aa x b aa x b - wordpress.com...penerapan lainnya adalah dalam transformasi linier, yaitu bentuk...

Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 –– Tahun Ajaran 2016/2016:Tahun Ajaran 2016/2016:

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.

Setijo Bismo & Bambang Heru Susanto

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

Segmentasi PenilaianSegmentasi Penilaian

Pak Setijo Bismo Pak Bambang Heru

50 % 50 %

1. Tugas/PR/Kelompok (10 %) 2. Kuis #1: SPL/SPAL, Determinan,

Aplikasi MS-Excel (10 %) 3. Kuis #2: Vektor di R2 dan R3,

Ruang Vektor Euclid, Ruang Vektor Umum (10 %)

4. UTS (20 %) *) Tidak ada perbaikan Kuis atau pun UTS, dengan

alasan apa pun. Jika tidak mengikuti Kuis, maka persentase UTS akan meningkat sesuai jumlah persentase Kuis tsb.

1. Tugas/PR/Kelompok

2. Ruang Vektor Umum (3)

3. Ruang Hasil Kali Dalam (4)

4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen (3)

5. Transformasi Linier (4)

6. Aplikasi: Leat Square (1)

7. UAS

PENDAHULUANPENDAHULUAN

Aljabar Linier sesungguhnya merupakan topik penting dari matematika aljabar yang banyak digunakan dalam berbagai dasar ilmu keteknikan, dan juga diperdalam bahkan diperluas lagi dalam berbagai mata kuliah: komputasi numerik, fenomena perpindahan, aliran fluida, perancangan struktur, rekayasa reaksi kimia, pemodelan, dan lain sebagainya. Yang terbanyak digunakan adalah: SPAL (Solusi Persamaan Aljabar Linier).

OperasinyaSkalar

NOTASI Vektor

Matrik

NOTASINOTASI

• Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil

• Vektor, simbol atau variabelnya juga akan dituliskan menggunakan huruf kecil (akan berbeda dengan skalar sesuai konteksnya): cetak tebal (bold) bila menggunakan “topi” (tanda caping, ^) di atasnya atau cetak biasa bila menggunakan tanda panah di atasnya.

• Vektor satuan, adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1 (satu satuan).

• Umumnya dituliskan dengan menggunakan topi (bahasa Inggris: hat), sehingga: u dibaca "u-topi" ('u-hat').

NOTASINOTASI

• Secara umum, suatu vektor merupakan vektor kolom,

• namun jika ingin menuliskan vektor baris:

,1

,2

,

k

k

k n

v

v

vv

v

maka diberi indeks-atas yang menyatakan simbol “transpos” (xT)

,1 ,2 ,b b b nTv v v v

• Jika diperlukan, dimensi vektor dan atau vektor dapat dituliskan dalam indeks-bawah (umxn , ynx1 , dlsb)

NOTASINOTASI

• Matrik, dalam matematika dan fisika, adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi (ungkapan), berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom.

• Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks.

• Matriks, simbolnya dituliskan dalam huruf besar (kapital).• Contoh matriks dengan 2 baris dan 3 kolom (2 x 3) yaitu:

1 7 1117 3 4

M

1,1 1,2 1,32 3

2,1 2,2 3,3

a a aA

a a a

NOTASINOTASI

Definisi:Persamaan berikut ini,

Jika h = 0, maka persamaan linier tersebut menjadi homogen. Suatu sistem persamaan linier (SPAL) adalah suatu set persamaan yang terdiri atas persamaan-persamaan linierSuatu sistem persamaan linier homogen adalah SPAL yang berharga nol.

a x b y c z d w h

dengan a, b, c, dan d merupakan tetapan (konstanta) yang diketahui nilai-nilainya, sedangkan x, y, z, dan w merupakan bilangan yang tak deketahui (variabel), disebut juga sebagai PERSAMAAN LINIER.

Aplikasi Vektor dan MatriksAplikasi Vektor dan Matriks

Pemanfaatan (matriks dan juga vektor), misalnya dalam mencari solusi Sistem Persamaan Aljabar Linear (SPAL), sering juga disebut SPL (Sistem Persamaan Linear). Penerapan lainnya adalah dalam transformasi linier, yaitu bentuk umum dari fungsi linear, misalnya rotasi dalam 3-dimensi.Persamaan di bawah ini,

1 2

1 2

3 2 12 4 2

x xx x

bukanlah SPAL, karena ada variabel yang berpangkat “tak satu” (non-linier).

Merupakan suatu sistem persamaan linier (SPAL), namun2

1 2

1 2

4 3 12 1

x xx x

Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MSAplikasi Vektor dan Matriks dalam MS--Excel (1)Excel (1)

Perkalian Matriks dengan Vektor

fungsi: MMULT


Perkalian Matriks dengan Vektor

fungsi: MMULT


Balikan (Invers) Matriks

fungsi: MINVERSE


Determinan Matriks

fungsi: MDETERM

Aplikasi Vektor dan Matriks dalam MSAplikasi Vektor dan Matriks dalam MS--ExcelExcel

Solusi SPAL

fungsi: MMULT dan MINVERSE

Contoh SPALContoh SPALPersamaan di bawah ini,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 2 22 4 4 25 9 2 2

x x xx x xx x x

merupakan suatu Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) ber-ordo 3, sedangkan

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 5 03 2 0

2 5 7 0

x x xx x x

x x x

Adalah SPL yang homogen.

