สอบ 60 -...
TRANSCRIPT
สอบป 60
O-NET (ก.พ. 60) 13
เฉลย 1. 3 9. 5 17. 5 25. 4 33. 60 2. 2 10. 4 18. 5 26. 3 34. 4089 3. 1 11. 3 19. 1 27. 1 35. 275 4. 3 12. 3 20. 3 28. 2 36. 15 5. 2 13. 2 21. 5 29. 5 37. 11 6. 4 14. 4 22. 4 30. 1 38. 140 7. 3 15. 2 23. 1 31. 5 39. 19 8. 5 16. 4 24. 2 32. 1 40. 0.60 แนวคด
1. ถาจ านวนจรง 𝑥 แทนดวยจดบนเสนจ านวนจรง ดงรป
แลวขอใดถก 1. |𝑥| < 2 2. |−𝑥| < 2 3. |𝑥 − 1| < 4
4. |𝑥 + 2| > 1 5. |𝑥 + 2| = 𝑥 + 2
ตอบ 3
จากรป จะเหนวา 𝑥 มคาประมาณ −2.5 → ลองแทน 𝑥 ในแตละตวเลอกดวย −2.5 แลวดวาขอไหนเปนจรง 1. 2. 3. 4. 5.
มขอ 3. เทานนทเปนจรง → ตอบขอ 3.
2. จ านวนจรงบวก 𝑎 ทท าให 𝑎−12⁄ ∙ 𝑎3
2⁄ + 16−12⁄ ∙ 271 3⁄
5(12)
−3 + 2(1
2)0 = 1
2 มคาเทาใด
1. 92 2. 81
4 3. 165
4 4. 20 5. 40
ตอบ 2
–3 –2 –1 0 1 2 3
𝑥
|−2.5| < 2 2.5 < 2 ³
|−(−2.5)| < 2 | 2.5 | < 2 2.5 < 2 ³
|−2.5 − 1| < 4 | −3.5 | < 4 3.5 < 4 9
|−2.5 + 2| > 1 | −0.5 | > 1 0.5 > 1 ³
|−2.5 + 2| = −2.5 + 2 | −0.5 | = −0.5 0.5 = −0.5 ³
𝑎−12⁄ ∙ 𝑎3
2⁄ + 16−12⁄ ∙ 271 3⁄
5(12)
−3 + 2(1
2)0 = 1
2
𝑎−12 + 32 + 1
√16 ∙ √273
5(2)3 + 2(1) = 12
𝑎 22 + 34
42 = 1
2
𝑎 + 34 = 21
𝑎 = 21 − 34 = 84−3
4 = 81
4
math
14 O-NET (ก.พ. 60)
3. นพจน √25√625𝑥6𝑦4 เทากบขอใด 1. 25 |𝑥𝑦| √|𝑥| 2. 25 𝑥𝑦 √|𝑥| 3. 25 𝑥𝑦 √𝑥
4. 125 𝑥 |𝑦| √𝑥 5. 125 |𝑥| 𝑦 √|𝑥|
ตอบ 1
√25√625𝑥6𝑦4 = √25√625√𝑥6√𝑦4
= √25 (25) |𝑥3| 𝑦2 = √25(25) √|𝑥3| √𝑦2 = 25 |𝑥|√|𝑥| |𝑦| = 25 |𝑥𝑦| √|𝑥| 4. นพจน √16𝑥43 + √54𝑥43 − √−128𝑥43 เทากบขอใด 1. 𝑥(2𝑥)1
3⁄ 2. 3𝑥(2𝑥)13⁄ 3. 9𝑥(2𝑥)1
3⁄
4. 10𝑥43⁄ 5. 18𝑥4
3⁄
ตอบ 3
√16𝑥43 + √54𝑥43 − √−128𝑥43 = √24𝑥43 + √2133𝑥43 − √−27𝑥43 = 2𝑥 √2𝑥3 + 3𝑥 √2𝑥3 + 22𝑥 √2𝑥3 = (2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 ) √2𝑥3 = 9𝑥 (2𝑥)1
3⁄
5. ถา 𝑎 = 1 + √5 แลว 𝑎5
3⁄ − 𝑎−1 3⁄
𝑎2
3⁄ + 𝑎−13⁄ มคาเทาใด
1. 1 − √5 2. √5 3. 1 + √5
4. 2 + √5 5. 3 + √5
ตอบ 2
จดรปกอน แลวคอยแทน 𝑎 = 1 + √5 ทหลง สงเกตวา 5
3 และ 2
3 ขาดอก 1
3 กจะกลายเปนจ านวนเตมได → คณทงเศษและสวนดวย 𝑎
13
𝑥3 สามารถเปนลบได → ตองใสคาสมบรณ
𝑦 สามารถเปนลบได → ตองใสคาสมบรณ
สามตวใน √ 3 ออกมาเปน หนงตวหนารท ดงตวรวม √2𝑥3
(𝑎5
3⁄ − 𝑎−13⁄ )(𝑎
13⁄ )
(𝑎2
3⁄ + 𝑎−13⁄ )(𝑎
13⁄ )
= 𝑎6
3⁄ − 𝑎0
𝑎3
3⁄ + 𝑎0
= 𝑎2 − 1
𝑎 + 1
= (𝑎+1)(𝑎−1)𝑎+1
= 𝑎 − 1 = 1 + √5 − 1 = √5
แทน 𝑎 = 1 + √5
O-NET (ก.พ. 60) 15
6. ส าหรบจ านวนจรง 𝑥, 𝑦 และ 𝑧 ใดๆ ขอใดตอไปนเปนจรง 1. (𝑥𝑛)1 𝑛⁄ = 𝑥 ทกจ านวนเตมบวก 𝑛 2. √𝑥 + 𝑦 = √𝑥 + √𝑦
3. ถา 𝑥 < 𝑦 แลว 𝑥2 < 𝑦2 4. ถา 𝑥 < 𝑦 และ 𝑧 < 0 แลว 𝑥𝑧 > 𝑦
𝑧
5. 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥𝑦 ตอบ 4
1. ถา 𝑛 เปนค ฝงซายทมการยกก าลงค จะเปนบวกเสมอ แตฝงซายเปนลบได
เชน ถา 𝑥 = −1 และ 𝑛 = 2 จะได
2. รทกระจายในการบวกลบไมได เชนถา 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 จะได
3. การคณ หรอยกก าลง อสมการ จะตองระวงจ านวนลบ เพราะจะท าใหอสมการกลบเครองหมายได เชน ถา −1 < 0 แตถายกก าลงสองทงสองขางจะได 4. 𝑧 เปนลบ → ถา ÷ 𝑧 ตลอด ตองกลบเครองหมาย จาก 𝑥 < 𝑦 จะเปน 𝑥
𝑧 > 𝑦
𝑧 9
5. 7. มลนธหนงจดสรรเงนจ านวนไมเกน 100,000 บาท เปนทนการศกษาส าหรบนกเรยน ดงน ทนส าหรบนกเรยนมธยมตน ทนละ 4,000 บาท
ทนส าหรบนกเรยนมธยมปลาย ทนละ 6,000 บาท ถามลนธก าหนดให จ านวนทนส าหรบนกเรยนมธยมตน เปนสองเทาของจ านวนทนส าหรบนกเรยนมธยมปลาย
