวิเคราะหโดยไมใชวิธีเปลี่ยนรูป

179


(Bending Structures) 4.14 คานแซนวิช (Sandwich Beams)

เปนคานผสมที่ประกอบดวยวัสดุที่มีความแข็งแรงสูง (high-strength material) เปนผิวดานนอก (face) และมีวัสดุที่มีความแข็งแรงต่ํา (low-strength material) เปนแกน (core) ดังรูป

z

y

b

o

t

h d

t


โดยการวิเคราะหคานแซนวิช จะตั้งอยูบนสมมุติฐานที่วาผิวดานนอกจะรับความเคนดัดทั้งหมด ดังนั้น

2xf

MdI

σ = (4.30)

โดย

d คือความสูงของคานแซนวิช

fI คือโมเมนตอินนิเชียของผิวดานนอกรอบแกน z โดย

( )3 3

12fbI d h= −

ถาผิวดานนอกบางมากๆ (t นอยมาก) เราสามารถสมมุติใหแกน (core) รับความเคนเฉือน (shear stress, τ ) ทั้งหมด โดยความเคนเฉือนเฉลี่ย (average shear stress, aveτ ) เปน

aveVbh

τ = (4.31)

C

VbhG

γ = (4.32)

180


(Bending Structures) โดย

h คือความสูงของแกน (core)

b คือความกวางของคาน

cG คือโมดูลัสเฉือนของแกน

V คือแรงเฉือน

4.15 ศูนยกลางการเฉือน (Shear Center)

ในกรณีที่แรงกระทํากับคานในตําแหนงที่ไมใชระนาบสมมาตร (plane of symmetry) จะทําใหคานเกิดแรงบิด (torsion) นอกเหนือจากความเคนดัด (bending stress) และความเคนเฉือน (shear stress) ดังรูป

y

z

xP

P

z

y

CSMz


181


(Bending Structures) โดยแรง P ทําใหเกิด zM , , ซึ่งเรียกตําแหนงที่แรง P มากระทํา โดยทําให เปนศูนยวา “ศูนยกลางการเฉือน (shear center, s)” ซึ่งศูนยกลางการเฉือนของคานหนาตัดรูปตัวไอดังรูป สามารถคํานวณไดโดย:

yV xT xT

P

z

y

CS

V1

h2h1

h

b1 b2

V2

t1

t2

1

2

3


โดยคานหนาตัดรูปตัวไอมีความโคง (curvature, k) คงที่ และจาก M kEI= โดยเมื่อพิจารณาชิ้นสวน 1 ถึง 3 พบวา:

31 2

1 2 3

MM MkEI EI EI

= = = (4.33)

จาก 1 2z 3M M M M= + + ถาสวนแกน (web) มีความบางมากๆ เมื่อเทียบกับปก (flange) ทําใหโมเมนตอินนิเชีย ( 3I ) มีคานอยมากๆ และสงผลให 3M มีคานอยมากๆ เชนกัน ดังนั้น:

1z 2M M M= + (4.34)

จากสมการ (4.33) และ (4.34):

11

1 2

zM IMI I

=+

22

1 2

zM IMI I

=+

182


(Bending Structures) เนื่องจาก dMV

dx= โดย V ดังนั้น M∝

1 1

2 2

V M IV M I

= = 1

2

2

(4.35)

เมื่อพิจารณาแรงเฉือนที่เกิดขึ้น

1yV V V= + (4.36)


11

1 2

yV IV

I I=

+

และ

22

1 2

yV IV

I I=

+

โดย และ กระทําที่จุดเซนทรอยด (centroid) ของจุดชิ้นสวน 1 และ 2 ถากําหนดจุดศูนยกลางการเฉือน (shear center, S) ที่ไมทําใหเกิดแรงบิดในแนว x ( ) หรือโมเมนตรอบแกน x เปนศูนย โดยกําหนดให และ เปนระยะจากจุดเซนทรอยด (centroid) ไปยังจุดศูนยกลางการเฉือน (shear center, S)

1V 2V

xT

1h 2h

0xM =∑

1 1 2 2V h V h=

แต 1

2 2

V IV I

= 1 ดังนั้น

1 2

2 1

h Ih I

=

หรือ

21

1

IhI

= ⋅ 2h (4.37)

183



2

โดย

1h h h= + (4.38)


21

1 2

I hhI I

=+

12

1 2

I hhI I

=+

จาก 3

1 11 12

t bI = และ 3

2 22 12

t bI = ดังนั้น 3

2 21 3 3

1 1 2 2

t bh ht b t b

= ⋅+

31 1

2 3 31 1 2 2

t bht b t b

=+

h⋅ (4.39)

ซึ่งทําใหเราทราบตําแหนงของจุดศูนยกลางการเฉือน (shear center) ในที่สุด

หมายเหตุ: ในกรณีพิเศษเราสามารถหา จุดศูนยกลางการเฉือนไดโดย

1) คานสมมาตรสองแกน (Double symmetry beam): 1 2t t= , 1b b2= ทําให 1 2 2h h h= = (จุดศูนยกลางการเฉือนอยูที่เดียวกับจุดเซนทรอยด)

2) คานหนาตัดรูปตัวที (T-beam)

z

y

P

SC

รูปที่ 4.40 1 2 0t b= = และ , 1 0h = 2h h= −

184


(Bending Structures) 3) กรณีที่แรง P ไมกระทําผานจุดศูนยกลางการเฉือน

z

y

C

SP

e

z

y

C

S

P

T = Pe


เราสามารถยายแรง P มากระทําผานจุดศูนยกลางการเฉือนได โดยเพิ่มแรงบิด Pe เพิ่มเขาไป ดังรูป 4.41 และทําการวิเคราะหแรงบิดเพิ่มเติม โดยอาศัยหลักการตามหัวขอที่ผานมา

4) กรณีคานมีความแข็งแกรงสูง (คา torsion rigidity สูง) ทําใหผลกระทบของแรงบิดตอโครงสรางตํ่า ทําใหเราสามารถจะละทิ้งผลกระทบของแรงบิดตอโครงสรางได แตในบางกรณี เชน คานผิวบาง คานหนาตัดรูปตัวไอ ซึ่งมีคาความแข็งแกรงการบิด (torsion rigidity) ตํ่า ทําใหไมสามารถละทิ้งผลกระทบนี้ได

185


(Bending Structures) 4.16 แบบฝกหัด

1. แผนเหล็กยาว . mL = 0 8 หนา mmt = 2 ถูกกระทําดวยแรงคูควบ oM ดังรูป ถาระยะโกงตัว mmδ = 143 จงหา (a) รัศมีความโคง ( ρ ) ของแผนเหล็กและ (b) ความเครียดตั้งฉาก ( ε ) ในแนว

ยาวของแผนเหล็ก โดยกําหนดใหพื้นผิวสมมาตร (neutral surface) อยูที่กึ่งกลางความหนาของแผนเหล็ก

(คําตอบ: (a) mmρ = 534 , และ (b) .ε = 0 00187 )

2 ลวดเหล็ก ( ) เสนผาศูนยกลาง GPaE = 200 . mmd = 0 8 ถูกงอรอบลูกลอกรัศมี ดังรูป จงหา (a) ความเคนสูงสุดที่เกิดในลวด (

mmr = 200

maxσ ) และ (b) ความสัมพันธระหวางความเคนสูงสุดในเสนลวดกับรัศมีของลอก

(คําตอบ: (a) .max MPaσ = 399 2 และ (b) รัศมีเพิ่มข้ึนทําใหความเคนลดลง)

186


(Bending Structures) 3. จงหาความเคนตั้งฉากสูงสุด ( maxσ ) ภายใตโมเมนตบิด ( M ) ของเพลาที่มีหนาตัดตางๆ (a) ทรงกระบอกกลวง ., d d d d= =1 2 1 5 , (b) ทรงกระบอกปาดผิวเสนผาศูนยกลาง และ (c) หกเหลี่ยมซึ่งมีดานยาว

, od β = 45

b

(คําตอบ: (a) maxMd

σπ

= 376865

, (b) maxM

dσ

π= 3

32 2 และ (c) maxMb

σ = 385

)

4. รถ ABC เคลื่อนที่ในแนวระดับดวยความเรง จงหาความเคนตั้งฉากสูงสุด (oa maxσ ) ใน AB เมื่อกําหนดใหความหนาแนนของวัสดุที่ใชทํารถเปน ρ

(คําตอบ: maxoL a

tρ

σ =23 )

187


(Bending Structures) 5. คานดังรูป ยาว mL = 3 และมีแรง kNP = 90 มากระทําที่กึ่งกลาง จงหาความเคนดึงสูงสุด ( tσ ) และความเคนอัดสูงสุด ( cσ ) โดยกําหนดให mmb = 450 , mmh = 180 และ mmt = 30

(คําตอบ: . MPatσ = 141 3 และ . MPacσ = 55 9 )

6. โครงสราง ABCD ทําจากทรงกระบอกตัน โดยมีแรง NP = 36 กระทําที่จุด D ดังรูป จงหาเสนผาศูนยกลางต่ําสุด ( ) ที่จะไมทําใหเกิดความเสียหาย ถาความเคนดัดที่วัสดุสามารถรับไดเปน

mind

all MPaσ = 30 และ (ไมคิดน้ําหนักของโครงสราง) mmb = 100

(คําตอบ: ) .min mmd = 15 44

188



7 จงหาโมดูลัสหนาตัด (section modulus, S) ตํ่าที่สุดของคาน ถาคานสามารถรับความเคนดัด (bending stress) ไดไมเกิน 100 MPa (ไมคิดน้ําหนักของโครงสราง)

(คําตอบ: ) . 3 cmS = 273 4

8. คานซึ่งมีหนาตัดดังรูป รับโมเมนตดัดรอบแกน z จงหาความหนา t ที่ทําใหอัตราสวนระหวางความเคนดัดที่จุดบนสุดตอความเคนดัดที่จุดลางสุดเปน 7:3

(คําตอบ: ) mmt = 10

189


(Bending Structures) 9. จงคํานวณหาอัตราสวนระหวางน้ําหนักของโครงสรางทั้งสาม ถาโครงสรางทั้งสามทําจากวัสดุชนิดเดียวกัน ยาวเทากัน รับโมเมนตดัดสูงสุดไดเทากัน และเกิดความเคนดัดสูงสุดเทากัน

(คําตอบ: : : : . : .W W W =1 2 3 1 1 260 1 408 )

10. กําแพงไมซึ่งประกอบดวยไมแผนตามแนวขวาง และเสาไมในแนวดิ่ง โดยขนาดของโครงสราง และแรงดันที่มากระทําถูกแสดงดังรูป ถาไมสามารถรับความเคนไดไมเกิน 8 MPa จงคํานวณหาระยะหางระหวางเสาไม (s) สูงสุดโดยไมทําใหเกิดความเสียหาย

(คําตอบ: ) . ms = 1 73

190



11. จงคํานวณหาความเคนเฉือนสูงสุด ( maxτ ) และความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ) ในเสาทรงกระบอกตัน โดย และ mL = 2 mmd = 150 . kNP = 2 5

(คําตอบ: max kPaτ = 189 และ .max MPaσ = 15 1 )

12. ทอนไมสามทอนประกอบกันดวยกาวเปนคานยาว 1 เมตร ดังรูป ถากาวสามารถทนความเคนเฉือน ( allτ ) ได 0.35 MPa และความเคนดัด ( allσ ) ได 11 MPa ถานําไมทอนนี้ไปทําคานยื่น (cantilever beam) จงคํานวณหาแรงสูงสุดที่กระทําที่ปลายของคาน โดยมาทําใหคานเสียหาย (ไมคิดน้ําหนักของโครงสราง)

