บทท่ี12. แคลคููลััส · 3. ใชภาษา้พูด...
TRANSCRIPT
“ เอกสารชดน P 1 ไดจดทาขนเพอให นองๆสามารถเรยนร และ พฒนาตนเอง นาความรทางคณตศาสตรไปพฒนาชวต และ เปนเครองมอในการเรยนรคณตศาสตรตลอดจนศาสตรอนๆ ในระดบทสงขนไป ใน สวนของการนาไปจดการเรยนการสอนผสอนสามารถปรบลดหรอเพมเนอหาสาระ ตลอดจนความลกซงไดตามความเหมาะสมของนกเรยนแตละคน เพอสนองตอความตองการของนกเรยน ทมความสามารถทางคณตศาสตรทแตกตางกน ” ขอความสาเรจจงเปนของนองๆพทตงใจเรยน
P 1
หนงสอเรยนคอรสหนงสอเรยนคอรสเนอหาเนอหา ( ( แยกบท แยกบท ))
บทท บทท 1212. . แคลคลส แคลคลส << CCAALLCCUULLUUSS >>
เอกสารนใชสาหรบ การทดลองเรยนเทานน
Concept การสอนของพหนงเปนอยางไรบาง
1. ใหความสาคญกบนร.พนฐานออน – ปานกลาง เปนหลก ( นร.พนฐานดอาจรสกวาสอนชา ) 2. มระบบการบานทสอดคลองกบทกหวขอยอย ( เปนตวเตอรหวโบราณยงเนนการบาน ) 3. ใชภาษา พดทว ไๆปในการอธบายท ฤษฎตางๆ ( เนนความเขาใจ ไมใชภาษานกคณตศาสตร ) 4. ไมใชเทพ !! เปนตวเตอรธรรมดา
( จาไววาความสาเรจในการเรยนขนอยกบความตงใจเรยน มากกวาตวตวเตอร )
““ จดเดนการตวแบบจดเดนการตวแบบอนทาเนอนทาเนยสไตลยสไตล BByy PP’’11 ””
สอนละเอยด +++
ตรงตามหลกสตรกระทรวงฯ
เวอรชนลาสด ครบทกบท
และ ทกหวขอยอย
มทนทเดยว !! !
คลปเฉลยโจทยตงแตยคสมย Ent , A-NET , PAT 1 และ 7 วชาสามญ
มากกวา 3,000 ขอ จดเปนระบบทงแยกตามบทเรยน และ แยกตามป พ .ศ.
ขออภยเนนการบาน !!! วธสอนของพหนงอาจโบราณ ทยงเนนการบาน และ แบบฝกหด
อยางเปนระบบ นะครบ
มรายงานการเขาเรยน >_<<
ผปกครองหรอนร.สามารถตรวจสอบ เวลาเรยนในทกๆครง ซงจะมรายงาน แจงรายละเอยดอยางครบถวน
แบบวา... โปรงใส ตรวจสอบได
““ ตวเลขตวเลข ออนไลน ออนไลน
สไตล สไตล IInnttaanniiaa ”” *Intania < อนทาเนย > เปนชอเรยกของ นสตคณะวศวกรรมศาสตร จาก จฬาลงกรณมหาวทยาลย
ทมา : th.wikipedia.org
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 1
บทท 12. แคลคลสเบองตน
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 2
วธการหาคา )x(flimax
1. ใหแทน x = a ลงใน f(x) ไดคาเทาไรตอบเทานน โดยท 0k
= , k
= 0 , k
= , k0
= 0
2. แตถาแทนแลวไดคาเปน 00
,
, –P , 0 , 1, 0 , 00 ( Indeterminate form ) หามสรป !! ใหรบทาตอ โดยการ
(2.1) ดงตวรวม (2.2) แยก factor (2.3) คณดวยคอนจเกต
(2.4) ใชกฎของโลปตาล ( L’Hopital’s Rule ) ใชไดเฉพาะ 00
,
)x(flimax
= สวนdiff
เศษdiff diff เศษสวน
Ex1. จงหา 3x2x1x2x
lim 2
2
2x
Ex2. จงหา 4 2
0x16xlim
Ex3. จงหา 3x2x1x2x
lim 2
2
1x
Ex4. จงหา
1x2x2xx
lim 2
2
1x
ลมตของฟงกชน
ทฤษฎบทเกยวกบลมต ให f และ g เปนฟงกชน โดยท y = f(x) และ g(x) ตามลาดบ ถา )x(flim
ax = A และ )x(glim
ax = B
(1) Climax
= C เมอ C เปนคาคงตว
(2) )]x(g)x(f[limax
= )x(flimax
)x(glimax
= A + B
(3) )]x(g)x(f[limax
= )x(flimax
)x(glimax
= AB
(4)
)x(g)x(f
limax
= )x(glim
)x(flim
ax
ax
= BA
; B0
(5) )x(fClimax
= C )x(flim
ax = CA
(6) n
ax)x(flim
=
n
ax)x(flim
= An
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 3
Ex5. จงหา 2x
11xlim
2x
Ex6. จงหา 3x
4x25lim
2
3x
Ex7. จงหา 3x27x
lim3
3x
Ex8. จงหา 1x
1xlim
3
1x
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 4
