รายงานเรอง Error Analysis

เสนอ

อ.สชย ตนยอชฌาวฒ

จดทำาโดย

นายภมภทร สรรไพโรจน 48220602 นายสรชาต อนทรจนทร 48220917

นายศวะศกด เจรญสมทรกล 49391394

รายงานนเปนสวนหนงของวชาMathematics 4

นสตสาขาวศวกรรมตอเรอและเครองกลเรอวทยาลยพาณชยนาวนานาชาตมหาวทยาลย

เกษตรศาสตร วทยาเขตศรราชา

^ ^^

^

^

^^

^ ^

การวเคราะหความผดพลาดในการฝกหดปฏบตวเคราะหเรองของตวเลข มนเปนสงทสำาคญททำาใหทราบถงวธการนบทผดพลาดไมถกตอง ทำาใหความถกตองของวธการทางตวเลขจะลดลงในการตปญหาใหแตก ดงนนจะสามารถเขาใจไดโดยรบการแนะนำาจากผฝกวชาชนนมา หรอผทไดพฒนาดานวธการคำานวณทางตวเลข

คำาอธบาย 1.7 คาดวา p คอ คาโดยประมาณ p ความผดพลาดโดยสมบรณคอ Ep = | p – p | และความผดพลาดของความสมพนธ คอ Rp = | p – p | / | p | ให p ≠ 0

ความผดพลาดโดยสมบรณ คอ คาความตางระหวางคาความจรง กบคาการประมาณขณะทความพเศษของความผดพลาดสมพนธ เปนรอยละของคาความจรงตวอยางท 1.14 หาความผดพลาดและความผดพลาดสมพนธใน 3 เหตการณตอไปน x = 3.141592 และ x = 3.14 ดงนนคาผดพลาดเปน(1a) Ep = | x - x | = | 3.141592 – 3.14 | = 0.001592และคา relative error คอ

ให y = 1,000,000 และ y = 999,996 ดงนนคาผดพลาดเปน(1b) Ey = | y - y | = | 1,000,000 – 999,996 | = 4และคา relative error คอ

ให z = 0.000012 และ z = 0.000009 ดงนนคาผดพลาดเปน(1c) Ez = | z - z | = | 0.000012 – 0.000009 | = 0.000003และคา relative error คอ

^

^

^ ^

^ ^

^

^ ^ ^

ในกรณ (1a),(x) คาจะไมแตกตางมากของ Ex กบ Rx กสามารถนำามาตดสนใจความถกตองของ x ได กรณ (1b),(y) คา y มขนาด 106 ดงนน ความผดพลาดของ Ey จงมขนาดใหญ และความผดพลาดสมพนธ Ry ขนาดเลก ในกรณ y อาจจะนำามาพจารณาคาประมาณของ y ไดด สวนกรณ (1c), z มขนาด 10-6 และมความผดพลาด Ez คอ เลกทสดใน 3 กรณ และความผดพลาดสมพนธ Rz คอ ใหญทสดในจำานวนรอยละของทงหมด (25%) ดงนน z คอคาประมาณทไมดของ zสงเกตวา | p | จะเคลอนทจาก 1 (เพมขนหรอลดลง) ความผดพลาดสมพนธ Rp คอ ตวชวดทดกวา Ep ทงคาความถกตองและคาประมาณ

คำาอธบาย 1.8 ตวเลข p บอกถงคาประมาณ p ถง d เปนตวเลขทนาสนใจ ถา d คอ ใหญสดเปนจำานวนเตมจาก

ตวอยาง 1.15 กำาหนดให ตวเลขทนาสนใจ สำาหรบการประมาณในตวอยางท 1.14

(3a) ถา x = 3.141592 และ x = 3.14 ดงนน | x – x | / | x | = 0.000507 < 10-2/2 ดงนน x การประมาณ x ถง 2 ตวเลขทนาสนใจ