แลวจ านวนทนรวมทงหมดมไดมากทสดกทน 1. 15 ทน 2. 18 ทน 3. 21 ทน 4. 24 ทน 5. 27 ทน ตอบ 3
จาก ม.ตน ไดจ านวนทนเปนสองเทาของ ม.ปลาย → ถาให ม.ปลาย ได 𝑥 ทน แลว ม.ตน จะได 2𝑥 ทน ม.ปลาย ไดทนละ 6,000 บาท → 𝑥 ทน คดเปนเงน 6000𝑥 บาท
ม.ตน ไดทนละ 4,000 บาท → 2𝑥 ทน คดเปนเงน 4000(2𝑥) บาท แตมเงนทนไมเกน 100,000 บาท ดงนน
แต 𝑥 คอจ านวนทนของ ม.ปลาย ตองเปนจ านวนตม → 𝑥 มากสดคอ 7 นนคอ ม.ปลาย ได 7 ทน และ ม.ตน ได 2𝑥 = 2(7) = 14 ทน → รวม 7 + 14 = 21 ทน
((−1)2)12⁄ = −1
( 1 )12⁄ = −1
1 = −1 ±
√1 + 1 = √1 + √1 √2 = 1 + 1 √2 = 1 ±
(−1)2 < 02 1 < 0 ±
𝑥2 + 𝑦2 ≤ 2𝑥𝑦 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 ≤ 0 (𝑥 − 𝑦)2 ≤ 0 ±
ทถกตองเปน ≥ (เพราะ ผลก าลงสอง ≥ 0)
6000𝑥 + 4000(2𝑥) ≤ 100000 3𝑥 + 4𝑥 ≤ 50 7𝑥 ≤ 50 𝑥 ≤ 50
7 = 7 1
7
16 O-NET (ก.พ. 60)
8. ความยาวของเสนรอบรปสเหลยมคางหม ABCD ดงแสดงในรป ยาวกหนวย 1. 18 + 10√3 หนวย
2. 18 + 10(√2 + √3) หนวย
3. 26 + 10√3 หนวย
4. 26 + 10√2 หนวย
5. 26 + 10(√2 + √3) หนวย ตอบ 5
ลาก DE ⊥ AB จะได EF = DC = 8
และเหลอ AE = 18 − 8 = 10 ดงรป
จะเหนวา ∆AED เปน ∆ มมฉาก ทมมมหนง = 45°
ดงนน มมทเหลอ = 45° ท าให ∆AED เปน ∆ หนาจว จะได ED = EA = 10
พทากอรส จะได AD
และจะได FC = ED = 10 → จะใชอตราสวนตรโกณใน ∆FBC เพอหาดานทเหลอ
จะไดความยาวรอบรป = AE + EF + FB + BC + CD + DA
= 10 + 8 + 10√3
+ 20√3
+ 8 + 10√2
= 26 + 30√3
+ 10√2
= 26 + 30√3
∙ √3√3
+ 10√2
= 26 + 30√33
+ 10√2 = 26 + 10√3 + 10√2 = 26 + 10(√3 + √2) 9. เสอดาวตวหนงหมอบอยบนพนดน หางโคนตนไม (ในระดบเดยวกน) 32 ฟต ถาเสอดาวมองดนกทเกาะอยบนยอด
ไมเปนมมเงย 𝐴° แลวตนไมสงกฟต (ก าหนดให sin 𝐴° = 0.6 และ cos 𝐴° = 0.8) 1. 8 ฟต 2. 16 ฟต 3. 18 ฟต 4. 21 ฟต 5. 24 ฟต ตอบ 5
จากโจทย จะวาดไดดงรป
ถาใช 𝐴 เปนมมอางอง จะได ตนไม คอ “ขาม” และ 32 คอ “ชด” → ตองใช tan
จะได tan 𝐴° = ขามชด = ตนไม32
34 = ตนไม
32
24 = ตนไม
45° 60° 18
8
A B
C D
45° 60° 10
8
A B
C D
E F 8
= √102 + 102 = √102(1 + 1) = 10√2
tan 60° = ขามชด = FCFB
√3 = 10FB
FB = 10√3
sin 60° = ขามฉาก = FCBC
√32
= 10BC
BC = 20√3
โจทยให sin 𝐴° = 0.6 และ cos 𝐴° = 0.8
ดงนน tan 𝐴° = sin 𝐴°cos 𝐴°
= 0.60.8
= 34 เสอดาว
ตนไม
32
นก
𝐴°
O-NET (ก.พ. 60) 17
10. สทศนยนมองจากหนาตางหองพกในตก A ไปยงตก B เขามองยอดตก B เปนมมเงย 45° และมองฐานตก B เปนมมกม 30° ถาหนาตางหองพกอยสงจากพนดน 20 เมตร แลวตก B สงกเมตร
1. 20√3 เมตร 2. 20 (1 + 1√3
) เมตร 3. 20(1 + √2) เมตร 4. 20(1 + √3) เมตร 5. 60 เมตร ตอบ 4
จากรป จะได FE = CD = 20 → ใชอตราสวนตรโกณใน ∆CEF เพอหา CF ได ∆CFB เปน ∆ มมฉาก ทมมมหนง = 45° ดงนน มมทเหลอ = 45° ท าให ∆CFB
เปน ∆ หนาจว → จะได BF = CF = 20√3
ดงนน ตก B สง = BF + FE = 20√3 + 20 = 20(√3 + 1) 11. ก าหนดให 𝐴, 𝐵 และ 𝐶 เปนสบเซตทไมเปนเซตวางของเอกภพสมพทธ 𝑈 โดยท 𝐵 ⊂ 𝐶 และ 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅
ขอใดถก
1. 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐶 2. (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = ∅ 3. (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐵
4. 𝐴 − 𝐵 = 𝐶 − 𝐵 5. 𝐵 ∪ 𝐶 ⊄ 𝐴′
ตอบ 3
จาก 𝐵 ⊂ 𝐶 และ 𝐴 ∩ 𝐶 = ∅ จะวาดแผนภาพไดดงรป 1. 2. 3. 4. 5.
