เล่มที่ 1 เรื่อง ระบบสมการเชิง ......เล...

ก

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ

พนดา เจรญสข

ค าน า

แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 เลมท 2 เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ เลมน จดท าขนเพอพฒนาทกษะการคดวเคราะห การคดสงเคราะห และการแกปญหาทางคณตศาสตร โดยมงเนนใหนกเรยนเกดทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร รวมทงสามารถน าความรไปประยกตใชในชวตประจ าวนได แบบฝกทกษะคณตศาสตร เลมนไดสอดแทรกเนอหาสาระการเรยนรและกจกรรมไวอยางหลากหลาย มล าดบขนตอนการท า จากงายไปหายาก ชวยกระตนใหนกเรยนอยากเรยนร ทาทายความสามารถ เหมาะสมกบวย และพฒนาการของนกเรยน มเนอหาครอบคลมวชาคณตศาสตรเพมเตม 2 ระดบชนมธยมศกษาปท 4 สอดคลองกบสาระและมาตรฐาน การเรยนรตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 แบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ จดท าขนทงหมด 7 เลม เลมท 2 น ประกอบไปดวยค าแนะน าส าหรบครผสอน ค าแนะน าส าหรบนกเรยน ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะ ผลการเรยนร จดประสงคการเรยนร แบบทดสอบกอนเรยน ใบความร แบบฝกทกษะ แบบทดสอบหลงเรยนและแบบบนทกคะแนน มเฉลยแบบทดสอบ เฉลยแบบฝกทกษะ และเกณฑ การใหคะแนนอยในภาคผนวกทายเลม

ผจดท าหวงเปนอยางยงวาแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซระดบชนมธยมศกษาปท 4 เลมน จกเปนประโยชนแกนกเรยน ผสนใจและครผสอนสามารถน าไปใช ในการจดการเรยนร ขอขอบคณผเชยวชาญ ผมสวนรวม และกลยาณมตรทกทานทใหค าแนะน า และตรวจสอบแบบฝกทกษะเลมนจนส าเรจลลวงดวยด


ข




สารบญ

เรอง หนา ค าน า ก สารบญ ข ค าแนะน าส าหรบครผสอน ง ค าแนะน าส าหรบนกเรยน จ ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะของนกเรยน ฉ ผลการเรยนร ช จดประสงคการเรยนร ช แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 1 กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 4 ใบความรท 1 เรอง ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ 5 แบบฝกทกษะท 1.1 เรอง มตของเมทรกซ 8 แบบฝกทกษะท 1.2 เรอง สมาชกของเมทรกซ 10 ใบความรท 2 เรอง ชนดของเมทรกซ 12 แบบฝกทกษะท 2.1 เรอง ชนดของเมทรกซ 19 แบบฝกทกษะท 2.2 เรอง ชนดของเมทรกซ 21 แบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 23 กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 26 แบบบนทกคะแนน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 26

ค




สารบญ (ตอ)

เรอง หนา ภาคผนวก 28 เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 29 เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1 เรอง มตของเมทรกซ 30 เฉลยแบบฝกทกษะท 1.2 เรอง สมาชกของเมทรกซ 32 เฉลยแบบฝกทกษะท 2.1 เรอง ชนดของเมทรกซ 35 เฉลยแบบฝกทกษะท 2.2 เรอง ชนดของเมทรกซ 37 เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ 39 บรรณานกรม 40

ง




ค าแนะน าส าหรบครผสอน

1. แบบฝกทกษะเลมนใชรวมกบการจดกจกรรมการเรยนรแบบกลมเทคนค TAI (Team Assisted Individualization) ครผสอนสามารถน าไปใชจดกจกรรมการเรยนรตามคมอการจดกจกรรมการเรยนรโดยใชแบบฝกทกษะคณตศาสตร เรอง ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ ระดบชนมธยมศกษาปท 4 ตามทจดใหไวอยางครบถวน

2. ชแจงจดประสงคการเรยนร วธการเรยนรใหนกเรยนทราบ และรวมกนท าขอตกลงในการเรยนใหตรงกนระหวางครกบนกเรยน

3. ใหนกเรยนอานค าแนะน าและขนตอนการใชแบบฝกทกษะกอนลงมอท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคล จากนนสงกระดาษค าตอบใหครเปนผตรวจและบนทกผลคะแนนเกบไว