1 1

2 2

2 3

3 2 12 4 45 9 2

x bx bx b

Metode Penyelesaian (Solusi) SPALMetode Penyelesaian (Solusi) SPAL

Dalam Kuliah ini akan dipelejari 4 buah metode penyelesaian Sistem Persamaan Aljabal Linier (SPAL), yaitu:

Bentuk Eselon-baris: matriks

Eliminasi Gauss: matriks

Eliminasi Gauss-Jordan: matriks

Aturan CRAMER: determinan matriks

SPAL dalam Bentuk MatriksSPAL dalam Bentuk Matriks

Sistem Persamaan Linear atau SPAL, misalnya:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 4 23 5

2 5 2

x x xx x xx x x

17106

dapat dinyatakan dalam bentuk matriks imbuhan (matriks

yang diperluas atau teraugmentasi), sbb:

3 4 21 3 52 5 2

17106

Matriks EselonMatriks Eselon--baris (#1)baris (#1)

Susunan/Bentuk Matriks Eselon-baris, yaitu yang memiliki syarat berikut:

1. Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).

2. Jika ada baris yang bernilai NOL pada semua elemennya,,maka ia harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.

3. Jika ada baris yang bereperan sebagai "leading 1", makaposisi angka "1" dari "leading 1" di bawahnya haruslahlebih kanan dari yang di atasnya.

4. Jika kolom yang memiliki "leading 1", sedangkan angkaselain 1-nya adalah NOL, maka matriksnya disebutEselon-baris tereduksi.

Matriks EselonMatriks Eselon--baris (#2)baris (#2)Contoh matriks eselon-baris, memenuhi syarat: No. 1: baris pertama matriks berikut, sebagai “leading 1”

1 3 2 40 2 5 60 0 3 70 0 8 9

No. 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat no. 2:

1 3 2 40 2 5 60 0 3 70 0 0 0

Matriks EselonMatriks Eselon--baris (#3)baris (#3) No. 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat no. 3

3 2 40 5 60 0 3 70 0 0

1

0

1

No. 4: matriks berikut memenuhi syarat no. 4 ( disebut juga:matriks eselon-baris tereduksi):

0 0 00 0 00 0 00 0 0

11

11

Solusi SPL dengan Solusi SPL dengan Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss

Metode “Eliminasi Gauss” merupakan suatu carapenyelesaian SPL dengan menggunakan bentukmatriks melalui teknik penyederhanaan matriks menjadimatriks yang lebih sederhana (diperkenalkan oleh CarlFriedrich Gauss), yaitu dengan melakukan operasibaris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yangEselon-baris.

Teknis operasionalnya: dengan mengubah persamaanlinier tersebut ke dalam matriks imbuhan (matriks yangdiperluas atau teraugmentasi) dan mengoperasikannya.Setelah terbentuk matriks eselon-baris, maka lakukanlahsubstitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

ContohContoh Metode Eliminasi Gauss (#1)Metode Eliminasi Gauss (#1)

Diberikan SPL berikut ini: 3 4 2

3 52 5 2

17106

x y zx y zx y z

Tentukanlah harga-harga , ,x y dan z !

Jawab:

Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks (yang diperluas) sebagi berikut:

3 4 2 171 3 5 102 5 2 6

Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss, maka Operasi penyelesaianSPL dari "Matriks Imbuhan" di atas adalah:


Dari matriks 3 4 2 171 3 5 102 5 2 6

, B1 x 13

untuk mengubah 11a menjadi 1

Didapatkan

4 2 171

3 3 313 13 13

03 3 3

2 5 2 6

, dengan B2 – B1 x 1 untuk mengubah 21a menjadi 0

Didapatkan

4 2 171

3 3 313 13 13

03 3 37 10 16

03 3 3


Kemudian

4 2 171

3 3 3

0 1 1 1

7 10 160

3 3 3

, B2 x 3

13 untuk mengubah 22a menjadi 1


Didapatkan

4 2 171

3 3 3

0 1 1 1

0 0 1 3

, dengan B3 – B2 x 73


Maka didapatkan SPL baru, yaitu: 4 2 173 3 3

13

x y z

y zz

3z

Kemudian lakukan “substitusi balik”, sehingga diperoleh:

13 1

2

y zy

y

dan

4 2 173 3 3

4 2 172 3

3 3 31

x y z

x

x

Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

Metode Penyelesaian (Solusi) SPALMetode Penyelesaian (Solusi) SPAL

Dalam Kuliah ini akan dipelajari metode-metode penyelesaian Sistem Persamaan Linier (SPL), yaitu:

Eliminasi Gauss: matriks

Eliminasi Gauss-Jordan: matriks

Aturan CRAMER: determinan matriks

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss -- Contoh#1 (ulangan) Contoh#1 (ulangan)

Diberikan SPL berikut ini: 3 4 2

3 52 5 2

x y zx y zx y z

17106

Tentukanlah harga-harga , ,x y dan z !

