บทที่ 4...

เอกสารประกอบการสอน อ.สมจตร บญเทยม 1

บทท 4 ลมตและความตอเนอง

แคลคลส เปนคณตศาสตรแขนงหนงทมพนฐานมาจากการศกษาการเปลยนแปลงและการเคลอนททางกลศาสตร การสรางรากฐานวชาใหรดกมจาเปนตองอาศยความรทางคณตศาสตรทซบซอน การพฒนาความรจงตองละบรบททางวทยาศาสตรทไมจาเปนออกไป เพอใหไดระบบภาษาสญลกษณทมความกระชบ ชดเจน และสามารถขยายความรตอยอดออกไปเรอย ๆ ดวยเหตผลนสวนหนงทาใหแคลคลสพฒนาแยกตวออกมาจากวทยาศาสตรและเขาใกลคณตศาสตรบรสทธมากขน การพฒนาแคลคลสในแงมมวาเปนคณตศาสตรแขนงหนง เรมเหนชดในครสตศตวรรษท 17 จากผลงานของนวตน (Isaac Newton, 1643 – 1727, England) และไลบนต (Gottfried Wilhelm van Leibniz, 1646 – 1716, Germany) แคลคลสเรมพฒนาตวเองไปสคณตศาสตรวเคราะหทใหระบบการใหเหตผลทมความรดกมมากกวาเดม เมอ โคช (Augustin Louis Cauchy, 1789 – 1857, France) ไดเสนอใหใชแนวคดของลมตของฟงกชนเพอเปนรากฐานความรของแคลคลส เกดการแสวงหาความรตอยอดตาง ๆ ทางคณตศาสตร และสะทอนกลบนาไปใชประโยชนในการแสวงหาความรทางวทยาศาสตรและวศวกรรมศาสตร และแนนอนวามนษยยงแสวงหาวทยาการเพอสรางเทคโนโลยตอบสนองความตองการของตวเองตลอดเวลา นนหมายถงจะมหลายปญหาทยงแกไมไดดวยความรทมในปจจบน การแสวงหาความรใหม ๆ จะยอนกลบไปผลกดนใหแตละวชาไมหยดทจะพฒนาความรของตวเอง แคลคลสกเปนหนงแขนงวชา ดงนนการทราบทมาของการพฒนาและความรพนฐานของแคลคลส จะทาใหเหนแนวทางในการพฒนาความรตอไป

รปท 4.1 สามบคคลทมสวนสาคญในการพฒนาแนวคดของแคลคลสยคใหม [wikipedia.org] สาหรบการศกษาในบทน ผสนใจจะไดทาความเขาในเนอหาของแคลคลสเบองตน ประกอบดวย ลมตและความตอเนองของฟงกชน อนพนธของฟงกชน และการอนทเกรต


4.1 ลมตและความตอเนอง

ตวอยาง 4.1.1 จงใชนยามของลมต แสดงวา ( )

3lim 3 2 7x

x→

− =

วธทา ให 0ε > เปนจานวนจรงบวกใดๆ เลอก 3

εδ = ททาให 0 3x δ< − <

แลวจะไดวา ( ) ( )3 2 7f x L x ε− = − − <

3 9 x ε= − <

( )3 3 x ε= − <

3 3 x ε= − <

3 δ ε< <

3

εδ= <

นนคอ ( )3

lim 3 2 7x

x→

− =

ตวอยาง 4.1.2 จงใชนยามของลมตแสดงวา 2

2lim 4x

x→

=

วธทา เพอความสะดวก เราสมมตให 1δ = ทาใหไดวา 2 1x − <

ให 0ε > เปนจานวนจรงบวกใดๆ จะไดวา

2 4x ε− <

2 2x x ε− + <

นยาม 4.1.1 (นยามของลมต) ให เปนฟงกชนทนยามบนชวงเปด ทบรรจ (คาของ ไมนยาม)

จานวนจรง จะเรยกวาเปนลมตของฟงกชน ขณะท เขาใกล กตอเมอ

สาหรบแตละจานวนจรง จะมจานวนจรง ซงทาให

นนคอ

เขยนแทนดวยสญลกษณ


( )2 2x x ε− + <

เนองจากคาสงสดของ x คอ 3 (ทสมมต) จะไดวา 5 2x ε− <

25

xε

− <

ดงนนสาหรบแตละ 0ε > เราสามารถเลอกจานวน 0δ > ซง

,15

εδ =

นนคอ 2

2lim 4x

x→

=

ทฤษฎบท 4.1.1 (Uniqueness of Limit) กาหนดฟงกชน และสมมตให และ

จะไดวา (แสดงวาลมตของฟงกชน (ถาม) จะมไดเพยงคาเดยวเทานน)