(คําตอบ: ) . kNP = 3 94

191



13. คานหนาตัดสี่เหลี่ยม 150 มม x 200 มม ถูกแรงกระทําดังรูป ถาคานสามารถทนความเคนเฉือน ( allτ ) ได 1 MPa และความเคนดัด ( allσ ) ได 7 MPa จงคํานวณหาแรง P สูงสุดที่กระทําโดยมาทําใหคานเสียหาย (ไมคิดน้ําหนักของโครงสราง)

(คําตอบ: ) . kNP = 43 68

14. โครงสราง ABC ดังรูป จงหา (a) แรง P มากที่สุดที่ไมทําใหความเคนบิดสูงเกิน 8 MPa และ (b) ) แรง P มากที่สุดที่ไมทําใหความเคนเฉือนสูงเกิน 0.7 MPa (ไมคิดน้ําหนักของโครงสราง)

(คําตอบ: (a) และ (b) . kNP = 4 09 . kNP = 6 67 )

192



15 จงหาความเคนเฉือนสูงสุดและต่ําสุดในขอบดานซายและขวาของคานซึ่งมีหนาตัดสี่เหลี่ยมกลวงดังรูป เมื่อมีแรงเฉือน kNV = 60

(คําตอบ: .max MPaτ = 7 63 และ .min MPaτ = 5 53 )

16. จงหาความเคนเฉือนสูงสุดของชิ้นสวนในแนวตั้ง (web) เมื่อมีแรงเฉือน มากระทํา โดย , , และ

kNV = 62

mmb = 220 mmt = 15 mmh = 300 mmh =1 275

(คําตอบ: .max MPaτ = 19 5 )

193



17. คานดังรูป มี mmb =1 250 , mmb =2 150 , mmt = 10 , mmh = 300 และ เมื่อมีแรงเฉือน มากระทํา จงหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุดและต่ําสุดของชิ้นสวนในแนวตั้ง (web) ของคาน, (b) ความเคนเฉือนเฉลี่ย (

mmt =1 24

kNV = 70

aveτ ) และ max aveτ τ และ (c) แรงเฉือนของชิ้นสวนในแนวตั้ง (web) ของคาน และ webV V

(คําตอบ: (a) .max MPaτ = 26 6 และ .min MPaτ = 22 2 , (b) .ave MPaτ = 27 8 และ

.max minτ τ = 0 96 , และ (c) และ .web kNV = 64 2 .webV V = 0 917 )

18. จงหาความเคนเฉือนสูงสุดของคานดังรูป เมื่อมีแรงเฉือน kNV = 40 มากระทํา โดย

, , , และ mmh = 250 mmb = 125 mmt = 20 mmR = 30

(คําตอบ: .max MPaτ = 5 53 )

194


(Bending Structures) 19. คานหนาตัดรูปตัวไอ ดังรูป สวนแกน (web) และสวนปก (flange) ประกอบกันดวยรอยเชื่อม 4 รอย โดยรอยเชื่อมแตละรอยสามารถรับแรงเฉือนได จงหาแรงเฉือน (V ) สูงสุดที่คานสามารถรับได (ไมคิดน้ําหนักของโครงสราง)

kN/m900

(คําตอบ: ) . MNV = 1 35

20 คานประกอบ ดังรูป ถาสวนแกน (web) และสวนปก (flange) ประกอบกันดวยหมุด 4 ตัว โดยหมุดแตละตัวสามารถรับแรงเฉือนได จงหาระยะระหวางหมุดแตละตัว (N130 s ) ตามแกน x เมื่อมีแรงเฉือน (a) และ (b) มากระทํา NV = 900 NV = 1350

(คําตอบ: (a) และ (b) . mms = 66 5 . mms = 44 3 )

195



a

21. คานดังรูป ถา และพิจารณาเฉพาะผลกระทบจากโมเมนตของ bh h= 3 P จงหา (a) ตําแหนงของความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ), (b) ขนาดของความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ), และ (c) อัตราสวนระหวางความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ) ตอความเคนดัดสูงสุดที่จุด B ( bσ )

(คําตอบ: (a) x L= 4 , (b) maxa

PLh

σ = 349

และ (c) max bσ σ = 2 )

22. คานดังรูป ถาพิจารณาเฉพาะผลกระทบจากโมเมนตของ P และ OM จงหา (a) ตําแหนงของความเคนดัดสูงสุด ( maxσ ), และ (b) ขนาดของความเคนดัดสูงสุด ( maxσ )

(คําตอบ: (a) และ (b) . mx = 0 45 max MPaσ = 268 )

23. คานดังรูป ถาความกวาง ( b ) ไมคงที่ในแนว x จงหาคา ในความสัมพันธของ b x ที่ทําใหความเคนดัดของคานมีคาเปน allσ ตลอดความยาว L (fully stress)

(คําตอบ:

all

Pxbx σ

= 26 )

196



24. คานหนาตัดรูปส่ีเหลี่ยม ซึ่งที่ปลาย B มีขนาด b b× ในขณะที่สวนกลางของคานมีขนาด bb× 2 จงหาความเคนดึงสูงสุด ( tσ ) และ ความเคนอัดสูงสุด ( cσ ) บนรอยตัด เมื่อมีแรง m n− P

มากระทําที่จุดเซน ทรอยดของหนาตัด B (ไมคิดน้ําหนักของคาน)

(คําตอบ: tP

bσ = 2

8 และ cP

bσ = − 2

4 )

25 คานโคง ABC มีรัศมี ถูกกระทําดวยแรง mmr = 300 NP = 1800 ดังรูป ถาหนาตัดของคานเปนรูปส่ีเหลี่ยมขนาด โดย h t× mmh = 30 และวัสดุที่ใชทําคานสามารถรับความเคนได

MPaallσ = 80 จงหาความหนานอยที่สุด ( ) ของคานที่จะไมเกิดความเสียหาย (ไมคิดน้ําหนักของคาน)

mint

(คําตอบ: ) .min mmt = 13 95

197


(Bending Structures) 26. โครงสราง ABC ถูกเชื่อมจากทอเหล็กซึ่งมีเสนผาศูนยกลางภายใน 200 มม และเสนผาศูนยกลางภายนอก 240 มม ถา . mL H= = 1 5 และ kNP = 8 จงหาความเคนดึงสูงสุด ( tσ ) และความเคนอัดสูงสุด ( cσ ) (ไมคิดน้ําหนักของคาน)

(คําตอบ: .t MPa (tens.)σ = 8 33 และ .c MPa (comp.)σ = −8 74 )

27. คานหนาตัดรูปวงกลม ถูกกระทําดวยแรงดึงตามแนวแกน kNT = 26 และโมเมนตดัด ดังรูป ถาวัสดุที่ใชทําคานสามารถรับความเคนดึงได . kN mM = 3 2 ⋅ MPaallσ = 120 จงหา

เสนผาศูนยกลางนอยที่สุด ( ) ของคานที่จะไมเกิดความเสียหาย (ไมคิดน้ําหนักของคาน) mind

(คําตอบ: ) .min mmd = 66 2

198


(Bending Structures) 28. คานผสมประกอบดวยไมเปนแกนและถูกประกบดวยเหล็กที่ผิวดานนอก ซึ่งมีขนาดและแรงมากระทํา ดังรูป ถาโมดูลัสอิลาสติกของไมเปน GPawE = 11 และโมดูลัสอิลาสติกของเหล็กเปน

จงหาความเคนสูงสุดที่เกิดขึ้นในไม ( GPasE = 209 wσ ) และในเหล็ก ( sσ ) (ไมคิดน้ําหนักของคาน)

(คําตอบ: .s MPaσ = 62 3 และ . MPawσ = 2 3 )

29. คานผสมประกอบดวยไมเปนแกนและถูกประกบดวยเหล็กที่ผิวดานนอก ซึ่งมีขนาดดังรูป ถาโมดูลัสอิลาสติกของไมเปน และโมดูลัสอิลาสติกของเหล็กเปน ไมสามารถรับความเคนได

. GPawE = 8 5 GPasE = 204

MPawσ = 10 และเหล็กสามารถรับความเคนได MPasσ = 140 จงหาโมเมนตดัดสูงสุด ( ) รอบแกน z ของคานผสมนี้ที่จะไมทําใหเกิดความเสียหาย (ไมคิดน้ําหนักของคาน)

maxM

(คําตอบ: ) .max kN mM = ⋅67 9

199


(Bending Structures) 30. คานผสมประกอบดวยอลูมิเนียม (A) เปนแกนกลางและเชื่อมกับเหล็ก (S) ซึ่งอยูรอบนอก ดังรูป ถาโมดูลัสอิลาสติกของอลูมิเนียมเปน และโมดูลัสอิลาสติกของเหล็กเปน aE sE โดยเหล็กสามารถรับความเคนได sσ จงหาโมเมนตดัด ( M ) ที่คานผสมสามารถรับได โดยไมทําใหเกิดความเสียหาย (ไมคิดน้ําหนักของคาน)

(คําตอบ: s a

s

d EM

Eπ σ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

315

512)

200

บทที่ 5 การวิเคราะหความเคนและความเครียด รศ. ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย

(Analysis of Stress and Strain)

จากหัวขอที่ผานมา เราสามารถคํานวณหาความเคนที่เกิดบนหนาตัดเนื่องจากภาระประเภทตางๆ ที่เกิดบนโครงสรางได เชน แรงตามแนวแกน (axial loading), แรงบิด (torsion), แรงเฉือน (shear force), และโมเมนตดัด (bending moment) แตถาตองการทราบความเคนที่เกิดบนระนาบใดๆ จําเปนที่จะตองเปลี่ยนความเคนบนหนาตัดใหเปลี่ยนไปตามระนาบที่เราตองการ ซึ่งเรียกวิธีนี้วา “การเปลี่ยนรูปความเคน (stress transformation)”

5.1 ความเคนแบบระนาบ (Plane Stress)

เปนกรณีที่ชิ้นสวนความเคน (stress element) มีความเคนเกิดขึ้นที่หนา x และ y เทานั้น โดยที่หนา z จะไมมีความเคนใดๆ เกิดขึ้น ดังแสดงในรูป


201


(Analysis of Stress and Strain) โดยความเคนเฉือน (shear stress) และความเคนตั้งฉาก (normal stress), , , , x y xy yxσ σ τ τ , สามารถแสดงไดดังรูป

y

x

σy

σx

τxy

τxy

σy

σx o


หมายเหตุ: จากสมการสมดุลพบวา xy yxτ τ= หรือ xy yxτ τ− = −

ถาตัดชิ้นสวนความเคนดวยระนาบเอียง (inclined section) ดังรูป เราสามารถแสดงความเคนที่เกิดบนระนาบเอียงไดโดย:

y

x

θσx1

τx1y1

τxy

σy

σxo

y1 x1

θ


202


(Analysis of Stress and Strain) โดย

xσ1 คือความเคนตั้งฉากที่กระทําบนระนาบเอียงที่ทํามุม θ กับแนวดิ่ง

x yτ1 1

คือความเคนเฉือนที่กระทําบนระนาบเอียงที่ทํามุม θ กับแนวดิ่ง โดย

x y y xτ τ=1 1 1 1

จากความเคนบนระนาบเอียง เราสามารถคํานวณแรงบนระนาบเอียงไดโดยกําหนดใหพื้นที่บนหนาลบ x เปน Ao, บนหนาลบ y เปน tanoA θ และบนระนาบเอียงเปน secoA θ :

y

x

θτ x1y1

A osecθ

o

y1x1

θ

σx1Aosecθ

σyAotanθ

τxyAotanθτxyAo

σxAo


พิจารณาสมการสมดุลในทิศทาง x1:

sec cos sin tan sin tan cosx o x o xy o y o yx oA A A A Aσ θ σ θ τ θ σ θ θ τ θ θ− − − −1 0=

