a stéphanie, eva et annay - univ-lorraine.fr
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Fo
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poutre non déformée
poutre déformée sans
rotation aux noeuds
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F
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poutre non déformée
poutre déformée
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forme de la déformée
paramètres cinématiquesassociés
milieu continusuggéré
modèle barre (liaison pivot) modèle poutre (liaison rigide)
uuf1
f2
fu u,
Cauchy classique micropolaire (rotations et déplacements indépendant)
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Chapitre 1 ♦r♣q sr s ♠ét♦s
♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q trs
♦♠♠r ♥tr♦t♦♥
sttt♦♥ ♥ ♠ srt r trs ♠♦sss ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♦é♥ést♦♥
♦♥t♥ éq♥t ♣r ♥ ♣♣r♦ é♥rétq
♦♥t♥ éq♥t ♣r s ♠♣s ♠♦②♥s
♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt
♦① s ②♣♦tèss ♦♠♥s ♣♣t♦♥
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![Page 16: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/16.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
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![Page 17: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/17.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
L
PP
W W*
V*
treillis périodiquemilieu homogénéisé
1
2
VER=cellule élementaire
coordonnées du point origine :
avec
Y
Y
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♥tr s é♦r♠t♦♥s ♠ ♦♥t♥ éq♥t
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![Page 18: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/18.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
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![Page 19: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/19.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
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♥ ♣t s♥r q ♣♦r s s s♠♣s trs à s ♥♦ ♣r tt♠ét♦ s r♣♣r♦ s♠♣ ♦♥t♥st♦♥ ♣r é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦rss ♥ tr♥ ❬❪
❯♥ s②♥tès t♦ts s ♠ét♦s st ①♣♦sé ♥s r
♦① s ②♣♦tèss ♦♠♥s ♣♣t♦♥
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![Page 20: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/20.jpg)
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Méthodes d'analyse statique des structures discrètes
Méthode directepar E.F.
ne tenant pas compte dela périodicité
tenant compte de la périodicité
Méthode des champs discrets
milieu continu équivalent homogénéisation
densité d'énergie équivalente champs moyens développement
asymptotique
Renton 1967Tollenaere 1994Karpov 2002
Noor 1988Burgardt Cartraud 1999Hohe 1999...
Gibson 1997Zhu 1997Mohr 2005Liu 2006...
Tollenaere etCaillerie 1998Mourad 2003Caillerie 2006...
r ♣r♥♣s ♠ét♦s ♥②s sttq strtrs srèts
forme de la déformée
paramètres cinématiquesassociés
milieu continusuggéré
modèle barre (liaison pivot) modèle poutre (liaison rigide)
uuf1
f2
fu u,
Cauchy classique micropolaire (rotations et déplacements indépendant)
r Pr♠ètrs ss♦és ♠♦è ♣♦tr ♦s t ♠ ♦♥t♥ q sèr♣rès ♦♦r ❬❪
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②♣♦tès ♣r♠r ♦rr ❯♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♦♥t ♣♣s à s é♦♣♣♠♥ts ♥ sér ♦♥t ♦♥ ♥ ♦♥sèr é♥ér♠♥t q ♣r♠r ♦rr
②♣♦tès sr ♠ ♦♠♦è♥ éq♥t ♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♦♥♣rés♣♣♦s ♦r♠ ♠ à ♦t♥r q ♣r♠t r♥r rt♥s tr♠s ♥st ♦♥ s♠♣r rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ Pr ①♠♣ s s♠ é♥t q strs s ♠♦ès rrs s♦♥t ♠♦ésés ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ①st♥ r♦tt♦♥ ① ♥♦s ♥s s trs ♥ ♠♦è ♣♦tr s♠ sèrr s rr rs ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♦r r ♦♠♠ ♥♦s é♦qr♦♥s♥s tt tès tt ②♣♦tès st rt
![Page 21: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/21.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
treillis avec sa déformée
cellule élémentaire
déformée prédite avecune déformationéquivalente uniforme
r ①♠♣ é♦r♠t♦♥s ♦s s ♥♦s ♥ ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t♣r s ♠ét♦s ♠♣♦s♥t ♥ é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ♣rès ♦♦r ❬❪
②♣♦tès sr ♦♠♣♦rt♠♥t sttq②♥♠q ♥ s ♣ ♥ é♥ér ♥s ♥♦ tr s r
②♣♦tès ♦♠♣♦rt♠♥t é à ②♣♦tès t ❱♥♥t t ♣s é♥ér♠♥t sts ♦rs t ♦① s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♦♠♣♦rt♠♥t st s♦♥té ♣r r♣♣♦rt ♠ ♦r♣s ♦♥séré ♦♠♣♦rt♠♥t sr s ♦rs ♦ ①♥trs ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s ♦ré♠♥t ért♠♥t à ♠ ♦♥t♥
②♣♦tès sr s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs à q ré étr t sqà q♦rr qs ♣r♠ètrs é♦♣♣r ② é♠♥t ♥ s♣♣♦st♦♥ ♦♥r♥ s ♦♥ é♦♣♣ à ♥ ♦rr n→ ∞ ♦♥t♦♥ ♦t ♦♥rr t ♥♦♥ rr
♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠ éq♥t ♣rés♣♣♦sé éstq ést♦♣stq
②♣♦tèss sr ♦r♠ ♠té♠tq s ♠♣s é♣♠♥t ♦ é♦r♠t♦♥♠r♦s♦♣q ❯♥ rt♥ ♥♦♠r ♠ét♦s ♣rés♣♣♦s ♥ ♠♣ é♣♠♥t♦ é♦r♠t♦♥ ♦ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ s♥ s ♦r srs
②♣♦tès sr ♥sté é♥r tr♠♦éstq ♠♠s♥é ss ♥ à étt r♣♦s q é♦r♠é q ♦t êtr ♥tq ♥s trs ♦r♥ ♦ s♦♥ éq♥t♦♥t♥ ♣r♥♣
s ♦♠♥s ♣♣t♦♥s ♦ s ♠tér① tsés ♦♥♥♥t ① à s r♥ts q♥t① ♠ét♦s tsés
②♣♦tès sr ♥tr s♦ ②♣r ②♣♦ sttq trs ♦♥séré sr ♥♦♠r rés rté ♦rés ① ♥♦s s♦♥ ♣♦t ♦ r s♣♥ t ❬❪ t t♥s♦♥ ♥ ❬❪
♥tr é♦♠étr ♠r♦s♦♣q ♠ ♦♠♦é♥ésé ♣♦tr ♦ ♣q trs ♦ ♦r r ②♣♦tès sr s ♥s ♥tr s ♣r♠ètrsé♦♠étrq Pr ①♠♣ ♣♦r s s ♣qs t ♣♦trs étt♦♥ ♥ ♥♥tr é♣ssr t rr s ♣♦trs
![Page 22: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/22.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
♣q ♣ér♦q ♣rès ❲❨❬❪
strtr ♣ér♦q ♣rès t ❬❪
♣♦tr ♣ér♦q strtr ♣ér♦q
♣♦tr ♣ér♦q
r ① ♣ér♦qs srts s é♦♠étrs ♠r♦s♦♣qs ér♥ts
![Page 23: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/23.jpg)
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②♣♦tèss sr s ♣rtrt♦♥s ♥s ré♣éttté é♦♠étr trs strt♦♥ ❱♦r♦♥♦ ❬♥rs ♥ s♦♥ ❪
②♣♦tèss sr ♦r♠ s ♠r♦strtrs st s♦♥t ♣♦r s trs ②♣♦tès♣♦tr q st ♦♥séré ♥ é♦♠étr st♦♥ ♦♥st♥t t ♦♠♠♥ ♠srt♥s ♠ét♦s ♦r ♣r ①♠♣ ♦r♥ ♥ ❬❪ ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t♥ rt♦♥ é♦♠étr st♦♥ ♦ trs t②♣s éé♠♥ts ♦♠♠ ♥ss ♠♦sss à ♦rt ♥sté
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s ♣rêt r♠rq♠♥t ♥ à ♥ trt♠♥t t♦♠tq q ♦♥stt♥ ♥♦s ♦ts ♥s ♣rés♥tt♦♥ q♥ t ♦r ❬❪ sr♣t♦♥♠té♠tq é♦♠étr trs s♦s s ♦rrs ♣♣r♥ts ♣r♠t ♦ t♦ts s♦rts trs s♦s ♦r♠ t① ♦ s ♣rêt sé♠♥tà ♥ trt♠♥t ♥♦r♠tq
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♣t s♣tr ① trs t♦ts s♦rts ♦♥ ♣r♥♣ r♥tt éq♥ ♥sté é♥rétq
♥s st ♣tr ♦♥ ♠♦♥trr q tt ♠ét♦ st ss ♦♠♦é♥ést♦♥s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s
♦s r♦♥s ♥é♥♠♦♥s ♥ ♥t♦rs à tt rè ♥s ♣tr tr♦s ♥ s♥t ♥ ♣rtr ♠♠r♦♣♦r
![Page 24: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/24.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
dépl
acem
ent u
e
abscisse x sur la barre
déplacement homogénéisé
déplacement réel
M
M'
M''M
M*
r é♣♠♥t ♥ rr ♣ér♦q t rt♦♥ é♣♠♥t ♥tr s♣♦♥ts ♦♥ts ♦ sé♣rés ♥ ♣ér♦
♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs♦♥t♥s à s ♠① ♣ér♦qs srtstrs
♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s sst ♦♥stté sr s s tr① és à ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① étér♦è♥s ♦r♣ sr qst♦♥ st♦♥♥t ♦♥ ♣t s réérr à ♦r♥rt t ❬❪ r♠♥ ❬❪ ♥③rt ♥♥③P♥ ❬❪ ♦ ♠♦ ♥ ♥ ❬❪ s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♥t♥st été ét♥s ① ♠① srts ♣ér♦qs
♥ ♣rés♥tr qqs réstts és à ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs ♣ré♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♣s ♦♥ r ♥ s ♠① srts s ♥t t♦t♦♥ ♦♠♠♥r ♣r ♣rés♥tr qqs é♥t♦♥s és à ♥♦t♦♥ ♣ér♦té ♦s r♦♥s trrs ♥ ①♠♣ s ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥
♦t♦♥ ♣ér♦té ①♠♣ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥
♥ ♣t ♦♥sérr ①♠♣ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ r ♠♦ ♥ ♥❬❪ ♣♦r strr ♥♦t♦♥ ♣ér♦té t s♦♥ ♥♥ sr s♦t♦♥ ♠té♠tq réstt ré
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x
ε rr s rrs st t q
k(y) =
k1 ♣♦r 0 < y < l1
k2 ♣♦r l1 < y < l
![Page 25: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/25.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
milieu hétérogène périodique
e
L
W*lW
cellule élémentaire Y
D
D
1
2
r ①♠♣ ♠ étér♦è♥ à strtr ♣ér♦q
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k1+L2
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uε = u0(x) + εu1(x
ε
)
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♠s r♥ t ♦r r ♦♠♠ sr ①♣qé ♥s ♣rr♣ ♥ s♥s♣r♥t éqt♦♥ ♦♥ ♣t ♦rs é♦♠♣♦sr ♠♣ é♦r♠t♦♥ ♦ε(u(x)) ♥ ♥ ♠♣ ♠♦②♥ ε q srt ♠♣ é♦r♠t♦♥ s ♠ étt ♦♠♦è♥t ♥ ♦rrt♦♥ t♥t ε′(x) q t♥t ♦♠♣t ♣rés♥ étér♦é♥étés
u(x) = ε.x+ u′(x) ε(u(x)) = ε+ ε(u′(x)) u′ ♣ér♦q
![Page 26: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/26.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
r rs rrs ♥s ♥ rés ①♦♥ ér♥ts ♦① ♣♦sss ♣♦r s ♦r♥rt t ❬❪
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♥ ♥♦♠♠ ♦st♦♥ ♠♦ ♥ ♥ ❬❪ ♣♣r♠♥ t ❬❪ ♣s étr♠♥t♦♥ s ♠♣s é♦r♠t♦♥ t ♦♥tr♥t ♥tr♥ ❱ t♥s q ♠♦②♥♥ s ♠♣s sr ♣♣é ♦rs ♣s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣♣r♠♥ t ❬❪ r♣r♥♥t st♥t♦♥ ét ♣r qt ❬❪ ♥♦♠♠ ♦st♦♥ ♥♦♥tr♥t ♦♣ért♦♥ q ♦♥sst à ♦t♥r ♦♥tr♥t ♦ à ♣rtr ♦♥tr♥t ♠r♦s♦♣q t♥s q ♦♥ ♣t ♥♦♠♠r ♣r ♦st♦♥ ♥ é♦r♠t♦♥ ♣r♦ér q♦♥sst à étr♠♥r é♦r♠t♦♥ ♦ ♥s éé♠♥tr ♥ s♥t ②♣♦tès♥ ♠♣ é♦r♠t♦♥ ♥♦r♠ ♦r r
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![Page 27: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/27.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
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⟨Wmicro
⟩= 〈Wmacro〉
1
2〈σ (x) : ε (x)〉 = 1
2〈σ (x)〉 : 〈ε (x)〉
〈σij〉 =1
VΩ
ˆ
Ω
σij (x) dV
〈εij〉 =1
VΩ
ˆ
Ω
εij (x) dV
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sr s ♦rs t E ♥ t♥sr ♦♥st♥t ♦♥
〈εij〉 = E
〈σij〉 : 〈εij〉 =1
VY
ˆ
Y
(σ : εij) dv
♦r♥s ❱♦t ss t s♥ tr♠♥
trt♠♥t s ♠① étér♦è♥s ét♦rs èr s ♠① ♣ér♦qs♦r♥rt t ❬❪ ♥ rs♦♥ rtèr ét♦r s étér♦é♥étés ❱ à ♦♥sérr st ♦♣ ♣s ♠♣♦rt♥t t ♣s ♦♠♣① ♦t t♥r ♦♠♣t strt♦♥s étér♦é♥étés ♥ ♥ r ♣s s♦t♦♥ ①t ♥ t♦t ♣♦♥t ♠s ♥ st♠t♦♥ s♦t♦♥ ♥ ♦r♥♥t réstt ♥ ♦t ♣♦r r s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs❯♥ t♥q ssq ♣♦r étr♠♥r s ♣r♦♣rétés s ♠tér① à ♠r♦strtrs st
![Page 28: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/28.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
s ♦r♥s s♣érrs t ♥érrs s♦♥ s tr① ❱♦t t ss té♦r st sé sr ♥ ♦r♠t♦♥ rt♦♥♥ éstté
st♠t♦♥ ❱♦t ♦♥ s♣♣♦s q étt é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q st ♥t♦t ♣♦♥t ♥tq t ♦♥ ♦♥st♥t
〈εij〉 = εij(x) = const
♣♣r♦①♠t♦♥ ❱♦t ♦r♥t ♥ ♦r♥ s♣érr ♣♦r s ♣r♠ètrs ♠é♥q♥ ♠tér
❯♥ ♣♣r♦ ♥♦ été ♥tr♦t ♣r ss ♠s ♦♥trr♠♥t à ❱♦t st étt ♦♥tr♥t q st s♣♣♦sé ♦♥st♥t
〈σij〉 = σij(x) = const
❯♥ ♥é s ♦r♥s été é♦♣♣é ♣r s♥ t tr♠♥ ♣r ♥ ♣♣r♦ rt♦♥♥ ♦♥s♥t ① ♦r♥s s ♣s étr♦ts ♣♦ss s ♦r♥s s♥tr♠♥ ♥s q s ❱♦t t ss s♦♥t s t♥qs ssqs ♣♦r s ♠r♦strtrs ♠t♣ss ♥ ♣♦rrt ♣♥sr ♣♣r♦r s ♠tér① rs ♣r s ♠ét♦s ♥ s♣♣♦s♥t q ♥ s ♣ss ♥ rr t♥♥t rs ③ér♦ s ♦♥ ♦♥sttrt♦rs q ♦r♥ ♠♥♠ srt é♠♥t ♥ rt♥s rts ♥é♥♠♦♥s s♣♥t ❬❪ ♦rqt♦ t ❬❪ t ❩♥ t ❬❪ trt♥ts s ♣r♦♣rétés ♠é♥qss trs s sr♥t s ♦r♥s s♥ t tr♠♥ ♦♠♠ ♥tr qté ♦♣t♠st♦♥ é♦♠étrq trs Ps rt♦ ♠♦ éstq trs♦r♥s s♣érr s♥tr♠♥ st ♣r♦ ♣s ♥ é♦♠étr ♦♣t♠sé ♥ ♣t ♦trq ♥s s ♠♦sss à ♦rt ♥sté ♦rsq ♠r♦strtr rss♠ ♣s à ♥ ♠térs♠♦♥t♥ qà s ♣♦trs s ♦r♥s ♣♥t ♦♥♥r ♦♥♥s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♣♦st ❬❪
♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq s ♠① ♣ér♦qs♦♥t♥s
♣r♥♣ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣têtr ①♣r♠é ç♦♥ s♥t ❯♥ ♦r♣s Ω ♥ ♦♥r rtérstq L st ♦♥séré ♦r r s ♦♥t♦♥s① ♠ts ♥ r♠♥t t ♦rts ♠♣♦sés ♦r♣s Ω st ♦♥stté ♥ ♠tér à♠r♦strtr ♥ ♦♥r rtérstq l P♦r ét à ♥ ♥ ♠r♦s♦♣q ♦♥♠♦és Ω ♣r ♥ ♦r♣s Ω∗ ♥ ♦♥sèr q ♦r♣s Ω∗st s♦♠s ① ♠ê♠s r♠♥ts①térrs t é♣♠♥ts ♠♣♦sés q Ω s ♦r♣s Ω∗st ♦♥stté ♥ ♠tér♦♠♦è♥ t ♦♠♦é♥ést♦♥ st r s ♣r♦♣rétés Ω∗ t s♦rt q ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s♦t éq♥t à Ω
♦rsq♦♥ ♠♣♦s ♥ é♣♠♥t ♥ u = ε.x ① ♦rs Ω é♦r♠t♦♥s ♦♠♦è♥s ♦♥t♦r étt é♦r♠t♦♥ q ♥ rést ♥s ♠tér ♦♠♦é♥ésé st ♥♦r♠ε = ε t étt ♦♥tr♥t st ss ♥♦r♠ σ = σ ♥s ♠ étér♦è♥♣ér♦q ré s ♠♣s ♦① ε t σ s♦♥t ♦s♥t t t♥t t♦r rs rs♠♦②♥♥s ε t σ ♦♥ ♦r ♦♥ ♣t r strt♦♥ ét s ♦♥t♦♥s ① ♠ts
![Page 29: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/29.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
♣r♥♣ t ❱♥♥t é♦♠étr st ♥r♥t ♣r tr♥st♦♥ ♦♥ s trs ♣ér♦té s s♦t♦♥s ε t σ ♣♦ssè♥t é♠♥t tt ♣r♦♣rété ♥r♥ s s♦♥t♣ér♦qs
P♦r ♥ ♠ éstq ♣ér♦té st trt ♣r é♣♥♥ s♣t ♣ér♦qs ♦♥ts éstté P♦r ssrr sé♣rt♦♥ é ♣r♠ètr l ♦t stsr ♦♥t♦♥ l ≪ L s ♠ét♦s ♠té♠tqs tr♥t ♣rt t q ♦♥ r ♥♠t ♦ ♥ ♦♥r♥ s ♠♣s é♣♠♥ts ♦♥tr♥t ♦rsq r♣♣♦rt
ε =l
L→ 0 s ♠ét♦s s♣♣♦s♥t ♦♥ q ε r st ♦♥ ♥s♣♥s é♥r
♦♠♣èt♠♥t strtr ♣r r♣♣♦rt à ♣tt ♣r♠ètr ε ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs été ♣♣qé à ♥♦♠r①
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P♦st♦♥ ♣r♦è♠
♥ ét éqr ♥ ♠ ♦♣♥t ♥ ♦♠♥ s♣ Ω t ♦♥stté ♥♠tér éstq s♦♠s à ♥ ♥sté ♦r f t à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ss sr∂Ω é♣♠♥ts ♠♣♦sés sr ♥ ♣rt ∂Ω ♥sté ♦r sr ♥ tr ♣rt s♥♦♥♥s ♣r♦è♠ s♦♥t s ♠♣s é♣♠♥ts t ♦♥tr♥t q ♦♥ ♥♦♠♠ruε t σε ♣♦r s♥r r é♣♥♥ sàs ♣tt ♣r♠ètr ε s ♠♣s s♦♥ts♦t♦♥s s éqt♦♥s
divσε + f = 0
♥s Ω
σε = Σ(x
ε,∇uε
)
♥s Ω ss♦é à s ♦♥t♦♥s ① ♠ts sr ∂Ω Σ (y,∇uε) é♥ ♣♦r y ∈ Y tét♥ à s♣ ♥tr ♣r ♣ér♦té t st tr♦r s ♠ts uε t σε q♥ε t♥ rs
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♥ s♥s♣r ♣♣r♦①♠t♦♥ ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♠ét♦ é♦♣♣♠♥t ♥♦ é ♦♥sst à r uε t σε s♦s ♦r♠ é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs ♥♣ss♥ ε
uε = u0 (x) + εu1 (x,y) + ε2u2 (x,y) ...σε = σ0 (x) + εσ1 (x,y) + ε2σ2 (x,y) ...♥ ♥♦tr q s ♦♥t♦♥s u0 (x) t σ0 (x) s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ ♥é♣♥♥t
r y ♦① sr sté ♣s ♦♥ s tr♠s s♦♥t ♦♥t♦♥s s rs x ∈ Ω t
r♣♣♦rt ♥st ♣s à ♦♥♦♥r t♥sr é♦r♠t♦♥ [ε] ♣♦r étr ♦♥s♦♥ rt♥strs ts♥t ♣tôt η ♦♠♠ ♣tt ♣r♠ètr ♦ ♥ e
![Page 30: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/30.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
y ∈ Y st é♥ ♣r y =x
ε r ① trt s rt♦♥s à r♥ é r
y trt s rt♦♥s à ♣tt é q s♦♥t ♣♣r♦①♠t♠♥t ♣ér♦qss éqt♦♥s t ♦♥t ♥tr♥r s ♦♣értrs ér♥ts q ♦♥t r sr
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∇uε = ∇xu0 (x) +∇yu
1 + ε(∇xu
1 +∇yu2)+ ...
divσε =1
εdivyσ
0 + divxσ0 + divyσ
1 + ...
♦♥ r♣♦rt s é♦♣♣♠♥ts ♥s t ♦♥ ♦t♥t
1
εdivyσ
0 + divxσ0 + divyσ
1 + ...+ f = 0
σε = Σ(x
ε,∇xu
0 (x) +∇yu1)
+ ...
s é♦♣♣♠♥ts ♦♥t êtr érés q q s♦t r ε ♣r♦ ♣r♠t ♥tr tr♠ à tr♠ s ♦♥ts s ♣ss♥s ε tr ♣rt q♥ εt♥ rs r x/ε ♣r♥ t♦ts s rs ♥s éé♠♥tr q ♣r♠térr q s ♥tt♦♥s s♦♥t s ♣♦r t♦ts s rs x ∈ Ω t y ∈ Y ♥♦t♥t ① ♣r♠rs ♦rrs ε
divyσ0 = 0
divxσ0 + divyσ
1 + f = 0
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P♦r s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s éqt♦♥ ♠♦♥tr q σ0 st ♥é♣♥♥t r y t st ♦① t ♣s t ♥ é♦♣♣♠♥t q ♦♠♠♥ ♣r ♥♦♥t♦♥ σ0 ♥é♣♥♥t ♣r♠ètr ♠r♦s♦♣q y s♦t σ0 = σ0 (x)
éqt♦♥ éqr ♠r♦s♦♣q st ♦t♥ ♣r ♥tért♦♥ éqt♦♥ sr Y ♥ rs♦♥ té♦rè♠ r♥ t ♣ér♦té ♠♣ σ1 sàs y ♥tér divyσ
1 sr Y s♥♥ ♣s ♦♠♠ s rs x t y s♦♥t♥é♣♥♥ts ♦♥ ♣t ♥rsr s ♦♣értrs ♥tért♦♥ ♣r r♣♣♦rt à y t ért♦♥♣r r♣♣♦rt à x ♦ù ♦♥ ♣t réérr éqt♦♥ s♦s ♦r♠
divxσ0 + f = 0
♥s Ω t♥sr ♠r♦s♦♣q s ♦♥tr♥ts σ st é♥ ♦♠♠ ♠♦②♥♥ σ0 sr réér♥ Y
❯♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t st ♥ ç♦♥ é♥ér ♥ rt♦♥ q r t♥sr s♦♥tr♥ts r♥t s é♣♠♥ts ♥s s s ♠① ♣ér♦qs tt rt♦♥
![Page 31: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/31.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
st ♦r♥ ♣r rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ① ♠ts sr Y ♦♥stté s éqt♦♥s t t s ♦♥t♦♥s ♣ér♦té ♣♦rt♥t sr u1 t σ0 ♥ ♠♦♥tr q ♣r ♥ ♥♠♥t r ♣♣r♦♣ré ♣♦rt♥t sr u ♦♥ ♣t réérr ♣r♦è♠ t s♦rt q s♦t♦♥s♦t ♥q ♣♦r σ0 t étr♠♥é à ♥ ♦♥st♥t ♣rès ♣♦r u
♥ ♥♦tr q ♥s s ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♠① ♣ér♦qs s♦t♦♥ s♦t♥t ♣r rés♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ sr réér♥ ♦r♥t ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠r♦s♦♣q ♦rs q ♥s s ♠ét♦s sttstqs st ♥ é♥ér ♥éssr s ♦♥♥r ♥ ♦r♠ ♠té♠tq tt ♦
Pss ① ♠① srts ♦♠♦é♥ést♦♥s②♠♣t♦tq s ♠① ♣ér♦qs ♦♥t♥s
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P♦r é♥r s é♦r♠t♦♥s éq♥ts ♥s ♥ ♠ srt s é♦r♠t♦♥s s♦♥ts ① rt♦♥s é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t à ♥ tr ♠ ♥ ♦♥sèr ①♣♦♥ts stés ♥ x t x +X s ① ♣♦♥ts s♦♥t ♥s ♠ê♠ Y ♦r s ♣♦♥ts t ♥s r ♦rs rt♦♥ é♣♠♥t ♥tr s ① ♣♦♥ts st
uε (x+X)− uε (x) ≈(∇xu
0 (x) +∇yu1).X
Pr ♦♥tr s ért X ♦r ♥ r♥ ♥♦♠r s éé♠♥trs ♣♦♥ts t
♥s r ♦rs ♥ rs♦♥ ♣ér♦té rt♦♥ à ♣tt éx
εst ♥é ♥t rt♦♥ à x t ♦♥
uε (x+X)− uε (x) ≈ ∇xu0 (x) .X
ért X ♥tr s ① ♣♦♥ts st ①t♠♥t ♥ ♣ér♦ ♣♦♥ts t r stàr s X = εYi ♦♥
uε (x+ εYi)− uε (x) ≈ ε∇xu0 (x) .Yi
tt r♥èr rt♦♥ ♠♦♥tr q r♥t ♠r♦s♦♣q ∇xu0 st ♦♥♥é ♣r
rt♦♥ é♣♠♥t ♥tr ① ♣♦♥ts ♠ sé♣rés ♣r ♥ tr ♣ér♦té ♦♥♥ é♠♥t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts q ♦t érr ♠♣ é♣♠♥t sr♥ éé♠♥tr Y ♥ rtr♦ s ♦♥t♦♥s ① ♠ts sr réér♥
st ♥éssr ♦♣tr ♥ sr♣t♦♥ é♦♠étrq trs ♥ ♥ étr ♣stt sr♣t♦♥ ♦r r q t ♥tr trs ♦t ♣tr sr s trs♥♦♥ ♣♦rs ♥ ♥♦tr ♣♦st♦♥ ♥ ♣♦♥t ♥s ♥
xεn = λ(ν1,ν2) + εy
![Page 32: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/32.jpg)
P ❱❯ P❯ ❯ ❯ ❯P ❯
ν1, ν2 s ♦♦r♦♥♥és ♥ ♥♦ n = (n, ν1, ν2) ♦♥séré ♦♠♠ ♣♦♥t ♦r♥ tt éé♠♥tr ♥ ♣t ♦rs ♣♦sr
λ(ν1,ν2) = ε (ν1Y1 + ν2Y2)
νi = (ν1, ν2) ∈ Z és♥♥t ♥s q s tr♦ ♥♦ ε ♣tt♣r♠ètr t εY1 t εY2 s ① trs ♣ér♦té trs ♦♥r s ♣♦trs♥s éé♠♥tr st ♣r♦♣♦rt♦♥♥ à l ♥ ♦♥r éé♠♥tr t s♦rt q l = εL
♥ ♠♦♥tr ♦♥r ♥ r ❬❪ q ♦♥ ♣t é♦♣♣r ♦♥t♦♥ é♣♠♥t s ♥♦s ♥ trs ♣ér♦q s♦s ♦r♠ ♥ st ♦♥t♦♥s é♣♥♥t♥q♠♥t r λ(ν1,ν2)
uεn(λ(ν1,ν2)) = u0(λ(ν1,ν2)
)+ εun1
(λ(ν1,ν2)
)+ ε2un2
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![Page 33: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/33.jpg)
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![Page 34: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/34.jpg)
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![Page 35: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/35.jpg)
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![Page 36: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/36.jpg)
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![Page 37: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/37.jpg)
Chapitre 2♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt
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![Page 38: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/38.jpg)
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![Page 39: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/39.jpg)
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![Page 42: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/42.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
t ♠♥ ♦r ♦ tts r♦♠srt ♦♠♦♥③t♦♥
trs t r strtr r s♣r ♥ ♥tr ♥ ♥ ♦♦ ♦r trr ♦♥ ♠r♦strtr trs ♦ r s♦s t♥ tr ♠♥ rs♣♦♥sr ♠♦st s② ♦sr ♥ ♥♥r♥ ♦♥②♦♠s ♥ ♦♠s s♦♥ ❬❪ t♥ ♣♦②♠r ♦♠s s② ♦ ♥♦t ♦r♠ ♦♠♦♥♦s② ♥r ♦♠♣rss♦♥ ♦r ♠t①♦♥ ♥ str♥ ♦③t♦♥ ♥s ♦r♠ ♥ ♦♠♣rss♦♥ ♣t ♦sr ♦♥ t♦r ♦ s♣♠♥t r rsts r♦♠ t ♦r♠t♦♥ ♥ ♣r♦♣t♦♥ ♦ s ♥s ♥st♦♥ strts ♥ r♦s r rs s str♥ ♦③t♦♥ ♣♥♦♠♥♠st ♥♦r♠② t♥ ♥t♦ ♦♥t ♦r t ♥tt♦♥ ♦ ♦♥sttt ♠♦ s s t tr♦♥♦s ♥st② ♥ ♥t r♦♠ t♦♠♦r♣② ♥②ss t②♣ rs♣♦♥s ♦ ♦♠ ♥r ♦♠♣rss♦♥ ①ts tr ♠♥ sts
♥ st ♣s ♠t t♦ s♠ ♦r♠t♦♥s s♦♥ ♣t ③♦♥ s ♥ ♦r s♦ s♦r♣t♦♥ tr ♣s ♦ ♥st♦♥ rtr③ ② str♦♥ ♥rs ♦ t ♦♥ r rttr ♥ t ♠♥ ♣r♦♣rts ♦ t ♦♠ ♠tr r rs♣♦♥
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♥r② s♣♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ sr s ♠t♠t♠t♦ t♦ r t q♥t ♦♥t♥♦s ♠♠ ♦r ♦ r♣tt srt strtr♠ ♦ ♠♥tr② s s t♥q s ♥s♣r ② t ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ ♣r♦ ♠♦♣ s♥ t r② ts ♦ P♥s♥♦ P♥s♥♦ ♥③ t s ♥ r♥t② ♣♣ ② ♦r ❬❪ ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♦rr♥t② Pr ♥ ❬❪ ♣♣ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♥ ♦♠♥t♦♥ tt ♥r② ♠t♦ ♥r t t s ♦ t ♠t♦ s t ♣r♦ r♣tt♦♥♦ ♥ ♠♥tr② ♠ ♦ ♠s ♦♥♥t t ♥♦s t♦ ♥ ♥ ♥♥t tt t♠② ①♣♥ s ♦♦s ♦♥sr ♥t sr ♦r strtr ♣r♠tr③ ② s♠ ♣r♠tr t rt♦ t♥ rtrst ♥t ♦ t s ♥t t♦ rtrst ♥t ♦ t strtr ♥t♥♥ t rr♥ r ♦r ♦♠ ① ♦♥♦♥srs t ♠t stt♦♥ ♦ ♦♥t♥♦s ♥st② ♦ ♥t s ♦t♥ ♥ t s♠♣r♠tr t♥s t♦ ③r♦ ♥ ts ♠t ♦♥t♥♠ q♥t ♥ rt♥ s♥s t♦ t
![Page 43: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/43.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
♥t tt s ♦t♥ ♦ ♦t♥ ts ♠t ♦r ♦♥ ♦s ♠t♠t② st② tqr♠ ♦ t tt ♥ t ♣♥♥ ♦ s ♦r♥♥ qt♦♥s rss t ♥tr♦s♠ ♣r♠tr s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s ♦ t ♥♦ ♣♦st♦♥ t♥s♦♥s ♥ ①tr♥ ♦rsr rtt♥ ♥ ♥srt ♥ t qr♠ qt♦♥s ♣rr② ①♣rss ♥ ♦r♠②♦r srs ①♣♥s♦♥ ♦ t s♣♠♥ts ♥ ♣♦ss② r♦tt♦♥ rs ♦ r♦♠ r♥①t ♥srt ♥t♦ ts qr♠ qt♦♥s srt s♠s r ♥② ♦♥rt ♥ t♠t ♦ ♦♥t♥♦s ♥st② ♦ ♠s ♥t♦ ♠♥♥ ♥trs tr② t♥ ♦♥t♥♦sstrss ♥ str♥ ♠srs ❲ rr t rr t♦ ♣♣rs ② r ♥ ♦♥r rr♥t ♠♦r ♠t♠t s♣ts ♥ t ♠♣♠♥tt♦♥ ♦ t ♠t♦ ♦r rstrt♥t♦ tts ♦ rtt ♠s ♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥ r❬❪ ♦t t ❬❪ ♦s ♥ t ♣rs♥t ♣♣r s ♦♥ t ♦♠tr ♥rr♠♦r t ♠ ♦r♥tt♦♥ ♥ ♥t r s♣♣♦s ① ♣r♦ s♥t♦r t ♣♣t♦♥s ♥ rt♥ ♦ t q♥t ♦♥t♥♠ ♦r ♦s ♥①t t♦♥t② t q♥t ♣r♦♣rts trt♦♥ ♥ sr ♠♦ P♦ss♦♥s ♦♥t ♥st②♦ t ♦♠♦♥③ tt rss t tt ♦♠tr ♥ ♠♥ ♣r♦♣rts
♦rt♦♠♥ st♦♥s ①♣♦s ♥ s②♥tt ♠♥♥r t ♣r♥♣ st♣s ♦ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q s r♥t ♦ t ♠t♦ ♦r♥② ♦♣ ♥ ♦r❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥ r ❬❪ ♦t t ❬❪ ss♥t ♠♦t♦♥ r♦t t♦ t ♠t♦♦♦② ♦♣ ② ♣r♦s t♦rs s t t♦♥srt♦♥ ♦ ♠ tts ♥ts s♣ ♥t♦♥ ♦♣t ♦r t tr♥srs♦r ts t♥ ♣♦♥t ♦♣ ♥ t ♣rr♣
rst st♣ ♦r♠t♦♥ ♦ t qr♠ ♥♦♥ t strss t♦rsSi
♦ s♠♣② ssq♥t t♥ ♦♣♠♥ts ss♠ ♥ ♦② ♦rs ♥ ♦♦s trt ♦t② v s tt t ♥ss t t s ♥ t ♦r♠ ♦ qr♠♦r ♦♠♥ Ω rts ♥ tr♠s ♦ t ② strss σ
ˆ
Ω
σ : ∇xvdx = 0
t ∇x t r♥t t rs♣t t♦ t r ① t ♦ ♣♦♥t ♥♦t♥ t ♦♦♥trt♦♥ ♦ t♦ s♦♥ ♦rr t♥s♦rs ♥ ♦ ♦♦r♥ts s ♣r♦r♠ ♥ ♦rr t♦①♣rss t ♣r♦s qt♦♥ ♥ st ♦ r♥r ♦♦r♥ts λ = (λ1, λ2, λ3) tr②♦♦ t ♠t♦ ①♣♦s ♥ ♦r ❬❪ s♣t ♣♦st♦♥ ♦ ♠tr ♣♦♥t P srtt♥ x = xiei ♥ rts♥ ♦♦r♥ts s ♥ ①♣rss♦♥ ♦ t t♦r ♥t♦♥
x = R(λ1, λ2, λ3)
♦r♥t ss ♥ r♥r ♦♦r♥ts ♥ ♥ s t st ♦ t♦rs
eλk =∂xi
∂λiei
♦♥trr♥t ss t♦rs ♦ t r♥r ♦♦r♥t s②st♠ eiλ r ♥ ②
![Page 44: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/44.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
eiλ · eλj =δij
t δij t r♦♥r s②♠♦ ♥ ♦rr t♦ ♦t♥ t ①♣rss♦♥ ♦ t strss t♥s♦r ♥♥r③ r♥r ♦♦r♥ts ♠ t ♥ ♦ rs x = x (λ) ♥ t qt♦♥ t ♦♥ ♦ ts tr♥s♦r♠t♦♥ s g ♥ dx = gdλ ♦r rt ♦t② v ts ♦♦r♥t ♥ ♥s t ♦♦♥ rt♦♥s t♥ t ♦t② r♥ts
∇xv =∂v
∂λi⊗ eiλ
qt♦♥ ♥ t♥ ①♣rss ♥ t ♦r♠ˆ
Ω
σ : (∇xv)dx =
ˆ
Ω
σ : (∂v
∂λi⊗ eiλ)gdλ =
ˆ
Ω
(σ · eiλ).∂v
∂λigdλ = 0
♥ ♦r♥② sts t strss t♦r s
Si = gσ · eiλ
qr♠ qt♦♥ ♦♦s r♦♠ t qt♦♥s ♥ ♥ tr♠s ♦ tstrss t♦r Si
ˆ
Ω
Si.∂v
∂λidλ = 0
r♦♠ t ♥t♦♥ ♥ t qr♠ qt♦♥ ♦♥ ♥ t♥ ①♣rss t♦rstrss t♥s♦r s t ② ♣r♦ts ♦ t strss t♦r Si t t ♣♦st♦♥ r♥t∂R
∂λi
σ =1
gSi ⊗ eλi =
1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
❲ ♥①t t t strss t♦r Si r♦♠ t ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ t ♠s ttqr♠ qt♦♥s
♦♥ st♣ ♦♠♦♥③t♦♥ ♦ t srt qr♠ qt♦♥s
s ♣rrqst ♥♠r t ♥♦s ♥ t ♠s ♥ ♥ ♥t rt♦♥ ♦rts ♠s ❲ ♥ t st B(b) ♦♠♣♦s ♦ ♠s ♥♠r b ♥ t st ♦ ♥♦sN (n) ♦♥sst♥ ♦ ♥♦s ♥♠r n ❲ s♦ ♥ t ♦♦♥ tr sts ♦ ♠sb O (n) E (n) t E⌈(n) ♥ ts sts n s t ♦r♥ ♥ ♦r s ♥♦ rs♣t② ❲s♠♠r③ s♦♠ ♦ t s ♥♦tt♦♥s ♥ r
❲ ♥♦t t ♦r ♣♣ t♦ ♠ b t♦ t ♥ ♥♦ n ② Tb ♥ qr♠♦ ♠ ♠♠t② ♠♣s tt tr s ♥ ♦♣♣♦st ♦r −Tb t♥ ♦♥ t ♦r♥♥♦ ♦rs t t ♥♦s ♦ s ♥♦t f b ❲t ts ♥♦tt♦♥s ♦♥ ♥ rtt qr♠ qt♦♥ ♦ t tt
![Page 45: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/45.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
d(O(b))
d(E(b))
initial beam b
deformed beam b
d: displacement
e
e
1
2
Cartesian
e1
e2
λ
λ
curvilinear=Y1
=Y2
ebe
bE(b)
O(b)
Tb
N
Tb
b
t
r ♥♠t ♥ stt rs ♦r ♠ ♠♥t
∑
b∈O(n)
Tb −∑
b∈E(n)
Tb +∑
b∈E⌈(n)
f b = 0
❲ ss♠ tt ♥♦ r♦tt♦♥s ♦rs t t tt ♥♦s ♥ tr♦r ♥♦ ♦♣ strssst♥ ♦♥ t tt s s ss♠♣t♦♥s rtr sss rr♥ trt② ♥ t sq ♣r♦s qr♠ qt♦♥ s ♦♥♥♥t② ①♣rss♥ rt ♣♦r ♦r♠
∑
b∈B(b)
Tb ·[
v(
O(
b))
− v(
E(
b))]
= 0
❲rtt♥ ♥ ts ♦r♠ t s♠♠t♦♥ ♦r t ♠s s t t♦ ♥ ♥st rrt t ♣r♦s qt♦♥ ② ♦♠♣♦s♥ ts s♠ ♥♥ t ② t ♦♠tr② ♦ t tt s r♣rs♥t ♥ ♦rr t♦ sr ♥ ♥♥t tt ♦♠♣♦st sts s ♦ B(b) ♥ N (n) r♣t♥ ♦♥ Z
3 ♥ ♠♥tr② ♦ t tt rr♥ ❲ ②♣♦ts③ tt ♥ ts ♦r♠ stt t tt s qs♣r♦♥ t rr♥ t sts ♦ ♥♦s ♥ ♠s r ♥t ♠♥s♦♥ ♥ r ♥♠NR ♥ BR rs♣t② s t♦ ♥② tr♣t vi = (v1, v2, v3) ∈ Z
3 ♦t ♥ ss♦t s ♥ t ♥♦s ♦ t ♦ tt ♥ sr ② t qr♣ts n = (n, v1, v2, v3) ♥ NR × Z
3 ♥ ♠s ♦ t ♦ tt ♥ sr ②b = (b, v1, v2, v3) ♥ BR × Z
3❲t ts ♥♦tt♦♥s ♥♦t tt t♥ t rr♥ ♦♥ ♥ st t ♥♦ ♦
♦r♥ ♦ ♠ O(b) s♦ tt t ♦♥s t♦ t rr♥ s ♦r♥ ♥♦ ♥ r♣rs♥t ② t qr♣t (n, v1, v2, v3) rtss t ♥ ♥♦ E(b) ♦s ♥♦t ♥ssr②
![Page 46: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/46.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
♦♥ t♦ t rr♥ t s ♥ssr② ♥ ♥ ♥ ♥t ♥♠r ②(v1 + δ1, v2 + δ2, v3 + δ3) tr♣t (δ1, δ2, δ3) ∈ Z
3 ♥ t ♥ ♥♦ tr ♦♥s t♦t rr♥ ♦r t♦ ♥①t t♦ t ts ♠♥s tt ♥ t ♥r s δi ∈ −1, 0, 1ts ♥trs δi ♣rtr② s ♥ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ ♣s
t ts st♣ ♥ rrt t qt♦♥ s ♦ s♠
∑
vi∈Z3
∑
b∈BR
Tb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0
❲ ♥ ♦♠♣♦s Tb ♥ ♥♦r♠ ♥ tr♥srs ♦r ♥ t ♣r♥♣ ♦ rt♣♦r s
∑
vi∈Z3
∑
b∈BR
(Nb +Tb
t
)· [v (O (b))− v (E (b))] = 0
srt ♦♠♦♥③t♦♥ t ♣r♦ ♠ ♦♠♦♥③t♦♥ s s ♦♥ s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥s ♦ t ♥♠t ♥ stt rs rss s♠ ♣r♠tr ε rt♦ ♦ t②♣ ♥t rtrst ♦ ♥ ♠♥tr② t♦ strtr ♥t ❲ ♦♥sr ttts s♠ ♣r♠tr ε→ 0 ♦ ♦♠♦♥③ t s ♥ssr② t♦ ♣r♠tr③ t ♥tr strtr ② ε ts ♦♥r♥s t ♦♠tr② s s t ♦♥sttt ♦r ❲ ♦r♥②st t r♥♥ r♥r ♦♦r♥ts s λε = εvi
♣♦st♦♥s ♦ ♥♦s ♥ t♥ ♥ ② t t♦r ♥t♦♥
Rε(n) = R0(λε) + εRn1(λε) + ...