45°
20 ม. 30°
A
B
tan 30° = ขามชด = EFCF
1√3
= 20CF
CF = 20√3 45°
20 ม. 30°
A
B
C
D
A
E
F 20
𝐴 𝐵 𝐶 𝒰
ก าหนด “สมาชกตวแทน” ใหแตละสวนจะได
𝐴 𝐵 𝐶 𝒰
1 2 3 4
𝒰 = { 1, 2, 3, 4} 𝐴 = { 3 } 𝐵 = { 1 } 𝐶 = { 1, 2 }
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐶 {3} ∩ {1} = {1} ∩ {1, 2} ∅ = {1} ±
(𝐴 ∩ 𝐵) ∪ 𝐶 = ∅ ({3} ∩ {1}) ∪ {1, 2} = ∅ ∅ ∪ {1, 2} = ∅ {1, 2} = ∅ ±
(𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐵 ({3} ∪ {1}) ∩ {1, 2} = {1} {1, 3} ∩ {1, 2} = {1} {1} = {1} 9
𝐴 − 𝐵 = 𝐶 − 𝐵 {3} − {1} = {1, 2} − {1} {3} = {2} ±
𝐵 ∪ 𝐶 ⊄ 𝐴′ {1} ∪ {1, 2} ⊄ {3}′ {1, 2} ⊄ {1, 2, 4} ±
18 O-NET (ก.พ. 60)
12. ก าหนดขอความ 2 ขอความ ดงน 1) นกเรยนชน ม.6 ทกคนวายน าเปน
2) คนทวายน าเปน บางคนกขจกรยานเปน บางคนกขจกรยานไมเปน ถาให 𝑈 แทนเซตของคน
𝐴 แทนเซตของนกเรยนชน ม.6
𝐵 แทนเซตของคนทขจกรยานเปน
𝑆 แทนเซตของคนทวายน าเปน แลวทงสองขอความทก าหนดสอดคลองตามแผนภาพเวนน – ออยเลอร ในขอใดตอไปน 1. 2. 3. 4. 5. ตอบ 3
วาดเหตแตละอนไดดงน 1) นกเรยนชน ม.6 (𝐴) ทกคนวายน าเปน (𝑆) 2) คนทวายน าเปน (𝑆) บางคนกขจกรยานเปน (𝐵)
บางคนกขจกรยานไมเปน จะเหนวา 1) กบ 2) รวมกนไดหลายแบบ (𝐵 อาจซอนทบกบ 𝐴 แคไหนกได) ซงถา 𝐵 ซอนทบกบ 𝐴 บางสวน จะได 13. ก าหนดให 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 และ 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| ขอใดถก 1. 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 และ 𝑅𝑓 ⊂ 𝑅𝑔
2. 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = (−∞, ∞) และ 𝑅𝑓 ∩ 𝑅𝑔 = [0, 4]
3. กราฟของ 𝑔 ไมตดแกน 𝑋
4. กราฟของ 𝑓 ตดแกน 𝑋 เพยงจดเดยว 5. กราฟของ 𝑓 ตดกบกราฟของ 𝑔 เพยงจดเดยว ตอบ 2
จะวาดกราฟของ 𝑓 และ 𝑔 เพอน ามาใชวเคราะห
𝑆 𝐴 𝐵 𝑈
𝑆
𝐴 𝐵 𝑈 𝑈 𝑆
𝐴
𝐵
𝑈 𝑆 𝐴
𝐵 𝑈
𝑆 𝐴 𝐵
𝑆
𝐴 𝑆 𝐵
𝑆
𝐴
𝐵
O-NET (ก.พ. 60) 19
จาก 𝑓(𝑥) จดตดแกน X (แทน 𝑦 = 0) : เทยบกบรป 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)2 + 𝑘
จะได 𝑎 = −1 เปนลบ → กราฟคว า
และ จดยอด (ℎ, 𝑘) = (0, 4) และ 𝑔(𝑥) = |𝑥 + 2| จะเปนกราฟตวว
ทมจดหกอยท (−2, 0) ดงรป 1. จะได 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 = ℝ
จะเหนวา 𝑅𝑓 = (−∞, 4) มจ านวนลบดวย แต 𝑅𝑔 = [2, ∞) ไมมจ านวนลบ ดงนน 𝑅𝑓 ⊄ 𝑅𝑔 → 1. ผด 2. จาก 𝐷𝑓 = 𝐷𝑔 = ℝ จะได 𝐷𝑓 ∩ 𝐷𝑔 = ℝ = (−∞, ∞)
และ 𝑅𝑓 ∩ 𝑅𝑔 = (−∞, 4] ∩ [0, ∞) = [0, 4] → 2. ถก 3. จากรปกราฟ จะเหนวา 𝑔 ตดแกน X ท (−2, 0) → 3. ผด 4. จากรปกราฟ จะเหนวา 𝑓 ตดแกน X ท (−2, 0) และ (2, 0) สองจด → 4. ผด
5. ซอนกราฟของ 𝑓 และ 𝑔 ลงบนแกนเดยวกน จะเหนวา 𝑓 และ 𝑔 ตดกน 2 จด → 5. ผด 14. บรเวณทแรเงา (ในรป) เปนกราฟของความสมพนธในขอใด
1. { (𝑥, 𝑦) | 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 , 𝑥 − 1 < 𝑦 < 1 − 𝑥 }
2. { (𝑥, 𝑦) | 1 ≤ 𝑥 ≤ 3 , 𝑥 − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1 − 𝑥 }
3. { (𝑥, 𝑦) | 1 < 𝑥 < 3 , 1 − 𝑥 < 𝑦 ≤ 𝑥 − 1 }
4. { (𝑥, 𝑦) | 1 < 𝑥 ≤ 3 , 1 − 𝑥 ≤ 𝑦 < 𝑥 − 1 }
5. { (𝑥, 𝑦) | 1 < 𝑥 ≤ 3 , 1 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 − 1 } ตอบ 4
𝑥 − 𝑦 = 1 เปนเสนประ → ตองเปน > หรอ < (แบบไมมเทากบ) ลองแทนจดในบรเวณทแรเงา เชน (2, 0) เพอเลอกวาเปน > หรอ <
ตองเปน > ดงนน จะไดความสมพนธคอ 𝑥 − 𝑦 > 1
𝑥 + 𝑦 = 1 เปนเสนทบ → ตองเปน ≥ หรอ ≤ (แบบมเทากบ) ลองแทนจดในบรเวณทแรเงา เชน (2, 0) เพอเลอกวาเปน ≥ หรอ ≤
ตองเปน ≥ ดงนน จะไดความสมพนธคอ 𝑥 + 𝑦 ≥ 1 รวมเงอนไขทงสอง จะได 𝑥 − 1 > 𝑦 ≥ 1 − 𝑥 ซงพลกไดเปน 1 − 𝑥 ≤ 𝑦 < 𝑥 − 1 → ตรงกบขอ 4.
0 1 2 3
𝑦
𝑥
𝑥 − 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥2 0 = 4 − 𝑥2 𝑥2 = 4 𝑥 = ±2
→ ตดแกน X ท (−2, 0) และ (2, 0)
= 4 − 𝑥2 = −𝑥2 + 4 = −(𝑥 − 0)2 + 4
−2 2
𝑓 4
𝐷𝑓 = ℝ 𝑅𝑓 = (−∞, 4]
𝐷𝑔 = ℝ 𝑅𝑔 = [2, ∞)
𝑔
−2
𝑥 − 𝑦 _?_ 1 2 − 0 _?_ 1 2 > 1
𝑥 − 1 > 𝑦
𝑥 + 𝑦 _?_ 1 2 + 0 _?_ 1 2 ≥ 1
𝑦 ≥ 1 − 𝑥
20 O-NET (ก.พ. 60)
และเนองจากบรเวณทแรเงา อยในชวง 𝑥 = 1 ถง 𝑥 = 3 จงตองมเงอนไขคอ 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
แตท 𝑥 = 1 ไมมกราฟ (เพราะ 𝑥 − 𝑦 = 1 เปนเสนประ) จงใชเงอนไข 1 < 𝑥 ≤ 3 แทนได 15. ก าหนดล าดบจ ากด 100 พจน เปนดงน 1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , … , 𝑎50 , … , 𝑎100
แลวพจนท 50 (𝑎50) มคาเทาใด 1. 1,176 2. 1,226 3. 1,276 4. 1,300 5. 1,301
ตอบ 2
จะเหนวา พจนเพมทละ 1, 2, 3, … จากแบบรปน จะไดวาทางฝง 𝑎48 , 𝑎49 , 𝑎50 จะตอง +47, +48, +49 ดงรป ถาไมสนใจพจนตรงกลาง จะได นนคอ 𝑎50 จะไดจากการเอา 𝑎1 = 1 มา + 1 + 2 + 3 + … + 49 → หาไดจากสตรอนกรมเลขคณต