ทฤษฎบท 4.1.2 ถา เปนคาคงท และกาหนดให สาหรบทก ๆ

ดงนนสาหรบจานวนจรง ใด ๆ จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.3 ถากาหนดให สาหรบทก ๆ และ ทเปนคาคงทใด ๆ จะไดวา


ทฤษฎบท 4.1.4 (ลมตของฟงกชนทเทากน) สมมตใหมจานวน ซงทาให สาหรบทก ๆ ท

และสมมตให จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.5 (ลมตของผลบวก) ถา f และ g เปนฟงกชน ซงม และ จะได

บทแทรก 4.1.6 ถา เปนฟงกชน ซงม

จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.7 (ลมตของผลคณ) ถา f และ g เปนฟงกชน ซงม และ จะได


บทแทรก 4.1.8 กาหนดฟงกชน ซงม

จะไดวา

บทแทรก 4.1.9 ถา f เปนฟงกชน ซงม และ k เปนคาคงทใด ๆ จะไดวา

บทแทรก 4.1.10 ถา f และ g เปนฟงกชน ซงม และ จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.11 ถา และ จะไดวาจะตองมจานวนจรงบวก

ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท

บทแทรก 4.1.12

ถา และ จะไดวาจะตองมจานวน ซงทาให

สาหรบทก ๆ x ท


ตวอยาง 4.1.3 จงหา ( )3 2

3lim 2 5x

x x→

+ +

วธทา จากโจทย จะไดวา

( )( )

3 2 3 2

3 3 3 3

3 2

lim 2 5 lim 2 lim lim 5

3 2 3 5

27 18 5

50

x x x xx x x x

→ → → →+ + = + +

= + +

= + +

=

ตวอยาง 4.1.4 จงหา 3 2

3

2 5lim

3 1x

x x

x→

+ ++


( )( )

3 23 2

3

33

lim 2 52 5lim

3 1 lim 3 1

50

10

x

xx

x xx x

x x→

→→

+ ++ +=

+ +

=

ทฤษฎบท 4.1.13 ถา โดยท จะไดวา

บทแทรก 4.1.14 ถา และ โดยท จะไดวา


ตวอยาง 4.1.5 ถา f และ g เปนฟงกชน โดยกาหนดวา ( ) ( )2 , 2 1f x x g x x= = +

ในทนจะพบวา ( )2

lim 4x

f x→

= และ ( ) ( )4

lim 9 4x

g x g→

= =

ทงนเพราะ ( )( ) ( )( ) ( )2 22 1g f x g f x g x x= = = +�

เพราะฉะนน ( )( )lim 9x a

g f x→

=�

ทฤษฎบท 4.1.15 ถา และ และถามจานวนจรงบวก

ซงทาให สาหรบทก ๆ t ท จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.16 สมมตให f และ g เปนฟงกชน a และ b เปนจานวนจรงทหาคา ได

และถา และ จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.17 สมมตให f และ g เปนฟงกชน a และ b เปนจานวนจรงทหาคา ได

และถา และ จะไดวา


ตวอยาง 4.1.6 จงหา 3 3

2

1lim

1x

x

x→

+

+


3333

2

22

lim 11lim

1 lim 1x

xx

xx

x x→

→→

++=

+ +

( )( )

33

2

2

lim 1

lim 1x

x

x

x

→

→

+=

+

33 3

2

1 9 lim

1 3x

x

x→

+=

+

ทฤษฎบท 4.1.18 ให f เปนฟงกชน เพราะฉะนน กตอเมอ ถา เปนชวงเปดใด ๆ

ทม แลวจะตองมชวงเปด ทม และทาใหเมอไรกตามท

และ แลวจะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.19 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ จะไดวา

ทฤษฎบท 4.1.20 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ และ จะไดวา


ตวอยาง 4.1.7 จงหา ( )2 2

0limh

x h x

h→

+ −

วธทา จากโจทย จะเหนวาถาแทน 0h= จะทาใหลมตนหาคาไมได

เราจะพจารณาฟงกชน ( )2 2x h x

h

+ − วาสามารถเปลยนรปอนไดหรอไม

ซงเราไดวา ( ) 2 2 2 22 2x h x x hx h x

h h

+ − + + −=

( )

22

2

2

hx h

h

h x h

h

x h

+=

+=

= +

ดงนน เรากจะไดวา ( ) ( )

2 2

0 0lim lim 2 2h h

x h xx h x

h→ →

+ −= + =

นนคอ ( )2 2

0lim 2h

x h xx

h→

+ −=

4.1.1 ลมตดานเดยว (One-Side Limits)