❲t R0(λε) t ♥ tr♠ ❲ ss♦t ♥t♦♥ ♦ t ♥♦ s♣♠♥t s
dε(n) = d0(λε) + εdn1(λε) + ...
r♦♠ t ♥t♦♥ ♦ Rε(n) t ♣♦st♦♥ ♦ t ♥♦s ♦♥ ♦t♥s t ♦♦♥ s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ t ♥t ♦ t ♠s ♦r ❬❪
lεb = εlb0 + ε2lb1 + ...
❲ s rt♥ ♦♥② t ♦♠♥♥t tr♠ s♣rsr♣t 0 ♥ts tt ♦♥sr t♥t ♦r ♥② ♦r♠t♦♥ ♥ ♦r♥ t t s♠ ♦r♠t♦♥ r♠♦r s♣rsr♣t ε ♥ts tt ♠ t s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ t q♥tt② ♦♥sr❲ ♦♥sr tt ♦r t ♥t rt♦♥ t♦rs ♦ t ♠s eεb = eb0 s ♥♣♥♥t ♦ εts ♠♥s tt ts t♦rs r rt t♦ t ss♠♣t♦♥s ♦ s♠ ♣rtrt♦♥s
s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ rt ♦t② vε s rtt♥ ② ②♦r srs ①♣♥s♦♥
vε(
O(
b))
− vε(
E(
b))
= v(λε)− v(λε + εδib) = −ε∂v(λε)
∂λiδib + ...
r♥ t s②♠♣t♦t ①♣♥s♦♥ ♦ t ♦rs s t ♠♥s ♦ ♠s♦♥sr♥ ♥ rr♥♦ ♠♦ ♥ t ♣rs♥t s t ♥t t♦r e3 ♥ rts♥
![Page 47: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/47.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
♦♦r♥t s②st♠ s ♥♦r♠ t♦ t ♣♥r tt t♦r eb⊥ s ♥tr♦ s t ♥ttr♥srs t♦r ♦r ♠ ③
eb⊥ = e3 ∧ eb
♦r ①rt ♦♥ ♠
Tεb = N εbeb + T εbt eb⊥
♦♠♣♦ss ♥t♦ t ♥♦r♠ ♦r
N εbeb =EsS
εb
lεb((dε (E (b))− dε (O (b))) .eb
).eb
♥ tr♥srs ♦r
T εbt eb⊥ =
12EsIεz
(lεb)3((dε (E (b))− dε (O (b))) .eb⊥
).eb⊥
Es r♣rs♥ts t ❨♦♥s ♠♦s ♦ t ♠ ♠tr Sεb s t ♠ st♦♥ t♠ st♦♥ s s♣♣♦s rt♥r t ♥t t♥ss ♥♦tr ♦ ♦ t♦ ♦♥ t♦t r♠♥ t ♠♦♥strt♦♥ ♥ t s ♦ rt♥r st♦♥ t st♦♥♦ t ♠ s Sεb = tεb Iz s t qrt ♠♦♠♥t ♦ t ♠
♦rr ♥ ε ♦ t ♦♣♠♥t ♦ t st♦♥ tε s ♦t♥ r♦♠ t ♥st② ρ∗ ♦ ttt s ♦♥st♥t ♥♣♥♥t ♦ ε s s
ρ∗ ∝ tεb
lεb
r♦♠ ts rt♦♥ t ♦♦s
tεb ∝ lεb
♦♥ ♦♣s ts rt♦♥ s t qt♦♥ ♦t♥
tεb = εtb0 + ε2tb1 + ..
t♥♥ ♦♥② t ♦♠♥♥t tr♠ t t qrt ♠♦♠♥t ♦r ♠ ♦ rt♥rst♦♥ ♥ ♥t t♥ss
Iεz =
(εtb0)3
12
t♦ t ♣rs♥t② ♦♣t ♠t♦ rs ♦♥ ♠ ♠♥s t tr♥srs♦r rs r♦♠ t ♦♥ ♥ ♥ ♦r ❬❪ r t ❬❪ ♦♥r ♥r ❬❪ ♦t t ❬❪ t ♥trst ♦ t ♣rs♥t ♠t♦ s ①♣♥ ♥ ♠♦rts ♥ t ssq♥t ♣rr♣
t r♠♥s t♦ ①♣rss t s♣♠♥t r♥ t♥ t ①tr♠t② ♥♦s ♦ ♠ ②♦r srs ♦♣♠♥t s t♦
![Page 48: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/48.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
dε (O (b)) = d0 (λε) + εdOR(b)1 (λε) + ...
dε (E (b)) = d0(λε + εδib
)+ εdER(b)1
(λε + εδib
)+ ... =
d0 (λε) + ε∂d0(λε)
∂λiδib + εdER(b)1 (λε) + ε2
∂dER(b)1(λε)
∂λiδib + ... =
d0 (λε) + ε
(∂d0(λε)
∂λiδib + dER(b)1 (λε)
)
+ ...
dε (E (b))− dε (O (b)) = ε
(
dER(b)1 (λε)− dOR(b)1 (λε) +∂d(λε)
∂λiδib)
+ ...
tdER(b)1 (λε) ♥ dOR(b)1 (λε) t ♥♥♦♥ s♣♠♥ts ♦ t rr♥ ♥♦s t♥t ♥t ❲ s♦ ♥ st♦♥ ♦ t♦ s♦ ts ♥♥♦♥s ♥ ♦rr t♦ s♠♣②t ♦♦♥ ♦♣♠♥ts ♥
dDεEO = dε (E (b))− dε (O (b)) = ε
(
dER(b)1 (λε)− dOR(b)1 (λε) +∂d(λε)
∂λiδib)
+ ...
♥srt♥ t qt♦♥s ♥ t qt♦♥s ♥♥ t♦rs ♥ ♦♥ ♦t♥s
N εbeb =Est
b
lb(dDε
EO.eb δib).eb
T εbt eb⊥ =
Es
(tb)3
(lb)3(dDε
EO.eb⊥ δib
).eb⊥
rtr ♥srt t st t♦ qt♦♥s ♥ qt♦♥ t
Tεb =Est
b
lb(dDε
EO.eb δib)eb +
Es
(tb)3
(lb)3(dDε
EO.eb⊥ δib
).eb⊥
♥② ssttt qt♦♥s ♥ ♥ t ♦♦♥ srt ♦r♠ ♦ qr♠ s ♦t♥
∑
vi∈Z3
∑
b∈BR
(
Estb
lb(dDε
EO.eb δib)eb +
Es
(tb)3
(lb)3(dDε
EO.eb⊥ δib
).eb⊥
)
·[
ε∂v(λε)
∂λiδib]
= 0
![Page 49: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/49.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
❲ ♥ rt ts qt♦♥ ♥ t s ♥ t ♦r♠
∑
vi∈Z3
ε2∑
i∈1,2Si ·
[∂v(λε)
∂λi
]
= 0
♥ ts qt♦♥ t t♦r Si ♥ ♥ s
Si =∑
b∈BR
(
Estb
lb(dDε
EO.eb δib)eb +
Es
(tb)3
(lb)3(dDε
EO.eb⊥ δib
).eb⊥
)
δib
♥ Si ♥ ①♣rss ♥ t ♦♥♥s ♦r♠
Si =∑
b∈BR
(Nb +Tb
t
)δib
❲ ♥①t s t ♦♦♥ rst ♦r ❬❪ t♦ tr♥s♦r♠ t srt ♥t♦ ♦♥t♥♦s qr♠ ♦r♠t♦♥ ♦r ♥② s♥t② rr ♥t♦♥ t q♥tt② ε2
∑
vi∈Z3
g(εvi)
♥ ♥tr♣rt s ♠♥♥ s♠ ♦ ♥ ♥tr ♦r Ω t t♥s t♦´
Ωg(λ)dλ s ε ♦s
t♦ s s♥ ts ♣r♦♣♦st♦♥ t qt♦♥ ♥ rtt♥ˆ
Ω
Si · ∂v(λε)
∂λidλ
r♦♠ t strss t♦rs Si ♥ s♥ qt♦♥ ♦♥ ♥ t♥ ♦r♠t t strsst♥s♦r σ s
σ =1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
sr tt t ♠r♦s♦♣ rs ♥tr② ♦♦ r♦♠ t ♦♠♦♥③t♦♥ t♥q ♥ tr s ♥♦ ♥ t♦ ♥ t ♠r♦s♦♣ s s rs ♦ tr ♠r♦s♦♣♦♥tr♣rt s ♥ ss ♦♠♦♥③t♦♥ ♠t♦s
t♦♠t trt♠♥t ♦ t st♣s ♦ t srt ♦♠♦♥③t♦♥ s ♥ ♠♣♠♥t ♥ ♣ ♦ ts st♣s r s♠♠r③ ♥ t ♦♦♥ ♦rt♠ ♥t ①♠♣s t♦ trt ♥①t ♦♥② tts t ① ♥t t♦rs ♥ t r♥r s②st♠ ♥ ♦♥sr ♦ ♦ ♦♥s♦♥ ♥ ♥♦tt♦♥s t t♦rs ♦ t r♥r♦♦r♥ts r ♥♦t Yi = eλi ♥ t rts♥ t♦rs (i, j,k) = (e1, e2, e3) tt t♦♣♦♦② ♥ ♠♦ ② s♠♣② rrt♥ t①t sr♥ ts ♦♠tr② ♥♦♥♥tt②
![Page 50: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/50.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ P❯ P
♥t③t♦♥ ♦ t ts ♦ ♥t t ♥t♦♥ ♦ t ♥t♦♥ R s tt x = R(λ1, λ2, λ3)
r♥s♦r♠t♦♥ ♦ t ①♣rss♦♥
(∂d
∂λi
)
(eλ1 ,eλ2)7→(∂d
∂λi
)
(e1,e2)
t♦ ♦ ♦♥s♦♥ ♥
①♠♣s ♥ t ♣ ♦ t t♦rs ♦ r♥r s②st♠ r ♥♦t Yi = eλi t t♦rs ♦ rts♥ s②st♠ r ♥♦t (i, j,k) = (e1, e2, e3)
♦♠♣♦st♦♥ ♦ t rst♥t Tb = Nb+Tbt s♠ ♦ t ♥♦r♠ ♥ tr♥srs ♦rs
Nb,Tbt rss t s♣♠♥t ♥♥♦♥s dER(b)1 (λε) dOR(b)1 (λε) ♥ t rst ♦rr
②♦r srs ①♣♥s♦♥s ♦ d0
♦t♦♥ ♦ t sqr♠ qt♦♥s qr♠ t ♥♦∑
b∈BR
Tb ·[v (O (b))− v (E (b))] = 0
①♣rss♦♥ ♦ t strss t♦r Si =∑
b∈BR
(Nb +Tb
t
)δib
t♦♥ ♦ t strss t♥s♦r σ =1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
t♦♥ ♦ t ♣r♦♣rts
♦rt♠ ♦rt♠ ♦r t t♦♠t③ srt ♦♠♦♥③t♦♥
qr♠ qt♦♥s ♥ t♦♥ ♦ t s♣♠♥t♥♥♦♥s ♥ t s ♦ ♥tr♥ ♥♦s
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![Page 51: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/51.jpg)
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![Page 52: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/52.jpg)
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![Page 53: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/53.jpg)
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![Page 54: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/54.jpg)
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![Page 55: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/55.jpg)
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♠♦s♥♦ t♠♠ E∗ = 347P ν∗12 = 0.94 E∗ = 338P ν∗12 = 0.97 E∗ = 364P ν∗12 = 1
♠♦s♥♦ t♠♠ E∗ = 1321P ν∗12 = 0.85 E∗ = 1222P ν∗12 = 0.90 E∗ = 1492P ν∗12 = 1
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![Page 56: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/56.jpg)
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kld kla kpd
kla kld + 2 kld kpd + kla kpd
ν∗12 =kla (kld − kpd)
kla kld + 2 kld kpd + kla kpd
![Page 57: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/57.jpg)
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ν∗12(FE) =εlateralεtop
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![Page 58: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/58.jpg)
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![Page 59: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/59.jpg)
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![Page 60: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/60.jpg)
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![Page 61: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/61.jpg)
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S21 S22 0 0
0 0 S33 S34
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t S11 = S22 = kla.kld+2.kpd .kld+kla.kpd2(kld .kla.kpd)
S21 = S12 = S34 = S43 = − kld−kpd
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S44 =kpa.kld+kpa.kpd+2.kpd .kld
2(kpa.kld .kpd)
❲ r tt t rs kla = kld = Esti/Li r t ① ♠♦ ♥ kpa = kpd =12EsIz/L
3i t ①♦♥ ♠♦
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![Page 62: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/62.jpg)
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r ♦t♦♥ ♦ t ①♣♦♥♥t n sE
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![Page 63: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/63.jpg)
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![Page 64: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/64.jpg)
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![Page 65: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/65.jpg)
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![Page 66: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/66.jpg)
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A =√3D2 − πD2/2
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![Page 67: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/67.jpg)
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![Page 68: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/68.jpg)
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2(kb + kf) ν12 = ν23 = ν31 =
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1 E100 = E∗2 ♥ E001 = E∗
3 ♠tr ♣r♠trs kb = EsA/Li ♥ t ①♣rss♦♥s tr♦ r t ① ♠♦
♦ t ♠r♦♠s t A, Li tr st♦♥ ♥ ♥t rs♣t② ♥ kf = 12EsI/L3i t
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t A ♥ t ♠ st♦♥ r
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E100 =1.009Es(ρ
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1 + 1.514ρ∗ ν12 =
0.5 ∗ (1− 1.514ρ∗)
(1 + 1.514ρ∗) ρ∗ =
3A
2√2L2
t A t ♠ st♦♥ r
t ❬❪ rsts s♠t♦♥ rsts t qs r r ② t♦s t♦rs ♦♥sr♥ ♥ ♠♣♦s rt ♥st② ρ∗ = 0.01 t q♥t P♦ss♦♥s rt♦ tq♥t sr ♥ trt♦♥ ♠♦ r ♥ sss② rss t ♠tr ♠♦s ②
ν12 ≈ 0.48 G12 = 3.2.10−5Es E1 = 9.61.10−5Es
![Page 69: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/69.jpg)
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❱t♦♥ ② ♦♠♣rs♦♥ t ♥②t ♠♦s ♥ s♠t♦♥s
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q♥t ❩ t ❬❪ ♦♠♦♥③ t ❬❪ s♦♥ ♥ s② ❬❪
♣r♦♣rts ♣r♦♣rts ts ♦r
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♦♠♦♥③ ♣r♦♣rts ♦r trïr trss ♦♠♣r t trtrs
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♥ s t♦ t s♠ ♥♦ q♥t ♥st② t♦ ♣ r ♥♦ rt♦ ♥st② sts ♥t t♦ t rt♦ ♦
![Page 70: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/70.jpg)
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![Page 71: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/71.jpg)
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♠rqs ♦♠♣é♠♥trs
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♣♣rt q t♥sr s ♦♥tr♥ts ♦t♥ ♥st ♣s ♦♥sst♥t ♣♦r q st s♠♦s s♠♥t ♠s ♥ ♦r♠ s♠r à s t♥srs ♦♥tr♥ts ♥♠ ♠r♦♣♦r ♥ t ♦rsq♦♥ ts ♦ ♠♦è ♣♦tr s♠♣é t♥sr ♦♥tr♥t ♦t♥ ♥st ♣s s②♠étrq ♦♥ ♣t ♥é♥♠♦♥s tsr s ♦r♠sés à té♦r ♠r♦♣♦r ♣♦r rtr♦r ♠♦ s♠♥t ♥s t ♦♥ rtr♦ ♠♦ G12 ♥s ♦ ①♦♥ ♥ ts♥t s ♦r♠s s♥ts sss té♦r ♠r♦♣♦r
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G12 = µ∗ +κ
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![Page 72: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/72.jpg)
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Y1
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Y3
n1
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r ①♠♣s trs trtés ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tqsrèt
![Page 73: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/73.jpg)
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r 8
r 8
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r(2−√2)
4
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3L
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L2+t2√2)
L2−t2+t2√2
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r=
ρ∗
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2
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L
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2
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2L−t√
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![Page 74: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/74.jpg)
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![Page 75: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/75.jpg)
Chapitre 3♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt
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![Page 76: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/76.jpg)
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![Page 77: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/77.jpg)
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![Page 78: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/78.jpg)
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![Page 79: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/79.jpg)
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é♦r ♦♣ ♦♥tr♥tD.L. : (ui, φi)M.D. : ǫij = ui,j+ ∈ijk φk
κij = φi,j
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12(uj,i + ui,j)
kij =12∈klj ul,ki
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![Page 80: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/80.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♦♣♥ ♥tr♦t t♦ts s ♦♠♣♦s♥ts ♣r♠r r♥t é♦r♠t♦♥ ♥s ♦♥t♦♥ ♥sté é♥r s♦s ♥ ♦r♠ ♥♦♥♥ér sr s té♦r s♦♥ r♥t ❯♥ rs♦♥ ♥ér té♦r str♥ r♥t sr ♦♥♥é♣r ♥♥
é♦r s♦♥ r♥t ré s♣érr♣♣é ss té♦r r♥t é♦r♠t♦♥D.L. : ui,jM.D. : εij = ui,j; Kijk = εij,kr♥ t ♥ étr♦♥t s ss ♥ té♦r é♥ér ♥♥t t♦s s r
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é♦r ♠t♣♦r ré s♣érrD.L. : uiM.D. : εij = ui,j; Kijk = εij,kKijkl = εkl,ij Kijklm = εlm,ijk
♥♥ érr ♥ té♦r ♦ à ♦s ♣r♠r t s♦♥ r♥t é♦r♠t♦♥ s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥ ♣♣r té♦r s♦♥ r♥t é♦r♠t♦♥ ♠s rst ♥ s ♣rtr té♦r ♠t♣♦r ♦ts s té♦rs ss♦♥té♥r ① r♥ts é♦r♠t♦♥ sr♦♥t ♣♣és té♦r rés s♣érrs
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é♦r ♠ ♠r♦♠♦r♣ ♦rr s♣érrD.L. : (ui, χij)M.D. : εij = ui,j; eij = ui,j − χij;Kijk = χij,k
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![Page 81: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/81.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
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u = (u, v)
φ = φe3
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![Page 82: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/82.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
Théorie des milieux continus classique
Théorie micropolaire
Théorie couple de contrainte
ou
Théorie des milieux micromorphe
Théorie du second gradient
Théorie multipolaire
Milieux d'ordre supérieur Milieux de degré supérieur
Pr♥♣s té♦rs ♠① ♦♥t♥s é♥érsés t rs ♥s ♠ts
![Page 83: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/83.jpg)
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r♦tt♦♥ ♦ ♣♣é ♠r♦r♦tt♦♥ ss♦é à s ♦♣s ♦♥tr♥ts ♦♥tr♥tst s②♠étrq ♥ éstté ssq ♥st ♣s ♥éssr♠♥t s②♠étrq ♥s s ♦♥tr♥t ♦♠♣♦rt qtr ♦♠♣♦s♥ts σx, σy, σxy, σyx t ♦♣ ♦♥tr♥t ♦♠♦♠♥t ♣r ♥té sr ① ♦♠♣♦s♥ts mxz,myzr
♠ê♠ ç♦♥ q ♣♦r s ♠♣s ♦♥tr♥t ② s ♦♠♣♦s♥ts t♦♥♥s① ♦♠♣♦s♥ts é♦r♠t♦♥ ssqs ǫx, ǫy ǫxy t ǫyx s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♠r♦♦rrs κxz t κyz ♣r♦ts ♣r s ♦♣s ♦♥tr♥ts s é♦r♠t♦♥s s♦♥té♥s s♦♥ r♥♥ ♣r
ǫx =∂u
∂x ǫy =
∂v
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∂v
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∂y+ φ κxz =
∂φ
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∂φ
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κxz =∂ǫyx∂x
− ∂ǫx∂y
κyz =∂ǫy∂x
− ∂ǫxy∂y
∂κyz∂x
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∂σx∂x
+∂σyx∂y
+ px = 0
∂σxy∂x
+∂σy∂y
+ py = 0
∂mxz
∂x+∂myz
∂y+ σxy − σyx + qz = 0
![Page 84: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/84.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♥s s éqt♦♥s sss py px s♦♥t s ♦rs ♦♠qs t♥s q qz st ♥ ♦♣♦♠q
r♥èr éqt♦♥ ♠♦♥tr q ♣rt ♥ts②♠étrq t♥sr ♦♥tr♥tσij st étr♠♥é ♣r r♥ t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t mij
s éqt♦♥s ♦♥sttts éstté ♥ér ♠r♦♣♦r s♦♥t ♦r♠
σkl = Aklmnǫmn +Bklmnκmn
mkl = Cklmnǫmn +Dklmnκmn
♣♦r ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥s♦tr♦♣s t♥srs qtrè♠ ♦rr Aklmn Bklmn Cklmn t Dklmn s♦♥t ♣♣és t♥sr
rté ♠r♦♣♦r Bklmn t Cklmn s♦♥t s ♣s♦t♥srs s t♥srs ♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts ♥♥t s♥s ♦rs ♥ ♥rs♦♥ s ♦♦r♦♥♥és s②stè♠ t Aklmn t Dklmn
s♦♥t s t♥srs ér♥t s ♣r♦♣rétés s♥ts Aklmn = Amnkl Dklmn = Dmnkl P♦r sstrtrs ♣ér♦qs ♥♦r♠s à s②♠étr ♥tr s ♦♥ts rr ♠s♦♥t ♥é♣♥♥ts ♥rs♦♥ s ♦♦r♦♥♥és ♣s♦ t♥sr Bklmn = Cklmn st éà ③ér♦ ❬♠r ♥ ♦ r♦s ♥ s♥ ❪
P♦r ♥ ♠tér ♠r♦♣♦r s♦tr♦♣q t ♥ér s éqt♦♥s ♦♥sttts s s♠♣♥t s♥t s rt♦♥s
σkl = λǫrrδkl + (µ∗ + κ) ǫkl + µ∗ǫlk
mkl = αφr,rδkl + βφk,l + γφl,k
P♦r ♥ ♣r♦è♠ s ♦♥st♥ts α t β s♦♥t ♥s ♥ ♣t érr s rt♦♥s♦♥tr♥ts é♦r♠t♦♥s ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♣♥ s♦s ♦r♠
σ =
σxσyσxyσyxmxz
myz
= [K]
ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz
= [K]
∂u∂x∂v∂y
∂v∂x
− φ∂u∂y
+ φ∂φ∂x∂φ∂y
P♦r s ♣r♦è♠s à é♦r♠t♦♥s ♣♥s ♠tr [K] sért
♦♥ r♦s ♥ s♥ ❬❪ s ♠① ♣♣és à s②♠étr ♥tr ♥tr♦s②♠étrqs s♦♥ts ♠① ♦♥t s éqt♦♥s éqr s♦♥t ♥r♥ts ♣r ♣♣t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r♦tt♦♥ ♥π ♥s ♥♦tr ét s trs s②♠étr ♥tr s éqt♦♥s éqr é♦ s②♠étr ♥tré♦♠étrq trs ♥ ♣♣r ♦♥ ♥tr♦s②♠étrq ♥ trs ♦♥t é♦♠étr st à s②♠étr♥tr
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P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
[K] =
2λ+ 2µ∗ + κ λ 0 0 0 0
λ 2λ+ 2µ∗ + κ 0 0 0 0
0 0 µ∗ + κ µ∗ 0 0
0 0 µ∗ µ∗ + κ 0 0
0 0 0 0 γ 0
0 0 0 0 0 γ
q s♥ q ♣♦r ♥ ♣r♦è♠ ♣♥ t ♥ ♠ à s②♠étr ♥tr ①st qtr♦♥st♥ts ♥é♣♥♥ts λ, µ∗, κ, γ ♦s ♦♥s ♣s rt♦♥ µ = µ∗ + κ
2♦♥
λ t µ s♦♥t s ♠♦s ssqs ♠é s ♠♥s♦♥s N/m2 s ♦♥st♥tsκ, γ s♦♥t ♥♦s ♦♥st♥ts ♠r♦♣♦rs q ♥♥♥t ♥s ♣♦r s ♠tér① ♥♦♥♠r♦♣♦rs ♠♥s♦♥ κ st ♥ N/m2 t♥s q γ st ♥ N ♥ t s N.m/mst tt ♦r♠t♦♥ q st é♥ér♠♥t rt♥ ♣♦r s ♦s éé♠♥ts ♥s ❬t♠t ❪ P♦r s trs q ♥♦s ♦♥s ♦♥sérr ♥♦s ♥♦s ♣r♦♥s ♣tôt ♥s ♥♣r♦è♠ à ♦♥tr♥ts ♣♥s ♠tr rté ♥ ♠tér à s②♠étr ♥tr [K]s ♣rés♥t ♦rs s♦s ♦r♠ ❨♥ t ❬❪ r♦s ♥ s♥ ❬❪
[K] =
(2µ∗+κ)(2λ+2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ
λ (2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ
0 0 0 0
λ (2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ
(2µ∗+κ)(2λ+2µ∗+κ)λ+2µ∗+κ
0 0 0 0
0 0 µ∗ + κ µ∗ 0 0
0 0 µ∗ µ∗ + κ 0 0
0 0 0 0 γ 0
0 0 0 0 0 γ
♠tr s♦♣ss ♦rrs♣♦♥♥t sért
[S] =
2λ+2µ∗+κ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)
− λ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)
0 0 0 0
− λ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)
2λ+2µ∗+κ(2µ∗+κ+3λ)(2µ∗+κ)
0 0 0 0
0 0 µ∗+κκ (2µ∗+κ)
− µ∗
κ (2µ∗+κ)0 0
0 0 − µ∗
κ (2µ∗+κ)µ∗+κ
κ (2µ∗+κ)0 0
0 0 0 0 γ−1 0
0 0 0 0 0 γ−1
s trs s♦♥t ss♠s à s ♠tér① ♦♥t♥s à ♦♥tr♥t ♣♥ ♥ t s trs ♣♥ t♦t♦♠♠ s ♠tér① à ♦♥tr♥t ♣♥ ♥ ♣♦ssè♥t ♣s ♦♥t P♦ss♦♥ ♥s s♥s é♣ssr ♥♦r♠ ♣♥
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P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♥♦s ♣r♠t ♦t♥r ♠♦ ❨♦♥ 1E= S11 = S22
t ♦♥t P♦ss♦♥ − ν
E= S12 = S21
♦♥♥ tr ♣♦r s ♠♦s ❨♦♥ ♠r♦♣♦r t ♦♥t P♦ss♦♥
E =(2µ∗ + κ) (3λ+ 2µ∗ + κ)
2λ+ 2µ∗ + κ=
4µ∗2 + 4µ∗ κ+ κ2 + 6λµ∗ + 3λκ
2λ+ 2µ∗ + κ
ν =λ
2λ+ 2µ∗ + κ
♠♦ s♠♥t G t
G = µ∗ +κ
2
λ =E ν
(1 + ν)(1− 2ν)
s éqt♦♥s à ♠♦♥tr♥t q tr♠ 2µ∗ + κ ♥ éstté ♠r♦♣♦r r♠♣ tr♠ 2µ éstté ssq ♦rsq κ → 0 s rt♦♥s ssqs ♥tr E, νt s ♦♥st♥ts ♠é s♦♥t ♣résrés ♥♥ ♠r é♥ss♥ts ♦♥st♥ts q ♥tr♥♥♥t ♥s rt♥s éqt♦♥s ♠r♦♣♦rs ♦♥r rtérstq lcara
lcara =
√γ
2 (2µ∗ + κ)
q rt♥s ♣rés♥t♥t s♦s ♦r♠ l =
√
B
G B =
γ
4 t tr ♦♣ N
N2 =κ
2 (µ∗ + κ)
N r♥t té♦r éstq ssq à té♦r ♦♣ ♦♥tr♥t ♥s r♥r s ♠♦ κ → ∞ ♥ ♥♦tr ♥é♥♠♦♥s q s♦♥ s té♦rs♦♥ rè s ♥♦ér♥s ♥tr s rs s ér♥ts ♦♥st♥ts E t G ♥ ❬❪ ♥éssté ♦♥srr ♥ é♥r ♥tr♥ ♣♦st ♠♣♦s s ♦♥t♦♥s s♥tssr s ♦♥st♥ts ♠r♦♣♦rs
3λ+ 2µ∗ + κ ≥ 0
2µ∗ + κ ≥ 0
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P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
κ ≥ 0
3α + β + γ ≥ 0
− γ ≤ β ≤ γ
♦s tr♦♥s sr s trs s ♦♥tr♥ts ♣♥s t s é♦r♠t♦♥s ♣♥s ♦♥s r♥ ♦♠♣t q ♥s s s ♣rtrs s ♦r♠s ssqs ♦♥♥és ♣r s éqt♦♥s t ♥ s♦♥t ♣s ♦♥ ♥ ♦♥ ♣s s tsr ♦s ♥♦s ♣r♦♣♦sr♦♥s r s ♦♥st♥ts ♠tér ♠♥èr s♥t
s ♦♥st♥ts ♠r♦♣♦rs κ µ∗ t γ sr♦♥t ♦t♥s à ♣rtr ♠tr rr[K] s♦t ♣♦r ♥ ♠ s♦tr♦♣
µ∗ + κ = K33
µ∗ = K34 γ = K55
♠♦ éstq E ♦♥t P♦ss♦♥ ν sr♦♥t ♦t♥s à ♣rtr ♠tr s♦♣ss [S] s♦t ♣♦r ♥ ♠ s♦tr♦♣
E1 =1
S11
ν12 = −S21 · E1
s ér♥ts ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r
②♥tès ér♥ts ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ trs rs♥ ♠ ♠r♦♣♦r
❬♠r ♥ ♦ ❪ ts♥t ♥ ♠ét♦ sé sr é♥r é♦r♠t♦♥♣♦r ♦♠♦é♥ésr s ♦♥t ♥ s♦♠♠ s ♦♥trt♦♥s à é♥r é♦r♠t♦♥ qéé♠♥t strtr srèt tt ♥sté é♥r é♦r♠t♦♥ st ①♣r♠é ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♥tr éé♠♥tr tsé s trs♦t♥♥♥t ♥ ♦♥t♥♠ ♥ ts♥t ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦r ♥ ér ♥sté♥r s♥t s ♦♠♣♦s♥ts s t♥srs é♦r♠t♦♥ t ♠r♦♦rr ê♠s ♦♥ ♣t té♦rq♠♥t ♥ s♥t tt ♠ét♦ tsr s ♥♦s q ♥ ♦ï♥♥t♣s ♥tr éé♠♥tr ♠♣♦s ♦rs q s r♦tt♦♥s t s é♣♠♥ts ♥s s♥t ♥ ♦ ♥ q ♥ ♣t êtr r ♥s s é♥ér sréstts ♣rés♥t♥t s ♥♦ér♥s ♥s s ♦♥ts t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥ts ①♠♣s trtés ♥ ♦♠♣♦rt♥t q♥ s ♥♦ ♥s éé♠♥tr s trstrt♥t ♥ ♣♣t♦♥ s ♥♥tt♦♥ ♣r ♥ ♦rt ♣♦♥t ♦ ♦♥♥trt♦♥ s♦♥tr♥ts t♦r ♥ tr♦ rr ♥s ♥ trs s rés♥t tt ét ♥ ♦♠♣r♥t ré♣♦♥s ♥ ♦ srt à ♥ ♦ s éé♠♥ts ♠r♦♣♦rs
♦r♥ ♥ ❬❪ r♣r♥♥♥t t ♦♠♣èt♥t ♠ét♦ é♥rétq é♦♣♣é♥t♠♥t ♥s Pr ♥ ❬❪ ♥ ts♥t ① r♥ts ♥ ♥é♠tq ttr sttq é é♥ér st ♦t♥r ♥ ♦♥t♦♥♥ é♥r é♦r♠t♦♥ à
❯♥ trs st ♥ strtr ♣♥ ♣♦trs
![Page 88: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/88.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♣rtr s rs é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♥ ♣♦s ♥ ♦♠♣é♠♥t s éqt♦♥séqr ♠♦♠♥ts ♥ r ♥st ♠♥♠♠ ♦♥t♦♥♥ é♥r s♦s ♦♥tr♥t s éqt♦♥s éqr ♦♠♣é♠♥trs à ♠t♣trs r♥tt ♠ét♦ s♠ t s réstts ♦♥♦r♥t ① ♣rés♥t ét s♠ ♥é♥♠♦♥s q ♥ ♣♦♥t t♦r tt ♠ét♦ s♦t ♠♦♥s s♠♣ sq q ♥♦s ts♦♥s ♥s ♦r♥ ♥ ❬❪ ♥ ①t♥s♦♥ ♠ét♦ stt s ♠ts éstqs s ♣♦trs st♦♥ ♥♦♥ ♦♥st♥t
❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♣♦s♥t s éqt♦♥s éqr ♥♦ t ♦♠♦é♥és♥t♥ s♥t ♥ ♠♦②♥♥ s ♦rts ss♥t sr ♥ ❱ s ♦♥t tt rés♦t♦♥ ♥s s♣rtr trs ②♥t ♥ s②♠étr ♠ ♣r r♦tt♦♥ ♦ s②♠♠tr②♦♥ ① t à ♦s ♣r♥r s é♦♣♣♠♥ts s♦♥ ♦rr ♣♦r é♣♠♥tu t ♣♦r r♦tt♦♥ φ s r♣r♥♥♥t ♥s ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♥ r♥t r♠ét♦ ♥ s♥t s ♣♣t♦♥s à rt♥s ♣r♦è♠s ♣r♦♣t♦♥ ssrs ♦rs♦♥♥trés s ♠♦♥tr♥t q t ♥ ♣s t♥r ♦♠♣t ♦♥♥tté s♣éq rt♥s strtrs ♣t ♦r s ts s♥ts sr s st♠t♦♥s s ♦♥st♥tséstqs
❬ t ❪ ét♥t ♣r ♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♦♥♥trt♦♥ s ♦♥tr♥tst♦r ♥ tr♦ rr ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs ♠r♦♣♦rs
♥s ♦ ❬❪ tr ts ♥ ♦ ♣♦r t♥tr rtr♦r ♥♠érq♠♥ts rs s ♦♥ts ♠r♦♣♦rs t ♥ ♠♦②♥♥ s rs ♥♠érqs ①♥♦s ♥s ♥ ♥êtr ♠♦ q sr
❯♥ tr ♣♣r♦ rt ♣ êtr s♥s♣rr ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♣♦trs ♣ér♦qs ♣r é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq q t ♦t ♥♦♠r① tr① ♥♥♥ rtr ❬❪ ss② t ❬❪ ♦r♦s ❬❪ ③r♦ ❬❪ ♠s s réstts èr♥t s♥t s trs ♥ ♦♥t♦♥ s ②♣♦tèss sr s ♦rrs r♥rss ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t s r♠♥t ♦♥sérés ♥ é♦♣♣r ♥s ♣rr♣ s♥t s ♦♥séq♥s s ♦① sr ♦rr rt r♥r t é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♥é♠tqs
❯♥ s ♣♣t♦♥s s té♦rs ♠r♦♣♦rs st ♦s trér ❨♦♦ ♥ s❬❪ t♠ t ❬❪ ♦s♥r ♥ ♠r♠♥ ❬❪ q st ♥ ♠tér à ♠r♦strtr ❨♦♦ ♥ s ❬❪ ♦♥t ♠♦ésé ♦s trér ♣r ♥ trs rérr♣r♥♥t é♦♠étr é♦qé ♥s s♦♥ ♥ s② ❬❪ s ♣♦st♥t q ♠♦♥t♥ st t②♣ ♠r♦♣♦r ♦♥tr♥t ♦♣ t ts♥t ♥ ♦ ♣♦r rtr♦r♥♠érq♠♥t s rs s ♦rts t ♦♣ ♦♥tr♥t ♣s é♦♣♣♥t ♥ ♠ét♦♣♦r ♥tr s ♠♦s ♠r♦♣♦rs à ♣rtr s rs ♥♠érqs t♠ t ❬❪♠♦♥tr q s ♦♥♥trt♦♥s ♦♥tr♥t à ♥tr ♦s♣r♦tès s♦♥t s♥t♠♥t
♥ s ér♥s ♥♦tr ♠ét♦ r♣♦s sr é♥t♦♥ s ♠♦♠♥ts ♦s ♦♥sr♦♥s é♥t♦♥ s ♠♦♠♥ts ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ① ♥♦s ♠s ♥s ♦r♥ ♥ ❬❪ s♠♦♠♥ts s♦♥t é♥s ♥tr ♣♦tr ♥trî♥ ♥ ♥♠♥t st s ♠♦♠♥ts t séqt♦♥s éqr ♦♥ ♣r♥ ♦♠♠ ①♠♣ trs ①♦♥ q ♦♠♣♦rt ① ♥♦s t tr♦s♣♦trs ♥s éé♠♥tr ♥♦tr ♠ét♦ ♦tt à ① ♠♦♠♥ts t ① éqt♦♥s éqr q ♣r♠t rés♦r s ♥♦♥♥s ♠ét♦ Pr ♦tt à tr♦s ♠♦♠♥ts ♠s ♥ séqt♦♥ éqr sttq ♦♥ ♦t ♥s r♥r s r♦rr é♥r
![Page 89: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/89.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♣s ♣tts té♦r ♠r♦♣♦r ♦♠♣ré à ♥ té♦r éstté ssq♥s ❬♥♦♥ t ❪ s trs ♣r♦♣♦s♥t ♥ ♠♦è q ♣r♠t ♦t♥r
ré♣♦♥s éstq ♠r♦♣♦r ♥ ♠tér r ♦♠♣♦st ♣srs rt♦♥sér♥ts ♠r♦strtr à ♣rtr s ♠♦s éstqs q rt♦♥ ❯♥ ♣♣t♦♥ st t s
♥ ❬❪ ♠♦♥tr♥t ♥ r♦ss♠♥t rr s ♣♦trs ♠t♦s à♠r♦strtr ♥ ①♦♥
♥ ♥♦tr é♠♥t ♥térêt q ét s ts ♠r♦♣♦rs sr s trs str♥ ♣r ♣rés♥ trs ts ts q s ts ♦rs ♦ ❬❪s ts rés ♦srés é♣♥♥t s ① ♥tr t ♠r♦♣♦r t t ♦rs q st ♦♠♥♥t s ts ♦rs s♦♥t ①♠ê♠s sts à rt♦♥s s♥t ♥♦♠r rés rté ♦tr♦②és s s♠t♦♥s ts ♣r r ♥ ❱r ❬❪♠♦♥tr♥t q t s é♥t♦♥s trs t s♣érr à 10× 10 s ♣♦r ♦rssr s♥t♠♥t s ts ♦rs ♠s ♥s s s♣rît é♠♥t t♠r♦♣♦r ♦
♥ ♦♥s♦♥ s ♠ét♦s ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r ♦♥ ♥♦tr q s ♣♣r♦s é♥rétqs ts qs s♦♥t é♦♣♣és ♥s Pr ♥ ❬❪ ♦ ♦r♥♥ ❬❪ s♠♥t r♦rss ♠s ♣ss ♣r ♥ ♦♥t♦♥ é♥r ♣s ♥♠♥♠st♦♥ rsq ♥r ♦r ♥ ♣♦♥t t♦r ès q ♥♦♠r rés rtés ♥t ♦♥séq♥t ♣s rés♦t♦♥ ♥t ♦♠♣① ès♦rs q ♣srs ♦rrs é♦♣♣♠♥t ♠ê♠ r ♣♣rss♥t ♥s s éqt♦♥s s tr① ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ♦♥ rt♥r ♥éssté t♥r ♦♠♣t éqr ♠é♥q ♥♦ t ♥trr♦t♦♥ ét♠ sr ♦rr é♦♣♣♠♥t u♣r r♣♣♦rt à φ s tr① r ♥ ❱r ❬❪ t ♦ ❬❪ ♦♥rt♥r q ♥ s ♣rét♦♥s à ♣r♥r ♣♦r r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s s♠t♦♥s st tsr ♥ é♥t♦♥ ♥ ♥♦♠r ss♥t s éé♠♥trs ♣♦rétr ♦r s réstts tr♦♣ ♣♦és ♣r s ts ♦rs s ér♥ts éts sr s♣♦trs ♣ér♦qs ♦♥ rt♥r ♥éssté s♥trr♦r sr ♦rr é♦♣♣♠♥ts ♣r♠ètrs é♦♠étrqs st ♦t ♣rr♣
♦① ét♥r ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt ♦♠♥ ♠r♦♣♦r ♣rés♥t ♥térêt ♠ét♦ ♣r♠t trtr s s éé♠♥trs à ♥♦s ♥tr♥s st sé sr s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s r♥rs ♦♥sérés q s♥ q ♣r♠t ♣r♦r ♥ é♦♣♣♠♥t à ♥ ♦rr q♦♥q s ♣r♠ètrs t♥t ♦♠♣t ♦♥♥tté s strtrs étés t éqr ♠é♥q ♥ q♥♦ ♥♥ st ♥ ♣♣r♦ ss♠♠♥t s♠♣ t é♥ér ♣♦r êtr sé♠♥t ♣r♦r♠♠ ♥ rstr♥r ♥é♥♠♦♥s ♥♦tr ét s ♣♦r s ♣tts é♦r♠t♦♥s♥s ♦♠♥ éstq t ♣♦r s trs ♣♦ssé♥t ♥ s②♠étr ♥tr
t♥t ♦♥♥é q ♥s ♠ét♦ q ♦♥ ts ♦♥ é♦♣♣ ♥s♠ s éqt♦♥s♦rts à ♣rtr s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♥é♠tqs t s♥trr♦r ♣résr ré ♥t t ♦rr é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs t ♦t ♣rr♣s♥t
![Page 90: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/90.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
Pr♦é♠tq é é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s ♣r♠ètrs
② tr♦s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs à é♦♣♣r s②♠♣t♦tq♠♥t ♦♥r ♥♣♦tr lεb s rr tεb t s♦♥ é♣ssr eεb t ① ♣r♠ètrs ♥é♠tqs s♦t é♣♠♥t uεn t r♦tt♦♥ ① ♥♦s φεn P♦r é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs♦♥ r♣♣ réstt s♥t ❬♦r ❪ ♣♦r lεb éà tsé ♥s ♣réé♥t ♣tr
lεb = εlb0 + ε2lb1 + ...