จะได 𝑎50 = 1 + 1 + 2 + 3 + … + 49 16. นายยอดตงใจปนจกรยานทกวน เปนเวลา 49 วน โดยใหไดระยะทางรวมตอสปดาห เพมขนเปนสองเทาของสปดาห
กอนหนาเสมอ ถาสปดาหแรกเขาปนไดระยะทาง 20 กโลเมตร แลวเขาจะปนไดระยะทางกกโลเมตรในสปดาหสดทาย
1. 280 กโลเมตร 2. 640 กโลเมตร 3. 980 กโลเมตร 4. 1,280 กโลเมตร 5. 2,560 กโลเมตร ตอบ 4
สปดาหแรกได 20 กม. สปดาหถดไปปนเปน 2 เทาของสปดาหกอนหนา → เปนล าดบเรขาคณต 𝑎1 = 20 , 𝑟 = 2
49 วน = 497
= 7 สปดาห → สปดาหสดทายปนได = 𝑎7
แทน 𝑛 = 7 , 𝑎1 = 20 , 𝑟 = 2 ในสตร ล าดบเรขาคณต 𝑎𝑛 = 𝑎1 𝑟𝑛−1
1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , … , 𝑎48 , 𝑎49 , 𝑎50 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , 𝑎6 , …
+1 +2 +3 +4 +5 +47 +48 +49
1 , 2 , 4 , 7 , 11 , 16 , … , 𝑎48 , 𝑎49 , 𝑎50 𝑎1
+1 +2 +3 +4 +5 +47 +48 +49
= 1 + 492
(1 + 49) = 1 + 49(25) = 1226
𝑆𝑛 = 𝑛2
(𝑎1 + 𝑎𝑛)
𝑎7 = 20(27−1) = 20(64) = 1280
O-NET (ก.พ. 60) 21
17. ก าหนดเอกภพสมพทธคอ เซตของจ านวนนบ ถา 𝐴 = { 1 , 2 , 3 , … , 10 } 𝐵 = { 4 , 8 , 12 , 16 , 20} และ 𝐶 = { 𝑥 | (𝑥 + 1)(𝑥 − 4) = 0 }
แลว ขอใดผด 1. 𝐴 ∩ 𝐶 = 𝐵 ∩ 𝐶 2. 𝐵 ∪ 𝐶 = 𝐵
3. 𝐴 ∩ 𝐵 = { 4, 8 } 4. 𝐵 − 𝐴 = { 12 , 16 , 20 }
5. (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵 = { 8 , 12 , 16 , 20 }
ตอบ 5
แกอสมการเงอนไขใน 𝐶 จะได 𝑥 = −1, 4 แตเอกภพสมพทธคอจ านวนนบ → เหลอ 𝐶 = { 4 }
1. 𝐴 ∩ 𝐶 = { 1, 2, 3, … ,10 } ∩ { 4 } = {4}
𝐵 ∩ 𝐶 = { 4, 8, 12, 16, 20 } ∩ { 4 } = {4} 9 2. 𝐵 ∪ 𝐶 = { 4, 8, 12, 16, 20 } ∩ { 4 }
= { 4, 8, 12, 16, 20 } = 𝐵 9 3. 𝐴 ∩ 𝐵 = { 1, 2, 3, … ,10 } ∩ { 4, 8, 12, 16, 20 }
= { 4, 8 } 9 4. 𝐵 − 𝐴 = { 4, 8, 12, 16, 20 } − { 1, 2, 3, … , 10 }
= { 12, 16, 20 } 9 5. (𝐴 ∩ 𝐶) ∪ 𝐵 = ( { 1, 2, 3, … ,10 } ∩ { 4 } ) ∪ { 4, 8, 12, 16, 20 } = {4} ∪ { 4, 8, 12, 16, 20 } = { 4, 8, 12, 16, 20 } ± 18. ก าหนด “เหต” เปนดงน 1) สมาชกทกคนในชมรมดนตรไทย จะเลนซออได
2) ผทเลนซอดวงไดทกคน จะเลนซออไดดวย
3) นาย ก. เลนซออได และ นาย ข. เลนซอดวงได ขอใดตอไปนเปน “ผล” ทท าใหผลสรปสมเหตสมผล
1. นาย ก. เลนซอดวงได 2. นาย ก. เปนสมาชกชมรมดนตรไทย
3. นาย ข. ไมเปนสมาชกชมรมดนตรไทย 4. นาย ข. เปนสมาชกชมรมดนตรไทย
5. นาย ข. เลนซอดวง และซออได ตอบ 5
ดนตรไทยทกคน เลนซออ ซอดวงทกคน เลนซออ รวมสองรปไดเปน (ยงไมรวา ดนตร กบ ซอดวง สมพนธกนยงไง → จะวาดใหมบางสวนซอนทบกน และบางสวนไมซอนทบกน ไวกอน)
ดนตร
ซออ ซออ
ซอดวง ดนตร
ซออ
ซอดวง
22 O-NET (ก.พ. 60)
โจทยให นาย ก. เลนซออได → แสดงวา นาย ก. อยในวงซออ (วงใหญ) ซงจะเหนวาวาดไดหลายแบบ จะเหนวา ก อาจไมเลนซอดวงกได (สองรปทางซาย) → 1. ผด
ก อาจไมอยชมรมดนตรไทยกได (รปซายสด กบ รปขวาสด) → 2. ผด โจทยให นาย ข. เลนซอดวงได → แสดงวา นาย ข. อยในวงซอดวง (วงเลกทางซาย) ซงจะเหนวาวาดได 2 แบบ
จะเหนวา ข อาจไมอยชมรมดนตรไทยกได (รปขวา) → 3. ผด
ข อาจอยชมรมดนตรไทยกได (รปซาย) → 4. ผด
แตไมวารปไหน ข จะอยในวงซออ (วงใหญ( เสมอ → 5. ถก 19. ถาความยาวของดานของสามเหลยมมมฉาก เปน 𝑥 , 𝑥 + 2 และ 𝑥 + 3 หนวย
ดงรป แลวความยาวของเสนรอบรปสามเหลยม เปนเทาใด 1. 8 + 3√6 หนวย 2. 8 − 3√6 หนวย
3. 1 + √6 หนวย 4. 1 − √6 หนวย
5. 11 + 6√6 หนวย ตอบ 1
จากพทากอรส จะได เทยบกบรปสมการ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 จะได 𝑎 = 1 , 𝑏 = −2 , 𝑐 = −5
ใชสตรค าตอบของสมการ จะได 𝑥 = −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐2𝑎
= −(−2)±√(−2)2−4(1)(−5)2(1)
= 2±√242
= 1 ± √6
แต 𝑥 เปนความยาวดานประกอบมมฉาก จะเปนลบไมได → 1 − √6 ใชไมได จะได 𝑥 = 1 + √6
จะไดความยาวรอบรป
𝑥
𝑥 + 2 𝑥 + 3
ดนตร
ซออ
ซอดวง ดนตร
ซออ
ซอดวง ดนตร
ซออ
ซอดวง ดนตร
ซออ
ซอดวง ก ก ก ก
ดนตร
ซออ
ซอดวง ดนตร
ซออ
ซอดวง ข ข
(𝑥 + 3)2 = 𝑥2 + (𝑥 + 2)2 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 + 𝑥2 + 4𝑥 + 4 0 = 𝑥2 − 2𝑥 − 5
= 𝑥 + 𝑥 + 2 + 𝑥 + 3 = 3𝑥 + 5 = 3(1 + √6) + 5 = 8 + 3√6
O-NET (ก.พ. 60) 23
20. น าลวดยาว 32 เซนตเมตร มาดดท าเปนโครงกลอง รปทรงสเหลยมมมฉากไดพอด โดยมดานขางทงสองดานเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ 𝑥
เซนตเมตร และโครงกลองยาว 𝑦 เซนตเมตร ดงรป
ถา 𝑉 เปนปรมาตรกลอง (ลกบาศกเซนตเมตร) แลวขอใดถก 1. 𝑉 = 2𝑥2(2 − 𝑥) 2. 𝑉 = 2𝑥2(3 − 𝑥) 3. 𝑉 = 2𝑥2(4 − 𝑥)
4. 𝑉 = 4𝑥(2 − 𝑥)2 5. 𝑉 = 4𝑥(3 − 𝑥)2
ตอบ 3
ดานขางกลอง เปน � จตรส ยาวดานละ 𝑥 → ใชลวดท า � จตรส = 4𝑥
แตม � จตรส 2 ดาน (ทางซายและทางขวา) → ใชลวด 2(4𝑥) = 8𝑥
ทเหลอเปนโครงกลอง ยาวดานละ 𝑦 จ านาน 4 เสนดงรป → ใชลวด = 4𝑦
