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Captulo 4

Anlisis Dinmico Formulacin TrabajoVirtual4.1 Introduccin

El principio del trabajo virtual represena una poderosa herramienta para derivar las ecuacionesestticas y dinmicas de los sistemas de multicuerpos [13]. Establece que si un cuerpo rgido esten equilibrio bajo la accin de varias fuerzas externas y se le aplica un desplazamiento arbitrarioa partir de la posicin de equilibrio, el trabajo realizado por las fuerzas externas durante el de-splazamiento ser cero. El principio de trabajo virtual es desarrollado en este captulo para obteneruna ecuacion dinmica que nos permita encontrar el valor del torque aplicado para desarrollar unatrayectoria dada.

4.1.1 El principio del Trabajo Virtual

El principio de trabajo virtual[13] represena una poderosa herramienta para derivar las ecua-ciones estticas y dinmicas de los sistemas de multicuerpos. A diferencia de la mecnica Newto-niana, el principio del trabajo virtual no requiere considerar ls fuerzas de restriccin o de reaccin,solo requiere cantidades de trabajo escalar para definir las ecuaciones estticas y dinmicas. Esteprincipio puede ser usado para derivar sistemticamente un mnimo de ecuaciones de movimientode sistemas de multicuerpos mediante la eliminacin de las fuerzas de restriccin. En el uso delprincipio del trabajo virtual, la importancia de los conceptos de desplazamientos virtual y fuerzasgeneralizadas deben ser tomadas en cuenta y usadas para formular las fuerzas generalizadas devarios elementos de fuerza, tales como resortes, amortiguadores y fuerzas de friccin. El principiode trabajo virtual puede ser usado para obtener un nmero de ecuaciones igual al nmero de gradosde libertad del sistema, de este modo provee un procedimiento sistemtico para obtener la formareducida de las ecuaciones de movimiento del sistema mecnico. El principio del trabajo virtualpara un anlisis dinmico [12] es escrito para un sistema de cuerpos en la forma:

nXi=1

(Fi mai)T Ri + (Mi (Ii i +i Ii i))T Qi

= 0 (4.1.1)

97

donde:

n = nmero de cuerpos

Fi = fuerza externa aplicada al cuerpo i

Mi = momento externo aplicado al cuerpo i

Ri = desplazamiento virtual traslacional del

centro de masa del cuerpo i

Qi = desplazamiento virtual rotacional del

cuerpo i

La ecuacin anterior declara que un sistema de cuerpos lleva a cabo un movimiento tal, como paramantener la suma algebraca del trabajo virtual de todos los efectos de trabajo e inercia iguala cero. Las fuerzas que producen trabajos son todas las fuerzas aplicadas, incluso las fuerzas defriccin.

4.1.2 Desplazamiento Virtual

Consideremos un sistema consistente de k partculas, con coordenadas correspondientes r1...rk.Si estas particulas estn libres de movimiento sin ninguna restriccin, entonces es bastante fcildescribir su movimiento, dado que el cambio de momentum de cada masa es igual a las fuerzasaplicadas a stas. Sin embargo, si el movimiento de las partculas es restringido de algn modo,entonces debe tomarse en cuenta no nicamente las fuerzas aplicadas, sino tambin las fuerzasrestrictivas, esto es, las fuerzas necesarias para que las restricciones se mantengan. Como simpleejemplo de esto, supongamos un sistema de dos partculas, las cuales estn unidas por una cuerda,la cual tiene masa despreciable, de longitud l. Entonces las dos coordenadas r1 y r2 deben satisfacerla restriccin:

kr1 r2k = l(r1 r2)T (r1 r2) = l2 (4.1.2)

Si alguna fuerza externa es aplicada a cada partcula, entonces las partculas sentiran no nicamenteestas fuerzas externas sino tambin las ejercidas por la cuerda, la cual es a la largo de la direccinr1r2 y de magnitud apropiada. Por lo tanto para analizar el movimiento de dos partculas, tenemosdos opciones. La primera, podemos calcular, bajo cada conjunto de fuerzas externas, cuales son lasfuerzas restrictivas que permiten que las ecuaciones continuen siendo consistentes. Y la segunda,podemos buscar un mtodo de anlisis que no requiera el uso de saber las fuerzas restrictivas.La segunda alternativa es preferible, ya que no requerira calcular las fuerzas restrictivas. Unavez aclarada la metodologa a seguir, primero es necesario introducir alguna terminologa. Unarestriccin sobre las partculas k y las coordenadas r1...rk son llamadas holonmicas si hay unigualdad restrictiva de la forma:

g(r1...rk) = 0, i = 1, ..., l (4.1.3)