P♦r q st s ① trs ♣r♠ètrs rr tεb t é♣ssr eεb ♦t♦♥sqqs ♣rés♦♥s ♣tr ♣réé♥t ♥ s ♣ ♥s s ♦♠♠ ♠♦♥tr r s♦t ♦♥ ♣t ♦♥sérr q s ① ♦♥rs rtérstqs s♦♥t ♠ê♠♦rr t ♦♣és st ♥ ♦① q ♦♥t ♣srs trs t ♦♥ s♠♣♦s t = e s♦t ♦♥ ♣t♦♥sérr q s ① ♦♥rs s♦♥t ér♥ts t é♦♣és e 6= t st ♦① q ♥♦s♦♥s t éà ♥s ♣réé♥t ♣tr ♥ ♣t ♦rs s♠♣♦sr e = Cte = 1 ♣r♠t s♠♣r ♥ ♣ s ①♣rss♦♥s s♥s ♥r é♦♣♣♠♥t é♥ér ♠ét♦
♦♥tr♦♥s ♥♥ ♦① ♦♥ ♣t ♣rtr s ♠♦s rrs r ♠♦♥tr ♥ st♦♥ ♣♦tr rré stàr ♥ é♣ssr ♣♦tr é à s rr♥ t s ♦rts ♦♠♠ s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♦♥t♦♥s s ① ♠♦s trt♦♥ t
①♦♥ kl t kf ♥s ♠♦è ♣♦tr r♥♦ kl =EsS
lb S st♦♥ ♣♦tr
kf =12EsI
(lb)3 I ♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♣r r♣♣♦rt à ① ♥♦r♠ ♣♥
♦♥ ♦♥sèr t = e t ♥ st♦♥ rré ♦rs ♥♦s ♦♥s S = t2 t I =t4
12 ♦♥
♦♥sèr q é♣ssr e 6= t t e = Cte = ♦♥ ♥é♣♥♥t r♣♣♦rt ε ♦rs s
♠♦s s é♦♣♣♥t ♥ kl =Este
lb=Est
lbt kf =
12EsIe
(lb)3=
12EsI
(lb)3=Es
(tb)3
(lb)3 I
♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♣r r♣♣♦rt à ① ♥♦r♠ ♣♥ t q I =t3
12
ér♥ ♥tr s ① sérs ♠♦s st ♦♥ tr é♣ssr e ♥s s♦♥s s ♦♥ ♦♥sèr e = Cte = 1 ♦rs ♣♦r rr ♦♠♦é♥été s ♦♥st♥ts rr t ♦♥sérr ♥ ♠♦ éstq Es ♥♦♥ ♣s ♥ N.m−2 ♠s ♥ N.m−1
♥térss♦♥s♥♦s ♠♥t♥♥t à ♥ s ②♣♦tèss ♣srs trs tr① ♣♦rt♥t sr ♦♠♦é♥ést♦♥ s ♣♦trs ♣ér♦qs r ♠♦♥tr s
① r♣♣♦rts é ①st♥t ♥s ♥ trs ε =l
L st ♣tt ♣r♠ètr ssq
♥ é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♠s ♥♦s ♦♥s é♠♥t ♣tt ♣r♠ètr η =t
lé♥♠♥t ♣♦tr q ♥♦s st ♠♣♦sé ♣r ♦① t ♥ té♦r ♣♦tr r♥♦ Psrs trs ♣r♥♥♥t ♦♠♠ ②♣♦tès ε = η ❱♦②♦♥s s ♦①st ① ♥s ♥♦tr s
t♦t tr é♦♠étr st♦♥ ♦♥♥rt s ♥ ♦♥st♥t s♣♣é♠♥tr ♣♣rîtrt
![Page 91: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/91.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
L
P
W
Treillis périodique
le paramètre d'épaisseur e des poutres est identique à celui de la largeur e=t
l
t
e=t
l
t
e
le paramètre d'épaisseur eest découplé de celui de lalargeur t
Cellule élémentaire
ou
r Pr♠ètrs é♦♠étrqs rtérs♥t s ér♥ts ♥① ♠r♦strtr ♥ trs ♥♦♥ s ① r♣♣♦rts é η t ε ①st♥t s♥ ♠r♦strtr
② tr♦s ♣♣r♦s ♣♦sss s♥t q ♦♥ ss rr ♦r ♣tt ♣r♠ètr
η =tb
lb→ 0 t ♥st ε → 0 ♦ ♥ q ♦♥ ss rr ♦r ε → 0 ♣s η → 0 ♦
♥ à ♦s (ε, η) → (0, 0) ♥t s s rrs ♣♦trs ♦t♥s ♥ s♦♥t ♣s♥tqs ♥ ♣r♦♣♦s ♣♦sr
ε = ηa
à ♠♥èr q st t ♥s ♦t t ❬❪ q ♣r♠t ♥ ss♠♥ts ér♥ts ♦r♠s éqt♦♥s s♥t r ①♣♦s♥t a ♣s s ♦♥ t ♥♣♣r♦ ♣rtq qst♦♥ ♣♦r q s trs ♥ s♦♥r♥t ♣s s♦s ♠♠♥ts ♣♦trs t ♣♦r q ♦♥ ♣ss s ♦♥sérr r♠♥t ♦♠♠ s trs ♥ ♠♦è♣♦tr r♥♦ ♠♣q q t ♦r♥r r♣♣♦rt η
∼ 10−2 < η <∼ 10−1
Pr ♦♥tr r♣♣♦rt ε =l
L♣t r♣♠♥t ♥r très ♣tt ♥t η ♥ s♣♣♦sr
♦♥ q ε 6 η q r♥t à ♦♥sérr q ①♣♦s♥t a ≥ 1 ès ♦rs ♦♥ ♣t ♣♦sr
![Page 92: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/92.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
tb = ηlb = ηεLb = η1+aLb = ε1+
1
aLb t réérr s éqt♦♥s s ♣♦trs s♦s tr♦s ♦r♠sér♥ts
♦r♠ s éqt♦♥s té♦r s ♣♦trs ♦r ♥♥① s♦♥t érts ♥ ♦♥t♦♥ η s
N ε = Esη(eb ·∆Uε
)
T εt = Esη
3eb⊥ ·∆Uε − 1
2Esη
3+aLb0(φO(b)ε + φE(b)ε
)
MO(b)ε = Esη3+2a
(Lb)2
6
(2φO(b)ε + φE(b)ε
)− 1
2Esη
3+aLbeb⊥ ·∆Uε
ME(b)ε = Esη3+2a
(Lb)2
6
(φO(b)ε + 2φE(b)ε
)− 1
2Esη
3+aLbeb⊥ ·∆Uε
tt sér éqt♦♥s ♠è♥ ♥ ♣r♠èr ♦♥s♦♥ s ♦rts N εb t T εt r♦♥t
t♦♦rs ♥tr ① q q s♦t ré é♣rt ♦s ♣♦r uε t φε ♥ ért r♥r ♦rr η2 q s♥ q ♦rsq r♣♣♦rt η ♥t ♣tt s♦rts tr♥♥ts t s ♠♦♠♥ts ♥♥♥t ♥és ♥t s ♦rts trt♦♥①t♥s♦♥ q s ♦♠♣r♥ ♥tt♠♥t ♠♥t
♦r♠ s éqt♦♥s s♦♥t érts ♥ ♦♥sr♥t sé♣ré s ① ♣r♠ètrs η t ε
N ε = Esη(eb ·∆Ubε
)
T εt = Esη
3eb⊥ ·∆Ubε − 1
2Esη
3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε
)
MO(b)ε = Esη3ε2(Lb)2
6
(2φO(b)ε + φE(b)ε
)− 1
2Esη
3εLbeb⊥ ·∆Ubε
ME(b)ε = Esη3ε2(Lb)2
6
(φO(b)ε + 2φE(b)ε
)− 1
2Esη
3εLbeb⊥ ·∆Ubε
tt ♦r♠ ♣r♠t ♦♥srr ♥é♣♥♥ η t ε
♦r♠ éqt♦♥ ♦♥ ♣t trr ε
1
a = η ♥ ♣t ♦rs réérr s éqt♦♥s ♥q♠♥t ♣r♠ètr ε
N ε = Esε
1
a(eb ·∆Ubε
)
T εt = Esε
3
aeb⊥ ·∆Ubε − Esε
3
a+1Lb
2
(φO(b)ε + φE(b)ε
)
MO(b)ε = Esε
3
a+2(Lb)2
6
(2φO(b)ε + φE(b)ε
)− 1
2Esε
3
a+1Lbeb⊥ ·∆Ubε
![Page 93: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/93.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
ME(b)ε = Esε
3
a+2(Lb)2
6
(φO(b)ε + 2φE(b)ε
)− 1
2Esε
3
a+1Lbεeb⊥ ·∆Ubε
♦♥ ♦♥sèr q ♣r♠ètr η st ♣tt ♠s ① t q ♣r♠ètr ε ♦t t♥rrs ③ér♦ ♦rs s♦♥ éqt♦♥ a ♦t t♥r rs ♥♥ ♣r♥ ♠t a → ∞s éqt♦♥s à ♦♥ ♦t♥t
N ε = Es
(eb ·∆Ubε
)
T εt = Ese
b⊥ ·∆Ubε − EsεLb
2(φε
1 + φε2)
MO(b)ε = Esε2
(Lb)2
6
(2φO(b)ε + φE(b)ε
)− 1
2EsεL
beb⊥ ·∆Ubε
ME(b)ε = Esε2
(Lb)2
6
(φO(b)ε + 2φE(b)ε
)− 1
2EsεL
bεeb⊥ ·∆Ubε
♦s tt ♦r♠ st ♦♥r t♥t q ♦♥ ♥ ♣s sté ♦rr ♥t é♦♣♣♠♥t φε ♣r r♣♣♦rt à uε st ♥éssr é♥r ♣résé♠♥t ré ♥t é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq ♥ s rs ♣r r♣♣♦rt à tr
♦♥s♦♥s sr ♣r♦é♠tq é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s♣r♠ètrs
st♦♥ ♣réé♥t ♦♥ ♦♥r q r♣♣♦rt η st ♣tt ♠s ♦r♥é ♠♣qq r ♥t rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s ♥ s♠♣t♦♥ η → 0 ♣t ♥rs rrrs ♥s s trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♣sq ♣r é♥t♦♥ ♦rt tr♥♥tst é à ①st♥ ♣r♠ètr η é♥♠♦♥s ♣♦str♦r ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s♦♥ ♣♦rr ♥sr s♠♣r s ♠♦s ♦t♥s ♣r s ♠t η → 0
Pr é♥t♦♥ r♣♣♦rt ε =l
L♣t ♥r ♥♥♠♥t ♣tt t ♦♥ ♦♥sérr
♠t ε→ 0 ♥ s♥s ♥s s éqt♦♥s ♣rés ♥♦s ♦♥t à r ♦① ♦r♠ q ♣résr ♥é♣♥♥ ♥tr η t ε q r♥t à ♦♥srr s ♣r♠ètrstb t Lb ♦♠♠♥t é♥r ré ♥t t ♦rr é♦♣♣♠♥t rt s ♣r♠ètrs♥é♠tqs uεn t φεn ♥ ♣t rs♦♥♥r sr ♦r♠ ♦t♥ ♣♦r s éqt♦♥s s♦rts tr♥♥ts t s ♠♦♠♥ts
T εt = Esη
3eb⊥ ·∆Ubε
︸ ︷︷ ︸
f1(∆Ubε)
− 1
2Esη
3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε
)
︸ ︷︷ ︸
εf2(φO(b)ε,φE(b)ε)
MO(b)ε = Esη3ε2(Lb)2
6
(2φO(b)ε + φE(b)ε
)
︸ ︷︷ ︸
ε2f3(φO(b)ε,φE(b)ε)
− 1
2Esη
3εLbeb⊥ ·∆Ubε
︸ ︷︷ ︸
εf4(∆Ubε)
![Page 94: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/94.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
ME(b)ε = Esη3ε2(Lb)2
6
(φO(b)ε + 2φε
2
)
︸ ︷︷ ︸
ε2f5(φO(b)ε,φE(b)ε)
− 1
2Esη
3εLbeb⊥ ·∆Ubε
︸ ︷︷ ︸
εf4(∆Ubε)
♥ ♦♥stt qss ♥ ♦rt tr♥♥t q s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♦♥sttés ①tr♠s ♥ ♦♥t♦♥ ér♥ é♣♠♥t∆Ubε t tr s ♥s
(φO(b)ε, φE(b)ε
)
Pr ①♠♣ ♣♦r ♦rt tr♥♥t st s tr♠s f1(∆Ubε
)= Esη
3eb⊥ · ∆Ubε t
εf2(φO(b)ε, φE(b)ε
)=
1
2Esη
3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε
) ♦s ♦♥s r ②♣♦tès q s ①
tr♠s s♦♥t ♠ê♠ ♦rr ♥ ε t ét♥t ♠ê♠ ré tt ②♣♦tès ♣srs♦♥séq♥s ♦♥ é♦♣♣ ♣r♠r ♦rr r♦tt♦♥ s♥ q ér♥ é♣♠♥t st ♥ ε1(...) + ε2(...) ♥ t s ♦♥ é♦♣♣ uε s♦♥ ♦rr
uε (λε) = u0 (λε) + εu1 (λ
ε) + ε2u2 (λε) + ...
ér♥ é♣♠♥t ♥tr s ♣♦♥ts ♦r♥ t ①tré♠té ♣♣rît ♦♠♠
∆Ubε = uε (E (b))−uε (O (b)) ∼ ε
(
uER(b)1 (λε)− u
OR(b)1 (λε) +
∂u0(λε)
∂λiδib)
︸ ︷︷ ︸
+
∆Ub1
ε2(
uER(b)2 (λε)− u
OR(b)2 (λε)
)
︸ ︷︷ ︸
∆Ub2
♥ ♥♦t q ♥s tr♠ ∆Ub
1 s ♥♦♥♥s un1 ♥ ♦s rés♦s sr♦♥t ♦♥t♦♥
∂u0(λε)
∂λiδib st à r ♦♥t♦♥ r♥t é♣♠♥t ♦♥ é♦r♠t♦♥ ♥
①♣r♠r ç♦♥ s♥t é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s r♦tt♦♥s
φnε (λε) = φn0 (λ
ε)+ εφn1 (λ
ε) + ...
♦♥ é♦♣♣ s②♠♣t♦tq♠♥t à ♣rtr éqt♦♥ s r♦tt♦♥s
φε(O(b)) = φOR(b)0 (λε) + εφ
OR(b)1 (λε) + ...
φO(b)ε = φOR(b)0 + εφ
OR(b)1 + ...
φε(E(b)) = φER(b)0
(λε + εδib
)+ ε
(
φER(b)1
(λε + εδib
))
+ ...
φε(E(b)) = φER(b)0 (λε) + ε
(∂φ0(λ
ε)
∂λiδib + φ
ER(b)1 (λε)
)
+ ...
φE(b)ε = φER(b)0 + ε
(∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)
+ ...
♥ r♣♣ ♥ ♣rés♦♥ ♦♥r♥♥t s ♥♦tt♦♥s ♥ R ♥q q st ♥♦ ♣♣rt♥♥tà réér♥
![Page 95: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/95.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
e
o
Μ ο
Me
T
T
u(E(b))
O(b)
barrenon
déform
ée
barre déformée C(b)
eb
eb
T=b
u(O(b))
E(b)N
T t
b
be =j2
coordonnéescartésiennes
coordonnéescurvilinéaires
e =Y1λ 1
e=Y
2λ
2
e =i1
Mo et Me portés par e =e3λ
3
F
F
O(b)
E(b)
r Pr♠ètrs é♦r♠t♦♥ ♣♦tr
♥ ♣t ♦♠♠♥tr r♥r é♦♣♣♠♥t ♥♦ ①tré♠té ♥ ♣♦tr E(b)♣♣rt♥t s♦t à réér♥ s♦t à ♥ ♦♥të à ♠s ♥s t♦ss s r ss ♦♦r♦♥♥és s♦♥t λε + εδib λε s ♦♦r♦♥♥és ♥♦ ♠ê♠♥♠ér♦ ♣♣rt♥♥t à éé♠♥tr st ♣♦rq♦ ♦♥ ért ♦♥t♦♥ r♦tt♦♥ ♥♦ ①tré♠té ♦♠♠ é♦♣♣♠♥t ♥ sér ②♦r ♦♥t♦♥ r♦tt♦♥ ♥♦ ♠ê♠ ♥♠ér♦ ♣♣rt♥♥t à réér♥ r♥èr éqt♦♥ ♥qs♠♣♠♥t ♥ s♠♣t♦♥ s ♥♦tt♦♥s ♣♦r étr tr♦♣ ♦rr s é♦♣♣♠♥tsq ♦♥t sr
♥ r♠rqr é♠♥t q ♣r♠r ♦rr φ0 ♥st ♣s ♥é♣♥♥t ♥♦
①t♥s♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tqsrèt s ♠r♦♣♦r
♦s ♦♠♠♥r♦♥s ♣r r♣♣r s éqt♦♥s éqr ♣♦r s ♠① ♠r♦♣♦rss♦s ♦r♠ ♣ss♥ rt
Pr♥♣ é♥ér
♣r♥♣ é♥ér ♦♥sst ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s à érr s éqt♦♥s éqr ♠ ♦♥t♥ ♠r♦♣♦r ♥ ♦r♠t♦♥ ♣ss♥ rt t s♦rt q s t♥srs ♦♥tr♥t σ t ♠r♦♠♦♠♥ts ♠ ♣♣rss♥t s♦s ♦r♠ ♥ ♣r♦t strs s ♥ r♣èr r♥
![Page 96: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/96.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
q éqr →´
Ω(gσ · eiλ)︸ ︷︷ ︸
Si
. ∂v∂λidλ+
´
Ω(gm · eiλ)︸ ︷︷ ︸
µi
. ∂w∂λidλ = 0
♥s ♥ s♦♥ t♠♣s ♦♥ ♠♦♥trr q s éqt♦♥s éqr ♠ srt ♣♥tsérr s♦s ♠ê♠ ♦r♠ ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥
∑
b
Tb.v+∑
b
Mb.w = 0♦♠♦é♥ést♦♥→
´
ΩSi. ∂v
∂λidλ+
´
Ωµi. ∂w
∂λidλ = 0
②♥t ♦t♥ ♠ê♠ ♦r♠t♦♥ ♦♥ ♥t tr♠ à tr♠ s ① trs Si tµi q ♣r♠t ♥st r♠♦♥tr ① ① t♥srs σ t m ♦s ♦♥sérr♦♥s ♥s st q tsss rts st ♦♥stté ① ♠♣s v,w éq♥t ①tsss rts u, φ
Pr♠èr ét♣ ♦r♠t♦♥ s éqt♦♥s éqrs♥t ♣♣rîtr s trs ♦rts Si t s trs ♠♦♠♥ts µi
♦s ♣rt♦♥s s éqt♦♥s éqr ♥ ♠ ♠r♦♣♦r t ss ♦ssrt ♦rst ❬❪ é♥ sr Ω ♥ ♠ ♦♥t♥
ˆ
Ω
(σ.∇x) .vdx+
ˆ
Ω
(m.∇x− ∈: σ) .wdx =
−ˆ
Ω
fvol.vdx−ˆ
Ω
cvol.wdx−ˆ
∂Ω
(σ.n− tbords).vds−ˆ
∂Ω
(m.n−Mbords).wds
∈ t♥sr ♣r♠tt♦♥ t ♦rr tr♦s s ♦♠♣♦s♥ts s t♥srs m t σ s♦♥t é♦♣és ♥s s ♥ ♠ à s②♠étr ♥tr ❬r♦s ♥ s♥ ❪ q ♠♣q q♥ s♥ ♦rts t ♦♣s ♦♥tr♥t ♦♠qss♦t fvol = 0 t cvol = 0 s tr♠s t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t s♦♥t t♦éqrés ♦rss ♥ rr♥ ❬❪
ˆ
Ω
(∈: σ) .wdx = 0
ˆ
Ω
(m.∇x) .wdx = 0
♦♥ r♣♦rt s rt♦♥s ♥s ♣r♠t ①♣r♠r s ♦♥t♦♥s ♦rs
tbords = σ.n
Mbords = m.n
![Page 97: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/97.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♦♥ s♣♣♦s s ♣rtr ♠♣s rts v t w ♦ss t s♦rt qss♥♥♥t sr s ♦rs ♦♠♥ ét Ω ss ssst♥t s ♥térs ♦♠ q♦♥t êtr ♥s ♥♦s ♣r♠t ♦t♥r s éqt♦♥s s♥ts ♥ qs sttq
ˆ
Ω
(σ.∇x) .vdx = 0
ˆ
Ω
(m.∇x) .wdx = 0
♥ r ♥ ♥♠♥t r ♣♦r r ♣♣rîtr s ① t♥srs σ tm ♦t xi s ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s ♥ ♣♦♥t ♠tér P t q x = xiei ♦t s♦♦r♦♥♥és r♥s é♥érsés λ = (λ1, λ2, λ3) é♥s ♣♦r ♦♥t♦♥ t♦r ♣♦st♦♥ x = R(λ1, λ2, λ3) ♥ s trs s ♦r♥ts
eλk =∂xi
∂λiei
s trs ♦♥trr♥ts s♦♥t é♥s ♣r
eiλ.eλj = δij
δij s②♠♦ r♦♥r ♥ t ♥s s éqt♦♥s t ♥♠♥t r x = x(λ) ♦t ♦♥ tt tr♥s♦r♠t♦♥ ♥s s ♥térs ♦♠♥♦s ♦t♥♦♥s
dx = gdλ
♦t v t w rs♣t♠♥t s ♠♣s tss t t① r♦tt♦♥ rts ♦♥
∇xv =∂v
∂λi⊗ eiλ
∇xw =∂w
∂λi⊗ eiλ
s éqt♦♥s t ♣♥t s réérr s♦s ♦r♠
ˆ
Ω
(σ.∇x) .vdx =
ˆ
Ω
σ : (∇xv)dx =
ˆ
Ω
σ : (∂v
∂λi⊗ eiλ)gdλ =
ˆ
Ω
(σeiλ).∂v
∂λigdλ = 0
ˆ
Ω
(m.∇x) .wdx =
ˆ
Ω
m : (∇xw)dx =
ˆ
Ω
m : (∂w
∂λi⊗ eiλ)gdλ =
ˆ
Ω
(meiλ).∂w
∂λigdλ = 0
♥ ♣♦s é♥t♦♥ s♥t s trs ♦♥tr♥ts
![Page 98: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/98.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
Si = gσeiλ
♥ ♣♦s é♠♥t é♥t♦♥ s♥t s trs ♦♣ ♦♥tr♥t
µi =gmeiλ
♥ ♣rt♥t s é♥t♦♥s t ♦♥ ♣t ①♣r♠r s t♥srs ♦♥tr♥t t ♦♣ ♦♥tr♥t
σ =1
gSi ⊗ eλi
m =1
gµi ⊗ eλi
♥ ♣t érr à ♣rtr s éqt♦♥s t éqt♦♥ éqr ♥ tr♥st♦♥s♥t
ˆ
Ω
Si.∂v
∂λidλ = 0
♠ê♠ s éqt♦♥s t ♦♥ ♣t érr éqt♦♥ éqr ♥r♦tt♦♥
ˆ
Ω
µi.∂w
∂λidλ = 0
♥♠♥t rs x = x(λ) ♦r♥t s rt♦♥s s♥ts ♥tr s r♥tsrts
∂v
∂λi= ∇xv.
∂R
∂λi
∂w
∂λi= ∇xw.
∂R
∂λi
♥ ♣t s r♥ts réérr s éqt♦♥s t s♦s ♦r♠ˆ
Ω
Si.∂v
∂λidλ =
ˆ
Ω
Si.(∇xv.∂R
∂λi)dλ =
ˆ
Ω
(
Si ⊗ ∂R
∂λi
)
: (∇xv)1
gdx = 0
ˆ
Ω
µi.∂w
∂λidλ =
ˆ
Ω
µi.
(
∇xw.∂R
∂λi
)
dλ =
ˆ
Ω
(
µi ⊗ ∂R
∂λi
)
: (∇xw)1
gdx = 0
♣rès s éqt♦♥s ♦♥ t ♣♣rîtr s t♥srs m t σ s♦s ♦r♠ s ♣r♦tst♥s♦rs
![Page 99: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/99.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
σ =1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
m =1
gµi ⊗ ∂R
∂λi
♥ rt♥r é♦♣♣♠♥t q ♦♥ ♥ ♣rt ♥ ♦r♠t♦♥ s éqt♦♥séqr à trs ♦♥tr♥t t ♦♣ ♦♥tr♥t s éqt♦♥s t t tr ♣rt ♥ ♠♦②♥ ♣r♥r à ♦t♥r à ♣rtr s trs s ①t♥srs ♦rrs♣♦♥♥ts râ ① rt♦♥s t ♥t♥♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr ♠♦②♥ ♦t♥r ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ s ① sérs trs Sit µi
①è♠ ét♣ ♦♠♦é♥ést♦♥ s éqt♦♥s éqrsrèts
♦s ♣rtr♦♥s s éqt♦♥s éqr trs s ♣r♠ètrs s♦♥t ♥qés r ♥t ♣rés♥tr s éqt♦♥s éqr ① ♥♦s ♥♦s r♣♣r♦♥s qqs♥♦tt♦♥s ♥tr♦ts ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦♥r♥♥t ♥♠ér♦tt♦♥ s ♥♦s ts ♣♦trs ♥ r♣♣ q ♦♥ ts ②♣♦tès s ♣tts é♦r♠t♦♥s t qà étté♦r♠é trs rst qs ♣ér♦q
P♦st♦♥ ♣r♦è♠
q ♣♦tr ét♥t ♥ éqr ♦r ♣♣qé sr ♥♦ ①tré♠té st ♦♣♣♦séà ♦r ♣♣qé ♥♦ ♦r♥ TE(b) = −TO(b) ♦r r s trs♦rts Tb s é♦♠♣♦s♥t ♥
Tb = N beb + T bt e
b⊥
N b ♦rt ♦♥t♥ t T bt ♦rt tr♥srs Pr ♦♥♥t♦♥ ♥♦s r♦♥s ♥♦s
s s ♦rs Tb = TE(b) r trs ♦♠♣t s éqt♦♥s éqr s ♦rs♥ ♦r♠t♦♥ ♣ss♥s rts ♣♥t ♦♥ sérr ♥s
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
Tb.(v (O (b))− v (E (b))) = 0
v (.) ♥ ♠♣ tss rt ♥ sr s ♦rs ♥ ♣t réérr s éqt♦♥s s♦s ♦r♠ s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
Tεb.(vε (O (b))− vε (E (b))) = 0
♥ ♣t érr ♣srs ç♦♥s éqr s ♠♦♠♥ts ♦t ♦♥ ♦♥sèr éqrs ♠♦♠♥ts ♣♣qés ① ♥♦s trs s éqt♦♥s ♦t♥s ♣r ♠ét♦s éé♠♥ts ♥s ♣♣qés ① ♣♦trs ♦r ♥♥①
![Page 100: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/100.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
(MO(b).w (O (b)) +ME(b).w (E (b))
)= 0
tt ♦r♠ ♥♦s sr t ♣♦r rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s s ♦♥ ♦♥sérr ♥tr ♣♣r♦ q ♦♥sst à érr q q ♣♦tr st ♥♠♥t ♥ éqr ♦♥q s♦♠♠ s ♣♦trs st ss ♥♦s étr♠♥r♦♥s t éqr ♥tr q♣♦tr ♣r
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
(
MO(b).w (O (b)) +ME(b).w (E (b)) +Lb
2(eb ∧TE(b)).w (C (b))− Lb
2(eb ∧TO(b)).w (C (b))
)
= 0
éqt♦♥s q ♦♥ ♣t érr s♦s ♦r♠ é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
(MO(b)ε.wε (O (b)) +ME(b)ε.wε (E (b)) + εLb(eb ∧Tεb).wε (C (b))
)= 0
eb tr rtr ♣♦tr MO(b) t ME(b) s ♠♦♠♥ts à ♦r♥ t à①tré♠té s ♣♦trs rs♣t♠♥t Lb ♦♥r s ♣♦trs t w(.) ♠♣ rt t① r♦tt♦♥
sr♣t♦♥ é♦♠étr trs ♥♠ér♦tt♦♥ s éé♠♥ts
♥ r♣♣ s♦♠♠r♠♥t q été éà é♦qé ♥s ♣tr ♣réé♥t ♦s♥♦♠♠r♦♥s NR t BR rs♣t♠♥t ♥s♠ s ♥♠ér♦s ♥♦s t ♣♦trs ♣♣rt♥♥t à réér♥ ♥s à q ♦t vi = (v1, v2) ∈ Z
2 tr♣t ♥ ∈ Z
3 ♥♦s ss♦♦♥s ♥ réér♥ s ♥♦s trs ♦♠♣t ♣♥t ♦rsêtr é♥s ♣r tr♣t n = (n, v1, v2) ∈ NR × Z
2 qr♣t ♥ ♠ê♠ ç♦♥s ♣♦trs trs ♥tr ♣♥t êtr érts ♣r tr♣t b = (b, v1, v2) ∈ BR × Z
2♥s réér♥ ♥♦s ♦♥s ♦r♥tr q ♣♦tr t s♦rt q t
♥ ♥♦ ♦r♥ ♥♦té O(
b)
t ♥ ♥♦ ①tré♠té ♥♦té E(
b)
♦s ♥♦tr♦♥s q s ♦♥
♣t ♦sr ♥♦ ♦r♥ ♦♠♠ s♥t ♣rt réér♥ ♥♥ st ♣s♦ré♠♥t ♠ê♠ ♥♦ ①tré♠té ♥♦ ①tré♠té ♣♣rt♥t ♥é♥♠♦♥s à ♥ q st ♣r♦ ♥s ♣♣rt s s ♥t à réér♥ ♥ ♣t
♥ ♣t r♠rqr ♥ ♦♠♣r♥t s éqt♦♥s t q r♥t à ♦♥sérr q s♦♠♠ s ♦rts tr♥♥ts sr ♥ ♣♦tr st ♥ ♦ ♦r♠é tr♠♥t q ♦rt tr♥♥t ♥♦♦r♥ st ♦♣♣♦sé ①ré ♥♦ ①tré♠té
♥ r♠rqr é♠♥t q trs trs ❬♦r♥ ♥ ♦r♥ ❲rr♥ ♥②s♦ ❪ ♦♥t ♦s r rs s ♥q♠♥t ♥ ♠♦♠♥t ♠♦②♥ é à ♣♦tr t ♥♦♥ ♣ss ♠♦♠♥ts ① ♥♦s r♥t à s é♦♣♣♠♥ts s♠rs à ① q s♦♥t ♦♥sérés ♥s ttst♦♥ ♠s ♥♦♠r éqt♦♥s éqr ♠♦♠♥t ♦t♥ ♥st ♣s ♥tq à ♥♦tr ♠ét♦ ♥♦s♥ ♦t♥♦♥s ① ♥ trs ①♦♥ q♥ ♥s ♦r♥ ❬❪ ♥② ♥ q♥
![Page 101: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/101.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
cellule de
référenceY
Y1
2
δ i=(0,1)
δ i=(1,0)δ i
=(-1,0)
δ i=(-1,1) δ i
=(1,1)
δ i=(1,-1)
δ i=(-1,-1)
δ i=(0,-1)
r ♥t♦♥ s ♣r♠ètrs δi ♣r r♣♣♦rt à réér♥ ♥trs
♦♥ érr q s ♥♦ ♦r♥ O(
b)
st ss♦é tr♣t n = (n, v1, v2) ♥♦
①tré♠té E(
b)
st ♦t♦r♠♥t ss♦é ♥♦ ♥♠ér♦té (m, v1 + δ1, v2 + δ2) ♥s
♣♣rt s s ♥♦ ①tré♠té ♣♣rt♥t à ♥ ♥t q s♥ q srs δi ♣♣rt♥♥♥t à ♥s♠ δi ∈ −1, 0, 1 ♦r r ♦s ♦tr♦♥s
à q ♣♦tr ♥ ♥♦ é♥ ♥tr s♦t C(
b)
é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s ♣r♠ètrs
♥ r♣♣r s ♥♦tt♦♥s ♦♥♥sés s ♦♥s♦♥s ♣rr♣
∆Ubε ∼ ε
(
uER(b)1 − u
OR(b)1 +
∂u0
∂λiδib)
︸ ︷︷ ︸
+
∆Ub1
ε2(
uER(b)2 − u
OR(b)2
)
︸ ︷︷ ︸
∆Ub2
φO(b)ε = φOR(b)0 + εφ
OR(b)1 + ...
φE(b)ε = φER(b)0 + ε
(∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)
+ ...
é♦♣♣♠♥t s tsss t t① r♦tt♦♥ rts vε t wε
P♦r t♦t ♠♣ tss rt vε ss♠♠♥t rér ♥ é♦♣♣♠♥t ②♦r ♣r♠r ♦rr ♦♥t à
vε (E (b))− vε (O (b)) = v(λε + εδib)− v(λε) ∼ ε∂v(λε)
∂λiδib
![Page 102: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/102.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♠♣ t① r♦tt♦♥ rt st ♣r♦r q♦♥q ♦sss♦♥s ♥ ♠♣ss♠♠♥t rér t q ♦♥ t ♣♦r ♣♦♥t ♠
wC(b)ε =1
2
(wE(b)ε +wO(b)ε
)
♦s ♣♦s♦♥s t♦t ♦r ♠♣ t① r♦tt♦♥ s♥t
wε(O(b)) = wO(b)ε(λ) = w0(λ)
♦s ♦t♥♦♥s ès ♦rs ♥ é♦♣♣♠♥t ②♦r ♣r♠r ♦rr
wE(b)ε(λ+ εδi) ∼ w0 (λ) + ε∂w0 (λ)
∂λiδib
é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs s ♦rts t s ♠♦♠♥ts
♦♠♠ r♣♣é ♣s t éqr sttq s ♣♦trs ♦♥t à ♥ tr q sé♦♠♣♦s ♥
Tεb = N εbeb + T εbt eb⊥
N εb = Esη(eb ·∆Uε
)∼ Esη
(eb ·(ε∆U1 + ε2∆U2
))
T εbt = Esη
3eb⊥ ·∆Uε − 1
2Esη
3εLb0(φO(b)ε + φE(b)ε
)
T εbt ∼ Esη
3eb⊥·(ε∆U1 + ε2∆U2
)−1
2Esη
3εLb0
(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0 + ε
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
♦♥ ♦r♦♥♥ s♥t s ♣ss♥s ε ♦♥ ♦t♥t
N εb ∼ εEsη(eb ·∆U1
)+ ε2Esη
(eb ·∆U2
)
∼ εN b1 + ε2N b
2
T εbt ∼ ε
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb0(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
+ε2(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3Lb0
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
∼ εT b1t + ε2T b
2t
![Page 103: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/103.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♥ ♦♥stt q s ① ①♣rss♦♥s ♦rts ♦♥t♥♥♥t ① ♦rrs ♥ ♥tr① st ♦♥t♦♥ ① sérs rs ér♥ts ♣r♠r ♦rr s rs un
1
♦♥t♥s ♥s ∆U1 t φn0 s♦♥ ♦rr s rs un
2 ♦♥t♥s ♥s ∆U2 t φn1
♠ê♠ ç♦♥ ♦♥ é♦♣♣r s②♠♣t♦tq♠♥t s ♠♦♠♥ts à ♣rtr r é♥t♦♥♥s té♦r s ♣♦trs ♦r ♥♥①
MO(b)ε = Esη3ε2(Lb)2
6
(2φO(b)ε + φE(b)ε
)− 1
2Esη
3εLb0eb⊥ ·∆Uε
∼ Esη3ε2(Lb)2
6
(
2φOR(b)0 + φ
ER(b)0 + ε
(
2φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
))
−1
2Esη
3εLb0eb⊥ ·(ε∆U1 + ε2∆U2
)
ME(b)ε = Esη3ε2(Lb)2
6
(φO(b)ε + 2φE(b)ε
)− 1
2Esη
3εLb0eb⊥ ·∆Uε
∼ Esη3ε2(Lb)2
6
(
φOR(b)0 + 2φ
ER(b)0 + ε
(
φOR(b)1 + 2
∂φ0
∂λiδib + 2φ
ER(b)1
))
− 1
2Esη
3εLb0eb⊥ ·(ε∆U1 + ε2∆U2
)
♦♥ ♦r♦♥♥ s♥t s ♣ss♥s ε ♦♥ ♦t♥t
MO(b)ε ∼ ε2
(
Esη3
(Lb)2
6
(
2φOR(b)0 + φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lb0eb⊥ ·∆U1
)
+ε3
(
Esη3
(Lb)2
6
(
2φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lb0eb⊥ ·∆U2
)
∼ ε2MO(b)1 + ε3M
O(b)2
ME(b)ε ∼ ε2
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)0 + 2φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lb0eb⊥ ·∆U1
)
+ε3
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)1 + 2
∂φ0
∂λiδib + 2φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lb0eb⊥ ·∆U2
)
∼ ε2ME(b)1 + ε3M
E(b)2
![Page 104: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/104.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
①♣rss♦♥ ♥ s éqt♦♥s éqrs
qr s ♦rts ♦♥ r♣♦rt s éqt♦♥s t ♥s ♦♥♦t♥t
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
Tεb.(vε (O (b)) − vε (E (b))) = 0
ç♦♥ é♦♣♣é t ♦r♦♥♥é s♥t s ♣ss♥s ε ♥♦s ♦♥♥
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
[
ε2(
Esη(
eb ·∆U1
)
eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
eb⊥)
· ∂v(λε)
∂λiδib
+ε3(
Esη(
eb ·∆U2
)
eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3Lb
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
eb⊥)
· ∂v(λε)
∂λiδib]
= 0
♥ ♣t ♣ssr éqt♦♥ ♥ ♥tér ♥ ts♥t réstt s♥t ♣♦r t♦t♦♥t♦♥ ss③ réèr g q♥tté ε2
∑
vi∈Z2
g(εvi) ♣t êtr ♥tr♣rété ♦♠♠ s♦♠♠
♠♥♥ ♥ ♥tér sr Ω q t♥ rs´
Ωg(λ)dλ Ω s♣ ♥ rt
♦♥sérr ε3∑
vi∈Z3
g(εvi) q♥ ε→ 0 éqt♦♥ ♥t ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ˆ
Ω
Si.∂v(λ)
∂λidλ = 0
Si ∼ Si
1 + εSi2
t s trs ♦♥tr♥ts Si1 t Si
2 ts q
Si1 =
∑
b∈BR
(
Esη(
eb ·∆U1
)
eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
eb⊥)
δib
Si2 =
∑
b∈BR
(
Esη(
eb ·∆U2
)
eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3Lb
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
eb⊥)
δib
♥ ♣t r♣♣r♦r tt r♥èr éqt♦♥ t à ♣rtr s Si ♦♥strr
t♥sr σ ♦♠♠ ♠♦♥tré ♥s s♦sttr
σ =1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
♥ r♣♣ q ♦♥ t ♦① rs ε t η ♥é♣♥♥ts ♥s st♦♥
![Page 105: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/105.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
qr s ♠♦♠♥ts ♦s r♣♣♦♥s éqt♦♥ éqr s ♠♦♠♥ts ♥ ♣ss♥rt éqt♦♥
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
(MO(b)ε.wε (O (b)) +ME(b)ε.wε (E (b)) + εLb(eb ∧Tεb).wε (C (b))
)= 0
♦♥ é♦♣♣ tt éqt♦♥ à s é♦♣♣♠♥ts éqt♦♥ t à ♦♥ ♦t♥t éqt♦♥ s♥t ♣♦rté ♣r ♥♦r♠ ♣♥ ♦♥séré
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
((
ε2
(
Esη3
(Lb)2
6
(
2φOR(b)0 + φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U1
)
+ε3
(
Esη3
(Lb)2
6
(
2φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lb0eb⊥ ·∆U2
))
.w0
+
(
ε2
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)0 + 2φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U1
)
+ε3
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)1 + 2
∂φ0
∂λiδib + 2φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U2
))
.
(
w0 + ε∂w0
∂λiδib)
+ εlb0((
ε
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
+ε2(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3Lb
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))))
.