ดงนน ใชลวดทงหมด 8𝑥 + 4y แตมลวด 32 ซ.ม. ดงนน จะได ปรมาตร = กวาง × ยาว × สง 21. จากกราฟขางตน ขอใดผด 1. 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 ทกจ านวนจรง 𝑥
2. 𝑦1 = 𝑦2 กตอเมอ 𝑥 = 0 หรอ 𝑥 = 2
3. 𝑦1 < 𝑦2 กตอเมอ 0 < 𝑥 < 2
4. จดวกกลบของกราฟ 𝑦1 = 2(𝑥 − 1)2 + 1 อยต ากวา
กราฟ 𝑦2 = 3 ในแนวดง 2 หนวย
5. 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 = 0 มค าตอบเปนจ านวนจรงเพยง ค าตอบเดยว ตอบ 5
1. กระจายสมการกราฟของ 𝑦1 จะได
เนองจากทกจดบนกราฟของ 𝑦1 อยดานบนของแกน X ดงนน 𝑦1 > 0
และจาก 𝑦1 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 ดงนน 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 > 0 → 1. ถก 2. จดตดกราฟ เปนจดททงสองกราฟมพกด (𝑥, 𝑦) เทากน
ดงนน ส าหรบ 𝑥 คาหนงๆ จะได 𝑦1 = 𝑦2 ตรงจดตดเทานน ซงจะเหนวากราฟตดกนท 𝑥 = 0 , 2 → 2. ถก 3. 𝑦1 < 𝑦2 ในบรเวณทกราฟของ 𝑦1 อยดานลางของกราฟ 𝑦2 ซงไดแกบรเวณ 0 < 𝑥 < 2 → 3. ถก
4. จากรป จะไดจดวกกลบของ 𝑦1 คอ (1, 1) ซงอยต าลงมาจากเสนตรงของกราฟ 𝑦2 ในแนวดง 2 หนวย → 4. ถก
5. จะเหนวากราฟของ 𝑦1 ไมตดแกน X ดงนน 𝑦1 จะไมมทางเปน 0
และจากขอ 1. เราได 𝑦1 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 ดงนน 2𝑥2 − 4𝑥 + 3 จะไมมทางเปน 0 → 5. ผด
𝑥
𝑥
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦 𝑦
𝑦
𝑥
𝑥
8𝑥 + 4𝑦 = 32 2𝑥 + 𝑦 = 8 𝑦 = 8 − 2𝑥
หาร 4 ตลอด
= (𝑦) (𝑥) (𝑥) = (8 − 2𝑥)(𝑥)(𝑥) = 2(4 − 𝑥)(𝑥)(𝑥) = 2𝑥2(4 − 𝑥)
5
3
1
0 1 2 3 𝑥
𝑦
𝑦2 = 3
𝑦1 = 2(𝑥 − 1)2 + 1
𝑦1 = 2(𝑥 − 1)2 + 1 𝑦1 = 2(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 1 𝑦1 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 3
24 O-NET (ก.พ. 60)
22. จากกราฟ เซตค าตอบของอสมการ 𝑥
2 ≤ 𝑥(4 − 𝑥) คอชวงในขอใด
1. [0, 2]
2. [0, 2.5] 3. [0, 3] 4. [0, 3.5]
5. [0, 4] ตอบ 4
ขอน จะแกอสมการดวยวธปกตกได หรอจะพจารณาจากรปกราฟกได
ถาดจากรปกราฟ จะไดค าตอบของอสมการ 𝑥2 ≤ 𝑥(4 − 𝑥) คอชวง
ของคา 𝑥 ทกราฟ 𝑦 = 𝑥2 อยต ากวากราฟ 𝑦 = 𝑥(4 − 𝑥)
ซงจากรป จะได 𝑥 มคาในชวง ตงแต 0 ถงเกอบๆ 4 (แตไมถง 4) พจารณาตวเลอกทโจทยให จะได ขอ 4. [0, 3.5] ใกลเคยงทสด ซงถาหากแทน 𝑥 = 3.5 ในอสมการ จะได จะไดฝงซาย = ฝงขวาพอด แสดงวากราฟตดกนท 𝑥 = 3.5 จรงๆ → ตอบ 4. 23. ถา 𝑆𝑛 = 𝑛2 − 4𝑛 เปนผลบวกของ 𝑛 พจนแรกของอนกรมเลขคณตทม 𝑎𝑛 เปนพจนท 𝑛 และ 𝑑 เปนผลตางรวม
แลว 𝑑 + 𝑎1𝑎2 เทากบเทาใด 1. 5 2. 9 3. −7 4. −9 5. −58
ตอบ 1
𝑆𝑛 คอผลบวก 𝑛 พจนแรก นนคอ จาก 𝑆𝑛 = 𝑛2 − 4𝑛 แทน 𝑛 = 1 จะได 𝑆1 = 12 − 4(1) = −3 ดงนน 𝑎1 = −3 …(1)
แทน 𝑛 = 2 จะได 𝑆2 = 22 − 4(2) = −4 ดงนน 𝑎1 + 𝑎2 = −4 …(2) และจะได 𝑑 = ผลลบของพจนคทตดกนคไหนกได = 𝑎2 − 𝑎1 = (−1) − (−3) = 2 แทนคาในสงทโจทยถาม จะได 𝑑 + 𝑎1𝑎2 = 2 + (−3)(−1) = 5
0 2 4 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥(4 − 𝑥)
𝑥 = 0 ถง เกอบๆ 4
0 2 4 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥(4 − 𝑥)
𝑥2 ≤ 𝑥 (4 − 𝑥)
3.52
≤ 3.5(4 − 3.5) 1.75 ≤ 3.5( 0.5 ) 1.75 ≤ 1.75
𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ⋮
(2) – (1) : 𝑎2 = −4 − (−3) = −1
O-NET (ก.พ. 60) 25
24. ถาการจดเรยงจ านวนเตมในแถวท 1, 2, 3, … (จากบนลงลาง) เปนดงภาพ แลวผลบวกของจ านวนเตมในแถวท 50 เทากบขอใด 1. 60,025 2. 62,525 3. 65,025
4. 66,225 5. 66,275
ตอบ 2
สงเกตวา แถวท 1 ม 1 จ านวน แถวท 2 ม 2 จ านวน แถวท 3 ม 3 จ านวน …
ดงนน แถวท 50 จะม 50 จ านวน นอกจากน ถาสงเกตแบบรปของ “ตวสดทาย” ในแตละแถว จะเปนดงน ดงนน ตวสดทายของแถวท 49 คอ 1 + 2 + 3 + … + 49 = 49
2(1 + 49) = 1225
ตวสดทายของแถวท 50 คอ 1 + 2 + 3 + … + 50 = 502
(1 + 50) = 1275
ดงนน แถวท 50 จะม 1226 , 1227 , 1228 , … , 1275 (ทงหมด 50 จ านวน) ดงนน ผลบวกของจ านวนในแถวท 50 คอ 50
2(1226 + 1275) = 25(2501) = 62525
25. ในการรกษาผ ปวยรายหนง ตองใหยาครงละ 5 มลลกรม ทงหมด 8 ครง ถา 𝑅𝑛 เปนปรมาณยาทคงอยในรางกาย
กอนการใหยาครงท 𝑛 + 1 โดยท 𝑅𝑛 = 5𝑒−𝑘 + 5𝑒−2𝑘 + ⋯ + 5𝑒−𝑛𝑘 เมอ 𝑘 และ 𝑒 เปนคาคงทบวก
แลวปรมาณยาทคงอยในรางกาย กอนการใหยาครงท 8 เปนเทาใด (มลลกรม) 1. 5𝑒−𝑘(1 + 𝑒−7𝑘) 2. 5𝑒−𝑘(1 + 𝑒−8𝑘) 3. 5𝑒−𝑘 (1−𝑒−6𝑘
1−𝑒−𝑘 )
4. 5𝑒−𝑘 (1−𝑒−7𝑘
1−𝑒−𝑘 ) 5. 5𝑒−𝑘 (1−𝑒−8𝑘
1−𝑒−𝑘 )
ตอบ 4
หาปรมาณยาทคงอยกอนใหยาครงท 8 → เนองจาก 8 = 7 + 1 ดงนน ตองแทน 𝑛 = 7 𝑅𝑛 = 5𝑒−𝑘 + 5𝑒−2𝑘 + 5𝑒−3𝑘 + … + 5𝑒−𝑛𝑘
ใชสตรอนกรมเรขาคณต 𝑆𝑛 = 𝑎1 (1 − 𝑟𝑛
1 − 𝑟) จะได 𝑅𝑛 = (5𝑒−𝑘) (1 − (𝑒−𝑘)
𝑛
1 − 𝑒−𝑘 ) = 5𝑒−𝑘 (1 − 𝑒−𝑛𝑘
1 − 𝑒−𝑘 )
แทน 𝑛 = 7 จะได ค าตอบ = 5𝑒−𝑘 (1 − 𝑒−7𝑘
1 − 𝑒−𝑘 )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋮
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ⋮
= 1 = 1 + 2
= 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 3 + 4