Jawab:

Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks (yang diperluas) sebagi berikut:

3 4 2 171 3 5 102 5 2 6


Hal. 01

1. Baris#1: dari matriks 3 4 2 171 3 5 102 5 2 6

, B1 x 13


2. Didapatkan

4 2 171

3 3 313 13 13

03 3 3

2 5 2 6


3. Didapatkan

4 2 171

3 3 313 13 13

03 3 37 10 16

03 3 3

, dengan B3 - B1 x 2 untuk mengubah 31a menjadi 0

4. Kemudian, pada baris#2:

4 2 171

3 3 3

0 1 1 1

7 10 160

3 3 3

, B2 x 3

13 untuk mengubah 22a menjadi 1

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss -- Operasi Baris Elementer (Tahap Eliminasi):Operasi Baris Elementer (Tahap Eliminasi): Hal. 02

5. Didapatkan

4 2 171

3 3 3

0 1 1 1

0 0 1 3

, dengan B3 – B2 x 73

untuk mengubah 32a menjadi 0,

dan tahap ELIMINASI hanya sampai di sini (!?!)

6. Maka didapatkan SPL baru, yaitu: 4 2 173 3 3

13

x y z

y zz

3z

Kemudian lakukan “substitusi balik”, diperoleh:

13 1

2

y zy

y

dan

4 2 173 3 3

4 2 172 3

3 3 31

x y z

x

x

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss -- ((OBE OBE

Substitusi Balik Substitusi Balik

Hasil)Hasil):: Hal. 03

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss -- Contoh#2:Contoh#2:

Sebagai contoh #2, diberikan SPL berikut:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 32 3 22 1 2

x x xx x xx x x

335

Tentukanlah harga-harga 1 2, ,x x dan 3x !

Jawab:

Ubahlah SPL di atas menjadi bentuk matriks imbuhan (teraugmentasi) sbb:

1 2 3 32 3 2 32 1 2 5


Hal. 01

1. Baris#1: dari matriks 1 2 3 32 3 2 32 1 2 5

, B1 : 1 untuk mengubah 11a menjadi 1

2. Didapatkan 1 2 3 3

2 10 1 4

53

2

, OBE dengan B2 – B1 x 2 untuk mengubah 21a menjadi 0

3. Didapatkan 0 1 4 30 3 4 1

1 2 3 3

, OBE dengan B3 - B1 x 2 untuk mengubah 31a menjadi 0

4. Kemudian, pada baris#2: 0 3 4 1

1 2 3 30 1 4 3

, B2 : 1 untuk mengubah 22a menjadi 1

5. Didapatkan0 0 8 80 1 4 31 2 3 3

, dengan B3 – B2 x 3 untuk mengubah 32a menjadi 0,

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss -- Tahap OBE (Eliminasi):Tahap OBE (Eliminasi): Hal. 02

6. Kemudian, pada baris#3: 0 0 1 10 1 4 31 2 3 3

, B3 : 8 dan

didapatkan SPL baru, yaitu: 1 2 3

2 3

3

2 3 34 3

1

x x xx x

x

3 1x

7. Sampai di sini tahap ELIMINASI (OBE) diakhiri (!?!)

Kemudian lakukan “substitusi balik”, diperoleh:

3 1x 2 3

2

2

4 34 (1) 3

1

x xx

x

dan 1 2 3

1

1

2 3 32 ( 1) 3 (1) 3

2

x x xx

x

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss -- Tahap OBE (Eliminasi):Tahap OBE (Eliminasi): Hal. 03

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss ((Contoh #2 Contoh #2

Notasi yang dipersingkatNotasi yang dipersingkat))

Dari SPL berikut:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 32 3 22 1 2

x x xx x xx x x

335

1 2 3 32 3 2 32 1 2 5

Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb:

1. 335

2 33 2

2 1 2

12 1:1 :B untuk mengubah 11a menjadi 1

2. 1 2 3

1 41

352

3

20 2 1 : B 2 B untuk mengubah 21a menjadi 0

3. 331

1 2 31 43 4


Hal. 01

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss -- ((Contoh#2 Contoh#2


(lanjutan)...Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb:

4. 1 2 3

43 4

331

0

10 2 : ( 1) :B untuk mengubah 22a menjadi 1

5. 338

1 2 348

10 00 3 ( ) 2 : B B-3 untuk mengubah 32a menjadi 0

6. 331

1 2 34

100 0

1 3 : :B 8 untuk mengubah 33a menjadi 1

(Matriks menjadi Eselon-baris)

7. Maka didapatkan SPL baru, yaitu: 1 2 3

2 3

3

2 3 34 3

1

x x xx x

x

3 1x ; 2 1x 1 2x

Hal. 02

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss ((Contoh #3 Contoh #3


Dari SPL berikut:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

23 2

2 1 2

x x xx x xx x x

69

12

69

1

1 2 11 3 22 1 2 2


1. 69

12

2 13 2

2 1 2

11 1 1 :B untuk mengubah 11a menjadi 1

2. 63

1

1 2 11 1

21 2

2


3. 1 2 1

1 13 0

630

0


Hal. 01

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss -- ((Contoh#2 Contoh#2


(lanjutan)...Tahapan OBE dari matriksnya adalah sbb:

4. 1 2 1

10

630

100 -3

2 :1 :B untuk mengubah 22a menjadi 1

5. 639

1 2 113

10 00 3 ( ) 2 : B B-3 untuk mengubah 32a menjadi 0

6. 633

1 2 11

10

001

3 : :B 3 untuk mengubah 33a menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)