พจาณาฟงกชน ( )f x ทกาหนดโดย ( ) 2

2 1 ; 1 1

13 ; 1 4

2

x x

f xx x

+ ≤ ≤

= − < <

จะพบวา ทจด 1x = จะได ( )1 3f = แต ( )1

limx

f x→

ไมม ดงนน ฟงกชน f จงไมตอเนองทจด 1x =

ถาให ( ) 2 1g x x= + และ ( ) 213

2h x x= − และใหโดเมนของ g และ h คอเซตของจานวนจรงทงหมด

( )ℝ จะพบวา ( ) ( )f x g x= สาหรบทก ๆ [ ]1,1x∈ − เพราะฉะนนในขณะท x เขาใกล 1 ทางดาน

ซายมอ (หมายถง x เขาใกล 1 ทางดานทมคานอยกวา 1) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ 1x −→ จะไดวา ( ) ( )

1 1lim 3 limx x

f x g x− −→ →

= =

ในทานองเดยวกน เพราะวา ( ) ( )f x h x= สาหรบทก ๆ ( )1,4x∈ ในขณะท x เขาใกล 1

ทางดานทมคามากกวา 1) ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ 1x +→ จะไดวา


( ) ( )1 1

5lim lim

2x xf x h x

+ +→ →= − =

เพราะฉะนน ( ) ( )1 1

lim limx x

f x f x− +→ →

≠

ตวอยาง 4.1.8 กาหนดให

( )

3 1 ;

2 21 1

; 2

x x

f x

xx

− + <= ≥

จงหาคาของ ( )1

2

limx

f x−

→

และ ( )1

2

limx

f x+

→

วธทา จากโจทย สามารถเขยนกราฟ ของ ( )f x ไดดงน

นยาม 4.1.3 ลมตขวามอ (Right-hand limit) กาหนดฟงกชน f และจานวนจรง a, L เราจะกลาววา มคาเขาใกล L ในขณะท x

มคาเขาใกล a ทางดานขวามอ (เขยนแทนดวย )

ถามสมบตวา สาหรบแตละจานวนจรงบวก จะตองมจานวนจรงบวก ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท

นยาม 4.1.4 ลมตทางซาย (Left-hand limit) กาหนดฟงกชน f และจานวนจรง a, L เราจะกลาววา มคาเขาใกล L ในขณะท x

มคาเขาใกล a ทางดานซายมอ (เขยนแทนดวย )

ถามสมบตวา สาหรบแตละจานวนจรงบวก จะตองมจานวนจรงบวก ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท


จะพบวา f ไมตอเนองทจด 1

2x = ในขณะท x เขาใกล

1

2 ทางดานซายมอ

จะไดวา ( )f x เขาใกล 1 3

12 2− + =

นนคอ ( )1

2

lim 1x

f x−

→

= ในขณะเดยวกน จะไดวา ( )1

2

lim 2x

f x+

→

=

ดงนน ( ) ( )1 1

2 2

lim limx x

f x f x− +

→ →

≠

หมายเหต ในกรณท ( ) ( )lim lim

x a x af x f x

− +→ →≠ เราจะกลาววา ( )lim

x af x

→ ไมม

ตวอยาง 4.1.9 จงหา ( )lim

x af x

→ โดยกาหนดให

ทฤษฎบท 4.1.21 ถา f เปนฟงกชน และ a, L เปนจานวนจรง จะไดวา

กตอเมอ


( )

11 ; 0

21

; 01

x x

f x

xx

+ <= ≥ +

วธทา เราไดวา ( )0 0

1lim lim 1 1

2x xf x x

− −→ →

= + =

และ ( ) 1lim lim 1

1x a x af x

x+ +→ →

= = +

เนองจากเราพบวา ( ) ( )lim lim 1x a x a

f x f x− +→ →

= =

นนคอ ( )lim 1x a

f x→

=

ตวอยางท 4.1.10 จงหาคาของ 2

23

9lim

3 2x

x

x x−→

−

+ −

วธทา กาหนดให ( ) ( )( )( )( )

2

2

3 39

1 33 2

x xxf x

x xx x

− +−= =

+ −+ −

เพราะฉะนน สาหรบ x ท 1 3x− < < จะไดวา

( ) ( )3 3

1

x xf x

x

− +=

+

เพราะวา ( )3 3 3

lim 3 lim 3 lim 3 3 6x x x

x x− − −→ → →+ = + = + =

( )3 3 3


x x− − −→ → →+ = + = + =

( )3 3 3


x x− − −→ → →− = − = − =

เพราะฉะนน 3

lim 1 4 2x

x−→

+ = =

และ 3

lim 3 0 0x

x−→

− = =

เพราะฉะนน ( )

3

3 3 6 0lim 0

21x

x x

x−→

− + ⋅= =

+


นนคอ ( )3

lim 0x

f x−→

=

4.1.2 ความตอเนอง (Continuity)