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5
𝑆𝑛 = 𝑛2
(𝑎1 + 𝑎𝑛)
คณ 𝑒−𝑘 คณ 𝑒−𝑘
พจนท 1 พจนท 2 พจนท 3 พจนท 𝑛 อนกรมเรขาคณต 𝑛 พจน โดยม 𝑎1 = 5𝑒−𝑘 และ 𝑟 = 𝑒−𝑘
26 O-NET (ก.พ. 60)
26. ในการสอบวชาภาษาไทยของนกเรยน 5 คน ปรากฏวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของ ไก นอง และ นด เทากบ 65 คะแนน แตหากคดคะแนนสอบของ แอน และ จว รวมกบสามคนแรก จะไดคาเฉลยเลขคณตเทากบ 75
คะแนน ถา แอนไดคะแนนสอบมากกวาจว 25 คะแนน แลว จวไดคะแนนสอบเทาใด 1. 6.92 คะแนน 2. 12.50 คะแนน 3. 77.50 คะแนน
4. 82.50 คะแนน 5. 141.00 คะแนน
ตอบ 3
คาเฉลย ไก นอง นด = 65 ดงนน ไก+นอง+นด3
= 65
คาเฉลย 5 คน = 75 ดงนน ไก+นอง+นด+แอน+จว5
= 75 แอนไดมากกวาจว 25 คะแนน → แอน − จว = 25 …(2) 27. การสอบวชาภาษาองกฤษ แบงเปนสอบยอย 2 ครง และสอบปลายภาคเรยน 1 ครง โดยคดคาเฉลยเลขคณตของ
คะแนนสอบทง 3 ครง แบบถวงน าหนกดวยน าหนก 𝑤1, 𝑤2 และ 𝑤3 ตามล าดบ
ให 𝑃𝑖 = 𝑤𝑖𝑤1+𝑤2+𝑤3
, 𝑖 = 1, 2, 3 𝑃1 = 0.15 , 𝑃2 = 0.25 และ 3
1 ¦i
𝑃𝑖 = 1
ถานกเรยนคนหนงไดคะแนนสอบยอย 74 และ 80 คะแนน คะแนนสอบปลายภาคเรยน 62 คะแนน จากคะแนนเตมแตละครง 100 คะแนน แลวคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบแบบถวงน าหนกของนกเรยนคนนมคาเทาใด
1. 68.3 คะแนน 2. 70.7 คะแนน 3. 72.0 คะแนน
4. 73.7 คะแนน 5. 74.5 คะแนน
ตอบ 1
จาก 3
1 ¦i
𝑃𝑖 = 1 จะได 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 1
จากสตร จะได คาเฉลยเลขคณตแบบถวงน าหนก = ∑ 𝑤𝑖𝑥𝑖
∑ 𝑤𝑖 = 𝑤1(74) + 𝑤2(80) + 𝑤3(62)
𝑤1+𝑤2+𝑤3
= 𝑤1(74)𝑤1+𝑤2+𝑤3
+ 𝑤2(80)𝑤1+𝑤2+𝑤3
+ 𝑤3(62)𝑤1+𝑤2+𝑤3
= 𝑃1(74) + 𝑃2(80) + 𝑃3(62) = (0.15)(74) + (0.25)(80) + (0.6)(62) = 11.1 + 20 + 37.2 = 68.3
ไก + นอง + นด = 195 …(∗)
ไก + นอง + นด + แอน + จว = 375
195 + แอน + จว = 375
แอน + จว = 180 …(1)
จาก (∗)
(1) – (2) : 2 จว = 155
จว = 77.5
0.15 + 0.25 + 𝑃3 = 1 𝑃3 = 0.6
O-NET (ก.พ. 60) 27
28. ขอมลชดหนงเปนจ านวนเตมบวก 4 จ านวน ถาฐานนยมเทากบ 6 มธยฐานเทากบ 5 และพสยเทากบ 4
แลวผลบวกของขอมลชดนมคาเทาใด 1. 15 2. 18 3. 19 4. 20 5. 24
ตอบ 2
ฐานนยม คอขอมลทซ ามากทสด → ฐานนยม = 6 แสดงวาตองมขอมลอยางนอย 2 จ านวน เปน 6
มธยฐานจะแบงขอมลเปน 2 สวนเทาๆกน (เมอเรยงขอมลจากนอยไปมาก) → มธยฐาน = 5 แสดงวา เมอเรยงขอมล
ทง 4 จ านวนจากนอยไปมาก จะมขอมล 2 จ านวนทนอยกวา 5 และขอมลทเหลอ 2 จ านวนจะมากกวา 5
เนองจาก 6 > 5 ดงนน ขอมลทมากกวา 5 จะมครบ 2 จ านวนแลว ดงนน ขอมลทเหลออก 2 จ านวนตองนอยกวา 5
สมมตใหขอมลทง 4 จ านวน เมอเรยงจากนอยไปมาก คอ 𝑎 , 𝑏 , 6 , 6
จากสตร มธยฐานจะอยต าแหนงท 𝑁+12
= 4+12
= 2.5
2.5 คอ ตรงกลางระหวางตวท 2 กบตวท 3 → มธฐาน = 𝑏+62
และจาก พสย = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 จะไดขอมลทง 4 จ านวน คอ 2 , 4 , 6 , 6 → จะไดผลบวก = 2 + 4 + 6 + 6 = 18 29. ขอมลชดหนงมการกระจายแบบสมมาตร ถาชวง (�� − 3𝑠 , �� + 3𝑠) เทากบ (1400, 1580)
โดยท 𝑠 เปนสวนเบยงเบนมาตรฐาน และ �� เปนคาเฉลยเลขคณต
แลวคาเฉลยเลขคณต (��) และ ความแปรปรวน (𝑠2) ของขอมลชดน คอขอใด 1. �� = 1445 และ 𝑠2 = 2025 2. �� = 1445 และ 𝑠2 = 45
3. �� = 1490 และ 𝑠2 = 45 4. �� = 1490 และ 𝑠2 = 2025
5. �� = 1490 และ 𝑠2 = 900 ตอบ 5
เทยบชวง (�� − 3𝑠 , �� + 3𝑠) เทากบ (1400, 1580) จะได จะได �� = 1490 และ 𝑠2 = 302 = 900
5 = 𝑏+62
10 = 𝑏 + 6 4 = 𝑏
4 = 6 − 𝑎 𝑎 = 2
�� − 3𝑠 = 1400 …(1) �� + 3𝑠 = 1580 …(2)
(1) + (2) : 2�� = 2980 �� = 1490
แทน �� ใน (2) : 1490 + 3𝑠 = 1580 3𝑠 = 90 𝑠 = 30
28 O-NET (ก.พ. 60)
30. ถาขอมลของระยะเวลาของการใหบรการลกคา 20 คน ของธนาคารแหงหนงเปนดงน แลว คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม และ การกระจาย ของขอมล ของระยะเวลาการใหบรการ ตรงกบขอใด 1. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 4.3 นาท มธยฐานเทากบ 4 นาท
ฐานนยม เทากบ 3 นาท และ เปนการกระจายแบบเบทางขวา
2. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 4.3 นาท มธยฐานเทากบ 4 นาท
ฐานนยม เทากบ 3 นาท และ เปนการกระจายแบบสมมาตร 3. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 4.3 นาท มธยฐานเทากบ 4 นาท
ฐานนยม เทากบ 3 นาท และ เปนการกระจายแบบเบทางซาย
4. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 4 นาท มธยฐานเทากบ 4 นาท
ฐานนยม เทากบ 4 นาท และ เปนการกระจายแบบสมมาตร 5. คาเฉลยเลขคณต เทากบ 4 นาท มธยฐานเทากบ 4 นาท
ฐานนยม เทากบ 3 นาท และ เปนการกระจายแบบเบทางขวา ตอบ 1
หา �� → ผลรวมขอมล = คาขอมล คณความถ แลวบวกกน ดงนน �� = ผลรวมขอมล
𝑁 = 86
20 = 4.3 → จะเหนวา �� = 4.3 จะตรงกบขอ 1. 2. 3.