Ex9. จงหา h
xhxlim
0h
เมอ x 0 Ex10. จงหา xcos1
xtan2lim 2
2
0x มคาเทาใด
Ex11. จงหา 5x82x
13xlim
2x
Ex12. จงหา 3x9
xlim
0x
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 5
Ex13. จงหา x1x
x3x
2x 22
622lim
Ex14. จงหา 3ix
ix3ix2lim
i3x
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 6
ความหมายของ
(1) )(lim xfax
f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคาใกลๆ a จะหาคาไดกตอเมอ ( ลมตซาย = ลมตขวา )
(2) )(lim xfax
f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคานอยกวา a อยนดๆ ( ลมตซาย )
(3) )(lim xfax
f(x) มคาประมาณเทาไร ถา x มคามากกวา a อยหนอยๆ ( ลมตขวา ) (4) )(af f(x) มคาเทากบเทาไร ถา x มคาเทากบ a
เวลาหาคา f(a) ใหแทน x = a ลงใน f(x) ทนท หามเปลยนแปลงรปแบบ f(x)
Ex1. จากกราฟของฟงกชนตอไปนจงหาคา
(1) )x(flim9x
= …………….
(2) )x(flim9x
= …………….
(3) )x(flim9x
= …………….
(4) f(–9) = ……………..
(5) )x(flim6x
= …………….
(6) )x(flim6x
= …………….
(7) )x(flim6x
= …………….
(8) f(–6) = …………….. (9) )x(flim
3x = ……………. (10) )x(flim
3x = …………….
(11) )x(flim3x
= ……………. (12) f(–3) = ……………..
(13) )x(flim2x
= ……………. (14) )x(flim2x
= …………….
(15) )x(flim2x
= ……………. (16) f(2) = ……………..
(17) )x(flim4x
= ……………. (18) )x(flim4x
= …………….
(19) )x(flim4x
= ……………. (20) f(4) = ……………..
(21) )x(flim7x
= ……………. (22) )x(flim7x
= …………….
(23) )x(flim7x
= ……………. (24) f(7) = ……………..
(25) )x(flim9x
= ……………. (26) )x(flim9x
= …………….
(27) )x(flim9x
= ……………. (28) f(9) = ……………..
–9 –6 –3 2 4 7 9
7 4
9
–2
–4 –6
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 7
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 8
แบบท 1. ความตอเนองบนชวง [ a,b ] ฟงกชนจะมความตอเนองบนชวง [ a,b ] กตอเมอ สามารถวาดกราฟของฟงกชนนนผานชวง [ a,b ] ไดโดยไมตองยกปากกา
แบบท 2. ความตอเนองทจดใดๆ ฟงกชนจะมความตอเนองทจด x = a กตอเมอ สามารถวาดกราฟของฟงกชนนนผานจด x = a ไดโดยไมตองยกปากกา
.
a b ( A )
a b ( B )
a b ( C )
ความตอเนองของฟงกชน
a
( A )
a
( B )
a
( C )
นยาม f จะตอเนองทจด x = a กตอเมอ (1) f(a) หาคาได (2) )x(flim
ax หาคาได ( ลมตซาย = ลมตขวา )
(3) (1) = (2)
ขอควรระวง วธการหาคา )x(flimax
กบ f(a) ไมเหมอนกน
เชน กาหนดให f(x) = 2x4x2
จงหาคาของ f(2) และ )x(flim2x
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 9
Ex1. กาหนดให f(x) =
2x1เมอx35
1xเมอ4
1x0เมอx2
จงหาคา )x(flim1x
Ex2. f(x) = 3x
9x 2
จงหาคา )x(flim
3x + )x(flim
3x
Ex3. f(x) =
4xเมอ;8x
4xเมอ;4x
3x25 2
จงตรวจสอบวา f ตอเนองทจด x = 4 หรอไม
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 10
Ex4. g(x) =
2xเมอ;1kx
2xเมอ;2x
6xx 2
ถา g ตอเนองท x = 2 แลวคา k มคาเทาใด
Ex5. กาหนดให f(x) =
3xเมอbx3
3x1เมอax
1xเมอ4x 2
ถา f เปนฟงกชนตอเนองท x = – 1 และ x = 3
แลว a+b มคาเทาไร
Ex6. กาหนดให f(x) =
1xเมอ8x
1x0เมอbax
0xเมอ1x3 2
ถา f เปนฟงกชนตอเนองทกๆคา x แลว a–b มคาเทาไร
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 11
Note.