เนื่องจาก xy yxτ τ=

cos sin sin cosx x y xyσ σ θ σ θ τ θ∴ = + +2 21 2 θ (5.1)

พิจารณาสมการสมดุลในทิศทาง y1:

sec sin cos tan cos tan sinx y o x o xy o y o yx oA A A A Aτ θ σ θ τ θ σ θ θ τ θ θ+ − − +1 1 0=

เนื่องจาก xy yxτ τ=

( ) (sin cos cos sinx y x y xy )τ σ σ θ θ τ θ θ∴ = − − + −2 21 1 (5.2)

203


(Analysis of Stress and Strain) วิเคราะหสมการ xσ 1 และ x yτ 1 1 พบวา เมื่อ oθ = 0 แลว x xσ σ=1

x y xyτ τ=1 1

และเมื่อ แลวoθ = 90 x yσ σ=1

x xy yτ τ= −1 1

จากสมการ (5.1) และ (5.2) แทนคา:

cos ( cos )θ θ= +2 1 1 22

, sin ( cos )θ θ= −2 1 1 22

และ sin cos sinθ θ θ⋅ =1 22


cos sinx y x yx x

σ σ σ σyσ θ τ θ

+ −= + +1 2 2

2 2

sin cosx yx y xy

σ στ θ τ θ

− −= +1 1 2

22 (5.3)

โดยเรียกสมการทั้งสองวา “การเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)”

เนื่องจากความสัมพันธขางตนพัฒนาอยูบนพื้นฐานของสมการสมดุล ซึ่งสามารถใชไดกับวัสดุทุกๆ ชนิด โดยถาตองการหาความเคนตั้งฉากที่กระทําบนหนา y1 บนระนาบเอียง สามารถแทน θ ดวย π θ+

2 โดย:

cos sinx y x yy

σ σ σ σxyσ θ τ θ

+ −= − +1 2

2 22

y

(5.4)

โดยพบวา x y xσ σ σ σ+ = +1 1 ซึ่งหมายความวาผลรวมของความเคนตั้งฉากที่กระทําบนหนาคูใดๆ ที่ต้ังฉากกันในชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ (plane stress element) จะคงที่ โดยไมข้ึนกับมุม θ


1) กรณีแรงในแนวแกน (uniaxial stress) y

xσxσx

o


204


(Analysis of Stress and Strain) โดย yσ = 0 และ xyτ = 0 ดังนั้น

cosx xσ σ θ= 21

sin cosx y xτ σ θ= −1 1 θ ซึ่งเราพบวาผลที่ไดเหมือนกันกับสมการ (2.7) และ (2.8) ในบทที่ 2

2) กรณีแรงเฉือน (pure shear)

τxy

τxy

y

xo


โดย xσ = 0 และ yσ = 0 ดังนั้น

sin cosx xyσ τ θ=1 2 θ

( )cos sinx y xyτ τ θ= −2 21 1 θ

ซึ่งเราพบวาผลที่ไดเหมือนกันกับสมการในเรื่องแรงบิด (torsion, สมการ 3.14)

5.2 ความเคนหลัก (Principal Stress) และความเคนเฉือนสูงสุด (Maximum Shear Stresses)

เนื่องจากขนาดของ , , x y x yσ σ τ1 1 1 1 มีการเปลี่ยนแปลงตามแกนที่หมุนไปเปนมุม θ ตางๆ ซึ่งขนาดที่มากที่สุดของความเคนตั้งฉาก (normal stress) และความเคนเฉือน (shear stress) เปนคาที่ใชในการออกแบบหรือใชวิเคราะหโครงสรางที่ถูกใชงาน โดยสามารถเรียกคาสูงสุดและต่ําสุดของความเคนตั้งฉากนี้วา “ความเคนหลัก (principal stress)”

205



จากสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress) ทําการคํานวณหาอนุพันธเทียบกับมุม θ และกําหนดใหเทากับ 0:

xddσθ

=1 0

( )sin cosx y xyσ σ θ τ= − − +2 2 2θ


tan xyp

x y

τθ

σ σ=

−

22 (5.5)

โดย

pθ คือมุมที่ระนาบซึ่งเกิดความเคนหลัก (principal stress) กระทํากับแนวดิ่ง โดยเรียกระนาบนี้วาระนาบหลัก (principal plane)

หมายเหตุ: คาของ pθ2 จากสมการขางตนจะมี 2 คา โดยมีความแตกตางกัน 90 องศา (π ) ดังรูป


โดย p pθ θ=12 2

และ p pθ π θ= +22 2

ซึ่งหมายความวา pθ ทั้งสองคามีความแตกตางกัน π2

ดังรูป

206




โดย p pθ θ=1

และ p pπθ θ= +2 2

ซึ่ง pθ คาหนึ่งจะทําใหเกิดความเคนหลักสูงสุด (maximum principal stress) และอีกคาหนึ่งจะทําใหเกิดความเคนหลักต่ําสุด (minimum principal stress) ซึ่งพบวาความเคนหลักทั้งสองจะเกิดบนระนาบซึ่งตั้งฉากซึ่งกันและกัน โดยคาของความเคนหลักสามารถคํานวณไดโดยแทน pθ ทั้งสองในสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

เมื่อการคํานวณความเคนหลักสามารถคํานวณไดจาก tan xyp

x y

τθ

σ σ=

−

22 :

pθ2

2yx σσ −

xyτ


207


(Analysis of Stress and Strain) พบวา

cos x yp R

σ σθ

−=2

2

sin x yp R

τθ =2

2

แทนคา cos pθ2 และ sin pθ2 ลงในสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress):

cos sinx y x yx x


+ −= + +1 2 2

2 2

sin cosx yx y xy

σ στ θ τ θ

− −= +1 1 2 2

2

พบวา

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

21 2 2

(5.6)

แตเนื่องจากความเคนหลักสูงสุดและต่ําสุดเกิดบนระนาบที่ต้ังฉากกันสงผลใหผลรวมของความเคนหลักสูงสุดและต่ําสุดจะคงที่ โดย

x yσ σ σ σ+ = +1 2 ดังนั้น

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22

2 2 2 (5.7)

โดย

σ1 คือความเคนหลักสูงสุด

σ 2 คือความเคนหลักต่ําสุด

หรือ

,x y x y

xyσ σ σ σ

σ τ+ −⎛ ⎞

= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

22

1 2 2 2 (5.8)

เมื่อพิจารณาขนาดของความเคนเฉือน โดยแทน cos pθ2 และ sin pθ2 พบวา x yτ =1 1 0 ซึ่งหมายความวาความเคนเฉือนมีขนาดเปนศูนยที่ระนาบหลัก (principal plane)

208


(Analysis of Stress and Strain) หมายเหตุ:

1) ระนาบหลัก (principal plane) ในกรณีความเคนในแนวแกน (uniaxial stress) และความเคนกระทําในระนาบ (biaxial stress):

y

xσxσx

o


โดย , xy yτ σ= =0 0 ดังนั้น

xσ σ=1

σ σ=2 0 y

xσxσx

o

σy

σy รูปที่ 5.11

โดย xyτ = 0 ดังนั้น

xσ σ=1

yσ σ=2

209


(Analysis of Stress and Strain) หรือ tan xy

px y

τθ

σ σ=

−

22 0= ดังนั้น

, pθ = °2 0 180 o

pθ∴ = 0 และ o90

2) ระนาบหลัก (principal plane) ในกรณีความเคนเฉือนลวน (pure shear):

τxy

τxy

y

xo

y

xo

σ1 = τxyσ2 = −τxy θp = 45o


tan xyp

x y

τθ α

σ σ= =

−

22

, 2pθ∴ = °2 90 70° ดังนั้น

, pθ = °45 135° หรือ , π π34 4

เมื่อแทน pθ ทั้งสองลงในสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

xyσ τ=1

xyσ τ= −1

xyτ = 0

210


(Analysis of Stress and Strain) 5.3 ความเคนเฉือนสูงสุด (Maximum Shear Stress)

จากสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress) ทําการคํานวณหาอนุพันธของสมการความเคนเฉือนเทียบกับมุม θ และกําหนดใหเทากับ 0:

sin cosx yx y xy

σ στ θ τ θ

− −= +1 1 2 2

2

x yddτ

θ=1 1 0

( )cos sinx y xyσ σ θ τ= − − −2 2 2θ


tan x ys

xy

σ σθ

τ−

= −22

(5.9)

โดย sθ คือมุมที่ระนาบของความเคนเฉือนสูงสุด (plane of maximum shear stress) กระทํากับแนวดิ่ง ซึ่ง sθ ที่ไดมีสองคาเชนเดียวกับ pθ และมีความแตกตางกัน 90o เชนกัน โดยทําใหเกิด maxτ และ minτ ที่มีขนาดเทากันแตแตกตางกันที่ทิศทาง

จาก tan x ys

xy

σ σθ

τ−

= −22

และ tan xyp

x y

τθ

σ σ=

−

22

พบวา

tantans

pθ

θ= −

122

cot pθ= − 2 โดย ( )tan cotα α± ° = −90

กําหนดให pα θ= 2 ดังนั้น

s pθ θ= ±2 2 90° หรือ s pθ θ= ± 45°

ทําใหเราสามารถสรุปไดวาระนาบของความเคนเฉือนสูงสุด (plane of maximum shear stress) ทํามุม 45o เมื่อเทียบกับระนาบหลัก (principal plane)

211


(Analysis of Stress and Strain) กําหนดให sθ 1 คือมุมที่ทําใหเกิดความเคนเฉือนสูงสุด ( maxτ ) โดย

12 sθ2

yx σσ −−

xyτ รูปที่ 5.13


cos xys R

τθ =12

sin x ys R

σ σθ =12

2

เมื่อแทน cos sθ 12 และ sin sθ 12 ลงในสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress)

maxx y

xyσ σ

τ τ−⎛ ⎞

∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2 (5.10)

โดย min maxτ τ= −

จาก

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22

1 2 2

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22

2 2 2

พบวา

maxσ σ

τ−

= 1 2

2 (5.11)

หรือความเคนเฉือนสูงสุดมีคาเปนครึ่งหนึ่งของผลรวมระหวางความเคนหลักสูงสุดและต่ําสุด

212


(Analysis of Stress and Strain) และเมื่อแทน cos sθ 1 และ sin sθ 1 ลงในสมการ xσ 1 พบวา

x yx

σ σσ

+=1 2

aveσ= (5.12)

โดยมีผลเทากันไมวาจะแทนคาเปน sθ 1 หรือ sθ 2

หมายเหตุ

1) กรณีความเคนในแนวแกน (uniaxial stress) และความเคนกระทําในระนาบ (biaxial stress) ขนาดของ sθ 1 เปน 45o