(3b) ถา y = 1,000,000 และ y = 999,996 จากนน | y - y | / | y | = 0.000004 < 10-5 / 2 ดงนน y ประมาณ y ถง 6 ตวเลขทนาสนใจ

^^

(3c) ถา z = 0.000012 และ z = 0.000009 จากนน | z - z | / | z | = 0.25 < 10-0 / 2 ดงนน z ประมาณ z ถง 1 ตวเลขทนาสนใจ

การตดยอดความผดพลาดแนวคดการตดยอดแสดงถงการแนะนำาความผดพลาด เมอเกดความสบสนทางตวเลข คอ การแทนทของสตรโดยใชการตดยอด Taylor series เชน การไมมทสนสดของอนกรมเทเลอร

อาจแทนทกบ อาจจะยอมรบเมอคาประมาณการของอนทกลตวอยาง 1.16 ให = 0.544987104184 = p กำาหนดใหการประมาณคาความถกตองเอามาไดจากการแทนท

กบ

เมอ 10-5 / 2 > | p - p | / | p | = 7.03442 × 10-7 > 10-6 / 2ประมาณการ p เหนดวยกบคำาตอบจรง p = 0.544987104184 ถง 5 ตวเลขทนาสนใจ

และพนทตำากวาเสนโคงสำาหรบ 0 ≤ x ≤ 1/2 แสดงในรป 1.7 (หนาถดไป)

ลบเหลยมความผดพลาดคอมพวเตอรแสดงใหเหนจำานวนจรงทจำากด มความแมนยำาของทศนยม คาความจรงบองคาจะไมถกตองโดยคอมพวเตอร มนจงถกเรยกวา round – off error ในการตดตำาแหนงจำานวนจรง 1/10 = 0.0001two ซงถกตดยอด เมอมนอยในคอมพวเตอร คาจำานวนจรงในคอมพวเตอร ผานการตดเลขตวสดทาย

การดออกเทยบกบการลบเหลยมพจารณาจำานวนจรง p วาเปนคาทศนยมปกต(4) p = ±0.d1d2d3 … dkdk+1 … × 10n ,ท 1 < d1 ≤ 9 และ 0 ≤ dj ≤ โดย j > 1 คดคา k คอคาสงสดของเลขฐาน 10 คงทจะคำานวณในคอมพวเตอรในจด จากนนจำานวนจรง p คอตวแทนโดย(5) flchop(p) = ±0.d1d2d3 … dk × 10n ,ท 1 ≤ d1 ≤ 9 และ 0 ≤ dj ≤ โดย 1 < j ≤ k เลข flchop(p) เรยกวา choppinged floating – point representation ของ p ในกรณน คา kth แทนคอสอดคลองกบตวเลอกคา k แทนคอ(6) flchop(p) = ±0.d1d2d3 … rk × 10n ,

ท 1 ≤ d1 ≤ 9 และ 0 ≤ dj ≤ โดย 1 < j < k และ เลขตวสดทาย rk

คดคาทหาไดโดย dkdk+1dk+2 ... เขาใกลจำานวนเตม ดงตวอยาง จำานวนจรง

p = = 3.142857142857142857 …เลข 6 ตำาแหนงมาแทนท

flchop(p) = 0.314285 × 101 ,flchop(p) = 0.314286 × 101 ,

คาดวาการตดออกเขยนไดเปน 3.14285 และ 3.14286 ตามลำาดบ

ความสญเสย,เสยหายของผลลพธพจารณาเลข 2 คา p = 3.1415926536 และ q = 3.1415957341 , มเลขทศนยม 11 ตำาแหนงทแมนยำา ใหความตางคอ p – q = -0.0000030805 เมอตวเลขตำาแหนงท 6 ของ p และ q เหมอนกน ความตาง p – q ประกอบดวยทศนยม 5 ตำาแหนงเทานนทแมนยำา นเปนลกษณะทเรยกวา loss of significance or subtractive cancellation การลดความแมนยำาของคำาตอบสดทายในคอมฯ สามารถเปลยนเมอไมถกสงสย