4. ใหนกเรยนศกษาใบความรกอนลงมอท าแบบฝกทกษะแตละแบบฝกดวยความตงใจ หลงจากนนใหนกเรยนจบคกนภายในกลมตรวจค าตอบจากเฉลยแบบฝกทกษะในภาคผนวกอยางรอบคอบและซอสตยโดยครจะเปนผตรวจสอบอกครง

5. ในการจดกจกรรมการเรยนรเมอนกเรยนมปญหาในการท าแบบฝกทกษะ หรอไมเขาใจในเรอง ทเรยนครตองอธบายนกเรยนเพมเตมทนทจนกระทงนกเรยนเขาใจอยางถองแท

6. นกเรยนท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลและสงกระดาษค าตอบใหครตรวจ ครแจงผลการตรวจแบบทดสอบหลงเรยนใหนกเรยนทราบแลวน าไปหาคาเฉลยเปนคะแนนความส าเรจของกลม

จ




ค าแนะน าส าหรบนกเรยน

1.ใหนกเรยนท าแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ เปนรายบคคลลงในกระดาษค าตอบโดยใชเวลา 20 นาท

2. ใหนกเรยนแตละคนศกษาใบความรอยางละเอยดทกครงกอนลงมอท าแบบฝกทกษะดวยความตงใจ หลงจากนนตรวจแตละแบบฝกทกษะจากเฉลยในภาคผนวกทละแบบฝกตามล าดบอยางรอบคอบและซอสตย แลวบนทกคะแนนลงในแบบบนทกคะแนน ถาผลคะแนนจากการท าแบบฝกทกษะผานเกณฑรอยละ 80 นกเรยนสามารถศกษาใบความร หรอท าแบบฝกทกษะตอไปได หากมสมาชกในกลมไดคะแนนต ากวาเกณฑ ใหสมาชกในกลมนนชวยเหลอและใหค าแนะน าแกเพอนแลวท าแบบฝกทกษะจนผานเกณฑรอยละ 80

3. ในการท าแบบฝกทกษะทกครง ขอใหนกเรยนท าดวยความตงใจ และมความซอสตยตอตนเอง ไมลอกเพอนหรอเปดดเฉลยกอน ควรท าใหเสรจในเวลาทก าหนด หากมขอสงสยในสวนทเปนเนอหา กอนลงมอท าแบบฝกทกษะในแตละชด นกเรยนสามารถขอค าปรกษาและซกถามจากครผสอนได

4. เมอศกษาใบความรและท าแบบฝกทกษะผานเกณฑรอยละ 80 ครบทกชดแลว ใหนกเรยน ท าแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ระบบสมการเชงเสน เปนรายบคคลลงในกระดาษค าตอบโดยใชเวลา 20 นาท

ฉ




ล าดบขนตอนการใชแบบฝกทกษะของนกเรยน

ท าความเขาใจค าแนะน าการใช แบบฝกทกษะส าหรบนกเรยน

ท าแบบทดสอบกอนเรยน

ศกษาแบบฝกทกษะ เลมท 2 โดย - ศกษาใบความร

- ท าแบบฝกทกษะ

ท าแบบทดสอบหลงเรยน

ผานเกณฑ (รอยละ 80)

ศกษาแบบฝกทกษะวชาคณตศาสตร เลมท 3

เรอง การบวกและการลบเมทรกซ

ไมผานเกณฑ

ช




ผลการเรยนร

จดประสงคการเรยนร

ดานความร (K) 1. นกเรยนสามารถบอกความหมายของเมทรกซได 2. นกเรยนสามารถเขยนสญลกษณแทนเมทรกซได 3. นกเรยนสามารถบอกชนดของเมทรกซได

ดานทกษะกระบวนการ (P) 1. นกเรยนมความสามารถในการใหเหตผล 2. นกเรยนมความสามารถในการเชอมโยง

ดานคณลกษณะอนพงประสงค (A)

1. นกเรยนมวนย รบผดชอบ 2. นกเรยนใฝเรยนร

มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซ และการด าเนนการของเมทรกซ

1




วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ ค าชแจง

1. แบบทดสอบฉบบนเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ลงในกระดาษค าตอบ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. ก าหนด