2) กรณีความเคนเฉือนลวน (pure shear) ขนาดของ sθ 1 เปน 0o

5.4 วงกลมของมอรในกรณีความเคนแบบระนาบ (Mohr’s Circle for Plane Stress)

จากสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress) พบวา

cos sinx y x yx x


+ −− = +1 2 2

2 2

sin cosx yx y xy

σ στ θ τ θ

−= − +1 1 2 2

2

ผลรวมของยกกําลังสอง xσ 1 และ x yτ 1 1 :

x y x yx x y

σ σ σ σxyσ τ τ

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2 22 2

1 1 12 2+

กําหนดให xave

yσ σσ

+=

2 และ x y

xyRσ σ

τ−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2


( )avex x y Rσ σ τ− + =2 21 1 1

2 (5.13)

ซึ่งก็คือวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนยกลางที่ ( ), aveσ 0

213


(Analysis of Stress and Strain) พิจารณาชิ้นสวนความเคน (stress element) ดังรูป

τxy

τxy

y

xo

y

xo

θσy

σx

x1y1

σx1σy1

τx1y1


เราสามารถสรางวงกลมของมอรโดย:

1) กําหนดจุดศูนยกลางที่ x aveσ σ=1 และ x yτ =1 1 0 โดยให xσ 1 เปนแกนนอนและ x yτ 1 1 เปนแกนตั้งโดยกําหนดใหมีทิศลงเปนบวก

2) กําหนดจุด A ซึ่งก็คือหนา x โดย θ = 0 ซึ่ง x xσ σ=1 และ x y xyτ τ=1 1

3) กําหนดจุด B ซึ่งก็คือหนา y โดย θ = °90 ซึ่ง x yσ σ=1 และ x y xyτ τ= −1 1

4) ลากเสน AB จะผานจุดศูนยกลาง (C) เพื่อแสดงถึงระนาบที่ต้ังฉากกัน

5) วาดวงกลมโดยใหมีรัศมี R

214



o

σx

σx1

σaver = (σx + σy) / 2 (σx - σy) / 2

σ2

σy

σ1

−τxy

τxy

τx1y1

D (θ = 0)

B (θ = 90o)

S’

S

C

D’

P2

P1

A (θ = 0o)

τx1y1

σx1β

2θ

2θp1


5) พิสูจนสถานะของความเคน (state of stress) ที่จุด D ของวงกลมของมอร

จาก cosx yx R

σ σσ β

+= +1 2

และ sinx y Rτ β=1 1

โดย cos( ) x y

Rσ σ

θ β−

+ =22

และ sin( ) x y

R

τθ β+ =2

2

พบวา

cos cos sin sin x y

Rσ σ

θ β θ β−

− =2 22

sin cos cos sin x y

R

τθ β θ β+ =2 2

215


(Analysis of Stress and Strain) คูณทั้งสองสมการแรกดวย cos θ2 และสมการที่สองดวย sin θ2 :

cos cos sin cos sin cosx y

Rσ σ

θ β θ θ β−

− =2 2 2 22

θ⋅ 2

sin cos cos sin sin sinx y

R

τθ β θ θ β θ+ =2 2 2 2 2

รวมทั้งสองสมการเขาดวยกัน:

cos cos sinx yxyR

σ σβ θ τ θ

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 22

และ

sin sin cosx yxyR

σ σβ θ τ θ

−⎛ ⎞= − +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 2 22

เมื่อนํา sin β และ cos β เขาไปแทนในสมการ xσ 1 และ x yτ 1 1 พบวา:

cos sinx y x yx x


+ −= + +1 2 2

2 2

sin cosx yxy xy

σ στ θ τ θ

−= − +2 2

2

ซึ่งก็คือสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (transformation of plane stress) นั้นเอง


1) เราสามารถใชวงกลมของมอรหา , , x y xyσ σ τ ที่มุม θ ใดๆ จาก , , x y xyσ σ τ ที่ θ = 0

2) เราสามารถกําหนดใหความเคนเฉือนในทิศตามเข็มนาฬิกาเปนแกนตั้ง หรือความเคนเฉือนในทิศทวนนาฬิกาเปนแกนตั้งก็ได ซึ่งไดผลใหวงกลมของมอรออกมาในรูปแบบเดียวกัน

3) ถาวงกลมของมอรถูกสรางดวยอัตราสวนที่เหมาะสม เราสามารถที่จะใชอานคาสถานะของความเคน (state of stress) ไดโดยตรงจากวงกลมของมอร

216


(Analysis of Stress and Strain) 5.5 กฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ (Hooke’s Law for Plane Stress)

y

x

z

o

σy

τxy σx

y

x

z

εz

1εx1

1

εy

o


กําหนดใหชิ้นสวนความเคนมีขนาดเล็กมากๆ ดังนั้น

( )x xE yε σ νσ= −1

( )y yE xε σ νσ= −1

( )z xEν

yε σ σ= − +

xyxy G

τγ =

y

x

z

o

π/2 − γxy

π/2 − γxy


217



ถาวัสดุแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน เราสามารถหาความเคน (stress) จากความเครียด (strain) จากกฎของฮุก โดย:

( )x xE

yσ ε νεν

= +− 21

( )y yE

xσ ε νεν

= +− 21

xy xyGτ γ=

zσ = 0 (5.14)

โดยเรียกสมการกลุมนี้วา “กฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ (Hooke’s Law for Plane Stress)”

5.6 การเปลี่ยนแปลงของปริมาตรหนึ่งหนวย (Unit Volume Change)

พิจารณาปริมาตรหนึ่งหนวยใดๆ ที่ถูกตัดออกมาจากโครงสราง โดยกําหนดให

oV คือปริมาตรเดิมกอนที่จะมีภาระมากระทํา (original volume)

( )( )( )oV∴ = =1 1 1 1

fV คือปริมาตรหลังจากที่มีภาระมากระทํา (final volume)

( )( )( )f x yV zε ε ε= + + +1 1 1

แตเนื่องจากกําลังสองของความเครียดมีคานอยมาก ๆ

f x yV zε ε ε∴ = + + +1


f oV V V∆ = −

x y zε ε ε= + +

218


(Analysis of Stress and Strain) สงผลใหการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรหนึ่งหนวย (e) เปน

o

VeV∆

=

x y zε ε ε= + +

( ) ( ) ( )x y y x x yE E Eσ νσ σ νσ σ νσ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= − + − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

1 1 1 ⎤⎥⎦

( x yeE

ν )σ σ−∴ = +

1 2 (5.15)


1) ในกรณีความเคนในแนวแกน (uniaxial stress, yσ = 0 ) ดังนั้น xeE

ν σ−=

1 2 ซึ่งเหมือนกับสมการ (1.7)

2) จากการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรหนึ่งหนวย (e) เราสามารถหาการเปลี่ยนแปลงของปริมาตรทั้งหมด (total volume change) ไดโดยการอินทิเกรท

5.7 ความเขมของพลังงานความเครียด (Strain Energy Density) y

x

z

o

σy

τxy σx


งานที่เกิดบนหนา x x xσ ε=12

งานที่เกิดบนหนา y y yσ ε=12

งานที่เกิดบนหนาความเคนเฉือน xy xyτ γ=12

219


(Analysis of Stress and Strain) ดังนั้นความเขมของพลังงานความเครียด (u) เปน

x x y y xy xyo

uV

σ ε σ ε τ γ⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1 12 2 2

( )x x y y xy xyσ ε σ ε τ γ= + +12

จัดใหอยูในรูปของความเคน (stress) โดยใชกฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ (Hooke’s Law for Plane Stress)

( ) xyx y x yu

E Gτ

σ σ σ σ= + − +2

2 21 22 2

(5.16)

จัดใหอยูในรูปของความความเครียด (strain) โดยใชกฎของฮุกในกรณีความเคนแบบระนาบ (Hooke’s Law for Plane Stress)

( ) ( ) xyx y x y

GEuγ

ε ε νε εν

= + + +−

22 2

22

22 1 (5.17)


ในกรณีความเคนในแนวแกน (uniaxial stress, , y xyσ τ= =0 0 )

y xε νε= −

xyγ = 0 ดังนั้น

xuE

σ=

2

2 หรือ xE

uε

=2

2 ซึ่งอยูในรูปแบบเดียวกับสมการ (2.19)

220


(Analysis of Stress and Strain) 5.8 ภาระรวมแบบระนาบความเคน (Combined Loadings - Plane Stress)

สามารถทําไดโดยการรวมความเคนที่เกิดจากการรวมภาระตางๆ เขาดวยกัน โดยมีขอจํากัดคือ ความเคนจะตองอยูในความสัมพันธเชิงเสนของแรง และภาระแตละชนิดไมมีผลกรทบซึ้งกันและกัน (มีการเปลี่ยนแปลงรูปรางของวัสดุนอยมาก) โดยเมื่อเราสามารถคํานวณความเคนเนื่องจากภาระรวมไดแลว ก็จะทําการหมุนชิ้นสวนความเคนเพื่อหาความเคนหลักและความเคนเฉือนสูงสุดตอไป

T

P

o

y

x

z

AB


โดยชิ้นสวนความเคน A มีความเคนเกิดขึ้นดังนี้

ความเคนดัด, xMrI

σ =

ความเคนเฉือนจากแรงบิด, p

TrI

τ =


221


(Analysis of Stress and Strain) หมายเหตุ:

1. ความเคนดัดของจุด A มีคามากที่สุด ที่จุดยึดหรือปลายดานซายสุดของโครงสราง

2. ความเคนเฉือนของจุด A จะมีคามากที่สุดที่ผิวของโครงสราง

โดยชิ้นสวนความเคน B มีความเคนเกิดขึ้นดังนี้

ความเคนเฉือน, VA

τ =143

ความเคนเฉือนจากแรงบิด p

TrI

τ =2

โดยความเคนเฉือนรวมเปน τ τ τ= +1 2


หมายเหตุ: เนื่องจากเราไมสามารถเลือกทุกจุดบนโครงสรางขึ้นมาทําการคํานวณหาความเคนหลักและความเคนเฉือนสูงสุดได ดังนั้นจึงควรเลือกจุดที่นาจะมีความเคนสูงที่สุดหรือจุดวิกฤต (critical point) โดยอาศัยพื้นฐานความรูดานโครงสรางที่รับแรงในแนวแกน โครงสรางรับแรงบิด และโครงสรางรับโมเมนตดัด

222


(Analysis of Stress and Strain) ตัวอยางที่ 5.1: จงหาความเคนตั้งฉากสูงสุดและต่ําสุด และความเคนเฉือนสูงสุดที่เกิดขึ้นบนโครงสราง ดังรูปโดย

. . m, kNyL P= =1 0 5 0 866

. . m, kNzL P= =2 0 3 0 5 mmd = 30 , , kNP = 1 α = °30

d =

30 m

m

L 1 = 5

00 m

m

L2 = 300 mm

α = 30o

xz

y

Pz

Py

P= 1.0 kN

AB

D


จากรูปพบวาจุดวิกฤต (critical point) คือบริเวณลางสุดของโครงสราง

1. พิจารณา yP :

xz

y

PyL2

Py

x

z

C

D

A

B


223


(Analysis of Stress and Strain) ที่จุด A:

. MPayay

PA

σ = − = −1 23

aτ = 0

ที่จุด B: . MPay y

byP P LA S

σ = − − = −2 99 24

bτ = 0

ที่จุด C: . MPay

cyPA

σ = − = −1 23

cτ = 0

ที่จุด D: . MPay y

DyP P LA S

σ = − + = −2 96 79

Dτ = 0


224


(Analysis of Stress and Strain) 2. พิจารณา zP

xz

y

PzL2

Pz

x

z

C

D

A

B

รูปที่ E5.1d

ที่จุด A:

. MPazaz

P LS

σ = − =1 94 31

.zax

P LTd d

τπ π

= = = MPa23 3

1616 28 29

ที่จุด B:

bzσ = 0

. MPaz zby

P L PAd

τπ

= + =23

16 4 29 243

ที่จุด C:

. MPazcz

P LS

σ = − = −1 94 31

.zcx

P Ld

τπ

= = MPa23

16 28 29

ที่จุด D:

dzσ = 0

.z zdy

P L PAd

τπ

= − = MPa23

16 4 27 353

225



รูปที่ E5.1e

รวมความเคนที่เกิดจาก yP และ เขาดวยกัน: zP

รูปที่ E5.1f

หาความเคนหลักและความเคนเฉือนสูงสุดโดยใชสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (plane stress transformation equation)

,σ σσ τ⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

22

1 2 2 2

στ τ⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠

22

2

โดยที่ตําแหนง

: . MPa, MPa, MPaaA .σ σ τ= = − =1 101 7 9 54 47

: . MPa, MPa, MPaaB .σ σ τ= = − =1 8 107 2 57 6

: . . . MPa, MPa, MPaaC σ σ τ= = − =1 7 8 103 3 55 5

: . MPa, MPa, MPaaD .σ σ τ= = − =1 104 7 2 55 6

226


(Analysis of Stress and Strain) ดังนั้น

ความเคนดึงสูงสุดเกิดที่ตําแหนง : MPaD σ =1 104

ความเคนอัดสูงสุดเกิดที่ตําแหนง : MPaB σ = −2 107

ความเคนเฉือนสูงสุดเกิดที่ตําแหนง : . MPaB τ = 57 6

โดยเราสามารถหาทิศทางของระนาบหลักและระนาบที่เกิดความเคนเฉือนสูงสุดจาก

tan xyp

x y

τθ

σ σ=

−

22

tan x ys

xy

σ σθ

τ−

= −22

5.9 ความเคนในสามแกน (Triaxial Stress)

เปนสภาพที่ชิ้นสวนความเคนมี xσ , yσ และ zσ ซึ่งตั้งฉากซึ่งกันและกันมากระทํา โดยไมมีความเคนเฉือนเกิดขึ้นที่หนาใดๆ เลย จึงทําให xσ , yσ และ zσ เปนความเคนหลัก (principal stress)

y

x

z

o

σy

σx

σz

σx

σz

σy

y

x

z

o

θ

σz

σx

σ

σy

τ


ถาเอาระนาบซึ่งขนานกันแกน z ตัดผานชิ้นสวนความเคน ดังรูป จะสงผลใหเกิดความเคนตั้งฉาก (σ ) และความเคนเฉือน (τ ) บนระนาบเอียง (inclined plane) ซึ่งความเคนทั้งสองจะอยูในระนาบ x-y โดยมีคาอยูในความสัมพันธระหวาง xσ และ yσ โดยเปนอิสระไมข้ึนกับ zσ จึงทําใหสามารถใชสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (plane stress transformation equation) หรือวงกลมของมอร (Mohr’s Circle) หาความเคนตั้งฉาก (σ ) และความเคนเฉือน (τ ) บนระนาบเอียง (inclined plane)ได

227



จากหัวขอที่แลวพบวาระนาบที่เกิดความเคนเฉือนสูงสุดทํามุม 45o กับระนาบหลัก ซึ่งกรณีของความเคนในสามแกน (ความเคนเฉือนบนหนา x, y, z เปนศูนย) ถือวาเปนความเคนหลักอยูแลว ดังนั้นเราสามารถหาระนาบที่เกิดความเคนเฉือนสูงสุดไดโดยหมุนชิ้นสวนความเคนบนแกนตางๆ:

รอบแกน ( )max: x yzz

σ στ

−= ±

2

รอบแกน ( )max: x zyy

σ στ

−= ±

2

รอบแกน ( )max: y zxx

σ στ

−= ±

2 (5.18)

โดยคาที่มากที่สุดของทั้ง 3 คานี้ เราเรียกวา ความเคนเฉือนสูงสุดสัมบูรณ (absolute maximum shear stress) ซึ่งมีขนาดเทากับคร่ึงหนึ่งของผลตางระหวางความเคนหลักสูงสุดและความเคนหลักตํ่าสุด โดยสามารถแสดงสถานะของความเคนเหลานี้ในรูปของวงกลมของมอรได โดยรัศมีของวงกลมใหญที่สุดก็คือ ความเคนเฉือนสูงสุดสัมบูรณนั้นเอง สวนความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนของการหมุนชิ้นสวนความเคนไปในทิศทางตางๆ จะมีคาอยูระหวางความเคนหลักสูงสุดและความเคนหลักต่ําสุด โดยนอยกวาความเคนเฉือนสูงสุด หรืออยูภายในวงกลมของมอรวงใหญ ดังรูป:

o

τ

BA

C

σσz

σy

σx


228


(Analysis of Stress and Strain) กฎของฮุกในกรณีความเคนสามแกน (Hooke’s Law for Triaxial Stress)

เมื่อพิจารณาความสัมพันธระหวางความเคนและความเครียดในทิศทางตางๆ ของชิ้นสวนความเคนแบบสามแกน (triaxial stress element) พบวา:

( )xx yE E

σ νzε σ σ= − +

( )yy zE E

σ νxε σ σ= − +

(zz xE E

σ ν )yε σ σ= − + (5.19)

หรือในรูปของความเครียด:

( ) ( )( )( )x x

Ey zσ ν ε ν ε ε

ν ν⎡ ⎤= − +⎣ ⎦+ −

11 1 2

+

( ) ( )( )( )y y

Ez xσ ν ε ν ε ε

ν ν⎡ ⎤= − +⎣ ⎦+ −

11 1 2

+

( ) ( )( )( )z z

Eσ ν ε νν ν

⎡= − +⎣+ −1

1 1 2 x yε ε ⎤+ ⎦

)

(5.20)

ซึ่งทั้งหมดรวมเรียกวา กฎของฮุกในกรณีความเคนสามแกน (Hooke’s Law for Triaxial Stress)

การเปลี่ยนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย (Unit Volume Change)

กําหนดใหชิ้นสวนความเคนมีความยาวดานละหนึ่งหนวย ดังนั้น

( )( )( )oV = =1 1 1 1 ( )( )(f x yV zε ε ε= + + +1 1 1

ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย ( e ) เปน f o f

o o o

V V VVeV V V

−∆= = = −1

( )( )( )x y zε ε ε= + + + −1 1 1 1

z

x y z x y x z y z x yε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε= + + + + + +

229



z

โดยผลคูณครั้งที่สองและผลคูณครั้งที่สามของความเครียดมีคาเขาใกลศูนย ดังนั้น:

x ye ε ε ε= + + (5.21)

ซึ่งเรียก e วาความเครียดโดยปริมาตร (volumetric strain) หรือ dilatation

เมื่อแทนความเครียดดวยกฎของฮุกในกรณีความเคนสามแกน พบวา

( x y zEν )ε σ σ σ−

= + +1 2 (5.22)

5.10 ความเคนทรงกลม (Spherical Stress)

เปนสภาพของความเคนสามแกนที่ x y z oσ σ σ σ= = = ซึ่งทําใหระนาบ x, y, z เปนระนาบหลักทั้งหมดและวงกลมของมอรกลายเปนจุด

y

x

z

o

σo

σo

σo

σo

σo

σo รูปที่ 5.23

นอกจากนี้ ความเครียด ( oε ) ยังมีขนาดเทากันในทุกทิศทางดวย โดย:

(oo E

σ )ε ν= −1 2 (5.23)

และการเปลี่ยนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย ( ) เปน: e

( )x y z

o

VeV

ε ε ε+ +∆= =

1

( ) ooe

Eν σ

ε−

∴ = =3 1 23 (5.24)

230


(Analysis of Stress and Strain) กําหนดให คืออิลาสติกโมดูลัสโดยปริมาตร (volume modulus of elasticity) โดย: k

o keσ = ok

eσ

=

( )o

Eσν

= ⋅−3 1 2


(Ek

)ν=

−3 1 2 (5.25)


1) k ก็ตอเมื่อ E= ν = 1 3

2) ถา , Ekν = =03

3) เมื่อ . , kν α= ⇒0 5 หรือ ซึ่งหมายความวาวัสดุไมมีการเปลี่ยนแปลงปริมาตร e ⇒ 0

4) ถาแทน oσ ดวย P (ความดัน) เชน ในกรณีของของไหล เราเรียกสภาพของความเคนประเภทนี้วา ความเคนสถิตของของไหล (Hydroststic Stress)

ความเขมของพลังงานความเครียด (Strain Energy Density)

กําหนดใหชิ้นสวนความเคนแบบสามแกนมีดานยาวหนึ่งหนวยทุกๆ ดาน และแสดงพฤติกรรมแบบอิลาสติกเชิงเสน ดังนั้น

( )x x y y z zu σ ε σ ε σ ε= + +12

แทนคา xε ดวยกฎของฮุกในกรณีความเคนสามแกน:

( ) (x y z x y x z y zuE E

ν )σ σ σ σ σ σ σ σ σ= + + − + +2 2 212

(5.26)

หรือ

( ) (( )( )( ) x y z x y x z y z

Eu ν ε ε ε ν ε ε ε ε ε εν ν

⎡ ⎤= − + + + +⎣ ⎦+ −2 2 21 2

2 1 1 2 )+ (5.27)

231


(Analysis of Stress and Strain) 5.11 ความเคนในสามมิติ (Three-Dimensional Stress)

เปนกรณีทั่วๆ ไปที่ความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนกระทําบนหนาทุกๆ หนาของชิ้นสวนความเคน ดังรูป

y

x

z

o

σy

τxy

τyxτyz

σx

τxzσz

τzy

τzx


โดยจากสมการสมดุล:

xy yxτ τ= , xz zxτ τ= , yz zyτ τ=

การหาความเคนหลักในกรณีความเคนในสามมิติ สามารถหาไดจากรากทั้งสามของสมการ:

A B Cσ σ σ− + − =3 2 0 (5.28)

โดย

x yA zσ σ σ= + +

x y x z y z xy xz yzB σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − − −2 2 2

x y z xy xz yz x yz x yz y xz z xyB σ σ σ τ τ τ σ τ σ τ σ τ σ τ= + − − − − −2 2 22 2 เราเรียก A, B, C วา “stress invariants” เนื่องจากไมวาจะหมุนแกน x, y, z ไปในทิศทางใดก็ตาม คา A, B, C ก็ยังคงที่เสมอ

232


(Analysis of Stress and Strain) เมื่อหาความเคนหลักได ก็สามารถคํานวณความเคนเฉือนสูงสุดไดโดย:

( )maxσ σ

τ−

= ± 1 23 2

( )maxσ σ

τ−

= ± 1 32 2

( )maxσ σ

τ−

= ± 2 31 2

คาที่มากที่สุดของทั้ง 3 คานี้ คือความเคนเฉือนสูงสุดสัมบูรณ และยังพบวากฎของฮุกในกรณีของความเคนสามมิติสามารถแสดงไดโดย:

( )xx yE E

σ νzε σ σ= − +

( )yy zE E

σ νxε σ σ= − +

( )zz xE E

σ νyε σ σ= − +

, , xy yzxzxy xz yzG G G

τ ττγ γ γ= = = (5.29)

หรือสามารถแสดงใหอยูในรูป:

( ) ( )( )( )x x

Ey zσ ν ε ν ε ε

ν ν⎡ ⎤= − +⎣ ⎦+ −

11 1 2

+

( ) ( )( )( )y y

Ez xσ ν ε ν ε ε

ν ν⎡ ⎤= − +⎣ ⎦+ −

11 1 2

+

( ) ( )( )( )z z

Eσ ν ε νν ν

⎡ ⎤= − +⎣ ⎦+ −1

1 1 2 x yε ε+

G

, , xy xy xz xz yz yzG Gτ γ τ γ τ γ= = = (5.30)

โดยเราเรียกทั้งหมดนี้วา กฎของฮุกในกรณีทั่วไป (Generalized Hooke’s Law)

233


(Analysis of Stress and Strain) เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย พบวาความเครียดเฉือนไมทําใหเกิดการเปลี่ยนแปลงปริมาตร ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงปริมาตรหนึ่งหนวย ( ) ในกรณีความเคนในสามมิติจะมีคาเทากับกรณีของความเคนในสามแกน โดย:

e

( )( )( )x y zo

VeV

ε ε ε∆= = + + + −1 1 1 1

z

x ye ε ε ε∴ = + + (5.31)

สวนความเขมของพลังงานความเครียดในกรณีความเคนในสามมิติสามารถแสดงไดในรูป:

( x x y y z z xy xy xz xz yz yzu )σ ε σ ε σ ε γ τ γ τ γ τ= + + + + +12

(5.32)

เมื่อแทนคาดวยกฎของฮุก:

( ) ( ) (x y z x y x z y z xy xz yzuE E G

ν )σ σ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ= + + − + + + + +2 2 2 2 2 212

12

(5.33)

หรือ

( ) ( ) (( )( )( ) x y z x y x z y z xy xz yz

E Gu )ν ε ε ε ν ε ε ε ε ε ε γ γ γν ν

⎡ ⎤= − + + + + + + +⎣ ⎦+ −2 2 2 2 2 21 2

2 1 1 2 2+ (5.34)

5.12 ความเครียดแบบระนาบ (Plane Strain)

เปนสภาวะที่ชิ้นสวนความเคนมีการเปลี่ยนแปลงขนาดหรือความเครียดเกิดขึ้นในแนวระนาบเทานั้น โดยการขยายตัวหรือหดตัวในแนวตั้งฉากกับระนาบอันเนื่องจากผลกระทบปวซอง (Poisson’s effect) จะถูกจํากัด ซึ่งสงผลใหชิ้นสวนความเคนรับภาระในสามมิติ โดยสถานการณเชนนี้มักเกิดขึ้นในชิ้นสวนเครื่องจักรกลหลายๆ ชิ้นที่ประกอบเขาดวยกัน หรือชิ้นงานที่มีความหนามากๆ จนการเปลี่ยนแปลงขนาดในแนวตั้งฉากกับภาระที่มากระทําเกิดขึ้นไดยาก โดยบน x-y plane จะมี xε , yε , xyγ โดย zε , xzγ , yzγ เปนศูนย (ในกรณีระนาบความเครียด zε = 0 แต zσ ไมจําเปนตองเทากับศูนย) เมื่อเทียบกับนิยามของระนาบความเคนพบวาระนาบความเคนและระนาบความเครียดไมสามารถเกิดขึ้นพรอมกันได ยกเวนในกรณีที่ชิ้นสวนระนาบความเคนรับภาระโดยที่

x yσ σ= − ซึ่งทําใหผลกระทบปวซองจาก xσ ถูกชดเชยดวยผลกระทบปวซองจาก yσ และสงผลให zε = 0 (ระนาบความเครียด) หรือในกรณีที่วัสดุของชิ้นสวนระนาบความเคนมี ν = 0

234



ในการคํานวณหาสภาพของความเคนในระบบสองมิติ (x-y) ของระนาบความเครียด เราสามารถใชสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (plane stress transformation equation) ในการคํานวณได เนื่องจากสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบไมไดอยูในความสัมพันธของ zσ (พิจารณาจากสมการสมดุลบนระนาบ x-y เทานั้น) และเชนเดียวกันเราสามารถใชสมการการเปลี่ยนรูปความเครียดแบบระนาบ (plane strain transformation equation) ในการคํานวณหาความเครียดในระบบสองมิติ (x-y) ของระนาบความเคนไดเชนกัน

ในการวิเคราะหสมการการเปลี่ยนรูปความเครียดแบบระนาบ ใหพิจารณารูปส่ีเหลี่ยมที่มีดานยาว และ โดยมี dx dy xε , yε , xyγ มากระทําบนระนาบ x-y ดังรูป

พิจารณา xε :

ds

θ

dx

dy

εxdx x

y

y1

x1

εxdx cosθ

o


พิจารณา yε :

dsθ

dx

dy

x

y

y1

x1

εydy sinθ

o

εydy


235


(Analysis of Stress and Strain) พิจารณา xyγ :

ds

θ

dx

dy

x

y

y1

x1γxydy cosθ

o

γxydyγxy


จาก xε , yε , xyγ พบวาเสน (อยูบนแกน xOA 1) มีการเปลี่ยนแปลงขนาด:

cos sin cosx y xyd dx dy V dyε θ ε θ θ∆ = + +

ดังนั้นความเครียดในแนว x1 หรือ xε 1 หาไดโดย:

cos sin cosx x y xyd dx dx dyV

ds ds ds dsε ε θ ε θ∆

= = + +1 θ

เนื่องจาก cos sin, dx ds dy dsθ θ= =

cos sin sin cosx x y xydx Vds

ε ε θ ε θ θ∴ = + +2 21 θ (5.35)

โดยสามารถหา yε 1 ไดโดยแทน θ ดวย oθ + 90

236



พิจารณาความเครียดเฉือน ( x yγ 1 1) จากรูป

θ

a

x

yy1

x1

o

b

α

βγxy = α + β


โดยจากนิยามของความเครียดเฉือน x yγ α β= +1 1 ซึ่งก็คือมุมที่ OA กระทํากับ OA ดังแสดงในรูปกอนหนานี้ โดย:

′

1) กรณี : sx x xdxdsε inε α ε= − θ

2) กรณี : cy y ydydsε osε α ε= θ

3) กรณี : sxy xy xydydsγ inγ α γ= θ

y

โดยกําหนดใหทิศทางตามเข็มนาฬิกาเปนบวก


x y xε ε γα α α α= + +

sin cos sinx y xydx dy dyds ds ds

ε θ ε θ γ θ= − + +

แทน cos sin, dx ds dy dsθ θ= =

sin cos sin cos sinx y xydyds

α ε θ θ ε θ θ γ= − + − 2 θ

( )sin cos sinx y xyε ε θ θ γ= − − − 2 θ

237


(Analysis of Stress and Strain) ซึ่งถาตองการหา β สามารถทําไดโดยแทน θ ดวย และกลับเครื่องหมาย (จากลบเปนบวกหรือจากบวกเปนลบ) เนื่องจาก

oθ + 90

β มีทิศทางตามเข็มนาฬิกา

( ) ( ) ( ) ( )sin cos sinx y xyβ ε ε θ θ γ θ= − ° + + ° + + °290 90 90

( )sin cos cosx y xyε ε θ θ γ= − − + 2 θ

และ

x yγ α β= +1 1 ( ) ( )sin cos cos sinx y xyε ε θ θ γ θ= − − + −2 22 θ


( ) (sin cos cos sinx y xyx y

γ γ )ε ε θ θ θ= − − + −1 1 2 2

2 2θ (5.36)

แทนลงในสมการ (5.35) และ (5.36) ดวย

( )cos cosθ θ= +2 1 1 22

( )sin cosθ θ= −2 1 1 22

sin cos sinθ θ θ=1 22

พบวา

cos sinx y x y xyx

ε ε ε ε γε θ θ

+ −= + +1 2 2

2 2 2

sin cosx y x y xyγ ε ε γθ θ

−= − +1 1 2

2 2 22 (5.37)

ซึ่งเรียกสมการชุดนี้วาสมการการเปลี่ยนรูปความเครียดแบบระนาบ (plane strain transformation equation)

238


(Analysis of Stress and Strain) โดยสามารถเปรียบเทียบกับสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ (plane stress transformation equation) โดย:

x xσ ε→

y yσ ε→

xy xyτ γ→ 2

x xσ ε→1 1

x y x yτ γ→1 1 1 1 2 และ

x y x yσ σ σ σ+ = +1 1

x y x yε ε ε ε+ = +1 1

หมายเหตุ: นอกจากนี้ยังสามารถพิสูจนคุณสมบัติของสมการการเปลี่ยนรูปความเครียดแบบระนาบโดยใชรูปแบบเดียวกับสมการการเปลี่ยนรูปความเคนแบบระนาบ โดย

1) ความเครียดหลัก (principal strain) เกิดบนระนาบที่ทํามุม pθ :

tan xyp

x y

γθ

ε ε=

−2

,x y x y xyε ε ε ε γ

ε+ −⎛ ⎞ ⎛

= ± +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

2 2

1 2 2 2 2⎞⎟⎠

โดยที่ตําแหนงที่เกิดความเครียดหลักพบวา x yγ 1 1 เปนศูนย เชนเดียวกับตําแหนงที่เกิดความเคนหลัก (principal stress) ซึ่งพบวา x yτ 1 1 เปนศูนย

2) ความเครียดเฉือนสูงสุด (maximum shear strain) เกิดที่ทิศทาง ± 45o เทียบกับระนาบความเครียดหลัก (principal strain direction) โดย

max x y xyε ε γγ −⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

2 2

2 2 2⎞⎟⎠

โดยมีความเครียดตั้งฉาก (normal strain) เปน ( )x yε ε+ 2

239


(Analysis of Stress and Strain) 3) วงกลมของมอรในกรณีระนาบความเครียด

o

εx

εx1

εaver = (εx + εy) / 2 (εx - εy) / 2

ε2

εy

ε1

−γxy/2

D (θ = 0)

B (θ = 90o)

S’

S

C

D’

P2

P1

A (θ = 0o)

εx1β

2θ

2θp1

γx1y1/2

γx1y1/2

γxy/2


240


(Analysis of Stress and Strain) 5.13 แบบฝกหัด

1. แผนโลหะบางซึ่งมีขนาดและรับภาระ ดังรูป จงหาความเคนตังฉาก ( wσ ) และความเคนเฉือน ( wτ ) ที่เกิดบนรอยเชื่อม (weld)

(คําตอบ: . MPa (tension)wσ = 0 4 และ . MPawτ = 6 8 )

2 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ซึ่งทํามมุ กับแกน oθ = 30 x โดยมีภาระมากระทํา ดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เมื่อหนาทัง้คูของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x และแกน y

(คําตอบ: . MPaxσ = −203 44 , . MPayσ = −68 56 และ . MPaxyτ = −48 82 )

241


(Analysis of Stress and Strain) 3. ที่จุดหนึ่งของโครงสรางในกรณีความเคนแบบระนาบ ทศิทางและขนาดของความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนสามารถแสดงๆ ดังรูป (a) โดยเมื่อหมุนระนาบไปเปนมุม θ ทิศทางและขนาดของความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนเปลีย่นไป ดังรูป (b) จงคํานวณหามุม θ