ตวอยาง 1.17 เปรยบเทยบผลของการคำานวณ f(500) และ g(500) ใชเลขทศนยม 6 ตำาแหนงและการลบเหลยม จากฟงกชน

F(500) = = 500(22.3830 – 22.3607) =

500(0.0223) = 11.1500สำาหรบ g(x)

ฟงกชน g(x) คอเลขพชคณตเทากบ f(x) แสดงในคอมฯ

คำาตอบของ g(500) = 11.1748 ทำาใหเกดความผดพลาดนอยและเหมอนหาไดจากการ rounding คำาตอบจรง 11.174755300747198 ถง 6 หลก

ตวอยาง 1.18 เปรยบเทยบผลของ f(0.01) และ p(0.01) ใช 6 หลกและการ rounding ท

ฟงกชน P(x) คอ สญลกษณของ Taylor polynomial n = 2 สำาหรบ f(x) ท x = 0.01

สำาหรบฟงกชนแรก

สำาหรบฟงกชนทสอง

คำาตอบ P(0.01) = 0.501671 คาดเคลอนเลกนอยและคำาตอบนนเหมอนกนโดยคำาตอบทจรง 0.50167084168057541…..ถง 6 หลก

สำาหรบการคำานวณคาพหนาม,การจดรปแบบใหมในรปของการคณจะทำาใหไดผลลพธทดขน

ตวอยาง 1.19 กำาหนดให P(x) = x³ - 3x² + 3x - 1 และ Q(x) = ((x – 3)x + 3)x – 1ใชเลข 3 หลกคำานวณการประมาณคา P(2.19) และ Q (2.19) จงเปรยบเทยบคาทไดกบคาทแทจรง P(2.19)= Q(2.19) = 1.685159

P(2.19) ≈ (2.19)³ - 3(2.19)² + 3(2.19) – 1 = 10.5 – 14.4 + 6.57 – 1 = 1.67

Q(2.19) ≈ ((2.19 – 3)2.19 + 3)2.19 – 1 = 1.69คาคลาดเคลอนเปน 0.015159 และ -0.004841 ตามลำาดบดงนนการประมาณ Q(2.19) ≈ 1.69 มคาคลาดเคลอนนอยกวา ตวอยางท 6 มวธการคำานวณใกลเคยงกบรากของพหนามน

O(hⁿ) อนดบของคาประมาณ

ลำาดบ และ คอ จดทเขาใกลศนยรวมกน สงเกตวาลำาดบแรกจะเขาใกลศนยมากกวาลำาดบท 2 อยางรวดเรวในบางบทของหนงสอศพทเฉพาะและการใชเครองหมายจะบรรยายวาแตละลำาดบจะเขาหากนอยางรวดเรวอยางไร

นยาม 1.9 ฟงกชน f(h) คอ big Oh ของ g(h) แทน f(h) = O(g(h)) ถากำาหนด C และ c เปนคาคงท ดงนน

| f(h) | ≤ C |g(h)| เมอ h ≤ c

ตวอยาง 1.20 พจารณา f(x) = x ²+ 1 และ g (x) = x ³ ตงแต x² ≤ x³ และ 1 ≤ x ³ สำาหรบ x ≥ 1 ตาม

x ²+ 1 ≤ 2x³ สำาหรบ x ≥ 1 เพราะฉะนน f(x) = O (g(x))การใชเครองหมาย Oh มประโยชนของการบรรยายอตราการ

เพมของฟงกชนในเทอมฟงกชนเบองตน

นยาม 1.10 กำาหนดให และ เปนสองลำาดบแรก {xn} เปน order big Oh ของ{yn}, แทน xn= O(yn) , ถากำาหนดให C และ N เปนคาคงท ดงนน(8)

ตวอยาง 1.21 ฟงกชน ƒ(h) เปนคาประมาณโดยฟงกชน p(h) และขอบเขตคาความคลาดเคลอนทนยมคอ M |hn| เปนการจำากดขอบเขตของการประมาณ