ตามทไดกลาวมาแลว ถงความหมายของ ( )lim

x af x L

→= ถงแมในบางฟงกชนเราไมสามารถหาคา

ของฟงกชนนนๆ ทจด x a= กตาม แตในสวนทจะกลาวตอไปนเราจะพดถงแตเฉพาะในกรณท f เปนฟงกชนซงหาคาของ ( )f a ได นอกจากนน ( )lim

x af x L

→= โดยท ( )L f a= ฟงกชน f ทมลกษณะดงกลาวเรา

เรยกวาเปนฟงกชนตอเนอง (Continuous Function) ทจด x a=

ตวอยาง 4.1.11 กาหนดให ( ) 22 3 4f x x x= + − จงแสดงวาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท

1x = หรอไม

วธทา กาหนดให ( ) 22 3 4f x x x= + − ถาฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท 1x =

ฟงกชน f จะตองมคณสมบตครบทง 3 ขอตอไปน

1) ( ) ( ) ( )21 2 1 3 1 4 2 3 4 1f = + − = + − =

2) ( ) ( )2

1 1lim lim 2 3 4x x

f x x x→ →

= + −

2 3 4

1

= + −

=

3) ( ) ( )1

lim 1 1x

f x f→

= =

จาก 1) - 3) สรปไดวา ฟงกชน f เปนฟงกชนตอเนองท 1x =

นยาม 4.1.5 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนทตอเนองทจด กตอเมอ

1) หาคาของ ได

2) หาคาของ ได

3)

นยาม 4.1.6 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนตอเนองในเซต S กตอเมอ f เปนฟงกชนทตอเนองททกจดในเซต S


นยาม 4.1.7 เราจะเรยกฟงกชน f วาเปนฟงกชนโพลโนเมยล (Polynomial Function) กตอเมอ

โดยท ทกตวเปนจานวนจรง

ทฤษฎบท 4.1.22 ฟงกชนโพลโนเมยลจะเปนฟงกชนทตอเนองในเซต (โดยกาหนดวา เปนเซตของจานวนจรงทงหมด)

ทฤษฎบท 4.1.23 ถา f และ g เปนฟงกชนทตอเนองทจด จะไดวา ฟงกชนตอไปนจะ ตอเนองทจด เชนกน 1) 2)

3)

4) โดยท k เปนจานวนจรงใด ๆ

ทฤษฎบท 4.1.24 ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด a และ g เปนฟงกชนทตอเนองทจด

จะไดวา จะเปนฟงกชนทตอเนอง ทจด

นยาม 4.1.8 เราจะกลาววาฟงกชน f เปนฟงกชนทมความตอเนองทางขวามอ (right-hand continuity) ทจด a ถา และเรยก f วาเปนฟงกชนทม

ความตอเนองทางซาย (left-hand continuity) ทจด b ถา


สมมตให a b< และให 1 2,f f เปนฟงกชนโดยกาหนดวา

( )1

0 ,

1 ,

0 ,

x a

f x a x b

x b

<

= ≤ ≤ >

และ

( )2

0 ,

1 ,

0 ,

x a

f x a x b

x b

≤

= < < ≥

ดงรป

จะพบวาฟงกชน 1f และ 2f จะตอเนองทจดทกจดยกเวนทจด x a= และ x b= นอกจากนน 1f จะตอเนองทางขวามอทจด x a= และตอเนองทางซายมอทจด x b= ทงนเพราะ

( ) ( )1lim 1x a

f x f a+→

= = และ ( ) ( )1lim 1x b

f x f b−→

= = ในทานองเดยวกน 2f จะตอเนองทางซายมอ

ทจด x a= และตอเนองทางขวามอทจด x b=

จากตวอยางขางตน พบวา 1f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด [ ],a b แต 2f ไมตอเนองบนชวงปด

[ ],a b

นยาม 4.1.9 ฟงกชน f จะเปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด กตอเมอ

(i) f เปนฟงกชนทตอเนองททกจดในชวงเปด

(ii) f เปนฟงกชนทตอเนองทางขวามอทจด และตอเนองทางซายมอทจด นนคอ และ


นยาม 4.1.10 ให f เปนฟงกชนทหาคาไดบนชวง (ซงอาจจะเปนชวงเปด ชวงปด หรอไมเปนทง สองอยางกได) ถามจานวน M ซงทาให สาหรบทก ๆ

จะกลาววา f เปนฟงกชนทมขอบเขต (bounded) บนชวง

ทฤษฎบท 4.1.25 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด จะไดวา f เปนฟงกชนทม

ขอบเขตบนชวง

ทฤษฎบท 4.1.26 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด แลวจะตองมจด

ททาให สาหรบทก ๆ

บทแทรก 4.1.27 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด แลวจะตองมจด

ททาให ท

ทฤษฎบท 4.1.28 (Intermediate Value Theorem) ให f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด และให

ถา C เปนจานวนจรงใด ๆ ทอยระหวาง A และ B จะไดวา จะตองมจด

ททาให

บทแทรก 4.1.29 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด และ ถา

จะตองมจานวน ททาให


4.1.3 ลมตเกยวกบอนนต (Limits Involving Infinity) กอนจะกลาวถงความหมายของลมตทเกยวกบคาอนนต ขอใหพจารณาฟงกชนตอไปน