98

y no holonmica en otro caso. La restriccin impuesta en ec. (4. 1. 2) por conectar dos partcu-las por una cuerda rgida de masa despreciable es una restriccin holonmica. Puede ser posibleexpresar las coordenadas de k partculas en trminos de n coordenadas generalizadas q1....qn. Esdecir, se asume que las coordenadas de varias partculas, sujetas a un conjunto de restricciones (ec.(4. 1. 2)), pueden ser expresadas en la forma:

ri = ri(q1....qn), i = 1., ..., k (4.1.4)

donde q1....qn son todas independiente. Generalizando, la idea de las coordenadas generalizadaspuede ser utilizada cuando existe una infinidad de partculas. Unicamente se necesitan seis coorde-nadas para especificar completamente las coordenadas de cualquier partcula dentro de un cuerporigido, tres coordenadas de posicin para especificar la localizacin del centro de masa, y tres n-gulos de Euler [1] para especificar la orientacin del cuerpo. Para limitar el tema, asumimos queel nmero de partculas es finito. Comnmente las coordenadas generalizadas son posiciones, n-gulos, etc. Ahora se puede hablar de desplazamientos virtuales, que son cualquier conjunto der1...rk de desplazamientos infinitesimales que son consistentes con las restricciones. Por lo tantose definen los desplazamientos virtuales como:

ri =nXj=1

riqj

qj, i = 1, ..., k (4.1.5)

donde los desplazamientos virtuales q1....qn de las coordenadas generalizadas no presentanrestricciones(esto es una caracterstica de las coordenadas generalizadas).[14].

99

4.2 Dinmica del robot Delta Paralelo

En la fig. (4.1) pueden apreciarse las fuerzas y momentos inerciales que surgen por el movimientodel robot, donde cada momento y fuerza est siendo situado en los centros de gravedad de cadacuerpo que compone el robot.

Fig. 4.1 Diagrama de cuerpo libre de una cadenaDe acuerdo a la formulacin de trabajo virtual [12]:

3Xi=1

(Fi miaGi)T Ri + (Mi (Ii i +i Iii))T Qi

= 0

Esta ltima ecuacin medida desde una base inercial. Para nuestro propsito renombramos de lasiguiente manera:

3Xi=1

(Fi FIi)T R+ (Mi MIi)Q

= 0 (4.1a)

100

donde:

Fi,Mi fuerzas y momentos externos del cuerpo iFIi,MIi fuerzas y momentos inerciales del cuerpo iRi desplazamientos virtuales del punto de aplicacin de la fuerzaQi desplazamiento virtual rotacional

y las fuerzas y momentos inerciales son definidas como:

FIi = mi aGiMIi = IGi i +i IGii

aplicando ec. (4. 1a) al robot delta:P3i=1{(W1i F1i)T RG1i + (Ti M1i)T Q1i+

(W2i F2i)T RG2i M2iT Q2i+(W3i F3i)T RG3i M3iT Q3i+(W5i F5i)T RG5i M5iT Q5i+(W6i F6i)T RG6i M6iT Q6i}+

WTplato Rplato + (Wcarga Fp)T (Rp + RG4) = 0 (4.2a)

donde:

Wji = mji g

i = 1, 2, 3

j = 1, 2, 3, 5, 6

Wplato = mplato g

Wcarga = mcarga g

4.2.1 Desplazamientos virtuales de centros de gravedad

Centro de Gravedad 1i

Es necesario obtener los vectores de posicin del centro de gravedad para cada cuerpo, de modoque obtengamos a partir de estos, sus desplazamientos virtuales. Para el cuerpo 1i tenemos la fig.(4.2):

101

Fig. 4.2 Ubicacin del centro de gravedad del cuerpo 1i

RG1i = R2i +R0G1i (4.3a)

obteniendo sus desplazamientos virtuales:

RG1i = R2i + R0G1i (4.3b)

donde:

R2i = Rz6(1i)r2i

R0G1i = Rz6(1i)Rz5(3i)rG1i

r2i =d2i, 0, 0

TrG1i =

xG1i, yG1i, zG1i

THacemos notar que los ngulos y distancias y d son constantes y los ngulos y coordenadas , xp,yp, zp son variables. Obteniendo el desplazamiento virtual de los valores anteriores:

R2i = 0

R0G1i = Rz6(1i)

Rz5(3i)

3i3i rG1i (4.3c)

102

donde las siguientes matrices estn definidas como:

Rz4()

=

0 0 00 s c0 c s

Rz5()

=

s 0 c0 0 0c 0 s

Rz6()

=

s c 0c s 00 0 0

sustituyendo ec. (4. 3c) en (4. 3b) :

RG1i = Rz6(1i)Rz5(3i)

3i3i rG1i (4.3d)

Transformando ec (4. 3d) la base local (x3i,y3i, z3i). Se define la siguiente transformacin:

R0,3i = Rz6(1i)Rz5(3i)

donde la matriz de rotacin R0,3i nos proyecta de la base local (x3i,y3i, z3i) a la base iner-cial (x0,y0, z0), para el caso contrario, proyectar de la base inercial (x0,y0, z0) a la base local(x3i,y3i, z3i) se procede como:

R3i,0 = RT0,3i

aplicando R3i,0 a ec. (4. 3d) :

R3iG1i = R3i,0 RG1i

= Rz5(3i)Rz5(3i)

3i3i rG1i

R3G1i = U1i rG1i 3i (4.3e)

donde:

U1i = Rz5(3i)Rz5(3i)

3i

103


Para el cuerpo 2i se hace la siguiente formulacin vectorial, de acuerdo a la fig.(4.3):


RG2i = R2i +R4i +R5i +R6i +R0G2i (4.4a)

Obteniendo el desplazamiento virtual de la ec.(4. 4a);

RG2i = R2i + R4i + R5i + R6i + R0G2i (4.4b)

104

definiendo nuevamente los vectores en el sistema inercial:

R4i = Rz6(1i)Rz5(3i)r4i



R0G2i = Rz6(1i)Rz5(3i)Rz5(7i)Rz4(8i)rG2i

= Rz6(1i)Rz5(3i 7i)Rz4(8i)rG2i= Rz6(1i)Rz5( i)Rz4(8i)rG2i

con los siguientes valores y vectores locales definidos:

i = 3i 7ir4i =

d4i, 0, 0

Tr5i =

0, d5i, 0

Tr6i =

0, 0, d6i

TrG2i =

xG2i, yG2i, zG2i

TrG3i =

xG3i, yG3i, zG3i

Tobteniendo sus desplazamientos virtuales:

R4i = Rz6(1i)Rz5(3i)

3i3i r4i


3i3i r5i


3i3i r6i

R0G2i =

Rz6(1i)

Rz5( i)

i i Rz4(8i) +Rz6(1i)Rz5( i)

Rz4(8i)8i

8i

rG2i

Sustituyendo los desplazamientos virtuales anteriores en ec. (4. 4b) :


3i(r4i + r5i + r6i)3i + (4.4c)

Rz6(1i)Rz5( i)

i i Rz4(8i) +Rz6(1i)Rz5( i)

Rz4(8i)8i

8i

rG2i

Transformando a la base local (x8i, y8i, z8i) a travs de las siguientes rotaciones:

R0,8i = Rz6(1i)Rz5( i)Rz4(8i)

105

esta ltima nos proyecta a la base inercial (x0,y0,z0), para proyectar a la base local (x8i,y8i,z8i) seprocede como:

R8i,0 = RT0,8i = Rz4(8i)Rz5( i)Rz6(1i)

aplicando la ec.anterior a la ec (4. 4c) tenemos:

R8iG2i = R8i,0 RG2i = Rz4(8i)Rz5( i)Rz5(3i)

3i(r4i + r5i + r6i)3i +

Rz4(8i)Rz5( i)Rz5( i)

i i Rz4(8i) +Rz4(8i)

Rz4(8i)8i

8i

rG2i

renombrando trminos:

R8iG2i = U2i(r4i + r5i + r6i)3i +U3i rG2i i +U4i rG2i 8i

donde:

i = 3i 7iU2i = Rz4(8i)Rz5( i)

Rz5(3i)

3i

U3i = Rz4(8i)Rz5( i)Rz5( i)

i

U4i = Rz4(8i)Rz4(8i)

8i

por lo tanto:

R8iG2i = (U2i(r4i + r5i + r6i) +U3i rG2i)3i U3i rG2i 7i +U4i rG2i 8i (4.4d)

106


Para el cuerpo 3i observamos en la fig. (4.4) la construccin vectorial siguiente:


RG3i = R2i +R4i R5i +R6i +R0G3i (4.5a)

Obteniendo sus desplazamientos virtuales y observando que las expresiones para el centro degravedad del cuerpo 2i, difieren slo por el signo del vector R5i, por lo tanto se tiene:

R80iG3i = (U2i(r4i r5i + r6i) +U3i rG3i)3i

U3i rG3i 7i +U4i rG3i 8i (4.5b)

107


El centro de gravedad de este cuerpo, se puede observar en la fig. (4.5):


RG5i = Rp +R17i +R14i +R5ai (4.6a)

con los vectores siguientes definidos en la base inercial:

Rp =xp, yp, zp

TR17i = Rz6(16i)r17i

R14i = Rz6(16i)Rz5(15i)r14i

R5ai = Rz6(16i)Rz5(15i)r5ai

con los siguientes y vectores definidos en la base local correspondiente:

r14i =0, d14i, 0

Tr17i =

d17i, 0, 0

Tr5ai =

0, 0, d5ai

Tahora obteniendo los desplazamientos virtuales de la ec.(4. 6a):

RG5i = Rp + R17i + R14i + R5ai (4.6b)

108

donde:

Rp =xp, yp, zp

T(4.6c)

R17i = 0

R14i = 0

R5ip = 0

Sustituyendo valores de ec.(4. 6c) en (4. 6b):

RG5i = Rp (4.6d)


Debido a que este cuerpo es paralelo siempre al cuerpo 5i, la construccin del lazo vectorial solodifiere en el signo de un vector, por lo tanto el lazo vectorial, es el siguiente:

RG6i = Rp +R17i R14i +R6ai (4.7a)

donde:

R6pi = Rz6(16i)Rz5(15i)r6ai

r6ai =0, 0, d6pi

Tobteniendo los desplazamientos virtuales de la ec.(4. 7a):

RG6i = Rp + R17i + R14i + R6ai (4.7b)

donde:R6ai = 0 (4.7c)

Sustuyendo valores de ec.(4. 6c), (4. 7c) en (4. 7a):

RG6i = Rp (4.7d)

109

Centro de Gravedad de la Plataforma Mvil p

El lazo vectorial siguiente se muestra en la figura (4.6):

Rplato = Rp +R0G4 (4.8a)

Fig. 4.6 Ubicacin del centro de gravedad del cuerpo 4.donde :

Rp =xp, yp, zp

TR

0G4 =

xG4, yG4, zG4

Testos vectores son medidos en la base local (xp, yp, zp), esta base es paralela a la base inercial (x0,y0, z0). Tomando sus desplazamientos virtuales:

Rplato = Rp + R0G4 (4.8b)

con:

Rp =xp, yp, zp

T(4.8c)

R0G4 =

0, 0, 0

Tsustituyendo ec.(4. 8c) en (4. 8b):

Rplato = Rp (4.8d)

110

4.2.2 Velocidades de Centros de Gravedad

Velocidad de Centro de Gravedad 1i

Derivando la ec. (4. 3a):RG1i = R2i + R

0G1i (4.9a)

para cada trmino tenemos:

R2i = 0

R0G1i = Rz6(1i)Rz5(3i)rG1i (4.9b)

= Rz6(1i)Rz5(3i)

3i3irG1i

sustituyendo ec. (4. 9b) en (4. 9a):


3i3i rG1i (4.9c)


Derivando la ec. (4. 4a) obtenemos:

RG2i = R2i + R4i + R5i + R6i + R0G2i (4.10a)

derivando los vectores;



R6i = Rz6(1i)Rz5(3i)r6i (4.10b)

R0G2i = Rz6(1i)(Rz5( i)Rz4(8i) +

Rz5( i)Rz4(8i))rG2i


Derivando la ec, (4. 5a) obtenemos:

RG3i = R2i + R4i R5i + R6i + R0G3i (4.11a)

derivando el vector R0G3i:

R0G3i = Rz6(1i)

Rz5( i)Rz4(8i) +Rz5( i)Rz4(8i)

rG3i (4.11b)

y con las velocidades de vectores previamente obtenidos se tiene la velocidad RG3i.