นยาม 1.11 สมมตให ƒ(h) เปนคาประมาณโดยฟงกชน p(h) และคาคงท M >0 และ n แทนสญลกษณ ของจำานวนเตม ดงนน(9)

(10)

เมอเขยน (9) ใหมเปน จะเหนวาสญลกษณ O |hn| เขาไปแทนทขอบเขตความคลาดเคลอน M |hn| ผลทไดจะแสดงใหเหนวา การประยกตการจำากดขอบเขตการรวมกนของสองฟงกชน

ทฤษฎ 1.15 สมมต และ r = min{m,n} ดงนน

(11)

(12)และ(13)

เปนการชแนะเพอพจารณา p(x) เปนคาประมาณ Taylor polynomial ของ ƒ(x) ดงนนสวนทเหลออยจะเปนตวกำาหนด O(hn+1) ,ตำาแหนงสำาหรบการเขารวมของเทอมทยกเวนเรมดวย hn+1 การประมาณสวนทเหลออยเขาใกลกนทศนย hn+1 จะเขาหาศนย ขณะท h ทเขาหาศนยเปน คาทแสดงความ สมพนธ(14)

ดงนนการใชเครองหมาย O(hn+1) แทนทจำานวน M(hn+1) ,ท เปนคาคงทหรอใกลเคยงคาคงท

ทฤษฎ1.16 (ทฤษฎ เทเลอร) สมมต

ดงนน

(15)

จากสมการดานบน การคำานวณใชการบวก (i) O(hp) + O(hp) = O(hp) , (ii) O(hp) + O(hq) = O(hr) ท r = min{p,q} และการคณ (iii) O(hp)O(hq) = O(hs) ท s = p+q ตวอยาง 1.22 พจารณาสวนขยาย Taylor polynomial

กำาหนดใหอนดบคาประมาณของผลบวกและผลคณผลบวกได

ตงแต ตดออกได

อนดบคาประมาณคอ O(h4)ผลคณใชวธการเดยวกน

ทำาใหเปนอยางงายได

อนดบคาประมาณคอ O(h4)

อนดบการเขาหากนของลำาดบเหตการณการประมาณเกยวกบตวเลขโดยคำานวณลำาดบดารประมาณใหใกลคำาตอบทตองการมากทสดเทาทจะทำาได การกำาหนด big Oh สำาหรบลำาดบในนยาม 1.10 และการกำาหนดอนดบการเขาหากนสำาหรบลำาดบทคลายคลง กนทไดมาจาก นยาม 1.11นยาม 1.12 สมมตให เปน

ลำาดบเหตการณประกอบดวย เมอ เขาหา x ดวยอนดบการเขาหา O(rn) ,ถาใหคาคงท K > 0

ดงนน

แสดงโดยเขยน ดวยอนดบการเขาหากน O(rn)ตวอยาง 1.23 ให

การเพมของคาความคลาดเคลอนใหตรวจหาความคลาดเคลอนทอาจจะเพมในการคำานวณตอเนอง พจารณาการเพมของ 2 คา p และ q (คาจรง) กบคาการประมาณ p และ q ประกอบดวย ตามลำาดบ เรมดวย และ ผลรวมคอ

(16)

ดงนน ความคลาดเคลอนในผลบวกคอ ผลรวมของความคลาดเคลอนในเลขทบวกกน

การเพมของความคลาดเคลอนในการคณจะซบซอนมากกวา ผลคณคอ

(17)

ดงนน ถา มากกวา 1 ในคาสมบรณ , จะแสดงใหเหนวา ความเปนไปไดของการขยายชวงความคลาดเคลอนเดม

ถาเรามองทความคลาดเคลอนทสมพนธกนจะจดรปใหมจากสมการ(17)ได

(18)

สมมตให p ≠ 0 และ q ≠ 0 เราสามารถหาร(18) ดวย pq ทหาไดจากความคลาดเคลอนทสมพนธกนในผลคณของ pq

(19)