( )1

xf x

x=+

จะพบวา f เปนฟงกชนทตอเนองทจดทกจดยกเวนทจด 1x = − ดงรป

สาหรบ 1x > − จะไดวา ( ) 11 1

1 1

xf x

x x

−= = + <+ +

และ สาหรบ 1x < − จะได ( ) 1f x >

กอนอนขอใหพจารณาเฉพาะทางดาน 1x > − โดยดจากคาของฟงกชนตอไปน

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 10 100 10001, 0 0, 1 , 10 , 100 , 1000 ,

2 2 11 101 1001f f f f f f − = − = = = = =

…

ทฤษฎบท 4.1.30 ถา f เปนฟงกชนทตอเนองบนชวงปด และเรนจของ f อยในชวง

จะไดวา จะตองมจด อยางนอย 1 จด ททาให

จด ทมสมบตวา เราเรยกวา จดคงท (fixed point)


จะเหนวา ถา x มคาเพมขนเรอย ๆ คาของฟงกชนกจะเพมขน แตอยางไรกตาม คาของฟงกชนจะตองนอยกวา 1 เสมอ ลกษณะเชนนเราจะกลาววา ถา x มคาเขาใกลคาอนนต (infinity) ทางดานบวก ( )x→+∞

( )f x จะมคาเขาใกล 1 ( )( )1f x → ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

( )lim 1x

f x→+∞

=

ในทานองเดยวกน ถาพจารณาทางดาน 1x < − จะพบวา ถา x มคาลดลงเรอย ๆ คาของฟงกชนกจะมคาลดลงเชนเดยวกนแตยงคงมคามากกวา 1 เสมอ นนคอ ถา x มคาเขาสคาอนนตทางดานลบ ( )x→−∞

( )f x จะมคาเขาส 1 ( )( )1f x → ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

( )lim 1x

f x→−∞

=

หมายเหต สญลกษณ x→∞ หมายถง x มคาเพมขนโดยไมมขอบเขต

นนคอ x→∞ กตอเมอ x→+∞ และ x→−∞ จากตวอยางขางตน เราจะกลาววา ( )lim 1

xf x

→∞=

นยาม 4.1.11 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวนบวก ใด ๆ จะตองม

จานวนจรง ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท






ตวอยาง 4.1.12 จงหาคาของ 5 3

lim3 1x

x

x→∞

+−

วธทา กาหนดให ( ) 5 3

3 1

xf x

x

+=

− ถา 0x ≠ เอา x หารทงเศษและสวนของ f จะไดวา

( )3

5 1 ; 0,

1 33

xf x x x

x

+= ≠ ≠−

จากทฤษฎบท 4.1.31 จะได

3 3

lim 5 lim 5 limx x xx x→∞ →∞ →∞

+ = +

ทฤษฎบท 4.1.31

ถา จะไดวา

(i)

(ii)

(iii)

ทฤษฎบท 4.1.32 ถา และ โดยท และ เปนจานวนจรง

จะไดวา (i)

(ii)

(iii)

(iv) ถา


3

lim 5 5 3 0

5x x→∞

+ = + ⋅

=

และ 1 1

lim 3 lim 3 limx x xx x→∞ →∞ →∞

− = −

3 0

3

= −

=

ดงนน

33 lim 55 5lim =

1 1 33 lim 3

x

x

x

xx

x x

→∞

→∞

→∞

++ = − −

นนคอ 5 3 5

lim3 1 3x

x

x→∞

+=

−

ถาพจารณาดกราฟของฟงกชน ( )1

xf x

x=+

ทกลาวมาแลว โดยสงเกตดคาของ ( )f x เมอ x เขา

ใกลจด 1− จากตารางตอไปน

x 1 0 -0.5 -0.9 -0.99 -0.999 ...

( )f x 1

2

0 -1 -9 -99 -999 ...

x -2 -1.5 -1.1 -1.01 -1.001 -1.0001 ...

( )f x -2 3 11 101 1001 10001 ...

