ชื่อ รหัสนักศึกษา บทที่ 4...

ชื่อ....................................................................................................... รหัสนักศึกษา........................................................

แคลคูลัสส าหรับคร ู1(Calculus for Teacher) สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา หน้า 1

บทท่ี 4 อนุพนัธ์ของฟังกช์นั 4.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิต ิ

ในการหาสูตรของอนุพันธ์ของ sin x และ cos x จะเกี่ยวข้องกับลิมิตของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ที่อยู่ใน

รูปของ 0

sinlimx

x

xและ

0

1 coslimx

x

x

การหาค่าของลิมิตดังกล่าว อาจหาได้จากการพิจารณากราฟ y =sin x และ y = cos x ดังรูป 2.4

y = sin x

y = cos x

รูป 2.4

จะเห็นว่าฟังก์ชัน y = sin x และ y =cos x ต่อเนื่องที่ x =0 และมี 0

limsin 0x

x

และ

0limcos 1x

x

เมื่อพิจารณา sin xy

x จะพบว่าฟังก์ชันไม่นิยามที่ x = 0



แต่เมื่อพิจารณาแสดงค่า y ส าหรับ x ใกล้ๆ 0 และกราฟของ y ตามล าดับ ดังรูป 2.5

x -0.02 -0.005 -0.002 0.002 0.005 0.02 sin x

x 0.999933 0.999996 0.999999 0.999999 0.999996 0.999933

รูป 2.5

จะพบว่า เมื่อ 0x แล้ว sin1

x

x นั่นคือ

0

sinlim 1x

x

x

เช่นเดียวกัน ส าหรับฟังก์ชัน 1 cos xy

x

ซึ่งไม่นิยามที ่x = 0 เช่นเดียวกัน แต่เมื่อพิจารณาตารางแสดงค่า

y ส าหรับ x ใกล้ๆ 0 และกราฟของ y ตามล าดับดังรูป 2.6

x -0.5 -0.1 -0.01 0.001 0.01 0.5 1 cos x

x

-0.24483 -0.04996 -0.00500 0.00500 0.04996 0.24483

รูป 2.6

จะพบว่า เมื่อ 0x แล้ว 1 cos0

x

x

นั่นคือ

0

1 coslim 0x

x

x



สูตรอนุพันธ์ของ sin x

ส าหรับสูตรอนุพันธ์ของ sin x ใช้สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติมดังนี้

sin sin cos cos sinA B A B A B

จากนิยามจะได้ sind

xdx

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้นจะได้ sin cosd

x xdx



สูตรอนพุันธ์ของ cos x

ส าหรับสูตรอนุพันธ์ของ cos x ใช้สูตรตรีโกณมิติเพิ่มเติมดังน้ี

cos cos cos sin sinA B A B A B

จากนิยามจะได้ cosd

xdx

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้นจะได้ cos sind

x xdx



สูตรอนุพันธ์ของ tan x

โดยใช้ความสัมพันธ์ sintan

cos

xx

x และใช้สูตรอนุพันธ์ผลหารจะได้

tand

xdx

= sin

cos

d x

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น tand

xdx

= 2sec x



สูตรอนุพันธ์ของ cot x

โดยใช้ความสัมพันธ์ coscot

sin

xx


cotd

xdx

= cos

sin

d x

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น cotd

xdx

= 2cosec x



สูตรอนุพันธ์ของ sec x

โดยใช้ความสัมพันธ์ 1sec

cosx


secd

xdx

= 1

cos

d

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น secd

xdx

= sec tanx x



สูตรอนุพันธ์ของ cosec x

โดยใช้ความสัมพันธ์ 1cosec

sinx


cosecd

xdx

= 1

sin

d

dx x

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

= ………………………………………………..…………………………………………

ดังนั้น cosecd

xdx

= cosec cotx x



สรุปสูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชนัตรีโกณมิตไิด้ดังนี้

1. sin cosd

x xdx

2. cos sind

x xdx

3. 2tan secd

x xdx

4. 2cot cosecd

x xdx

5. sec sec tand

x x xdx

6. cosec cosec cotd

x x xdx

ตัวอย่างที่ 16 ก าหนด 4( ) sinf x x x จงหา / ( )f x

ตัวอย่างที่ 17 ก าหนด sin

1 cos

xy

x

จงหา dy

dx



ตัวอย่างที่ 18 ก าหนด ( ) sec tanf x x x จงหา / ( )f x

ตัวอย่างที่ 19 ก าหนด ( ) secy x x จงหา / / ( )4

y



แบบฝึกหัดที่ 2.3

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

1. cos

1 cot

ecxy

x

2. 20cosy x

3. 3sin 5y x x

4. 2cos 3 2y x x

5. 3tan 1y x

6. cot5y x

7. 3 sec2y x x

8. sin 1 cosy x

9. 2 sin 2 cos2 2siny x x x x

10. 2cosy x

11. tan 3y x

จงหา dy

dxของฟังก์ชันตรีโกณมิติต่อไปนี้

12. 2 25 siny y x

13. tan2

x y

14. sin( )y x y

15. cos sin( )x y x y



2.10 อนุพันธ์ของฟังก์ชนัเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม มีนิยามดังน้ี