(
w0 +ε
2
∂w0
∂λiδib))
= 0
♦♥ ♦r♦♥♥ s♥t s ♣ss♥s ε ♦♥ ♦t♥t
♥ ♦s ♥ ♠♣ r♦tt♦♥ rt ♣♦rté é♠♥t ♣r ♥♦r♠ ♣♥ ét q ♣r♠t♦t♥r ♥ éqt♦♥ sr
![Page 106: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/106.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
ε2
[((
Esη3
(Lb)2
6
(
2φOR(b)0 + φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U1
)
.w0
+
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)0 + 2φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U1
)
.w0
+Lb0
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
.w0
]
+ ε3
[(
Esη3
(Lb)2
6
(
2φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U2
)
.w0
+
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)1 + 2
∂φ0
∂λiδib + 2φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U2
)
.w0
+ Lb0
(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3Lb
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
.w0
+
(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)0 + 2φ
ER(b)0
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U1
)
∂w0
∂λiδib
+Lb0
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
.1
2
∂w0
∂λiδib]
+ ε4
[(
Esη3
(Lb)2
6
(
φOR(b)1 + 2
∂φ0
∂λiδib + 2φ
ER(b)1
)
− 1
2Esη
3Lbeb⊥ ·∆U2
)
.∂w0
∂λiδib
+Lb0
(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3Lb
(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
1
2
∂w0
∂λiδib]
= 0
♥ ♦♥stt q♥ ♣rt s tr♠s s s♠♣♥t
∑
vi∈Z2
∑
b∈BR
(
ε3
(
Esη3
(Lb)2
12
(
φER(b)0 − φ
OR(b)0
))
+ ε4
(
Esη3
(Lb)2
12
(
−φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)))
δib.∂w0
∂λi= 0
P♦r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♦♥ ♣t ♣r♦ér ♦♠♠ ♣♦r s ♦rts ♦s ♣♦♦♥s érrtt r♥èr éqt♦♥ ♣rès ♣ss à ♠t ε→ 0 s♦s ♦r♠
ˆ
Ω
µi∂w0 (λ)
∂λidλ = 0
s trs ♦♣s ♦♥tr♥t
µi ∼ εµi1 + ε2µi
2
t
![Page 107: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/107.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
µi1 =
∑
b∈BR
ε
(
Esη3
(Lb)2
12
(
φER(b)0 − φ
OR(b)0
))
δib
µi2 =
∑
b∈BR
ε2
(
Esη3
(Lb)2
12
(
−φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
))
δib
♥♦s ♣r♠t rtr♦r t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t m à ♣rtr s trs µi
ts qs s♦♥t érts ♥s s♦s ttr s♦t
m =1
gµi ⊗ ∂R
∂λi
♠♣t♦♥ s ①♣rss♦♥s ♦t♥s t rés♦t♦♥ s♥♦♥♥s
♥s s♦sttr ♣réé♥t ♦♥ ♠♦♥tré ♦♠♠♥t ♦t♥r s trs ♦rts Si ts trs ♦♣ ♦rts µi ♥ ♣t s♠♣r s ①♣rss♦♥s s ① trs♥ s sr♥t ♥ rést♥t ♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rété s②♠étr s trs q ♦♥ ét♥ r♣♣é ♥s ♥ s ♣rr♣s ♥tr♦t♦♥ s♦s ttr q s éqt♦♥s♦♥sttts éstté ♥ér ♠r♦♣♦r s♦♥t ♦r♠
σkl = Aklmnǫmn +Bklmnκmn
mkl = Cklmnǫmn +Dklmnκmn
♥ ♣t s ♣rés♥tr ♥ é♠♥t s♦s ♦r♠
σxσyσxyσyxmxz
myz
=
[[A] [B][C] [D]
]
ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz
♥ ♦♠♣rr à ♦r♠ q ♦♥ ♦t♥t ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ ♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ rés♦t♦♥ sét♥t t sr ① ♦rrs sé♣rés s rs ♣r♠r ♦rrun1 t φn
0 s♦♥t ♣r ♦♥strt♦♥ s s②stè♠s ♦♥t♦♥ t♥sr é♦r♠t♦♥ t♥s qs rs s♦♥ ♦rr un
2 t φn1 s♦♥t ♦♥t♦♥ t♥sr ♠r♦♦rr ♦r s♦s
ttr ♥ ♦♥stt q♦♥ ♦t♥t ♥ ♠ê♠ ♦r♠ q s éqt♦♥s éstté♥ér ♠r♦♣♦r
![Page 108: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/108.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
σ ∼ 1
g
(Si1 + εSi
2
)⊗ ∂R
∂λi
σ ∼ 1
gSi1 ⊗
∂R
∂λi︸ ︷︷ ︸
[A]ǫ
+1
gεSi
2 ⊗∂R
∂λi︸ ︷︷ ︸
[B]κ
m ∼ 1
g
(µi
1 + εµi2
)⊗ ∂R
∂λi
m ∼ 1
gεµi
1 ⊗∂R
∂λi︸ ︷︷ ︸
[C]ǫ
+1
gε2µi
2 ⊗∂R
∂λi︸ ︷︷ ︸
[D]κ
r été ♠♦♥tré q ♣♦r s ♠① à s②♠étr ♥tr ❬r♦s ♥ s♥ ❪s ♣s♦ t♥srs [B] t [C] s♦♥t ♥s ♦s ♥♦s s♦♠♠s ♦r♥és ♥s tt ét à t②♣ trs q s♥ q s trs µi
1 t Si2 r♥t êtr ♥s ♥♦s ♦♥t à
♥ s♠♣t♦♥ ♥♦t s ①♣rss♦♥s s trs ♦rts t ♦♣ ♦rt
Si ∼ Si1 ∼
∑
b∈BR
(
Esη(eb ·∆U1
)eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3Lb0(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
eb⊥)
δib
∼∑
b∈BR
(N b
1eb + T b
1teb⊥) δib
µi ∼ µi2 ∼
∑
b∈BR
(
ε2
(
Esη3
(Lb)2
12
(
−φOR(b)1 +
∂φ0
∂λiδib + φ
ER(b)1
)))
δib
︸ ︷︷ ︸
∑
b∈BR
1
2ε2
(
ME(b)2 −M
O(b)2
)
δib=∑
b∈BR
M
E(b)2 +ε
Lb
2(eb∧Tb
2)
.e3δib
♥ ♣♦s♥t ♦♥t♦♥ N b1 ♦♠♠ ét♥t ♦♥t♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦t♥ à ♣rtr s
rs♦♥ s②♠♣t♦tq éqt♦♥s ♣rès ♣ss à ♠t ε→ 0 ♥ st ♠ê♠♣♦r s ♦♥t♦♥s T b
1t ♦t♥s à ♣rtr éqt♦♥ tMn2 ♦t♥s à ♣rtr
t ssst s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts t r♦tt♦♥s ♥s s trs Si t µi
s♦♥t s ♦♥t♦♥s é♣♠♥ts un1 un
2 t s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ φn0 t φn
1 ♣s♥♦s ♥♦♥s ♣s t ♣♣rîtr r ♠r♦r♦tt♦♥ φ té♦r ♠r♦♣♦r rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s t ♥tt♦♥ φ r♦♥t ♦t s♦sttr s♥t
![Page 109: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/109.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
és♦t♦♥ s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts t r♦tt♦♥s♥tt♦♥ φ
♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ①♣qé ♥s st♦♥ ♣réé♥t ssst s ♥♦♥♥s é♣♠♥ts un
1 un2 t r♦tt♦♥ φn
1 φn0 ♥ ♥ ♣s ♥♦r ♥té r
♠r♦r♦tt♦♥ φ ♥ ♣t tsr ♥ rs♦♥♥♠♥t s♠r à t ♥s ♣tr ①s ér♥s ♦♥r♥♥t ♥♦♠r ♥♦♥♥s t t q s ①♣rss♦♥s r♦r♥t♥ ① ♦rrs r♥r ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♥ sér ♥♦♥♥s s♣♣é♠♥trss r♦tt♦♥s t ♣♦r q ♣r♦è♠ s♦t ♥ ♣♦sé ♥ sér éqt♦♥s s♣♣é♠♥trss sr♦♥t ♦r♥s ♣r éqr s ♠♦♠♥ts s éqt♦♥s r♦r♥t ① ♦rrs st♦♥ ♥éssr q s②stè♠ s♦t éqré à s ① ♦rrs
♥ ♥♦tr q ♥♦s ♥ ♦♥♥ss♦♥s ♣s ♥s s é♥ér ♦♥r ♠r♦s♦♣q L♥ r ♣tt ♣r♠ètr ε ♣r ♦♥tr ♦♥ s ♦♥♥ s♦♥t r ♦♥r ♠r♦s♦♣q l ♦♥r s éé♠♥tr à é ♠r♦s♦♣q ♦♠♠♥♦s ♦♥s ♣♦sé r♣♣♦rt ε ♦♠♠ ét♥t l = εL ♥♦s r♠♣r♦♥s ♥s s é♦♣♣♠♥tsq s♥t εL ♣r l
P♦r q st éqr s ♦rts ♦♥ ♣t à ♥♦ ♦♠♠♥r ♣r s éqt♦♥s ♦♠♠ trs st ♥ éqr éé♠♥tr st ss ♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥sérr
∑
b∈BR
Tbε.(vε (E (b))− vε (O (b))) = 0
∑
b∈BR
(Neb + Tte
b⊥) · (v (E (b))− v (O (b))) = 0
♦♠♠ tt éqt♦♥ st sr ① ♦rrs ♦♥ rés♦r sr q ♦rr
∑
b∈BR
(N b
1eb + T b
1teb⊥) .(v (E (b))− v (O (b))) = 0
∑
b∈BR
(N b
2eb + T b
2teb⊥) .(v (E (b))− v (O (b))) = 0
♦ ç♦♥ ♣s é♦♣♣é
∑
b∈BR
(
Esη(eb ·∆U1
)eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U1 −
1
2Esη
3lb0(
φOR(b)0 + φ
ER(b)0
))
eb⊥)
· (v (E (b))− v (O (b))) = 0
∑
b∈BR
(
Esη(eb ·∆U2
)eb +
(
Esη3eb⊥ ·∆U2 −
1
2Esη
3lb0(
φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0
∂λiδib))
eb⊥)
·(v (E (b))− v (O (b))) = 0
♦♠♠ s tsss rts v(.) s♦♥t ♣r♦r q♦♥q ♥ s éqt♦♥s sé♦♣♣ ♥ t♥t éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts q ♥♦s ♥s éé♠♥trs♦t ① ♦s n éqt♦♥s t♦rs ♦ 4n éqt♦♥s srs n ét♥t ♥♦♠r ♥♦s
![Page 110: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/110.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
éé♠♥tr ♥ rs♦♥♥r ♠ê♠ ç♦♥ ♣♦r s ♠♦♠♥ts à ♣rtr éqt♦♥ ♣♣qé à éé♠♥tr t s♥t s ① ♦rrs sért
∑
b∈BR
(
MO(b)1 .w (O (b)) +M
E(b)1 .w (E (b))
)
= 0
∑
b∈BR
(
MO(b)2 .w (O (b)) +M
E(b)2 .w (E (b))
)
= 0
♦ ç♦♥ é♦♣♣é
∑
b∈BR
((
kbflb
6
(
Lb(
2φOR(b)0 + φ
ER(b)0
)
− 3eb⊥ ·(∆Ub
1
)))
e3
)
.w (O (b))
+
((
kbflb
6
(
lb(
φOR(b)0 + 2φ
ER(b)0
)
− 3eb⊥ ·(∆Ub
1
)))
e3
)
.w (E (b)) = 0
∑
b∈BR
((
kbflb
6
(
lb(
2φOR(b)1 + φ
ER(b)1 +
∂φ0(λε)
∂λiδib)
− 3eb⊥ ·(∆Ub
2
)))
e3
)
.w (O (b))
+
((
kbflb
6
(
lb(
φOR(b)1 + 2
(
φER(b)1 +
∂φ0(λε)
∂λiδib))
− 3eb⊥ ·(∆Ub
2
)))
e3
)
.w (E (b)) = 0
♦♠♠ s t① r♦tt♦♥s rts w(.) s♦♥t ♣r♦r q♦♥q s éqt♦♥s sé♦♣♣♥t ♥ t♥t éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts q ♥♦s ♥s éé♠♥trs♦t ① ♦s n éqt♦♥s srs ♠♣ r♦tt♦♥ rt w(.) st ♦♥ér à e3n ét♥t ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr
♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♣r♠r ♦rr φn0 ♦♥ ♦♥sttr q s
♥♦♥♥s s♦♥t ♦♥t♦♥s s tr♠s t♥sr é♦r♠t♦♥ [ǫ] ♥ ♣t s♥r t♥sr é♦r♠t♦♥ ♥ ① ♣rts ♥ ♣rt s②♠étrq t ♥ ♥ts②♠étrq ♥ ♥trφ r ♠r♦r♦tt♦♥ ♦♠♦é♥ésé à tt ♣rt ♥ts②♠étrq ♥ ♥♦s♦♥♥
φn0 = ciǫ
i
︸︷︷︸
φn0
+ diǫi
︸︷︷︸
φ
♦rt♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r t♦♠tq
♥ r♣r♥ s éqt♦♥s t ♥ sr ① ♦rrs ér♥ts P♦r♥ s ♦rrs ① sérs n éqt♦♥s éqr ♦rt t ♠♦♠♥ts ♦♥t sé♦♣♣r
♣r♠r ♦rr
![Page 111: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/111.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
∑
b∈BR, ER(b)=1
N b1e
b + T b1te
b⊥ +∑
b∈BR, OR(b)=1
−N b1e
b − T b1te
b⊥ = 0
... ∑
b∈BR, ER(b)=n
N b1e
b + T b1te
b⊥ +∑
b∈BR, OR(b)=n
−N b1e
b − T b1te
b⊥ = 0
∑
b∈BR, O(b)=1
MO(b)1 +
∑
b∈BR, E(b)=1
ME(b)1 = 0
... ∑
b∈BR, O(b)=n
MO(b)1 +
∑
b∈BR, E(b)=n
ME(b)1 = 0
♥s♠ s éqt♦♥s à ♦tt à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦r♠
[M1]
u11...un1v11...vn1φ10
...φn0
=
q11...q3n1
[M1] ♠tr t 3n × 3n n ♥♦♠r ♥♦ réér♥ ui1
t vi1 s ♥♦♥♥s tr é♣♠♥t ui1 =
[ui1vi1
]
♥♦ i ♣r♠r ♦rr φi0 s
♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♥♦ i ♣r♠r ♦rr t qi1 ∈
0,∂u
∂x,∂v
∂y,∂u
∂y,∂v
∂x
s ♦♥♥és
♣r♦è♠ és ① ♦♥t♦♥s t♦éqr t♥t ♦♥♥é ♦r♠ s②stè♠
♥ér ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s ui1 vi1 t φi
0 sr♦♥t ♦♥t♦♥
∂u
∂x,∂v
∂y,∂u
∂y,∂v
∂x
st à r ♦♥t♦♥ t♥sr é♦r♠t♦♥ [ǫ] s♦♥ ♦rr
∑
b∈BR, ER(b)=1
N b2e
b + T b2te
b⊥ +∑
b∈BR, OR(b)=1
−N b2e
b − T b2te
b⊥ = 0
...∑
b∈BR, ER(b)=n
N b2e
b + T b2te
b⊥ +∑
b∈BR, OR(b)=n
−N b2e
b − T b2te
b⊥ = 0
![Page 112: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/112.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
∑
b∈BR, O(b)=1
MO(b)2 +
∑
b∈BR, E(b)=1
ME(b)2 = 0
...∑
b∈BR, O(b)=n
MO(b)2 +
∑
b∈BR, E(b)=n
ME(b)2 = 0
♥s♠ s éqt♦♥s à ♦♥t à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦r♠
[M2]
u12...un2v12...vn2φ11
...φn1
=
q12...q3n2
[M2] ♠tr t 3n × 3n n ♥♦♠r ♥♦s réér♥
ui2 t vi2 s ♥♦♥♥s tr é♣♠♥t ui2 =
[ui2vi2
]
♥♦ i s♦♥ ♦rr φi1
s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♥♦ i s♦♥ ♦rr t qi2 ∈
0,∂φ
∂x,∂φ
∂y
s ♦♥♥és
♣r♦è♠ t♥t ♦♥♥é ♦r♠ s②stè♠ ♥ér ♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s ui2 vi2
t φi1 sr♦♥t ♦♥t♦♥
∂φ
∂x,∂φ
∂y
st à r ♦♥t♦♥ t♥sr ♦rr [κ]
♥ r♣♣ q s ♠♦s rrs s♦♥t kbl = Esη t kbf = Esη3
♦s ♦♥s ♥ ôté s ① sérs 3n éqt♦♥s ♥é♣♥♥ts s♦t 6n éqt♦♥s t♦t t ♥ tr ôté 6n ♥♦♥♥s ① ♦s 2n ♥♦♥♥s é♣♠♥t t n ♥♦♥♥s r♦tt♦♥s rés♦t♦♥ st ♣♦ss P♦r s♠♣r ♥tt♦♥ φ r ♠r♦r♦tt♦♥ ♠r♦♣♦r ♦♥ ♦♠t s ①♣rss♦♥s éqr ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s♣s ♦♥ ♥t ♣♦str♦r ♥s ♥ s ♥♦♥♥s r♦tt♦♥ ♣r♠r ♦rr♣rès ♦r rés♦ s ♥♦♥♥s ♦♥ ♦♥sr s ①♣rss♦♥s s ♦rts ♣r♠r ♦rrN b
1 , Tb1t ♣♦r ♦♥strr s trs ♦rts Si t ♦♥ ♦♥sr s ①♣rss♦♥s ♠♦♠♥ts
s♦♥ ♦rr ME(b)2 , M
O(b)2 ♣♦r ♦♥strr s trs ♦♣ ♦♥tr♥t µi s
① sérs trs srr♦♥t ♥ ♣♦r ♦t♥r t♥sr ♦♥tr♥t t tr ♣♦r t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t é♦♣♣♠♥t ♦rt♠ ♦♠♣t s rtr♦♥s ♦rt♠ st ♠♥tr ♣r ♥ r t①t ér♥t é♦♠étr t
♦♠♠ st ①♣qé ♥s st♦♥ ♦♥ rt é♠♥t ♣ tsr ♦r♠t♦♥ éq
♥t kbl =EsS
lb t kbf =
12EsIb
(lb)3
![Page 113: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/113.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
trs ♠r♦s♦♣q
n1
Y2
Y1
b1
b2
i
j
l
s trs rré
r trs rré
s rtérstqs ♠é♥qs ♠tér ♦♥stt♥t trs ♥térêt ♦r ♥ ♦ t♦♠tq st ♣♦ssté trtr ♣r♦r ♥♠♣♦rt q trs ré♣étt♥tr♦s②♠étrq s ♠ts ♥ét♥t q s ♠ts ♣ ♥ r♥♦ tr♥térssé ♣r ét ♣r♦r♠♠t♦♥ à ♥♥① ♦ù ♦ s♦r ♣ ss t♦rt♠ st é♦♣♣é
①♠♣s ♣♣t♦♥s
P♦r strr ♠ét♦ ♥♦s ♦♥r♦♥s ç♦♥ été sr ① ①♠♣sssqs trs rré t trs ①♦♥
trs rré
♦s ♦♥s t♦t ♦r ♣♣qr ♠ét♦ ♣réé♥t à ♥ trs s♠♣ ♥ trs rré ♦r r
♦s ♦♥s ① ♣♦trs ♦♥r lb = l s ① trs rtrs s ♣♦trs s♦♥t♦rs
e1 = (1, 0)T e2 = (0, 1)T
♥ ♣♦s tr é♣♠♥t u0 =
[uv
]
t φ ♠r♦r♦tt♦♥ ♦♥t r♥t ♥
♦♦r♦♥♥és r♥s st
P♦r étr s ♦♥s♦♥s ♥♦tt♦♥ s trs ♣ eλi s st♦♥s ♣réé♥ts sr♦♥t ♥♦tésYi s♦♥t s trs ♥trs ♥s r♣èr r♥ér ♠s s ♦♥t ♥ ♥♦r♠ Li ♥s r♣èrrtés♥ s trs ♥trs r♣èr rtés♥ s♦♥t ♥♦tés ei = (i, j,k)
![Page 114: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/114.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♥tst♦♥ s t① ♦♥♥és é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣ss xR→ x(λ) s ♥♦♥♥s sr♦♥t s
qtr sérs rs un1 un
2 φn0 t φn
1 n ∈ NR
r♥s♦r♠t♦♥ s ①♣rss♦♥s
(
∂U
∂λi
)
(Y1,Y2)
7→(
∂U
∂λi
)
(i,j)
t
(
∂φ
∂λi
)
(Y1,Y2)
7→(
∂φ
∂λi
)
(i,j)
tt ét♣ st t s
♦♥ ts ♥ ♦ st♥r ♦♥t ♦♥t♦♥ ♣r♦t t♦r st ①♣r♠é ♥s ♥ r♣èr ♦rt♦♥♦r♠é ssq ♦♥♦♠t tt ét♣ t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦♣ér♥t sr s trs t t♥srs ♦♥t êtr é♥s ♣♦r s ♦♦r♦♥♥ésr♥érs
♥tst♦♥ s t① éqt♦♥s equ1[1..Nmax] equ2[1..Nmax] t equ3[1..Nmax] t equ4[1..Nmax] Nmax ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr equ1 t equ4 s♦♥t s ♣r♠rs ♠♠rs éqt♦♥s t♦rs equ2 tequ3[1..Nmax] s♦♥t s ♣r♠rs ♠♠rs éqt♦♥s srs
P♦r q ♣♦tr b ∈ BR
E := ER(b) O := OR(b)
∆Ub1 := uE
1 −uO1 +
∂U
∂λiδi kl := Esη t kf := Esη3 ♥ r♣♣ q ♦♥ rt ♣ tsr ♠ê♠ ♠♥èr
kl := Est
lbt kf := Es
t3(
lb)3
N1 := kl(
eb ·(
∆Ub1
))
T1t := kf
(
eb⊥ ·(
∆Ub1
)
− Lb
2
(
φO0 + φE
0
)
)
MO1 := kf
lb
6
(
lb(
2φO0 + φE
0
)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub1
))
ME1 := kf
lb
6
(
lb(
φO0 + 2φE
0
)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub1
))
equ1[E(b)] := equ1[E(b)]+Nb1e
b+T b1te
b⊥ equ1[O(b)] := equ1[O(b)]−Nb1e
b−T b1te
b⊥ st ♦♥strr ♣r♠r ♠♠r q éqt♦♥
equ2[E(b)] := equ2[E(b)] +ME1 equ2[O(b)] := equ2[O(b)] +MO
1
♦♥strt♦♥ ① s②stè♠s éqt♦♥s 3Nmax ♥s t♦t[
equ1]
=
[
00
]
...[
00
]
[
equ2]
=
0...0
és♦t♦♥ s ① s②stè♠s ♣♦r s rs un1 t φn
0
♥tt♦♥ φ =1
2
(
∂v
∂x− ∂u
∂y
)
♥s s rs r♦tt♦♥ φn0
rt♠♥t s♦♥ ♦rr ♥tq ① ♣♦♥ts à ♠s s rs un2 t φn
1 t s éqt♦♥s s♥ts
∆Ub2 := uE
2 − uO2
N2 := kl(
eb ·(
∆Ub2
))
T2t := kf
(
eb⊥ ·(
∆Ub1
)
− lb
2
(
φO1 + φE
1 +∂φ
∂λiδi))
MO2 := kf
lb
6
(
lb(
2φO1 + φE
1 +∂φ
∂λiδi)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub2
)
)
ME2 :=
kflb
6
(
lb(
φO1 + 2
(
φE1 +
∂φ
∂λiδi))
− 3eb⊥ ·(
∆Ub2
)
)
①♣rss♦♥ s trs ♦♥tr♥ts Si =∑
b∈BR
(
Nb1e
b + T b1te
b⊥)
δib t ♦♣s ♦♥tr♥ts µi =
∑
b∈BR
1
2
(
ME(b)2 −M
O(b)2
)
δib
t♥sr ♦♥tr♥t σ =1
gSi ⊗ ∂R
∂λit t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t m =
1
gµ
i ⊗ ∂R
∂λi
♦♥strt♦♥ ♠tr rr [K] t q
σx
σy
σxy
σyx
mxz
myz
= [K]
ǫxǫyǫxyǫyxκxz
κyz
♣s ♠tr s♦♣ss [S] =
[K]−1
①trt♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ♠r♦♣♦rs t trs ♦♥st♥ts à ♣rtr s ♠trs rr t s♦♣ss
µ∗, κ à ♣rtr
µ∗ + κ = K33
µ∗ = K34 γ = K55
G∗ = µ∗ +κ
2E∗
1 =1
S11 ν∗12 = −S21 · E∗
1
♦♥r rtérstq t qγ
♦♥t ♦♣ t qκ
♦rt♠ ♦rt♠ trt♠♥t t♦♠tsé ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt ♠r♦♣♦r
![Page 115: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/115.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♣♦tr ♣♦tr
δ1 δ2
sr♣t♦♥ ♦♥♥tté trs rré
∂u0(λ)
∂λi=
∂u
∂λi∂v
∂λi
(Y1,Y2)
∂φ
∂λi (Y1,Y2)=
∂φ
∂λi
st ♣réér ♥ ♠♥èr é♥ér ①♣r♠r s ♦♦r♦♥♥és ♥s s rtés♥♥ t ♦♥rtr s érés r♥s ♥s s②stè♠ ♦♦r♦♥♥és rtés♥ ♣r♠t s♠♣r ♦ ♣ ♥s s s ♣r♦ts srs ♥st ①♠♣ s♠♣ ♦♥t♦♥ ♥♠♥t ♦♦r♦♥♥és ♥tr s ① r♣èrs tR = [ lλ1
︸︷︷︸
x
, lλ2︸︷︷︸
y
](i,j) ♦♥ ♦t♥t ♥s r♣èr rtés♥
∂u0(λ)
∂λ1=
l∂u
∂x
l∂v
∂x
(i,j)
∂u0(λ)
∂λ2=
l∂u
∂y
l∂v
∂y
(i,j)
∂φ
∂λ1 (Y1,Y2)= l
∂φ
∂x (i,j)∂φ
∂λ2 (Y1,Y2)= l
∂φ
∂y (i,j)
♥ ♣t ♦r trs s♦s ♦r♠ ♥ t ♦r t s ♥♦s♦r♥ t ①tré♠té ♥s q s rs s δi ♦rrs♣♦♥♥ts
♦♥ r♣r♥ s éqt♦♥s t ♥s s trs rré ♦♥ ♦t♥t ♣r♠r ♦rr
N11 = kl
∂u
∂x N2
1 = kl∂v
∂y T 1
1t = kf
(
l∂v
∂x− lφ1
0
)
T 21t = kf
(
−l ∂u∂x
− Lφ10
)
ME(1)1 =
kf l2
2
(
φ10 −
∂v
∂x
)
MO(1)1 =
kf l2
2
(
φ10 −
∂v
∂x
)
ME(2)1 =
kf l2
2
(
φ10 +
∂u
∂y
)
M b2O =
kf l2
2
(
φ10 +
∂u
∂y
)
♥ r♣♣ s ♠♦s rrs ♥ ①t♥s♦♥ t ①♦♥ s♥ts kl = Esη =Est
b
lb
kf = Esη3 =
12EsIz
(lb)3
② ♥ s ♥♦♥♥ ♥s s éqt♦♥s r♦tt♦♥ ♣r♠r ♦rr ♥♦ φ10
q ♣rès rés♦t♦♥ ♥t
φ10 =
1
2
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)
![Page 116: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/116.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♥tt♦♥ φ r r♦tt♦♥ ♠r♦♣♦r st ♠♠ét φ10 =
1
2
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)
=
φ s♦♥ ♦rr ♦♥ ♦t♥t
N12 = 0 N2
2 = 0 T 12t = −kf l
2
(
2φ11 + l
∂φ
∂x
)
T 22t = −kf l
2
(
2φ11 + l
∂φ
∂y
)
ME(1)2 =
kf l2
6
(
3φ11 + 2l
∂φ
∂x
)
MO(1)2 =
kf l2
6
(
3φ11 + l
∂φ
∂x
)
ME(2)2 =
kf l2
6
(
3φ11 + 2l
∂φ
∂y
)
MO(2)2 =
kf l2
6
(
3φ11 + l
∂φ
∂y
)
s♦♥ ♦rr ♥② é♠♥t q♥ r φ11 q ♣rès rés♦t♦♥ t
φ11 = − l
4
(∂φ
∂x+∂φ
∂y
)
♥ ♣t ♠♥t♥♥t ①♣r♠r s trs Sit µi à ♣rtr s éqt♦♥s t
S1 =
kll∂u
∂x
kf l
(∂v
x− φ
)
S2 =
kf l
(∂u
y− φ
)
kll∂v
∂y
µ1 =
0
0
kf l3
12∂φ∂x
µ2 =
0
0
kf l3
12∂φ∂y
♥♦s rst à ♦t♥r s ① t♥srs à ♣rtr s rt♦♥s t
σ =1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
m =1
gµi ⊗ ∂R
∂λi
♥ r♣♣ q R = lλ1︸︷︷︸
x
i + lλ2︸︷︷︸
y
j ♥ ♦t♥t∂R
∂λ1=
[l0
]
t∂R
∂λ2=
[0l
]
t
étr♠♥♥t ♠tr ♦♥♥♥ g = l2 ♦s ♣♦♦♥s ♠♥t♥♥t é♦♣♣r t♥sr s ♦♥tr♥ts
σ =1
l2
(
S1 ⊗ ∂R
∂λ1+ S2 ⊗ ∂R
∂λ2
)
=
kl
∂u∂x
kf
(∂u∂y
+ φ)
kf(∂v∂x
− φ)
kl∂v∂y
♠ê♠ ç♦♥ ♦♥ ♦t♥t t♥sr ♠ st s♠♣♠♥t ♥éssr ét♥r ♦♥t♦♥ ♣ss s ♦♦r♦♥♥és r♥s à ♠♥s♦♥ ♦rs ♣♥ ♥ ♦♥sér♥tq ♥♦r♠ ♣♥ s♣♣♦rt s trs ♠♦♠♥ts µi st ♥tq ♥ ♦♦r♦♥♥ésr♥s t ♥ ♦♦r♦♥♥és rtés♥♥s ♦s ♦♥sér♦♥s q trs ♥ é♣ssr♥té à ♦s ♥s s②stè♠ r♥ t ♥s s②stè♠ rtés♥ ♦s ♦t♥♦♥s ♦rs♥ ♦♥t♦♥ ♥♠♥t ♦♦r♦♥♥és
![Page 117: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/117.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
R = lλ1︸︷︷︸
x
i+ lλ2︸︷︷︸
y
j+ λ3︸︷︷︸
z
k
m =1
l2
(
µ1 ⊗ ∂R
∂λ1+ µ2 ⊗ ∂R
∂λ2
)
=
0 0 0
0 0 0
kf l2
12∂φ∂x
kf l2
12∂φ∂y
0
ré ♦r♠ t♥sr ♦t♥ ss s ① ♦♠♣♦s♥ts m31 t m32 ①st♥t ♥s♥ ♣r♦è♠ ♣♥ ♦♠♠ ①♣qé ♥s ♥tr♦t♦♥ ♥ ♥♦tt♦♥ ♥é♥r ♦♥ ♣térr ♦ ♠r♦♣♦r s♦s ♦r♠ ♦♥♥sé
σ =
σxσyσxyσyxmxz
myz
= [K]
ǫxǫyǫxyǫyxκxzκyz
= [K]
∂u∂x∂v∂y
∂v∂x
− φ∂u∂y
+ φ∂φ∂x∂φ∂y
[K] ♠tr rté é à
[K] =
klkl
kfkf
kf l2
12kf l
2
12
=
Esη 0 0 0 0 0
0 Esη 0 0 0 0
0 0 Esη3 0 0 0
0 0 0 Esη3 0 0
0 0 0 0 l2Esη3
120
0 0 0 0 0 l2Esη3
12
=
Estl
Estl
12EsIzl3
12EsIzl3
EsIzl
EsIzl
=
K11
K22
KK44
K55
K66
♦s ♥♦♥s ♥ q tr♦s ♠♦s rté ér♥ts K11 = K22K33 = K44 tK55 = K66 ♥ ♣t ♦t♥r ès ♦rs s ♠♦s ♠é♥qs ♠♦ ❨♦♥ st trét♥t ♦♥♥é q trs st ♦rt♦tétr♦♥ ss s ♣♦trs ♥s ① r♠♥ttr♥t st ♦♥ ♦q♠♥t rr ♥ ♣♦tr q ♣♣rît
E∗1 = E∗
2 = kl = Es η =Es t
l
![Page 118: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/118.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
1 2
3
n1
n2
n1
n1
Y1
Y2
r ②♠étrst♦♥ s
♦♥t P♦ss♦♥ st ♥
ν12 = ν21 = 0
s ♠♦s ♠r♦♣♦rs κ t µ∗ s①♣r♠♥t s♦♥
κ = kf = Es η3 = 12
Es Iz
l3
µ∗ = 0
♠♦ s♠♥t éq♥t ♥ éstté ssq t
G =kf2= Es η3
2= 6
Es Iz
l3
♠♦ rr s ♠r♦♦rrs st ♥tq ♣♦r s ① ①s
γ =kf l
2
12=EsIzl
♥ ♣t r♠rqr q s ♠♦s ♦♥t ♥ s ♠ê♠s ♠♥s♦♥s q s té♦r♠r♦♣♦r ♥ ♦tr s ♦♥st♥ts s♥ts és à rt♥s éqt♦♥s té♦r ♠r♦♣♦r
♦♥r rtérstq L2cara =
l2
24
♦♥t ♦♣ N2coupl = 1
2 ♦♥t ♦♣ ♥st ♣s é à
♣r♦♥t q ♥♦s ♥ s♦♠♠s ♣s ♥s s ♥ té♦r ♦♣ strss ♠s ♥♥s s ♥ té♦r ♠r♦♣♦r
trs ①♦♥ ♣♣é ss ♥
r ♠♦♥tr é♥t♦♥ é♦♠étrq trs
![Page 119: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/119.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
♣♦tr
δ1 δ2
♦♥♥tté trs ①♦♥
q ♣♦tr ♥ ♦♥r l s ♦♥rs ♣s ♥♦r♠ Y1 t Y2 ♥s r♣èr rtés♥ s♦♥t l1 = l2 =
√3l s trs rtérstqs trs ♣♥t êtr
s②♥tétsés ♥s t ♦♥♥tté
♦s ♣♦sr♦♥s s ♠♦s rrs ① t ①♦♥♥ s♥ts kf = Esη3 =
12Es Izl3
t kl = Esη =Es t
l ♥ ♣r♦é♥t à ♦♠♦é♥ést♦♥ à ♦
♦♥ ♦t♥t ♣♦r t♥sr ♦♥tr♥t
[σ] =
kl√3(kl
∂u∂x
+3 kf∂u∂x
+kl∂v∂y
−( ∂v∂y )kf )
6(kl+kf )
kf√3(kl ∂v
∂x−kf
∂v∂x
+kf∂u∂y
+3 ( ∂u∂y )kl+2φ kl+2 kf φ)
6(kl+kt)
kf√3(3 kl
∂v∂x
+( ∂u∂y )kl+kf
∂v∂x
−kf∂u∂y
−2φkl−2 kf φ)
6(kl+kf )
kl√3(kl ∂u
∂x−kf
∂u∂x
+kl∂v∂y
+3 ( ∂v∂y )kf)
6(kl+kf)
t ♣♦r t♥sr ♦♣ ♦♥tr♥t
m =
0 0 0
0 0 0√3l2kf36
∂φ∂x
√3l2kf36
(∂φ∂y
)
0
♥♦tt♦♥ ♦♥♥sé ♦♥ ♦t♥t ♠tr rr
♥ r♣♣ q m st r♣rés♥té ♣r ♥ ♠tr ① à s ♣r♦éé ♠s s s♦♥ts s ♦♥ts m31t m32
![Page 120: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/120.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
[K] =
√3kl (kl+3 kf)6(kl+kf )
√3kl (kl−kf)6(kl+kf )
0 0 0 0√3kl (kl−kf)6(kl+kf )
√3kl (kl+3 kf)6(kl+kf )
0 0 0 0
0 0√3kf (kf+3 kl)6(kl+kf )
√3kf (kl−kf)6(kf+kf )
0 0
0 0√3kf (kl−kf)6(kf+kf )
√3kf (kf+3 kl)6(kl+kf )
0 0
0 0 0 0√3kf .l
2
360
0 0 0 0 0√3kf .l
2
36
[K] =
1
6
√3Es η (1+3 η2)
1+η2 −1
6
√3Es η (−1+η2)
1+η2 0 0 0 0
−1
6
√3Es η (−1+η2)
1+η2
1
6
√3Es η (1+3 η2)
1+η2 0 0 0 0
0 01
6
√3Es η3(3+η2)
1+η2 −1
6
√3Es η3(−1+η2)
1+η2 0 0
0 0 −1
6
√3Es η3(−1+η2)
1+η2
1
6
√3Es η3(3+η2)
1+η2 0 0
0 0 0 0 Esη3√
3l2
360
0 0 0 0 0 Esη3√
3l2
36
♥ rtr♦ s ♦♥ts q ♦♥ t és ♥s ♣tr ♦♠♦é♥ést♦♥♥♦♥ ♣♦r ♦r♠s s ♦♥ts K55 t K66 q ♥①st♥t ♥ sûr q ♣♦r ♥ ♠♠r♦♣♦r ♥ ♣t trr tt ♠tr s ①♣rss♦♥s s ♠♦s ♦♠♦é♥ésés ♥♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♠é♥qs trs
µ∗ =1
6
√3kf (kl − kf )
kl + kf= −
√3Es η3 (−1 + η2)
6 (1 + η2)= −2
Iz Es (−tl2 + 12 Iz)√3
l3 (tl2 + 12 Iz)
κ =kf√3
3=
Es η3√3
3= 4
√3Iz Es
l3
E∗ =4(kfkl
√3)
3 (kl + 3kf )== 4/3
Es η3√3
1 + 3 η2= 16
√3Es Iz t
l (tl2 + 36 Iz)
ν =kl − kfkl + 3kf
= −−1 + η2
1 + 3 η2= −−tl2 + 12 Iz
tl2 + 36 Iz
G∗ =1
3
klkf√3
kl + kf=
Es η3√3
3 (1 + η2)= 4
√3Es Iz t
l (tl2 + 12 Iz)
γ =
√3kf .l
2
36=
√3Iz Es
3 l
![Page 121: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/121.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
l2cara =l2 (kl + kf )
48kl=l2 (1 + η2)
48
N2 =kl + kf3kl + kf
==1 + η2
3 + η2
♥ r♠rq q s ♠♦s s♦♥t ♦♠♦è♥s q♥t ① ♠♥s♦♥s ♣r r♣♣♦rt à qst é♦qé ♥s té♦r ♠r♦♣♦r ♥ rtr♦ s ♠ê♠s réstts q Pr ♥sPr ♥ ❬❪ ♥s q ♠r t ♦ ♥s ♠r ♥ ♦ ❬❪ qts♥t s ♠ét♦s é♥rétqs ❲rr♥ ♥ ②s♦ ❬❪ ts s②♠étr ♣rtèr ♠ strt♦♥ s ♥♦s à s tr♦♥t s tr♠s ♦♠♣é♠♥trs és r♥t é♦r♠t♦♥ s trs ts♥t s é♦♣♣♠♥ts ②♦r s♦♥♦rr ♣♦r s é♣♠♥ts
ê♠ s ♦♥ rtr♦ s réstts ♥tqs à ① trs trs ♦♥ ♣t q♥♠ê♠ r ♥ ért♦♥ qs ♥ r♣r♥♥t ♣r♥♣ s tsts s♦♦ ❬❪♦r r ♣♦r ♠♦ s♠♥t ♠♦ ①♦♥ ♣r γ sr éé♥ ♦♥t♦♥ ♦r♠ s♠♣é ①♦♥ s♠♣ ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r ♦r♥♥①
❱ért♦♥s s ♠♦s ♦t♥s
♦t tt ♣rt st érr té s ♠♦s ♦t♥s ♥ s♥t s ①♣ér♠♥tt♦♥s ♥♠érqs ♣r éé♠♥t ♥ ♥ ç♦♥ é♥ér ♦♥ r s tsts ①t②♣s é♥t♦♥s s♦t ♥ rré 16 × 16 s s s♦t ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦rstàr ♥ ♠r♦strtr ♥ trs ♥ ♦s ♥ é♥ér ♥ ♥♦♠r ss♣érr à ♣r ôtés ♣♦r ♠♥r s ts ♦rs ❬r ♥ ❱r ❪
st ♥ s♠♥t ♣r trs rré
♥ r♣rs ♣r♥♣ s tsts s♦♦ ❬❪ ♣♦r ♠♦ K33 s ♣r♠ètrs s tsts s♦♥t ①♣qés ♥s r ♣r♥♣ tst ♥ s♠♥t ♣r ♦♥sstà ♣♣qr sr s s térs trs ♦♣♣♦sés ① à ① ♥ ♦rt ♥éq s♠♥t ♦♠♠ ♥② q♥ s ♥♦ ♣r éé♠♥tr ♥s s trsrré r♦tt♦♥ φ é à éé♠♥tr ♦♠♦é♥ésé té♦r ♠r♦♣♦r st r♦tt♦♥ s ♥♦ s t ♥st ♣s ès ♦rs q ② ♣srs♥♦s ♣r éé♠♥tr
s tsts ♦♥t été t ♥ éé♠♥ts ♥s sr qs ♥ ♦sss♥t s éé♠♥ts ♣♦trs t②♣ rr♥♦ ♥s ♦ qs qtr éé♠♥ts ♣r ♣♦trs s♦♥t♦♥s ① ♦rs s♦♥t ♥qés sr r ♥ ♠♣♦s ① ♦rs ♥ r♦tt♦♥♥ t ♥♦ s à st ♥stré ♠tér tsé ♣♦r s s♠t♦♥s st ♠♥♠ ♣r♦♣rétés éstqs Es = 72000P ν = 0, 33 t é♥t♦♥ st ♠♠ ôté ♥ trs 16×16 s s ♣♦trs ♦♥t ♥ ♦♥r l = 0, 0625♠♠ t ♥ rr t = 0, 005 ♠♠ ♣♦r rr ♥ r♣♣♦rt l/t ss③ r♥ P♦r ♠♥r ♥
![Page 122: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/122.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
Fcis
Fcis
Fcis
Fcis
Cisaillement purMicrorotation pure
Fcis
Fcis
Fcis
Fcis
r Pr♥♣ s tsts ♣♦r ♠♦ K33 ♠tr rr ♠r♦♣♦r
♣ ♣s s ts ♦rs ♦♥ ♠♦é rr s ♣♦trs sr s ♦rs ♣♦r ♦♥srr♦♠♥t ♥ ♠ê♠ rté ①♦♥ ② ① ♣♦trs sr q ♦r ♦♣♣♦sé q♦♥t ssrr ♠ê♠ rté ①♦♥♥ q♥ s ♣♦tr rté ①♦♥♥ st♦♥t♦♥ Iz = t3
12 ♣♦r q ① ♣♦trs ♥t ♠ê♠ rté q♥ s t q
r rr s♦t t′ =3
√
t3
2= 0, 003968♠♠
♥ r ♥ ♦rt ♥ s♠♥t ré♣rt ♣r ôtés s♠♥t ét♥t♥tq σxy = σyx ♦♥ ♦♥stt sr r q ② ♥ s♠♥t ♣r ♠s♥s ♠r♦r♦tt♦♥ ① ♥♦s q étt tt♥ ♥♦s ♣r♠ttr ①♣r♠r rt♠♥t ♦♥tr♥t s♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♦r♠t♦♥ s♠♥t ♣rès
♠tr ♦♥ rt ♦t♥r σxy = K33εxy = K33(∂v
∂x− φ) s♦t ♦♠♠ φ = 0 ♥s
s r♠♥t
σxy = K33∂v
∂x
⇒ K33 =σxy
∂v/∂x
♦♥tr♥t s♠♥t é à ♦rt ré♣rt sé ♣r ♦♥r σxy =11♠♠
= 1P t é♦r♠t♦♥ s♠♥t é é♣♠♥t sé ♣r ♦♥r
♥s ♥♦tr s♠t♦♥ st é♣♠♥t ♥♦ ♥ s à r♦t ♦r r
s é♣♠♥ts s♦♥t ♥♦tés Ui ♥s qs i rt♦♥ ♦♥∂v
∂x=U2(n1)
1♠♠
♥s qs st r ❯ q st r r♦tt♦♥ st ♥ r ♦♥t♥ sr rés ♣♦tr ♠s st ♥q♠♥t ① ♥♦s q tt r ♦rrs♣♦♥ à φ
![Page 123: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/123.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
rotation nulle imposée
déplacement nul imposé
n1
n2
e1
e2
r ♦♥t♦♥s ① ♦rs ♦rs tst ♥ s♠♥t trs rré
é♦r♠t♦♥ K33(homogen.) K33(Abaqus) ért ♥ s♠♥t∂v
∂x=U2(n1)
1♠♠12EsIz
l3=
σxy∂v/∂x
2, 711× 10−2♠♠ P P
♦♠♣rs♦♥ s réstts ♦rs tst trs rré ♥ s♠♥t ♣♦r ♠♦ K33 ♥tr r ♦♠♦é♥ésé t ♣r
♥ rt ♣ rs♦♥♥r ♠ê♠ ♠♥èr ♠♦ K44 t é♣♠♥t U1(n2)s réstts s♠t♦♥ s♦♥t
U2(n1) = 2, 711 × 10−2♠♠ q ♥trî♥∂v
∂x=U2(n1)
1♠♠= 2, 711 × 10−2 t ♠♦
K33 st♠é ♣r qs K33(Abaqus) =σxy
∂v/∂x=
1
2.711× 10−2= 36, 88P ♥ ♣t ♦♠
♣rr réstt à q ♥♦s ♦♥♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ K33(homogen.) =12EsIz
L3 = Esη3 =
72000
(0.005
0.0625
)3
= 36.86P ♥ ♣t ♦♥ r♠r q ♦♥ ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥
①♥t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♠♦
![Page 124: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/124.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
UR3
-4.344e-02
-3.620e-02
-2.896e-02
-2.172e-02
-1.448e-02
-7.239e-03
+5.588e-09
+7.239e-03
+1.448e-02
+2.172e-02
+2.896e-02
+3.620e-02
+4.344e-02
2
r ❱r r♦tt♦♥ ❯ ♦rs é♦r♠t♦♥ trs rré ♣r s♠♥t r ♥ ① ♥♦s
st ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ ♣r trs rré
♥ r à tstr ♠♦ K33 ♠s tt ♦s ♦♥ ♥ ré♥t q♥ ♠r♦r♦tt♦♥s♥s ♥ é♦r♠t♦♥ ♦r r ♣r♥♣ st s♠♣ ♦♥ ♣♣q tt ♦s♥ ♠r♦♦♣ ♥ q ♥♦ t s♠t♥é♠♥t ♣♦r ♠♥t♥r éqr ♣♣qrs ♦rts s♠♥t sr s ♦rs q ré♥t ♥ ♦♣ ♦ éqr♥t s♦♠♠ s♠r♦♠♦♠♥ts ♣♣qés P♦r résr tst ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ ♣r ♦♥ r♦rt à ♥♣tt st ♣♦r ♦♠♣♥sr s ts ♦r ♦r r ♥ t ♦♥ ♣♣q s♠♦♠♥ts ♥♦r♠s sr ♥s♠ é♥t♦♥ ♦♥séré q ré ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ q ♥♦ s r s ♠r♦r♦tt♦♥s ① ♦rs s st ♠♣♦sé ♥♥ réstt ♦ r s ♥♦s ♦rs s♦♥t rés à tr♦s ♣♦trs t ♥♦♥ qtr ré♥ ré♣♦♥s ♥♦♥ ♥♦r♠ é♥t♦♥ ♣♦r q st r♦tt♦♥ s ♥♦s P♦r♦r ♥ ré♣♦♥s ♥♦r♠ ♦♥ ♣r♦éé ♣r tért♦♥ ♥ ♠♣♦s♥t sr s ♦rs r♠♦②♥♥ ♥tr s ♠r♦r♦tt♦♥s ♥s é♥t♦♥ ♦♥séré t s♠t♥é♠♥t ♦♥ ♠♦é r s ♦rts s♠♥t sr s ♦rs ♣♦r ♠♥t♥r éqr
rs♦♥♥♠♥t ♣♦r st s♠r ♦♥ ♣rt σxy = K33εxy = K33(∂v
∂x− φ)
♠s tt ♦s ♥② ♥ s♠♥t∂v
∂x= 0 ♦♥ ♥ tr K33 = −σxy
φ s réstts
s♦♥t rés♠és ♥s t ért st ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥ rs♦♥♥♠♥t♣♥sr q ♥♦s rs s♦♥t ♦rrts ♣♦r ♠♦ K33 t ♦rrs♣♦♥♥t ré♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t trs
![Page 125: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/125.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
rotation imposée
déplacement nul imposé
n1
n2
e1
e2
r ♦♥t♦♥s ① ♦rs ♦rs tst trs rré ♥ ♠r♦r♦tt♦♥s ♣rs
r♦tt♦♥ ♠♦②♥♥ σxy ♠♣♦sé K33(homogen.) K33(Abaqus) ért ♥