จากตารางขางบน จะพบวา ในขณะท x มคาเขาใกล 1− ทางดานบวก คาของฟงกชน จะลดลงไปเรอย ๆ อยางไมมขอบเขต หรอ

( )f x →−∞ ในขณะท 1x +→−

ในทานองเดยวกน ในตารางทสองจะพบวา ถา x มคาเขาส 1− ทางดานลบ คาของ ( )f x จะเพมขน

เรอย ๆ อยางไมมขอบเขต หรอ

( )f x →+∞ ในขณะท 1x −→−

1 :x +→−

1 :x −→−


ตวอยางท 4.1.13 จงพสจนวา (i) 0

1limx x+→

= +∞ และ

(ii) 0

1limx x−→

= −∞

พสจน (i) กาหนดจานวนจรงบวก N และเลอก 1

Nδ =

นยาม 4.1.14 เราจะกลาววา กตอเมอ ถากาหนดจานวน จะตองมจานวน









ซงทาให สาหรบทก ๆ x ท หรอ


เพราะฉะนน สาหรบทก ๆ x ท 0 x δ< < จะไดวา

1 1

Nx δ> =

จากนยาม 13 จะไดวา 0

1limx x+→

= +∞

(ii) กาหนดจานวนจรงบวก N และเลอก 1

Nδ =

เพราะฉะนน สาหรบทก ๆ x ท 0xδ− < < จะไดวา

1 1

Nx δ< − = −

จากนยาม 16 จะไดวา

0

1limx x−→

= −∞

ทฤษฎบท 4.1.33 ถา n เปนจานวนเตมบวก จะไดวา

(i)

(ii)

ทฤษฎบท 4.1.34 ถา หรอ และ โดยท c เปนจานวน

จรงใด ๆ จะไดวา (i)

(ii) ถา จะไดวา

ถา n เปนจานวนค

ถา n เปนจานวนค


ตวอยางท 4.1.14 กาหนดให ( )( )2

1

5f x

x=

− และ ( ) ( )25g x x= −

จงหา ( ) ( )5

limx

f x g x→

⋅

วธทา จากทฤษฎบท 23 ในกรณท 2n = จะไดวา

( )25

1lim

5x x+→

= +∞−

และ ( )25

1lim

5x x−→

= +∞−

เพราะฉะนน ( )25

1lim

5x x→= +∞

−

และเพราะวา ( ) ( )25 5

lim lim 5 0x x

g x x→ →

= − =

นอกจากนนจะพบวา ( ) ( ) 1f x g x⋅ = สาหรบทก ๆ 5x ≠

เพราะฉะนน ( ) ( )5

lim 1x

f x g x→

⋅ =

ตวอยางท 4.1.15 จงหาคาของ 22

lim4x

x

x+→ −

วธทา ถา 2x > จะไดวา 2

1

2 24

x x

x xx= ⋅+ −−

ให ( ) 122 1

xf x

x

x

= =+ +

และ ( )( )

1 1

2 2g x

x x

−= =− −

จากทฤษฎบท 23 จะไดวา ( )2

limx

g x+→

= −∞

นอกจากนนยงไดวา ( )2

1lim

2xf x

+→=

ดงนน ( ) ( )[ ]22 2lim lim

4x x

xf x g x

x+ +→ →= ⋅

−

( )2

limx

g x+→

=

= −∞


4.2 อนพนธของฟงกชน (Derivative of Function)

การหาอนพนธของฟงกชนมความสาคญมากในวชาแคลคลส ซงถอวาเปนหวใจของวชาน และเปนความรทนาไปสการเกดความรอกหลายสาขา อนพนธมประโยชนกวางขวางในการพสจนทฤษฎบทตางๆ อกทงสามารถประยกตใชในเรองความชน ความเรว ความเรง การหาคาสงสด การหาคาตาสด หรอในเรองเกยวกบเศรษฐกจ

การหาอนพนธของฟงกชนจาแนกฟงกชนออกเปน 2 ลกษณะ คอ การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต และการหาอนพนธของฟงกชนอดศย ในทนจะกลาวถงการหาอนพนธของฟงกชนพชคณตอยางละเอยดเพอนาไปใชตอยอดในเนอหาตอไป

4.2.1 การหาอนพนธของฟงกชนพชคณต (Differentiation of Algebraic function)

ฟงกชนพชคณต คอ ฟงกชนทคาของฟงกชน เขยนอยในรปสญลกษณพชคณต ซงประกอบดวย คาคงตว ตวแปร และเครองหมาย บวก ลบ คณ หาร รากทสอง กาลง เปนตน เชน

3 2( ) 2 3 12f x x x= + + , 3 25 2 1y x x= + + , ( )( )( ) 2 1f x x x= + − เปนตน

กอนทจะศกษานยามและทฤษฎเกยวกบการหาอนพนธของฟงกชน เรามาทาความรจกอนพนธของฟงกชนในความหมายทางเรขาคณตเสยกอน ถากาหนดฟงกชน ( )y f x= และใหจด ( , )P x y เปนจดบนกราฟของฟงกชนดงกลาว และสมมตใหวา ถา x เปลยนเปน x x+△ แลวคา y จะเปลยนเปน y y+△ (สญลกษณ x△ และ y△ เรยกวาสวนเพมเตมของ x (Increment of x ) และสวนเพมเตมของ y