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 20
Ex1. จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของ y เทยบกบ x ของฟงกชนตอไปน 1. f(x) = 4x จาก x1 = 5 ถง x2 = 12
อนพนธของฟงกชน
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 21 2. f(x) = x2 + 1 จาก x1 = a ถง x2 = a + h 3. f(x) = log x จาก x1 = x ถง x2 = x+1 Ex2. จงหาอตราการเปลยนแปลงเฉลยของพนทรปสเหลยมจตรส เมอเทยบกบ 1. ความยาวดาน เมอ ความยาวดาน เปลยนจาก 5 นว ไป เปน 8 นว 2. เสนทแยงมม เมอ เสนทะแยงมม เปลยนจาก 4 ฟต ไป เปน 6 ฟต 3. เสนรอบรป เมอ เสนรอบรป เปลยนจาก 2 เมตร ไป เปน 5 เมตร
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 22 Ex3. กาหนดให f(x) = 4x2 + 3 จงหา
(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = 0.5
Ex4. กาหนดให f(x) = 1x3 จงหา
(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = 1
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 23
Ex5. กาหนดให f(x) = 1x2
1
จงหา
(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = – 1
Ex6. กาหนดให f(x) = 3 x จงหา
(1) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคาใดๆ (2) อตราการเปลยนแปลงของ y เทยบกบ x ขณะ x มคา = –8
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 26
สตรท 3. ถา f(x) = cg(x) แลว f(x) = c[ g(x) ] เมอ c เปนคาคงท
……………………………………………………………………
สตรท 2. ถา f(x) = xn แลว f(x) = nxn–1 เมอ n R ……………………..…………………………….
ถา f(x) = x แลว f(x) = 1 …………………………………………………………………..
การหาอนพนธของฟงกชนพชคณตโดยใชสตร สตรท 1. ถา f(x) = c แลว f(x) = 0 เมอ c เปนคาคงท ……………………………………………
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 27
Ex1. กาหนด f(x) = 2x3+3x2+x+1 จงหาคา f(–3) เทากบเทาใด
Ex2. กาหนด y = 2/12/32/1 x2xx3 ดงนน dxdy
เทากบเทาใด
1. xx
12
x3x2
3
2. x2
x2x3
x23
3. x2
xx
x3x
3
4. xx
12x3
x3
Ex3. กาหนด y = x
2xx ดงนน
dxdy
เทากบขอใดตอไปน
1. 21
23
x2x
2. 3xx
3. 3x
1x
23
4. 3x3
1x
23
สตรท 4. ถา f(x) = g(x) + h(x) แลว f(x) = g(x) + h(x)
…………………………………………………………………………………………………………
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 28 Ex4. ฟงกชนตอไปน ขอใดทมอนพนธท x = –1 แตกตางจากอนพนธของฟงกชนในขออนๆทจดเดยวกนนน 1. f(x) = ( x+1 )( x+2 ) 2. f(x) = x( x+1 )2
3. f(x) = 22
x1
x
4. f(x) = x1
x
Ex1. จงหา f(x) เมอ f(x) = ( 2x2–1 ) ( 4x+2 ) วธท 1. วธท 2.
สตรท 5. ถา f(x) = g(x)h(x) แลว f(x) = g(x) h(x) + h(x) g(x)
……………………………………………………………………………………………………
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 29
Ex2. กาหนด f เปนฟงกชนทหาอนพนธได โดย f( –1 ) = 2 และ f( –1 ) = – 5
ถา g(x) = ( x3–2x2 ) f(x) แลวคาของ dxdg
ทจด x = –1 มคาเทากบเทาไร ( ตอบ 29 )
Ex3. ให f(x) = ( 2x–3 )( x+1 ) และ g(x) = x2
4x2 ถา h(x) = f(x)g(x) แลว
dxdh
ทจด x = 1
มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 21/2 )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 30
Ex1. กาหนดให f(x) = 3x24x3
ดงนน f(x) เทากบเทาใด
Ex2. กาหนดให f(x) = 1x
x2
จงหา f(–1) เทากบเทาใด
Ex3. กาหนดให f(x) = 3x2+2 และ g(x) = x แลว ( fg )(1) +
gf
(1) มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 12 )
สตรท 6. ถา f(x) = )x(h)x(g
แลว f(x) = 2)]x(h[)x(h)x(g)x(g)x(h
เมอ h(x) 0
………………………………………………………………………………………………
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 31
Ex4. สมมตวา g เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธได ถา g(3) = 2 , g(3) = 3
และ y = )x(gx3x 23
แลว dxdy
ท x = 3 มคาเทากบเทาใด ( ตอบ 4.5 )
Ex1. จงหา f(x) จาก f(x) ตอไปน 1. f(x) = ( 2x–1 )3 2. f(x) = ( x2–3x–4 )6
สตรท 7. ถา f(x) = [g(x)]n แลว f(x) = n[g(x)]n – 1 [g(x)] เมอ n R
………………………………………………………………………………………………
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 32
3. f(x) = )x4(
3
4. f(x) = 2x9
5. f(x) = 3 2 1x
2
6. f(x) = 4
xx2x35 32
Ex2. กาหนด f(x) = 32 x1x ดงนน f(2) เทากบเทาใด ( ตอบ 20 )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 33
Ex3. กาหนด y = ( x–1 ) 2x2x2 ดงนน dxdy
เทากบขอใดตอไปน
1. 2x2x
3x4x22
2
2.