043

021A ขอใดตอไปนถกตอง

ก. A เปนเมทรกซทม 2 หลก 3 แถว ข. 23 เปนมตของเมทรกซ A

ค. 32 เปนมตของเมทรกซ A ง. A เปนเมทรกซทมขนาด 23

2. ก าหนด

10

01

10

B ขอใดตอไปนถกตอง

ก. B เปนเมทรกซทม 2 แถว 3 หลก ข. 23 เปนมตของเมทรกซ B

ค. 32 เปนมตของเมทรกซ B ง. B เปนเมทรกซทมขนาด 32

3. ตอไปนไมถกตอง

ก. เมทรกซจตรสเขยนแทนดวย nmij ]a[A

ข. เมทรกซจตรสมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i = j

ค. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i < j

ง. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i > j

แบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

2




4. ก าหนด 31ij ]a[A ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 31ij ]a[A เมอ 3 2, 1, i และ 1 j

ข. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 j

ค. 31ij ]a[A เมอ 3 i และ 3 2, 1, j

ง. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 2, 1, j

5. ก าหนด

4-03-4

12-30

01-21

A ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 7 a a a 312111 ข. 2 a a a 332211

ค. 4 a a a 342312 ง. 5- a a a 342414

6. ก าหนด

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A แลวขอใดถกตอง

ก. A เปนเมทรกซจตรส ข. A เปนเมทรกซสเกลาร

ค. A เปนเมทรกซศนย ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ

7. ก าหนดให 44ij ][a A ถา

j i เมอ j - ij i เมอ 1

j i เมอ j i aij แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก.

1765

1154

2113

3211

A ข.

1123

7112

6511

5431

A

3




ค.

11-2-3-

711-2-

6511-

5431

A ง.

1765

7154

6513

5431

A

8. ขอใดตอไปนไมถกตอง

ก. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซสเกลาร ข. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซจตรส

ค. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซจตรส ง. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซเอกลกษณ

9. ก าหนด

0111

1011

1101

1110

A แลวขอใดตอไปนไมถกตอง

ก. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ 0 ข. A เปนเมทรกซทมมต 4 4

ค. A เมทรกซจตรส ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ

10. ก าหนด

1-12

311

201-

A ขอใดตอไปนมผลลพธตางจากขออน

ก. 233311 a a a ข. 22131133 a aa 2a

ค. 312213 3a a a ง. 312111 a a 2a

4




ชอ ชน เลขท

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

กระดาษค าตอบแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

คะแนนเตม 10 คะแนน

ท าได คะแนน

เรมศกษาใบความรท 1

ความหมายและชนดของเมทรกซ

5




บทนยาม เมทรกซ (Matrix) คอ ชดของจ านวน mn ตว ( m , n ∈ I+ ) ซงเขยนเรยงกน m แถว (row) n หลก (column) ภายในเครองหมายวงเลบ ในรปแบบ

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaa

aaa

เรยก 1. aij วาเปนสมาชกของเมทรกซ (entry) ในแถวท i หลกท j

เมอ i ∈{1, 2, 3, … m} และ j ∈{1, 2, 3, … n} 2. เมทรกซทม m แถว และ n หลก วาเปน nm เมทรกซ (อานวา เอม คณ เอน เมทรกซ) 3. nm เปนมตของเมทรกซ (dimension of matrix)

ตวอยางท 1 ก าหนด

2

1A จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก

พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ A คอ 12 เมทรกซ A ม 2 แถว 1 หลก มสมาชก คอ a11 = 1 , a21 = 2

ใบความรท 1

เรอง ความหมายและสญลกษณของเมทรกซ

แถวท 1 แถวท 2

แถวท m

หลกท 1 หลกท 2 หลกท n

6





21

62B จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก

พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ B คอ 22 เมทรกซ B ม 2 แถว 2 หลก มสมาชก คอ a11 = 2, a12 = 6,

a21 = 1, a22 = 2 ตวอยางท 3 ก าหนด 1]01[C จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก

พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ C คอ 31 เมทรกซ C ม 1 แถว 3 หลก มสมาชก คอ a11 = 1 , a12 = 0, a13 = 1


987

654

321

D จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก

พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ D คอ 33 เมทรกซ D ม 3 แถว 3 หลก มสมาชก คอ a11 = 1, a12 = 2, a1 = 3, a21 = 4, a22 = 5, a23 = 6, a31 = 7, a32 = 8, a33 = 9