7. Maka didapatkan SPL baru, yaitu: 1 2 3

2 3

3

2 633

x x xx x

x

3 3x ; 2 0x 1 3x

Hal. 02

Eliminasi GaussEliminasi Gauss vs Eliminasi GaussEliminasi Gauss--JordanJordan

Metode Eliminasi Gauss bertujuan untuk mengubah matriks A (matriks Jacobi atau matrikskoefisien) menjadi matriks segitiga atas, yaitu berbentuk:

1

2

2

2

3

1 13

300

11

10

ba b

a

b

a

Metode Eliminasi Gauss-Jordan bertujuan untuk mengubah matriks A menjadi matriks diagonal(matriks identitas), yaitu semua elemen pada diagonal matriks bernilai 1, sedangkan semua elemenlainnya bernilai nol, sehingga bentuk matriksnya adalah:

1

2

3

11

1

0 00 00 0

bbb

Metode Eliminasi Gauss-Jordan “lebih berat” dalam realisasinya, karena memerlukan tahapan“operasi komputasi” yang lebih banyak dibandingkan Eliminasi Gauss. Oleh karena itu, EliminasiGauss-Jordan tidak banyak digunakan dalam Komputasi Numerik dalam Ilmu Teknik.

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss -- Jordan Jordan ((Contoh#2 Contoh#2


Dari SPL berikut:

2 32 3 22 1 2

u v wu v wu v w

335

335

1 2 32 3 22 1 2


1. 12 2 B B1 2 3 30 1 4 32 1 2 5

2. 13 2 B B1 2 3 30 1 4 30 3 4 1

3. 23 3 B B1 2 3 30 1 4 30 0 8 8

Hal. 01

4. 2 : ( 1) B1 2 3 30 1 4 30 0 8 8

5. 3:8 B1 2 3 30 1 4 30 0 1 1

6. 32 4 B B1 2 3 30 1 0 10 0 1 1

7. 31 3 B B1 2 0 00 1 0 10 0 1 1

8. 21 2 B B1 0 0 20 1 0 10 0 1 1

(Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

9. Maka, diperoleh: 1 12; ;vu w

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss--JordanJordan -- Tahap OBE (Eliminasi):Tahap OBE (Eliminasi): Hal. 02

Metode Eliminasi Gauss Metode Eliminasi Gauss -- Jordan Jordan ((Contoh#2 Contoh#2


Dari SPL berikut:

3 4 23 5

2 5 2

x y zx y zx y z

17106

3 4 2 171 3 5 102 5 2 6

Tahapan OBE dari matriks di atas adalah sbb:

1. 2 31: B B3 4 2 17

13 13 130 3 3 32 5 2 6

2. 123 3 BB

3 4 2 1713 13 130 3 3 37 10 160 3 3 3

3. 73 ( ) 213 BB

3 4 2 1713 13 130 3 3 3

3 90 0 3 3

3 4 2 17

13 13 130 3 3 30 0 1 3

Hal. 01

4. 132 : ( )3 B

3 4 2 170 1 1 10 0 1 3

5. 3 : 1 B3 4 2 170 1 1 10 0 1 3

6. 32 1 BB3 4 2 170 1 0 20 0 1 3

7. 31 2 B B3 4 0 110 1 0 20 0 1 3

8. 21 4 B B3 0 0 30 1 0 20 0 1 3

9. 1 : 3 B1 0 0 10 1 0 20 0 1 3

(Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)

10. Maka, diperoleh: ; 31; 2 zyx

Metode Eliminasi GaussMetode Eliminasi Gauss--JordanJordan -- Tahap OBE (Eliminasi):Tahap OBE (Eliminasi): Hal. 02

Latihan Soal1. Menggunakan metode EG (Eliminasi Gauss), hitunglah harga-harga variable , , danx y z dari

SPL berikut ini!

(a). 3 4 2

3 52 5 2

x y zx y zx y z

122-14

(b). 3 2

4 2 711 5 9

x y zx y zx y z

111328

2. Gunakan juga metode EGJ (Eliminasi Gauss-Jordan) untuk SPL berikut:

(a). 3 4 2

3 52 5 2

u v wu v wu v w

122- 14

(b). 3 2

4 2 711 5 9

x y zx y zx y z

111328

3. Cobalah cari harga-harga variabel 1 2 3 4, , , danx x x x dari SPL di bawah ini menggunakan metode EG dan EGJ:

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 42 3 43 4 24 2 3

x x x xx x x xx x x xx x x x

939-1

MATRIKSMATRIKS dandan

OPERASI MATRIKSOPERASI MATRIKS

Macam Matriks

•

Matriks Nol

(0)Matriks yang semua entrinya nol.Contoh:

•

Matriks Identitas

(I)Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.Contoh:

100010001

3I

0 0 00 0

, 0 0 00 0

0 0 0

Matriks Diagonal

• Matriks yang semua entri non diagonal utamanya nol.Secara umum:

Contoh: 6 0 0 0

1 0 02 0 0 4 0 0

, 0 1 0 ,0 5 0 0 0 0

0 0 10 0 0 8

nd

dd

D

...00

...0...00...0

2

1

Matriks Segitiga• Matriks persegi yang

semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.

• Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.