s ♥♦s ♥ ♦r 12EsIzl3
= −σxyφ
φ = 15, 2544× 10−3 r P P
♦♠♣rs♦♥ s réstts ♥ ♠r♦r♦tt♦♥ ♣r ♣♦r ♠♦ K33 trsrré ♥tr r ♦♠♦é♥ésé t ♣r
st ♥ ①♦♥ ♣r trs rré
♥ r tt ♦s à érr ♠♦ K55 ♥s ♠tr [K] trs rré♥ tsr ①♦♥ ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r ♥s s ♥ ♦♥tr♥t ♣♥ ♥♥t tr à s réérr à ♥♥① ♣♦r ♣s éts s ♣r♥♣① ♣r♠ètrss♦♥t ♥qés ♥s r ♥ ♦t♥t rt♦♥ s♥t ♥ ♦♥tr♥t ♣♥ ♣♦r♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r s♦♠s à ♥ ♠♦♠♥t ①♦♥ ♥♦r♠
(E∗I∗z +K55H)∂φ
∂x= −Mf
E∗ ♠♦ éstq ♦♠♦é♥ésé ♣♦tr ♠r♦s♦♣q t q E∗ =Est
l I∗z
![Page 126: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/126.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
M
-MW
H
Les deux poutres aux extrémités ont une très grande rigidité
microstructure de la poutre, carré ou hexagonale, selon le cas x
y
z
r Pr♥♣① ♣r♠ètrs ♥ ♣♦tr ♠r♦♣♦r ♥ ①♦♥ ♣r
♠♦♠♥t qrtq s♥t ③ ♣♦tr ♠r♦s♦♣q I∗z =H3
12 H rr
♣♦tr ♠r♦s♦♣q K55 = γ ét♥t ♠♦ ♠r♦♣♦r é ♣réé♠♠♥t t q
K55 =EsIzl
♥s s trs rré ♥ ♣rés q ♠♦♠♥t qrtq Iz =t3
12♥s
tt r♥èr rt♦♥ st é ① ♠r♦♣♦trs rr t t Es st ♠♦ ❨♦♥ ♠tér s q ♣♦tr
♦♥ é♦♣♣ éqt♦♥ ♦♥ ♦t♥t(EstH
3
12l+Est
3H
12l
)∂φ
∂x= −Mf
EstH
12l
(H2 + t2
) ∂φ
∂x= −Mf
éqt♦♥ ♥ ♣♦tr st♥r ♥♦♥ ♠r♦♣♦r s♦♠s à ♥ ♠♦♠♥t ①♦♥♥♦r♠ sért
EstH3
12l
∂φ
∂x= −Mf
t ♠r♦♣♦r ♣♣rît ♦♥ s♦s ♦r♠ tr♠ t2. ♥ ♦♥stt q ♣♦r r♣♣rîtr ♥ t ♠r♦♣♦r st ♥éssr q t2 s♦t ♣r♦ H2 ♦♠♠ Mf st♦♥st♥t ∂φ
∂xst ss t ♦♥ ♣t réérr s éqt♦♥s t s♦s ♦r♠ s♥t
♣rès ♥tért♦♥ ♦♥ ① x
φstandard = − MfW
Kstandardf
φmicropol = − MfW
Kmicropolf
![Page 127: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/127.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
UR3
-4.920e-05-4.100e-05-3.280e-05-2.460e-05-1.640e-05-8.200e-06-1.819e-12+8.200e-06+1.640e-05+2.460e-05+3.280e-05+4.100e-05+4.920e-05
r ❱rs ❯φ ♦rs ♥ s♠t♦♥ ♥ ♣♦tr à ♠r♦strtrrré ♥ ①♦♥ ♣r
Kstandardf =
EstH3
12lt Kmicropol
f =EstH
12l(H2 + t2) ♥ ♦♥stt q ♥ ♦r
r t♦t φ st ér♥t s♦♥ q ♦♥ s♦t ♥s s ♠r♦♣♦r ♦ ♥♦♥ ♥ ♣t r♥ s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ éé♠♥t ♥s ♠♥èr à ♠ttr ♥ é♥ t ♥ t érr s s r♣♣r♦ ♠♦è ♦♠♦é♥ésé ♠r♦♣♦r ♥ résé s♠t♦♥ s♦sqs s ♣r♠ètrs s♥ts
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s ① rs ①trê♠s ♦r♥t r ♥ ♦rr t♦t φ ♠♦ést♦♥ ♠r♦♣♦r st ①t ért tt♥ ♥tr r φ(Abaqus)
t φstandard st φmicropol − φstandard
φmicropol=
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♦t ♥s ♥♦tr s ♥ ért tt♥ t2/H2 = 28% s réstts ♥♠érqs ♦♥♥♥tφ(Abaqus) = −4.920× 10−5 − 4.920× 10−5 = −9, 84× 10−5 r♥s s éqt♦♥s t ♣rés♥t ♥ r
φmicropol = 90−12× 0, 9375
72000× 3, 75× 2× (3, 752 + 22)= −10, 38× 10−5 r
t
φstandard = 90−12× 0, 9375
72000× 3, 75× 2× 3, 752= −13, 33× 10−5 r
♦♥ ♦♠♣r φ(Abaqus) t φmicropol ♦♥ ♥ ért s♥s ♦t é ① ts ♦rs ♦♥ ♦♠♣r φ(Abaqus) t φstandard ért st ♦s s réstts s♦♥ts②♥tétsés ♥s t ♥ ♦♥stt ♦♥ ♥ r très ♣r♦ ♥tr s♠t♦♥♥♠érq t r té♦r ♦♠♦é♥ésé ♠r♦♣♦r ♣♦r ♠♦ K55
♥ ♥♦tr q tt s♠t♦♥ ♥ ♣t ♦r rété ♣②sq r tr s ♣♦trs h ♦♠♣♦s♥t trs ♥térr st s♣érr à rr ôté L réér♥ s tt ♠♣♦ssté
![Page 128: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/128.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
φ(Abaqus) φmicropol φstandard
r −9, 84× 10−5 r −10, 38× 10−5 r −13, 33× 10−5 r
értφi − φ(Abaqus)
φ(Abaqus)♥
i= micropol, ou standard
♦♠♣rs♦♥ ♥tr s rs φ r♦tt♦♥ t♦t ♦rs ♥ ①♦♥ ♣♦trà ♠r♦strtr rré ♦t♥s ♣r ♦ ♥②tq♠♥t ♥♥t ♠♦ ♠r♦♣♦rK55 = γ ♦ ♥♦♥
♥ r♣♣ ♥é♥♠♦♥s q s érts tr♦és ♥♦♥t ♣s rété ♣②sq s♠t♦♥ ♥ q ♣♦r t érr té s ♠♦s tr♦és ♥s ♥ r ♣♦tr à♠r♦strtr rr s ♠r♦♣♦trs s st très ♥érr à rr ♣♦tr t2 ≪ H2 ès ♦rs t ♠r♦♣♦r s♣rît ♦rs t②♣ r♠♥t
♥ ♦♥s♦♥ s tsts sr trs rré ♦♥ rt♥r q s ♠♦s tr♦és ♣r♦♠♦é♥ést♦♥ s♦♥t r♣rés♥tts
st ♥ ①♦♥ ♣r trs ①♦♥
st r s s♠t♦♥s ♥ s♠♥t t ♠r♦r♦tt♦♥ ♥ trs①♦♥ ♥ t éé♠♥tr ♦♠♣♦rt ① ♥♦s ♦♥ ♥ ♣t ès ♦rs ♥trφ à r♦tt♦♥ ♥ ♥ ♥♦ ♣s ♦♥ ♥ ♣t é♥r s ♦♥t♦♥s ♦rss♠rs ♦r③♦♥t♠♥t t rt♠♥t r éé♠♥tr ♥st ♣s ♥tq ♣rr♦tt♦♥ ♥ s ♦♥t♥tr ♦♥ tst ♠♦ K55 ♥ ①♦♥ ♣r tst ♥①♦♥ st s♠r à trs rré ♦r r ♠ê♠ st q ♦♥sst à ♣r♥r s ♣♦trs sr♠♥s♦♥♥és ♥ rr ♥ ♣rs ♥ ♣♦tr s ♥ rr ♣♦r ♥ ♣s ♦r ♥ réstt tr♦♣ ♣♦é ♣r s ts ♦rs♦ ♥ ♥ ❬❪ ♥ t ❬❪ t r ♥ ❱r ❬❪
♦s r♣♣♦♥s rè♠♥t rs♦♥♥♠♥t ♥tq à tsé ♣♦r trs rré ♠♦♠♥t ①♦♥ ♥ ♣♦tr ♠r♦s♦♣q s♥s t ♠r♦♣♦r s①♣r♠ s♦♥
Mf = −E∗I∗z∂φ
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Mf = − (E∗I∗z +K55H)∂φ
∂x
♣②sq ♥ ê♥ ♣s qs ♣♦r ss s
![Page 129: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/129.jpg)
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UR3
-1.150e-04-9.583e-05-7.666e-05-5.750e-05-3.833e-05-1.917e-05-7.276e-12+1.916e-05+3.833e-05+5.750e-05+7.666e-05+9.583e-05+1.150e-04
r ❱rs ❯φ ♦rs ♥ s♠t♦♥ ♥ ♣♦tr à ♠r♦strtr①♦♥ ♥ ①♦♥ ♣r
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réstt s♠t♦♥ ♥♠érq st ♦♥♥é ♥s r ♥ r♣r♥♥t ♠ê♠rs♦♥♥♠♥t q ♣réé♠♠♥t ♣♦r ①♦♥ ♣♦tr à ♠r♦strtr rré ♦♥♥tèr s♥t x éqt♦♥ t ♦♥ tr♦
φmicropol = − WMf
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φstandard = −MfW
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![Page 130: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/130.jpg)
P ❨P❯ ❯ ❱ ❯ ❯ ❯ P
φ(Abaqus) φmicropol φstandard
r −2, 3× 10−4 r −2.43× 10−4 r −3.14× 10−4 r
értφi − φ(Abaqus)
φ(Abaqus)♥
♦♠♣rs♦♥ ♥tr s rs φ r♦tt♦♥ t♦t ♦rs ♥ ①♦♥ ♣♦tr à ♠r♦strtr ①♦♥ ♦t♥s ♣r ♦ ♥②tq♠♥t ♥♥t ♠♦♠r♦♣♦r K55 = γ ♦ ♥♦♥
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♦♠♦é♥ést♦♥ s trs ♥tr♦s②♠étrqs ♣r ♥ ♠ét♦ é♦♣♣♠♥ts②♠♣t♦tq srèt ♠r♦♣♦r été é ♣r ♦♠♣rs♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs♦♠♦é♥ésés à rs ♦♠♦♦s ♦t♥s ♣r s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ ♦ q♣r♠t ♦t♥r ç♦♥ t♦♠tq s ♠♦s ♠é♥qs st♥r t ♠r♦♣♦r♥ trs été ♦♥strt é♥♠♦♥s qqs ♣♦♥ts ♠♥♥t à êtr ♥♦r rés
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♥ ♦♦♥tr♠♥t ♠té ♥♦tr ét ① strtrs ♣ér♦qs à s②♠étr ♥tr ♥ sst ♣♣②é sr tt ♦♥t♦♥ s②♠étr ♣♦r ♣♦str ♦r♠ réstt t s♠♣r①♣rss♦♥ s é♦♣♣♠♥ts s②♠♣t♦tqs t s ①♣rss♦♥s ♦♠♦é♥ésés ♦t♥s ♥♥é♥t rt♥s tr♠s s♦♥ ♦rr ♦♥ t ét♥r ét ① trs ♣ér♦qs♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrq sr ♥éssr s♦t ♦r♠r ♣s r♦rs♠♥t é♦♣♣♠♥t s ér♥ts ♣r♠ètrs é♦♠étrqs ♥é♠tqs s♦♥ ♦rr s♦t ♦r♠r ♥ ♦rt♠ s♠♣é s♥s ♥ tr♠ s♦♥ ♦rr
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![Page 131: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/131.jpg)
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sr ♥♦s qst♦♥s ♥st q ♥s s s très ♣rtrs q ♦♥ rt ♦r♣♣rîtr ♥ t ré ♠r♦♣♦r à é ♠r♦s♦♣q Pr ①♠♣ trt♠♥t♥ ♠ ♥ ♥sté ♦♣ ♦♥tr♥t srq ♦ ♥éq ♠è♥r à s♣♦sr qst♦♥ ♣♦♥t ♣♣t♦♥ s ♦♣s ♦♥tr♥t sr trs ♣t② ♦r s♦♥ s r ♣srs ♣♦♥ts ♣♣t♦♥ ér♥ts ♣♦r ♠ê♠ trsq ♥ s♦♥t rs ♣s ♦ré♠♥t s ♥♦s r♥t ① ♣♦trs ♥tr s
♥ ♣t ♥sr trs rt♦♥s rr trt♠♥t s r♥s é♦r♠t♦♥s ♣stté ♥ ♠♦è ♣♦tr à é♥♠♥t ♥ t ♥ s ♠tt♦♥s ♥♦tr ét ♦♥r♥ ♠♦è ♣♦tr ♦♣té q ♥st q ♣♦r s ♣♦trs♦♥s ♥s s trs ②♥t s ♣♦trs ♥ r♣♣♦rt ♦♥rrrtrs à ♦rt ♥sté ♣r ①♠♣ ♦♥ r ♥térêt à résr ♥ ♣♣r♦ ♥ té♦r ♣♦tr ♠♦s♥♦ à ♠♥èr trs trs ❬♠r ♥ ♦ ❪
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♦♥ r♣r♥ ♦r♠ é♦♣♣é ♣s t éqt♦♥s à t ♠tr ♣r♠r ♦rr s é♦♣♣♠♥ts ♥♦s ♦♥t à ♥ér s ♠trs [B] t [D] ♣s♦♥ ♠♦♥tré ♣rr♣ q s ♠♦s és à ♠tr [C] s♦♥t ♦rr ε3t♥s q ① és à ♠tr [A] s♦♥t ♦rr ε2 q ♥♦s ♦♥t à ♥ér [C]♥t [A] ♥♦s ♠è♥ à
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![Page 132: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/132.jpg)
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♥s ♣tr s♥t ♦♥ s ♣r♦♣♦s tstr ♦♠♦é♥ést♦♥ ér♥ts s♦rts trs ①étqs t r① ♦ ♠r♦♣♦r t rs♦♥ ♦ ♠té ♣r♠r ♦rr s ér♥ts rs t ét♥t r s réstts♦t♥s ♣r s ① ♦s
![Page 133: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/133.jpg)
Chapitre 4♣♣t♦♥ ♦♠♦é♥ést♦♥ ① trs
①étqs
♦♠♠r ♥tr♦t♦♥
♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r s trs ①étqs ♥tr♦s②♠étrqs
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♥ ♥♦tr t♦t♦s q st ♥s ♣tr ♥ ♦rt♠ ér♥t q été tsé♥s ♣tr ♣sq ♥♦s ♦♥s tsr ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♥♦♥ s♠♣é ♥♥t srs r♦tt♦♥ ♥ stt♥ ♦♥ à ♦t♥r ♥ t♥sr s ♦♥tr♥ts s②♠étrq
![Page 134: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/134.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r s trs ①étqs♥tr♦s②♠étrqs
♦s é♦qr♦♥s ♥s ♣tr s ♠tér① s♦s ♦r♠ trs rér ♦♥t ♠r♦strtr ♥t s ♣r♦♣rétés ♣ ♦r♥ts ♥ s♥térssr ♥ ♣rtr ① trsà ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♣♣rt s ♠tér① ♦♥t ♥ ♦♥trt♦♥ ♥s s♥str♥srs ♦rs ♥ é♦♥t♦♥ ♦♥t♥ t① ♦♥trt♦♥ ♣♣é ♦♥t P♦ss♦♥ st t♠♥t ♣♦st ♥r♦♥ ♣♦r ♦t♦ ♣♦r s rs♦♠♠♥s à ♣♦r s ♠tér① rs ts q s ♠♦sss t ♥r♦♥ ♣♦r è rt♥s ♠tér① rs ♦ trs ♦♥t ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♥q s ♠tér① ①étqs r ①♥ sét♥r s ♠tér① ①étqs s♦♥t♦♥♥s ♣s ♥ rt♥ t♠♣s ♦♥ ♣t r♠♦♥tr ♥ tr♠s ♣t♦♥ à rt s❬❪ réss à ♦♥rtr ♥ ♠♦ss ♣♦②rét♥ st♥r ♥ ♥ ♠♦ss ①étq♣r ♦♠♣rss♦♥ t rr♦ss♠♥t s♦s ♦♠♣rss♦♥ ♥ q♥ rt♥ ♥♦♠r ♠é♥s♠s t été ♥é ♣♦r ①♣qr ♦♥t♦♥♥♠♥t ①étq ❬rt♦ t ♠♥ s ❪ ♥s s s trs ♣♦trs ♦♥ ♦♥♥ît ♣r♥♣♠♥t① ♠é♥s♠s q ♣r♠tt♥t tt ♣r♦♣rété ♠é♥s♠ ré♥tr♥t t ♠é♥s♠♥r♦♠♥t ♦r r ♥s ♠é♥s♠ ré♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥s ♥s♥s ♣r♦♦q ♥ ①♦♥ s②♠étrq t ♦♣♣♦sé s ♣♦trs ♦r♥tés ♥s s♦♥ s♥st♥s q ♥s ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t s ♣♦trs s♥t ♦♥t♦♥ ♠♥ts r♥t♥tr s s strtrs rrs q t♦r♥♥t s♦s t ♥ é♦r♠t♦♥ t ♥trî♥♥ts♠t♥é♠♥t s trs ♠♥ts ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t st é à é♦♠étr r s trs stàr q s trs ♥ ♣♥t êtr s♣r♣♦sés à r ♠ ♥s ♥♠r♦r r♠ t ❬❪ sèr ①♣qr t ♠♦ésr ♣r ♥ ♠é♥s♠ s♠r à♥r♦♠♥t q s ♣r♦t ♥s s ♠♦sss ①étqs ♣♣ ♠é♥s♠ r♦tt♦♥ s♦♥s rs ♦r r
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rté ♣t êtr ♦♠♣ré à ♥ s♠♣ ♣r♦è♠ ssrs ♦s s ♥♥ts ♦♥t éà été♦♥r♦♥tés à ♥ ♣r♦è♠ rté ♥ ♠tt♥t ♣ r♦t ♥s ssr t ♥rs♠♥t ❯♥ssr st ♥ ♦t r r ♥st ♣s s♣r♣♦s à s♦♥ ♠ ♥s ♥ ♠r♦r t♦t ♦♠♠ s♠♥s s trs ♣♥t é♠♥t êtr s ♦ts r①
![Page 135: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/135.jpg)
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mécanisme ré-entrant mécanisme d'enroulement
r ① é♦♠étrs q ré♥t ♥ ♠é♥s♠ ♣r♠tt♥t ♦t♥r ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét
chargement uniaxial
chargement uniaxial
chargement uniaxial
Compressionchauffage
(a)
(b)
(c)
r é♥s♠ r♦tt♦♥ s♦♥s rs ♣r♦♣♦sé ♣r r♠ t ❬❪♣♦r ①♣qr t ♠♦ésr ♦♠♣♦rt♠♥t s ♠♦sss ①étqs trs ①♦♥♠♦è st♥r s ♠♦sss ♠♦è r♦tt♦♥ s♦♥s rs s ♠♦sss ①étqs r♣rés♥tt♦♥ ésé ♠♦è r♦tt♦♥ s♦♥s rs ♣rès r♠ t ❬❪
![Page 136: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/136.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
♥ sss ♣s à ♣r♦♣r♠♥t ♣rr trs ♦♥ ♦♠♠rs à r t s rs①étqs q ♦♥♥t ♦rsq♦♥ s ♠t s♦s trt♦♥
ér♥ts éts ♦♥t éà été résés sr s ♠tér① ♣s s ❬❪ ♦♥ tr♦♥s Pr ♥ s ❬❪ ♥ ét té♦rq t ①♣ér♠♥t trs ①r❨♥ t ❬❪ ♦♥t t ♥ ét ♣r ♠r♦♣♦r trs ①♦♥ ré♥tr♥t♠♥ ❬❪ été s ♠é♥s♠s é♦r♠t♦♥ trs q q à ♦s①étqs t s♦sttqs ♣r♦♣♦s ♥ ♦r♠t♦♥ ♠té♠tq ♦♠♣♦rt♠♥tt ér♥ts é♦♠étrs ♣♦sss s♣r t ❬❪ ♦♥t t s ①♣ér♠♥tt♦♥s srs é♦♠étrs trs s♠♣s à ♦t♥r à ♣rtr ♥ trs ♠♥t q ♦♥ ♣♦rrt qr ♠♥t r r♣ t ❬❪ ♦♥t été résst♥ ♠♠♥ts trs ①r① ♣♦♥ ♥ ③③♥ ❬❪ ♦♥t t ét ♥ ♣♣t♦♥ ♥trs ①étq r ♥ ♦♥ à ♣r♦ r tt ét st ♠♥é à ♦s♣r t ①♣ér♠♥t♠♥t t ①♠♣ ♠♦♥tr t♦t ♥térêt ♥r trs ♥ss ♣♣t♦♥s ♦rt é♦r♠t♦♥ éstq t ♥♦♥♦♥srt♦♥ ♦♠ ♦♥♥ ③③♥ ❬❪ ♦♥t ♦t♥ s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs trs ①♦♥ ré♥tr♥t ♣r♥ t♥q ♦♠♦é♥ést♦♥ sé sr s éqt♦♥s ① ér♥s ♥s s s s♦♥t♥térssés ♣rtèr♠♥t ♣r♦è♠ tss ♣r♦♣t♦♥ ♥ ♦♥ss réq♥ ♥s ts trs ①étqs ♦♥s t ❬❪ s s♦♥t ♥térssés ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♠tér ♦♠♣♦st ♦r♠é ♦s réèrs ♠♥♠ t ♥ ♠tér ①étq s ♠♦♥tr♥t q ♠tér ①étq ♦r♥t ♥ r♦ss♠♥t s♥t ♠♦ ❨♦♥ ♥s s ♦♠♣♦sts rs♦♥ t ❬❪ ♦♥t t ♥ ét à ♦s①♣ér♠♥t t ♣r ♥ sér trs r① t trs ♣♣és ♥tr① s♥tr① s♦♥t s trs ♦r♠és strtrs rs ss♦és ♥ ♣r ♦♣♣♦sé ♥srt♦ t ❬❪ ♦♥ ♣r♦♣♦s ♥ é♦♠étr ♣ér♦q ♣r♦s♥t ♥ t ①étq ♥st ♣s r♠♥t ♥ trs ♠s ♥ rés é♠♥ts ♣s♦ï① q ♣r♦s♥ts♦s ♥ ♦rt é♦r♠t♦♥ ♥ t ①étq sqà ♥ ♦♥t ♥r♦♥
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trs ①♦♥ ré♥tr♥t
trs ①♦♥ ré♥tr♥t st ♥ trs ①étqs s ♣s ♦♥♥s t étés ❬s♦♥ ♥ s② ♦♥ ♥ ③③♥ ❪ ♥ ♣r trs ré♥tr♥t ♦rsq
![Page 137: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/137.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
b1
b2b3
n1
n2
n2
Y1Y2
n2
(a) (b)
e2=y
e1=x
r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ①♦♥ ré♥tr♥t θ = 30 trs①♦♥ ssq θ = −15 trs ①♦♥ st ♥ ré♥tr♥t
♣♦tr
♦ ♦r♥ ♦ ①tré♠té
δ1 δ2
s ♦♥♥ttés trs ①♦♥ ré♥tr♥t
♥ θ s ♣♦trs b2 t b3 ♣r r♣♣♦rt à ♦r③♦♥t st ♥ét ♦r s rs t
s ♦♥♥ttés s♦♥t ♦♥♥és ♥s t s s♦♥t ♥tqs à s trs①♦♥ ér♥ é♦♠étr rés ♥s s trs rtrs s ♣♦trs b2 t b3 s ♣♦trs b2 t b3 ♦r♠♥t ♦r③♦♥t ♥ ♥ r θ t ♥ t ♥♦s
♦t♥♦♥s trs ①♦♥ ssq ♠s ♥ ♥ θ < 0 θ ∈[
−π2,π
2
]
♦♥ ♦t♥t
♥ trs ①étq ré♥tr♥t ♦r r ♠tr rr ♠r♦♣♦r♦♠♦é♥ésé t
[K] =
K11 K12
K21 K22
K33 K34
K43 K44
K55
K66
K11 =Esη (−η2c2t+η2stc2t+c2t−stc2t+3 η2−3 η2st)
(2 η2c2t+3−2 c2t)ct
K12 = − ctst(η2−1)Esη
2 η2c2t+3−2 c2t
![Page 138: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/138.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
K21 = − ctst(η2−1)Esη
2 η2c2t+3−2 c2t
K22 =Esη (st+η2stc2t−stc2t+1+η2c2t−c2t)
(2 η2c2t+3−2 c2t)ct
K33 = 1/2Esη3(−η2c2t+5 c2t+η2st+η2−3+3 st)
(−3 st+3+η2+η2st)ct
K34 = −1/2Esη3(−η2c2t+c2t+η2st+3 st−3+η2)
(−3 st+3+η2+η2st)ct
K43 = 1/2Esη3(η4c2t st−8 η2stc2t+8 η2c2t+15 stc2t−3 c2t−c2t η
4−12 η2+12 η2st)(−6 η2c2t+c2t η
4+9 c2t+12 η2)ct
K44 = −1/2Esη3(3 stc2t−15 c2t+η4c2t st+4 η2c2t−4 η2stc2t−c2t η
4−12 η2+12 η2st)(−6 η2c2t+c2t η
4+9 c2t+12 η2)ct0
K55 = 1/12 L2ctEsη3
st+1
K66 = 1/36 L2(st+1)Esη3
ct♥ ♥ tr s ♠♦s ♦♠♦é♥ésés s♥tsE∗
1 =Esη3ct
(st+1)(η2c2t−c2t+1)
E∗2 = − Esη3(st+1)
(−c2t+η2c2t−3 η2)ct
ν12 =(η2−1)st(st−1)
η2c2t−c2t+1
ν21 =(η2−1)st(st+1)
−c2t+η2c2t−3 η2
cos(θ) = ct t sin(θ) = st η =t
L r♣♣♦rt é♥♠♥t ♣♦tr t θ ♥
s ♣♦trs b2 t b3 ♣r r♣♣♦rt à ♦r③♦♥t ♥ ♣t r ♥ ♣♣t♦♥ ♥♠érq ♥ ♠tér ♠♥♠
Es = 70 P
t =L
15♠♠ → η =
1
15s ♦rs ♦♥♥♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♥ ♦♥t♦♥ θ s rtr♦♥t ♥s s
rs t ♥ ♣t ♦♥sttr sr r q ♦♥t P♦ss♦♥ ♣t♣r♥r s rs ♥éts ss③ ♠♣♦rt♥ts ♣r♦s ♣♦r ♥ ♥ θ ∼ −5 ♥ ♦s ♦♠♣rr ♥♦s réstts ♦♠♠ trs trs ♦♥t t ❬♦♥ ♥ ③③♥❪ à ① éà ♦♥♥s ttértr ♦♠♠ s ♦r♠s s♦♥ t s② ♥ ♥♦trq s ♠♦s q ♥♦s ♦t♥♦♥s s♠♥t ♣s résts ♦r♠ s♠♣é s♦♥ ts② ré ♥ ♠♦ q t♥ rs ♥♥ ♣♦r θ = 0 q st ♥ ♠♣♦ssté ♣②sq
E∗1(Gibson) =
Es t3ctL3(1+st)(st)
2
E∗2(Gibson) =
Es t3(1+st)
L3c3t
ν12(Gibson) =c2t
(1+st)sts ♦rs ♦t♥s ♥s ♥♦s tr① s♦♥t s♠rs à s ♦♥ ♥ ③③♥
❬❪ ♣♦r ♠ê♠ trs ①♦♥ ré♥tr♥t t ♥s s ♦♥t♦♥s ♥tqs ♦ s♠ ♦♥t♦♥♥r ♦rrt♠♥t sr t②♣ trs ♦r♥t s résttss♠rs à ① tr① ré♥ts sr s ♠ê♠s trs
♥ ♥♦tr q tt
![Page 139: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/139.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
r ♦ ❨♦♥ ♦♠♦é♥ésé trs ①♦♥ ré♥tr♥t ♥ ♦♥t♦♥ θ ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s réstts à ① s ♦r♠s s♠♣és s♦♥ t s② ♣♦r E∗
1 E∗2
![Page 140: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/140.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
r ♦♥t P♦ss♦♥ trs ①♦♥ ré♥tr♥t ♥ ♦♥t♦♥ θ ν12 t ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s réstts à ① s♦♥ t s② ν21
![Page 141: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/141.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
trs ①r
trs ①r t ♦t ♣srs tr① t rts ss♦és Pr ♥ s❬❪rs♦♥ t ❬❪ Pr ①♠♣ ♥s rs♦♥ t ❬❪ ♥ rt♥ ♥♦♠ré♥t♦♥s trs à ♦♥ts P♦ss♦♥ ♥ét ♦♥t été ♦t♥s ♣r ♣r♦t♦t②♣r♣ ♥s ♣♦r ②♦♥ r♦r♠ ♣s ♥ ♦♠♣rs♦♥ s réstts st t♥tr ①♣ér♠♥tt♦♥ sr s é♥t♦♥s t ♥ ♥②s ♥s trs ①r ♠é♥s♠ q ♣r♠t ♦t♥t♦♥ ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét st ér♥t trs①♦♥ ré♥tr♥t st ♥ ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t ♥ s♦sé♦♠étr s♥ éé♠♥tr q ♣r♦t ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♠é♥s♠ s♠♦r été é♦qé ♣r s ❬❪ trs r st ♦♠♣♦sé éé♠♥ts rrs r②♦♥ ♥tq r és ♥tr ① ♣r s ♠♥ts étr♦ts ♦♥r ♥tq L s♠♥ts s♦♥t s♣♦sés t♥♥t♠♥t ① éé♠♥ts rrs à s ♥s s trs trs ♣♦ssè à ♦s ♥ s②♠étr ①♦♥ t ♥ s②♠étr r s trs às②♠étr ①♦♥ ♦♥t ♥ s♦tr♦♣ ♣♥ q sr ♦♥r♠é ♣r s réstts
s ♣r♠ètrs trs été ♣r Pr ♥ s ❬❪ s♦♥t é♥♦♥és ♥s r ♥ r♠rqr ① ♣♦♥ts ♣rtrs ♣r♠èr♠♥t ② ♥ ♠tt rétés♥s tt ♠ s trs ①r① s♥t r♣♣♦rt
r
R ①è♠♠♥t ♦♥ ♥ ♣t
♠♦ésr t q trs ♥♦tr ♠ét♦ ♣r q ♦♠♣♦rt ♥ ♦r r♦s ♦♥s r ♥ ♠♦è ♣♣r♦é trs ♥ r♠♣ç♥t r ♥tr ♣r ♥rés ♣♦trs rt♥s ss♥♥t ♥ ①♦♥ s♦♥ r ♦♥ ♥s ♥s r s rs s δi tsés
♦♥ r ♦♥ ♣t r ♦♥stt q s ♣r♠ètrs s♦♥t és ♥tr ① ♣rs rt♦♥s s♥ts ♦r é♠♥t ❬Pr ♥ s ❪
sin θ =R/2
R=⇒ θ = 30
sin β =2r
R
tan β =2r
L
♦s ♦♥s ♦s ♥ ♦♥rt♦♥ ♣rés β = 30 q ♠♣♦s ♥ r♣♣♦rtR = 4r t L = 2
√3r ♥ ♦♥♥ é♥t♦♥ é♦♠étrq trs été ♥s r
s ♦♥♥ttés s♦♥t ♦♥♥és ♥s t s réstts ♦t♥s ♣♦r s t♥srs ♥s q ♣♦r s ♠trs rrs t
s♦♣ss s♦♥t ♦♠♣♦sés tr♦♣ tr♠s ♣♦r êtr ♥sérés ♥s ♦♠♥t s ♣r♠ètrs♠é♥qs ①trts s♦♥t s s♥ts
s réstts ♦♥r♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t é♦qés ♣r Pr t s ♣s ♣r rs♦♥ ♥s rs♦♥t ❬❪ à trrs s s♠t♦♥s ♥♠érqs ♣rtèr♠♥t r ♥ét ♦♥t P♦ss♦♥s♠ ♣ é♣♥♥t r ♣rés β
![Page 142: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/142.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
r rs ①r ①trt Pr ♥ s ❬❪
rr
δ1 δ2
♦♥♥tté trs ①r
![Page 143: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/143.jpg)
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n5
n4
n3
n2
n1
n6
n3
n2
n1
n6
n5
n4
b5 b6
b7
b8b9
b4
b2
b1
b3Y1
Y2
r rs ①r ♠♦è ♣♦tr
E∗1 =
96
47
(139
√3− 71
)Es(−575− 564 η2 + 44
√3)η3
−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973
√3
E∗2 =
96
47
(139
√3− 71
)Es(−575− 564 η2 + 44
√3)η3
−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973
√3
ν∗12 =1
647
(74
√3− 617
) (−20689 + 76300 η2 + 11932
√3η2 − 62112 η4 + 1257
√3)
−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973
√3
ν∗21 =1
647
(74
√3− 617
) (−20689 + 76300 η2 + 11932
√3η2 − 62112 η4 + 1257
√3)
−19729− 224148 η2 + 16908√3η2 − 54048 η4 + 2973
√3
![Page 144: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/144.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
G∗12 = − 3
47
(√3 + 12
)Es(−575− 564 η2 + 44
√3)η3
3 + 351 η2 + 580√3η2 + 36 η4
♥ ♣♦s♥t kl = Esη t kf = Esη3 t η =
t
L
♥ ♥t♥ rt♥s tr♠s s♦♥t ♣ré♣♦♥ér♥ts ♣r r♣♣♦rt à trs ♥ ♦t ♥térêt♦r tsé ♣r♠ètr η q ♣r♠t tr♦r s ①♣rss♦♥s ♣♣r♦és s♠♣és♥ s♥t ♥ é♦♣♣♠♥t ♥ sér rt♠♥t à η
E∗1 ≈ 96
47
(139
√3− 71
)Es(−575 + 44
√3)η3
−19729 + 2973√3
≈ 11.86Esη3
E∗2 ≈ 96
47
(139
√3− 71
)Es(−575 + 44
√3)η3
−19729 + 2973√3
≈ 11.86Esη3
ν∗12 ≈1
647
(74
√3− 617
) (−20689 + 1257
√3)
−19729 + 2973√3
≈ −0.96
ν∗21 ≈1
647
(74
√3− 617
) (−20689 + 1257
√3)
−19729 + 2973√3
≈ −0.96
G∗12 ≈ − 3
47
(√3 + 12
)Es(−575 + 44
√3)η3
3≈ 145.73Esη
3
♥ ♣t ♦♠♣rr s réstts à ① Pr t s q ♦♥♥♥t s ♦r♠s s♥ts♥s Pr ♥ s ❬❪
E∗1(Prall) =
Est3
Lr2=
(2 ∗
√3)2t3
L3Es = 12Esη
3
ν12(Prall) = −1
r = L/(2∗√3) ♥ ♣t ♦♥sttr q s réstts s♦♥t ♣r♦s s ①♣rss♦♥s ♦
♠♦é♥ésés s♠♣és s réstts Pr ♥ s ❬❪ s♦♥t ♦t♥s ♣r ♥ ♥②ss♠r à tsé ♣r s♦♥ ♥ s② ❬❪ ♥ ♣t ♥ r♣♣r ♣r♥♣ ♦♥sst à ♦♥sérr éqr sttq ♥ éé♠♥tr ♦r♠é rés ♣♦trss♦♠s à ♥ ♦rt s♠♣ trt♦♥ ♦♠♣rss♦♥ ♦ s♠♥t ♥ ♦t♥t ♥ rt♦♥ sr ♦rté♣♠♥t q ♦♥ tr♥s♦r♠ ♥ rt♦♥ ♦♥tr♥té♦r♠t♦♥ ♥ s♥t♣r s ♦♥rs rtérstqs éé♠♥tr é♥♠♦♥s ♣♣r♦ Pr ts ♣r♦è♠ st s♠♣é ♥ s♥s qs ♦♥sèr♥t ♦♠♠ ♥é♦r♠s s rs r②♦♥ r ès ♦rs ss ssst♥t s é♦r♠t♦♥s ♥ ①♦♥ s ♣♦trs ♣ér♣érqs①és sr s rs éé♠♥trs r ♥s ①♣rss♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♥♦♥ s♠♣é ν12éqt♦♥ ①st ♥ rt♦♥ s♥t r r♣♣♦rt η q ♦♥ ♣t ♠ttr♥ é♥ ♥s r ♥ ♥♦t q ♦♥ rtr♦ ♥ ♦r s♠r à r ♥s rs♦♥ t ❬❪ ♦t♥ ♣r ♥ s♠t♦♥
![Page 145: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/145.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
r ♦♥t ν12 ♦♠♦é♥ésé t s♠♣é trs ①r ♥ ♦♥t♦♥
r♣♣♦rt é♥♠♥t s ♣♦trs η =t
L
♥ ♦♠♣r é♠♥t s réstts ♣♦r ♠♦ éstq ♥tr s ①♣rss♦♥s ♦♠♦é♥ésés t ①♣rss♦♥ Pr t s ♥s r ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥♥tr s ① ♣♣r♦s
♥ ♣t ♦♥r ét trs q s♠♣t♦♥ s réstts sr s♦♥st♥ts ♠é♥qs ♥tr♦t s♦♠♠r♠♥t ♣r ♥ ♥②s s tr♠s ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ♣tt ♣r♠ètr η ♣t êtr ♥é r ♠♦♥tr s ♦rs♣r♦s ♣♦r q st ♠♦ éstq ♥tr rs♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦♠♣èt t srs♦♥ s♠♣é Pr t s ♥ r♥ s ♦♥ ♦♠♣r s rs ♦♥t P♦ss♦♥ ν12 ♥tr s rs♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♦♠♣èt t s r s♠♣é értst ♣s s♥t ♦r r
trs ♠♥t r
♥ r♣rs trs ♠♥t r été ♥s s♣r t ❬❪ t r♠ t ❬❪ st ♦♥séré ♦♠♠ ①étq ♣r s trs é♥t♦♥ é♦♠étrq st ♦♥♥é ♥s r s ♦♥♥tté st ♥s t
♥ ♦t♥t ♥ ♠tr s♦♣ss sr♣r♥♥t ♠♦♥tr♥t ♥ ♦♣ ♦♥tr♥ts♠♥t
![Page 146: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/146.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
r ♦ éstq rtE∗
1
Es
♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt η ♦♠♣rs♦♥ s
réstts ♥♦s tr① ① Pr t s
rr
δ1 δ2
t ♦♥♥tté trs ①r
![Page 147: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/147.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
n4
n3
n3
b5b3
b6
b2b1
b4n5
Y1
Y2
n2
r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ♠♥t r
[S] =
2 4+η2
Esη30 −η2+10
Esη3η2−2Esη3
0 0
0 2 4+η2
Esη3−η2−2
Esη3η2+10Esη3
0 0
−6 1Esη3
6 1Esη3
η2+24Esη3
η2+8Esη3
0 0
−6 1Esη3
6 1Esη3
η2+8Esη3
η2+24Esη3
0 0
0 0 0 0 48 1L2η3Es
0
0 0 0 0 0 48 1L2η3Es
♦♥ r♣♣ q ♦♥ ♣♦sé s rrs ♥ ①t♥s♦♥ t ①♦♥ kl = Esη t kf = Esη3
s ♦♥ts S12 = S21 = 0 ♠è♥♥t à ν12 = ν21 = 0 s ♦♥ts P♦ss♦♥ ♥stt s♥rté trs ♥♣♣rît ♣s ♠♥èr é♥t ♥ ♦sr♥t s é♦♠étr ♦♦♥ rt ♣ stt♥r à ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ét ♠ê♠ ♠é♥s♠ ♥r♦♠♥t q ♣♦r trs ①r st rs ②♣♦tès ♥t ♥s s ①rts s♣r t ❬❪ t r♠ t ❬❪
♥s s♣r t ❬❪ ♦♥ sr♣t♦♥ ①♣ér♠♥tt♦♥ ♠♥é sr ♥ é♥t♦♥ trs♥ srré ① s ♦♣♣♦sés trs sr ♥ ♠♥ trt♦♥ t ♥rstré é♦r♠t♦♥ stt ①♣ér♠♥tt♦♥ st ♣têtr ♠ ♥tr♣rété ♠♥ tsé ♦♠♣♦rt rt♥♠♥t ♥ ♥ tr♥st♦♥ s ♠â♦rs srr q t q é♦r♠t♦♥ ♥ s♠♥t ♥♣♣rît ♣s sà ♣ ② s♥s ♦t ♥ss♥ ♦rts rét♦♥s tr♥srss ♥♦♥ ♥♦r♠s ♣r r♣♣♦rt à ① srr s ♦rts rét♦♥ ♣r♦♦q♥t ♥ ♦♥trt♦♥ rt♥♠♥t ♥♦♥ ♥♦r♠ é♠♥t q♣t ♦rs êtr ss♠♥t ♥tr♣rété ♦♠♠ ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♦s s♠t♦♥s ♦♥r♠♥t
![Page 148: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/148.jpg)
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Echantillon 1x1mmEffort réparti F1 de 0.001 Nsur 1 mm
X2
X1
r ♦♥t♦♥s ① ♠ts t r♠♥t ♣♦r s♠t♦♥ trs♠♥t r
♥ éé r ♥ s♠t♦♥ ♥♠érq qs ♣♦r t♥tr r ♥rtt sr ♦♠♣♦rt♠♥t trs s ♦♥t♦♥s ① ♠ts t r♠♥t s♦♥térts ♥s r
P♦r ♣♣t♦♥ ♥♠érq t s s♠t♦♥s ♦♥ tsé s rs s♥ts
Es = 72000P L =1
32√2♠♠ t = L/10⇒ η =
t
L= 0, 1 r ♦♥tr♥t sr
♥ st ♥ r 0.001 ♠♠ s rs ♥♠érqs
E∗1(hom.) =
1
S11
= 1/2Es η
3
η2 + 4≈ 8, 97P
P♦r s♠t♦♥ ♥♠érq ♦♥ tsé ♥ éé♠♥t ♣♦tr ♠♦è r♥♦ qs s♥s s♠♥t éé♠♥ts ♣r ♣♦trs s réstts s♠t♦♥ ♥♠érq♣♣rss♥t ♥s r s rs ♥ s♠t♦♥ ♦♥♥♥t ♥ é♣♠♥tU1 = 1, 122.10−4 ♠♠ ♦♠♠ ♥s s s♠t♦♥s ts ♥s ♣tr ♣réé♥t ét♥t♦♥♥é q é♥t♦♥ à ♥ ♠♥s♦♥ ① ♠♠ ♦♥ ♣t st♠r q
ε1 =U1mm
1mm= U1 = 1, 122.10−4
σ1 =F1N
1mm= 0.001P
❯♥ st♠t♦♥ ♠♦ ❨♦♥ ♣r st ♦♥♥é s♦♥
♦♠♣♦rt♠♥t t②♣q s ♦♥ ♦t s ♦♥t♦♥s ♠ts ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♥ tr♥st♦♥
![Page 149: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/149.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
U, U1
+0.000e+00+9.348e−06+1.870e−05+2.804e−05+3.739e−05+4.674e−05+5.609e−05+6.543e−05+7.478e−05+8.413e−05+9.348e−05+1.028e−04+1.122e−04
r ♠t♦♥ ♣r éé♠♥ts ♥s é♦r♠t♦♥ trs ♠♥t rs♦♠s à ♥ trt♦♥ ❯ r é♦r♠t♦♥ s♥t ① X1
E∗1(Abaqus) =
σ1ε1
=0.001
1, 122.10−4≈ 8, 913♣
ért ♥tr ♠♦ éstq ♦t♥ ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ t ♣r s♠t♦♥ éqt♦♥s t st ♦♥ ♥ ♦♥♥ ♦♥♦r♥ s rs
❱ért♦♥ s ♠♦s ♦♣ trt♦♥ s♠♥t
♦♠♠ ♥♦s ♦♥s t ♣s t trs ♦t ♣♣rîtr s ♠♦s ♣ ♦♠♠♥s ♦♣ trt♦♥ s♠♥t S31 t S41 ♥s ♠tr s♦♣ss ♦s ♦♥s ss②r r r ♠♦ sr s ss trt♦♥ ♦r r
P♦r ♥tr♣rétr ♦rrt♠♥t ss r t ♦♠♣r♥r rô s ♦♥t♦♥s ♦rs ♦♥ s r♣♦rt à ♠♦ést♦♥ r ♦♥ ♦♥stt q s ♦♥ ♦♠♣r é♦r♠t♦♥ té♦rq t ♦t♥ ♣r éé♠♥t ♥ ♦♥ ♥ r♦tt♦♥ é♥t♦♥é♦r♠é tt r♦tt♦♥ st ♥ ♦♥séq♥ t ♠♣♦sr ♥ é♣♠♥t ♥ sr ♦r tér ♥trî♥ é♠♥t t q ♥♠érq♠♥t é♦r♠t♦♥ ♥
s♠♥t ♦t♥ ♣r éé♠♥t ♥ st éq♥t à2∂U2
∂x
♠érq♠♥t ♦♥ ♦t♥t ♥ é♣♠♥t U2 = −1.676 × 10−4 ♦r r
q ♥♦s ♣r♠t ♦t♥r2∂U2
∂x=
U2
1♠♠ s♦t
∂U2
∂x= −8.38× 10−5 ♣s ♥♦s ♦♥s
σ11 =F1
1♠♠= 1× 10−3P
♠♦ ♦♣ é à ♣rtr s ♦♥♥és qs srt ♦♥
![Page 150: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/150.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
U, U2
−1.676e−04−1.536e−04−1.397e−04−1.257e−04−1.117e−04−9.775e−05−8.378e−05−6.981e−05−5.583e−05−4.186e−05−2.789e−05−1.391e−05+6.032e−08
X
Y
Z
r ❱r U2 s♠♥t é♦r♠t♦♥ s♥t ① X2 trs ♠♥t r ♥ trt♦♥
(a( (b(
r ♦ést♦♥ ss trt♦♥ trs ♠♥t r é♦r♠t♦♥té♦rq ♥ s♥ ♦♥t♦♥s ♦rs é♦r♠t♦♥ ♦t♥ ♦rs s♠t♦♥ ♥ ♠♣♦s♥t ♥ é♣♠♥t ♥ sr ♥ s ♦rs
![Page 151: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/151.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
S31(Abaqus) =∂U2/∂x
σ11=
−8.38× 10−5
1× 10−3= −8.38× 10−2P
♥ ♣t ♦♠♣rr ♠♦ ♦♣ ♦t♥ à ♣rtr ♠tr s♦♣ss♦♠♦é♥ésé
S31(hom.) = − 6
Esη3=
−6
72000 · 0.13 = −0.08333P
♥ ♥ très ♦♥♥ ♦♥♦r♥ s rs ért ♥tr s rs S31 ♦t♥s ♣r♦♠♦é♥ést♦♥ t ♣r st
♥ ♣t trr ① ♦♥s♦♥s ét trs Pr♠èr♠♥t é♦r♠ér trs ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ ♥ t ♥♦♥ ♣s ♥ét ♠s ♥ ♠♦ é♦r♠t♦♥ ♣rtr s é♦r♠ ♥ s♠♥t ♦rsq♦♥ s♦♠t à ♥ ♦rt trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ①è♠♠♥t ♦ s♠ ♦♥t♦♥♥r t êtr ♣ ♣rér s ♠♦s t②♣qs ts q s ♠♦s ♦♣ trt♦♥s♠♥t S31 ♦S41 ♠tr s♦♣ss
♦♠♦é♥ést♦♥ rs ♥ ♠ ♦♥t♥ ssq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t
♥s ♣tr ♣réé♥t ♦♥ ♦♥ sr t q sr ♥ ♠ ♠r♦♣♦r ♥♣♣rît ♣s ♣rès ♦♣ ♦♠♠ ♥ ♥éssté ♣♦r ♦♠♦é♥ést♦♥ s trs ♥ ♣rt♣r q ♥♦s ♦♥ts à ♦r♠r s ②♣♦tèss s♠♣trs sr s tr♠s s♦♥ ♦rr t à rstr♥r ♥♦tr ① trs ♥tr♦s②♠étrqs tr ♣rt ♣rq s ts ♠r♦♣♦rs s♠♥t très s ♥ ♠r♦s♦♣q ♥ ♦rs s r♠♥t s♣éqs ♥ ♠♦♥tré q♥ ♠t♥t ♣r♠r ♦rr é♦♣♣♠♥t r é♣♠♥t uε ♦♥ ♦t♥t ♦rs ♥ t♥sr ♦♥tr♥t ② ssq
♥ t♥t à r♣♣r q ♠ré s s♠ts ♥ st ♣s r♣r♦r ♦ ♦t♥ ♥s ♣tr ① ér♥ t♥t ♠♦è ♣♦tr tsé ♣tr ① ♦♥ tsé ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é ♥s q st ♦♥tsr ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t stàr ♥ ♠♦è q t♥t ♦♠♣ts ♥♦♥♥s r♦tt♦♥s t éqr s ♠♦♠♥ts
♠♣t♦♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♥ ♦t♥r ♥ ♦ ssq
♥ ♥ ♣s r♣♣r ♥térté rs♦♥♥♠♥t t♥ ♥s ♣tr ♣réé♥t ♠ss♠♣♠♥t ♥♦tr s ér♥s é♦♣♣♠♥t s ♣r♠ètrs ♥é♠tq ♣♣rît ♥ ♦rr ♥ ♠♦♥s ♣♦r q ♣r♠ètr
uε (λε) = u0 (λε) + εu1 (λ
ε) + ...