2x2x2
3x4x22
2
3. 3x4x2
2x2x2
2
4.
2x2x
2x2x2
2
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 34
Ex1. กาหนดให f( 2x–1 ) = 4x2+3 จงหา f(5) วธท 1. วธท 2.
Ex2. กาหนดให f( x2–2x+1 ) = 2x1x4
จงหา f(1)
อนพนธของฟงกชนประกอบ
สตรท 8. ถา y = fog(x) ………………………… แลว y = …………………………………………
ถา y = gof(x) ………………………… แลว y = …………………………………………
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 35
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 36
Ex1. กาหนดให y = u2+3u+2 และ u = 5x จงหาคาของ dxdy
ท x เทากบ 51
( ตอบ 4 )
1. 10 2. 15 3. 20 4. 25
Ex2. ให y = t2+2 และ x = 3t+2 จงหาคาของ dxdy
( ตอบ 1 )
1. 9
4x2 2.
94x2
3. 9
4x2 4.
94x2
Ex3. วตถชนหนงเคลอนทในระนาบตามกฎ x = t2 + 2t และ y = 2t3 – 6t แลว dxdy
ขณะ t = 2
มคาเทากบขอใด ( ตอบ 1 ) 1. 3 2. 12 3. 36 4. 25
สตรท 9. ถา y = f(u) , u = f(t) และ t = f(x)
……..……………………………………………………………………………………………………
dxdy
= dudy
dtdu
dxdt
dxdy
=
dydx1
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 37
Note.
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 38
Ex1. ถา y = 2x3–3x2+12x+5 และ 13cxbxaxydxdy
dxyd 232
2 แลวคาของ a + b +c คอขอใด
1. 41 2. 40 3. 35 4. 23
Ex2. ถา y = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1 จงหาคาของ 4
4
dxyd
ท x = 2 ( ตอบ 2 )
1. 23 2. 24 3. 25 4. 26
อนพนธอนดบสง กาหนดให f(x) = 1x2x3x4x5 234
“ อนพนธอนดบหนง ”
จะใชสญลกษณ f(x) = y = dxdy
= ……………………………………..…
“อนพนธอนดบสอง”
จะใชสญลกษณ f(x) = y = 2
2
dxyd
= ……………………………………….
“อนพนธอนดบสาม”
จะใชสญลกษณ f(x) = y = 3
3
dx
yd = …………………………………….
“อนพนธอนดบ n ”
จะใชสญลกษณ f(n)(x) = y(n) = n
n
dxyd
= ……………………………………..
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 39
Ex3. กาหนด y = 1x
x
ดงนน y เทากบเทาใด
1.
25
)1x(4
x1
2.
23
)1x(4
x2
3.
25
)1x(4
x4
4.