44

3433

242322

14131211

00000

0

aaaaaaaaaa

A

44434241

333231

2221

11

000000

aaaaaaa

aaa

A

Matriks Simetris

• Matriks persegi A disebut simetris jika A = At

• Contoh: 1

2

3

4

0 0 01 4 5

0 0 07 3, 4 3 0 ,

0 0 03 55 0 7

0 0 0

dd

dd

Transpos Matriks (#1)

• Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.

Contoh:

303512

350132

tAA

Transpose Matriks (#2)

• Sifat:

1. (At)t = A

2. (AB)t = At

Bt

3. (AB)t = BtAt

4. (kA)t = kAt

Balikan (Invers)

Matriks [#1]

• Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik dan B disebut balikan (invers) dari A.

• Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Balikan (Invers)

Matriks [#2]

• Contoh:

adalah invers dari

karena

dan

2153

B

3152

A

IAB

1001

2153

3152

IBA

1001

3152

2153

Balikan (Invers) Matriks [#3]

• Cara mencari invers khusus matriks 2x2:Jika diketahui matriks

maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus

dcba

A

bcada

bcadc

bcadb

bcadd

acbd

bcadA 11

Balikan (Invers) Matriks [#4]

• Contoh:Carilah invers dari

Penyelesaian:

(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)

3152

A

2153

2153

11

2153

)1)(5()3(211A

Aljabar Matriks dan Mencari Matriks BalikanAljabar Matriks dan Mencari Matriks Balikan

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

11 12 1 1

21 22 2 2

a a x ba a x b

Matriks dan Operasi MatriksMatriks dan Operasi Matriks

Dalam kuliah hari ini akan dipelajari pokok-pokok bahasan lanjutan tentang matriks, yaitu:

Matriks dan operasi matriks

Aljabar matriks

Matriks Elementer

Cara mencari matriks balikan (Invers)

Matriks Matriks dandan Operasi Penjumlahan MatriksOperasi Penjumlahan Matriks [#01][#01]

Diberikan matriks-matriks seperti di bawah ini:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 1 3 80 2 4 ; 0 2 4 ; 0 2 4 2 ; 1 2 3 65 1 3 5 1 3 5 1 3 7 0 3 5 8

A B C D

Matriks A dan matriks B dikatakan sama (identik) karena matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.

Karena ( A dan B ) atau ( C dan D ) adalah 2 buah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A B+ atau C D+ adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen-elemen ( A dan B ) atau ( C dan D ) yang seletak.

Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau

dikurangkan.


Untuk setiap A berlaku A + (A ) = 0. Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang

berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah kkali elemen A yang seletak.

Jika k sebarang skalar maka k A = A k adalah matriksyang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiapelemennya dengan k .

Negatif dari A atau A adalah matriks yang diperoleh dariA dengan cara mengalikan semua elemennya dengan 1 .

Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan penguranganmatriks:

a.) A + B = B + A b.) A + (B + C ) = ( A + B ) + C c.) k ( A + B ) = k A + k B = ( A + B ) k , k = skalar


Sifat-sifat yang berlaku dalam operasi penjumlahan danpengurangan matriks:

(a) A + B = B + A (sifat KOMUTATIF) (b) (A + B) + C = A + (B + C) (sifat ASOSIATIF) (c) k (A + B) = k A + k B (perkalian dengan skalar) (d) ( + ) A = A + A (perkalian dengan skalar) (e) A – A = A + (–A) = (0) (sifat ASOSIATIF) (f) A (B + C) = A B + A C (sifat DISTRIBUTIF) (g) (A + B) C = A C + B C (sifat DISTRIBUTIF) (h) (A B) C = A (B C) (sifat ASOSIATIF)

Pada umumnya: A B B A A B = 0; tidak berakibat A = 0 atau B = 0 A B = A C; tidak berakibat B = C

Contoh Penjumlahan MatriksContoh Penjumlahan Matriks

5 6 78 3 4

A2x3 dan 6 7 41 9 2

B2x3

maka

C A B2x3 2x3 2x3

2x35 6 7 6 7 4 11 13 118 3 4 1 9 2 9 12 6

C

Matriks Matriks dandan Operasi Perkalian MatriksOperasi Perkalian Matriks [#04][#04]

Perkalian Matriks dengan Skalar: Jika k sebarang skalar, maka k A = kA adalah matriks hasil dari Ayang setiap elemennya dikalikan dengan k .

Perkalian Matriks dengan Matriks: Hasil kali matriks A yang ber-ordo (orde) m p dengan matriks Byang berordo p n dapat dituliskan sebagi matriks yang baru, sebut

ijc C = berordo m n dimana

1 1 2 2ij i j i j ip pjc a b a b a b

Syarat perkalian Matriks dengan Matriks: Jika matriks m nA dan matriks p qB dikalikan, maka: Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya baris matriks B ,

sehingga n p Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m q Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks

A dengan setiap elemen kolom matriks B yang sesuai.

Contoh Contoh Perkalian MatriksPerkalian Matriks

Diberikan berbagai matriks seperti di bawah ini: 1 0 5

1 3 1 2 3 4 1 3 81 2 3 2 2 1

; 0 4 ; 0 2 4 ; ; 1 2 3 65 1 3 3 4 3

5 3 5 1 3 0 3 5 82 2 7

A B C D E

Maka, di antara operasi-operasi perkalian matriks berikut ini: A B× dapat dilakukan, karena ordo matriks A adalah 2 × 3 dan ordo matriks

B adalah 3 × 2 , kolom matriks A sama dengan baris matriks B . A C× dapat dilakukan, karena ordo matriks A adalah 2 × 3 dan ordo matriks

C adalah 3 × 3 , kolom matriks A sama dengan baris matriks C . B C× tidak dapat dilakukan, karena ordo matriks B adalah 3 × 2 dan ordo

matriks C adalah 3 × 3 , kolom matriks B tidak sama dengan baris matriks C . C D× tidak dapat dilakukan. C E× dapat dilakukan. D E× dapat dilakukan.