![Page 152: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/152.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
♣♦tr
δ1 δ2
♦♥♥tté trs t♦♥
∆Ubε = uε (E (b))− uε (O (b)) = ε
(
uER(b)1 (λε)− u
OR(b)1 (λε) +
∂u0(λε)
∂λiδib)
︸ ︷︷ ︸
∆Ub1
♥ ①♣r♠r s r♦tt♦♥s ♥ ♥ ♦♥sr♥t q ♣r♠r tr♠
φnε (λε) = φn0 (λ
ε)+ ...
♦ù
φε(O(b)) = φOR(b)0 (λε)
φε(E(b)) = φER(b)0 (λε)
♥ ♥ s ♣s ♥ ♠ ♠r♦♣♦r st és♦r♠s ♥t r ♥tt♦♥
φ =1
2
(∂v
∂x− ∂u
∂y
)
♣s ♦♠♠ ♦♥ ♠♦♥tré ♥s ♣tr ♣réé♥t s trs
♦♣ ♦rts µi ♣♥t êtr ♥éés ♥t s trs ♦rts Si ♦s s ♥♠♥ts s♦♥t rés♠és ♥s ♦rt♠
trs t♦♥
trs st é♦qé ♥s s ❬❪ ♥s ♥ rs♦♥ ♦♠♣♦st été ♣r♦♣♦sé ♣rt♦♥ t ♣rès s trs rt ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ st ♥térss♥t♣♦r tst ♥♦tr ♦ ssq ♥♦♥ ♠r♦♣♦r r st ♥ trs ♦♥t éé♠♥tr ♥st ♣s ♥tr♦s②♠étrq ♥♦s ♣r♠ttr érr s ♦♥ ♣t s♣ssr tt ♦♥t♦♥ ♦
é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r s ♦♥♥tté♥s t st ♦♥stté ♥♦s éé♠♥trs t ♣♦trs ♦♥r L t t qtr ♣♦trs ♦♥r L
√3 t
♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠tr s♦♣ss ♦t♥ st
♥ q s ♦rts tr♥♥ts ♥♦r♣♦r♥t s ♠r♦r♦tt♦♥s s ♥ s♦♥t q s ♦♥t♦♥s é♦r♠t♦♥ t ♦♥ ♥♣♣rss♥t ♣s ♥s ①♣rss♦♥ s trs ♦rts Si ♦♠♦é♥ésés
![Page 153: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/153.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
♥tst♦♥ s t① ♦♥♥és é♥t♦♥ ♦♥t♦♥ ♣ss xR→ x(λ) s ♥♦♥♥s
sr♦♥t s qtr sérs rs un1 t φn
0 n ∈ NR
r♥s♦r♠t♦♥ s ①♣rss♦♥s
(
∂U
∂λi
)
(Y1,Y2)
7→
(
∂U
∂λi
)
(i,j)
t
(
∂φ
∂λi
)
(Y1,Y2)
7→
(
∂φ
∂λi
)
(i,j)
tt ét♣ st
t s ♦♥ ts ♥ ♦ st♥r ♦♥t ♦♥t♦♥ ♣r♦t t♦r st ①♣r♠é ♥s ♥ r♣èr ♦rt♦♥♦r♠éssq ♦♥ ♦♠t tt ét♣ t♦ts s ♦♥t♦♥s ♦♣ér♥t sr s trs t t♥srs ♦♥t êtr é♥s♣♦r s ♦♦r♦♥♥és r♥érs
♥tst♦♥ s t① éqt♦♥s equ1[1..Nmax] equ2[1..Nmax] Nmax ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr
P♦r q ♣♦tr b ∈ BR
E := ER(b) O := OR(b)
∆Ub1 := uE
1 − uO1 +
∂U
∂λiδi kl := Esη t kf := Esη
3 ♥ r♣♣ q ♦♥ rt ♣ tsr ♠ê♠
♠♥èr kl := Est
Lbt kf := Es
t3
(Lb)3
N1 := kl(
eb ·(
∆Ub1
))
T1t := kf
(
eb⊥ ·(
∆Ub1
)
−Lb
2
(
φO0 + φE
0
)
)
MO1 := kf
Lb
6
(
Lb(
2φO0 + φE
0
)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub1
))
ME1 := kf
Lb
6
(
Lb(
φO0 + 2φE
0
)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub1
))
equ1[E(b)] := equ1[E(b)] + Nb1e
b + T b1te
b⊥ equ1[O(b)] := equ1[O(b)] − Nb1e
b − T b1te
b⊥ st ♦♥strr ♣r♠r ♠♠r q éqt♦♥
equ2[E(b)] := equ2[E(b)] +ME1 equ2[O(b)] := equ2[O(b)] +MO
1
♦♥strt♦♥ ① s②stè♠s éqt♦♥s 3Nmax ♥s t♦t[
equ1]
=
[
00
]
...[
00
]
[
equ2]
=
0...0
és♦t♦♥ s ① s②stè♠s ♣♦r s rs un1 t φn
0
①♣rss♦♥ s trs ♦♥tr♥ts Si =∑
b∈BR
(
Nb1e
b + T b1te
b⊥) δib
t♥sr ♦♥tr♥t σ =1
gSi ⊗
∂R
∂λi
♦♥strt♦♥ ♠tr rr [K] t q
σx
σy
σxy
= [K]
ǫxǫyǫxy
♣s ♠tr s♦♣ss
[S] = [K]−1
①trt♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ♠r♦♣♦rs t trs ♦♥st♥ts à ♣rtr s ♠trs rr t s♦♣ss
G∗ =1
S33
E∗1 =
1
S11 E∗
2 =1
S22
ν∗21 = −S12 · E
∗2 ν
∗12 = −S21 · E
∗1
♦rt♠ ♦rt♠ trt♠♥t t♦♠tsé ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt ssq ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t
![Page 154: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/154.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
b1
b2
b3
b4
b5
b6b7
b8n1
n1
n2
n3
n4
n1
n4
n1
Y2Y1
r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs t♦♥
[S] =
S11 S12 0
S21 S22 0
0 0 S33
S11 = −(−684−765 η2√3+503 η2+108
√3−57 η4+9 η4
√3)(288+60
√3+167 η2)
4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4
√3+10020
√3)
S22 =(−108+363 η2
√3+373 η2+228
√3+19 η4
√3−9 η4)(288+60
√3+167 η2)
√3
4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4
√3+10020
√3)
S12 =(−108−125 η2
√3−99 η2+228
√3+19 η4
√3−9 η4)(288+60
√3+167 η2)
√3
4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4
√3+10020
√3)
S21 = −3(−228+33 η2√3+125 η2+36
√3−19 η4+3 η4
√3)(288+60
√3+167 η2)
4Es η3(48096+35701 η2+2880 η2√3+4008 η4+835 η4
√3+10020
√3)
S33 =52
√3(288+60
√3+167 η2)
(756−1905 η2+4467 η2√3+2412
√3+2171 η4
√3−2171 η4)Es η
♥ ♥ tr s ♠♦s éstqs s♥ts
E∗1 = −2/3
(√3+3)Es (−3 η2−24+5
√3)η3
39 η2√3−8 η2+3 η4+36
![Page 155: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/155.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
Echantillon de 5 cellules en largeur par 16 cellules en hauteur
densité d'effort de 0.1 N/mm
X2
X1
P1 P2
P3
P4
r ♦♥t♦♥s ♦rs t r♠♥t ♣♦r s♠t♦♥ trs t♦♥ ♥ trt♦♥
E∗2 = −2/3
(√3+3)Es (−3 η2−24+5
√3)η3
72 η2+3 η4+36+31 η2√3
G∗12 = − 1
156
(√3− 3
)Es(13 η2 + 12 + 3
√3)η
ν∗12 = 3 3 η2√3−12+8 η2−η4
39 η2√3−8 η2+3 η4+36
ν∗21 = 3 3 η2√3−12+8 η2−η4
72 η2+3 η4+36+31 η2√3
♥sté rt
ρ∗ = 1/6(4Lt+4Lt
√3)
√3
L2
♥ résé ♥ s♠t♦♥ ♥ ♣♦r érr té s ♠♦s E∗1 t ν∗12 ♣
♣t♦♥ ♥♠érq été t ♥ ♠♥♠ ♠♦ éstq Es = 72000P t♦♥t P♦ss♦♥ ν = 0.3 ♦♥r L = 1/16♠♠ t ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15 q ♠♣♦s ♥ rr t ≈ 0.00297♠♠ ♥ ♦s ♥ ♠ éé♠♥ts ♣r ♣♦tréé♠♥t t②♣ qs t ♦♥ ♠♣♦sé ♥ ♥sté ♦♥tr♥t σ1 = 0.1P sr tér s ♦♥t♦♥s ♦rs t r♠♥t s♦♥t érts sr r
trs ♥s tt s♠t♦♥ ♥ t ♣s ①t♠♥t ① ♠♠ ♣s ♣rès s♠t♦♥ s ts ♦rs s♠♥t ss③ ♠♣♦rt♥ts ♦r r ♥♦s ♦♥t à♦sr s é♣♠♥ts s ♣♦♥ts P P P t P ♥térr trs ♣♦r ♠♥r sts ♦rs ♦r r
s réstts s♦♥t s s♥ts
ε11(Abaqus) =U1P2 − U1P1
distance(P1, P2)=
0.789673× 10−2 − 0.350801× 10−2
0.4330127020= 0.01013531469
q ♦♥t à ♥ st♠t♦♥ ♠♦ éstqE∗
1(Abaqus) =σ11ε11
= 9.866491871P
![Page 156: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/156.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
U, U1
+0.000e+00+1.060e−03+2.120e−03+3.180e−03+4.240e−03+5.300e−03+6.359e−03+7.419e−03+8.479e−03+9.539e−03+1.060e−02+1.166e−02+1.272e−02
X
Y
Z
r é♣♠♥t ❯ ♥s s♠t♦♥ ♥ trs t♦♥ ♥ trt♦♥
r ♦♠♦é♥ésé st E∗1(hom.) = 10.3699419P s♦t ♥ ért ♥tr s ①
rs ♥r♦♥ s réstts ♣♦r q st é♦r♠t♦♥ s♥t rt♦♥ s♦♥t
ε22(Abaqus) =U2P3 − U2P4
distance(P3, P4)≈ 0.676932× 10−2 − 0.348304× 10−3
0.625≈ 0.0102736256
st♠t♦♥ ♦♥t P♦ss♦♥ st ♦t♥ s♦♥
ν∗12(Abaqus) = −ε22(Abaqus)ε11(Abaqus)
≈ −1.013646435
r ♦♠♦é♥ésé st ν∗12(hom.) = −0.9937972470 s♦t ♥ ért ♥tr s ①rs ♥r♦♥
♥ ♥ ♦♥♥ ♦rrs♣♦♥♥ ♥tr s rs ♦♠♦é♥ésés t s rs ♦t♥sà ♣rtr s s♠t♦♥s ♦♥ ♣t ♦♥ rs♦♥♥♠♥t ♣♥sr q ♦ ♥♦♥♠r♦♣♦r st ♣ ♦r♥r t♥sr éstté ssq ♥s q s ér♥ts♠♦s éstqs q s♦♥t és ♠ê♠ ♥s s trs ♦♥t éé♠♥tr ♥st♣s ♥tr♦s②♠étrq
♦♥s♦♥s sss♦♥
♦ ♠r♦♣♦r ♠♦♥tr à trrs s ①♠♣s étés s ♣té à tr♦rs ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♦♠♦é♥ésés P♦r érr ♥♦s ♦♥s ♦♠♣ré s réstts♦t♥s ① trs ♠ét♦s ♦tr ♣♣r♦ ♣rés♥t s ♥ts s ♠♦ss♦♥t ♦t♥s ♠♥èr t♦♠tq ♦r♠s ②♣♦tès ♥tr♦s②♠étr s trs ♥st ♣s s♦♥ ♣♦sr s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs ♣r♦♣rs à t ♦ t trs
![Page 157: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/157.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
♦ ♦ ♦①t♥s♦♥♥ ♠r♦♣♦r ssq
trs à ♦♠♥♥t ♠ s♥s ♠①t♥s♦♥♥ ssq ♥térêt ssq
trs à ♦♠♥♥t ♠ ♠①♦♥♥ ♥ts ♠r♦♣♦rs ssq
♥tr♦s②♠étrqtrs à ♦♠♥♥t ♠
①♦♥♥ ♥ts ♥ts ssq♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrq
① ♦t♥s ♥ ♦♥t♦♥ ♦ tsé t trs trté
♠ét♦ tsé ♣r♠t ♦t♥r s t♥srs éstqs ♦♠♣ts t ♦♥ s ♠♦s ♠é♥qs ss♦és q ♦♣ trs ♠ét♦s ♥ ♦r♥ss♥t ♣s ❯♥ ①♠♣ ♥térss♥tà ♣r♦♣♦s st trs ♠♥t r ♦ù ♣♣rît tr♠ ♦♣ trt♦♥s♠♥t
❯♥ tr ♦♥s♦♥ q ♥♦s ♣♦♦♥s trr ♦♥r♥ ♦ ssq ♥♦♥♠r♦♣♦r q s♠ ♦♥t♦♥♥ ss t ♥♦t♠♠♥t ♣♦r s trs ♥♦♥ ♥tr♦s②♠étrqs ♦ ♣♣rît ♦♠♠ ♥ rs♦♥ s♠♣é ♦ ♠r♦♣♦r♥ ♠t♥t é♦♣♣♠♥t s②♠♣t♦tq s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs ♦♥ ♦♠♣r sréstts à ① q ♥♦s ♦♥s ♥s ♣tr ♦♥ ♦♥stt q ér♥ rés ♥s t q t♥sr ♦t♥ st tt ♦s s②♠étrq ♥ q ♦ ♥ ♦r♥ss qs ♠♦s éstqs ssqs st rt♥♠♥t ss♥t ♣♦r ♦♣ ♣♣t♦♥s st ♦♥ ♣t ♥♥r ♦♥s♦♥ q ♥♦s ♦♥s tré ♥ ♥ ♣tr sr♥térêt ♥ ♦ ♠r♦♣♦r ♣♦r s trs ①♦♥ ♦r♠s s s ♣rtrs ♦♥♣t tsr ♥ ♦ ssq ♥♦♥ ♠r♦♣♦r ♣♦r trtr ♦♠♦é♥ést♦♥ t♦t trs ♠ê♠ ① à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ P♦r rr s ♦ss t ♣rés♥t ♥ s②♥tès s ér♥ts ♦s s étés sqà ♣rés♥t t s ♠①♦t♥s ♥ ♦♥t♦♥ t②♣ trs trté
❯♥ ♦♥s♦♥ s♠♣♦s t ♦ ssq tsé ♥s ♣tr s♠ ♣s ♥rs ♣♦r trtr s trs
srt ♥térss♥t ♣♦rsr s tr① s♥t ♣srs ①s Pr♠èr♠♥t érr té t♦s s ♠♦s ♠é♥qs ♦♠♣é♠♥trs ♦t♥s ♣r ①♣ér♠♥tt♦♥ré t♦ ♥②s à s tr♠s ♦♠♣é♠♥trs ♦t♥s ♣té ♦ à♣rér s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠é♥qs s♥rs ♦♠♠ ♥s st♦♥ ♠ért êtr♦♥r♠é
①è♠♠♥t s ♦♥ t trtr s trs ♥ s ♦♠♣① ♦♠♣r♥♥t ♥ r♥ ♥♦♠r ♥♦s ♥s ♥ t♠♣s rs♦♥♥ r ♠é♦rrt♦♠tst♦♥ st ♥ s♣t ♣s t♥q q s♥tq ♠s t♠♣s
![Page 158: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/158.jpg)
P PP ❯❳ ❯❳❯
st ♦♥t♦♥ ♥♦♠r rs trtés r♦ît ♥ ♦♠♠ 2 · (3n)2 ♦ ♠r♦♣♦r (3n)2 ♦ ssq n ♥♦♠r ♥♦s éé♠♥tr ♦ été réé ♥ ♣ t ♦♥ tsé ♦♥t♦♥ s♦r é♥érq ♣ sr ♥éssr ♣♦r ♠é♦rr t♠♣s érr ♥ ♦♥t♦♥ s♦rs♣éq
r♦sè♠♠♥t ♦♥ ♣t ♠é♦rr ♣rt ♦ ♦♥r♥♥t s♠♣t♦♥ s réstts ♥ r♦ss♥t ♦♠♣①té s ♥ trs s ♠♦s ♦t♥s♦♠♣r♥♥♥t ♣s ♥ ♣s tr♠s ♥ ♥tr♦t s♦♠♠r♠♥t tt s♠♣t♦♥♥s ♣tr ♣r ♥ ♥②s s tr♠s ♣ré♣♦♥ér♥ts ♥ ♦♥t♦♥ ♣tt ♣r♠ètrη ♠s ♦♠♠ ♠♦♥tr st♦♥ ♣t s réér ♥ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ ré ♣rés♦♥ rré
♥s ♣tr s♥t ♥♦s ♦♥s ♦rr ♦♠♦é♥ést♦♥ trs ♣rés♥t♥t ♥♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq
![Page 159: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/159.jpg)
Chapitre 5♣♣r♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq
♦♠♦é♥ésé ♥ trs ré♣étt à ♦♠♥♥t
①t♥s♦♥♥
♦♠♠r ♥tr♦t♦♥
♦r♣ sr ♠♦ést♦♥ s trs ♥s ♦♠♥ ♣stq
♦① ♠ét♦ ♠ts t ♦♠♥s tst♦♥
qt♦♥s ♦♥sttts à é ♠r♦s♦♣q
qt♦♥s à é ♠r♦s♦♣q ♠♦è ést♦♣stq ♥♣♦tr ♥ trt♦♥ ér♦ss s♦tr♦♣
♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♦
é♠ ♥tért♦♥
♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥
ét♦
Pr♥♣ é♥ér
s srs r ♠t ♥ts
♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t ♣stq
♦ t ①♠♣s
♦rt♠ s srs rs ♥ts
♦rt♠ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣stq
♦♥s♦♥s sss♦♥
![Page 160: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/160.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♦tt♦♥s tsés ♥s ♣tr
♥ t s ♥♦tt♦♥ t♦r ♣♦r s t♥srs t ss ♥♦tt♦♥ ♥é♥r
δib ♣r♠ètr ♦st♦♥ ♣♣rt♥♥ ♥♦ ♥ Et
1 ♠♦ éstq ①trt ♠tr t♥♥t[∆E]n ♥ré♠♥t t♥sr é♦r♠t♦♥ à ét♣ ♦♥séré[∆Σ]n ♥ré♠♥t t♥sr ♦♥tr♥t à ét♣ ♦♥séréEs ♠♦ ❨♦♥ ♠tér s ♣♦trsEt
1 ♠♦ éstq t♥♥t ♦t♥ à ♣rtr ♠tr t♥♥t [Kt] à ét♣ n
[E] =
[∂U1
∂x
∂U2
∂y
1
2
(∂U1
∂y+
∂U2
∂x
) ]T
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[γ] tr r s♦ t① ér♦ss ♣r ♣♦tr γb =∣∣ebp∣∣
[∆γ′] tr ♥ré♠♥t ér♦ss s♥é t q ∆γ′b = s♥(σb) ·∆γb
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![Page 161: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/161.jpg)
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[Σ11 Σ22 Σ12 Σ12
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![Page 162: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/162.jpg)
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Mousse élasto-plastiqueen compression
Elastique linéaire
Plateau
Densification
Con
train
te
déformation0 1
Mousse élasto-plastiqueen traction
Elastique linéaire
Con
train
te
déformation0 1
début de déformation plastique
alignement des parois
(a) (b)
r ♦rs ♦♥tr♥tsé♦r♠t♦♥ ♥ ♠♦ss ést♦♣stq ♥ ♦♠♣rss♦♥ t trt♦♥
♦r♣ sr ♠♦ést♦♥ s trs ♥s ♦♠♥ ♣stq
♦s ♦♥s r♣♣é ♥s ♣tr ♥ s ér♥ts té♦rs trs ♥ ♦♥t♦♥ r ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ①t♥s♦♥♥ ♦ s♥s ♦♠♥♥t P♦r q st s ♠tér①à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♦♠♠ s ♠♦sss ♦♥ tr♦ ♥s ❬s♦♥ ♥ s② ❪ sréstts ①♣ér♠♥t① q ♦♥r♥♥t ♣stté s ♠♦♥tr♥t q t st♥r tr♦sté♦rs ♠tér① s ♠♦sss t②♣ ést♦♠èr s ♠♦sss ést♦♣stqs t s♠♦sss éstqs à r♣tr r s ♠é♥s♠s é♦r♠t♦♥ s♦♥t ér♥ts s♦♥ q♦♥ s ♣ ♥s s ♥ ①t♥s♦♥ ♦ ♥ ♦♠♣rss♦♥ ♦r r ♦♥♦♥sèr ♥q♠♥t s ♠tér① ést♦♣stq ♥ ♦♠♣rss♦♥ r s ♠tér① ♦♥t ♥ rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥ tr♦s ét♣s s s é♦r♠♥t t♦t ♦r ♠♥èr éstq ♥ér ♣s sr♥t ♥ ♣s ♣t ♦rs ♣stt♦♥ t ♠♠♥t s ♠r♦♣♦trs t ♥♥ sr♥t ♥ ♣s ♥st♦♥ ♦rsq s ♣♦trss♥êtr♥t s s ♠ê♠s ♠tér① ést♦♣stqs ♥ trt♦♥ r s♦♠♣♦rt♥t ér♠♠♥t ♣s éstq st s ♥ ♣s ér♦ss à q♥t s♦tr ♥ ♣é♥♦♠è♥ ♥♠♥t s s ♥ s s♦♥ ♥ s②❬❪ ♦♥♥♥t rss ♦r♠s ♣r♠tt♥t rtr♦r s ♦rs sés ♣r♥♣♠♥t
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![Page 163: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/163.jpg)
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r ér♥ts ♠♦s ♦♥r♠♥t ♠ trs ①♦♥ ♣rès❨♥ t ❬❪
♦♥r♠♥t rt♦♥ ♦ ♠♦ts ♠r♦é♦♠étrqs ♣♣rss♥t ♦rs trt♦♥♦♠♣rss♦♥ s trs ♥s s trs ♣srs ♠♦s é♦r♠t♦♥ ér♥ts①st♥t s♥t st♦rq r♠♥t ♦♥ ♥♦t é♠♥t q ♣r♦♣t♦♥ s♥s é♦r♠t♦♥ sr♥t ♣rès ♦♥r♠♥t ♥t ♥ s s ♠♦tsé♦♠étrqs ♣rtrs ♣♣rss♥t é♠♥t ♥s s s♠t♦♥s ❨♥ ♥ ♥❬❪ r ♦ ♥s ♠r② t ❬❪
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![Page 164: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/164.jpg)
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♥ ♦♥s♦♥ tt r ♦r♣q ♦♥ rt♥r q ér♥ts ♠ét♦s ♦♥tété é♦♣♣és ♣♦r tr♦r s ♠ts éstqs srs rs ♥ts t♦ts♦rt trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥ ♦ ♥♦♥ s q ét ♦♠♦é♥ésé♥s ♦♠♥ ♣stq trs à ♦♠♥♥t ①♦♥♥ ♣♦s s tés és ♥trtrs à ♦st♦♥ ♦♥r♠♥t s♦s ♦r♠ ♥s ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r♦r ❬❪ ts ♣♦r ♥ rt♥ ♥♦♠r trs à ♦♠♥♥t trt♦♥♦♠♣rss♦♥st ♥térss♥t ♣r♠t ♦r♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♠♦é♥ésé ♣stq s trsé♥♠♦♥s tt ♠ét♦ st rstr♥t ① trs q ♥ ♣♦ssè♥t ♣s ♥♦s ♥tr♥sstàr ① trs ♦♥t s ♥♦s s♦♥t stés sr s s térs éé♠♥tr ♥ s ♣r♦♣♦s à trrs ♥♦tr ét r à tt rstrt♦♥ ♣♦r trtr t♦ss trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♦ s♥s ♥♦s ♥tr♥s ♥ s♥t ♥ ①t♥s♦♥à ♣stté ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ srèt
tt ét ♥st q♥ ♣r♠èr ♣♣r♦ t♦s s trs ♥ sr♦♥t ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣tPr ①♠♣ s ♥sttés és à ♦♠♣rss♦♥ ♥ sr♦♥t ♣s trtés ♥stté ♣r♠ t♦ r♦tt♦♥ s ♥♦s
![Page 165: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/165.jpg)
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E1
E2
r ♦è ♥♦ ♠é♥q ♥ ♣♦tr ♥ trt♦♥ ér♦ss s♦tr♦♣
qt♦♥s ♦♥sttts à é ♠r♦s♦♣q
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♥ ♣rt ♣stq epe = ee + ep
♠♦ éstq ♠tér ♣♦tr b st Es ♥♦s ♦♥s ♦♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t éstq
σb = Ebs
(eb − ebp
)
![Page 166: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/166.jpg)
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eO
r é♣♦♥s ♥ ♠♦è ♣♦tr à ér♦ss ♥ér s♦tr♦♣ ♦rs ♥ ②r♠é s ♠♦s t♥♥ts ss♦és
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f b =∣∣σb∣∣− sb ≤ 0
r sb sr r ♠s ①é ♥t♠♥t sr ♠t éstq ♠térσys
r s♦ ♦♥tr♥t ♣♣qé σb st ♥érr à sb ♦rs ♥② ♣s ♥♠♥t ♥s ebp ré♣♦♥s ♣♦tr sr éstq
♦♥t♦♥ q ♦♥ sst ♠♣♦sé ♥ ♥trî♥ t q ② ér♦ss ♥q♠♥t♦rsq f b = 0 ♥ ♣♣r γ r s♦ t① ér♦ss ér♦sss t ♦t♦r♠♥t ♥s s♥s ♦♥tr♥t ♣♣qé q s♥ q s♦♥t① st s♥ ♦♥tr♥t σb ♥ ♦t♥t
ebp = γb s♥(σb)
s rès ♥trî♥♥t s ♦♥t♦♥s s♥tsf b < 0 ⇒ γb = 0γb > 0 ⇒ f b = 0
s ♦♥t♦♥s ♣♦rt♥t ♥♦♠ ♦♥t♦♥s ♥r ♥ ♠♦♥tr ❬♠♦ ♥s ❪ q ♦♥ ♣t ♦tr ♥ ♦♥t♦♥ t♦♥♥ t ♦♥t♦♥ ♦♥sst♥♦ ♣rsst♥
γ f b = 0
![Page 167: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/167.jpg)
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q ♦♥ ♣♦rrt ♥tr♣rétr ♣②sq♠♥t ♦♠♠ t q ♦rs ér♦ss ♦♥tr♥t s ♠♥t♥t sr sr r
♥ ♦tr à ♥ ♦ ér♦ss s♦tr♦♣ ér♦ss st s♦tr♦♣ ♥ s♥s qàq étt r♠♥t ♥tr sr r é♥ ♣r s ♠ts
[−sb, sb
]
st ♦r♥ ér♦ss st ♥ér q♥t ① ♣stq t ♥é♣♥♥t s♥ ebp ♦♥t à ♥ ♦ t②♣
sb = σys +Hbsα
b
Hbs ♠♦ ♣stq t α t q αb =
∣∣ebp∣∣ = γ α st ♠ r
s♦ é♦r♠t♦♥ ♣stq st ♣♣é ♥s ttértr r ér♦ss♥tr♥ α srt à é♥r sb ♠t r ♣♦r ♣♦tr ♥s ♥♦tr ♦rt♠ ♦♥ ♠é♠♦rsé ♦♠♠ r ♥tr♥ r sb
éqt♦♥ ♥trî♥ t q ♦♥ ♣t réérr ♦♥t♦♥ r éqt♦♥ s♦s ♦r♠
f b =∣∣σb∣∣−[σys +Hb
sαb]
♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♦
♥ ♣t à s éqt♦♥s ♦s t s ♦s ér♦ss é♥s ♣réé♠♠♥tr ♠♦ ést♦♣stq t♥♥t ♥s s ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♥ ♣♦tr ♦♥t♦♥ ♦♥sst♥ éqt♦♥ ♣r♠t rés♦r γ ♥ ♣rt éqt♦♥
f b =∂f
∂σbσb +
∂f
∂αbαb
= s♥(σb)Ebs
(eb − ebp
)−Hb
s αb
= s♥(σb)Ebs
(eb)− γb
[Eb
s +Hbs
]≤ 0
♣rès ♦♥t♦♥ ♦♥sst♥ s γb 6= 0 ér♦ss ♥trî♥ f b = 0 t ♦♥♣rès éqt♦♥ ♦♥ ♥s s
f b = f b = 0 ⇒ γb =s♥
(σb)Eb
s eb
Ebs +Hb
s
♠♦ t♥♥t rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ sért ♦♥ ♥ r♣♦rt♥t éqt♦♥ ♥s ♦r♠ ♥ tss éqt♦♥
σ =
Ebs e
b s γb = 0
HbsE
bs
Ebs +Hb
s
eb s γb > 0
s ① ♠♦s ♣♣rss♥t à ér♠♠♥t ♠♦♠♥t ♥ ② rér♦♠♠ ♦♥ ♣t ♦r sr r
![Page 168: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/168.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
é♠ ♥tért♦♥
♣r♦è♠ s ♣♦s ♠♥èr s♥t ♦♥ s♣♣♦s qà ♥st♥t tn étt srsebn, e
bp,n, s
bn
st ♦♠♣èt♠♥t é♥ ♥ ♣t ♥ ♦♥séq♥ é♥r étt ♦♥tr♥t à t ♥st♥tσbn = Eb
s
(ebn − ebp,n
)
♥ ♠♣♦s ♥ ♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ ∆e ♣rès ♥ ♥ré♠♥t t♠♣s ∆t t qtn+1 = tn+∆t ♥♦s t ♦rs rr ♥s♠ s rs
ebp,n, s
bn
♦♠♠ st
♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ q ♦♥ s♠♣♦s ♦♥ ♣r ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥s sé♠s ♥tért♦♥ ssq ♣♥t êtr ①♣♦sés ç♦♥ s♥t ♦♥sér♦♥s
♥ ♦♥t♦♥ t♠♣s g(t) t s éré f (g(t)) = g(t) ♠s t q f s♦t ♥ ♦♥t♦♥ g(t) ♥ ♣t ♦rs ①♣r♠r ♥ ♠ ♦rt♠ t ♣♦♥t ♠ é♥érsé
gn+1 = gn +∆t f (gn+v)
gn+v = vgn+1 + (1− v) gn
gn+1 ≈ g(tn+1) ♣♣r♦①♠t♦♥ ♦rt♠q r ①t g(tn+1) ♥♣t ♥♦tr q tt ♠ ♦rt♠ ♦♥t♥t s sé♠s ♥tért♦♥ ♥ ♦♥♥s
v = 0 ①♣t
v = 12
♣♦♥t ♠
v = 1 ♠♣t
♥ r♥♦ tr à ttértr s♣ésé ♠té♠tq sr qst♦♥ ♣♦r ♣s éts ♥ ♥♦tr s♠♣♠♥t q s ♦rt♠s ♣♦♥t ♠ t ♠♣t s♦♥t ♣s♣rés ♦♥ ♦♥r♥t ♣s r♣♠♥t t q stté ♥♦♥t♦♥♥ rqrt v > 1
2
♦rt♠ ①♣t à ♣♦r ♥ t♦t ♠r s s♠♣té s ♦♥t♦♥s àét♣ n+1 s t ♠♠ét♠♥t à ♣rtr étt s ♦♥t♦♥s à ét♣ n st t②♣♦rt♠ ♥tért♦♥ q ♥♦s ♠ttr♦♥s ♥ ♦r ♥s ♣tr
♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥
♥ ♦♥sérr ♥ étt ♥tr♠ér s ♦♥t♦♥s ♦♥sttts é♥s ♣r♥t♣♣é étt tst ♣r♠♥t éstq ♦t♥ ♥ ♥t ① ♣stq ep
σtn+1 = Es (en+1 − ep,n) = σn + Es∆en
f tn+1 =
∣∣σt
n+1
∣∣− sn
t étt ♥st ♠ss q ♥s s ♣r♠♥t éstq ♥s s ♣stq ♦♥t♦♥ r tst sr ♣♦st f t
n+1 > 0 q ♦ rè é♥ ♣s t ♣♦rtt ♦♥t♦♥ ♥trî♥ à s s ♦♥t♦♥s ♥r q s f t
n+1 > 0 ♦rsγ > 0 ♥♦s t ♠ttr à ♦r s rs ep,n+1 t sn+1 t s♦rt q étt ♥ fn+1 = 0 ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r r ♣♣rîtr ∆γ ♥s ①♣rss♦♥ ♥ σn+1
![Page 169: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/169.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
σn+1 = Es (en+1 − ep,n+1)
= Es (en+1 − ep,n)− Es (ep,n+1 − ep,n)
= σtn+1 − Es∆γs♥(σn+1)
♥ ♣t ♠♥t♥♥t réérr s éqt♦♥s à étt ♥
σn+1 = σtn+1 − Es∆γs♥(σn+1)
ep,n+1 = ep,n +∆γs♥(σn+1)
αn+1 = αn +∆γ
fn+1 = |σn+1| − sn+1
sn+1 = σys +Hsαn+1 = sn +Hs∆γ
éqt♦♥ ♦♥ tr∣∣σt
n+1
∣∣ = |σn+1|+∆γ Es
♦♥ r♣♦rt ♥s éqt♦♥ ♦♥ ♦t♥t
fn+1 =∣∣σt
n+1
∣∣−∆γ Es − sn+1
=∣∣σt
n+1
∣∣−∆γ Es − [sn +Hs∆γ]
= f tn+1 −∆γ (Es +Hs)
♥ fn+1 ♦t êtr é à ③ér♦ ♦♥ ♣t ♦♥ trr éqt♦♥ ♣réé♥t
∆γ =f tn+1
Es +Hs
> 0
♦rt♠ rés♠ ♣♦r ♥ ♣s t♦t tt é♠r
![Page 170: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/170.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♥ ♣rt étt s rs à étt n ebn, e
bp,n, s
bn
t ♦♥ ♠♣♦s ♥ ♥ré♠♥t
é♦r♠t♦♥ ∆e
♥ ♥ étt ♥tr♠ér tst
σtn+1 = Es (en+1 − ep,n) = σn + Es∆en
f tn+1 =
∣∣σt
n+1
∣∣− sn
s f tn+1 ≤ 0 ♣s st éstq s rs tst s♦♥t s rs ♥s ♦♥ ♣ss
♣s s♥t
s f tn+1 > 0 ♣s st ♣stq ♦♥ ♥
Pr♦t♦♥
∆γ =f tn+1
Es +Hs
> 0
σn+1 = σtn+1 − Es∆γs♥(σn+1)
ep,n+1 = ep,n +∆γs♥(σn+1)
sn+1 = sn +Hs∆γ
♦rt♠ ♦rt♠ ♣r ♣r♦t♦♥ ♠♦è ést♦♣stq ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ér♦ss s♦tr♦♣
r str t ♦rt♠
ét♦
Pr♥♣ é♥ér
♦s ♦♥s é♥♦♥é ♥s st♦♥ ♣réé♥t ♦r♠ ♦ ♣♦r ♥ ♣♦tr séqt♦♥s ♦♥sttts ♥♦s t tr♥s♦r♠r s éqt♦♥s s♦s ♥ ♦r♠ ♦ àé ♥ r♥t à tr♥s♦r♠r s rs ♥s ♥tr sr♥ rs ♥tr tr
♥ t ♥ ♣♣r♦ ♥ ① t♠♣s ♥s ♥ ♣r♠r t♠♣s ♦♥ ré à étr♠♥rqs s♦♥t s srs rs ♥ts ♠ts éstqs ♥s ♥ s♦♥ t♠♣s ♦♥ ré à étr♠♥r é♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t ♣stq
P♦r ♣r♠r s étr♠♥t♦♥ s ♠ts éstqs ♣r♥♣ st stré♣r r ♥ ♣rt t♥sr ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ♥♦r♠sé ♣r r♣♣♦rtà ♠t éstq ♠tér σys ♥ ♦t♥t à ♣rtr à ♥ ♠tr ♣ss [Q] s rs s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠sés ♣r ♣♦trs ♦♥t♦♥s s ♦♠♣♦s♥ts t♥sr ♦♥tr♥t ♥♦r♠sé ♥ ♦♥stt s ♦♥tr♥ts ♣r ♣♦tr σb
norm s♦s ♦r♠
![Page 171: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/171.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
Projection
r strt♦♥ ♦rt♠ ♣r♦t♦♥ rtr♥ ♠♣♣♥ q ♣r♠t♦t♥r étt ♦♥tr♥t ♥ ♣r ♣r♦t♦♥ ♦♥tr♥t tst sr sr r
Echelle
macro
micro r é♠ ♣r♥♣ ♣♦r ♦t♥t♦♥ s srs rs ♠ts éstqs ♥ts
♥ st ♥éqt♦♥s q ér♥t ♥ ♦♠ ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠séss srs ♦♠ s♦♥t s ♠ts éstqs ♥ts
P♦r s♦♥ s é♦t♦♥ ♣stq ♦♥ ♣t strr ♣r♥♣ ♣r r ♥ s st ♥s s ♥ ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ ét♣ n♦♥ sst ♦♥♥é à é ♠r♦ tr t♥sr é♦r♠t♦♥ [E]n q ♥♦s ♦r♥t♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ t stst♦♥ tr t♥sr s ♦♥tr♥ts [Σ]n ♠tr rr [Kt]n t à é ♠r♦ tr s é♦r♠t♦♥s ♣stqs [ep]n t tr s srs rs [s]n ♥ s ♦♥♥ à ét♣ n + 1 ♥ ♥♦ t♥sr é♦r♠t♦♥ éstq [E]n+1♦♠♣t étt t ♠tér à ♠trt♥♥t [Kt] ♥ étr♠♥ à ♣rtr [E]n+1 à é ♠r♦ ♥ ♦♥tr♥t tst ♣r♣♦tr [σt] ♦♥ ér q s ♦♥t♦♥s rs tst [ft] rst♥t ♥éts s ♥st ♣s s ♦♥ réts s ♠ts éstqs [s] t ♥ré♠♥t ♣stq [γ] ♠♦t♦♥ étt ér♦ss ♥ ♣♦tr ♠♦ éqr ♠é♥q ♥s♠ s ♣♦trs
![Page 172: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/172.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
Echelle macro
Echelle micro
étape n étape n+1
boucle
r é♠ rés♦t♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♥ trs ♥s ♦♠♥ ♣stq♥ ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥
♥s éé♠♥tr ♦♥ ♦t ♦♥ térr à é ♠r♦ ♣♦r stsr s♦t♦♥♥tr s rs [σ] , [s] , [γ] ❯♥ ♦s s♦t♦♥ stsé ♦♥ ♣t étr♠♥r s rs♠r♦ ♦♠♦é♥ésés t♥sr ♦♥tr♥ts [Σ]n+1 t ♠tr rr t♥♥t [Kt]n+1
s srs r ♠t ♥ts
♦♠♠ ♥♦s ♦♥s é♥♦♥é ♣réé♠♠♥t ♦♥ r ♥ ♣ss s t♥srs ♠r♦s♦♣qs rs ♠ ♠r♦s♦♣q s rrs t rés♦r ♣s r♥r ♥ ♠r♦s♦♣q ♣rès rés♦t♦♥ ♦s ♦♥s é♦♣é ♥ ① ét♣s ♣r♠èr q ♦♥r♥ s srs r ♠t s♦♥ q ♦♥r♥ é♦t♦♥ ♣stq s♣r♥t ♥♦s t r ♥ st♥t♦♥ ♥tr ① té♦rs ♣♦trs ♥s s trsq ♥♦s ét♦♥s q ♣♦ssè♥t s ♥♦s ♥tr♥s à s s ♣♦trs q♦♥ ♥♦♠♠r ♣♦trs ♣r♠rs t s ♣♦trs q ♦♥ ♥♦♠♠r ♣♦trs s♦♥rs
é♥t♦♥ s ♣♦trs ♣r♠rs t s♦♥rs
①st♥ ♥♦s ♥tr♥s ♦♥t à é♥r ① té♦rs ♣♦trs ♥s s trsq ♥♦s ét♦♥s P♦r strr ♥♦s ♣r♥r♦♥s ①♠♣ trs rréét♦ r trs sr été ♥ ♣♦♥t ♣stq ♥ ♣ ♣s ♦♥
s ♣♦trs ♣r♠rs s♦♥t s ♣♦trs ♦♥t ♥ s ①tré♠tés st sté ♥s ♥ ♦♥të à éé♠♥tr s ♣♦trs s♦♥rs s♦♥t s ♣♦trs ♦♥t s ①♥♦s ①tré♠tés ♣♣rt♥♥♥t à éé♠♥tr s ♣♦trs ♣r♠rs ♦♥tr♥trt♠♥t ① trs ♦rts Si t♥s q s ♣♦trs s♦♥rs ♥♣♣rîtr♦♥t q♥s s éqt♦♥s éqr trs ♣♦♥t r ♦♥♥tté s ♣♦trs♣r♠rs ♦♥t ♠♦♥s ♥ s ♦♥ts δi ♥♦♥ ♥ t♥s q s ♣♦trs s♦♥rs ♦♥tt♦s r ♦♥ts δi = 0 ♥s ①♠♣ strt♦♥ r s ♣♦trs
![Page 173: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/173.jpg)
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b1
b3b4
b14
b13b12
b8
b7b6
b5
b10b9
b2
b11
30°
60°
S2
S1
face
tte 1
facette 2
poutres primairespoutres secondaires
r ①♠♣ str♥t ér♥ ♥tr s ♣♦trs ♣r♠rs t s♦♥rs ♣♦♥t r ♦♥trt♦♥ ① trs ♦rts Si
t s♦♥t s ♣♦trs ♣r♠rs t♥s q s ♣♦trs t s♦♥t s ♣♦trss♦♥rs
♦♥t♦♥s rs ♣ss t♥sr s ♦♥tr♥ts♠r♦s♦♣qs ♦♠♦é♥ésés [Σ] ① ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs [σ]
♦♥ ♥ s♥térss q① ♠ts éstqs srs rs ♥ts ♣r♦è♠♦♥sst à tr♦r ①♣rss♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs σ(i) ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t♠r♦s♦♣q [Σ] t s♦rt q ♦♥ ♣ss étr♠♥r s srs é♥s ♣r s♦♥t♦♥s rs
f b =∣∣σb∣∣− sb = 0
s ♦ rss♠♥t s♦tr♦♣ é♥♦♥é ♣s t éqt♦♥ st ♦t♥ à♣rtr é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q à é ♥ ♣♦tr ♥♦s t ♦t♥r ♥ ♦ ♠ê♠ ♦rr ♠s à ♣rtr t♥sr é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q ♦♠♦é♥ésé [E]
♥ ♣t étr q ♣r ♦♥strt♦♥ ♥s ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ s trs Si
sér♥t ♦♠♠
![Page 174: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/174.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
Si =n∑
b=1
ebσbtbδib
n ♥♦♠r ♣♦trs éé♠♥tr trs ♥ ♦♥sr ♥s ♥♣r♠r t♠♣s s rs σb s♥s s é♦♣♣r à t♥sr é♦r♠t♦♥ ♥♣t ♦rs réérr
[Σ] =1
gSi ⊗ ∂R
∂λi
=1
g
(n∑
b=1
ebσbtbδib
)
⊗ ∂R
∂λi
=1
g
(
σ1t1e1 ⊗ ∂R
∂λiδi1...σntnen ⊗ ∂R
∂λiδin)
=
[1
gt1e1 ⊗ ∂R
∂λiδib1]
σ1 + ...+
[1
gtnen ⊗ ∂R
∂λiδin]
σn
[Σ] =
[[1
gtbeb ⊗ ∂R
∂λiδib]T]
[σ]
[Σ] = [Q]p [σ]
♥ ♣t ♥s étr♠♥r ♥ ♠tr [Q]p ♣ss ♠r♦ rs ♠r♦ ♥s s♣ s♦♥tr♥ts ♣♦r s ♣♦trs ♣r♠rs tt ♠tr [Q]p ♦♥t♥t s ♦♦♥♥s ♥s s♦♦♥♥s q ♦rrs♣♦♥♥t ① ♣♦trs s♦♥rs
♦♠♠ st ①♣qé ♥s ♣rr♣ ② ① té♦rs ♣♦trss♦♥ r ♦♥trt♦♥ ♥ tr♠s ♦rts t♥sr ♦♥tr♥t st♥t♦♥ ♥tr s① ♣t êtr ♦r♠♠♥t ét ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs δib
♥ ♣t ♦♥ sr s σb s♦s ♦r♠
σb=
σbp s δib 6= 0
σbs s δib = 0
