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-
Universit IBN TOFAL
Facult des Sciences
Dpartement de Mathmatiques
Filire: SMP et SMC
Semestre S1
Cours dAnalyse I
Automne 2012
Chapitre 2: Les fonctions
Pr. Ch. Bensouda
1
-
Chapter 1 Fonctions relles dun vari-
able relle, fonctions numriques:
1.1 Gnratits:
Dfinition:- Une fonction dfinit sur une partie D de R et valeurs dans R est dite
fonction relle dun variable relle.
- On dit aussi fonction numrique dun variable relle.
Notations:(1)
f : D R Rx y := f (x)
(2)y := f (x) R ; x D R
- La variable x D R est la variable indpendante.- La variable y R est la variable dpendante.- Lgalit
y = f (x) Rexprime le fait que la variable dpendante y R est limage de la vriable indpen-dante x D R
Exemples:1- Une fonction peut tre donne sous forme dun tableau
- La fonction f donne par
x 0 16
2 3 - - -
y3 7 13 17 - - -
2- Une fonction peut tre donne par une expression algbrique
- La fonction f donne par
f (x) =2x3 3x2 + 5
x 7 ; x > 7
- La fonction f donne par
y := f (x) =
2x+ 5
3x+ 7; x
], 5
2
]]7
3+
[
- La fonction f donne par
f (x) =
{ x+ 5 si x 5x2 + 2 si x 7
3- Une fonction peut tre sous forme graphique
- La fonction
2
-
x 420-2-4
8
6
4
2
0-2
-4
-6
-8
Remarque:- Daprs le teste de la verticale;
x 210-1-2
y
4
2
0
-2
-4
ne dfinit pas une fonction.
Dfinition:- Lensemble de dfinition dune fonction f , not Df , est le sous-ensemble de
R pour lequel tout lment admet une image et une seule dans R. On crit
Df := {x R / f (x) existe dans R} .- Lensemble des valeurs ou ensemble des images dune fonction f , not Vf ,
est le sous-ensemble de R constitu des images de la fonction f .- On appelle antcdent de y Vf tout lment x Df tel que y = f (x).On crit
Vf := {y R / x Df ; y = f (x) }On crit aussi
Vf := f (Df) := {f (x) R / x Df}Exemple:- La fonction f donne par
f (x) =x2 + x+ 1
x 1 ; x = 1
admet pour domaine de dfinition
Df = {x R / x = 1} = R\ {1} .3
-
- De plus; y Vf si lquation en x
f (x) =x2 + x+ 1
x 1 = y
ou encore
x2 + (1 y) x+ (1 + y) = 0admet une solution
x Df = R\ {1} .- On vrifit que x = 1 nest pas solution de lquation
x2 + (1 y) x+ (1 + y) = 0
- Lensemble des valeurs Vf est donc lensemble des y R pour lesquels
= y2 6y 3 0.
Do
Vf =],
(3 2
3)][(
3 + 23),+
[.
Dfinition:- On appelle graphe dune fonction f et on note Gr (f), lensemble des couples
Gr (f) = {(x, y) Df Vf / y = f (x)} ={(x, f (x)) R2 / x Df
}.
Remarque:- Deux fonctions f et g sont gales si et seulement, si elles ont mmes ensembles
de dfinitions, mmes ensembles des valeurs et mmes graphes. On crit
f = g ssi
{ x Df = Dgf (x) = g (x) Vf = Vg.
Exemples:- La fonction
f : R [1,+[x f (x) = 1 + x2
admet le graphe
Gr (f) ={(x, 1 + x2
) R2/ x R} .- La fonction
g (x) =1x ]0,+[ ; x ]0,+[ .
admet le graphe
Gr (g) =
{(x,
1x
) R2/ x > 0
}.
- En reprsentation graphique; on a
4
-
x 6543210-1
6
5
4
3
2
1
0-1
y = 1x
- La fonction
h (x) =1
1 x2 [1,+[ ; x ]1, 1[
admet le graphe
Gr (h) =
{(x,
11 x2
) R2 / |x| < 1
}
- En reprsentation graphique; on a
x 3210-1-2-3
12
10
8
6
4
2
0
y = 11x2
1.1.1 Fonctions croissantes, fonctions dcroissantes et fonctions monotones:
Dfinition:- Une fonction f est dite croissante sur D Df si
f (x) f (y) ; x < y dans D
ou encore
f (y) f (x)y x 0 ; x = y dans D
- Une fonction f est dite dcroissante sur D Df si
5
-
f (x) f (y) ; x < y dans Dou encore
f (y) f (x)y x 0 ; x = y dans D
- Une fonction f est dite monotone sur D Df si elle est soit croissante soitdcroissante. Ou encore
f (y) f (x)y x
garde un signe constant sur D.Exemples:- La fonction f donne par
f (x) =1
1 + x2; x R
est dcroissante sur R+ et croissante sur R.- En reprsentation graphique; on a
x 420-2-4
1
0.5
0
-0.5
-1
y = 11+x2
- La fonction f donne par
f (x) = x3 ; x Rest croissante sur R donc monotone.
- En reprsentation graphique; on a
x 420-2-4
4
2
0
-2
-4
y = x3
6
-
- La fonction f donne par
f (x) =1
1 + x3; x = 1
est dcroissante sur ],1[ et sur ]1,+[ donc monotone.- En reprsentation graphique; on a
x 210-1-2
4
2
0
-2
-4
y = 11+x3
1.1.2 Fonctions majores, fonctions minores et fonctions bornes:
Dfinition:- Une fonction f est dite majore sur une partie D Df sil existe M R
tel que
f (x) M ; x D
- Une fonction f est dite minore sur une partie D Df sil existe m R telque
f (x) m ; x D
- Une fonction f est dite borne sur une partie D Df si elle est la foismajore et minore sur D. Il existe alors m,M R el que
m f (x) M ; x D
Exemples:- La fonction f donne par
f (x) =1 x41 + x2
; x R
est majore mais nom minore donc non borne.
- En reprsentation graphique; on a
7
-
x 420-2-4
5
0
-5
-10
-15
y = 1x4
1+x2
- La fonction f donne par
f (x) = 2 +1 + x2 + x4
1 + x2; x R
est minore mais nom majore donc non borne.
- En reprsentation graphique; on a
x 420-2-4
20
15
10
5
0
y = 2 + 1+x2+x4
1+x2
- La fonction f donne par
f (x) = 1 +
13
1 + x2; x R
est borne.
- En reprsentation graphique; on a
x 420-2-4
6
5
4
3
2
1
0
y = 1 +13
1+x2
8
-
- La fonction f donne par
f (x) =1 + x5
1 + x4; x R
nest ni majore ni minore.
- En reprsentation graphique; on a
x 420-2-4
4
2
0
-2
-4
y = 1+x5
1+x4
9