(Increment of y ) ตามลาดบ ซงอาจจะเปนบวกหรอลบกได) และใหจด P′ เปนจดบนกราฟทมพกดเปน

( ),x x y y+ +△ △ ดงรป

จากรป ในทน ( )y y f x x+ = +△ △ และ ( )y f x=

เพราะฉะนน ( ) ( )y f x x f x= + −△ △


ถา 0x≠△ จะได ( ) ( )y f x x f x

x x

+ −=

△ △

△ △

จากรปพบวาอตราสวน y

x

△

△

คอความชนของเสนตรงทผานจด P และ P′ ในขณะท x 0→△ จะ

พบวาจด P′ จะเขาใกลจด P หรอเสนตรง PP′ จะเขาใกลเสนตรง PT ซงเปนเสนสมผสกราฟทจด P

ทฤษฎบทเกยวกบอนพนธของฟงกชน (Theorems on Derivative)

ทฤษฎบทตอไปนจะทาใหเราสามารถคานวณหาอนพนธของฟงกชนพชคณตได

นยาม 4.2.1 ให เปนฟงกชน และถา หา

คาไดและเปนจานวนจรง เราจะเรยกลมตนวา อนพนธของฟงกชน f หรอ อนพนธของ y ตอตวแปร x

(Derivative of with respect to x) และเขยนแทนดวยสญลกษณ หรอ

นนคอ (ถาลมตนหาคาได) ในกรณเชนน เราเรยก f วา

เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x (Differentiable at x)

นยาม 4.2.2 ถาฟงกชน f เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x แลวอนพนธ ความชนของ

เสนสมผสกราฟของ f ทจด

นยาม 4.2.3 ถา f เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x ความชนของกราฟของ f ทจด คอ ความชน

ของเสนสมผสกราฟของ f ทสมผสทจด

นนคอ ความชนของกราฟของ f ทจด

ทฤษฎบท 4.2.1 อนพนธของคาคงตวมคาเทากบศนย


ทฤษฎบท 4.2.2 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ จะไดวา

ทฤษฎบท 4.2.3 ถา เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ c เปนคาคงตวใดๆ จะไดวา

ทฤษฎบท 4.2.4 ถา n เปนจานวนเตมบวก และ c เปนคาคงตวใดๆ เพราะฉะนนฟงกชน จะเปน

ฟงกชนทมอนพนธ สาหรบทกๆ x และ

ทฤษฎบท 4.2.4 ถา f และ g เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ จะไดวา S จะเปน

ฟงกชนทมอนพนธทจด x และ

บทแทรก 4.2.5 ถา โดยท เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x

จะไดวา S จะเปนฟงกชนทมอนพนธทจด x และ

บทแทรก 4.2.6 ถา f เปนฟงกชนโพลโนเมยล โดยท n เปนจานวนเตมบวกหรอศนย และ เปนจานวนใดๆ จะไดวา


ตวอยาง 4.2.1 จงหา dy

dx เมอ 5 3 23 2 3 10y x x x= + − +

วธทา เนองจาก 5 3 23 2 3 10y x x x= + − +

จะไดวา 5 3 23 2 3 10dy d d d d

x x xdx dx dx dx dx= + − +

( ) ( ) ( )4 23 5 2 3 3 2 0dy

x x xdx= + − +

4 215 6 6dy

x x xdx= + −

เพราะฉะนน 4 215 6 6dy

x x xdx= + −

ตวอยาง 4.2.2 กาหนดให ( )( )22 3 1y x x x= − + จงหา dy

dx

วธทา เนองจาก y เปนผลคณของสองฟงกชน จากทฤษฎบทจะไดวา

( ) ( ) ( ) ( )2 22 3 1 3 1 2dy d d

x x x x x xdx dx dx= − + + + −

( )( ) ( )( )22 3 3 1 4 1x x x x= − + + −

( ) ( )2 26 3 12 1x x x x= − + + −

218 2 1x x= − −

ดงนน 218 2 1dy

x xdx= − −

ทฤษฎบท 4.2.7 ถา u และ v เปนฟงกชนทมอนพนธทจด x จะไดวาผลคณ จะเปนฟงกชนทม

อนพนธทจด x และ


ตวอยาง 4.2.3 กาหนดให ( )( )

3 22 1

1

x xy

x

− +=

− จงหา

dy

dx

วธทา เนองจาก y เปนฟงกชนผลหาร จากทฤษฎบท จะไดวา

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

3 2 3 2

2

1 2 1 2 1 1

1

d dx x x x x x

dy dx dxdx x

− − + − − + −=

−

( )( ) ( )( )

[ ]

2 3 2

2

1 3 4 2 1 1

1

x x x x x

x

− − − − +=

−

[ ]

3 2 3 2

2

3 7 4 2 1

1

x x x x x

x

− + − + −=

−

[ ]

3 2

2

2 5 4 1

1

x x x

x

− + −=

−

( ) ( )

[ ]