7





1234

5665

4321

F จงหามตของเมทรกซ จ านวนแถว

จ านวนหลก พรอมทงบอกต าแหนงของสมาชกแตละตว วธท า มตของเมทรกซ F คอ 43 เมทรกซ F ม 3 แถว 4 หลก มสมาชก คอ a11 = 1 , a12 = 2 , a13 = 3 , a14 = 4 ,

a21 = 5 , a22 = 6 , a23 = 6, a24 = 5, a31 = 4, a32 = 3, a33 = 2, a34 = 1


43

21A , 1 0 1B และ

3

1

2

C

จงหา 1. a11 + b12 – c21 2. 2b13 – 3c11 + a22 3. ถา aij + b11 + cij = 0 แลว aij และ cij มคาเทาไร

วธท า 1. a11 + b12 – c21 = 1 + 0 – 1 = 0 2. 2b13 – 3c11 + a22 = 2(–1) – 3(–2) + (–4) = 0 3. ถา aij + b11 + cij = 0 แลว aij และ cij มคาเทาไร

จาก aij + b11 + cij = 0 จะได 1 + 1 + (–2) = 0 นนคอ aij คอ a11 = 1

bij คอ c11 = –2

เมอเขาใจแลวลองมาท า

แบบฝกทกษะท 1.1 กนเลยคะ

8




ขอ เมทรกซ จ ำนวนแถว จ ำนวนหลก มต

ตวอยำง ]3 2- [ Z 1 2 2 1

1 ]1 [ A

2

3

2-

1

B

3

12-

5-4 C

4

5-0

32-

21

D

5

22-1-

212 E

6

853

02-2

514

F

แบบฝกทกษะท 1.1

เรอง มตของเมทรกซ

ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนจ านวนแถว จ านวนหลก และมตลงใน ตารางใหถกตอง

9





7

7531

3013

12-24-

G

8

4-40

3-30

2-20

1-10

H

9

1000

0100

0010

0001

I

10

21543

32154

43215

54321

J

10




1 ก าหนด

06-4

312- A จงหา a12, a13, a21, a23

วธท า a12 คอ สมาชกของ A ในแถวท 1 หลกท 2 ดงนน a12 = 1

a13 คอ สมาชกของ A ในแถวท หลกท ดงนน a13 =



2 ก าหนด

124-

53-0

412

B จงหา b11, b13, b21, b22, b23, b32, b33

วธท า b11 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 1 ดงนน b11 = 2

b13 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 3 ดงนน b13 = 4

b21 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท ดงนน b21 =


เรอง สมำชกของเมทรกซ

ค าชแจง : ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

11




b22 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท

ดงนน b22 = b23 คอ สมาชกของ B ในแถวท หลกท



ดงนน b33 =

3 ก าหนด

544-5-

433-4-

322-3-

211-2-

C และ

1324

1221 D จงหา

1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14 2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24

วธท า 1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14

2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24

12




1. เมทรกซจตรส (Square matrix)

เปนเมทรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก เขยนแทนดวย nnij ]a[A

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

เสนทแยงมมหลก (main diagonal) เปนเสนทลากจากมมบนซายลงสมมลางขวา

(แนวสมาชก 11a , 22a , 33a ,…, nna )

: เมอใชเสนทแยงมมหลกเปนเกณฑ จะไดวา หมายเหต

1. สมาชกทอยในแนวเสนทแยงมมทกตว คอ ija เมอ i = j

2. สมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมทกตว คอ ija เมอ i < j

3. สมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมทกตว คอ ija เมอ i > j

เสนทแยงมมหลก

ใบความรท 2

เรอง ชนดของเมทรกซ

เมทรกซทนกเรยนควรรจก มดงน

13




ตวอยางท 1 เมทรกซตอไปน เปนเมทรกซจตรสหรอไม เพราะเหตใด

1. A = [1]

ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก คอเทากบ 1

2.

123

132

321

B

ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก คอเทากบ 3

3.

404

303

202

101

C

ตอบ เมทรกซ C ไมเปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบ 4 และมจ านวนหลก เทากบ 3 ซงไมเทากน

4.