(คําตอบ: ) . oθ = 23 5

4. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป ม ี MPaxσ = −81 , MPayσ =129 และ MPaxyτ = −36 จงหา (a) ขนาดและทิศทางของความเคนหลัก และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสงูสุด รวมถึงขนาดของความเคนตัง้ฉากที่เกิดขึ้น

(คําตอบ: (a) . MPaσ = −1 135 0 , . MPaσ = −2 87 0 , และ และ (b) . opθ =1 99 5 . o

pθ =2 9 5

max . MPaτ =111 0 , .aver MPaσ = 24 0 , และ ) . osθ =1 54 5 . o

sθ =2 144 5

242


(Analysis of Stress and Strain) 5. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบซึ่งตัดมาจากชิ้นสวนเครื่องจักรกล มีทิศทางและขนาดของความเคน ดังรูป จงหา (a) ขนาดและทิศทางของความเคนหลัก และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด รวมถึงขนาดของความเคนตั้งฉากทีเ่กิดขึ้น

(คําตอบ: (a) . MPaσ =1 74 5 , . MPaσ = −2 36 5 , และ และ (b) . opθ =1 10 0 . o

pθ =2 100 0

max . MPaτ = 55 5 , .aver MPaσ =19 0 , และ ) . osθ = −1 35 0 . o

sθ =2 55 0

6. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป ม ี MPaxσ = 52 , MPaxyτ = −20 โดยความเคนหลักคาหนึ่งเปน (แรงดึง) จงหา (a) ความเคนตั้งฉากในแนวแกน y ( MPa58 yσ ) และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนหลักทั้งหมด

(คําตอบ: (a) . MPayσ = −8 67 และ (b) MPaσ =1 58 , . MPaσ = −2 14 67 , และ )

. opθ = −1 16 7

. opθ =2 73 3

243


(Analysis of Stress and Strain) 7. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป ม ี MPaxyτ = −20 , yσ เปนความเคนอัด, ความเคนหลักคาหนึง่เปน (แรงดึง) และความเคนเฉือนสงูสดุเปน จงหา (a) MPa52 MPa38 xσ และ yσ และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนหลกัทัง้หมด

(คําตอบ: (a) . MPaxσ = 46 31 และ . MPayσ = −18 31 และ (b) MPaσ =1 52 , . MPaσ =2 74 12 , และ ) . o

pθ = −1 15 88 . opθ =2 74 12

8. แผนโลหะบางซึ่งมีขนาดและรับภาระ ดังรูป จงหาความเคนตังฉาก ( wσ ) และความเคนเฉือน ( wτ ) ที่เกิดบนรอยเชื่อม (weld) กําหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

(คําตอบ: . MPa (tension)wσ = 0 4 และ . MPawτ = 6 8 )

244


(Analysis of Stress and Strain) 9 ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ซึ่งทํามมุ กับแกน oθ = 30 x โดยมีภาระมากระทํา ดังรูป จงหาความเคนตั้งฉากและความเคนเฉือนที่เกิดขึ้น เมื่อหนาทัง้คูของชิ้นสวนความเคนแบบระนาบอยูในทิศทางขนานกับแกน x และแกน กําหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร y

(คําตอบ: . MPaxσ = −203 44 , . MPayσ = −68 56 และ . MPaxyτ = −48 82 ) 10. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป ม ี MPaxσ = −81 , MPayσ =129 และ MPaxyτ = −36 จงหา (a) ขนาดและทิศทางของความเคนหลัก และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสงูสดุ รวมถึงขนาดของความเคนตัง้ฉากที่เกิดขึ้น กําหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

(คําตอบ: (a) . MPaσ = −1 135 0 , . MPaσ = −2 87 0 , และ และ (b) . opθ =1 99 5 . o

pθ =2 9 5

max . MPaτ =111 0 , .aver MPaσ = 24 0 , และ ) . osθ =1 54 5 . o

sθ =2 144 5

245


(Analysis of Stress and Strain) 11. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบซึ่งตัดมาจากชิ้นสวนเครื่องจักรกล มีทิศทางและขนาดของความเคน ดังรูป จงหา (a) ขนาดและทิศทางของความเคนหลัก และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนเฉือนสูงสุด รวมถึงขนาดของความเคนตั้งฉากทีเ่กิดขึ้น กาํหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

(คําตอบ: (a) . MPaσ =1 74 5 , . MPaσ = −2 36 5 , และ และ (b) . opθ =1 10 0 . o

pθ =2 100 0

max . MPaτ = 55 5 , .aver MPaσ =19 0 , และ ) . osθ = −1 35 0 . o

sθ =2 55 0

12. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป ม ี MPaxσ = 52 , MPaxyτ = −20 โดยความเคนหลักคาหนึง่เปน (แรงดึง) จงหา (a) ความเคนตั้งฉากในแนวแกน y ( MPa58 yσ ) และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนหลักทั้งหมด กาํหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

(คําตอบ: (a) . MPayσ = −8 67 และ (b) MPaσ =1 58 , . MPaσ = −2 14 67 , และ )

. opθ = −1 16 7

. opθ =2 73 3

246


(Analysis of Stress and Strain) 13. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบ ดังรูป ม ี MPaxyτ = −20 , yσ เปนความเคนอัด, ความเคนหลักคาหนึ่งเปน (แรงดึง) และความเคนเฉือนสูงสุดเปน จงหา (a) MPa52 MPa38 xσ และ yσ และ (b) ขนาดและทิศทางของความเคนหลักทั้งหมด กาํหนดใหแกปญหาโดยใชวงกลมของมอร

(คําตอบ: (a) . MPaxσ = 46 31 และ . MPayσ = −18 31 และ (b) MPaσ =1 52 , . MPaσ =2 74 12 ,

และ ) . opθ = −1 15 88 . o

pθ =2 74 12

14. อุปกรณวัดความเครียด (strain gage) A และ B ถูกติดตั้งอยูบนแผนโลหะบางซึง่รับความเคน ดังรูป ถา xε

−= × 6480 10 , yε−= × 6130 10 , GPaE = 200 และ .ν = 0 3 จงคํานวณหา xσ และ yσ

(คําตอบ: . MPaxσ =114 1 และ . MPayσ = 60 2 )

247



15 แผนโลหะหนา ดังรูป รับความเคน t MPaxσ = 90 และ MPayσ = −20 จงคํานวณหา (a) ความเคนเฉือนสูงสุด ( maxγ ) และ (b) การเปลี่ยนแปลงความหนา ( t∆ ) และการเปลีย่นแปลงปริมาตร ( ) ถา , , V∆ mmt = 20 mmb = 800 mmh = 400 , GPaE = 200 และ .ν = 0 3

(คําตอบ: (a) , และ (b) maxγ −= × 6715 10 . mmt∆ = −0 0021 และ ) 3mmV∆ = 896

16. แผนโลหะซึ่งมขีนาดและรับภาระซึ่งกระจายอยางสม่าํเสมอตามความหนา ดังรูป จงคํานวณหาการเปลี่ยนแปลงปริมาตร ( V∆ ) และพลังงานความเครียดรวม (U ) ถา ,

, , mmt = 25

mmb = 250 GPaE = 70 .ν = 0 33 , kNxP = 480 , kNyP =120 และ kNV = 80

(คําตอบ: และ ) . 3mmV∆ = 728 6 . JU = 63 95

248



17. ชิ้นสวนความเคนแบบระนาบซึ่งรับความเคน ดังรูป โดย .y xσ σ= −0 5 และ .xy xτ σ= 0 5 , ความเขมของพลังงานความเครียด , kPau = 230 GPaE = 200 และ .ν = 0 3 จงหา xσ , yσ และ

xyτ

(คําตอบ: . MPaxσ = 204 5 , . MPayσ = −102 2 และ . MPaxyτ =102 2 )

18. แผนโลหะขนาด มีรูวงกลมเสนผาศูนยกลาง มีความเคน

mm mm mm× ×400 400 12 mmd = 200

MPaxσ = 42 และ MPayσ =14 ดังรูป จงหา (a) การเปลีย่นแปลงระยะ หรือ , (b) การเปลีย่นแปลงระยะ หรือ

ac ac∆

bd bd∆ , (c) การเปลี่ยนแปลงความหนา ( ), (d) การเปลี่ยนแปลงปริมาตรตอปริมาตรหนึ่งหนวย ( e ), และ (e) พลังงานความเครียดรวม (U ) ถา

และ

t∆

GPaE =100 .ν = 0 34

(คําตอบ: (a) , (b) . mmac∆ = 0 07448 . mmbd∆ = −0 00056 , (c) . mmt∆ = −0 002284 , (d) , และ (e) ) .e −= × 6179 2 10 . JU =14 98

249



19. ปายและทอซึง่มีเสนผาศูนยกลางภายใน ดังรูป เมื่อมีแรงดันลม มากระทาํบนปาย จงคาํนวณหาความเคนเฉือนสูงสุดทีม่ากระทําที่จุด A, B และ C

mm80 . kPaP = 1 8

(คําตอบ: . MPaaτ = 86 8 , . MPabτ = 22 6 และ . MPacτ = 26 4 )

20 โครงสรางรูปตัว L ดังรูป มีระยะ AB และระยะ BC ถาไมคิดน้าํหนักของโครงสราง จงคํานวณหาความเคนเคนดึงสูงสุด (

. m0 5 . m0 75

tσ ), ความเคนอัดสงูสดุ ( cσ ) และความเคนเฉือนสูงสุด ( maxγ ) ที่จุด A

(คําตอบ: . MPatσ = 30 98 , . MPacσ = −13 54 และ max . MPaτ = 22 26 )

250


(Analysis of Stress and Strain) 21. เพลาขนาด mmd = 63 ยึดติดกับจานโลหะหนัก ซึง่คลองกับสายพานซึ่งมแีรงดึง

และ ดังรูป จงคํานวณหาความเคนเคนดึงสูงสุด (kN2

. kN5 3 . kN0 9 maxσ ) และความเคนเฉือนสูงสุด ( maxγ ) ในเพลาที่ตํ่าแหนงของแบริ่งตัวแรก จากจานหมนุ mm150

(คําตอบ: max . MPaσ = 59 03 และ max . MPaτ = 39 08 )

22. ถังความดันรับแรงบิดและแรงดึง ดังรูป ถารัศมีของถัง mmr = 50 ความหนาของถัง ความดนัภายใน ความเคนสูงสุดที่วัสดุสามารถรับได mmt = 3 . MPap = 5 3 MPaallσ = 72 และ

แรงบิด จงคาํนวณหาแรง N mT = 450 ⋅ P สูงสุดที่ไมทาํใหถงัความดันเสียหาย

(คําตอบ: ) . kNP = 34 1

251


(Analysis of Stress and Strain) 23. ทอคร่ึงวงกลมเสนผาศนูยกลาง มีน้าํหนักตอหนึ่งหนวยความยาว และมีจุดศูนยกลางมวลที่จุด ซึ่งหางจากจุด เปนระยะ

d q

C O c R π= 2 ดังรูป จงหาความเคนเคนดงึสูงสุด ( tσ ), ความเคนอัดสูงสุด ( cσ ) และความเคนเฉือนสงูสุด ( maxγ ) ที่จุด B

(คําตอบ: .t

qRd

σ =2

329 2 , .

cqR

dσ −

=2

38 8 และ max

. qRd

τ =2

319 0 )