Ilustrasi Ilustrasi Perkalian MatriksPerkalian Matriks

1 2 35 1 3

A 1 30 45 3

B 1 2 30 2 45 1 3

C

Ordo 2 × 3 Ordo 3 × 2 Ordo 3 × 3

Maka, ilustrasi perkalian matriks berikut ini:

A B× dapat dilakukan:

2 x 3 3 x 3

B C× tidak dapat dilakukan:

3 x 2 3 x 3

Hasil Hasil Perkalian MatriksPerkalian Matriks

Diberikan matriks: 1 3 1 2 3

1 2 3; 0 4 ; 0 2 4

5 1 35 3 5 1 3

A B C

Maka, hasil perkalian matriks-matriks terkait di atas adalah:

1 2 3 1 2 31 2 35 1 3 5 1

1 31 0 5 3 4 3

0 41 0 5 3 4 3

5 3

16 2020 28

35 1 3

A B× =

1 0 15 2 4 3 3 8 95 0 15 10 2 3 15 4 9

1 2 31 2 3

0 2 45 1 3

5 1 3

16 9 2020 15 28

A C× =

Perkalian Matriks menggunakanPerkalian Matriks menggunakan MSMS--ExcelExcel

1 2 35 1 3

A 1 30 45 3

B 1 2 30 2 45 1 3

C

Ordo 2×3 Ordo 3×2 Ordo 3×3

Cobalah, perkalian matriks berikut ini:

1 2 3 1 3 16 205 1 3 0 4 20 28

5 3

1 3 1 2 3 ### ###0 4 0 2 4 ### ###5 3 5 1 3

Hasil Hasil ?

Matriks BujurMatriks Bujur--Sangkar IstimewaSangkar Istimewa

(a). Bila A dan B merupakan matriks-matriks bujur-sangkar sedemikiansehingga AB = BA, maka A dan B disebut COMMUTE (merubah).

(b). Bila A dan B sedemikian sehingga AB = -BA, maka A dan Bdisebut ANTI COMMUTE.

(c). Matriks M dimana Mk+1 = M untuk k bilangan bulat positif, disebutmatriks PERIODIK.

(d). Jika k bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga Mk+1 = M,maka M disebut PERIODIK dengan PERIODE k.

(e). Jika k = 1 sehingga M2 = M, maka M disebut IDEMPOTEN. (f). Matriks A dimana Ap = 0 untuk p bilangan bulat positif disebut

dengan matriks NILPOTEN. (g). Jika p merupakan bilangan positif bulat terkecil sedemikian hingga

Ap = 0, maka A disebut NILPOTEN dari indeks p.

Latihan 1: (Perkalian Matriks)Latihan 1: (Perkalian Matriks)

Diberikan berbagai matriks berikut ini: 1 3 5

1 3 1 2 3 4 1 3 81 2 3 2 2 1

; 2 4 ; 1 2 4 ; ; 1 2 3 65 4 3 3 4 3

5 3 5 1 3 1 3 5 92 2 7

A B C D E

Hitunglah: A B× A C× B C× C D× C E× D E×

Definisi: Matriks A berukuran m n ialah suatu susunan atau himpunan angka dalam persegi empat dengan ukuran m n , sebagai berikut:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

A atau 1,2, ,1,2, ,

i mijj n

a

A

Untuk menyatakan elemen matriks A yang ke (i,j), yaitu aij, digunakan notasi (A)ij . Ini berarti aij = (A)ij. Bila m n , maka matriks disebut sebagai matriks bujur sangkar berukuran m atau n .

Aljabar Matriks ElementerAljabar Matriks Elementer

Transpose matrik A dinotasikan AT atau A diperoleh dengancara menukar elemen baris ke i dari matrik A menjadi elemenkolom ke i. Bila matrik A berukuran m n maka A berukuranm n dan elemen A yang ke (i,j) adalah aji; dapat puladinyatakan ( A )ij = (A)ji . Berikut ini adalah contoh matrik A ,

1 2 3 411 13 23 345 18 28 314 14 25 37

A , 1 11 5 42 13 18 143 23 28 254 34 31 37

A

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

b b bb b b

b b b

B , 11 21 1

12 22 2

1 2

m

m

n n mn

b b bb b b

b b b

B

Operasi Operasi TransposeTranspose pada Matriks Bujurpada Matriks Bujur--SangkarSangkar

Trace didefinisikan hanya pada matriks bujur-sangkar. Bilamatriks A berukuran mxm maka trace A, dinotasikan tr(A), adalahjumlah elemen diagonal matriks A,

tr(A) = 1

m

iii

a

Matriks A berukuran mxn dan B berukuran nxm, maka matriks ABberukuran mxm. Berlaku:

trace (AB) = trace (BA) Penjabaran: . .