4321

0000

4321

D

ตอบ เมทรกซ D ไมเปนเมทรกซจตรส เพราะมจ านวนแถวเทากบ 3 และมจ านวนหลก

เทากบ 4 ซงไมเทากน

14





4312

2134

4321

4321

A จงหา

1. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก 2. สมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก 3. สมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก

วธท า จาก

4312

2134

4321

4321

A

1. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก ไดแก 1, 2, –1, 4 2. สมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก ไดแก 2, 3, 4, –3, 4, –2 3. สมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก ไดแก –1, 4, 3, –2, 1, 3

15




2. เมทรกซศนย (Zero matrix)

เปนเมรกซทมสมาชกทกตวเปนศนย เมอ nmij ]a[A และ ija = 0

เขยนแทนดวย 0 หมายเหต : เมทรกซศนยไมจ าเปนตองเปนเมทรกซจตรส

ตวอยางท 3 เมทรกซตอไปน เปนเมทรกซศนยหรอไม เพราะเหตใด

1. A = [0]

ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกเปนศนย

2.

00

00B

ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกเปนศนยทกตว

3.

000

000C

ตอบ เมทรกซ C เปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกเปนศนยทกตว

4.

10

00

00

D

ตอบ เมทรกซ D ไมเปนเมทรกซศนย เพราะมสมาชกหนงตวทไมเปนศนย

16




3. เมทรกซสเกลาร (Scalar matrix) เปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก ( ija โดยท i = j) เทากนทกตว

และ ija ท i ≠ j เปนศนยทกตว

ตวอยางท 4 เมทรกซตอไปน เปนเมทรกซสเกลารหรอไม เพราะเหตใด

1.

10

01A

ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซสเกลาร เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมม

หลกเทากนทกตว คอ เทากบ 1 และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว

2.

200

020

002

B

ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซสเกลาร เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมม

หลกเทากนทกตว คอ เทากบ –2 และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว

3.

4000

0300

0020

0001

C

ตอบ เมทรกซ C ไมเปนเมทรกซสเกลาร เพราะสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลกแตละตว

ไมเทากน

17




4. เมทรกซเอกลกษณ (Identity matrix) เปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก ( ija โดยท i = j) เทากบ 1 ทกตว

และ ija ท i ≠ j เปนศนยทกตว นนคอ

เมอ nnij ]a[A จะได

j i เมอ 0j i เมอ 1

a ij

เขยนแทนดวย I หรอ nI ส าหรบเมทรกซ nn

หมายเหต : 1. ถา I เปนเมทรกซเอลกษณแลว I เปนเมทรกซสเกลารดวย

2. Ik เปนเมทรกซสเกลาร เมอ k เปนคาคงตวใดๆ ตวอยางท 5 เมทรกซในขอใดตอไปนเปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะเหตใด

1.

10

01 A

ตอบ เมทรกซ A เปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนว

เสนทแยงมมหลกเทากบ 1 ทกตว และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว

2.

100

010

001

B

ตอบ เมทรกซ B เปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะเปนเมทรกซจตรสทมสมาชกในแนว

เสนทแยงมมหลกเทากบ 1 ทกตว และสมาชกทเหลอเปนศนยทกตว

18




3.

1000

01-00

001-0

0001

C

ตอบ เมทรกซ C ไมเปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลกบางตว

ไมเทากบ 1

4.

1001

0110

0110

1001

D

ตอบ เมทรกซ D ไมเปนเมทรกซเอกลกษณ เพราะสมาชกทไมไดอยในแนวเสนทแยงมมหลก

บางตวไมเทากบ 0

5. เมทรกซเอกฐาน (Singular matrix) เปนเมทรกซจตรสทไมมอนเวอรสการคณ เมทรกซไมเอกฐาน (Nonsingular matrix) เปนเมทรกซจตรสทมอนเวอรสการคณ

โปรดตดตามใน เลมท 6 “อนเวอรสการคณของเมทรกซ”

19




ขอ เมทรกซ ชนดของเมทรกซ

จตรส ศนย สเกลาร เอกลกษณ

ตวอยาง A = [0]