นอกจากน,สมมต เปนคาประมาณทดสำาหรบ p และ q ดงนน

( Rp และ Rq เปนคาความคลาดเคลอนท

สมพนธกน ในการประมาณ )แทนทลงใน(19)จะไดความสมพนธ แบบงาย(20)

แสดงให เหนถงคาความคลาดเคลอนทสมพนธกนในผลคณ pq โดยประมาณ ผลรวมของคาความคลาดเคลอนทสมพนธกนในคาประมาณ

คาความคลาดเคลอนเรมตนจะเพมขนในชวงหนงของการคำานวณ ลกษณะแบบนเปนทตองการในกระบวนการทางคณตศาสตรเปนความคลาดเคลอนเลกนอยในสภาวะแรกจะมการเปลยนแปลงในผลลพธสดทาย วธการคำานวณลกษณะพเศษนเรยกวา stable หรอ unstable นยาม 1.13 สมมต ∊ เปนคาความคลาดเคลอนเรมตนและ ∊(n) เปนคาความคลาดเคลอนหลง n ถา คอ คาความคลาดเคลอนทเปลยนแปลงเรยกวา linear ถา Kn∊ เรยกวา exponential ถา K >1 ,เลขชกำาลงของคาความคลาดเคลอนจะมากขน ถาหาก n→∞ ,และถา 0 < K < 1 เลขชกำาลงของคาความคลาดเคลอนจะนอยลงจนเปนศนย ถา n→∞

ตวอยางตอไปนจะแสดงถงวาคาความคลาดเคลอนเรมตนสามารถเพมขนไดในรป stable หรอ unstable ในตวอยางแรก หลกในการคำานวณทใชจะทำาใหลำาดบเหตการณเหมอนกน ในตวอยางท 2 จะแตกตางกนทำาใหตองคำานวณคาเรมตนและการเพมของความคลาดเคลอนตวอยาง 1.24 แสดงใหเหนวาทง 3 สมการสามารถใชกบคาความแมนยำาอนนต หลกทนำามาใชใหเกดเทอม

(21a)

(21b)

(21c)

สมการ(21a) จะแสดงอยางชดเจน ในสมการ(21b)สมการทแตกตางกนมวธทวไป pn=A(1/3n)+B สามารถหาไดจากตารางโดยตรง

Setting A = 1 และ B = 0 เปนลำาดบเหตการณทกำาหนดให

ตวอยาง 1.25 ใหหาอนดบคาประมาณ {xn} = { 1/3n} โดยใชตาราง

(22a)

(22b)

(22c)

ใน(22a) คาความคลาดเคลอนเรมตนใน r0 คอ 0.00004 ,และใน (22b)และ(22c) คาความคลาดเคลอนเรมตนใน p1 และ q1 คอ 0.000013

ตาราง 1.4 ใหคาประมาณ 10 ตวแรก ในแตละลำาดบ,และตาราง 1.5 ใหความคลาดเคลอนในแตละสตร ความคลาดเคลอน {rn} เปน stable และจะลดลงตามกฎของพหนาม ความคลาดเคลอน {pn} เปน stable ความคลาดเคลอน {qn} เปน unstable และจะเพมขนตามลำาดบพหนาม แมวา {pn} เปน stable เทอม ดงนนความคลาดเคลอนสดทายจะถกจำากดและเทอม past p8 จะไมมเลขนยสำาคญ รปท 1.8,1.9 และ 1.10 แสดงความคลาดเคลอนใน {rn},{pn}และ{qn} ตามลำาดบ

ความไมแนนอนในขอมลขอมลจากความเปนจรงในโลกประกอบดวยความไมแนนอน

หรอความคลาดเคลอน ความคลาดเคลอนประเภทนเรยกวา ขาวลอ มนจะสงผลกระทบตอความแมนยำาของการคำานวณทางคณตศาสตรทเปนฐานขอมล การแกไขความถกตองจะไมสำาเรจถาการคำานวณอยางตอเนองใชขอมลทไมนาเชอถอ ดงนนถาเรมดวยขอมล d ซงเปนตวเลขทมนยสำาคญของความแมนยำา ผลลพธของการคำานวณจะถกรายงานใน d ซงเปนตวเลขทมนยสำาคญ ตวอยาง,สมมตให p1