23
)1x(2
x4
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 46
ทบทวนเรองการหาสมการเสนตรงนดหนอยนะครบ (1) สมการทวไป (2) สมการมาตรฐาน
ความชนเสนโคง
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 47 (3) ทฤษฎบทเกยวกบเสนตรงทควรร (4) หลกการหาสมการเสนตรง
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 48 Ex1. กาหนดเสนโคง หนงมสมการเปน y = x2–5x+2 จงหา
1. ความชนเสนโคง ณ จด P( x,y ) ใดๆ 2. ความชนเสนโคง ณ จด ( 2,1 ) 3. สมการเสนสมผสเสนโคงทผานจด ( 2,1 )
Ex2. ถา P( x,y ) เปนจดบนเสนโคง y = x2 + 1 โดยทเสนสมผสเสนโคงนทผานจด P( x,y ) ขนานกบเสนตรง
y = 6x + 8 จงหาคา x + y Ex3. สมการเสนตรงซงขนานกบเสนสมผสเสนโคง y = x2–2x+3 ทจด ( –1,6 ) และผานจด ( –3,2 ) คอสมการใดตอไปน 1. x+4y – 10 2. x+ 4y +10 = 0 3. 4x + y –10 = 0 4. 4x + y +10 = 0
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 49 Ex4. กาหนดให L เปนเสนตรงทมความชนเทากบ 2 และ เสนตรง L สมผสกบเสนโคง y = x2 + 2
ถา ( a,b ) เปนจดบนเสนตรง L ทอยใกลจดกาเนดมากทสดแลว จงหาคา a + b Ex5. ถา P เปนจดบนเสนโคง y = 2x2 + 1 และเสนสมผสทจด P ขนานกบเสนตรง y+4x = 0 แลว สมการเสน
ตรงทตงฉากกบเสนสมผสทจด P คอสมการใดตอไปน 1. 4y + x = 11 2. 4y – x = 13 3. y – 4x = 1 – 1 4. y + 4x = 7
Ex6. ให 5 32 xxx)x(f จงหาสมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง ณ จด ( 1,2 )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 52
A
ความเรว และ ความเรง (1) การกระจด ( Displacement ) และ ระยะทาง ( Distance )
JUM การกระจด = ระยะทาง เมอ ........................................................................................................
(2) ความเรว คอ อตราการเปลยนแปลงของการกระจดเทยบกบเวลา (3) ความเรง คอ อตราการเปลยนแปลงของความเรวเทยบกบเวลา
SA – RUP (1) s(t) v(t) a(t) (2) สมการการเคลอนท s(t) ทโจทยบอกเปนสมการการกระจดไมใชสมการระยะทาง
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 53
Ex1. ให S(t) = t3 – 6t2 + 9t + 4 เปนสมการการเคลอนทของวตถในแนวเสนตรง โดยท S ( เมตร ) และ t ( วนาท ) 1. จงหาความเรวโดยเฉลย ในชวง t = 1 ถง t = 3 3. จงหาความเรงโดยเฉลยในชวง t = 1 ถง t = 3 2. จงหาความเรวของวตถทเวลา t = 2 4. จงหาความเรงของวตถทเวลา t = 3 Ex2. กาหนดให S(t) = at2 + bt + 4 สมการการเคลอนทของวตถตามแนวเสนตรง เมอ S มหนวยเปนเมตร ( m ) และ
t มหนวยเปนวนาท (s) เปน ถาความเรวเฉลยในชวงเวลา t = 2 ถง t = 5 เปน 5 m/s และ ความเรวขณะเวลา t = 3 เปน 4 m/s แลว a + b จะมคาเทาใด ( ตอบ –1 )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 54
ขอตกลงเรองเครองหมายของ s , v , t
Ex1. ลกบอลลกหนงถกโยนขนไปในอวกาศในลกษณะแนวดง โดยมสมการการเคลอนทของลกบอล คอ S (ฟต ) = 96t – 16t2 (วนาท) จงหา
1. ความเรวของลกบอล ณ เวลา t = 2 2. ความเรวของลกบอล ณ เวลา t = 4 3. ระยะทางทลกบอลจะขนไปไดสงสด Ex2. P’1 กลมใจเดกคอรส Ent จด จงขนไปยนอยบนยอดตกสง 112 ฟต เพอนๆ หามกไมฟงจะโดดทาเดยว
ถาสมการการเคลอนทของ P’1 คอ S( t ) = 96t – 16t2 เมอ t มหนวยเปนวนาท ( สมมต P’1 ไมมความสง ) จงหา 1. ตาแหนง, ความเรว และทศทางของ P’1 เมอ t = 2 2. ความเรวเมอ P’1 กระทบพน(นา)
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 55 Ex3. ยงปนขนไปในแนวดงจากพนราบ ไดสมการของการเคลอนทของลกปน เปน S( t ) = 128t – 16t2 เมอ t 0