ตวอยาง

20

02 B

1

10

01C

2 ]000[D

3

1

0

1

E

4

242

424

242

F

5

100

010

001

G



ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเครองหมาย ลงในตารางใหถกตอง

20






6

00

00

00

H

7

100

010

001

I

8

000

000J

9

200

020

002

K

10

1000

0100

0010

0001

L

21




1. ก าหนด 22ij ]a[A และ

ji เมอ 0ji เมอ 1

a ij

2. ก าหนด 33ij ]b[B และ


b ij



ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเมทรกซตามเงอนไขทก าหนด พรอมทงบอกชนดของเมทรกซ

22




3. ก าหนด 44ij ]c[C และ

ji เมอ j-iji เมอ 0

c ij

4. ก าหนด 44ij ]d[D และ

ji เมอ jiji เมอ jiji เมอ ji

d ij

5. ก าหนด 44ij ]e[E และ

ji เมอ 3-ji เมอ 0

e ij

23




วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202 ชนมธยมศกษาปท 4 จ านวน 10 ขอ เวลา 20 นาท คะแนนเตม 10 คะแนน ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ค าชแจง

1. แบบทดสอบนเปนแบบปรนยชนดเลอกตอบ 4 ตวเลอก จ านวน 10 ขอ 2. ใหนกเรยนท าเครองหมายกากบาท () ทบตวอกษรหนาขอทถกตอง

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. ตอไปนไมถกตอง

ก. เมทรกซจตรสเขยนแทนดวย nmij ]a[A

ข. เมทรกซจตรสมสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i = j

ค. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยเหนอแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i < j

ง. เมทรกซจตรสมสมาชกทอยใตแนวเสนทแยงมมหลก คอ ija เมอ i > j

2. ก าหนด 31ij ]a[A ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 31ij ]a[A เมอ 3 2, 1, i และ 1 j

ข. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 j

ค. 31ij ]a[A เมอ 3 i และ 3 2, 1, j

ง. 31ij ]a[A เมอ 1 i และ 3 2, 1, j

3. ก าหนด

4-03-4

12-30

01-21

A ขอใดตอไปนถกตอง

ก. 7 a a a 312111 ข. 2 a a a 332211

ค. 4 a a a 342312 ง. 5- a a a 342414

แบบทดสอบหลงเรยน เรองความหมายและชนดของเมทรกซ

24




4. ก าหนด

043

021A ขอใดตอไปนถกตอง

ก. A เปนเมทรกซทม 2 หลก 3 แถว ข. 23 เปนมตของเมทรกซ A

ค. 32 เปนมตของเมทรกซ A ง. A เปนเมทรกซทมขนาด 23

5. ก าหนด

3231

2221

1211

aa

aa

aa

A แลวขอใดถกตอง

ก. A เปนเมทรกซจตรส ข. A เปนเมทรกซสเกลาร

ค. A เปนเมทรกซศนย ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ

6. ก าหนด

1-12

311

201-

A ขอใดตอไปนมผลลพธตางจากขออน

ก. 233311 a a a ข. 22131133 a aa 2a

ค. 312213 3a a a ง. 312111 a a 2a

7. ก าหนด

0111

1011

1101

1110

A แลวขอใดตอไปนไมถกตอง

ก. สมาชกในแนวเสนทแยงมมหลก คอ 0 ข. A เปนเมทรกซทมมต 4 4

ค. A เมทรกซจตรส ง. A เปนเมทรกซเอกลกษณ

25




8. ก าหนดให 44ij ][a A ถา

j i เมอ j - ij i เมอ 1

j i เมอ j i aij แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก.

1765

1154

2113

3211

A ข.

1123

7112

6511

5431

A

ค.

11-2-3-

711-2-

6511-

5431

A ง.

1765

7154

6513

5431

A

9. ก าหนด

10

01

10

B ขอใดตอไปนถกตอง

ก. B เปนเมทรกซทม 2 แถว 3 หลก ข. 23 เปนมตของเมทรกซ B

ค. 32 เปนมตของเมทรกซ B ง. B เปนเมทรกซทมขนาด 32

10. ขอใดตอไปนไมถกตอง

ก. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซสเกลาร ข. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซจตรส

ค. เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซจตรส ง. เมทรกซสเกลารเปนเมทรกซเอกลกษณ