[σp] tr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ss♦és ① ♣♦trs ♣r♠rs t[σs] tr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ss♦és ① ♣♦trs s♦♥rs ♥ ♣t♦rs ①trr ♥ s♦s ♠tr [Q]r [Q]p rét ① ss ♦♦♥♥s ♥♦♥ ♥s [Q]p t s♦rt q
[Σ] = [Q]r [σp]
♥♦s t s rt♦♥s ♦♠♣é♠♥trs ♣♦r étr s ♥s ♥tr t♥sr ♦♠♦é♥ésé ♦♥tr♥t [Σ] t s ♦♥tr♥ts ♥s s ♣♦trs s♦♥rs [σs] s rt♦♥s
![Page 175: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/175.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♦♥t ♥♦s êtr ♦r♥s ♣r rés♦t♦♥ s éqt♦♥s t♦éqr sttq éé♠♥tr ♥ r♣♣ q s éqt♦♥s t♦éqr s♦♥t ♦t♥s à ♣rtr
∑
b∈BR
ebσbtb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0
♥ ♦♥sérr q st s ♥♦♥♥s s②stè♠ s♦♥t s ♦♥tr♥ts s ♣♦trss♦♥rs
σbs
♦♥ ♦t♥t ♥ s♦t♦♥ ♦r♠
[σs] = [Q]i [σp]
éqt♦♥ ♦♥ ♣t érr ♥ s♣♣♦s♥t ①st♥ ♠tr ♣s♦ ♥rs
[Q]r
[Q]+r [Σ] = [σp]
♥ r♣♣ q [σp] st tr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs s ♣♦trs ♣r♠rs♥ ♥tr♦t réstt ♥s q ♥♦s ♦♥♥
[σs] = [Q]i [Q]+r
︸ ︷︷ ︸
[Q]s
[Σ]
[σs] = [Q]s [Σ]
♥ rss♠♥t s ① ♠trs ♣rts [Q]r t [Q]s à ♣rtr s éqt♦♥s t
[[σp][σs]
]
= [σ] =
[[Q]+r[Q]s
]
[Σ]
[σ] = [Q] [Σ]
rs rs ♠r♦s♦♣qs ♠ts éstqs ♥ts
♦t q ♥♦s r♦♥s à tt♥r st ①♣r♠r s srs rs ♠r♦s♦♣qs ♦ ♦♠♦é♥ésés ♥ ♦♥t♦♥ ♠t éstq ♠tér ♦♠♣♦s♥t s♣♦trs s srs rs ♥ts s♦♥t é♥s ♣r s ♦♥t♦♥s rs sss éqt♦♥ ♥ ♣r♥♥t ♣♦r sb ♥t r ♠t éstq ♥t ♠térσys
f b =∣∣σb∣∣− σys ≤ 0
s éqt♦♥s é♥ss♥t ♥ ♦♠ ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts ♦♠ q ♦♥ ♣t①♣r♠r ç♦♥ éq♥t s♦s ♦r♠ ♥ sér ♥éqt♦♥s
♠tr [Q] st rt♥r ♥s s é♥ér ♦♥ ♥ ♣t ♦♥ r s♦♥ ♥rs ♥ ♦♥étr♠♥é ♥ ♠tr ♣s♦♥rs s♦♥ ♠ét♦ ♦♦rP♥r♦s
![Page 176: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/176.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
σb < σysσb > −σys
σb ♦♥tr♥t ♠r♦s♦♣q ss♦é à q ♣♦tr b t ①♣r♠r σb ♥♦♥t♦♥ t♥sr ♦♥tr♥t ♦♠♦é♥ésé ♠r♦s♦♣q [Σ] t ♥s ♦♥ r ♥ sér♥éqt♦♥s ②♥t ♦♠♠ ♦♥♥é ♠t éstq ♥t ♠tér σys t é♥ss♥t♥s s♣ s ♦♥tr♥ts ♥ ♦♠ ♥♦♣♣ s srs rs ♠r♦s♦♣qséqt♦♥ ♦t♥ ♥s st♦♥ ♣réé♥t ♣r♠t st♠♥t ①♣r♠r σb ♥♦♥t♦♥ Σ ♥ ♣t ♥♦r♠sr éqt♦♥ ♣r r♣♣♦rt à σys
σbn < 1
σbn > −1
σbn =
σb
σys ♦♥tr♥t ♣r ♣♦tr ♥♦r♠sé ♣r r♣♣♦rt à σys
♦♥ ♣♦s t♥sr s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ♥♦r♠sé ♣r r♣♣♦rt à ♠téstq ♠térσys
[Σ]norm =
Σ11/σysΣ22/σysΣ12/σysΣ12/σys
♥ ♣t ♦rs ①♣r♠r éqt♦♥ s♦s ♦r♠ ♥♦r♠sé
[σn] = [Q] [Σ]norm
♥ ♦t♥t ♥s s σbn ♥ ♦♥t♦♥ Σnorm ♥ ♥♦tr q ② ré♣étt♦♥ Σ12/σys
♣r q t♥sr ♦♥tr♥t st s②♠étrq ♦♥ Σ21 = Σ12 ♥ ♠r♦s♦♣q♦♠♦é♥ésé s ♣r ♦♥strt♦♥ s trs ♦rts Si ♥ s♦♥t ♣s ♦ré♠♥ts ♠ê♠s ♣♦trs q ♦♥tr♥t à Σ21 t Σ12 ♦♥ ♣s ♦ré♠♥t s ♠ê♠s σb
♥ ♣t ♦rs érr sér ♥éqt♦♥s s♦s ♦r♠ s♥t
σ1n ([Σ]norm) < 1
...σmn ([Σ]norm) < 1
σ1n ([Σ]norm) > −1
...σmn ([Σ]norm) > −1
m ♥q♥t ♥♠ér♦ ♣♦tr éé♠♥tr tt sér ♥éqt♦♥s é♥t ♥ ♦♠ ♥♦♣♣ s srs rs ♠ts ♥ts ♥s s♣ s♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs ♥♦r♠sés ♣r σys
![Page 177: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/177.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♦t♦♥ sr r rést♥t é♦♠♥t♣stq
♦ rss♠♥t ♣stq ♦♠♦é♥ésé ♣ss t♥sr sé♦r♠t♦♥s ♠r♦s♦♣q ♦♠♦é♥ésé [E] ① ♦♥tr♥ts♠r♦s♦♣qs [σ]
P♦r ♣ssr ♦ rss♠♥t ♣stq éqt♦♥ ♥ ♠r♦s♦♣q ♥ ♠r♦s♦♣q st ♥éssr tr♦r ♦♥t♦♥ r♥t s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs σb t♥sr é♦r♠t♦♥ ♠r♦s♦♣q [E] tt ♦♥t♦♥ r s rs♥tr♥s q s♦♥t s é♦r♠t♦♥s ♣stqs ♠r♦s♦♣qs
[σ] = fonction ([E] , [ep])
♥ ♣t étr♠♥r tt ♦♥t♦♥ ♥ rés♥t ♥ ♠♦t♦♥ ♦rt♠ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ ♥ r♣♣r ♣s t♦t ♣r♦sss ♠s ♥q♠♥t s ♠♦t♦♥ss♥ts ♣r♠èr ♠♦t♦♥ ♦♥r♥ ért♦♥ ♥t s ♦rts t♥s♦♥ ♣♣qé sr s ♣♦trs
σb =Es
Lb
(
eb(
uER(b)1 − uOR(b)1 +∂u(λε)
∂λiδib)
− Lbebp
)
ebp é♦r♠t♦♥ ♣stq ss♦é à ♣♦tr b ♥ ♦t ♣♣rîtr ♥s tt
éqt♦♥ ♥ r ♥tr♥ ♣r ♣♦tr q st é♦r♠t♦♥ ♣stq♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s é♣♠♥t s②stè♠ ♦♥ ♣t é♥r s ♦♥tr♥ts
s♦s ♦r♠
[σ] = [Ke] [E] + [Kp] [ep]
♥ ♦♥ ♥ ♣ss ♠r♦ rs ♠r♦ s♣ s é♦r♠t♦♥s ♠r♦s♦♣qs rss♣ s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs
♥ r♣♣ q ♥♦s ♦♥s é♥ tr ♣rt ♥s st♦♥ ♥ ♣ss ♠r♦rs ♠r♦ ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts râ ① éqt♦♥s s♥ts
[σ] = [Q] [Σ]
[Σ] = [Q]+ [σ]
♦ rss♠♥t ♣stq s♦tr♦♣q rtr♥ ♠♣♣♥
♠♦♥♦♠♥s♦♥♥
♥ éqt♦♥ n ♣r♦t♦♥s ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥s n ét♥t ♥♦♠r rrs ♥ ♣t rés♦r ♣r rtr♥ ♠♣♣♥ à ♥ ♠♥s♦♥ ♦r ♠♦ ♥ s ❬❪ ♠s à ♦r é♦r♠t♦♥ ♣stq ebp r ♥tr♥ à ♣♦tr
♥ ♣♦s ♥ r ss ♦ r tst [σt] = [Ke] [E] + [Kp] [ep]
![Page 178: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/178.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♣♦r q ♣♦tr i ♦♥ étr♠♥ r ♦♥t♦♥ r f bt =
∣∣σb
t
∣∣− sb
s f bt ≤ 0 ♦♥ st ♥s ♥ s éstq ♣♦r tt ♣♦tr ♥② ♣s ♠♦
t♦♥ ♥ ♠t r ♣♦tr sb ♥ s é♦r♠t♦♥ ♣stqebp
s f bt > 0 ♦♥ st ♥s ♥ s ♣stq ♣♦r tt ♣♦tr sr r
♠♥t rHs
Es +Hs
f bt t à é♦r♠t♦♥ ♣stq ♣♦tr s♦t
r sign(σbt )
f bt
Es +Hs
♦r♠t♦♥ st s♠♣ ♥ ♣♦♥t ♠♦♥♦♠♥s♦♥♥ ♠s tt ♠ét♦ ♥ ♣têtr ♣♣qé t q r s ♥ s ♣♦tr ♥ éé♠♥tr ♣st à ♥♠♦♠♥t ♦♥♥é ♠♦ éqr ♥ ♦rt ♥s♠ s ♦♥t♦♥s s♦♥t ♥♦♥ ♥érs st ♥éssr é♥r ♥ sé♠ ♥tért♦♥
♦r♠t♦♥ ♥ré♠♥t sé♠ ♥tért♦♥
♥ ♥tèr ♣r r♣♣♦rt t♠♣s q ♥♦s ♠è♥ à ré♥r éré ♣r r♣♣♦rt t♠♣s ♥s♠ s rs s♦t s ①♣rss♦♥s s tsss
[σ][
E]
①st ♣r♥♣♠♥t ① sé♠s ♥tért♦♥ s♦t ♠♣t s♦t ①♣t ♥ tsr ♥ sé♠ ♥tért♦♥ t②♣ ①♣t q s♥ q ♦♥ étr♠♥r♥ q ét ♣s ♠tr t♥♥t [Kt] t q
[
Σ]
=[Kt] [
E]
sé♠ ♥tért♦♥ ♦♥r ♠♦♥s r♣♠♥t q♥ sé♠ ♠♣t ♣s ♦① ♣s t♠♣s st ♠♣♦rt♥t ♣♦r ♥ ♣s ♦r ♥ tr♦♣ r♥ ♠t♦♥ rrrs ♠s st ♣s s♠♣ à ♠ttr ♥ ♦r ♦① sé♠ ♥tért♦♥ ♥♦s♦♥s ♣s n t♠♣s t s rs
[σ]n[E]n [Σ]n t ♣s n+ 1 t♠♣s t+∆t[σ]n+1 = [σ]n +∆ [σ]n[E]n+1 = [E]n +∆ [E]n [Σ]n+1 = [Σ]n +∆ [Σ]n ♠tr t♥♥t [Kt]n ♣s n sr ♦♥ étr♠♥é ♣r ♦t♥t♦♥
∆ [Σ]n =[Kt]
n∆ [E]n
sr ♥éssr térr à q ét♣ n ♣♦r stsr s♦t♦♥ ♥és♥r ♣r r k ♣s tért♦♥ à q ét♣ ♥ ♦t♥t ♠tr t♥♥t ♠♥èr s♥t
t♠♣s tn ♠ st ♥ éqr s♦t
[σ]n = [Ke] [E]n + [Kp] [ep]n
![Page 179: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/179.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♥ r♣♣ q s ♠trs [Ke] t [Kp] s♦♥t s ♠trs éstq t ♣stq ♦t♥s♣rès ♦r rés♦ s éqt♦♥s t♦éqr réér♥
t♠♣s tn+1 ♠ st ss éqré s♦t
[σ]n+1 = [Ke] [E]n+1 + [Kp] [ep]n+1
♥t ♣♦rsr é♦♣♣♠♥t ♦rt♠ ♦♥ ♦♥♥r qqs ①♣t♦♥ssr ♠tr t♥♥t ♦s ♥♦s ♣ç♦♥s ♥s s ♥tért♦♥ ①♣t q s♥ q ♠tr t♥♥t tsé ♣♦r ét♣ n + 1 sr étr♠♥é à s rs à étt n P♦r étr♠♥r ♥♦s ♦♥s t♦t ♦r é♥r ♥ ♠tr ♥tr♠ér [Kr] ç♦♥ s♥t
[σ]n+1 = [Ke] ([E]n + [∆E]) + [Kp]([ep]n + [∆γ′]
)
[∆γ′] r s♥é t① ér♦ss [∆γ]
[σ]n+1 = [Ke] [E]n + [Kp] [ep]n + [Ke] [∆E] + [Kp] [∆γ′]
P♦s♦♥s ♦rs [Kr] t q [∆γ′] = [Kr] [∆E] ♦rs ♦♥ ♣t réérr éqt♦♥ ♥s
[σ]n+1 = [Ke] [E]n + [Kp] [ep]n + [Ke] [∆E] + [Kp] [Kr] [∆E]
= [σ]n + [Ke] [∆E] + [Kp] [Kr] [∆E]
⇒ [∆σ] = ([Ke] + [Kp] [Kr]) [∆E]
⇒ [∆Σ] = [Q]+ [∆σ] = [Q]+ ([Ke] + [Kp] [Kr])︸ ︷︷ ︸
[Kt]
[∆E]
[∆Σ] =[Kt][∆E]
♠tr t♥♥t [Kt] = [Q]+ ([Ke] + [Kp] [Kr]) ♥♦s rst ♠♥t♥♥t à étr♠♥r [Kr] t q [∆γ′] = [Kr] [∆E] P♦r ♥♦s ♣♦
s♦♥s [ξ] tr ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst ♥s s♣ s ♠r♦♦♥tr♥ts
[ξ] = [Ke] [∆E]
t [ζ] ♥ ♠tr ♦♥ ♦♥t♥♥t s ♠♦s r♥t ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst [ξ] t ♥ré♠♥t é♦r♠t♦♥ ♣stq
[∆γ′] = [ζ] [ξ]
= [ζ] [Ke] [∆E]
= [Kr] [∆E]
![Page 180: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/180.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
[Kr] = [ζ] [Ke] rst à r s ♦♥ts ζb ♠tr ♦♥ [ζ] ♣t êtr résé ♠♥t à ♣rtr éqt♦♥
∆γ′1...
∆γ′m
=
ζ1 0 00 ... 00 0 ζm
ξ1...ξm
⇒ ζb =∆γ′bξb
q ♣s n r térr ♣♦r stsr s♦t♦♥ ♦♥r♥♥t ♠tr [Kr] t tr ♥ré♠♥t ♣stq [∆γ′]
♥♦♥s é♦♣♣♠♥t ♦rt♠ à ét♣ n+ 1 ♥ ♣rt [E]n+1 ♣sq♦♥♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ s rs ♥tr♥s à étt t
([ep]n , [s]n
) t s rs
t♠♣♦rrs ♥tr♥s à ét♣ k = 0 ♣s n ([∆γ′](k) , [Kr](k) , [ξ](k))
tért♦♥ ♥t(k = 0) [∆γ′](0) = [0] t [Kr](0) = [0]
st ♥ ♣rét♦♥ éstq s ♦♥tr♥ts ♠r♦s♦♣qs à t t + ∆tétr♠♥t♦♥ tr [ξ] ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t éstq tst
[σt](k)
n+1= [Ke] [E]n+1 + [Kp]
(
[ep]n + [∆γ′](k))
= [Ke]([E]n + [∆E]n+1
)+ [Kp]
(
[ep]n + [∆γ′](k))
[ξ] = [Ke] [∆E]n+1
s ♦♥t♦♥s rs ♣♦r q ♣♦tr b f t (k)b =
∣∣∣σ
t (k)b
∣∣∣− s
(k)b
s ♣stq f t (k)b ≥ 0
∆γ(k)b =
ft (k)b
Es +Hs
∆γ′(k+1)b = ∆γ
′(k)b + sgn(σ
t (k)b )∆γ
(k)b
s(k+1)b = s
(k)b +Hs∆γ
(k)b
ζb = sgn(σt (k)b )
∆γ(k)b
ξb
s éstq f t (k)b < 0 ♥② ♣s ♠♦t♦♥ s rs ♥tr♥s és à
tt ♣♦tr γ′(k+1)b = γ
′(k)b s(k+1)
b = s(k)b t ζb = 0
♥ é [Kr]♣r[Kr](k+1) = [Kr](k) + [ζ] [Ke]
♥ ♥ré♠♥t ♣s k t ♦♥ ré♣èt s ét♣s à sqà stsr s♦t♦♥stàr s rs ♥tr♥s
![Page 181: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/181.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
s rs ♥s à ét♣ n+ 1
[ep]n+1 = [ep]n + [∆γ′](final)
[σ]n+1 = [Ke] [E]n+1 + [Kp] [ep]n+1
[Σ]n+1 = [Q]+ [σ]n+1
[Kt]
n+1= [Q]+
(
[Ke] + [Kp] [Kr](final))
♦ t ①♠♣s
♦rt♠ s srs rs ♥ts
t♥t♦♥ à ♣rtr ♥ rs♦♥ ♠♦é ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠tr s ♣♦trs ♣r♠rs [Σ] = [Q]p [σ] ♦♥t ♦♥ tr rstrt♦♥ [Q]r ♠trss ♥s ♥♦♥ ♥s [Q]p
és♦t♦♥ s éqt♦♥s t♦éqr∑
b∈BR
ebσbtb · [v (O (b))− v (E (b))] = 0
♦♠♠ ♥♦♥♥s s ♦♥tr♥ts s ♣♦trs s♦♥rs σbs ♦♥ ♦t♥t ♥ s♦t♦♥
♦r♠ [σs] = [Q]i [σp]
t♥t♦♥ [Q]s ♠tr ♣ss t♥sr s ♦♥tr♥ts rs s ♣♦trs s♦♥rs ♣r [σs] = [Q]i [Q]
+r
︸ ︷︷ ︸
[Q]s
[Σ]
ss♠s s ① ♠trs ♣rts ♣♦r ♦t♥r ♥ ♠tr ♣ss ♥q[[σp][σs]
]
= [σ] =
[[Q]+r[Q]s
]
[Σ] = [Q] [Σ]
t♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠sés [σn] = [Q] [Σ]norm étr♠♥t♦♥ s srs ♠ts ♦t♥s à ♣rtr s ♥éqt♦♥s
σbn < 1
σbn > −1
①♠♣s srs rs ♥ts
♥ trtr ss♦s tr♦s ①♠♣s ♣♦r q st étr♠♥t♦♥ s srs rs s trs tr♥ ♦♠ t ♠♥t ♥ tsr ♣♦r s ①s s ♦♥♥t♦♥s r
rs tr♥
é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r t s♦♥ t ♦♥♥tté st t
s srs rs ♥ts trs tr♥ s♦♥t ♦♥♥és ♥s r
![Page 182: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/182.jpg)
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x1
x2
r ①s ♦♥sérés ♥s ♥ s s♠t♦♥s
n1
n1
n1
n1b1
b2b3
Y1
Y2
r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs tr♥
♣♦trs
δ1 δ2
s ♦♥♥ttés trs tr♥
![Page 183: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/183.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
r rs r ♥ts ♥ trs tr♥ s♦s ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♥é
♣♥ ♥♦r♠sé(
Σ11
σys, Σ22
σys, Σ12
σys
)
♣♦r ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15
![Page 184: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/184.jpg)
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b1
b3b2
b5 b4
b6
n1
n2
n3
Y1
Y2
r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ♦♠
♣♦trs
δ1 δ2
s ♦♥♥ttés trs ♦♠
♣♦trs
δ1 δ2
s ♦♥♥ttés trs ♠♥t
rs ♦♠
é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r t ss ♦♥♥ttés♥s t
s réstts ♥ q ♦♥r♥ s srs rs trs ♦♠ s♦♥t ♦♥♥és♥s r
rs ♠♥t
é♥t♦♥ é♦♠étrq trs st ♦♥♥é ♥s r t ss ♦♥♥ttés♥s t
![Page 185: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/185.jpg)
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r rs r ♥ts ♥ trs ♦♠ s♦s ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♥é
♣♥ ♥♦r♠sé(
Σ11
σys, Σ22
σys, Σ12
σys
)
♣♦r ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15
![Page 186: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/186.jpg)
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b2 b3
b1
b5 b4
n1
n2
n1
n1 n1
Y1
Y2
r é♥t♦♥ é♦♠étrq trs ♠♥t
s réstts ♣♦r q st s srs rs ♥ts trs ♠♥t s♦♥t♦♥♥és ♥s r
♦♥s♦♥ sr s srs rs ♥t
s tr♦s ①♠♣s ♦♥t été trtés ♣r ♥ tr ♠ét♦ ♥s ❲♥ ♥ ♦ ❬❪♦♥ ♦t♥t s réstts ♥tqs ♥s s tr♦s s
♦rt♠ ♦♠♣♦rt♠♥t ♣stq
♦rt♠ s ér♦ss ♦t ♠ê♠ êtr ♥séré ♥s ♥ ♦ ♣r♠tt♥t s♦♥ ♣♦t ♣r é♦r♠t♦♥ ♥s ①♠♣ s♥t ♦♥ sst ♦♥t♥té ♦tr à t ♦rt♠ ♥ ♣♦t s♠♣ ♥ r ér ♥ér st à r ♥ ♣s∆E11 ♦♥st♥t
♦rt♠ s♠t♦♥ ♥♠érq ♥ trt♦♥ rt♦r à étt♥t ♣♦té ♣r é♦r♠t♦♥
♦t♦♥ ♣r♦sss ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥s ért♦♥ ♥t s ♦rts ♥
t♥s♦♥ σb =Es
Lb
(
eb(
uER(b)1 − uOR(b)1 +∂u(λε)
∂λiδib)
− Lbebp
)
ebp é♦r♠t♦♥
♣stq ss♦é à ♣♦tr b
♣rès rés♦t♦♥ s ♥♦♥♥s é♣♠♥t étr♠♥t♦♥ s ♠trs [Ke]t [Kp] ts q [σ] = [Ke] [E] + [Kp] [ep]
♣rès ♦♠♦é♥ést♦♥ t étr♠♥t♦♥ t♥sr s ♦♥tr♥ts [Σ] étr♠♥t♦♥ Q t q [Σ] = [Q]+ [σ]
ért♦♥ s rsEt1, ν
t12, [σ
t] , [σ] , [Σ] , [f t] , [s] , [∆γ′] , [E] , [∆E] , [ep][Kr] , [ζ]♦t Et
1 st ♠♦ rr t♥♥t à ét♣ n s♥t rt♦♥ x1 νt12 st ♦
![Page 187: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/187.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
r rs r ♥ts ♥ trs ♠♥t s♦s ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♥é
♣♥ ♥♦r♠sé(
Σ11
σys, Σ22
σys, Σ12
σys
)
♣♦r ♥ ♥sté rt ρ∗ = 0.15
![Page 188: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/188.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♥t P♦ss♦♥ ss ♠tr t♥♥t à ét♣ n st r s♥t éttér♦ss ♠ Et
1 t νt12 s♦♥t rés à ♥ q ♣s
♥tst♦♥
s rs s [s] :=
σys...σys
[ep] := [0]
s ♣r♠ètrs é♦♠étrqs tbt Lb
s ♣r♠ètrs ♠é♥qs σys, Es, Hs
s ♣r♠ètrs ♥é♠tqs E11 ♥t E11 ♥ t ♣s∆E11 ♥ ♥ ét
♥♦♠r ♣s nPas :=E11 (final)− E11 (initial)
∆E11
♦t ♣♦r tt s♠t♦♥
♦♥ s ♣ ♥s s ♥ r♠♥t ♥ér ∆E11 = Cte ♠s ♥ ♥t♥t♦t tr t②♣ r♠♥t st ♣♦ss
P♦r cPas à nPas
[∆E] :=
∆E11
−νt12∆E11
0
[E] := [E] + [∆E]
P♦r i 1 à nBarres
[∆γ′] := [0] [Kr] := [0]
♥ ♣♦r
err := 100
t♥t q err > 0.1 ♥♦t err st é♥ ♦♠♠ err = max(err1...errn) st àr r ♥ é♣ss♠♥t ♠①♠♠ ♣r♠ t♦ts s ♣♦trs
éé♠♥tr sr r ♣r ♦♥t♦♥ r tst errb =100 f b
t
sb
r rrr st rtrr
err := 0
[σt] := [Ke] [E] + [Kp] ([ep] + [∆γ′])
[ξ] = [Ke] [∆E]n+1
♣♦r b à nBarres
ζbb = 0
f bt := abs(σb
t )− sb
s f bt > 0 ♦rs
∆γ :=f bt
(Es +Hs) ♣rès éqt♦♥
![Page 189: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/189.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
♣♦trs
δ1 δ2
s ♦♥♥ttés trs rréét♦
∆γb′:= ∆γb
′+ sgn(σb
t ) · ∆γ ♦♥ ré ♥ rs♦♥ s♥é ♠ ∆γ
ζbb = sgn(σt (k)b )
∆γ(k)b
ξb
err := max(err,100 f b
t
si)
sb := sb +Hs∆γ ♣rès éqt♦♥
♥ s
♥ ♣♦r
[Kr] := [Kr] + [ζ] [Ke]
♥ t♥t q
[Σ] := [Q] [σ]
[Kt] := [Q] ([Ke] + [Kp] [Kr])
[St] := [Kt]−1
Et1 :=
1
St11
νt12 := −St21.E
t1
[ep] := [ep] + [∆γ′] ♣rès éqt♦♥
♥ ♣♦r
①♠♣ ér♦ss trs rrét♦
♥ ♦s ééré♠♥t ♦♠♠ ①♠♣ ♥ trs ♣♦ssé♥t s ♥♦s ♥tr♥s trs rréét♦ ♦r r é♥t♦♥ s ♦♥♥tté st ♦♥♥é ♥s t
trs ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♣♦ssè s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♥térss♥ts♦♠♠ ♥ ♦♥t P♦ss♦♥ r ♥ t s ♦♥ ♣♦s s rrs s♥ts
k2 =Est2L
ss♦é ① ♣♦trs 1, 2
k1 =Est1L
ss♦é ① ♣♦trs 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
k3 =Est3L
ss♦é ① ♣♦trs 11, 12, 13, 14
![Page 190: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/190.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
b1
b3b4
b14
b13b12
b8
b7b6
b5
b10b9
b2
b11
n1 n1
n1 n1
n5
n2
n3
n4
Y1
Y2
30°
60°
r é♥t♦♥ é♦♠étrq ♥ trs rréét♦
♥ tr♦ ♦♥t P♦ss♦♥ s♥t ♦r♠ ♦♠♦é♥ésé s♥t
ν12 =
(2 +
√3)k1 k3
k1 k2 + 2 k1 k3 +√3k1 k3 + 4 k2 k3
♦♥t P♦ss♦♥ trs st r s♥t s rrs s ♣♦trs k1, k2 tk3 s rrs s♦♥t s♠ê♠s ♦♥t♦♥s s rrs s ♣♦trs tb ❱♦r r
P♦r ♥♦tr ♣♣t♦♥ ♥♠érq t1 = t2 = t3 = t ♥sté rt trs
st ♦♥♥é ♣r ρ∗ =−2t
(−3− 4
√3− 3
√2 +
√2 +
√6)
3L P♦r ♣♣t♦♥ ♥♠érq ♦♥
t ♣♦r ♥ ♥sté rt q ♥♦s ♦♥♥ ♥ rr ♣♦trt ∼ 0.019L ♣s ♦♥ tsé ♥ ♣♣r♦ ♥tq ① ♣♣r♦s ♥♠érqs ts♥s s ♣trs ♣réé♥ts sr ♥ é♥t♦♥ ① ♠♠ ① séé♠♥trs ♦♥ ♦♥r L = 1/16mm t t ∼ 0.0012mm ♦s ♦♥sér♦♥s s ♦♥♥és♠é♥qs s♥ts ♠t éstq σys = 20 P ♠♦ éstq Es = 69000 P t♠♦ ♣stq Hs = 3000 P
![Page 191: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/191.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
r ♦♥t P♦ss♦♥ trs rréét♦ ♥ ♦♥t♦♥ s r♣♣♦rts rrs s ♣♦trs ♦♥sttts trs
♥s rs♦♥ ♦♠♦é♥ésé ♣♦t ♥ é♦r♠t♦♥ ♦ ♥ ♣ ♦♥ ♣♣qé♥ é♦r♠t♦♥ à 1 × 10−3 ♣r ♣s 0, 5 × 10−4 ♣s t ♥ rt♦r 1 × 10−3 à ♣r ♣s −0, 5× 10−4
♥s rs♦♥ qs ♦♥ t ♥ ♣♦t ♥ é♣♠♥t é♥t♦♥ t ①
♠♠ ♦rs é♦r♠t♦♥ ε11 =U1
1♠♠ U1 é♣♠♥t ♠♣♦sé ♥ ♠♠ ♣s tsé
st 1× 10−4♠♠ q s♥ q ② ♣s ♥ r t ♣s ♥ ér s♦♥♥és é♦♠étrqs s♥ts éé♠♥ts ♣r ♣♦trs éé♠♥ts t②♣ rr♥♦ qs st♦♥ rt♥r rr0.0012 ♠♠ t ♣r♦♦♥r ♠♠
s ♦♥t♦♥s ♦rs s♦♥t érts ♥s r ♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♠tér ♣stq été ♥s qs ts s ♦♥♥és
♠tér s♥ts
❨ strss Pst str♥
♦rt rét♦♥ ① ♥♦s s♥t ① X1 ♥s ①è♠ t ♥tè♠ ♣s s♠t♦♥ st ♦♥♥é ♥s r
![Page 192: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/192.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
U1 déplacement imposé suivant l'axe X1
conditions de bords
X1
X2
r ♦♥t♦♥s ① ♦rs t r♠♥t ♥s s♠t♦♥ qs trt♦♥ trs rrét♦
♠ét♦ ♣♦r tr♦r rt♦♥ ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥s s♠t♦♥ st s♥t
σ11(Abaqus) = − Fnode
Lcellule
Fnode ♦rt rét♦♥ ① ♥♦s tér① r♦ts t Lcellule ♦♥r ôté♥ éé♠♥tr q t ♥s ♥♦tr s♠t♦♥ Lcellule = 1/16mm Pr ①♠♣ ♣s s♠t♦♥ r ♦♥ r ♦r rét♦♥ à r♦tFnode ∼ −5, 53.10−2 N q ♥♦s ♦♥♥ ♥ r σ11 ∼ 5, 53.10−2.16 = 0.88MPa
s réstts ♦♠♣rés ♥tr s♠t♦♥ t ♦rt♠ ♦♠♦é♥ésé ♣stté s♦♥t ♦♥♥és ♥s r ♥ très ♦♥♥ ♦♥♦r♥ st ♦t♥ ♥trs ♦rs ré♣♦♥s ♥ rér ♥tr s ① ♠ét♦s
♦♥s♦♥s sss♦♥
♥ résé étr♠♥t♦♥ ♦♠♥ résst♥ éstq ♥ trs à ♦♠♥♥t ①t♥s♦♥♥ ♥ q trs ♠ét♦s ♣r♥♥♥t ① ♠ê♠s réstts ♦♥ ♣ts♦♥r s♣t t♦♠tq ♥♦tr ♣♣r♦ q r♥ s♠♣ tst♦♥
♥ ♣té ♦♠♦é♥ést♦♥ s②♠♣t♦tq srèt trt♠♥t ♣stté ♠ét♦ é♦♣♣é ♦♥stt ♥ ♥é ♥ t ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r trs
♦rt rét♦♥ ♥st ♣s ♦♠♣èt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥ ♣rs ♦rt ♥♦ ♣s é♦♥é s♦rs ♥♦ ♠ tér r♦t ♣r♠t ♠♥r s ts ♦rs
![Page 193: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/193.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
RF, RF1
−5.528e−02−4.607e−02−3.686e−02−2.764e−02−1.843e−02−9.215e−03−1.298e−06+9.213e−03+1.843e−02+2.764e−02+3.685e−02+4.607e−02+5.528e−02
Step: Step−10Increment 1: Step Time = 1.000Primary Var: RF, RF1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +9.993e+01
X
Y
Z
RF, RF1
−5.214e−02−4.345e−02−3.476e−02−2.607e−02−1.738e−02−8.686e−03+4.053e−06+8.694e−03+1.738e−02+2.607e−02+3.476e−02+4.345e−02+5.214e−02
Step: Step−20Increment 1: Step Time = 1.000Primary Var: RF, RF1Deformed Var: U Deformation Scale Factor: +5.375e+02
X
Y
Z
r ♦r rét♦♥ ♥ ♦rs s♠t♦♥ qs é♦r♠t♦♥♥ trs rrt♦ r ♠①♠ ♣s s♠t♦♥ ♣s s♠t♦♥ ♣s ♥
![Page 194: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/194.jpg)
P PP ❯ P P❯ ❯ P ❳
r ♦r ♦♥tr♥t é♦r♠t♦♥ ♥ trs rrt♦
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![Page 196: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/196.jpg)
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![Page 197: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/197.jpg)
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![Page 199: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/199.jpg)
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![Page 200: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/200.jpg)
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![Page 201: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/201.jpg)
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![Page 202: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/202.jpg)
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![Page 205: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/205.jpg)
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![Page 206: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/206.jpg)
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![Page 207: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/207.jpg)
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P r♦s ♥ s♥ tr s②♠♠trs ♦ ♠r♦♣♦r ♦♥t♥ q♥t t♦tts ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦s ♥ trtrs
Ptr ❱r♥ ♦ést♦♥ ♦♥t♥ s strtrs srèt ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ s strs P tss ♥sttt t♦♥ P♦②t♥q r♥♦
![Page 208: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/208.jpg)
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![Page 209: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/209.jpg)
Annexe A②♥tès té♦r s ♣♦trs ♥ ♣tts
é♣♠♥ts t ②♣♦tès r♥♦
♦♠♠r trtr s ♣r♦è♠s ♣♦tr
Pss s éqt♦♥s ♦s ① éqt♦♥s ♦s ♣♣t♦♥ ♣r♥♣ s ♣ss♥s rts
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①♣rss♦♥ t♦r s ♦rts ♥s r♣èr strtr
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r ré♣t st s t♦♥s ♠é♥qs té♦r s ♣♦trs q♥♦s ♦♥s tsr s t♦♥s ♠é♥qs ♥ rsé ♦rrs♣♦♥♥t ① s♦tt♦♥s ♥tr♥ss t♦♥s ♠é♥qs ♥ ♥♦r s♦♥t s ♦rts ①térrs ♣♣qés à ♣♦tr s r♥rssr♦♥t ♦ss ♦♠♠ ét♥t ♥q♠♥t ♦♥♥trés ♥ ♥ sss ①é
![Page 210: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/210.jpg)
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M1R1
M2
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T(s) R(s)
N(s)
M(s)
Mt(s)
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s ♦♠♣♦s♥ts s ♥♦♥♥s ♥ ♣r♦è♠ ♣♦tr s♦♥t
s ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t U(s) =
ψ(s)u(s)
G(s)
u(s) t ψ(s) é♣♠♥t t r♦tt♦♥ r ♥tr ♣♦tr àsss s
s ♦♠♣♦s♥ts é♦r♠t♦♥ D(s) =
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G(s)
s ♦♠♣♦s♥ts s s♦tt♦♥s ♥tr♥s T(s) =
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G(s)
♦s ♦♥s é♠♥t s rt♦♥s s♥ts sr ♥ tr♦♥ç♦♥ ♥♥tés♠ ♣♦tr éqt♦♥s♦s
s rt♦♥s é♦r♠t♦♥s é♣♠♥t
γ(s) =dψ(s)
ds
ε(s) =du(s)
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n(s) tr t♥♥t à r ♥tr ♣♦tr ♣♦♥t sss s s éqt♦♥s éqr ♥ qs sttq
dR(s)
ds= 0
dM(s)
ds+ n(s) ∧R(s) = 0
![Page 211: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/211.jpg)
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s rt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t éstqs ♠tér
ε(s) =N(s)
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T1(s)
GSεT2(s) =
T2(s)
GS
θ(s) =Mt(s)
GI0γT1(s) =
Mf1(s)
EI1γT2(s) =
Mf2(s)
EI2
E ♠♦ éstq ♣♣é ss ♠♦ ❨♦♥ G ♠♦ s♠♥t S st♦♥ ♣♦tr I0 ♠♦♠♥t ♣♦r ♣r r♣♣♦rt ♥tr ♣♦tr t Ij ♠♦♠♥t qrtq ♣♦tr ♣r r♣♣♦rt à ① j
Pss s éqt♦♥s ♦s ① éqt♦♥s♦s ♣♣t♦♥ ♣r♥♣ s ♣ss♥srts
♥s s ♥ ♣♦tr ré ♣r ♥ ré♣rtt♦♥ F(s) ♦rts ♦♥ ♥♠♦②♥♥ ♣r♠étré ♣r sss s s éqt♦♥s ♦s éqr t sér♥t♥ qs sttq
dT(s)
ds
+ F(s) = 0
s ♦♥t♦♥s ♦rs ① ssss tr♠♥s s1 t s2 ♣♦tr sér♥t
T(s1) = −F(s1)
T(s2) = + F(s2)
♥ ♣t tr ♦♠♦♠♥t ♥ t♦rsr q♦♥q V∗(s) t ♥térr ♦♥ ♣♦tr ♣♦r éqt♦♥ P♦r s éqt♦♥s t ♦♥ ♣t s♦♠♠r ♣r♦t s tr♠s V∗(s1) t V∗(s2) ♥ ♦t♥t ♥s ♦r♠t♦♥ s♥t♣♣é s♦♥t ♣r♥♣ s ♣ss♥s rts PP❱
ˆ s2
s1
[dT(s)
ds
+ F(s) − A(s)]
⊗ V∗(s) ds+ [T(s1)+ F(s1)]⊗ V∗(s1)
+ [−T(s2)+ F(s2)]⊗ V∗(s2) = 0
♦♥ ♥tèr ♣r ♣rt tr♠´ s2
s1
dT(s)
ds
⊗ V∗(s) ds ♦♥ r♠rq q
ˆ s2
s1
dT(s)
ds
⊗V∗(s) ds = T(s2)⊗V∗(s2)−T(s1)⊗V∗(s1)−ˆ s2
s1
T(s)⊗dV∗(s)
ds
ds
![Page 212: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/212.jpg)
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♦♥ ♥sèr é♦♣♣♠♥t ♥s éqt♦♥ ♦♥ r♠rq q s tr♠s ♦rs sé♠♥♥t t q ♥ rst q♥ ①♣rss♦♥ ♣s s♠♣ ♦r♠
−ˆ s2
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D∗(s)
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ˆ s2
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∑
i
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ˆ s2
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♥ ♣♦s♥t
dV∗(s)
ds
=
D∗(s)
♣r♠r tr♠ ♦rrs♣♦♥ à ♣ss♥ rt
s ♥tr♦rts s♥t à ♣ss♥ rt s ♦rts ♥éqs ♥s s♦♥ ♠♠r♦♥ tr♦ ♣ss♥ rt s q♥ttés éért♦♥ tt r♥èr éqt♦♥ st ♣♦♥t é♣rt ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♣♣r♦é ♣r éé♠♥t ♥s
ét♦ s éé♠♥ts ♥s ♣♣t♦♥ ① ♣♦trs
rt♥s trs ts♥t ♣rés♥tt♦♥ éqt♦♥ s♦s ♦r♠ ♣r♥♣s tr① rts P❱ ♥ r♠♣♠♥t tss rt V∗(s) ♣r é♣♠♥trt U∗(s) q ♦rrs♣♦♥ à ♥tért♦♥ V∗(s) r♥t ♥ t♠♣s dt ♦s ♦♥s♦rs éqt♦♥ s♥t
−ˆ s2
s1T(s)⊗D∗(s) ds+
ˆ s2
s1F(s)⊗U∗(s) ds+
∑
i
F(si)⊗U∗(si) =
ˆ s2
s1A(s)⊗U∗(s) ds
♦s ♦♥sérr♦♥s q ♥② ♣s ♦rts ♥éqs t ♥♦s r♦♥s rés♦t♦♥ ♥ qs
sttq éqt♦♥ s s♠♣ ♦rs ♥
−ˆ s2
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T(s) ⊗ D∗(s) ds+∑
i
F(si) ⊗ U∗(si) = 0
s♥ q tr rt s ♥tr♦rts st é tr s ♦rts ①térrs ① ♥♦s ♦♠♣t t♥ t♦rsr s ♣tts é♣♠♥ts t♦rsr s ♣ttsé♦r♠t♦♥s D(s) sért
U(s) =
α β φu v w
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dU(s)
ds
=
dα
ds
dβ
ds
dφ
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ds
dv
ds− φ
dw
ds+ β
♦s ②♣♦tès r♥♦ t♦rsr s s♠♣ ① s ♦♠♣♦s♥ts s♦♥t ♦♥sérés ♦♠♠ ♥s
♥ r♣♣ q ♥s ②♣♦tès r♥♦ ♣♦tr st ss♠♠♥t é♥é ♣♦r q é♦r♠t♦♥ à ♦rt tr♥♥t s♦t ♥éé st♦♥ ♥ ♣♦tr rst ♣r♣♥r à ① r♥tr
![Page 213: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/213.jpg)
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u1 u2
v1 v2
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x
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p
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D(s) =