111


De ec.(4. 6a) derivando para obtener su velocidad, tenemos:

RG5i = Rp + R17i + R14i + R5ai (4.12a)

donde:

Rp =xp yp zp

TR17i = 0

R14i = 0

R5ai = 0

sustituyendo los vectores de velocidad arriba mencionados en ec (4. 12a):

RG5i = Rp (4.12b)


De ec. (4. 7a) derivando para obtener su velocidad, tenemos:

RG6i = Rp + R17i R14i + R6ai (4.13a)

de modo que la velocidad de RG6i es:RG6i = Rp (4.13b)

Velocidad de Centro de Gravedad de la Plataforma Mvil p.

Derivando la ec (4. 8a) tenemos el vector de velocidad del centro de gravedad de la plataformamvil p:

Rplato = Rp + R0G4 (4.14a)

con los valores de los siguientes vectores:

R0G4 = 0

de modo que la velocidad del centro de gravedad de la plataforma mvil p es:

Rplato = Rp (4.14b)

112

4.2.3 Aceleraciones de Centros de Gravedad

Aceleracin de Centro de Gravedad 1i

Derivando la ec. (4. 9a) con respecto al tiempo:

RG1i = R2i + R0G1i (4.15a)

y tomando la siguiente expresin general:

R =R

R =2R

2

2+R

para cada trmino tenemos:

R2i = 0

R0G1i = Rz6(1i)Rz5(3i)rG1i (4.15b)

= Rz6(1i)

2Rz5(3i)

23i

3i2+Rz5(3i)

3i3i

rG1i

sustituyendo ec. (4. 15b) en ec.(4. 15a):

RG1i = Rz6(1i)

2(Rz5(3i))

23i

3i2+Rz5(3i)

3i3i

rG1i (4.15c)

Transformndola a la base local (x3i, y3i, z3i) con la siguiente matriz de rotacin:

R3i,0 = Rz5(3i)Rz6(1i)R3iG1i = R3i,0RG1i

aG1i = R3iG1i = Rz5(3i)

2Rz5(3i)

23i

3i2+Rz5(3i)

3i3i

rG1i (4.15d)


Derivando la ec. (4. 10a) obtenemos:

RG2i = R2i + R4i + R5i + R6i + R0G2i (4.16a)

113

derivando los vectores:

R2i = 0




R0G2i = Rz6(1i)(Rz5( i)Rz4(8i) + 2 Rz5( i)Rz4(8i) +

Rz5( i)Rz4(8i))rG2idonde las derivadas de las matrices de rotacin son:

Rz5( i) =Rz5( i)

ii

Rz5( i) =2Rz5( i)

2i(i)

2 +Rz5( i)

ii

Rz4(8i) =Rz4(8i)

8i8i

Rz4(8i) =2Rz4(8i)

28i

8i2+Rz4(8i)

8i8i

Transformando a la base local (x8i, y8i, z8i):

R8i,0 = Rz4(8i)Rz5( i)Rz6(1i)aplicando a la ec.(4,16a) para obtenerla en la base local (x8i, y8i, z8i)

aG2i = R8iG2i = R8i,0RG2i

= Rz4(8i)Rz5( i)(Rz5(3i)(r4i + r5i + r6i) +(Rz5( i)Rz4(8i) + 2 Rz5( i)Rz4(8i))rG2i) +Rz4(8i)Rz4(8i)rG2i (4.16b)

con:

i = 3i 7ii = 3i 7i


Observando que las expresiones para la aceleracin del centro de gravedad 3i, difieren de laaceleracin del centro de gravedad del cuerpo 2i solo por el signo del vector R5i se tiene:

aG3i = R8iG3i = R8i,0RG3i

= Rz4(8i)Rz5( i)(Rz5(3i)(r4i r5i + r6i) + (Rz5( i)Rz4(8i) +2 Rz5( i)Rz4(8i))rG3i) +Rz4(8i)Rz4(8i)rG3i (4.17a)