26




ชอ ชน เลขท

ขอ ก ข ค ง

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

กระดาษค าตอบแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

คะแนนเตม 10 คะแนน

ท าได คะแนน

27




แบบบนทกคะแนน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการพฒนา

แบบทดสอบกอนเรยน 10

แบบทดสอบหลงเรยน 10

รายการ คะแนนเตม คะแนนทได ผลการประเมน

ผานเกณฑ ไมผานเกณฑ

แบบฝกทกษะท 1.1 30




มการพฒนา หมายถง คะแนนสอบหลงเรยนมากกวาคะแนนกอนเรยน ในแตละแบบฝกทกษะนกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกตองไมนอยกวารอยละ 80 แบบฝกทกษะท 1.1 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 24 คะแนน แบบฝกทกษะท 1.2 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 24 คะแนน แบบฝกทกษะท 2.1 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 32 คะแนน แบบฝกทกษะท 2.2 นกเรยนจะตองท าแบบฝกทกษะถกไมนอยกวา 8 คะแนน

เกณฑการประเมน

28




ภาคผนวก

29




ขอ ค าตอบ

1 ค

2 ข

3 ก

4 ง

5 ง

6 ค

7 ข

8 ง

9 ง

10 ค

เฉลยแบบทดสอบกอนเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบกอนเรยน (ขอละ 1 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 10 คะแนน)

ตอบถก 1 ขอ ได 1 คะแนน ตอบผด 1 ขอ หรอไมตอบ ได 0 คะแนน

30




ขอ เมทรกซ จ านวนแถว จ านวนหลก มต

ตวอยาง ]3 2- [ Z 1 2 2 1

1 ]1 [ A 1 1 11

2

3

2-

1

B 3 1 31

3

12-

5-4 C 2 2 22

4

5-0

32-

21

D 3 2 32

5

22-1-

212 E 2 3 23

6

853

02-2

514

F 3 3 33

เฉลยแบบฝกทกษะท 1.1

เรอง ควำมหมำยของเมทรกซ

ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนจ านวนแถว จ านวนหลก และมตลงใน ตารางใหถกตอง

31





7

7531

3013

12-24-

G 3 4 34

8

4-40

3-30

2-20

1-10

H 4 3 43

9

1000

0100

0010

0001

I 4 4 44

10

21543

32154

43215

54321

J 4 5 45

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 1.1 (ขอละ 3 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 30 คะแนน) เตมค าตอบถกไดชองละ 1 คะแนน เตมค าตอบผด หรอไมเตมค าตอบ ไดชองละ 0 คะแนน

32




1 ก าหนด

06-4

312- A จงหา a12, a13, a21, a23

วธท า a12 คอ สมาชกของ A ในแถวท 1 หลกท 2 ดงนน a12 = 1

a13 คอ สมาชกของ A ในแถวท 1 หลกท 3 ดงนน a13 = 3



2 ก าหนด

124-

53-0

412

B จงหา b11, b13, b21, b22, b23, b32, b33

วธท า b11 คอ สมาชกของ B ในแถวท 1 หลกท 1 ดงนน b11 = 2




เรอง สมำชกของเมทรกซ

ค าชแจง : ใหนกเรยนเตมค าตอบลงในชองวางใหถกตอง

33




b22 คอ สมาชกของ B ในแถวท 2 หลกท 2 ดงนน b22 = -3




3 ก าหนด

544-5-

433-4-

322-3-

211-2-

C และ

1324

1221 D จงหา

1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14 2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24

วธท า 1) c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14

c11d11 + c12d12 + c13d13 + c14d14 = (–2)(1) + (–1)(2) + (1)(2) + (2)(1) = (-2) + (–2) + 2 + 2 = 0

2) c11d2 1 – c22d22 – c33d23 + c44d24 c11d21 + c22d22 + c33d23 + c44d24 = (–2)(4) - (–2)(2) - (3)(3) + (5)(1) = (–8) – (–4) – 9 + 5 = –8

34




เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 1.2 ขอ 1 และขอ 2 (จ านวน 26 คะแนน) เตมค าตอบถกตอง ชองละ 1 คะแนน เตมค าตอบผด หรอไมเตมค าตอบ ไดชองละ 0 คะแนน

ขอ 3 (จ านวน 4 คะแนน) หาค าตอบไดถกตอง ไดขอละ 2 คะแนน หาค าตอบไมถกตอง ไดขอละ 0 คะแนน