( S เมตร , t วนาท) ขอใดตอไปนถก ( ตอบ 2 ) 1. ลกปนอยสงจากพนราบเปนระยะ 156 เมตร เมอ t = 1.5 วนาท เพยงเวลาเดยวเทานน 2. ระยะทลกปนขนไปไดสงสด คอ 256 เมตร 3. เมอเวลาผานไป 4 วนาท ลกปนจะอยทพนราบ 4. เมอเวลาผานไป 6 วนาท ลกปนจะเดนทางไปไดเปนระยะทางทงหมด 192 เมตร
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 62
วธการหาคาสงสด และ ตาสดสมพทธ
ขนท 1. หาคาวกฤต ( Critical Value , c ) ใหไดเสยกอน โดยคาวกฤตม 2 ความหมาย กลาวคอ
1.1 คา x ททาให f(x) = 0 , f(c) = 0
1.2 คา x ททาให f(x) หาคาไมได , f(c) = หาคาไมได แลวเรยงคาวกฤตทไดจากนอยไปมาก เพอรอการพจารณาในขนตอนตอไป
ขนท 2. เลอกวาจะใชวธอนพนธอนดบหนง หรอ วธอนพนธอนดบสอง วธอนพนธอนดบหนง – ถาความชนของเสนสมผสเปลยนจาก + ไปเปน – จดวกฤตดงกลาว จดสงสดสมพทธ – ถาความชนของเสนสมผสเปลยนจาก – ไปเปน + จดวกฤตดงกลาว จดตาสดสมพทธ – ถาความชนของเสนสมผสไมมการเปลยนแปลง จดวกฤตดงกลาว ไมใชทงจดสงสดสมพทธ
และ จดตาสดสมพทธ วธอนพนธอนดบสอง
– ถา f(c) 0 แลว จดวกฤตดงกลาว จดตาสดสมพทธ
– ถา f(c) 0 แลว จดวกฤตดงกลาว จดสงสดสมพทธ
– ถา f(c) = 0 แลว ตองยอนกลบไปทาดวยวธอนพนธอนดบหนง วธลด ( ใชไดกบเฉพาะฟงกชนพหนาม , ฟงกชนตรรกยะ เทานน )
– ถาหนา f(x) เปน + ขวามอสดเปนจดตาสดแลวสลบไปเรอยๆ
– ถาหนา f(x) เปน – ขวามอสดเปนจดสงสดแลวสลบไปเรอยๆ – ในกรณทคาวกฤตซากบเปนจานวนค มกจะเปนจดเปลยนเวา – ในกรณทคาวกฤตซากบเปนจานวนค ใหพจารณาตามปกต
การประยกตของอนพนธ คาสงสดสมพทธ และ คาตาสดสมพทธ ( Relative Maximum & Relative Minimum )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 63
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 64 Ex1. ให f เปนฟงกชน ซง f(x) = x2–4x+5 จงหาคาสงสดสมพทธ หรอ ตาสดสมพทธ (ถาม) Ex2. จงหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธของฟงกชน f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 7 Ex3. จงหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธของฟงกชน f(x) = –x3+2x2 – x + 1
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 65
Ex4. จงหาคาสงสดสมพทธและคาตาสดสมพทธของฟงกชน f(x) = 5x Ex5. กาหนดให f(x) = x3 + ax2 + bx + 13 ถา f(1) = – 3 และ f มคาสงสดสมพทธท x = – 2 แลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน ( Ent’48 ม.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 2 ) 1. 32 2. 33 3. 36 4. 37 Ex6. กาหนดให f(x) = x3 – 12x + c โดยท c เปนจานวนจรง ถาคาตาสดสมพทธของ f เทากบ – 6 แลว คาสงสด
สมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน ( Ent’46 ม.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 4 ) 1. 0 2. 6 3. 10 4. 26
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 66
Ex7. กาหนดให f(x) = 2x + cx21
โดยท c 0 ถา f(x) มคาสงสดท x = –3/2 แลว c มคาเทากบขอใดตอไปน
( Ent’41 ต.ค. เลข 2 ) ( ตอบ 1 ) 1. 1/9 2. 1/3 3. 3 4. 9
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 67 Ex1. ให f(x) = x3 + x2 – 8x – 1 เปนฟงกชนบนชวงปด [ –4,2 ] จงหาคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณของฟงกชน
คาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ ( Absulute Maximum & Absulute Minimum )
(1) คาสง สดสมบรณ คอ คาทสง ทสดในบรรดาคาสงสดสมพทธ กบ คา y ทตนชวง และ ปลายชวง
(2) คาตาสดสมบรณ คอ คาทตาทสดในบรรดาคาตาสดสมพทธ กบ คา y ทตนชวง และ ปลายชวง
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 68
Ex1. แผนกระดาษรป จตรสยาวดานละ 1 ฟต ตดทมมทง 4 ออกเปนรป จตรส เพอทจะทาเปนกลองเปดฝา อยาก ทราบวาจะตองตดมมออกยาวดานละเทาไร จงจะทาใหกลองนมปรมาตรมากทสด และมปรมาตรเทาไร