ซงทกขอม มธยฐาน = 4 และ ฐานนยม = 3 หมด → ไมตองหากได
ถาจะหา มธยฐาน → มธยฐาน อยต าแหนงท 𝑁+12
= 20+12
= 10.5
→ บวกความถไปเรอยๆ จนกวาจะเกน 10.5
ถาจะหาฐานนยม → ความถสงสด = 8 ในชนแรก ดงนน ฐานนยม = 3
จะเหนวา 3 < 4 < 4.3 ดงนน ฐานนยม < มธยฐาน < �� ซงจะตรงกบการกระจายแบบ เบขวา
ระยะเวลา (นาท) 3 4 5 6 7 8 จ านวนลกคา (คน) 8 5 3 2 1 1
ระยะเวลา (𝑥𝑖) 3 4 5 6 7 8 จ านวนลกคา (𝑓𝑖) 8 5 3 2 1 1
𝑓𝑖𝑥𝑖 24 20 15 12 7 8
→ ผลรวม = 24 + 20 + 15 + 12 + 7 + 8 = 86
ระยะเวลา (𝑥𝑖) 3 4 5 6 7 8 จ านวนลกคา (𝑓𝑖) 8 5 3 2 1 1
ความถสะสม 8 13
เกน 10.5 ในชนท 2 ดงนน มธยฐาน = 4
O-NET (ก.พ. 60) 29
31. ถาโยนเหรยญเทยงตรงเหรยญหนง 4 ครง แลวจ านวนสมาชกของเหตการณทเหรยญจะออก หว 2 ครง และ กอย 2 ครง เทากบเทาใด
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6
ตอบ 5
จ านวนแบบ จะเทากบจ านวนแบบในการเรยง H , H , T , T
ใชสตรเรยงของซ า จะไดจ านวนแบบ = 4!2!2!
= 6 32. หมบานแหงหนงม 35 ครวเรอน จากการส ารวจ พบวา 25 ครวเรอน มรถกระบะ
20 ครวเรอน มจกรยานยนต 15 ครวเรอน มรถกระบะและจกรยานยนต ถาสมมาหนงครวเรอน แลวความนาจะเปนทจะสมไดครวเรอนทไมมรถกระบะและไมมจกรยานยนต เทากบเทาใด
1. 17 2. 2
7 3. 3
7 4. 5
7 5. 6
7
ตอบ 1
15 ครว มรถกระบะและจกรยานยนต → ตรงกลาง = 15 25 ครว มรถกระบะ → วงกระบะ = 25
แตตรงกลาง ไปแลว 15 เหลอซกซาย = 25 − 15 = 10
20 ครว มจกรยานยนต (จยย) → วง จยย = 20
แตตรงกลาง ไปแลว 15 เหลอซกขวา = 20 − 15 = 5 ทงหมด = 35 ครว → เหลอขางนอก = 35 − (10 + 15 + 5) = 5 ดงนน ม 5 ครวเรอน ทไมมรถกระบะและไมมจกรยานยนต → ความนาจะเปน = 5
35 = 1
7
33. ก าหนดสเหลยม ABCD แสดงดงรป โดยมดาน AD ยาว 15√2 หนวย แลวดาน AB ยาวกหนวย ตอบ 60
จะใชอตราสวนตรโกณมตท ∆ADC เพอหา AC แลวโยงเขา ∆ABC เพอหา AB
พจารณา ∆ADC ถาใช DAC เปนมมอางอง จะได AD คอ ชด , AC คอ ฉาก → cos DAC = ชดฉาก = ADAC
45° 15√2
A
D C
B 30°
15 10 5
กระบะ จยย
5
15
กระบะ จยย
15 10 5
กระบะ จยย
cos 45° = 15√2AC
√22
= 15√2AC
AC = 30
30 O-NET (ก.พ. 60)
พจารณา ∆ABC ถาใชมม B เปนมมอางอง จะได AC คอ ขาม , AB คอ ฉาก → sin B = ขามฉาก = ACAB
34. ก าหนดล าดบของจ านวนจรง ดงน 2 − √5 , 4 − √9 , 8 − √13 , 16 − √17 , …
พจนท 12 เทากบเทาใด ตอบ 4089
สงเกตวาตวเลขในล าดบ จะเปนการลบกนของสองจ านวน ตวตง 2 , 4 , 8 , 16 , … จะเปนล าดบเรขาคณต ทเรมดวย 2 และคณ 2 ไปเรอยๆ → 𝑎1 = 2 , 𝑟 = 2
จากสตรล าดบเรขาคณต 𝑎𝑛 = 𝑎1𝑟𝑛−1 แทน 𝑛 = 12 จะได 𝑎12 = (2)(212−1) = 4096
ตวลบ เปนรทของ 5 , 9 , 13 , 17 , … ซงเปนล าดบเลขคณตทเรมดวย 5 และบวก 4 ไปเรอยๆ → 𝑎1 = 5 , 𝑑 = 4 จากสตรล าดบเลขคณต 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑 แทน 𝑛 = 12 จะได 𝑎12 = 5 + (12 − 1)(4) = 49
ดงนน พจนท 12 คอ 4096 − √49 = 4089 35. เสา A สง 100 เซนตเมตร เสา B สง 300 เซนตเมตร และตงอยหางกน 200 เซนตเมตร ถาตองการปกเสาเพม
ระหวางเสา A และ เสา B ในแนวเสนตรง โดยท แกนกลางของเสาแตละตนทอยตดกน อยหางกน 25 เซนตเมตร และล าดบความสงของเสาทกตน (รวมเสา A และ เสา B) เปนล าดบเลขคณต แลวเสาตนทอยตดเสา B สงกเซนตเมตร
ตอบ 275
แบงระยะหาง 200 ซม. เปนชองๆ ชองละ 25 ซม. จะแบงได 200
25 = 8 ชอง → ตองใชเสา 9 ตน
(เพราะตองใชเสาปดหวหรอทายเพมอก 1 ตน) ใหความสงของเสาทง 9 ตน คอ 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , …. , 𝑎9
จากโจทย จะได 𝑎1 = 100 ซม. และ 𝑎9 = 300 ซม. แตจากสตรล าดบเลขคณต 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑑
ถาแทน 𝑛 = 9 จะได 𝑎9 = 𝑎1 + (9 − 1)𝑑 เสาทตดกบ B คอเสาตนรองสดทาย ซงจะสง = 𝑎8 แทน 𝑛 = 8 ในสตรล าดบเลขคณต จะได 𝑎8 = 𝑎1 + (8 − 1)𝑑
sin 30° = 30AB
12 = 30
AB
AB = 60
300 = 100 + 8 𝑑 200 = 8 𝑑 25 = 𝑑
…
25
200
25
100
300 A
B