− −=

−

2

21 2 1

1

x x

x

2 1x= −

ดงนน 2 1dy

xdx= −

ทฤษฎบท 4.2.8 ถา และ เปนฟงกชนทมอนพนธ และถา โดยท

จะไดวา

ทฤษฎบท 4.2.9 ให n เปนจานวนเตมบวก และ โดยท จะไดวา


ตวอยาง 4.2.4 กาหนดให 3 2

2 1 3( )f x

xx x= + + โดยท 0x≠ จงหา ( )f x′

วธทา เนองจาก 3 2

2 1 3( )f x

xx x= + + เปลยนรป จะได

3 2 1( ) 2 3f x x x x− − −= + + จากทฤษฎบท จะไดวา

( )( ) ( )( ) ( )( )3 1 2 1 1 1( ) 2 3 2 3 1f x x x x− − − − − −′ = − + − + −

4 3 2( ) 6 2 3f x x x x− − −′ =− − −

ดงนน 4 3 2

6 2 3( )f x

x x x

−′ = − −

หมายเหต จากกฎลกโซ เราอาจจะกลาววาถา ( )y f u= และ ( )u g x= จะไดวา dy dy du

dx du dx= ⋅

ตวอยาง 4.2.5 กาหนดให 63 2( ) 5 4 1f x x x x = − + − จงหา ( )f x′

วธทา จากทฤษฎบท และโจทยทกาหนดให ในทน ( )6

( )f x u x = และ 3 25 4 1u x x x= − + −

จะไดวา ( ) ( ) ( )5

6f x u x u x ′ ′= ⋅

( )53 2 3 26 5 4 1 5 4 1d

x x x x x xdx

= − + − ⋅ − + −

( ) ( )53 2 26 5 4 1 3 10 4x x x x x= − + − ⋅ − +

ทฤษฎบท 4.2.10 [กฎลกโซ (Chain Rule)] สมมตให f, g และ u เปนฟงกชนโดยท และสมมตให g และ u เปนฟงกชนทมอนพนธ จะไดวา f จะเปนฟงกชนทมอนพนธ และ

หรอ

บทแทรก 4.2.11 ถา โดยท n เปนจานวนเตมจะไดวา


ดงนน ( ) ( ) ( )53 2 26 5 4 1 3 10 4f x x x x x x′ = − + − ⋅ − +

แบบฝกหด

1. กาหนดให ( )2 4

2

xf x

x

−=

− จงพสจนวา ( )

2lim 4x

f x→

=

2. จงหาคาของลมตตอไปน

2.1 ( )1

lim 4 1x

x+→

− 2.3 ( )2

2lim 3 1x

x x→

− +

2.2 3

31

1lim

1x

x

x−→

−

− 2.4

( )2 2

limh

x h x

h→∞

− −

3. จงพสจนวา 2

2 5 1lim

6 4x

x

x→

−=

−

4. จงอาศยทฤษฎบทเกยวกบลมตหาคาของลมตตอไปน

4.1 ( )2

2lim 4 3x

x x→

+ − 4.3 2

22

2lim

4x

x x

x→

+ −

−

4.2 2

2 5lim

3 2x

x

x→

+−

4.4 5

2

32lim

2x

x

x→

−−

5. จงตรวจสอบดวาฟงกชนทกาหนดใหตอไปนตอเนองทจดทกาหนดใหหรอไม เพราะเหตใด

5.1 ( ) 3 2 ; 1,0f x x x= + = 5.3 ( ) 2 ; 2f x x x= = −

5.2 ( ) ; 0

1 ; 0

x xf x

x x

− ≥=

− < 5.4 ( ) 3 ; 3f x x x= − =

6. จงหาลมตดานเดยวของฟงกชนตอไปน

6.1 1

1lim

1x

x

x+→

−

− 6.3

20

1lim 1x x+→

+

6.2 2

22

4lim

2h

x

x x−→

−

+ − 6.4

1lim 1x

x+→−

7. จงหาลมตของฟงกชนทกาหนดให (ถาม) และวาดกราฟของฟงกชนนนๆ ในกรณทไมมลมต จงหาลมตทางซายและทางขวา (ถาม)


7.1 ( )6 ; 3

; 3

x xf x

x x

− + ≤=

> จงหา ( )

3 lim x

f x→

และ ( )1

limx

f x→

7.2 ( ) ; 0

1 ; 0

x x

g xx

x

<

= >

จงหา ( )0

lim x

g x→

8. จงหาลมตดานเดยวของฟงกชนตอไปน

8.1 2 4

lim3 1x

x

x→∞

++

8.3 2

2

2 1lim

1x

x

x→+∞

−

+

8.2 0

1limx

x

x+→

+ 8.4

2

2

4lim

2x

x

x+→

−−

8.5 2 4

lim2x

x

x→−∞

++

บทที่ 4...

Documents