114

transformando a la base local (x8i,y8i, z8i)

aG3i = R8iG3i= R8i,0RG3i

= Rz4(8i)Rz5( i)(Rz5(3i)(r4i r5i + r6i) + (Rz5( i)Rz4(8i) +2 Rz5( i)Rz4(8i))rG3i) +Rz4(8i)Rz4(8i)rG3i (4.17b)

Aceleracin del Centro de Gravedad 5i

Derivando ec. (4. 12a), se tiene:

RG5i = Rp + R17i + R14i + R5ai (4.18a)

donde:

Rp =xp, yp, zp

TR17i = 0

R14i = 0

R5ai = 0

sustituyendo los vectores de aceleracin arriba mencionados y sustituyendo en ec. (4. 18a):

RG5i = Rp (4.18b)

Aceleracin del Centro de Gravedad 6i

Derivando ec. (4. 13a), se tiene:

RG6i = Rp + R17i R14i + R6ai (4.19a)

por lo tanto:RG6i = Rp (4.19b)

Aceleracin del Centro de Gravedad de la Plataforma Mvil p

Este es un dato que se proporciona, por lo tanto:

aGp =xp, yp, zp

T(4.20a)

115

4.2.4 Fuerzas y Momentos Inerciales

Las velocidades y aceleraciones angulares totales de los cuerpos, estn definidas en sus respec-tivas bases locales. Por las caractersticas del mtodo las matrices de inercia estn siendo medidasen el centro de gravedad correspondiente a cada cuerpo.

F3i1i = m1i aG1i

F8i2i = m2i aG2i

F8i3i = m3i aG3i

Fp5i = m5i aG5i (4.21a)

Fp6i = m6i aG6i

Fpp = m4 aGp

Obteniendo momentos inerciales en la base local

M3i1i = IG1i 13i,0 +

13i,0

IG1i

13i,0

M8i2i = IG2i

28i,0 +

28i,0

IG2i

28i,0

(4.21b)

M8i0

3i = IG3i 38i,0 +

38i,0

IG3i

38i,0

donde:

13i,0 = 3i

28i,0 = R8i,0 20,7i

38i,0 = R8i,0 20,7i

13i,0 = 3i

28i,0 = R8i,020,7iR

T8i,0

38i,0 = R8i,030,7iR

T8i,0

13i,0 = R8i,010,3i

28i,0 = R8i,020,7i

38i,0 = R8i,020,7i

Las velocidades y aceleraciones angulares inerciales se muestran en el cpitulo 3 ecs.(3. 3a), (3. 5b),(3. 7a), (3. 8b), (3. 9b), (3. 12c), y (3. 13c).

116

4.2.5 Desplazamientos Virtuales Q1i, Q2i, Q3iA partir de la definicin [15], que relaciona las velocidades angulares con los desplazamientos

virtuales:

Qi =

qq (4.22a)

y aplicando a ec. (3. 5b) tenemos para el primer desplazamiento virtual en el sistema inercial:

Q1i =10,3i

3i3i

Q1i =R0,3i 3i

3i3i

y tomando en cuenta que:

3i = 3i y3i

7i = 7i y7i8i = 8i x3i

llevando a la base local (x3i, y3i, z3i) queda:

q1i = R3i,0 Q1i

= R3i,0(Rz6(1i)Rz5(3i)3i y3i)

3i3i

= Rz5(3i)Rz6(1i)Rz6(1i)Rz5(3i) y3i 3iq1i = y3i 3i (4.22b)

Desarollando el trmino Q2i y aplicando a ec.(3. 8a):

Q2i =20,8i

3i3i +

20,8i

7i7i +

20,8i

8i8i

117

obteniendo cada trmino de la ecuacin anterior y sustituyendo los terminos 3i,7i,8i respecti-vamente:

20,8i

3i=

(0,3i+0,7i+0,8i)

3i=

=Rz6(1i)3i y3i

3i+Rz6(1i)Rz5(3i)7i

3i+

Rz6(1i)Rz5(3i)Rz5(7i)8i3i

= Rz6(1i) y3i20,8i

7i=

(0,3i+0,7i+0,8i)