= 100 + 7 (25) = 275
O-NET (ก.พ. 60) 31
36. หมบานแหงหนงม 60 ครอบครว ทมอาชพ ท านา ท าสวน หรอ เลยงสตว
ถา ท านา 34 ครอบครว ท าสวน 30 ครอบครว
ท านา และ ท าสวน 8 ครอบครว
ท านา และ เลยงสตว 23 ครอบครว
ท าสวน และ เลยงสตว 20 ครอบครว
ท านาอยางเดยว 6 ครอบครว แลว มทงหมดกครอบครวทมอาชพเพยงอาชพเดยว
ตอบ 15
จะใชวธลบแผนภาพ โดยพจารณาขอมลทเกยวกบการท านากอน
เอา “ท านาทงหมด” หกออกดวย “ท านาและท าสวน” กบ “ท านาอยางเดยว” จะเหลอเสยวทางซายดงรป จาก นา และ สตว = 23 → จะไดตรงกลาง = 23 − 20 = 3 เมอไดตรงกลาง จะหาสวนทเหลอได ดงน นาและสวน = 8 → เหลอเสยวบน = 8 − 3 = 5
สวนและสตว = 20 → เหลอเสยวขวา = 20 − 3 = 17
จะลบตอเพอหาสวนทเหลอกได แตโจทยถามครอบครวทมอาชพเดยว ซงไดแกสวนทไมมการซอนทบกน ซงหาไดจากการเอาจ านวนครอบครวทงหมด หกออกดวยสวนทมการซอนทบกน = 60 − 20 − 5 − 17 − 3 = 15 37. จ านวนเตม 𝑥 ทท าให √16 − 6𝑥 − 𝑥2 เปนจ านวนจรง มทงหมดกจ านวน ตอบ 11
จะหาคารทได ในรทตองหามเปนลบ → จ านวนเตมในชวง [−8, 2] จะม −8, −7, −6, … , 2 ซงมทงหมด 2 − (−8) + 1 = 11 จ านวน
นา = 34 นา และ สวน = 8 นาอยางเดยว = 6
นา สวน
สตว
20
นา สวน
สตว
นา สวน
สตว
นา สวน
สตว 34 − 8 − 6 = 20
− − =
3 20
นา สวน
สตว
8 − 3 = 5
20 − 3 = 17
16 − 6𝑥 − 𝑥2 ≥ 0 0 ≥ 𝑥2 + 6𝑥 − 16 0 ≥ (𝑥 + 8)(𝑥 − 2)
−8 2
+ − +
32 O-NET (ก.พ. 60)
38. รานคาแหงหนงขายเสอสามแบบ คอ เสอยด ราคาตวละ 150 บาท เสอโปโล ราคาตวละ 200 บาท และเสอเชต ราคาตวละ 300 บาท ถาจ านวนเสอยดทขายไดเปน 4 เทาของเสอเชต และจ านวนเสอโปโลทขายไดเปน 2 เทาของเสอเชต ท าใหทางรานขายไดเงนทงหมด 26,000 บาท แลวเสอทขายไดมจ านวนทงหมดกตว
ตอบ 140
ใหขายเสอเชตได 𝑥 ตว : เสอยด เปน 4 เทาของเสอเชต → ขายเสอยดได 4𝑥 ตว
เสอโปโล เปน 2 เทาของเสอเชต → ขายเสอโปโลได 2𝑥 ตว ขายเสอเชต 𝑥 ตว ตวละ 300 บาท → คดเปนเงน 300𝑥 บาท ขายเสอยด 4𝑥 ตว ตวละ 150 บาท → คดเปนเงน (4𝑥)(150) = 600𝑥 บาท ขายเสอโปโลได 2𝑥 ตว ตวละ 200 บาท → คดเปนเงน (2𝑥)(200) = 400𝑥 บาท
ขายไดเงนทงหมด 26,000 บาท ดงนน จะไดสมการคอ แทนคา 𝑥 กลบ → ขายเสอเชตได 𝑥 = 20 ตว
→ ขายเสอยดได 4𝑥 = 4(20) = 80 ตว
→ ขายเสอโปโลได 2𝑥 = 2(20) = 40 ตว ดงนน ขายเสอไดทงหมด 20 + 80 + 40 = 140 ตว 39. คะแนนสอบปลายภาคเรยนของนกเรยน จ านวน 25 คน เปนดงตอไปน ให 𝑃25 เปนเปอรเซนไทลท 25 และ 𝑃75 เปนเปอรเซนไทลท 75 แลว 𝑃75 − 𝑃25 มคาเทาใด ตอบ 19
𝑃25 จะอยต าแหนงท 25100
(𝑁 + 1) = 25100
(25 + 1) = 6.5 = ตรงกลางระหวางตวท 6 กบตวท 7
𝑃75 จะอยต าแหนงท 75100
(𝑁 + 1) = 75100
(25 + 1) = 19.5 = ตรงกลางระหวางตวท 19 กบตวท 20
ดงนน 𝑃25 = ตวท 6 + ตวท 72
= 71+732
= 72 และ 𝑃75 = ตวท 19 + ตวท 202
= 90+922
= 91
จะได 𝑃75 − 𝑃25 = 91 − 72 = 19
60 65 65 67 70 71 73 75 76 76 79 81 83 84 85 85 88 89 90 92 95 96 99 100 100
300𝑥 + 600𝑥 + 400𝑥 = 26000 1300𝑥 = 26000 𝑥 = 20
60 65 65 67 70 71 73 75 76 76 79 81 83 84 85 85 88 89 90 92 95 96 99 100 100
ตวท 6 ตวท 7
ตวท 19 ตวท 20 (นบถอยหลงจากตวสดทาย = ตวท 25)
O-NET (ก.พ. 60) 33
40. สลาก 25 ใบ มหมายเลข 1 ถง 25 ก ากบใบละ 1 หมายเลขโดยไมซ ากน ถาสลากถกสมขนมา 1 ใบ
ความนาจะเปนทจะไดสลากหมายเลขทหารดวย 2 หรอ 5 ลงตว เทากบเทาใด ตอบ 0.60
เลขไมเยอะ จะเขยนนบเอาเลยกได → จะเหนวาม 15 ตว ทหารดวย 2 หรอ 5 ลงตว หรอถาจะค านวณ → จ านวนทหารดวย 2 ลงตว (= เลขค) จะม 2, 4, 6, … , 24 มทงหมด 24
2 = 12 จ านวน
→ จ านวนทหารดวย 5 ลงตว ทไมใชเลขค จะม 5, 15, 25 ม 3 จ านวน
→ รวมได 15 จ านวน ดงนน ความนาจะเปน = 15
25 = 0.6
เครดต
ขอบคณ คณ สนธยา เสนามนตร ทชวยแจงขาวเรองขอสอบ
ขอบคณ คณครเบรด จาก กวดวชาคณตศาสตรครเบรด ยานบางแค 081-8285490 ทชวยตรวจสอบความถกตองของเอกสาร
1 2 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25