Ex2. ผลตผลดานการเกษตรชนดหนงเสยคาใชจายคดเปนเงนไรละ 0.2x + 4 +x
300 บาท ถาขายผลตผลคดเปนเงนไรละ
600 – 2x บาท และ เสยคาขนสงอกคดเปนเงนไรละ 24 บาท โดย x หมายถงจานวนไรทผลตตอเดอน ถาตองการใหไดกาไรมากทสดจะตองใชเนอทการผลตจานวนกไร ( ตอบ 2 )
1. 85 ไร 2. 130 ไร 3. 185 ไร 4. 572 ไร
การประยกตคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ
หลกการทาโจทยปญหาเรองการประยกตคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ มดงน
(1) สมมตใหไดเสยกอนวาจะให x แทนอะไร (2) สรางฟงกชนวตถประสงค ( Objective function ) โดยดจากสงทโจทยถาม (3) ในฟงกชนวตถประสงคมไดแคตวแปรเดยวเทานน ( ถามมากกวา 1 ตว ตองหาสมการชวย ) (4) ใชหลกการหาคาสงสดสมบรณ หรอ คาตาสดสมบรณ ตามทเรยนไปในหวขอทแลว
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 69 Ex3. นายเคน มไมระแนงสาหรบทารวไดยาว 80 เมตร เขาตองการ
ลอมบรเวณสเหลยมผนผาพรอมทงกนเปน 4 ชองเทาๆกน ดงรป พนทมากทสดทเขาจะลอมไดเปนเทาไร
Ex4. ฟาใสทางานอยราน STICKER WORLD ฟาใสพบวาปกตแลว 1 วนจะมลกคาใชถาย STICKER เฉลย วนละ 100 ราย โดย อตราคาบรการคอ 120 บาท/ครง แตถาลดราคาลงมา 5 บาท จะมลกคาเพมขน 10 ราย นนคอ ถาคาบรการ 115 บาท/ครง จะมลกคาเฉลยวนละ 110 ราย ถาคาบรการ 110 บาท/ครง จะมลกคา 120 ราย อยากทราบวา ถา ฟาใสตองการรายไดมากทสดควร ตงราคาคาบรการการถายสตกเกอร/ครง เปนเทาไร และจะไดรายไดเทาไร
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 70
Ex5. รป มมฉากซงมจดยอด 2 จดอยบนกราฟพาราโบลา y2 = 12x และมดานๆหนงอยบนเสนตรง x = 4 รป มมฉากดง กลาวจะมพนทมากทสดเทาใด
Ex6. จะสรางกลองทไมมฝาและมพนทหนาตดเปนรป จตรส และใหกลองมปรมาตร 32 ลกบาศกนวไดอยางไร โดยใช วสดนอยทสด
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 71
Ex7. เสนตรงเสนหนงผานจด ( 1,2 ) และ ตดแกน x และ แกน y ทาใหเกดรป ในจตภาคท 1
จงหาพนท ทนอยทสดทจะเกดขน
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 78
ปฏยานพนธ และ ปรพนธไมจากดเขต ( การอนทเกรต , Integration )
นยาม (1) ฟงกชน F เปนปฏยานพนธหนงของ f ถา F(x) = f(x) สาหรบทกคาของ x Df
(2) ถา F(x) = f(x) แลวจะไดวา
)x(f dx = F(x) + c เมอ c เปนคาคงตว
เรยก )x(f dx วาเปน ปรพนธไมจากดเขตของ f [ f(x) เรยกวา ปรพทธ ] และ F(x) วาเปน ปฏยานพนธของ f นนเอง
SA – RUP
สตรการอนทกรลไมจากดเขต
(1) kdx = kx + c เมอ k , c เปนคาคงท
(2) dx)x(kf = dx)x(fk เมอ k เปนคาคงท
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 79
(3) dx)x(g)x(f = dx)x(gdx)x(f
(4) dxxn = 1n
x 1n
+ c เมอ n –1
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 80
Ex1.
3 2
2 x3x1
x2
dx =
Ex2. 22 xx dx =
Ex3. x
x2x4 2dx =
Ex4. กาหนด f(x) = 3x2 – 2x
42 และ f(2) = 8 จงหาคา c
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 81
Ex5. กาหนด f(x) = x2 – x และ f(1) = 32
ดงนน f(4) เทากบเทาใด
Ex6. กาหนด f(x) = 18x – 8 , f (1) = 3 และ f(1) = 7 ดงนน f(2) เทากบเทาใด
Ex7. กาหนดให f(x) = ( x–1 )2 และ g(x) = )x(f dx โดยท ( fg)(2) = 0
ถา ( fg )(0) = a และ ( f+g )(0) = b จงหาคา a + b
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 82
Ex8. กาหนดให f(x) =
2x
1x2 dx และ g(x) = xf(x) ถา f(1) = –2 แลว g(3) เทากบขอใดตอไปน
( Ent’48 ม.ค.เลข 2. ) ( ตอบ 2 ) 1. 20 2. 25 3. 30 4. 37
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 83
Note.