1 1 1 1 1 1

. .1 1

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

trm m m n n m

ii i i ij ji ji iji i i j j i

n n

j j jjj j

AB AB A B a b b a

B A BA tr BA

Jadi : tr(AB) = tr(BA)

Operasi Operasi TraceTrace pada Matriks Bujurpada Matriks Bujur--SangkarSangkar

Matriks berukuran 1m disebut vektor kolom dan berukuran 1 n disebut vektor baris.

Contoh:

1

2ˆ

a

a

am

a a

, suatu vektor kolom

ia menyatakan komponen a ke i.

, , ,1 2ˆ b b bnb b

, suatu vektor baris

ib menyatakan komponen b ke i.

iA menyatakan vektor baris ke i dalam matrik A .

jA menyatakan vektor kolom ke j dalam matrik A .

Aljabar Matriks ElementerAljabar Matriks Elementer

Berdasarkan matrik A seperti yang tercantumpada definisi di atas, sebutkan posisi dari elemen-elemen matriks berikut:

(A)i. (A)1. (A)2 (A)m. (A).j (A).1 (A).2 (A).n

Latihan 2Latihan 2: (Aljabar Matriks Elementer): (Aljabar Matriks Elementer)

Berbagai Jenis Matriks (#1)Berbagai Jenis Matriks (#1)

1. Matrik Diagonal Elemen diagonal dari matriks A (khusus untuk matriksbujur sangkar) adalah: a , a ,…, a11 22 mm .

Bedakanlah dengan vektor kolom a yang memiliki mkomponen, yang dapat dituliskan sebagai berikut:

12

aa

an

a

Bila semua elemen selain a , a ,…, a11 22 mm bernilai 0(nol), maka A disebut matriks diagonal. A = diag( a , a ,…, a11 22 mm ) menyatakan matriks diagonaldengan elemen diagonal a11, a22, ... , amm.


Contoh Matrik Diagonal:

1. 3 0 00 2 00 0 1

A

2. 5 0 00 0 00 0 0

B

3.

1 0 0 00 1 0 00 0 2 00 0 0 2

C


2. Matrik Identitas Bila 1aii , sedangkan lainnya bernilai 0 (nol) untuk

1, 2, ,i m , maka A disebut matriks identitasberukuran m , dinotasikan: mI atau I .

Perhatikan juga penulisan elemen-elemen matriksdiagonal di bawah ini, bila dalam notasi matrisial ( AD )ataupun dalam notasi vektorial ( aD ):

( )AD a , a ,…, a11 22 mmdiag

11

22

0 0 1 0 00 0 0 1 0

0 0 0 0 1A

mm

aaD

a


( )aD a , a ,…, a1 2 mdiag

1

2

0 0 1 0 00 0 0 1 0

0 0 0 0 1a

m

aaD

a

Bila ( )A a , a ,…, a1 2 mdiag dan

b adalah skalar,

maka b A 1 2( )b b b

ma , a ,…, adiag .


Bila A = mI , maka akan terdapat vektor-vektor 1 2, , , me e e , yang masing-masingnyamenyatakan suatu vektor dengan komponenke 1, 2, ... m bernilai 1, sedangkankomponen yang lain bernilai 0, dinyatakansebagai berikut:

1

10

0

e

, 2

01

0

e

, ,

00

1me


3. Matriks Segitiga Matriks segitiga ialah matriks dengan elemen di atasatau di bawah diagonal bernilai 0. Matriks segitiga terdiridari dua macam, segitiga atas dan segitiga bawah.

Disebut segitiga atas bila yang bernilai 0 adalah semuaelemen di bawah diagonal, dan segitiga bawah bilasemua yang bernilai 0 di atas diagonal. Contoh matrik segitiga atas (disebut: P ) dan segitigabawah (disebut: Q ) adalah sebagai berikut:

11 12 1

22 20

0 0

m

m

mm

a a aa aP

a

dan 11

21 22

1 2

0 00

m m mm

aa aQ

a a a


3. Matriks dan Notasi Lain 0 menyatakan skalar bernilai 0.

0 atau 0 atau 0 menyatakan vektor dengansemua komponennya bernilai 0.

0 menyatakan matriks dengan semuaelemennya bernilai 0.

1 atau 1 atau 1 menyatakan vektor dengansemua komponennya bernilai 1.

m1 menyatakan vektor berukuran m komponenyang semuanya bernilai 1.

MENGHITUNG/MENCARIMENGHITUNG/MENCARI Matriks Balikan (Matriks Balikan (InversInvers))

Definisi: 1. Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang

berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I ,maka A disebut dapat dibalik dan B disebut balikan (invers) dari A.

2. Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.

Contoh:

3 51 2

B adalah invers dari 2 51 3

A

karena 2 5 3 5 1 01 3 1 2 0 1 I

AB dan

3 5 2 5 1 01 2 1 3 0 1 I

B A

Definisi Matriks Balikan (Definisi Matriks Balikan (InversInvers))

Sifat Balikan MatriksSifat Balikan Matriks

Jika A dan B adalah matriks-matriks yangdapat dibalik dan berukuran sama, makaberlaku:

AB dapat dibalik, maka

1 1 1 A B B A

Matriks SINGULAR vs NonMatriks SINGULAR vs Non--SINGULARSINGULAR

Matriks SINGULAR adalah matriks yang nilai DETERMINAN-nyaNOL

Matriks Non-SINGULAR adalah matriks yang nilai DETERMINAN-nya tak NOL

Contoh:

Buktikan bahwa matriks 2 80,5 2

A adalah SINGULAR!