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D∗(s) =
dα∗
ds−d
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ds2d2v∗
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ds0 0
♣r♠r ♠♠r éqt♦♥ s♦t ①♣rss♦♥ s tr① rts s ♥tr♦rts sért ♦rs
W ∗i = −
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T(s) ⊗ D∗(s) ds
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ds2+Mfy
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ds
ds
= −ˆ s2
s1
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ds− EIz
d2w
ds2d2w∗
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d2v
ds2d2v∗
ds2+ ES
du
ds
du∗
ds
ds
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♣♦tr st ♦♥séré ♦♠♠ ②♥t ♥ st♦♥ ♦♥st♥t ♣r♦ s②♠étr ♣♦ssè s qtés rqss s②♠étr ♣♦r q ♥tr t♦rs♦♥ t ♥tr rté s♦♥t ♦♥♦♥s ♣♦tr st ss♠♠♥t é♥é ♣♦r q é♦r♠t♦♥ à ♦rt tr♥♥t s♦t ♥éé ②♣♦tès r♥♦ s ②♣♦tèss ♣♦tr à ♥
![Page 214: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/214.jpg)
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♦♠♣♦rt♠♥t q st s♣r♣♦st♦♥ ① ♦♠♣♦rt♠♥ts s♠♣s ♥é♣♥♥ts trt♦♥♦♠♣rss♦♥ t ①♦♥ ♥s ♣♥ ♣r♥♣ P♦r ♦♥strt♦♥ ♠tr rr ♦♥ ♣t sé♣rr s ♦♠♣♦rt♠♥ts
P♦tr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥
réstt st s♠♣ t ♦♥♥ ♠s ♠♦♥tr♦♥s rs♦♥♥♠♥t ♣♦r ♦t♥r à ♣rtr ♥♦tr ♦r♠t♦♥ ♥ tr① rts ♥♦s ♣r♠ttr r♣r♥r ♠ê♠ é♠r♥s s ♣s ♦♠♣① ①♦♥ ♥s s ♥ ♣♦tr s♦♠s ♥q♠♥t à♥ t♥s♦♥ ♦♥♥tré Nxp ♥s rt♦♥ s♦♥ ① ♣r♦♣r xp s ss é♦r♠t♦♥s♣r♦♥♥♥t ♦♠♣♦s♥t u t♦rsr s ♣tts é♣♠♥ts
U(x) =
ψ = 0
u = u(x)x
⇒ D(x) =
γ = 0
ε =du(x)
dxx
tr rt s ♥tr♦rts s♦t♥t ♣r
W ∗i =
ˆ s2
s1
ESdu
ds
du∗
ds
ds
♥ ♦st ♥ ♠♣ é♣♠♥t q s①♣r♠r ♥ ♦♥t♦♥ s é♣♠♥ts s♥♦s t ♦s ♦♥s ① rés rté ♥♦s t ♥ ♠♣ é♣♠♥t à① ♥♦♥♥s ❯♥ ♦♥t♦♥ ♥ér ♦r♠ s♥t ♦♥♥t
u(x) = ax+ b
s ♦♥t♦♥s ① ♦rs s♥ts
u(0) = u1 t u(L) = u2
q ♦♥♥
u(x) = u1L− x
L+ u2
x
L= [φ(x)] [U]
♥ ♣♦s♥t [U] =
[u1u2
]
♦♦♥♥ s é♣♠♥ts t [φ(x)] =
[L− x
L
x
L
]
♥
s ♦♥t♦♥s ♦r♠s éé♠♥t érédu(x)
dxs sé♠♥t
du(x)
dx= −u1 1
L+ u2
1
L= [ψ] [U]
♥ ♥♦tr q s tr♠s [ψ] s♦♥t s ♦♥st♥ts st ♥térr ♥st tr rt s ♥tr♦rts
W ∗i =
ˆ L
0
ES [U]t [ψ]t [ψ] [U∗] dx = ELS [U]t [ψ]t [ψ] [U∗]
![Page 215: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/215.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
♥ ♥♦t [Ktc] ♠tr rré ♦t♥ ♣r
[Ktc] = ELS [ψ]t [ψ]
♣r♦t [ψ]t [ψ] t
[ψ]t [ψ] =1
L2
[1 −1−1 1
]
♥♠♥t ♣♦r trt♦♥♦♠♣rss♦♥ tr rt s ♥tr ♦rts sért
W ∗i = [U]t [Ktc] [U
∗]
[Ktc] =ES
L
[1 −1−1 1
]
♦♥r♥♥t tr rts s ♦rts ①térrs ♦♠♠ ♥♦s ♥ ♦♥sér♦♥s q srs ♦♥♥trés ① ♥♦s ♦r♠t♦♥ st très s♠♣
W ∗e =
∑
i
F(si) ⊗ U∗(si) =∑
i
Niu∗i = [F]t [U∗]
[F] ♦♦♥♥ s ♦rs ♥♦s
P♦tr ♥ ①♦♥
♥s s ♥ ♣♦tr ♥ ①♦♥ ♦♥ s♣♦s qtr ♦♥t♦♥s ① ♥♦s
v(0) = v1 v(L) = v2 dv
dx(0) = φ1
dv
dx(L) = φ2
♥s s ♦♥t♦♥s st ♥éssr ♣r♥r ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ré q ♦♥t♥t ♦♥st♥ts
v(x) = ax3 + bx2 + cx+ d⇒ dv(x)
dx= 3ax2 + 2bx+ c
s ♦♥t♦♥s ♥ts ♦♥ tr c = φ1 d = v1
a =2
L3(v1− v2) +
1
L2(φ1 + φ2) b = − 3
L2(v1− v2)− 1
L(2φ1 + φ2)
q ♥♦s ♠è♥ à ①♣rss♦♥ ♠tr
v(x) =[1− 3ξ2 + 2ξ3 L (ξ − 2ξ2 + ξ3) 3ξ2 − 2ξ3 L (−ξ2 + ξ3)
]
v1φ1v2φ2
= [φ(x)] [U]
![Page 216: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/216.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
ξ =x
L♥s ①♣rss♦♥ tr s ♦rts ♥térrs ♥♦s ♦♥s s♦♥ éré s♦♥
v(x)
d2v(x)
dx2=
[6
L2(−1 + 2ξ)
2
L(−2 + 3ξ)
6
L2(1− 2ξ)
2
L(−1 + 3ξ)
]
v1φ1v2φ2
= [ψ(x)] [U]
tt ♦s s tr♠s ♥ s♦♥t ♣s s ♦♥st♥ts ♥♦s ♦♥s ♥térr s ♦♥t♦♥s sréé♠♥t ♣♦r ♦t♥r ①♣rss♦♥ tr rt
W ∗i =
ˆ L
0
EId2v
dx2d2v∗
dx2dx = EI [U]t
ˆ L
0
[ψ(x)]t [ψ(x)] dx [U∗]
♠tr rré ①♦♥ [Kfl] st ♦t♥ ♣r
[Kfl] = EI
ˆ L
0
[ψ(x)]t [ψ(x)] dx =EI
L3
12 6L −12 6L6L 4L2 −6L 2L2
−12 −6L 12 −6L6L 2L2 −6L 4L2
♥ ss♠♥t s ① ♠trs [Ktc] t [Kfl] ♥♦s ♦t♥♦♥s ♠tr rréé♠♥tr ♥ ① ♣r♦♣r K t s♦rt q ♣r♥♣ s tr① rts sért ♦rs
W ∗i +W ∗
e = 0
⇒ [U]t [K] [U∗] = [F]t [U∗]
tt r♥èr rt♦♥ st q q s♦t [U∗] ♦♥ ♣t réérr s♦s ♦r♠
[K] [U] = [F]
![Page 217: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/217.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
u1
v1
φ1
x
y
s
s
p
p
u1
v1s
s
θ
u2v2
φ2
p
p
u2
v2s
s
ebeb
r rés rté ss♦é r♣èr strtr
[U] =
u1v1φ1u2v2φ2
[F] =
F1xF1yM1zF2xF2yM2z
[K] =
ES
L0 0 −ES
L0 0
012EI
L3
6EI
L2−12EI
L30
6EI
L2
06EI
L2
4EI
L−6EI
L20
2EI
L
−ESL
0 0ES
L0 0
0 −12EI
L3−6EI
L2
12EI
L30 −6EI
L2
06EI
L2
2EI
L−6EI
L20
4EI
L
tr rr éé♠♥tr ♥s r♣èr strtr
r♣èr strtr st r♣èr ① rtrr♠♥t ♦s ♣r tstr ♣♦r é♥r sstrtr t q t♦ts s ♠trs t trs s♦♥t ♦♥strts ♥s ♠ê♠ r♣èr ♣♦r♣♦♦r s ss♠r ♥ é♥t ① ♥♦s s rés rté ♥s r♣èr strtr♦r r
♣ss s rés rté ♥ s r♣èrs rs tr s t à ♥♠tr r♦tt♦♥ [R] t q
![Page 218: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/218.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
[Up] = [R] [Us] ⇒
u1pv1pφ1pu2pv2pφ2p
=
c s 0 0 0 0−s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 −s c 00 0 0 0 0 1
u1sv1sφ1su2sv2sφ2s
c = cos(θ) s = sin(θ) ♠ê♠ ♦♥ ♣♦rrt érr
[Fp] = [R] [Fs]
♥ tr s rt♦♥s ♣réé♥ts
[Fp] = [R] [Fs] = [Kp] [Up] = [Kp] [R] [Us] ⇒ [Fs] = [R]−1 [Kp] [R] [Us]
♥ r♣♣ q s ♠trs r♦tt♦♥s s♦♥t s②♠étrqs ♥rss t q r ♥rsst é à r tr♥s♣♦sé
♦s és♦♥s rt♦♥ ♣réé♥t ①♣rss♦♥ ♠tr rr éé♠♥tr♥ ①s strtr①
[Ks] = [R]−1 [Kp] [R]
[Ks] =
E tc2
L+ 12 s2E I
L3cE tsL
− 12 sE I cL3 −6 sE I
L2 −E tc2
L− 12 s2E I
L3 − cE tsL
+ 12 sE I cL3 −6 sE I
L2
cE tsL
− 12 sE I cL3
E ts2
L+ 12 c2E I
L3 6 E I cL2 − cE ts
L+ 12 sE I c
L3 −E ts2
L− 12 c2E I
L3 6 E I cL2
−6 sE IL2 6 E I c
L2 4 E IL
6 sE IL2 −6 E I c
L2 2 E IL
−E tc2
L− 12 s2E I
L3 − cE tsL
+ 12 sE I cL3 6 sE I
L2E tc2
L+ 12 s2E I
L3cE tsL
− 12 sE I cL3 6 sE I
L2
− cE tsL
+ 12 sE I cL3 −E ts2
L− 12 c2E I
L3 −6 E I cL2
cE tsL
− 12 sE I cL3
E ts2
L+ 12 c2E I
L3 −6 E I cL2
−6 sE IL2 6 E I c
L2 2 E IL
6 sE IL2 −6 E I c
L2 4 E IL
ss♠ s ♠trs éé♠♥trs
ss♠ s ♠trs éé♠♥trs st ♦♣ért♦♥ q ♦♥sst à ♦♥strr ♠tr rr strtr ♥tèr tt ♦♣ért♦♥ rést ♣r♥♣ s tr① rts♣♣qé à strtr ♥tèr ♠♣ s é♣♠♥ts rts ♣♣qés ét♥t rtrr ♥ rést q q ♥♦ ♦t êtr ♥ éqr rr ss♦é à ♥ ré rtést s♦♠♠ érq s rrs q éé♠♥t ♠tr éé♠♥tr [Ks] ②♥t ♥♦ ♥ ♦♠♠♥ ♥ ♣t r♣rés♥tr tt ♦♣ért♦♥ ♠♥èr r♣q ♥s r
![Page 219: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/219.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
K1
K2
K=
Dans la partie griséesomme des éléments deK1 et K2, liés aux degrésde libertés communs entreles poutres 1 et 2
K1 : matrice deraideur élémentairede la poutre 1
K2 : matrice deraideur élémentairede la poutre 2
r strt♦♥ ♦♣ért♦♥ ss♠ ♠trs rrs éé♠♥trs
♣rès ss♠ s②stè♠ ♠tr sért s♦s ♦r♠
[F] = [K] [U]
♥ ♥ ♣t ♣s rés♦r ♥ étt t étr♠♥r qs s♦♥t s ♥♦♥♥s s②stè♠ t qs s♦♥t s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣t sr ♥♦♥♥s é♣♠♥t♦ ♦rts ér♥ts ♠ét♦s ♦♥t été é♦♣♣és ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♣rtèr♠♥t q♥ ♥♦♠r rés rté st très éé
①♣rss♦♥ t♦r s ♦rts ♥s r♣èrstrtr
♦s ♦♥s ♣rééré tsr ♦rs ♥♦s tr① s ①♣rss♦♥s t♦rs ♣♦r s♦rts t s ♠♦♠♥ts ♥s ♣rr♣ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr ♦♠♠♥t à ♣rtr s éqt♦♥s té♦r s ♣♦trs q ♥♦s ♥♦♥s é♦♣♣r ♥♦s ♣♦♦♥s ♦t♥r s①♣rss♦♥s t♦rs
♦s ♣rtr♦♥s s ♦rts ①♣r♠és ♥s r♣èr ♣r♦♣r ♥ ♣♦tr
[K] [U] = [F]
![Page 220: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/220.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
[U] =
u1pv1pφ1pu2pv2pφ2p
[F] =
F1xpF1ypM1zpF2xpF2ypM2zp
; [K] =
ES
L0 0 −ES
L0 0
012EI
L3
6EI
L2−12EI
L30
6EI
L2
06EI
L2
4EI
L−6EI
L20
2EI
L
−ESL
0 0ES
L0 0
0 −12EI
L3−6EI
L2
12EI
L30 −6EI
L2
06EI
L2
2EI
L−6EI
L20
4EI
L
♥ r♣èr ♣r♦♣r ♦s ♥♦s srr♦♥s é♠♥t éqt♦♥ r♦tt♦♥
[Up] = [R] [Us] ⇒
u1pv1pφ1pu2pv2pφ2p
=
c s 0 0 0 0−s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 −s c 00 0 0 0 0 1
u1sv1sφ1su2sv2sφ2s
q ♣♦tr ét♥t ♥ éqr ♦♥ ♥ s♦♥ q s ♦rts ♥ ♥ s s ① ♥♦ss ♦rts à tr ♥♦ ét♥t ♦♣♣♦sés ♥ ♦t♥t s ♦rts s♥ts ♥♦ q ♥♦s♦♥sérr♦♥s ♥s ♥♦s tr① ♦♠♠ ♥♦ ①tré♠té
F2xp =ES
L(−u1p + u2p) =
ES
L
([cs
]
·(
−[u1sv1s
]
+
[u2sv2s
]))
F2yp =12EI
L3
(
v2p − v1p +L
2(φ1p + φ2p)
)
=12EI
L3
([−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
])
− L
2(φ1s + φ2s)
)
P♦r q st s ♠♦♠♥ts ♥♦s ♦♥s ①♣r♠r s ♠♦♠♥ts ① ① ①tré♠tés
M1zp =6EI
L2(v1p − v2p) +
2EI
L(2φ1p + φ2p)
=6EI
L2
(
−[−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
]))
+2EI
L(2φ1s + φ2s)
M2zp =6EI
L2(v1p − v2p) +
2EI
L(φ1p + 2φ2p)
=6EI
L2
(
−[−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
]))
+2EI
L(φ1s + 2φ2s)
♦s ♣♦sr♦♥s s trs s♥t ♦r r
![Page 221: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/221.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
tr rtr ♣♦tr eb =
[cs
]
tr ♥tr ♥♦r♠ à ♣♦tr eb⊥ =
[−sc
]
s trs é♣♠♥ts ① ♥♦s ♥s r♣èr strtr u1 =
[u1sv1s
]
t u2 =[u2sv2s
]
♦s ♣♦♦♥s ♦rs réérr t♥s♦♥ ♣♦tr F2xp st à r éqt♦♥ s♦s ♦r♠
F2xp =ES
L
(eb · (−u1 + u2)
)
♦s ♥♦♠♠r♦♥s tt t♥s♦♥ N st ♣♦rté ♣r tr rtr ♣♦tr
Neb =ES
L
(eb · (−u1 + u2)
)eb
♥ ♥♦♠♠r s♠♥t ♥s tt tès O ♥♦ ♦r♥ t E ♥♦ ①tré♠té
Neb =ES
L
(eb · (−uO + uE)
)eb
♦rt tr♥♥t F2yp éqt♦♥ ♣t êtr ss réért s♦s ♦r♠
F2yp =12EI
L3
([−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
])
− L
2(φ1s + φ2s)
)
=12EI
L3
(
eb⊥ · (u2− u1)− L
2(φ1s + φ2s)
)
t ♦rt st ♣♦rté ♣r tr ♥tr ♥♦r♠ à ♣♦tr eb⊥ ♥♦s ♥♦♠♠r♦♥s♣réér♥t♠♥t ♥s ♥♦s tr① Tt ♦♥
Tteb⊥ =
12EI
L3
(
eb⊥ · (uE − uO)−L
2(φO + φE)
)
eb⊥
♦s ♦♥s ♣r♦ér ♠ê♠ ♠♥èr ♣♦r s ♠♦♠♥ts éqt♦♥s t
M1zp =6EI
L2
(
−[−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
]))
+2EI
L(2φ1s + φ2s)
=2EI
L2
(
L (2φ1s + φ2s)− 3
[−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
]))
=2EI
L2
(L (2φO + φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)
)
![Page 222: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/222.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
♠♦♠♥t sr ♦♥séré ♣♦♥t ♦r♥ O st ♣♦rté ♣r tr z = k = e3♥♦r♠ ♣♥
MOe3 =2EI
L2
(L (2φO + φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)
)e3
♠ê♠ ♠♥èr ♣♦r ♠♦♠♥t ♣♦♥t ①tré♠té E
M2zp =6EI
L2
(
−[−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
]))
+2EI
L(φ1s + 2φ2s)
=2EI
L2
(
L (φ1s + 2φ2s)− 3
[−sc
]
·([
u2sv2s
]
−[u1sv1s
]))
⇒MEe3 =2EI
L2
(L (φO + 2φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)
)e3
♥s ♣tr trt♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥♦♥ ♣♦r ♦♥ tsé ♥ ♦r♠t♦♥ s♠♣é s éqt♦♥s ♥ ♥é♥t ♣r♠ètr r♦tt♦♥ tt ♦r♠t♦♥s♠♣é st rés♠é ♥s t ♦♥ ♦♥sèr q φO = 0, tφE = 0
t rés♠ s ♦r♠s ♣♦r s é♥ér ♦ ♦♥ t♥t ♦♠♣t r♦tt♦♥s ♥♦s ♥ r♠rqr q ♦♥ ♣t érr s ♠♦s rrs kf t kl ♠♥èrér♥t s♥t s ②♣♦tèss ts ♣♦r ♣r♠ètr é♣ssr ♥s s trs ♦r r ①♣t
♥ r♠rqr q éqt♦♥ ♦♥t♥t éqr ♦♠♣t s ♥♦s trs ♣rtr ♦♥ ♣t trr éqt♦♥ s♥t trs♥t éqr s ♠♦♠♥ts ss trs ♥ ♣ss♥ rt
∑
b
MbO.θ
∗O +Mb
E.θ∗E = 0
tt éqt♦♥ st éqr s ♠♦♠♥ts trs t q st ért ♥s ♣tr tt tès trt♥t ♦♠♦é♥ést♦♥ ♠r♦♣♦r
![Page 223: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/223.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
Mo
Me
T
T
u
O(b)barre
non déform
éeeb
eb
T=b
u
E(b)N
T t
b
b
e =j2
e =i1
Mo et Me portés par e3
O(b)
E(b)
barre déformée sans
rotation des noeuds
Neb = kl(eb · (uE − uO)
)eb
Tteb⊥ = kf
(eb⊥ · (uE − uO)
)eb⊥
MOe3 =kfL
6
(−3eb⊥ · (uE − uO)
)e3
MEe3 =kfL
6
(−3eb⊥ · (uE − uO)
)e3
kl =EsS
L rr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ kf =
12EsI
L3 rr ♥ ①♦♥
♦è ♣♦tr r♥♦ ♣rt t rés♠é s ♦r♠s t♦rs ss♦és tsés ♥s ♣tr ♣♦r s ♦rts t s ♠♦♠♥ts
![Page 224: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/224.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
e
o
Μ ο
Me
T
T
u(E(b))
O(b)
barrenon
déform
ée
barre déformée
eb
eb
T=b
u(O(b))
E(b)N
T t
b
be =j2
e =i1
Mo et Me portés par e3
F
F
O(b)
E(b)
Neb = kl(eb · (uE − uO)
)eb
Tteb⊥ = kf
(
eb⊥ · (uE − uO)−L
2(φO + φE)
)
eb⊥
MOe3 =kfL
6
(L (2φO + φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)
)e3
MEe3 =kfL
6
(L (φO + 2φE)− 3eb⊥ · (uE − uO)
)e3
kl =EsS
L rr ♥ trt♦♥♦♠♣rss♦♥ kf =
12EsIz
(L)3 rr ♥ ①♦♥ ♥s s
trs ♥ ♣♦s♥t η =t
Lt é♣ssr e = Cte = 1 s ♠♦s ♣♥t s s♠♣r
♥ kl = Esη kf = Esη3
♦è ♣♦tr r♥♦ ♦♠♣t t rés♠é s ♦r♠s t♦rsss♦és ♣♦r s ♦rts t s ♠♦♠♥ts
![Page 225: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/225.jpg)
❳ ❨ P❯ PP ❱ ❨P ❯
L
P
W
Treillis périodique
le paramètre d'épaisseur e des poutres est identique à celui de la largeur e=t
l
t
e=t
l
t
e
le paramètre d'épaisseur eest découplé de celui de lalargeur t
Cellule élémentaire
ou
r Pr♠ètrs é♦♠étrqs rtérs♥t s ér♥ts ♥① ♠r♦strtr ♥ trs é♥t♦♥ s ① r♣♣♦rts é η t ε ①st♥t s♥ ♠r♦strtr
![Page 226: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/226.jpg)
Annexe B♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♠♦é♥ést♦♥ à
ér♥ts trs
♦♠♠r ♥tr♦t♦♥
trs ♦♠
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é
trs r♥r♥
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é
rs ①t
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é
rs sqr
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é
rs r♥
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é
trs tt
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
♥tr♦t♦♥
tt ♥♥① ♣♣♦rt ♥ ♦♠♣é♠♥t ♣r r♣♣♦rt ♣tr ① ♥ ② ①♣♦s ♠♥èr ♣s été s réstts sss trt♠♥t ♥ rt♥ ♥♦♠r trs ♥s
![Page 227: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/227.jpg)
❳ PP
treillis Kagomecellule de base treillis Kagome
n1 b1
n2
n3 n1
n3Y1
Y2b2 b3
b4b5
b6
r trs ♦♠
q s rs t①ts ♦♥♥és ♥tré ① ♦s s♦♥t tsés ♥s tt♥♥① ♦ ♣r♠♥t ①t♥s♦♥♥ t ♦ ♥♦r♣♦r♥t ①♦♥ ♠s ♥ ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é
♦ ①t♥s♦♥♥ ér ♥ t♥sr ♦♥tr♥t s②♠étrq ♠tr rr [K] st t q
σ11σ22σ12
= [K]
ε11ε222ε12
♦ ①♦♥ t ♠♦è ♣♦tr r♥♦ s♠♣é ér ♥ t♥sr ♦♥tr♥t ♥♦♥s②♠étrq ♠tr rr [K] st ♦rs
σ11σ22σ12σ21
= [K]
ε11ε22ε12ε21
trs ♦♠
st♥ ♦ s♦r ♣♦r trs ♦♠
s trs ♥trs s rrs
♥rrs
❬❪
❬❪sqrt
❬❪sqrt
❬❪❬❪
❬❪sqrt
❬❪❬❪
s trs ♣
![Page 228: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/228.jpg)
❳ PP
❨sqrt
❨
♥♦r♠ s trs ♣
♥♦♠r ♥♦s
♥♦s
t s rrs
❬❪
❬❪
t❬❪
t❬❪
♦t s rs rr ♣♦r q rrs
ts
③t❫
s③❫
❬❪
❬❪
♦t s ♦♠s q rr
❱t
❱❬❱❱❱❱❱❱❪
st♦♥ q rrs
t❬tttttt❪
♥♦♠ r s♦rt s rstts
♥♦♠rs♦rt♦♠t①t
éstts ♦ ①t♥s♦♥♥ s♥s ①♦♥
[K] =
3/8 Es t√3
L1/8 Es t
√3
L0
1/8 Es t√3
L3/8 Es t
√3
L0
0 0 1/8 Es t√3
L
![Page 229: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/229.jpg)
❳ PP
Y2 Y1
2L
n1
n3
n2
n2
n1
b6
b1
b2b3
b4b5
r sr♣r♦♥ é♦♠étrq trs
éstts ♦ ①♦♥ ♠♦è r♥♦ s♠♣é
[K] =
1/8√3Es t(3L2+t2)
L3 1/8√3Es t(L2−t2)
L3 0 0
1/8√3Es t(L2−t2)
L3 1/8√3Es t(3L2+t2)
L3 0 0
0 0 1/8√3Es t(L2+3 t2)
L3 1/8√3Es t(L2−t2)
L3
0 0 1/8√3Es t(L2−t2)
L3 1/8√3Es t(L2+3 t2)
L3
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![Page 230: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/230.jpg)
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∂xU2 (x,y))
L
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√3( ∂
∂yU1 (x,y)+ ∂
∂xU2 (x,y))
L−1/8
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√3( ∂
∂xU1 (x,y)− ∂
∂yU2 (x,y))
L
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[K] =
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L3(3 t2+L2)0 0
1/8
√3(−L4+4L2t2−3 t4)tEs
L3(3 t2+L2)1/8
√3(L4+12L2t2+3 t4)tEs
L3(3 t2+L2)0 0
0 0 1/8
√3(3L4+12L2t2+t4)tEs
L3(3L2+t2)1/8
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L3(3L2+t2)1/8
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s trs ♥trs s rrs
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![Page 231: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/231.jpg)
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![Page 232: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/232.jpg)
❳ PP
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√2)
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√2L2−t2
√2)
L31/8
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√2)
L30 0
0 0 1/8Es t(2
√2L2+t2
√2+8 t2)
L31/8
Es t(2√2L2−t2
√2)
L3
0 0 1/8Es t(2
√2L2−t2
√2)
L31/8
Es t(2√2L2+t2
√2+8 t2)
L3
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s trs ♥trs s rrs
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![Page 233: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/233.jpg)
❳ PP
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1/4tEs (2+
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![Page 234: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/234.jpg)
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√2L2+t2
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L31/4
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√2)
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√2L2−t2
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√2+4 t2)
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![Page 235: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/235.jpg)
❳ PP
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[K] =
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0
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√3Es t(L2+3 t2)
L31/4
√3Es t(L2−t2)
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√3Es t(L2−t2)
L31/4
√3Es t(L2+3 t2)
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![Page 236: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/236.jpg)
❳ PP
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Y2
Y3
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n2
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n2
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b3b4b19
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b23b18
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δ1
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δ1
δ2
δ3
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♦♣s tr♣ts
![Page 237: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/237.jpg)
❳ PP
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♥♦♠ r s♦rt s rstts
♥♦♠rs♦rtttt①t
![Page 238: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/238.jpg)
❳ PP
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L212
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∂yU1+ ∂
∂xU2)
L212
tE√2( ∂
∂xU1+2 ∂
∂yU2+ ∂
∂zU3)
L212
tE√2( ∂
∂zU2+ ∂
∂yU3)
L2
12
tE√2( ∂
∂zU1+ ∂
∂xU3)
L212
tE√2( ∂
∂zU2+ ∂
∂yU3)
L212
tE√2( ∂
∂xU1+2 ∂
∂zU3+ ∂
∂yU2)
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L2
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√2tEL2 1/2
√2tEL2 0 0 0
1/2√2tEL2 1/2
√2tEL2
√2tEL2 0 0 0
0 0 0 1/2√2tEL2 0 0
0 0 0 0 1/2√2tEL2 0
0 0 0 0 0 1/2√2tEL2
♥ ♦♥stt q s réstts s♦♥t ♥tqs à ① ♦r ❬❪
![Page 239: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/239.jpg)
Annexe C♦ s♦r ♣ é♦♣♣é à ♣rtr
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![Page 240: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/240.jpg)
❳ ❯ P ❱PP P P ❯
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(Y1,Y2)
7→
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❯❯①②❯①②
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♥ ♦
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♥ ♦
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♥ ♦
![Page 241: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/241.jpg)
❳ ❯ P ❱PP P P ❯
♦rt♠ ♦ s♦r ♠♣ ♦rrs♣♦♥♥tP♦r q ♣♦tr b ∈ BR
E := ER(b)O := OR(b)
∆U := uE1 − uO
1 +∂U
∂λiδi
kf := Esη3
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(
eb⊥ ·(
∆Ub)
−Lb
2
(
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0
)
)
MO1 :=
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(
2φO0 + φE
0
)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub)
]
ME1 := kf
Lb
6[Lb
(
φO0 + 2φE
0
)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub)
]
equ1[E(b)] := equ1[E(b)] +Nb1e
b + T b1te
b⊥
equ1[O(b)] := equ1[O(b)]−Nb1e
b − T b1te
b⊥
equ2[E(b)] := equ2[E(b)] +ME1
equ2[O(b)] := equ2[O(b)] +MO1
s rs φn1 ♣♣rîtr♦♥t ♥s ♦ s♦rs s♦s
♦r♠ ♣❬♥❪
♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦
♣t♦r♦tPr♦t❬❪
❬❬❪❪❬❬❪❪t❬❪❯
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♣♣❬❬❪❪
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❬❪❬❪♣❬❪♣♣
❬❪s♠♣②❬❪❬❪❬❪
♣♣♣
♦❬❪s♠♣②❬❪❬❪❬❪
♣♣♣
♥ ♦
♦r r♦♠ t♦ ♥rrs ♦
♥❬❪
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❬❪❬❪
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q❬♥❪t♦rq❬♥❪❬❪
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♥ ♦
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]
...[
00
]
[
equ2]
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♥ ♦
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![Page 242: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/242.jpg)
❳ ❯ P ❱PP P P ❯
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∂u
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♦♣❬❪ ❯① ②①
♦♣❬❪ ❯① ②②
♣❬❪s♠♣②♣♣❬❪
❯① ② ①
❯① ② ②
♥ ♦
![Page 243: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/243.jpg)
❳ ❯ P ❱PP P P ❯
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2 := uE2 − uO
2
N2 := kl(
eb ·(
∆Ub2
))
T2t := kf
(
eb⊥ ·(
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)
−Lb
2
(
φO1 + φE
1 +∂φ0
∂λiδi))
MO(b)2 :=
kfLb
6
(
Lb
(
2φO1 + φE
1 +∂φ0
∂λiδi)
− 3eb⊥ ·(
∆Ub2
)
)
ME(b)2 :=
kfLb
6
(
Lb
(
φO1 + 2
(
φE1 +
∂φ0
∂λiδi))
− 3eb⊥ ·(
∆Ub2
)
)
♦r t♦ ♥rrs ♦
♣ s♠♣②♦tPr♦t❬❪
❬❬❪❪❬❬❪❪
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♦r t♦ ♥rrs ♦
♣ s♠♣②♦tPr♦t❬❪
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![Page 244: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/244.jpg)
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![Page 245: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/245.jpg)
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![Page 246: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/246.jpg)
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![Page 247: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/247.jpg)
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µ∗ = K34
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G∗ = µ∗ +κ
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1
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ν∗12 = −S21 · E
∗1 ν
∗21 = −S12 · E
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2 (2µ∗ + κ)
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❯♥r♦r♠P❯①②♦♥ts♥r♦r♠P❯①②♦♥ts
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❯♥r♦r♠P❯①②♦♥ts♥r♦r♠P❯①②♦♥ts
![Page 248: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/248.jpg)
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![Page 249: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/249.jpg)
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![Page 250: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/250.jpg)
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![Page 251: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/251.jpg)
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![Page 252: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/252.jpg)
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u1 = Ax1x2, u2 = −A2x21 +
D
2x22, u3 = 0
φ1 = 0, φ2 = 0, φ3 = −Ax1
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e11 = Ax2, e22 = Dx2, κ31 = −A
♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t ♣♥ t é♦r♠t♦♥ ♣♥ ♠♣q q s ♦♥st♥ts A t Ds♦♥t és ♣r D = −νA s ♦♠♣♦s♥ts ♥♦♥ ♥s s ♦♥tr♥ts t ♦♣s ♦♥tr♥t♥♥♥t ♦rs
σ11 = EsAx2
m31 = −Aγ
♠♦♠♥t rést♥t s♥t ① x3 ♣t êtr é ♣r
M =
ˆ h/2
−h/2
(−σ11x2 +m31) dx2 = −A(Esh
3
12+ γh
)
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![Page 253: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/253.jpg)
❳ ❳ P ❯ P❯ P
couple decontrainteclassiquecréé par laloi de Hooke
couple decontraintecréé parl'effet micropolaire
-M
coupe fictive d'unepoutre
r sr♣t♦♥ t ♠r♦♣♦r tt♥ sr ♥ ♣♦tr ♠r♦strtr
![Page 254: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/254.jpg)
❳ ❳ P ❯ P❯ P
![Page 255: A Stéphanie, Eva et annaY - univ-lorraine.fr](https://reader035.vdocuments.mx/reader035/viewer/2022062401/62aacfbc86cdaa0f202f20a7/html5/thumbnails/255.jpg)
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