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 84
โจทยปญหาทเกยวของกบอนทเกรต
Ex1. ถา h
)x(f)hx(flim
0h
= 3x – 2 ทก x R และ f(0) = 21
แลว จดในขอใดตอไปนอยบนกราฟของ f
1. ( 1,–1 ) 2. ( –1,0 ) 3. ( 1,2 ) 4. ( 2,1 )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 85 Ex2. ความชนของเสนโคง ณ จด ( x,y ) ใดๆ เทากบ x–3 ถาเสนโคงผานจด ( 2,9 ) แลว เสนโคงนมสมการคอขอใดตอไปน
1. y = 2
x 2–3x + 13 2. y =
2x 2
–3x –13 3. y = 2x2 –3x + 13 4. y = 2x2–3x –13
Ex3. ถาอตราการเปลยนแปลงของความชนของเสนโคง y = f(x) ณ จดใดๆมคาเปน 6x – 6 และ เสนโคงนมความชน
เทากบ 2 ณ จด ( 1,3 ) แลว สมการของเสนโคงจะตรงกบขอใด 1. y = x3 – 3x2 – 5x 2. y = x3 – 3x2 + 5x 3. y = x3 + 3x2 + 5x 4. y = x3 + 3x2 – 5x
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 86 Ex4. ถาเสนโคง y = f(x) มอตราการเปลยนแปลงของความชนทจด ( x,y ) ใดๆบนเสนโคงเปน 2x – 1 และ เสนสมผสเสน
โคงทจด ( 1,2 ) ตงฉากกบเสนตรง x + 3y – 1 = 0 จงหาสมการเสนโคงดงกลาว Ex5. สมการเสนโคง y = f(x) มความชนทจด ( x,y ) ใดๆเทากบ 3x2 –12 ถาคาตาสดสมพทธของ f เทากบ –17
แลว คาสงสดสมพทธของ f เทากบขอใดตอไปน ( Ent’46 ต.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 1 ) 1. 15 2. 19 3. 26 4. 31
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 87 Ex6. กาหนดใหความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด ( x,y ) ใดๆเทากบ x2 + 2x – 3 ถาคาสงสดสมพทธของ f
เทากบสามเทาของคาตาสดสมพทธของ f แลว f(0) เทากบขอใดตอไปน ( Ent’47 ม.ค. เลข 2. ) ( ตอบ 4 ) 1. –7 2. –2 3. 2 4. 7
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 94
Ex1. จงหาคาของ 3
0
2 dx)xx23(
Ex2. จงหาคาของ 4
1
dx)x2
1x6(
Ex3. จงหาคาของ 1
0
2 dx)x1(x
ปรพนธจากดเขต ( Definite intergral ) ............................................................................................... ทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส กาหนด f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง [a,b] ถา F เปนปฏยานพนธของฟงกชน f แลว
)a(F)b(F)]x(F[dx)x(fba
b
a
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 95
Note.
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 96
พนททปดลอมดวยเสนโคง
แบบท 1. มเสนโคง 1 เสน
หมายเหต ในหวขอนจะเจอสมการพาราโบลาบอยมาก พยายามเนนการจดรปแบบ ม.3 y = ax2+bx+ c
จะดกวา การจดรปแบบ ม.4 ( x–h )2 = 4c( y – k ) เพราะจะเนนทจดตดแกน x มากกวาจดยอด
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 97 Ex1. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 จาก x = 1 ถง x =3 Ex2. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x2 – 2x กบแกน x ตงแต x = 1 ถง x = 2 Ex3. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = 4 – x2 กบแกน x ตงแต x = 1 ถง x = 4 ( ตอบ 37/3 )
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 98 Ex4. จงหาพนททปดลอมดวยเสนโคง y = x3 – 6x2 + 8x กบแกน x เปนเทาใด ( ตอบ 3 ) 1. 5 2. 7 3. 8 4. 9
Ex5. จงหาคาของ
2
2
2 dxx4
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 99
Ex6. จงหาคาของ
2
1
dx1x
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 100 Ex1. จงหาพนททถกปดลอมรอบดวยกราฟ y = 5–x2 และ y = 2 – 2x ( ตอบ 32/3 )
แบบท 2. มเสนโคง 2 เสน
WWW.NISITTUTOR-ONLINE.COM 101 Ex2. จงหาพนททถกปดลอมรอบดวยกราฟ y = x2 – 4 และ y = 8 –2x2 ( ตอบ 32 )