Penyelesaian:

Determinan matriks A adalah

2 2 0,5 8

4 40

A

Khusus Matriks ordo 2 x 2:

Jika diketahui a bc d

A , maka matriks A dapat dibalik jika

A atau 0a d b c , dimana inversnya dapat dicari

dengan rumus:

1 1 d bc aa d b c

d ba d b c a d b c

c aa d b c a d b c

A

Cara Mencari Matriks Balikan (Cara Mencari Matriks Balikan (ordo 2 x 2ordo 2 x 2))

Khusus Matriks ordo 2 x 2:

Jika diketahui 11 12

21 22

a aa a

A , maka matriks A dapat dibalik

jika A atau 11 22 12 21 0a a a a , dimana inversnya dapat

dicari dengan rumus:

1 22 12

21 1111 22 12 21

22 12

11 22 12 21 11 22 12 21

21 11

11 22 12 21 11 22 12 21

1 a aa aa a a a

a aa a a a a a a a

a aa a a a a a a a

A

Matriks Balikan ordo (2 Matriks Balikan ordo (2 x 2) dalam notasi baku2) dalam notasi baku

Carilah invers dari matriks

2 51 3

A

Penyelesaian:

1 1 3 51 22(3) ( 5)( 1)

1 3 5

2

1 2

1

1

3 5

A

Contoh Mencari Matriks Balikan ordo (2 Contoh Mencari Matriks Balikan ordo (2 x 2)2)

Untuk mendapatkan matriks matriks balikan ordo (3 x 3) kita perlumemahami matriks-matriks berikut :

Matriks Kofaktor

Adjoin

Nilai elemen

rumus invers Matriks ordo 3 x 3

Pelajari juga dari situs-situs berikut:

http://javaandro.blogspot.com/2014/05/cara-mencari-invers-matriks-ordo-3x3.html

http://soulmath4u.blogspot.com/2014/03/invers-matriks.html

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar_linear

Matriks Balikan ordo (3 Matriks Balikan ordo (3 x 3)3)

Secara umum, digunakan:

1 1 1adj adj A A A

A Adet

Namun, untuk mendapatkan matriks balikan dengan ordo yanglebih tinggi dari (3 x 3), akan lebih rumit lagi dan dapatdipastikan tidak praktis dan memerlukan waktu lama !

Matriks Balikan ordo lebih tinggiMatriks Balikan ordo lebih tinggi

Prinsip:

Caranya hampir sama dengan metodepenyelesaian SPL menggunakan metodeEG atau EGJ

Relasi Umum: 11 2 1k k nE E E E I A

dengan E adalah matriks dasar (matrikselementer, yaitu matriks yang diperoleh darimatriks I dengan melakukan sekali OBE)

Mencari Matriks Balikan Mencari Matriks Balikan ““ordo TINGGIordo TINGGI”” Menggunakan OBEMenggunakan OBE

Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari

inversnya adalah: mereduksi matriks A menjadi matriksidentitas dengan OBE dan terapkan operasi ini pada matriks Iagar supaya mendapatkan 1A .

Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas I ke sisi

kanan matriks A , sehingga menghasilkan matriks berbentukI A .

Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri terreduksi

menjadi I . OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi1A , sehingga matriks akhir berbentuk 1I A

Prosedur Mencari Matriks Balikan Menggunakan OBEProsedur Mencari Matriks Balikan Menggunakan OBE

Contoh:

Carilah invers dari matrik 1 2 32 5 31 0 8

A

Penyelesaian:

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 22 3 22 12 5 3 0 1 0 0 1 3 2 1 01 0 8 0 0 1 0 2 5 1 0 13 1

b bb b

b b

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 33 1 30 1 3 2 1 0 0 1 3 2 1 0

30 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1 2 3

b b b

b b

1 2 0 14 6 3 1 0 0 40 16 921 20 1 0 13 5 3 0 1 0 13 5 30 0 1 5 2 1 0 0 1 5 2 1

b b


Penyelesaian:

Dari matriks imbuhan berikut:

1 0 0 40 16 90 1 0 13 5 30 0 1 5 2 1

Diperoleh:

140 16 913 5 35 2 1

A


Mencari Matriks Balikan Mencari Matriks Balikan ““ordo TINGGIordo TINGGI”” Menggunakan MSMenggunakan MS--ExcelExcel

1 2 3 -40 16 9

2 5 3 13 -5 -3

1 0 8 5 -2 -1

Menggunakan prosedur: minverse()

Carilah harga-harga operasi matriks balikan berikut, periksalahulang jawabnya menggunakan fungsi “minverse()” dari MS-Excel:

(a). 1 0 11 1 2

1 0 1

A ; 4 0 21 2 32 1 0

B

(b).

2 2 1 42 3 2 71 1 3 62 2 3 7

C ; 2 1 1 15 1 6 7

5 0 6 83 0 4 5

D

(c). 1AB dan 1CD

(d). 1AB BA

(e). 1 1 CD D C

PR PR –– Individu (untuk Minggu Depan)Individu (untuk Minggu Depan)

aa x b aa x b - wordpress.com...penerapan lainnya adalah dalam transformasi linier, yaitu bentuk...

Documents