7i=

=Rz6(1i)(7i y7i)

7i+Rz6(1i)Rz5(3i)7i

7i+

Rz6(1i)Rz5(3i)Rz5(7i)8i7i

= Rz6(1i)Rz5(3i) y7i20,8i

8i=

(0,3i+0,7i+0,8i)

8i=

=Rz6(1i)3i

8i+Rz6(1i)Rz5(3i)7i

8i+

Rz6(1i)Rz5(3i)Rz5(7i)(8i x8i)8i

= Rz6(1i)Rz5(3i)Rz5(7i) x8i

sustituyendo los valores anteriores en Q2i:

Q2i = Rz6(1i) y3i 3i Rz6(1i)Rz5(3i) y7i 7i Rz6(1i)Rz5(3i)Rz5(7i) x8i 8i

Llevando a la base local (x8i, y8i, z8i), la expresin anterior a travs de la matriz antes definidaR8i,0:

q2i = R8i,0 Q2i

q2i = Rz4(8i)Rz5(7i)Rz5(3i) y3i 3i Rz4(8i)Rz5(7i) y7i 7i Rz4(8i) x8i 8i (4.22c)

118

Para el desplazamiento q3i se tiene:q3i = q2i (4.22d)

La ec. (4. 1a) est referida al sistema inercial, sin embargo se desea mostrar que no importandodonde se referencien los elementos de esta ecuacin se encontrar el mismo resultado.Por lo tanto llevando los elementos de la ec.(4. 1a) a los marcos de referencia correspondientes

se tiene:

(W 3i1i F3i1i)T R3iG1i + (T3ii M3i1i)T q1i +(W 8i2i F8i2i)T R8iG2i

M8i2i

Tq2i +

(W8i0

3i F8i0

3i )T R8i

0

G3i M8i

0

3i

Tq3i + (W

pplato +

W pcarga +Wp5i +W

p6i F

p5i F

p6i Fpp)T Rpp = 0 (4.23a)

donde:

T3ii = Ti y3i

Ti =T1, T2, T3

TRenombrando trminos:

FAi = W3i1i F3i1i

FBi = W8i2i F8i2i

FCi = W8i0

3i F8i0

3i

FDi = Wpplato +W

pcarga +W

p5i +W

p6i F

p5i F

p6i Fpp

Sustituyendo ec. de desplazamientos virtuales (4. 3e), (4. 4d), (4. 5b), (4. 7d), (4. 8d), (4. 22b), (4.22c) y (4. 22d) se tiene:

FTAi(U1i rG1i 3i) +T3iiTy3i 3i (M3i1i)T y3i 3i +

FTBi [U2i(r4i + r5i + r6i) +U3i rG2i] 3i FTBiU3i rG2i 7i +FTBiU4i rG2i 8i

M8i2i

Ty03i3i +

M8i2i

Ty07i 7i +

M8i2iTx8i 8i + F

TCi [U2i(r4i r5i + r6i) +U3i rG3i] 3i

FTCiU3i rG3i 7i + FTCiU4i rG3i 8i

M8i

0

3i

Ty03i 3i +

M8i0T

3i y07i 7i +

M8i

0

3i

Tx8i 8i + F

TDi R

pp = 0

119

los terminos y03i, y

07i son respectivamente:

y03i = Rz4(8i)Rz5(7i)Rz5(3i) y3iy07i = Rz4(8i)Rz5(7i) y7i

Agrupando en trminos de desplazamientos virtuales: 3i, 7i, 8iT3iiT

y3i 3i + (FTAi(U1i rG1i) (M3i1i)T y3i + FTBi(U2i(r4i + r5i + r6i) +

U3i rG2i)M8i2i

Ty03i + F

TCi (U2i(r4i r5i + r6i) +U3i rG3i)

M8i0

3i

Ty03i)3i + (FTBi (U3i rG2i) +

M8i2i

Ty07i FTCi (U3i rG3i) +

M8i0

3i

Ty07i)7i + (F

TBi (U4i rG2i) +

M8i2i

Tx8i + F

TCi (U4i rG3i) +

M8i0

3i

Tx8i8i + F

TDi)Rp = 0

renombrando nuevamente:

FEi = FTAi(U1i rG1i) (M3i1i)T y3i + FTBi (U2i(r4i + r5i + r6i) +U3i rG2i)M8i2i

Ty03i + F

TCi (U2i(r4i r5i + r6i) +U3i rG3i)

M8i

0

3i

Ty03i

FFi = FTBi (U3i rG2i) +M8i2i

Ty07i FTCi (U3i rG3i) +

M8i

0

3i

Ty07i

FGi = FTBi (U4i rG2i) +

M8i2i

Tx8i + F

TCi (U4i rG3i) +

M8i

0

3i

Tx8i

Sustituyendo las definiciones anteriores:T3iiTy3i 3i + FEi 3i + FFi 7i + FGi 8i + F

TDi Rp = 0

distribuyendo esta expresin:

Ti 3i +FEi, FFi, FGi

3i7i8i

+ FTDi Rp = 0renombrando:

FHi =FEi, FFi, FGi

i =

3i7i8i

120

por lo que resulta:3Xi=1

Ti 3i + FHii + F

TDi Rp

= 0 (4.23b)

desarollando los siguientes trminos:

i =

3i7i8i

= 1E1i (E2ixp +E3iyp +E4izp)1H1i(H2ixp +H3iyp +H4izp)

1F1i(F2ixp + F3iyp + F4izp)

agrupando matricialmente:

i =

E2iE1i E3iE1i E4iE1iH2iH1i

H3iH1i

H3iH1i

F2iF1i

F3iF1i

F3iF1i

xpypzp

renombrando:

MAi =

E2iE1i E3iE1i E4iE1iH2iH1i

H3iH1i

H3iH1i

F2iF1i

F3iF1i

F3iF1i

Rp =

xpypzp

por lo tanto:

i =MAiRp (4.23c)

El trmino3Xi=1

Ti 3i tiene la siguiente forma:

3Xi=1

Ti 3i = T1 31 + T2 32 + T3 33

agrupando en terminos :

3Xi=1

Ti 3i =T1, T2, T3

313233

renombrando:

3Xi=1

Ti 3i = T0 S (4.23d)

121

donde:

S =

E21E11 E31E11 E41E11H21H11

H31H11

H31H11

F21F11

F31F11

F31F11

xpypzp

por lo tanto:

S =MB Rp (4.23e)

Sustituyendo ec. (4. 23c), (4. 23d), (4. 23e) en (4. 23b):

T0 MB Rp +3Xi=1

(FHiMAiRp+FTDiRp) = 0

agrupando en Rp : T0 MB +

3Xi=1

FHiMAi+F

TDi

!Rp= 0

tomando en cuenta que :Rp 6= 0

T0 MB +3Xi=1

FHiMAi+F

TDi

= 0

despejando T0:

T0 = 3Xi=1

FHiMAi+F

TDi

M1B (4.23f)

La ec. (4,23f) representa el torque necesario para mover el robot delta paralelo.

122

4.3 Solucin de la ecuacin de Trabajo Virtual

De acuerdo a la ec.(4. 23f), la solucin es de tipo anlitica, a diferencia de la solucin de laecuacin de Newton - Euler. Cabe notar como se describi durante el anlisis de trabajo virtual,las matrices de inercia son tomadas en centro de gravedad sin necesidad de transformarlas a unabase en especfico, debido al mtodo empleado. Tenemos los valores de las matrices de inercia parael cuerpo 1i y 2i respectivamente a continuacin:

IG1i =

0,00009678968 0,00000204550 0,000185606640,00000204550 0,00164065610 0,000000246010,00018560664 0,00000024601 0,00158426092

[kg m4]IG2i =

0,00061329563 0,00000000000 0,000000000070,00000000000 0,00061337355 0,000000000000,00000000007 0,00000000000 0,00000086673

[kg m4]Para el anlisis esttico, se muestra en la fig. (4. 7) la grfica de torques, correspondiendo lostorques a la trayectoria planteada en el pendice B..

Fig. 4.7 Grfica de torques estticos

123

Para el anlisis dinmico, se muestra en la fig. (4. 8) la grfica de torques, correspondiendo lostorques a la trayectoria planteada en el pendice B.

Fig. 4.8 Grfica de torques dinmicos

124

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