= 4.152 และ p2 = 0.07931 มเลขนยสำาคญ 4 ตำาแหนง ใหทดสอบตวเลขทงหมดทปรากฏบนเครองคดเลข มนคอ ความผดพลาดเพราะคณไมไดรวมผลสรปจากขอมลทไมนาเชอถอซงมตวเลขนยสำาคญมากกวาขอมลตนแบบ คำาตอบทถกตองในกรณนคอ p1+p2 = 4.231

ตวอยางแบบฝกหดบทท 31.หาคา Error ของ Ex และคา Relative Error ของ Rx จงหาคาประมาณเปนทศนยมไดกจดSol a ) x = 2.71828182, x^ = 2.7182

Ex = |x - x^| = |2.71828182 – 2.7182| = 0.00008182

Rx = |x - x^|/|x| = |2.71828182 – 2.7182|/ |2.71828182| = 0.0000300998เพราะฉะนน |x-x^|/|x| = 0.0000300998 < 10-4/2 ประมาณ 4 digit

b)y = 98,350, y^ = 98,000Ey = |y - y^| = |98,350 – 98,000| = 350Ry = |y - y^|/|y| = |98,350 – 98,000| / |98,350| = 0.0035587

เพราะฉะนน |y-y^|/|y| = 0.0035587 < 10-2 /2 ประมาณ 2 digit

c) z = 0.000068, z^ = 0.00006Ez = |z – z^| = |0.000068 – 0.00006| = 0.000008Rz = |z – z^|/|z| = |0.000068 – 0.00006|/|0.000068| = 0.1176

เพราะฉะนน |z-z^|/|z| = 0.1176 < 10-6 /2 ประมาณ 1digit

2.หาคาทไดจากการคำานวณ

และคาทไดถกตอง คอ = 0.2553074606Sol P^ = ( x + x3/3 + x3/3.2 + x3/7.3x2)|0

1/4

= {1/4 + (1/4)3/3 + (1/4)3/6 + (1/4)7/4x2 – 0) = 0.257812534 Sin C |p-p^|/|p| < 10-2 /2 0.002505 < 0.005 ประมาณ 2 digit

3. a) พจารณาคาของ P1 = 1.414 และ P2 = 0.09125 ใหคาทศนยมแค 4 จด จงหาคาทเหมาะสมทคา sum P1+ P2 และคา product P1P2Sol P1+ P2 = 1.50525 และ P1P2 = 0.1290275 b) พจารณาคาของ P1 = 31.415 และ P2 = 0.027182 ใหคาทศนยมแค 5 จด จงหาคาทเหมาะสมทคา sum P1+ P2 และคา product P1P2Sol P1+ P2 = 31.442182 และ P1P2 = 0.85392253

4.จงหาคาทไดจากการคำานวณจากสมการคา Error ทกำาหนดให Sol a) {sin(¶/4 + 0.00001) – sin (¶/4) }/ 0.00001 ={ 0.70711385222 – 0.70710678119 }/ 0.00001= 0.70711 b) {ln(2 + 0.00005) – ln(2)} / 0.00005 = {0.69317218025 – 0.6931478056} / 0.00005 = 0.499994

5.ให P(x) = x3 – 3x3 + 3x – 1 , Q(x) = {(x – 3)x + 3}x – 1 , และ R(x) = (x – 1)3

Sol a)ใชเลขทศนยม 4 จดในการคำานวณ P(2.72),Q(2.72)และ R(2.72) ในการคำานวณท P(x) สมมต ให(2.72)3 = 20.12 และ (2.72)2 = 7.398 P(x) = x3 – 3x3 + 3x – 1 = (2.72)3 - 3(2.72)2 + 3(2.72)2 – 1 = 5.086 Q(x) = {(x – 3)x + 3}x – 1 =((2.72 – 3)(2.72)2 + 3)(2.72) – 1 = 5.088448 R(x) = (2.72 – 1)3