24. ลูกบาศกซึง่มดีานขางขนาด mma = 75 ดังรูป รับความเคนแบบสามแกน (triaxial stress) ถาตัววัดความเครียด (strain gauge) ซึ่งติดอยูบนดานขางของลกูบาศกอานคาได xε

−= − × 6350 10 และ y zε ε −= = − × 665 10 และ , GPaE = 96 .ν = 0 25 จงคํานวณหา (a) ความเคนตัง้ฉาก xσ , yσ ,

zσ , (b) ความเคนเฉือนสงูสุด ( maxτ ), (c) ปริมาตรที่เปลี่ยนแปลงของลูกบาศก ( ) และ (d) พลังงานความเครียด (U ) ที่เกดิขึ้นในลูกบาศก

V∆

(คําตอบ: (a) . MPaxσ = −45 3 และ . MPay zσ σ= = −23 4 , (b) max . MPaτ =11 0 , (c) และ (d) ) . 3 mmV∆ = −202 5 . JU = 3 99

252



25 ทรงกระบอกยาง A ถูกอัดอยูในแบบดวยแรง F ดังรูป ถาไมคิดแรงเสียดทานระหวางยางกับแบบ และสมมติใหแบบไมมีการเปลี่ยนแปลงขนาด จงหา (a) แรงดันในแนวดานขางระหวางยางกับแบบ ( ) ในความสัมพันธระหวาง p F , และ d rubberν และ (b) แรงดันในแนวดานขางระหวางยางกับแบบ ( ) ถา , และ p . kNF = 3 5 mmd = 50 .ν = 0 45

(คําตอบ: (a) ( )Fp

dν

π ν=

−24

1 และ (b) . MPap =1 46 )

26. ทรงกลมทองเหลืองซึง่มีโมดลัูสอิลาสติกโดยปริมาตร GPaK = 100 ถูกใหความรอนที่ผิวดานนอก ซึ่งสงผลใหผิวดานนอกขยายตัวและสรางดึงในทกุทิศทางกบัจุดศูนยกลางของทรงกลม ถาความเคนที่จุดศูนยกลางเปน จงคํานวณหาความเครียด ( MPa80 oε ), การเปลี่ยนแปลงปรมิาตรหนึง่หนวย ( ) และความเขมของพลังงานความเครียด ( u ) ที่จุดศูนยกลางของทรงกลม e

(คําตอบ: oε−= × 6266 10 , e −= × 6800 10 และ . MPau = 0 032 )

253



27. ถาตัววัดความเครียด ดังรูป อานคาได aε−= × 6520 10 , bε

−= × 6360 10 และ cε−= − × 680 10

จงหาความเครียดหลัก และความเครียดเฉือนสูงสุด

(คําตอบ: (a) และ ε −= × 61 551 10 ε −= − × 6

2 111 10 , (b) maxγ −= × 6662 10 ) 28. คานยืน่ AB ถูกกระทําดวยแรง P ดังรูป (a) ถาตัววัดความเครียด 2 ตัวซึ่งถกูติดตั้งที่จุด C (คร่ึงหนึง่ของความสงูของคาน) ดังรูป (c) อานคาได ε −= × 6

1 125 10 และ จงคํานวณหา

ε −= − × 62 375 10

P และ α เมื่อ และ GPaE = 200 ν =1 3

(คําตอบ: และ ) kNP = 125 oα = 30

254



29. ถาตัววัดความเครียดถูกติดตั้ง ดังรูป จงหา xε , yε และ xyγ ในความสัมพันธของ aε , bε และ cε

(คําตอบ: ( )y b c aε ε ε ε= + −1 2 23

และ ( )xy b cγ ε ε= −23

)

255



256

บทที่ 6 ทฤษฎีการเสียหายเบื้องตน รศ.ดร. ชาวสวน กาญจโนมัย

(Introduction to Theory of Failure)

ในการใชงานวัสดุทางวิศวกรรมภายใตภาระที่มากระทําแบบผสม เราจะกําหนดขีดจํากัดของภาระเพื่อเปนเกณฑการใชงานอยางปลอดภัย โดยเรียกเกณฑนี้วา เกณฑความเสียหาย (failure criterion) ซึ่งโดยทั่วไปถูกแบงออกเปน 2 กลุม คือ เกณฑการคราก (yield criterion) และเกณฑการแตกหัก (fracture criterion) โดยคาตัวแทนของความเคนจะถูกคํานวณจากภาระผสม และนํามาเปรียบเทียบกับ yield strength ( yσ ) หรือ fracture strength ( uσ ) ของวัสดุ โดยขึ้นกับวัสดุวาเหตุการณใดเกิดขึ้นกอน

สําหรับวัสดุเปราะ (brittle material) ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบถาวร (plastic deformation) กอนที่จะเกิดการแตกหักนอยมาก จึงทําใหคา yield strength และ fracture strength มีขนาดใกลเคียงกัน แตในทางปฏิบัติ fracture strength สามารถหาไดสะดวกจากการทดลอง ดังนั้นเกณฑการแตกหักจึงเปนที่นิยมใชในกรณีของวัสดุเปราะ ในขณะที่วัสดุเหนียว (ductile material) ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงขนาดแบบถาวร (plastic deformation) กอนที่จะเกิดการแตกหักสูง และ yield strength มีขนาดต่ํากวา fracture strength ดังนั้นเกณฑการครากจึงเปนที่นิยมใชในกรณีของวัสดุเหนียว

6.1 เกณฑการเสียหายทั่วไป (General Form of Failure Criteria)

ในกรณีที่โครงสรางมีคุณสมบัติของวัสดุที่เปนสวนประกอบคงที่ในทุก ๆ ตําแหนงและทิศทางของโครงสราง (homogeneous and isotropic) ความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ

( ) Cf σσσσ >321 ,, (6-1)

เมื่อ 321 ,, σσσ คือความเคนตั้งฉากหลัก (principal normal stress) และ Cσ คือ yield strength หรือ fracture strength ของวัสดุ โดยขึ้นกับวัสดุวาเหตุการณใดเกิดขึ้นกอน

หรือ ( ) σσσσ =321 ,,f

โดย σ คือ effective stress และความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ Cσσ =

และความเสียหายจะไมเกิดขึ้นเมื่อ Cσσ <

257



6.2 เกณฑการแตกหักตามความเคนตั้งฉากสูงสุด (Maximum Normal Stress Fracture Criteria)

เปนเกณฑการเสียหายที่กําหนดใหวัสดุจะเสียหายก็ตอเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุมีคามากกวาหรือเทากับ fracture strength ( uσ ) ของวัสดุ โดยใชไดดีกับวัสดุเปราะ

( ) uMax σσσσ =321 ,, (6-2)

เมื่อกําหนดให fracture strength ( uσ ) ของวัสดุเมื่อรับแรงดึงมีขนาดเทากับfracture strength ( uσ ) ของวัสดุเมื่อรับแรงอัด

หรือ

( )321 ,, σσσσ MaxN = ความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ

uN σσ ≥ หรือเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุอยูภายนอกกรอบสี่เหลี่ยมของรูปที่ 6-1

และความเสียหายจะไมเกิดขึ้นเมื่อ uN σσ < หรือเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุอยูภายในกรอบสี่เหลี่ยมของรูปที่ 6-1

ซึ่งสงผลใหคาปจจัยความปลอดภัย (safety factor, X) เปน

N

uXσσ

= (6-3)

σ2

σ1

σu

σu

−σu

−σu

0


258



6.3 เกณฑการครากตามความเคนเฉือนสูงสุด (Maximum Shear Stress Yield Criteria)

เปนเกณฑการเสียหายที่กําหนดใหวัสดุจะเสียหายก็ตอเมื่อความเคนเฉือนสูงสุดของวัสดุมีคามากกวาหรือเทากับ critical value ( oτ ) ซึ่งเปนคุณสมบัติเฉพาะของวัสดุ โดยใชไดดีกับวัสดุเหนียว

232

1

σστ

−=

231

2

σστ

−=

221

3

σστ

−= (6-4)

โดยความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ

( 1 2 3, ,o Max )τ τ τ τ≤ (6-5)

ในกรณีที่วัสดุเกิดการครากจากภาระในแนวแกน (ปญหา 1 มิติ): yσσ =1 และ 032 == σσ

222121 y

o

σσσστ ==

−= (6-6)

ดังนั้นความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ

1 2 2 3 1 3, ,2 2 2

y Maxσ

2σ σ σ σ σ σ⎛ ⎞− − −

≤ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( 1 2 2 3 1 3, ,y Max )σ σ σ σ σ σ σ≤ − − − (6-7)

หรือ

( )313221 ,, σσσσσσσ −−−= Maxs

ความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ ys σσ ≥ หรือเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุอยูภายนอกกรอบของรูปที่ 6-2 ในกรณีความเคนระนาบ ( 03 =σ ) และความเสียหายจะไมเกิดขึ้นเมื่อ ys σσ < หรือเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุอยูภายในกรอบของรูปที่ 6-2 ในกรณีความเคนระนาบ ( 03 =σ )

259



ซึ่งสงผลใหคาปจจัยความปลอดภัย (safety factor, X) เปน

s

yXσσ

= (6-8)

σ2

σ1

σy

σy

−σy

−σy

0


6.4 เกณฑการครากตามความเคนเฉือนบนระนาบแปดเหลี่ยม (Octahedral Shear Stress Yield Criteria)

เปนเกณฑการเสียหายที่กําหนดใหวัสดุจะเสียหายก็ตอเมื่อ ความเคนเฉือนบนระนาบแปดเหลี่ยม ( hτ ) ของวัสดุมีคามากกวาหรือเทากับ critical value ( hyτ ) ซึ่งเปนคุณสมบัติเฉพาะของวัสดุ โดยใชไดดีกับวัสดุเหนียว

2

3

1

2

3

1

στ

βα

γ

normaloctahedralplane


260



กําหนด effective stress ( Hσ ) ซึ่งเปนตัวแทนของความเคนบนแปดระนาบเปน:

( ) ( ) ( )231

232

2212

1 σσσσσσσ −+−+−=H

( ) ( ) ( ) ( )222222 62

1xzyzxyzxzyyx τττσσσσσσ +++−+−+−=

ดังนั้นความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อ

Hy σσ = หรือเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุอยูภายนอกกรอบของรูปที่ 6-4

หรือ

( ) ( ) ( )231

232

2212

1 σσσσσσσ −+−+−=y

ในกรณีระนาบความเคน (plane stress) ซึ่งมีความเคนใน 2 มิติ เทานั้น

( ) 21

22

2212

1 σσσσσ ++−=y

2221

21

2 σσσσσ +−=y ซึ่งคือสมการวงรี และความเสียหายจะเกิดขึ้นเมื่อความเคนหลักสูงสุดของวัสดุอยูภายนอกกรอบวงรีของรูปที่ 6-4

Oct. shear

Max. shear

σ2

σ1

σy

σy

−σy

−σy

0


261



262

บรรณานุกรม

1. J.M. Gere and S.P. Timoshenko, Mechanics of Materials, 3rd SI ed, Chapman & Hall, London, 1994.

2. F.P. Beer and E.R. Johnston, JR., Mechanics of Materials, 2nd ed., McGraw-Hill, UK, 1992.

3. R.C. Hibbeler, Mechanics of Materials, 2nd ed, Maxwell Macmillan International Publishing Co., 1994

ฉ

กลศาสตร ของแข็ง 2 - t u · 2012-11-05 · 2.5 ความเค...

Documents