นิยาม 2.10.1 ฟังก์ชันลอการิทึม คือ ฟังก์ชันในรูป

, log , 0, 1a

f x y R R y x a a

ซึ่งเป็นฟังก์ชันอินเวอร์สกับฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล

นิยาม 2.10.2 ฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียล คือ ฟังก์ชันในรูป

, , 0, 1xg x y R R y a a a

ซึ่งเป็นฟังก์ชันเอกซ์โปเนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม มีความสัมพันธ์กันดังนี้

loga

y x ก็ต่อเมื่อ yx a เมื่อ x >0 และ 0, 1a a

และกราฟของ f และ g มีสมมาตรรอบเส้นตรง y=x ดังรูป 2.7 (กรณ ี 0a )

รูป 2.7



สมบัติของฟังก์ชันลอการิทมึ

1. log 1 0a 2. log 1

aa

3. log log loga a aMN M N 4. log log log

a a a

MM N

n

5. log logp

a aM p M 6. 1

log logp aaM M

p

7. loglog

log

b

a

b

MM

a 8. 1

loglog

a

M

Ma

9. log x

aa x 10. loga x

a x

จ านวน e และลอการิทึมธรรมชาต ิ

ลอการิทึมทีส่ าคัญที่สุด ได้แก ่ลอการิทึมสามัญ (Commmon logarithms) ซึ่งมีฐาน 10 และลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms) ซึ่งมีฐานเป็นจ านวนตรรกยะค่าหน่ึงแทนด้วย e โดยที่

2.71828...e

จ านวน e นี้ถกูค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสเซอร์แลนด์ ชื่อ เลโอนาร์ด ออยเลอร์ (Leonard Euler) ซึ่งได้แสดงให้เห็นว่า y =e คือ เส้นก ากับตามแนวนอน (Horizontal asymptote) ของกราฟของ

สมการ 11

x

yx

ดังรูป 2.8



รูป 2.8

ซึ่งจะเขียนจ านวน e ในรูปลิมิต ได้เป็น 1lim 1

x

xe

x

หรือเขียนอีกในรูปแบบหนึ่งได้เป็น 1

0lim 1 x

xe x

การค านวณค่า e โดย 1lim 1

x

xe

x

แสดงได้ดังตารางดังนี้

x 1 10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 1

xx

2 101 1.01 1.001 1.0001 1.00001 1.000001

1x

xx

2.000000 2.593742 2.704814 2.716924 2.718146 2.718268 2.718280

ลอการิทึมสามญั นิยมเขียนในรูป log x แทน 10log x

ลอการิทึมธรรมชาติ นิยมเขียนในรูป ln x (อ่านว่า ell en ของ x ) แทน logex

กราฟของ y = ln x มีลักษณะดังรูป 2.9

x 0.25 0.50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y -1.39 -0.69 0 0.69 1.10 1.39 1.61 1.79 1.95 2.0/8 2.20



รูป 2.9

ค่าของ ln x ส าหรับ x บางค่าและสมบัตบิางประการที่ส าคัญดังนี ้

1. ln1 0 2. ln 1e

3. 1ln 1

e 4. ln xe x

5. ln xe x 6. ln ln lnab a b

7. ln ln lna

a bb 8. ln lnca c a

อนุพันธ์ของฟงัก์ชันลอการิทึม

ก าหนดให้ ( ) loga

y f x x

จากนิยามของอนุพันธ์ 0

( ) ( )limx

dy f x x f x

dx x

จะได้ loga

dyx

dx = ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

ดังนั้น loga

dyx

dx = 1

logae

x

และถ้าให้ ( ) log lna

y f x x x

จะได้ loga

dyx

dx = = ………………………………………



หรือ ………………………………………………………………………

ถ้า v เป็นฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของ x แล้ว และอาศัยกฎลูกโซ่จะได้สูตรทัว่ไปส าหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึมได้ดังนี ้

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

แบบฝึกหัดที่ 2.4

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

1. 2log 4 3a

y x

2. 2

3log

1

xy

x

3. 23 logy x

4. 3

ln 2 1y x

5. 3ln 2 1y x

6. 3 2ln 2 3 1y x x

7. 2 2 21 ln 1y x x

8. ln sin 4y x

loga

dyu

dx = 1

loga

due

u dx

lndy

udx

= 1 du

u dx




9. 2

2

1ln

1

xy

x

10. sin ln cos lny x x x

11. ln ln3y x

12. ln sec tany

13. sin ln cosy x


14. 2ln(4 ) 2y x x x

15. 1 sinln

1 sin

xy

x

16. 1 ln 1 1y x x

ชื่อ รหัสนักศึกษา บทที่ 4...

Documents