= 5.088448 b)ใชเลขทศนยม 4 จดในการคำานวณ P(0.975),Q(0.975)และ R(0.975) ในการคำานวณท P(x) สมมตให(0.975)3 = 0.9268 และ (0.975)2 = 0.9506 P(x) = x3 – 3x3 + 3x – 1 = (0.975)3 - 3(0.975)2 + 3(0.975)2 – 1 = 0 Q(x) = {(x – 3)x + 3}x – 1 =((0.975– 3)( 0.975)2 + 3)( 0.975) – 1 = 0.000015625 R(x) = (0.975– 1)3

= -0.000015625

6.ใชทศนยม 3 ตำาแหนงในการหาคาคำานวณตาม sum ทกำาหนดใหใน orderSol a) €6

k=1 1/3k = 1/3 + 1/32 + 1/33 + 1/34 + 1/35 + 1/36

= 0.4993141289 b) €6

k=1 1/37 - k = 1/36 + 1/35 + 1/34 + 1/33 + 1/32 + 1/3

= 0.4993141289

7.ใหขยาย ฟงจชน Taylor และหาคา sum และ productSol ทผลบวก(1/1 – h) + cos(h) = (1 + h + h2+ h3+ o(h2)) + (1 – h2/2i + h4/4i + o(h6)) = 2 + h + h2/2 + h3 + h4/4i + o(h4) + o(h6)(1/1 – h) + cos(h) = 2 + h + h2/2 + h3+ o(h4) ทผลคณ(1/1 – h) cos(h) = (1 + h + h2+ h3+ o(h2)(1 – h2/2i + h4/4i + o(h6)) = (1 + h + h2+ h3) (1 – h2/2i + h4/4i) + (1 + h + h2+ h3) o(h6) + (1 – h2/2i + h4/4i) o(h4) + o(h4) o(h6) = 1 + h + h2+ h3- h2/2 – h3/2 – h4/2 – h5/2 + h4/4 + h5/4 + h6/4 + h7/4 + o(h4) + o(h6) + o(h10)

= 1 + h + h2/2 + h3/2+ o(h4)

8.ใหขยาย ฟงจชน Taylor และหาคา sum และ productSol ทผลบวกeh + sin(h) = (1 + h2/2i + h3/3i + h4/4i + o(h5) + h – h3/3i + o(h5) = 1 + 2h+ h2/2 + h4/4i + o(h5) ทผลคณ(eh )sin(h) = (1 + h2/2i + h3/3i + h4/4i + o(h5)) (h – h3/3i + o(h5)) = (1 + h2/2i + h3/3i + h4/4i)(h - h3/3i) + (1 + h2/2i + h3/3i + h4/4i) o(h5) (h - h3/3i) o(h5) + o(h5) o(h5)

= (h + h2 + h3/2i + h4/3i + h5/4i – h3/3i – h4/3i – h5/3i – h6/3i – h7/3i) + o(h5) + o(h5) + o(h10) = h + h2 + (3h3/6 – h3/6) + o(h5) = h + h2 + h3/3 + o(h5)

9.ใหขยาย ฟงจชน Taylor และหาคา sum และ productSol ทผลบวก Cos(h) + Sin(h) = (1 - h2/2i + h4/4i + o(h6) + h - h3/3i + h5/5i + o(h7) = 1 + h - h2/2i - h3/3i + h4/4i + h5/5i + o(h6)(Cos(h))(Sin(h)) = (1 - h2/2i + h4/4i + o(h6)(h - h3/3i + h5/5i + o(h7)) = (h - h3/2i + h5/4i – h3/3i + h5/6 – h7/4i3i) + o(h6) + o(h7) + o(h13)) = h – 2h3/3 + 5h5/24 + o(h6)