รวมขอ 1-3 ทงหมด 30 คะแนน

35






ตวอยาง A = [0]

ตวอยาง

20

02 B

1

10

01C

2 ]000[D

3

1

0

1

E

4

242

424

242

F

5

100

010

001

G



ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเครองหมาย ลงในชองทตรงกบชนด ของเมทรกซทก าหนด และ ลงในชองทไมตรงกบชนดของเมทรกซทก าหนด

36






6

00

00

00

H

7

100

010

001

I

8

000

000J

9

200

020

002

K

10

1000

0100

0010

0001

L

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 2.1 (ขอละ 4 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 40 คะแนน) เตมเครองหมาย และ ลงในชองทถกตอง ไดชองละ 1 คะแนน เตมเครองหมาย และ ผด หรอไมเตม ไดชองละ 0 คะแนน

37




1. ก าหนด 22ij ]a[A และ


a ij

วธท า A =

01

10

ดงนน A เปนเมทรกซจตรส

2. ก าหนด 33ij ]b[B และ


b ij

วธท า B =

100

010

001

ดงนน B เปนเมทรกซจตรส เมทรกซเอกลกษณ และเมทรกซสเกลาร

3. ก าหนด 44ij ]c[C และ

ji เมอ j-iji เมอ 0

c ij

วธท า C =

0000

0000

0000

0000

ดงนน C เปนเมทรกซจตรส เมทรกซศนย



ค าชแจง : ใหนกเรยนเขยนเมทรกซตามเงอนไขทก าหนด พรอมทงบอกชนดของเมทรกซ

38




4. ก าหนด 44ij ]d[D และ

ji เมอ jiji เมอ jiji เมอ ji

d ij

วธท า D =

16123

7912

6541

5431

ดงนน D เปนเมทรกซจตรส

5. ก าหนด 44ij ]e[E และ

ji เมอ 3-ji เมอ 0

e ij

วธท า E =

3000

0300

0030

0003

ดงนน E เปนเมทรกซจตรส และเมทรกซสเกลาร

เกณฑการใหคะแนน แบบฝกทกษะท 2.2 (ขอละ 2 คะแนน จ านวน 5 ขอ รวม 10 คะแนน) เขยนเมทรกซและบอกชนดของเมทรกซถกตอง ได 2 คะแนน เขยนเมทรกซหรอบอกชนดของเมทรกซถกตองเพยงอยางเดยว ได 1 คะแนน เขยนเมทรกซและบอกชนดของเมทรกซไมถกตอง หรอไมเขยนเลย ได 0 คะแนน

39




ขอ ค าตอบ

1 ก

2 ง

3 ง

4 ค

5 ค

6 ค

7 ง

8 ข

9 ข

10 ง

เฉลยแบบทดสอบหลงเรยน เรอง ความหมายและชนดของเมทรกซ

เกณฑการใหคะแนนแบบทดสอบกอนเรยน (ขอละ 1 คะแนน จ านวน 10 ขอ รวม 10 คะแนน)

ตอบถก 1 ขอ ได 1 คะแนน ตอบผด 1 ขอ หรอไมตอบ ได 0 คะแนน

40




บรรณานกรม

กวยา เนาวประทป. 2556. เทคนคการเรยนคณตศาสตร : เมตรกซ. กรงเทพมหานคร:

ส านกพมพฟสกสเซนเตอร.

กระทรวงศกษาธการ. 2552. หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551.

กรงเทพมหานคร: โรงพมพชมนมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย.

จกรนทร วรรณโพธกลาง. 2551 คมภรคณตศาสตร Entrance A-NET ระบบ Admission

สอบตรง และโควตา.กรงเทพมหานคร: ส านกพมพ พ.ศ.พฒนา จ ากด.

ธนวฒน(สนต) สนทราพรพล. 2553. แบบฝกหดและเทคนคคดโจทยเรวคณตศาสตรเพมเตม

ม.4 เลม 2 .กรงเทพมหานคร: ส านกพมพ SCIENCE CENTER.

สถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย. 2553. คมอครรายวชาเพมเตม

คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 .กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,

ลาดพราว.

--------. 2556. หนงสอเรยนรายวชาเพมเตม คณตศาสตร เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 .

กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.,ลาดพราว.

เล่มที่ 1 เรื่อง ระบบสมการเชิง ......เล...

Documents